A01 · numerico dei reali e le dimostrazioni di tutte le proprietà algebriche delle potenze(1)....

The pillars of mathematical analysis. The elementary functions (I pilastri dell’analisi matematica.Le funzioni elementari) è presente su Zentralblatt MATH, il suo codice identificativo è Zbl ed è classificato appartenente ai seguenti MSC: - A I.

Giuseppina Anatriello

I pilastri dell’analisi matematica

Le funzioni elementari

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via Quarto Negroni, Ariccia (RM)

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I edizione: agosto

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Indice

1.1 Grafici funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.1 Funzione potenza ad esponente reale . . . . . . 101.1.2 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . 151.1.3 Funzione logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 Altre funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Il limite 312.1 Limiti delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 Proprietà funzione potenza esponente reale e limiti 342.1.2 Propietà funzioni esponenziale e limiti . . . . . 362.1.3 Proprietà funzioni logaritmo e limiti . . . . . . 36

2.2 Definizione di limite di funzioni monotone . . . . . . . 372.2.1 Limiti funzioni monotone in punti interni . . . . 382.2.2 Continuità in un punto . . . . . . . . . . . . . . 402.2.3 Teorema sui limiti delle funzioni composte

di funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.4 Limiti funzioni potenza ad esponente

naturale e radice . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.5 Limiti delle funzioni trigonometriche . . . . . . 44

2.3 Operazioni tra limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.1 Definizione di limite in termini di intorni . . . . 462.3.2 La struttura di R̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.3 Teorema delle operazioni tra limiti . . . . . . . 542.3.4 Teorema sui limiti delle funzioni composte

anche mediante operazioni . . . . . . . . . . . . 56

7

Prefazione 71 Le funzioni elementari 9

5

8 INDICE

3 Ordini di infinito e di infinitesimo 573.1 Infiniti e infinitesimi e le f. elementari . . . . . . . . . . 58

3.1.1 Infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.2 Infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Principi di eliminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.1 Principio di eliminazione

sugli ordini di infinito . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.2 Principio di eliminazione

sugli ordini d’infinitesimo . . . . . . . . . . . . . 673.3 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.1 Limite notevole funzioni potenza . . . . . . . . 693.3.2 Limite notevole funzioni logaritmo . . . . . . . 703.3.3 Limite notevole funzioni esponenziale . . . . . . 723.3.4 Limite notevole funzione seno . . . . . . . . . . 723.3.5 Limite notevole funzione coseno . . . . . . . . . 73

4 Linearizzazione del grafico 754.1 Linearizzazione delle funzioni elementari . . . . . . . . 75

4.1.1 Retta tangente al grafico . . . . . . . . . . . . . 774.1.2 Differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.3 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Approssimazioni di ordine superiore . . . . . . . . . . . 814.2.1 Teorema di de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Indice

8 INDICE

3 Ordini di infinito e di infinitesimo 573.1 Infiniti e infinitesimi e le f. elementari . . . . . . . . . . 58

3.1.1 Infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.2 Infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2 Principi di eliminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.1 Principio di eliminazione

sugli ordini di infinito . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.2 Principio di eliminazione

sugli ordini d’infinitesimo . . . . . . . . . . . . . 673.3 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.1 Limite notevole funzioni potenza . . . . . . . . 693.3.2 Limite notevole funzioni logaritmo . . . . . . . 703.3.3 Limite notevole funzioni esponenziale . . . . . . 723.3.4 Limite notevole funzione seno . . . . . . . . . . 723.3.5 Limite notevole funzione coseno . . . . . . . . . 73

4 Linearizzazione del grafico 754.1 Linearizzazione delle funzioni elementari . . . . . . . . 75

4.1.1 Retta tangente al grafico . . . . . . . . . . . . . 774.1.2 Differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.3 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Approssimazioni di ordine superiore . . . . . . . . . . . 814.2.1 Teorema di de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . 82

4.3 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Prefazione

Questo volume è un estratto del volume Fondamenti di AnalisiMatematica: dalle funzioni elementari al calcolo differenziale, (Aracne,2014). In questa trattazione si propone un originale percorso attraversoil quale classici concetti del Calcolo vengono fatti risalire a proprietàindividuabili nelle funzioni elementari.

Napoli, Aprile 2015 Giuseppina Anatriello

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Capitolo 1

Le funzioni elementari

Daremo per note la definizione dell’espressione potenza ab nel camponumerico dei reali e le dimostrazioni di tutte le proprietà algebrichedelle potenze(1).

