1. Calculer la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle

2. Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle

3. Démontrer qu’un triangle est rectangle

4. Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

5. Des applications.

Théorème de Pythagore

Exercices d ’applications

LJN est un triangle rectangle en J tel que LJ=2,5 cm et JN=4 cm. Calculer LN.

On est ici dans le cas où on peut utiliser le théorème de

En effet on sait :

- les longueurs de 2 côtés dans ce triangle

- que LJN est un triangle rectangle

Pythagore pour calculer une longueur.

Voyons maintenant comment bien rédiger avec le théorème de Pythagore

LJN est un triangle rectangle en J tel que LJ=2,5 cm et JN=4 cm.

Calculer LN ( donner la valeur exacte, puis l ’arrondi au dixième).

2,5

cm

4 cm

?

J N

L

Je sais que le triangle LJN est rectangle en J

D ’après le théorème de Pythagore:

Si un triangle est rectangle alors

la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit

est égal au carré de la longueur de l’hypoténuse.

JL ² + JN ² = LN ²

On s’assure que le triangle est rectangle

On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle

LJN est un triangle rectangle en J tel que LJ=2,5 cm et JN=4 cm.

Calculer LN ( donner la valeur exacte, puis l ’arrondi au dixième).

2,5

cm

4 cm

?

J N

L

Je sais que le triangle LJN est rectangle en J

D ’après le théorème de Pythagore:

JL ² + JN ² = LN ²

2,5 ² + 4 ² = LN ²

6,25 + 16 = LN ²

LN ² = 22, 25

LN =

25,22

LN4,7 cm ( arrondi au dixième)

On s’assure que le triangle est rectangle

On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle

On reporte les valeurs connues dans cette égalité

est la valeur exacte de LN25,22Avec la calculatrice, on trouve 4,716…le chiffre des centièmes étant 1, on arrondit à 4,7

25,22

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=2,5 cm et AC=4,8cm. Calculer BC.

On est ici dans le cas où on peut utiliser le théorème de

En effet on sait :

- les longueurs de 2 côtés dans ce triangle

- que ABC est un triangle rectangle

Pythagore pour calculer une longueur.

Voyons maintenant comment bien rédiger avec le théorème de Pythagore

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=2,5 cm et AC=4,8cm.

Calculer BC ( donner la valeur exacte, puis l ’arrondi au dixième)

2,5

cm

?

4,8 cm

B C

A

Je sais que le triangle ABC est rectangle en B

D ’après le théorème de Pythagore:

Si un triangle est rectangle alors

la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit

est égal au carré de la longueur de l’hypoténuse.

BA² + BC² = AC ²

On s’assure que le triangle est rectangle

On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB=2,5 cm et AC=4,8cm.

Calculer BC ( donner la valeur exacte, puis l ’arrondi au dixième)

2,5

cm

?

4,8 cm

B C

A

Je sais que le triangle ABC est rectangle en B

D ’après le théorème de Pythagore:

On s’assure que le triangle est rectangle

On applique le théorème de Pythagore à ce triangle rectangleBA² + BC²= AC ²

2,5² + BC² = 4,8²

6,25 + BC² = 23,04

BC² = 23,04 – 6, 25

BC4,1 cm ( arrondi au dixième)

On reporte les valeurs connues dans cette égalité

Avec la calculatrice, on trouve 4,0975…le chiffre des centièmes étant 9, on arrondit à 4,1

79,16

est la valeur exacte de BC79,16BC² = 16,79

BC = 79,16

ROC est un triangle tel que RO=4,5cm, OC=2,4 cm et CR=5,1cm.

Démontrer que ce triangle est rectangle.

On est ici dans le cas où on peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore

En effet on sait :

- les longueurs des 3 côtés dans ce triangle

Voyons maintenant comment bien rédiger avec la réciproque du théorème de Pythagore

Dans un triangle,

Enoncé de la réciproque du théorème de Pythagore :

RC²si le carré du plus grand côté est égal

à la somme

alors ce triangle est rectangle.

des deux autres côtés,des carrés +² ²RO OC

Calculons donc RC² et RO²+OC²

ROC est un triangle tel que RO=4,5cm, OC=2,4 cm et CR=5,1cm.

Démontrer que ce triangle est rectangle. R C

O

5,1 cm

4,5 cm2,4 cm

ROC est un triangle tel que RO=4,5cm, OC=2,4 cm et CR=5,1cm.

