[ MP – MATHEMATIQUES 1 ]1 ALGEBRE DE BASElemondeprepa.fr/cours/MP-Mathematiques-1A.pdf · ESPACES...
Transcript of [ MP – MATHEMATIQUES 1 ]1 ALGEBRE DE BASElemondeprepa.fr/cours/MP-Mathematiques-1A.pdf · ESPACES...
����������������� ������������������������������� �������������������� ���
�
����� �
���������������� ������
[ MP – MATHEMATIQUES 1 ] ...............................................................................................................................1 CONTRE-EXEMPLES..................................................................................................................................................2
ALGEBRE DE BASE ...............................................................................................................................................4 1 – GROUPES............................................................................................................................................................4 2 – GROUPES �/N� ...................................................................................................................................................4 3 – ACTION D'UN GROUPE .........................................................................................................................................6
ARITHMETIQUE ....................................................................................................................................................7 4 – ANNEAUX COMMUTATIFS....................................................................................................................................7 5 – ARITHMETIQUE DANS �.......................................................................................................................................7 6 – (EX) NOMBRES PREMIERS ...................................................................................................................................9 7 – (EX) FONCTION DE MOBIUS ................................................................................................................................9 8 – IDEAUX DE K[X] .............................................................................................................................................. 10 9 – (EX) ALGEBRIQUES........................................................................................................................................... 11 10 – CORPS COMMUTATIFS ..................................................................................................................................... 11 11 – (EX) POLYNOMES CYCLOTOMIQUES................................................................................................................. 12
ESPACES VECTORIELS ...................................................................................................................................... 13 12 – ESPACE VECTORIEL SUR UN CORPS COMMUTATIF ............................................................................................. 13 13 – RANG D'UNE APPLICATION LINEAIRE................................................................................................................ 13 14 – HYPERPLANS .................................................................................................................................................. 14 15 – DUALITE EN DIMENSION FINIE ......................................................................................................................... 14
MATRICES............................................................................................................................................................. 16 16 – TRACE............................................................................................................................................................ 16 17 – MATRICES EQUIVALENTES .............................................................................................................................. 16 18 – OPERATIONS ELEMENTAIRES SUR LES MATRICES .............................................................................................. 16
FORMES QUADRATIQUES................................................................................................................................. 18 19 – FORMES BILINEAIRES SYMETRIQUES SUR UN � EV ............................................................................................ 18 20 – FBS SUR UN � EV DE DIMENSION FINIE ............................................................................................................ 19 21 – METHODE DE GAUSS ...................................................................................................................................... 20 22 – SIGNATURE D'UNE FORME QUADRATIQUE......................................................................................................... 21
DETERMINANTS.................................................................................................................................................. 22 23 – GROUPE SYMETRIQUE ..................................................................................................................................... 22 24 – DETERMINANTS .............................................................................................................................................. 22
ELEMENTS PROPRES ......................................................................................................................................... 25 25 – ENDOMORPHISMES ......................................................................................................................................... 25 26 – ELEMENTS PROPRES ........................................................................................................................................ 26 27 – POLYNOME CARACTERISTIQUE ........................................................................................................................ 27 28 – (EX) SEVS CARACTERISTIQUES ........................................................................................................................ 28 29 – ENDOMORPHISMES DIAGONALISABLES ............................................................................................................ 28 30 – (EX) CALCUL DE A
N........................................................................................................................................ 30
31 – (EX) ETUDE LOCALE DES ENDOMORPHISMES.................................................................................................... 30 32 – (EX) MATRICES STOCHASTIQUES ..................................................................................................................... 30
PRODUIT SCALAIRE SUR UN EV REEL........................................................................................................... 31 33 – ESPACES PREHILBERTIENS............................................................................................................................... 31 34 – ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS................................................................................................................... 32 35 – AUTOMORPHISMES ORTHOGONAUX ................................................................................................................. 33 36 – EV EUCLIDIENS ORIENTES DE DIMENSION 3 ...................................................................................................... 34
����������������� ������������������������������� �������������������� ���
�
�������
37 – REDUCTION DES AUTOADJOINTS ...................................................................................................................... 35 38 – QUADRIQUES D'UN EV EUCLIDIEN DE DIMENSION 3........................................................................................... 36
PRODUIT SCALAIRE HERMITIEN.................................................................................................................... 38 39 – EV PREHILBERTIENS COMPLEXES ..................................................................................................................... 38 40 – EV HERMITIENS .............................................................................................................................................. 38 41 – ENDOMORPHISMES HERMITIENS ...................................................................................................................... 39 42 – GROUPE UNITAIRE .......................................................................................................................................... 39
�
Contre-exemples �� !"#$%!"�&����&�"'���()%���$!)$�'�'�'�&*+%,*�'�")--�'��"�./�'�"'�0$+��%&�"$%()�1�"$�")--���
$�→����� $2��
�� !"#$%!"�&����&�"'���$�--��()��∀�3�∈��4/�5�"3��→�.��$�5�3��&%,�+����"�4∞��� $�→� �'%�∃�6�∈��/�$�7���6/��$�.�'%"!"���� !"#$%!"�&���4�&�"'��4�"!"�8!+"*��1�%'�%"$*�+�8-��')+��4��
!"#$%!"�$+%�"�-�'�$+9'�1%"#�'���� !"#$%!"�&���2�&�"'���#!"$%")��'�-!"�$!)$�,�#$�)+��"�.�1�%'�6�'�#!"$%")���"�.�
�3/�:��→����,%'%&��ρ����π4�θ��∈����2/��������)3�5�+1*'�&�����,�"!+1*/�&��&%'$�"#��")--���$�6!)+$�"$�&%';!%"$'��
<��3/�:��∈��2�=�3:�7� �>��$�<��./�:��=�:�∈���>�⊂��2����)�∈��?���/� �'�,��)� ��⊂� ��$�)� ��≠� ��
��7����/������!%$���∈����&*5%"%��6�+���5��3��7�5�3��� �����∈��?����#�+�!"�#!""�@$��� ��� �7�<�5�∈����=�∀�3�≥�./�5�3��7�.�>�'�,�&�������� ��7�<�5�∈����=�∀�3�≥�� /�5�3��7�.�>�⊂� ��
���)%$��&*#+!%''�"$��&��5�+1*'�"!"�,%&�'�&����&A%"$�+'�#$%!"�,%&���
� �"/�4∞������)3�"!+1�'�&!"$��)#)"��"A�'$�6-)'�5%"��()��-A�)$+���� ��7��������"�&*5%"%$�B ��$�B��6�+�C�B ����7�')6���./� ����$�B�����7�')6����/�D���
���"��')%$��&!"$�-A�"'�18-��&�'�,�-�)+'�&A�&E*+�"#���'$�"!"�8!+"*��� )"�7�F%�F���&��6-)'��"�6-)'��+�"&'�����)3�'*+%�'�&��"�$)+��&%55*+�"$�/�&��$�+1���*"*+�-�*()%,�-�"$��
� Σ"�7�
∞
��� �"
"�#!",�+���1�%'�6�'� Σ
"�7�
∞
��� �"
"�4� "��
����)3�'*+%�'�&��$�+1���*"*+�-�*()%,�-�"$�()%�"��'!"$�6�'�*()%,�-�"$�'�C�
� "2�G�
"�"4 ��!+� Σ"�7�
∞
� "2�7�
π2H �G= Σ
"�7�
∞
�
"�"4 ��7� �
���"��5!"#$%!"�"!"�#!"$%")��1�%'�()%�6!''9&��-��6+!6+%*$*�&��-��,�-�)+�%"$�+1*&%�%+���
� �,�#�5�C�3�→�32�'%"���� 3 /�5�A�,*+%5%��#�'�6+!6+%*$*'��"�.��
���"��5!"#$%!"�")1*+%()��()%���)"��$�"��"$��,�+$%#�-���$�()%��'$�#!"$%")��I�&+!%$���$�I���)#E���
� 3�→� J3J� 3J3J�6+!-!"�*���"�.�
���"��5!"#$%!"�&���2�&�"'���$�--��()��-�'��66-%#�$%!"'�6�+$%�--�'�'!%�"$�#!"$%")�'��"�.�'�"'�()A�--��"��-��'!%$��
� �3/�:��→���
���3/�:��≠��./�.��K� 3:
32�4�:2�C�. �
���"��5!"#$%!"�&���2�&�"'���$�--��()A�--���&1�$$��&�'�&*+%,*�'�'�-!"�$!)$�,�#$�)+��"�.�1�%'�"��'!%$�6�'�&%55*+�"$%�8-���
� �3/�:��→���
��:�≠�.�K�32�4�:2: �C�. �
���"��%";�#$%!"�&���2�&�"'���
���
���
ε�� ΣL�7��∞
∞
��L� .L/�ε8� Σ
L�7��∞
∞
�8L� .L ��∈��2�→� Σ
"�7�.
