06-integrais de superfície

AM2

Superfıcie

Vetor normale planotangente

Integral desuperfıcie decampo escalar

Integral desuperfıcie decampo vetorial

Teorema dadivergencia

Teorema deStokes

Integrais de SuperfıcieAnalise Matematica 2/ Calculo 2

2o Semestre 2013/14versao de 5 de Junho de 2014

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Superfıcie





Teorema deStokes

Definicao

Chama-se parametrizacao de uma superfıcie a uma aplicacao:

~R : D ⊂ R2 −→ R3

(u, v) −→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

com D um aberto conexo de R2.

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Teorema deStokes

Exercıcios I

Parametrize as superfıcies usando, se possıvel, as projeccoes emxOy, yOz e em xOz:

1

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z , z ≤ 4

2

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z2, 1 ≤ z ≤ 4

3

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 = 9, z ≥ 0

4 *

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 16, −1 ≤ z ≤ 3

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Teorema deStokes

Exercıcios II

5

S =

(x , y , z) ∈ R3 : z = 1− x2, z ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 3

6

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x + y + x = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

7

S =

(x , y , z) ∈ R3 : z = 1, x2 + y 2 ≤ 4

8

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x = y , −1 ≤ z ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 2

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Teorema deStokes

Exercıcios III

Parametrize as superfıcies usando coordenadas polares:

1

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z , z ≤ 9

2

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 = 1, z ≤ 0

3

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z2, −3 ≤ z ≤ 0

4 *

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 4, −1 ≤ z ≤ 4

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Teorema deStokes

Qual o tipo de deformacao que e produzida pela parametrizacaoem coordenadas polares e em coordenadas cartesianas?

falta outra...

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Teorema deStokes

Exercıcios IV

Parametrize as superfıcies:

1

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 9− z , 0 ≤ z < 5, x ≤ 0

2

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z2,−4 ≤ z ≤ 0, y ≤ x , x ≥ 0

3

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 4, −2 ≤ z ≤ 3, y ≤ 0

4

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 = 9, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0

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Teorema deStokes

Exercıcios VParametrize as superfıcies:

1

S =

(x , y , z) ∈ R3 : (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9− z , z ≥ 0

2

S =

(x , y , z) ∈ R3 : y 2 + z2 = x2,−4 ≤ x ≤ 0, z ≥ 0

3

S =

(x , y , z) ∈ R3 :

(x

3

)2+ y 2 = 4, −1 ≤ z ≤ 5, y ≤ 0

4

S =

(x , y , z) ∈ R3 : (x − 3)2 +

(z

2

)2= y , x ≤ 3, y ≤ 4

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Teorema deStokes

Exercıcios VIParametrize, usando coordenadas esfericas, as superfıcies:

1

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 = 9, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0

2

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≤ 0

3

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 = 25, x ≥ 0, y ≤ 0, z ≤ 0

Coordenadas esfericasx = ρ cos(θ) sin(ϕ)y = ρ sin(θ) sin(ϕ)z = ρ cos(ϕ)

, θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π], ρ ∈ R+

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Teorema deStokes

Seja S uma superfıcie parametrizada por

~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D

de classe C 1(D).

∂~r

∂u(a, b, c)

e um vetor tangente a superfıcie S no ponto (a, b, c) .

∂~r

∂v(a, b, c)

e um vetor tangente a superfıcie S no ponto (a, b, c) .

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Teorema deStokes

Vetor normalSeja S uma superfıcie parametrizada por

~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D

de classe C 1(D).Um vetor normal a superfıcie num pontoP = (a, b, c) = (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)) e dado por

∂~r

∂u(u0, v0)× ∂~r

∂v(u0, v0) =

∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣ =

(∂y

∂u

∂z

∂v− ∂z

∂u

∂y

∂v

)~e1+

(∂z

∂u

∂x

∂v− ∂x

∂u

∂z

∂v

)~e2+

(∂x

∂u

∂y

∂v− ∂y

∂u

∂x

∂v

)~e3

(desde que seja nao nulo.) Ao vetor anterior chama-se vetorproduto fundamental.

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Teorema deStokes

Notas:

1 ~n =∂~r∂u× ∂~r

∂v

‖ ∂~r∂u× ∂~r

∂v ‖e normal a superfıcie e unitario.

2 O vetor ∂~r∂v ×

∂~r∂u tambem e normal a S mas tem sentido

oposto a ∂~r∂u ×

∂~r∂v .

3 Uma superfıcie com vetor normal (nao nulo) em todos ospontos diz-se regular (nao apresenta regioes pontiagudas).

4 Equacao cartesiana do plano que passa no ponto (a, b, c)e e normal ao vetor ~n = (n1, n2, n3):

n1(x − a) + n2(y − b) + n3(z − c) = 0

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Teorema deStokes

Exercıcios

1 Determine a equacao do plano tangente ao paraboloideparametrizado por

~r(u, v) = (u, v , u2 + v 2)

no ponto (1, 2, 5).