Démontrer que ce triangle est rectangle. R C

O

5,1 cm

4,5 cm2,4 cm

Dans le triangle ROC

• RC ² = 5,1 ² = 26,01

• RO ²+OC ² = 4,5 ² + 2,4 ² = 20,25 + 5,76 = 26,01

On a donc RC ² = RO ² + OC ²

D ’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ROC est rectangle en O.

On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur.

On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

On constate l’égalité ; on cite la propriété appliquée pour conclure.

[RC] est le côté le plus long donc l ’hypoténuse donc O le sommet de l’angle droit.

ABC est un triangle tel que AB=4,5cm, AC=2,8 cm et BC=5,2cm.

Déterminer si ce triangle est rectangle.

On est ici dans le cas où on peut utiliser la réciproque ou la conséquence du théorème de Pythagore.

En effet on sait :

- les longueurs des 3 côtés dans ce triangle

Voyons maintenant comment bien rédiger

Dans un triangle,

Enoncé de la réciproque du théorème de Pythagore :

BC²si le carré du plus grand côté est égal

à la somme

alors ce triangle est rectangle.

des deux autres côtés,des carrés +² ²AB AC

Calculons donc BC² et AB²+AC²

ABC est un triangle tel que AB=4,5cm, AC=2,8 cm et BC=5,2cm.

Déterminer si ce triangle est rectangle. B C

A

5,2 cm

4,5 cm2,8 cm

ABC est un triangle tel que AB=4,5cm, AC=2,8 cm et BC=5,2cm.

Démontrer que ce triangle est rectangle. B C

A

5,2 cm

4,5 cm2,8 cm

Dans le triangle ABC

• BC ² = 5,2 ² = 27,04

• AB ²+AC ² = 4,5 ² + 2,8 ² = 20,25 + 7,84 = 28,09

On a donc BC ² AB ² + AC ²Par la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle ABC n ’est pas rectangle

On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur.

On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

En effet si le triangle était rectangle, d’après le théorème de Pythagore l ’égalité BC ² = AB ² + AC ² serait vraie. Or elle est fausse, donc le triangle n ’est pas rectangle.

Sommaire

Enoncé exercice 1 : le triangle est-il rectangle ?

Enoncé exercice 3 : dans une sphère.

Enoncé exercice 2 : une équation est nécessaire.

Enoncé exercice 4 : dans une pyramide.

Enoncé exercice 5 : dans un cube.

Voir les énoncés..

Menu

M H N

P

10cm 8cm

12cm

Le triangle MNP est-il rectangle ?

Il faudrait calculer MP ou MP² pour comparer MP² + NP² avec MN².Utilise le théorème (direct) de Pythagore pour calculer PH² puis PM².Tu pourras chercher une valeur approchée de PH et MP pour vérifier ton travail et ton dessin. Mais attention : l'égalité de Pythagore doit être exactement vérifiée. L'emploi de valeurs approchées ne prouvera rien puisque deux nombres presque égaux peuvent être différents !

M H N

P

10cm8cm

12cmLe triangle MNP est-il rectangle ?

Dans le triangle PNH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :PN² = NH² + HP²12² = 8² + HP²144 = 64 + HP²80 = HP²

Dans le triangle PMH rectangle en H, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :PM² = MH² + HP²PM² =10² + 80PM² = 100 + 80PM² = 180

Dans le triangle MNP, le côté le plus long est MN,

Je compareMN² = 18² MP² + PN² = 180 + 12²MN² = 324 MP² + PN² = 180 + 144

MP² + PN² = 324

Donc d ’après le théorème réciproque de Pythagore MNP est rectangle en P.

Un poteau électrique de 7,5 m de haut s ’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce

poteau s’est-il brisé ?

1,5 m

Appelons x la hauteur cherchée.

x

Si on suppose que le sol est horizontal et le poteau vertical alors le triangle ABC est rectangle en A.

A

B

C

BC s’exprime en fonction de x

BC = 7,5 - x Et l’égalité de Pythagore s’écrit

BC² = AC² + AB²(7,5 - x) ² = 1,5² + x²

suite

Aide pour résoudre l ’équation

1,5 m

x

A

B

C

BC² = AC² + AB²(7,5 - x) ² = 1,5² + x²

Le poteau s’est brisé à 3,6 m de haut.

