riptografie si Securitate

- Prelegerea 4 -Securitate perfecta

Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid

Facultatea de Matematica si InformaticaUniversitatea din Bucuresti

Cuprins

1. Definitie

2. One Time Pad

Criptografie si Securitate 2/10 ,

Securitate perfecta

I Primul curs: Sisteme de criptare istorice (substitutie,transpozitie, etc.) care pot fi sparte cu efort computationalfoarte mic

I Cursul de azi: Scheme perfect sigure care rezista ın fata unuiadversar cu putere computationala nelimitata

I Insa...limitarile sunt inevitabile

Criptografie si Securitate 3/10 ,

Securitate perfecta

I Primul curs: Sisteme de criptare istorice (substitutie,transpozitie, etc.) care pot fi sparte cu efort computationalfoarte mic

I Cursul de azi: Scheme perfect sigure care rezista ın fata unuiadversar cu putere computationala nelimitata

I Insa...limitarile sunt inevitabile

Criptografie si Securitate 3/10 ,

Securitate perfecta

I Primul curs: Sisteme de criptare istorice (substitutie,transpozitie, etc.) care pot fi sparte cu efort computationalfoarte mic

I Cursul de azi: Scheme perfect sigure care rezista ın fata unuiadversar cu putere computationala nelimitata

I Insa...limitarile sunt inevitabile

Criptografie si Securitate 3/10 ,

Securitate perfecta (Shannon 1949)

Definitie

O schema de criptare peste un spatiu al mesajelor M este perfectsigura daca pentru orice probabilitate de distributie peste M,pentru orice mesaj m ∈M si orice text criptat c pentru carePr [C = c] > 0, urmatoarea egalitate este ındeplinita:

Pr [M = m|C = c] = Pr [M = m]

I Pr [M = m] - probabilitatea a priori ca Alice sa aleaga mesajulm;

I Pr [M = m|C = c] - probabilitatea a posteriori ca Alice saaleaga mesajul m, chiar daca textul criptat c a fost vazut;

I securitate perfecta - daca Oscar afla textul criptat nu are niciun fel de informatie ın plus decat daca nu l-ar fi aflat.

Criptografie si Securitate 4/10 ,

Securitate perfecta (Shannon 1949)

Definitie

O schema de criptare peste un spatiu al mesajelor M este perfectsigura daca pentru orice probabilitate de distributie peste M,pentru orice mesaj m ∈M si orice text criptat c pentru carePr [C = c] > 0, urmatoarea egalitate este ındeplinita:

Pr [M = m|C = c] = Pr [M = m]

I Pr [M = m] - probabilitatea a priori ca Alice sa aleaga mesajulm;

I Pr [M = m|C = c] - probabilitatea a posteriori ca Alice saaleaga mesajul m, chiar daca textul criptat c a fost vazut;

I securitate perfecta - daca Oscar afla textul criptat nu are niciun fel de informatie ın plus decat daca nu l-ar fi aflat.

Criptografie si Securitate 4/10 ,

Securitate perfecta (Shannon 1949)

Definitie

O schema de criptare peste un spatiu al mesajelor M este perfectsigura daca pentru orice probabilitate de distributie peste M,pentru orice mesaj m ∈M si orice text criptat c pentru carePr [C = c] > 0, urmatoarea egalitate este ındeplinita:

Pr [M = m|C = c] = Pr [M = m]

I Pr [M = m] - probabilitatea a priori ca Alice sa aleaga mesajulm;

I Pr [M = m|C = c] - probabilitatea a posteriori ca Alice saaleaga mesajul m, chiar daca textul criptat c a fost vazut;

I securitate perfecta - daca Oscar afla textul criptat nu are niciun fel de informatie ın plus decat daca nu l-ar fi aflat.

