)پلي تكنيك تهران(اميركبير صنعتي دانشگاه

دانشكده مهندسي برق

پايان نامه كارشناسي گرايش مخابرات -مهندسي برق

و LDPC كدهاي كردن ديكد روشهاي سازي پياده آن عملكرد بهبود

:نگارش سيد ارشاد بني جمالي

:استاد راهنما جناب آقاي دكتر آقايي نيا

1389مرداد ماه

 

 

.تقديم به پدر و مادر عزيزم كه در تك تك مراحل زندگي همواره يار و ياورم بودند

 

 

 

با سپاس از تمامي اساتيد گرامي در طول دورة كارشناسي به خصوص جناب آقاي جناب آقاي دكتر همچنين دكتر آقايي نيا كه در اين پروژه كمك فراواني به من نمودند و

 .را تقبل فرمودند پروژه شيخ زاده كه زحمت داوري

 

 

:چكيده

آن يفه اصلي ظدانشي كه و. ما دانش مخابرات نقش بسيار عمده اي ايفا مي كنددر دنياي امروز ، اما لازمه اينكه اين انتقال به صورت مطلوب صورت بگيرد. استاطلاعات ايجاد بستري براي انتقال

مهمترين راه براي دستيابي به اين . خطا را در آن به حداقل برسانيمكيفيت را بالا برده و اين است كه . استاستفاده از كدينگ در سيستم هاي ديجيتال دف ه

مي پردازيم كه LDPCكدهاي يعني كدهادر اين پايان نامه به مطالعه يكي از مهمترين انواع ويژه دارد و استفاده از آن در سيستم هاي گوناگون مخابراتي به يجايگاه ،در دنياي امروز مخابرات

.ويژه مخابرات بدون سيم در حال افزايش است

كدينگ در سيستم هاي مخابراتي بيان مي ي مقدمه اي از استفاده ،پايان نامه ناياز 1در فصل نيز در 2فصل .مي آيند ه در ادامه ي پايان نامه به كارككلي است تعريفاين فصل شامل چند .گردد

كدهاي به معرفي 3در فصل . ستLDPCكدهاي بردارنده مفاهيمي از جبر است كه لازمه مطالعه LDPC روش هاي 4در فصل . كد مي پردازيم اينو جنبه هاي مختلف آنها از جمله نحوه ساخت

به را وش ها يكي از اين ر 5ها را مطالعه مي كنيم و در فصل LDCPكد گوناگون ديكد كردن نيز اين روش ها را شبيه سازي كرده و نتايج 6در فصل . صورت مفصل مورد بررسي قرار مي دهيم

.را عرضه مي نماييم

 

 

فهرست 1 ..................................................................................................................... كدينگ در سيستم هاي مخابراتي: 1فصل

 5 ............................................................................................................................. :بدون حافظه - كانال هاي گسسته-1-1

 7 ............................................................................................................................. آشنايي با برخي مفاهيم جبر: 2فصل

 8 ...................................................................................................................................................................... :گروه-2-1

 9 .................................................................................................................................................................... :ميدان -2-2

 13 ................................................................................................................................. :محاسبات در ميدان دودويي -2-3

 16 ............................................................................................................................. :ساخت ميدان گالوا -2-4

 19 ................................................................................................................................................... :هندسه اقليدسي -2-5

 LDPC .................................................................................................................................... 22ي معرفي كدها: 3فصل

 23 .................................................................................................................................................................. :مقدمه -3-1

 LDPC : ...................................................................................................................................... 23كدهاي  نمايش -3-2

 26 ..................................................................................................................... :ف تنر براي كدهاي بلوكي خطيگرا -3-3

 LDPC: ........................................................................................................................... 28ساخت هندسي كدهاي -3-4

 EG‐ LDPC: .......................................................................................................................................... 30كدهاي -3-5

 LDPC ......................................................................................................... 34روش هاي ديكد كردن كدهاي : 4فصل

 36 ........................................................................................................................................... :روش اكثريت منطقي -4-1

 38 .............................................................................................................................................. :روش چرخش بيت -4-2

 39 .................................................................................................................................:بيت وزن دارروش چرخش -4-3

 40 ........................................................................................................................................ :الگوريتم ضرب و جمع -4-4

 LDPC ....................................................................... 41روش چرخش بيت وزن دار در ديكد كردن كدهاي : 5فصل

 42 .....................................................................................:(MWBF) [4]روش چرخش بيت وزن دار اصلاح شده -5-1

 44 ............................................................................. :[5] (RRWBF)روش چرخش بيت بر پايه ي نسبت اطمينان -5-2

 47 ................................................................................ :(LP‐WBF) [3]روش چرخش بيت براي كدهاي هندسي -5-3

 50 ......................................................................... :(IMWBF) [6]بهبود روش چرخش بيت وزن دار اصلاح شده -5-4

 

 

 51 ...................................................................................................... :(WS‐BF) [7]الگوريتم جمع وزن داده شده -5-5

 54 .............................................................................................. :(MLPWBF)[8] اصلاح شده LP‐WBFروش -5-6

 LDPC ............................................................................. 59شبيه سازي روشهاي مختلف ديكد كردن كدهاي : 6فصل

 MLG: ........................................................................................................................................................ 60روش -6-1

 WBF: ........................................................................................................................................................ 61روش -6-2

 MWBF: .................................................................................................................................................... 63روش -6-3

 IMWBF: .................................................................................................................................................. 66روش -6-4

 LP‐WBF: ................................................................................................................................................. 70روش -6-5

 RRWBF: .................................................................................................................................................. 71روش -6-6

 MLPWBF: .............................................................................................................................................. 72روش -6-7

 74 ......................................................................................................................... (IMLPWBF):روش پيشنهادي -6-8

 77 ............................................................................................................................................................... :فهرست مراجع

 79 ............................................................................................................................................................................. :پيوست

 

   

 

١  

1فصل

سيستم هاي مخابراتي كدينگ در

كدينگ در سيستمهاي مخابراتي - 1فصل

2  

پهناي . يك طراح در اولويت قرار دارد دو موضوع استآنچه در يك سيستم مخابراتي براي اين دو موضوع در كنار هم محدوديتهايي هستند كه طراح . توان سيگنال ارسالي باند كانال ارتباطي و

طراحي مي كند، تا هم از نظر هزينه و هم از نظر اطمينان سيگنال طوري آنها سيستم را هبا توجه بتوان نويز به همراهاين دو پارامتر . دريافتي و كيفيت خدمات در سطح مطلوبي قرار داشته باشد

براي هر نوع خاص از انواع مولاسيون اين . هستند 1گيرنده، تعيين كننده سطح انرژي بر بيت بر نويز .[2]را مشخص مي كند 2 (BER) ي بيتعدد، مقدار نرخ خطا

تنها انتخاب عملي و در دسترس براي تغيير كيفيت داده ها از براي يك مقدار مشخص از .ست3يك ميزان بي كيفيت به ميزاني قابل قبول، استفاده از كدينگ با كنترل خطا

براي يك مقدار كاهش دانگيزه ديگري كه موجب استفاده از كدينگ مي شود، مي تواناين كاهش به نوبه خود مي تواند سبب كاهش توان فرستنده يا كاهش هزينه . باشد  BERخاص از

.سخت افزاري از طريق استفاده از آنتن هاي كوچكتر شود

در اين راه . براي آنكه كار انتقال داده ها با اطمينان بيشتري صورت بگيرد، آنها را كد مي كنيمبه همين دليل ابتدا با استفاده . اين است كه داده ها كمترين حجم ممكن را داشته باشد اغلب سعي بر

اين نوع . آن را حذف مي كنيم 4از نوعي كدينگ، داده ها را به حداقل مي رسانيم و قسمت هاي زائدبعد از آنكه قسمت هاي زائد حذف شد، توقع ما اين است كه . مي ناميم 5كدينگ منبع ،راكدينگ

از انواع كدينگ هاي منبع مي توان به كدينگ . يك نمايش بهينه از داده هاي منبع داشته باشيم . اشاره نمود 8زيو-و لمپل 7، پيشوندي6هافمن

                                                            1 Eb/N0 2 Bit error‐rate 3 Error Control Coding 4 Redundant 5 Source Coding 6 Huffman 7 Prefix 8  Lempel‐Ziv

كدينگ در سيستمهاي مخابراتي - 1فصل

3  

سپس نوبت به اضافه نمودن اطلاعات به دادهاي بهينه شده مي رسد، به نحوي كه اگر اين از طريق اطلاعات اضافه شده، مجموعه را تا دچار خطا گرديد، بتوان ،مجموعه در طول مسير انتقال

تا كنون انواع بسيار متنوعي از اين . گفته مي شود 1كدينگ كانالبه اين عمل . حد امكان بازيابي كردكدهاي . نوع كدينگ ارائه گرديده است، اما به طور كلي مي توان آنها را به دو گروه عمده تقسيم نمود

.3و كدهاي كانولوشني 2بلوكي

كدهاي كانولوشني، نوعي كد هستند كه در آن دادهاي ديجيتال، پس آنكه عمل كدينگ منبع در . داده كد شده را توليد مي كند ،روي آنها انجام شد، وارد يك سيستم مي شوند و خروجي سيستم

اين نوع كدينگ را . واقع ورودي و خروجي اين سيستم رشته هاي متوالي داده هاي ديجيتال هستندتوان به صورت يك تابع مدل كرد كه داده هاي ورودي سيستم، با اين تابع اصطلاحاً كانوالو مي مي .گفته مي شودكانولوشني ، كدهايكدهابه اين به همين دليل . شوند

اما كدهاي بلوكي، كدهايي هستند كه در آن ها دادهاي ديجيتال پس از كدينگ منبع، در پس از اين تقسيم بندي هر بلوك طي يك فرايند مشخص و . بلوكهاي مجزا تقسيم بندي مي شوندتبديل بلوكهاي پيام به بلوكهاي كد از چندين طريق قابل انجام . ثابت، به بلوكهاي كد تبديل مي شوند

ابعاد اين ماتريس با طول . است 4است، اما متداول ترين اين روشها، استفاده از ماتريس توليد كنندهبيت و هر بلوك كد k  دارد، به اين صورت كه اگر فرض كنيم هر بلوك پيام پيام و طول كد رابطه

n در واقع هر كد بلوكي به . خواهد بود ، اين ماتريس يك ماتريس )(بيت استبه بيت هايي كه در اين . با ماتريس توليد كننده خودش قابل تعيين استبه فرد صورت منحصر

از . مي گوييم 5تاست، بيت هاي توزان مرحله به هر بلوك پيام افزوده مي شود و تعداد آنها سوي ديگر پس از آنكه داده ها، كد شدند و روي كانال ارسال گرديدند، در گيرنده، داده هاي

ار رفته، قابليت تصحيح تعدادي از اين عمل بسته به نوع كد به ك. دريافتي، نياز به ديكد شدن دارند. خطاهاي ايجاد شده در هنگام ارسال را كه به دليل نويز محيط و عوامل ديگر توليد شده اند داراست

                                                            1 Channel Coding 2 Block Codes  3 Convolutional Codes 4 Generator Matrix 5 Parity bits 

كدينگ در سيستمهاي مخابراتي - 1فصل

4  

ابعاد اين . صورت مي گيرد 1اين عمل معمولاً با استفاده از ماتريسي به نام ماتريس بررسي توازنبه اين صورت كه با استفاده از فرض هاي بالا، . طه داردماتريس نيز با ابعاد بلوك پيام و بلوك كد راب

البته اين تعداد مي . تاست n‐k معمولاًنيز تا و تعداد سطرهاي آن nتعداد ستون هاي اين ماتريس براي يافتن خطاهاي . اين ماتريس نيز به طور يكتا كد را تعيين مي نمايد. نيز باشد n‐kتواند بيش از

بردار vاگر فرض كنيم . استفاده مي شود 2ي به نام سندرمياي دريافتي از رشته هاتوليد شده در داده ه vاگر . به دست مي آيد باشد، سندرم از رابطه نماتريس بررسي تواز Hكد دريافتي و

. يك كد معتبر باشد اين مقدار بايد صفر گردد

كد معتبر ديگري باشد ،معتبر در آن، اگر جمع هر دو كد خوانده مي شود 3خطي،يك كد بلوكيهمانطور كه گفته شد، كدهاي بلوكي قابل ساخت . كه در مجموعه كدهاي توليدي وجود داشته باشد

، اده شودنمايش د mبا و پيام cا ب يعني اگر كد توليدي. هستند Gبا يك ماتريس توليد كننده به نام در كد توليدي ظاهر شود، اين كد را اگر پيام بدون هيچ تغييري . c=mG: خواهيم داشت

. حتماً شامل يك ماتريس هماني خواهد بود Gدر چنين كدي ماتريس . ندمي گوي 4سيستماتيككد را به صورت يكتا تعيين مي كنند، پس بايستي يك رابطه بين Hو هم Gهمچنين مي دانيم كه هم

. 0: ت تعريف مي شود كهاين رابطه به اين صور. اين دو ماتريس نيز وجود داشته باشدچپ صورت چرخشي به به ، اگر هنگامي كه بيت هاي آن راندمي نام 5همچنين يك كد را چرخشي

،اين. يا راست شيفت مي دهيم، كد جديدي حاصل گردد كه در مجموعه كدهاي معتبر قرار دارد .عمده براي كدهاي بلوكي خواهد بود يمزيت

گيرنده ابتدا سيگنال دريافتي، دمدوله مي شود و خروجي در يك سيستم مخابراتي، دردر اين حالت اگر خروجي دمدولاتور تنها . دمدولاتور به عنوان ورودي ديكدر استفاده مي گردد

دمدولاتور عمل گفته مي شودباشد، ) مثلاً صفر و يك يا مثبت و منفي يك( داراي دو مقدار صحيحHard Decision و اگر اين خروجي بيش از دو مقدار صحيح باشد يا بتواند يك . انجام داده است

                                                            1 Parity‐check Matrix 2 Syndrome 3 Linear 4 Systematic 5 Cyclic 

كدينگ در سيستمهاي مخابراتي - 1فصل

5  

دمدولاتور گفته مي شودباشد، 1مقدار حقيقي به خود بگيرد و يا حتي يك مقدار كمي شده .انجام داده است Soft Decisionعمل

مدل ساده يك سيستم مخابراتي ديجيتال - 1- 1 شكل

:2حافظه بدون -كانال هاي گسسته-1-1، اگر خروجي دومدولاتور در هر بازه زماني تنها به سيگنال نديك كانال را بدون حافظه مي نام

همچنين اگر كانال را از ابتداي مدولاتور تا انتهاي . ارسال شده در همان بازه بستگي داشته باشدخواهد داشت و به دمدولاتور در نظر بگيريم، در اين صورت كانال تنها ورودي و خروجي گسسته

قابل P(j|i)مالات شرطي تچنين كانالي به طور كامل با استفاده از اح. ندآن كانال گسسته مي گوي P(j|i)نمايانگر خروجي دمدولاتور است و jنمايانگر ورودي مدولاتور و iبيان است كه در اينجا

. فرستاده شده باشد iاست در صورتيكه سمبل jنمايانگر احتمال دريافت سمبل اگر . بدون حافظه كانالي است با ورودي و خروجي دودويي- ساده ترين نوع يك كانال گسسته

P(1|0)= P(0|1)ندنيز مي نام 3متقارن چنين كانالي را كانال دوديي. اين كانال متقارن خواهد بود . . دياگرام اين كانال در شكل زير آمده است

 

2- 1 شكل

                                                            1 Quantized 2 Discrete‐Memoryless Channels 3 Binary Symmetric Channel (BSC) 

كدينگ در سيستمهاي مخابراتي - 1فصل

6  

اين كدها . آشنا خواهيم شد 1LDPCدر اين پايان نامه با نوعي از كدهاي بلوكي به نام كدهاي اما ماتريس بررسي توازن . مانند ساير كدهاي بلوكي قابل بيان با ماتريس بررسي توازن خود هستند

ا متمايز اين كدها داراي ويژگي هاي ديگري نيز مي باشد كه از بسياري جهات اين كد را از ساير كده . گرفته شده است Hمي نمايد و در واقع نام اين نوع كد نيز از همين ويژگي هاي ماتريس

                                                            1 Low‐Density Parity‐check code 

7  

2فصل

آشنايي با برخي مفاهيم جبر

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

8  

آنچه كه در اينجا به عنوان مقدمه اي بر جبر مطرح مي شود، شامل چندين تعريف و مفهوم .خواهد بود كه لازمه مطالعه دقيق زمينه كدينگ در چارچوب اين پايان نامه مي باشد

:1گروه-2-1 :زير برقرار باشد، هر گاه شرايط نديك گروه مي نام *  را تحت عمل G 2مجموعه

 : Gعضو aو bيعني به ازاي هر . بسته باشد *مجموعه تحت عمل - 1      ,       , 

يعني به ازاي . همچنين اين عمل روي اين مجموعه بايد خاصيت شركت پذيري داشته باشدa وb وc عضوG:

. 2 - G شامل عضوي مانندe داشته باشيم باشد به طوري كه براي هر: 

, 

. ندمي نام *تحت عمل G چنين عضوي را، عضو خنثاي

وجود داشته باشد به طوري 'a، عضو ديگري مانند  Gدر aبراي هر عضوي مانند - 3 :كه

, 

a' را معكوسa ندمي دان *تحت عمل .

) : Gدر bو a، اگر براي هر دو عضو ندپذير ناميك گروه را جا به جا (

.عضو خنثاي در يك گروه، يكتاست: قضيه

.معكوس يك عضو در گروه، يكتاست: قضيه

. ندآن گروه مي نام 3تعداد اعضاي يك گروه را مرتبه

                                                            1 Group 2 Set 3 Order 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

9  

مي توان تحت عملي كه بسيار شبيه جمع معمولي است، گروهي mبراي هر عدد صحيح مثبت,0,1براي اين كار فرض كنيد . ساخت mبا مرتبه … , نشان دهنده جمع + اگر. 1

:خواهيم داشت Gباشد، براي هر عدد صحيح در Gبه معناي جمع به صورت زير در معمولي و

, 

خواهد بود و m­1اين باقي مانده عددي بين صفر تا . است mبر باقي ماده تقسيم rجايي كه . ندمي نام modulo­mرا عمل . مي باشدبسته تحت Gپس . است Gبنابراين عضوي در

,0,1مجموعه … , ابتدا مشاهده . خواهد بود modulo­mيك گروه تحت عمل 1در اين گروه iنيز معكوس عضو m­iهمچنين . مي شود كه صفر عضو خنثاي اين گروه است

چون عمل جمع معمولي جا به جايي پذير است، . همچنين معكوس صفر، خودش است. خواهد بود يهمچنين به راحت. ، اين عملگر نيز داراي خاصيت جا به جايي استبا توجه به تعريف عملگر

اعضاي يك گروه يا همان اگر تعداد . ا نيز داراسترخاصيت شركت پذيري مي توان نشان داد كه .ندمي نام 1محدودگروه گروه را آن مرتبه آن محدود باشد،

.است يك گروه تحت Gبا توجه به آنچه گفته شد،

:2ميدان -2-2 .حال از مفاهيمي كه براي گروه بيان شد كمك مي گيريم تا ميدان را معرفي نماييم

اعضايي است كه در آن مي توانيم عمليات به عنوان يك تعريف تقريبي، گروه مجموعه اي از جمع و ضرب بايد خواص شركت پذيري و جابجايي و . جمع، تفريق، ضرب و تقسيم را انجام دهيم

:اما تعريف رسمي ميدان چنين است. توزيع پذيري را داشته باشند

را  F. روي آن تعريف شده اند "."و "+"مجموعه اي از اعضا باشد كه دو عمل Fفرض كنيم :، هر گاهندبا اين دو عمل يك ميدان گوي

                                                            1 Finite 2 Field 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

10 

 

1 - F ثاي مربوط به اين عمل را عضو عضو خن. باشد +يك گروه جابجايي پذير تحت .ندنمايش مي ده 0مي ناميم و با صفر

نثاي عضو خ. باشد .، يك گروه جابجايي پذير تحت Fمجموعه اعضاي غير صفر - 2 .ندنمايش مي ده 1مي ناميم و با مربوط به اين عمل را عضو يك

اين از يعني براي هر سه عضو. ضرب روي جمع خاصيت توزيع پذيري داشته باشد - 3 :مجموعه

. . .    . 

