02. Aplicaciones y Extensiones de Juegos Estratégicos

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Segundo tema: aplicaciones y extensiones dejuegos estrategicos

Cesar Martinelli

ITAM

Enero 2011
Referencias

I Introduction to Economic Analysis, Preston McAfee,http://www.introecon.com

I A Course in Game Theory, Martin J. Osborne y ArielRubinstein, MIT Press 2004, captulo 2. Esta disponible gratisen internet registrandose enhttp://theory.economics.utoronto.ca/books/
Plan

1. oligopolio (Cournot, Bertrand)

2. juegos bayesianos

3. subastas
Recapitulacion: juego estrategico

I conjunto N de jugadores

I conjunto Ai de acciones disponibles para cada jugador i NI una funcion de pagos ui : jNAj < especificando la

utilidad para cada jugador de cada posible perfil de accionesa = (aj )jN A = jNAj
Competencia a la Cournot

I teora de juegos ha tenido una enorme influencia en el campode la organizacion industrial, permitiendo pasar de intuicionesa teoras formales

I oligopolio es un ejemplo sencillo de juego estrategico

I jugadores: n empresas

I estrategias: produccion de cada empresa qi
Mejor respuesta y equilibrio de Nash

I Mejor respuesta: Bi (qi ) = arg maxqi
Concentracion y beneficios

I . . . el mark up de una empresa como proporcion del precioes igual a la fraccion del mercado dividida por la elasticidadprecio

I la suma ponderada de mark-ups es:

i

P(Q) C i (qi )P(Q)

si = s2i / = HHI/,

donde HHI= i s2i es el ndice de Herfindahl-Hirshman
Concentracion y beneficios

I . . . el mark up de una empresa como proporcion del precioes igual a la fraccion del mercado dividida por la elasticidadprecio

I la suma ponderada de mark-ups es:

i

P(Q) C i (qi )P(Q)

si = s2i / = HHI/,

donde HHI= i s2i es el ndice de Herfindahl-Hirshman
Indice de Herfindahl-Hirshman

1. empresas mas grandes (con mayor fraccion del mercado) sedesvan mas de la conducta competitiva (precio igual a costomarginal)

2. ndice de Herfindahl-Hirshman refleja la desviacion promediorespecto de conducta competitivaun HHI alto (cerca deuno) significa que la industria es casi un monopolio

3. economistas que trabajan en defensa de la competencia suelenusar 1/HHI como indicador del numero efectivo de empresas

4. si conocemos la elasticidad de demanda y HHI, podemoscalcular la desviacion promedio respecto de conductacompetitiva
Fuentes de ineficiencia en oligopolio

1. margen positivo entre precio y costo marginal

2. empresas producen con diferentes costos marginales; empresascon mayor fraccion del mercado producen con costosmarginales mas bajos (producen menos de lo que deberan)

3. precaucion: si hay entrada, poder de mercado e ineficienciaasociada pueden sobrevivir en el corto plazo pero no en ellargo plazo

4. otra precaucion: si hay costos fijos, margen precio vs costomarginal no necesariamente indica una falla de la competencia
Ejemplo calculado de competencia a la Cournot

I 2 empresas: N = {1, 2}

I demanda lineal: P(Q) = 1QI empresa 1 es mas eficiente: Ci (qi ) = iq2i /4

I CPO: 1Q qi iqi2= 0 si qi > 0

I mejor respuesta: Bi (qi ) = max{

0,1 qi2+ i/2

}I B1(q2) = max

{0, 25 (1 q2)

}I B2(q1) = max

{0, 13 (1 q1)

}

I 2 empresas: N = {1, 2}I demanda lineal: P(Q) = 1Q

I empresa 1 es mas eficiente: Ci (qi ) = iq2i /4



0,1 qi2+ i/2

}I B1(q2) = max

{0, 25 (1 q2)

}I B2(q1) = max

{0, 13 (1 q1)

}

I 2 empresas: N = {1, 2}I demanda lineal: P(Q) = 1QI empresa 1 es mas eficiente: Ci (qi ) = iq2i /4



0,1 qi2+ i/2

}I B1(q2) = max

{0, 25 (1 q2)

}I B2(q1) = max

{0, 13 (1 q1)

}




0,1 qi2+ i/2

}I B1(q2) = max

{0, 25 (1 q2)

}I B2(q1) = max

{0, 13 (1 q1)

}




0,1 qi2+ i/2

}

I B1(q2) = max{

0, 25 (1 q2)}

I B2(q1) = max{

0, 13 (1 q1)}




0,1 qi2+ i/2

}I B1(q2) = max

{0, 25 (1 q2)

