คณิตศาสตร์ ม -...
Transcript of คณิตศาสตร์ ม -...
คณติศาสตร์ ม.5
เมตริกซ์และดเีทอร์มิแนนท์
(Matrix and Determinant)
รองศาสตราจารย์ ดร.ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท์
2
เมตริกซ์และดเีทอร์มแินนท์ เมตริกซ์ (Matrix) สัญลกัษณ์ของเมตริกซ์ การน าเอาตวัเลขท่ีเป็นจ านวนจริงมาเขียนเป็นแถวในแนวนอน และเป็นหลกัในแนวตั้งภายในเคร่ืองหมาย หรือ ซ่ึงเรียกวา่เมตริกซ์ ช่ือของเมตริกซ์นิยมใชต้วัอกัษรภาษาองักฤษตวัพิมพ์ใหญ่ เช่น
384
765A หรือ
384
765A
จะไดว้า่ A เป็นเมตริกซ์ท่ีมี 2 แถว 3 หลกั เรียกวา่ “ 32 เมตริกซ์” หรือ “เมตริกซ์มิติ 32 ”
ถา้
mnmmm
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...
...
321
223 2221
1131211
อาจเขียนเป็น
nm
ijaA
ทรานสโพสของเมตริกซ์ (Transpose of Matrix)
นิยาม ถา้ nm
ijaA
แลว้ทรานสโพสของเมตริกซ์ A เขียนแทนดว้ย tA คือเมตริกซ์ท่ีเปล่ียน
สมาชิกจากแถวท่ี i ของเมตริกซ์ A เป็นสมาชิกหลกัท่ี i ของ tA
ตัวอย่าง 1 ก าหนดให ้
9 8
7 6
5 2
A จงหา tttttt AAA ,,
3
การเท่ากนัของเมทริกซ์
นิยาม ให ้ nm
ijaA
และ
nm
ijbB
BA ก็ต่อเม่ือ ijij ba ทุก ๆ ค่าของ i และ j
นัน่คือ ทั้งสองเมตริกซ์ตอ้งมีมิติท่ีเท่ากนัและสมาชิกในต าแหน่งเดียวกนัเท่ากนั
ตัวอย่าง 2 จงหาค่าของ x และ y จากสมการเมติรกซ์
y
y
x
x
26
43
356
42
ตัวอย่าง 3 จงหาค่าของ x และ y จากสมการเมติรกซ์
x
x
yx
yx
34
32
32
45
4
การบวกและลบเมตริกซ์
นิยาม ให้ nm
ijaA
และ
nm
ijbB
แล้ว
nm
ijij baBA
นั่น คือการน า
สมาชิกในต าแหน่งเดียวกนับวกหรือลบกนั และเมตริกซ์จะบวกหรือลบกนัไดจ้ะตอ้งมีมิติเท่ากนัเสมอ
ตัวอย่าง 4 ก าหนดให ้
04
31A และ
021
432B จงหาค่าของ
ก. tAA ข. BBt
ตัวอย่าง 5 ก าหนดให ้ ,0 4 3
3 12
A
15 14 13
12 11 10B และ
3 2 1
10 5 0C
จงหาค่าของ CBA ตัวอย่าง 6 จงหาค่า x และ y เม่ือก าหนดสมการเมตริกซ์
1 3
2
2
3 2
2 5
4
3
y
x
y
x
yx
yx
yx
yx
5
เมตริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) นิยาม เมตริกซ์ศูนย ์ หมายถึง เมตริกซ์ท่ีมีสมาชิกทุกตวัเป็น 0 และใช ้ 0 เป็นสัญลกัษณ์แทนเมตริกซ์ศูนยไ์ม่วา่เมตริกซ์ศูนยน์ั้นจะมีมิติใดๆ ก็ตาม และเมตริกซ์ศูนยเ์ป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์ส าหรับการบวก
หมายเหตุ ถา้ nm
ijaA
แลว้อินเวอร์สการบวกของ A คือ A โดยท่ี
nm
ijaA
นัน่คือ nmnm
ijij
nm
ij
nm
ij aaaa
0
nmnm
ijij
nm
ij
nm
ij aaaa
0
ตัวอย่าง 7 จงหาค่า x และ y เม่ือก าหนดให ้
53
4 3
y
xA และอินเวอร์สการบวกของ A
คือ B โดยท่ี
5 3 2
4 1 2
x
yB
การคูณเมตริกซ์ด้วยจ านวนจริง
นิยาม เม่ือ c เป็นจ านวนจริง และ nm
ijaA
จะไดว้า่
nm
ijcacA
นัน่คือ การน า c ซ่ึง
เป็นจ านวนจริงคูณสมาชิกทุกตวัของ A
ตัวอย่าง 8 ก าหนด
69
153A จงหาค่าของ AAA
3
1,5,2
6
การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์
นิยาม ถ้า nm
ijaA
และ
rn
ijbB
ผลคูณ ABหรือ BA จะเป็นเมตริกซ์ท่ีมีมิติ
เท่ากบั rm สมมติให ้ rm
ijcCAB
โดยท่ี
njinjijijiij babababac ...332211
นัน่คือการน าสมาชิกในแนวแต่ละแถวของเมตริกซ์ตวัตั้งคูณกบัสมาชิกในแนวแต่ละหลกัของเมตริกซ์ตวัตั้งแบบตวัต่อตวั แลว้น าผลคูณแบบตวัต่อตวัท่ีไดท้ั้งหมดน ามาบวกกนั ดงันั้นจะไดว้า่
การคูณเมตริกซ์ดว้ยเมตริกซ์จะคูณกนัไดก้็ต่อเม่ือ
1. จ านวนหลกัของเมตริกซ์ตวัตั้งตอ้งเท่ากบัจ านวนหลกัของเมตริกซ์ตวัคูณ
2. เมตริกซ์ผลลพัธ์การคูณจะมีมิติเท่ากบั จ านวนแถวของเมตริกซ์ตวัตั้ ง จ านวนหลักของเมตริกซ์ตวัคูณ
เช่น 22
23
32
x
x
xfvewdyfuezdx
cvbwaycbzax
vu
wz
yx
fed
cba
ตัวอย่าง 9 ก าหนดให ้
1
3
2
,6 5 4 BA จงหา
ก. AB ข. BA ค. tAA ง. tBB
7
ตัวอย่าง 10 ก าหนดให ้ BA , และ C เป็นเมตริกซ์โดยท่ี
0 4
2 2A
2 3
2 4, B และ
3 1
6 2C จงหาค่าของ
1. AB 2. BA 3. CAB 4. BCA 5. 2BA 6. 22 2 BABA
8
ข้อสังเกต 1. เมตริกซ์จตุัรัส หมายถึง เมตริกซ์ท่ีมีจ านวนแถวและจ านวนหลกัเท่ากนั
2. เม่ือ nn
ijaA
จะไดว้า่
n
n AAAAA ... เม่ือ In
3. เม่ือ BA , และ C เป็นเมตริกซ์จตุัรัสใดๆ ท่ีมีมิติเท่ากนั ประโยคต่อไปน้ีเป็นเทจ็
1. BAAB (เทจ็) 2. 2222 BABABA (เทจ็)
3. 2222 BABABA (เทจ็) 4. 22 BABABA (เทจ็)