از اين تعريف مي توان در يافت كه براي داشتن ميدان حداقل بايد دو عضو وجود داشته تعداد اعضاي ميدان، مرتبه در اينجا هم . باشد، عضو خنثاي عمل جمع و عضو خنثاي عمل ضرب

در . ندميدان خوانده مي شود و به ميداني كه داراي تعداد اعضاي محدود باشد ميدان محدود مي گوي) a­1 )0و نسبت به عمل ضرب با a–را نسبت به عمل جمع با aيك ميدان معكوس عضو

. ندنمايش مي ده

:مي شوددر اينجا به چند مورد از ويژگي هاي ميدان اشاره

.براي تمامي اعضاي ميدان - 1 0 0. 0 .براي دو عضو غير صفر از ميدان - 2 0 

.اگر - 3  0نتيجه مي شود 0و 0

 :براي هر دو عضو از ميدان - 4. . .

.اگر  0براي - 5  .نتيجه مي شود كه .

0,1ميدان دودويي است كه از دو عضو ،محدوديكي از مهمترين و پايه اي ترين ميادين تمامي خواص ذكر شده modulo­2 اين مجموعه تحت عمل ضرب و جمع. ساخته شده است

كه در زمينه كدينگ نقش هندنمايش مي د GF(2)چنين ميداني را با نماد . براي ميدان را داراستجدول ضرب مربوط با اين . مهمي را ايفا مي كند و در انتقال داده هاي ديجيتال كاربرد وسيعي دارد

.ميدان در زير آمده است

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

11 

 

+  0  1      .  0  1 0  0  1      0  0  0 1  1  0      1  0  1 

آنگاه مي توان نشان داد مجموعه . را در نظر گرفت pدر حالت كلي تر مي توان عدد اول چون . تشكيل ميدان مي دهند modulo‐pتحت عمل جمع و ضرب {p­1,…,0,1}اعداد صحيح

نمايش مي GF(p)و با نداول مي نام ، ساخته شده است آن را ميدان p  اين ميدان از يك عدد اول،عضو pmرا به يك ميدان با GF(p)، مي توان ميدان اول mدر واقع براي هر عدد صحيح . دهيم

همچنين . ندنمايش مي ده GF(pm)و آن را با ندمي نام GF(p)اين ميدان را بسط ميدان . بسط داد 1ميادين محدود را ميادين گالوا. تعداد اعضا در يك ميدان محدود همواره تواني از يك عدد اول است

از مباحث كدينگ، ساخت كدها و ديكد كردن آنها حول همين سهم عمده اي . ندنيز مي گويبدليل شباهت زياد محاسبات در اينجا با محاسبات معمول، اكثر قوانين معمول . موضوعات قرار دارد

. را مي توان در اينجا نيز اعمال نمود

بياييد سري جمع هاي زير را در . GF(q)عضو باشد، qفرض كنيد يك ميدان محدود داراي . بگيريمنظر

1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 1 ,… , 1

1 1 1 بار  , … 

و . چون ميدان تحت عمل جمع بسته است، اين جمع ها بايد در مجموعه اعضاي ميدان باشندتوانند همگي متفاوت چون اين ميدان داراي تعداد محدودي از اعضاست، بنابراين اين جمع ها نمي

يعني دو عدد مثبت و صحيح بايد .بنابراين در بعضي از نقاط اين مجموع بايد تكرار شود. باشند ):n>m(وجود داشته باشد به طوريكه

1 1, 

                                                            1 Galois Fields 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

12 

 

∑اين بدين معني است كه 1 كه به ازاي آن λكوچكترين عدد مثبت صحيح . 0

∑ 1 0λ براي ميادين اول .ندميدان مي نام 1را مشخصهGF(p) مشخصه همانp است.

.مشخصه يك ميدان محدود همواره اول است: قضيه

باشد در اين صورت مي توان گفت GF(q)يك عنصر غير صفر از ميدان aحال فرض كنيد هاي زير بايد اعضاي كه چون مجموعه اعضاي اين ميدان تحت عمل ضرب بسته است، لذا حاصل

.باشندغير صفر ميدان

, . , . . , …   , 

. ها نمي توانند مجزا باشند و همچنين چون اعضاي اين ميدان محدود هستند تمامي اين حاصلپس مانند همان استدلال قبل . تكرار وجود داشته باشد يداببنابراين در اينجا هم بايد در بعضي نقاط

:داشته باشيم) k )m>kو mبايد در اينجا هم براي دو عدد مثبت صحيح مانند را

. 

باشد را 1در اينجا كوچكترين عددي را كه به ازاي آن . 1: در اين صورت

 مرتبه عضو a وو…و و همچنين با توجه به آنچه گفته شد .نددر ميدان مي نام  گروهي را تحت عمل ،در واقع آنها. باشند GF(q)بايستي همگي اعضايي مجزا در ميدان 1

براي اثبات اين موضوع، اولاً اين مجموعه داراي عضو يك . تشكيل مي دهند GF(q)ضرب در :در اين صورت اگر .دو عدد صحيح باشند) ,( jو iثانياً اگر . است

. ,

: در اين صورت مي توان اين جمع را به صورت   و اگر :بنابراين. 0كه . نوشت

. . .

) i)1 همچنين براي هر . بنابراين اين مجموعه تحت عمل ضرب بسته استغير صفر هستند، آنها خواص شركت پذيري GF(q)در aچون توان هاي . خواهد بود معكوس

                                                            1 Characteristic 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

13 

 

يك گروه جابجا  aبنابراين نتيجه مي گيريم كه مجموعه توان هاي . و جابجايي را ارضا مي كنند .تشكيل مي دهند GF(q)پذير را تحت ضرب در

.1باشد آن گاه GF(q)يك عضو غير صفر در ميدان a اگر: قضيه

nبر q‐1باشد، آنگاه nباشد و مرتبه آن GF(q)يك عضو غير صفر در ميدان  aاگر : قضيه .بخش پذير است

هر گاه يك عضو در آن وجود داشته باشد كه توان هاي آن ندمي نام 1يك گروه را چرخشي .گروه را بسازداعضاي كل

. باشد q‐1هر گاه درجه آن برابر ندگوي 2را ابتدايي a در يك ميدان محدود عضو غير صفر تمامي ميدان هاي . را مي سازد GF(q)بنابراين توان هاي عضو ابتدايي تمامي عناصر غير صفر

.محدود داراي يك عضو ابتدايي هستند

:محاسبات در ميدان دودويي -2-3يا qساخت كه در اينجا GF(q)در حالت كلي مي توان كدها را با سمبل هايي از هر ميدان

يا GF(2)اگر چه كدهايي كه توسط سمبل هاي ميدان . يك عدد اول است يا تواني از يك عدد اولدر انتقال داده هاي تري ها ساخته مي شود داراي كاربرد بسيار وسيع GF(2m)بسط هاي آن يعني

ع به محاسبات دودويي در بنابراين در اينجا راج. ديجيتال و سيستم هاي ذخيره اطلاعات هستندGF(2) بحث مي كنيم .

با برابر را 2محاسبات در اين مورد شبيه محاسبات معمول است با اين تفاوت كه در اينجا است و در نتيجه جمع و تفريق 1‐=1است لذا 0=1+1علاوه براين چون . ندصفر در نظر مي گير

. در اينجا يه يك معني است

حال محاسباتي را در نظر مي گيريم كه در آنها چند جمله اي هايي با ضرايب دودويي وجود اين چند جمله اي . در نظر بگيريد GF(2)و ضرايب عضو Xبا متغير f(X)چند جمله اي . دارد

:چنين فرمي دارد                                                            

١ Cyclic ٢ Primitive 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

14 

 

, 

» GF(2)چند جمله اي روي « در ادامه بحث هر جا گفته شد . ها يا صفر هستند يا يك fiكه GF(2)روي 1دو چند جمله اي با درجه .است» GF(2)يك چند جمله اي با ضرايبي از « منظور

و X2+Xو X2:وجود دارد GF(2)روي 2چهار چند جمله اي با درجه . X+1و X: وجود داردX2+X+1 و X2+1 .ر كلي تعداد چند جمله اي هاي درجه به طوn رويGF(2) ،2n ضرب .تاست f(X)براي مثال چند جمله اي . چند جمله اي ها مانند چند جمله اي هاي معمولي است نو جمع اي

:بگيريدنظر را در g(X)و

,       

          

براي ضرب اين چند جمله اي ها هم . هستند modulo‐2جمع هاي gجايي كه :خواهيم داشت

.

: جايي كه

 

 

 

 

 

. 

داراي خواص جابجايي، GF(2)به راحتي مي توان نشان داد كه چند جمله اي ها روي بنابراين . صفر نيست g(X)فرض كنيد درجه چند جمله اي .شركت پذيري و توزيع پذيري هستند

به تقسيم مي كنيم يك خارج قسمت و يك باقيمانده خواهيم داشت كه g(X)را بر f(X)هنگامي كه :به طوريكه. نشان مي دهيم r(X)و q(X)ترتيب آنها را با

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

15 

 

. 

ريشه چند جمله aبراي اعداد حقيقي اگر . شهرت دارد 1اين بيان به الگوريتم تقسيم اقليدسfباشد در اين صورت f(X)اي X اين عبارت براي چند . بخش پذير خواهد بود  بر  

. نيز صادق است GF(2)جمله اي هاي روي

ريشه آن 1اگر تعداد جملات آن زوج باشد، عدد GF(2)براي يك چند جمله اي روي از درجه p(X)يك چند جمله اي . استقابل تقسيم X+1در نتيجه چند جمله اي بر . خواهد بود

m رويGF(2) خوانده مي شود هر گاه اين چند جمله اي بر هيچ چند جمله اي 2هشغير قابل كاچند جمله 2براي مثال از چند جمله اي هاي درجه . قابل تقسيم نباشد  mديگري از درجه كمتر از

به ترتيب چند 1و 1همچنين . غير قابل كاهش است X2+X+1اي يك چند جمله 1براي . هستند  GF(2)روي 4و 3درجه جمله اي هاي غير قابل كاهش از

در ادامه قضيه مهمي در مورد چند جمله اي هاي غير قابل كاهش . [1]وجود دارد mاي از درجه :بيان مي شود

بخش mاز درجه GF(2)بر هر چند جمله اي غير قابل كاهش روي 1: قضيه .پذير است

، اگر ندرا ابتدايي مي نام mغير قابل كاهش از درجه p(X)همچنين يك چند جمله اي 2قابل تقسيم باشد برابر p(X)بر 1كه nكوچكترين عدد صحيح .باشد 1

nيك چند جمله اي ابتدايي است چون به ازاي 1براي مثال 15 ،با 1بر آن قابل تقسيم است و در عين حال هيچ چند جمله اي ديگري به شكل 1

1 . ، بر آن بخش پذير نيست15

يافتن چند جمله اي هاي ايتدايي كار ساده اي نيست ولي جداولي وجود دارد كه با استفاده از . آن مي توان به ازاي درجه هاي مختلف چند جمله اي هاي ابتدايي را يافت

                                                            1 Euclid's division algorithm 2 Irreducible 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

16 

 

:ساخت ميدان گالوا -2-4را از روي 2دراينجا روشي ارائه مي شود كه با استفاده از آن مي توان ميادين گالوا

استفاده αو نماد جديد 2در ميدان 1و 0براي شروع از همان نمادهاي . ساخت 2 .ودرا معرفي نم αتوان هاي شود تا بتوانتعريف مي "."سپس يك ضرب. مي كنيم

آن را به . در نظر بگيريدروي آن تعريف شده است "."كه عمل ضربمجموعه عناصري ,0,1صورت , , … , , استفاده مي از نماد 1گاهي به جاي. نشان مي دهيم …

بسته باشد و "."تحت عمل ضرب Fكه مجموعه اشته مي شودمي گذ αحال شرطي روي . شود روي mچند جمله اي ابتدايي از درجه p(X)براي اين كار فرض كنيد . عضو داشته باشد 2تنها

GF(2) باشد در اين صورت اگرα ريشه اين چند جمله اي باشد يعنيp α با توجه به 0 :خاصيت چند جمله اي هاي ابتدايي خواهيم داشت

1 . 

:و با توجه به خواص ضرب چند جمله اي ها Xبه جاي αبا جايگزين كردن

1 . 0 0. 

 α: به طرفين معادله خواهيم داشت 1بنابراين با اضافه كردن مجموعه پس. 1pتحت شرط α :محدود، و شامل اعضاي زير خواهد بود 0

0,1, , , … , . 

براي اثبات . بسته خواهد بود "."مجموعه اعضاي غير صفر اين مجموعه تحت عمل ضرب 0دو عدد صحيح باشد به طوريكه jو iاين موضوع فرض كنيد , 2 اگر . 1

2  در اين صورت 1 .   . است كه قطعاً يك عنصر غير صفر در   اگر 2 2مي توان اين جمع را به صورت 1 1

.نوشت 0 2 1

 بنابراين با توجه به اينكه :خواهيم داشت 1

. . . 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

17 

 

كه اعضا غير صفر مي شوبنابراين نتيجه . است كه همچنان يك عضو غير صفر از مي "."در واقع اين عناصر تشكيل يك گروه جابجا پذير تحت .بسته است "."تحت ضرب

عملگري "."همچنين با توجه به روابط گفته شده، مي توان گفت . ، عضو خنثي است1عضو .دهندچراكه . خواهد بود  عضو  αمعكوس عضو .جا به جا پذير و شركت پذير است  .     1 .

تشكيل يك گروه جا به به شكلي كه . است روي "+"گام بعدي تعريف يك عملگر 0براي . بدهد "+"جا پذير تحت عمل 2 p(X)را بر ، چند جمله اي 1

:تقسيم مي كنيم و عبارت زير را به دست مي آوريم

, 

چند Xبه ترتيب باقيمانده و خارج قسمت تقسيم هستند و مسلماً Xو Xجايي كه :خواهد بود و به شكل زير است GF(2)روي mجمله اي با درجه كمتر از

, . 

بنابراين . قابل بخش نيست p(X)بر نسبت به هم اولند بنابراين p(X)و Xچون X 0.

0براي , 2 :مي توان نشان داد و 1

X X . 

X: براي اثبات اين مورد فرض كنيد X .در اين صورت:

. 

در اين صورت . قابل تقسيم است Xبر اين بدان معناست كه p(X)نسبت به هم اولند p(X)و چون ). با فرض ( 1

كه يك چند جمله اي p(X)اگر چه با توجه به تعريف . باشد 1بايستي فاكتوري از 2ابتدايي است، و Xبنابراين . ، چنين چيزي امكان ندارد1 X پس .  

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

18 

 

حال با جايگزين . داشت X، چند جمله اي مجزا 2m­1 ني توا، مi=0,1,2,…,2m­2براي :خواهيم داشت  αبا Xكردن

, . 

چند جمله 2m­1، قابل نمايش با در و ... و و  غير صفر اعضايبنابراين "+"حال عملگر . يا كمتر خواهد بود m‐1با درجه GF(2)روي αمجزاي غير صفر از هاي اي

:شودتعريف مي

0 0 0.

0و براي هر , 2 1:

0 0 , 

,

,  

, , , 

خواهيم i=jو در اين صورت براي . جمع مي شود modulo‐2تحت جايي كه :داشت

  0.

2ها مجزا هستند و تعداد آنها α بنابراين تمامي اما براي آنكه بگوييم اين . است 1. برقرار است αبسته است بايد نشان دهيم تناظري بين اين مجموع ها و اين توان هاي "+"عملگر

تاست، برابر است k، 2اما تعداد اين مجموع ها با توجه به اينكه تعداد چند جمله اي هاي درجه :با

2 2 2 2 1

.صفر نمايش مي دهيماست و عضو صفر را هم با چند جمله اي αكه اين همان تعداد توان هاي

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

19 

 

است و معكوس 0است و عضو خنثي اين گروه "+"يك گروه جابجا پذير تحت بنابراين . هر عضو خودش است

، و عناصر غير صفر آن يك گروه "+"يك گروه جابجا پذير تحت ه شدتا اينجا نشان دادمي توان نشان داد كه يبا استفاده از نمايش چند جمله اي اعضا. هستند "."جابجا پذير تحت

و آن را . عضو مي باشد 2يك ميدان گالوا با پس . توزيع پذير است "+"روي "."عملگر تعريف شده است به شكل بايد توجه شود كه جمع و ضربي كه روي . مي ناميم 2

2تشكيل يك زيرگروه از 0,1بنابراين زير مجموعه . ستا modulo‐2ضمني همان .است 2، 2عنصر مشخصه . را مي دهند 2يعني همان

را βوجود دارد اين است كه هر عضو مانند 2نمايش مفيد ديگري كه براي عناصر 1تايي- mيك ،عنصر mكه به اين سري از اده شودبا ضرايب چند جمله اي متناظر با آن نمايش د

.گفته مي شود

, , , … , . 

,0,0تايي - mعضو صفر را با … . اين نمايش مناسب براي جمع است. نمايش مي دهيم 0, : به راحتي به صورت γو βو جمع دو عنصر مانند

, , , … ,

.است modulo‐2اين جمع همان جمع .نوشته مي شود

:هندسه اقليدسي -2-52تايي ها - mتعداد اين . را در نظر بگيريد 2تايي هاي روي - mتمام 2

مقدار 2تايي مي تواند - mچون ضرايب چند جمله اي ها يا همان هر عنصر در اين ؛تاستدر نظر 2تايي ها را مي توان هر كدام يك نقطه در فضاي - mاين . مختلف به خود بگيرد

ضرب اسكالر و جمع اين گونه . مي دهند 2گرفت كه با هم تشكيل يك فضاي برداري :تعريف مي شود

                                                            1 m‐tuple 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

20 

 

, , … , , , … , , , … ,  

. , , … , , , … , .

تايي - m 2در رياضيات تركيبي . تعريف مي شود 2اين جمع و ضرب ها روي بعدي مي دهند كه با - mهمچنين تشكيل يك هندسه اقليدسي 2روي فضاي برداري

, يك نقطه aاگر . مي ناميم 1تايي كه تمام صفر باشد را مبدأ - m. نمايش داده مي شود 2,غير از مبدأ در :نقطه، 2باشد، در اين صورت 2 تشكيل يك ،2اين خط حتماً از مبدأ عبور . دهندنمايش مي {براي سادگي بيشتر يك خط را با. خط مي دهند  يعني(دو نقطه مستقل خطي باشند a0و aاگر . خواهد كرد

را مي دهند كه از نقطه  نقطه تشكيل خط 2در اين صورت ،) 0مگرa0 عبور مي كند.