Attraverso le funzioni potenza ad esponente reale, esponenzialee logaritmo (che chiameremo funzioni elementari) le proprietà alge-briche delle potenze danno luogo a proprietà che sono leggibili surappresentazioni grafiche nel piano cartesiano euclideo.Assumeremo date le rappresentazioni grafiche che utilizzeremo, conle loro convenzioni classiche. Esse sono provenienti da un’opportunatrattazione algebrico–geometrica, su cui non ci soffermeremo, dedu-cibile dal lavoro svolto in [1] ma che conduce comunque alle comuniconvenzioni in uso.

1Ricordiamo, per comodità del lettore, le proprietà algebriche delle potenze piùimportanti:

1. kα · kβ =α+β ;

2. kα : kβ = kα−β ;

3. (kα)β = kα·β .

Aggiungiamo che, volendo dare significato all’esponente 0, l’unica posizioneammissibile è:

a0 = 1.

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10 CAPITOLO 1. LE FUNZIONI ELEMENTARI

1.1 Proprietà algebrichedelle funzioni elementari nei grafici

Cominciamo a sottolineare che:

1. le proprietà algebriche delle potenze fanno sì che le rappre-sentazioni grafiche delle funzioni elementari si presentino comedeformazioni di linee rette (rappresentate sull’asse x) in curve.

2. l’insieme di definizione di ogni funzione elementare induce sul-l’insieme rappresentativo del grafico nel piano cartesiano unordinamento rispetto a cui il grafico è un insieme continuo se-condo il significato geometrico che questo termine ha riferito allaretta. Questa proprietà prenderà il nome di continuità (globale)della funzione e troverà una sua espressione analitica attraversoun percorso che svilupperemo.

La prima classe di funzioni che andremo a trattare sono le funzionipotenza ad esponente reale(2.)

1.1.1 Funzione potenza ad esponente reale

La funzione f(x) = xα, con α ∈ R, è detta funzione potenza diesponente α.

Nella figura che segue sono rappresentati a sinistra i grafici tipo diuna funzione potenza con esponente reale positivo, nei casi esponentemaggiore e esponente minore di 1, a destra è rappresentato un graficotipo del grafico di una funzione potenza con esponente reale negativo.

2Ricordiamo che algebricamente la definizione di potenza ad esponente realeviene data a partire da quella di potenza naturale.

10 I pilastri dell'Analisi matematica


1.1 Proprietà algebrichedelle funzioni elementari nei grafici

Cominciamo a sottolineare che:

1. le proprietà algebriche delle potenze fanno sì che le rappre-sentazioni grafiche delle funzioni elementari si presentino comedeformazioni di linee rette (rappresentate sull’asse x) in curve.

2. l’insieme di definizione di ogni funzione elementare induce sul-l’insieme rappresentativo del grafico nel piano cartesiano unordinamento rispetto a cui il grafico è un insieme continuo se-condo il significato geometrico che questo termine ha riferito allaretta. Questa proprietà prenderà il nome di continuità (globale)della funzione e troverà una sua espressione analitica attraversoun percorso che svilupperemo.

La prima classe di funzioni che andremo a trattare sono le funzionipotenza ad esponente reale(2.)

1.1.1 Funzione potenza ad esponente reale

La funzione f(x) = xα, con α ∈ R, è detta funzione potenza diesponente α.

Nella figura che segue sono rappresentati a sinistra i grafici tipo diuna funzione potenza con esponente reale positivo, nei casi esponentemaggiore e esponente minore di 1, a destra è rappresentato un graficotipo del grafico di una funzione potenza con esponente reale negativo.

2Ricordiamo che algebricamente la definizione di potenza ad esponente realeviene data a partire da quella di potenza naturale.

1.1. GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI 11

Sulle rappresentazioni grafiche si legge che:

1. il dominio è ]0,+∞[,

2. l’insieme delle immagini è ]0,+∞[

3. vale la proprietà di continuità,

4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente o stret-tamente decrescente, e quindi ogni funzione appartenente allaclasse delle funzioni potenza è invertibile.

Dalle proprietà delle potenze si desume che l’inversa di xα è x1/α.Al grafico di ciascuna delle funzioni appartiene il punto di coordinate(1, 1), poiché 1α = 1, ovvero:

(1, 1) ∈ Gxα , ∀ α ∈ R.

