CAPES de Sciences physiquesTOME 1 - PHYSIQUECOURS ET EXERCICES

Nicolas BILLY Jean DESBOISMarie-Alix DUVAL Mady ELIAS Pascal MONCEAUAude PLASZCZYNSKI Michel TOULMONDE

B E L I N 8, rue Frou 75278 Paris cedex 06www.editions-belin.com

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DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCESS. BACH, F. BUET, G. VOLETCAPES de Sciences physiques. Tome 2. Chimie, cours et exercices

M. GUYMONTStructure de la matire, cours

A. MAURELOptique ondulatoire, coursOptique gomtrique, cours

A. MAUREL, J.-M. MALBECOptique gomtrique, rappels de cours et exercices

A. MAUREL et G. BOUCHETOptique ondulatoire, rappels de cours et exercices

J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICONlectrostatique et magntostatique, courslectrostatique et magntostatique, rappels de cours et exercices

DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCESR. LEHOUCQ ET J.-P. UZANLes constantes fondamentales

O. DARRIGOLLes quations de Maxwell. De MacCullagh Lorentz

A. BARBEROUSSELa mcanique statistique. De Clausius Gibbs

M. BLAYLa science du mouvement. De Galile Lagrange

Aude Plaszczynski et Marie-Alix Duval remercient respectivement Daniel Andr et Henri Sergolle dont les excellents polycopis ont inspir des parties des chapitres 8 et 10.

Le code de la proprit intellectuelle nautorise que les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non desti-nes une utilisation collective [article L. 122-5] ; il autorise galement les courtes citations effectues dans un but dexemple ou dillustra-tion. En revanche toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit ouayants cause, est illicite [article L. 122-4].La loi 95-4 du 3 janvier 1994 a confi au C.F.C. (Centre franais de lexploitation du droit de copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006Paris), lexclusivit de la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie duvres protges, excute sans son accord pralable, constitueune contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.

ditions Belin, 2004 ISSN 1158-3762 ISBN 2-7011-4067-6

Photo de couverture CNRS photothque/F. Livolant.Schmas : Laurent Blondel/Cordoc

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Sommaire

1. MCANIQUE (Pascal Monceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Dynamique du point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Grandeurs cintiques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Principe de linertie ; rfrentiels galilens (1re loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels galilens (2e loi de Newton) . . . . 16Principe des actions rciproques (3e loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentiels non galilens . . . . . . . . . . 17Thorme du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Interactions conservatives. nergie potentielle, nergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . 19Forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Oscillateur harmonique une dimension. Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Mouvement dune particule au voisinage dune position dquilibre stable . . . . . . . . . . 20Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide . . . . . . . . . . . . . 21Aspect nergtique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Oscillations forces : loscillateur harmonique entretenu ; rsonance . . . . . . . . . . . 23Recherche du rgime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Comportement de la rponse en amplitude en fonction de la frquence . . . . . . . . . . . . 24Aspect nergtique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Mcanique des systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Prliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27nergie cintique. Conservation de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Thormes de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Rduction canonique du problme deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Mcanique du solide indformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30lments de cinmatique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Solide en rotation autour dun axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Moments dinertie connatre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Thorme de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . 34Roulement sans glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Notion de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Loi fondamentale de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

Thorme dArchimde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2. LECTROMAGNTISME (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121lectrostatique : charges - forces - champ et potentiel lectrostatiques . . . . . . . . . 124

Les charges lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Linteraction coulombienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Le champ lectrostatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Le potentiel lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Thorme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Les quations locales de llectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Circulation conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Expression locale du thorme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Proprits du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Dfinition et continuit des champs et des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Les conducteurs en lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Conducteur en quilibre lectrostatique champ et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Capacit dun conducteur seul dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Plusieurs conducteurs en quilibre lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Influence totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

nergie potentielle dinteraction lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Systme de charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Distribution continue de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Distribution volumique de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133nergie associe au champ lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Utilisation de lnergie pour le calcul des forces lectrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Magntostatique : champ et force magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Force magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Champ magntique : loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Exemples de calcul de

B partir de la loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Symtries du champ magntique. Thorme dAmpre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Symtries par rapport un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Symtries par rapport un plan 1 inversion du sens des courants (transformation S.I.) 137Circulation du champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Potentiel-vecteur. Flux et circulation du champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Le potentiel-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Flux du champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140quation locale portant sur le potentiel-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Relations de passage pour le champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Induction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Exprience fondamentale de Faraday (1831) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Autres conditions de manifestation du phnomne dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Induction mutuelle et auto-induction dans lapproximation des rgimes quasi-stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4

tude dune bobine relle dans lapproximation des rgimes quasi-stationnaires . . . . . 144Le moteur courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Constitution dun moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Phnomne dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Couple lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Moteur excitation indpendante (ou spare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Moteur excitation srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Les quations de llectromagntisme en rgime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149quation de continuit (conservation de la charge lectrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149quation de Maxwell - Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151quation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Une solution particulirement simple : londe plane homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Ondes sinusodales. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152nergie lectromagntique : densit volumique et flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Vue densemble des radiations lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

lectromagntisme de la matire : tude macroscopique des dilectriques . . . . . . 154Mise en vidence du rle des dilectriques en lectrostatique : polarisation induite . . . 154Vecteur polarisation

P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Susceptibilit lectronique xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Rpartition des charges de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Potentiel et champ lintrieur du dilectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155quations de Maxwell et consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

lectromagntisme de la matire : tude microscopique des dilectriques . . . . . . 156Polarisation lectronique des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Polarisation des molcules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Bilan des polarisations des dilectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

lectromagntisme de la matire : milieux aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Diple magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Moments dipolaires magntiques dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Description dun chantillon de matire aimante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160quations de Maxwell dans la matire aimante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3. LECTROCINTIQUE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Linteraction lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Domaines dtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Les interactions en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Le champ lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Le potentiel lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Capacit lectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Les circuits lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Loi dOhm pour un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

