1. 電磁気学 単 系

1-1

1

§0 じめ

電磁気学 学習 中 意外 高い 壁 単 系 理解 あ 。単 物理 大

共通 言葉 伝 合う 人間 考案 あ 電磁気現象 記述 い

多 単 (系) 在 混乱 生 現象 定式化 単 系 いう人

的 約束 理解 時間 ネ 費 え い事態 陥 あ 1。地

球 多 言語 在 英語 共通語 認識 ( 応)混乱 避

い 。電磁気学 MKSA 単 系 いう 標準語 在 2 分 い

標準語 あ 別 単 系 使わ あ (新刊書 あ 非 SI 単

系 使わ い 場合 あ )3。 著 古典 呼 う 緒あ 成書 い

基本事 学習 う 古い書物 大半 MKSA 単 系 書 い い 単

系 相 原因 解 増 あ 4。 いえ 単 系 正 理解

理論式 数値 代入 計算 い あ 単 系 書 式 別 単

系 式 変換 い。本書 電磁気学 関 単 系 混乱 解消 異

単 系 間 自 行 来 ワ 習得 書 monograph

あ 。

§1 単位系 種類

電磁気 記述 単 系 考え 基本 電気系 磁気系 物理 相互

作用(力) 表 法則式 あ 。電荷(電気 )間 力 表 ン(Coulomb) 法則

rr

qqeF

2211

α= (1)

磁荷(磁気 )間 力 表 ン 法則5

rr

qqeF

2m2m11

β= (2)

電流 磁場 相互作用 表 ン (Ampère) 力

1 筆者 大学教養時代 状況 陥 。 現象 表 式 形 成書 異 い 論理展開

単 系 理解 方 決問題 う あ 。 2 英語 最 合理的 使い い言語 限 い 様 MKSA 単 系 電磁気学 単 系 中 最 合

理的 使い い いえ い。 3 理論物理学系 分 ( 子力学 ) 現在 Gauss 単 系 用い い 多い。 4 時代 遡 ほ MKSA 単 系 記述 い 確率 。 5 あ 述 う 磁気 本質 磁荷 電流 あ 単極 磁荷 仮想的 い 単

系 考え 磁荷 想定 問題 生 い。

電磁気学 単 系

1-2

BlF ×γ

= d1

I (3)

電磁気学 い 要 力 式 あ 。 F 力 r 電荷間 磁荷間 距 re

r 沿う単 (= rr ) q 電荷 mq 磁荷 I 電流 dl 電流 沿う素

( ldI 電流素 ) B 磁束密 あ α, β, γ( 逆数) 比例定数 あ 。

電気系 誘電率ε 磁気系 透磁率µ 呼 物理 設定 1 α, β

ε=α k (4)

µ=β k (5)

書 (Maxwell) 方程式 4 式 表 2。

ρπ

=⋅∇k

4D (6)

t∂∂

γ−=×∇

BE

1 (7)

0=⋅∇ B (8)

tk ∂∂

γ+

γπ

=×∇D

jH14

(9)

D 電束密 ρ 電荷密 H 磁場 強 j 電流密 3 あ 。 D E

間

ED ε= (10)

B H 間

HB µ= (11)

関係 あ 。い 真空 想定 (電荷 電流 在 い状態：ρ = 0, j = 0) ε = ε0,

µ = µ0 (ε0, µ0 真空誘電率 真空透磁率) 式(6)～(9) 対応

方程式

0=⋅∇ E (12)

t∂∂

γ−=×∇

BE

1 (13)

1 現段 単 ( 元) 大 未定 あ 。誘電率 透磁率 物質 依 。 2 方程式 出 電磁気学 参照 。( 方程式 解説 い い

電磁気学 見 い い あ 。) 3 単 時間あ 単 面積 通過 電気 (電荷 ) あ 。言い換え 電荷 (flux) あ 。

1-3

0=⋅∇ B (14)

t∂∂

γ

µε=×∇

EB 00 (15)

形 。

式(13) 両辺 rot(≡ ∇ ×) 1

)()( E×∇×∇→辺 (16)

)(111

)( BBB

×∇∂∂

γ−=

∂∂

×∇γ

−=

∂∂

γ−×∇→

ttt右辺 (17)

。式(16) 代数公式 使

EEE 2)()( ∇−⋅∇∇=×∇×∇ (18)

変形 式(12) 右辺第 1 消え

EE 2)( −∇=×∇×∇ (19)

形 。 方 式(17) B×∇ 式(15) 代入

2

2

200

200)(

1

tttt ∂

∂

γ

µε−=

∂∂

∂∂

γ

µε−=×∇

∂∂

γ−

EEB (20)

式(19) 式(20) 等 い

2

2

2002

t∂

∂

γ

µε=∇

EE (21)

成立 。 波動 表 方程式 あ

00µε

γ=v (22)

進行 波動 表 い ( え 波長λ, v 伝搬 波 式 λ−π )(i2e vtx 式(21)

満足 容 確認 )。 電場 v 伝搬 波

在 う 。

方 式(15) 両辺 rot 辺

1 rot 回転 来 curl 記 。∇ × A = rot A = curl A あ 。

1-4

BBBB 22)()( −∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇ (23)

得 (式(14) 適用) 式(15) 右辺

2

2

2000000 )(

ttt ∂

∂

γ

µε−=×∇

∂∂

γµε

=

∂∂

γµε

×∇B

EE

(24)

得 (式(13) 適用)

2

2

2002

t∂

∂

γ

µε=∇

BB (25)

成立 。 式 式(21) 型 あ 磁場 電場 00µεγ

伝搬 波 在 う わ 。 v 真空中 81099792458.2 × 1sm − 対応 1 以後 c0 記 2。

00

0µε

γ=c (26)

