1 Algèbre et géométrie - Jérôme Nicolas" · 2012-2013 Correction Banque CCP MP MP Eléments...

2012-2013 Correction Banque CCP MP MP

Elements de correction des exercices de la banque CCP MP

Ce document donne des elements de correction de la totalite des exercices de la banque CCP en section MP. La numerotation desexercices et la retranscription des enonces sont fideles a l’original. L’exercice 1.6 renvoie a l’exercice 6 de la partie algebre et geometrie alorsque l’exercice 2.7 renvoie a l’exercice 7 de la partie analyse de la banque CCP.S’agissant d’une premiere version, il y a inevitablement dans ce document de nombreuses erreurs typographiques, des maladresses dans lesredactions et sans doute un bon nombre d’etourderies. Merci de me les signaler. Pour toutes remarques : [email protected] version telechargeable ici : http ://jnicolas.fr

1. Pour trouver l’enonce de l’exercice 24 d’algebre dans le fichier source Latex, rechercher la chaıne de caractere %24 dans le fichier.

2. Pour trouver l’enonce de l’exercice 24 d’analyse dans le fichier source Latex, rechercher la chaıne de caractere %A24 dans le fichier.

Table des matieres

1 Algebre et geometrie 1

2 Analyse 28

1 Algebre et geometrie

Exercice 1.1Soit θ ∈ R et n ∈ N∗. Decomposez en produit de polynomes irreductibles dans C[X] puis dans R[X] le polynome :

P = X2n − 2Xn cos(nθ) + 1.

Elements de correction : Le polynome X2 − 2 cos(nθ)X + 1 a pour racines einθ et e−inθ donc

X2n − 2Xn cos(nθ) + 1 = (Xn − einθ)(Xn − e−inθ).

Le polynome Xn − einθ a pour racines eiθ+2kπi/n avec k ∈ J0, n − 1K et celles de Xn − e−inθ s’en deduisent parconjugaison.

1. Si nθ /∈ πZ, alors la decomposition en facteurs irreductibles dans C[X] est

X2n − 2Xn cos(nθ) + 1 =n−1∏

k=0

(X − eiθ+2kπi/n)(X − e−iθ−2kπi/n).

Pour la decomposition en facteurs irreductibles dans R[X], on regroupe les facteurs conjugues entre eux. Onobtient

X2n − 2Xn cos(nθ) + 1 =n−1∏

k=0

(

X2 − 2X cos(θ +2kπ

n) + 1

)

.

2. Si nθ ∈ 2πZ, alors P = (Xn − 1)2 =n−1∏

k=0

(X − ei2kπ

n )2 (decomposition en facteurs irreductibles dans C[X]). Pour

la decomposition en facteurs irreductibles dans R[X], on doit discuter selon la parite de n.– Si n est pair, en posant n = 2p, on a en regroupant les facteurs conjugues :

P = (X − 1)2(X + 1)2p−1∏

k=1

(

X2 − 2X cos

(kπ

p

)

+ 1

)2

(decomposition en facteurs irreductibles dans R[X]).

– Si n est impair, en posant n = 2p+ 1, on a

P = (X − 1)2p∏

k=1

(

X2 − 2X cos

(2kπ

2p+ 1

)

+ 1

)2


3. Si nθ ∈ π+2πZ, alors P = (Xn+1)2 =n−1∏

k=0

(X−ei(2k+1)π

n )2 (decomposition en facteurs irreductibles dans C[X]).

Pour la decomposition dans R[X], on doit discuter selon la parite de n.– Si n est pair, en posant n = 2p, on a en regroupant les facteurs conjugues :

P =

p−1∏

k=0

(

X2 − 2X cos

((2k + 1)π

2p

)

+ 1

)2


– Si n est impair, en posant n = 2p+ 1, on a

P = (X + 1)2p−1∏

k=0

(

X2 − 2X cos

((2k + 1)π

2p+ 1

)

+ 1

)2


1


Exercice 1.2On considere les polynomes P = 3X4 − 9X3 + 7X2 − 3X + 2 et Q = X4 − 3X3 + 3X2 − 3X + 2.

1. Decomposez P et Q en facteurs premiers sur R[X], puis sur C[X] (on pourra calculer les valeurs de P et de Qen 1 et en 2).

2. Determinez le ppcm et le pgcd des polynomes P et Q.

Elements de correction :

1. On obtient P (1) = P (2) = 0. Ainsi (X−1)(X−2)|P . Il existe donc α, β ∈ R tels que P = 3(X−1)(X−2)(X2+

αX +β). On trouve par identification : P = 3(X − 2)(X − 1)(X2 +1

3) qui est la decomposition de P en facteurs

irreductibles dans R[X]. Dans C[X], on obtient P = 3(X − 2)(X − 1)(X − i√3)(X +

i√3).

En procedant de la meme facon pour Q, on obtient comme decomposition dans R[X], Q = (X−2)(X−1)(X2+1).Dans C[X], cela donne Q = Q = (X − 2)(X − 1)(X + i)(X − i).

2. Le pgcd de P et de Q est (X − 2)(X − 1). Le ppcm de P et de Q est (X − 2)(X − 1)(X2 + 1)(3X2 + 1).

Exercice 1.3On considere les polynomes de C[X] suivants : P = 2X4 − 3X2 + 1 et Q = X3 + 3X2 + 3X + 2.

1. Decomposez en facteurs premiers P dans C[X] (on pourra calculer les valeurs de P en 1 et en −1).

2. Decomposez en facteurs premiers Q dans C[X] (on pourra calculer la valeur de Q en −2).

3. (a) Deduisez des questions 1. et 2. qu’il existe U et V tels que PU +QV = 1.

(b) Indiquez une methode pour determinez deux polynomes U et V en utilisant l’algorithme d’Euclide.


1. Puisque P (1) = P (−1) = 0, on obtient P = (X − 1)(X + 1)(2X2 − 1), c’est a dire P = 2(X − 1)(X + 1)(X −1√2)(X +

1√2).

2. Puisque Q(−2) = 0, on obtient Q = (X + 2)(X2 + X + 1), c’est a dire Q = (X + 2)(X + j)(X + j2), ou

j = e2πi/3 = −1

2+ i

√3

2.

(a) On constate que le pgcd de P et de Q est egal a 1. D’apres le theoreme de Bezout, il exite U, V ∈ C[X] telsque PU +QV = 1.

(b) Apres calculs des remontees dans l’algorithme d’Euclide, on trouve U =−1

63(8X2 + 23X + 11) et V =

1

63(16X3 − 2X2 − 44X + 37).

Exercice 1.4On considere la fraction rationnelle R =

X5 +X4

(X − 2)2(X + 1)2.

1. Decomposer R en elements simples.

2. Determiner les primitives de la fonction x 7→ R(x) sur ]− 1, 2[.


1. On trouve :

R = X + 3 +16

3(X − 2)2+

80

9(X − 2)+

1

9(X + 1).

Attention a ne pas oublier la partie entiere !

2. Sur ]− 1, 2[, on obtient les fonctions primitives F de x 7→ R(x) (qui est continue) :

F (x) =x2

2+ 3x− 16

3(x− 2)+

80

9ln |x− 2|︸︷︷︸

2−x

+1

9ln(x+ 1) + C, C ∈ R.

Exercice 1.5Soit E l’espace vectoriel des polynomes a coefficients dans K (= R ou C) de degre inferieur ou egal a n et f l’endor-morphisme de E defini par : f(P ) = P − P ′.

1. Demontrez que f est bijectif de deux manieres :

2


(a) sans utiliser de matrice de f ,

(b) en utilisant une matrice de f .

2. Soit Q ∈ E. Trouvez P tel que f(P ) = Q. Indication : si P ∈ E, quel est le polynome P (n+1) ?


1. (a) Soit P ∈ E tel que P − P ′ = 0. En introduisant le degre de P , on trouve que P = 0. L’endomorphisme fde E est injectif et donc bijectif puisqu’on est en dimension finie.

(b) Soit (1, X, ...,Xn) la base canonique de E. On a f(1) = 0 et pour tout k ∈ J1, nK, f(Xk) = Xk − kXk−1.La matrice A de f dans la base (1, X, ...,Xn) est donc donnee par

A =

1 −1 (0). . .

. . .

. . . −n(0) 1

.

La matrice A est triangulaire superieure et det(A) = 1 6= 0 donc A ∈ GLn+1(K). On retrouve donc que fest bijective.

2. Soit Q ∈ E donne. Puisque f est bijective, il exite un unique P ∈ E tel que f(P ) = Q.En derivant la relation P − P ′ = Q, on obtient pour tout k ∈ J0, nK, P (k) − P (k+1) = Q(k). Par somme de k = 0

a n, on obtient P − P (n+1)︸︷︷︸

=0

=

n∑

k=0

Q(k).

Exercice 1.6Soit la matrice A =

(1 22 4

)

et f l’endomorphisme de M2(R) defini par : f(M) = AM .

1. Determinez ker(f).

2. f est-il surjectif ?

3. Trouvez une base de ker(f) et une base de Im(f).


1. M =

(a bc d

)

∈ ker f ⇐⇒ f(M) = 0 ⇐⇒ (a = −2c et b = −2d). Ainsi, ker(f) = V ect

(−2 01 0

)

︸︷︷︸

A1

,

(0 −20 1

)

︸︷︷︸

A2

,

et en particulier dimker(f) = 2.

2. L’endomorphisme f n’est pas surjectif car ker(f) n’est pas reduit a la matrice nulle.

3. Si M =

(a bc d

)

, on obtient

f(M) = (a+ 2c)

(1 02 0

)

︸︷︷︸

A3

+(b+ 2d)

(0 10 2

)

︸︷︷︸

A4

.

(A1, A2) est une base de ker(f) et (A3, A4) est une base de Im(f).

Exercice 1.71. Demontrez que si A et B sont deux matrices carrees d’ordre n alors AB et BA ont meme trace.

2. Deduisez-en qu’en dimension finie, toutes les matrices d’un meme endomorphisme ont meme trace.

3. Demontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k ∈ N, Ak et Bk ont meme trace.


1. Soit A = (aij), B = (bij) ∈ Mn(K). On a

Tr(AB) =n∑

k=1

(AB)kk =n∑

k=1

n∑

j=1

akjbjk =n∑

j=1

n∑

k=1

bjkakj =n∑

j=1

(BA)jj = Tr(BA).

3


2. Soit B,B′ des bases de E espace vectoriel de dimension finie. Alors

MatB(f) = MatB(B′)︸︷︷︸

P

MatB′(f)MatB′(B)︸︷︷︸

P−1

.

Ainsi, Tr(MatB(f)) = Tr(P (MatB′(f)P−1)) = Tr(MatB′(f)P−1P ) = Tr(MatB′(f)). Des matrices semblablesont donc meme trace.

3. Si A etB sont semblables, il existe une matrice inversible P tel que A = PBP−1. Pour tout k ∈ N, Ak = PBkP−1.Donc Ak et Bk sont aussi semblables et ont donc meme trace.

Exercice 1.8On note Mn(C) l’espace vectoriel des matrices carrees d’ordre n a coefficients complexes. Pour A = (aij) ∈ Mn(C),on pose ||A|| = sup

1≤i,j≤n|aij |.

1. Demontrez que ||AB|| ≤ n||A||.||B||, puis que pour tout entier p ≥ 1, ||Ap|| ≤ np−1||A||p.

2. Demontrez que, pour toute matrice A ∈ Mn(C), la serie∑ Ap

p!est absolument convergente. Est-elle conver-

gente ?


1. Soit A = (aij), B = (bij) ∈ Mn(C).Pour tout i, j ∈ J1, nK, |(AB)ij | ≤

∑nk=1 |aik|.|bkj | ≤ ||A||.||B||∑n

k=1 1 ≤ n||A||.||B|| . On a donc bien prouve||AB|| ≤ n||A||.||B||. Avec en particulier B = A, on obtient ||A2|| ≤ n||A||2 et une recurrence immediate donnele resultat cherche.

2. Pour tout entier p, ||Ap

p!|| ≤ 1

n

(n||A||)pp!

et la serie de nombres reels∑

p

(n||A||)pp!

est convergente (comme serie

exponentielle) donc∑ Ap

p!est absolument convergente.

Puisque Mn(C) est un espace vectoriel de dimension n2, on sait qu’il est complet et l’absolue convergenceimplique la convergence.

Exercice 1.9Soit Φ l’endomorphisme de Rn[X] defini par Φ : P (X) 7→ P (X)− P (X − 1).Donnez la matrice de Φ dans la base canonique de Rn[X] et deduisez-en ImΦ et kerΦ.

Elements de correction : Soit A ∈ Mn+1(R) la matrice de de Φ dans la base canonique de Rn[X]. On a Φ(1) = 0.La premiere colonne de A est nulle.

Pour tout k ∈ J1, nK, Φ(Xk) = Xk−(X−1)k = −k−1∑

j=0

(−1)k−j

(kj

)

Xj . A est donc une matrice triangulaire strictement

superieure (tous les termes de la diagonale sont nuls) de coefficients aij = (−1)j−i+1

(j − 1i− 1

)

si j > i et 0 sinon.

On obtient ainsi kerΦ = V ect1 = λ.1, λ ∈ R.On a aussi ImΦ = V ect(Φ(X), ...,Φ(Xn)) = Rn−1[X].

Exercice 1.10Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f, g deux endomorphismes de E tels que : f g = Id.

1. Demontrer que : ker(g f) = ker(f).

2. Demontrer que : Im(g f) = Im(g).

3. Demontrer que : E = ker(f)⊕ Im(g).

Elements de correction : Bien noter qu’on ne suppose pas E de dimension finie ce qui exclu l’utilisation dutheoreme du rang et que f et g ne sont pas supposes commuter.

1. On a l’inclusion triviale ker(f) ⊂ ker(g f) toujours vraie pour deux endomorphismes f et g. On va montrerl’inclusion inverse.Soit x ∈ ker(g f). On a alors f (g(f(x)))

︸︷︷︸

=0

= f(0) = 0. Mais l’hypothese f g = Id permet d’ecrire f (g(f(x))) =

f(x). Ainsi f(x) = 0 et x ∈ ker(f).On a bien ker(f) = ker(g f) par double inclusion.

4


2. On a cette fois l’inclusion triviale Im(g f) ⊂ Im(g) toujours vraie.Soit y ∈ Im(g). Il existe x ∈ E tel que y = g(x). Mais puisque f g = Id, on a aussi x = f(g(x)) et alorsy = g(f(g(x))) ∈ Im(g f).On a bien Im(g f) = Im(g) par double inclusion.

3. Soit on remarque que (g f)2 = g (f g) f = g f , donc g f est un projecteur ce qui implique E =ker(g f)⊕ Im(g f), d’ou le resultat voulu d’apres les questions precedentes.Soit on redemontre a la main la propriete du projecteur :– Soit x ∈ ker(f) ∩ Im(g). On a alors f(x) = 0 et il existe z ∈ E tel que x = g(z). Cela implique 0 = f(x) =f(g(z)) = z car f g = Id. Puisque z = 0, on a ausi x = g(0) = 0. Ainsi ker(f) ∩ Im(g) = 0.

– Pour tout x ∈ E, on ax = (x− g(f(x))) + g(f(x))

︸︷︷︸

∈Im(g)

.

On verifie aisement que x−g(f(x)) ∈ ker(f). En effet f(x−g(f(x))) = f(x)− (f g)(f(x)) = f(x)−f(x) = 0.Puisque E = ker(f) + Im(g) et ker(f) ∩ Im(g) = 0, on a bien E = ker(f)⊕ Im(g)

Exercice 1.11Soit un entier n ≥ 1. On considere la matrice carree d’ordre n a coefficients reels :

A =

2 −1 0 . . . 0

−1 2 −1. . .

...

0 −1. . .

. . . 0...

. . .. . . 2 −1

0 . . . 0 −1 2

.

Pour n ≥ 1, on designe par Dn le determinant de A.

1. Demontrez que Dn+2 = 2Dn+1 −Dn.

2. Determinez Dn en fonction de n.

3. Justifiez que la matrice A est diagonalisable. Le reel 0 est-il valeur propre de A ?


1. En developpant par rapport a la premiere ligne, on obtient la relation voulue.

2. On est en presence d’une suite recurrente lineaire d’ordre 2. L’equation caracteristique associee r2 − 2r + 1 = 0admet r = 1 pour racine double. Pour tout n ≥ 1, on a donc Dn = (λn + µ)1n = (λn + µ). Pour n = 1, ona D1 = 2 = λ + µ. Pour n = 2, on a D2 = 3 = 2λ + µ. On obtient λ = 1 et µ = 1. Ainsi, pour tout n ≥ 1,Dn = n+ 1.

3. A est une matrice symetrique reelle donc elle est diagonalisable. Pour tout n ≥ 1, Dn 6= 0 donc 0 n’est pas dansle spectre de A.

Exercice 1.12Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R, (ei) une base de E et v1, v2, ..., vn n vecteurs de E.

1. Demontrez qu’il existe un unique endomorphisme f de E tel que,

∀i ∈ 1, ..., n, f(ei) = vi.

2. On note L(E) l’espace vectoriel des endomorphismes de E, et Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carreesn × n a coefficients reels. Pour tout u ∈ L(E), on pose : ϕ(u) = Mat(ei)u (Mat(ei)u designant la matrice de udans la base (ei)).

(a) Demontrez que l’application ϕ de L(E) dans Mn(R) est lineaire et bijective.

(b) Determinez la dimension de l’espace vectoriel L(E).


1. – Existence : pour tout x ∈ E tel que x =

n∑

i=1

xiei, on pose f(x) =

n∑

i=1

xivi. L’application f est lineaire et

convient.

5


– Unicite : Soit f, f ′ deux endomorphismes de E verifiant la condition. Puisque f et f ′ sont egaux sur une basede E, ils le sont sur E en entier.

2. (a) – La linearite de ϕ est triviale et ne pose aucun probleme.– Montrons que ϕ est bijective. Soit M ∈ Mn(R) dont on note C1, C2, ...Cn les colonnes. On appelle vi levecteur de coordonnees dans la base (ei) la colonne Ci. En utilisant la question 1., on trouve qu’il existeun unique endomorphisme f de E tel que ϕ(f) = M .

(b) Puisque ϕ : L(E) → Mn(R) est un isomorphisme d’espaces vectoriels, Mn(R) etant de dimension n2, on aaussi dim(L(E)) = n2.

Exercice 1.13Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R. On note L(E) l’ensemble des endomorphismes de E et Mn(R)l’ensemble des matrices carrees n× n a coefficients reels. On admet que L(E) muni des lois + et est un anneau, etque Mn(R) muni des lois + et × est un anneau.

1. Precisez l’element neutre pour la loi dans L(E) et l’element neutre pour la loi × dans Mn(R).

2. (ei) designant une base de E, on pose, pour tout u ∈ L(E), on pose : ϕ(u) = Mat(ei)u (Mat(ei)u designant lamatrice de u dans la base (ei)).

(a) Demontrez que ϕ est un isomorphisme d’anneau de L(E) dans Mn(R).

(b) Demontrez que, pour tout u ∈ L(E), Mat(ei)(u u ... u︸︷︷︸

n fois

) = (Mat(ei)u)n.


1. L’element neutre pour la loi dans L(E) est l’application idE definie pour tout x ∈ E par idE(x) = x. L’elementneutre pour la loi × dans Mn(R) est In = Diag(1, 1, ..., 1).

2. (a) ϕ est un isomorphisme d’espaces vectoriels (voir exercice 1.12).Puisque pour u, v ∈ L(E), on a la relation Mat(ei)(uv) = Mat(ei)(u)Mat(ei)(v), on a ϕ(uv) = ϕ(u)ϕ(v).Enfin ϕ(idE) = In.ϕ est donc bien un isomorphisme d’anneaux.

(b) On a pour tout u ∈ L(E), Mat(ei)(u u ... u︸︷︷︸

n fois

) = ϕ(u u ... u) = ϕ(u)ϕ(u)...ϕ(u) = (Mat(ei)u)n par

la propriete ϕ(u v) = ϕ(u)ϕ(v) appliquee a v = u et iteree.

Exercice 1.14Soit E un espace vectoriel de dimension n.

1. Soit e1, ..., en une base de E. Demontrez que pour tout i = 2, 3, ..., n, e1 + ei, e2, ..., en est une base de E.

2. Determinez tous les endomorphismes de E dont la matrice est diagonale dans toute base de E.


1. La famille e2, ..., en est libre et puisque pour tout i = 2, 3, ..., n, e1 /∈ V ecte2, ..., en, e1 + ei, e2, ..., en estune base de E en tant que famille de libre de n vecteurs dans une espace de dimension n.On peut aussi remarquer que pour i ≥ 2,

det(e1,...,en)

(e1 + ei, e2, ..., en) = det(e1,...,en)

(e1, e2, ..., en) + det(e1,...,en)

(ei, e2, ..., en) = 1 + 0 = 1 6= 0,

car ei ∈ V ect(e2, ..., en). On retrouve le fait que e1+ ei, e2, ..., en est une base de E en tant que famille de librede n vecteurs dans une espace de dimension n.

2. Soit u un endomorphisme de E dont la matrice est diagonale dans toutes les bases deE . PosonsMate1,...,en(u) =Diag(λ1, ..., λn).

Pour i ≥ 2 fixe, dans la base e1, ..., en, la matrice de u est aussi diagonale. Il existe donc un scalaire α tel queu(e1 + ei) = α(e1 + ei). On a donc λ1e1 + λiei = α(e1 + ei), soit par identification puisque e1, ei est libre,α = λ1 = λi. En faisant varier i de 2 a n, on obtient λ1 = λ2 = ... = λn. Il existe donc un sclaire λ tel queu = λIE . Les homotheties sont donc les seuls endomorphismes verifiant cette propriete.

Exercice 1.15Soit f un endormphisme d’un espace vectoriel E de dimension n.

6


1. Demontrez que E = Im f ⊕ ker f =⇒ Im f = Im f2.

2. (a) Demontrez que Im f = Im f2 ⇐⇒ ker f = ker f2.

(b) Demontrez que Im f = Im f2 =⇒ E = Im f ⊕ ker f .

Elements de correction : Notons que pour tout endomorphisme u d’un espace vectoriel (de dimension quelconque),on a toujours les inclusions Imu2 ⊂ Imu et keru ⊂ keru2.

1. Supposons E = Im f ⊕ ker f et montrons Im f = Im f2. Soit y ∈ Im f et x ∈ E tel que f(x) = y. Par hypothese,x s’ecrit x = x′ + x′′ avec x′ ∈ Im f et x′′ ∈ ker f . Il existe donc z ∈ E tel que x′ = f(z) et x = f(z) + x′′.D’ou y = f(f(z)) + f(x′′) = f2(z) ∈ Imf2. On a donc Imf ⊂ Im f2 et finalement Imf = Im f2 puisque l’autreinclusion est toujours verifiee.