-15 x = - 54x =-54 / (-15)x = 3,6

(7,5 - x )(7,5 - x) = 2,25 + x²56,25 - 7,5 x - 7,5 x + x² = 2,25 + x²

Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.

OB

C

A

Utilise le texte pourdéterminer les valeurs de OA, AC et OC.

Il faut réaliser un croquis

Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s ’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.

OB

C

A

30cm

10cm

5 cm

Il reste à appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle OBC.

OB² = OC² + CB²15² = 5² + OC²225 = 25 + OC²200 = OC²OC = 200

Le diamètre cherché est proche de 28,3 cm.

S

A

BC

D

SABCD est une Pyramide régulière de base carrée.

SA = AB = BC = CD = AD = 50 cmOn demande de calculer la hauteur

puis le volume en litres de cette pyramide.

I

S

A

BC

D

I

Trace la base ABCD :en réalité c'est un carré, mais en perspective il faut dessiner un parallélogramme.

Trace le centre I du parallélogramme.

Trace une hauteur IS.

Trace les arêtes.

Tu peux réaliser plusieurs dessins en faisant varier - l'angle BÂD - la longueur SI.

Compare ces différents croquis !

Tracé de la pyramide régulière.

S

A

BC

D

I

ABCD est un carré !Calcule AC puis AI.

ABC est un triangle rectangle et isocèle en B, l ’égalité de Pythagore s ’écrit :AC² = AB² + BC²AC² = 50 ² + 50²AC² = 5000

cm71,705000AC

Donc cm36,3550002

1AI

50 cm

S

A

BC

D

I

50 cm

ABCD est un carré contenu dans un plan horizontal et SI est une droite verticale, donc :

SIB est un triangle rectangle en I, et l ’égalité de Pythagore s ’écrit :SB² = SI² + IB²

)²50002

1(²SI50²

Les diagonales d ’un carré ont la même longueur et ont même milieu, donc AI = IB.

²SI4

5000-2500

cm3,431875SI

Finalement SIAB²3

1V 1875²50

3

1V

litres.3636084 3 cmV

S

A

BC

D

I

4 cm

Construire une pyramide régulière de base carrée 4 cm et de hauteur 5 cm !

5 cm

Indications :Calculer AI puis SA.

Il faudra prendre SA proche de 4,65cm

On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm.

A B

C

Le triangle ABC est (isocèle et ) rectangle en B, la relation de Pythagore s ’écrit :AC² = AB² + BC².... 50AC

D

Le triangle ACD est rectangle en C, la relation de Pythagore s’écrit :AD² = AC² + CD².....

cm7,875AD

(3x - 2) x (4x-3)

Tu dois penser

= 3x x 4x + 3x x (-3) + (-2 ) x 4x + (-2) x (-3)

Pour écrire directement (sans écrire ce que tu penses)

(3x - 2)(4x-3) = 12x²

Et calculer mentalement 3x x 4x ; 3x x (-3) ; (- 2) x 4x ; (-2) x (-3)

Pour développer un produit du type (3x - 2)(4x-3)

= 12x² - 17 x +6

12x² -8x-9x +6

- 9x - 8 x + 6

5x - 3 = 2 - 4x 5x -3 + 3 + 4x = 2 - 4x + 3 + 4x

9x = 55x - 3 = 2 - 4x

Réduis l'équation pour obtenir une forme simple du type

5x + 4x = 2 + 3

9x = 5

+4x +3 +4x+3 donc

En divisant par 99

5x

Pense ou

écris

MH

N

P

10cm 8cm

12cmLe triangle MNP est-il rectangle ?

Un poteau électrique de 7,5 m de haut s’est brisé. Son extrémité se trouve à 1,5m de son pied. A quelle hauteur ce poteau s’est-il brisé ?

1,5 m

Une balle de 30 cm de diamètre flotte dans un bassin. Sachant qu’elle s’est enfoncée de 10 cm, on demande de calculer le diamètre du cercle délimité à la surface de l ’eau par la balle.

SABCD est une Pyramide régulière de base carrée.SA = AB = BC = CD = AD = 50 cmOn demande de calculer la hauteur puis le volume en litres de cette pyramide.

On demande de calculer la diagonale intérieure d ’un cube de coté 5cm.

S

A

BC

D

I

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