$ 9(.725$1$/<6

$� 9HNWRUDOJHEUD

%DVYHNWRUHU rL L = �, �, �

(REV! HM Q|GYlQGLJWYLV FDUWHVLVND)

rL 6 rN = NLN 9LOONRU I|U 21-EDV

(2UWRJRQDOD, 1RUPHUDGH), GlU

�, L = N

NLN =

�, L � N

r� = r� ¼ r� 9LOONRU I|U K|JHUV\VWHP.

= DN rN H[HPSHO Sn DQYlQGQLQJ

DY VXPPDNRQYHQWLRQ.

6XPPDNRQYHQWLRQHQ LQQHElU DWW PDQ

VNDOO VXPPHUD |YHU N QlU GHW VRP L GHWWD

IDOO XSSUHSDV WYn JnQJHU L VDPPD WHUP.

(WW WLOO H[HPSHO:

#6 E = DN EN (VNDOlUSURGXNW)

,EODQG VNULYHU YL lYHQ NRPSRQHQWHQ

DN VRP Â ÃN

( ¼ E = PLMN # ÃL

DMEN , GlU

P��� = � P��� = � P��� = �

P��� = ?� P��� = ?� P��� = ?�

P��� = �.

6\PEROHQ lU QROO RP WYn HOOHU

WUH LQGLFHV lU OLND.

= =PLMN PNOP PLMN POPN NLO NMP ? NMO NLP

r� r� r�

#¼ E =PLMN rL DM EN = D� D� D�

E� E� E�

gYQLQJ: # # Ã9LVD DWW ¼ Â% ¼ &

## Â # Ã&= % # Ã ? Â6 & 6 %

GlU GHW VNDOO QRWHUDV DWW

# Â # Ã # Ã%#% 6 & = Â 6 &

(HQ VNDOlU NDQ VWn Sn YLONHQ VLGD

RP YHNWRUV\PEROHQ VRP KHOVW)

�.�.�� 9LVD, DWW  ¼ % # ¼ # Ã# à 6 Â& '

# # # Ã= Â # ÃÂ% ' 6 # ÃÂ%6 & 6 # Ã ? Â ' 6 &

�.�.�� 9LVD, DWW

## Ã ¼ Â& # Ã

# # # #

 ¼ % ¼ '

= Ä 6 Â% ¼ # ÃÅ& ? Ä 6 Â% # ÃÅ'' ¼ &

$�. )lOWEHJUHSSHW

2UWVYHNWRUQ U#

U#

O

X = XÂU#, WÃ = XÂ[, \, ], WÃ

skalärt fält

= ÂU#, WÃ

vektorfält

I cartesiska komponenter

=$[ [! +$\ +$] ]!

där

$[ =$[ ÂU#, WÃ =$[ Â[, \, ], WÃ

RFK PRWVYDUDQGH I|U $\ , $] . För geometriska illustrationer, se kompeniet i vektoranalys.

$�. .URNOLQMLJD NRRUGLQDWHU.

Exempel: Cylinderkoordinater

X� = _ , GlU _ = [� + \�

X� = j (” =DUFWDQ [\ ”Ã

X� = ]

_! = [! FRV j + VLQ j

2EV! %DVYHNWRUQ _! EHURU DY j RFK

G_! /Gj = ?[! VLQ j + FRV j = j!

Basvektorer

r� = _! = [! FRV j + VLQ j

r� = j! = ?[! VLQ j + FRV j

r� = ]!

Deriveringsregler för basvektorer i cylinderkoordinater:

G_! /Gj= j!

Gj! /Gj= ?_!

(]! NRQVWDQW) Observera att

U# =__! +]]!

där

/U#//_ = _! W\ _! RFK ]]! EHURU HM DY _.

/U#//j = _G_! /Gj= _j!

/U#//] = ]!

Gemensam egenskap

/U#//X�

r� =

|/U#//X� |

/U# //X2 r2 =

|/U# //X2 |

/U# //X3 r3 =

|/U# //X3 |

eller

/U#//X�

r� =

K�

(motsv för r2, r3), där

K� = |/U#//X� |

EHQlPQV VNDOIDNWRU.

För cylinderkoordinater gäller

K� = K� = �, K� = _ .

