05 -analisis_de_esfuerzos

Universidad Simón Bolívar

Mecánica de Materiales II:Análisis de Esfuerzos

Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar


• Introducción

• Vector esfuerzo• Fuerzas de volumen

• Convención de signos

• Matriz de esfuerzos

• Teorema de cauchy

• Esfuerzos principales – Estado Triaxial• Circulo de Mohr – Método gráfico

• Estado plano de esfuerzos• Circulo de Mohr - Reglas de correspondencia

• Circulo de Mohr - Método gráfico

Contenido


Supongamos una barra sometida a carga axial únicamente

y

x z

IntroducciónVector

esfuerzoMatriz de esfuerzos

Teorema de Cauchy

Esfuerzos principales

Estado plano de esfuerzos


Con los planos utilizados y analizando solo un pequeño fragmento

de la viga, podemos concluir que todos los puntos están sometidos

a tracción

y

x z

sz

sz

Al hacer Zoom en el círculo señalado se tiene:

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




Supongamos ahora una barra apoyada en sus extremos y sometida

a una carga cortante.

y

x z

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




tyz

tzy

t

t

En este caso, para esos planos de corte aparecen esfuerzos

cortantes

y

x z

s

s

t

t

Al hacer Zoom en el círculo señalado se tiene:

sz

sz

Los esfuerzos normales se identifican según la orientación del eje

sobre el cual se producen

tyz

tzy

Los esfuerzos tangenciales se identifican según:

• Orientación de la normal del plano sobre el cual actúan

• Orientación del propio esfuerzo

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




G

M

Q2

Q1

Q3

W-

W+

q

W

S

Veamos el caso general:Hipótesis: El material es homogéneo y ocupa todo el volumen

• Fuerzas de superficie

• Fuerzas de volumen

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




W+

GW-

M

Q2

Q1

Q3

q

DF1

DFi

DF2

SS

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




W+

M

Q2

Q1

DF

z x

y

o

n

r

DF1

DFi

DF2

nrfT ˆ,

El vector esfuerzo en un

punto va a depender:

• De la posición y

• Del plano que pasa por

dicho punto

dA

Fd

A

FLimT

A

D

D

D 0

T

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




S

n

T

sn

t

Augustine-Louis

Cauchy (1789-1857)

Barré de Saint-

Venant (1797-1886)

nTnˆs

22ˆnn TnT sst --

El vector esfuerzo surge de la generalización del

concepto de presión en Mecánica de los fluidos (Cauchy,

1822). Tal y como se presenta acá se debe al Ingeniero

Saint-Venant

El vector esfuerzo no es

perpendicular al plano,

por lo que se puede

descomponer en:

• Esfuerzo normal

• Esfuerzo tangencial

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




Volvamos al caso de la barra sometida a carga axial únicamente y

utilicemos un plano inclinado para seccionar la viga

y

x z

T

sn

t

n

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




G

M

Q2

Q1

Q3

q

W

z x

y

o

r

P

DV

DF

dV

Fd

V

FLimV

D

D

D 0

f

dV

dmggm

dV

d

dV

Fdf

g f

Son aquellas cuya magnitud es proporcional a la masa

contenida en el volumen ocupado por el sólido

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy



Fuerzas de volumen


Planos: se consideran positivos, si su normal (saliente del

elemento de volumen) apunta a la dirección positiva de un

eje coordenado.

Esfuerzos normales: se considera positivo si es de

tracción y negativo si es de compresión.

Esfuerzos tangenciales: son positivos si, actuando en un

plano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva

(o negativa) de un eje coordenado. El caso contrario, son

negativos

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy



Convención de signos


G

M

Q2

Q1

Q3

W-

q

W

S

Veamos de nuevo el caso general:

W+

T(r,j)

z

x

y

T(r,k)

T(r,i)

Al aislar el cubo y definir un sistema de coordenadas en el origen, se

obtiene el vector esfuerzo para cada cara

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




T(r,k)

T(r,j)T(r,i)

z

x

y

sy

tyz

tyx

sx

txz

txy

tzytzx

sz

zzyzx

yzyyx

xzxyx

stt

tst

tts

s

yxxy tt

zxxz tt

yzzy tt

irT ˆ,

jrT ˆ,

krT ˆ,

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




g

ba

P

T(r,-k)

T(r,-j)

T(r,-i)

z

x

y

nT(r,n)

A

B

C

kCosjCosiCosn ˆˆˆˆ ++ gba

g

b

a

Cos

Cos

Cos

n̂

1222 ++ gba CosCosCos

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




z

x

y

nT(r,n)

B

C

A

sn

t

q

nTnˆs

22

nT st -

ns

tq arctg

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




Una vez conocidos los esfuerzos en un punto a

través de la matriz de esfuerzos, es necesario

compararlo con una Teoría de falla (como

veremos más adelante en el curso)

La mayoría de dichas teorías basan su

formulación en el conocimiento de los valores

extremos del esfuerzo normal, es decir valores

máximos y mínimos.