خطوط 2تا خط وجود دارد كه به همراه خط بالايي تشكيل يك دسته 2در اين حالت اما به ازاي هر . تا نقطه داريم 2دليل اين امر اين است كه در اينجا ما مجموعاً . موازي مي دهند

2(نقطه كه در نظر بگيريم، و نكته در . نقطه وجود دارد كه با اين نقطه وابسته خطي هستند) 1به دست مي آيد اينجاست كه در اين حالت به ازاي همه اين نقاط تنها يك خط موازي

به دست مي a0به ازاي مقادير مختلف پس تعداد خطوط موازي كه . و بقيه روي اين خط مي افتد

. تاست 2آيد

.خط عبور مي كندبه همين روش مي توان نشان داد كه از هر نقطه در اين فضا

بنابراين . نكته مهم ديگر اين است كه هر دو نقطه در اين فضا حتماً با يك خط به هم متصلند

,براي .خط داريم مجموعاً 2

,حال مي خواهيم مفهوم خطوط را به صفحات در فرض كنيد. بسط دهيم 2, … , ,نقطه مستقل خطي در 1، , در اين . جايي كه . باشد 2

نقطه به شكل 2صورت                                                             

1 Origin 2 Bundle 

آشنايي با برخي مفاهيم جبر –2فصل

21 

 

 

 با در ) بعدي- m 1يا يك ابر صفحه( تشكيل يك 1و 2,  باشد،  و مسلماً جايي كه . عبور مي كند a0مي دهد كه از نقطه 2

و  هاي همچنين .از مبدأ عبور مي كندو گفته مي شود كه اين . هيچ نقطه مشتركي با هم ندارند  

2كه از مبدأ براي هر . ها با هم موازيند µ در ، 1, .[1]موازي آن وجود دارد كه با هم تشكيل يك دسته صفحه موازي مي دهند 2

و چند ها ايندر فصل بعد به كمك . بود LDPCآنچه در اينجا بيان شد، لازمه مطالعه كدهاي .مي پردازيم LDPCكدهاي تعريف جديد، به معرفي

                                                            1 Hyper plane 

22 

 

3فصل

LDPCكدهاي معرفي

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

23 

 

:مقدمه -3-1

نام اين كدها از مشخصات ماتريس بررسي . نوعي از كدهاي بلوكي هستند LDPCكدهاي مزيت عمده . توازن آنها گرفته شده است كه فقط شامل تعداد اندكي يك در مقابل تعداد صفرهاست

ه ظرفيت كانال هاي مختلف ي اين كدها اين است كه عملكرد بسيار مناسبي دارند كه بسيار نزديك ب .مي باشد

معرفي شدند، اما به دليل 1960دكترايش در سال تزدر 1اولين بار توسط گالاگراين كدها ، توسط محققين ناديده 1981سال بعد، يعني سال 20برخي پيچيدگي ها در پياده سازي، تا حدود

اما اين كدها يك بار . تفسيري گرافيكي را از اين كدها ارائه داد 2در اين زمان بود كه تنر. گرفته شدند، محققين كار خود 1990تا اينكه در سال . سال، از محافل علمي دور بود 14يگر، و اين بار به مدت د

. را بر روي روش هاي گرافيكي ساخت اين كدها و روش تكرار براي ديكد كردن آنها از سر گرفتند . اختلاف دارد 3طولاني تنها كسري از دسيبل با حد شانون  LDPC كدهاي عملكرد خطاي

اولين روش جبري و . معرفي نكرد LDPCكدهاي گالاگر روش مشخصي را براي ساخت . معرفي شد 4سيستماتيك براي ساخت آنها بر پايه هندسه متناهي

: LDPCكدهاي  نمايش -3-2مانند تمامي كدهاي بلوكي ديگر يك . وجود دارد  LDPC يكدهااساساً دو نوع نمايش براي

اما نمايش ديگري كه بيشتر براي اين كدها كاربرد دارد، استفاده از . نمايش، نمايش ماتريسي است . نمايش گرافيكي است

نمايش H،كه آن را با LDCPكد با استفاده از تعريف ماتريسي، ماتريس بررسي توازن يك 1تا γ هر ستون داراي) 2.(است 1تا ρهر رديف شامل ) 1: (رايطي استمي دهيم، داراي چنين ش

نمايش مي دهيم، λديگر مشترك است، و آن را با ستونكه با هر ستونهاي يك 1تعداد ) 3. (است . كوچك است Hدر مقابل طول كد و تعداد رديفهاي γ و هم ρهم ) 4.(كوچكتر يا مساوي يك است

                                                            1 Gallager 2 Tanner 3 Shannon Limit 4 Finite Geometry

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

24 

 

كوچك Hهر دو در مقابل طول كد و همچنين تعداد سطرهاي γ و ρبا توجه به اين كه را يك ماتريس كم تراكم Hبه همين دليل . چگالي كمي از يكها وجود دارد Hهستند، در ماتريس ، و كد هايي كه از اين نوع ماتريس ساخته مي شوند را كد كم تراكم بررسي ندبررسي توازن مي نام

:نمايش مي دهيم و آن را به اين صورت تعريف مي كنيم r را با H تراكم. ندتوازن مي گوي

   /   /  

كه با تعريف بالا مشخص مي شود، LDCPكد . است Hتعداد رديف هاي ماتريس Jاينجا ρ ‐ γ,است 1خوانده مي شود، چرا كه تمامي سطرها يا ستون هاي آن داراي تعداد مساوي 1منتظم .

، كه چندان ندمي گوي 2 را غير منتظم LDPC كد ها در يك سطر يا ستون برابر نباشند، آن 1اگر تعداد . ، مستقل خطي باشندHبايد توجه شود كه لزومي ندارد سطرهاي . موضوع بحث اين پايان نامه نيست

، γو ρيك عدد مثبت صحيح بزرگتر از يك باشد، براي انتخاب هاي مشخصي از kاگر . پيشنهاد داده است LDPCكدهاي گالاگر روش زير را براي ساخت

 به عنوان ماتريس بررسي توازن مي سازيم كه شامل ابتدا يك ماتريس γ تا زيرهر سطر از يك . مي ناميم H γ... و H1و H1اين زير ماتريس ها را . است ماتريس

بنابراين، هر زيرماتريس در . تا يك و هر ستون از آن شامل يك عدد يك است ρزيرماتريس شامل در ستون هاي H1امين رديف از -i مكان يكها در ،1براي . دارد 1تا مجموع

1 دچار كمي پس و پيش كردن اين يكها ساير زير ماتريس ها تنها . مي باشد تا 1 سپس. مي شوند

. 

شامل عنصر  Hاز اين ساختار قابل درك است كه اولاً هيچ دو رديفي در يك زير ماتريس ازچون . مشترك ندارد 1بيش از يك Hو ثانياً هيچ دو ستوني از زيرماتريس هاي . يك مشترك نيستند

تاست، چگالي H ،ργو تعداد كل درايه هاي ماتريس H ،ργتعداد كل يك ها در ماتريس چگالي بسيار كمي خواهد داشت و يك Hخيلي بزرگ باشد، kاگر . خواهد بود برابر Hماتريس

                                                            1 Regular 2 Irregular 

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

25 

 

داراي سومين خاصيت بيان شده براي ماتريس بررسي Hحال، اينكه . خواهد بود 1ماتريس تنكγباشد يا نه، بستگي به انتخاب نحوه پس و پيش كردن يكها در LDCPكد توازن يك زير 1

. تشكيل خواهد داد n، يك كد بلوكي با طول H 2بنابراين، فضاي خالي. ماتريس ديگر داردλبا LDCPكد ولي اين كد لزوماً يك پس و پيش كردن اتفاقي ستون هاي . نخواهد بود 1 يا 0

H كدهاي براي ساخت ساير زير ماتريس مي تواند يك كلاس خاص ازLDPC را بدست دهد .

تحقيقات كامپيوتري نياز است تا . گالاگر روشي براي اين نحوه پس و پيش كردن ها ارائه نداداخيراً . ر زيادي دارندبتوان يك كد مناسب را به اين روش ساخت كه البته چنين كدهايي طول بسيا

كه تنها دهم دسيبل با (براي دستيابي به يك عملكرد خطاي بسيار مناسب اي ي طولانيهاچنين كد . ، مورد استفاده قرار مي گيرند)حد شانون فاصله دارد

در اين .مشخص مي شود در نظر بگيريد، كه با ماتريس n با طول LDCPكد يك :نشان مي دهيم كه و …و و ماتريس رديفها را با

, , … , , ,            1 , 

,اگر . مي باشد , … يك كلمه كد باشد، در اين صورت ضرب داخلي ,

. , 0 

ع ها براي اين كد وتا از اين مجم Jكلاً . خوانده مي شود)Check sumيا ( 3جمع بررسي توازنيك يك بيت كد . وجود دارد كه با تعداد رديف ها و محل قرار گرفتن يكها در آنها مشخص مي شود

.باشد 1هرگاه ،ندام چك شده مي گوي -Check sum jرا توسط

,براي , … , , 1 l را به عنوان مجموعه سطر هايي درH كه 1اگر براي . ام را چك مي كند مي شناسيم-lبيت

, , … , , 

.1:باشد، داريم

                                                            1 Sparse 2Null space 3 Parity‐check Sum 

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

26 

 

چنين بر مي آيد كه براي هر LDCPكد از خاصيت سوم ساختار ماتريس بررسي توازن يك رديف موجود در γبنابراين . شودچك مي ، آن بيت حداكثر با يك سطر در بيت كد به جز

هايي باشد كه توسط Check sumمجموعه Sl اگر .ندمي گوي 1ام متعامد- lرا اصطلاحاً روي بيت .ام شركت مي كند- lساخته مي شود، در تمامي اين معادلات بيت سطرهاي موجود در

:گراف تنر براي كدهاي بلوكي خطي -3-3V، كه آن را به صورت 2را شامل يك سري از گوشه ها Gگراف   , , نمايش مي …

E، كه آن را با 3، و اضلاعندده   , , اين گراف با . ، در نظر بگيريدندنمايش مي ده …G V,E به طوري كه هر ضلع. نشان داده مي شود  e مشخص مي ,توسط دو گوشه ي

 ودر اين حالت دو گوشه . شود يك گراف را معمولاً با . ندمي نام e  4را گوشه هاي انتهايي  با اين . نديك دياگرام كه در آن گوشه ها با نقطه و اضلاع با خط نمايش داده مي شوند، نشان مي ده

آن 5وصل است را درجه تعداد اضلاعي كه به يك گوشه. نمايش گرافيكي كار ساده تر مي شوددو ضلعي را كه به يك گوشه وصل هستند . ندنماد گذاري مي كن dگوشه مي گوييم و با

يك گراف با . اگر با يك ضلع به هم وصل باشند نددو گوشه را نيز مجاور گوي. ندمي نام 6مجاوردر ادامه گاهي گره و گوشه به صورت معادل . ندتعداد متناهي گوشه و ضلع را گراف محدود مي گوي

. به كار برده شده است

يك مسير در يك گراف با يك سري از گوشه ها و اضلاع مشخص مي شود كه شروع و تعداد اضلاع . در يك مسير هيچ گوشه اي نبايد دو بار پيموده شود. انتهاي آن هم يك گوشه است

اگر يك مسير از يك گره شروع و به همان گره . ندنام مسير مي 7پيموده شده در يك مسير را طوليك ضلع را كه از يك گره شروع و به همان ختم شود، حلقه مي . تشكيل مي شود 8ختم شود دور

مي girthطول كوتاهترين دور در يك گراف را . ندمي گوي 9يك گراف بدون دور را درخت. ندناممسير بين هر جفت از گوشه هاي آ ن وجود داشته ، اگر حداقل يكندگوي 10گراف را متصل. ندنام

اگر مجموعه گوشه هاي آن قابل تقسيم به دو ندمي گوي 11همچنين گراف را دو بخشي. باشد                                                            

١Orthogonal ٢ Verstices ٣ Edges ٤ End vertices ٥ Degree ٦ Adjacent ٧ Length ٨ Cyclic ٩ Tree ١٠ Connected ١١ Bipartite 

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

27 

 

را به يك گوشه در V1يك گوشه در Eضلع در هرباشد به طوريكه V2و V1زيرمجموعه منفصل V2 وصل نمايد.

يكي از مشهورترين نوع نمايش . با گراف ها هستندكدهاي خطي از طرق مختلف قابل نمايش اما نمايش مفيد ديگري كه براي كدهاي خطي بلوكي وجود . است 1هاي گرافي كدها، نمايش ترليس

 Checkاست كه نشان دهنده رابطه بين بيت هاي كدها و 2دارد، نمايش آنها از طريق گراف تنر

sum هايي است كه آن ها را چك مي كنند.

نمايش داده مي شود و داراي سطرهاي H، كه با ماتريس بررسي توازن nك كد با طول براي يh1 وh2 و ... وhJ گراف تنر ،استGT مجموعه اول كه با . شامل دو مجموعه از گوشه هاستV1

يا 3تاست و آن را گوشه هاي بيت كد n، نماينده بيت هاي كد است و در نتيجه داده مي شودنشان Check sumتا Jگوشه است كه نماينده Jمجموعه دوم كه شامل . ندمي نام 4گوشه هاي متغيرمي Checkيا گره هاي Check sumو به آن گوشه هاي ندنمايش مي ده V2است و آن را با

. ندگوي

 Checkدر متصل است، اگر و تنها اگر Check sumبه يك گره يك گره بيت كد

sum )sj (در ضمن هيچ دو گره بيت كد .باشد 1و به بيان ديگر  .متناظر شركت كرده باشد .در نتيجه گراف دو بخشي است. ندبه هم متصل نيست Check sumو هيچ دو گره

را مطالعه كنيم و LDCP هايكداين گراف ابتدا توسط تنر ارائه شد تا بتوانيم راحت تر درجه هر گره بيت كد در . كاربرد زيادي دارد LDPCكدهاي كردن همچنين در روش تكرار ديكد

به علاوه . هايي است كه شامل بيت متناظر با اين گره باشندCheck sum اين گراف برابر تعداد .برابر تعداد بيت هايي است كه در آن شركت مي كنند Check sumدرجه هر گره

و درجه تمام γمنتظم، درجه تمام گوشه هاي بيت كد برابر و مساوي LDCPكد براي يك . ندبه چنين گرافي يك گراف منتظم مي گوي. است برابر و مساوي Check sumگوشه هاي

متفاوت چك نمي شود، متضمن اين است كه  Check sum 2همچنين اينكه هيچ دو بيتي توسط و هر كد (ها LDCPكد براي ديكد كردن . نيست 4شامل هيچ دوري با طول LDCPكد گراف

                                                            ١ Trellis ٢ Tanner ٣ Code‐bit vertices ٤ Variable vertices 

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

28 

 

مهم است كه گراف تنر داراي 1خصوصاً به روش تكرار بر پايه انتشار اطمينان) بلوكي خطي ديگر .يك گراف تنر منتظم در شكل زير آمده است. نباشد 6و 4دورهاي با طول كم مانند

  1-3شكل

:LDPCكدهاي ساخت هندسي -3-4را مي توان به صورت جبري و بر پايه نقاط و خطوط يك هندسه محدود LDPCكدهاي

مي كنيم معرفي را بر پايه هندسه محدود LDCPكد در اينجا دو نوع . مانند هندسه اقليدسي ساخت .كه به شدت به هم نزديك هستند و گراف تنر آنها دوگان يكديگر هستند

:باشد، كه ويژگي زير را دارا هستند خط J و نقطه nيك هندسه محدود با Qفرض كنيد

 .نقطه است هر خط شامل - 1 .خط مي باشد  γهر نقطه محل تقاطع - 2 .دو نقطه توسط يك و تنها يك خط به هم وصل مي شوند - 3يا در يك و تنها يك ) يعني هيچ نقطه مشتركي ندارند(دو خط يا منفصل هستند - 4

 .نقطه مشترك هستند

,را با Qمجموعه نقاط موجود در , … ,و مجموعه خطوط را با , , … , در اين صورت اگر. نمايش مي دهيم

, , … ,  

GFتايي روي - nيك نهستند، در اين صورت مي توا Qنقطه در nباشد كه اعضايش متناظر با 2 :ودنمهستند به اين صورت تعريف يك بردار بر اساس نقاطي كه روي خط

                                                            ١ Iterative Decoding based‐on Belief Propagation 

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

29 

 

, , … ,  

:جايي كه

 باشد 1   در  اگر نباشد 0   در  اگر

. 

.مي ناميم 1اين بردار را بردار تابش. است ، واضح است كه وزن اين بردار

نمايش مي ناميم، به طوريكه سطرهاي آن را با مي سازيم و آن را يك ماتريس بنا بر آنچه . است Qنقطه موجود در nمي سازند و عناصر روي هر ستون آن متناظر با بردار هاي تا يك γهر ستون ) 2. تا يك دارد هر سطر ) 1. داراي مشخصات زير خواهد بودQگفته شد،

هيچ دو سطري بيش از ) 3). است كه در يك نقطه تقاطع مي كنند  Qاين عدد تعداد خطوطي از(دارديا منفصل اين ويژگي از اين ناشي مي شود كه هر دو خطي ( به صورت مشترك ندارند 1يك عدد

به صورت 1هيچ دو ستوني بيش از يك عدد ) 4) .هستند يا در يك و تنها يك نقطه مشترك هستندكوچك Jو nدر مقابل و اگر . چگالي اين ماتريس برابر است با. مشترك ندارند

. اين ماتريس كم چگالي يا تنك مي شودباشند،

1- نوع LDPC ،اين كد. ساخت nبا طول LDCPكد از روي اين ماتريس مي توان يك

گراف تنر اين كد، يك گراف دو بخشي منتظم . ندنمايش مي ده نام دارد كه آن را با Q-هندسهندارد و دورهاي آن 4خواهد بود كه هيچ دوري با طول Check sumگره Jگره بيت كد و nبا

.هستند 6داراي طول

، نياز است كه بردارهايي بسازيم كه متناظر با نقاط يكدها براي ساخت نوع دوم,فرض كنيد. باشد Qروي , … GFتايي روي - Jيك , باشد كه عناصر آن 2

:در اين صورت. با خطوط متناظر باشند

 باشد 1   شامل  اگر نباشد 0   شامل اگر

    . 