常 成立 (式(13) (15) わ う 定数γ 電気的 現象 磁気的 現象

役割 果 意味 連結因子 呼 あ 。式(26) 関係

単 系 わ 常 成立 い 3 定数α, β, γ う 独立

えう (独立 ) 2 あ 。 定数α, β, γ 方(言い換え ε0,

µ0, γ, k え方) い い 単 系 構成 。

[1] ε0, µ0, γ 方 → 独立 相

[2] k 方 → 定数値 相

[3] 単 方 → 基本単 相

[1] 非常 要 あ 電気 わ ( え ε0) 定義 他 定数

決 (静電単 系; Electrostatic system of units＝esu 単 系) 磁気 わ

( え µ0) 定義 他 定数 決 (電磁単 系; Electromagnetic system of

units＝emu 単 系) ε0 µ0 両方 定義 え (Gauss 系) 単 系 あ

単 系 物理 単 ( 元) 理論式 (見 )形 変わ 。

[2] 関 k = 4π 場合 理系 いい k = 1 場合 非 理系 いう3。

1 数値 測定値 定義 値(exact) あ 。 2 本書 c0 = 2.99792458 × 108 m s−1 = 2.99792458 × 1010 cm s−1 あ 。 3 4π 全球 立体角 来 い 。

1-5

理論式 見 形 わ 問題 あ 本質的 い い 成

書 書 式 士 比較 式 数値 代入 計算

系 書 把握 正 い値 得 い。 理系

ン 法則 バ (Biot-Savart) 法則 4π 現 複雑 見え 逆

方程式 4π 現 見 い 。非 理系 逆

ン 法則 見 方程式 所 4π 現 。

[3] 物理 大 表 単 cm, g, s 統 m, kg, s, A( C) 統

いう区別 あ 。前者 3 元系 後者 4 元系 呼ぶ。

以 主 単 系 定義 特徴 記 。

1) CGS esu(CGS 静電単 系)

基本単 cm, g, s あ (3 元系)。

k = 1(非 理系) 。

真空誘電率ε0 連結因子γ 独立 ε0 = 1 γ = 1(い 無 元) 定義 。

真空透磁率µ0 式(26)

2221

20

0 scm1011265.11 −−×==µ K

c (27)

。

2) CGS emu(CGS 電磁単 系)

基本単 cm, g, s あ (3 元系)。

k = 1(非 理系) 。

真空透磁率µ0 連結因子γ 独立 µ0 = 1 γ = 1(い 無 元) 定義

。 真空誘電率ε0 式(26)

2221

20

0 scm1011265.11 −−×==ε K

c (28)

。

3) Gauss 単 系

基本単 cm, g, s あ (3 元系)。

k = 1(非 理系) 。

真空誘電率ε0 真空透磁率µ0 独立 両方 1(無 元) 定義 。

連結因子 γ = c0 = 2.99792458 × 1010 cm s−1 。

4) MKSA 単 系1

1 MKSQ 単 系 いう。

1-6

基本単 m, kg, s A( C) あ (4 元系)。

k = 4π( 理系) 。

真空透磁率µ0 連結因子γ 独立 。真空透磁率

27270 C mkg 104A N104 −−−− ×π=×π=µ (29)

定義(exact 値 設定) 1 連結因子 γ = 1(無 元) 式(26) 真空誘電率

22112

200

0 m C N10854187817.81 −−−×=

µ=ε K

c (30)

。µ0 c0 定義 値(exact) あ ε0 定義値 2 µ0 数値 え

ε0 中 入 い 分類 電磁単 系 あ 。1901 G. Giorgi

提案 1954 第 10 回国 衡総会 決議 国 単 系(SI) 採択

。

以 各単 系 CGS esu 系 CGS emu 系 Gauss 系 MKSA 系 呼ぶ。

代表的 4 単 系 設定 表 1 あ 。

5) 他 単 系

○ ン − 単 系

Gauss 系 様 電気的 CGS esu 磁気的 CGS emu 使う

1 定義 数値 あ 単 1 い あ 思い付 う い値 設定 い (電磁

気学 単 系 対 戸惑い 思議 数値 始 い 過言 い)。 値 電気

学分 使わ い V( ) A( ン ) Ω( ) W(ワ ) 単 大 変え い う

単 系 構築 わ あ 基本 透磁率 誘電率 (定義値 い)定数

え え いう経緯 あ 。(値 自 決 いい いわ 4π × 10−7 人 い

い あ う。) 2 ε0 µ0 定義値 あ え 結果 あ 通常 µ0 独立 。

表 1. 代表的 4 単 系 設定

単 系 基本単 独立 k ε0 µ0 γ

CGS esu cm, g, s ε0, γ 1 1 201 c 1

CGS emu cm, g, s µ0, γ 1 201 c 1 1

Gauss cm, g, s ε0, µ0 1 1 1 c0

MKSA m, kg, s, A µ0, γ 4π )(1 200cµ 4π × 10−7 1

(注) c0 真空中 あ 大 各単 系 基本単 用い 表 。 MKSA 系

c0 = 2.99792458 × 108 m s−1 あ 以外 単 系 い c0 = 2.99792458 × 1010 cm

s−1 あ 。

1-7

理系 単 系 あ 。 (O. Heaviside) 1882～83 提案 ン (H. A.