Vi I|UXVlWWHUi det allmänna fallet att

Â/U#//X� Ã 6 Â/U#//X� Ã = �

Â/U#//X� Ã 6 Â/U#//X� Ã = �

Â/U#//X� Ã 6 Â/U#//X� Ã = �

samt att

/U#//X�

r� = , r� RFK r�

|/U#//X� |

ELOGDU HWW K|JHUV\VWHP.

Ortsvektorns differential

GU# = Â/U#//XN ÃGXN HOOHU

GU# = r� K� GX� + r� K� GX� + r� K� GX�

(observera att summakonventionen ej får användas när tre indices sammanfaller).

� � �|GU# |� =GV� K�

+ K� + K�

= � GX�

� GX�� GX�

Speciellt cylinderkoordinater

GU# = _! G_ + j! _Gj + ]! G]

6IlULVNW SROlUD NRRUGLQDWHU:

X� = U

X� = S

X� = j (= X� I|U F\OLQGHUNRRUGLQDWHU), där

_ = U VLQ S

] = U FRV S

Direkt fås att

K� = _ = U VLQ S

_! = U! VLQS + S! FRVS

]! = U! FRVS ? S! VLQS

varav

U! = _! VLQ S + ]! FRV S

S! = _! FRV S ? ]! VLQ S

GU# = _! G_ + j! _Gj + ]! G]

där

G_ = Â/_//UÃGU + Â/_//SÃGS

= ÂVLQ SÃGU + U FRV SGS

G] = Â/]//UÃGU + Â/]//SÃGS

= ÂFRV SÃGU ? ÂU VLQ SÃGS

(W\ /_//j = /]//j = �)

GU# = _! G_ + j! _Gj + ]! G] =

= Â_! VLQ S + ]! FRV SÃGU +

+Â_! FRV S ? ]! VLQ SÃUGS + j! U VLQ SGj

Vi ser direkt

GU# = U!GU + S! UGS + j! U VLQ SGj

och identifierar

K� = �

K� = U

K� = U VLQ S

$� 1DEODRSHUDWRUQ .

4� 6 GU# = G�

”definition” av gradienten av ett skalärt fält �.

Pilen illustrerar NRQFHQWUDWLRQVJUDGLHQWHQ, riktad åt det håll koncentrationen ökar mest

&DUWHVLVND NRRUGLQDWHU

[� = [, [� = \, [� = ],

[! � = [! ,[! � = , [! � = ]!

)|U FDUWHVLVND NRRUGLQDWHU lU

GU# = [! NG[N RFK

4� 6 GU# =Â4�ÃNG[N

G� = Â/�//[N ÃG[N

enligt kedjeregeln och vi erhåller

Â4�ÃN = /�//[N

cartesiska koordinater

eller

4� = [! N /�//[N

cartesiska koordinater Nablaoperatorn formellt:

/

4 = [! N

/[N

FDUWHVLVND NRRUGLQDWHU

4 6 Y# =/YN //[N

GLYHUJHQVHQ DY YHNWRUQ Y#

L FDUWHVLVND NRRUGLQDWHU

0HG Y# = 4d InV

� � �4 6 Â4dà = /� d//[� + /� d//[�

+ /� d//[�

cartesiska koordinater. Vi betecknar

4 6 Â4dà = 4� d

(/DSODFHV RSHUDWRU YHUNDQGH Sn d.

För ett godtyckligt vektorfält kan man visa

�/Y /Y � /Y �

ÂGY# Ã� /[ � /[ � /[ � G[�

/Y � /Y � /Y � =ÂGY# Ã�

G[�[ �/[ � /[ �

/Y � /Y � /Y � G[�ÂGY# Ã� /[ � /[ � /[ �

FDUWHVLVND NRRUGLQDWHU, YDQOLJ

PDWULVPXOWLSOLNDWLRQ. 4 6 Y# =/v � //[ �

är summan av diagonalelementen i matrisen

�/Y /Y � /Y �

/[ � /[ � /[ �

/Y � /Y � /Y �0= [ �/[ � /[ �

/Y � /Y � /Y �

/[ � /[ � /[ �

[! � [! � [! �

/ / /4 ¼ Y# =

/[ � /[ � /[ �

Y� Y� Y�

cartesiska koordinater eller

/ .Â4 ¼ Y# ÃL

=PLMN YN

/[M

cartesiska koordinater eller

Â4 ¼ Y# Ã� =0�� ?0��

Â4 ¼ Y# Ã� =0�� ?0��

Â4 ¼ Y# Ã� =0�� ?0��

Vi återkommer i kursen till WRONQLQJDU av divergens, rotation m m.