Funzione potenza ad esponente reale positivo

Nella figura che segue a sinistra è rappresentato un grafico tipo di unafunzione potenza con esponente maggiore 1 e a destra un grafico tipodi una funzione potenza con esponente compreso tra 0 e 1.

11i. Le funzioni elementari


Dai grafici si evince che l’ordinamento delle ascisse è sempre lo stessodi quello delle ordinate; questa proprietà, che è soddisfatta da ognifunzione xα, con α > 0, è detta di monotonia di tipo strettamentecrescente.

Abitualmente si pone 0α = 0, per cui si può considerare (0, 0) ∈ Gxα

e in tal caso diventa:

xα : [0,+∞[ → [0,+∞[.

Figura 1.1: Grafico funzione xα, con 0 < α < 1

Nella rappresentazione grafica della funzione potenza con esponentecontro tra 0 e 1 (vedi figura 1.1) si può leggere la proprietà:

xα > x, se 0 < x < 1 (3).

3Infatti la rappresentazione grafica della funzione si trova al di sopra dellabisettrice per gli x < 1 e la bisettrice è formata da punti che hanno per coordinate



Dai grafici si evince che l’ordinamento delle ascisse è sempre lo stessodi quello delle ordinate; questa proprietà, che è soddisfatta da ognifunzione xα, con α > 0, è detta di monotonia di tipo strettamentecrescente.

Abitualmente si pone 0α = 0, per cui si può considerare (0, 0) ∈ Gxα

e in tal caso diventa:

xα : [0,+∞[ → [0,+∞[.

Figura 1.1: Grafico funzione xα, con 0 < α < 1

Nella rappresentazione grafica della funzione potenza con esponentecontro tra 0 e 1 (vedi figura 1.1) si può leggere la proprietà:

xα > x, se 0 < x < 1 (3).

3Infatti la rappresentazione grafica della funzione si trova al di sopra dellabisettrice per gli x < 1 e la bisettrice è formata da punti che hanno per coordinate


Sempre dallo stesso grafico si legge:

xα < x, se x > 1 (4).

Figura 1.2: Grafico funzione xα, con α > 1

Nel rappresentazione grafica della funzione potenza xα per α > 1 (vedifigura 1.2) si può leggere la proprietà:

xα < x, se 0 < x < 1 (5).

Inoltre si legge sullo stesso grafico:

xα > x, se x > 1 (6).

In generale, considerate due funzioni potenza xα e xβ, con α > β > 0,si ha

1. xα < xβ, se x < 1,

2. xα > xβ, se x > 1.

le coppie (x, x) e il grafico della funzione xα dalle coppie (x, xα).4Infatti il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice per gli x > 1.5Infatti per gli x < 1 il grafico della funzione si trova al di sotto della bisettrice.6Infatti il grafico della funzione si trova al di sopra della bisettrice per gli x > 1.



La proprietà si possono leggere nel piano cartesiano (vedi grafici nellafigura seguente),

Notiamo che in tutti i casi per esponente γ > δ > 0 il grafico xγ sitrova al di sotto del grafico di xδ prima del punto di intersezione (1, 1)e al di sopra dello stesso dopo (1, 1), quindi i due grafici invertono laposizione reciproca in corrispondenza del punto (1, 1).

Funzione potenza ad esponente reale negativo

Per α < 0 la rappresentazione del grafico della funzione è del tiporappresentato nella figura seguente(7):

Se α < −1 si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportatoa sinistra nella figura precedente, se −1 < α < 0 si ottiene unarappresentazione grafica del tipo riportato a destra.

7Ricordiamo che vale la seguente relazione xα =(1x

)−α.



La proprietà si possono leggere nel piano cartesiano (vedi grafici nellafigura seguente),

Notiamo che in tutti i casi per esponente γ > δ > 0 il grafico xγ sitrova al di sotto del grafico di xδ prima del punto di intersezione (1, 1)e al di sopra dello stesso dopo (1, 1), quindi i due grafici invertono laposizione reciproca in corrispondenza del punto (1, 1).

Funzione potenza ad esponente reale negativo

Per α < 0 la rappresentazione del grafico della funzione è del tiporappresentato nella figura seguente(7):

Se α < −1 si ottiene una rappresentazione grafica del tipo riportatoa sinistra nella figura precedente, se −1 < α < 0 si ottiene unarappresentazione grafica del tipo riportato a destra.