5. ถา้ BCAC และ 0C แลว้ BA (เทจ็) เช่น
3 1
6 2 ,
2 3
2 4 ,
0 4
2 2CBA ท าใหเ้ป็นเทจ็
6. ถา้ 0AB แลว้ 0A หรือ 0B (เทจ็) เช่น
1 1
2 2 ,
6 3
4 2BA ท าใหเ้ป็นเทจ็
7. เม่ือ BA, และ C เป็นเมตริกซ์จตุัรัสใดๆ ท่ีมีมิติเท่ากนั ประโยคต่อไปน้ีเป็นจริง
1. BCACAB (จริง) 2. ACABCBA (จริง)
3. CABAACB (จริง)
ตัวอย่าง 11 ถา้
1 1 0
0 5 2
3 0 1
,
11 0
0 8 2
7 0 1
BA จงหาค่าของ
1. tAB 2. ttBA 3. tt AB
9
สมบัติของทรานสโพส
เม่ือ nm
ijaA
rn
ij
nm
ij cCbB
,, และ c เป็นจ านวนจริง จะได ้
1. AAtt 2. tt AA
2. ttcAcA 4. ttttt
ABBABA 5. ttt
BABA 6. tttACAC
ตัวอย่าง 12 ถา้
100
010
001
I และ
181614
12108
642
A จงหา 2,, IAIIA
เมตริกซ์เอกลกัษณ์
นิยาม nn
ijiI
เป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์หรือเอกลกัษณ์ของการคูณเมตริกซ์ nn
โดยท่ี
ji
jiiij
,0
,1 เช่น 33
2211 100
010
001
,10
01,1
III
จะไดว้า่ AIAAI
10
อนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์
นิยาม เม่ือ nn
ijaA
และ
nn
ijbB
B เป็นอินเวอร์สการคูณของ A ก็ต่อเม่ือ
IBAAB เม่ือ I เป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์มิติ nn และแทน B ดว้ย 1A
ตัวอย่าง 13 ก าหนดให ้
34
12A และ
42
21B จงหา 1A และ 1B
สมบัติทีส่ าคัญ 1. เมตริกซ์จตุัรัสท่ีหาอินเวอร์สการคูณไม่ไดจ้ะเรียกวา่ เมตริกซ์เอกฐาน (singular matrix) และ เมตริกซ์จตุัรัสท่ีหาอินเวอร์สการคูณไดจ้ะเรียกวา่เมตริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix)
2. ถา้ 22
ijaA ให ้
dc
baA จะไดว้า่
2.1 ถา้ 0 cbad จะหา 1A ไม่ได ้และจะเรียก A วา่ เมตริกซ์เอกฐาน 2.2 ถา้ 0 cbad จะหา 1A ได ้และจะเรียก A วา่ เมตริกซ์ไม่เอกฐาน
3. ถา้ 22
ijaA ให ้
dc
baA และ 0 cbad จะไดว้า่
ac
bd
cbadA
11
4. ถา้ 22
ijaA จะได ้ AA
11
5. ถา้ 22
ijaA และ
nn
ijbB
จะได ้ 111
ABAB
11
ดเีทอร์มิแนนท์ (Determinant)
เม่ือ A เป็น nn เมตริกซ์ซ่ึงเป็นเมตริกซ์จตุัรัส ดีเทอร์มิแนนทข์อง A จะเขียนแทนดว้ย Adet หรือ A มีสมบติัดงัน้ี
1. ถา้ aA ซ่ึงเป็นเมตริกซ์มิติ 11 จะไดว้า่ aaA det