2. (a) En dimension finie, les conditions ker f = ker f2 et Im f = Im f2 sont equivalentes puisque d’apres letheoreme du rang

dim(ker f) + dim(Im f) = dim(ker f2) + dim(Im f2) = dim(E).

(b) Supposons donc Im f = Im f2, c’est a dire ker f = ker f2 et montrons E = Im f⊕ker f . Soit y ∈ Im f∩ker f .Il existe x ∈ E tel que y = f(x). Comme f(y) = 0, on a f2(x) = 0 et x ∈ ker f2 = ker f . Ainsi y = f(x) = 0.Donc Im f et ker f sont en somme directe et le theoreme du rang permet de conclure que E = Im f ⊕ ker f .

Exercice 1.16N.B : Les deux questions sont independantes.

1. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E . On note L(E) l’ensemble des

endomorphismes de E. Demontrez que, dans L(E), la famille Id, f, f2, ..., fn2 est liee et deduisez-en que fadmet un polynome annulateur non identiquement nul.

2. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie et λ une valeur propre de f .Demontrez que, si P est un polynome annulateur de f alors : P (λ) = 0.


1. La famille Id, f, f2, ..., fn2 comporte n2 + 1 vecteurs de l’espace L(E) qui est de dimension n2. Cette famille

est donc liee. Une relation de liaison (a coefficients non tous nuls) sur les elements de Id, f, f2, ..., fn2 fournitun polynome annulateur non nul de f .

2. Soit x 6= 0 un vecteur propre de f associe a la valeur propre λ. On a f(x) = λx et par recurrence immediate, pourtout n ∈ N, fn(x) = λnx. Par linearite, on obtient pour tout P ∈ K[X], P (f)(x) = P (λ)x. Si P est annulateurpour f , alors P (λ)x = 0 et puisque x 6= 0, on obtient P (λ) = 0.

Exercice 1.17Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E sur le corps K(= R ou C). On note K[X] l’ensemble des polynomesa coefficients dans K.

1. Demontrez que :∀(P,Q) ∈ K[X]×K[X], (PQ)(u) = P (u) Q(u).

2. (a) Demontrez que : ∀(P,Q) ∈ K[X]×K[X], P (u) Q(u) = Q(u) P (u).

(b) Demontrez que pour tout ∀(P,Q) ∈ K[X]×K[X] :

(P polynome annulateur de u) =⇒ (PQ polynome annulateur de u).

3. Soit A =

(−1 −21 2

)

. Ecrivez le polynome caracteristique de A, puis deduisez-en que le polynome R = X4 +

2X3 +X2 − 4X est un polynome annulateur de A.


1. On definit pour k ∈ N le polynome ek ∈ K[X] par ek(X) = Xk. On a clairement pour j, k ∈ N, (ekej)(X) =XkXj = Xk+j . Puisque toutes les puissances de u commutent entre elles, on a (ekej)(u) = (ek)(u) ej(u). Larelation s’etend a tout couple de polynomes (P,Q) ∈ K[X] × K[X] par linearite. Autrement dit, l’applicationϕu : K[X] ∋ P 7→ P (u) ∈ L(E) est un morphisme de K-algebres.

2. (a) Soit (P,Q) ∈ K[X]×K[X]. On a PQ=QP donc P (u) Q(u) = (PQ)(u) = (PQ)(u) = Q(u) P (u).

7


(b) Soit P un polynome annulateur de u et Q ∈ K[X]. Alors :

(PQ)(u) = (QP )(u) = Q(u) P (u) = Q(u) 0L(E) = 0L(E).

PQ est donc aussi un polynome annulateur de u.

3. Le polynome caracteristique χA de A est χA = X(X − 1). Par le theoreme de Cayley-Hamilton, on sait queχA(A) = 0. On remarque que R(0) = R(1) = 0, donc χA|R. On trouve R = X4 + 2X3 +X2 − 4X = χA(X

2 +3X + 4). Ainsi R est aussi un polynome annulateur de A d’apres la question precedente.

Exercice 1.18Soit E l’ensemble des matrices de la forme M(a, b) =

(a b−b a

)

ou a et b sont des nombres reels.

1. Demontrer que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de M2(R). Quelle est sa dimension ?

2. On pose ϕ(a + ib) = M(a, b). Demontrer que ϕ est un isomorphisme d’espaces vectoriels de C sur E, C etantconsidere comme un espace vectoriel de dimension 2 sur R.Est-il un isomorphisme d’anneaux.


1. – Soit A =

(0 1−1 0

)

= M(0, 1). On a clairement E = V ect(Id,A) donc E est un sev de M2(R) (remarquer que

Id = M(0, 1) ∈ E). Puisque Id,A est une base de E, on sait que dim(E) = 2.

– (E,+) est un sous-groupe de M2(R) et Id ∈ E. Soit Mi =

(ai bi−bi ai

)

pour i ∈ 1, 2. Alors

M1M2 =

(a1a2 − b1b2 a1b2 + b1a2

−(a1b2 + b1a2) a1a2 − b1b2

)

∈ E.

E est donc bien un sous-anneau de M2(R).

2. – ϕ : C → E est lineaire (au sens des espaces vectoriels) et injective. Puisque dimR(C) = dim(E) = 2, c’est unisomorphisme.

– On verifie sans peine que si Mi =

(ai bi−bi ai

)

avec i ∈ 1, 2, alors

ϕ((a1 + ib1)(a2 + ib2)) = ϕ(a1 + ib1)ϕ(a2 + ib2).

On a deja vu que ϕ((a1 + ib1) + (a2 + ib2)) = ϕ(a1 + ib1) + ϕ(a2 + ib2), et ϕ(1 + 0i) = Id. On a donc bien unisomorphisme d’anneaux.

Exercice 1.19p designe un entier naturel non nul. On considere dans Z la relation d’equivalence R definie par : xRy ⇔ ∃k ∈ Z telque x− y = kp.On note Z/pZ l’ensemble des classes d’equivalence pour cette relation R.

1. Quelle est la classe d’equivalence de 0 ? Quelle est celle de p ?

2. Donner soigneusement la definition de l’addition usuelle et de la multiplication usuelle dans Z/pZ.

3. On admet que muni de ces operations, Z/pZ est un anneau.Demontrer que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier.


1. On obtient immediatement Cl(0) = Cl(p) = pZ, ou Cl(.) denote la classe d’equivalence relative a la relation R2. Pour x, x′ ∈ Z, on pose : Cl(x + x′) = Cl(x) + Cl(x′) et Cl(xx′) = Cl(x)Cl(x′). On doit s’assurer que les

operations sont bien definies (c’est a dire qu’elles ne dependent pas des representants des classes).

3. On peut sans effort montrer un peu mieux a savoir pour p entier naturel non nul : Cl(x) inversible dans Z/pZ ⇔ xet p sont premiers entre eux. En effet, soit x ∈ Z. On a :Cl(x) inversible dans Z/pZ ⇔ ∃α ∈ Z tel que Cl(αx) = Cl(1). Cette derniere proposition est equivalente al’existence de β ∈ Z tel que αx+ βp = 1.D’apres le theoreme de Bezout : Cl(x) inversible dans Z/pZ ⇔ x et p sont premiers entre eux. On obtient p estpremier si et seulement si Z/pZ est un corps.

8


Exercice 1.20Soit Sn l’ensemble des permutations de l’ensemble constitue par les n premiers entiers non nuls 1; 2; ...;n.

1. Demontrez que, muni de la loi , Sn est un groupe.

2. On note σ l’element de S8 defini de la maniere suivante :

(1 2 3 4 5 6 7 85 4 1 7 8 6 2 3

)

l’image de chaque terme de la premiere ligne etant ecrit juste en dessous.

(a) Demontrez que la permutation σ est egale a la composee de deux cycles que l’on precisera.

(b) On note σn la permutation σ σ ... σ︸︷︷︸

n fois

.

Determinez σ12, σ24, σ4, et σ2016.


1. Tout element σ de Sn est une application bijective de 1; 2; ...;n dans 1; 2; ...;n. La composee de deux bijectionsest une bijection, donc est une loi interne de Sn. La composition des applications etant associative, est doncune loi associative sur Sn. L’application identite idn de 1; 2; ...;n dans 1; 2; ...;n est un element de Sn. Toutelement de Sn admet un inverse dans Sn (sa bijection reciproque). (Sn, ) est donc un groupe.

2. (a) Tout element de Sn s’ecrit facon unique (a l’ordre pres des cycles) comme une composee de cycles a supportsdisjoints (qui commutent donc entre eux). On a ainsi : σ = (1, 5, 8, 3)

︸︷︷︸

c1

(2, 4, 7)︸︷︷︸

c2

= c2 c1.

(b) On a c41 = id8 et c32 = id8. Ainsi, l’ordre de σ dans Sn est le ppcm de c1 et c2. On a donc σ12 = id8 et 12est le plus entier ayant cette propriete.On a donc σ12 = σ24 = id8 et σ4 = c41 c42 = id8 c2 = c2. Puisque 2016 = 168× 12, on a σ2016 = id8.

Exercice 1.211. u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie n et I designe l’application identite de E.

Rappelez la definition d’une valeur propre puis demontrez que :

(λ valeur propre de u) =⇒ (det(u− λI) = 0).

Deduisez-en que u admet au plus n valeurs propres distinctes.

2. Trouvez un endormophisme de R2 admettant comme valeurs propres 0 et 1.


1. Un scalaire λ ∈ K est valeur propre de u si et seulement s’il existe x ∈ E non nul tel que u(x) = λx. Puisqueu− λI est un endomorphisme de E (en dimension finie) on a donc

(λ valeur propre de u) ⇐⇒ (ker(u− λI) 6= 0) ⇐⇒ (u− λI n’est pas injective )

⇐⇒ (u− λI n’est pas inversible ) ⇐⇒ (det(u− λI) = 0) (1)

2. On pourra proposer f definie par ∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = (x, 0) correspondant a la projection (orthogonale) surla premiere coordonnee.

Exercice 1.22Soit la matrice M =

0 a cb 0 cb −a 0

ou a, b, c sont des reels.

1. M est-elle diagonalisable dans M3(R) ?

2. M est-elle diagonalisable dans M3(C) ?


1. Le polynome caracteristique χA de A est donne par χA = −X(X2 + ca− ba− bc).

– Si ca− ba− bc < 0 alors A est diagonalisable dans M3(R) car χA est scinde a racines simples.– Si ca− ba− bc = 0 alors χA = −X3 et 0 est la seule valeur propre de A. A est diagonalisable si, et seulement

si, elle est semblable a la matrice nulle c’est a dire si, et seulement si, a = b = c = 0.– Si ca− ba− bc > 0 alors 0 est la seule valeur propre reelle et A n’est donc pas diagonalisable dans M3(R).

9


2. Si ca− ba− bc 6= 0 alors A est diagonalisable dans M3(C) car χA est scinde a racines simples. Si ca− ba− bc = 0alors A est diagonalisable dans M3(C) si et seulement si a = b = c = 0.

Exercice 1.23Soit la matrice A =

1 −1 1−1 1 −11 −1 1

.

1. Demontrez que A est diagonalisable de quatres manieres :

(a) sans calculs,

(b) en calculant directement le determinant det(A − λI3), ou I3 est la matrice identite d’ordre 3, et en deter-minant les sous-espaces propres,

(c) en utilisant le theoreme du rang,

(d) en calculant A2.

On suppose que A est la matrice d’un endomorphisme u d’un espace euclidien dans une base orthonormee.

(a) Que peut-on dire de l’endomorphisme u ?

(b) Trouvez une base orthonormee dans laquelle la matrice de u est diagonale.


1. (a) La matrice A est symetrique reelle donc diagonalisable.

(b) Le polynome caracteristique est donne par χA = det(A− λI3) = −λ2(λ− 3). De plus,

E3(A) = V ect(1,−1, 1) et E0(A) = (x, y, z) ∈ R3 : x− y + z = 0.

Puisque dimE0(A) + dimE3(A) = 3, A est diagonalisable.

(c) Les colonnes de A etant proportionnelles, dim Im(A) = 1 et par le theoreme du rang, dimker(A) = 2. 0 estdonc valeur propre de A au moins double de A. Puisque Tr(A) = 3 =

∑

λ∈Sp(A) λ = 3, on sait que A admet3 comme troisieme valeur propre simple. Par un argument de dimension comme ci-dessus, on conclut queA est diagonalisable.

(d) On obtient A2 = 3A donc A est annulee par X2 − 3X qui est un polynome scinde a racines simples. A estdonc diagonalisable.

2. L’endomorphisme est autoadjoint.

3. On forme une base orthonormee de E3(A) et E0(A). Par exemple, on prend

~u =1√3(~i−~j + ~k), ~u =

1√2(~i+~j), ~w =

1√6(~i−~j − 2~k),

ou (~i,~j,~k) est la base canonique de R3.

Exercice 1.24On considere la matrice A =

1 1 a0 2 00 0 a

ou a est un nombre reel.

1. Quel est le rang de A ? La matrice A est-elle inversible ?

2. A est-elle diagonalisable ?


1. – Si a = 0 alors rgA = 2. A n’est donc pas inversible– Si a 6= 0 alors rgA = 3 car det(A) = 2a 6= 0. A est donc inversible.

2. – Si a ∈ R\1, 2 alors A est diagonalisable avec 3 valeurs propres distinctes 1, 2 et a.– Si a = 1 alors dimker(A − I3) = 3 − rg(A − I3) = 1 et la valeur propre 1 est de multiplicite 2 donc A n’est

pas diagonalisable.– Si a = 2 alors dimker(A−2I3) = 3−rg(A−2I3) = 2 et puisque dimker(A−I3) ≥ 1, la somme des dimensionsdes sous-espaces propres vaut au moins 3. A est donc diagonalisable.

Exercice 1.25

Soit A =

0 0 11 0 00 1 0

∈ M3(C).

10


1. Determinez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. A est-elle diagonalisable ?

2. Soit (a, b, c) ∈ C3 et B = aI3 + bA+ cA2, ou I3 designe la matrice identite d’ordre 3. Deduisez de la question 1.les elements propres de B.


1. On remarquera que A est la matrice d’une permutation. On obtient comme valeurs propres :

λ1 = 1, λ2 = e2iπ/3 = j, λ3 = j2 = j.

Les vecteurs propres respectivement associes a λ1, λ2 et λ3 sont :

u1 = (1, 1, 1), u2 = (j2, j, 1), u3 = (j, j2, 1).

La matrice A est donc diagonalisable puisqu’elle admet trois valeurs propres distinctes.

2. On remarquera que A2u1 = u1, A2u2 = j2u2 et A2u3 = j4u3 = ju3. On a donc

Bu1 = (a+ b+ c)u1, Bu2 = (a+ bj + cj2)u2, Bu3 = (a+ bj2 + cj)u3.

Exercice 1.26On considere dans l’espace vectoriel R3 la projection vectorielle f sur le plan d’equation x+ y + z = 0, parallelement

a la droite d d’equationx

1=

y

2=

z

3.

1. Trouvez simplement une base de R3 dans laquelle la matrice de f est diagonale.

2. Desuisez-en la matrice de f dans la base canonique de R3.


1. d est la droite passant par le point A(0, 0, 0) et de vecteur directeur ~u(1, 2, 3). De plus le plan P d’equationx+ y + z = 0 admet pour base (1,−1, 0)

︸︷︷︸

~v

, (0, 1,−1)︸︷︷︸

~w

.

Dans la base (~u,~v, ~w) de R3, f a pour matrice D =

0 0 00 1 00 0 1

.

2. La matrice P de passage de la base canonique de R3 a la base (~u,~v, ~w) est donnee par P =

1 1 02 −1 13 0 −1

et admet pour inverse P−1 =

16

16

16

56

−16

−16

12

12

−12

. La matrice de f dans la base canonique est donc donnee par

PDP−1 =

56

−16

−16−1

323

−13−1

2−12

12

.

Exercice 1.27Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension n, et soit e1, ..., en une base de E.On suppose que f(e1) = f(e2) = ... = f(en) = v, ou v est un vecteur donne de E.f est-il diagonalisable ? (discutez en fonction du vecteur v).

Elements de correction :– Si v = 0, alors f = 0 donc f est diagonalisable.– Supposons donc v 6= 0. On a alors Im(f) = V ect(v) et dim Im(f) = 1. Par le theoreme du rang, on trouve

dimker(f) = n− 1. On a donc 0 ∈ Sp(A) et dimE0(f) = dimker(f) = n− 1.Supposons qu’il existe une autre valeur propre λ 6= 0. Soit x un vecteur propre associe. On aura alors f(x) =λx 6= 0 soit x ∈ Im(f) = V ect(v). Ainsi, x est colineaire a v.– Dans le cas ou f(v) = 0, c’est absurde. Car on aurait aussi f(x) = 0 et λx 6= 0. f n’est donc pas diagonalisable

lorsque f(v) = 0 (0 est alors la seule valeur propre et dimE0(f) = n− 1 < dimE = n)– Dans le cas ou f(v) 6= 0, f admet donc bien une autre valeur propre non nulle et v est alors un vecteur propreassocie a cette valeur propre. f est alors diagonalisable avec dimE0(f) = n− 1 et dimEλ(f) = 1.

11


Exercice 1.281. On pose A =

(2 14 −1

)

. Determinez les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

2. Determinez toutes les matrices qui commutent avec la matrice

(3 00 −2

)

et deduisez-en l’ensemble des matrices

qui commutent avec A.


1. Le polynome caracteristique χA de A est χA = (X − 3)(X + 2). Il y a donc deux valeurs propres : λ = 3 etµ = −2.

On a ker(A− 3I2) = V ect

(11

)

et ker(A+ 2I2) = V ect

(1−4

)

2. Soit M =

(a bc d

)

et D =

(3 00 −2

)

. On a MD = DM si, et seulement si, b = c = 0, c’est a dire M est

diagonale. Avec P =

(1 11 −4

)

, on a A = PDP−1.

Pour X ∈ M2(R), on pose M = P−1XP . On a alors :

AX = XA ⇐⇒ DM = MD.

L’ensemble K[A] des matrices qui commutent avec A est donc donne par

K[A] = P(a 00 d

)

P−1 : a, d ∈ R.

Puisque dimK[A] = 2, on a K[A] = V ect(I2, A).

Exercice 1.291. On considere la matrice A =

1 1 −10 2 10 0 3

.

(a) Determinez les valeurs propres de A puis une base de vecteurs propres associes.

(b) Determinez la matrice de passage P de la base initiale a la base de vecteurs propres, puis sa matrice inverseP−1.

2. On considere le systeme differentiel

x′ = x+ y − z + t

y′ = 2y + z + 1

z′ = 3z

, x, y, z designant trois fonctions de la variable t,

derivables sur R.Resolvez ce systeme differentiel en utilisant la question 1.


1. (a) A admet trois valeurs propres distinctes (A est triangulaire superieure) donnees par λ1 = 1, λ2 = 2 et λ3 = 3.Les vecteurs propres respectivement associes a λ1, λ2 et λ3 sont u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (0, 1, 1).

(b) La matrice de passage P de la base initiale a la base de vecteurs propres (u1, u2, u3) est donnee par

P =

1 1 00 1 10 0 1

. La matrice inverse de P est donnee par P−1 =

1 −1 10 1 −10 0 1

.

2. Avec X =

xyz

et B =

t10

, le systeme donne est equivalent a X ′ = AX + B. On est donc en presence d’un

systeme differentiel lineaire du premier ordre avec second membre.– On pose pour tout t ∈ R, Y (t) = P−1X(t), le systeme X ′ = AX + B est equivalent au systeme Y ′ =DY + P (−1)B ou D = P (−1)AP .

– En notant pour tout t ∈ R, Y (t) =

y1(t)y2(t)y3(t)

, on obtient

y′1(t) = y1(t) + t− 1

y′2(t) = 2y2(t) + 1

y′3(t) = 3y3(t)

=⇒

y1(t) = C1et − t

y2(t) = C2e2t − 1

2

y3(t) = C3e3t

,

ou C1, C2, C3 sont des constantes d’integrations fixees par les conditions initiales.

12


– On revient aux coordonnees initiales en utilisant X ′ = PY . Cela donne

x(t) = C1et − t+ C2e

2t − 12

y(t) = C2e2t − 1

2 + C3e3t

z(t) = C3e3t

.


(−1 −41 3

)

.

1. Demontrez que A n’est pas diagonalisable.

2. On note f l’endomorphisme de R2 canoniquement associe a A. Trouvez une base (v1, v2) de R2 dans laquelle la

matrice de f est de la forme

(a b0 c

)

.

3. Deduisez-en une methode de resolution du systeme differentiel

x′ = −x− 4y

y′ = x+ 3y.


1. Le polynome caracteristique de A est χA = (X − 1)2. La matrice A a donc pour seule valeur propre 1. Si A etaitdiagonalisable, elle serait semblable a la matrice identite ce qui n’est pas. A n’est donc pas diagonalisable (on adonc dimE1(A) = 1 < 2).

2. A a un polynome caracteristique scinde sur R donc elle est trigonalisable en tant que matrice de M3(R). PuisqueE1(1) = V ect(

(2 −1

)), on prend v1 = (2,−1) et on a donc a = 1. On cherche v2 tel que f(v2) = bv1 + cv2.

Avec le choix b = c = 1, on trouve v2 = (−1, 0). Dans la base (v1, v2) de R2, la matrice de f est donc donnee

par D =

(1 10 1

)

.

3. Posons X =

(xy

)

et Y = P−1X =

(uv

)

avec P =

(2 −1−1 0

)

et P−1 =

(0 −1−1 −2

)

.

Le systeme differentiel X ′ = AX est equivalent a Y ′ = DY . Ce dernier etant triangulaire, on obtient aisement

les solutions donnees par

u(t) = λet + µtet

v(t) = µet, avec λ, µ ∈ R. On revient aux coordonnees initiales en calculant

X = PY pour obtenir

x(t) = (2λ− µ+ 2µt)et

y(t) = −(λ+ µt)et.


0 −2 2−3 1 3−1 1 3

.

1. Demontrez que λ = 2 est valeur propre de A et que V =

101

est un vecteur propre associe.

On admet que A admet deux autres valeurs propres −2 et 4 avec comme vecteurs propres respectivement

110

et

011

.

2. On considere les suites (an)n∈N, (bn)n∈N, (cn)n∈N definies par leurs premiers termes a0, b0, c0 et :

∀n ∈ N,

an+1 = −2bn + 2cn

bn+1 = −3an + bn + 3cn

cn+1 = −an + bn + 3cn

.

On suppose que a0 = 2, b0 = 2 et c0 = 0.Calculez an, bn et cn en fonction de n.


1. On trouve AV = 2V donc V est bien vecteur propre de A associe a la valeur propre λ = 2.

13


2. On introduit pour n ∈ N, Xn =

anbncn

. On obtient alors le systeme matriciel recurrent Xn+1 = AXn. Avec

P =

1 1 00 1 11 0 1

, et P−1 =

12 − 1

212

12

12 − 1

2− 1

212

12

.