SOMMAIRE 5

Diple lectrocintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Rsistance pure (conducteur ohmique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Loi dOhm gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Lois des circuits lectriques (lois gnrales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Loi de Joule, nergie, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Les rgimes sinusodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Grandeurs sinusodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Intensit efficace (effet Joule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Loi dOhm en rgime sinusodal (circuit RLC srie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Circuit oscillant parallle (circuit bouchon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Puissance en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Les rgimes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Rgime transitoire avec R, L ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Charge et dcharge dun condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Courant transitoire dans une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Dcharge dun condensateur dans une bobine (RLC srie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Mesure de dphasage loscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

4. LECTRONIQUE (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Rseaux linaires en rgime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Thorme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Thorme de Thvenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Thorme de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Thorme de Millman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Conseils dutilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305Jonction p-n dune diode semi-conductrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Caractristiques dune diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Description du transistor bipolaire npn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Le transistor amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Amplificateur oprationnel ou amplificateur de diffrence intgre . . . . . . . . . . . . . 314Lamplificateur oprationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Fonctionnement de lA.O. en rgime linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Fonctionnement en rgime de saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Lamplificateur oprationnel rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317carts la perfection des A.O. rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Modulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Principe de la modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Modulation damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Modulation de frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6

Conversions numrique-analogique et analogique-numrique . . . . . . . . . . . . . . . . 324Gnralits sur la conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Conversion numrique-analogique (CNA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Conversion analogique numrique (CAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

5. ONDES ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

quations dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Propagation unidimensionnelle (ondes planes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386quations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Proprits des ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Dtection des ondes centimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Ondes lectromagntiques dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390quations de Maxwell dans les milieux matriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Conditions de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Exemples de milieux matriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392Rflexion et transmission (incidence normale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Onde basse frquence dans un mtal. paisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

Ondes acoustiques dans un fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397quation dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398Impdance acoustique caractristique (ou itrative). Rflexion, transmission (incidencenormale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399Ultrasons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Leffet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400La source S et le rcepteur R ont des mouvements colinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Cas gnral non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401Londe se rflchit sur R avant dtre capte par S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401Effet Doppler relativiste. Dcalage vers le rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

6. OPTIQUE GOMTRIQUE ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459Lois de Descartes. Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

Chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Image dun point objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461Aplantisme. Grandissement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

SOMMAIRE 7

Loptique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462Conditions de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462lments cardinaux dun systme centr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463Dioptres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465Lentilles. Doublets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Qualits des instruments doptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Grandissement linaire g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Puissance P (pour loupes et microscopes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471Grossissement G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473Champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474Pouvoir sparateur. Limite de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

Fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477Fibres saut dindice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478Fibres gradient dindice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478Fibres multimodes. Fibres monomodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480Pertes. Coefficient dattnuation linique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Matriau utilis. Procd de fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Utilisation et intrt des fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482Miroirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482Rtroprojecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483Grandeurs photomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484Lil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

7. OPTIQUE ONDULATOIRE (Nicolas Billy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531Description dune onde lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

Onde lectromagntique monochromatique plane, polarise rectilignement, dans levide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Onde lectromagntique monochromatique plane dans un milieu dindice n . . . . . . . . 535Amplitude complexe et intensit de londe lumineuse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536Quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

La polarisation de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538Lumire polarise : polarisation linaire, circulaire, elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538Polariseur, loi de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

Cohrence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540Un modle simple de cohrence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541Quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543Lumire naturelle (ou non polarise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Coefficients de rflexion et de transmission ( incidence normale) . . . . . . . . . . . . . . 544Coefficients de rflexion et de transmission de lamplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544Coefficients de rflexion et de transmission de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

8

Les trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547Mthode de calcul des dphasages en optique physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547Intensit des interfrences lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548Description de la figure dinterfrences, interfrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550Quelques variations sur le thme trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551Observations des interfrences de type trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

Interfrences non localises et interfrences localises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561Interfrences par division damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

Franges dgale inclinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562Franges dgale paisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Interfromtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568Interfromtre deux ondes (ou interfromtre faisceaux spars) . . . . . . . . . . . . . . . 568Interfromtre ondes multiples (ou de Fabry-Perot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

Principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572Quest ce que la diffraction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572Principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573Validit du principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573Diffraction de Fresnel et diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

Diffraction linfini par une fente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575Diffraction par une fente infinie claire sous incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575Diffraction par une fente infinie claire sous incidence oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

Diffraction linfini par une ouverture rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578Diffraction par une ouverture circulaire, limite de rsolution des instrumentsdoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

Diffraction linfini par une ouverture circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581Limite de rsolution dun instrument doptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

Diffraction linfini par deux crans complmentaires, thorme de Babinet . . . 584Processus dinteraction entre la matire et le rayonnement. mission stimule . . 584

Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Description qualitative des processus dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586Description quantitative : mission spontane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587Description quantitative : absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589Description quantitative : mission stimule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590quilibre thermodynamique, rayonnement du corps noir, relations entre coefficientsdEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

Principes de fonctionnement dun laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592Cavit optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593Milieu amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594Proprits du rayonnement mis par un laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

8. THERMODYNAMIQUE (Aude Plaszczynski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635Vocabulaire et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

Notion de systme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

SOMMAIRE 9

tat dun systme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637Transformations dun systme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638Variables dtat communment utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

Gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Dfinition et quation dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Mlange de gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Transformations dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

Quelques proprits des corps purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640Coefficients thermolastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640Diagramme dtat (P; T ) dun corps pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641Diagramme (P; V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641Cas particulier de leau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Notion dnergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Dfinition nergtique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643Le premier principe de la thermodynamique (pour les systmes ferms) . . . . . . . . . . . . 643Notion denthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

Calcul du travail chang par un systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Dfinition du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Diffrents types de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647Travail des forces de pression pour une transformation quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . 647Exemples de calcul du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

Calcul de la chaleur change par un systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Coefficients calorimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Chaleur change par des solides ou des liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Chaleur change par un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649Changements de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

Dtentes de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Dtente de Joule-Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Dtente de Joule-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653Notion dentropie, nonc du second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653Diffrentielle de lentropie ; application au cas du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654Bilan entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655Diagrammes entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657

Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658Relations fondamentales. Ingalit de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659Diffrents types de machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659Rendement et efficacit des machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660Exemples de fonctionnement de machines frigorifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661Moteurs de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