Criptografie si Securitate 4/10 ,

Securitate perfecta (Shannon 1949)

Definitie

O schema de criptare peste un spatiu al mesajelor M este perfectsigura daca pentru orice probabilitate de distributie peste M,pentru orice mesaj m ∈M si orice text criptat c pentru carePr [C = c] > 0, urmatoarea egalitate este ındeplinita:

Pr [M = m|C = c] = Pr [M = m]

I Pr [M = m] - probabilitatea a priori ca Alice sa aleaga mesajulm;

I Pr [M = m|C = c] - probabilitatea a posteriori ca Alice saaleaga mesajul m, chiar daca textul criptat c a fost vazut;

I securitate perfecta - daca Oscar afla textul criptat nu are niciun fel de informatie ın plus decat daca nu l-ar fi aflat.

Criptografie si Securitate 4/10 ,

Securitate perfecta (Shannon 1949)

Definitie echivalenta

O schema de criptare (Enc ,Dec) este perfect sigura daca pentruorice mesaje m0,m1 ∈M cu |m0| = |m1| si ∀c ∈ C urmatoareaegalitate este ındeplinita:

Pr [Enck(m0) = c] = Pr [Enck(m1) = c]

unde k ∈ K este o cheie aleasa uniform.

I fiind dat un text criptat, este imposibil de ghicit daca textulclar este m0 sau m1

I cel mai puternic adversar nu poate deduce nimic despre textulclar dat fiind textul criptat

Criptografie si Securitate 5/10 ,

Securitate perfecta (Shannon 1949)

Definitie echivalenta

O schema de criptare (Enc ,Dec) este perfect sigura daca pentruorice mesaje m0,m1 ∈M cu |m0| = |m1| si ∀c ∈ C urmatoareaegalitate este ındeplinita:

Pr [Enck(m0) = c] = Pr [Enck(m1) = c]

unde k ∈ K este o cheie aleasa uniform.

I fiind dat un text criptat, este imposibil de ghicit daca textulclar este m0 sau m1

I cel mai puternic adversar nu poate deduce nimic despre textulclar dat fiind textul criptat

Criptografie si Securitate 5/10 ,

Securitate perfecta (Shannon 1949)

Definitie echivalenta

O schema de criptare (Enc ,Dec) este perfect sigura daca pentruorice mesaje m0,m1 ∈M cu |m0| = |m1| si ∀c ∈ C urmatoareaegalitate este ındeplinita:

Pr [Enck(m0) = c] = Pr [Enck(m1) = c]

unde k ∈ K este o cheie aleasa uniform.

I fiind dat un text criptat, este imposibil de ghicit daca textulclar este m0 sau m1

I cel mai puternic adversar nu poate deduce nimic despre textulclar dat fiind textul criptat

Criptografie si Securitate 5/10 ,

Un exemplu de cifru sigur - One Time Pad (OTP)

I Patentat in 1917 de Vernam (mai poarta denumirea de CifrulVernam)

I Algoritmul:

1. Fie l > 0 iar M = C = K = {0, 1}l

2. Cheia k se alege cu distributie uniforma din spatiul cheilor K

3. Enc: data o cheie k ∈ {0, 1}l si un mesaj m ∈ {0, 1}l , ıntoarcec = k ⊕m.

4. Dec: data o cheie k ∈ {0, 1}l si un mesaj criptat c ∈ {0, 1}l ,ıntoarce m = k ⊕ c .

Criptografie si Securitate 6/10 ,

Un exemplu de cifru sigur - One Time Pad (OTP)

mesaj: 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ⊕cheie: 1 0 1 1 0 0 1 1 0

text criptat: 1 1 0 1 0 1 0 0 1

I avantaj - criptare si decriptare rapide

I dezavantaj - cheia foarte lunga (la fel de lunga precum textulclar)

I Este OTP sigur?

Criptografie si Securitate 7/10 ,

Un exemplu de cifru sigur - One Time Pad (OTP)

mesaj: 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ⊕cheie: 1 0 1 1 0 0 1 1 0

text criptat: 1 1 0 1 0 1 0 0 1

I avantaj - criptare si decriptare rapide

I dezavantaj - cheia foarte lunga (la fel de lunga precum textulclar)

I Este OTP sigur?

Criptografie si Securitate 7/10 ,

Un exemplu de cifru sigur - One Time Pad (OTP)

mesaj: 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ⊕cheie: 1 0 1 1 0 0 1 1 0

text criptat: 1 1 0 1 0 1 0 0 1

I avantaj - criptare si decriptare rapide

I dezavantaj - cheia foarte lunga (la fel de lunga precum textulclar)

I Este OTP sigur?