เช่น 2020det20 AAA
1515det15 BBB
2. ถา้
dc
baA ซ่ึงเป็นเมตริกซ์มิติ 22 จะไดว้า่
cbaddc
baAA det
สรุปอยา่งง่ายคือ คูณลงลบคูณขึน้
(วธีิน้ีใชไ้ดเ้ฉพาะ เมตริกซ์มิติ 22 เท่านั้น ใชก้บัเมตริกซ์มิติอ่ืนๆ ไม่ได)้
3. ถา้
khg
fed
cba
A ซ่ึงเป็นเมตริกซ์มิติ 33 จะไดว้า่
hg
ed
ba
khg
fed
cba
khg
fed
cba
AA det
hg
ed
ba
khg
fed
cba
aek bfg cdh
kdbhfageccdhbfgaek โดยน าสมาชิกหลกัท่ี 1 และ 2 ของเมตริกซ์มาเขียนเพิ่มต่อ แลว้คูณทแยงลงจากสมาชิกแถวท่ี 1 น ามารวมกนัทั้งหมด ลบดว้ยคูณทแยงข้ึนจากสมาชิกแถวท่ี 3น ามารวมกนัทั้งหมด
สรุปอยา่งง่ายคือ ผลบวกของผลคูณลงทั้งหมดลบด้วยผลบวกของผลคูณขึน้ทั้งหมด
(วธีิน้ีใชไ้ดเ้ฉพาะ เมตริกซ์มิติ 33 เท่านั้น ใชก้บัเมตริกซ์มิติอ่ืนๆ ไม่ได)้
gec hfa kdb
12
ตัวอย่าง 1 ถา้ A และ B เป็นเมตริกซ์ โดยท่ี
54
32A และ
24
31B
จงหา 1. ABdet 2. BA detdet 3. BAdet 4. BA detdet 5. 2det A 6. 2det A
ตัวอย่าง 2 ก าหนด
2 5 4
1 2 3
4 6 5
A จงหา Adet และ tAdet
13
การหาดีเทอร์มิแนนท์โดยการกระจายโคเฟกเตอร์ การหาดิเทอร์มิแนนทด์ว้ยวธีิน้ีใชไ้ดก้บัเมตริกซ์มิติ 22 ข้ึนไป
ไมเนอร์ (Minor) ของ ija ของเมตริกซ์ A
นิยาม ก าหนดให ้ nn
ijaA
ไมเนอร์ของ ija ของ A เขียนแทนดว้ย AMij หมายถึง
ดีเทอร์มิแนนทข์องเมตริกซ์ท่ีไดจ้ากการตดัสมาชิกแถวท่ี i และหลกัท่ี j ของเมตริกซ์ A ออกไป
เช่น
khg
fed
cba
A หา AM12 โดยการตดัสมาชิกแถวท่ี 1 และหลกัท่ี 2 ดงัน้ี
khg
fed
cba
A จะได ้ gfdkkg
fdAM 12
ตัวอย่าง 3 จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตวัของ
4 3
2 1 A
ตัวอย่าง 4 จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตวัของ
254
123
465
A
14
โคแฟกเตอร์ (Cofactor) ของ ija ของเมตริกซ์ A
นิยาม ก าหนดให ้ nn
ijaA
โคแฟกตอร์ของ ija ของ A เขียนแทนดว้ย ACij
หมายถึง ผลคูณของ ji1 กบั AMij นัน่คือ
AMAC ij
ji
ij
1
ตัวอย่าง 5 จงหาโคแฟกเตอร์ของสมาชิกทุกตวัของ
254
123
465
A
การหาค่า Adet โดยการกระจายโคแฟกเตอร์
นิยาม ให ้
nnnn
n
n
nn
ij
aaa
aaa
aaa
aA
...
...
....