3RWHQWLDOHU

2P 4 ¼ Y# = � L HWW HQNHOW

VDPPDQKlQJDQGH RPUnGH

Vn H[LWHUDU GHW HQ HQW\GLJ IXQNWLRQ

� , SRWHQWLDOHQ WLOO Y# VnGDQ DWW

? Y# 6 GU# = G� G Y V VnGDQ DWW

Y# = ? 4�

(ombytt tecken i kompendiet)

2P 4 6 Y# = � L HWW HQNHOW VDPPDQKlQJDQGH

RPUnGH Vn H[LVWHUDU GHW HQ YHNWRUYlUG IXQNWLRQ

, YHNWRUSRWHQWLDOHQ WLOO Y# VnGDQ DWW

Y# = 4 ¼ , GlU

lU EHVWlPG Sn HWW JUDGLHQWIlOW QlU.

$� 5lNQHUHJOHU I|U QDEODRSHUDWRUQ

Beta Mathematics Handbook har 12 Laws for operations with the operator 4 i avsnitt 11.2. De tre första anger att 4 är en linjär operator. De tre sista (10, 11, 12) utsäger vad en dubbel applikation av 4 ger

# Ã��. 4 6 Â4 ¼ ) =�

��. 4 ¼ Â4 ¼ dà = �

Se Linnaeus et al för bevis Vi skall handviftande motivera ekv 12

# ## Ã # Â # Ã ? Â # Ã&

# # #

¼ Â% ¼ & = % 6 & 6 %

PHG =%=4, & = )

ger

# à # à ?4� )��. 4 ¼ Â4 ¼ ) = 4Â4 6 ) #

Härledningen är ”handviftande”, genomför ett bättre bevis och notera att

#[! 6 4� ) =4� )[ FDUWHVLVND NRRUGLQDWHU. Motsvarande för y- och z-komponenterna.

1RWHUD GRFN DWW

#r� 6 4� ) HM lU OLND PHG /DSODFHV RSHUDWRU

YHUNDQGH Sn )# :V I|UVWD NRPSRQHQW RP YL KDU

DOOPlQQD NURNOLQMLJD NRRUGLQDWHU. Det återstår nu sex räkneregler för nablaoperatorn

4. 4Âdfà =d4f + f4d

# 6 *# Ã # 6 4Ã* #5. 4Â) = Â) # + Â* 6 4Ã)#

# # Ã + * # Ã+ ) ¼ Â4 ¼ * # ¼ Â4 ¼ )

6. 4 6Âd)# à =dÂ4 6 )# à + Â4dà 6 )#

# # Ã # # Ã ? ) # Ã7. 4 6Â) ¼ * = * 6 Â4 ¼ ) # 6 Â4 ¼ *

8. 4 ¼ Âd)# à =dÂ4 ¼ )# à + Â4dà ¼ )#

# # à # # ? Â) #9. 4 ¼Â) ¼ * = Â* 6 4Ã) # 6 4Ã*

# Ã ? *+ )# Â4 6 * # Â4 6 )# Ã

4, 6,7 och 8 är väsentligen generaliseringar av produktregeln för derivering där vi i 7 måste ta hänsyn till att

# # Ã # Ã6Â) ¼ * = ?)# 6 Â ¼ *

även för en vanlig vektor, och vi därför får teckenbyte i andra termen i högra ledet i 7.

# # # # 6 )# =F2Ekv 5 finner ofta användning när * = )# , och * 6 ) = ) , varav 4ÂF2Ã = 2Â)# 6 4Ã)# +2)# ¼ Â4 ¼ )# Ã

eller )# ¼ Â4 ¼ )# Ã = 4ÂF2/2Ã ? Â)# 6 4Ã)#

För övrigt se Linnaeus et al för genomarbetade härledningar.

_ _

$�. .URNOLQMLJD NRRUGLQDWHU LJHQ

&\OLQGHUNRRUGLQDWHU:

! � /�

4� = _! /�//_ + j _ /j + ]! /�//]

/Y � Y � /Y � /Y �4 6 Y# = + +

� +

/_ /j /]

� �� / / � / � / �

4� � = _ Â_ �à + � � + �/_ /_ _ /j /]

Â4 ¼ Y# Ã� =0�� ? 0�� (F\NOLVN SHUPXWDWLRQ) GlU

/Y �

/_

�

_

/Y �

/j ?

