03 Weibull e Estimacao de Parametros Rev-E

8/16/2019 03 Weibull e Estimacao de Parametros Rev-E

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Universidade Federal de Santa CatarinaCentro de Engenharias da Mobilidade – CEM

Campus Joinville

Prof. Luís Fernando Peres Calil

[email protected]

EMB 5107Manutenção e Confiabilidade

Distribuição WeibullAPRESENTA!"


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Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e Confiabilidade

Revisão de algumasdistribuições de probabilidade


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Revisão de algumas distribuições

#ERN"U$$%

&ari'veis aleat(rias dis)retas

F X =

{0 se x0

− p se 0≤ x se x≥

x p! x"

0 # p p

$otal

E X = p

V X =

p .−

p

%alor esperado&

%ari'n(ia&

X * +numero de )aras em , lan-amento.


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Revisão de algumas distribuições

#%N"M%A$

&ari'veis aleat(rias dis)retas

E X =n . p

V X =

n . p .−

p

%alor esperado&

%ari'n(ia&

/ / /

X * +numero de )aras em 0n1 lan-amentos.

0n1 lan-amentos


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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias dis)retas

#%N"M%A$

p x =

n

x

. p x .− pn− x x=0))*)... , n

n x =

n!n− x! x!

Coe2i)ientebinomial

Função de probabilidade da vari+vel X &

Fonte: Barbetta, Reis e Bornia (2009)


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P"%SS"N

P X = x =n

x

. p

x

. − p

n− x

P X = x ≈ x . e−

x!

x=0))*)...

n → ∞ p → 0n . p , λ> 0

Fonte: Barbetta, Reis e Bornia (2009)

0n1 intervalos 3 4

X * +n5mero de o)orr6n)ias em 7t8 t 9 ,:.


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P"%SS"N

p x=e− . x

x! x=0))*)...

E X =V X =



Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias )ont;nuas

E




E



Distribuição Weibull



Distribuição Weibull%ntrodu-o

Ernst Balmar Daloddi DeibullErnst Balmar Daloddi Deibull !2 de 3un4o de 225 6 * de 7utubro de 858"!2 de 3un4o de 225 6 * de 7utubro de 858"foi umfoi um engen4eiro e matem+ti(o sue(oengen4eiro e matem+ti(o sue(o. 9 re(on4e(ido pelo seu trabal4o na +rea da. 9 re(on4e(ido pelo seu trabal4o na +rea dafadiga de materiais e na estatísti(a pelos seus estudos sobre a distribuição defadiga de materiais e na estatísti(a pelos seus estudos sobre a distribuição deWeibull.Weibull.

:: distribui-o de Deibulldistribui-o de Deibull - uma- uma distribuição de probabilidade (ontínuadistribuição de probabilidade (ontínua) usada em) usada em

estudos de tempo de vida de e;uipamentos e estimativa de fal4as.estudos de tempo de vida de e;uipamentos e estimativa de fal4as.

Desenvolvida em 8 ! Journal of Applied Mechanics Journal of Applied Mechanics""n/mero *8@ma Função den/mero *8@ma Função de

Distribuição Astatísti(a de Larga :pli(ação> !Distribuição Astatísti(a de Larga :pli(ação> ! A Statistical A Statistical istribution Function of !ide Applicabilit" istribution Function of !ide Applicabilit"" Astudo sobre" Astudo sobreresistn(ia do aço.resistn(ia do aço.

: Força :-rea :meri(ana re(on4e(eu o m-rito de Weibull em: Força :-rea :meri(ana re(on4e(eu o m-rito de Weibull em85=.85=.



Distribuição Weibull%ntrodu-o

os dias de 4oBe a an+lise de Weibull - o os dias de 4oBe a an+lise de Weibull - o m-todo líder no mundom-todo líder no mundo para en(ontrar e para en(ontrar een(aiar os dados de vida.en(aiar os dados de vida.




Curva da ban4eiraE

Fonte: Dias et al. (2000)

Termoelétricas

idrelétricas

%ntrodu-o




Curva da ban4eiraE


λ > apro?imadamenteuma )onstante

%ntrodu-o




Curva da ban4eiraE


Fun-o λt :

%ntrodu-o



Distribuição WeibullCara)teria-o da distribui-o

E




Distribuição densidade de probabilidade&

Distribuição de probabilidade a(umulada&

f (t )=βα . ( t −θα )

β−

. e−( t −θα )

β

F (t )=−e− t α

β

Cara)teria-o da distribui-o




Distribuição densidade de probabilidade !# , 0"

$ 0 G fator de es(ala);ue representa a taa defal4a

f (t )=βα . ( t −θα )

β−

.e−( t −θα )

β



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Distribuição densidade de probabilidade !# , 0"

% & ' G fator de forma);ue representa o (ontrole

do pro(esso

f (t )=βα . ( t −θα )

β−

.e−( t −θα )

β



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Distribuição densidade de probabilidade

f (t )=βα . ( t −θα )

β−

.e−( t −θα )

β

# G fator de posição



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$aa instant'nea de o(orrn(ia ha(ard functionE !# , 0"

h(t )=

β

α . (t −θ

α )

β−



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Distribuição de probabilidade a(umulada !# , 0"

F (t )=−e−( t

α )β



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i ib i ib ll


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Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e ConfiabilidadeFonte: Montgomery & Runger (2009)