Lorentz) 再編成 理系 元祖 いえ 単 系 あ 。 時期広 使わ

MKSA 系 移行 。

○ 般化 CGS 静電単 系( 般化 CGS esu)

CGS esu 4 元系 。cm, g, s, Fr( ン ン) 基本単 。CGS esu

系 MKSA 系 移行 過渡的措置 国 記号単 述語委員会(SUN 委員会)

採択 。Fr 単 系 電荷 単 称 あ 。

○ 般化 CGS 電磁単 系( 般化 CGS emu)

CGS emu 系 4 元系 。cm, g, s, Bi( ) 基本単 。Bi 単 系

電流 単 称 あ 。

○MKSP 単 系

鈴木範人 塩高文 応用 学 II (朝倉書店 1982) 中 紹 い 単 系。MKSP

P Physical 意味 。 理 3 元系(MKS) あ ε0 = µ0 = 1, γ = c0 。

ン - 単 系 MKS いう 。電気系 磁気系

対 Gauss 系 対称性 活 非 理系 いう Gauss 系 1 解

消 考案 広 普及 い い。

§2 電場 磁場 対応(E−H対応 E−B対応)

電磁気学 単 関 要 電気的 磁気的 対応 問題 あ 。

電気 あ 電荷 対応 磁気 磁荷 考え 磁荷 対

ン 法則 基本 立場 E−H 対応 呼 あ 。 E−H 対応

磁石 作 磁場 出 立場 あ 。 電荷 単独 磁荷

( 単独 N 極あ い S 極 ) 出 磁荷 在 い

い 。 理論的 扱い い q ↔ qm, ε0 ↔ µ0, E ↔ H, D ↔ B い

う対応 電気現象 磁気現象 形式 扱え いう あ

立場(E−H対応) 在 。E−H対応 磁気 関 ン 法則

rr

qqeF

2m2m1

04

1

πµ= (31)

表 電荷 ン 法則 様 m1q m2q いう磁荷間 力 F

意味 い 。電荷 ン 法則

1 鈴木 塩両氏 彼 著書 述 い う 非 理系 1 元問題 式中 係数 4π 現 球対称問

題 逆 4π 消え いう( 逆 ) 和感 生 。 非 理系 単 電荷 電気力

線 4π本出 い 対 理系 単 電荷 電気力線 1 本出 い 前提(設定)

い 原因 あ 。 両氏 MKSA 系 純理的 他 隔絶 い 思い込

誤 あ 。 (文献 1, p. 154) MKSA 系 非対称 電磁単 系統 あ 電磁波 い

c 現 (例：ε0) え 方程式 う 電磁波 直接関連 現

積εµ 中 埋没 。 MKSA 系 あ (文献 1, p. 155) 述 い 。(筆者

通 あ 思う。)

1-8

rr

qqeF

221

04

1

πε= (32)

電荷 2q 作 電場 E

rr

qeE

22

04

1

πε= (33)

え 力 F = q1E 表 様 磁荷 m2q 作 磁場 H

rr

qeH

2m2

04

1

πµ= (34)

書 磁荷間 力

HF m1q= (35)

表 。

方 E−B 対応 立場 磁荷 いう 考え 磁石 基本 (円)電流 あ

。磁気的 力 基本法則 ン 法則 ン 力(式(3))

BlF ×= dI (36)

あ 電流 バ 法則 表 磁場(正確 磁束密 ) 間 相互作用

力 生 1。 E−B対応 電流 作 磁場 出 立場 あ 2。磁束

密 B µ0 H 結 真空中

HB 0µ= (37)

関係 あ 。式(36) E−H対応 F = qm1H(式(35)) 対応 式 見

E−B 対応 電流素 ldI ( 種 )磁荷 B 磁場 考え い 3。

式(36), (37) F = Hl ×µ d0I 形 磁場 あ わ 示 H 作用

力 F 対象 磁荷 相当 考え う 磁場 (B )H

E−H対応 立場 う あ E−B対応 立場 磁気

ン 法則 表 必要 あ 。 E−H 対応 書 磁気 ン 法則( え

式(35))

HF mq= (38)

形 合わ E−B対応 磁気 ン 法則 式

1 ン 式 ン 手 法則 表 あ 親指 = F 人差 指 = B 中指 =

Idl いう対応 外積 習得 い (＝大学生 ) ン 使う必要 Idl B

角 鈍角 (指 痛い )外積 考え 方 い。旧国鉄吹 教習所 電気 学 講義 親指 = F

=う 人差 指 = B = じ 中指 = Idl = ん う 略 ( ン 右手法則 手法則 ) う

= 宇治電 (現 山陽鉄 ) 呼 い いう ソ あ 。 2 磁石 作 磁場 電流 作 磁場 本質 あ 。 3 E−B対応 B 単 磁場 呼ぶ 多い 正 H 磁場 強 B 磁束密 呼ぶ

あ 。

1-9

BF ξ= (39)

形 書 新 い 磁荷ξ 形式的 入 真空中 B = µ0H あ F =

µ0ξH E−B 対応 磁荷ξ E−H 対応 磁荷 qm (µ0 分 ) 元 値 異

。

0

m

µ=ξ

q (40)

あ ξ 単 A m qm 単 N A−1 m (= Wb; バ1) あ 。 磁荷 あ

わ 単 大 異 磁荷 いう 考え い E−B対応

立場 い あえ 磁荷 いう 考え 結果 あ 。言い換え 磁荷 いう物理

い 設 E−B対応 E−H対応 E, B, µ0 元 値

い あ 2。

仮想的 磁荷 別 測定 物理 中 E−B対応 E−H対応 定義 変わ

あ 注意 必要 あ 。 典型例 磁化 あ 。E−H対応 磁化

HM (添 H E−H対応 意味 ) 式 え 。

H04MHHB

k

π+µ=µ= (41)

電気(静電)系 関係式

PEEDk

π+ε=ε=

40 (42)

(D 電束密 E 電場 P 分極) 分極 P 磁気系 磁化 HM 対応 い

表 い 。

方 E−B対応 場合 H 式 入 。

B0

41MBH

k

π−

µ= (43)

式中 BM E−B対応 磁化 あ 。

B0

04

MHBk

πµ+µ= (44)