2 Determine as equacoes dos planos tangentes aoparaboloide dado pela equacao

x2 + y 2 = 4− z

nos pontos (0,0,4) e (-1,1,2).

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Teorema deStokes

Definicao (Integral de superfıcie de campo escalar)

Seja S ≡ ~r(D) uma superfıcie, ~r ∈ C 1(D) e f : Ω −→ R umcampo escalar limitado com S ⊂ Ω.Define-se o integral de superfıcie de f sobre S como:∫∫

Sf dS =

∫∫D

f (~r(u, v))

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂~r∂u× ∂~r

∂v(u, v)

∣∣∣∣∣∣∣∣ dudv

Nota:

area de S =

∫∫S

1 dS

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Teorema deStokes

Proposicao

O integral de superfıcie de campo escalar nao depende daparametrizacao.

Se S e S1 sao duas superfıcies que apenas diferem numnumero finito de linhas, entao:∫∫

Sf dS =

∫∫S1

f dS

Interpretacao:∫∫S f dS da a quantidade total de f sobre a superfıcie S.

Por exemplo, se f (x , y , z) indicar a quantidade de humidadeem cada ponto (x,y,z), este integral indica a quantidade totalde humidade que esta sobre a superfıcie S.

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Teorema deStokes

Exercıcios I

1 Calcule∫∫S f dS sendo f (x , y , z) = x2 + y 2 + z2 + 5

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1.

R: 6√

2π

2 Calcule∫∫S(x + z) dS onde S e a parte do cilindro

y 2 + z2 = 9 entre x = 0 e x = 4 contida no 1o octante.R: 12π + 36

3 Calcule∫∫S f dS sendo f (x , y , z) = xy

z

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z , 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 16.

R: 6532−17

32

3

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Teorema deStokes

Exercıcios II

4 Calcule a area da superfıcie

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z , 0 ≤ z ≤ 4

R: π6 (√

173 − 1)

5 Verifique que a area da superfıcie de uma esfera unitaria e4π.Sug: Use coordenadas esfericas.

6 Calcule a area da superfıcie dada por

x2 + y 2 − z = 0 ∧ z ≤ 9

R: π2

3732−13

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Teorema deStokes

Orientacao de uma superfıcieUma superfıcie S diz-se orientavel se podemos definir umvetor normal unitario ~n a cada ponto de S e de modo que estesvetores variem continuamente sobre a superfıcie S .Uma superfıcie orientada tem dois lados distintos. Assimquando orientamos uma superfıcie escolhemos um dos doispossıveis vectores normais unitarios.

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Teorema deStokes

Fita de Mobius

http://www.youtube.com/watch?v=BVsIAa2XNKc&NR=

1&feature=fvwp

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http://www.youtube.com/watch?v=BVsIAa2XNKc&NR=1&feature=fvwp

http://www.youtube.com/watch?v=BVsIAa2XNKc&NR=1&feature=fvwp

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Teorema deStokes

Garrafa de Klein

http://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc20/42

http://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc

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Teorema deStokes

Definicao (Integral de superfıcie de campo vetorial)

Seja S uma superfıcie orientada de parametrizacao ~r eorientacao ~n, isto e, (S ,~n).

Seja ~F : Ω −→ R3 um campo vetorial contınuo, tal queS ⊂ Ω.

Define-se∫∫S

~F · dS =

∫∫S

~F · ~n dS =

∫∫D

~F (~r(u, v))| ∂~r

∂u× ∂~r

∂vdudv

Nota:∫∫S

~F · dS e o fluxo que atravessa S com velocidade ~F , ou

seja, e a quantidade de fluido que atravessa a superfıcie S porunidade de tempo.

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Teorema deStokes

Campo vetorial de velocidades (constantes em modulo), ~v deum escoamento de agua num tubo infinitesimalmente pequeno.

Quais partıculas do fluido contribuirao mais para o fluxo?~v1-Tem a contribuicao maxima possıvel: ~v1 · ~n = ~f1

~v3-Nao contribui: ~v1 · ~n = 0~v2-So tem contribuicao da componente horizontal.1

1Pedro Silva,IFMC,ISEL22/42

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Teorema deStokes

ExercıcioDetermine se e positivo, negativo ou nulo, o fluxo atraves dassuperfıcies abaixo, de~F (x , y , z) = (0, 0, z),~G (x , y , z) = (x , 0, 0),~H(x , y , z) = (0, 1, 0),~J(x , y , z) = (0, 0, z − 2)

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Teorema deStokes

Exercıcios I

1 Calcule o fluxo de ~f (x , y , z) = (x , 0, 0) atraves dassuperfıcies

S1 =

(x , y , z) ∈ R3 : x = 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2

e

S2 =

(x , y , z) ∈ R3 : x = 0, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2

segundo a normal com a primeira componente positiva. Eatraves da superfıcie

S3 =

(x , y , z) ∈ R3 : z = 2, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2

segundo a normal com a terceira componente positiva.Comente o resultado.