Criptografie si Securitate 7/10 ,

Un exemplu de cifru sigur - One Time Pad (OTP)

mesaj: 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ⊕cheie: 1 0 1 1 0 0 1 1 0

text criptat: 1 1 0 1 0 1 0 0 1

I avantaj - criptare si decriptare rapide

I dezavantaj - cheia foarte lunga (la fel de lunga precum textulclar)

I Este OTP sigur?

Criptografie si Securitate 7/10 ,

Teorema

Schema de criptare OTP este perfect sigura.

I securitatea perfecta nu este imposibila dar...

I cheia trebuie sa fie la fel de lunga precum mesajul

I incoveniente practice (stocare, transmitere)

I cheia trebuie sa fie folosita o singura data - one time pad - dece?

Exercitiu Ce se ıntampla daca folosim o aceeasi cheie de doua oricu sistemul OTP ?

Criptografie si Securitate 8/10 ,

Teorema

Schema de criptare OTP este perfect sigura.

I securitatea perfecta nu este imposibila dar...

I cheia trebuie sa fie la fel de lunga precum mesajul

I incoveniente practice (stocare, transmitere)

I cheia trebuie sa fie folosita o singura data - one time pad - dece?

Exercitiu Ce se ıntampla daca folosim o aceeasi cheie de doua oricu sistemul OTP ?

Criptografie si Securitate 8/10 ,

Teorema

Schema de criptare OTP este perfect sigura.

I securitatea perfecta nu este imposibila dar...

I cheia trebuie sa fie la fel de lunga precum mesajul

I incoveniente practice (stocare, transmitere)

I cheia trebuie sa fie folosita o singura data - one time pad - dece?

Exercitiu Ce se ıntampla daca folosim o aceeasi cheie de doua oricu sistemul OTP ?

Criptografie si Securitate 8/10 ,

Teorema

Schema de criptare OTP este perfect sigura.

I securitatea perfecta nu este imposibila dar...

I cheia trebuie sa fie la fel de lunga precum mesajul

I incoveniente practice (stocare, transmitere)

I cheia trebuie sa fie folosita o singura data - one time pad - dece?

Exercitiu Ce se ıntampla daca folosim o aceeasi cheie de doua oricu sistemul OTP ?

Criptografie si Securitate 8/10 ,

Teorema

Schema de criptare OTP este perfect sigura.

I securitatea perfecta nu este imposibila dar...

I cheia trebuie sa fie la fel de lunga precum mesajul

I incoveniente practice (stocare, transmitere)

I cheia trebuie sa fie folosita o singura data - one time pad - dece?

Exercitiu Ce se ıntampla daca folosim o aceeasi cheie de doua oricu sistemul OTP ?

Criptografie si Securitate 8/10 ,

Limitarile securitatii perfecte

Teorema

Fie (Enc ,Dec) o schema de criptare perfect sigura peste un spatiual mesajelor M si un spatiu al cheilor K. Atunci |K| ≥ |M|.

Sau altfel spus:

Teorema

Nu exista nici o schema de criptare (Enc,Dec) perfect sigura ıncare mesajele au lungimea n biti iar cheile au lungimea (cel mult)n − 1 biti.

Criptografie si Securitate 9/10 ,

Limitarile securitatii perfecte

Teorema

Fie (Enc ,Dec) o schema de criptare perfect sigura peste un spatiual mesajelor M si un spatiu al cheilor K. Atunci |K| ≥ |M|.

Sau altfel spus:

Teorema

Nu exista nici o schema de criptare (Enc ,Dec) perfect sigura ıncare mesajele au lungimea n biti iar cheile au lungimea (cel mult)n − 1 biti.

Criptografie si Securitate 9/10 ,

Important de retinut!

I Schema OTP are securitate perfecta, dar este nepracticapentru majoritatea aplicatiilor;

I Securitate perfecta ⇒ lungimea cheii ≥ lungimea mesajului.

Criptografie si Securitate 10/10 ,