あ 式(41) 式(44) 比較

0

HB µ=M

M (45)

いう関係 得 磁化 呼 物理 E−H 対応 E−B 対応

1 称 物理学者 W. H. Weber( バ ) 来 単 バ 書 。 2 電場 磁場 E−H対応 E−B対応 異 値 大混乱 招 あ う。

1-10

式(40) 磁荷 様 µ0 倍 い 生 (µ0 4π × 10−7 N A−2

いう数値 あ 差 非常 大 い)。 う E−H対応 E−B対応 い 対

応 定義 い 式 あ 認識 式 数値 扱わ 桁 い 誤 引

起 険性 あ 。

§3 単位 換算

以 い い 単 系 間 単 換算 行う1。 最 基本的 MKSA 系

C( ン) CGS esu 系 電荷単 esu 変換 行う2。 場合 基本

ン 法則 あ MKSA 系

221

04

1

r

qqF

πε= (46)

CGS esu 系

221

r

qqF = (47)

表 3。両者 現象 表 い 場合 基本単 い 映

両 辺 F 値 異 尺 (N(ニュ ン) dyn( ン) 105 倍異 ) 測 。単

純 例 示 あ 式 中 長 表現 変数 x (m)単 測

式 x ン (cm)単 測 変数x ′ 置 換え x m = x ′ cm

対 m = 100 cm 適用 得

100m

cm xxx

′=′= (48)

いう関係 元 式 x 代入 い。以 示 単 換算 (単純 )原

理 利用 。式(48) x x ′ 物理 数値 表 い 。 う 数値間 関

係式 数値方程式 呼ぶ。数値方程式 x100 = x ′ 単 間 関係 m = 100 cm 逆

関係 4 (当然 )物理 表現 単 大 い文 ほ 数値

。

C esu 換算 行う ン 法則 数値方程式 変形 5。MKSA 系 書

式( N 測 力) CGS esu 系 書 式(dyn 測 力) 区別

後者 文 記号(　′ ) 付

1 本節 A. Sommerfeld 著(伊藤大 訳) 理論物理学講 3 電磁気学 講談社 (1982 ) 付録：初学者

準備 pp. 433～441 解説 参考 い 。 2 電荷 単 esu ン ン(Fr) 呼ぶ場合 あ 。 3 単 換算 考え 場合 考え 必要 い 表 式 用い 。 4 単 測定値 傾的関係 呼ぶ。 5 C esu 換算 使用 式 電荷 使用 い 式 あ ン 法則以外 構わ い。

1-11

221

r

qqF

′

′′=′ (49)

書 手 従 換算 行う。

1. MKSA 系 式(46) 数値方程式 既知 単 間 換算関係 利用 式変形 行

う。

2. 得 式 CGS esu 系 数値方程式(式(49)) 抜 部

分 関係 C esu 単 大 比 求 。

式(46) 現 文 (数値) 単 付 変形

⋅′=→⋅′=⋅N

dyndynN FFFF (50)

⋅′=→⋅′=⋅C

esuesuC qqqq (51)

⋅′=→⋅′=⋅m

cmcmm rrrr (52)

式(46) 代入

2

2

2

21

0

m

cm

C

esu

4

1

N

dyn

⋅′

⋅′′

πε=

⋅′

r

qq

F (53)

得 (式(51) 含 い )Cesu( 値 得 C esu 換算 行う

)。式(53) (物理 方程式 )数値方程式 あ 変換後 　′ 付い 文

関係式 得 F ′ 1q ′ 文 以外 数値 い

い。 式(53) ε0 ( 元 い)数値 置 換え 必要 あ 。式(46) 中

ε0 式(30) 示 う 8.854187817… × 10−12 いう大 あ 数値

式(53)中 表記 式 見 ε0 式(29) 式(30) 用い 書 換

え

20

7

200

04

101

cc π=

µ=ε (54)

。 c0 いう文 m s−1 いう単 対応 数値

CGS esc系 単 cm s−1 対応 数値 い い。MKSA系 → CGS

1-12

esu 系 数値 置 換え 2.99792458 × 1010 いう数値 (CGS esu 系 )引

渡 必要 あ

)(4

10

4

102

11

20

7

0 無 元πζ

=π

=εc

(55)

置 換え 1。 ζ cm s−1 単 表 真空中 数値(2.99792458 × 1010)

あ 2 分子 104 倍 い 22 sm − 22 scm − 比 映 い (当然 式(55)

置 換え 行 値 元 ε0 8.854187817… × 10−12 あ )。式(55) 右辺

式(53) ε0 代入 式 得 。

2

2

2

21

11

2

m

cm

C

esu

10

4

4

1

N

dyn

⋅′

⋅′′πζ

π=

⋅′

r

qq

F (56)

2

221

411

2

5 C

esu

101010

1

⋅′

′′

×

ζ=

⋅′

− r

qqF (57)

変形

2

221

2

22

221

411

25

C

esu

10C

esu

1010

10

⋅′

′′ζ=

⋅′

′′

×

ζ=′

− r

qq

r

qqF (58)

式 CGS esu 系 ン 法則式(式(49)) 抜 (言い換え F ′ = 2

21 rqq ′′′ 代入 )

2

2

2

C

esu

101

⋅ζ

= (59)

あ

2

2210

C

esu

ζ=

(60)

1 MKSA 系 ↔ CGS esu 系 い 1120 10)4(1 ζ↔πε いう置 換え 覚え 便利 あ 。

2 物理 無 元 数値 あ 注意 。IUPAC 行 E. R. Cohen, T. Cvitaš, J. G. Frey, B.

Holmström, K. Kuchitsu, R. Marquardt, I. Mills, F. Pavese, M. Quack, J. Stohner, H. L. Strauss, M.