Y � _

/Y �

/]

0= /Y �

/_

�

_

/Y �

/j +

Y_

_

/Y �

/]

/Y � � /Y � /Y �

/_ _ /j /]

1RWHUD DWW GLYHUJHQVHQ DY Y# lU VXPPDQ DY

GLDJRQDOHOHPHQWHQ.

6IlULVNW SROlUD NRRUGLQDWHU:

! � /� � /� 4� = U!/�//U + S + j!U /S U VLQ S /j

/Y � Y � /Y � Y � FRW S /Y � 4 6 Y# = + � +

� + +

�

U U U/U /S U VLQ S /j

� �� / � / � / �

4� � = � ÂU�à + � ÂVLQ S /� à + � � �U

/U U VLQ S /S /S U VLQ S /j

Â4 ¼ Y# Ã� = 0�� ? 0�� (F\NOLVN SHUPXWDWLRQ) GlU

/Y � � /Y � Y � � /Y � Y �? ?U U U/U /S U VLQ S /j

/Y � � /Y � Y � � Â /Y �

+ ? Y � FRV SÃ0= /U U /S U U VLQ S /j

/Y � � /Y � � /Y � Y � +Y � FRW S

+ /U U /S U VLQ S /j U

1RWHUD DWW GLYHUJHQVHQ DY Y# lU VXPPDQ DY

GLDJRQDOHOHPHQWHQ

L GHQ PDWULV, VRP XSSI\OOHU

GY# =0GU#

(MIU FDUWHVLVND NRRUGLQDWHU DYVQLWW $�)

)|U JUDGLHQW, GLYHUJHQV RFK URWDWLRQ L DOOPlQQD

NURNOLQMLJD

NRRUGLQDWHU VH /LQQDHXV HW DO.

A7 Linjeintegraler Exempel: Låt = # # , # !g ¼ U där g =g]

och g är konstant. Betrakta linjeintegralen X� 6 dU#

över en given kurva i xy-planet. Beräkna integralen för det fallet att kurvan är en halv kardoid (se nedan).

Ekvationen för hela kardoiden kan skrivas U# = 2D Â1 ? cos jà[! cos j + sin jà 0� j � 2^

där j är polära vinkeln (kallas S i avsnitt 7.3 i Beta) och D är en konstant. Vi skall integrera över halva, d v s från 0 till ^.

GU# U#

0

Ovan illustreras kardoiden som den böjda linjen omskriven ett ”riktigt” hjärta. Integrationen sker över den övre halvan av den böjda kurvan. Lösning: _! = [! cos j + sin j

j! = ? [! sin j + cos j

är basvektorer i polära koordinater. Ekvationen för den hela kardoiden kan skrivas U# = 2D Â1 ? cos jÃ_! 0� j � 2^

� ���� ���X� 6 dU# = X 6 Gj (obs! integral över halva)

där

_! j! ]!

0 0 g= g ¼ U# = =#

2D Â1 ? cos jà 0 0

= +2Dg Â1 ? cos jÃj! och ���� � � ��� = 2D_! ��� Â1 ? cos jà + 2DÂ1 ? cos jà ��� _!

där� � ��� ��� _! =  [! cos j + sin jà = ? [! sin j + cos j = j!

d���� v s ��� = 2D_! sin j + 2DÂ1 ? cos jÃj!

och� ���� ���X 6 Gj =

0 �

= X 2Dg Â1 ? cos jÃj! 6j! 2DÂ1 ? cos jÃGj

0

där vi utnyttjat att j! 6_! =0 Utnyttjas dessutom att j! 6j! =1 fås � �

����

X 6 ��� Gj = X 2Dg Â1 ? cos jÃj! 6j! 2DÂ1 ? cos jÃGj =

0 � 0

= X 4D2g Â1 ? cos jà 2Gj

0

där�

XÂ1 ? cos jà 2Gj = 3^/2 (visas lätt)

0

varav � ���� ���X� 6 dU# = X 6 Gj = 6^D2g

0

vilket är svaret på uppgiften.