                                                            1 Incidence Vector 

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

30 

 

. ندمي گوي 1به اين بردار، بردار تقاطع

سطر هاي اين ماتريس را بردارهاي . مي ناميم مي سازيم و آن را يك ماتريس . تقاطع تشكيل مي دهند

مي توان به آساني نتتيجه گرفت كه اين دو ماتريس و با توجه به تعريف

تا هر ستون ) 2. تا يك دارد γ هر سطر) 1: اين مشخصات را داراست . يكديگرند 2ترانهادههيچ دو ستوني بيش از ) 4.به صورت مشترك ندارند 1هيچ دو سطري بيش از يك عدد ) 3. يك دارد

. است چگالي اين ماتريس برابر. به صورت مشترك ندارند 1يك عدد

Q-هندسه 2-اين كد را نوع. ساخت Jبا طول LDCPكد با داشتن اين ماتريس مي توان يك

ماتريس همچنين با توجه به مشخصات ساختاري دو. ندنمايش مي ده مي ناميم و آن را با

، گراف تنر اين دو كد دوگان همديگر هستند؛ يعني، گره هاي بيت كد در يكي همان و يي كه به LDPCكدهاي يكي از انوع مهم . در ديگري است و بالعكس Check sumگره هاي

:يعني. شوند، كدهايي هستند كه بر پايه هندسه اقليدسي هستندروش هندسي ساخته مي

 )كدها ( كدهاي هندسه اقليدسي 1-نوع - 1EGكدهاي 2-نوع - 2  LDPC 

:EG­ LDPC كدهاي -3-5GFبعدي روي - mهندسه اقليدسي يك ,در نظر بگيريد، كه آن را با 2 2

GFتايي روي - mنقطه است كه هر نقطه را با يك 2اين ساختار داراي . ندنمايش مي ده 2 : تعداد خطوط در اينجا برابر است با. نشان مي دهيم

2 2 12 1 , 

                                                            1 Intersecting Vector 2 Transpose 

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

31 

 

,هر نقطه در . نقطه است 2كه هر خط شامل دو . است خط محل تلاقي 2,خط در .حداكثر در يك نقطه با يكديگر تلاقي دارند 2

,بر پايه كدها 1-نوعبراي ساخت ، ابتدا مي بايستي ماتريس 2

را بسازيم كه سطرهاي آن را بردارهاي تابش مي سازند و ستون هاي آن با نقاط بررسي توازن ,روي چون هر .ستون دارد 2تا سطر و بنابراين اين ماتريس . متناظرند 2

تا يك است و چون هر نقطه 2نقطه است، هر سطر از اين ماتريس داراي 2خط داراي

چگالي اين ماتريس . يك است بنابراين هر ستون داراي است، خط محل تلاقي :با اين شرايط برابر است با

2 . 

,براي - يك ماتريس بررسي توازن كم خواهد بود و ماتريس 1/4، 2. بيت است 2با استفاده از اين ماتريس مي توان كدي ساخت كه داراي . چگالي مي گردد

در واقع درجه اين كد ( ندمي نام s,0از درجه LDCPكد ‐EG 1-نوعبعدي - mاين كد را كد

), s ( و آن را با )مي باشد 0است كه در اينجا, حداقل . نددهنمايش مي ,0 :فاصله بين دو كد در اينجا عبارتست از

12 12 1

1. 

. مشابه آنچه در قبل بيان شد عمل نماييم، كافيست EG‐LDPC 2-نوعبعدي - mبراي ساخت كد

.:در اينجا نيز كد را با استفاده ماتريس بررسي توازنش مي سازيم كه

و چگالي اين . ستون است سطر و 2شامل ماتريس

طول كدي كه از طريق اين ماتريس ساخته مي شود .برابر است ماتريس با چگالي

2بيت است و حداقل فاصله بين كلمات كد در اينجا اين كد يك . است 1

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

32 

 

,است كه آن را با s,0از درجه EG‐LDPC 2-نوعبعدي - mكد نشان مي ,0 .ندده

تايي تمام صفر، و تمامي - mنقطه مبدأ، يعني ساخت كدهايي كه ذكر شد، مي توان دربه شكل كد 1-در اين صورت نوع. كردخطوطي كه از آن مي گذرند را حذف

در حالت اول كد را به . در مي آيد 1به شكل كد شبه چرخشيآن 2-چرخشي و نوع

,صورت , .ندنمادگذاري مي كن ,0

,دسته خاصي از , m(، كدهاي دو بعدي هستند,0 با استفاده از رياضيات ). 2تركيبي مي توان نشان داد كه براي كدهاي بر پايه ي هندسه اقليدسي يافتن تعداد بيت هاي توازن با

اما در حالتي كه رابطه . استفاده از يك رابطه بسته ساده در حالت كلي امكان پذير نيست :مي توان تعداد اين بيت ها را از رابطه) همانطور كه در اينجا هست( برقرار باشد 2

1 1 1 1,

3بنابراين تعداد بيت هاي توازن در اينجا .است 2در اينجا. به دست آورد به . است 1

,طور كلي يك : داراي خواص زير است ,2,0

2  طول كد                                   1

3  توازن هاي بيت تعداد           1

2 3  بعد                                       

2 فاصله حداقل                        1

22 1

 چگالي                                     

,2براي اين مورد خاص، 2شامل 2 . خط است كه از مبدأ عبور نمي كنند 1

2يك ماتريس مربعي ,براين، ماتريس ابن 1 2 اين ماتريس .خواهد بود 1                                                            

١ Quasi‐cyclic 

LDPCكدهاي معرفي - 3فصل

33 

 

2و سپس به راحتي با داشتن يك بردار تابش كه خط متناظر آن از مبدأ عبور نمي كند، مرتبه 2هم سطرها و هم ستون ها در اين ماتريس . ي قابل ساخت استشيفت دادن آن به صورت چرخش

ليستي از چند كد كه به اين صورت ساخته مي شود را مي توان . هستند 2داراي وزن .در جدول زير يافت

r dmink n s 0.267 4457 15 2 0.127 88937 63 3 0.0627 161617175 255 4 0.0313 323233781 1023 5 0.01563 64646533674095 6 0.0078131281281291419716383 7

1- 3 جدول

يكي از . از طرق ديگري نيز به صورت هندسي قابل ساخت هستند LDPC كدهايالبته PG‐LDPC كد اين كد ها را به صورت .است 1معروف ترين اين طرق استفاده از هندسه انعكاسي

لذا در اينجا از بحث بيشتر در اين باره . اين روش نيز بسيار شبيه روش قبل است .دهيمنمايش مي .[1]مپرهيز مي كني

اما . بود LDPC كدهاي بيشتر معطوف به ساختار و نحوه ساختآنچه كه تا كنون بيان شد، آنچه كه در حال حاضر بيشتر مورد توجه و بحث محققين در زمينه كدينگ است، روش هاي مختلف

روش هاي گوناگوني براي اين كار وجود دارد و عملكرد اين كدها . ديكد كردن اين گونه كدهاست د كردنروش هاي اصلي و البته كاربردي در ديك 4،در فصل . تحت تأثير اين روش ها متفاوت است

 .بيان مي گردند  LDPC كدهاي

                                                            ١ Projective Geometry 

34 

 

4فصل

LDPCكدهاي روش هاي ديكد كردن

LDPCكدهاي روشهاي ديكد كردن - 4فصل

35 

 

:روش ها عبارتند از مهمترين. قابل ديكد شدن است گوناگوني هايبه روش LDPCيك كد ، چرخش )BF(2بيتكردن بر اساس چرخش ديكد، )MLG( 1منطقي اكثريتكردن بر اساس ديكد( ) IDBP( 5اطمينان، و روش تكرار بر اساس انتشار )APP( 4ينسپ، احتمال )WBF(3وزن دار بيت

بر ي كه در اينجا ذكر شد دو روش اول ).معروف است زني )SPA( 6ضرب-يتم جمعركه به نام الگو Soft Decision Decodingو دو روش آخر بر اساس Hard Decision Decodingاساس

عملكرد BF. روش است ترين راحت  MLG. دو است اين نيبما چيزيهستند و روش سوم يعني با انجام . ترتيبن يهم به هم SPAو APP. تر است پبچيده MLGبه دارد اما نسبت بهتري

يك تعادل WBFروش . يابيماز لحاظ كاهش خطا دست مي بهتريتر به عملكرد پبچيده عمليات .و عملكرد كاهش خطا برقرار مي كند پيچيدگي ميزان بينمناسب

.در همه روش هاي ارائه شده در ذيل، از نماد هاي زير استفاده شده است

, كد را به صورت يك كلمه .داريم (N,K) كدLDPC فرض كنيد , … , عبور BPSKبا مدولاسيون گسسته-اين كد را بر روي يك كانال بدون حافظه، زمان. در نظر بگيريد

 در باند پايه به صورت BPSKبردار .مي دهيم , , … نمايش مي دهيم كه در , : اينجا 2  Softبردار . 1 Decision دريافتي در خروجي فيلتر تطبيقي به صورت

, , …  Hardهمچنين بردار . باشدمي , Decision  را نيز به صورت, , … : 0كه براي . است ,

1,            براي 00,            براي 0

. 

                                                            1 Majority‐Logic Decoding(MLG) 2 Bit Flipping 3 Weighted Bit Flipping 4 A Posteriory Probability 5 Iterative Decoding based on Belief Propagation 6 sum‐product Algorithm 

LDPCكدهاي روشهاي ديكد كردن - 4فصل

36 

 

ها و بردار بردار قدر مطلق .خوانده مي شود 1اطمينان نميزا مقدار قدر مطلق فرض كنيم ماتريس بررسي توازن اين كد را . ها به عنوان ورودي ديكدر مورد استفاده قرار مي گيرند

در اين صورت مي توانيم بردار سندرم را . سطر است Mستون و Nنمايش مي دهيم كه داراي Hبا و وزن ρرا با ) ن سطرتعداد يكهاي آ(  Hوزن هر سطر از ماتريس . محاسبه كنيم s=zHTبه شكل

: داده مي شونددو متغير جديد را به اين صورت نشان . نمايش مي دهيم  γهر ستون را با

|  ,        |   

M(n) شماره عناصري از ستون مجموعهn - متناظرش يك است درايهام را نشان مي دهد كه. متناظرش يك است درايهام را نشان مي دهد كه - mشماره عناصري از سطر مجمموعهN(m) و

. N(m)|= ρ|و M(n)|= γ|بنابراين واضح است كه

: روش اكثريت منطقي -4-1

.بيت خطا را دارد γقابليت تصحيح MLGبا روش LDPCكدهاي

به صورت جمع يك بردار كد معتبر و يك بردار خطا نشان مي دريافتي را مي توان zبردار   :بنابراين سندرم برابر خواهد با. دهيم

همچنين فرض . باشد γ= 4و تا 15بالا تعداد سطرها و ستون ها Hفرض كنيم در ماتريس بنابر شرط بالا اين كد قابليت . بيتي و داراي دو بيت يا كمتر خطا باشد 15كنيد كه بردار در يافتي،

:چهار سطر از اين ماتريس مي تواند برابر سطرهاي زير باشد. را داراستخطا بيت 2تصحيح

  1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 

  1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

  1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 

  1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

 

                 …                              

                                                            1 Reliability  

LDPCكدهاي روشهاي ديكد كردن - 4فصل

37 

 

در اين صورت . همان طور كه مشاهده مي شود، اين سطرها روي بيت اول متعامدند :در اين چهار سطر برابر خواهد بود

 

   

 

 

 

           …              

ها هيچ باشد و در بين باقي بيت 1 اگر :به راحتي مي توان نشان داد كه در اين حالتخطايي وجود نداشته باشد يا حداكثر يك بيت خطا وجود داشته باشد، حداقل سه تا از اين چهار

و حداكثر دو بيت از بقيه بيت ها خطا 0 اگر و. خواهند بود يكيعني مجموع برابر به اين دليل به اين .يعني صفر خواهند بود داشته باشند، حداقل دو تا از اين مجموع ها برابر

. روش، روش اكثريت منطقي گفته مي شود

به اين ترتيب كه هر بيت از . اين روش را مي توان با گراف تنر هم به راحتي پياده سازي نموددر گره . هنددر يافتي را به ترتيب به يكي از گره هاي بيت كد نسبت مي د Hard Decisionبردار مقدار گره هاي بيت كدي را كه به آن گره وصل ) modulo‐2جمع (مجموع Check sumهاي

اگر اين مجموع برابر صفر بود، گره هاي بيت كد تغيير نمي كنند، اما اگر . ندهستند محاسبه مي نماياين مجموع برابر يك بود، يك سيگنال تغيير براي تك تك گره هاي بيت كدي كه به اين گره

Check sum  به اين .)مكمل مي شوند( تمامي آنها تغيير مي نمايند متصل هستند ارسال مي شود و، اگر تعداد يك هاي نسبت داده شده به يك گره بيت كد بيشتر باشد، ديكدينگ ترتيب در پايان عمل

و اگر تعداد . تناظر با آن را يك در نظر مي گيرندمقدار آن گره بيت كد و در نتيجه خود بيت كد مصفر ها بيشتر باشد، مقدار آن گره بيت كد و در نتيجه خود بيت كد متناظر با آن را صفر در نظر مي

. ندگير

. زير را در نظر بگيريدمثال براي روشن شدن موضوع

LDPCكدهاي روشهاي ديكد كردن - 4فصل

38 

 

 

بيت كد هستندمحل انجام عمل جمع گره هاي Check sumگره هاي - 1- 1 شكل

:ماتريس بررسي توازن متناظر با اين گراف برابر است با

H0 1 0 1 1 01 1 1 0 0 1

00

10

0 0 1 0 0 1 1 11 0 0 1 1 0 1 0

 

 Hardفرض كنيم بردار . مي باشد c=[1 0 0 1 0 1 0 1]يك كلمه كد معتبر به صورت

Decision در يافتي به صورتv=[1 1 0 1 0 1 0 1] در اين صورت عمل ديكدينگ . مي باشد :با استفاده از گراف تنر مطابق جدول زير است

 بيتهاي كد  

   v دريافتيبردار  101011 0 1 0 10 0 1 0 1001 1 0 1 0 0 0 01 10 تصميم101001 0 1

1 - 4 جدول

:روش چرخش بيت -4-2تعدادي مي شود، خطايي ايجاد ،هنگامي كه در طول ارسال.  اين روش توسط گالاگر ارائه شد روش . شود گفته مي 1به اين بيت ها، بيت هاي ناموفق توازن. سندرم برابر يك مي گردندهاي از بيت

                                                            1  Parity‐Bit Failure 

LDPCكدهاي روشهاي ديكد كردن - 4فصل

39 

 

BF در بردار دريافتي ) يا بيت هايي( بر پايه تغيير تعداد اين بيت هاي ناموفق است، هنگامي كه بيتي .مي كند تغيير

از بيت معين مي كند كه هر سپس. مي كندبه سها را محا Check sumيكدر تمامي دابتدا براي يك بيت خاص از كد اگر. شركت كرده اندتوازن تعداد از بيت هاي ناموفق كد دريافتي در چه

.هندبيت را تغيير مي د آن بيشتر باشد، 1اين تعداد از يك مقدار آستانه

تكرار مي اين عمل را آنقدر . دست آمده ي جديد نيز انجام مي دهنداين كار را براي بردار به تابع عوامل ندنمايش مي ده مقدار آستانه كه آن را با .شودتا به يك كلمه كد معتبر دست پيدا شود

، حداقل ) و (وزن سطرها و ستون هاي ماتريس بررسي توازن : از دعبارتنگوناگوني است كه . SNRو ) dmin(فاصله بين كلمات كد

را اگر عمل ديكدينگ پس از طي چندين مرحله به كلمه كد معتبري منجر نشد، مقدار منطقاً براي .كاهش مي يابد SNRاست و با افزايش SNRتعداد تكرارها تابعي از . دهيمكاهش مي

اين تكرار ها يك سقف مشخص بيان مي گردد كه اگر بعد از رسيدن به اين سقف، كد معتبري .اعلام مي گردد ،ل ديكدينگ تمام مي شود و عدم موفقيتمحاصل نشد، ع

:روش چرخش بيت وزن دار -4-3براي اين منظور مي . روش چرخش بيت را مي توان براي رسيدن به عملكردي بهتر بهبود دادقطعاً اين بهبود . ودبايست به نوعي، اطمينان اطلاعات سمبل هاي دريافتي را وارد محاسبات نم

ين روش توازن ميان ا اما خوشبختانه در. راه خواهد بودافزايش پيچيدگي محاسبات همعملكرد با لذا بحث هاي دو . بهبود عملكرد و افزايش پيچيدگي محاسباتي به شكل مناسبي قابل تنظيم است

.فصل بعد را بر روي اين نوع خاص از ديكدينگ معطوف مي نماييم

 Softدار رعناصر ببزرگي يا دامنه براي دستيابي به ميزان اطمينان كد دريافتي مي توان از

Decision كه آن را به صورت|y منطقي است كه هر چه اين . ، استفاده كردنمايش مي دهيم | . متناظر بيشتر خواهد بود Hard Decisionمقدارِ قدر مطلق بزرگتر باشد، ميزان اطمينان بيت

                                                            1 Threshold 

LDPCكدهاي روشهاي ديكد كردن - 4فصل

40 

 

مورد استفاده قرار مي 1معياري از اطمينان در بسياري از الگوريتم هاي بر پايه اطمينانچنين .گيرد

y|فرض كنيم كوچكترين مقدار ام - Check‐sum  mآن در ziرا كه مقدار متناظر | : يعني. اده شودنمايش د wmشركت مي كند، با

min | |. 

:سندرم، مي توانيم معيار زير را ارائه نماييمدر اين صورت با داشتن بردار

2 1  

به ازاي بيت هاي مختلف fnحال براي چرخاندن يك بيت، تصميم گيري از روي مقادير به اين صورت كه بيتي در اين مرحله از ديكد كردن، چرخانده مي شود كه بيشترين . صورت مي گيرد

بنابراين در اين معيار هم اطمينان بيت ها مورد بررسي قرار مي گيرد و بردار . را داشته باشد fnمقدار .و بيت هاي ناموفق توازن سندرم

.در فصل آينده اين روش را مورد بررسي قرار مي دهيم

:الگوريتم ضرب و جمع -4-4اسب براي ديكد نمكه بسيار است انتشار اطميناناين الگوريتم يك روش ديكدينگ بر پايه

ين روش سمبل دريافتي را مدام مورد پردازش قرار مي دهد تا بر ا .مي باشد LDPCكدهاي كردن  Checkاساس sum  هايي كه با استفاده از بردارHard  Decision د، به نشو يمحاسبه م

ميزان اطمينان اين سمبل ها از طرق .ديكد شده دست يابيم سمبل هاي بيشترين ميزان اطمينان براي محاسبه ميزان اطمينان . Log‐Likelihood Ratio (LLR)مختلف قابل اندازه گيري است، مانند

اين مراحل تا زماني .شده در پايان هر مرحله به عنوان ورودي مرحله بعد مورد استفاده قرار مي گيرداطمينان محاسبه شده، كد را باز در پايان بر اساس .ددادامه مي يابد كه شرطي براي پايان آنها ارضا گر

.يابي مي نماييم

                                                            1 Reliability‐Based Algorithms 

41 

 

5فصل

LDPCكدهاي روش چرخش بيت وزن دار در ديكد كردن

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

42 

 

به شكل LDPCكدهاي در اين فصل سير تكاملي روش چرخش بيت وزن دار در ديكد كردن .گيردمي نسبتاً مفصلي مورد بررسي قرار

ي طولاني، با روش تكرار مي توان به حد بسيار عالي از LDPCكدهاي اصولاً در ديكد كردن بسيار نزديك 1شونده گاوسيدودويي با نويز جمع -كاهش خطا دست يافت كه در كانالهاي ورودي

طولاني از روش هاي تصادفي توسط LDPCكدهاي اما در عمل براي ساخت . به حد شانون استكامپيوتر استفاده مي شود كه فاقد ساختار جبري مي باشند و اين از توانايي ما براي تحليل نظري و يا

اين . ناسب، طول بسيار زيادي دارنداز سوي ديگر همانطور كه ذكر شد، كدهاي م. بهبود آنها مي كاهد. امر سبب تاخير زياد هنگام ارسال و همچنين نياز به ظرفيت بالا براي ذخيره آنها در ديكدر مي شود

اختلاف با dB 04/0تنها ( عملكرد بسيار قوي را داراست از كدي كه به عنوان يك مثال كاربردي . بيت مي باشد 107داراي بلوكي با طول ) 10- 6حد شانون در نرخ خطاي بيتي مساوي با

يك استثنا قابل توجه در مقايسه با اين موضوع، كدهايي هستند كه بر پايه هندسه محدود و به اكثر اين گونه كدها يا چرخشي . توضيح داده شد 3صورت جبري ساخته مي شود كه در فصل

با استفاده از يك سري شيفت رجيستر و در نتيجه پياده سازي آنها براحتي و. هستند يا نيمه چرخشيدر مقايسه با كدهايي كه به صورت كامپيوتري ساخته مي شود، . يك شبكه فيدبك قابل انجام است

كدهاي هندسه محدود، در طولهاي مساوي، ساختاري متعادل تر و عملكردي بهتر دارند به خصوص  [3]).بيتي 102 -104(در طول كدهاي كوتاه و متوسط

:(MWBF) [4]2روش چرخش بيت وزن دار اصلاح شده -5-1 همانطور كه در فصل قبل اشاره شد، روش چرخش بيت وزن دار، در ميان روش هاي مختلف

،مي تواند توازن مناسبي ميان پيچيدگي محاسباتي و بهبود عملكرد ايجاد LDPCكدهاي ديكد كردن گفته شد . Soft Decisionو  Hard Decisionاين روش در واقع تركيبي است از روش . نمايد

روش ساده براي يافتن اطمينان بيت ها، اندازه گيري دامنه مقدار متناظر AWGNكه در كانال هاي Soft Decision همچنين براي .هر چه كه اين مقدار بيشتر باشد اطمينان نيز بيشتر است. آنهاست

                                                            1 BIAWGN 2 Modified Weighted Bit‐Flipping

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

43 

 

مي تواند به عنوان معياري براي ) كه در فصل قبل معرفي شد( ، m≥ M  ≤1مقادير مختلف .مورد ملاحظه قرار گيرد) ام از بردار سندرم- mبيت ( sسنجش مقدار اطمينان جمع

بنابراين

2 1  

اين اطمينان را اطمينان بر پايه (باشد znها براي اطمينان  Check‐sumمي تواند معياري از ديدگاه 1Check‐sum  از طرف ديگر معيار ). مي ناميم|yn| مي تواند اطمينانzn باشد 2بر پايه بيت .

