02. LABORATORIO Nº 2 (F-G) Graficas y Ajuste de Curvas

8/13/2019 02. LABORATORIO Nº 2 (F-G) Graficas y Ajuste de Curvas

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Manual de Laboratorio de Física General

1

ANÁLISIS DE FUNCIONESGraficas y Ajuste de curvas Práctica de Laboratorio Nº 02

Tópicos Relacionados

Métodos de mínimos cuadrados, matrices y determinantes, asíntotas,

interpolación, extrapolación, sumatorias.

1. Objetivos

1.1 Encontrar la función matemática que relaciona a dos cantidadesfísicas medidas experimentalmente.

1.2 Hacer uso de la técnica de linealización por el método demínimos cuadrados.

1.3 Predecir resultados haciendo interpolaciones y extrapolacionesa la ecuación de ajuste calculada.

2. Equipos y materiales

- Seis (06) hojas milimetradas.

- Un (01) lápiz de carbón N°2- Una (01) regla de 30 cm.- Una (01) Calculadora Científica (personal).

3. Fundamento teórico

En el estudio de los fenómenos físicos nos encontramos con muchas

variables, que intervienen en dicho proceso lo cual es muy complejoanalizarlo simultáneamente. Para facilitar el análisis elegimos dos deestas variables, el conjunto de datos obtenidos, se organizan en unatabla. A partir de estos datos graficar y establecer la función quemejor se ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser

lineales, exponenciales, logarítmicos, etc. Como se observa acontinuación:




2

Figura. Nº 1: Función Lineal

Figura. Nº 2: Función Parabólica

Figura. Nº 3: Función Exponencial

3.1 AJUSTE DE CURVAS.- consiste en determinar la relaciónmatemática que mejor se aproxima a los resultados del

fenómeno medido. Para realizar el ajuste, primero elegimos lafunción a la que se aproxime la distribución de puntosgraficados (datos obtenidos). Entre las principales funciones:

a) Función Lineal : y b m x

b) Función Parabólica o cuadrática :2

y a b x c x

c) Función Cúbica :2 3

y a b x c x d x

d) Función Polinomial :2

0 1 2

n

n y a a x a x a x

e) Función exponencial : x y A B

f) Función Potencial : B

y A x

g) Función Elíptica :

2 2

2 2 1 x y

a b

h) Función Hiperbólica :2 2

2 21

x y

a b

i) Otras.

En todas estas expresiones x e y representan variables,

mientras que las otras letras denotan constantes o parámetros

a determinar.

X

Y

X

Y

X

Y




3

Una vez elegida la función se determina las constantes de tal

manera que particularicen la curva de los fenómenos observado.

3.2 Consideraciones previas.- Los datos obtenidos en el proceso

de medición se organizan en tablas. Las tablas así formadas noinforman acerca del tipo de relación existente entre una

magnitud y la otra. Una alternativa para establecer dichasrelaciones es hacer representaciones gráficas en un sistema de

ejes coordenados.

a) Se grafican en papel milimetrado los valores de la tabla.

b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvasconocidas.

Habiendo logrado identificar la forma de la distribución de lospuntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas

mediante el método de mínimos cuadrados y para datos cuyatendencia sea una línea recta se puede usar también el métodografico.

Actualmente se puede realizar el ajuste de la distribución de

puntos (datos experimentales) mediante programas de cómputo

como Excel, MathLab, origin, etc, por ejemplo, que facilitan eltrabajo. En el Laboratorio de Física disponemos del softwarepara el procesamiento de datos y graficas Logger Pro.

3.3 Método de los mínimos cuadrados.- Considerando los valores experimentales (X1 , Y 1), (X2 , Y 2), . . . ,

(Xa , Y a) la idea es construir una función F(x) de manera que

minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones (ver

Figura. Nº 4), es decir:

S = D12 + D2

2 + D32 + . . . + Dn

2 sea un número mínimo.

Nota:

- Si se considera que S = 0, es decir D1 = D2 = . . . . = Dn = 0 se

tendría que F(x) pasa por todos los puntos experimentales.

- Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas

extrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de los

valores medidos.




4

Figura Nº 4: Desviaciones en un ajuste de mínimos cuadrados

3.4 AJUSTE DE CURVA LINEAL

- Método Geométrico

Una función es lineal cuando las variables aparecen elevadas

solo a la primera potencia.

Una función lineal que relacione “x” con “y” se representa

algebraicamente como:

y b m x (1)

Donde “b” y “m” son constantes.

Figura Nº 5: Función ajustada geométricamente

X1 X2 X3 X4

Y2

Y1

Y3

Yn

D3

D2 D1

Y

Y2

Y1

Y

X

X1 X2 X

b




5

En la figura Nº 5 se muestra una gráfica de los valores de “X” e

“Y” que satisfacen la ecuación. La constante “b” es la ordenada.

