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1. 電磁気学 単 系
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1-1
1
§0 じめ
電磁気学 学習 中 意外 高い 壁 単 系 理解 あ 。単 物理 大
共通 言葉 伝 合う 人間 考案 あ 電磁気現象 記述 い
多 単 (系) 在 混乱 生 現象 定式化 単 系 いう人
的 約束 理解 時間 ネ 費 え い事態 陥 あ 1。地
球 多 言語 在 英語 共通語 認識 ( 応)混乱 避
い 。電磁気学 MKSA 単 系 いう 標準語 在 2 分 い
標準語 あ 別 単 系 使わ あ (新刊書 あ 非 SI 単
系 使わ い 場合 あ )3。 著 古典 呼 う 緒あ 成書 い
基本事 学習 う 古い書物 大半 MKSA 単 系 書 い い 単
系 相 原因 解 増 あ 4。 いえ 単 系 正 理解
理論式 数値 代入 計算 い あ 単 系 書 式 別 単
系 式 変換 い。本書 電磁気学 関 単 系 混乱 解消 異
単 系 間 自 行 来 ワ 習得 書 monograph
あ 。
§1 単位系 種類
電磁気 記述 単 系 考え 基本 電気系 磁気系 物理 相互
作用(力) 表 法則式 あ 。電荷(電気 )間 力 表 ン(Coulomb) 法則
rr
qqeF
2211
α= (1)
磁荷(磁気 )間 力 表 ン 法則5
rr
qqeF
2m2m11
β= (2)
電流 磁場 相互作用 表 ン (Ampère) 力
1 筆者 大学教養時代 状況 陥 。 現象 表 式 形 成書 異 い 論理展開
単 系 理解 方 決問題 う あ 。 2 英語 最 合理的 使い い言語 限 い 様 MKSA 単 系 電磁気学 単 系 中 最 合
理的 使い い いえ い。 3 理論物理学系 分 ( 子力学 ) 現在 Gauss 単 系 用い い 多い。 4 時代 遡 ほ MKSA 単 系 記述 い 確率 。 5 あ 述 う 磁気 本質 磁荷 電流 あ 単極 磁荷 仮想的 い 単
系 考え 磁荷 想定 問題 生 い。
電磁気学 単 系
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1-2
BlF ×γ
= d1
I (3)
電磁気学 い 要 力 式 あ 。 F 力 r 電荷間 磁荷間 距 re
r 沿う単 (= rr ) q 電荷 mq 磁荷 I 電流 dl 電流 沿う素
( ldI 電流素 ) B 磁束密 あ α, β, γ( 逆数) 比例定数 あ 。
電気系 誘電率ε 磁気系 透磁率µ 呼 物理 設定 1 α, β
ε=α k (4)
µ=β k (5)
書 (Maxwell) 方程式 4 式 表 2。
ρπ
=⋅∇k
4D (6)
t∂∂
γ−=×∇
BE
1 (7)
0=⋅∇ B (8)
tk ∂∂
γ+
γπ
=×∇D
jH14
(9)
D 電束密 ρ 電荷密 H 磁場 強 j 電流密 3 あ 。 D E
間
ED ε= (10)
B H 間
HB µ= (11)
関係 あ 。い 真空 想定 (電荷 電流 在 い状態:ρ = 0, j = 0) ε = ε0,
µ = µ0 (ε0, µ0 真空誘電率 真空透磁率) 式(6)~(9) 対応
方程式
0=⋅∇ E (12)
t∂∂
γ−=×∇
BE
1 (13)
1 現段 単 ( 元) 大 未定 あ 。誘電率 透磁率 物質 依 。 2 方程式 出 電磁気学 参照 。( 方程式 解説 い い
電磁気学 見 い い あ 。) 3 単 時間あ 単 面積 通過 電気 (電荷 ) あ 。言い換え 電荷 (flux) あ 。
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1-3
0=⋅∇ B (14)
t∂∂
γ
µε=×∇
EB 00 (15)
形 。
式(13) 両辺 rot(≡ ∇ ×) 1
)()( E×∇×∇→辺 (16)
)(111
)( BBB
×∇∂∂
γ−=
∂∂
×∇γ
−=
∂∂
γ−×∇→
ttt右辺 (17)
。式(16) 代数公式 使
EEE 2)()( ∇−⋅∇∇=×∇×∇ (18)
変形 式(12) 右辺第 1 消え
EE 2)( −∇=×∇×∇ (19)
形 。 方 式(17) B×∇ 式(15) 代入
2
2
200
200)(
1
tttt ∂
∂
γ
µε−=
∂∂
∂∂
γ
µε−=×∇
∂∂
γ−
EEB (20)
式(19) 式(20) 等 い
2
2
2002
t∂
∂
γ
µε=∇
EE (21)
成立 。 波動 表 方程式 あ
00µε
γ=v (22)
進行 波動 表 い ( え 波長λ, v 伝搬 波 式 λ−π )(i2e vtx 式(21)
満足 容 確認 )。 電場 v 伝搬 波
在 う 。
方 式(15) 両辺 rot 辺
1 rot 回転 来 curl 記 。∇ × A = rot A = curl A あ 。
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1-4
BBBB 22)()( −∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇ (23)
得 (式(14) 適用) 式(15) 右辺
2
2
2000000 )(
ttt ∂
∂
γ
µε−=×∇
∂∂
γµε
=
∂∂
γµε
×∇B
EE
(24)
得 (式(13) 適用)
2
2
2002
t∂
∂
γ
µε=∇
BB (25)
成立 。 式 式(21) 型 あ 磁場 電場 00µεγ