}

I B2(q1) = max{

0, 13 (1 q1)}




0,1 qi2+ i/2

}I B1(q2) = max

{0, 25 (1 q2)

}I B2(q1) = max

{0, 13 (1 q1)

}
06

-25

1 q1

13

1

q2

LLLLLLLLLLL

empresa 1

PPPPPPPPPPempresa 2

I Equilibrio de Nash: q1 = 4/13, q2 = 3/13, Q = 7/13

I Equilibrio competitivo (igualando precio a costo marginal):q1 = 1/2, q2 = 1/4, Q = 3/4
06

-25

1 q1

13

1

q2

LLLLLLLLLLL

empresa 1

PPPPPPPPPPempresa 2

I Equilibrio de Nash: q1 = 4/13, q2 = 3/13, Q = 7/13I Equilibrio competitivo (igualando precio a costo marginal):

q1 = 1/2, q2 = 1/4, Q = 3/4
Competencia a la Bertrand

I estrategias de las empresas son precios, no cantidades

I en el ejemplo anterior, estrategias p1
Conclusiones sobre oligopolio

I en aplicaciones de teora de juegos, las variable que se tomacomo estrategica puede ser muy importante

I en oligopolio, competencia en precios es mas conveniente paraconsumidores quer competencia en cantidades

I Cual es el modelo correcto; empresas compiten en precioso en cantidades?

I economistas que trabajan en defensa de la competenciaprefieren asumir que empresas compiten en cantidades; porejemplo, si empresas deciden su capacidad instalada antes quesus precios, parecera que compiten en precios pero en realidadcompiten en cantidades

I aplicacion de teora de juegos a situaciones economicas no esobvia y requiere cierto criterio en la formulacion del modelo
Juegos bayesianos

I en muchas circunstancias jugadores no conocen algunascaractersticas de los otros jugadores

I por ejemplo en una subasta, postores no conocen cuanto estadispuesto a pagar cada uno de los otros postores

I en un juego bayesiano, los pagos de cada jugador dependen deuna variable aleatoria que representa el estado de lanaturaleza y acerca de la cual jugadores pueden tener senalesdiferentes

I ejemplo: cada postor en una subasta conoce su verdaderavaloracion por el objeto de la subasta, el estado de lanaturaleza es el perfil de valoraciones y la senal de cadajugador su propia valoracion

I otro ejemplo: cada postor en una subasta recibe una senal yel verdadero valor del objeto es la suma de las senales
Juegos bayesianos





Juegos bayesianos





Juegos bayesianos





Juegos bayesianos





Juegos bayesianos

Definicion formal simplificada, asumiendo que posibles estados dela naturaleza coinciden con el conjunto de perfiles de senales otipos de cada jugadorUn juego bayesiano con tipos consiste de

I un conjunto finito N de jugadores

I un conjunto Ti de tipos posibles de cada jugador

I una distribucion de probabilidad F sobre el conjunto deposibles perfiles de tipos de jugadores iNTi

I un conjunto de acciones Ai disponibles a cada jugador

I una funcion de pagos para cada jugador ui : A T
Juegos bayesianos






Juegos bayesianos






Juegos bayesianos






Juegos bayesianos






Notas sobre juegos bayesianos

I nuestra definicion es menos general de lo que puede ser

I jugadores pueden tener diferentes creencias sobre perfiles detipossupuesto de creencias previas comunes ha sido criticadoen aplicaciones

I pagos pueden depender no directamente de perfiles de tipos,sino de estado de la naturaleza sobre el que el tipo essimplemente una senal

I como noto por primera vez Harsanyi, un juego bayesianopuede entenderse como un juego estrategico en el que elconjunto de jugadores no es N sino iNTi

I equilibrio de Nash puede extenderse a juegos bayesianosrequiriendo que cada tipo de cada jugador juegue una mejorrespuesta si le toca jugar

I nuestra definicion es menos general de lo que puede serI jugadores pueden tener diferentes creencias sobre perfiles de

tipossupuesto de creencias previas comunes ha sido criticadoen aplicaciones



Equilibrio bayesiano

Dado un juego bayesiano N, (Ti ), F , (Ai ), ui , un equilibriobayesiano es el equilibrio de Nash del juego estrategico en el que

I los jugadores son pares (i , ti ) para todo i y todo ti Ti (esdecir todos los posibles tipos)