En posant Yn = P−1Xn =

un

vnwn

, on obtient comme relation de recurrence pour les nouvelles coordonnees

∀n ∈ N,

un+1 = 2un

vn+1 = −2vn

wn+1 = 4wn

.

Pour tout n ∈ N, on a donc :

un = 2nu0 = 2n−1(a0 − b0 + c0) = 0

vn = (−2)nv0 = (−1)n2n−1(a0 + b0 − c0) = (−1)n2n+1

wn = 4nw0 = 124

n(−a0 + b0 + c0) = 0

.

On revient aux suites initiales en utilisant Xn = PYn pour obtenir ∀n ∈ N, an = bn = (−1)n2n+1 et cn = 0.

Exercice 1.32Soit E un R-espace vectoriel de dimension E et e = (e1, e2, e3) une base de E.On considere la forme quadratique q definie sur E par :

q(v) = x2 + y2 + z2 + 2xz

ou v est le vecteur de coordonnees (x, y, z) dans la base e.

1. Quelle est la matrice A de q dans la base e.

2. Determinez les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

3. Indiquez une methode pour trouver une base e′ telle que si v a pour coordonnees (X,Y, Z) dans la base e′, alorsq(v) soit de la forme αX2 + βY 2 + γZ2.


1. A est une matrice symetrique reelle donc diagonalisable. On obtient A =

1 0 10 1 01 0 1

.

2. A admet pour valeurs propres λ1 = 0, λ2 = 1, λ2 = 2 et pour vecteurs propres respectivement u1 = (1, 0,−1), u2 =(0,−1, 0) et u3 = (1, 0, 1).

3. Dans la base e′ = (u1, u2, u3) de E, on aura avec

XYZ

= P−1

xyz

avec P =

1 0 10 1 0−1 0 1

et P−1 =

12 0 − 1

20 1 012 0 1

2

. On obtient alors q(v) = 0.X2 + 1.Y 2 + 2.Z2 = Y 2 + 2Z2. Pour K > 0, l’equation reduite

q(v) = K est celle d’un cylindre elliptique d’axe (O, ~u1).

Exercice 1.331. Demontrez l’inegalite de Cauchy-Schwarz dans un espace vectoriel reel muni d’un produit scalaire.

Indication : on considerera ||x+ λy||2.2. Dans quel cas a-t-on egalite ?


1. On veut donc demontrez que : ∀(x, y) ∈ E2, |(x, y)| ≤ ||x||.||y||.– Supposons ||y|| = 0, c’est a dire y = 0 alors l’inegalite est vraie.

14


– Soit x, y ∈ E, y 6= 0, λ ∈ R. On pose h(λ) = ||x + λy||2 = λ2||y||2 + 2λ(x, y) + ||x||2 (bilinearite du produitscalaire). On remarque que : ∀λ ∈ R, h(λ) ≥ 0. La fonction polynome h de degre 2 est donc de signe constant.Son discriminant reduit associe ∆ est donc negatif ou nul. Ainsi, ∆ = (x, y)2 − ||x||2.||y||2 ≤ 0. Par croissancede la fonction racine carree sur R+, on obtient |(x, y)| ≤ ||x||.||y||.

2. Montrons qu’il y a egalite dans l’inegalite de Cauchy-Schwarz si, et seulement si x et y sont colineaires.– Si x et y sont colineaires, l’egalite est vraie.– Si l’egalite est vraie, alors :– ou bien y = 0 et x et y sont colineaires,– ou bien y 6= 0 et h est donc un polynome de degre 2 de discriminant nul. Il existe donc une racine double

λ0 telle que h(λ0) = 0, soit ||x + λ0y||2 = 0, c’est a dire x + λ0y = 0. Les vecteurs x et y sont donc biencolineaires.

Remarquons que l’inegalite de cauchy-Schwarz reste vraie pour une forme quadratique seulement positive (pasobligatoirement definie positive). Le cas d’egalite necessite par contre d’avoir une forme quadratique definiepositive.

Exercice 1.34Soit E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.

1. Demontrez que E = A⊕A⊥.Indication : on admettra le fait que toute famille orthonormale de E peut-etre completee en une base orthonor-male de E.

2. Demontrez que (A⊥)⊥ = A.


1. Puisque E est euclidien, il est de dimension finie. Posons n = dimE et k = dimA. Soit (e1, ..., ek) une baseorthonormale de A. On peut la completer d’apres l’indication en une base orthonormale (e1, ..., ek, ek+1, ..., en)de E. Remarquons que A = V ect(e1, ..., ek). On a de plus :

x ∈ A⊥ ⇐⇒ ∀l ∈ 1, .., k, (el|x) = 0.

Puisque (e1, ..., ek, ek+1, ..., en) est une base orthonormale de E, A⊥ = V ect(ek+1, ..., en). On a donc bien E =A⊕A⊥.

2. D’une part on sait que dim((A⊥)⊥) = dimA = k car dim(A⊥) = n− k.D’autre part, on a l’inclusion triviale A ⊂ dim((A⊥)⊥) donc (A⊥)⊥ = A par le theoreme d’inclusion des sous-espace vectoriels de meme dimension.

Exercice 1.35Soit E un espace euclidien et F,G des sous-espaces vectoriels de E.

1. Demontrer que (F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥.

2. Demontrer que (F ∩G)⊥ = F⊥ +G⊥.

Elements de correction : Pour A,B partie de E, on rappelle que A ⊂ B ⇒ A⊥ ⊃ B⊥.

1. – On a F ⊂ F+G donc F⊥ ⊃ (F+G)⊥. De meme G ⊂ F+G donc G⊥ ⊃ (F+G)⊥. Ainsi, F⊥∩G⊥ ⊃ (F+G)⊥.– Reciproquement, soit x ∈ F⊥ ∩G⊥. Alors : ∀f ∈ F, ∀g ∈ G,< x, f >= 0 et < x, g >= 0.Pour tout h ∈ F +G, il existe (f, g) ∈ F ×G tel que h = f + g, et donc

< x, h >=< x, f > + < x, g >= 0.

D’ou x ∈ (F +G)⊥.– Par double inclusion, on a bien F⊥ ∩G⊥ ⊃ (F +G)⊥.

Cela reste vrai dans un espace prehilbertien reel quelconque.

2. – Puisque F ∩G ⊂ F et F ∩G ⊂ G, on a (F ∩G)⊥ ⊃ F⊥ et (F ∩G)⊥ ⊃ G⊥, soit (F ∩G)⊥ ⊃ F⊥ +G⊥. (Celaest vraie en toute generalite que E soit euclidien ou non).

– Pour montrer l’inclusion reciproque, on va se servir du fait que E est de dimension finie car E est euclidien. Onsait donc que pour tout sevW de E,W⊥ est un supplementaire deW dans E appele supplementaire orthogonalde W dans E. En particulier dim(W⊥) = dim(E)− dim(W ). On a deja demontre que (F ∩G)⊥ ⊃ F⊥ +G⊥.On a de plus

dim((F ∩G)⊥) = dim(E)− dim(F ∩G) = dim(E) + dim(F +G)− dim(F )− dim(G)

= dim(F⊥) + dim(G⊥)− dim((F +G)⊥)

= dim(F⊥ +G⊥).

15


Pour cette question, on pouvait aussi utiliser le fait que pour toute partie A de E, (A⊥)⊥ = A (voir exercice 34de ce document). On pouvait alors ecrire

F⊥ +G⊥ = (F⊥ +G⊥)⊥⊥ = (F⊥⊥ ∩G⊥⊥)⊥ = (F ∩G)⊥.

Exercice 1.36Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On note (x|y) le produit scalaire de x et de y.

1. Soit u un endomorphisme de E tel que : ∀x ∈ E, ||u(x)|| = ||x||.(a) Demontrez que : ∀(x, y) ∈ E2, (u(x)|u(y)) = (x|y).(b) Demontrez que u est bijectif.

2. Demontrez que l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E, muni de la loi est un groupe.


1. Soit x, y ∈ E. D’une part d’apres la propriete verifiee par u :

||u(x+ y)||2 = ||x+ y||2 = ||x||2 + 2(x|y) + ||y||2.

D’autre part par linearite de u :

||u(x+ y)||2 = ||u(x) + u(y)||2 = ||u(x)||2 + 2(x|y) + ||u(y)||2 = ||x||2 + 2(x|y) + ||y||2.

On obtient donc (u(x)|u(y)) = (x|y) et u conserve donc le produit sclaire.

(a) Supposons x ∈ ker(u). Alors ||u(x)|| = 0 = ||x||. On a donc ker(u) = 0 et puisque u est un endomorphismed’un espace de dimension finie, on obtient u bijectif d’apres le theoreme du rang.

2. Soit O(E) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E. On sait que (GL(E), ) est un groupe. Montronsque (O(E), ) en est un sous-groupe (on a bien O(E) ⊂ GL(E)).– O(E) est non vide car IdE ∈ O(E).– La composition est clairement une loi interne sur O(E) car si u, v ∈ O(E) alors : ∀x ∈ E, ||(u v)(x)|| =||u(v(x))|| = ||v(x)|| = ||x||.

– Si u ∈ O(E), alors u−1 ∈ O(E), en effet ||x|| = ||(u u−1)(x)|| = ||u−1(x)||.

Exercice 1.371. Soit h une fontion continue et positive de [a, b] dans R.

Demontrer que :

∫ b

a

h(x) dx = 0 ⇒ h = 0.

2. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a, b] dans R. On pose, pour tout f et tout g de E,

(f |g) =∫ b

a

f(x)g(x) dx. Demontrer que l’on definit un produit scalaire sur E.

3. Majorer

∫ 1

0

√x e−x dx en utilisant l’inegalite de Cauchy-Schwarz.


1. Soit H une primitive de h sur [a, b] (H est bien definie puisque h est continue). Puisque h est positive, H estcroissante.Si l’integrale de h sur [a, b] est nulle alors H(a) = H(b) et la croissance de H implique que H est constante. Onen deduit que sa derivee h est nulle.

2. Verifier qu’on a bien une forme bilineaire, symetrique et definie positive.

3. On a∫ 1

0

√x e−x dx ≤

√∫ 1

0

x dx

√∫ 1

0

e−2x dx =

√1− e−2

2.

Exercice 1.38Soit E l’espace vectoriel des applications continues et 2π-periodiques de R dans R.

1. Demontrez que (f |g) = 12π

∫ 2π

0f(t)g(t)dt est un produit sclaire sur E.

16


2. Soit F le sous-espace vectoriel engendre par f : x 7→ cosx et g : x 7→ cos(2x).Determinez le projete orthogonal sur F de la fonction u : x 7→ sin2 x.


1. Le caractere symetrique et positif de (.|.) est clair. Sa bilinearite decoule de la linearite de l’integrale. Le seulprobleme eventuel est le caractere definie. Soit donc f ∈ E tel que (f |f) = 0. On obtient immediatement parcontinuite et positivite de f2 sur R (et donc en particulier sur [0, 2π]), f |[0,2π] = 0. Par 2π-periodicite, on af = 0R.

2. Pour tout x ∈ R, on a sin2x = 1−cos(2x)2 . Les fonctions constantes appartiennent a l’orthogonal de f . Puisque F

est de dimension finie, on a donc E = F ⊕ F⊥. Par unicite de l’ecriture dans la decomposition de E en somme

directe on trouve immediatement que le projete orthogonal de u sur F est x 7→ −1

2cos(2x). (Le verifier par

calcul si vous n’etes pas convaincu)

Exercice 1.39Soitent F(R,R) l’espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espace engendre par les cinq applications :

f1 : x 7→ 1√2, f2 : x 7→ cosx, f3 : x 7→ sinx, f4 : x 7→ cos(2x), f5 : x 7→ sin(2x),

et F le sous-espace vectoriel engendre par f1, f2, f3 : F = V ect(f1, f2, f3).

1. Demontrez que < f |g >= 1π

∫ π

−πf(x)g(x)dx definit un produit scalaire sur E.

2. Verifier que f4 et f5 sont unitaires et orthogonaux.

On admettra pour la suite que B = (fi)i=1,...,5 est une base orthonormale de E.

3. Determinez le sous-espace vectoriel F⊥ orthogonal de F pour ce produit scalaire.

Elements de correction : Remarquons que E est un espace de fonctions 2π-periodiques.

1. < ., . > est clairement une forme bilineaire symetrique et postitive. Seul le caractere definie est a verifier. Soitdonc f ∈ E telle que < f |f >= 0. Par continuite et positivite de f2 sur R (donc en particulier sur [−π, π]), onobtient f |]−π,π[ = 0. Par 2π-periodicite, f = 0R.

2. – On verifie sans peine que ||f4|| = ||f5|| = 1 en utilisant les formules : ∀a ∈ R, cos2 a =1 + cos(2a)

2et sin2 a =

1−cos(2a)2 avec a = 2x ou de facon moins calculatoire en remarquant que ||f4||2 + ||f5||2 = 1

π

∫ π

−π(cos2(2x) +

sin2(2x))dx = 2 et ||f4|| = ||f5|| par translation.– Il reste a montrer que < f4, f5 >= 0. Mais cela est evident puisque f4f5 est une fonction impaire et qu’on

integre sur [−π, π].

3. On admet d’apres l’indication que B = (fi)i=1,...,5 est une base orthonormale de E. Puisque E = F ⊕ F⊥ avecF = V ect(f1, f2, f3), on obtient F⊥ = V ect(f4, f5).

Exercice 1.40On definit dans M2(R) ×M2(R) l’application ϕ(A,A′) = Tr(tA,A′) =, ou Tr(tA,A′) designe la trace du produit dela matrice tA par la matrice A′. On note

F =

(a b−b a

)

, (a, b) ∈ R2

.

On admet que ϕ est un produti scalaire sur M2(R).

1. Demontrez que F est un sous-espace vectoriel de M2(R).

2. Determinez une base de F⊥.

3. Determinez la projection orthogonale de J =

(1 11 1

)

sur F⊥.


1. On obtient F = V ect(I2, E) avec I2 la matrice identite et E =

(0 1−1 0

)

(remarquez que I2, E ∈ F). Donc Fest un sous-espace vectoriel de M2(R).

17


2. Puisque dimF = 2 et dimM2(R) = 4, on a dimF⊥ = 4−2 = 2. On remarquera que si M =

(a b−b a

)

∈ M2(R)

et M ′ =

(a′ b′

−b′ a′

)

∈ M2(R), alors ϕ(A,A′) = aa′ + bb′ + cc′ + dd′.

On prend alors par exemple F1 =

(1 00 −1

)

et F2 =

(0 11 0

)

. (F1, F2) est une base orthogonale de dimF⊥.

(Attention elle n’est pas orthonormee car ||F1|| = ||F2|| =√2).

3. On a J = I2+F2 donc puisque M2(R) = F⊕F⊥, d’apres l’unicite de l’ecriture dans la decomposition en somme

directe de M2(R), le projete orthogonal de J sur F⊥ est F2 =

(0 11 0

)

.

Exercice 1.41Soit E un espace prehilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension finie n > 0.On admet que pour tout x ∈ E, il existe element unique y0 de F tel que x− x0 soit orthogonal a F et que la distancede x a F soit egale a ||x− y0||.Si A =

(a bc d

)

et A′ =

(a′ b′

c′ d′

)

, alors on pose < A|A′ >= aa′ + bb′ + cc′ + dd′.

1. Demontrez que < .|. > est un produit scalaire sur M2(R).

2. Calculez la distance de A =

(1 0−1 2

)

au sous-espace vectoriel F des matrices triangulaires superieures.


1. < .|. > est clairement une forme bilineaire symetrique positive. Seul le caractere definie merite une verification.

Soit donc A =

(a bc d

)

∈ M2(R) telle que < A|A >= 0. Alors a2 + b2 + c2 + d2 = 0 ce qui implique a = b = c =

d = 0 donc < .|. > est definie.

2. Avec les notations usuelles Eij pour les matrices de la base canonique de M2(R), on a F = V ect(E11, E12, E22).On remarque que E21 ∈ F⊥. Ainsi (E11, E12, E22) est une base orthonormee de F et (E21) est une base orthonor-mee de F⊥. On remarque que A = (E11 + E22)

︸︷︷︸

∈F

+(−E21)︸︷︷︸

∈F⊥

. D’apres l’unicite de l’ecriture dans la decomposition

de M2(R) en somme directe M2(R) = F ⊕ F⊥, on trouve que le projete orthogonal de A sur F est E11 + E22.Ainsi, la distance de A a F est donnee par || − E21|| = 1.

Exercice 1.42E designe un espace euclidien. On note x|y le produit scalaire de x et de y.

1. Demontrez que si f est une forme lineaire sur E, il existe un unique element a de E tel que, pour tout x de E,f(x) = x|a.

2. x0 est un element non nul de E, tel que ||x0|| = 1. On note [x0] la droite vectorielle engendree par x0 et [x0]⊥

l’orthognal de [x0].

(a) Donnez la definition de la projection orthogonale p sur [x0].

(b) Si p(x) = λx0, on pose g(x) = λ. Demontrez que g est une forme lineaire sur E et indiquez l’element b deE tel que, pour tout x de E, g(x) = x|b.


1. – Unicite de l’element a : Soit a, b ∈ E verifiant : ∀x ∈ E, f(x) = x|a = x|b. On a donc :∀x ∈ E, x|(a− b) = 0 eten particulier pour x = a− b, ||a− b||2 = 0 ce qui implique a = b.

– Existence de a : Puisque E est de dimension finie, l’application lineaire de E dans son dual E∗ qui a x ∈ Eassocie x|. ∈ E∗ est injective (d’apres l’unicite discutee au premier point) donc surjective (car dimE = dimE∗).Il existe donc a ∈ E tel que ∀x ∈ E, f(x) = x|a.

(a) Avec les notations de l’enonce, on sait que E = [x0] ⊕ [x0]⊥. Ainsi : x ∈ E, il existe un unique couple

(u, v) ∈ [x0] × [x0]⊥ tel que x = u + v. La projection orthogonale p sur [x0] est alors definie par p(x) = u

(c’est la projection sur [x0] parallelement a [x0]⊥). De plus puisque u ∈ [x0], il existe un unique λ ∈ R tel

que u = λx0. On a ainsi, p(x) = λx0.

(b) On doit verifier que l’application g : E → R qui a x associe λ est lineaire. Soit donc x, y ∈ E tels quep(x) = λx0 et p(y) = µx0. On se donne aussi deux scalaires m,n ∈ R. Puisque p est lineaire, on ap(mx+ ny) = mp(x) + np(y) = (mλ+ nµ)x0. Ainsi, g(mx+ ny) = mλ+ nµ = mg(x) + ng(y). g est bienune forme lineaire sur E. D’apres la question 1., il existe un unique element b tel que pour tout x de E,g(x) = x|b. Puisque x|x0 = λ, on a g(x) = x|x0.

18


Exercice 1.43E designe un espace euclidien. On note x|y le produit scalaire de x et de y.Si u est un endomorphisme de E, on note u∗ l’endomorphisme adjoint de u.

1. (a) Si u est un endomorphisme de E, precisez, en justifiant votre reponse, l’endomorphisme (u∗)∗.

(b) Si u et v sont deux endomorphismes de E, precisez, en justifiant votre reponse, l’endomorphisme (u v)∗.2. (a) Soit (ei) une base orthonormale de E. On note A la matrice d’un endomorphisme u de E dans la base (ei)

et B la matrice de u∗ dans la base (ei). En justifiant votre reponse, donnez la relation qui existe entre A etB ?

(b) Retrouvez le resultat de la question 1.(a) a l’aide de la question 2.(a).


1. (a) On sait qu’il existe un unique endormophisme u∗ tel que : ∀x, y ∈ E, u(x)|y = x|u∗(y). On a alors pourtout x, y de E :

u∗(x)|y = y|u∗(x) = u(y)|x = x|u(y),ou on a utilise successivement la symetrie du produit scalaire pour la premiere egalite, la definition de u∗

pour la deuxieme egalite, puis enfin de nouveau la symetrie du produit scalaire dans la troisieme egalite.On a donc (u∗)∗ = u d’apres la definition de l’adjoint de u∗.

2. (a) Soit A = (aij) et B = (bij). Puisque (ei) est orthonormale, on sait que pour tous i, j, aij = ei|u(ej) etbij = ei|u∗(ej) = u(ei)|ej = ej |u(ei) = aji. Ainsi B = tA.

(b) La matrice de (u∗)∗ dans la base (ei) est d’apres la question precente donnee par t(tA) = A d’apres lapropriete de la transposee des matrices. On retrouve ainsi (u∗)∗ = u.


−2 −2 1−2 1 −21 −2 −2

.

1. Justifiez que A est diagonalisable.

2. Determinez P et D dans M3(R) telles que : tP = P−1, D est diagonale, tPAP = D.


1. A est une matrice symetrique reelle donc diagonalisable.

2. Le polynome caracteristique de A est donne par χA = −(X+3)2(X− 3). Les valeurs propres sont donc λ1 = −3de multiplicite 2 et λ2 = 3 de multiplicite 1. On a de plus

SEP (A,−3) = (x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + z = 0 = V ect((1, 0,−1), (1, 1, 1)), SEP (A, 3) = V ect(1,−2, 1).

Avec P =

1√2

1√3

1√6

0 1√3

− 2√6

− 1√2

1√3

1√6

∈ O3(R), on a bien tPAP = D avec D = Diag(−3,−3, 3) ∈ M3(R).

Exercice 1.45Etudiez la courbe definie parametriquement par

x = u−1u2

y = u2

u+1

.

Puis, donnez l’allure de cette courbe.


1. u 7→ x(u) est C∞ sur R∗, u 7→ y(u) est C∞ sur R\−1. Aucune symetrie particuliere ne permet de reduire le

domaine d’etude. On a

∀u ∈ R∗, x′(u) = 2−uu3 ,

∀u ∈ R\−1, y′(u) = u(u+2)(u+1)2

.

19


u

x′(u)

x(u)

y(u)

y′(u)

−∞ −2 −1 0 2 +∞

− − − + 0 −

00

−∞ −∞

11

00

−∞−∞

−4−4

−∞

+∞

00

+∞+∞

+ 0 − − 0 +

-6 -5 -4 -3 -2 -1

-15

-10

-5

5

10

Figure 1 – Allure de la courbe

Les deux derivees ne s’annulent jamais simultanement, il n’y a donc pas de point singulier.– La droite d’equation x = −2 est asymptote verticale lorsque u → −1±.– La droite d’equation y = 0 est asymptote horizontale lorsque u → 0±.– La droite d’equation x = 0 est asymptote verticale lorsque u → ±∞.

Exercice 1.46On considere la courbe d’equation definie en coordonnees polaires par : r = 2

√cos 2θ.

1. Etudiez les symetries eventuelles de cette courbe.

2. Donner l’allure de cette courbe.

3. Precisez la tangente au point de parametre θ =π

4


1. On cherche deja sur quel ensemble θ 7→ r(θ) est bien definie. Pour cela, il faut que cos(2θ) ≥ 0. Ainsi le domaine

de definition de r est Dr =⋃

k∈Z

[−π

4+ kπ,

π

4+ kπ].