:بنابراين براي آنكه به معيار جامع تري دست پيدا كنيم، مي توانيم اين دو را با هم تركيب نماييم

2 1 | |

znجديد نشان مي دهد كه تا چه حد امكان تغيير عبارت جمع در ،در واقع اما از . در مقدار قبلي خود باقي بماند znاين امكان دارد نشان مي دهد تا چه حد |yn|وجود دارد و

نمايانگر ميزان امكان تغيير در اين حاصل نقش تفريقي دارد در مجموع |yn|آنجا كه zn است .

|اما منطقاً اين مقدار در اين مجموع همواره نمي تواند وزن يك را داشته باشد و به ازاي ||و وزن ستون ها، SNRمقادير مختلف با در نظر گرفتن ضريب . بايد وزن جديدي داشته باشد  |

:در معادله جديد خواهيم داشت αوزن دهي

2 1 | |,                ,               0

  هنگامي كه در اين الگوريتم جديد، . مي رسيم WBFباشد، به همان الگوريتم استاندارد0، كمترين SNR را مي توان به عنوان مقداري تعريف كرد كه در يك مقدار مشخص αمقدار بهينه

. اين مقدار از طريق شبيه سازي قابل دستيابي است. را داشته باشيم (BER)مقدار نرخ بيت خطا

                                                            1 Check Based 2 Bit Based 

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

44 

 

، αخاص با وزن ستون ثابت با مقدار ثابت  LDPCكد براي يك: αدر مقدار SNRاثر از روي مقادير شبيه سازي . هاي مختلف، متفاوت خواهد بود SNRدر MWBFعملكرد روش

). كمتر αبيشتر SNRهر چه (دارد SNR، رابطه عكس با مقدار αن گفت كه مقدار بهينه شده مي توا .نمي پذيرد αنرخ خطا تاثير چنداني از SNRهمچنين مي توان دريافت در مقادير كم

با توجه به نتايج شبيه سازي ها، مي توان دريافت به ازاي : α اثر وزن ستون ها در مقدارSNR به افزايش طول كد، هر چه وزن ستون هاي ماتريس ثابت، بدون توجهH ،بيشتر مي شود .بهينه نيز افزايش مي يابد α مقدار

همانطور .را با هم مقايسه نمود MWBFو WBFدر شكل زير مي توان عملكرد دو روش

بيشتر مي شود بهبود عملكرد در اين روش بيشتر قابل ملاحظه هر چه مقدار كه مشاهده مي شود . داراست 5‐10نزديك BERدر WBFنسبت به dB5/0روش جديد بهبودي در حدود و مي گردد

 

براي كد α=1.4در MWBFو WBFبراي دو روش ) ممتد(و نرخ بيت هاي خطا) خط چين(نرخ كلمات خطا - 1- 5 شكل PG­LDPC) 273و191(

:[5] (RRWBF)1روش چرخش بيت بر پايه ي نسبت اطمينان -5-2 :يعني WBFاين است كه نسبت به معادله اصلي روش MWBFفلسفه استفاده از روش

  2 1  

                                                            ١ Reliability Ratio Based Weighted Bit‐Flipping 

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

45 

 

چراكه گاهي اين اتفاق مي . اين عبارت در واقع اطلاعات گره پيام است. يك عبارت اضافه شده استدر چنين مواردي . گره پيام داراي يك معادله و در نتيجه يك امكان براي چرخش هستندافتد كه دو

براي اين منظور . ردنياز به اضافه شدن اطلاعاتي است كه بتوان به واسطه آن انتخاب خود را محدود ك|عبارت |  بدين ترتيب هم انتخاب محدود شده است و هم انتخابي . شدبه معادله اضافه   .ي تر خواهد بودمنطق

اما به هر حال اين موضوع همراه با كمي افزايش پيچيدگي محاسباتي است، چرا كه براي هر نيز بايد به دقت αعلاوه بر اين . بار محاسبه معيار چرخش يك عبارت جديد اضافه شده است

.است αانتخاب شود چرا كه عملكرد اين روش شديداً وابسته به

عيب ديگري كه اين روش ها داراست اين است كه تمامي بيت هايي كه در يك عبارت Check‐Sum  شركت مي كنند، اگر اين عبارت برابر يك باشد، در معرض تغيير قرار مي گيرند .

.آن بيشتر باشد احتمال تغيير كمتري دارد  Soft Decisionالبته بيتي كه مقدار اندازه

نام دارد و به اين 1نسبت اطمينانكه شود معيار جديدي تعريف مياز اين جهت در اينجا :صورت بيان مي گردد

| || | 

|: جايي كه | max | |.

را عددي در نظر مي براي اين منظور . مي بايست تعيين گردد  در اينجا نيز ضريب ∑كه به ازاي آن رابطه ندگير مي 2ضريب نرماليزاسيونبرقرار باشد و آن را 1 .ندنامگذاري مي كن RRWBFاين روش را . ندنام

از رابطه زير استفاده  WBFبنابراين در روش جديد كافيست به جاي استفاده از رابطه معمول .شود

                                                            ١ Reliability Ratio ٢ Normalization factor  

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

46 

 

2 1 

.گفته شد MWBFو WBFباقي روش شبيه آن چيزي است كه براي

همان طور كه در شكل زير ديده مي شود اين : AWGNعملكرد اين روش در كانال هاي .دارد WBFبهبود عملكرد نسبت به dB1بيش از BER=10‐5روش در

BPSKبا استفاده از مدولاسيون AWGNارسال روي كانال -2 - 5 شكل

، درصد كلمات كدي كه به طور صحيح از روي كانال دريافت شده اند 3-5همچنين در شكل با . نمايش داده شده است RRWBFو MWBFو WBFهاي مختلف براي سه روش SNRدر

است اما يكي تقريباً MWBFو WBFتوجه به اين شكل ها ديده مي شود كه اين درصد براي

RRWBF در بازه اختلاف قابل توجهي با آنها دارد به خصوص براي مقاديرdB5/3 تاdB 5/4 . [5]برابر نسبت به دو روش ديگر حاصل شده است 8كه در بعضي جاها بهبود در حد ،

  درصد كلمات كدي كه به درستي ديكد شده اند -3 - 5 شكل

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

47 

 

هاي پايين تعداد تكرارهايي كه ديده مي شود كه در 4- 5علاوه براين با توجه به شكل درصد از تعداد تكرارها 30تا 20در حدود RRWBFلازم است تا به يك كلمه كد معتبر برسيم در

تعداد تكرارها در روش هاي مختلف اما با بالا رفتن . كمتر است MWBFو WBFبراي هاي

.دبه يك همگرايي مي رس، 7نزديك به تقريباً برابر مي گردد تا اينكه در

  ميانگين تعداد تكرارها براي رسيدن به يك كلمه كد معتبر -4 - 5 شكل

:(LP­WBF) [3]روش چرخش بيت براي كدهاي هندسي -5-3 با طول محدود مورد FG‐LDPCكدهاي تواند براي در اينجا روشي ارائه مي شود كه مي

نام دارد و از LP‐WBF) سليو و پاد(اين روش بر اساس نام ابداع كنندگان آن . استفاده قرار بگيردست و لذا بيشتر روي ابعاد مختلف آن LDPCكدهاي جمله روش هاي بنيادين در ديكد كردن

زينه چرخش بيتي گالاگر آغاز مي شود، و در هر در اين روش كار با روش كم ه. بحث مي نماييماين معيار تركيبي است از تعداد . مرحله تنها يك بيت بر اساس معياري كه گفته خواهد شد مي چرخد

Check sum بعد از هر بار تكرار، اين معيار . هايي كه ناموفق بوده و ميزان اطمينان و اعتبار هر بيتاين روش محاسبه معيار چرخش بيت، نيازي به دانستن انرژي در . در صورت نياز تغيير مي كند

. وجود ندارد) است BP هاي كه معمولاً مورد نياز روش( AWGNسيگنال يا ميزان توان نويز كانال ،منطقاً پس از هر بار تكرار، كد اصلاح شده مورد ارزيابي قرار مي گيرد و در صورت معتبر نبودن آن

همچنين يك روش براي خارج شدن از دور بينهايت . اين روش تا يك تعداد محدود، تكرار مي گردد .ارائه مي گردد

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

48 

 

 Checkهر براي ، در واقعM ≤ m ≤1براي هر: الگوريتم. الف sum حد بالا و پايين ، :اطمينان را تعريف مي كنيم

min | |,                      max | |     

اين دو پارامتر، تنها نياز است كه يك بار پيش از شروع اولين تكرار محاسبه شوند و براي تصميم گيري اين الگوريتم از بردار . مورد استفاده قرار خواهند گرفت 1تعريف معيار انتخاب بيت

به دنبال GF(2)بعدي را بر روي - Nآغاز مي شود و دائماً فضاي برداري z(0)دريافتي  سخت و سندرم متناظر يعني z(k‐1)امين مرحله بردار - k فرض كنيم پيش از . كلمه كد معتبر مي گردد

s(k‐1)=z(k‐1) HT≠0 براي اينكه بفهميم كدام بيت از . را در اختيار داريمz(k‐1) ،بايستي عوض شود :مي گرددمحاسبه معيار زير

,

| | 2 ,                   0

| |2

,   0 

را مورد بررسي قرار مي دهد كه عنصر Hتعداد سطرهايي از ماتريس بررسي توازن ,n -سپس با توجه به اينكه آيا بيت متناظر با اين سطر يك است يا صفر، بيت . امشان يك باشدn- ام

در واقع تصميم گيري روي چرخاندن اين بيت توسط معيار . ام را مي چرخاند—k) 1(كد در مرحله :زير انجام مي شود

,  

:را داشته باشد در اين مرحله عوض مي شود بيتي كه كمترين مقدار

arg min φ ,        ,       0  0  1  0 0

ديكدينگ به پايان و صفر بود، كد معتبر است s(k)اگر . محاسبه مي شود s(k)در مرحله بعد

.محاسبه مي گردد و مراحل كار ادامه پيدا مي كند اما اگر صفر نيست . مي رسد

                                                            ١ Bit‐selection metric 

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

49 

 

. البته اين روش انتخاب بيت بهينه نيست

:روش زير ارائه مي گردد و واگرايي، بينهايتبراي رهايي از دور

هنگامي كه دو بار يك كد توسط اين روش شناسايي مي گردد كه داراي : تشخيص دور. بماكزيمم ( Imaxغير صفر هستند، اين امر به دور منجر مي گردد و بعد از رسيدن به سندرم يكسانِبراي رهايي از اين دور بايستي از ايجاد .مي رسدديكد كردن با اعلام ناموفقي به پايان ) تعداد تكرارها

اين كد چه هنگام به وجود مي سوال اينجاست كه . دوباره كدي كه قبلاً شناسايي شده اجتناب نمود آيد؟

است اگر و در اين صورت . ايجاد گردد كد k0فرض كنيم در مرحله

,تنها اگر مجموع بردارهاي خطاي بين اين دو كد     : يعني. برابر صفر باشد ,

∑ e 0.

ام، - nو به جاي بيت ردهنگامي كه اين مجموع صفر مي گردد بايد كد را عوض ك: راه حل

در اين جا به جاي اينكه كد ها . ( را داراست كمترين مقدار كه بعد از ردبيتي را عوض كاين روش به ظرفيت . شود، خطا اندازه گيري مي گرددو كد يكسان استخراج شودبا هم مقايسه

اگر بخواهيم تمامي كد ها را ذخيره نماييم، هم پيچيدگي عمليات و هم .حافظه بسيار كمتري نياز دارد ). دظرفيت مورد نياز به شدت افزايش مي ياب

:شودبه اين شكل تعريف مي E(x) پارامتر

. 

1براي اجتناب از دور بايد در هر مرحله ,… , :كه .را داشته باشيم 0

1             

. 

نمي توا. باز هم مي توان كار را ساده تر كرد شوندها با بردار صفر مقايسه E(l)براي آنكه و نمايانگر تعداد يكها ندنمايش مي ده w(l)كه آن را با ادوزن همينگ آنها را مورد استفاده قرار د

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

50 

 

همچنين در هر مرحله . صفر باشد E(l)صفر است اگر و تنها اگر w(l)واضح است . است E(l)در w(l) ه نمودرا مي توان از رابطه زير محاسب:

11,                     1,         11,         0

 

:1(IMWBF) [6]بهبود روش چرخش بيت وزن دار اصلاح شده -5-4روش ديگري كه مي توان از آن به عنوان بهبود عملكرد ديكدينگ به روش چرخش بيت وزن دار اشاره كرد به اين صورت است كه تنها با كمي افزايش پيچيدگي محاسباتي، به ميزاني قابل توجه

اين بهبود از طريق ارائه معيار جديدي براي . دست خواهيم يافت MWBFدر بهبود عملكرد روش .بيت حاصل مي شودچرخش

Check sumگفته شد اين روش هم از اطمينان بر پايه MWBFهمانطور كه در روش ايجاد مي شود IMWBFتفاوتي كه در روش . استفاده مي كند و هم از اطمينان بر پايه اطمينان بيت

اين . شركت نمي كند ديگر در انتخاب ،خود بيت Soft Decisionاين است كه در اينجا اندازه بيت كمترين مقدار را در بين بيت هاي Soft Decisionحالت زماني رخ مي دهد كه مقدار اندازه

مي بايستي اين بيت wmبنابراين در محاسبه . داشته باشد Check sumديگر شركت كننده در آن :شودچنين مطرح مي  معيار جديد. شركت نكند

, min\| | ,                                           1,  

 

) 1023و 781(بررسي روش هاي مختلف براي كد - 5- 5 شكل

                                                            ١ Improved Modified Weighted Bit‐Flipping 

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

51 

 

مي توان 5- 5در شكل .گفته شد MWBFباقي روش شبيه آن چيزي است كه در روش . عملكرد اين روش ها را با روش هاي ديگر مقايسه نمود

در LP‐WBFو MWBFبه ترتيب نسبت به روش هاي dB4/0و dB2/0اين روش به بهبود BER=10‐5يافته است و تنها دستdB55/0 از روش هاي برا پايه انتشار اطمينان فاصله دارد.

:(WS­BF) [7]1الگوريتم جمع وزن داده شده -5-5اين روش در واقع بر روي . LP‐WBFر اينجا بيان مي شود، روشي است بر پايه دروشي كه

ديديم كه معيار چرخش LP‐WBFدر روش . معرفي شده در اين روش بحث مي كند ,تابع :به صورت زير محاسبه مي شد

,

:جايي كه

,

| |2,                   0

| |2

,   0 

به ازاي مقادير مختلف ,اما در اينجا بحث بر سر اين است كه نبايستي با تمامي توابع . در واقع يك وزن دهي مناسب بايد به اين توابع داده شود. به يك صورت رفتار كرد

ها ,اين وزن دهي بر اين اساس است كه اطمينان سمبل هاي دريافتي يكسان نيست و در نتيجه ها از روي تعداد سمبل هاي مطمئن شركت كننده,اما اطمينان .هم اطمينان هاي متفاوتي دارند

. مطمئن تر ,هر چه تعداد اين سمبل ها بيشتر، . در محاسبه آنها، اندازه گيري مي شود

در اينجا هم معياري كه براي سنجش ميزان اطمينان سمبل ها ارائه مي گردد همان معياري |يعني(استفاده شد AWGNاست كه قبلاً نيز براي كانال هاي براي اين منظور يك آستانه به ) . |

|در اين حالت اگر . شودتعريف مي Tنام و در ندباشد اين سمبل را غيرمطمئن مي نام |

                                                            ١ Weighted‐Sum Bit‐Flipping

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

52 

 

1كه داراي شرط Kهمچنين عدد مثبت و صحيح . غير اين صورت سمبل مطمئن است :ندمي نويس به كمك اين دو پارامتر جديد رابطه زير را. نداست را تعريف مي كن

num\| |  

و معيار جديد زير را براي ندباشد آنرا مساوي صفر قرار مي ده 0در اين حالت اگر :ندچرخاندن بيت ارائه مي ده

. 

اما آنچه بايستي در اينجا . ندمي نام WS­BFاين الگوريتم را الگوريتم جمع وزن داده شده يا اين مقادير در حالت هاي مختلف، مقادير بهينه . است T  و Kمورد بررسي قرار گيرد نحوه انتخاب

خاص كمترين SNRمختلفي به خود مي گيرد و مقادير بهينه به صورتي تعريف مي شود كه در يك يافتن . ر خود كد نيز وابسته استاين ثوابت به ساختا SNRاما به جز . را داشته باشيم BERمقدار

آنها به صورت تئوري و از روي روابط تحليلي كار ساده اي نيست اما با استفاده از نتايج شبيه سازي اما به طور كلي چندين شرط اساسي براي انتخاب آنها بايستي رعايت . مي توان مقادير بهينه را يافت

.شود

 Checkحداكثر تعداد بيت هاي غير مطمئن در يك - 1 sum به اندازه وزن سطر .است

 . نيز مي بايستي افزايش يابد T ،Kبا افزايش - 2

     1: مقادير حدي اين دو ثابت عبارتند از - 3      ∞1                  0 . 