I el conjunto de acciones de cada jugador (i , ti ) es AiI la funcion de pagos de cada jugador (i , ti ), definida sobre los

posibles perfiles de acciones a = (a(j ,tj )) es

v(i ,ti )(a) =ti

ui (ai , ai (ti ), ti , ti ) dF (ti |ti )

donde ti = (tj )j 6=i y ai (ti ) = (a(j ,tj ))j 6=i



I el conjunto de acciones de cada jugador (i , ti ) es Ai

I la funcion de pagos de cada jugador (i , ti ), definida sobre losposibles perfiles de acciones a = (a(j ,tj )) es

v(i ,ti )(a) =ti





I el conjunto de acciones de cada jugador (i , ti ) es AiI la funcion de pagos de cada jugador (i , ti ), definida sobre los

posibles perfiles de acciones a = (a(j ,tj )) es

v(i ,ti )(a) =ti


Subastas

I subastas son un ejemplo ideal para aplicar juegos bayesianos

I teora de juegos ha permitido entender y disenarsubastasingeniera economica

I un subastador quiere vender un objeto y sabe que hay npostores interesados

I modelo de valoraciones independientes: cada postor conoce suvaloracion (su tipo) e ignora la de los demas

I modelo de valoraciones comunes: cada postor conoce su tipo,pero la verdadera valoracion es la suma de los tipos

I ejemplo sencillo de valoraciones independientes: cada postortiene una valoracion vi obtenida de una funcion dedistribucion uniforme en el intervalo [0, 1]el tipo de unjugador es su valoracion
Subastas






Subastas






Subastas






Subastas






Subastas






Subasta inglesa

I subastador comienza anunciando un precio bajo y lo vasubiendo, postores se van retirando conforme consideran queel precio es muy alto y cuando queda un solo postor se lleva elobjeto

I usada en antiguedades, autos usados, ganado, etc.

I accion de un postor bi maxj 6=i bj0 si bi < maxj 6=i bj
Subasta inglesa



Subasta inglesa



Subasta inglesa



Equilibrio bayesiano en subasta inglesa

I equilibrio bayesiano: bi = vi para todo iconviene pujar laverdadera valoracion!

I con una puja menor, postor se arriesga a perder cuando leconviene ganar; con una puja mayor, postor se arriesga aganar cuando le conviene perder

I gana el postor con la puja mas alta y paga la segundapujaequivalente a una subasta de segundo precio

I ganancia esperada para subastador: valor esperado de lasegunda de un conjunto de n variables aleatorias uniformesindependientes: Ev(2,n)
Subasta a sobre cerrado

I postores envan pujas bi maxj 6=i bj0 si bi < maxj 6=i bj

I gana el postor con la puja mas alta y paga su propiapujasubasta de primer precio

I con que subasta gana mas el subastador, subasta inglesa osubasta a sobre cerrado?
Equilibrio bayesiano en subasta de primer precio

I supongamos que todo postor diferente a i puja bj = vj paraalgun (0, 1]

I entonces i gana si bi > vj para todo j 6= i , que ocurre conprobabilidad min{(bi/)n1, 1}

I utilidad esperada para i de pujar bi es (vi bi )(bi/)n1I CPO: (bi/)n1 + (vi bi )(n 1)bn2i /n1 = 0I simplificando, bi = n1n vi , una regla lineal de conductaI pero entonces bi = n1n vi para todo i es un equilibrio

bayesiano

I ganancia esperada para subastador n1n Ev(1,n)




bayesiano




I utilidad esperada para i de pujar bi es (vi bi )(bi/)n1

I CPO: (bi/)n1 + (vi bi )(n 1)bn2i /n1 = 0I simplificando, bi = n1n vi , una regla lineal de conductaI pero entonces bi = n1n vi para todo i es un equilibrio

bayesiano




I utilidad esperada para i de pujar bi es (vi bi )(bi/)n1I CPO: (bi/)n1 + (vi bi )(n 1)bn2i /n1 = 0

I simplificando, bi = n1n vi , una regla lineal de conductaI pero entonces bi = n1n vi para todo i es un equilibrio

bayesiano




I utilidad esperada para i de pujar bi es (vi bi )(bi/)n1I CPO: (bi/)n1 + (vi bi )(n 1)bn2i /n1 = 0I simplificando, bi = n1n vi , una regla lineal de conducta

I pero entonces bi = n1n vi para todo i es un equilibriobayesiano





bayesiano





bayesiano

con que subasta esta mejor el subastador?

I subasta de primer precio: n1n Ev(1,n)

I subasta de segundo precio: Ev(2,n)I pero Ev(2,n) =

n1n Ev(1,n)

I equivalencia de ingresos para el subastador!