21
22221
11211
หาค่า Adet โดยการกระจายโคแฟกเตอร์ไดด้งัน้ี
ACaACaACaA nn 1112121111 ...det (การกระจายโคแฟกเตอร์แถวท่ี 1)
ACaACaACaA nn 1121211111 ...det (การกระจายโคแฟกเตอร์หลกัท่ี 1)
การกระจายโคแฟกเตอร์สามารถเลือกกระจายในแถวใดแถวหน่ึงหรือหลกัใดหลกัหน่ึงก็ได ้
ตัวอย่าง 6 ก าหนด
254
123
465
A จงหา Adet โดยการกระจายโคแฟกเตอร์
15
ตัวอย่าง 7 จงหาค่าของ
1012
2213
4101
2023
ตัวอย่าง 8 จงหาค่าของ
00
00
00
00
ba
ab
ba
ba
ตอบ 44 ba
16
สมบัติทีส่ าคัญของดีเทอร์มิแนนท์ ก าหนดให ้ A เป็นเมตริกซ์จตุัรัสใด ๆ ท่ีมีมิติ nn 1. tAA detdet 2. ถา้ B เป็นเมตริกซ์จตุัรัส และ A สามารถคูณกบั B จะได ้ BAAB detdetdet 3. nn AA detdet 4. 1det I และ 00det
5. ถา้ 0det A จะได ้ 1detdet 1 AA หรือ A
Adet
1det 1
6. ถา้ B เป็นเมตริกซ์ท่ีเกิดจากการสลบัท่ีของสมาชิกในแถวคู่ใดคู่หน่ึงหรือในหลกัคู่ใดคู่หน่ึง ของ Aแลว้ AB detdet 7. ถา้ A เป็นเมตริกซ์สามเหล่ียมแลว้ Adet คือผลคูณของสมาชิกในเส้นทแยงมุมหลกั 8. ถา้สมาชิกทุกตวัของแถวใดแถวหน่ึง หรือหลกัใดหลกัหน่ึงเป็น 0 จะได ้ 0det A 9. ถา้สมาชิก 2 แถวใดหรือ 2 หลกัใดเป็นสัดส่วนกนั จะได ้ 0det A 10. ถา้คูณสมาชิกทุกตวัในแถวใดแถวหน่ึงเพียงแถวเดียวหรือดว้ยค่าคงตวั k จะไดค้่าของ ดีเทอร์มิแนนทข์องเมตริกซ์ใหม่เท่ากบัผลคูณของ k กบัค่าดีเทอร์มิแนนทข์องเมตริกซ์เดิม 11. c เป็นค่าคงตวัแลว้ AccA n detdet
ตัวอย่าง 9 จงหาค่าของ
ก. 6 5 4
0 0 0
4 3 2
ข. 2 5 2
3 0 3
4 1 4
ค. 1 0 2
12 4 4
3 1 1
ง. 2 0 0
3 6 0
4 1 4
จ. 0 1 2
0 4 4
0 0 3
ฉ. 2 0 0
0 6 0
0 0 5
ช. 12 0 0
0 1 0
0 0 12
x
x
17
การหาอนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์
นิยาม ถา้ nn
ijaA
จะไดว้า่
1. A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน (singular matrix) หรือหา 1A ไม่ไดก้็ต่อเม่ือ 0det A
2. A เป็นเมตริกซ์ไม่เอกฐาน (non singular matrix) หรือหา 1A ไดก้็ต่อเม่ือ 0det A
เมตริกซ์ผูกพนั (Adjoint matrix)
นิยาม ถ้า nn
ijaA
แล้วเมตริกซ์ผูกพนัของ A เขียนแทนด้วย adjA หมายถึง ทรานสโพส
ของเมตริกซ์ ท่ีเกิดจากแทนสมาชิกแต่ละตวัของ A ดว้ยโคแฟกเตอร์ของสมาชิกตวันั้นของเมตริกซ์ A
นัน่คือ t
nnij ACadjA
ตัวอย่าง 10 ก าหนดให ้
54
32A จงหา adjA
ตัวอย่าง 11 ก าหนดให ้
510
301
112
A จงหา adjA
18
รหาอนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์มิติ nn
ถา้ nn
ijaA
และ 0det A แลว้
adjA
AA
det
11
และจะไดว้า่ IAAadjAadjAA det
1
detdet
n
AadjA
ตัวอย่าง 12 ก าหนดให ้
5 4
3 2A จงหา 1A
ตัวอย่าง 13 ก าหนดให ้
5 1 0
3 0 1
1 1 2
B จงหา 1B
19
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมตริกซ์
ระบบสมการเชิงเส้นเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้นท่ีมีจ านวนสมการในระบบเท่ากบัจ านวนตวัแปร เขียนในรูป 11313212111 .... bxaxaxaxa nn 1..........
22323222121 .... bxaxaxaxa nn 2..........
nnnnnnn bxaxaxaxa 3332211 .... n..........