E (T )=∫−∞

∞

(t −0) . f (t ). dt

E (T )=∫−∞

0

(t −0) . f (t ).dt +∫0

∞

(t −0) . f (t ). dt

&alor esperado e variLn)ia para @ =

7 valor esperado !m-dia" - o primeiro momento em relação H origem e pode ser obtido pela epressão&

i ib i ib ll


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Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e ConfiabilidadeFonte: Montgomery & Runger (2009)


E (T )=∫−∞

∞

(t −0) . f (t ). dt

f t : @ =8 para t =

E (T )=∫0

∞

t . βα . ( t α )

β−

. e−( t α )

β

.dt

E (T )=∫−∞

0

(t −0) . f (t ).dt +∫0

∞

(t −0) . f (t ). dt

&alor esperado e variLn)ia para @ =

7 valor esperado !m-dia" - o primeiro momento em relação H origem e pode ser obtido pela epressão&

Di ib i ã W ib ll


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E (T )=α . Γ +β V (T )=α

*. Γ (+ *β )−α* . [Γ (+ β ) ]

*

7nde Γ - a função Iamma) ;ue pode ser obtida por&

Γ(r )=∫0

∞

t r −

.e−t

. dt ) para r >0

Juando r for um n/mero real positivo) podeKse resolver) de maneirare(ursiva) pela seguinte epressão !e) eventualmente) pelo uso de tabelas&

Γ(r )=(r −).Γ(r −)Fonte: Montgomery & Runger (2009)

Distribuição Weibull&alor esperado e variLn)ia

: integral anterior pode ser resolvida utiliando uma função Γ ) (onformeapresentado a seguir&

Di ib i ã W ib ll


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Por e?emplo*

PodeKse (al(ular Γ (=* ) ) (om base na epressão anterior&

Γ (=* )=(=* −) . Γ (=* −)=


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NoteOse ue ) ;uando r for um n/mero inteiro positivo) Γ(r )simplifi(aKse para&

Γ(r )=(r −)M

Por e?emplo*

Γ(


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E (T )=α . Γ +β

Como = 8 entAo r ,/

:ssim) para&β> → < r


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Lineariação da distribuição de probabilidade a(umulada

P (T > t )=− F (t )=e−( t α

β

ln − F t =− t

ln −ln − F t = . ln t . ln Nendo a /ltima) a e;uação da reta ;ue pode ser rees(rita (omo&

+ = a . X l

"=ln (−.ln (− F (t )))

x=ln (t )

a=

l = . ln 7nde&

Qetermina-o dos parLmetros

Di t ib i ã W ib ll


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Astimativa da probabilidade a(umulada M>todo do rank mediano ou grau m>dio:

9 uma das maneiras de se (al(ular o per(entual de fal4a 1 S !

t " O para

os valores eperimentais) por meio da epressão a seguir&

-rau./dio=

j −[−ln (*)]−[*.ln (*)−]. j −

n−n

j nR de ordem da 2alha ue se desea )al)ular o grau m>dio

n quantidade de itens daamostra




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Astimativa da probabilidade a(umulada M>todo do rank mediano ou grau m>dio:

7u aproimadamente&

S ( t )≈ graumédio≈ j =8J

n+ =8S

7nde& 0=n de ordem da fal4a ;ue se deseBa (al(ular o grau m-dio

n=;uantidade de itens da amostra



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"bten-o dos parLmetrospelo r'2i)o Deibull


?ar(aKse os pontos 1t Q F !t "O no gr+fi(o etraçaKse uma reta) aproimadamente) por eles.

7 valor de $ pode ser obtido pelo tempo (orrespondente H) aproimadamente


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"bten-o dos parLmetros por M;nimos uadrados

a=n." ( xi . " i)−" xi ." " i

n ." xi*−(" xi )*

, l =" " i−, a." xi

n

β= a

α=

e( l β )


@tiliando ?ínimos Juadrados) os (oefi(ientes linear e angular da reta podem ser obtidos pelas e;uações a seguir&


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Considerações finais



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Considerações finais"bten-o da Poisson a partir da #inomial

Fonte& @FPA6CTn !*00"



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Curiosidade* Nimulação de 0.000 lançamento de moedas usando programação em CE.

era-o de n5meros pseudos aleat(rios

Simula-o usando a 2un-o 0rand:1 do NU

Simula-o usando a 2un-o0random1 da Mi)roso2t

Fonte& Watts !*00"


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Refern(ias

Refern(ias


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Refern(ias

U:RUA$$:) P. :.) RATN) ?. ?. V U7RT:) :. C. Estat;sti)a para Cursos de

Engenharia e %n2orm'ti)a/ * ed.) Aditora :tlas) Não Paulo) *008.

DT:N) :. et al. Qiagn(sti)o dos pro)edimentos de opera-o e de manuten-o dasempresas de gera-o de energia el>tri)a no #rasil/ 1N.l.O) *000. RelatXrio Ynal para aNuperintendn(ia de Fis(aliação dos Nerviços de Ieração da :gn(ia a(ional de AnergiaAl-tri(a !:AAL"

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@FPA !@niversidade Federal de Pernambu(o" 6CTn !Centro de Tnform+ti(a". Qistribui-VesQis)retas/ Disponível em\4ttp&66]]].(in.ufpe.br6^rm(rs6AN:P6ar;uivos6Distribui(oesDis(retas.pdf. :(esso em&0[606*00.

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