МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

Математика

8 класс

Медиана и биссектриса треугольника

Новосибирск

2

Медиана и биссектриса треугольника.

Многие задачи по планиметрии содержат такие понятия, как

биссектриса и медиана. В этом задании рассмотрим некоторые

теоремы и свойства, связанные с ними.

Для начала вспомним основные определения.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий

вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка

пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в

отношении 1:2 (считая от вершины).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к

гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы

угла этого треугольника от вершины до точки пересечения с

противоположной стороной.

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим одно дополнительное построение, которое помогает

при решении многих задач. Пусть дан треугольник АВС и точка М

находится на стороне ВС. Допустим дано, что АС = 20, АМ = 12 и

ВМ : МС = 1 : 4, т.е. условия

соответствуют следующему

рисунку (рис.1).

Построим прямую l ,

проходящую через вершину

В параллельно стороне АС и

продолжим АМ до

пересечения с прямой l в

точке F. Ясно, что

треугольники АМС и ВМF

Рис. 1

M

3

подобны (коэффициент подобия равен 4). Получаем, что BF = 5,

MF = 3, т.е. появились новые данные, которые помогут решить

задачу.

Обратим внимание на два

частных случая для прямой

l .

Если АМ – медиана (ВМ :

МС = 1 : 1), то BF = AC и

MF = AM(происходит

продолжение медианы на

свою длину) (рис.2).

Если АМ – биссектриса, то

треугольник АBF –

равнобедренный(по углам).

И «новый» отрезок ВF равен

стороне AВ. Продолжение

биссектрисы – отрезок MF

равен AMAC

AB (рис.3).

Прямую l будем называть

«суперпрямой».

Задача 1. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы

двух сторон, между которыми она заключена.

Решение. Пусть cAB (рис.4),

bAC , aBC и cmCM .

Пусть F – точка пересечения

прямой СМ и прямой,

проходящей через А

параллельно прямой ВС.

Ясно, что MBCMAF (по

стороне 2

c и двум

прилежащим углам).

Получили, что cmMCMF и aBCAF .

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

4

По неравенству треугольника для AFC имеем: cmba 2 или

2

bamc .

Теорема 1. (формула длины медианы). Длина медианы cm

треугольника со сторонами cba ,, , проведенной к стороне c ,

вычисляется по формуле: 2

22 222 cbamc .

Доказательство.

Продолжим медиану до

пересечения с прямой,

проходящей через А и

параллельной ВС(рис.5).

Ясно, что AFMBCM .

Откуда cmMF и aAF .

Пусть ACB . Тогда

180CAF .

Применим теорему

косинусов для треугольников АВС и AFC и получим систему

уравнений:

.180cos22

,cos2

222

222

abbam

abbac

c

Заметим, что cos180cos . Сложим эти уравнения в

системе и получим: 2222

222 bacmc .

Формула 22 22

2

1cbam a

c доказана.

Задача 2.Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника

к сумме квадратов всех его сторон.

Рис. 5

5

Решение. Пусть a , b , c – стороны треугольника и am , bm , cm –

соответствующие им медианы. Применим формулу длины медианы

три раза и получим следующую систему:

.222

1

,222

1

,222

1

222

222

222

acbm

bcam

cbam

a

b

c

Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим. Получим

равенство:

222222

4

3cbammm cba .

И искомое соотношение 4:3 .

Ответ: 4:3 .

Теорема 2(Свойство биссектрисы внутреннего угла

треугольника). Биссектриса угла треугольника делит

противоположную сторону на отрезки, пропорциональные

прилежащим сторонам.

Доказательство. Пусть a

и b - стороны

треугольника, f и g -

отрезки третьей стороны

(соответственно), на

которые её делит

биссектриса l . Тогда надо

доказать равенство g

f

b

a.