– Puisque : ∀θ ∈ Dr, r(θ + π) = r(θ), il y a une symetrie centrale de centre l’origine.

– Puisque ∀θ ∈ Dr, r(−θ) = r(θ), il y a une symetrie d’axe (Ox). On retient donc l’intervalle d’etude I = [0,π

4].

2. Sur I, θ 7→ r(θ) est decroissante avec r(0) = 2 et r(π

4

)

= 0.

On remarque que r′(0) = 0 donc la tangente est orthoradiale en θ = 0.

3. Puisque r(π

4

)

= 0, la premiere bissectrice est tangente a la courbe a l’origine pour le parametre θ =π

4.

Exercice 1.47Etudiez au voisinage du point de parametre t = 1 la courbe definie par :

x =

∫ t

1

u2 − 1

u2 + 1du , y =

∫ t

1

u2 − 1

u3 + 1du.

Indication : on pourra calculer les derivees successives de x et de y.

20


Elements de correction : On peut bien sur suivre l’indication, mais au lieu de deriver et de calculer les deve-loppements limites, on peut aussi primitiver les developements limites. Pour memoire, on rappelle le theoreme deprimitivation des DL : Si f est derivable au voisnage d’un point a d’un intervalle I et si f ′ possede un DL a l’ordre nen a, donne par

f ′(t) = α0 + α1(t− a) + ...+ αn(t− a)n + o((t− a)n)

alors f possede le DL suivant, a l’ordre n+ 1 en a :

f ′(t) = f(a) + α0t+α1

2(t− a)2 + ...+

αn

n+ 1(t− a)n+1 + o((t− a)n+1).

On trouve ainsi :

x(t) = 12 (t− 1)2 − 1

6 (t− 1)3 + o((t− 1)3),

y(t) = 12 (t− 1)2 − 1

3 (t− 1)3 + o((t− 1)3).

Le plus petit entier p non nul tel que−−→OM (p)(t = 1) 6= ~0 est p = 2.

Le plus petit entier q non nul tel que−−→OM (q)(t = 1) ne soit pas colineaire a

−−→OM (p)(t = 1) est q = 3.

On a donc un point de rebroussement de premiere espece. En ce point la tangente est dirigee par (1, 1).

Exercice 1.48Dans un repere orthonorme (0,~i,~j), on considere la courbe d’equation

x2 + 4y2 + 2x− 8y + 1 = 0.

1. (a) Precisez la nature de cette courbe.

(b) Tracez cette courbe.

2. Calculez la pente de la tangente en chacun des points d’intersection de la courbe et de l’axe (0,~j).


1. (a) On a

x2 + 4y2 + 2x− 8y + 1 = 0 ⇐⇒ (x+ 1)2

22+

(y − 1)2

12= 1.

La conique etudiee est donc une ellipse de centre Ω(ω1 = −1, ω2 = 1) de parametres a = 2 et b = 1.

(b) Dessin

(c) On parametre l’ellipse en coordonnees cartesiennes :

x(t) = −1 + 2 cos t

y(t) = 1 + sin t, avec t ∈ [−π, π[. L’ellipse et

l’axe des ordonnees sont secants aux points M de parametre t = ±π

3. La pente de la tangente en ces points

est m(

t =π

3

)

=y′(π3 )

x′(π3 )= ± 1

2√3.

Pour memoire, on rappelle qu’une equation de la tangente en M(x0, y0) a l’ellipse est :(x− ω1)(x0 − ω1)

a2+

(y − ω1)(y0 − ω1)

b2= 1.

Exercice 1.49On considere la courbe parametree, definie par :

x = cos3 t

y = sin3 t.

1. Etudier les symetries de cette courbe.

2. Donner l’allure de cette courbe.

3. Determiner une equation de la tangente a la courbe, au point de parametre t =π

6.


1. On se place dans le plan euclidien rapporte a un repere orthonorme direct (0,~i,~j).– Les fonctions x et y sont 2π-periodiques et l’on peut reduire l’etude a un intervalle d’amplitude 2π.– Comme x est paire et y impaire, les points M(t) et M(−t) sont symetriques par rapport a 0x et l’on peutreduire l’etude a [0, π].

– On a aussi x(π− t) = −x(t) et y(π− t) = y(t). Les points M(π− t) et M(−t) sont symetriques par rapport a

(0y) et l’on peut reduire l’etude a [0,π

2].

21


– Enfin, x(π

2− t) = y(t) et y(π2 − t) = x(t). Les points M(π2 − t) et M(t) sont symetriques par rapport a la

premiere bissectrice et l’on peut reduire a I = [0, π4 ].

2. – Sur cet intervalle x′(t) = −3 sin t cos2 t et y′(t) = 3 cos t sin2 t.

– Pour t 6= 0, on ay′(t)

x′(t)= − tan(t). Ce rapport a une limite nulle en 0, et en raison de la symetrie, le point

M(0) = (1, 0) est un point de rebroussement de premiere espece.– Par symetrie, les points pour t = kπ/2 avec k ∈ Z sont singuliers. Tout le monde aura reconnu une astroıde !

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1


3. D’une facon generale, en un point non singulier, on a−−→OM ′(t) = x′(t)~i+y′(t)~j = 3 sin t cos t~T avec ~T = − cos t~i+

sin t~j. Si P = (X,Y ) est un point de la tangente a la courbe en M(t), on ecrit que les vecteurs−−−−→M(t)P et ~T sont

colineaires, ce qui se traduit par exemple par

det

(X − cos3 t − cos tY − sin3 t sin t

)

= 0.

On obtient comme equation de la tangente X sin t+ Y cos t = sin t cos t. Il suffit de prendre t = π/6 ensuite.

On peut aussi faire remarquer que pour t =π

6, on a :

y′(t)

x′(t)= − tan(t) = − 1√

3. Une equation cartesienne de la

tangente au point de parametre t =π

6est donc y = − x√

3+

1

2.

Exercice 1.50On considere la courbe C definie parametriquement par

x = u2−1u

y = u2+1u+1

, u > 0.

Donnez l’allure de la courbe C, et precisez la (ou les) asymptotes eventuelles.

Elements de correction : x et y sont des fonctions C∞ sur ]0,+∞[. Il n’y a pas de symetrie particuliere quipermette une reduction de l’intervalle d’etude. Pour u > 0, on a

x′(u) =u2 + 1

u2, y′(u) =

(u+√2 + 1)(u−

√2 + 1)

(u+ 1)2.

22


u

x′(u)

x(u)

y(u)

y′(u)

0√2− 1 +∞

+

−∞

+∞+∞

1

2(√2− 1)2(

√2− 1)

+∞+∞

-25 -20 -15 -10 -5 5 10

2

4

6

8


– Il n’y a pas de points singuliers car les deux derivees ne s’annulent pas simultanement.– La droite d’equation y = 1 est asymptote horizontale lorsque u → 0+ (la courbe est en dessous de la droite).

– On a limu→+∞

y(u)

x(u)= 1 et lim

u→+∞(y(u) − x(u)) = −1. Ainsi la droite d’equation y = x − 1 est asymptote en +∞

(la courbe est au dessus de l’asymptote au voisinage de l’infini).

Exercice 1.51Donnez l’allure de la courbe definie en coordonnees polaires par : r = 2(cos θ − cos 2θ).Precisez la tangente a cette courbe au point de parametre θ = π.

Elements de correction : La fonction θ 7→ r(θ) est definie sur R et de classe C∞. Par 2π-periodicite, on peut seramener a une etude sur ]− π, π]. Par parite de r (symetrie d’axe (0x)), on se restreint a etudier la courbe sur [0, π].Pour θ ∈ [0, π], on a : r′(θ) = −2(sin θ − 2 sin 2θ). On alors r′(θ) = −2 sin θ(1− 4 cos θ) puisque sin 2θ = 2 sin θ cos θ.

θ

r′(u)

r(u)

0 θ0 = arccos 14

π

0 + 0 − 0

00

9494

−4−4

– Il y a un passage par l’origine pour les parametres θ = 0 et θ = 2π3 .

– On a : r′(π) = r′(θ0) = 0, r(π) 6= 0 et r(θ0) 6= 0. Aux points de parametres θ = θ0 et θ = π, les tangentes sontdonc orthoradiales.

Exercice 1.52On considere la courbe parametree C :

x = f(t)

y = g(t), f et g etant deux fonctions C∞ sur un intervalle ouvert I.

1. Expliquez comment on peut etudier la position de C par rapport a sa tangente au voisinage du point M0 deparametre t0, avec t0 ∈ I.

23


2. Appliquez les resultats precedents aux deux courbes suivantes au voisinage du point de parametre 0 :

C1 :

x = t3

y = t6et C2 :

x = t2

y = t4.

Retrouvez ces resultats simplement sabs utiliser la question 1.


1. On recherche le plus petit entier p non nul tel que−−→0M (p)(t0) 6= ~0, puis le plus entier q non nul tel que

−−→0M (q)(t0)

ne soit pas colineaire a−−→0M (p)(t0).

2. – Pour C1, on a p = 3 et q = 6. Puisque p est impair et q pair, on a donc un point ordinaire (meplat).– Pour C2, on a p = 2 et q = 4. Puisque p et q sont pairs, on a un point de rebroussement de seconde espece.

Sans utliser le critere, on remarque que (x, y) ∈ C1 est equivalent a y = x2 avec x ∈ R. On reconnait la paraboleusuelle.De meme (x, y) ∈ C2 est equivalent a y = x2 avec x ≥ 0. On a donc seulement le morceau de parabolecorrepondant a x ≥ 0. ”Les morceaux de la courbe correpondant a t ≥ 0 et t ≤ 0 sont confondus” (tous les pointssont des points doubles).

Exercice 1.531. Donnez une representation parametrique, dans un repere orthonorme, du cercle de centre O et de rayon a > 0.

Puis, determinez le repere de Frenet en chaque point de ce cercle. Precisez la valeur du rayon de courbure.

2. Le plan etant rapporte a un repere orthonorme, on considere l’arc parametre defini par

x = u

y = u2, pour u ∈

[0,+∞[.Determinez, au point M de cette courbe correspondant au parametre u = 1, le repere de Frenet, ainsi que lerayon de courbure.


1. On peut prendre comme representation parametrique dans le repere (O,~i,~j) :

x = a cos t

y = a sin t, avec t ∈]− π, π].

Le repere de Frenet en M(t) est donne par (M(t), ~T (t), ~N(t)), ou ~T (t) = − sin t~i+cos t~j et ~N(t) = − cos t~i−sin t~j.La fonction angulaire associee a l’arc parametre etudie est l’identite.Une abscisse cruviligne est donnee dans ce cas par s : t 7→ at.Le rayon de courbure R(s) est bien constant est egal a a, la courbure γ(s) etant elle aussi constante et egale a1

a.

2. En un point M(u) regulier de parametre u ≥ 0, on rappelle que le repere de Frenet (M(u), ~T (u), ~N(u)) est donne

par ~T (u) =

−−→OM ′(u)

||−−→OM ′(u)||, et ~N(u) tel que (~T (u), ~N(u)) soit une base orthonormale directe de R2. Ici , on trouve :

~T (u) =1√

1 + 4u2~i+

2u√1 + 4u2

~j , ~N(u)−2u√1 + 4u2

~i+1√

1 + 4u2~j.

Si s est une abscisse curviligne, on a s′(u) = ||−−→OM ′(u)|| et d~T

ds=

du

ds

d~T

du≡ 1

R(u)~N(u), ou R(u) est le rayon de

courbure en M(u). Ici on a s′(u) =√1 + 4u2 et

d~T

du=

−4u

(1 + 4u2)3/2~i+

2

(1 + 4u2)3/2~j.

On identifie alors les deux expressions :

d~Tds = du

dsd~Tdu = −4u

(1+4u2)2~i+ 2

(1+4u2)2~j

d~Tds = 1

R(u)~N(u) = 1

R(u)

(−2u√1+4u2

~i+ 1√1+4u2

~j) ,

pour trouver un rayon de courbure R(u) =(1 + 4u2)3/2

2. On peut ensuite prendre u = 1.

24


Exercice 1.54Soit l’integrale curviligne I =

∫

Γ

ω ou :

– ω = ydx+ xydy– Γ est la courbe fermee composee des portions de courbes comprises entre les deux points d’intersection descourbes C1 et C2 d’equations respectives y = x2 et y = x, dans un repere orthonorme.

La courbe Γ etant decrite dans le sens trigonometrique, calculez l’integrale I.

1. directement

2. en utilisant la formule de Green-Riemann.

Elements de correction : Les points d’intersection de C1 et C2 sont l’origine O(0, 0) et A(1, 1).

1. Un calcul direct donne

I =

∫

Γ

(ydx+ xydy) =

∫ 1

0

(t2 + 2t4)dt−∫ 1

0

(t+ t2)dt = − 1

10.

2. Soit D une partie fermee du plan delimitee par un arc de classe C1 sans point double. Soit ω = Pdx+Qdy uneforme differentielle de classe C1 sur l’ouvert U contenant D. On appelle ∂D la frontiere de D parcourue dans lesens direct. Alors

∫

∂D

ω =

∫ ∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dxdy, (Formule de Green-Riemann).

La forme ω etant bien de classe C1, on a

I =

∫

Γ

(ydx+ xydy) =

∫ ∫

D

(y − 1)dxdy =

∫ 1

0

(∫ x

x2

(y − 1)dy

)

dx = − 1

10.

Exercice 1.55On considere la quadrique (S) d’equation xy + yz = 1 dans un repere orthonorme (0,~i,~j,~k).

1. On note q la forme quadratique associee a (S).

(a) Determinez la matrice de q dans la base (~i,~j,~k). On la notera A.

(b) Determinez une base orthonormee (~u,~v, ~w) constituee des vecteurs propres de A.

2. (a) On note P la matrice de passage de la base (~i,~j,~k) a la base (~u,~v, ~w). Expliquez pourquoi la matrice de qdans la base (~u,~v, ~w) est egale a P−1AP .

(b) Quelle est la nature de la quadrique (S) ?


1. (a) On a : A =1

2

0 1 01 0 10 1 0

.

(b) A a pour polynome caracteristique χA = −X(X−√2

2)(X+

√2

2). Il y a donc trois valeurs propres distinctes,

λ1 = −√2

2, λ2 = 0 et λ3 =

√2

2. On trouve comme vecteurs propres respectivement associes a λ1, λ2 et λ3 :

~u = (−1

2,

√2

2,−1

2), ~v = (−

√2

2, 0,

√2

2), ~w = (

1

2,

√2

2,1

2).

2. (a) La matrice P est orthogonale car elle correspond a une matrice de passage entre bases orthonormees. Laformule de changement de base pour une forme quadratique donne comme matrice dans la nouvelle base(~u,~v, ~w) : A′ = tPAP = P−1AP .

(b) Dans la base (~u,~v, ~w), l’equation devient

−√2

2X2 +

√2

2Z2 = 1.

On reconnait l’equation d’un cylindre hyperbolique d’axe R~v.

25


Exercice 1.56Dans R2, on considere les trois normes p0, p1, p2 definies ainsi, pour tout (x, y) ∈ R2 : :

p0(x, y) =√

x2 + y2, p1(x, y) = |x|+ |y|, p3(x, y) = max(|x|, |y|).

1. Demontrez que ces trois normes sont equivalentes, sans utiliser le fait que R2 est un espace vectoriel de dimensionfinie.

2. On note, pour i ∈ 0, 1, 2, Bi((0, 0), 1), la boule ouverte de centre (0, 0) et de rayon 1 pour la norme pi. (0,~i,~j)designe un repere orthonormal du plan.Pour chaque i ∈ 0, 1, 2, determinez l’ensemble Ei des points M du plan dont les coordonnees (x, y) dans lerepere (0,~i,~j) sont telles que (x, y) ∈ Bi((0, 0), 1).


1. On a clairement pour tout (x, y) ∈ R2 :– p2(x, y) ≤ p1(x, y) ≤ 2p2(x, y). Donc p1 est equivalente a p2.– p2(x, y) ≤ p0(x, y) ≤

√2p2(x, y). Donc p0 est equivalente a p2.

– L’equivalence des normes etant une relation d’equivalence, on a aussi p0 est equivalente a p1 par transitivite.

2. p0 correspond a la norme euclidienne (notee souvent ||.||2), p1 correspond a la norme 1 (notee souvent ||.||1)et p2 correspond a la norme infini (notee souvent ||.||∞). Les boules unites pour ces trois normes sont :

B1

B0

B2

Exercice 1.57On considere la similitude directe s d’ecriture complexe, dans un repere orthonormal (0,~i,~j) : z′ = (i− 1)z + 2− i.

1. Determinez le centre, le rapport et l’angle de cette similitude.

2. On considere dans le plan complexe les points A d’affixe i, B d’affixe −1, et C d’affixe −i.

(a) Determinez les points A′, B′ et C ′, images respectives de A,B et C par la similitude s.

(b) Quel est la valeur de l’angle A′B′C ′ ? de la longueur A′C ′ ? de l’aire du triangle A′B′C ′.


1. La similitude a pour :– centre le point Ω d’affixe 1,– pour rapport

√2,

– pour angle3π

4[2π] .

2. (a) On trouve A′ d’affixe 1− 2i, B′ d’affixe 3− 2i et C ′ d’affixe 3.

(b) On a A′B′C ′ = ABC, A′C ′ =√2AC et l’aire du triangle A′B′C ′ est le double de celle du triangle ABC.

Exercice 1.581. On considere le systeme

x+ y + z = 1

x+ y + 2z = 0

2x− y − z = −1

x− 2y + z = m

, ou m est un parametre reel.

Demontrez qu’il existe une unique valeur m0 de m pour laquelle ce systeme admet une solution unique et donnezcette solution.

26


2. Dans l’espace rapporte a un repere (0,~i,~j,~k), on considere la droite d de representation parametrique

x = u

y = 2 + u

z = −1 + u

et la droite d′ de representation parametrique

x = t

y = 2− t

z = −1

.

(a) Demontrez que d et d′ sont concourantes.

(b) Demontrez que d′ peut-etre definie comme intersection des deux plans d’equations x+y+z = 1 et x+y+2z =0 et que d peut-etre definie comme intersection des deux plans d’equations 2x−y−z = −1 et x−2y+z = −5.Deduisez-en le resultat de la question 1.


1. On a apres calculs :

x+ y + z = 1

x+ y + 2z = 0

2x− y − z = −1

x− 2y + z = m

⇐⇒

x = 0

y = 2

z = −1

0 = m+ 5

.

Il y a une solution au systeme si, et seulement, m = −5 et dans ce cas cette solution est unique et est donneepar (x, y, z) = (0, 2,−1).

2. (a) Une equation parametrique d’une droite permet d’identifier immediatement un point appartenant a cettedroite ainsi qu’un vecteur directeur.– La droite d passe par le point A(0, 2,−1) (et admet pour vecteur directeur u = (1, 1, 1)).– La droite d′ passe par le meme point A(0, 2,−1) (et admet pour vecteur directeur u′ = (1,−1, 1)).Les droites d et d′ sont concourantes en A(0, 2,−1).

(b) Considerons maintenant les deux plans donnes dans l’enonce pour la droite d′ :

x+ y + z = 1 (L1)

x+ y + 2z = 0 (L2)⇐⇒

x+ y + z = 1 (L1)

z = −1 (L2 − L1)⇐⇒

x = t

y = 2− t

z = −1

,

qui est bien une equation parametrique de la droite d′.

Considerons les deux plans donnes dans l’enonce pour la droite d′ :

2x− y − z = −1 (L1)

x− 2y + z = −5 (L2)⇐⇒

2x− y − z = −1 (L1)

x− y = −2 (L2 + L1)⇐⇒

x = u

y = 2 + u

z = −1 + u

,

qui est bien une equation parametrique de la droite d.On retrouve que le systeme donne en 1. admet une unique solution si, et seulement, sim = −5 (equation (L2)du systeme caracterisant d′ ci-dessus). La solution de ce systeme correpond au point A(0, 2,−1) intersectionde d et d′.

Exercice 1.59On considere dans le plan une droite d et un point F non situe sur d. On suppose que la distance du point F a d estegale a 1.Determinez, en utilisant un repere orthonorme judicieusement choisi, que l’ensemble des points M du plan tels queMF

MH=

1

2est une conique, H designant le projete orthogonal de M sur d.

Determinez la nature et une equation reduite de cette conique et donnez l’allure de cette courbe.

Elements de correction :On peut immediatement trouver la nature de la conique avec la caracterisation monofocale d’une conique de foyer

F , de directrice d et d’excentricite e qui permet de trouver une excentricite e =1

2. Il s’agit donc d’une ellipse.

On travaille dans le repere (F,~i,~j), avec :– F0 projete orthogonal de F sur d,

27


– ~i =

−−→F0F

||−−→F0F ||,

– ~j est choisi tel que (~i,~j) soit une base orthonormee directe.Dans ce repere on a F (0, 0), F0(−1, 0), et si M(x, y) alors H(−1, y). Alors

MF

MH=

1

2⇔ 4MF 2 = MH2 ⇔ 4(x2 + y2) = (x+ 1)2 ⇔

(x− 1

3

)2

(23

)2 +y2

(1√3

)2 = 1.

On a donc une ellispe de centre Ω(1

3, 0) dans le repere introduit et de demi axes a =

2

3et b =

1√3.

Exercice 1.60Soit dans l’espace une sphere de centre O et de rayon R, et un point A non situe sur la sphere. On note d la distanceOA. Une droite ∆ passant par A coupe la sphere en P et Q.Exprime le produit AP ×AQ en fonction de d et de R, en utilisant, dans un repere orthonorme judicieusement choisi,une equation et une representation parametrique de ∆.

Elements de correction : On choisit un repere orthonorme (0,~i,~j,~k) avec−→OA = d~i. Soit ~u = (a, b, c) un vecteur

directeur unitaire de ∆ (donc a2 + b2 + c2 = 1). L’intersection de la sphere et de ∆ :

x = at+ d

y = bt

z = ct

, t ∈ R est donnee

par les solutions du systeme

x2 + y2 + z2 = R2

x = at+ d

y = bt

z = ct

⇐⇒

(at+ d)2 + (bt)2 + (ct)2 = R2

x = at+ d

y = bt

z = ct

⇐⇒

t2 + 2adt+ d2 = R2

x = at+ d

y = bt

z = ct

⇐⇒

(t+ ad)2 = R2 + (a2 − 1)d2

x = at+ d

y = bt

z = ct

.

– Si R2 + (a2 − 1)d2 < 0, l’intersection est vide.– Si R2 + (a2 − 1)d2 = 0, l’intersection est reduite a un point.– Si R2 + (a2 − 1)d2 > 0, il y a deux points d’intersection qui sont donnes par le parametre

t± = −ad±√

R2 + (a2 − 1)d2.

On a donc−→AP = t+~u et

−→AQ = t−~u. Puisque ~u est unitaire, on a

AP ×AQ = |t+ × t−| = |(−ad)2 − (R2 + (a2 − 1)d2)| = |d2 −R2|.