نكتة ديگري كه در اينجا حائز اهميت است اين است كه براي يك كد خاص، هنگامي كه براي هاي ديگر نيست SNRانتخاب شد، نيازي به تغيير آنها در Tو Kمقادير مناسب ،معلوم SNRيك

و Kتغيير چنداني نمي كند، ولي از سوي ديگر هنگامي كه Tو Kچرا كه عملكرد اين روش با تغيير T ثابت بمانند پياده سازي ساده تر مي گردد.

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

53 

 

اين نتايج با شرايط مدولاسيون . .نتيجه شبيه سازي براي اين روش در شكل زير آمده استBPSK و كانالAWGN و كد هايFG‐LDPC بعدي -2، 1كد در اينجا نوع.به دست آمده است

 5/0در اين نتايج .هندسه اقليدسي است) 1023و781( T= 9وK= در نظر گرفته شده است . LP‐WBFنسبت به dB3/0 بيانگر بهبود BER=10‐5مشاهده مي شود نتايج اين شبيه سازي براي

. دفاصله دار SPAنسبت به   dB6/0است و در اين حالت تنها

  6- 5شكل

هاي مختلف SNRدر دو ثابتهمچنين در شكل زير معيار نسبتاً جامعي از نحوه انتخاب اين .آمده است هندسه اقليدسي) 255و175(بعدي -2، 1نوع براي كد

  .A2،(B 5/2،(C 3،(D 5/3،(E 4)هاي  SNRدر Kو Tاثر - 7- 2شكل

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

54 

 

:(MLPWBF)[8] 1اصلاح شده LP­WBFروش -5-6در هر تكرار . در اين الگوريتم هر دو بهبود در عملكرد و كاهش تأخير قابل مشاهده است

ذكر شد اين الگورتيم يكي از LP‐WBFهمانطور كه در الگوريتم . چندين بيت چرخيده مي شودبهترين عملكردها را در مقابل پرداخت هزينه كه همان افزايش ميزان پيچيدگي محاسباتي است

 LDPCارائه شد، اما براي كدهاي ديگر FG‐LDPCكدهاي چه اين الگوريتم تنها براي داراست اگر

عموماً چنين كدهايي هنگامي كه توسط اين روش . با وزن بالاي ستون ها قابل پياده سازي است . فاصله دارد  SPAاز dB1ديكد مي شوند، عملكرد بسيار مناسبي دارند به طوريكه تنها

كه صورت مي گيرد اين است كه به جاي يك بيت، چند بيت در يك تكرار در اينجا تغييرييعني ( 2RC  ي كه شرطا  LDPCكدهاياين تغيير بر اين اساس است كه براي .عوض مي شوند

را ارضا مي كنند، وزن سندرم به طور ميانگين با ) LDPCكدهاي بيان شده در تعريف 3همان شرط تكرار بنابراين، ايده در اينجا اين است كه وزن سندرم در طول عمل. مقدار خطاها افزايش مي يابد

اين تغيير، با كمي . يافتتخميني از تعداد بيت هايي كه بايد عوض شوند اندازه گيري شود تا بتوانافزايش پيچيدگي همراه است ولي به شدت سرعت ديكدينگ را افزايش مي دهد و همچنين بهبود

اصلاح شده يا LP‐WBFاين الگوريتم را . حاصل خواهد شد (BER)چشمگيري در عملكردMLPWBF ندمي نام .

مي شودبا توجه به آنچه در بالا گفته شد اگر در هر تكرار بيت هاي غير صفر سندرم محاسبه :شود براي اين كار از معيار زير استفاده مي. چند بيت بايد در اين مرحله عوض شود زدتخمين توان

بر اين اساس . ام است- kوزن همينگ بردار سندرم در مرحله كه در اين رابطه بيت، بيت هايي هستند pتاست، و اين  p تعداد بيت هايي كه در اين مرحله مي بايست عوض شوند

را دارا هستند وآنها را با نماد كمترين مقادير LP­WBFكه طبق معيار ارائه شده در روش , , … .ندنمايش مي ده ,

                                                            ١ Modified LP‐WBF ٢ Row‐Column Constrain 

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

55 

 

­LPالگوريتم تشخيص دور اين الگوريتم در اينجا شبيه همان الگوريتمي است كه در روش

WBF ارائه شد كه متناسب با اين روش كمي تغيير مي كند.

نرخ بيت هاي خطا و همچنين نرخ در ادامه عملكرد تصحيح خطاي اين روش به صورتتا در نظر گرفته 200در همه روش ها، ماكزيمم تعداد تكرار ها . آمده است (FER) 1كلمات كد خطا

) 1023و781(بعدي - 2، 1نوعكد اول .كلمه كد خطا وجود دارد 100حداقل SNRدر هر . شده است . است اقليدسيهندسه ) 4095و3367(بعدي -2، 1هندسه اقليدسي، و كد دوم، نوع

اين نتايج بدون . دهد را براي اين دو كد نشان مي FERو  BERمقدار 9- 5و 8-5شكل مشاهده مي شود كه در هر دو مورد، روش اخير، نسبت به . مكانيزم تشخيص دور به دست آمده است

اين موضوع . بهبود وجود دارد dB 25/0عملكرد بهتري در حد BER=10‐5در LP‐WBFروش . نيز صادق است FERبراي

براي آنكه ديد كلي نسبت به اينكه اين بهبود عملكرد تا چه حد بوده است به دست آوريم، ، شبيه سازي صورت گرفته است و نتايج زير به دست آمده LDPC  كد براي چندين مورد مختلف

:است

ديكد نشده LP‐WBFي كه به درستي در روش تعداد قابل ملاحظه اي از بيت هاي - 1 .اند مربوط به دور نامتناهي است

كمتر پيش مي LP‐WBFدر اين روش جديد، دور هاي نامتناهي نسبت به روش - 2در نتيجه، اين روش در واقع با عوض كردن چند بيت در يك مرحله، باعث ممانعت از . آيد

 .گير افتادن در اين دام مي شودخطاهاي واقعي . يادي از بيت هايي كه در اين روش مي چرخندتعداد بسيار ز - 3

و در صورت بروز . هستند و به ندرت بيت هايي كه واقعاً خطا نيستند، عوض مي شود .چنين مسئله اي اين بيت ها به سرعت در مراحل بعد تصحيح مي شود

هر چه مراحل ديكدينگ بيشتر مي شود، تعداد بيت هايي كه در يك مرحله عوض - 4 .مي شود، كمتر مي گردد

                                                            1 Frame error rate 

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

56 

 

  هندسه اقليدسي) 1023و781(بعدي - 2، 1بدون مكانيزم تشخيص دور براي نوع) ممتد( BERو  )خط چين(FER-8- 5شكل

 هندسه ) 4095و3367(بعدي - 2، 1بدون مكانيزم تشخيص دور براي نوع) ممتد( BERو  )خط چين(FER-9- 5شكل

اقليدسي

و LP‐WBFعملكرد اين دو كد با روش هاي 11-5و 10-5همچنين در شكل هاي MLPWBF با توجه به اين شكلها، مكانيزم تشخيص دور در هر دو اين كد ها . بررسي شده است

.يكسان عمل نمي كند

، عملكرد شود همراه با تشخيص دور استفاده مي LP‐WBFبراي كد اول هنگامي كه از روش اما . ن مكانيزم تشخيص دور استفاده مي شودبدو MLPWBFشبيه هنگامي است كه از روش

حاصل dB1/0 هنگامي كه در روش اصلاح شده از اين مكانيزم استفاده مي شود، بهبودي در حدود . مي شود

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

57 

 

 هندسه ) 1023و781(بعدي - 2، 1همراه با مكانيزم تشخيص دور براي نوع) ممتد( BERو  )خط چين(FER-10- 5شكل

اقليدسي

از LP‐WBFبه طوريكه حتي هنگامي كه در روش . براي كد دوم وضع كمي فرق داردمكانيزم تشخيص دور استفاده مي شود، عملكرد به خوبي روش اصلاح شده بدون اين مكانيزم

با مكانيزم تشخيص دور، در مورد اين MLPWBFاما نكته جالب توجه اين است كه روش . نيست ).dB1/0كمتر از (سبت به همين روش بدون اين مكانيزم نداردكد، عملكرد چندان بهتري ن

 هندسه ) 4095و3367(بعدي - 2، 1همراه با مكانيزم تشخيص دور براي نوع) ممتد( BERو  )خط چين(FER-11- 5شكل

اقليدسي

براي رسيدن MLPWBF، تعداد تكرارهاي روش 13-5و 12- 5همچنين با توجه به شكلهاي كمتر است و زمان مورد نياز براي رسيدن به پايان عمل ديكدينگ يك LP‐WBFبه جواب از روش

.است LP‐WBFچهارم روش

LDPCكدهاي ديكد كردن چرخش بيت وزن دار در روش – 5 فصل

58 

 

هندسه اقليدسي) 1023و781(بعدي - 2، 1ميانگين تعداد تكرار براي انجام ديكدينگ براي نوع - 12- 5شكل

  هندسه اقليدسي) 4095و3367(بعدي - 2، 1ميانگين تعداد تكرار براي انجام ديكدينگ براي نوع - 13- 5شكل

آنچه در اين فصل بيان شد، شرحي بود از آنچه در سال هاي اخير بر روي روش چرخش بيت و در مورد آن ها در فصل آينده اين روش ها را شبيه سازي مي كنيم . وزن دار صورت گرفته است

.نماييمبحث مي

59 

 

6فصل

LDPCكدهاي ديكد كردن مختلف شبيه سازي روشهاي

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

60 

 

فصلدر اين . بيان شد LDPCچندين روش براي ديكد كردن كدهاي 5و 4در فصل هاي .تنتايج شبيه سازي براي روش هاي مختلف آمده اس

در مورد نحوه يج بررسي نماييم نياز است كه اطلاعات زير رااپيش از آنكه بتوانيم اين نتاما همچنين براي .تاست 50در همه روش ها حداكثر تعداد تكرار .شبيه سازي در دست داشته باشيم

دربنابراين . هندسه اقليدسي استفاده شده است) 255و175(بعدي -2، 1اين شبيه سازي ها از كد نوعدر هر روش سعي مي شود تعداد بلوك هاي ارسالي روي كانال .بيت وجود دارد 255هر بلوك كد

در جداول زير .بيت وجود داشته باشد حداقل BERطوري انتخاب شوند كه با توجه به مقدار

در اين . تاسمختلف ذكر شده هاي معمولاً در رديف اول تعداد بلوك هاي ارسالي به ازاي 255موارد براي يافتن اعداد بيت هاي ارسالي كافيست اي اعداد را در تعداد بيت هاي هر بلوك يعني

بار تكرار مي كنيم و در نهايت نتيجه 4هر روش را براي دستيابي به داده هاي مطمئن .ضرب نماييمبه علاوه براي آنكه به شكل بهتري بتوانيم عملكرد روش هاي . بار تكرار است 4كلي، ميانگين اين

وجود ) بعد از عبور از كانال(گوناگون را بررسي كنيم، خطايي را كه در ابتدا در داده هاي دريافتي .نيمداشته است، در جداول ذكر مي ك

:MLGروش -6-1

3 5/3  4  5/4  5  5/5 

ي ارساليتعداد بلوكها   500 500 500 500 500 1000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  5959 15676 4743 7713 3691 3210 2953 1251 2178 128 3217 41 

2  5989 15449 4848 8445 3789 3422 3017 1202 2176 159  3187 38 

3  5965 15517 4898 8784 3782 3666  3081 1260 2222 129  3169 46 

4  5903 14816 4846 8666  3852 3458 2960 1136 2251 155  3192 55 MLGنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -1- 6جدول

 

  3 5/3  4  5/4  5  5/5 

 8402 5/15364 ميانگين خطاي نهايي 75/3438  25/1212  75/142  45 255000 127500 127500 127500 127500 127500 تعداد بيتهاي ارسالي

BER 1205/0 0658/0  0269/0  0095/0  00111/0  000176/0 MLGروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -2- 6جدول

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

61 

 

 

 MLGبراي روش بر حسب BERنمودار - 1-6شكل

:WBFروش -6-2

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   100 500 500 500 500 500

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  1816 2180 7998 7843 6505 3261 5306 1155 4370 193  3324 0 2  1873 2302 7962 7484 6605 3790 5186 1064 4354 241  3287 0 3  1833 2217 7945 7450 6544 3521 5221 997  4339 206  3254 0 4  1861 2212 7807 7444 6482 3374 5249 1158 4409 251  3245 15

WBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -3- 6جدول

لذا نياز به اين . شود تقريباً تمام خطاها اصلاح مي 4.5همان طور كه مشاهده مي شود در در اين حالت تعداد بلوكها را به جاي . بيت هاي ارسالي روي كانال را افزايش دهيماست كه تعداد

1275000بيت،127500بنابراين در هر بار اجراي برنامه به جاي . تا در نظر مي گيريم 5000تا، 500 .)در باقي شبيه سازي ها نيز اين مورد در نظر گرفته شده است. (بيت نمونه داريم

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

62 

 

  5/4  5000 تعداد بلوكها

 شماره شبيه سازيخطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  33407  267 

2  33247  162 

3 33114 202 4 33514 264

WBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -4- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 25/7555 57/2227 ميانگين خطاي نهايي 5/3486  5/1093  75/222  75/223 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 0873/0 0592/0  0273/0  00857/0  00174/0  00016/0 WBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -5- 6جدول

 

 WBFبراي روش بر حسب BERنمودار - 2-6شكل

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

63 

 

:MWBFروش -6-3انجام مي دهيم تا بتوانيم به يك مقدار بهينه براي اين α اين روش را براي مقادير مختلف

.كميت دست پيدا كنيم

α=2 

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   100 500 500 500 500 5000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  1885 1375 7857 3605 6554 1484 5298 390  4324 74  33514 81 

2  1873 1338 7783 3512 6492 1408 5341 322  4354 76  33700 75 

3  1920 1467 7807 3595 6482 1432 5249 300  4240 78  33206 82 

4  1879 1372 7843 3510 6560 1333 5386 313  4305 44  33404 103 

 =2αدر MWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -6- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 5/3555 1388 ميانگين خطاي نهايي 25/1414  25/331  68 25/85 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 ارساليتعداد بيت هاي BER 0544/0 0278/0  01109/0  002598/0  000533/0  0000668/0

=2αدر MWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -7- 6جدول

α= 5/1  

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   100 500 500 500 500 5000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  1865 1279 7742 3316 6470 1095 5405 255  4382 43  33604 32 

2  1847 1362 7846 3236 6602 1183 5390 233  4389 48 33502 25 

3  1851 1270 7794 3189 6649 1194 5463 277  4347 54  33497 10 

4  1810 1138 7689 3108 6635 1205 5488 250  4360 55  33300 18 

=5/1αدر MWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -8- 6جدول

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

64 

 

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

25/21 50 25/253 25/1169 25/3212 25/1262 ميانگين خطاي نهايي 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 0495/0 0252/0  0091/0  00198/0  000392/0  0000166/0 =5/1αدر MWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازي ميانگين -9- 6جدول

α=1 

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   100 500 500 500 500 5000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  1843 1302 8011 3546 6623 1297 5423 174  4291 34  33522 18 

2  1771 1219 7840 3168 6593 1037 5455 191  4355 13  33617 28 

3  1916 1393 7962 3516 6605 1232 5186 170  4354 37  33512 30 4  1903 1449 7870 3506 6557 1143 5272 189  4365 37  33413 23 

=1αدر MWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -10- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 3434 75/1340 ميانگين خطاي نهايي 25/1177  181  25/30  75/24 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 0525/0 0269/0  009233/0  00142/0  000237/0  0000194/0 =1αدر MWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازي ميانگين -11- 6جدول

 

α= 5/0  

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   100 500 500 500 500 5000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  1853 1560 7843 4154 6560 1333 5386 388  4305 25  33533 44 2  1878 1634 7962 4541 6605 1731 5186 377  4354 61  33578 53 3  1857 1650 7676 3670 6593 1786 5334 496  4260 11  33201 58 4  1860 1577 7807 4491 6482 1654 5249 433  4136 74  33467 48

=5/0αدر MWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -12- 6جدول

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

65 

 

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 4214 25/1605 ميانگين خطاي نهايي 1626  5/423  75/42  75/50 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 063/0 03305/0  01275/0  00334/0  00033/0  0000398/0 =5/0αدر MWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -13- 6جدول

در اين جدول با توجه به . توان جدول زير را عرضه نمود به عنوان يك نتيجه كلي از اين قسمت مي . هاي گوناگون آمده است αهاي مختلف، نتايج براي تعداد بلوك هاي ارسالي در

α 

 5/0 1  5/1 2

 )بلوك100( 2 25/1605 75/1340 25/1262 1388 5/3555 3212/25 3434 4214 )بلوك 500(5/2

25/1169 1177/25 1626 )بلوك 500(3 25/1414 5/423 )بلوك 500(5/3 181 25/253   25/331

75/42 )بلوك 500(4 30/25 50 68  )بلوك5000( 5/4 75/50 75/24 21/25 25/85

فهاي مختل αدر MWBFروش هاي مختلف براي شبيه سازي تعداد بيت هاي خطاي نهايي درميانگين -14- 6جدول

هاي بالا اين  SNRكاهش مي يابد و در αمقدار بهينه SNRمشاهده مي شود كه با افزايش .نيست SNRمقدار بهينه ديگر چندان تابع

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 25/3212 25/1262 ميانگين خطاي نهايي 25/1177  181  25/30  25/21 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 0495/0 02519/0  009233/0  00142/0  0002372/0  0000166/0  SNRمناسب با αبه ازاي BERبهترين -15- 6جدول

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

66 

 

 

SNRمناسب با αبه ازاي  MWBFبراي روش بر حسب BERنمودار - 3-6شكل

:IMWBFروش -6-4انجام مي دهيم تا بتوانيم به يك مقدار شبيه سازي را α براي مقادير مختلف هم اين روشدر

.پيدا كنيمبهينه براي اين كميت دست

α=2 

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   50 100 100 500 1000 5000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  953 570 1557 459  1305 178  5400 47  8593 18  33215 0 2  958 506 1559 547  1320 110  5312 129  8438 15  33442 10 

3  967 557 1570 413 1322 216 5370 99 8508 33 33524  0 4  927 567 1556 547 1268 153 5461 185 8535 11 33401 0 

=2αدر IMWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش - 16- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 5/491 550 ميانگين خطاي نهايي 25/164  115  25/19  - 1275000 255000 127500 25500 25500 12750 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 0431/0 0192/0  00644/0  000901/0  0000755/0  -  =2αدر IMWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -17- 6جدول

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

67 

 

α= 5/1  

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   50 100 100 500 1000 10000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  938 548 1598 426  1318 109  5229 70  8527 14  67279 23 

2  895 443 1626 548  1249 88  5407 103  8610 17  66969  16 

3  951 561 1555 538 1296 128 5476 83 8629 8 66825 0 4  946 527 1608 450 1316 161 5254 70 8519 12 66212 0 

=5/1αدر IMWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -18- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