Доказательство теоремы проведем с помощью приведенного

дополнительного построения. Проведем «суперпрямую»,

параллельную АС, и продолжим биссектрису до пересечения в

Рис. 6

6

точке F. Ясно, что bBF (рис.6).Из подобия треугольников АМС и

FМВ (по углам) следует требуемое равенство: g

f

b

a.

Теорема 3. Длина биссектрисы cl треугольника со сторонами

cba ,, , проведенной к стороне c из угла , вычисляется по

формуле: ba

ab

lc2

cos2

.

Доказательство. Рассмотрим чертеж(рис.7). Запишем сумму

площадей треугольников АВМ и АМС:

2sin

22sin

2

lalb и

приравняем эту сумму площади

треугольника АВС.

sin22

sin22

sin2

balalb.

2cos

2sin2)(

2sin abbal .

В итоге получаем, что ba

ab

l 2cos2

и теорема доказана.

Задача 3. Доказать, что длина биссектрисы ( l ) треугольника,

заключенная между сторонами 10 и 15, меньше 12.

Решение. Используем формулу

ba

ab

l 2cos2

. Имеем, что

2cos12

2cos

1510

15102l

( BAC ). Так как

Рис. 8

Рис. 7

7

00 < < 0180 , то 00 <2

< 090 и 12

cos0 . Следовательно,

12l (рис.8).

Замечание. Данное утверждение ( 12l ) докажем с помощью

дополнительного построения - построение «суперпрямой».

Из подобия следует, что продолжение биссектрисы lMF3

2.

Тогда можно записать неравенство треугольника: ll3

21010 ,

из которого и получаем, что 12l .

Задача 4.

В равнобедренном треугольнике АВС ( BCAB ) биссектрисы AL

и ВН пересекаются в точке F. Известно, что 4:7: FLAF . Найти

отношение FHBF : .

Решение. Пусть xBF , yFH и fAF 7 (рис.9). Тогда

fFL 4 .

По свойству биссектрисы в

ABL верно равенство

BL

AB

f

f

4

7.

Пусть aAB 7 . Тогда aBL 4 .

По условию BCAB , тогда

aLC 3 .

Применим свойство биссектрисы

для треугольника АВС:

a

AC

a

a

74

3 и

4

21aAC .

В равнобедренном треугольнике биссектриса ВН является и

медианой, т.е.

aAC

AH8

21

2.

Отрезок AF – биссектриса в треугольнике АВН. Следовательно,

имеем равенство:

Рис. 9

8

a

a

y

x

821

7.

В итоге, 3

8

y

x.

Ответ: 3:8 .

Теорема 4. Справедливо следующее равенство: fgabl 2 , где a ,

b – стороны треугольника, l – биссектриса угла, образованного

сторонами a и b , f , g – отрезки третьей стороны, на которые ее

делит биссектриса l .

Доказательство. Пусть l – длина

биссектрисы, f , g – длины

отрезков, на которые она делит

сторону(рис.10).

По теореме косинусов:

cos2222 lffla .

cos2222 lgglb .

Умножив первое из этих равенств на g , второе на f и сложив,

получим: 222222 fgflgfglfbga .

))(( 222 gffglfbga (1).

По свойству биссектрисы имеем g

f

b

a.

Следовательно bg

fa , a

f

gb .

Тогда af

gfbb

g

fgafbga 22

(2).

Приравняем правые части уравнений (1) и

(2): abgabfgffgl ))(( 2 .

abfgl 2 .

fgabl 2 .

Теорема доказана.

Рис. 10

Рис. 11

9

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 5. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 18 и

катет АС равен 24. Найти длину биссектрисы CL.

Решение. По теореме Пифагора имеем 222 2418BC , т.е.

30BC (рис.11).

По свойству биссектрисы 30

24

LB

AL, т.е.

5

4

LB

AL или ABAL

9

4.

Получили, что 8AL . Тогда 222 824CL . В итоге, 108CL .

Замечание.

Получив 8AL и 10LB , длину биссектрисы можно найти,

применив теорему 4, т.е. 10830242CL . Итак, 108CL .

Ответ: 108 .