2 Analyse

Exercice 2.11. On considere deux suites numeriques (un)n∈N et (vn)n∈N telles que un ∼ vn. Demontrer que un et vn ont meme

signe a partir d’un certain rang.

2. Determiner le signe au voisinage de l’infini de : un = sh(1

n)− tan(

1

n).

Elements de correction :Quelques rappels : Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites a valeurs reelles. (un)n∈N et (vn)n∈N sont equivalentes si et

seulement si– ∃(εn)n∈N telle que limn→∞ εn = 0.– ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N,un = vn(1 + εn).

On note alors un ∼ vn.Remarque : Si vn 6= 0 a partir d’un certain rang (APCR), alors un ∼ vn si et seulement si limn→∞

un

vn

= 1. Cetterelation n’a pas de sens si on suppose que vn ne s’annule pas APCR (et ce n’est pas n’ecessaire que vn ne s’annule paspour definir la notion de suites equivalentes). On peut aussi remarquer que un ∼ vn ssi un − vn = o(vn).

28


1. Venons-en a l’exercice. Supposons donc un ∼ vn. Il existe alors (εn)n∈N telle que limn→∞ εn = 0 et ∃N ∈ N telque pour ∀n ≥ N,un = vn(1 + εn). On choisit N1 ∈ N tel que ∀n ≥ N1, |εn| ≤ 1

2 . Pour n ≥ max(N,N1), leterme 1 + εn est toujours positif. On a donc bien APCR un et vn de meme signe.

2. Attention a ne pas soustraire d’equivalents pour cette question. L’utilisation de developpements limites s’impose.On rappelle que :– Soit f une fonction definie sur un intervalle I et x0 ∈ I. On dit que f possede un developpement limite

d’ordre n en x0, s’il existe n + 1 reels a0, a1, ..., an et une fonction R : I → R tels que ∀x ∈ I : f(x) =∑n

i=0 ai · (x− x0)i +R(x), avec R(x) = o((x− x0)

n).– On a en particulier les DL(0) suivants :

sh(x) = x+x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ x2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+2)

tan(x) = x+x3

3+

2x5

15+

17x7

315+ · · ·+ B2n(−4)n(1− 4n)

(2n)!x2n−1 + o(x2n),

ou les Bn sont les nombres de Bernoulli (le terme general n’est bien sur pas a connaıtre !).On obtient sans effort :

un = sh(1

n)− tan(

1

n) = (

1

3!− 1

3)1

n3+ o

(1

n4

)

= − 1

6n3+ o

(1

n4

)

.

On applique alors la question 1. en remarquant que un ∼ − 1

6n3. Au voisinage de l’infini, un est donc negative.

Exercice 2.2On considere dans R les deux suites (un) et (vn) definies par :

un =n∑

i=0

1

i!et vn = un +

1

n!.

1. Demontrez que ces deux suites sont adjacentes.

2. On admet que limn→+∞

un = e. Demontrez que e est irrationnel.

Indication : on pourra raisonner par l’absurde et supposer que e = pq ou p et q sont deux entiers naturels.


1. – Pour tout n ∈ N, on a un+1 − un =1

(n+ 1)!> 0, donc (un)n≥0 est (strictement) croissante.

– Pour tout n ∈ N, on a vn+1 − vn =1− n

(n+ 1)!. La suite (vn)n≥1 est donc decroissante (Remarquer que v0 ≤

v1 = v2 et que (vn)n≥2 est strictement decroissante).

– Pour tout n ∈ N, on a vn − un =1

n!−→n→+∞ 0.

– Les suites (un)n≥1 et (vn)n≥1 sont donc adjacentes.

2. Supposons donc que e = pq ou p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux.

– Pour tout n ≥ 2, on a un < e < vn car (un)n≥2 et (vn)n≥2 sont strictement monotones. En particulier pour

n = 2, cela donne u2 < e < v2, soit5

2< e < 3. On sait donc deja que e n’est pas un entier et cela implique

que q > 1, soit q ≥ 2.

– On remarque que pour tout n ≥ 0, il existe K ∈ N tel que un =

n∑

i=0

1

i!=

K

n!. En particulier pour n = q (donc

n ≥ 2 car q ≥ 2), on obtient K < p(n− 1)! < K + 1.C’est absurde puisque K, p(n− 1)! et K + 1 sont entiers et K et K + 1 sont consecutifs. Ainsi e /∈ Q.

Exercice 2.31. Pour une suite de reels (un), enoncez le critere de Cauchy.

2. Soit f une fonction derivable de ]0, 1] dans R telle que : ∀x ∈ [0, 1], |f ′(x)| ≤ 1.

On pose, pour tout entier naturel n non nul, Un = f

(1

n

)

. Demontrez, en utilisant le critere de Cauchy, que

cette suite converge.


29


1. La suite de reels (un) est une suite de Cauchy si, et seulement si :

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀m,n ∈ N, (m,n ≥ N =⇒ |um − un| ≤ ε).

Puisque f est derivable sur ]0, 1], en introduisant la suite (xn) ∈]0, 1]N definie pour n ≥ 1 par xn =1

n, on a pour

tout n,m ≥ 1 :

|um − un| = |f(xm)− f(xn)| ≤ |xm − xn| = | 1m

− 1

n|.

Puisque (xn)n≥1 est convergente vers 0, elle est de Cauchy (toute suite convergente est de Cauchy). La suite(un)n≥1 est donc elle-meme de Cauchy. Puisque R est complet, toute suite de Cauchy de reels est convergente.Ainsi, (un)n≥1 converge.

Exercice 2.41. Determinez le developpement limite a l’ordre 5 en 0 de la fonction f : x 7→ cosx

1− x.

2. Donnez, pour k ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, la valeur de f (k)(0).


1. En utilisant les developpements limites de x 7→ 1

1− xet x 7→ cos(x), on trouve par produit le DL5(0) de f

suivant :

f(x) = 1 + x+x2

2+

x3

2+

13x4

24+

13x5

24+ o(x5).

2. La fonction f est C∞ au voisinage de 0. Par unicite du developpement limite d’une fonction, on a donc a l’aidede la formule de Taylor-young : ∀k ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, f (k)(0) = k!ak, ou ak est le coefficient du terme en xk dansle developpement limite de f . On a de plus,

f ′(0) = 1, f ′′(0) = 1, f (3)(0) = 3, f (4)(0) = 13, f (4)(0) = 65.

Exercice 2.5On pose f(x) =

1

(x+ 1)(3− x).

1. Decomposez f(x) en elements simples et deduisez-en les primitives de f sur l’intervalle ]3,+∞[.

2. Determinez le developpement en serie entiere en 0 de la fonction f et precisez son rayon de convergence.

3. Determinez le developpement limite a l’ordre 5 en 0 de la fonction f .


1. On a f(x) =1

4

(1

x+ 1− 1

x− 3

)

. Les primitives de f sur l’intervalle ]3,+∞[ sont les fonctions Fk : x 7→1

4ln

(x+ 1

x− 3

)

+ k, k ∈ R.

2. On ecrit f sous la forme

f(x) =1

4

1

1 + x︸︷︷︸

Rayon de convergence=1

+1

12

1

1− x/3︸︷︷︸

Rayon de convergence=3

=

+∞∑

n=0

1

4

(

(−1)n +1

3n+1

)

xn.

Le rayon de convergence d’une somme de serie entiere etant superieure ou egale au minimum des rayons deconvergence des series de la somme, on sait que le rayon de convergence Rf de f est tel que Rf ≥ 1. Puisquelim

x→−1+f(x) = +∞, on a Rf = 1 (ou alors dire que le rayon de convergence d’une somme de series entieres

est egal au minimum des rayons de convergence des series de la somme lorsque les deux series ont des rayonsdifferents).

3. Par unicite du developpement en serie entiere (correspondant a la serie de Taylor), on obtient le DL5(0) entronquant la serie entiere a l’ordre voulu. On a donc :

f(x) =1

3− 2x

9+

7x2

27− 20x3

81+

61x4

243− 182x5

729+ o(x5).

30


Exercice 2.61. Donnez l’idee de la demonstration de la formule de Leibniz, concernant la derivee neme d’un produit de fonctions.

2. On pose f(x) =e2x

1 + xpour x > −1. Calculez f (n)(x) pour tout n ∈ N.


1. Sous les hypotheses adequates (fonctions assez derivables), elle est basee sur une recurrence a partir de (fg)(n+1)(x) =

((fg)(n))′(x) =n∑

k=0

(nk

)

(f (k)g(n−k))′(x) obtenue grace a la linearite de la derivee. On ecrit ensuite (f (k)g(n−k))′ =

f (k+1)g(n−k) + f (k)g(n−k+1). Apres separation des deux sommes, on effectue un changement d’indice qui permetde conclure grace a la formule de Pascal sur les coefficients binomiaux.

2. Pour x > −1, La fonction f est de classe C∞ comme quotient de fonctions C∞ dont le denominateur ne s’annulejamais. Pour x > −1, avec g(x) = e2x et h(x) = 1

1+x , on a pour tout k ∈ N :

(g)(k)(x) = 2ke2x, et h(k)(x) =(−1)kk!

(1 + x)k+1.

Ainsi pour tout x > −1 et k ∈ N :

f (k)(x) = n!n∑

k=0

(−1)k2n−k

(n− k)!

e2x

(1 + x)k+1.

Exercice 2.7I designe un intervalle de R.

1. Donnez la definition d’une fonction convexe sur I, a valeurs reelles.

2. Soit f une fonction convexe de I dans R. Demontrez la propriete suivante, ou n designe un entier superieur ou

egal a 3 : Si λ1, λ2, ..., λn sont des nombres positifs tels quen∑

i=1

λi = 1 et si x1, x2, ..., xn appartiennent a I, alors

f

(n∑

i=1

λixi

)

≤n∑

i=1

λif(xi).

Indication : on pourra remarquer que

n∑

i=1

λixi =

(

1−n∑

i=3

λi

)

λ1x1 + λ2x2

1−∑ni=3 λi

+

n∑

i=3

λixi.

3. Deduisez de ce qui precede, en utilisant la fonction ln, que pour tout entier n ≥ 1 et pour tous x1, ..., xn ∈ R∗+,

on a l’inegalite :

(x1x2...xn)1n ≤ x1 + x2 + ...+ xn

n.


1. La fonction f est convexe sur I si, et seulement si :

∀(a, b) ∈ I2, ∀λ ∈ [0, 1], f((1− λ)a+ λb) ≤ (1− λ)f(a) + λf(b).

2. (Pourquoi donner la condition n ≥ 3... ?) On raisonne par recurrence sur l’indice k ∈ N∗. Soit H(k) la propriete :

∀(x1, ..., xk) ∈ Ik, ∀(λ1, ..., λk) ∈ [0, 1]k,

(k∑

i=1

λi = 1 =⇒ f

(k∑

i=1

λixi

)

≤k∑

i=1

λif(xi)

)

.

– Pour k = 1, la propriete est triviale. Pour k = 2, elle est vraie puisqu’elle correspond exactement a la definitionde la convexite.

– Supposons la propriete H(k) vraie au rang k = n et montrons qu’elle est vraie au rang k = n + 1. Soient

x1, ..., xn+1 ∈ I et λ1, ...., λn+1 ∈ [0, 1] tels que

n+1∑

i=1

λi = 1.

– Si λ1 = .... = λn = 0 l’inegalite voulue est vraie.

31


– Supposons donc (λ1, ..., λn) 6= (0, ..., 0). On pose alors µ =∑n

i=1 λi = 1− λn+1 > 0. et x′ =1

µ

n∑

i=1

λixi.

Puisque x1, ..., xn ∈ I et que I est un intervalle de R, il est clair que x′ ∈ I. En appliquant la definition dela convexite de f , on a :

f(n+1∑

i=1

λixi) = f(µx′ + (1− µ)xn+1) ≤ µf(x′) + (1− µ)f(xn+1) = µf(x′) + λn+1f(xn+1).

En appliquant l’hypothese de recurrence :

f(x′) = f

(n∑

i=1

λi

µxi

)

≤n∑

i=1

λi

µf(xi) =

1

µ

n∑

i=1

λif(xi),

car

(

∀i ∈ 1, ..., k, λi

µ≥ 0

)

et

n∑

i=1

λi

µ= 1.

On deduit : f

(n+1∑

i=1

λixi

)

≤n+1∑

i=1

λif(xi).

3. Soit donc n ≥ 1 et x1, ...., xn ∈ R∗+. En prenant pour i ∈ 1, ..., n, λi =

1

n, on a d’apres la concavite de la

fonction ln,

ln

(n∑

i=1

1

nxi

)

≥ 1

n

n∑

i=1

ln(xi) = ln

(

(

n∏

i=1

xi)1n

)

.

Puisque la fonction ln est strictement croissante sur ]0,+∞[, on a l’inegalite voulue.

Exercice 2.8Soit f une fonction de [a, b] dans R, continue sur [a, b]. On suppose que f est derivable sur ]a, b[ sauf peut-etre en unpoint x0 de [a, b].

1. Demontrez que si la fonction f ′ admet une limite en x0, alors la fonction f est derivable en x0 et f ′(x0) =lim

x→x0

f ′(x).

2. Demontrez que la reciproque de la propriete de la question 1. est fausse.

Indication : on pourra considerer la fonction g definie par : g(x) = x2 sin1

xsi x 6= 0 et g(0) = 0.


1. On nous demande de redemontrer le theoreme de la limite de la derivee. Soit h 6= 0 tel que x0 + h ∈ [a, b].On applique le theoreme des accroissements finis entre x0 et x0 + h. Il existe donc ch ∈]x0, x0 + h[ tel quef(x0 + h)− f(x0) = f ′(ch)h. Lorsque h → 0, il s’ensuit que ch → x0. Par passage a la limite h → 0, on a donc

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= lim

h→0f ′(ch) = lim

x→x0

f ′(x).

On a bien verifie que f est derivable en x0 et que f ′(x0) = limx→x0

f ′(x).

2. – g est continue sur R (seul probleme eventuel en 0 mais g(0) = limx→0

g(x)).

– Pour la derivabilite, le seul probleme eventuel est aussi en x = 0 maisg(x)− g(0)

x− 0= O(x) en x = 0, donc g

est derivable sur R.

– Pour x 6= 0, g′(x) = 2x sin1

x− cos

1

x. Le terme en 2x sin

1

xtend vers 0 lorsque x tend vers 0, mais le terme en

cos1

xn’a pas de limite lorsque x tend vers 0 (considerer par exemple la suite definie pour n ≥ 1 par xn =

1

nπ).

La fonction R∗ ∋ x 7→ g′(x) n’a donc pas de limite en 0. On a bien demontre que la reciproque du theoremede la limite de la derivee n’est pas vraie en general.

Exercice 2.9Soit f une fonction numerique continue sur [0,+∞[ telle que f a une limite finie l quand x → +∞.

1. Ecrivez la definition de : ” limx→+∞

f(x) = l” et de : ”f uniformement continue sur [0,+∞[.”

32


2. Demontrez que f est uniformement continue sur [0,+∞[.


1. – limx→+∞

f(x) = l ⇐⇒ (∃l ∈ R, ∀ε > 0, ∃A ≥ 0, ∀x ∈ R, (x ≥ A =⇒ |f(x)− l| ≤ ε)) .

– f est uniformement continue sur R si, et seulement si : ∀ε > 0, ∃η > 0 / ∀(x, y) ∈ R × R, (|x − y| < η ⇒|f(x)− f(y)| < ε).

2. Soit ε > 0. Puisque limx→+∞

f(x) = l,∃A ≥ 0, ∀x ∈ R, (x ≥ A =⇒ |f(x)− l| ≤ ε).

– Sur [0, A], f est uniformement continue d’apres le theoreme de Heine (car [0, A] est un compact de R.).– Si x, y ≥ A, on a |f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − l| + |f(y) − l| ≤ 2ε. Donc f est aussi uniformement continue sur[A,+∞[.

La fonction f est bien uniformement continue sur R+ (l’uniforme continuite passse a la reunion d’intervalles nondisjoints deux a deux).

Exercice 2.101. Demontrez que, dans un espace vectoriel norme complet, toute serie absolument convergente est convergente.

2. Mn(R) est-il complet ?


1. Soit∑

un une serie absolument convergente d’un espace vectoriel norme complet (E, ||.||) vers S. Soit (Sn) lasuite des sommes partielles de la serie

∑un. Soit ε > 0.

– Puisque∑

un est une serie absolument convergente par hypothese : ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N ,∑

k≥n

||uk|| ≤ ε.

– Soit p > q ≥ N . Alors

||Sp − Sq|| ≤ ||S − Sp||+ ||S − Sq|| ≤ ||∑

k≥p

uk||+ ||∑

k≥q

uq|| ≤ 2ε.

– La suite (Sn) est donc une suite de Cauchy. Puisque E est complet, toute suite de cauchy est convergente eton a bien demontre que

∑un est convergente.

2. Mn(R) etant de dimension finie, il est complet (pour n’importe quelle norme puisqu’elles sont toutes equiva-lentes).

Exercice 2.11Etudiez la serie de terme general un =

1

n(lnn)α, ou n ≥ 2 et α ∈ R.

Indication : on distingurea le cas α ≤ 0 et le cas α > 0.

Elements de correction :– Soit α ≤ 0.

Si n ≥ 3, alors lnn ≥ 1, soit1

(lnn)α≥ 1. Ainsi pour n ≥ 3, un ≥ 1

n . Par comparaison a une serie divergente et

a termes positifs,∑

un diverge.– Soit α > 0. On procede par comparaison serie-integrale (ou avec la regle du nαun).

La fonction f : x 7→ 1

x(lnx)αest positive et decroissante sur [2,+∞[. La serie

∑

n≥2

f(n) et l’integrale

∫ +∞

2

f(x)dx

sont de meme nature. Par le changement de variable t = lnx, on a :

∫ X

2

f(x)dx =

∫ lnX

ln 2

dt

tα. On reconnait une

interagle de Riemann en +∞. Celle-ci est convergente si, et seulement, si α > 1.La serie

∑un converge donc si, et seulement, si α > 1.

Exercice 2.12Soit (un)n∈N une suite de reels strictement positifs et l un reel positif strictement inferieur a 1.

1. Demontrez que si limn→+∞

un+1

un= l, alors la serie converge.

Indication : Ecrivez judicieusement la definition de limn→+∞

un+1

un= l puis majorez, pour n assez grand, un par le

terme deneral s’une suite geometrique.

2. Quelle est la nature de la serie∑ n

(3n+ 1)!?

33



1. Soit q tel que l < q < 1, par exemple prendre q =1 + l

2.

A partir d’un certain rang (APCR) N ,un+1

un≤ q. Par iterations, APCR N , on a un ≤ uNqn−N . La serie de

geometrique de terme general qn, par comparaion de series a termes positifs, on obtient∑

un converge.

2. On pose pour n 6= 0, un =n

(3n+ 1)!. On obtient

un+1

un∼ 1

27n3→n→+∞ 0.

Donc∑ n

(3n+ 1)!converge.

Exercice 2.131. Soit (un) et (vn) deux suites de nombres reels positifs. Montrer que :

un ∼ vn ⇒∑

un et∑

vn sont de meme nature.

2. Etudier la convergence de la serie∑ (i− 1) sin

(1n

)

√n− 1

, i est ici le nombre complexe de carre egal a −1.

Elements de correction :Quelques rappels : Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites a valeurs reelles. (un)n∈N et (vn)n∈N sont equivalentes si et

seulement si– ∃(εn)n∈N telle que limn→∞ εn = 0.– ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N,un = vn(1 + εn).

On note alors un ∼ vn.Remarque : Si vn 6= 0 a partir d’un certain rang (APCR), alors un ∼ vn si et seulement si limn→∞

un

vn

= 1. Cetterelation n’a pas de sens si on suppose que vn ne s’annule pas APCR (et ce n’est pas n’ecessaire que vn ne s’annule paspour definir la notion de suites equivalentes). On peut aussi remarquer que un ∼ vn ssi un − vn = o(vn).

1. Venons-en a l’exercice. Supposons donc un ∼ vn avec (un) et (vn) positives. On a :∃N ∈ N, ∀n ≥ N, |un − vn| ≤ vn. Donc : ∀n ≥ N , 0 ≤ un ≤ 2vn (autrement dit, on vient de justifier que :un ∼ vn ⇒ un = O(vn) et vn = O(un)). Par comparaison a une serie a termes positifs, on sait que

∑un et

∑vn

sont de meme nature (s’assurer de savoir justifier ce point !).

2. En posant un =

∣∣∣∣∣

(i− 1) sin(1n

)

√n− 1

∣∣∣∣∣, on obtient un ∼

√2

1n√n

∼√2

1

n3/2. Par comparaison a une serie de Riemann

convergente, on en deduit que∑ (i− 1) sin

(1n

)

√n− 1

est absolument convergente donc convergente.

Exercice 2.14Soit (un)n∈N une suite decroissante positive de limite nulle.

1. Demontrez que la srie∑

(−1)kuk est convergente.

Indication : On pourra considerer (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N avec Sn =n∑

k=0

(−1)kuk.

2. Indiquez un majorant du reste de cette serie. Demontrez le resultat.


1. Pour n ≥ 0, on a :– S2n+2 − S2n = u2n+2 − u2n+1 ≤ 0, donc (S2n)n∈N est decroisssante.– S2n+3 − S2n+1 = −u2n+3 − u2n+2 ≥ 0, donc (S2n+1)n∈N est croisssante.– lim

n→+∞(S2n − S2n+1) = 0.

Les suites (S2n)n∈N et (S2n+1)n∈N sont donc adjacentes et convergent donc vers une meme limite S . De plus(Sn)n∈N converge vers cette meme limite S .

2. Le reste d’ordre n est donne par Rn =

+∞∑

k=n+1

(−1)kuk. On a |Rn| ≤ un+1.

En effet pour n ≥ 0, S2n+1 ≤ S ≤ S2n. Ainsi pour n ≥ 0, |Rn| = |S − Sn| ≤ |Sn+1 − Sn| ≤ |un+1| = un+1.

34


Exercice 2.15Soit X un ensemble, (fn)n∈N une suite de fonctions de X dans C et f une fonction de X dans C.

1. On suppose :(∀x ∈ X)(∀n ∈ N), |fn(x) − f(x)| ≤ αn ou (αn)n∈N est une suite de reels tels que limn→+∞

αn = 0.

Demontrez que la suite (fn)n∈N converge uniformement vers f sur X.

2. La suite (zn)n∈N converge-t-elle uniformement dans le disque ouvert D

(

O,1

2

)

de centre O et de rayon1

2?

Converge-t-elle uniformement dans le disque ouvert D (O, 1) de centre O et de rayon 1 ?


1. Soit ε > 0. Puisque limn→+∞

αn = 0, il existe n ∈ N tel que : ∀n ≥ N, ∀x ∈ X, |fn(x)− f(x)| ≤ ε. La suite (fn)n∈N

converge donc bien uniformement vers f sur X.