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Teorema deStokes

Exercıcios II

2 Calcule

∫∫S

~F · ~n dS sendo

~F (x , y , z) = (x , y , 2x + 2y + 2z) e

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z , z ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0

segundo uma normal a sua escolha.

3 Calcule o fluxo de ~f (x , y , z) =(y 2z , 0, 0

)atraves da

superfıcie

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z , z ≤ 4

segundo a normal “exterior”.

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Teorema deStokes

Exercıcios III

4 Determine o fluxo de ~f (x , y , z) = (x , y , z) atraves dasuperfıcie

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 4− z , z ≥ 0

orientada por um vector normal unitario apontado paracima.

5 Calcule o fluxo de

~f (x , y , z) =

(y√

x2+y2,− y√

x2+y2, 1√

x2+y2

)atraves da

superfıcie

S =

(x , y , z) ∈ R3 : z = 1− x2 − y 2, 0 ≤ z ≤ 1

segundo a normal com a terceira componente positiva.

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Teorema deStokes

Teorema (da Divergencia / de Gauss)

Considerem-se:

V um subconjunto limitado de R3 tal que a sua fronteira euma superfıcie S, orientada segundo a normal exterior(~ne).~F um campo vetorial de classe C 1 num aberto quecontenha V.

Entao: ∫∫∫Vdiv~F dx dy dz =

∫∫S

~F · ~ne dS .

Nota:Se ~F (x , y , z) = (F1,F2,F3) entao div~F = ∂F1

∂x + ∂F2∂y + ∂F3

∂z .

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Teorema deStokes

Divergencia2

Se ~F (x , y , z) = (F1,F2,F3) entao div~F = ∂F1∂x + ∂F2

∂y + ∂F3∂z .

A divergencia e um escalar que expressa se o campo vectorialapresenta convergencia (contraccao do campo das velocidades)ou divergencia (expansao do campo das velocidades).

2Pedro Silva,IFMC,ISEL28/42

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Teorema deStokes

Quando:

div~F > 0 diz-se que existem fontes de campo, pois ofluxo que sai da superfıcie excede o que entra;

div~F < 0 diz-se que existem sumidouros de campo, poiso fluxo que sai e menor que o que entra na superfıcie;

div~F = 0 diz-se que o campo vectorial e solenoidal.

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Teorema deStokes

ExercıcioDetermine se e positiva, negativa ou nula a divergencia docampo vectorial representado abaixo (representado no xOy poisnao tem componente em z e e independente de z) nos pontosindicados.

negativa; negativa.30/42

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Teorema deStokes

O Teorema da divergencia mostra que a divergencia pode serinterpretada como o balanco de fluxo que entra e sai porunidade de volume, atraves da superfıcie que o encerra.https:

//www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/

divergence_theorem_topic/divergence_theorem/v/

3-d-divergence-theorem-intuition

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https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/divergence_theorem_topic/divergence_theorem/v/3-d-divergence-theorem-intuition




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Teorema deStokes

1 Verifique o Teorema da Divergencia sendo

A =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z , z ≤ 1

e ~F (x , y , z) = (0, 0, z).

2 Calcule, usando o T. Div., o integral∫∫A~F · ~n dS onde

~n e a normal com a terceira componente negativa,~F (x , y , z) = (x , z , y) e

A =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z2, 0 ≤ z ≤ 1.

3 Usando o T.Div. calcule o fluxo de ~G (x , y , z) = (−z , y , y)atraves de

A =

(x , y , z) ∈ R3 : z = 9− x2 − y 2, z ≥ 0, x ≤ 0

no sentido da normal com a terceira componente negativa.

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Teorema deStokes

4 Usando o T. Div. calcule o volume da regiao

A =

(x , y , z) ∈ R3 : y 2 + z2 ≤ 9, z ≥ 0, |x | ≤ 5.

5 Calcule o fluxo de ~G (x , y , z) = (2x ,−y , 1− z) atraves de

A =

(x , y , z) ∈ R3 : z = 1− x2 − y 2, y ≥ 0, z ≥ 0

no sentido da normal com a terceira componente positiva.

6 Considere as regioes

A =

(x , y , z) ∈ R3 : z = 2− x2 − y 2, x ≥ 0, z ≥ 1

e

B =

(x , y , z) ∈ R3 : z2 = x2 + y 2, 0 ≤ z ≤ 1.