伝搬 波 在 う わ 。 v 真空中 81099792458.2 × 1sm − 対応 1 以後 c0 記 2。
00
0µε
γ=c (26)
常 成立 (式(13) (15) わ う 定数γ 電気的 現象 磁気的 現象
役割 果 意味 連結因子 呼 あ 。式(26) 関係
単 系 わ 常 成立 い 3 定数α, β, γ う 独立
えう (独立 ) 2 あ 。 定数α, β, γ 方(言い換え ε0,
µ0, γ, k え方) い い 単 系 構成 。
[1] ε0, µ0, γ 方 → 独立 相
[2] k 方 → 定数値 相
[3] 単 方 → 基本単 相
[1] 非常 要 あ 電気 わ ( え ε0) 定義 他 定数
決 (静電単 系; Electrostatic system of units=esu 単 系) 磁気 わ
( え µ0) 定義 他 定数 決 (電磁単 系; Electromagnetic system of
units=emu 単 系) ε0 µ0 両方 定義 え (Gauss 系) 単 系 あ
単 系 物理 単 ( 元) 理論式 (見 )形 変わ 。
[2] 関 k = 4π 場合 理系 いい k = 1 場合 非 理系 いう3。
1 数値 測定値 定義 値(exact) あ 。 2 本書 c0 = 2.99792458 × 108 m s−1 = 2.99792458 × 1010 cm s−1 あ 。 3 4π 全球 立体角 来 い 。
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1-5
理論式 見 形 わ 問題 あ 本質的 い い 成
書 書 式 士 比較 式 数値 代入 計算
系 書 把握 正 い値 得 い。 理系
ン 法則 バ (Biot-Savart) 法則 4π 現 複雑 見え 逆
方程式 4π 現 見 い 。非 理系 逆
ン 法則 見 方程式 所 4π 現 。
[3] 物理 大 表 単 cm, g, s 統 m, kg, s, A( C) 統
いう区別 あ 。前者 3 元系 後者 4 元系 呼ぶ。
以 主 単 系 定義 特徴 記 。
1) CGS esu(CGS 静電単 系)
基本単 cm, g, s あ (3 元系)。
k = 1(非 理系) 。
真空誘電率ε0 連結因子γ 独立 ε0 = 1 γ = 1(い 無 元) 定義 。
真空透磁率µ0 式(26)
2221
20
0 scm1011265.11 −−×==µ K
c (27)
。
2) CGS emu(CGS 電磁単 系)
基本単 cm, g, s あ (3 元系)。
k = 1(非 理系) 。
真空透磁率µ0 連結因子γ 独立 µ0 = 1 γ = 1(い 無 元) 定義
。 真空誘電率ε0 式(26)
2221
20
0 scm1011265.11 −−×==ε K
c (28)
。
3) Gauss 単 系
基本単 cm, g, s あ (3 元系)。
k = 1(非 理系) 。
真空誘電率ε0 真空透磁率µ0 独立 両方 1(無 元) 定義 。
連結因子 γ = c0 = 2.99792458 × 1010 cm s−1 。
4) MKSA 単 系1
1 MKSQ 単 系 いう。
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1-6
基本単 m, kg, s A( C) あ (4 元系)。
k = 4π( 理系) 。
真空透磁率µ0 連結因子γ 独立 。真空透磁率
27270 C mkg 104A N104 −−−− ×π=×π=µ (29)
定義(exact 値 設定) 1 連結因子 γ = 1(無 元) 式(26) 真空誘電率
22112
200
0 m C N10854187817.81 −−−×=
µ=ε K
c (30)
。µ0 c0 定義 値(exact) あ ε0 定義値 2 µ0 数値 え
ε0 中 入 い 分類 電磁単 系 あ 。1901 G. Giorgi
提案 1954 第 10 回国 衡総会 決議 国 単 系(SI) 採択
。
以 各単 系 CGS esu 系 CGS emu 系 Gauss 系 MKSA 系 呼ぶ。
代表的 4 単 系 設定 表 1 あ 。
5) 他 単 系
○ ン − 単 系
Gauss 系 様 電気的 CGS esu 磁気的 CGS emu 使う
1 定義 数値 あ 単 1 い あ 思い付 う い値 設定 い (電磁
気学 単 系 対 戸惑い 思議 数値 始 い 過言 い)。 値 電気
学分 使わ い V( ) A( ン ) Ω( ) W(ワ ) 単 大 変え い う
単 系 構築 わ あ 基本 透磁率 誘電率 (定義値 い)定数
え え いう経緯 あ 。(値 自 決 いい いわ 4π × 10−7 人 い
い あ う。) 2 ε0 µ0 定義値 あ え 結果 あ 通常 µ0 独立 。
表 1. 代表的 4 単 系 設定
単 系 基本単 独立 k ε0 µ0 γ
CGS esu cm, g, s ε0, γ 1 1 201 c 1
CGS emu cm, g, s µ0, γ 1 201 c 1 1
Gauss cm, g, s ε0, µ0 1 1 1 c0
MKSA m, kg, s, A µ0, γ 4π )(1 200cµ 4π × 10−7 1
(注) c0 真空中 あ 大 各単 系 基本単 用い 表 。 MKSA 系
c0 = 2.99792458 × 108 m s−1 あ 以外 単 系 い c0 = 2.99792458 × 1010 cm
s−1 あ 。
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1-7
理系 単 系 あ 。 (O. Heaviside) 1882~83 提案 ン (H. A.