La constante “m” es la pendiente de la recta.

Donde: b resulta de la intersección de la recta con la

ordenada

ym

x

(2)

X = X2 – X1

Y = Y 2 – Y 1

- Recta Mínima Cuadrática

La recta mínima cuadrática que ajusta el conjunto de puntos:

(X1 , Y 1) , (X2 , Y 2) , . . . , (Xn , Y n) tiene por ecuación:

y b m x (3)

Donde las constantes a y b se determinan resolviendo las dossiguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.

ii

X mbN Y , (4)

2

iiii X m X bY X (5)

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

2 2

i i i i

i i

n x y x ymn x x

(6)

2

i i i i i

2 2

i i

x y x x y b

n x x

(7)

Para mayor comprensión se construye la siguiente tabla:




6

TABLA N° : Tabla de datos

i ix iy i ix y 2

ix

11x 1y 1 1x y

2

1x

22x 2y 2 2x y

2

2x

nnx ny n nx y

2

nx

n ix iy i ix y

2

ix

Y luego procederemos a calcular las sumatorias para cadacolumna de datos.

Finalmente usaremos la ecuación de ajuste (6) y (7)respectivamente.

Ejemplo Nº 1: Dado los siguientes datos, realice el ajuste por el

método de mínimos cuadrados (1,2); (2,3); (5,5); (6,5); (7,6);

(8,7) y (12,9).

Solución: Construyamos la siguiente tabla de datos:

TABLA N° 2: Tabla de datos Experimentales

X Y X . Y X2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Xi= 41 Y i= 37 Y iXi = 269 Xi2 = 323




7

N (número de datos) = 7

Obteniendo :

323 ,269 ,37 ,41 2

iiiii X Y X Y X

Reemplazando estos resultados en las ecuaciones 4 y

resolviendo el sistema se tiene:

a = 1,590 b = 0,631

Por lo tanto la recta tiene por ecuación: F (x)=Y=1,590 + 0,631 X

Al extrapolar (extender la gráfica a ambos lados), es posible

determinar los valores de Y para X cercanos y externos al

intervalo de valores medidos (Ver Figura. Nº 6).

Figura Nº 6: Función ajustada por mínimos cuadrados

3.5 AJUSTE DE UNA CURVA NO LINEAL

- Parábola Mínima Cuadrática.- Para este caso el ajuste se hará

a una función parabólica.

F(x) = Y = a + b X + c X2 (8)

10 --

9 --8 --7 --6 --5 --4 --3 --2 --1 --0 .

0 2 4 6 8 10 12 14

Y




8

Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los

coeficientes a, b y c se procede de manera similar que para el

caso de la recta mínimo cuadrático, tratando que:

S = D12 + D2

2 + D32 + . . . + Dn

2 tome el valor mínimo.

Así resulta:

2 iii X c X baN Y (9)

32

iiiii X c X b X aY X (10)

4322

iiiii X c X b X aY X (11)

Las constantes a, b y c se obtiene resolviendo las ecuaciones 9,

10 y 11.

- Función Potencial: Una función potencial es de la forma:

BY A X (12)

Podríamos linealizar esta función aplicando logaritmos a ambos

lados y obtener:

log log logY A B X (13)

Y si reemplazamos:

log y Y , b B , log x X y loga A (14)

Obtenemos la ecuación de la recta y a b x , la cual tratada

como en las ecuaciones (6) y (7) resulta en:




9

2

22log log (log log ) log

log log

X Y X Y X an X X

(15)

22

(log log ) log log

log log

n X Y X Y b

n X X

(16)

- Función Exponencial: Una función exponencial es de la forma:

Y = ABX ó Y = A eBX (17)

Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales.

A) Sea Y = ABX se toma logaritmos decimales

log Y = log A + (log B) X (18)

Haciendo las equivalencias siguientes:

y = log Y a = log A b = log B x = X (19)

Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las

ecuaciones (6) y (7)

B) Sea Y = A eBX se toma logaritmo natural *)

InY = InA + BX (20) Ahora las equivalencias son las siguientes:

y = InY a = InA b = B x = X (21)

Teniendo la ecuación y = a + b x, la cual fue tratada en las

ecuaciones (6) y (7)




10

Obs: El papel logarítmico (escala en potencias de 10) esta

relacionado con las funciones logarítmicas decimales, con

lo cual, en el item B) aplicando la función logarítmico

natural a la ecuación Y = A eBX para la linealizacion no

seria apropiada graficarla en papel logarítmico.