Takami, and A. J. Thor, Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry, 3rd ed., 2007 ( 書

表紙 色 Green Book 呼 い ) 日本語訳 あ 産業技術総合研究所計 標準総合

ン 訳 物理化学 用い 単 記号 第 3 講談社 ン (2009 ) p. 162, 168,

173 記 い ζ 厳密 正確 無 数ζ = c0/(cm s−1) = 29 979 245 800 あ 。 いう記述 従

本書 ζ 用い 。

1-13

ζ

=10

C

esu (61)

単 換算

(電荷) esu10

CC10

esuζ

=ζ

= (62)

得 。繰 返 ζ 2.99792458 × 1010 いう大 無 元数 あ

注意 。 単 換算表 1 esu = 3.335641 × 10−10 C あ い 1 C =

2.99792458 × 109 esu 書 い あ 換算 物理法則 関係

い いう意味 1 m = 100 cm う 換算 異 換算 あ 1。

記 C esu 変換 あ あ 換算表 頻繁 場

以 通常 あ 見 い特 扱う 。MKSA 系 C CGS

emu 系 電荷 単 換算 う あ う 。CGS emu 系 電荷 単

前 い 単 emu 電荷 書 。 MKSA 系

ン 法則

2

21

04

1

r

qqF

πε= (63)

方 CGS emu 系 ン 法則

221

0

1

r

qqF

′

′′

ε′=′ (64)

あ 。前回 様 式(63) 数値方程式 変形 い

2

2

2

21

11

2

m

cm

C

emu

10

4

4

1

N

dyn

⋅′

⋅′′

πζπ

=

⋅′

r

qq

F

電荷

(65)

。式(28) い 0ε′ 大 21 ζ あ 考慮

2

221

40

115 C

emu

1010

1

10

1

⋅

′

′′

×ε′×=

⋅′

−電荷

r

qqF (66)

1 前出 Green Book 日本語 p. 235 掲載 い ネ 関 単 相互換算表 物

理法則 関係 換算 示 単 等号 = =̂ いう記号 用い い 。

1-14

2

221

02

2

221

40

11

5

C

emu1

10

1

C

emu

1010

10

⋅

′

′′

ε′=

⋅

′

′′

×ε′×=′

−電荷電荷

r

qq

r

qqF (67)

式 CGS emu 系 ン 法則 数値方程式(式(64)) 抜

2

2 C

emu

10

11

⋅=

電荷 (68)

あ

22

10C

emu=

電荷 (69)

10C

emu=

電荷 (70)

単 換算

(電荷) 10

emuCC10emu

電荷電荷 == (71)

得 。 う あ 見 い単 換算 簡単 行う 。

電気 方 中心 扱 MKSA 系 磁気 Wb(= N A−1 m)

CGS emu 系 磁気 (emu) 間 換算 行 。単 換算 問題 E−H対応 E−B

対応 い 比較的理解 い E−H 対応 考え 。MKSA 系

磁気 ン 法則

2

2m1m

04

1

r

qqF

πµ= (72)

あ CGS emu 系

2

2m1m

r

qqF

′

′′=′ (73)

あ 。 様 手 変形 進

1-15

2

2

2

21

7

m

cm

Wb

emu

104

1

4

1

N

dyn

⋅′

⋅′′

×ππ=

⋅′−

r

qq

Fmm

(74)

。 µ0 4π × 10−7(数値) 置 換え 。変形 続

2

221

475 Wb

emu

10104

1

4

1

10

1

⋅′

′′

××ππ=

⋅′

−− r

qqF mm (75)

2

221

2

162

221

472

5

Wb

emu

)4(

10

Wb

emu

1010)4(

10

⋅′

′′

π=

⋅′

′′

××π=′

−− r

qq

r

qqF mmmm (76)

式 CGS emu 系 ン 式(式(73)) 抜

16

22

10

)4(

Wb

emu π=

(77)

。

810

4

Wb

emu π= (78)

あ

(磁荷) emu4

10WbWb

10

4emu

8

8 π=

π= (79)

得 。 磁気 関 MKSA 系 CGS emu 系 間 換算 あ 。

CGS emu 系 磁束 単 Mx( ) MKSA 系 磁束 単 Wb 間

換算 考え う。磁束Φ 磁束密 B 面積分 あ

∫ ⋅=Φ dSnB (80)

関係 あ 1 磁束密 単 換算 考え 。MKSA 系 磁束密 B

真空中 場合 磁場 H

HB 0µ= (81)

1 dS 面要素 n 面要素 単 法線 。

1-16

結 。 方 CGS emu 系 µ0 = 1 あ

HB ′=′ (82)

あ 。B B ′ 間 換算 行う 必要 磁場 H H ′ 単 換算 行 い

い 磁場 単 換算 行う 。MKSA 系 磁場 H 式(34)

2

04

1

r

qH m

πµ= (83)

書 単 A m−1 あ 。 方 CGS emu 系 磁場H ′

2r

qH m

′

′=′ (84)

あ 単 1emudyn − = 121 cmdyn − あ ( Oe( ) いう 称

え い )。A m−1 Oe 換算 qm mq ′ Wb emu 換算 必要 あ

式(79) 得 結果(emu = 4π × 10−8 Wb) 利用 い。式(83)

変形

2

271

m

cm

Wb

emu

104

1

4

1

m A

Oe

⋅′

⋅′

×ππ=

⋅′

−−

r

q

Hm

(85)

既知 単 換算 利用

2472

8

1 1010)4(

104

m A

Oe

r

qH m

′

′

××π

×π=

⋅′

−−

−

− (86)

π

=− 4

10

mA

Oe 3

1 (87)

(磁場 強 ) Oe10

4mA mA

4

10Oe

3

113 π

=π

= −− (88)