- 75/12 5/81 5/121 5/490 75/519 ميانگين خطاي نهايي 2550000 255000 127500 25500 25500 12750 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 0407/0 0192/0  00476/0  000639/0  00005/0  - =5/1αدر IMWBF روش در BER و مقدار نتايج شبيه سازي ميانگين -19- 6جدول

مشاهده مي گردد كه اين روش عملكرد بسيار بهتري نسبت به روش هاي ديگر داراست به

در مراحل بعد حتي هنگامي كه تعداد و . مي گردد  BER=0هم مقدار 4.5طوريكه در رسد كه سبب مي شود مقدار تا مي رسانيم باز خطا در بعضي جاها به صفر مي10000ها را به بلوك BER چون افزايش بيشتر تعداد بلوك ها بسيار زمانبر است و هر تكرار . به دست آمده نامعتبر گردد

براي اين 4.5در BERبيش از چندين ساعت زمان براي اجرا مي طلبد، لذا از محاسبه . صرفنظر مي كنيم روش

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

68 

 

α=1

2 5/2  3  5/3  4 

ي ارساليتعداد بلوكها   50 100 100 500 1000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  899 564 1540 547  1298 89  5342 78  8512 36 

2  983 676 1638 489  1292 51  5264 91  8616 16 

3  991 679 1600 647 1320 164 5312 97 8712 15 4  954 513 1613 570 1336 176 5300 103 8586 30

=1αدر IMWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -20- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4 

 25/563 608 ميانگين خطاي نهايي 120  25/92  25/24 

255000 127500 25500 25500 12750 تعداد بيت هاي ارساليBER 0476/0 022/0  00470/0  0007235/0  000095/0 

=1αدر IMWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -21- 6جدول

α= 5/0  

2 5/2  3  5/3  4 

ي ارساليتعداد بلوكها   50 100 100 500 1000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  948 653 1531 423  1302 279  5336 115  8413 29 

2  959 718 1550 583  1342 196  5323 104  8422 12 

3  899 625 1577 672 1319 292 5253 30 8616 34 4  983 732 1540 550 1325 205 5273 128 8487 50

=5/0αدر IMWBF نتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -22- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4 

 557 682 ميانگين خطاي نهايي 243  25/94  25/31 

255000 127500 25500 25500 12750 تعداد بيت هاي ارساليBER 0535/0 0218/0  00952/0  000739/0  000122/0 

=5/0αدر IMWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -23- 6جدول

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

69 

 

:را عرضه نمود 28-6به عنوان يك نتيجه كلي از اين قسمت مي توان جدول

α 

 5/0 1  5/1 2

 )بلوك50( 2 682 608 75/519 550 5/491 5/490 25/563 557 )بلوك 100(5/2

25/164 5/121 120 243 )بلوك 100(3 5/81 25/92 25/94 )بلوك 500(5/3 115 25/19 75/12 25/24 25/31 )بلوك 1000(4

هاي مختلف αدر IMWBFروش هاي مختلف براي شبيه سازي ميانگين تعداد بيت هاي خطاي نهايي در -24- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4 

 5/490 550 ميانگين خطاي نهايي 120  5/81  75/12 

255000 127500 25500 25500 12750 تعداد بيت هاي ارساليBER 0431/0 0192/0  0047/0  000639/0  00005/0 

SNRمناسب با αبه ازاي BERبهترين -25- 6جدول

 

 

SNRمناسب با αبه ازاي  IMWBFبراي روش بر حسب BERنمودار - 4-6شكل

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

70 

 

:LP­WBFروش -6-5

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   100 500 500 500 500 5000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  1814 1377 7828 3575 6674 1698 5342 429  4215 75  33577 135 2  1827 1342 8016 3892 6518 1558 5378 436  4380 110  33590 94 3  1803 1206 7851 3904 6571 1485 5297 307  4167 84  33490 1284  1882 1362 7896 4128 6628 1654 5250 286  4152 86  34007 97

LP‐WBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش - 26- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 75/3874 75/1321 ميانگين خطاي نهايي 75/1598  5/364  75/88  5/113 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 هاي ارساليتعداد بيت

BER 0518/0 03039/0  012539/0  002859/0  000696/0  000089/0 LP‐WBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -27- 6جدول

 

 LP‐WBF براي روش بر حسب BERنمودار - 5-6شكل

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

71 

 

:RRWBFروش -6-6

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   100 500 500 500 500 5000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  1857 1637 7910 4410 6611 1587 5185 397  4362 38  33515 28 

2  1886 1884 7887 4640 6499 1416 5325 242  4347 20  33345 45 

3  1871 1720 7773 4117 6495 1625 5216 425  4255 101  33463 23 

4  1924 1846 7964 4718 6420 1361 5324 404  4233 20  33439 68 

RRWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -28- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 25/4471 75/1771 ميانگين خطاي نهايي 25/1497  367  75/44  41 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 0694/0 03507/0  01174/0  002878/0  000351/0  0000321/0 RRWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازيميانگين -29- 6جدول

 RRWBF براي روشبر حسب BERنمودار - 6-6شكل

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

72 

 

:MLPWBFروش -6-7

2 5/2  3  5/3  4  5/4 

ي ارساليتعداد بلوكها   100 500 500 500 500 5000

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  1773 1224 7978 3812 6546 1250 5383 237  4263 24  33701 18 

2  1878 1458 7706 3267 6590 1376 5327 368  4249 36  33681 19 

3  1832 1369 7876 3426 6439 1133 5317 302  4188 29  33918 11 

4  1915 1397 7850 3607 6420 947  5327 166  4232 10  33422 13 

MLPWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -30- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4  5/4 

 3528 1362 ميانگين خطاي نهايي 5/1176  25/268  75/24  25/15 1275000 127500 127500 127500 127500 25500 تعداد بيت هاي ارسالي

BER 0534/0 0276/0  009227/0  002104/0  000194/0  00001196/0 MLPWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازي ميانگين -31- 6جدول

 

 MLPWBF براي روشبر حسب BERنمودار - 7-6شكل

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

73 

 

العاده بيشتر از ساير روش هاست و دليل اين امر سرعت رسيدن به جواب در اين روش فوق .عوض كردن همزمان چند بيت در يك تكرار است

.جعه نمودابراي يافتن ديدي كلي نسبت به روش هاي گوناگون مطرح شده مي توان به نمودار زير مر

 

 . هاي گوناگون براي روش بر حسب BERنمودار - 8-6شكل

بهبود اين . است IMWBFهمان طور كه مشاهده مي گردد، بهترين عملكرد، مربوط به روش

ستلزم افزايش پيچيدگي ممسلم است كه چنين بهبودي .افزايش مي يابد با افزايش عملكرد سريعترين در اين ميان اما . محاسباتي خواهد بود كه اين امر سرعت همگرايي را كاهش مي دهد

اين روش به دليل چرخاندن همزمان چند بيت در يك مرحله . است MLPWBFروش، روش

هاي عملكرد اين روش هم در . گرايي بسيار بالايي را نسبت به ساير روش ها داراستهمسرعت .بهتر است) IMWBF به جز(بالا از بقيه روش ها

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

74 

 

(IMLPWBF):پيشنهادي روش -6-8حال براي آنكه روشي داشته باشيم كه هم عملكرد مناسبي داشته باشد، و هم سرعت همگرايي

را ادغام كنيم و روش جديدي را ارائه MLPWBFو IMWBPروش اش بالا باشد، مي توانيم دو به ،است كه در آن IMWBPپايه اين روش در واقع همان الگوريتم به كار رفته در روش . دهيم

جاي آنكه در هر مرحله تنها يك بيت چرخانده شود، تعداد بيشتري بيت چرخانده مي شود و اين . به دست مي آيد MLPWBFتعداد در واقع از همان رابطه به كار رفته در الگوريتم مربوط به روش

. مي ناميم IMLPWBF 1 را اين روش .بيت چرخانده مي شوند يعني در هرمرحله از نتايج مربوط به شبيه در اين شبيه سازي،. وش در زير آمده استسازي براي اين ر هنتايج شبي

هايي محاسبه شده اند كه در αها در  BERدر واقع .استفاده شده است IMWBPسازي روش

.مي دهند دست بهترين عملكرد را به، ، با توجه به مقدار IMWBPروش

2 5/2  3  5/3  4 

ي ارساليتعداد بلوكها   50 100 100 500 5000 α 2 5/1 1 5/1 5/1

خطا در شماره شبيه سازي ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

خطا در  ابتدا

خطاي  نهايي

1  939 488 1546 533  1303 150  5335 131  43059 156 

2  922 555 1520 444  1284 183  5279 114  42680 138 

3  923 531 1607 503 1301 182 5266 100 42676 106 4  931 487 1570 447 1369 173 5342 155 42884 97

IMLPWBFنتايج شبيه سازي براي چهار بار تكرار روش -32- 6جدول

  2 5/2  3  5/3  4 

α 2 5/1 1 5/1 5/1  75/481 25/515 ميانگين خطاي نهايي 172  125  25/124 

1275000 127500 25500 25500 12750 تعداد بيت هاي ارساليBER 04041/0 01889/0  00674/0  00098/0  0000974/0 

IMLPWBFروش در BER و مقدار نتايج شبيه سازي ميانگين -33- 6جدول

                                                            ١ Improved Modified LP‐WBF 

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

75 

 

 BERاز نظر IMLPWBFو IMWBFهايمقايسه روش - 9-6شكل

ي در اما بهبود. بهتر است IMLPWBFاز IMWBFطور كه مشاهده مي شود عملكردنماه .سرعت اجراي عمل ديكدينگ حاصل مي شود

براي نشان دادن اين موضوع ما زمان اجراي برنامه را به عنوان معياري براي سنجش ميزان تا 500در همه اين اجراها تعداد بلوك هاي ارسالي را . سرعت الگوريتم ها مورد استفاده قرار داديم

هاي متناسب αبرنامه ها را به ازاي IMLPWBFو IMWBFبراي هر دو روش . در نظر گرفتيم

αو جالب اين جاست كه براي يك روش خاص در . تعيين شده اجرا نموديم مقدار با در حد ،از يك بار اجراي برنامه تا بار ديگر اين زمانزمان اجراي برنامه تقريباً ثابت است و ،مشخصجدول و نموداري براي نمايش سرعت دو ،در زير. تغيير مي نمايد) درصد5/1حداكثر(ناچيزي

:است IMLPWBFوريتم آمده است كه نمايانگر سريعتر بودن الگوريتم الگ

  2 5/2  3  5/3 

α 2 5/1 1 5/1  500 500 تعداد بلوك ها 500  500 

 IMWBFزمان اجراي برنامه براي روش 610/1:10 003/0:53 679/0:42 943/0:37 IMLPWBF 326/0:56 079/0:43زمان اجراي برنامه براي روش 415/0:35  223/0:32

 03/23 36/25 درصد اختلاف زمان 51/20  75/17 

)دقيقه:ثانيه/هزارم ثانيه: (فرمت زمان -IMLPWBF و IMWBFزمان اجراي برنامه براي روش هاي -34- 6جدول

كمتر بوده IMLPWBFبر اساس جدول بالا مي توان دريافت زمان اجراي برنامه براي روش

چراكه. كاهش مي يابد كه منطقي است با افزايش ، درصد اختلاف زمان براي اين دو روش. است

LDPCكدهاي ديكد كردن براي تكرار روشهايشبيه سازي –6فصل

76 

 

افزايش مي يابد، امكان ايجاد بيت هاي خطا كمتر مي شود و لذا مي توان گفت  هنگامي كه تفاوت چنداني ميان اينكه در الگوريتم اعمال شده، چرخش يك بيت در هر مرحله در نظر گرفته شده

.تصويري جدول بالاست شنمودار زير نماي. است يا چند بيت، وجود ندارد

از نظر سرعت عملكرد IMLPWBFو IMWBFهايمقايسه روش - 9-6شكل

.به نوعي همگرايي مي رسيم  مشاهده مي شود با افزايش

روش (كدها LDPCتا كنون روش هاي گوناگون ديگري نيز در مورد اين روش ديكد كردن صورت گرفته است كه مجالي براي بررسي تك تك آنها در اينجا وجود ) چرخش بيت وزن دار

حائز اهميت اين است كه روش هاي جديد اكثراً بر پايه عوض كردن همزمان چنداما نكته . ندارداين زمينه مي توان به براي دستيابي به اطلاعات بيشتر در . از اين روش است 1بيت در يك تكرار

.نمود مراجعه [21]و [20]و [13]

                                                            1 Parallel Weighted Bit‐Flipping 

77 

 

:مراجع فهرست

1- Lin, Shu; Costello, Daniel J. Error-Control Coding. 2nd ed. Pearson Education International, 2004.

2- Haykin, Simon. Communication Systems. 4th ed. John Wiley & Sons, Inc.2002.

3- Z. Liu and D. A. Pados, “A decoding algorithm for finite geometry LDPC

codes,” IEEE Trans. Commun., vol. 53, pp. 415-421, Mar. 2005.

4- J. Zhang and M. Fossorier, “A modified weighted bit-flipping decoding of low-density parity-check codes,” IEEE Commun. Lett, vol. 8, pp.165-167, Mar. 2004.

5- Feng Guo and Lajos Hanzo, "Reliability Ratio Based Weighted Bit-Flipping

Decoding for LDPC codes", Vehicular Technology Conference, vol. 1, pp. 709-713,  Spring. 2005.

6- M. Jiang, C. Zhao, Z. Shi, and Y. Chen, “An improvement on the modified

weighted bit flipping decoding algorithm for LDPC codes,” IEEE Commun. Lett, vol. 9, pp. 814-816, Sept. 2005.

7- M. Shan, C. M. Zhao and M. Jiang, “Improved weighted bit-flipping algorithm

for decoding LDPC codes,” IEE Proc.-Commun, vol. 152, No. 6, Dec. 2005.

8- T. Ngatched, F. Takawira and M. Bossert, “A Modified Bit-Flipping Decoding Algorithm for Low-Density Parity-Check Codes”, ICC '07. IEEE International Conference on Communications, pp. 653-658, 2007.

9- R.G. Gallager, "Low Density Parity Check Codes," IRE Trans. Inform. Theory,

IT-8:21-28, Jan 1962.

10- Y. Kou, S. Lin and M. Fossorier, “Low-density parity-check codes based on finite geometries: a rediscovery and new results,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 47, pp. 2711–2736, November 2001.

11- T. Ngatched, M. Bossert, A. Fahrner, and F. Takawira, " Two Bit-Flipping

Decoding Algorithms for Low-Density Parity-Check Codes", IEEE Transaction on Communications, vol. 57, No. 3, pp. 591-596, Mar. 2009.

78 

 

12- Kschischang F. R., “Codes defined on graphs,” Communications Magazine, pp. 118-125, August 2003.

13- X. Wu, Ch. Zhao and X. You “Parallel weighted Bit-Flipping decoding”, IEEE

Communications letters, vol. 11, no. 8, pp. 671-673, August 2007.

14- F. Guo and L. Hanzo, “Reliability based Weighted Bit-Flipping Decoding for LDPC codes”, in: VTC’05 Spring, 30, May- 1 June 2005, Stockholm, Sweden.

15- J. Chen, A. Dholakia, E. Eleftheriou, M. Fossorier, and X. Hu,“Reduced-

Complexity Decoding of LDPC Codes,” IEEE Transactions on Communications, vol. 53, no. 8, pp. 1288–1299, 2005.

16- T. Ngatched, F. Takawira and M. Bossert, “An Improved Decoding Algorithm

for Finite-Geometry LDPC Codes,”, IEEE Transactions, vol. 57, No, 2, pp. 302-306, Feb. 2009.

17- Z. Liu and D. Pados, "Low complexity decoding of finite geometry LDPC

codes", IEEE International Conference on Communications, vol.4, pp. 2713 - 2717, 2003.

18- D. Qian, M. Jiang, C. Zhao and X. Wu,"A Modification to Weighted Bit-

Flipping Decoding Algorithm for LDPC Codes Based on Reliability Adjustment", IEEE International Conference on Communications, pp. 1161 - 1165, 2008.

19- Q. Huang, J. Kang, L. Zhang, S. Lin and K. Abdel-Ghaffar, "Two efficient and

low-complexity iterative reliability-based majority-logic decoding algorithms for LDPC codes", IEEE Information Theory Workshop, pp. 253-257, 2009.

20- M. Vanek, and P. Farkas, "Fast Parallel Weighted Bit Flipping decoding

algorithm for LDPC codes", Wireless Telecommunications Symposium, pp.1-4, 2009.

21- G. Li, D. Li, Y. Wang and W. Sun, "Improved parallel weighted bit flipping

decoding of finite geometry LDPC codes", Fourth International Conference on Communications and Networking in China, pp.1-5, 2009.

22- L. Lee, "LDPC Codes, Application to Next Generation Communication

Systems", Oct, 2003.

23- B.M.J. Leiner, "LDPC Codes – a brief Tutorial", April, 2005.