โดยท่ี iiij xRbRa ,, เป็นตวัแปร (ในท่ีน้ีเป็น n สมการ n ตวัแปร)
สามารถเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์ไดเ้ป็น BAX โดยท่ี
nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
...
...
...
321
223 2221
1131211
n
2
1
n
2
1
b
,
x
,
b
b
Bx
x
X
A คือ เมตริกซ์สัมประสิทธ์ของตวัแปร X คือ เมตริกซ์ตวัแปร B คือ เมตริกซ์ค่าคงตวั
เขียนในรูป BAX ไดด้งัน้ี
n
2
1
n
2
1
321
223 2221
1131211
b
x
...
...
...
b
b
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
nnnnn
n
n
ตัวอย่าง 14 ก าหนดระบบสมการเชิงเส้น 2.........2
1.........532
yx
yx จงเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์
ตัวอย่าง 15 ก าหนดระบบสมการเชิงเส้น 3.........0
2.........2
1.........6
zyx
zyx
zyx
จงเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์
20
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้อนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ จากระบบสมการเชิงเส้นเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์ BAX ถา้เมตริกซ์ A มีอินเวอร์สการคูณ น า 1A คูณดา้นหนา้ทั้งสองขา้งของ BAX จะได ้ BAXBAIXBAAXA 1111 เป็นค าตอบของระบบสมการเชิงเส้น สรุป โดยการหา 1A แลว้น าคูณทางดา้นหนา้ของเมตริกซ์ B แลว้คูณ BA 1 เป็นค าตอบ
ตัวอย่าง 16 จงแกร้ะบบสมการเชิงเส้น 2.........2
1.........532
yx
yx โดยใชอิ้นเวอร์สการคูณของเมตริกซ์
วธีิท า รูปผลคูณเมตริกซ์ BAX คือ
2
5
11
32
y
x
1A
จะได ้ BAX 1 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคราเมอร์ (Cramer’s rule) จากระบบสมการเชิงเส้นเขียนในรูปผลคูณเมตริกซ์ BAX โดยท่ี 0det A จะไดค้ าตอบของระบบสมการเชิงเส้นดงัน้ี
A
Ax
A
Ax
A
Ax
A
Ax n
ndet
det,....,
det
det,
det
det,
det
det 33
22
11
เม่ือ iA เป็นเมตริกซ์ท่ีไดจ้ากการแทนสมาชิกในหลกัท่ี i ของ A ดว้ยหลกัของเมตริกซ์ B
ตัวอย่าง 17 จงแกร้ะบบสมการเชิงเส้น 2.........2
1.........532
yx
yx โดยใชก้ฎของคราเมอร์
21
สรุปกฎของคราเมอร์ (Cramer’s rule) ระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ และ 3 สมการ
)2.........(
)1.(..........
222
111
cybxa
cybxa
จะได ้
22
11
22
11
ba
ba
bc
bc
x และ
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y
อาจจะหาเฉพาะค่าตวัแปรใดตวัแปรหน่ึง แลว้น าไปแทนในสมการใดสมการหน่ึง เพื่อหาค่าตวัแปรท่ีเหลือได ้
3..........
2..........
)1(..........