得 。 磁場 単 換算 磁束密 換算 行う。磁束密

MKSA 系 CGS emu 系い い 単 称 え 前者 T(

) 後者 G( ) あ 。 式(81)

1-17

⋅′×π=

⋅′−

−1

7

mA

Oe104

T

GHB (89)

変形 。直前 Oe A m−1 間 換算 結果(式(88)) 適用 得

HHB ′=′π

××π=

⋅′ −− 43

7 104

10104

T

G (90)

CGS emu 系 式 HB ′=′ (式(82)) 抜

410T

G −= (91)

G T 関係

(磁束密 ) G10TT10G 44 == − (92)

得 。以 当初 目的 あ 磁束 換算 行う準備 整 。

磁束 表 式 式(80) 示

∫ ⋅=Φ dSnB (93)

あ MKSA 系 磁束 単 Wb CGS emu 系 磁束 単 Mx 換算 行う

式(93) 変形

⋅′⋅

⋅′=

⋅Φ′ ∫ 2

2

m

cm

T

G

Wb

MxSdnB (94)

。G T 換算 式(92) G = 10−4 T あ

∫ ′⋅′×=

⋅Φ′ −− SdnB44 1010Wb

Mx (95)

810Wb

Mx −= (96)

(磁束) Mx10WbWb10Mx 88 == − (97)

1-18

得 。 MKSA 系 元 あ 磁気 磁束 両方 Wb いう

称 呼 CGS emu 系 磁束 Mx いう 称 あ 磁気

称 い 注意 。MKSA 系 様 CGS emu 系 磁気 Mx いう 称

え い 考え い 磁気 間 換算

emu4

10Wb

8

π= (98)

あ 磁束間 換算

Mx10Wb 8= (99)

あ 磁気 間 換算 磁束間 換算係数 4π分 い あ 。

§4 異 る単位系 式表現

前節 単 換算 扱 単 系間 式 変換 行う う いい あ

う 。基本的 方針 1 単 系 数値方程式 既知 単 換算 利用 変

形 別 単 系 数値方程式 書 換え い。(§3 単 換算 1 未知 単

換算以外 い 既知 単 換算 利用 数値方程式 文 置 換え

目標 単 系 向 変形 行 式表現 変換 場合 単 換算 既知

あ 状況 数値方程式 文 置 換え 行 式 整理 目標 単 系 式

得 いう手 。)

最 基本的 ン 法則 式 CGS esu 単 系 式

221

r

qqF

′

′′=′ (100)

MKSA単 系 式 出 う1(§3 MKSA 系 → CGS esu系 いう方向 変形

逆方向 変換 扱う ζ ε0 扱い方 正確 理解 あ う)。

文 単 付 置 換え

FFF 510dyn

N=

⋅=′ (101)

qqq

ζ=

⋅=′10esu

C (102)

rrr 210cm

m=

⋅=′ (103)

。式(101), (102), (103) 式(100) 代入

1 わ わ 出 結果 わ い 結果 既知 あ 方 手 中身 進 方 意味 理解

い あ う。

1-19

221

4

25

10

1

1010

r

qqF

ζ= (104)

整理

221

11

2

10 r

qqF

ζ= (105)

。 CGS esu 系 → MKSA 系 変換 あ MKSA 系 → CGS esu 系 場合

式 (55) 逆 cm s−1 単 数値 あ ζ m s−1 単 数値

(2.99792458 × 108) 含 形 (MKSA 系 )引 渡 必要 あ 。

)(10 02 無 元c=ζ (106)

置 直 式(105) 右辺 係数

7

20

11

20

4

11

2

1010

10

10

cc==

ζ (107)

。式(29), (30) 得

0

7

00

20

4

101

πε=

µε=c (108)

式(107) 代入

0

11

2

4

1

10 πε=

ζ (109)

1 式(109) 式(105) 代入 MKSA 系 ン 式

221

04

1

r

qqF

πε= (110)

得 。

§1 示 方程式 1 あ 式(13) い 考え う。MKSA

系

t∂

∂−=×∇B

E (111)

表 式 Gauss 系 表記 変換 。 式 場合 あ 単 系 対応

式(7) 表 1 使え 任意 単 系 形 知 式(7)

う 般形 え い い 考え 。式(111) 中 ∇ E B 最終的 式

中 あ 単 換算 把握 必要 あ 。Gauss 系 電

1 述 MKSA 系 ↔ CGS esu 系 便利 置 換え 1120 10)4(1 ζ↔πε あ

1-20

気 関 CGS esu単 扱う (表 1) 電場 い 様 方法

MKSA系 電場 )(E Gauss系 電場 )'(E 単 換算 行え い。MKSA系 電場E (式

(33) 形 参考 )

2

04

1

r

qE

πε= (112)

あ Gauss 系 電場E ′

2r

qE

′

′=′ (113)

あ 。 E 単 MKSA 電場 E ′ 単 esu 電場 書い 式(112)

変形

2

211

2

m

cm

C

esu

10

4

4

1

MKSA

esu

⋅′

⋅′

πζπ

=

⋅′

r

q

E

電荷

電場

電場 (114)

式(62) 利用

262411

2

1010104

104

MKSA

esu

r

q

r

qE

′

′ζ=

′

′

×ζ××π

×πζ=

⋅′

−電場

電場 (115)

変形 式(113) 抜

)cm(dynesu10

)C (NMKSA 1216

1 −−

ζ= 電場電場 (116)

得 。 E E ′ 関係

EEE ′ζ=

⋅′=

610MKSA

esu

電場

電場 (117)

得 。 磁場 関 B 単 あ T B ′ 単 あ G 間

G10T 4= (118)

関係(式(92)) あ B B ′ 関係

BBB ′=

⋅′= −410T

G (119)