Lorentz) 再編成 理系 元祖 いえ 単 系 あ 。 時期広 使わ
MKSA 系 移行 。
○ 般化 CGS 静電単 系( 般化 CGS esu)
CGS esu 4 元系 。cm, g, s, Fr( ン ン) 基本単 。CGS esu
系 MKSA 系 移行 過渡的措置 国 記号単 述語委員会(SUN 委員会)
採択 。Fr 単 系 電荷 単 称 あ 。
○ 般化 CGS 電磁単 系( 般化 CGS emu)
CGS emu 系 4 元系 。cm, g, s, Bi( ) 基本単 。Bi 単 系
電流 単 称 あ 。
○MKSP 単 系
鈴木範人 塩高文 応用 学 II (朝倉書店 1982) 中 紹 い 単 系。MKSP
P Physical 意味 。 理 3 元系(MKS) あ ε0 = µ0 = 1, γ = c0 。
ン - 単 系 MKS いう 。電気系 磁気系
対 Gauss 系 対称性 活 非 理系 いう Gauss 系 1 解
消 考案 広 普及 い い。
§2 電場 磁場 対応(E−H対応 E−B対応)
電磁気学 単 関 要 電気的 磁気的 対応 問題 あ 。
電気 あ 電荷 対応 磁気 磁荷 考え 磁荷 対
ン 法則 基本 立場 E−H 対応 呼 あ 。 E−H 対応
磁石 作 磁場 出 立場 あ 。 電荷 単独 磁荷
( 単独 N 極あ い S 極 ) 出 磁荷 在 い
い 。 理論的 扱い い q ↔ qm, ε0 ↔ µ0, E ↔ H, D ↔ B い
う対応 電気現象 磁気現象 形式 扱え いう あ
立場(E−H対応) 在 。E−H対応 磁気 関 ン 法則
rr
qqeF
2m2m1
04
1
πµ= (31)
表 電荷 ン 法則 様 m1q m2q いう磁荷間 力 F
意味 い 。電荷 ン 法則
1 鈴木 塩両氏 彼 著書 述 い う 非 理系 1 元問題 式中 係数 4π 現 球対称問
題 逆 4π 消え いう( 逆 ) 和感 生 。 非 理系 単 電荷 電気力
線 4π本出 い 対 理系 単 電荷 電気力線 1 本出 い 前提(設定)
い 原因 あ 。 両氏 MKSA 系 純理的 他 隔絶 い 思い込
誤 あ 。 (文献 1, p. 154) MKSA 系 非対称 電磁単 系統 あ 電磁波 い
c 現 (例:ε0) え 方程式 う 電磁波 直接関連 現
積εµ 中 埋没 。 MKSA 系 あ (文献 1, p. 155) 述 い 。(筆者
通 あ 思う。)
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1-8
rr
qqeF
221
04
1
πε= (32)
電荷 2q 作 電場 E
rr
qeE
22
04
1
πε= (33)
え 力 F = q1E 表 様 磁荷 m2q 作 磁場 H
rr
qeH
2m2
04
1
πµ= (34)
書 磁荷間 力
HF m1q= (35)
表 。
方 E−B 対応 立場 磁荷 いう 考え 磁石 基本 (円)電流 あ
。磁気的 力 基本法則 ン 法則 ン 力(式(3))
BlF ×= dI (36)
あ 電流 バ 法則 表 磁場(正確 磁束密 ) 間 相互作用
力 生 1。 E−B対応 電流 作 磁場 出 立場 あ 2。磁束
密 B µ0 H 結 真空中
HB 0µ= (37)
関係 あ 。式(36) E−H対応 F = qm1H(式(35)) 対応 式 見
E−B 対応 電流素 ldI ( 種 )磁荷 B 磁場 考え い 3。
式(36), (37) F = Hl ×µ d0I 形 磁場 あ わ 示 H 作用
力 F 対象 磁荷 相当 考え う 磁場 (B )H
E−H対応 立場 う あ E−B対応 立場 磁気
ン 法則 表 必要 あ 。 E−H 対応 書 磁気 ン 法則( え
式(35))
HF mq= (38)
形 合わ E−B対応 磁気 ン 法則 式
1 ン 式 ン 手 法則 表 あ 親指 = F 人差 指 = B 中指 =
Idl いう対応 外積 習得 い (=大学生 ) ン 使う必要 Idl B
角 鈍角 (指 痛い )外積 考え 方 い。旧国鉄吹 教習所 電気 学 講義 親指 = F
=う 人差 指 = B = じ 中指 = Idl = ん う 略 ( ン 右手法則 手法則 ) う
= 宇治電 (現 山陽鉄 ) 呼 い いう ソ あ 。 2 磁石 作 磁場 電流 作 磁場 本質 あ 。 3 E−B対応 B 単 磁場 呼ぶ 多い 正 H 磁場 強 B 磁束密 呼ぶ
あ 。
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1-9
BF ξ= (39)
形 書 新 い 磁荷ξ 形式的 入 真空中 B = µ0H あ F =
µ0ξH E−B 対応 磁荷ξ E−H 対応 磁荷 qm (µ0 分 ) 元 値 異
。
0
m
µ=ξ
q (40)
あ ξ 単 A m qm 単 N A−1 m (= Wb; バ1) あ 。 磁荷 あ
わ 単 大 異 磁荷 いう 考え い E−B対応
立場 い あえ 磁荷 いう 考え 結果 あ 。言い換え 磁荷 いう物理
い 設 E−B対応 E−H対応 E, B, µ0 元 値
い あ 2。
仮想的 磁荷 別 測定 物理 中 E−B対応 E−H対応 定義 変わ
あ 注意 必要 あ 。 典型例 磁化 あ 。E−H対応 磁化
HM (添 H E−H対応 意味 ) 式 え 。
H04MHHB
k
π+µ=µ= (41)
電気(静電)系 関係式
PEEDk
π+ε=ε=
40 (42)
(D 電束密 E 電場 P 分極) 分極 P 磁気系 磁化 HM 対応 い
表 い 。
方 E−B対応 場合 H 式 入 。
B0
41MBH
k
π−
µ= (43)
式中 BM E−B対応 磁化 あ 。
B0