Thorie cintique des gaz parfaits monoatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662Les bases de la thorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663Proprits du gaz parfait : interprtation microscopique de la pression et de latemprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664Loi de distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

10

Transferts thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669Aspects phnomnologiques de la diffusion thermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669Flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670Loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670Les quations de la diffusion thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

9. PHYSIQUE MODERNE (Marie-Alix Duval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703Dualit onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

Phnomnes ou expriences classiquement inexplicables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704Dualit onde-corpuscule en lectromagntisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709Gnralisation de la dualit onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710Un peu de relativit restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710Cinmatique des ractions du type 1(12) 3 1 4 1 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

Le noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714Radioactivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

10. ASTRONOMIE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733Lastronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

Repres historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Domaines dtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

Mouvements apparents. Les observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Le mouvement diurne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736Mouvements apparents du Soleil et de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737Les phases de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738Les clipses de Soleil et de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739Mouvements apparents des plantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

Temps et calendrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741Origine astronomique des units de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742Valeur des units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742Le jour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743Remarques importantes sur le vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

Les chelles dans lUnivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Units de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Exemples de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Parallaxe stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747Le Systme solaire lchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

Dtermination des distances de la Lune et du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750La distance Terre-Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750La distance Terre-Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

SOMMAIRE 11

Mesure de la Terre par ratosthne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752Copernic et le modle hliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

Les priodes sidrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Les distances au Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755Modle gocentrique et modle hliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

La gravitation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757Aspect historique de la dcouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757Newton et la force centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758Newton, la pomme et la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Masse dinertie et masse gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Masse de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

Les mares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Attraction diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759Le marnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761Rythme des mares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761Influence du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761Ralentissement de la rotation de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762Priode de rotation de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763

Lunettes et tlescopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765volution historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765Clart dun instrument (lunette ou tlescope) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Pouvoir sparateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767Radiotlescopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767

Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768Dcouvertes de Newton (1670) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768Principes de lanalyse spectrale (1859) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769Effet Doppler-Fizeau (1848) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

Nuclosynthse stellaire et vie des toiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770Les ractions nuclaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770volution dune toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771Abondance des lments dans lUnivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771Quelques lois du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772

Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

A. RAPPELS MATHMATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797Formules de trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797Moyenne dune fonction priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798Quelques relations utiles danalyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

12

C h a p i t r e 1McaniqueLes notes de cours de ce chapitre rappellent les grands principes et thormesindispensables pour passer le concours du CAPES et enseigner la physique enlyce et collge. Elles attirent dautre part lattention sur certains points prcis dontlexprience montre quils posent souvent des problmes aux tudiants. Elles doiventtre conues comme un guide pour les rvisions. Leur contenu doit tre connuavec prcision avant daborder les exercices et problmes qui en permettrontlassimilation.Les exercices et problmes ont t slectionns de manire constituer un ensemblepdagogiquement cohrent : ils recouvrent une trs large partie du contenu du pro-gramme, et requirent lutilisation de la plupart des mthodes mises en oeuvre pourrsoudre les problmes de mcanique.

1. Dynamique du point matriel1.1. Grandeurs cintiques fondamentales1.2. Principe de linertie ; rfrentiels galilens (1re loi de Newton)1.3. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels galilens (2e loi de Newton)1.4. Principe des actions rciproques (3e loi de Newton)1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentiels non galilens1.6. Thorme du moment cintique1.7. Thorme de lnergie cintique1.8. Interactions conservatives. nergie potentielle, nergie mcanique1.9. Forces centrales

2. Oscillateur harmonique une dimension. Oscillations libres2.1. Mouvement dune particule au voisinage dune position dquilibre stable2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement fluide2.4. Aspect nergtique

3. Oscillations forces : loscillateur harmonique entretenu ; rsonance3.1. Recherche du rgime permanent3.2. Comportement de la rponse en amplitude en fonction de la frquence3.3. Aspect nergtique

4. Mcanique des systmes4.1. Prliminaire4.2. Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique

1. MCANIQUE 13

4.3. Quantit de mouvement4.4. Moment cintique4.5. nergie cintique. Conservation de lnergie4.6. Thormes de Koenig4.7. Rduction canonique du problme deux corps

5. Mcanique du solide indformable5.1. lments de cinmatique du solide5.2. Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie5.3. Solide en rotation autour dun axe fixe5.4. Moments dinertie connatre5.5. Thorme de Huygens5.6. Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb5.7. Roulement sans glissement

6. Statique des fluides6.1. Notion de pression6.2. Loi fondamentale de lhydrostatique6.3. Thorme dArchimde

14

1. DYNAMIQUE DU POINT MATRIEL

1.1. Grandeurs cintiques fondamentales

p

M

R

O

Pour un point matriel M, de masse m, anim dunevitesse v par rapport un rfrentiel R donn, ondfinit les grandeurs cintiques suivantes :* Quantit de mouvement :

p = mv

* Moment cintique en un point A :

sA = AM p

(moment en A de la quantit de mouvement).* nergie cintique :

Ec =12

mv2

1.2. Principe de linertie ; rfrentiels galilens(1re loi de Newton)

Principe : Il existe des rfrentiels privilgis, appels galilens, dans lesquels la quantit demouvement dune particule isole est constante (cela correspond soit au repos, soit au mouvementrectiligne uniforme).

VO1

R1

y1

z1

x1 O2

R2

y2

z2

x2

Cette loi fait des droites des objets cinma-tiques privilgis. Ce sont aussi des objetsgomtriques privilgis (dans un espaceeuclidien).Les rfrentiels galilens sont en transla-tion rectiligne uniforme les uns par rap-port aux autres. Loprateur qui permetde passer dun rfrentiel un autre estla transformation de Galile G(V ). Ellecontient lhomognit et lisotropie delespace ainsi que luniformit du temps. La vitesse de propagation de linformationest suppose infinie. Dans lhypothse o R2 est en translation rectiligne uniforme devitesse V par rapport R1, dans la direction parallle Ox (Fig. ci-dessus), la relation

1. MCANIQUE 15

entre les deux rfrentiels scrit (dans les repres dfinis par les origines O1, O2 et lestrois axes de directions fixes associs) :

x1

y1

z1

t1

=

1 0 0 V

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

x2

y2

z2

t2

Matriciellement, cette relation scrit :

[X1] =[

G(V )]

[X2]

Il est facile de montrer que lensemble{[

G(V )]}

des transformations de Galile a une

structure de groupe :

[G(V )][

G(V )

]=[

G(V ")

]o

V =

V 1

V

Les lois de la mcanique classique sont invariantes dans les transformations du groupede Galile.