。最後 ∇ あ わ 書

zyxzyxeee

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ (120)

1-21

あ ∇ 単 m−1 ∇′ 単 cm−1 あ m−1 = 12 cm10 −−

∇′=

⋅∇′=∇

−

−2

1

1

10m

cm (121)

。 (式(117), (119), (121)) MKSA 系 式(式(111)) 代入

t∂

′∂−=′

ζ×∇′ − B

E 4

6

2 1010

10 (122)

t∂

′∂ζ

−=′×∇′B

E1

(123)

得 。 数値方程式 各文 Gauss 系 付 単 ∇′ cm−1, E ′12121 scmg −− , B ′ 12121 scmg −− , t s あ ζ cm s−1 いう単 付

。ζ 2.99792458 × 1010 いう数値 あ cm s−1 いう単 付

真空中 式(123) 物理 関係式 ζ c0 書 い1。

Gauss 系 表 Maxwell 方程式( う 式(13) あ )

tc ∂

′∂−=′×∇′

BE

0

1 (124)

得 。 結果 表 1 利用 式(7) Gauss 系 式 表 致

い 。

MKSA 系 Gauss 系 ン 法則式 比較 MKSA 系 書 式 Gauss

系 書 式 書 換え MKSA 系 式 現 4πε0 部分 1 置 換え

い いう う 対処療法 的方法 記 解説 目 あ 方法

い 険 あ わ あ う( 式(111) 4πε0 い 対処療法 使

え い)。逆 式 中 埋 い 1 見 到底 可能 あ 単

文 数 置 換え 式変形 考え い。

異 単 系 式 変換 例 MKSA 系 磁気 ン Gauss 系

表 考え 。電子 軌 角運動 l 磁気 ン MKSA 系

E−H対応 場合 う 表記 。

lme

0H

2m

eµ−= (E−H対応) (125)

e 電気素 (電子 電荷 大 e > 0 ) me 電子 質

あ 右辺 負号 電子 電荷 負 あ 対応 い 。式中 µ0 真空透磁率(4π ×

10−7 N A−2) あ Hm 単 N A−1 m2(= Wb m) あ 。 E−B対応 磁気

ン Bm 記

1 CGS esu 単 系 0c 大 101099792458.2 × あ 。

1-22

lme

B2m

e−= (E−B対応) (126)

単 E−H 対応 異 A m2 注意 。 E−H

対応 磁荷 01 µ 対応 Hm 01 µ 形 い

(式(40) 式(45)参照)。MKSA 系 磁気 ン 単 Wb m あ

Gauss 系 変換 Wb emu cm(= 121 cmdyn − ) 変換 い。Wb emu

変換 式(79) 得

cmemu4

10memu

4

10mWb

108

π=

π= (127)

H10HH10

4

mWb

cmemummm ′π

=

⋅′= (128)

得 。Gauss 系 電荷 い esu 用い 式(62)

esu10

Cζ

= (129)

eee ′ζ

=

⋅′=10

C

esu (130)

。質 me MKSA 系 kg Gauss 系 g あ kg = 103 g

e3

ee 10kg

gmmm ′=

′= − (131)

。 角運動 l MKSA 系 kg m2 s−1 Gauss 系 g cm2 s−1 あ

kg m2 s−1 = 107 g cm2 s−1

lll ′=

⋅′= −

−

−7

12

12

10smkg

scmg (132)

得 。式(128), (130), (131), (132) 式(125) 代入

lm ′′

′ζ×π

−=′π −

−

−7

e3

7

1010

10

10

2

104

10

4

m

e

(133)

整理

1-23

lm ′ζ′′

−=′m

e

2H (134)

得 。 文 単 付 考え ζ 真空中 c0 置 換え

最終的 Gauss 系 磁気 ン 表 式

lm ′′′

−=′0

H2 cm

e (135)

得 。式(135) 式(125) 物理 表 い 見

物理 思え い い異 形 い 。

以 う 単 数値 傾性 利用 希望 単 系 書 式表現 得

。最後 代表的 4 単 系 単 表 2 表 5 示 。

1-24

表 2. MKSA 単 系( 理 4 元系) (E−H対応)

物理量 記号 名称 単位

電荷 q ｸ ﾛ (C) C

誘電率 ε N−1 C2 m−2 kg−1 m−3 C2 s2

電場 E N C−1 kg m C−1 s−2 V m−1

電束密 D C m−2

極子 µ ※ C m

磁荷(磁気 ) qm ｪ ﾊ (Wb) N A−1 m kg m2 C−1 s−1 V s H A

磁束 Φ ｪ ﾊ (Wb) N A−1 m kg m2 C−1 s−1 V s H A

透磁率 µ N A−2 kg m C−2 Wb2 N−1 m−2 H m−1

磁場 H A m−1 N Wb−1

磁束密 B ｽ (T) N A−1 m−1 Wb m−2

磁気 Hm N A−1 m2 Wb m

真空透磁率： 0µ = 7104 −×π N A−2

真空誘電率： 0ε = )(1 200cµ = )4(10 211 πζ N−1 C2 m−2

0c 真空中 ( 元あ )。ζ cm s−1 単 真空中 値(無 元)。

E−H対応 B = H0 MH +µ E−B対応 H = B0 MB −µ ( HM , BM E−H対応

E−B対応 磁化)。

E−B対応 磁荷 ξ = 0m µq あ 単 A m。

Hm E−H対応 磁気 ン 。E−B対応 磁気 ン Bm = 0H µm 定義 単2mA 。

ン ン 単 ：H( ン ) = N m A−2 = kg m2 C−2 = V A−1 s = Wb A−1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

電荷：C( ン) = )10(ζ esu = )10(ζ Fr( ン ン)