3333
2222
1111
kzcybxa
kzcybxa
kzcybxa
จะได ้
333
222
111
333
222
111
cba
cba
cba
cbk
cbk
cbk
x
333
222
111
333
222
111
,
cba
cba
cba
cka
cka
cka
y
333
222
111
333
222
111
,
cba
cba
cba
kba
kba
kba
z
อาจจะหาเฉพาะค่าตวัแปรใดตวัแปรหน่ึง แลว้น าไปแทนในสมการใดสมการหน่ึง แลว้จะเหลือระบบสมการเชิงเส้น 2 สมการ หรือหาค่า 2 ตวัแปรใดๆ แลว้น าไปแทน ในสมการใดสมการหน่ึงเพื่อหาค่าตวัแปรอีกหน่ึงตวัแปรท่ีเหลือได ้
ตัวอย่าง 18 จงแกร้ะบบสมการเชิงเส้น 3.........0
2.........2
1.........6
zyx
zyx
zyx
โดยใชก้ฎของคราเมอร์
22
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้การด าเนินการตามแถว (Row Operation)
1. จากระบบสมการเชิงเส้นเขียนเมตริกซ์ในรูป
BA เรียกวา่ เมตริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix)
เม่ือ A คือ เมตริกซ์สัมประสิทธ์ของตวัแปร แลว้ต่อดว้ย B คือ เมตริกซ์ค่าคงตวั ไดด้งัน้ี
nnnnnn
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
...
...
...
321
2223 2221
11131211
2. เปล่ียนเมตริกซ์สัมประสิทธ์ของตวัแปรในเมตริกซ์แต่งเติมใหเ้ป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์ โดยใชว้ธีิการด าเนินการตามแถว ดว้ยกระบวนการขอ้ใดขอ้หน่ึงหรือหลายขอ้ต่อไปน้ี 2.1 สลบัท่ีระหวา่งสองแถวใดๆ ของเมตริกซ์แต่งเติม
2.2 ใชค้่าคงตวัท่ีไม่ใช่ศูนยคู์ณกบัสมาชิกทุกตวัของแถวใดแถวหน่ึง
2.3 เปล่ียนสมาชิกในแถวใดแถวหน่ึง โดยใชค้่าคงตวัท่ีไม่ใช่ศูนยคู์ณสมาชิกทุกตวัในแถวอ่ืน แลว้น าผลคูณท่ีไดม้าบวกกบัสมาชิกในต าแหน่งเดียวกนัในแถวท่ีจะเปล่ียน แลว้น าผลบวกท่ีได ้ แทนท่ีสมาชิกในแถวท่ีจะเปล่ียน
นัน่คือด าเนินการจาก
BA เป็น
CI ดงัน้ี
nnnnnn
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
...
...
...
321
2223 2221
11131211
operationRow
nc
c
c
1...0 0 0
0 ... 01 0
0 ... 0 0 1
2
1
3. เม่ือเมตริกซ์สัมประสิทธ์ของตวัแปรในเมตริกซ์แต่งเติมใหเ้ป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์แลว้ จะไดค้ าตอบเดียวกนักบัเมตริกซ์แต่งเติม ซ่ึงเป็นเมตริกซ์ท่ีสมมูลกนับนแถว นัน่คือค าตอบของระบบสมการเป็น
ncccc ,...,,, 321 ตามล าดบั นัน่คือ nn cbcbcbcb ,...,,, 332211
23
ตัวอย่าง 19 จงแกร้ะบบสมการเชิงเส้น 3..............95
2.........994
1..........775
zyx
zyx
zyx
โดยใชก้ารด าเนินการตามแถว
24
การหาอนิเวอร์สการคูณของเมตริกซ์จัตุรัสมิติ nn โดยใช้การด าเนินการตามแถว (Row Operation) การด าเนินการตามแถวสามารถน ามาหาอินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A ใดๆ ท่ีไม่ใช่เมตริกซ์ เอกฐานได ้ มีขั้นตอนดงัน้ี
1. สร้างเมตริกซ์ใหม่ในรูป
IA เม่ือ A คือ เมตริกซ์ท่ีก าหนดให ้ แลว้เขียนต่อดว้ยเมตริกซ์