1.3. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentielsgalilens (2e loi de Newton)

Principe : Dans un rfrentiel galilen, la drive de la quantit de mouvement dun point matrielpar rapport au temps est gale la somme des forces quil subit.(

dpdt

)Rgal

=

f

Dans un autre rfrentiel galilen, le principe fondamental appliqu ce point scritexactement de la mme faon, puisque deux rfrentiels galilens ne sont pas acclrslun par rapport lautre.Dans le cas o la masse du point est constante, ce principe scrit ma =

f

1.4. Principe des actions rciproques (3e loi de Newton)

Principe : Si un point matriel 1 exerce sur un point matriel 2 une forceF12, alors le point

matriel 2 exerce sur 1 une force opposeF21 = F12

Cette loi suppose une transmission instantane de linformation. Ainsi, le principe desactions rciproques nest-il plus valable dans le cadre de la thorie de la relativit restreinte.

16

1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentielsnon galilens

O1

R1Galilen en translation non

rectiligne uniformepar rapport R1

y1

z1

x1 O2

R2

y2

z2

x2

M R2 est en translation par rapport R1(translation non rectiligne uniforme).

Principe : Le principe fondamental de ladynamique dans R2 non galilen scrit :

(dpdt

)R2

=

f 1fie(M)

fie(M) est la force dinertie dentranement dupoint M due lacclration de R2 par rapport R1 galilen.

Dans le cas dune translation, lacclration dentranement du point M ne dpend ni desa position par rapport R2 ni de sa vitesse par rapport R2 et on a :

fie (M) = mae (M) = ma (R2/R1) = m

(d2O1O2dt2

)

o a (R2/R1) est lacclration de R2 dans sa translation par rapport R1.

O

M

H

R1 z1

x1

y1

R2x2

z2y2

R2 est en rotation autour dun axe par rap-port R1

Principe : Le principe fondamental de la dyna-mique dans R2 non galilen scrit :

(dpdt

)R2

=

f 1fie(M) 1

fic (M)

ofie(M) est la force dinertie dentranement du

point M due la rotation de R2 par rapport R1galilen et

fic (M) la force dinertie de Coriolis du

point M.

Lacclration dentranement du point Mcomporte deux termes dpendant de la posi-tion de M dans R2. Lun dentre eux est la cause de la clbre force dinertie centrifuge,lautre nintervient que si la rotation de R2 par rapport R1 est non uniforme. Si

V (R2/R1)

1. MCANIQUE 17

dsigne le vecteur rotation (ici parallle Oz1) de R2 par rapport R1, on a :

fie (M) = mae (M) = mV2HM

force dinertiecentrifuge (en mV2r)

mdV (R2/R1)

dt OM

o H est le projet orthogonal de M sur Oz1Lacclration de Coriolis du point M dpend de la vitesse de M dans le rfrentielentran R2, vR2 (M)

fic (M) = 2mV (R2/R1) vR2 (M)

1.6. Thorme du moment cintique

Thorme : La drive par rapport au temps du moment cintique du point matriel M en unpoint fixe O dun rfrentiel galilen est gale la somme des moments en ce point des forcessubies par M : (

ds Odt

)Rgal

=

MO(f ) o

MO(

f ) =

OM f

Pour utiliser le thorme du moment cintique dans un rfrentiel non galilen, il fautajouter la somme des moments les moments des forces dinertie dentranement et deCoriolis, soit

OM fie (M) et OM fic (M).

1.7. Thorme de lnergie cintique

Cas dun rfrentiel galilen

O

M1

M2Rgal

Thorme : Dans un rfrentiel galilen, lavariation dnergie cintique du point M entredeux instants t1 et t2 est gale la somme destravaux des forces subies par M entre ces deuxinstants.

DEc = Ec2 Ec1 =

W12(f )

o

W12(f ) =

M2M1

f dOM

Siv dsigne le vecteur vitesse de M, la puissance de la forcef un instant donn est :

P (f ) =

dWdt

=f v

18

Il est utile de se rappeler quon peut calculer le travail en intgrant la puissance def

entre deux instants :

W12(f ) =

t2t1

P (f )dt

Cas dun rfrentiel non galilen : il faut ajouter la somme des travaux des forces, lestravaux des forces dinertie dentranement.

Remarque : la force dinertie de Coriolis ne travaille pas, puisquelle est chaqueinstant normale la vitesse du point dans le rfrentiel entrain (sa puissance esttoujours nulle) :

P (fic (M)) =

fic (M) vR2 (M) = 0, (t)

1.8. Interactions conservatives. nergie potentielle, nergiemcanique

Forces conservatives : une force est conservative si son travail lors du dplacement dupoint matriel M dun point A un point B ne dpend pas du chemin suivi. En particuliersur un contour ferm quelconque :

C

f dOM = 0, C, ferm

Il est alors facile de montrer quune force est conservative si et seulement sil existe unefonction scalaire Ep(x, y, z), ne dpendant que des coordonnes despace, telle que :

f (x, y, z) = gradEp(x, y, z)

On a alorsWAB(

f ) = Ep(A) Ep(B)

Lnergie potentielle Ep(x, y, z) nest pas, tant donn un champ de forces, dfinie de

faon univoque, mais une constante additive prs. On dit que le champ de forcesf

drive dun potentiel.Etant donn un champ de forces

f , il est donc conservatif si rot(f ) = 0

Conservation de lnergie mcanique : en appliquant le thorme de lnergie cin-tique, dans le cas o les forces drivent toutes dun potentiel, on montre que :

Thorme : Lnergie mcanique Em = Ec 1Ep dune particule soumise uniquement des forcesconservatives ne dpend pas du temps :

dEmdt

= 0

Il est important de remarquer que cette proprit reste vraie si la particule est aussisoumise des liaisons (forces de contact avec une surface ou une courbe) conditionque celles-ci ne travaillent pas. Cest en particulier le cas en labsence de frottements,mais aussi lorsquon a des frottements latraux, de rsultante orthogonale la vitesse tout instant.