79 

 

:پيوستدر . آمده است هندسه اقليدسي) 255و175(بعدي -2، 1كد نوع در زير ماتريس بررسي توازن

سمت چپ هر رديف شماره ستون ماتريس ذكر شده و در باقي ستون ها، شماره رديفهايي از استفاده از اين ماتريس مي با براي مثال. ماتريس آمده است كه درايه متناظر با آن يك است

,: توان گفت , , .است 11- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2- 8 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3- 16 24 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4- 2 17 40 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 5- 15 19 33 53 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 6- 2 31 35 67 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 7- 4 19 32 48 80 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 8- 10 21 35 46 62 91 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 9- 13 26 37 48 60 75 102 104 105 106 107 108 109 110 111 112 10- 1 29 42 50 62 73 86 112 113 114 115 116 117 118 119 120 11- 4 18 45 55 64 75 98 113 121 122 123 124 125 126 127 128 12- 7 21 34 58 69 77 86 109 121 129 130 131 132 133 134 135 13- 8 37 47 59 82 88 98 118 130 136 137 138 139 140 141 142 14- 14 24 50 61 72 93 99 109 126 137 143 144 145 146 147 148 15- 3 30 40 64 74 84 94 110 118 134 145 149 150 151 152 153 16- 16 20 53 77 85 96 105 119 126 141 150 154 155 156 157 158 17- 9 17 36 67 88 97 107 114 127 134 148 156 159 160 161 162 18- 25 33 49 80 99 108 116 122 135 141 153 161 163 164 165 166 19- 2 41 63 91 110 117 124 131 142 148 154 165 167 168 169 170 20- 7 19 54 76 102 119 125 138 143 153 159 169 171 172 173 174 21- 8 35 68 87 112 127 133 146 149 154 163 173 175 176 177 178 22- 10 24 48 81 113 135 140 151 155 159 167 177 179 180 181 182 23- 14 26 40 62 92 121 142 157 160 163 171 181 183 184 185 186 24- 9 30 42 53 75 103 130 143 164 167 175 186 187 188 189 190 25- 16 25 55 67 86 104 137 149 168 171 179 190 191 192 193 194 26- 1 17 41 69 80 98 145 155 172 175 184 194 195 196 197 198 27- 11 18 33 54 82 91 109 150 160 176 179 188 198 199 200 201 28- 2 27 34 68 93 102 118 156 164 180 184 192 199 202 203 204 29- 6 19 43 47 81 94 112 126 161 168 185 188 196 202 205 206 30- 11 23 35 56 61 92 105 113 134 165 172 189 192 205 207 208 31- 15 27 39 48 74 103 114 121 141 169 176 193 196 207 209 210 32- 11 31 43 52 62 85 104 122 130 148 173 180 197 210 211 212 33- 1 27 32 56 66 75 97 131 137 153 177 185 201 212 213 214 34- 15 18 43 46 79 86 108 138 145 154 181 189 204 214 215 216 35- 31 34 56 60 90 98 117 146 150 159 186 193 206 216 217 218 36- 15 32 47 73 101 109 125 151 156 163 190 197 208 218 219 220 37- 4 31 46 61 111 118 133 157 161 167 194 201 209 220 221 222 38- 9 21 32 60 74 120 126 140 165 171 198 204 211 222 223 224 39- 14 25 37 46 73 85 128 134 169 175 199 206 213 224 225 226 40- 4 30 41 50 60 97 129 141 173 179 202 208 215 226 227 228 41- 16 21 54 64 73 108 136 148 177 184 205 209 217 228 229 230 42- 4 17 37 68 77 117 144 153 181 188 207 211 219 230 231 232 43- 3 21 33 50 81 88 125 154 186 192 210 213 221 232 233 234 44- 2 20 37 64 92 99 133 159 190 196 212 215 223 234 235 236 45- 11 19 36 50 77 103 110 140 163 194 214 217 225 235 237 238 46- 14 27 35 49 64 88 104 119 167 198 216 219 227 237 239 240 47- 1 30 43 48 63 77 99 127 171 199 218 221 229 239 241 242 48- 16 18 56 62 76 88 110 135 175 202 220 223 231 241 243 244 49- 15 17 34 75 87 99 119 142 179 205 222 225 233 244 245 246 50- 10 31 33 47 86 110 127 143 184 207 224 227 236 246 247 248 51- 2 26 32 61 98 119 135 149 188 210 226 229 238 248 249 250 52- 19 42 46 74 109 127 142 155 192 212 228 231 240 250 251 252 53- 5 35 55 60 85 118 135 143 160 196 214 230 233 242 252 253 54- 11 22 48 69 73 97 126 142 149 164 216 232 236 243 253 254 55- 4 27 38 62 82 108 134 143 155 168 218 234 238 245 254 255 56- 12 21 43 51 75 93 117 141 149 160 172 220 235 240 247 255 57- 12 28 37 56 65 86 94 125 148 155 164 176 222 237 242 249 58- 15 28 44 50 78 98 105 133 153 160 168 180 224 239 243 251 59- 5 31 44 57 64 89 109 114 140 154 164 172 185 226 241 245 60- 14 22 32 57 70 77 100 118 122 159 168 176 189 228 244 247 61- 13 30 38 46 70 71 88 126 131 163 172 180 193 230 246 249 62- 16 29 51 60 71 83 99 134 138 167 176 185 197 232 248 251 63- 5 17 45 65 73 83 95 110 141 146 171 180 189 201 234 250

80 

 

64- 4 22 33 58 78 95 106 119 148 151 175 185 193 204 235 252 65- 2 21 38 59 89 106 115 127 153 157 179 189 197 206 237 253 66- 9 19 37 51 72 100 115 123 135 154 184 193 201 208 239 254 67- 13 25 35 50 65 84 123 132 142 159 188 197 204 209 241 255 68- 12 29 41 48 64 78 96 132 139 143 163 192 201 206 211 244 69- 28 45 54 62 77 89 107 139 147 149 167 196 204 208 213 246 70- 11 44 58 68 75 88 100 116 147 152 155 171 206 209 215 248 71- 13 27 57 59 81 86 99 124 152 158 160 175 208 211 217 250 72- 7 29 43 70 72 92 98 110 158 162 164 179 209 213 219 252 73- 8 45 56 71 84 103 109 119 162 166 168 184 211 215 221 253 74- 15 24 58 83 96 104 118 127 166 170 172 188 213 217 223 254 75- 1 31 40 59 95 107 126 135 170 174 176 192 215 219 225 255 76- 12 18 32 53 72 106 116 134 142 174 178 180 196 217 221 227 77- 11 28 34 46 67 84 115 124 141 143 178 182 185 219 223 229 78- 7 27 44 47 60 80 96 123 148 149 182 183 189 221 225 231 79- 8 43 57 61 73 91 107 132 153 155 183 187 193 223 227 233 80- 4 24 56 70 74 102 116 139 154 160 187 191 197 225 229 236 81- 15 21 40 71 85 112 124 147 159 164 191 195 201 227 231 238 82- 7 31 37 53 83 97 113 152 163 168 195 200 204 229 233 240 83- 8 32 50 67 95 108 121 158 167 172 200 203 206 231 236 242 84- 6 24 46 64 80 106 117 130 162 171 176 203 208 233 238 243 85- 6 23 40 60 77 91 115 125 137 166 175 180 209 236 240 245 86- 23 39 53 73 88 102 123 133 145 170 179 185 211 238 242 247 87- 4 39 52 67 99 112 132 140 150 174 184 189 213 240 243 249 88- 14 21 52 66 80 110 113 139 156 178 188 193 215 242 245 251 89- 5 30 37 66 79 91 119 121 147 161 182 192 197 217 243 247 90- 16 22 50 79 90 102 127 130 152 165 183 196 201 219 245 249 91- 11 17 38 64 90 101 112 135 137 158 169 187 204 221 247 251 92- 5 27 33 51 77 101 111 113 142 145 162 173 191 206 223 249 93- 2 22 43 65 88 111 120 121 143 150 166 177 195 208 225 251 94- 5 19 38 56 78 99 120 128 130 149 156 170 181 200 209 227 95- 15 22 35 51 89 110 128 129 137 155 161 174 186 203 211 229 96- 6 31 38 48 65 100 119 129 136 145 160 165 178 190 213 231 97- 13 23 32 51 62 78 127 136 144 150 164 169 182 194 215 233 98- 3 29 39 46 65 75 89 135 144 156 168 173 183 198 217 236 99- 3 20 45 52 60 78 86 100 142 161 172 177 187 199 219 238 100- 13 20 36 58 66 73 89 98 143 165 176 181 191 202 221 240 101- 4 29 36 49 59 79 100 109 149 169 180 186 195 205 223 242 102- 13 21 45 49 63 72 90 118 155 173 185 190 200 207 225 243 103- 29 37 58 63 76 84 101 126 160 177 189 194 203 210 227 245 104- 6 45 50 59 76 87 96 111 134 164 181 193 198 212 229 247 105- 10 23 58 64 72 87 107 120 141 168 186 197 199 214 231 249 106- 10 26 39 59 77 84 116 128 148 172 190 201 202 216 233 251 107- 5 26 42 52 72 88 96 124 129 153 176 194 204 205 218 236 108- 7 22 42 55 66 84 99 107 136 154 180 198 206 207 220 238 109- 8 38 55 69 79 96 110 116 144 159 185 199 208 210 222 240 110- 3 24 51 69 82 90 107 119 124 163 189 202 209 212 224 242 111- 7 20 40 65 82 93 101 116 127 167 193 205 211 214 226 243 112- 8 36 53 78 93 94 111 124 135 171 197 207 213 216 228 245 113- 7 24 49 67 89 94 105 120 142 175 201 210 215 218 230 247 114- 8 40 63 80 100 105 114 128 143 179 204 212 217 220 232 249 115- 13 24 53 76 91 114 122 129 149 184 206 214 219 222 234 251 116- 5 29 40 67 87 102 122 131 136 155 188 208 216 221 224 235 117- 10 22 45 53 80 112 131 138 144 160 192 209 218 223 226 237 118- 3 26 38 58 67 91 113 138 146 164 196 211 220 225 228 239 119- 11 20 42 51 59 80 102 121 146 151 168 213 222 227 230 241 120- 27 36 55 65 72 91 112 130 151 157 172 215 224 229 232 244 121- 9 43 49 69 78 84 102 113 137 157 176 217 226 231 234 246 122- 9 25 56 63 82 89 96 112 121 145 180 219 228 233 235 248 123- 15 25 41 76 93 100 107 113 130 150 185 221 230 236 237 250 124- 13 31 41 54 87 94 116 121 137 156 189 223 232 238 239 252 125- 10 29 32 54 68 105 124 130 145 161 193 225 234 240 241 253 126- 7 26 45 46 68 81 114 137 150 165 197 227 235 242 244 254 127- 8 42 58 60 81 92 122 145 156 169 201 229 237 243 246 255 128- 12 24 55 59 73 92 103 131 150 161 173 204 231 239 245 248 129- 4 28 40 69 72 103 104 138 156 165 177 206 233 241 247 250 130- 1 21 44 53 82 84 104 146 161 169 181 208 236 244 249 252 131- 1 18 37 57 67 93 96 151 165 173 186 209 238 246 251 253 132- 5 18 34 50 70 80 94 107 157 169 177 190 211 240 248 254 133- 9 22 34 47 64 71 91 105 116 173 181 194 213 242 250 255 134- 12 25 38 47 61 77 83 102 114 124 177 186 198 215 243 252 135- 7 28 41 51 61 74 88 95 112 122 181 190 199 217 245 253 136- 8 44 54 65 74 85 99 106 113 131 186 194 202 219 247 254 137- 24 57 68 78 85 97 110 115 121 138 190 198 205 221 249 255 138- 12 40 70 81 89 97 108 119 123 130 146 194 199 207 223 251 139- 5 28 53 71 92 100 108 117 127 132 137 151 198 202 210 225 140- 13 22 44 67 83 103 117 125 135 139 145 157 199 205 212 227 141- 9 29 38 57 80 95 104 125 133 142 147 150 202 207 214 229 142- 1 25 45 51 70 91 106 133 140 143 152 156 205 210 216 231 143- 14 18 41 58 65 71 102 115 140 149 158 161 207 212 218 233 144- 14 30 34 54 59 78 83 112 123 155 162 165 210 214 220 236 145- 16 30 47 68 72 89 95 113 132 160 166 169 212 216 222 238

81 

 

146- 16 17 61 81 84 100 106 121 139 164 170 173 214 218 224 240 147- 13 17 33 74 92 96 115 130 147 168 174 177 216 220 226 242 148- 2 29 33 85 103 107 123 137 152 172 178 181 218 222 228 243 149- 2 19 45 97 104 116 132 145 158 176 182 186 220 224 230 245 150- 1 19 35 58 108 124 139 150 162 180 183 190 222 226 232 247 151- 7 18 35 48 59 117 147 156 166 185 187 194 224 228 234 249 152- 8 34 48 62 72 125 152 161 170 189 191 198 226 230 235 251 153- 5 24 47 62 75 84 133 158 165 174 193 195 199 228 232 237 154- 22 40 61 75 86 96 140 162 169 178 197 200 202 230 234 239 155- 14 38 53 74 86 98 107 166 173 182 201 203 205 232 235 241 156- 6 30 51 67 85 98 109 116 170 177 183 204 207 234 237 244 157- 16 23 65 80 97 109 118 124 174 181 187 206 210 235 239 246 158- 7 17 39 78 91 108 118 126 178 186 191 208 212 237 241 248 159- 8 33 52 89 102 117 126 134 182 190 195 209 214 239 244 250 160- 2 24 66 100 112 125 134 141 183 194 200 211 216 241 246 252 161- 13 19 40 79 113 133 141 148 187 198 203 213 218 244 248 253 162- 6 29 35 53 90 121 140 148 153 191 199 215 220 246 250 254 163- 14 23 45 48 67 101 130 153 154 195 202 217 222 248 252 255 164- 12 30 39 58 62 80 111 137 154 159 200 205 219 224 250 253 165- 16 28 52 59 75 91 120 145 159 163 203 207 221 226 252 254 166- 6 17 44 66 72 86 102 128 150 163 167 210 223 228 253 255 167- 12 23 33 57 79 84 98 112 129 156 167 171 212 225 230 254 168- 2 28 39 70 90 96 109 113 136 161 171 175 214 227 232 255 169- 12 19 44 52 71 101 107 118 121 144 165 175 179 216 229 234 170- 3 28 35 57 66 83 111 116 126 130 169 179 184 218 231 235 171- 20 44 48 70 79 95 120 124 134 137 173 184 188 220 233 237 172- 7 36 57 62 71 90 106 128 141 145 177 188 192 222 236 239 173- 8 49 70 75 83 101 115 129 148 150 181 192 196 224 238 241 174- 11 24 63 71 86 95 111 123 136 153 156 186 196 226 240 244 175- 11 27 40 76 83 98 106 120 132 144 154 161 190 228 242 246 176- 3 27 43 53 87 95 109 115 128 139 159 165 194 230 243 248 177- 10 20 43 56 67 106 118 123 129 147 163 169 198 232 245 250 178- 15 26 36 56 80 115 126 132 136 152 167 173 199 234 247 252 179- 15 31 42 49 91 123 134 139 144 158 171 177 202 235 249 253 180- 3 31 32 55 63 102 132 141 147 162 175 181 205 237 251 254 181- 5 20 32 46 69 76 112 139 148 152 166 179 186 207 239 255 182- 12 22 36 46 60 82 87 113 147 153 158 170 184 190 210 241 183- 10 28 38 49 60 73 93 121 152 154 162 174 188 194 212 244 184- 4 26 44 51 63 73 94 130 158 159 166 178 192 198 214 246 185- 4 21 42 57 65 76 105 137 162 163 170 182 196 199 216 248 186- 11 21 37 55 70 78 87 114 145 166 167 174 183 202 218 250 187- 10 27 37 50 69 71 89 122 150 170 171 178 187 205 220 252 188- 26 43 50 64 82 83 100 131 156 174 175 182 191 207 222 253 189- 13 42 56 64 77 93 95 138 161 178 179 183 195 210 224 254 190- 15 29 55 77 88 94 106 146 165 182 184 187 200 212 226 255 191- 12 31 45 69 88 99 105 115 151 169 183 188 191 203 214 228 192- 6 28 32 58 82 99 110 114 123 157 173 187 192 195 216 230 193- 9 23 44 46 59 93 110 119 122 132 177 191 196 200 218 232 194- 11 25 39 57 60 72 94 119 127 131 139 181 195 203 220 234 195- 6 27 41 52 70 73 84 105 127 135 138 147 186 200 222 235 196- 4 23 43 54 66 71 96 114 135 142 146 152 190 203 224 237 197- 6 21 39 56 68 79 83 107 122 142 143 151 158 194 226 239 198- 15 23 37 52 81 90 95 116 131 143 149 157 162 198 228 241 199- 9 31 39 50 66 92 101 106 124 138 149 155 166 199 230 244 200- 7 25 32 52 64 79 103 111 115 146 155 160 170 202 232 246 201- 8 41 46 66 77 90 104 120 123 151 160 164 174 205 234 248 202- 1 24 54 60 79 88 101 128 132 157 164 168 178 207 235 250 203- 9 18 40 68 73 90 99 111 129 139 168 172 182 210 237 252 204- 4 25 34 53 81 101 110 120 136 147 172 176 183 212 239 253 205- 21 41 47 67 92 111 119 128 144 152 176 180 187 214 241 254 206- 3 37 54 61 80 103 120 127 129 158 180 185 191 216 244 255 207- 12 20 50 68 74 91 104 128 135 136 162 185 189 195 218 246 208- 1 28 36 64 81 85 102 129 142 144 166 189 193 200 220 248 209- 3 18 44 49 77 92 97 112 136 143 170 193 197 203 222 250 210- 6 20 34 57 63 88 103 108 113 144 149 174 197 201 224 252 211- 3 23 36 47 70 76 99 104 117 121 155 178 201 204 226 253 212- 1 20 39 49 61 71 87 110 125 130 160 182 204 206 228 254 213- 10 18 36 52 63 74 83 119 133 137 164 183 206 208 230 255 214- 12 26 34 49 66 76 85 95 127 140 145 168 187 208 209 232 215- 14 28 42 47 63 79 87 97 106 135 150 172 191 209 211 234 216- 10 30 44 55 61 76 90 108 115 142 156 176 195 211 213 235 217- 16 26 57 69 74 87 101 117 123 143 161 180 200 213 215 237 218- 10 17 42 70 82 85 111 125 132 149 165 185 203 215 217 239 219- 6 26 33 55 71 93 97 120 133 139 155 169 189 217 219 241 220- 2 23 42 69 83 94 108 128 140 147 160 173 193 219 221 244 221- 14 19 39 55 82 95 105 117 129 152 164 177 197 221 223 246 222- 30 35 52 69 93 106 114 125 136 158 168 181 201 223 225 248 223- 16 48 66 82 94 115 122 133 144 162 172 186 204 225 227 250 224- 3 17 62 79 93 105 123 131 140 166 176 190 206 227 229 252 225- 14 20 33 75 90 94 114 132 138 170 180 194 208 229 231 253 226- 2 30 36 86 101 105 122 139 146 174 185 198 209 231 233 254 227- 16 19 49 98 111 114 131 147 151 178 189 199 211 233 236 255

82 

 

228- 12 17 35 63 109 120 122 138 152 157 182 193 202 213 236 238 229- 9 28 33 48 76 118 128 131 146 158 183 197 205 215 238 240 230- 2 25 44 62 87 126 129 138 151 162 187 201 207 217 240 242 231- 10 19 41 57 75 134 136 146 157 166 191 204 210 219 242 243 232- 9 26 35 54 70 86 141 144 151 170 195 206 212 221 243 245 233- 3 25 42 48 68 71 98 148 157 174 200 208 214 223 245 247 234- 9 20 41 55 62 81 83 109 153 178 203 209 216 225 247 249 235- 6 25 36 54 69 75 92 95 118 154 182 211 218 227 249 251 236- 5 23 41 49 68 82 86 103 106 126 159 183 213 220 229 251 237- 5 22 39 54 63 81 93 98 104 115 134 163 187 215 222 231 238- 1 22 38 52 68 76 92 94 109 123 141 167 191 217 224 233 239- 18 38 51 66 81 87 103 105 118 132 148 171 195 219 226 236 240- 10 34 51 65 79 92 104 114 126 139 153 175 200 221 228 238 241- 1 26 47 65 78 90 103 122 134 147 154 179 203 223 230 240 242- 6 18 42 61 78 89 101 104 131 141 152 159 184 225 232 242 243- 1 23 34 55 74 89 100 111 138 148 158 163 188 227 234 243 244- 13 18 39 47 69 85 100 120 146 153 162 167 192 229 235 245 245- 13 29 34 52 61 82 97 128 151 154 166 171 196 231 237 247 246- 11 29 45 47 66 74 93 108 129 157 159 170 175 233 239 249 247- 9 27 45 58 61 79 85 94 117 136 163 174 179 236 241 251 248- 5 25 43 58 59 74 90 97 105 125 144 167 178 184 238 244 249- 3 22 41 56 59 72 85 101 108 114 133 171 182 188 240 246 250- 15 20 38 54 72 84 97 111 117 122 140 175 183 192 242 248 251- 14 31 36 51 68 84 96 108 120 125 131 179 187 196 243 250 252- 11 30 32 49 65 81 96 107 117 128 133 138 184 191 245 252 253- 16 27 46 63 78 92 107 116 125 129 140 146 188 195 247 253 254- 14 17 43 60 76 89 103 116 124 133 136 151 192 200 249 254 255- 7 30 33 56 73 87 100 104 124 140 144 157 196 203 251 255