Ejemplo Nº 2: Realizar el ajuste a una parábola por

mínimos cuadrados para los siguientes datos

experimentales: (1,5 , 3); (3,49 , 7,1); (4,8 , 9,5); (6 , 12);

(7,14 , 11,8); (8,2 ,10,8); (9,1 , 10,3). Los cálculos

necesarios para expresar las ecuaciones normales se

disponen en la siguiente tabla:

TABLA N° 3: Tratamiento de datos

X Y XY X2 X2 Y X3 X4

1,50 3,00 4,50 2,25 6,75 3,37 5,06

3,49 7,10 24,78 12,18 86,48 42,51 148,35

4,80 9,50 45,60 23,04 218,88 110,59 530,84

6,00 12,00 72,00 36,00 432,00 216,00 1296,00

7,14 11,80 84,25 50,98 601,56 363,99 2598,92

8,20 10,80 88,56 67,24 726,19 551,37 4521,22

9,10 10,30 93,73 82,81 852,94 753,57 6857,50

i X

40,23

iY

64,50

iiY X

413,42

2

i X

274,50

ii Y X 2

2924,80

3

i X

2041,41

4

i X

15957,89

Reemplazando en las ecuaciones 9,10 y 11 se tiene:

64,50 = a 7 + b 40,23 + c 274,50

413,42 = a 40,23 + b 274,50 + c 2041,41

2924,80 = a 274,50 + b 2041,41 + c 15957,89




11

Al resolver las ecuaciones obtenemos:

a = - 2,67 b = 3,96 c = - 0,28

Con estos valores, la ecuación de la parábola mínima cuadrática

será:

F(x) = - 2,67 + 3,96 x – 0,28 X2

Lo cual se muestra en la figura Nº 7

Figura Nº 7: Función cuadrática ajustada

4. Procedimiento

Se analizarán los resultados de tres experimentos:

4.1 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X.

4.2 Medida de la magnitud Y en función de la magnitud X.

14 --

12 --

10 --

8 --

6 --

4 --2 --

0 .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Y




12

Tabla N° 4 Tabla N° 5

X Y X Y

1,0 2,5 -6,1 42,5

2,3 6,4 -5,4 31,3

3,6 9,0 -4,2 17,6

4,9 13,4 -2,8 6,4

6,2 18,0 -1,7 3,0

7,5 20,3 -0,6 0,8

8,8 22,0 0,5 0,7

10,1 25,1 1,6 2,211,4 31,0 2,7 7,9

12,7 32,2 3,8 15,1

4,8 24,0

6,0 41,0

A partir de los datos anteriores realice lo siguiente:

I. Grafique en papel milimetrado los valores de la Tabla N° 4 y de

la Tabla N° 5.

II. Usando el método de mínimos cuadrados halle la función quemejor se ajuste al conjunto de datos mostrado en la tabla N° 4y en la tabla N° 5.

III. De la tabla Nº 6, ajuste la grafica trazada usando mínimoscuadrados (Ojo esta función es exponencial decreciente).

Tabla N° 6: Medida de la actividad radiactiva del radón, donde el día unose detectó una desintegración de 4.3 x 10

18 núcleos. Los porcentajes de

la muestra sin desintegrar, para distintos días son los siguientes.

t (días) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (t) % 83 69 57 47 39 32 27 22 18 15

Obs: No se olvide de colocar en las graficas las unidades, las escalas y

las graduaciones.

5. Cuestionario.-

5.1 ¿Qué entiende usted por desviación en el ajuste de una curva?




13

5.2 Comprobar sus resultados usando el Software Logger Pro.

5.3 Que otro tipo de ajustes de datos experimentales existe, dealgunos ejemplos

5.4 Investigue datos de algunos experimentos que pueden serajustados a una recta, una parábola, una exponencial y unapotencial; hacer el respectivo ajuste por Mínimos Cuadrados.

5.5 como aplicaría este tema en su carrera profesional?

6. Observaciones.-

6.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7. Conclusiones.-

7.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8. Sugerencias.-

8.1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8.3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -




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9. Referencias bibliográficas.-

9.1 Problemas y ejercicios de análisis matemático, B. Demidovich,Ed. MIR, Moscú, URSS, 1973, Cap. 1, Pág. 7 – 19.

9.2 Tópicos de Cálculo I, Máximo Mittac & Luis Toro, IMPOFOT, Lima,Perú, 1990 Cap. 1

9.3 Teoría y problemas de Estadística, Murray R. Spiegel, McGraw

Hill, México D.F., México, 1982, Cap. 13, Pág. 217 - 240.

" La vida humana representa, la mayor parte de las veces, una ecuación entr e el pasado y el fu turo ."

JoséIngenieros

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