1. MCANIQUE 19

1.9. Forces centrales

Un point matriel M est soumis une force centrale de centre O si la droite dactionde cette force passe par O quelle que soit la position de M. Une telle force drive dunenergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonalesaux surfaces dgale nergie potentielle) de sorte quon lcrit

F = f (r)ur , o ur est le

vecteur unitaire radial des coordonnes sphriques, avec f (r) = dEpdr

.

Proprits : Soit un point matriel M soumis uniquement une force centrale de centre O. Onobserve les proprits suivantes :

Le moment cintique en O s O(M) du point matriel est conservatif. Le mouvement de M seffectue donc dans un plan perpendiculaire s O(M) et passant par O.

On le dcrira de manire pratique en coordonnes polaires.

Le mouvement de M obit la loi des aires : pendant une dure Dt donne, le rayon vecteurOM balaie des aires gales, quelle que soit la position de M.

Lnergie mcanique du point M dans un champ de forces centralF = f(r)ur est conservative.

Compte tenu de la conservation du moment cintique, on peut passer des expressionsgnrales de la vitesse et de lacclration en coordonnes polaires (r, u) des relations nefaisant plus intervenir le temps ; ce sont les formules de Binet. En dfinissant la constantedes aires C par s O(M) = mC, on a C = r2, et :

v2 = C2[(

1r

)21

(ddu

(1r

))2] a = C2r2

1r 1

d2(

1r

)du2

ur

Voir exercices 1 15

2. OSCILLATEUR HARMONIQUE UNE DIMENSION.OSCILLATIONS LIBRES

2.1. Mouvement dune particule au voisinage dune positiondquilibre stable

Une position dquilibre stable pour une particule place dans un champ de forces drivantdune nergie potentielle se dfinit par lexistence dune force de rappel lorsquon lcartede cette position ; comme

F = grad(Ep), cela se traduit par un minimum de lnergie

potentielle. Dans le cas gnral multidimensionnel, ltude des positions dquilibre et deleur stabilit peut tre difficile car les surfaces quipotentielles peuvent avoir une topologiecomplique (points selles,... )

20

2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti

Lhypothse harmonique suppose que la rponse est linaire : la force de rappel estproportionnelle au dplacement x de la particule par rapport sa position dquilibrestable. Lnergie potentielle est donc quadratique par rapport aux dplacements. tude dynamique : une dimension Fx = kx, o x repre le dplacement de la parti-cule par rapport lquilibre, est la seule force quelle subit. Le principe fondamental dela dynamique conduit une quation diffrentielle linaire du second ordre coefficientsconstants :

d2xdt2

1 v20x = 0

La solution gnrale peut scrire x(t) = a sin(v0t 1 f) o v20 =km

. v0 est la pulsation

propre de loscillateur ; a et f dpendent de deux conditions initiales.Les oscillations dun oscillateur harmonique non amorti sont isochrones : leur pul-sation ne dpend pas de lamplitude du mouvement. Aspect nergtique : lnergie mcanique dun oscillateur harmonique non amorti estune intgrale premire du mouvement. Em =

12

mv2112

kx2 est constante, proportionnelle

au carr de lamplitude des oscillations et au carr de la pulsation : Em =12

ma2v20Un oscillateur harmonique ne possde que des tats lis : deux barrires de potentiel leconfinent dans une rgion finie de lespace.

Thorme du viriel : Lnergie cintique et lnergie potentielle de loscillateur harmonique sontoscillantes, de priode gale T0/2. Leurs moyennes temporelles sont gales.

2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti parfrottement fluide

Aspect dynamique ; mise en quation : en plus de la force de rappel Fx = kx, laparticule est soumise une force de frottement fluide

f = hv (h > 0). Lquation

diffrentielle du mouvement scrit :

d2xdt2

11t

dxdt

1 v20x = 0 o v20 =

km

et1t

=hm

v0 est la pulsation propre de loscillateur et t correspond physiquement un temps derelaxation ; cest le temps caractristique du rgime libre. Lorsquon carte le systmede lquilibre et quon le lche, il revient sa position dquilibre et au repos aprs quelques t .

Solutions de lquation diffrentielle ; reprsentation complexe : lquation caract-ristique associe lquation diffrentielle est r2 1 (1/t)r 1 v20 = 0La forme des solutions de lquation diffrentielle dpend du signe de D = 1/t2 4v20

1. MCANIQUE 21

Si D > 0 (2v0t < 1), soit (h > 2

mk), le rgime est apriodique : amortissement assezimportant. Lquation caractristique a 2 racines relles ngatives distinctes r1 et r2.La solution gnrale scrit :

x(t) = a exp(r1t) 1 b exp(r2t)

La particule retourne sa position dquilibre sans effectuer doscillations. Il est importantde remarquer que le fait que les racines soient ngatives assure le retour lquilibre (lalimite de la vitesse lorsque t tend vers linfini est zro). Si D < 0 (2v0t > 1), soit (h < 2

mk), le rgime est oscillatoire : amortissement

assez faible. Lquation caractristique a deux racines complexes distinctes c1 et c2 partierelle ngative ; la solution gnrale complexe scrit : X (t) = a exp(c1t) 1 b exp(c2t).Llongation est alors la partie relle (note x) de X ; il apparat naturellement dans lecalcul la pulsation

V =

v20 1/4t2

On crit la solution :

x(t) = exp(t/2t)(a cos Vt 1 b sin Vt)La particule retourne sa position dquilibre en effectuant des oscillations dont lampli-tude dcrot exponentiellement, avec un temps caractristique de lordre de 2t ; bien quela fonction x(t) ne soit pas priodique, on remarque quelle sannule des intervalles detemps gaux permettant de dfinir une pseudo-priode T = 2p/V.La pseudo-priode des oscillations amorties est toujours un petit peu plus leve que lapriode propre, mais en reste trs proche dans la limite de lamortissement faible.Le dcrment logarithmique d caractrise la rapidit de lamortissement ; cest le rapportentre les deux temps caractristiques qui apparaissent naturellement dans lquation diff-rentielle, savoir la priode propre et le temps de relaxation. Lamplitude des oscillationsdcrot dautant plus vite que d est lev.