04
MHBk
πµ+µ= (44)
あ 式(41) 式(44) 比較
0
HB µ=M
M (45)
いう関係 得 磁化 呼 物理 E−H 対応 E−B 対応
1 称 物理学者 W. H. Weber( バ ) 来 単 バ 書 。 2 電場 磁場 E−H対応 E−B対応 異 値 大混乱 招 あ う。
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1-10
式(40) 磁荷 様 µ0 倍 い 生 (µ0 4π × 10−7 N A−2
いう数値 あ 差 非常 大 い)。 う E−H対応 E−B対応 い 対
応 定義 い 式 あ 認識 式 数値 扱わ 桁 い 誤 引
起 険性 あ 。
§3 単位 換算
以 い い 単 系 間 単 換算 行う1。 最 基本的 MKSA 系
C( ン) CGS esu 系 電荷単 esu 変換 行う2。 場合 基本
ン 法則 あ MKSA 系
221
04
1
r
qqF
πε= (46)
CGS esu 系
221
r
qqF = (47)
表 3。両者 現象 表 い 場合 基本単 い 映
両 辺 F 値 異 尺 (N(ニュ ン) dyn( ン) 105 倍異 ) 測 。単
純 例 示 あ 式 中 長 表現 変数 x (m)単 測
式 x ン (cm)単 測 変数x ′ 置 換え x m = x ′ cm
対 m = 100 cm 適用 得
100m
cm xxx
′=′= (48)
いう関係 元 式 x 代入 い。以 示 単 換算 (単純 )原
理 利用 。式(48) x x ′ 物理 数値 表 い 。 う 数値間 関
係式 数値方程式 呼ぶ。数値方程式 x100 = x ′ 単 間 関係 m = 100 cm 逆
関係 4 (当然 )物理 表現 単 大 い文 ほ 数値
。
C esu 換算 行う ン 法則 数値方程式 変形 5。MKSA 系 書
式( N 測 力) CGS esu 系 書 式(dyn 測 力) 区別
後者 文 記号( ′ ) 付
1 本節 A. Sommerfeld 著(伊藤大 訳) 理論物理学講 3 電磁気学 講談社 (1982 ) 付録:初学者
準備 pp. 433~441 解説 参考 い 。 2 電荷 単 esu ン ン(Fr) 呼ぶ場合 あ 。 3 単 換算 考え 場合 考え 必要 い 表 式 用い 。 4 単 測定値 傾的関係 呼ぶ。 5 C esu 換算 使用 式 電荷 使用 い 式 あ ン 法則以外 構わ い。
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1-11
221
r
qqF
′
′′=′ (49)
書 手 従 換算 行う。
1. MKSA 系 式(46) 数値方程式 既知 単 間 換算関係 利用 式変形 行
う。
2. 得 式 CGS esu 系 数値方程式(式(49)) 抜 部
分 関係 C esu 単 大 比 求 。
式(46) 現 文 (数値) 単 付 変形
⋅′=→⋅′=⋅N
dyndynN FFFF (50)
⋅′=→⋅′=⋅C
esuesuC qqqq (51)
⋅′=→⋅′=⋅m
cmcmm rrrr (52)
式(46) 代入
2
2
2
21
0
m
cm
C
esu
4
1
N
dyn
⋅′
⋅′′
πε=
⋅′
r
F (53)
得 (式(51) 含 い )Cesu( 値 得 C esu 換算 行う
)。式(53) (物理 方程式 )数値方程式 あ 変換後 ′ 付い 文
関係式 得 F ′ 1q ′ 文 以外 数値 い
い。 式(53) ε0 ( 元 い)数値 置 換え 必要 あ 。式(46) 中
ε0 式(30) 示 う 8.854187817… × 10−12 いう大 あ 数値
式(53)中 表記 式 見 ε0 式(29) 式(30) 用い 書 換
え
20
7
200
04
101
cc π=
µ=ε (54)
。 c0 いう文 m s−1 いう単 対応 数値
CGS esc系 単 cm s−1 対応 数値 い い。MKSA系 → CGS
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1-12
esu 系 数値 置 換え 2.99792458 × 1010 いう数値 (CGS esu 系 )引
渡 必要 あ
)(4
10
4
102
11
20
7
0 無 元πζ
=π
=εc
(55)
置 換え 1。 ζ cm s−1 単 表 真空中 数値(2.99792458 × 1010)
あ 2 分子 104 倍 い 22 sm − 22 scm − 比 映 い (当然 式(55)
置 換え 行 値 元 ε0 8.854187817… × 10−12 あ )。式(55) 右辺
式(53) ε0 代入 式 得 。
2
2
2
21
11
2
m
cm
C
esu
10
4
4
1
N
dyn
⋅′
⋅′′πζ
π=
⋅′
r
F (56)
2
221
411
2
5 C
esu
101010
1
⋅′
′′
×
ζ=
⋅′
− r
qqF (57)
変形
2
221
2
22
221
411
25
C
esu
10C
esu
1010
10
⋅′
′′ζ=
⋅′
′′
×
ζ=′
− r
r
qqF (58)
式 CGS esu 系 ン 法則式(式(49)) 抜 (言い換え F ′ = 2
21 rqq ′′′ 代入 )
2
2
2
C
esu
101
⋅ζ
= (59)
あ
2
2210
C
esu
ζ=
(60)
1 MKSA 系 ↔ CGS esu 系 い 1120 10)4(1 ζ↔πε いう置 換え 覚え 便利 あ 。
2 物理 無 元 数値 あ 注意 。IUPAC 行 E. R. Cohen, T. Cvitaš, J. G. Frey, B.