Om vi i stället integrerar över hela kardoiden fås �2 ����

[ 6 dU# = X 6 ��� Gj = 12^D2g (dubbla värdet av 0

integralen över halva kardoiden, visas lätt av symmetriskäl).

Symbolen

[ 6 dU#

anger att vi integrerar över en sluten kurva.

ALLMÄN DEFINITION AV LINJEINTEGRAL

Den allmänna definitionen i kroklinjiga koordinater är ( nu ett allmänt vektorfält)

��� ��� ��� 1 2 3X� 6 dU# = X $1K1 ��� GS + X $2K2 ��� GS + X $3K3 ��� GS

om kurvan ges av

X1 = X1ÂSÃ

X2 = X2ÂSÃ

X3 = X3ÂSÃ

Vi använder det inledande exemplet som illustration en gång till´. Vi tillämpar den inramade formeln på fallet halv kardoid och

_ ! j! ]!

= g# ¼ U# = 0 0 g =

2D Â1 ? cos jà 0 0

= 2Dg Â1 ? cos jÃj!

d v s $1 = $ � = 0 $2 = $

� = 2Dg Â1 ? cos jÃ

$3 = $ � = 0

��� 2�X� 6 dU# = X $2K2 � GS

där för fallet cylinderkoordinater K2 = _

d

På kardoiden är _ = 2DÂ1 ? cos jÃ

och vi ser att S i detta fall är lika med X2 = j

� v s�� 2 �� = 1

och

��� 2X� 6 dU# = X $2K2 �� GS =

�

=X 2Dg Â1 ? cos jÃ2DÂ1 ? cos jÃGj =

0 �

= X 4D2g Â1 ? cos jà 2Gj

0

Beräknas integralen fås X� 6 dU# = 6^D2g.

X

Genomför gärna den mer mödosamma beräkningen att erhålla integralen med hjälp av cartesiska koordinater.

A8. Ytintegraler Utförlig diskussion i Linnaeus et al Den typiska ytintegralen över ett vektorfält har utseendet

#6 d6 �

#G6

S

C

G6# är här ett ytelement riktat i ytnormalens riktning så att G6# är orienterat i förhållande till positiv omloppsriktning av randkurvan C enligt figur. Detta innebär t ex att för en cirkel i xy-planet är G6# orienterat i z-axelns riktning (riktning växande z). Analogt kan vi bilda ytintegraler

#X d d6 �

och #X ¼ d6

�

Ytelement i kroklinjiga koordinater.

d6# = r1K2K3GX1GX2 (cyklisk permutation för att erhålla ytelement i riktning av r2 eller r3)

För F\OLQGHUNRRUGLQDWHU ger detta Om _ är konstant

d6# = _! _GjG]

ytelement på mantelytan av en cylinder.

Om j är konstant

d6# = j! G_G]

är ytelementet på en yta med konstant j enligt figur.

Om z är konstant d6# = ]!_G_Gj

är slutligen ytelementet för en cirkel i xy-planet.

För VIlULVNW SROlUD NRRUGLQDWHU fås Om U är konstant

d6# = U! U2 sin SGSGj

Om S är konstant

d6# = S! U sin SGUGj

ytelementet på mantelytan av en kon. Fallet j konstant liknar cylinderkoordinater.

A 9. Gauss´ och Stokes´ satser.

*DXVV´ VDWV:

X � 4 6 G9= [ � 6G6# = [ � 6 Q! G6

QdS riktat ytelement till begränsnings-ytan av V

Notera, att teoremet kräver att och 4 6 är bestämda i hela volymen.

6WRNHV ´ VDWV.

X Â4 ¼ )6 d6# = [ � 6 dU# �

#G6

S

C

Notera, att teoremet kräver att och 4 ¼ är bestämda i hela volymen.