x(t 1 T )/x(t) = exp(T/2t) et d = T/2tLe rapport des amplitudes des oscillations espaces dune pseudo-priode est uneconstante gale exp(d). Si D = 0 (2v0t = 1), (soit h = 2

mk), le rgime est critique : cest le rgime qui assure

la transition entre le rgime apriodique et le rgime oscillatoire. La solution gnralescrit :

x = (at 1 b) exp(t/2t)La particule retourne sa position dquilibre sans effectuer doscillations. Il est facilede montrer que, pour des conditions initiales et pour v0 et t fixs, le temps que met laparticule pour retourner lquilibre est alors minimal.

22

2.4. Aspect nergtique

partir de lquation diffrentielle, on multiplie chaque membre par x, et on intgreentre t1 et t2 :

mx(t)x(t) 1 kx(t)x(t) = hx(t)2

E(t2) E(t1) = t2

t1

f v dt =

t2t1

hx(t)2dt

Lnergie mcanique dun oscillateur harmonique amorti diminue au cours du temps : lavariation dnergie mcanique du systme entre deux instants est gale au travail de laforce de frottement entre ces deux instants.

Voir exercices 16 17

3. OSCILLATIONS FORCES : LOSCILLATEUR HARMONIQUEENTRETENU; RSONANCE

Loscillateur harmonique entretenu est soumis de plus une force extrieure priodiqueet sinusodale F(t) de priode T .

3.1. Recherche du rgime permanent

une dimension, le principe fondamental de la dynamique conduit une quationdiffrentielle linaire du second ordre coefficients constants. La solution gnrale estla somme de lintgrale gnrale de lquation sans second membre et dune intgraleparticulire de lquation avec second membre :

x(t) 11t

x(t) 1 v20x(t) = F (t)/m

La solution gnrale de lquation sans second membre se caractrise par le fait que salimite tend vers 0 lorsque t tend vers linfini, quel que soit le rgime transitoire ; dansla pratique, cette solution scrase sur un temps caractristique de quelques t. Celasous-entend videmment, que le frottement fluide nest pas nul.F (t) tant une excitation sinusodale, on est amen chercher une rponse sinusodalez(t) de mme frquence. On utilise la reprsentation complexe (x = Re(z)) :

z(t) 11t

z(t) 1 v20z(t) =(

f0/m)

eivt => z(t) = z0eivt

avec

z0 =f0m

31

(v20 v2) 1 iv/t

1. MCANIQUE 23

En rgime permanent, loscillateur rpond la frquence fixe par lexcitateur. Lamplitude de la rponse est proportionnelle lamplitude de lexcitation (rponselinaire). Lamplitude de la rponse dpend des caractristiques intrinsques de loscillateur(v0, t) et de la frquence v de lexcitateur . La rponse prsente en gnral un dphasage avec lexcitation.

On peut dfinir la rponse en vitesse par z = v0 exp(ivt), o v0 = ivz0 :

v0 =f0m

3iv

(v20 v2) 1 iv/t

3.2. Comportement de la rponse en amplitude en fonctionde la frquence

Le phnomne de rsonance en amplitude Avertissement : Il importe de remarquer que le titre est entre guillemets. On dit quily a rsonance lorsque la puissance cde par lexcitateur loscillateur est maximale ;cela se produit lorsque la frquence de lexcitateur est rigoureusement gale la frquencepropre de lexcitateur. La mise en vidence du phnomne de rsonance proprement ditncessite ltude de la rponse en vitesse ; on ne peut donc pas en toute rigueur parler de rsonance en amplitude .z0(v) = ( f0/m).Fa(v) conduit :

|Fa(v)| = 1(v20 v2)2 1 (v/t)2

et tan f(v) = v/tv20 v2

o f est le dphasage entre la force excitatrice F (t) et la rponse en amplitude x(t). Laseule donne de tan f(v) ne suffit pas dterminer la phase f(v). Pour la dterminer, onpeut remarquer que largument de Fa(v) est ngatif.

1

Fa,max

Fa,max

2

21

Fa

>>1

12

) lamplitude de la rponse

prsente un maximum pour une pulsationexcitatrice vm lgrement infrieure la pul-sation propre v0 de loscillateur ; la forceexcitatrice est alors en avance de un peumoins de p/2 sur le dplacement. On a

vm =

v20 1/2t2

Rponse basse frquence : dans la limite des basses frquences, la force excitatriceest pratiquement en phase avec le dplacement.

24

Rponse haute frquence : dans la limite des hautes frquences, la rponse tend vers 0comme 1/v2 (loscillateur n a pas le temps de rpondre cause de son inertie). La forceest pratiquement en opposition de phase avec le dplacement.

Acuit de la rsonance en amplitude : dans la limite dun amortissement nettementfaible (v0t 1) vm est trs voisin de v0 et lacuit de la rsonance en amplitude estcaractrise par une largeur de bande passante telle que :

Dva = 1/t

La rsonance en amplitude, lorsquelle existe est dautant plus troite que lamortisse-ment est faible. Il en va de mme pour la rsonance dfinie par la vitesse la diffrencequelle nexiste pas toujours.

Principe de causalit : les effets ne peuvent prcder les causes. Cela se manifeste ici parle fait que la rponse en amplitude est toujours en retard de phase sur la force excitatrice.

3.3. Aspect nergtique

Bilan instantan : lnergie cintique et lnergie potentielle sont des fonctions prio-diques, de priode T/2 dont lamplitude dpend du module de la fonction de rponse.Lnergie mcanique est en gnral dpendante du temps.Ce nest que dans le cas o la frquence de lexcitateur est gale la frquence proprede loscillateur que la puissance instantane quil lui fournit est gale la puissanceinstantane dissipe par lamortissement. Puissance moyenne absorbe : rsonance. La puissance moyenne absorbe est lagrandeur moyenne effectivement accessible la mesure.