Holmström, K. Kuchitsu, R. Marquardt, I. Mills, F. Pavese, M. Quack, J. Stohner, H. L. Strauss, M.
Takami, and A. J. Thor, Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry, 3rd ed., 2007 ( 書
表紙 色 Green Book 呼 い ) 日本語訳 あ 産業技術総合研究所計 標準総合
ン 訳 物理化学 用い 単 記号 第 3 講談社 ン (2009 ) p. 162, 168,
173 記 い ζ 厳密 正確 無 数ζ = c0/(cm s−1) = 29 979 245 800 あ 。 いう記述 従
本書 ζ 用い 。
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1-13
ζ
=10
C
esu (61)
単 換算
(電荷) esu10
CC10
esuζ
=ζ
= (62)
得 。繰 返 ζ 2.99792458 × 1010 いう大 無 元数 あ
注意 。 単 換算表 1 esu = 3.335641 × 10−10 C あ い 1 C =
2.99792458 × 109 esu 書 い あ 換算 物理法則 関係
い いう意味 1 m = 100 cm う 換算 異 換算 あ 1。
記 C esu 変換 あ あ 換算表 頻繁 場
以 通常 あ 見 い特 扱う 。MKSA 系 C CGS
emu 系 電荷 単 換算 う あ う 。CGS emu 系 電荷 単
前 い 単 emu 電荷 書 。 MKSA 系
ン 法則
2
21
04
1
r
qqF
πε= (63)
方 CGS emu 系 ン 法則
221
0
1
r
qqF
′
′′
ε′=′ (64)
あ 。前回 様 式(63) 数値方程式 変形 い
2
2
2
21
11
2
m
cm
C
emu
10
4
4
1
N
dyn
⋅′
⋅′′
πζπ
=
⋅′
r
F
電荷
(65)
。式(28) い 0ε′ 大 21 ζ あ 考慮
2
221
40
115 C
emu
1010
1
10
1
⋅
′
′′
×ε′×=
⋅′
−電荷
r
qqF (66)
1 前出 Green Book 日本語 p. 235 掲載 い ネ 関 単 相互換算表 物
理法則 関係 換算 示 単 等号 = =̂ いう記号 用い い 。
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1-14
2
221
02
2
221
40
11
5
C
emu1
10
1
C
emu
1010
10
⋅
′
′′
ε′=
⋅
′
′′
×ε′×=′
−電荷電荷
r
r
qqF (67)
式 CGS emu 系 ン 法則 数値方程式(式(64)) 抜
2
2 C
emu
10
11
⋅=
電荷 (68)
あ
22
10C
emu=
電荷 (69)
10C
emu=
電荷 (70)
単 換算
(電荷) 10
emuCC10emu
電荷電荷 == (71)
得 。 う あ 見 い単 換算 簡単 行う 。
電気 方 中心 扱 MKSA 系 磁気 Wb(= N A−1 m)
CGS emu 系 磁気 (emu) 間 換算 行 。単 換算 問題 E−H対応 E−B
対応 い 比較的理解 い E−H 対応 考え 。MKSA 系
磁気 ン 法則
2
2m1m
04
1
r
qqF
πµ= (72)
あ CGS emu 系
2
2m1m
r
qqF
′
′′=′ (73)
あ 。 様 手 変形 進
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1-15
2
2
2
21
7
m
cm
Wb
emu
104
1
4
1
N
dyn
⋅′
⋅′′
×ππ=
⋅′−
r
Fmm
(74)
。 µ0 4π × 10−7(数値) 置 換え 。変形 続
2
221
475 Wb
emu
10104
1
4
1
10
1
⋅′
′′
××ππ=
⋅′
−− r
qqF mm (75)
2
221
2
162
221
472
5
Wb
emu
)4(
10
Wb
emu
1010)4(
10
⋅′
′′
π=
⋅′
′′
××π=′
−− r
r
qqF mmmm (76)
式 CGS emu 系 ン 式(式(73)) 抜
16
22
10
)4(
Wb
emu π=
(77)
。
810
4
Wb
emu π= (78)
あ
(磁荷) emu4
10WbWb
10
4emu
8
8 π=
π= (79)
得 。 磁気 関 MKSA 系 CGS emu 系 間 換算 あ 。
CGS emu 系 磁束 単 Mx( ) MKSA 系 磁束 単 Wb 間
換算 考え う。磁束Φ 磁束密 B 面積分 あ
∫ ⋅=Φ dSnB (80)
関係 あ 1 磁束密 単 換算 考え 。MKSA 系 磁束密 B
真空中 場合 磁場 H
HB 0µ= (81)
1 dS 面要素 n 面要素 単 法線 。
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1-16
結 。 方 CGS emu 系 µ0 = 1 あ
HB ′=′ (82)
あ 。B B ′ 間 換算 行う 必要 磁場 H H ′ 単 換算 行 い
い 磁場 単 換算 行う 。MKSA 系 磁場 H 式(34)
2
04
1
r
qH m
πµ= (83)
書 単 A m−1 あ 。 方 CGS emu 系 磁場H ′
2r
qH m
′
′=′ (84)
あ 単 1emudyn − = 121 cmdyn − あ ( Oe( ) いう 称
え い )。A m−1 Oe 換算 qm mq ′ Wb emu 換算 必要 あ
式(79) 得 結果(emu = 4π × 10−8 Wb) 利用 い。式(83)
変形
2
271
m
cm
Wb
emu
104
1
4
1
m A
Oe
⋅′
⋅′
×ππ=
⋅′
−−
r
q
Hm
(85)
既知 単 換算 利用
2472
8
1 1010)4(
104
m A
Oe
r
qH m
′
′
××π
×π=
⋅′
−−
−
− (86)
π
=− 4
10
mA
Oe 3
1 (87)
(磁場 強 ) Oe10
4mA mA
4
10Oe
3
113 π
=π
= −− (88)
得 。 磁場 単 換算 磁束密 換算 行う。磁束密
MKSA 系 CGS emu 系い い 単 称 え 前者 T(
) 後者 G( ) あ 。 式(81)