Seja ~H(x , y , z) = (0, 0, z). Calcule o volume do interior deS1 ∪ S2 usando o T. Div.

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Teorema deStokes

Rotacional3

Sendo ~F (x , y , z) = (F1,F2,F3),

Rot~F =

∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3∂∂x

∂∂y

∂∂z

F1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣ =

=

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)~e1 +

(∂F1

∂z− ∂F3

∂x

)~e2 +

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)~e3

=

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,

∂F1

∂z− ∂F3

∂x,

∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)3Pedro Silva,IFMC,ISEL

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Teorema deStokes

As figuras seguintes apresentam um aparelho para medir acirculacao (moinho de pas) e um campo vetorial.

Repare que se a vara do moinho estiver ”deitada”sobre ocampo vetorial o moinho nao roda.Se a vara estiver vertical o moinho roda.O vetor Rot~F aponta no sentido da vara, segindo a direcao da”regra da mao direita”. E nulo se o campo vetorial naoproduzir rotacao.

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Teorema deStokes

Regra da mao direita

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Teorema deStokes

Considere-se o campo de velocidades simplificado de umescoamento numa conduta (escoamento no plano xy):

1) o unico termo do rotacional que e diferente de zero e∂F1∂y > 0, o que resulta num rotacional diferente de zero e

negativo,

Rot~F = −∂F1

∂y~e3

2) tambem o unico termo do rotacional que e diferente de zeroe ∂F1

∂y < 0 que resulta num rotacional diferente de zero epositivo,

Rot~F =∂F1

∂y~e3

3) uma vez que a velocidade nao apresenta efeito de corte (econstante com y), nao existe rotacao; de facto, todos ostermos do rotacional sao zero.

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Teorema deStokes

Exercıcio

Considere os campos vectoriais(a)~F (x , y , z) = (x , y , 0)(b) ~F (x , y , z) = (y ,−x , 0)(c) ~F (x , y , z) = (−(y + 1), 0, 0)A figura abaixo mostra a sua representacao (para qualquer z,pois sao independentes de z)

Calcule e interprete Rot~F (0, 0, 0).

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Teorema deStokes

Teorema (de Stokes)

Considerem-se:

S uma superfıcie orientavel dada por:S ≡ ~r(u, v), (u, v) ∈ D com ~r de classe C 2 num abertoque contenha D ∪ ∂D;

∂S uma linha seccionalmente regular que e bordo de S(transformado por ~r da fronteira de D: ~r(frD)).

~n um vector unitario normal S com sentido emconcordancia com o sentido do ∂S segundo a “Regra damao direita”.~F um campo vetorial de classe C 1 num aberto quecontenha S ∪ ∂S.

Entao: ∫∫SRot~F · dS =

∫∂S

~F · dr .

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Teorema deStokes

Teorema de Stokes – Intuicao

https://www.khanacademy.org/math/

multivariable-calculus/surface-integrals/stokes_

theorem/v/stokes--theorem-intuition

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https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/stokes_theorem/v/stokes--theorem-intuition



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Teorema deStokes

1 Verifique o Teorema de Stokes sendo

A =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z , z ≤ 4

e ~F (x , y , z) = (1, 0, 1− x).(Use a parametrizacao em coordenadas cartesianas epolares.) R:4π

2 Usando o T. Stokes calcule∫∫S Rot

~F · dS sendo~F (x , y , z) = (x + 1, 0, 0) e S a superfıcie

S =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z2, 0 ≤ z ≤ 9

que tem orientacao dada pela normal que tem acomponente em z negativa.R:0

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Teorema deStokes

3 Usando o T. Stokes, calcule o trabalho realizado nodeslocamento de um ponto material ao longo do bordo deA, percorrido uma so vez, no sentido direto por accao de~G (x , y , z) = (0, x , 0), sendo

A =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 9, x + y + z = 4

4 Sejam

A =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 = 1, z ≥ 0

e ~H(x , y , z) = (−y , x , 1). Usando o T. Stokes, calcule ofluxo de Rot~F , atraves de A no sentido da normal com aterceira componente positiva.R:2π

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Teorema deStokes

5 Calcule o fluxo de Rot~F sendo ~F (x , y , z) = (z , x , y)atraves de

A =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, −1 ≤ z ≤ 2

segundo a normal que tem a componente em z negativa.R:0

6 Usando o T. Stokes, calcule o trabalho realizado pelocampo ~F (x , y , z) = (0, 0, x) ao longo da parte da linha

A =

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, z = 1

com origem em (1,0,1), extremidade em (0,-1,1) e quepassa por (0,1,1).

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Teorema deStokes

Autora:Sandra Gaspar Martins

Com base no trabalho de:Nuno David Lopes

eCristina Januario

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