PT (v) = 1T T

0p(t)dt =

f 20 t2m

1(v20 v2

v/t

)21 1

La puissance moyenne absorbe par loscillateur a un profil frquentiel Lorentzien. Elleest maximale lorsque la frquence de lexcitateur est gale (rigoureusement) la frquencepropre de loscillateur ; la bande passante en puissance (largeur totale mi-hauteur dePT (v)) est telle que :

DvP 3 t = 1

Le facteur de qualit Q ne dpend que des caractristiques de loscillateur et rend comptede lacuit de la rsonance :

Q =v0

DvP v0t

Voir exercices 16 17

1. MCANIQUE 25

4. MCANIQUE DES SYSTMES

Les dfinitions et thormes tels quils sont noncs ici sont valables aussi bien pour dessolides indformables que pour des systmes dformables.

4.1. Prliminaire

Au sens classique, un systme S peut tre dfini comme un ensemble de points matrielsMi, chacun tant affect dune masse mi. Le passage des distributions continues de massesimpose souvent lorsque lon calcule les grandeurs mcaniques (moments dinertie oupositions de centres de gravit,...). Il est cependant plus pratique de retenir les dfinitionssous forme discrte et facile de retrouver rapidement tous les thormes de la mcaniquedes systmes en utilisant des sommes discrtes plutt que des intgrales.Le passage du discret au continu pour une grandeur mcanique A seffectue en rempla-ant :

i

A(Mi)mi par

A(M)dm.

4.2. Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique

Le centre dinertie G du systme matriel S, de masse totale m est dfini par :

OG =

MiS

miOMi

m

ce qui peut scrireOG =

S

OMdmm

dans le cas dune distribution continue.

La position de G ne dpend pas du choix de O. Si la distribution de masse du systme prsente des symtries (plans, axes), G est lintersection de ses lments de symtrie. Pour dterminer les lments de symtrie deS, lexamen de la forme gomtrique ne suffit pas. Il faut penser lhomognit de ladistribution de masse.Le rfrentiel barycentrique (Rba) associ R a son origine en G et est en translation(gnralement non rectiligne) par rapport R ; les axes du repre barycentrique sont tout instant parallles aux axes de R.

R

O GG

Rba

Rba

Instant t1 Instant t2

26

4.3. Quantit de mouvement

Dfinition : La quantit de mouvement du systme S dans le rfrentiel R est :

p (S/R) =MiS

miv (Mi/R)

Cette dfinition nest gnralement pas utilisable directement pour calculer des quantitsde mouvement dans un problme de mcanique. Il est donc crucial de se rappeler quildcoule de la dfinition de G la relation trs utile :

p (S/R) = Mv (G/R)

La dfinition mme de Rba implique que la quantit de mouvement dun systme estnulle tout instant dans le rfrentiel barycentrique (p (S/Rba) = 0 ) ; cette propritest utile pour traiter des problmes de chocs. Principe de linertie : diffrents noncs peuvent en tre donns. ce titre-l, il estintressant de se reporter louvrage dIsaac Newton De philosophiae naturalis principiamathematica paru en 1687.

Principe : Dans un rfrentiel galilen, la quantit de mouvement dun systme isol estconstante.

Il importe de bien avoir prsent lesprit que cela signifie que G est soit au repos, soit enmouvement rectiligne et uniforme, et que le systme peut se dformer et tourner autourde G Thorme du centre dinertie (ou rsultante cintique)Thorme : Le mouvement du centre dinertie dun systme est le mme que celui dun pointmatriel dont la masse totale serait celle du systme et auquel seraient appliques toutes les forcesextrieures. (

dp (S/Rgal)dt

)Rgal

=

Fext

Dans le cas o R nest pas galilen, il faut ajouter la somme des forces extrieures, lesforces dinertie dentranement et de Coriolis (il faut en gnral intgrer sur la totalitdu systme pour les calculer).

4.4. Moment cintique

Dfinition : Le moment cintique en un point quelconque A, du systme S par rapport R est :

sA(S/R) =MiS

AMi miv (Mi/R)

1. MCANIQUE 27

Le moment cintique dpend du point o on le calcule et se transforme comme untorseur :

sA(S/R) = s B(S/R) 1AB p (S/R)

Thorme du moment cintique : il nest applicable sous sa forme simple quen unpoint fixe dun rfrentiel galilen ou au centre dinertie. Point fixe O de Rgal : On a souvent intrt lutiliser sous cette forme si O appartient S.

Thorme : La drive galilenne par rapport au temps du moment cintique dun systme enun point fixe O dun rfrentiel galilen est gale la somme des moments en ce point des forcesextrieures appliques. (

ds O(S/Rgal)dt

)Rgal

=

MO(Fext)

Au centre dinertie G : puisque Rba est en translation par rapport R, le momentcintique en G est le mme dans R et dans Rba.(

ds G(S)dt

)=

MG(Fext)

uRgal

A

G

Forme scalaire : le thorme du momentcintique peut se rduire une relation sca-laire dans le cas o le mouvement se fait parrapport un axe fixe D, ou un axe dont ladirection reste fixe. Le vecteur unitaire udfinissant la direction de cet axe :

sD(S/Rgal) = sA(S/Rgal) uet lapplication du thorme du moment cintique en A se ramne :(

dsD(S/Rgal)dt

)Rgal

=

MD(Fext)

sD = sA u et MD(F ) = MA(F ) u dfinissent respectivement le moment cintiqueet le moment scalaire des forces par rapport laxe D.

4.5. nergie cintique. Conservation de lnergie

Dfinition : Lnergie cintique du systme S par rapport R est :

Ec(S/R) =MiS

12miv

2(Mi/R)

28

Thorme : La variation dnergie cintique du systme S (dans Rgal) entre deux instants t1 ett2 est gale la somme des travaux de toutes les forces intrieures et extrieures appliques ausystme entre ces deux instants.

EC2(S/Rgal) EC1(S/Rgal) =

Wt1t2(F )

Remarque : si R nest pas galilen, il faut ajouter le travail des forces dinertie dentra-nement.