2. – Pour z ∈ D(O, 1/2), |z| < 1 et (z 7→ zn)n∈N converge simplement sur D(O, 1/2) vers la fonction nulle. Deplus :

supz∈D(O,1/2)

|zn| = 1

2n→n→+∞ 0.

La suite de fonctions (z 7→ zn)n∈N converge donc uniformement sur D(O, 1/2) vers la fonction nulle.– Sur D(O, 1), on a sup

z∈D(O,1/2)

|zn| = 1 qui ne tend pas vers 0 donc la suite de fonctions (z 7→ zn)n∈N ne converge

donc pas uniformement sur D(O, 1).

Exercice 2.16On pose fn(x) =

n√πe−n2x2

.

1. Etudiez la convergence simple de la suite de fonctions (fn)n∈N.

2. (a) Demontrez que, pour tout a > 0, cette suite converge uniformement sur les intervalles ]−∞,−a] et [a,+∞[.

(b) Converge-t-elle uniformement sur ]0,+∞[ ?

Indication : on pourra considerer fn(1

n).


1. – Pour x = 0, pour tout n ∈ N, fn(0) =n√π. Donc (fn)n∈N ne converge pas simplement en 0.

– Pour x 6= 0, limn→+∞

fn(x) = 0. Donc (fn)n∈N converge simplement sur R∗ vers la fonction nulle.

2. (a) Par parite de fn, il suffit d’etudier l’intervalle [a,+∞[. Soit donc x ∈ [a,+∞[. On a :

supx≥a

|fn(x)− 0| = supx≥a

fn(x) =n√πe−n2a2 →n→+∞ 0.

Il y a donc convergence uniforme de (fn)n∈N sur ]−∞,−a] et [a,+∞[ (avec a > 0).

Remarque : On retrouve que (fn)n∈N converge simplement sur R∗ car⋃

a>0

(]−∞,−a]∪ [a,+∞[) = R∗ et la

convergence simple passe aux reunions (quelconques).

(b) Puisque fn(1n ) = n√

πe−1 qui ne tend pas vers 0 lorsque n → +∞, il n’y a pas convergence uniforme sur

]0,+∞[. (Il n’y a pas de contradiction, puisque la convergence uniforme ne passe pas obligatoirement auxreunions).

Exercice 2.17On pose fn(x) = (x2 + 1)

nex + xe−x

n+ x.

1. Demontrez que la suite de fonctions (fn)n∈N converge uniformement sur [0, 1].

2. Calculez limn→+∞

∫ 1

0

(x2 + 1)nex + xe−x

n+ xdx.


1. Soit x ∈ [0, 1]. On a limn→+∞

fn(x) = (x2 + 1)ex.

La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement sur [0, 1] vers f : x 7→ (x2 + 1)ex.

Pour tout x ∈ [0, 1], |fn(x)− f(x)| = (x2 + 1)|xe−x − xex|

n+ x≤ (x2 + 1)

e−1 + e

n≤ 2

e−1 + e

n−→n→+∞ 0.

La suite de fonctions (fn)n∈N converge donc aussi uniformement sur [0, 1] vers f .

35


2. Puisqu’il y a convergence uniforme sur [0, 1] de (fn)n∈N vers f et que [0, 1] est un compact de R,

limn→+∞

∫ 1

0

fn(x)dx =

∫ 1

0

f(x)dx.

On calcule

∫ 1

0

f(x)dx par integrations par parties pour trouver

∫ 1

0

f(x)dx = [ex(x2 − 2x+ 3)]10 = 2e− 3.

Exercice 2.181. Soit X une partie de R, (fn)n∈N une suite de fonctions de X dans R convergeant simplement vers une fonction

f . On suppose qu’il existe une suite (xn)n∈N d’elements de X telle que la suite ((fn(xn) − f(xn))n∈N ne tendpas vers 0.Demontrez que la suite (fn)n∈N ne converge pas uniformement vers f sur X.

2. Pour tout x ∈ R, on pose fn(x) =sin(nx)

1 + n2x2.

(a) Etudiez la convergence simple de la suite (fn)n∈N.

(b) Etudiez la convergence uniforme de la suite (fn)n∈N sur [a,+∞[ (avec a > 0) puis sur ]0,+∞[.


1. On a |fn(xn)− f(xn)| ≤ ||fn − f ||∞. Par contraposee, (fn)n∈N ne converge donc donc uniformement vers f .

2. (a) Toutes les fonctions fn sont impaires.– Si x = 0, alors pour tout n ∈ N, fn(0) = 0.– Si x > 0 (ou x < 0 par imparite), la suite numerique (fn(x))n∈N converge vers 0.La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement sur R vers la fonction nulle.

(b) – Soit a > 0 et x ≥ a. On a pour tout n ∈ N, |fn(x)| ≤1

1 + a2x2→n→+∞ 0. Il y a donc convergence

uniforme de (fn)n∈N sur [a,+∞[ vers la fonction nulle.

– On pose pour n ∈ N∗, xn =π

2n. La suite (xn)n∈N∗ converge vers 0 et |fn(xn)−f(xn)| = fn(xn) =

1

1 + π2

4

,

qui ne tend pas vers 0 lorsque n → +∞. Il n’y a donc pas convergence uniforme sur ]0,+∞[.

Exercice 2.191. Soit (fn)n∈N une suite d’applications de [a, b] dans R.

On suppose que la suite (fn)n∈N converge uniformement sur [a, b] vers une application f , et que, pour tout n ∈ N,fn est continue en x0, avec x0 ∈ [a, b].Demontrez que f est continue en x0.

2. On pose, pour tout x ∈ [0, 1], gn(x) = xn. La suite (gn)n∈N converge-t-elle uniformement sur [0, 1].


1. On procede par un argement en 3ε. Pour x ∈ [a, b] et n ∈ N,

|f(x)− f(x0)| ≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− fn(x0)|+ |fn(x0)− f(x0)| ≤ 2||f − fn||∞ + |fn(x)− fn(x0)|.

Le terme |fn(x) − fn(x0)| se controle grace a la continuite des fn en x0 et tend vers 0 lorsque x tend vers x0.Cela prouve la continuite de f en x0.

2. La suite (gn)n∈N converge simplement sur [0, 1] vers g : [0, 1] → R definie par g(x) =

0, si x ∈ [0, 1[

1, si x = 1. Les

fonctions gn sont toutes continues sur [0, 1] et g est discontinue en x = 1. Il ne peut pas y avoir convergenceuniforme de (gn)n∈N sur [0, 1].

Exercice 2.201. On note E l’espace vectoriel des applications bornees deX dans C,X designant un ensemble non vide quelconque.

On pose, pour tout f de E, ||f ||∞ = supx∈X

|f(x)|.Demontrez succintement que l’application f 7→ ||f ||∞ est une norme sur E.

2. Soit (gn)n∈N une suite d’applications de X dans C, X designant un ensemble non vide quelconque. On supposeque, pour tout n ∈ N, gn est bornee et que la suite (gn)n∈N converge uniformement sur X vers g.Demontrez que l’application g est bornee.

36



1. Le faire... C’est sans aucune difficulte. La positivite est evidente. L’inegalite triangulaire provient de celle de lavaleur absolue sur R, et le caractere defini est trivial.

2. Par hypothese, il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N , ||gn − g||∞ ≤ 1. Pour tout x ∈ X, on a :

|g(x)| ≤ |g(x)− gn(x)|+ |gn(x)| ≤ ||g − gn||∞ + ||gn||∞.

Ce qui demontre que g est bornee sur X.

Exercice 2.211. Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues sur [a, b], a valeurs reelles. Demontrez que si la suite (fn)n∈N

converge uniformement vers f , alors la suite

(∫ 1

0

fn(x) dx

)

n∈N

converge vers

∫ 1

0

f(x) dx.

2. Justifiez comment ce resultat peut etre utilise dans le cas des series de fonctions puis demontrez que

∫ 12

0

(+∞∑

n=0

xn

)

dx =

+∞∑

n=1

1

n2n.


1. Par definition de la convergence uniforme :

limn→+∞

||fn − f ||∞ = limn→+∞

supx∈[a,b]

|fn(x)− f(x)| = 0.

On a ainsi : ∣∣∣∣∣

∫ b

a

fn(x) dx−∫ b

a

f(x) dx

∣∣∣∣∣≤ (b− a)||fn − f ||∞ →n→+∞ 0.

2. Soit (fn)n∈N∗ une suite de fonctions continues sur [a, b], a valeurs reelles telle que la serie de fonctions

+∞∑

n=1

fn

converge uniformement sur [a, b] vers S. Alors on obtient le theoreme d’integration terme a terme sur un segment

a savoir : S est continue,

+∞∑

n=1

∫ b

a

fn(x) dx converge et de plus

+∞∑

n=1

∫ b

a

fn(x) dx =

∫ b

a

S(x) dx.

La serie entiere

+∞∑

n=0

xn converge uniformement sur [0, 1/2] donc par le theoreme d’integration terme a terme :

∫ 12

0

(+∞∑

n=0

xn

)

dx =

+∞∑

n=0

∫ 12

0

xn =

+∞∑

n=0

1

(n+ 1)2n+1=

+∞∑

n=1

1

n2n.

Exercice 2.221. Demontrez que toute serie de fonctions normalement convergente sur X est uniformement convergente sur X.

2. La serie de fonctions∑ n2

n!zn est-elle normalement convergente sur le disque ferme de centre O et de rayon

R ∈ R∗+ ?


1. Par definition de la convergence normale de d’une serie de fonctions∑

fn sur X, on a pour tout n ∈ N, fn est

bornee et∑

||fn||∞ < ∞. Ainsi pour tout n ∈ N et x ∈ X, 0 ≤ |fn(x)| ≤ ||fn||∞. Par comparaison de serie

numerique a termes positifs,∑ |fn(x)| converge. La serie

∑fn est donc absolument convergente sur X. Puisque

les fn sont a valeurs reelles, R etant complet, la serie∑

fn converge simplement sur X (voir exercice 2.A.10).On a ainsi pour tout x ∈ X,|∑+∞

k=n fn(x)| ≤∑+∞

k=n |fn(x)| ≤∑+∞

k=n ||fn||∞, soit

supx∈X

|+∞∑

k=n

fn(x)| ≤+∞∑

k=n

||fn||∞ →n→+∞ 0.

La serie∑

fn est donc uniformement convergente sur X.

37


2. La serie entiere∑ n2

n!zn a un rayon de convergence infini. Il y a donc convergence normale sur tout compact de

C en particulier sur le disque ferme de centre O et de rayon R ∈ R∗+.

Exercice 2.231. On considere la serie de fonctions de terme general un defini par :

∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, 1], un(x) = ln(

1 +x

n

)

− x

n.

On pose, lorsque que la serie converge, S(x) =

+∞∑

n=1

[

ln(

1 +x

n

)

− x

n

]

.

(a) Demontrez que S est derivable sur [0, 1].

(b) Calculer S′(1).Indication : pensez a decomposer une fraction rationnelle en elements simples.


1. Soit x ∈ [0, 1].

– Un developpement limite pour n → +∞ donne : un(x) = − x2

2n2+ o

(1

n2

)

. A partir d’un certain rang, un(x)

est donc de signe constant et par comparaison a une serie de Riemann convergente,∑

n≥1

un converge simplement

sur [0, 1].– Toutes les fonction un sont de classe C1 sur [0, 1] et pour n ≥ 1 :

∀x ∈ [0, 1], u′n(x) =

1

x+ n− 1

n= − x

n(x+ n)=⇒ ||u′

n||∞ ≤ 1

n2.

Ainsi la serie de fonctions∑

n≥1

u′n converge normalement et donc uniformement sur [0, 1].

– Le theoreme de derivation permet alors de conclure que S est de classe C1, donc en particulier derivable sur[0, 1].

2. Le theoreme de derivation permet aussi de conclure que

S′(1) =∑

n≥1

u′n(1) =

∑

n≥1

(1

1 + n− 1

n

)

=︸︷︷︸

par somme telescopique

−1.

Exercice 2.24Soit A ⊂ C et (fn)n∈N une suite de fonctions de A dans C.

1. Demontrez l’implication :

(la serie de fonctions∑

fn converge uniformement sur A) ⇒ (la suite de fonctions (fn)n∈N converge uniformement vers 0 sur A).

2. La serie entiere∑

zn est-elle uniformement convergente sur le disque ouvert de centre O et de rayon 1 ?


1. Supposons que la serie de fonctions∑

n≥0 fn converge uniformement vers S sur A, c’est a dire la suite dessommes partielles (Sn)n∈N de la serie

∑

n≥0 fn converge uniformement vers S sur A. Alors pour tout n ∈ N∗,on a fn = Sn − Sn−1 qui converge uniformement vers S − S = 0 sur A.


zn n’est pas uniformement convergente sur le disque ouvert de centre O et de rayon 1 car lasuite de fonctions (z 7→ zn)n∈N n’est pas uniformement convergente vers 0 sur le disque ouvert de centre O et derayon 1.

Exercice 2.25On considere la serie de fonctions

∑ (−1)n

nxn, x designant un reel.

1. Etudiez la simple convergence de cette serie.On note D l’ensemble des x ou cette serie converge, S(x) la somme de cette serie.

2. (a) Etudiez la convergence normale puis la convergence uniforme de cette serie sur D.

38


(b) La fonction S est-elle continue sur D.



n≥1

(−1)n

nxn a un rayon de convergence R egal a 1 (on a de plus pour x ∈] − 1, 1[, S(x) =

− ln(x+ 1)). On trouve donc que ]− 1, 1[⊂ D. En x = 1, la serie converge comme serie numerique alternee. Enx = −1 la serie diverge comme serie numerique harmonique. On a donc D =]− 1, 1].

2. (a) – On a : supx∈]−1,1]

∣∣∣∣

(−1)n

nxn

∣∣∣∣=

1

n, et

∑ 1

ndiverge. Ainsi, la serie

∑ (−1)n

nxn ne converge pas normalement

sur D =]− 1, 1].

– On sait d’apres le cours que la serie entiere∑ (−1)n

nxn converge normalement donc uniformement sur

tout compact inclus dans ]− 1, 1[.– Il n’y a donc pas de convergence uniforme sur ]− 1, 1] car si c’etait le cas le theoreme de la double limite

donnerait l’existence de∑

limx→−1

((−1)n

nxn

)

=∑ 1

nce qui n’est pas le cas.

(b) S est continue sur ] − 1, 1[ comme somme d’une serie entiere reelle sur son intervalle intervalle ouvert de

convergence. De plus pour x ∈ [0, 1], la serie numerique∑ (−1)n

nxn releve du critere special des series

alternees donc :

|Rn(x)| =∣∣∣∣∣

+∞∑

k=n+1

(−1)k

kxk

∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣

(−1)n+1xn+1

n+ 1

∣∣∣∣=

xn+1

n+ 1≤ 1

n+ 1.

et donc ||Rn||∞ → 0. La serie∑ (−1)n

nxn converge donc uniformement sur [0, 1]. S est donc continue en

x = 1.S est donc continue sur D tout entier.

Exercice 2.261. Demontrez que la serie

∑ zn

n!est absolument convergente pour tout z ∈ C.

2. On pose, pour tout z ∈ C, f(z) =+∞∑

n=0

zn

n!.

Demontrez que : f(z)× f(z′) = f(z + z′), sans utiliser le fait que f(z) = ez.

3. Deduisez-en que : ∀z ∈ C, f(z) 6= 0 et1

f(z)= f(−z).


1. Pour tout z ∈ C, on a∑ |z|n

n!converge en tant que serie exponentielle reelle vers e|z|. La serie

∑ zn

n!est donc

absolument convergente sur C.

2. Pour z, z′ ∈ C, les series numeriques f(z) =∑ zn

n!et f(z′) =

∑ z′n

n!sont absolument convergentes. Leur serie

produit de Cauchy∑

ωn, ou ωn =n∑

k=0

zk

k!

z′n−k

(n− k)!est absolument convergente et a pour somme f(z)f(z′). Mais,

d’autre part

∀n ∈ N, ωn =1

n!

n∑

k=0

(nk

)

zkz′n−k =1

n!(z + z′)n.

On a donc f(z)f(z′) =+∞∑

n=0

ωn = f(z + z′).

3. Supposons qu’il existe z ∈ C∗ tel que f(z) = 0. Alors 0 = f(z)f(−z) = f(0) = 1. C’est absurde, donc pour tout

z ∈ C, f(z) 6= 0 et1

f(z)= f(−z).

Exercice 2.27Soit

∑

anzn une serie entiere de rayon R > 0.

1. Demontrez que cette serie converge uniformement sur tout disque ferme de centre O et de rayon r tel que0 < r < R.

39


2. Demontrez que la fonction z 7→+∞∑

n=0

anzn est continue en tout point du disque ouvert de convergence.


1. Soit r tel que 0 < r < R. Pour tout n ∈ N et z ∈ C tel que |z| ≤ r, on a sup0≤z≤r

|anzn| = |an|rn. Puisque∑ |an|rn

converge,∑

anzn est normalement (donc aussi uniformement) convergente sur le disque ferme de centre O et

de rayon r.

2. Soit z ∈ C tel que 0 ≤ |z| < R. On choisit r tel que |z| < r < R par exemple r =|z|+R

2. On sait alors d’apres

la premiere question que la serie∑

anzn est uniformement convergente sur le disque ferme Df (0, r) de centre

O et de rayon r. Puisque toutes les fonctions z 7→ anzn sont continues sur Df (0, r), la serie l’est egalement. On

a donc en particulier la continuite au z choisi initialement.

Exercice 2.28Calculez le rayon de convergence de chacune des series entieres suivantes :

1.∑

nαzn, (α ∈ R).

2.∑

cos

(2nπ

3

)

zn.


1. En fait le rayon de convergence R1 de la serie∑

nαzn, (α ∈ R) est egal au rayon R2 de convergence de∑

zn,

soit R1 = R2 = 1 puisque R2 = 1.– Pour α = 0, c’est bon.– Pour α > 0, a partir d’un certain rang, 1 ≤ nα donc R2 ≥ R1, soit R1 ≤ 1 puisque R2 = 1.

Soit z ∈ C tel que |z| < 1 et r tel que |z| < r < 1. On a : nα|z|n = nαrn(

|z|r

)n

= o(rn) car limn→+∞

nα

( |z|r

)n

=

0. Donc∑

nαzn converge et R1 = 1.– Pour α < 0, a partir d’un certain rang, 1 ≥ nα donc R2 ≤ R1, soit R1 ≥ 1 puisque R2 = 1.

Soit z 6= 0 alors nα|z|n = en(ln |z|+α lnn

n) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ si et seulement si |z| < 1. Donc

R1 = 1.On peut aussi appliquer la regle de d’Alembert pour z 6= 0 :

limn+∞

|(n+ 1)αzn+1||nαz| = lim

n→+∞

(

1 +1

n

)α

|z| = |z|.

Pour tout α, si |z| < 1, la serie∑

nαzn converge. Si |z| > 1, cette serie diverge. Pour |z| = 1, on ne peut riendire, mais de toute facon, on sait que son rayon de convergence est egal a 1.

2. Par comparaison a une serie geomertique, le rayon de convergence R de∑

cos

(2nπ

3

)

zn verifie R ≥ 1. Puisque

la serie numerique∑

cos

(2nπ

3

)

diverge, on a R = 1.

Exercice 2.291. Demontrez que si |an| ∼ |bn| alors les series entieres

∑anz

n et∑

bnzn ont meme rayon de convergence.

2. Quel est la rayon de convergence de la serie entiere∑

inn2

n2+1zn (ou i2 = −1) ?


1. Puisque |an| ∼ |bn| on a |an| = O(|bn|) et |bn| = O(|an|), donc Ra ≥ Rb et Rb ≥ Ra soit Ra = Rb.

2.

∣∣∣∣

inn2

n2 + 1

∣∣∣∣=

n2

n2 + 1∼ 1. La serie entiere

∑zn a un rayon de convergence egal a un donc le rayon de convergence

de la serie entiere∑

inn2

n2+1zn est aussi egal a un.

Exercice 2.301. Soit (an)n∈N une suite bornee telle que la serie

∑an diverge. Quel est le rayon de convergence de la serie entiere

∑anz

n ?

40


2. Quel est le rayon de convergence de la serie entiere∑

cos(

nπ

2

)

zn ?


1. Puisque (an)n∈N est bornee, |an| = O(1) et le rayon de convergence R de∑

anzn verifie R ≥ 1. Mais puisque la

serie numerique∑

an diverge, on a R = 1.

2. la suite(

cos(

nπ

2

))

n∈N

est bornee et la serie∑

cos(

nπ

2

)

diverge (car son terme general ne tend pas 0) donc

d’apres la question 1., on en deduit que le rayon de convergence de la serie entiere∑

cos(

nπ

2

)

zn est egal a un.

Exercice 2.311. Que savez-vous du rayon de convergence de la somme de deux series entieres (on ne demande pas de demonstra-

tion) ?

2. Developpez en serie entiere au voisinage de 0, en precisant le rayon, la fonction f : x 7→ ln(1 + x) − ln(1 − 2x).

La serie obtenue converge-t-elle pour x =1

4? x =

1

2? Si oui quelle est sa somme ?


1. Soit deux series entieres∑

anzn et

∑bnz

n de rayons de convergence respectifs R1 et R2. Le rayon de convergenceR de la serie entiere somme

∑(an + bn)z

n est tel que :– R = min(R1, R2) si R1 6= R2,– R ≥ R1 si R1 = R2,

et si |z| < min(R1, R2), on a alors

+∞∑

n=0

(an + bn)zn =

+∞∑

n=0

anzn +

+∞∑

n=0

bnzn.

2. D’une part, ln(1+x) =

+∞∑

k=1

(−1)k+1

kxk est de rayon de convergence R1 = 1. D’autre part, ln(1−2x) = −

+∞∑

k=1

2k

kzk

est de rayon de convergence R2 =1

2. La fonction f admet donc un developpement en serie entiere S de rayon

Rf =1

2. De plus pour |x| < 1

2, S(x) = f(x) =

+∞∑

k=1

(−1)k+1 − 2k

kxk.

Si x =1

4, puisque 0 ≤ x < Rf , la serie entiere associee a f converge et sa somme est continue en x =

1

4donc

S

(1

4

)

= f

(1

4

)

= ln(5)− ln(2).

Pour x =1

2, la serie entiere S diverge comme serie harmonique.

Exercice 2.32Soit (an)n∈N. une suite complexe telle que la suite

( |an+1||an|

)

n∈N

admet une limite.

1. Demontrez que les series entieres∑

anxn et

∑nanx

n−1 ont le meme rayon de convergence.On le note R.

2. Demontrez que la fonction x 7→+∞∑

n=0

anxn est derivable sur l’intervalle ]−R,R[.


1. Pour x 6= 0, si L designe la limite de la suite

( |an+1||an|

)

n∈N

, en posant un = anxn et vn = nanxn−1, on a :

limn→+∞

∣∣∣∣

un+1

un

∣∣∣∣= lim

n→+∞

∣∣∣∣

vn+1

vn

∣∣∣∣= L|x|.