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1-17
⋅′×π=
⋅′−
−1
7
mA
Oe104
T
GHB (89)
変形 。直前 Oe A m−1 間 換算 結果(式(88)) 適用 得
HHB ′=′π
××π=
⋅′ −− 43
7 104
10104
T
G (90)
CGS emu 系 式 HB ′=′ (式(82)) 抜
410T
G −= (91)
G T 関係
(磁束密 ) G10TT10G 44 == − (92)
得 。以 当初 目的 あ 磁束 換算 行う準備 整 。
磁束 表 式 式(80) 示
∫ ⋅=Φ dSnB (93)
あ MKSA 系 磁束 単 Wb CGS emu 系 磁束 単 Mx 換算 行う
式(93) 変形
⋅′⋅
⋅′=
⋅Φ′ ∫ 2
2
m
cm
T
G
Wb
MxSdnB (94)
。G T 換算 式(92) G = 10−4 T あ
∫ ′⋅′×=
⋅Φ′ −− SdnB44 1010Wb
Mx (95)
810Wb
Mx −= (96)
(磁束) Mx10WbWb10Mx 88 == − (97)
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1-18
得 。 MKSA 系 元 あ 磁気 磁束 両方 Wb いう
称 呼 CGS emu 系 磁束 Mx いう 称 あ 磁気
称 い 注意 。MKSA 系 様 CGS emu 系 磁気 Mx いう 称
え い 考え い 磁気 間 換算
emu4
10Wb
8
π= (98)
あ 磁束間 換算
Mx10Wb 8= (99)
あ 磁気 間 換算 磁束間 換算係数 4π分 い あ 。
§4 異 る単位系 式表現
前節 単 換算 扱 単 系間 式 変換 行う う いい あ
う 。基本的 方針 1 単 系 数値方程式 既知 単 換算 利用 変
形 別 単 系 数値方程式 書 換え い。(§3 単 換算 1 未知 単
換算以外 い 既知 単 換算 利用 数値方程式 文 置 換え
目標 単 系 向 変形 行 式表現 変換 場合 単 換算 既知
あ 状況 数値方程式 文 置 換え 行 式 整理 目標 単 系 式
得 いう手 。)
最 基本的 ン 法則 式 CGS esu 単 系 式
221
r
qqF
′
′′=′ (100)
MKSA単 系 式 出 う1(§3 MKSA 系 → CGS esu系 いう方向 変形
逆方向 変換 扱う ζ ε0 扱い方 正確 理解 あ う)。
文 単 付 置 換え
FFF 510dyn
N=
⋅=′ (101)
qqq
ζ=
⋅=′10esu
C (102)
rrr 210cm
m=
⋅=′ (103)
。式(101), (102), (103) 式(100) 代入
1 わ わ 出 結果 わ い 結果 既知 あ 方 手 中身 進 方 意味 理解
い あ う。
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1-19
221
4
25
10
1
1010
r
qqF
ζ= (104)
整理
221
11
2
10 r
qqF
ζ= (105)
。 CGS esu 系 → MKSA 系 変換 あ MKSA 系 → CGS esu 系 場合
式 (55) 逆 cm s−1 単 数値 あ ζ m s−1 単 数値
(2.99792458 × 108) 含 形 (MKSA 系 )引 渡 必要 あ 。
)(10 02 無 元c=ζ (106)
置 直 式(105) 右辺 係数
7
20
11
20
4
11
2
1010
10
10
cc==
ζ (107)
。式(29), (30) 得
0
7
00
20
4
101
πε=
µε=c (108)
式(107) 代入
0
11
2
4
1
10 πε=
ζ (109)
1 式(109) 式(105) 代入 MKSA 系 ン 式
221
04
1
r
qqF
πε= (110)
得 。
§1 示 方程式 1 あ 式(13) い 考え う。MKSA
系
t∂
∂−=×∇B
E (111)
表 式 Gauss 系 表記 変換 。 式 場合 あ 単 系 対応
式(7) 表 1 使え 任意 単 系 形 知 式(7)
う 般形 え い い 考え 。式(111) 中 ∇ E B 最終的 式
中 あ 単 換算 把握 必要 あ 。Gauss 系 電
1 述 MKSA 系 ↔ CGS esu 系 便利 置 換え 1120 10)4(1 ζ↔πε あ
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1-20
気 関 CGS esu単 扱う (表 1) 電場 い 様 方法
MKSA系 電場 )(E Gauss系 電場 )'(E 単 換算 行え い。MKSA系 電場E (式
(33) 形 参考 )
2
04
1
r
qE
πε= (112)
あ Gauss 系 電場E ′
2r
qE
′
′=′ (113)
あ 。 E 単 MKSA 電場 E ′ 単 esu 電場 書い 式(112)
変形
2
211
2
m
cm
C
esu
10
4
4
1
MKSA
esu
⋅′
⋅′
πζπ
=
⋅′
r
q
E
電荷
電場
電場 (114)
式(62) 利用
262411
2
1010104
104
MKSA
esu
r
q
r
qE
′
′ζ=
′
′
×ζ××π
×πζ=
⋅′
−電場
電場 (115)
変形 式(113) 抜
)cm(dynesu10
)C (NMKSA 1216
1 −−
ζ= 電場電場 (116)
得 。 E E ′ 関係
EEE ′ζ=
⋅′=
610MKSA
esu
電場
電場 (117)
得 。 磁場 関 B 単 あ T B ′ 単 あ G 間
G10T 4= (118)
関係(式(92)) あ B B ′ 関係
BBB ′=
⋅′= −410T
G (119)
。最後 ∇ あ わ 書
zyxzyxeee
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ (120)
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1-21
あ ∇ 単 m−1 ∇′ 単 cm−1 あ m−1 = 12 cm10 −−
∇′=
⋅∇′=∇
−
−2
1
1
10m
cm (121)
。 (式(117), (119), (121)) MKSA 系 式(式(111)) 代入
t∂
′∂−=′
ζ×∇′ − B
E 4
6
2 1010
10 (122)
t∂
′∂ζ
−=′×∇′B
E1
(123)