Conservation de lnergie : Lnergie totale dun systme S de points matriels se conserve siles forces intrieures et extrieures quil subit drivent toutes dune nergie potentielle ; chaquepoint matriel tant repr par ri , cette nergie scrit :

E = EC 1 Eextp({ri })1 Eintp ({ri }) .

Il importe de remarquer quen toute gnralit, cette expression de lnergie prend encompte les interactions microscopiques, donc lnergie interne du systme.

4.6. Thormes de Koenig

Ces thormes permettent de calculer le moment cintique en un point quelconque parrapport R en fonction du moment cintique en G et lnergie cintique dans R enfonction de lnergie cintique dans Rba

sA(S/R) = s G(S) 1AG mvG(R)Ec(S/R) = Ec(S/Rba) 1

12

mvG2(R)

4.7. Rduction canonique du problme deux corps

On dsigne par S un systme de deux point matriels M1 et M2 de masses m1 etm2 en interaction. Lnergie potentielle qui dcrit cette interaction est invariante partranslation de lensemble (donc elle dpend de la seule diffrence de leurs positionsr = r1 r2 = M2M1) et par rotation de lensemble (donc elle dpend de la seulenorme de r ). Le systme est suppos isol par rapport un rfrentiel galilen Rgal.Proprits : Dans le rfrentiel barycentrique Rba, le mouvement de chaque point matriel estun mouvement force centrale (de centre G). Les deux quations traduisant la relation fondamentale de la dynamique se ramnent

md2rdt2

= dEp(r)dr

ur, o m = m1m2m1 1 m2 est la masse rduite du systme etur =

rr

. On dit que

le mouvement se ramne ltude du mouvement force centrale dune particule dite fictive ,de masse m. Le moment cintique de S en G est s G(S) = mr r Lnergie cintique de S dans Rba est EC(S/Rba) =

12

mr 2

Voir exercices 18 26

1. MCANIQUE 29

5. MCANIQUE DU SOLIDE INDFORMABLE

Tous les thormes et dfinitions de la mcanique des systmes restent valables. De plus,le caractre indformable du systme implique les proprits suivantes :

La somme des forces intrieures est nulle ;

La somme des travaux des forces intrieures est nulle.

5.1. lments de cinmatique du solide

Classiquement, le solide indformable est un ensemble de points matriels {Mi} telsque :

(i, j),MiMj = Cte.

A

B

VA VB

Il est alors facile de montrer que le champ desvitesses dun solide est quiprojectif (antisy-mtrique), cest--dire que :

(A, B) Solide,AB VA = AB VBIl sensuit que t, v , (indpendant despoints du solide considr) tel que :

VA =

VB 1

AB v

v est le vecteur rotation instantane dusolide linstant t.

M

H

O

V (M)

Le champ des acclrations nest pas anti-symtrique. Si le solide est en translation, v = 0 ,t Si le solide est rotation autour dun axe fixe,il ny a pas de translation par rapport laxe etle vecteur rotation instantan conserve unedirection fixe, de vecteur unitaire uD. On av =

(dudt

)uD o langle u repre la rota-

tion autour de laxe D ; un point M du solide aune trajectoire circulaire, daxe D et sa vitesseestV (M) = v OM.

Lacclration de M scrit par consquent :

a (M) = v2MH 1 dvdt

OM

30

Le premier terme nest autre que lacclration centripte. Il est utile de se rappeler quecest partir de cette expression que lon crit lacclration dentranement dun pointlors dun changement de rfrentiel.

5.2. Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie

G

R

O

M

OMxyz

Un point M est repr par ses coordonnescartsiennes :

OM

x

y

z

.

V (S/R) tant le vecteur rotation instantan du solide S, il est facile de montrer que lemoment cintique s O(S/R) peut scrire :

s O(S/R) = J (O/S) V (S/R)Loprateur dinertie en O du solide S est :

J (O, S) =

Jxx(O) Jxy(O) Jxz(O)Jxy(O) Jyy(O) Jyz(O)Jxz(O) Jyz(O) Jzz(O)

o Jxx(O), Jyy(O), Jzz(O) sont les moments dinertie par rapport aux axes xx, yy, zz pas-sant par O. Les autres termes sont les produits dinertie (on peut les interprter commedes moments dinertie par rapport des plans). dm tant la masse de llment de matireinfinitsimal entourant M, les termes de la matrice sont dfinis par :

Jxx(O) =

S(y2 1 z2)dm

Jxy(O) =

Sxydm

Il importe de remarquer que lexpression de J (O, S) dpend de la base dans laquelle lesmoments et produits dinertie sont calculs. Les trois directions associes la base danslaquelle J (O, S) est diagonale dfinissent les axes principaux dinertie en O du solide S.On montre que lnergie cintique est :

Ec(S/R) =12s O(S/R) V (S/R)

Du point de vue des dimensions : Le moment cintique est homogne : (moment dinertie) 3 (vitesse angulaire) Lnergie cintique est homogne : (moment dinertie) 3 (vitesse angulaire)2

Les relations telles quelles sont crites ci-dessus permettent de traiter le mouvement dunsolide autour dun point fixe.

1. MCANIQUE 31

5.3. Solide en rotation autour dun axe fixe

RO

M

axe fixe

H

Il ne faut jamais traiter un problme de rota-tion autour dun axe fixe en utilisant larsenaldu paragraphe prcdent. En effet, il suffit deprojeter les relations sur laxe, et le problmescrit totalement en termes scalaires. Moment cintique scalaire par rapport laxe D :

sD(S) = s OD(S/R) u

avec v =dudt

vitesse angulaire autour de laxe

D et JD moment dinertie du solide par rapport laxe D :

JD =

Sr2dm = u J (O, S) u

Le moment cintique du solide dans sa rotation autour de laxe est :

sD(S) = JD v

Lnergie cintique du solide dans sa rotation autour de D scrit :

Ec(S) =12

JDv2

Le thorme du moment cintique peut scrire au point fixe O et se projeter sur laxe.Il vient :

dsD(S)dt

=

MD(Fext)

quil est plus pratique dutiliser sous la forme :

JDd 2udt2

=

MD(Fext)

o la somme des moments est algbrique.Dans ces conditions, le moment de la force par rapport laxe est scalaire. Si la directionde cette force est perpendicul