Задача 6. В треугольнике АВС медиана ВМ, высота АH и биссектриса СЕ

пересекаются в одной точке Р. Известно, что 6AC , 8BC .

Найти высоту АН.

Решение. Через вершину А проведем параллельную ВС прямую и

продолжим отрезки ВМ

и СЕ до пересечения с

этой прямой в точках F

и L соответственно

(рис.12).

Заметим, что

8BCAF и

6ACLA ( CAL –

равнобедренный).

Пусть xCH и

xBH 8 .

Ясно, что CPH ~ LPA и BPH ~ FPA . Из этих подобий имеем

равенство:

Рис. 12

10

8

8

6

x

PA

PHx, откуда

7

24x .

По теореме Пифагора получаем:

49

6618

49

2442

7

246

222

22AH .

В итоге 7

336AH .

Ответ: 337

6.

Задача 7. В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в

отношении 1:2: CDBD . В каком отношении медиана СМ делит

эту биссектрису?

Решение. Пусть Р – точка пересечения биссектрисы AD и медианы

СМ. Пусть aMCAM (рис.13). Из условия, что 1:2: DCBD ,

следует, что aAC (по свойству биссектрисы BD).

Продолжим биссектрису AD до

пересечения с прямой,

проходящей через точку С

параллельно АВ. Рассмотрим

ACF . Так как ABCF || и AD

– биссектриса, то ACF -

равнобедренный треугольник,

и aCFAC .

Пусть xAP и yPD . Тогда

из подобия треугольников ADB и FDC получаем, что 2

yxDF .

Из равенства APM CPF следует равенство: PFAP , т.е.

2

yxyx . В итоге имеем 1:3: yx .

Ответ: 1:3 .

Рис. 13

11

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса

острого угла; отрезок, соединяющий ее основание с точкой

пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти острые углы

треугольника.

Задача 2. Найти площадь такого треугольника, сторонами которого

служат медианы треугольника с площадью, равной S.

Задача 3. Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы,

проведенные к серединам этих сторон, пересекаются под прямым

углом. Найти третью сторону треугольника.

Задача 4. В прямоугольном треугольнике АВС (АС – гипотенуза)

проведены высота BD и медиана ВМ. Отрезок BF делит DBM

пополам. Доказать, что BF – биссектриса и ABC .

Задача 5. Периметр равнобедренного треугольника равен 16.

Медиана, проведенная к боковой стороне, равна 17 . Найти

стороны треугольника.

Задача 6. В треугольнике АВС точка К – середина медианы ВМ.

Известно, что 7AB , 5BC , 6AK . Найти СК.

Задача 7. Построить биссектрис угла, вершина которого

недоступна, т.е. расположена за пределами листа бумаги.

Задача 8. Построить треугольник, если даны две стороны и

медиана, выходящие из общей вершины.

Задача 9. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и D

пересекают сторону ВС в точках М и К соответственно, а отрезки

АМ и DК пересекаются в точке Р. Найти длину стороны ВС, если

известно, что АВ = 15 и АР : РМ = 3 : 2.

Задача 10. В треугольнике АВС биссектриса AF и медиана BM

перпендикулярны. Найти площадь треугольника АВС, если длина

медианы равна m , а длина биссектрисы равна l .

Задача 11. В прямоугольном треугольнике медианы к катетам

равны 52 и 73 . Найти гипотенузу треугольника.

Задача 12. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника

АВС, если АВ = 12, АС = 15, ВС = 18.

Задача 13. Биссектриса угла при основании равнобедренного

треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок,

12

прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Доказать,

что и биссектриса равна основанию.

Задача 14. В равнобедренном треугольнике угол при вершине

содержит 036 , а биссектриса угла при основании равна 20 .

Найти длины сторон треугольника.

Задача 15. С помощью циркуля и линейки построить треугольник

по двум сторонам и биссектрисе угла, который образуют заданные

стороны.

© Специализированный учебно-научный центр НГУ, 2012