得 。 数値方程式 各文 Gauss 系 付 単 ∇′ cm−1, E ′12121 scmg −− , B ′ 12121 scmg −− , t s あ ζ cm s−1 いう単 付
。ζ 2.99792458 × 1010 いう数値 あ cm s−1 いう単 付
真空中 式(123) 物理 関係式 ζ c0 書 い1。
Gauss 系 表 Maxwell 方程式( う 式(13) あ )
tc ∂
′∂−=′×∇′
BE
0
1 (124)
得 。 結果 表 1 利用 式(7) Gauss 系 式 表 致
い 。
MKSA 系 Gauss 系 ン 法則式 比較 MKSA 系 書 式 Gauss
系 書 式 書 換え MKSA 系 式 現 4πε0 部分 1 置 換え
い いう う 対処療法 的方法 記 解説 目 あ 方法
い 険 あ わ あ う( 式(111) 4πε0 い 対処療法 使
え い)。逆 式 中 埋 い 1 見 到底 可能 あ 単
文 数 置 換え 式変形 考え い。
異 単 系 式 変換 例 MKSA 系 磁気 ン Gauss 系
表 考え 。電子 軌 角運動 l 磁気 ン MKSA 系
E−H対応 場合 う 表記 。
lme
0H
2m
eµ−= (E−H対応) (125)
e 電気素 (電子 電荷 大 e > 0 ) me 電子 質
あ 右辺 負号 電子 電荷 負 あ 対応 い 。式中 µ0 真空透磁率(4π ×
10−7 N A−2) あ Hm 単 N A−1 m2(= Wb m) あ 。 E−B対応 磁気
ン Bm 記
1 CGS esu 単 系 0c 大 101099792458.2 × あ 。
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1-22
lme
B2m
e−= (E−B対応) (126)
単 E−H 対応 異 A m2 注意 。 E−H
対応 磁荷 01 µ 対応 Hm 01 µ 形 い
(式(40) 式(45)参照)。MKSA 系 磁気 ン 単 Wb m あ
Gauss 系 変換 Wb emu cm(= 121 cmdyn − ) 変換 い。Wb emu
変換 式(79) 得
cmemu4
10memu
4
10mWb
108
π=
π= (127)
H10HH10
4
mWb
cmemummm ′π
=
⋅′= (128)
得 。Gauss 系 電荷 い esu 用い 式(62)
esu10
Cζ
= (129)
eee ′ζ
=
⋅′=10
C
esu (130)
。質 me MKSA 系 kg Gauss 系 g あ kg = 103 g
e3
ee 10kg
gmmm ′=
′= − (131)
。 角運動 l MKSA 系 kg m2 s−1 Gauss 系 g cm2 s−1 あ
kg m2 s−1 = 107 g cm2 s−1
lll ′=
⋅′= −
−
−7
12
12
10smkg
scmg (132)
得 。式(128), (130), (131), (132) 式(125) 代入
lm ′′
′ζ×π
−=′π −
−
−7
e3
7
1010
10
10
2
104
10
4
m
e
(133)
整理
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1-23
lm ′ζ′′
−=′m
e
2H (134)
得 。 文 単 付 考え ζ 真空中 c0 置 換え
最終的 Gauss 系 磁気 ン 表 式
lm ′′′
−=′0
H2 cm
e (135)
得 。式(135) 式(125) 物理 表 い 見
物理 思え い い異 形 い 。
以 う 単 数値 傾性 利用 希望 単 系 書 式表現 得
。最後 代表的 4 単 系 単 表 2 表 5 示 。
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1-24
表 2. MKSA 単 系( 理 4 元系) (E−H対応)
物理量 記号 名称 単位
電荷 q ク ロ (C) C
誘電率 ε N−1 C2 m−2 kg−1 m−3 C2 s2
電場 E N C−1 kg m C−1 s−2 V m−1
電束密 D C m−2
極子 µ ※ C m
磁荷(磁気 ) qm ェ ハ (Wb) N A−1 m kg m2 C−1 s−1 V s H A
磁束 Φ ェ ハ (Wb) N A−1 m kg m2 C−1 s−1 V s H A
透磁率 µ N A−2 kg m C−2 Wb2 N−1 m−2 H m−1
磁場 H A m−1 N Wb−1
磁束密 B ス (T) N A−1 m−1 Wb m−2
磁気 Hm N A−1 m2 Wb m
真空透磁率: 0µ = 7104 −×π N A−2
真空誘電率: 0ε = )(1 200cµ = )4(10 211 πζ N−1 C2 m−2
0c 真空中 ( 元あ )。ζ cm s−1 単 真空中 値(無 元)。
E−H対応 B = H0 MH +µ E−B対応 H = B0 MB −µ ( HM , BM E−H対応
E−B対応 磁化)。
E−B対応 磁荷 ξ = 0m µq あ 単 A m。
Hm E−H対応 磁気 ン 。E−B対応 磁気 ン Bm = 0H µm 定義 単2mA 。
ン ン 単 :H( ン ) = N m A−2 = kg m2 C−2 = V A−1 s = Wb A−1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
電荷:C( ン) = )10(ζ esu = )10(ζ Fr( ン ン)
磁束:Wb( バ) = 108 Mx( )
磁場:A m−1 = )104( 3π Oe( )
磁束密 :T( ) = 104 G( )
※ 極子 ン 対 D( バ ) いう単 使わ あ D = C m い。D(
バ ) CGS esu 極子 ン 単 (esu cm) 対 D = 10−18 esu cm
定義 あ SI 単 い。D = 10−18 esu cm = )10)(10)(10( 218 −− ζ C m =
)10( 19 ζ− C m = 3.335640...×10−30 C m あ 。
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1-25
表 3. CGS esu(CGS 静電単 系)(非 理 3 元系)
物理量 記号 名称 単位
電荷 q フ ク (Fr) esu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1
誘電率 ε - - -