Les deux series entieres∑

anxn et

∑nanx

n−1 ont donc toutes les deux le meme rayon de convergence egale a1

Lavec les regles habituelles d’operations etendues a 0 et +∞.

2. On rappelle que lorsque R > 0 une serie entiere converge normalement (donc uniformement) sur tout segmentinclus dans ]−R,R[.– La serie entiere

∑anx

n converge donc en particulier simplement sur ]−R,R[.– La serie entiere des derivees

∑nanx

n−1 converge uniformement sur tout segment inclus dans ]−R,R[.

41


– La fonction x 7→+∞∑

n=0

anxn est donc de classe C1 sur ]−R,R[.

Exercice 2.33Determinez le developpement en serie entiere a l’origine de la fonction f(x) = ln

(1 + x

1− x

)

en precisant son rayon de

convergence.

Elements de correction : La fonction f est bien definie pour x ∈] − 1, 1[ et pour tout x ∈] − 1, 1[, f(x) =ln(1+x)−ln(1−x). En utilisant les developpements en serie entiere au voisonage de 0 de x 7→ ln(1+x) et x 7→ ln(1−x),

on a f(x) = 2

+∞∑

k=0

x2n+1

2n+ 1qui admet un rayon de convergence egal a 1.

Exercice 2.341. Determinez le rayon de convergence de la serie entiere

∑ xn

(2n)!.

On note S(x) =+∞∑

n=0

xn

(2n)!.

2. Determinez le developpement en serie entiere en 0 de la fonction x 7→ ch(x), et precisez le rayon de convergence.

3. (a) Determinez S(x).

(b) On considere la fonction f definie sur R par :

f(0) = 1, f(x) = ch(√x) pour x > 0, f(x) = cos(

√−x) pour x < 0.

Demontrez que f est de classe C∞ sur R.


1. Pour x 6= 0, posons un =xn

(2n)!. On a lim

n→+∞|un+1||un|

= 0. La serie entiere∑ xn

(2n)!a donc un rayon de convergence

R tel que R = +∞.

2. La serie entiere ch(x) =

+∞∑

k=0

x2n

(2n)!(partie paire de ex) a un rayon de convergence infini.

3. (a) – Pour x ≥ 0, on peut ecrire xn = (√x)2n. Ainsi : S(x) = ch(

√x).

– Pour x < 0, on peut ecrire xn = (−1)n(√−x)2n. Ainsi : S(x) = cos(

√−x).

(b) La fonction f est egale a la fonction S sur R, elle est donc C∞ sur R en tant que serie entiere de rayon deconvergence infini.

Exercice 2.35On considere la fonction f de R dans R, de periode 2π, definie ainsi :

f(x) = x sur ]− π,+π[, et f(−π) = 0.

1. La serie de Fourier de f converge-t-elle vers f(x) en tout point x de R ?

2. Determinez la serie de Fourier de f .


1. La fonction f est continue par morceaux sur R et de classe C1 par morceaux sur R, donc par le theoreme deDirichlet, la serie de Fourier de f converge simplement sur R vers la regularisee de f . Puisque f est regularisee,c’est a dire pour tout x de R, f(x+)+ f(x−) = 2f(x), la serie de Fourier de f converge simplement vers f sur R.

2. La fonction f est impaire donc pour tout n de N, an = 0. De plus pour n ≥ 1, bn =2

π

∫ π

0

x sin(nx) dx =

(−1)n+1 2

n. La serie de Fourier de f est donc donnee pour tout x ∈ R par S(f)(x) = f(x) =

+∞∑

n=1

(−1)n+1 2

nsin(nx).

Exercice 2.36Soit f la fonction 2π-periodique sur R telle que : ∀t ∈ [0, 2π[, f(t) = t2.

1. Expliquez pourquoi, pour tout reel t, la serie de Fourier de f converge, et precisez sa limite.

42


2. Determinez la serie de Fourier de f , puis deduisez-en la somme de la serie :∑

n≥1

1

n2.


1. La fonction f est continue par morceaux sur R et de classe C1 par morceaux sur R. D’apres le theoreme deDirichlet, la serie de Fourier de f converge simplement sur R vers la regularisee f de f definie par :

f(t) =

f(t), si t ∈]2kπ, 2(k + 1)π[, k ∈ Z,

2π2 si t = 2kπ, k ∈ Z.

2. La fonction f n’est ni paire, ni impaire, on a :

– a0 =1

π

∫ 2π

0

t2 dt =8

3π2.

– Pour n ≥ 1, an =1

π

∫ 2π

0

t2 cos(nt) dt =4

n2.

– Pour n ≥ 1, bn =1

π

∫ 2π

0

t2 sin(nt) dt = −4π

n.

La serie de Fourier de f est donc donnee pour tout t de R par

S(f)(t) = f(t) =4

3π2 +

+∞∑

n=1

4

(cos(nt)

n2− π sin(nt)

n

)

.

En t = 0, on obtient, f(0) = 2π2 =4

3π2 +

+∞∑

n=1

4

n2, soit

+∞∑

n=1

1

n2=

π2

6.

Exercice 2.37Soit f la fonction 2π-periodique sur R telle que : ∀x ∈ [−π, π[, f(t) = x2.

1. (a) Expliquez pourquoi la serie de Fourier de f converge sur R. Precisez la somme de cette serie.

(b) La serie de Fourier de f converge-t-elle normalement sur R ?

2. (a) Determinez la serie de Fourier de f .

(b) Deduisez-en la somme de la serie∑

n≥1

(−1)n

n2.


1. (a) La fonction f est continue sur R et de classe C1 par morceaux sur R. D’apres le theoreme de convergencenormale, la serie de Fourier de f converge normalement(et en particulier simplement) sur R vers la fonctionf .

(b) Voir 1.(a)

2. (a) La fonction f est paire donc pour tout n ≥ 1, bn = 0. On a :

– a0 =2

π

∫ π

0

x2 dx =2

3π2.

– Pour n ≥ 1, on a : an =2

π

∫ π

0

x2 cos(nx) dx = (−1)n4

n2.

– Pour tout x ∈ R, on a donc S(f)(x) = f(x) =1

3π2 +

∑

n≥1

(−1)n4

n2cos(nx).

(b) En x = 0, on obtient f(0) = 0 =1

3π2 +

∑

n≥1

(−1)n4

n2, soit

∑

n≥1

(−1)n

n2= −π2

12.

Exercice 2.381. Demontrez que pour tout entier n, la fonction t 7→ 1

1 + t2 + tne−test integrable sur [0,+∞[.

2. On pose un =

∫ +∞

0

1

1 + t2 + tne−tdt. Calculez lim

n→+∞un.


43


1. Soit fn la fonction definie sur R+ par fn(t) =1

1 + t2 + tne−t. Pour tout n, et t ∈ R+, on a |fn(t)| ≤ 1

1+t2 et

t 7→ 1

1 + t2est integrable sur R+ donc fn est integrable sur R+.

2. – Pour tout n, fn est continue sur R+.

– (fn)n converge simplement sur R+ vers la fonction f definie par f(t) =

11+t2 si t ∈ [0, 1[

12+e−1 si t = 1

0 si t > 1

.

– La fonction f est continue par morceaux sur R+.

– Pour tout n, et t ∈ R+, on a |fn(t)| ≤ 11+t2 et t 7→ 1

1 + t2est integrable sur R+.

D’apres le theoreme de convergence dominee :

limn→+∞

un = limn→+∞

∫ +∞

0

fn(t) =

∫ +∞

0

limn→+∞

fn(t) =

∫ 1

0

1

1 + t2=

π

4.

Exercice 2.39Pour tout n ≥ 1, on pose In =

∫ +∞

0

( −1

1 + t2

)n

dt.

1. Justifiez que In est bien definie.

2. Demontrez que (−1)nIn decroıt et determinez sa limite.

3. La serie∑

In est-elle convergente ?


1. Pour tout n, la fonction fn definie sur R+ par fn(t) =

( −1

1 + t2

)n

et continue sur R+ et pour tout t ∈ R+,

|fn(t)| ≤1

1 + t2∼+∞

1

t2. Par comparaison a une integrale de Riemann convergente, fn est donc integrable sur

R+.

2. – On a pour tout n : (−1)nIn =

∫ +∞

0

1

(1 + t2)ndt. Puisque pour tout t de R+,

1

(1 + t2)n+1≤ 1

(1 + t2)n, on

obtient par integration de l’inegalite (−1)n+1In+1 ≤ (−1)nIn. La suite ((−1)nIn)n est donc decroissante.– La suite (fn)n converge simplement sur ]0,+∞[ vers la fonction nulle. On a deja vu que pour tout n et pour

tout t ∈ R+, |fn(t)| ≤1

1 + t2avec t 7→ 1

1 + t2integrable sur ]0,+∞[.

– Le theoreme de convergence dominee permet de conclure que (−1)nIn tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.

3. La serie∑

In =∑

(−1)n ((−1)nIn) releve du critere special des series alternees. Elle est donc convergente.

Exercice 2.40On pose fn(x) =

e−x

1 + n2x2et pour tout n ∈ N, un =

∫ 1

0

fn(x) dx.

1. Etudiez la convergence simple sur [0, 1] de la suite de fonctions (fn)n∈N, puis l’uniforme convergence sur [0, 1].

2. Trouvez la limite de la suite (un)n∈N.


1. Soit x ∈ [0, 1]. On a limn→+∞

fn(x) =

1 si x = 0

0 sinon. Donc (fn)n∈N converge simpelment sur [0, 1] vers f definie

par f(x) =

1 si x = 0

0 sinon.

Les fonctions fn sont toutes continues sur [0, 1], mais f est discontinue sur [0, 1] donc (fn)n∈N ne converge pasuniformement sur [0, 1].

Soit a ∈]0, 1]. Pour tout x dans [a, 1] et n ∈ N, on a |fn(x)| ≤1

1 + n2a2. Il y a donc convergence uniforme de

(fn)n∈N sur tout segment [a, 1] inclus dans [0, 1] avec a > 0.

2. On a :– Pour tout n, fn est continue sur [0, 1].– (fn)n∈N converge simplement sur [0, 1] vers f et f est continue par morceaux sur [0, 1].– Pour tout n et pour tout x de [0, 1], |fn(x)| ≤ 1 et x 7→ 1 est integrable sur [0, 1].

44


Le theoreme de convergence dominee permet d’ecrire :

limn→+∞

un = limn→+∞

∫ 1

0

fn(t) dt =

∫ 1

0

limn→+∞

fn(t) = 0.

Remarque : On peut aussi bien sur faire une etude de convergence de la suite (un)n∈N de facon elementaire enremarquant que ∀n ∈ N :

0 ≤ un ≤∫ 1

0

1

1 + n2x2dx =

1

n2

∫ 1

0

1(1n

)2+ x2

dx,

≤ 1

n2[n arctan(nx)]10 =

1

narctan(n) ≤ π

2n.

Exercice 2.41N.B. : les deux questions sont independantes.

1. La fonction f : x 7→ lnx

1 + x2est-elle integrable sur ]0,+∞[ ?

2. La fonction g : x 7→ e−x

√x− 1

est-elle integrable sur ]1,+∞[ ?


1. On remarque que f est continue sur ]0,+∞[. Etude en 0+ : On a |f(x)| ∼ | ln(x)| lorsque x → 0+ car 1+x2 ∼ 1.On sait que x 7→ ln(x) est integrable sur ]0, 1]. Donc f est integrable sur ]0, 1].

Etude en +∞ : On a limx→+∞

x3/2f(x) = 0 donc f(x) =x→+∞ o

(1

x3/2

)

et f est positive sur [1,+∞[. Par

comparaison a une integrale de Riemann convergente, f est integrable au voisinage de l’infini.Conclusion : f est integrable sur ]0,+∞[.

2. On remarque que g est continue et positive sur ]1,+∞[.

Etude en +∞ : On a limx→+∞

x2g(x) = 0 donc g(x) =x→+∞ o

(1

x2

)

. Par comparaison a une integrale de Riemann

convergente, g est integrable en +∞.

Etude en 1 : On sait que h 7→ 1√hest integrable sur ]0, 1]. Par le changement de variable x = 1+h avec h → 0+,

on obtient g integrable sur ]1, 2].Conclusion : g est integrable sur ]1,+∞[.

Exercice 2.42On pose, pour tout x de ]0;+∞[ et pour tout t de ]0,+∞[ :

f(t, x) = e−ttx−1.

1. Demontrez que la fonction t 7→ f(t, x) est integrable sur ]0,+∞[.

On pose, pour x ∈]0; +∞[, Γ(x) =

∫ +∞

0

e−ttx−1 dt.

2. Demontrez que, pour tout x de ]0;+∞[, Γ(x+ 1) = xΓ(x).

3. Demontrez que Γ est de classe C1 et exprimez Γ′(x) sous forme d’integrale.


1. Pour tout x ∈]0; +∞[, t 7→ f(x, t) est continue sur ]0;+∞[. On a f(x, t) ∼t→0 tx−1, et t 7→ f(t, x) est integrablesur ]0, 1] puisque x− 1 > −1 (car x > 0).

De plus pour tout x ∈]0; +∞[, limt→+∞

t2f(x, t) = 0, ainsi f(x, t) = ot→+∞

(1

t2

)

. La fonction t 7→ f(t, x) est donc

integrable sur [1;+∞[.On vient bien de demontrer que t 7→ f(t, x) est integrable sur ]0;+∞[.

2. Soit x > 0 et 0 < ε < A. On a par integrations par parties

∫ A

ε

txe−t dt = [txe−t]Aε + x

∫ A

ε

tx−1e−t dt.

En faisant tendre ε vers 0 et A vers +∞, on obtient pour tout x de ]0;+∞[, Γ(x+ 1) = xΓ(x).

45


3. – Pour tout x > 0, t 7→ f(x, t) = tx−1e−t = e(x−1) ln(t)e−t est continue et integrable sur ]0;+∞[.

– Pour tout t > 0, x 7→ f(x, t) est de classe C1 sur ]0;+∞[ et∂f

∂x(x, t) = (ln t)f(x, t).

Soit [a; b] ⊂]0; +∞[. On a pour tout x ∈ [a, b] et pour tout t ∈]0; +∞[ : |∂f∂x

(x, t)| ≤ | ln t|ϕ(t), ou

ϕ(t) :=

ta−1e−t si t ∈]0, 1]tb−1e−t si t > 1

.

La fonction t 7→ |ln(t)|ϕ(t) est continue par morceaux sur ]0;+∞[ (elle est meme continue sur ]0;+∞[,) et ϕest aussi integrable sur ]0;+∞[ d’apres la question 1.Le theoreme de derivation montre que Γ est de classe C∞ sur ]0;+∞[ et

Γ′(x) =

∫ +∞

0

∂f

∂x(x, t) dt =

∫ +∞

0

ln(t)tx−1e−t dt.

Exercice 2.431. Enoncez le theoreme de derivation sous le signe integrale.

2. Demontrez que la fonction f : x 7→∫ +∞

0

e−t2 cos(xt) dt est de classe C1 sur R.

3. Trouvez une equation differentielle lineaire d’ordre 1 dont f est solution.


1. Soit A et I deux intervalles de R et h :

A× I → R

(x, t) 7→ h(x, t).

Si– pour tout x ∈ A, t 7→ h(x, t) est continue par morceaux et integrable sur I,– pour tout t ∈ I, x 7→ h(x, t) est de classe C1 sur A,– pour tout x ∈ A, t 7→ ∂h

∂x (x, t) est continue par morceaux et integrable sur I,

– il existe une fonction ϕ definie, continue par morceaux et integrable sur I telle que ∀(x, t) ∈ A×I, |∂h∂x

(x, t)| ≤ϕ(t),

alors l’application f :

A → R

x 7→∫

Ih(x, t)

est de classe C1 sur A et pour tout x ∈ A, f ′(x) =

∫

I

∂h

∂x(x, t) dt.

2. Pour tout x ∈ R et t ∈ [0,+∞], on pose h(x, t) = e−t2 cos(xt)– Pour tout x ∈ R, t 7→ h(x, t) est continue (par morceaux) sur [0,+∞[. De plus pour tout x ∈ R et t ∈ [0,+∞],

|e−t2 cos(xt)| ≤ e−t2 donc t 7→ h(x, t) est aussi integrable sur [0,+∞[.– Pour tout t ∈ [0,+∞[, x 7→ h(x, t) est de classe C1 sur R.

– Pour tout x ∈ R et t ∈ [0,+∞[, t 7→ ∂h

∂x(x, t) = −te−t2 sin(xt) est continue (par morceaux) et integrable sur

[0,+∞[ (car te−t2 = ot→+∞(1

t2)).

– l’hypothese de domination est verifiee avec ϕ : t 7→ te−t2 .D’apres le theoreme de derivation sous le signe integrale, f est C1 sur R et pour tout x ∈ R, f ′(x) =

−∫ +∞

0

−te−t2 sin(xt) dt.

3. En integrant par parties avec A ≥ 0, on obtient :

−∫ A

0

−te−t2 sin(xt) dt = [1

2e−t2 sin(xt)]A0 −

∫ A

0

x

2e−t2 cos(xt) dt.

En passant a la limite A tend vers +∞, on obtient pour tout x ∈ R : f ′(x) +x

2f(x) = 0.

Exercice 2.44Calculez l’integrale double

I =

∫ ∫

D

√

x2 + y2 dxdy

ou D est defini par : x2 + y2 − 2y ≥ 0;x2 + y2 − 1 ≤ 0;x ≥ 0; y ≥ 0.

46


Elements de correction : Un passage en coordonnees polaire s’impose. L’equation de cercle x2 + y2 − 2y = 0 est

equivalente a r2 = 2r ∈ θ soit r = 2 sin θ. On a D = (r cos θ, r sin θ) : 0 ≤ θ ≤ π

6, 2 sin θ ≤ r ≤ 1. On a :

I =

∫ π

6

0

(∫ 1

2 sin θ

r2 dr

)

θ dθ =π

18+√3− 16

9.

A

O x

y

Exercice 2.451. Demontrez que la fonction x 7→ e−x2

est integrable sur [0;+∞[.

2. Pour chaque nombre r > 0, on note Cr le carre [0; r]×[0; r] et Dr l’ensemble defini par : x2+y2 ≤ r2, x ≥ 0, y ≥ 0.

(a) Quelle relation y a-t-il entre

∫ ∫

Cr

e−(x2+y2) dxdy et

∫ r

0

e−t2 dt ?

(b) Calculez en fonction de r l’integrale double

∫ ∫

Dr

e−(x2+y2) dxdy.

(c) Deduisez de ce qui precede la valeur de l’integrale

∫ +∞

0

e−x2

dx.

Indication : on pourra remarquer que Dr ⊂ Cr ⊂ D2r.


1. La fonction x 7→ e−x2

est continue positive sur [0,∞[ et limx→+∞

x2e−x2

= 0 donc x 7→ e−x2

est integrable sur

[0,+∞[ (car e−x2

= ox→+∞(1

x2)).

2. (a) On a d’apres le theoreme de Fubini :

∫ ∫

Cr

e−(x2+y2) dxdy =

∫ r

0

(∫ r

0

e−x2

dx

)

e−y2

dy =

(∫ r

0

e−x2

dx

)2

.

(b) En passant en coordonnees polaires :

∫ ∫

Dr

e−(x2+y2) dxdy =

∫ π

2

0

(∫ r

0

ρe−ρ2

)

dθ =π

4(1− e−r2).

(c) L’integrale preservant l’ordre, on a puisque (x, y) 7→ e−(x2+y2) est positive et Dr ⊂ Cr ⊂ D2r :

π

4(1− e−r2) ≤

∫ ∫

Cr

e−(x2+y2) dxdy ≤ π

4(1− e−4r2).

En passant a la limite r tend vers +∞, on obtient :

(∫ +∞

0

e−x2

dx

)2

=π

4, soit

∫ +∞

0

e−t2 dt =

√π

2.

Exercice 2.46Resolvez sur l’intervalle ]1,+∞[ l’equation differentielle : y′ +

x

1− x2y = 2x.


1. Sur ]1,+∞[ l’equation homogene y′ +x

1− x2y = 0 a pour solutions x 7→ K

√x2 − 1,K ∈ R.

Une variation de la constante donne comme solution particuliere x 7→ 2(x2 − 1).L’ensemble des solutions de l’equation generale est donc

x 7→ K√

x2 − 1 + 2(x2 − 1),K ∈ R.

47


Exercice 2.47Resolvez sur R l’equation differentielle : y′′ + y = cos(x) en utilisant la methode de variation des constantes.

Elements de correction : On reconnait une equation differentielle lineaire d’ordre 2 a coefficients constants.L’equation homogene y′′ + y = 0 a pour solution x 7→ A cosx+B sinx,A,B ∈ R.Pour trouver une solution particuliere, on suppose que A et B sont des fonctions derivables telles que

A′(x) cosx+B′(x) sinx = 0

−A′(x) sinx+B′(x) cosx = cosx=⇒

A′(x) = − sinx cosx

B′(x) = cos2 x.

Une solution particuliere est donnee par x 7→ 1

2x sinx+

1

2cosx.

Les solutions de l’equation generale sont donc

x 7→ A cosx+B sinx+1

2x sinx+

1

2cosx,A,B ∈ R.

Exercice 2.48Toute fonction f de C dans C peut-etre ecrite, pour tout z = x+ iy ∈ C, sous la forme f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u etv designant deux fonctions de R2 dans R.On se propose de trouver, s’il en existe, des fonctions f satisfaisant aux conditions suivantes :C1. Les fonctions u et v sont de classe C∞ sur R2.

C2. Pour tout (x, y) de R2,∂u

∂x(x, y) =

∂v

∂y(x, y) et

∂u

∂y(x, y) = −∂v

∂x(x, y).

1. Demontrez que, si u et v existent, alors, pour tout (x, y) de R2 :

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) = 0 et

∂2v

∂x2(x, y) +

∂2v

∂y2(x, y) = 0.

2. On suppose que u(x, y) = x3 − 3xy2 + 2x2 − 2y2 + 3x.

(a) Trouvez les fonctions v telles que les conditions C1 et C2 soient satisfaites.

(b) Demontrez qu’il existe une fonction f = u+ iv unique telle que f(0) = 0 et explicitez f(z) en fonction de z.

(c) Pour cette fonction f , construisez dans le plan complexe rapporte a un repere orthonorme, le point A d’affixef(i).


1. Supposons que u et v existent. Alors pour tout (x, y) ∈ R2d’apres C1 et C2, on a :

∂2u

∂x2(x, y) +

∂2u

∂y2(x, y) =

∂

∂x

(∂v

∂y

)

(x, y) +∂

∂y

(

−∂v

∂x

)

.

Puisque u et v sont C∞, le theoreme de Schwarz implique que∂

∂x

(∂v

∂y

)

=∂

∂y

(∂v

∂x

)

sur R2. On a donc bien

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 sur R2. On procede de meme pour montrer que

∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2= 0 sur R2.