磁束：Wb( バ) = 108 Mx( )

磁場：A m−1 = )104( 3π Oe( )

磁束密 ：T( ) = 104 G( )

※ 極子 ン 対 D( バ ) いう単 使わ あ D = C m い。D(

バ ) CGS esu 極子 ン 単 (esu cm) 対 D = 10−18 esu cm

定義 あ SI 単 い。D = 10−18 esu cm = )10)(10)(10( 218 −− ζ C m =

)10( 19 ζ− C m = 3.335640...×10−30 C m あ 。

1-25

表 3. CGS esu(CGS 静電単 系)(非 理 3 元系)

物理量 記号 名称 単位

電荷 q ﾌ ｸ (Fr) esu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1

誘電率 ε - - -

電場 E dyn esu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1

電束密 D dyn esu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1

極子 µ esu cm dyn1/2 cm2 g1/2 cm5/2 s−1

磁荷(磁気 ) qm dyn1/2 s g1/2 cm1/2

磁束 Φ dyn1/2 s g1/2 cm1/2

透磁率 µ cm−2 s2

磁場 H dyn1/2 s−1 g1/2 cm1/2 s−2

磁束密 B dyn1/2 cm−2 s g1/2 cm−3/2

磁気 m dyn1/2 cm s g1/2 cm3/2

真空誘電率： 0ε = 1 (無 元)

真空透磁率： 0µ = 201 c = 1.11265… × 10−21 cm−2 s2

1-26

表 4. CGS emu(CGS 電磁単 系)(非 理 3 元系)

物理量 記号 名称 単位

電荷 q dyn1/2 s g1/2 cm1/2

誘電率 ε cm−2 s2

電場 E dyn1/2 s−1 g1/2 cm1/2 s−2

電束密 D dyn1/2 cm−2 s g1/2 cm−3/2

極子 µ dyn1/2 cm s g1/2 cm3/2

磁荷(磁気 ) qm emu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1

磁束 Φ ﾏｸｽ ｪ (Mx) emu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1

透磁率 µ - - -

磁場 H ｽ (Oe) dyn emu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1

磁束密 B ｶ ｽ(G) dyn emu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1

磁気 m emu cm dyn1/2 cm2 g1/2 cm5/2 s−1

真空透磁率： 0µ = 1 (無 元)

真空誘電率： 0ε = 201 c = 1.11265… × 10−21 cm−2 s2

G( ) = Mx cm−2

電流 Bi( ) いう 称 単 あ 。Bi( ) = 10 A

1-27

表 5. Gauss 単 系(非 理 3 元系)

物理量 記号 名称 単位

電荷 q ﾌ ｸ (Fr) esu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1

誘電率 ε - - -

電場 E dyn esu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1

電束密 D dyn esu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1

極子 µ esu cm dyn1/2 cm2 g1/2 cm5/2 s−1

磁荷(磁気 ) qm emu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1

磁束 Φ ﾏｸｽ ｪ (Mx) emu dyn1/2 cm g1/2 cm3/2 s−1

透磁率 µ - - -

磁場 H ｽ (Oe) dyn emu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1

磁束密 B ｶ ｽ(G) dyn emu−1 dyn1/2 cm−1 g1/2 cm−1/2 s−1

磁気 m emu cm dyn1/2 cm2 g1/2 cm5/2 s−1

真空誘電率： 0ε = 1 (無 元)

真空透磁率： 0µ = 1 (無 元)

1-28

文献

1. 鈴木範人 塩高文 応用 学 II 朝倉書店 (1982 ) pp. 152～156

書 表 4.1 表 4.2 単 系 間 関係 い 。2 表 E−H

対応 E−B 対応 配慮 任意 単 系 電磁気学 理論式 簡単 知

素晴 い表 あ 。 (MKSA 系 ) 面 理想的

い いう う い い 述 MKSA系 指摘

新 い MKSP 系 いう単 系(＝MKSA 系 Gauss 系 長所 組 合わ 単 系) 紹

い 。

2. 広瀬立成 E H D B 共立出 (1981 ) pp. 23～36

書 p. 23 書 い う 電気的 磁気的 対応 第 考え

基本的 E−H対応 立場 書 書 映 い E−H対応

E−B対応 関係 関 寧 解説 あ 。

3. 世界大百科事典 凡社 (1972 )

見出 単 参照。専門書 い 電磁気単 系 寧 解説

い 。文献 1. 類似 表(第 2 表) 掲載 単 系 基本 定義

わ 記述 い 。 単 系 単 士 数値比 表(第 4 表)

他 例 見 い貴 本書 示 単 系間 式変換 機械的 行う場合

わ 効 あ 。 出 当 表 掲載 い い 注

意 必要 あ 1。

4. A. Sommerfeld(伊藤大 訳) 理論物理学講 3 電磁気学 講談社 (1982 ) pp.

433～441 (付録：初学者 準備)

単 測定値(数値) 傾的関係 般論 解説 電磁気学 理論式 各単 系 合わ

変換 独創的 方法 紹 い 。 式変形 方向 決

単純性 要請 曖昧 説得力 弱い 象 。( え Gauss 系

誘電率 透磁率 無 元 わ 式変換 出

物理 い あ い 逆 Gauss 系 変換

数値化 変数以外 定数部分 含 う必要 あ い

う 明確 記述 い い。)

1 筆者自身 掲載 確認 1972 4 25 日初 。

1-29

電磁気学 単 系

1983 10 3日 初 第1刷

1991 8 22日 第2 第1刷

1993 6 20日 第3 第1刷

1999 2 7日 第4 第2刷

2005 7 31日 第5 第6刷

2012 9 9日 第6 第3刷

2017 8 20日 第7 第2刷

著者 山﨑 勝義

行 漁火書店

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