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




y

x z

T

n

Generalmente, el vector esfuerzo no es perpendicular al plano o paralelo a

la normal n. Sin embargo, existe la posibilidad en que el vector esfuerzo

tenga la dirección de la normal.

Recordemos la viga a tracción:

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




y

x z

Tn

Cuando el vector esfuerzo es perpendicular al plano, la componente

tangencial desaparece, en ese momento, el vector esfuerzo se convierte en

un esfuerzo principal

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




z

x

y

sy

tyz

tyx

sx

txz

txy

tzytzx

sz

nInrT ˆˆ,

nnrT ˆˆ, s

0t

Por definición:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

stt

tst

tts

s

g

b

a

Cos

Cos

Cos

n̂

032

2

1

3 -+- III

, ,n 11111 gbas f

3

2

1

s

s

s

donde:

, ,n 22222 gbas f , ,n 33333 gbas f

I1, I2, I3 son los invariantes de

la matriz de esfuerzos

a1

b1

g1

a2

b2

g2

a3

g3

b3

0

1

1

1

1

1

1

-

-

-

g

b

a

sstt

tsst

ttss

Cos

Cos

Cos

zzyzx

yzyyx

xzxyx

0

2

2

2

2

2

2

-

-

-

g

b

a

sstt

tsst

ttss

Cos

Cos

Cos

zzyzx

yzyyx

xzxyx

0

3

3

3

3

3

3

-

-

-

g

b

a

sstt

tsst

ttss

Cos

Cos

Cos

zzyzx

yzyyx

xzxyx

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy




g

ba

P

s1

3

1

2

n

T(r,n)

A

B

C

s2

s3

Christian Otto Mohr

(1835-1918)

Dado un estado principal de esfuerzos, vamos a calcular el vector

esfuerzo y sus componentes:

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy



Circulo de Mohr


t

ss1 s2 s3

r1

r2

r3

c3 c2 c1

tmax

2

23

2

322

22

-

+-+

ssssst n

2

13

2

312

22

-

+-+

ssssst n

2

12

2

212

22

-

+-+

ssssst n

222 rcxy -+

2

321

ss +c

2

231

ss -r

2

312

ss +c

2

132

ss -r

2

213

ss +c

2

123

ss -r

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy



Circulo de Mohr


t

sP1 P2 P3

r1

r2

r3 c3 c2 c1

t

s1

s2

s3

a g

sn

A

B

C

D

P

• Se calculan y

colocan los esfuerzos

principales, asociados

a los puntos P1, P2 y

P3:

321 sss

• Se dibujan los

círculos cuyos centros

y radios se calculan

con:

2

321

ss +c

2

231

ss -r

2

312

ss +c

2

132

ss -r

2

213

ss +c

2

123

ss -r

• Por el punto P1

trazamos una recta

inclinada formando

un ángulo a con

respecto a la vertical

• Esta recta se

intersecta con el

círculo P1P2 en el

punto A y con P1P3 en

el punto B

• Con centro en c1, se

traza el arco de

circunferencia que

une los puntos A y B

• Por el punto P3 se

traza una recta

inclinada formando

un ángulo g, que se

intersecta con los

círculos P2P3 en C y

P1P3 en D. Con centro

en c3 se traza el arco

que une los puntos C

y D

• Los arcos AB y CD

se intersectan en el

punto P cuyas

coordenadas nos dan

las componentes

tangencial y normal

del Vector esfuerzo

del plano estudiado


g

ba

3

1

2

n

sn

t

T(r,n)

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy



Mohr – Método gráfico


t

sP1 P2 P3

r1

r2

r3 c3 c2 c1

t

s1

s2

s3

a g

sn

A

B

C

D

P

• Para resolver el

problema inverso, el

cual consiste en

determinar el plano

donde actúan los

esfuerzos tangenciales

y normales

• Una vez conocidos

los esfuerzos

principales, centros y

radios, se ubica el

punto P de

coordenadas s y t

• Con centro en c1 y

radio c1P, se traza el

arco que intersecta el

circulo P1P2 en el

punto A y con el

circulo P1P3 en el

punto B

• Se traza una recta

que intersecte los

puntos A, B y P1. El

ángulo que forme con

la vertical a es el

mismo que forma la

normal del plano con

el eje principal I1

• Análogamente, con

centro en c3 y radio

c3P se traza el arco

que pase por los

puntos C y D. Luego

se traza una recta que

intersecte los puntos

C, D y P3. El ángulo

que forme con la

vertical g es el mismo

que forma la normal

del plano con el eje

principal I1

• Conocidos a y g, el

ángulo b se calcula de

la siguiente manera:


IntroducciónVector


Teorema de Cauchy





t

sP1 P2 P3

r1

r2

r3 c3 c2 c1

t

s1

s2

s3

a

sn

A

B

P

E

F

bb

• Se calculan y

colocan los esfuerzos

principales, asociados

a los puntos P1, P2 y

P3:

321 sss

• Se dibujan los

círculos cuyos centros

y radios se calculan

con:

2

321

ss +c

2

231

ss -r

2

312

ss +c

2

132

ss -r

2

213

ss +c

2

123

ss -r

• Por el punto P1

trazamos una recta

inclinada formando

un ángulo a con

respecto a la vertical

• Esta recta se

intersecta con el

círculo P1P2 en el

punto A y con P1P3 en

el punto B

• Con centro en c1, se

traza el arco de

circunferencia que

une los punto A y B

• Por el punto P2 se

trazan dos rectas

inclinadas formando

un ángulo b, que se

intersecta con los

círculos P2P3 en F y

P1P2 en E. Con centro

en c2 se traza el arco

que une los puntos E

y F

• Los arcos AB y EF

se intersectan en el

punto P cuyas

coordenadas nos dan

las componentes

tangencial y normal

del Vector esfuerzo

del plano estudiado

g

ba

3

1

2

n


sn

t

T(r,n)

IntroducciónVector


Teorema de Cauchy





q

b

txy

sy

sx

txy

y

z

x

aq

snt

sx

txy

txz

sz

tzy

tzx

tyx

tyz

sy

b

ag

T(r,-j)

T(r,-i)

T(r,-k)

y

z

x

nnT(r,n)

sn

t

x1

y1

sx1tx1y1

g

b

a

Cos

Cos

Cos

n̂

-

090

90ˆ q

q

q

q

Sen

Cos

Cos

Cos

Cos

n

IntroducciónVector


Teorema de

Cauchy



T(r,n)


txy

sy

sx

txy

y

x

x1

y1

sx1

tx1y1

q

Viste desde el plano XY, se tiene:

000

0

0

yyx

xyx

st

ts

s

Para el sistema de la figura, la

matriz de esfuerzos es:

Pero también pudiera presentar la

siguiente forma dependiendo del

sistema:

zzy

yzy

st

tss

0

0

000

zzx

xzx

st

ts

s

0

000

0

IntroducciónVector


Teorema de

Cauchy




t

sn(s1

C

(s2

• Los esfuerzos

normales y

tangenciales en un

plano perpendicular al

plano XY son las

coordenadas en un

punto sobre la

circunferencia de

Mohr

(sy,-txy

(sx,txy

Px1(sx1,tx1y1

y

x

x1

y1

f

2.f

• Los ejes X y Y se

representan en el

círculo de Mohr como

radios

y

x

(sy,-txy

(sx,txy

• En el plano XY, los

angulos son positivos

cuando se miden en

sentido anti horario.

En el diagrama de

Mohr son positivos si

se miden en sentido

horario

• Si un eje x1 forma

un ángulo q con otro

eje x2 en el plano XY,

entonces el radio CPx1

forma un ángulo -2q

con CPx2 en el circulo

de Mohr

Px2(sx2,tx2y22.q

x2y2

q

IntroducciónVector


Teorema de

Cauchy



Circulo de Mohr – Reglas de correspondencia


t

snP1(s1

R

Cq2

2

yx ss + 2

2

4xy

yxR t

ss+

-

P2(s2

• Se ubican los

puntos Px(sx,txy) y

Py(sy,-txy) y se traza

una recta que

intersecta el eje de las

abscisas en el punto

C.

Py(sy,-txy

Px(sx,txy

• Con centro en C y

radio CPx, se traza la

circunferencia de

radio R

• La circunferencia se

intersecta con el eje

de las abscisas P1 y P2

que corresponden a

los esfuerzos

principales s1 y s2

• El ángulo

(dirección principal)

que forma el esfuerzo

s1 con el eje x es

igual y de sentido

contrario a la mitad

del ángulo entre CP1

y CPx

• Si queremos

determinar los

esfuerzos sx1 y tx1y1

en un plano cuya

normal forma un

ángulo f en sentido

anti horario con el eje

x, medimos un ángulo

2f en sentido horario

en el círculo de Mohr

Px1(sx1,tx1y1

y

x

x1

y1

f

2.f

IntroducciónVector


Teorema de

Cauchy



Circulo de Mohr – Método gráfico


txy

sy

sx

txy

y

z

x

x1

y1 q

sx1

tx1y1 sx

txy

txy

sy

IntroducciónVector


Teorema de

Cauchy



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