電場 E dyn esu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1
電束密 D dyn esu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1
極子 µ esu cm dyn1/2 cm2 g1/2 cm5/2 s−1
磁荷(磁気 ) qm dyn1/2 s g1/2 cm1/2
磁束 Φ dyn1/2 s g1/2 cm1/2
透磁率 µ cm−2 s2
磁場 H dyn1/2 s−1 g1/2 cm1/2 s−2
磁束密 B dyn1/2 cm−2 s g1/2 cm−3/2
磁気 m dyn1/2 cm s g1/2 cm3/2
真空誘電率: 0ε = 1 (無 元)
真空透磁率: 0µ = 201 c = 1.11265… × 10−21 cm−2 s2
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1-26
表 4. CGS emu(CGS 電磁単 系)(非 理 3 元系)
物理量 記号 名称 単位
電荷 q dyn1/2 s g1/2 cm1/2
誘電率 ε cm−2 s2
電場 E dyn1/2 s−1 g1/2 cm1/2 s−2
電束密 D dyn1/2 cm−2 s g1/2 cm−3/2
極子 µ dyn1/2 cm s g1/2 cm3/2
磁荷(磁気 ) qm emu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1
磁束 Φ マクス ェ (Mx) emu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1
透磁率 µ - - -
磁場 H ス (Oe) dyn emu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1
磁束密 B カ ス(G) dyn emu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1
磁気 m emu cm dyn1/2 cm2 g1/2 cm5/2 s−1
真空透磁率: 0µ = 1 (無 元)
真空誘電率: 0ε = 201 c = 1.11265… × 10−21 cm−2 s2
G( ) = Mx cm−2
電流 Bi( ) いう 称 単 あ 。Bi( ) = 10 A
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1-27
表 5. Gauss 単 系(非 理 3 元系)
物理量 記号 名称 単位
電荷 q フ ク (Fr) esu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1
誘電率 ε - - -
電場 E dyn esu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1
電束密 D dyn esu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1
極子 µ esu cm dyn1/2 cm2 g1/2 cm5/2 s−1
磁荷(磁気 ) qm emu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1
磁束 Φ マクス ェ (Mx) emu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1
透磁率 µ - - -
磁場 H ス (Oe) dyn emu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1
磁束密 B カ ス(G) dyn emu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1
磁気 m emu cm dyn1/2 cm2 g1/2 cm5/2 s−1
真空誘電率: 0ε = 1 (無 元)
真空透磁率: 0µ = 1 (無 元)
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1-28
文献
1. 鈴木範人 塩高文 応用 学 II 朝倉書店 (1982 ) pp. 152~156
書 表 4.1 表 4.2 単 系 間 関係 い 。2 表 E−H
対応 E−B 対応 配慮 任意 単 系 電磁気学 理論式 簡単 知
素晴 い表 あ 。 (MKSA 系 ) 面 理想的
い いう う い い 述 MKSA系 指摘
新 い MKSP 系 いう単 系(=MKSA 系 Gauss 系 長所 組 合わ 単 系) 紹
い 。
2. 広瀬立成 E H D B 共立出 (1981 ) pp. 23~36
書 p. 23 書 い う 電気的 磁気的 対応 第 考え
基本的 E−H対応 立場 書 書 映 い E−H対応
E−B対応 関係 関 寧 解説 あ 。
3. 世界大百科事典 凡社 (1972 )
見出 単 参照。専門書 い 電磁気単 系 寧 解説
い 。文献 1. 類似 表(第 2 表) 掲載 単 系 基本 定義
わ 記述 い 。 単 系 単 士 数値比 表(第 4 表)
他 例 見 い貴 本書 示 単 系間 式変換 機械的 行う場合
わ 効 あ 。 出 当 表 掲載 い い 注
意 必要 あ 1。
4. A. Sommerfeld(伊藤大 訳) 理論物理学講 3 電磁気学 講談社 (1982 ) pp.
433~441 (付録:初学者 準備)
単 測定値(数値) 傾的関係 般論 解説 電磁気学 理論式 各単 系 合わ
変換 独創的 方法 紹 い 。 式変形 方向 決
単純性 要請 曖昧 説得力 弱い 象 。( え Gauss 系
誘電率 透磁率 無 元 わ 式変換 出
物理 い あ い 逆 Gauss 系 変換
数値化 変数以外 定数部分 含 う必要 あ い
う 明確 記述 い い。)
1 筆者自身 掲載 確認 1972 4 25 日初 。
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1-29
電磁気学 単 系
1983 10 3日 初 第1刷
1991 8 22日 第2 第1刷
1993 6 20日 第3 第1刷
1999 2 7日 第4 第2刷
2005 7 31日 第5 第6刷
2012 9 9日 第6 第3刷
2017 8 20日 第7 第2刷
著者 山﨑 勝義
行 漁火書店
刷 コ
製本
検