Exempel på Stokes ´sats. Låt = # # , # !g ¼ U där g =g]

och g är konstant. Betrakta linjeintegralen X� 6 dU#

över en given kurva i xy-planet, som är en halv kardoid

Stokes ´sats är inte tillämplig på den öppna konturen, men vi kan sluta konturen genom att lägga till integralen över den streckade linjen i figuren, som enkelt visas vara lika med noll för den givna integranden. (Visa detta!) [ 6 dU = XÂ4 ¼ Ã 6G6# = XÄ4 ¼ Âg ¼ U# ÃÅ ## # 6G6

� �

Utnyttjas formel 9 i ”Laws for operation..” i avsnitt 11.2 i Beta fås 4 ¼ Âg ¼ U = # 6 4Ãg ? Âg 6 4ÃU + g # Ã ? U # Ã# # Ã ÂU # # # # Â4 6 U # Â4 6 g

där första och sista termen i högra ledet är noll, eftersom g är en konstant vektor. #

4 ¼ Âg# ¼ U = # # # Â4 6 U# Ã ?Âg 6 4ÃU + g # Ã

Genom att slutföra beräkningarna eller utnyttja ex 2.4.7 b) i Arfken - Weber erhålls 4 ¼ Âg# ¼ U =2g# Ã #

där g har samma riktning som G6##

X� Âg# ¼ U # = X # # ÃÅ 6G6# =2g X G6 =# Ã 6 dU Ä4 ¼ Âg ¼ U 2g6 � �

Halva den av kardoiden inneslutna ytan är 3^D2. enligt Beta kap 7, varav Svar: X� Âg ¼ U# Ã 6 dU# =6^gD2#

För tillämpningar på Gauss ´sats se nedan i avsnitt A 10 samt Linnaeus et al.

A10. Följdsatser till Gauss ´ sats För följdsatser till Stokes´ sats se Linnaeus et al. För Gauss ´sats gäller bl a följdsatserna:

#[ d d6�

= XÂ4dÃG9 �

och

[�

#¼ d6 = #? [ d6 ¼ �

= ? XÂ4 ¼ �

ÃG9

Exempel 1 på den sista följdsatsen: Låt = # # , # !g ¼ U där g =g]

och g är konstant. Bestäm ytintegralen [ ¼ d6#

�

om ytan 6 omsluter volymen V. Lösning: [ ¼ d6# = ? XÂ4 ¼ ÃG9 =

� �

= ?XÄ4 ¼ Âg # ÃÅG9 # ¼ U �

där enligt exemplet på Stokes ´sats i föregående avsnitt

4 ¼ Âg ¼ U =2g (konstant vektor) # # Ã #

varför [ Âg ¼ U # = # X G9 = # 9# # Ã ¼ d6 ?2g ?2g

� �

Svar: Den sökta integralen är 2g# 9

Exempel 2 på den sista följdsatsen: Bestäm ytintegralen [ Äg ¼ Âg ¼ U# ÃÅ ¼ d6## #

�

över en cylinder där g är en konstant vektor riktad #

i cylinderaxelns riktning.

Observera att ytnormalerna för övre och undre cirkulära ytan är motsatt riktade.

Lösning: [ ¼ d6# = ? XÂ4 ¼ ÃG9 =[här] � �

= ?X 4 ¼ Äg ¼ Âg ¼ U# ÃÅG9 # # �

_! j! ]!

g ¼ U = = _gj!# # 0 0 g

_ 0 0

_! j! ]!

g ¼ Âg ¼ U# Ã = = _g2 _!# # 0 _g 0

0 0 g

4 ¼ Äg# ¼ Âg ¼ U = �# # ÃÅ

följer enkelt ur Beta 11.2 avsnittet cylinderkoordinater 2 ! 4Â

1 2eller om man noterar att _g _ = 2 _ g2Ã och att rotationen av ett gradientfält är noll. Med hjälp av Gauss ´sats ser vi alltså enkelt att integralen är noll.

Tillägg: Att integrera direkt är något mer komplicerat: [ Äg ¼ Âg ¼ U# ÃÅ ¼G6# [Ä_g2 _ ## # = ! żG6

� �

Mantelytan av cylindern ger inget bidrag eftersom där är #G6 = _! _GjG]

enligt avsnittet om ytintegraler ovan, och kryssprodukten av parallella vektorer är noll. Eftersom integranden inte beror av z ger de bägge plana ytorna lika stora och motriktade bidrag. Integralen över en plan yta är faktiskt noll ty

2 # 2X Ä_g _! Å ¼G6 = X _g _! ¼]!_G_Gj� �

Utnyttja _! = [! cos j + sin j samt det faktum att integralerna över cos j och sin j är noll vid integration över hela varvet så erhålls X Ä_g2 _! Å ¼G6# = �

�

Observera, att när vi skall ta integralen över en vektorvärd funktion måste vi övergå till cartesiska basvektorer. Slut på tillägg.