I es este un resultado general?Vickrey, y anos despuesMyerson e independientemente Riley y Samuelson,demuestran que s

I subasta de primer precio: n1n Ev(1,n)I subasta de segundo precio: Ev(2,n)

I pero Ev(2,n) =n1n Ev(1,n)



I subasta de primer precio: n1n Ev(1,n)I subasta de segundo precio: Ev(2,n)I pero Ev(2,n) =

n1n Ev(1,n)




n1n Ev(1,n)




n1n Ev(1,n)


Modelo general de subastas

I n postores interesados en adquirir un objeto

I cada postor tiene una valoracion por el objeto vi ; valoracionesson variables aleatorias independientes con la mismadistribucion continua F sobre [v , v ]

I conjunto de acciones de cada postor: puja bi
Teorema de equivalencia de ganancias del subastador

I subasta es eficiente si en el equilibrio bayesiano simetricoxi = 1 si vi > maxj 6=i (gana el postor con valoracion mas alta)

I subasta tiene cota inferior de excedente si en el equilibriobayesiano simetrico E(xivi pi ) = 0 si vi = v (postor convaloracion mas baja posible espera un excedente de cero)

TeoremaEn toda subasta eficiente con cota inferior de pagos la gananciaesperada del subastador es la misma.
Demostracion (sketch)

I principio de revelacion: en vez de considerar subasta original,consideremos juego de revelacion directa en el que cadapostor anuncia directamente su valoracion, y regla deasignacion y regla de precios dependen directamente devaloraciones: x(v) = x(b(v)), p(v) = p(b(v))

I idea: si es un equilibrio actuar de acuerdo a estrategia b(v) enel juego original, entonces es un equilibrio decir la verdaderavaloracion en el juego de revelacion directa

I definamos excedente de postor con valoracion vi comoS(vi ) = E(xi (v)vi pi (v)|vi )

I probabilidad de ganar objeto pi(vi ) = E(xi (v)|vi )
Demostracion (continua)

I compatibilidad de incentivos:

S(vi ) E(xi (v i , vi )vi pi (v i , vi )|vi )= S(v i ) + (vi v i )pi(v i )

I tomando v = v + dv ,tenemosS(vi ) S(vi + dv) dvpi(vi + dv)

I similarmente S(vi + dv) S(vi ) + dvpi(vi )I usando las dos restricciones

pi(vi + dv) S(vi + dv) S(vi )dv

pi(vi )

I tomando lmites con dv 0, dSdv

= pi(v)

I conociendo S(v) y pi() (regla de asignacion), podemosencontrar S(). . . excedente esperado depende solo de regla deasignacion y de excedente de v






pi(vi )


= pi(v)





I similarmente S(vi + dv) S(vi ) + dvpi(vi )

I usando las dos restricciones


pi(vi )


= pi(v)







pi(vi )


= pi(v)







pi(vi )


= pi(v)







pi(vi )


= pi(v)

Demostracion (concluye)

I como excedente es independiente de formato de subasta, yregla de asignacion es la misma para todas las subastaseficientes, precio esperado para cada postor debe ser el mismoen todas las subastas eficientes

I entonces ganancia esperada del subastador debe ser la mismapara todas las subastas eficientes

I nota: hemos probado no solo equivalencia de gananciaesperada del subastador, sino tambien equivalencia deexcedente esperado del postor una vez que este conoce suvaloracion
Como maximizar ganancias del subastador?

I usando el principio de revelacion, podemos disenar subastasoptimas (que maximizan los ingresos esperados delsubastador)

I descubrir que juego maximiza algun objetivo se llama disenode mecanismos

I algunos consejos provenientes de la teora de diseno demecanismos

I imponer un precio de reserva o puja mnima (esto eliminaeficiencia porque puede ser que ningun postor tenga unavaloracion tan alta)

I usar subasta ascendente o de segundo precio (esto es util ensubastas con valoraciones comunes, pues reduce maldicion delganador, y hace mas facil calculo del postor)

I favorecer a postores que probablemente estan en desventaja(esto elimina eficiencia porque puede ganar un postor que notenga la valoracion mas alta)
Recapitulacion

I tipos de jugadores

I juegos bayesianos

I juegos de revelacion directa

I principio de revelacion

I aplicacion: teorema de equivalencia de ingresos del subastador

I diseno de mecanismos

I aplicacion: subastas optimas

02. Aplicaciones y Extensiones de Juegos Estratégicos

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