7Ricordiamo che vale la seguente relazione xα =(1x

)−α.


Come si osserva dalle rappresentazioni grafiche, le funzioni esaminatesono definite in ]0,+∞[ e l’insieme delle immagini è ]0,+∞[, quindi:

xα : ]0,+∞[ → ]0,+∞[

Inoltre, le funzioni soddisfano la proprietà che l’ordinamento delleordinate di punti del grafico è l’opposto di quello delle relative ascisse.Questa proprietà prende il nome di monotonia di tipo strettamentedecrescente.

Considerate ora due funzioni potenza xα e xβ, se 0 > α > β risulta:

1. xα < xβ per x < 1

2. xα > xβ per x > 1

Di seguito è rappresentata la reciproca posizione dei grafici di duefunzioni potenza ad esponente reale negativo a sinistra con β < α < −1a destra con −1 < β < α < 0.

1.1.2 Funzione esponenziale

La funzione f(x) = ax, con a �= 1 e a > 0, è detta funzione esponenzialedi base a.Nella figura seguente a sinistra è rappresentato un grafico tipo di unafunzione esponenziale con base a maggiore di 1 a destra è rappresentatoun grafico tipo di una funzione esponenziale con base a, con 0 < a < 1.




1. il dominio è ]−∞,+∞[,

2. l’insieme delle immagini è ]0,+∞[,


4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente pera > 1 e strettamente decrescente per 0 < a < 1, e quindi ognifunzione appartenente alla classe delle funzioni esponenziale èinvertibile.

La funzione inversa di ax si denota con loga x e si chiama logaritmo inbase a.Notiamo che da a0 = 1(8) segue:

(0, 1) ∈ Gax ∀ a ∈ R+ − {1}.

Sottolineiamo che per una proprietà delle potenze il grafico di unafunzione esponenziale ax è simmetrico rispetto all’asse delle y al graficodella funzione esponenziale con base reciproca (1/a)x, ovvero i grafici didue funzioni esponenziali con base reciproca, ax e (1/a)x, sono sempresimmetrici rispetto all’asse delle ordinate.Infatti:

8Ora si comprende anche che la scelta a0 è l’unica che rende il grafico dellafunzione esponenziale un continuo.




1. il dominio è ]−∞,+∞[,

2. l’insieme delle immagini è ]0,+∞[,


4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente pera > 1 e strettamente decrescente per 0 < a < 1, e quindi ognifunzione appartenente alla classe delle funzioni esponenziale èinvertibile.

La funzione inversa di ax si denota con loga x e si chiama logaritmo inbase a.Notiamo che da a0 = 1(8) segue:

(0, 1) ∈ Gax ∀ a ∈ R+ − {1}.

Sottolineiamo che per una proprietà delle potenze il grafico di unafunzione esponenziale ax è simmetrico rispetto all’asse delle y al graficodella funzione esponenziale con base reciproca (1/a)x, ovvero i grafici didue funzioni esponenziali con base reciproca, ax e (1/a)x, sono sempresimmetrici rispetto all’asse delle ordinate.Infatti:

8Ora si comprende anche che la scelta a0 è l’unica che rende il grafico dellafunzione esponenziale un continuo.


• per la proprietà delle potenze (ab)c = (ac)b = abc, si ha:

a−x = (ax)−1 = (a−1)x =

(1

a

)x

Osserviamo poi esplicitamente che:

se a > 1, allora 0 < 1/a < 1, mentre se 0 < a < 1 allora 1/a > 1.

Di seguito sono rappresentate a sinistra la reciproca posizione dei graficidi una funzioni esponenziale con base a, con a > 1, e la retta y = 1 , adestra la reciproca posizione dei grafici di una funzione esponenzialecon base a, con 0 < a < 1, e la retta y = 1.

Considerate ora le funzioni esponenziali ax e bx, se b > a > 1 risulta:

• quando x > 0, bx > ax;

• quando x < 0, bx < ax.

Considerate le funzioni esponenziali ax e bx, se 1 > a > b risulta:

• quando x > 0, ax < bx;

• quando x < 0, ax > bx.

Le proprietà algebriche scritte sopra si leggono sui grafici. Di seguitosono rappresentate a sinistra la reciproca posizione dei grafici di duefunzioni esponenziali con basi maggiori di 1 e a < b, a destra lareciproca posizione dei grafici di due funzioni esponenziali con basiminori di 1 con a > b



1.1.3 Funzione logaritmo

Abbiamo in precedenza osservato che una funzione esponenziale ax

è invertibile e che la sua funzione inversa viene chiamata funzionelogaritmo di base a e si denota con il simbolo loga x(9).