2. (a) La fonction v doit verifier

∂v∂x (x, y) = −∂u

∂y = 6xy + 4y∂v∂y (x, y) =

∂u∂x = 3x2 − 3y2 + 4x+ 3

.

On obtient des fonctions v de la forme v : (x, y) 7→ 3x2y − y3 + 4xy + 3y +K, K ∈ R.

(b) La condition f(0) = 0 implique K = 0. On a donc f(z) = z3 + 2z2 + 3z.

(c) On a : f(i) = i3 + 2i2 + 3i = 2i− 2.

Exercice 2.49Soit l’equation differentielle : x(x− 1)y′′ + 3xy′ + y = 0.

1. Trouvez les solutions de cette equation developpables en serie entiere a l’origine. Determinez la somme des seriesentieres obtenues.

48


2. Indiquez une methode pour trouver toutes les solutions de l’equation differentielle sur chacun des intervalles]0, 1[, ]−∞, 0[ et ]1,+∞[.


1. Soit S : x 7→ ∑anx

n une serie entiere de rayon de convergence R > 0. Pour tout x tel que |x| < R, on a :

S′(x) =+∞∑

n=1

nanxn−1 et S′′(x) =

∑+∞n=2 n(n− 1)anx

n−2. On on alors :

x(x− 1)S′′(x) + 3xS′(x) + S(x) =+∞∑

n=0

((n+ 1)2an − n(n+ 1)an+1)xn.

Par uncite du developpement en serie entiere, S est solution de l’equation si et seulement si : ∀n ∈ N, nan+1 =(n+1)an ce qui donne par iteration : ∀n ∈ N, an = na1 (la relation est encore vraie pour n = 0 puisque a0 = 0.).On a donc

S(x) = a1∑

n≥0

nxn =a1x

(1− x)2, |x| < 1.

2. On cherche les solutions sur chaque intervalle sous la forme y(x) =A(x)x

(1− x)2, avec x 7→ A(x) deux fois derivable.

Exercice 2.50On pose f(x, y) =

xy√

x2 + y2et f(0, 0) = 0.

1. Demontrer que f est continue sur R2.

2. Demontrer que f admet des derivees partielles en tout point de R2.


1. – La fonction f est continue sur R2/(0, 0) par les theoremes usuels de continuite.

– Etude en (0, 0) : soit M(x, y) avec (x, y) 6= (0, 0). Puisque x2 + y2 ≥ x2, on a

|f(x, y)| ≤ |xy|√x2

≤ |xy||x| = |y|.

Puisque |y| tend vers 0 lorsque M(x, y) tend vers (0, 0), on obtient lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 = f(0, 0).

– La fonction f est bien continue sur R2.

2. On rappelle que f admet une derivee partielle premiere par rapport a x en M(a, b) si et seulement si pour h 6= 0,

limh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

h

existe et est finie. On note alors sa valeur par∂f

∂x(a, b).

– La fonction f est clairement de classe C∞ sur R2/(0, 0) par les theoremes usuels de differentiabilite et admetdonc des derivees partielles premieres en tout point de R2/(0, 0).

– Etude en (0, 0) : soit h 6= 0, alorsf(h, 0)− f(0, 0)

h= 0, donc f admet une derivee partielle premiere par

rapport a x en (0, 0) et∂f

∂x(0, 0) = 0. Par symetrie, la derivee partielle premiere par rapport a y existe et vaut

0.– La fonction f admet des derivees partielles premieres en tout point de R2.

Exercice 2.511. Etudiez les extrema de la fonction definie par :f(x, y) =

√

4− x2 − y2 en utilisant la methode generale derecherche d’extrema d’une fonction de 2 variables.

2. Retrouvez geometriquement le resultat precedent.Indication : quelle est la surface d’equation z =

√

4− x2 − y2.


1. – La fonction f est definie sur le disque fermee D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4.– Sur la frontiere de D (le cercle C de centre O et de rayon 2), f est identiquement nulle.

49


– Sur l’interieur de D, la fonction f est strictement positive.– Tout point de C est donc un minimum absolu.– Sur l’interieur de D, f est C1 et les conditions necessaires du premier ordre donne pour seul point critiquel’origine. Puisque f(0, 0) = 2 et ∀(x, y) ∈ D, f(x, y) ≤ f(0, 0). L’origine est donc un maximum absolu.

2. On a :

z =√

4− x2 − y2 ⇐⇒

x2 + y2 + z2 = 4

(x, y) ∈ D.

La surface z =√

4− x2 − y2 est donc la demi-calotte spherique d’altitude positive basee sur la shere de centrel’origine et de rayon 2. On retrouve l’infinite de minima absolus correpondant a z = 0 et le maximum absolucorrespondant a z = 2 (”le pole nord”).

Exercice 2.521. Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel norme E.

Demontrez que : x ∈ A ⇐⇒ ∃(xn)n∈N telle que ∀n ∈ N, xn ∈ A, et limn→+∞

xn = x.

2. Demontrez que si A est un sous-espace vectoriel de E, alors A est un sous-espace vectoriel de E.


1. – Soit x ∈ A. Pour tout n ∈ N∗, la boule ouverte de centre x et de rayon rn =1

nverifie : B(x, rn)∩A 6= ∅. Cela

permet bien de construire une suite (xn)n d’elements de A et qui soit convergente vers x.– Reciproquement si x est limite d’une suite (xn)n d’elements de A, alors pour tout r > 0, il existe un rangN ∈ N tel que ∀n ≥ N,xn ∈ B(x, r). Cela implique bien B(x, r) ∩A 6= ∅.

2. On a : ∅ 6= A ⊂ A ⊂ E. Soit (xn)n, (yn)n ∈ AN deux suites convergeant respectivement vers x et y. Alors pourtout λ, µ ∈ R, la suite (λxn + µyn)n ∈ AN (car A est un sous-espace vectoriel de E) converge vers λx+ µy. Ona bien montre que λx+ µy ∈ A.

Exercice 2.53E et F designent deux espaces vectoriels normes.

1. Soient f une application de E dans F et a un point de E.Demontrez que les deux proprietes suivantes sont equivalentes :P1. f est continue en a.P2. Pour toute suite (xn) d’elements de E telle que lim

n→+∞xn = a, on a lim

n→+∞f(xn) = f(a).

2. Soit A une partie dense d’un sous-espace vectoriel norme E, et soient f et g deux applications continues de Edans F , F designant un espace vectoriel norme. Demontrez que si, pour tout x ∈ A, f(x) = g(x) alors f = g.


1. – Supposons P1 verifiee. Soit (xn) une suite d’elements de E qui converge vers a. Soit ε > 0. L’application fetant continue en a, il existe r > 0 tel que pour tout x de la boule ouverte B(a, r) de centre a et de rayon r,on ait ||f(x)− f(a)|| ≤ ε.A partir d’une certain N , on a pour n ≥ N , xn ∈ B(a, r) ce qui montre que la suite (f(xn)) converge versf(a).

– Pour montrer que (P2 =⇒ P1), on raisonne par contraposee. Supposons donc que P1 n’est pas verifiee etmontrons que cela implique que P2 n’est pas non plus verifiee.Il existe donc ε > 0 tel que pour tout r > 0, B(a, r) contient un element x tel que ||f(x) − f(a)|| ≥ ε. On

prend alors pour tout n ∈ N∗, rn =1

n. Cela permet de contruire une suite (xn) delements de E qui converge

vers a (puisque pour tout n ∈ N∗, xn ∈ B(a,1

n) ) mais telle que pour tout n ∈ N∗, ||f(xn)− f(a)|| ≥ ε. Cela

demontre que P2 n’est pas verifiee.

2. Soit x ∈ A = E. Il existe une suite (xn)n ∈ AN qui converge vers x. Pour tout n ∈ N , puisque xn ∈ A, on af(xn) = g(xn) et par unicite de la limite et la caracterisation sequentielle de la continuite, on a f(x) = g(x). Lesapplications f et g sont egales sur E tout entier.

Exercice 2.54E et F designent deux espaces vectoriels normes.

50


1. A est un sous-ensemble compact de E, et f une application de E dans F .Demontrez que si f est continue sur A, alors f(A) est un sous-ensemble compact de F .

2. On suppose que g est est une fonctions continue de E dans C.Demontrez que si A est un sous-ensemble compact de E, alors :

(a) g(A) est une partie bornee de C ;

(b) ∃x0 ∈ A tel que supx∈A

|g(x)| = |g(x0)|.


1. Soit (yn)n ∈ (f(A))N. Pour tout n ∈ N, soit xn ∈ A tel que f(xn) = yn. Comme A est compact par hypothese,on peut extraire de la suite (xn)n ∈ AN une sous-suite (xϕ(n))n convergente vers un certain x ∈ A. Par continuitede f en x et caracterisation sequantielle de la continuite (voir exercice d’analyse numero 53), on sait que lasuite (yϕ(n) = f(xϕ(n)))n convergente vers f(x) ∈ f(A). On a donc pu extraire de la suite (yn)n une sous-suiteconvergente. Cela prouve la compacite de f(A).

2. (a) D’apres la question precedente, puisque g(A) est une partie compacte de C, c’est une partie bornee de C.

(b) L’ensemble E = |g(x)|, x ∈ A est un compact de R. Si A est non vide, E est non vide. En tant que compactnon vide de R, E admet un plus grand element.

Exercice 2.55Soit E un espace norme complet et soit A un sous-ensemble de E.

1. Demontrez que : A complet ⇐⇒ A ferme.

2. Pour chacun des sous-ensembles suivants de R, dites s’il est complet ou non, en justifiant votre reponse :

(a) ]0, 1]

(b) [−2, 2] ∪ [3,+∞[

(c) [0, 1[∪]−∞, 2].


1. – Supposons A complet (donc toute suite de Cauchy d’elements de A est convergente vers un element de A).Soit x ∈ A et (xn)n ∈ AN tels que (xn)n converge vers A. Puisque la suite (xn)n converge, elle est de Caucyet x ∈ A. On a donc A = A.

– Supposons A ferme. Soit (xn)n ∈ AN une suite de Cauchy. Puisque AN ⊂ EN, (xn)n est aussi une suite deCauchy d’elements de E suppose complet. Donc (xn)n est convergente (dans E) vers un element x. Commelimn→+∞ xn = x, on a x ∈ A = A. On a bien montre que toute suite de Cauchy d’elements de A est convergentevers un element de A.

2. (a) ]0, 1] n’est pas fermee dans R (donc n’est pas non plus complet). On peut considerer la suite (xn)n→N∗ ∈]0, 1]N

definie pour tout n ∈ N∗ par xn =1

n.

(b) [−2, 2] sup[3,+∞[ est ferme (docn complet) en tant que reunion de deux fermes R.

(c) [0, 1[∪]−∞, 2] =]−∞, 2] est ferme dans R (donc complet) en tant que complementaire de l’intervalle ouvert]2,+∞[.

Exercice 2.56Soient E,F deux espaces vectoriels normes sur le corps R.

1.

Demontrez que si f est une application lineaire de E dans F , alors les proprietes suivantes sont deux a deux equiva-lentes :P1. f est continue sur E.P2. f est continue en 0.P3. ∃k > 0 tel que ∀x ∈ E, ||f(x)|| ≤ k||x||.Soit E l’espace vectoriel des applications continues de [0, 1] dans R muni de la norme definie par : ||f || = sup

x∈[0,1]

|f(x)|.

On considere l’application ϕ de E dans R definie par : ϕ(f) =

∫ 1

0

f(t) dt.

Demontrez que ϕ est lineaire et continue.


51


1. – (P1 =⇒ P2) : C’est clair.– (P2 =⇒ P3) : Supposons donc f continue en 0. Il existe r > 0 tel que pour tout element x ∈ E, ||x|| ≤ r =⇒||f(x)|| ≤ 1. Pour y ∈ E non nul, on a par linearite de f puisque ry

||y|| ≤ r :

||f( ry

||y|| )|| ≤ 1 =⇒ 1

||y||r||f(y)|| ≤ 1 =⇒ ||f(y)|| ≤ ||y||r

.

L’inegalite est encore verifiee pour y = 0. On peut donc prendre k =1

r.

– (P3 =⇒ P1) : Par linearite de f , on a d’apres P3 : ∀x, y ∈ E, ||f(x) − f(y)|| = ||f(x − y)|| ≤ k||x − y||.L’application f est donc Lipschitzienne de rapport k sur E, elle est donc continue sur E.

2. L’application ϕ est une forme lineaire sur E (linearite de l’integrale) et pour f ∈ E,

|ϕ(f)| = |∫ 1

0

f(t) dt| ≤∫ 1

0

|f(t)| dt ≤ ||f ||∫ 1

0

dt = ||f ||.

L’application ϕ est donc bien aussi continue pusique P3 =⇒ P1

Exercice 2.57On note E l’espace vectoriel des applications continues de [0, 1] dans R. On pose, pour tout f de E :

p∞(f) = supx∈[0,1]

|f(x)| et p1(f) =

∫ 1

0

|f(x)| dx.

1. (a) Demontrez succintement que p∞ et p1 sont deux normes sur E.

(b) Demontrez qu’il existe k > 0 tel que , pour tout f de E, p1(f) ≤ kp∞(f).

(c) Demontrez que tout ouvert pour la norme p1 est un ouvert pour la norme p∞.

2. Demontrez que les normes p1 et p∞ ne sont pas equivalentes.


1. (a) Les application p1 et p∞ sont bien definies. L’homogeneite ne pose aucun probleme. La sous-additiviteresulte presque directement de l’inegalite triangulaire. La propriete de separation est claire pour p∞. Pourp1, elle provient du fait qu’on travail sur un espace de fonctions continues.

(b) Pour f ∈ E, p1(f) ≤ p∞(f)

∫ 1

0

dx = p∞(f). On peut donc prendre k = 1.

(c) Soit O un ouvert de E pour p1 et f ∈ O. Il existe r > 0 tel que si g ∈ E, p1(f − g) < r =⇒ g ∈ O. Pourg ∈ E, p∞(f − g) < r =⇒ p1(f − g) < r (car p1(f − g) ≤ p∞(f − g)). Autrement dit la boule ouverte pourp∞ de centre f et de rayon r est incluse dans la boule ouverte pour p1 de centre f et de meme rayon r.Tout ouvert pour la norme p1 est bien un ouvert pour la norme p∞.

2. Pour n ∈ N, soit fn ∈ E definie par fn(x) = xn. On a clairement pour tout n ∈ N , p1(fn) =1

n+ 1et p∞(fn) = 1.

La suite numerique (p1(fn))n converge vers 0 alors que la suite numerique numerique (p∞(fn))n est constanteegale a 1. Les deux normes ne sont donc pas equivalentes.

Exercice 2.58On note R[X] l’espace vectoriel des polynomes a coefficients reels. Pour tout polynome P =

n∑

i=0

aiXi, n designant le

degre de P , on pose :

p1(P ) =n∑

i=0

|ai| et p2(P ) = max0≤i≤n

|ai|.

1. (a) Demontrer succintement que p1 et p2 sont des normes sur R[X].

(b) Demontrer que tout ouvert pour la norme p2 est un ouvert pour la norme p1.

(c) Demontrer que les normes p1 et p2 ne sont pas equivalentes.

2. On note Rk[X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitue des polynomes de degre inferieur ou egal a k. On notep′1 la restriction de p1 a Rk[X] et p′2 la restriction de p2 a Rk[X].Les normes p′1 et p′2 sont-elles equivalentes ?

Elements de correction : Quelques rappels :

52


– Un K-espace vectoriel E est dit norme E lorsqu’il est muni d’une norme, c’est-a-dire d’une application N : E →R+ satisfaisant les hypotheses suivantes :– separation (ou caractere defini) : ∀x ∈ E, N(x) = 0 ⇒ x = 0E ,– homogeneite : ∀(λ, x) ∈ K× E, N(λ · x) = |λ|N(x),– sous-additivite : ∀(x, y) ∈ E2, N(x+ y) ≤ N(x) +N(y).

– Deux normes N1 et N2 sur un evn E sont dites equivalentes si et seulement s’il existe deux nombres reels c et Cstrictement positifs tels : ∀x ∈ E cN1(x) ≤ N2(x) ≤ CN1(x).

– Toutes les normes d’un espace vectoriel reel ou complexe de dimension finie sont equivalentes.– Un ensemble O d’un evn E est dit ouvert si et seulement si pour tout x element de O, il existe une boule ouverte

de centre x et non vide contenue dans O– Deux normes equivalentes sur un evn E definissent les memes ouverts.

1. (a) L’homogeneite ne pose aucun probleme. La sous-additivite resulte presque directement de l’inegalite trian-gulaire. Seule la separation merite un peu de detail. Soit donc P =

∑ni=0 aiX

i ∈ R[X] tel que p1(P ) =p2(P ) = 0. On remarque que ∀k ∈ [|0, n|], 0 ≤ |ak| ≤ p2(P ) ≤ p1(P ) = 0. Ainsi P = 0 et p1 et p2 sont biendes normes.

(b) Soit O un ouvert de (R[X], p2). Pour x ∈ O, il existe r > 0 telle que la boule ouverte Bp2(x, r) = P ∈

R[X], p2(P − x) < r de centre x et de rayon r pour la norme p2 soit incluse dans O. Soit Q ∈ Bp1(x, r) =

P ∈ R[X], p1(P − x) < r (boule ouverte pour la norme p1 de meme centre x et meme rayon r queBp2

(x, r)). On a donc p1(Q− x) < r et puisque p2(Q− x) ≤ p1(Q− x) < r, on a Q ∈ Bp2(x, r). Autrement

dit Bp1(x, r) ⊂ Bp2

(x, r) ⊂ O, et O est aussi un ouvert de (R[X], p1).

(c) Attention ici a ne pas utiliser le fait ∀P ∈ R[X], p2(P ) ≤ p1(P ) ≤ (deg(P) + 1)p2(P) pour conclure que lesnormes p1 et p2 sont equivalentes. La double inegalite est vraie mais le terme (deg(P)+ 1) depend de P esttend eventuellement vers l’infini.On considere la suite (Pn) de polynomes de R[X] definie pour n ∈ N par Pn =

∑ni=0 X

i (tous les coefficientsvalent 1). On a clairement p2(Pn) = 1 et p1(Pn) = n+1. La suite (Pn) est bornee pour p2 mais ne l’est paspour p1 donc les deux normes ne sont pas equivalentes.

2. Rk[X] etant un espace vectoriel de dimension finie, on sait que toutes les normes sont equivalentes. Donc p′1 et p′2sont equivalentes. Sans faire usage du theoreme d’equivalence des normes d’un evn de dimension finie, on peutaussi revenir a la definition de normes equivalentes et faire remarquer que :

∀P ∈ Rk[X], p2(P ) ≤ p1(P ) ≤ (deg(P) + 1)p2(P) ≤ (k + 1)p2(P),

donc p1 et p2 sont bien equivalentes.

Exercice 2.59On note l2 l’ensemble des suites x = (xn) de nombres complexes telles que la serie

∑ |xn|2 converge.

1. Demontrez que l2 est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites de nombres complexes.

2. (a) Demontrez que pour x = (xn) ∈ l2 et y = (yn) ∈ l2, la serie∑

xnyn converge.

On pose x|y =+∞∑

n=0

xnyn

(b) Demontrez que l’on definit ainsi un produit scalaire dans l2

3. On suppose que l2 est muni de ce produit scalaire et de la norme associee.Soit n ∈ N. Pour tout x = (xn) ∈ l2, on pose ϕ(x) = xn. Demontrez que ϕ est une application lineaire et continuede l2 dans C et calculez ||ϕ||, ou ||ϕ|| designe la norme usuelle dans l’espace vectoriel des applications lineaireset continues de l2 dans C.


1. On a bien sur l2 ⊂ CN. De plus l2 est non vide puisque la suite nulle est un element de celui-ci. Soit x = (xn) ∈ l2,y = (xn) ∈ l2 et λ ∈ C. On a bien sur λx = (λxn) ∈ l2. De plus pour tout n ∈ N

|xn + yn|2 ≤ |xn|2 + 2|xnyn|+ |yn|2 ≤ 2(|xn|2 + |yn|2

),

(ou on a utilise 2ab ≤ a2 + b2 pour a et b reels), on a aussi x+ y = (xn + yn) ∈ l2.

2. (a) Si x = (xn) ∈ l2, y = (xn) ∈ l2, on a vu que 2|xnyn| = 2|xnyn| ≤ |xn|2 + |yn|2 ce qui montre que la serie∑

xnyn converge absolument donc converge.

(b) L’application l2 × l2 ∋ (x, y) 7→ x|y =∑+∞

n=0 xnyn est sesquilineaire hermitienne et positive. De plus six|x = 0 alors x = 0 car pour tout n ∈ N, |xn|2 ≥ 0. Donc on a bien un produit scalaire dans l2.

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3. L’application ϕ est claireemnt lineaire et pour tout x = (xi) ∈ l2,

|ϕ(x)| = |xn| ≤(

+∞∑

i=0

|xi|2)1/2

= ||x||2,

ou ||.||2 designe la norme associe au produit scalaire considere. L’application ϕ est donc continue sur l2 et||ϕ|| ≤ 1. Pour x = (δk,n)k∈N ∈ l2, on a ϕ(x) = 1 et ||x||2 = 1. Donc ||ϕ|| = 1.

Exercice 2.60Soit A une algebre normee de dimension finie ayant e pour element unite.

1. Soit u un element de A tel que ||u|| < 1.

(a) Demontrez que la serie∑

un est convergente.

(b) Demontrez que (e− u) est inversible et que (e− u)−1 =

+∞∑

n=0

un.

2. Demontrez que, pour tout u de A, la serie∑ un

n!converge.


1. (a) L’algebre A etant de dimension finie, c’est en particulier un espace vectoriel norme complet. Puisque pour

tout n ∈ N∗, ||un|| ≤ ||u||n, on conclut que pour u ∈ A tel que ||u|| < 1,∑

un converge absolument donc

converge (car A est complet).

(b) Soit N ∈ N, on a (e − u)N∑

n=0

= e − uN+1 et ||uN+1|| ≤ ||u||N+1 →N→+∞ 0. On procede de meme avec

(∑N

n=0 un)

(e− u). Par passage a la limite N → +∞ (remarquer que x 7→ (e− u)x est lineaire sur A donc

continue puisque A est de dimension finie), (e−u) est inversible (a droite et a gauche) et (e−u)−1 =

+∞∑

n=0

un.

2. Pour tout n ∈ N,

∣∣∣∣

∣∣∣∣

un

n!

∣∣∣∣

∣∣∣∣≤ ||u||n

n!, donc la serie

∑ un

n!converge absolument (car la serie numerique

∑∞n=0

||u||nn!

converge en tant que serie exponentielle reelle vers e||u||)

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1 Algèbre et géométrie - Jérôme Nicolas" · 2012-2013 Correction Banque CCP MP MP Eléments...

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