เอกลกัษณ์ท่ีมีมิติเท่ากบัเมตริกซ์ A 2. ใชว้ธีิการด าเนินการตามแถวเปล่ียนเมตริกซ์ A ใหเ้ป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์ อยูใ่นรูปดงัน้ี
IA เป็น
DI
3. เมตริกซ์ D ท่ีไดคื้อ อินเวอร์สการคูณของเมตริกซ์ A
ตัวอย่าง 20 ก าหนดให ้
5 4
3 2A จงหา 1A โดยใชก้ารด าเนินการตามแถว
25
ตัวอย่าง 21 ก าหนดให ้
1 11
212
21 1
B จงหา 1B โดยใชก้ารด าเนินการตามแถว
26
แนวข้อสอบเมตริกซ์และดีเทอร์มิแนนท์ 1. ก ำหนดให ้ A =
2
3
3
4 . B =
1
1
3
2 , X =
c
a
d
b
ถำ้ AX + B = A แลว้ b + c มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 7 2. 9 3. 10 4. 11 2. ให ้ A เป็นเมตริกซ์มิติ 3 x 3
ถำ้ M 13 =
1
1
2
3 , M 21 =
2
1
4
1 และ M 32 =
1
2
0
1
แลว้ det (A) มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใด 1. 10 2. 12 3. 15 4. 18
3. ก ำหนดให ้
924
752
61
y
x
A
ถำ้ไมเนอร์ของ a 32 เท่ำกบั 23 และโคแฟคเตอร์ของ a 23 = -44 แลว้ x+y มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใดต่อไปน้ี 1. –9 2. –7 3. 7 4. 9
4. ก ำหนดให ้
021
702
645
A และ B =
3
)(13 AC
2
)(23 AC แลว้ det ( B 1 ) มีค่ำเท่ำใด
5. ถำ้ 5
3sin x และ
4
3tan x แลว้
x
xecx
cos1
seccos
2det เท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี
1. 6
1 2.
3
1 3.
3
2 4. –1
6. ก ำหนดให ้ A และ B เป็นเมตริกซ์ขนำด 2 x 2
ถำ้ A + 2B =
168
45 และ A - B =
51
12 แลว้ det BA 12 มีค่ำเท่ำใด
7. ก ำหนดให ้
x
x
A
00
240
15
โดยท่ี det (A) = -1 และ x เป็นจ ำนวนจริง
ถำ้ เป็นเมตริกซ์เอกลกัษณ์ขนำด 3 x 3 แลว้ det ( 2 ( - A ) A t ) มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดต่อไปน้ี 1. 4 2. 8 3. 12 4. 18
27
8. ก ำหนดให ้A = [ ija ] 33 โดยท่ี ija =
ji
jii
;2
;2 1
แลว้
A
Aadj t
det4det เท่ำกบัขอ้ใด
1. –16 2. –4 3. 4 4. 16 9. ก ำหนดให ้
A =
32
1;
11
10
12
x
xxB
xx
xx
xxx
ถำ้ X เป็นจ ำนวนจริงท่ีท ำให ้det (A) = 0 แลว้ adj B คือเมตริกซ์ในขอ้ใดต่อไปน้ี
1.
12
23 2.
12
03 3.
24
33 4.
24
13
10. ก ำหนดให ้A =
2
1
1
1 ถำ้ B เป็นเมตริกซ์ท่ี B = 2A 1 แลว้ จงหำค่ำของ adjB3det
1. 6 2. 9 3. 12 4. 18 11. ถำ้ ix สอดคลอ้งกบัระบบสมกำร x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 3x 1 + x 2 – 2x 3 = 5 2x 1 – 3x 2 – 3x 3 = 9
และA =
3
1 yx
y
x12 แลว้ผลบวกของ y ทั้งหมดท่ีท ำให ้A เป็นเมตริกซ์เอกฐำนเท่ำกบัขอ้ใด
1. 0 2. –1 3. –2 4. -3
12. ก ำหนดให ้
1
083
4
yx
yx
A โดยท่ีโคแฟคเตอร์ของ a 21 = -6 และโคแฟคเตอร์ของ
a 23 = 4 แลว้โคแฟคเตอร์ของ a 33 มีค่ำเท่ำกบัเท่ำใดต่อไปน้ี 1. –14 2. –13 3. 13 4. 14