Risulta quindi:

aloga x = x, ∀ x ∈]0,+∞[ e loga(ax) = x, ∀ x ∈ R

I grafici di una funzione logaritmo sono ricavabili dalla funzione di cuirappresentano l’inversa per simmetria rispetto alla bisettrice del primoe terzo quadrante. Nella figura seguente a sinistra è rappresentato

9Per ovvi motivi la base a di un logaritmo è un numero reale positivo diversoda 1, come lo è la base di un’esponenziale.

Le proprietà algebriche dei logaritmi si ricavano da quelle delle potenze e sono:

loga(bc) = loga b+ loga c con b ∨ c ∈ R+

loga(b/c) = loga b− loga c con b ∨ c ∈ R+

loga bK = K loga b con K ∈ R

loga b = 1/ logb a

loga 1 = 0

Inoltre vale la seguente formula per il cambiamento della base:

loga b =logc b

logc acon c ∈ R+ − {1}

Osservazione 1.1. Volendo conoscere tra quali interi è compreso il logaritmo di unnumero si procede come nell’esempio log2 5 :

22 < 5 < 23 quindi 2 < log2 5 < 3



1.1.3 Funzione logaritmo

Abbiamo in precedenza osservato che una funzione esponenziale ax

è invertibile e che la sua funzione inversa viene chiamata funzionelogaritmo di base a e si denota con il simbolo loga x(9).

Risulta quindi:

aloga x = x, ∀ x ∈]0,+∞[ e loga(ax) = x, ∀ x ∈ R

I grafici di una funzione logaritmo sono ricavabili dalla funzione di cuirappresentano l’inversa per simmetria rispetto alla bisettrice del primoe terzo quadrante. Nella figura seguente a sinistra è rappresentato

9Per ovvi motivi la base a di un logaritmo è un numero reale positivo diversoda 1, come lo è la base di un’esponenziale.

Le proprietà algebriche dei logaritmi si ricavano da quelle delle potenze e sono:

loga(bc) = loga b+ loga c con b ∨ c ∈ R+

loga(b/c) = loga b− loga c con b ∨ c ∈ R+

loga bK = K loga b con K ∈ R

loga b = 1/ logb a

loga 1 = 0

Inoltre vale la seguente formula per il cambiamento della base:

loga b =logc b

logc acon c ∈ R+ − {1}

Osservazione 1.1. Volendo conoscere tra quali interi è compreso il logaritmo di unnumero si procede come nell’esempio log2 5 :

22 < 5 < 23 quindi 2 < log2 5 < 3


un grafico tipo di una funzione logaritmo con base a maggiore di 1 adestra è rappresentato un grafico tipo di una funzione logaritmo conbase a con 0 < a < 1.


1. il dominio è ]0,+∞[;

2. l’insieme delle immagini è ]−∞,+∞[;

3. vale la proprietà di continuità;

4. le funzioni sono monotone di tipo strettamente crescente se a < 1o strettamente decrescente se 0 < a < 1.

Notiamo che essendo:

(0, 1) ∈ Gax ∀ a ∈ R+ − {1}

risulta(1, 0) ∈ Gloga x ∀ a ∈ R+ − {1}.

Una funzione loga x, con 0 < a < 1, interseca in un unico punto labisettrice del primo quadrante, ovvero:

∀ a ∈ R+ \ {1} / 0 < a < 1, ∃ ! x ∈ R+/ loga x = x.



Figura 1.3: Confronto grafici funzioni logaritmo con basi maggiori di 1

1.1.4 Altre funzioni

Funzione potenza ad esponente naturale

Nella figura seguente a sinistra è rappresentato un grafico tipo di unafunzione potenza f(x) = xn, con esponente naturale pari n, a destra èrappresentato un grafico tipo di una funzione potenza f(x) = xn, conesponente naturale dispari n.

Ricordiamo che xn rappresenta il prodotto n fattori uguali ad x equindi l’espressione ha senso per una qualsiasi base x reale, e infattisulla rappresentazione grafica si legge che il dominio della funzione èR =]−∞,+∞[.

Per n pari:

I due rami del grafico della funzione sono simmetrici rispetto all’assedelle ordinate, quindi la funzione è pari. Infatti, per n pari, per la


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