∞
��L� .�L4 �4�8L� .
�L4��4���L� � .��L� �4�8�L� � .
��L��4��ε�4 ��4���ε84 ���
����������������� ������������������������������� �������������������� ���
�
�����D�
���3�16-��&��6�+�&!3���
����������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ����!���������������������
�����"�#� ∪�∈��$
���
�����%������������"��������������&���������������������������������������
'���(�∈�%��'������������������(�∈�%����������� � � '����������(�
'������������������(�∉�%� � � '��������(�
'��� �������������������������� ��(�∈�%���� '�����)(�'�������� �������������(�∉�%�� � '�����������������������(�
'�������(�∉�%��'��� ��������������������������������(�∉�%� '�����������������������������(��
*������������������������������%��������������������������������������� ������������'�������(�#�+��'����������������������(�#�,�
�
*����%������������%��������������&���������������-������%�����������������
!����������������������������%����������
�����.�#��/%0�∪�%1�∪�����∪�%123��������#�0�4�5���.�������������%0�∪�%1�∪�����∪�%12���������5���.������������������ ���������������������������12���������������������6�#�'������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������(��
7���������������'6(�#���������6�∈�%0)��������������∈�.��.���5���.�≥����.�����-�0�≥���%������������
�
����������������� ������������������������������� ��?��M������M����
�
�������
���������� �
1 – Groupes •��*5%"%$%!"�C��+!)6��→�?���''!#%�$%,���,�#��3%'$�"#��&)�"�)$+���$�&��':1*$+%()�'����!%+�#!)+'�&�������•��!)'N�+!)6���
��⊂����'$�)"�'!)'N�+!)6��&����/�×��'%� <��
∀��3/:��∈��2/�3:�∈�����∈���∀�3�∈��/�3� �∈����
•��!+6E%'1��������?A�66-%#�$%!"�ϕ��C�3�∈���→��3�� �∈����'$��66�-*��)$!1!+6E%'1��%"$*+%�)+���%����8*-%�"/�ϕ��7�&���?�'�$+�"'-�$%!"'�3�∈���→��3�∈����$�3�∈���→�3��'!"$�8%;�#$%,�'�1�%'�"��'!"$�6�'�&�'�1!+6E%'1�'�&���+!)6�'��?A�66-%#�$%!"�3�∈���→�3� ��'$�%",!-)$%,��1�%'�6�'�$!);!)+'�)"�1!+6E%'1�����E��O�+�5�7�<����>�⇔�5�%";�#$%,���
•��+!&)%$�&�����+!)6�'��!%�"$����$���&�)3��+!)6�'���"�&*5%"%$�)"��?��')+���×���6�+��3/�:�����3A/�:A��7��3���3A/�:���:A������E����×����'$��-!+'�)"��+!)6��6!)+�-��-!%�6+!&)%$���3�C���2/�4��•��!)'N�+!)6���"��"&+*�6�+�)"��6�+$%��������*5%"%$%!"�)')�--���������≠�∅��?��'!)'N�+!)6���"��"&+*�6�+����'$���7�<�3 3����3(/�(�∈��P/��3 /����/�3(��∈����∪��� �(�>��•�?A�"'�18-��&�'�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'��'$�)"��+!)6����3���!%$���/����)"�1!"!Q&�/��$���-A�"'�18-��&�'�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'�&������-!+'����'$�)"��+!)6����&�1!�()�����'$�'$�8-����A�'$�)$%-��')+$!)$�()�"&����'$�)"��""��)��
�3�C���%��7�<3�4�%:/��3/:��∈��2>���6!)+�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'�U��7�<� /�� /�%/��%�>�� � ��G&���
�3�C��"������6!)+�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'��?"�����
•�R��7�RO�+�5�×�R1�5���3��5�C���→����'$�)"�1!+6E%'1��&���+!)6����-!+'�R��7�RO�+�5���R1�5�� ��!"�#!16$��-�'��"$*#*&�"$'�&��#E�#)"���
2 – Groupes �/n�
��!"'$+)#$%!"�&����!"'$+)#$%!"�&����!"'$+)#$%!"�&����!"'$+)#$%!"�&���="="="="�����
� � � ������?�'�'!)'�?�'�'!)'�?�'�'!)'�?�'�'!)'NNNN�+!)6�'�&���+!)6�'�&���+!)6�'�&���+!)6�'�&�������
��E��?�'�'!)'��+!)6�'�&����'!"$�&��-��5!+1��"�/�"�∈���� � � ��&�1!�6�+�%-�()��')6���
���������������-�$%!"�&��#!"�+)�"#����-�$%!"�&��#!"�+)�"#����-�$%!"�&��#!"�+)�"#����-�$%!"�&��#!"�+)�"#�����
∀�"�∈��P/�∀���/�8��∈��2/���≡�8��"��⇔�"�J�8������
��E���A�'$�)"��+�-�$%!"�&A*()%,�-�"#���
D�D�D�D�������+!)6����+!)6����+!)6����+!)6���="="="="�����
�!%$�"�∈��P����="���'$�-A�"'�18-��&�'�#-�''�'�&A*()%,�-�"#���!)��"'�18-��()!$%�"$��6!)+�-��+�-�$%!"�≡����E����="�/�4���'$�)"��+!)6���8*-%�"�5%"%/�&��#�+&%"�-�"��� � ��&���
��������������!+6E%'1��#�"!"��!+6E%'1��#�"!"��!+6E%'1��#�"!"��!+6E%'1��#�"!"%()��&��%()��&��%()��&��%()��&���="="="="�����
?��1!+6E%'1��#�"!"%()��&���="���'$�-A�66-%#�$%!"�C�L�∈���→���∈��="����A�'$�)"�1!+6E%'1���
��!)'��!)'��!)'��!)'NNNN�+!)6���"��"&+*�6�+�)"�*-*1�"$�+!)6���"��"&+*�6�+�)"�*-*1�"$�+!)6���"��"&+*�6�+�)"�*-*1�"$�+!)6���"��"&+*�6�+�)"�*-*1�"$����
�!%$���)"��+!)6���$���∈����?��'!)'N�+!)6���"��"&+*�6�+����'$��+����7�<��L/�L�∈���>����+�#!",�"$%!"/��.�7����
����������������� ������������������������������� ��?��M������M����
�
�����S�
�!%$�ϕ�C�L�∈���→��L�∈��+������A�'$�)"�1!+6E%'1��&���+!)6��')+;�#$%5��O�+�ϕ�7�<�L�∈��/��L�7���>��'$�)"�'!)'N�+!)6��&�����→�∃�"�∈��/�O�+�ϕ�7�"����%�"�7�./�O�+�ϕ�7�<.>�
ϕ��'$��-!+'�8%;�#$%,�/��$��+�����'$�%'!1!+6E��I���/�4����3�C���7���P/�×���$���7�����+����7�<��L/�L�∈���>��'$�)"��+!)6��%'!1!+6E��I���/�4���
�%�"�≥� /�O�+�ϕ�7�"���!%$���)"��+!)6���$���∈�����"�')66!'��O�+�ϕ�7�"�/�"�≥� �����E���-!+'��+�����'$�%'!1!+6E��I��="���
��E��ϕ���C���∈��="��→��L�∈��+�����'$�)"�%'!1!+6E%'1��&���+!)6��� ��;)'$%5%#�$%!"'��$�&�1!���
��!%$���*-*1�"$�&A)"��+!)6���/��$���-��'!)'N�+!)6���"��"&+*�6�+����
���%����'$�%'!1!+6E��I��/����'$�&A!+&+��∞�����%"!"/�!"��66�--��-A!+&+��&�����%"<�L�∈��P/��L�7���>�
��+!)6�'�#:#-%()�'��+!)6�'�#:#-%()�'��+!)6�'�#:#-%()�'��+!)6�'�#:#-%()�'����
� � � �������*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"����
�!%$���)"��+!)6����"�&%$�()�����'$�#:#-%()��'%����'$�5%"%��$��"��"&+*�6�+�)"�*-*1�"$���%����'$�)"��+!)6��#:#-%()��&��#�+&%"�-�"/�%-��'$�%'!1!+6E��I��="���
�3�C�� �="���'$�#:#-%()��&��#�+&%"�-�"��"��"&+*�6�+����
� U"��'$�#:#-%()��&��#�+&%"�-�"��"��"&+*�6�+���%π="��
��=�"��P�"A�'$�6�'�#:#-%()��� ���3!�S� �)%--�� �C��L�≡� ���"��'%���%16�%+��$�L�7��"�����
��������������*"*+�$�)+'�&����*"*+�$�)+'�&����*"*+�$�)+'�&����*"*+�$�)+'�&���="="="="�����
��E�����"��"&+���="�� �⇔���∧�"�7� �� � ��&�1!�⇔�+�6%&����
�!%$���7�<�/��/����/��"� �>�)"��+!)6��#:#-%()���"��"&+*�6�+�����!%$�8�7��L��?A!+&+��&��8��'$��-!+'�L�∨�"�=�L�� � ��&���
D�D�D�D�������3�16-�'��3�16-�'��3�16-�'��3�16-�'����
���!)$�'!)'N�+!)6����&A)"��+!)6��#:#-%()�����'$�#:#-%()����3��
�!%$�ϕ�C�L�∈���→��L�∈����∃�(�∈��/�ϕ� ����7�(������7�ϕ�ϕ� �����#�+�ϕ�')+;�#$%,��T���7�ϕ�(���7�<��L(/�L�∈���>�7����(���
���%�5��'$�)"�1!+6E%'1��&���+!)6��&����,�+'����$���#:#-%()���-!+'�1�5�#:#-%()����3��� � ����1!�'%16-����
���!%�"$���∈���&A!+&+��6��$�8�∈���&A!+&+��(���-!+'�-A!+&+��&����/�8��∈���×����'$�6�∨�(���3��� ����1!�'%16-����
��������'$�#:#-%()�������$���#:#-%()�'���3�� ����1!���
����×����'$�#:#-%()����R��∧�R��7� ���3�� � ����1!���
����#:#-%()��&��#�+&%"�-�6/���#:#-%()��&��#�+&%"�-�(��$�6�∧�(�7� �����×����'$�#:#-%()����3��� ����1!�+�6%&����
���3�16-�'�&���+!)6�'�5%"%'���3�16-�'�&���+!)6�'�5%"%'���3�16-�'�&���+!)6�'�5%"%'���3�16-�'�&���+!)6�'�5%"%'����
�U"/�×��T���="�/�4��T��σ"/����T�������/�∆�����+!)6��%'!1*$+%�'�&)�+�#$�"�-��C�%'!1!+6E��I�U��×�U���
���+!)6��%'!1*$+%�'�&)�#�++*����+1%�-�'��+!)6�'�&��#�+&%"�-�U/�%-�:���C�
� B!1� �+&+��1�3%1�-� �8*-%�"�
UU/��=U�� U� �)%�
���C�%'!1*$+%�'�&)�#�++*� �� B!"��+!)6��()�$�+"%!"%()����5����� �=.V=..��
�� B!"�
U���U�� �� �)%�
U���U���U�� �� �)%�
����������������� ������������������������������� ��?��M������M����
�
�����H�
3 – Action d'un groupe
��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'����
� � � �������*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"����
�!%$���)"��+!)6���$���)"��"'�18-����"��66�--���#$%!"�!)�!6*+�$%!"�&����')+���$!)$���66-%#�$%!"��
5�C���/�3��∈���×���→���•�3�∈���$�--��()��C� ∀∀∀∀�3��3��3��3�∈∈∈∈��/�����/�����/�����/���••••�3�7�3�3�7�3�3�7�3�3�7�3����
���� ���� ∀∀∀∀�3��3��3��3�∈∈∈∈��/���/���/���/�∀∀∀∀���������/��A���/��A���/��A���/��A��∈∈∈∈��2/�����2/�����2/�����2/���••••���A����A����A����A�••••�3��7�����A��3��7�����A��3��7�����A��3��7�����A�����••••�3�3�3�3����
-�+�,%�"$��)�101��&��'��&!""�+�)"�1!+6E%'1��ϕ�&����&�"'�σ����C�∀���∈��/�∀�3�∈��/��ϕ�����3��7���•�3��
��������������3�16-�'��3�16-�'��3�16-�'��3�16-�'����
���!%$���)"��"'�18-���σ����!69+��')+���6�+�C�∀���∈�σ���/�∀�3�∈��/���•�3�7���3������!%$���)"��+!)6�����!69+��')+���6�+�$+�"'-�$%!"�C�∀���/�3��∈��2/���•�3�7���3�����!%$���)"�KN�,���?����!69+��')+�-A�"'�18-��&�'�'�,�&����6�+�C�∀�)�∈��?���/�∀�W �'�,�&���/�)�•�W �7�)�W ��
D�D�D�D�������+�"'%$%,%$*��+�"'%$%,%$*��+�"'%$%,%$*��+�"'%$%,%$*����
�"���#$%!"�&����')+����'$�&%$��$+�"'%$%,��'%�∀��3/�:��∈��2/�∃���∈��/�:�7���•�3����+1%�-�'�D��3�16-�'/�'�)-�-��D��"A�'$�6�'�5!+#*1�"$�$+�"'%$%5��
��������������+8%$�'��+8%$�'��+8%$�'��+8%$�'����
�!%$���)"��+!)6��()%�!69+��')+�����"�&*5%"%$�)"��+�-�$%!"�6�+�C�∀��3/�:��∈��2/�3�ℜ�:�⇔�∃���∈��/�:�7���•�3���A�'$�)"��+�-�$%!"�&A*()%,�-�"#���?�'�#-�''�'�&A*()%,�-�"#�'�'!"$��66�-*�'�!+8%$�'��
�"��������7�<�3�∈��/�∃���∈��/�3�7���•���>�7�<���•���=���∈���>�7���•����"!$�$%!"����1�C�?A�#$%!"��'$�$+�"'%$%,��⇔�-�:���)"��'�)-��!+8%$����E�()��!+8%$���'$�'$�8-��6!)+�-A!6*+�$%!"�&)��+!)6���
S�S�S�S�������$�8%-%'�$�)+��$�8%-%'�$�)+��$�8%-%'�$�)+��$�8%-%'�$�)+����
�!%$�3�∈����?��'$�8%-%'�$�)+�&��3��'$��3�7�<���∈��/���•�3�7�3�>���A�'$�)"�'!)'N�+!)6��� ��G&����3�C�+�#E�+#E��&A)"�'$�8%-%'�$�)+�&A)"�'�,�W �&A)"�KN�,����,%'NIN,%'�&���?��������+&%"�-�&A)"��!+8%$��C�R�����7�R��=�R���� � ��&�1!��,�#�ϕ�C���∈���→���•���∈��������
��66-%#�$%!"'��66-%#�$%!"'��66-%#�$%!"'��66-%#�$%!"'����
���!%$���)"��+!)6��5%"%/��$���)"�'!)'N�+!)6��&�������!69+��')+���6�+�$+�"'-�$%!"��� �����7���� �$�� ���7�<�>�����E���E*!+91��&��?��+�"���C��!%$���)"��+!)6��5%"%/��$���)"�'!)'N�+!)6��&������-!+'�R��J�R��� ��&A�6+9'�� ���
����E���!%$���)"��+!)6��&��#�+&%"�-�"���-!+'�∀�3�∈��/�3"�7���� ��&�1!�+�6%&����
���!%$�6�)"�"!18+��6+�1%�+��$�"�∈��P���!%$���)"��+!)6��&��#�+&%"�-�6"��#A�'$�)"�6N�+!)6���&�5���� �-!+'���6!''9&��)"�*-*1�"$�&A!+&+��6���3���
��1�C��%����'$�&A!+&+��αβ/��-!+'��β��'$�&A!+&+��α����?��#�"$+��&�����'$�X����7�<�3�∈��/�∀�:�∈��/�3:�7�:3�>���A�'$�)"�'!)'N�+!)6��&������ �3�C�X��?�����7�<�E!1!$E*$%�'�>�T�X�σ�����7�<&>�'%�R��Y������!%$���)"��+!)6��&��#�+&%"�-�6�����'$�#:#-%()��T�%-��'$��"��"&+*�6�+�"A%16!+$��()�-�*-*1�"$�&����'�)5�-��"�)$+���
���!%$���)"��+!)6��&��#�+&%"�-�6"���-!+'�X����≠�<�>��� ��&�1!�C���/�3��∈��2�→���•�3�7���3��� �∈��������!%$���)"��+!)6��&��#�+&%"�-�62���-!+'����'$��8*-%�"�� ��&�1!�C�RX�����'$� �!)�6�!)�62�����'%�6/�#!11)$�"$���
���!%$���)"��+!)6��&��#�+&%"�-�62���-!+'����'$�%'!1!+6E��I�U62�!)�I�U6��U6�� ��&�1!�')66�"!"�#:#-%()����
���E*!+91��&����)#E:�E*!+91��&����)#E:�E*!+91��&����)#E:�E*!+91��&����)#E:���3����!%$���)"��+!)6��5%"%���!%$�6�6+�1%�+�&%,%'�"$�R����
�-!+'���6!''9&��)"�*-*1�"$�&A!+&+��6�� �������C���7�<��3 /����/�36��∈��6/�3 ���36�7���>�T�R��T�'#+!--�ϕ��������B!18+��&A%'!1*$+%�'�&)�#)8�����������-�:��"����U��
���E*!+91��&����:-�:���3��C��!%$���)"��+!)6��5%"%���-!+'����'$�%'!1!+6E��I�)"�'!)'N�+!)6��&���σR�/������&����?�'�'�)-'�'!)'N�+!)6�'�5%"%'�&����P/�×��'!"$�-�'�U"/�"�∈��P�� � �&��
����������������� ������������������������������� �����������
�
�����Z�
���������
4 – Anneaux commutatifs
��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'����
� � � �������*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"����
����""��)��
M�⊂����'$�)"�'!)'N�""��)�&����'%� <��
M�'!)'N�+!)6��&����/�4��
M�'$�8-��6!)+�×�� �∈�M�
��������������!+6E%'1���!+6E%'1���!+6E%'1���!+6E%'1�����
�!%�"$����$�M�&�'��""��)3��
5�C���→�M��'$�)"�1!+6E%'1��&A�""��)3�'%�� 5��'$�)"�1!+6E%'1��&���+!)6���&&%$%5/��5��'$�)"�1!+6E%'1��&��×�
�$�� 5� ��7� ��
D�D�D�D������&*�-�&*�-�&*�-�&*�-����
�!%$���)"��""��)�#!11)$�$%5��
�⊂����'$�)"�%&*�-�'%�� ��'$�)"����&����/�4��
� � � ∀��3/�:��∈���×�/�3:�∈����3�C��!%$���∈����?A%&*�-�6+%"#%6�-��"��"&+*�6�+����'$�����7����7�<��3/�3�∈���>�� �&�5���3�C�$!)'�-�'�%&*�)3�&����'!"$�"�/�"�∈������1�C�)"�%&*�-�"A�'$�6�'�5!+#*1*"$�)"�'!)'N�""��)��"��#!"$%�"$�6�'�5!+#*1�"$� ��
��E��?��"!:�)�&A)"�1!+6E%'1��&A�""��)3��'$�$!);!)+'�)"�%&*�-��
��������������"'�18-�'�"%-6!$�"$'���3���"'�18-�'�"%-6!$�"$'���3���"'�18-�'�"%-6!$�"$'���3���"'�18-�'�"%-6!$�"$'���3�����
�!%$���)"��""��)�#!11)$�$%5���!%$�B�7�<�3�∈��/�∃�"�∈��P/�3"�7�.>���-!+'�B��'$�)"�%&*�-����&����%���"A�'$�6�'�#!11)$�$%5�C��!"$+�3�16-���,�#��������
S�S�S�S������?�'�%",�+'%8-�'�&A)"��""��)�#!"'$%$)�"$�)"��+!)6��1)-$%6-%#�$%5�?�'�%",�+'%8-�'�&A)"��""��)�#!"'$%$)�"$�)"��+!)6��1)-$%6-%#�$%5�?�'�%",�+'%8-�'�&A)"��""��)�#!"'$%$)�"$�)"��+!)6��1)-$%6-%#�$%5�?�'�%",�+'%8-�'�&A)"��""��)�#!"'$%$)�"$�)"��+!)6��1)-$%6-%#�$%5����
��""��)3�%"$9�+�'��""��)3�%"$9�+�'��""��)3�%"$9�+�'��""��)3�%"$9�+�'����
� � � �������*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"����
��!%$���)"��""��)�����'$�&%$�%"$9�+��'%�C� <�
�
���'$�#!11)$�$%5�
��≠�<.>�∀��3/�:��∈��2/�3:�7�.���3�7�.�!)�:�7�.��
�3�C�$!)'�-�'�#!+6'���/��/�����$�$!)'�-�'�'!)'N�""��)3�&��#!+6'�����'!"$�%"$9�+�'��
��������������%,%'%8%-%$*��%,%'%8%-%$*��%,%'%8%-%$*��%,%'%8%-%$*����
�!%$���)"��""��)�%"$9�+����"�&%$�()��3J:�'%�∃�F�∈��/�3F�7�:����E��3J:�⇔��:��⊂��3�� � ��&�1!�+�6%&����
D�D�D�D�������+!��+!��+!��+!6+%*$*�')+�-�'�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'���3�6+%*$*�')+�-�'�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'���3�6+%*$*�')+�-�'�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'���3�6+%*$*�')+�-�'�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'���3�����
�!%$���)"��""��)�%"$9�+����"�"!$���P�-���+!)6��&�'�*-*1�"$'�%",�+'%8-�'�&������3�C��P/��P�1�%'�6�'��P�7���[�<.>��
�!%$��3/�:��∈��2���"���C� � �3��7��:��⇔�∃�)�∈��P/�:�7�)3�� ��&�1!���
5 – Arithmétique dans � ���5���!%$���)"��""��)�����'$�&%$�6+%"#%6�-�'%����'$�%"$9�+���$�$!)$�%&*�-�&�����'$�6+%"#%6�-��&��-��5!+1������7������
����������������� ������������������������������� �����������
�
�����U�
���'$�6+%"#%6�-��
�������$������������$������������$������������$���������
� � � �����������������������������
�!%$���/�8��∈��2���!%$��7�����4��8���'$�)"�%&*�-��'!11��&����%&*�)3���∃�&�∈��/��7��&���?�'�&%,%'�)+'�#!11)"'�I����$�8�'!"$�-�'�&%,%'�)+'�&��&��
�"�"!$��&�7�������/�8��7���∧�8����1�C���∧�.�7����
�������������B!18+�'�6+�1%�+'��"$+���)3�B!18+�'�6+�1%�+'��"$+���)3�B!18+�'�6+�1%�+'��"$+���)3�B!18+�'�6+�1%�+'��"$+���)3����
��/�8��'!"$�&%$'�6+�1%�+'��"$+���)3�'%���∧�8�7� ����E���E*!+91��&��M�F!)$�C���∧�8�7� �⇔�∃��)/�,��∈��2/��)�4�8,�7� �� ��&���
D�D�D�D�������E*!+91��&����)''��E*!+91��&����)''��E*!+91��&����)''��E*!+91��&����)''����
��E���!%�"$��/�8/�#�∈������∧�8�7� ��$���J�8#�����J�#�� ��&���
������������������������������������
�!%�"$��/�8�∈����?�'�1)-$%6-�'�#!11)"'�'!"$�����∩��8����A�'$�)"�%&*�-��%"$�+'�#$%!"�&����%&*�)3���∃�1�∈��/�����∩��8��7��1���?�'�1)-$%6-�'�#!11)"'�I����$�8�'!"$�-�'�1)-$%6-�'�&��1��
�"�"!$��1�7�������/�8��7���∨�8��
��""��)���""��)���""��)���""��)��="="="="�����
� � � �������$+)#$)+��&A�""��)��$+)#$)+��&A�""��)��$+)#$)+��&A�""��)��$+)#$)+��&A�""��)����
�!%$�"�∈��P����="�/�4���'$�)"��+!)6��#:#-%()����"�&*5%"%$�)"��1)-$%6-%#�$%!"���"�,*+%5%��()A�--���'$�#!E*+�"$������E����="�/�4/�×���'$�)"��""��)�#!11)$�$%5����E��?��1!+6E%'1��ϕ���C�L�∈���→���∈��="���'$��-!+'�)"�1!+6E%'1��&A�""��)��
�������������",�+'%8-�'�&���",�+'%8-�'�&���",�+'%8-�'�&���",�+'%8-�'�&���="="="="�����
��E���!%$���∈�����-!+'����'$�%",�+'%8-��&�"'��="��⇔���∧�"�7� �� � ��&�1!�+�6%&��⇔��
�3�C���= .��P�7�<�/��/��/��>��'$�%'!1!+6E��I�U���
�!%$�"�∈��P���-!+'��="���'$�)"�#!+6'�⇔�"��'$�6+�1%�+�� �&��
∀�6�6+�1%�+/��=6���'$�&!"#�)"�#!+6'�"!$*�F6��
D�D�D�D�������E*!+91��#E%"!%'��E*!+91��#E%"!%'��E*!+91��#E%"!%'��E*!+91��#E%"!%'����
��E���!%�"$��6/�(��∈��P2/�6�∧�(�7� ����-!+'��=6(���'$�%'!1!+6E��I��=6��×��=(����"�$�"$�()A�""��)3��� � ��&�1!�'%16-����
�3�C�+*'!)&+��3�≡�D�S���$�3�≡���H���
��"�$E*!+91��&��5�#$!+%'�$%!"��"�$E*!+91��&��5�#$!+%'�$%!"��"�$E*!+91��&��5�#$!+%'�$%!"��"�$E*!+91��&��5�#$!+%'�$%!"����
��E���!%$���)"��""��)/��$�5�C���→���)"�1!+6E%'1��&A�""��)3����!%$�"�∈����$�ϕ�C�L�∈���→���∈��="����%�"��⊂�O�+�5/��-!+'�%-��3%'$��)"�1!+6E%'1��&A�""��)3���$�-�()��5�7�����ϕ��� ��&�1!�'%16-�����66-%#�$%!"�C�&*1!"$+�+�-��$E*!+91��#E%"!%'����
�
�
��"&%#�$�)+�&A�)-�+���3���"&%#�$�)+�&A�)-�+���3���"&%#�$�)+�&A�)-�+���3���"&%#�$�)+�&A�)-�+���3�����
�!%$�"�≥� ���"�"!$��ϕ�"��-��"!18+��&A*-*1�"$'�%",�+'%8-�'�&���="����A�'$��)''%�-��"!18+��&���*"*+�$�)+'�&��U"��
ϕ�"��7�R<�%�∈��"� �=�%�∧�"�7� �>�
����������������� ������������������������������� �����������
�
�����V�
���!%$�6�6+�1%�+��$�α�∈��P���-!+'/�ϕ�6α��7�6α��
�� ��� 6 ��
���!%$��"/�1��∈��P2/�"�∧�1�7� ���-!+'�ϕ�"1��7�ϕ�"��ϕ�1��� � ��$E��E%"!%'���
��∀�"�∈��P/�ϕ�"��7�" Π6J"
6�6+�1%�+
���
�� ��� 6 �
��∀�"�∈��P/�"�7�Σ&J"�ϕ�&�� � ���66-%#�$%!"���
���!%$�K�)"�#!+6'�#!11)$�$%5���!%$���)"�'!)'N�+!)6��5%"%�&���KP/�����-!+'����'$�#:#-%()��������C�
�"��66�--��ψ�&��-��"!18+��&A*-*1�"$'�&����&A!+&+��&���!%$�"�7�R�����"���C�"�7�Σ�ψ�&��7�Σ�ϕ�&����"�1!"$+��*��-�1�"$�()��∀�&�∈��"/�ϕ�&��≥�ψ�&���
��'%�ψ�&��≥� /�ϕ�&��7�ψ�&���+\#���)�6!-:"]1���&��� ����!"#�∀�&�∈��"/�ψ�&��7�ϕ�&�/�&A!̂ �ψ�"��7�ϕ�"��≠�.�����'$�8%�"�#:#-%()������)$+��&*1!�C��3!�Z�5�)%--�� /�66#1�&�'�!+&+�'�7�#�+&%"�-�&��KP��&56�6!-:����
6 – (Ex) Nombres premiers ���!%$�6�6+�1%�+���!%$���∈��/���∧�6�7� ���-!+'��6� �≡� ��6������!%$�6�6+�1%�+���!%$�L�∈��6� ���-!+'�6�J��6L������$%$�$E*!+91��&�� �+1�$���!%$�6�6+�1%�+���!%$���∈�����-!+'��6�≡����6��� ����&*1!'���
��-�:���)"��%"5%"%$*�&��"!18+�'�6+�1%�+'��
��-�:���)"��%"5%"%$*�&��"!18+�'�6+�1%�+'�$�-'�()��6�≡��� �����
���!%$�6�6+�1%�+���!%$�"�∈��P���-!+'�,6�"_��7� ΣL�7�
∞
������"
6L � !̂ �,6����7���3<�3�∈��/�63�J���>��
���E*!+91��&��W %-'!"���!%$�6�≥�����"���C�6�6+�1%�+�⇔�6�J� �4��6�� �_� ��&�1!���
�"���)$+��&*1!"'$+�$%!"�)$%-%'��-��6!-:"]1�������������������������4����7�����������101��& /̀�+�#%"�'/�)"%$�%+����
7 – (Ex) Fonction de Mobius �!%$�µ�-��5!"#$%!"�&��1!8%)'�&���P�,�+'�<�./� /�� �>�$�--��()��� µ� ��7� �� µ�6 ���6+��7��� �+�� '%�6 /����/�6+�'!"$�&�'�6+�1%�+'�&%'$%"#$'���I���
� µ�"��7�.�� � '%"!"�
����∧�8�7� ���µ��8��7�µ����µ�8��� ��6-)'%�)+'�#�'���
��∀�"�≥��/�Σ&J"�µ�&��7�.� � ��+�19"���)�#�'�!̂ �"�7�6 6����6+���
�� !+1)-��&A%",�+'%!"���!%$���"��∈������"�&*5%"%$��8"��6�+�∀�"�∈��P/�8"�7�Σ&J"��&��
� �-!+'�∀�"�∈��P/��"�7�Σ&J"�µ����"& �8&� ��&�1!�6�+1)$�$%!"�ΣΣ���
��1�C�#�$$��5!+1)-���'$�,�-�8-��&�"'�"A%16!+$��()�-��+!)6���8*-%�"��������[�<.>/���6�+��3�16-���
����������������� ������������������������������� �����������
�
����� .�
8 – Idéaux de K[X] �!%$�K�)"�'!)'N#!+6'�&�����
��$+)#$)+��&�'�%&*�)3��$+)#$)+��&�'�%&*�)3��$+)#$)+��&�'�%&*�)3��$+)#$)+��&�'�%&*�)3����
� � � �������%,%'%!"��)#-%&%�""���%,%'%!"��)#-%&%�""���%,%'%!"��)#-%&%�""���%,%'%!"��)#-%&%�""�����
��E���!%�"$���∈�K�����$�M�∈�K����[�<.>���-!+'�∃�_��/����∈�K���2/���7�M�4����$�& �̀�a�& M̀����&�1!�C�K"����7�K(��� ����⊕�M�K"���(�����,�#��66��-%"*�%+����
��������������-�!+%$E1��&��-��&%,%'%!"��)#-%&%�""���-�!+%$E1��&��-��&%,%'%!"��)#-%&%�""���-�!+%$E1��&��-��&%,%'%!"��)#-%&%�""���-�!+%$E1��&��-��&%,%'%!"��)#-%&%�""�����
��7��.�4�����4��"��"�� � M�7�8.�4�����4�8(��(�� � 8(�≠�.����7�M�����"=8(���"���(�4�� � � !̂ �& �̀ �a�& �̀��"�6�)$�&*1!"$+�+�#!11��b��-A�3%'$�"#��&���/����6�+�+*#)++�"#��')+�& �̀��
�3�C��!%�"$����$�M�∈������T�M��'$�)"%$�%+����-!+'��/����∈�����2�� ��%16!+$�"$���
D�D�D�D���������K�����'$�6+%"#%6�-�����'$�6+%"#%6�-�����'$�6+%"#%6�-�����'$�6+%"#%6�-����
��E��K�����'$�6+%"#%6�-��!%$��)"�%&*�-�&��K������%��≠�<.>/�!"��66�--����)"�6!-:"]1��&��&��+*�1%"%1)1�&�����"����7������ ��&�1!�#!11���+!)6�'�4�&������
������������������%���'$�)"��""��)�6+%"#%6�-���3��%���'$�)"��""��)�6+%"#%6�-���3��%���'$�)"��""��)�6+%"#%6�-���3��%���'$�)"��""��)�6+%"#%6�-���3�����
��%���'$�)"�'!)'N�""��)�&�����-��'$�%"$9�+����
�'�)&!&%,%'%!"��)#-%&%�""��&�"'���%��C�
∀��F /�F���∈���%��×���%��[�<.>/�∃��(/�+��∈���%�2/�F �7�F��(�4�+��$�J+J�a�JF�J�� ��&�1!���6�'�)"%#%$*���
��+%$E1*$%()��&�"'���+%$E1*$%()��&�"'���+%$E1*$%()��&�"'���+%$E1*$%()��&�"'�K����������������",�+'%8-�'�&����C�<� /��� >��� ",�+'%8-�'�&��K����C�K�[�<.>��
� � � �����������������������������
�!%�"$����$�M�∈�K������7�����4��M���'$�)"�%&*�-�6+%"#%6�-���!"��*"*+�$�)+�)"%$�%+���'$�-�������&�����$�&��M��
?A�66-%#�$%!"���/�M��→���∧�M��'$�)"��?���''!#%�$%,���$�#!11)$�$%,���B�)$+��C�.�
��������������E*!+91��&��M�F!)$��E*!+91��&��M�F!)$��E*!+91��&��M�F!)$��E*!+91��&��M�F!)$����
D�D�D�D�������E*!+91��&����)''��E*!+91��&����)''��E*!+91��&����)''��E*!+91��&����)''����
������������������������������������
�7�����∩��M���'$�)"�%&*�-�6+%"#%6�-���!"��*"*+�$�)+�)"%$�%+���'$�-�������&�����$�&��M��?A�66-%#�$%!"���/�M��→���∨�M��'$�)"��?���''!#%�$%,���$�#!11)$�$%,���B�)$+��C� �
��$)&��&����$)&��&����$)&��&����$)&��&��K�����������������!%$�K�)"�#!+6'�#!11)$�$%5/��$���)"��K����-�98+���)"%$�%+�����3�C�K���/�K/��"�K�/������/�4/����'!"$�&�'�K����-�98+�'�����'$�)"�K����,������'$�)"�������-�98+���$�)"�������-�98+�����!%$���∈��/��$�ϕ�C���∈�K����→������∈����1�ϕ �'$�)"��'!)'N�-�98+��&���/�"!$*��K������A�'$�-��'!)'N�-�98+��&�����"��"&+*��6�+����O�+�ϕ��'$�)"�%&*�-��66�-*�%&*�-�&�'�6!-:"]1�'��"")-�$�)+'�&�����
� � � ��������'�!̂ �O�+����'�!̂ �O�+����'�!̂ �O�+����'�!̂ �O�+�ϕϕϕϕ�7�<.>�C���$+�"'#�"&�"$�7�<.>�C���$+�"'#�"&�"$�7�<.>�C���$+�"'#�"&�"$�7�<.>�C���$+�"'#�"&�"$����
���'$��-!+'�&%$�$+�"'#�"&�"$�')+�K��
����������������� ������������������������������� �����������
�
����� �
ϕ�%"&)%$�)"�%'!1!+6E%'1��&A�-�98+��&��K����')+�K������3�C���"'���7�K���/����'$�$+�"'#�"&�"$��
���������������'�!̂ �O�+����'�!̂ �O�+����'�!̂ �O�+����'�!̂ �O�+�ϕϕϕϕ����≠≠≠≠�<.>�C����-�*8+%()��<.>�C����-�*8+%()��<.>�C����-�*8+%()��<.>�C����-�*8+%()�����
���'$��-!+'�&%$��-�*8+%()��')+�K��O�+�ϕ�6!''9&��)"�)"%()���*"*+�$�)+�)"%$�%+�/��66�-*�6!-:"]1��1%"%1�-�&���/�"!$*�π����3�C�π%�7��2�4� � � π√��7��2����� � π√��4�√D�7���2��� �2���U�2� � π;�7��2�4���4� �����E����%"$9�+���$����-�*8+%()����π��%++*&)#$%8-��&�"'�K����� ��&�1!���
�3�C�&�"'������"!"�%"$9�+�/�π6�7������� ��'%�6��'$�)"�6+!;�#$�)+��
D�D�D�D���������-�*8+%()������-�*8+%()������-�*8+%()������-�*8+%()��⇔⇔⇔⇔����K�����'$�&��&%1�"'%!"�5%"%������'$�&��&%1�"'%!"�5%"%������'$�&��&%1�"'%!"�5%"%������'$�&��&%1�"'%!"�5%"%�����
��E�����'$��-�*8+%()��⇔�K�����'$�&��&%1�"'%!"�5%"%��� ��&�1!�⇔���
��������������+!6+%*$*'�&����+!6+%*$*'�&����+!6+%*$*'�&����+!6+%*$*'�&��K����()�"&����'$��-�*8+%()�����()�"&����'$��-�*8+%()�����()�"&����'$��-�*8+%()�����()�"&����'$��-�*8+%()�����
��E��&%1K K����7�& π̀��� ��&�1!���
��E��∀���∈�K���/������%",�+'%8-��&�"'���⇔���∧�π��7� /��$�&�"'�#��#�'/������ �∈�K����� � ��&�1!���
��E����%"$9�+����K�����'$�)"�#!+6'� ����&�1!'�����1�C��!)$��K����-�98+��%"$9�+���)"%$�%+���&��&%1�"'%!"�5%"%���'$�)"�#!+6'�� ��&�1!���
����66�-'�C�+�-�$%!"'�#!�55%#%�"$'=+�#%"�'����66�-'�C�+�-�$%!"'�#!�55%#%�"$'=+�#%"�'����66�-'�C�+�-�$%!"'�#!�55%#%�"$'=+�#%"�'����66�-'�C�+�-�$%!"'�#!�55%#%�"$'=+�#%"�'����
��∈�K����
��7��.�4�� ��4�����4��"�"�7��"�����α ������α����������α"��
�-!+'�∀�L�∈�<./����/�"� >/�Σ�3 3����3"�L�7��� �"�L��L
�"��
�
9 – (Ex) Algébriques �"�'��6-�#��&�"'�-��#!+6'�&�'�#!16-�3�'/������-�98+���
α��'$��-�*8+%()��'%�∃���∈������[�<.>/���α��7�.��
A�&*'%�"��-A�"'�18-��&�'�"!18+�'��-�*8+%()�'��
��1�C���"'�#��#�'/�∃���∈������[�<.>/���α��7�.��
���!%$�α�∈�A�[�����-!+'�πα��'$�%++*&)#$%8-��&�"'�����/��$�I�+�#%"�'�'%16-�'�&�"'���� ��&�1!��,�#�)"��+�#%"��&��π����
��?�11��C�'!%�"$�O�⊂�?�&�)3�#!+6'/��$���≠�<.>�)"�?����'6�#��,�#$!+%�-��� �-!+'�&%1O���7�&%1?�����&%1O�?�� ��&�1!�8�'�'���
��A��'$�)"�'!)'N#!+6'�&������ �����L�5��
∀���/�8��∈�A2/�!"�6!'��K�7�������K�8���'$�)"�#!+6'�&��&%1�"'%!"�5%"%��')+�K/�#!"$�"�"$����$�8��
K�8���'$�&��&%1�"'%!"�5%"%��')+�����5��?�11��6+*#*&�"$���
�$%-%'�$%!"�&)�-�11��C�
� ?�11��C��!%$�?�)"�K����'6�#��,�#$!+%�-�&��&%1�"'%!"�5%"%���#�∈�?���#��-�*8+%()��')+�K�� ��&�1!���
���3�16-��C�π%�4�√��7��������2�4�V�
��A��'$��-�*8+%()�1�"$�#-!'�� ��&�1!�C�#!"'$+)#$%!"�&��#!+6'��18!%$*'���
10 – Corps commutatifs
��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'����
� � � ��������+�#$*+%'$%()����+�#$*+%'$%()����+�#$*+%'$%()����+�#$*+%'$%()�����
�!%$��K/�4/���)"�#!+6'�#!11)$�$%5���
�%� ��-��"�)$+��6!)+����'$�&A!+&+��5%"%�6��&�"'�K/�4���-!+'�!"�6!'��#�+�K�7�6��
�A%-��'$�&A!+&+��%"5%"%/�!"�6!'��#�+�K�7�.��
��1�C�#�+�K�7�.���K�%"5%"%�� K�5%"%���#�+�K�≠�.���E��K�#!+6'�&��#�+�#$*+%'$%()��6�≠�.��-!+'�6��'$�6+�1%�+�� ��&�1!��8')+&��6�7�+'���
����������������� ������������������������������� �����������
�
����� ��
��������������66-%#�$%!"'���3���66-%#�$%!"'���3���66-%#�$%!"'���3���66-%#�$%!"'���3�����
#�+�K�7�.���K�#!"$%�"$�)"�'!)'�#!+6'�%'!1!+6E��I��� ���c���
#�+�K�7�6���K�#!"$%�"$�)"�'!)'�#!+6'�%'!1!+6E��I��=6�� ��&�1!�C�)$%-%'�$%!"�&���+� ����
�$��-!+'�∃�"�∈��P/�RK�7�6"�� � � ��&�1!��-���-%"*�%+����
����3���!)$��""��)�%"$9�+��5%"%��'$�)"�#!+6'�� � � ��&�1!�$+�"'-�$%!"�%";�#$%,��������3���!)$���-�98+��%"$9�+��&��&%1�"'%!"�5%"%���'$�)"�#!+6'��� ��&�1!���
��!-:"]1�'�6+%1%$%5'���3���!-:"]1�'�6+%1%$%5'���3���!-:"]1�'�6+%1%$%5'���3���!-:"]1�'�6+%1%$%5'���3�����
� � � �������*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"����
∀���∈�����/����'$�&%$�6+%1%$%5�'%�'�'�#!�55%#%�"$'�'!"$�6+�1%�+'��"$+���)3�&�"'�-�)+��"'�18-���
�!%$���/���∈�����2�����$��6+%1%$%5'�����6+%1%$5'�
� ����&�1!'�C��8')+&���$��=6��T��%+�#$��,�#�)"��%&*��&!""*��6�+��=6����
��������������!"$�")��!"$�")��!"$�")��!"$�")����
�!%$�6�∈�������?��#!"$�")�&���/�"!$*�#���/��'$�-�������&��'�'�#!�55%#%�"$'��
#��'$�)"�1!+6E%'1��&�������/���&�"'���/���� ��&�1!���
��1�C�∀�λ�∈��/�∀���∈�����/�#�λ���7�JλJ�#�����
D�D�D�D�������3�+#%#��')+���3�+#%#��')+���3�+#%#��')+���3�+#%#��')+������������������
∀���∈�����/�∀��/����∈�����2�)"%$�%+�'/���7�������$���∈������� ��&�1!��,�#�-��#!"$�")���
11 – (Ex) Polynômes cyclotomiques
��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"����
�!%$�"�∈��P���"�"!$���"�-A�"'�18-��&�'�+�#%"�'�6+%1%$%,�'�&��-A)"%$*���*"*+�$�)+'�&��U"���
�"�7�<�ωL�=�L�∧�"�7� �>�⊂�U"� !̂ �ω�7���%π="��
�"�6!'��φ"�7�Π������α�� !̂ �α�&*#+%$��"��
φ �7����� � φ��7���4� � φD�7��2�4���4� � � φ��7��2�4� � φS�7����4��D�4����4���4� �
��1�C�φ"�J��"��� �
��3�16-�'��3�16-�'��3�16-�'��3�16-�'����
∀�"�∈��P/��"��� �7�Π&J"�φ&�� ����1!��,�#�5�C�α�∈�U"�→�!+&+��&��α�∈��"����
∀�"�∈��P/�φ"�∈������ � ����1!�+�#)++�"#��')+�"��$������������
∀�"�∈��P/�φ"�7�Π&J"���&��� �µ�"=&�� ����1!��,�"$���
∀�"�∈��P/�φ"��'$�%++*&)#$%8-��&�"'������� ���)+���
�!"'*()�"#�'�C�� ∀�"�∈��P/�∀�ω�∈��"/�φ"�7�πω
� � &%1����ω��7�& φ̀"�7�ϕ�"��
����������������� ������������������������������� ����������������?��
�
����� D�
��� ������� �
12 – Espace vectoriel sur un corps commutatif
� �1%--��&��,�#$�)+'� �1%--��&��,�#$�)+'� �1%--��&��,�#$�)+'� �1%--��&��,�#$�)+'����
������B!$�$%!"�C���M��&*'%�"��)"��5�1%--��&A*-*1�"$'�6+�'()��$!)'�")-'�&����%"&�3*��6�+�M��
�!%$���)"�K����'6�#��,�#$!+%�-��
�!%$���%�%�∈��)"��8�'��&�����∀�3�∈��/�∃�_��λ%��∈�K��/�3�7�Σ λ%��%���"�"!$���%P�C�3�∈���→�λ%�� � ��)"�6�)�'%16-����
�3�C�&�"'�-��8�'��#�"!"%()��&��K���/�-��5�1%--��&�'�#!!+&!""*�'�&�����'$�����3�C��!%$���-A�'6�#��,�#$!+%�-�&�'�5!"#$%!"'�6!-:"!1%�-�'�')+�K"/�#A�'$NIN&%+��C�
� ∀�α�7��α /����/�α"��∈��"��α��'$�)"�1)-$%�%"&%#��/�!"�"!$��5α�C��3 /����/�3"��∈�K"�→�Π�3%α%���
� ��7���#$<�5α�/�α�∈��"�>�⊂���K"/�K���
� �-!+'/�-�'��5�5!+1�"$�)"��8�'��&����� ��&�1!�-%8+��6�+�+*#)++�"#���"�5%3�"$�"��� �6�+�19$+�'���
��E���!%$���%�%�∈��)"��8�'��&������!%$��5%�%�∈��∈� ���-!+'�∃�_�)�∈����/� �/�∀�%�∈�/�)��%��7�5%��
������3�16-��%"')-$�"$������
��!11��&��'!)'��!11��&��'!)'��!11��&��'!)'��!11��&��'!)'NNNN�'6�#�'�,�#$!+%�-'�'6�#�'�,�#$!+%�-'�'6�#�'�,�#$!+%�-'�'6�#�'�,�#$!+%�-'����
� � � �������*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"��*5%"%$%!"����
�!%�"$� /����/� 6�&�'�'!)'N�'6�#�'�,�#$!+%�-'�&�����6�≥������!%$�)�C��3 /����/�36��∈�Π %�→�Σ�3%�∈����)��'$�-%"*�%+���1�)��'$�"!$*�� �4�����4� �����1�C�#A�'$��"�5�%$�-��'�,��"��"&+*�6�+�-�)+�+*)"%!"��?��'!11���'$�&%$��&%+�#$��'%�O�+�)�7�<.>����
��E�� /���/� 6�'!"$��"�'!11��&%+�#$��⇔� <� �∩� ��7�<.>�
� �4� ���∩� D�7�<.>�
� �4� ��4� D��∩� ��7�<.>� � ��&�1!�⇔�������
� �4�����4� 6� ��∩� 6�7�<.>�
�"�&%$�()�� /����/� 6�'!"$�')66-*1�"$�%+�'�'%�-�)+�'!11���'$�&%+�#$���$��'$�*��-��I����
)��'$��-!+'�)"�%'!1!+6E%'1��&��� %�,�+'����
��3���!%$�K�#!+6'�%"5%"%��$���K��,�)"%!"�&�'�'�,� /����/� "���-!+'�∃�%�∈��"/� %�7�������3!�V�5�)%--��D���
��������������%1�"'%!"�5%"%���%1�"'%!"�5%"%���%1�"'%!"�5%"%���%1�"'%!"�5%"%�����
�!%$���&��&%1�"'%!"�5%"%���
����E���!%�"$� /����/� 6��"�'!11��&%+�#$����-!+'�&%1�� �⊕�����⊕� 6��7�Σ�&%1� %�� ��&�1!�&*#!)-��&)�-�11����
?�11��C��%� ��$���'!"$�&�'�K����'6�#�'�,�#$!+%�-'�&��&%1�"'%!"�5%"%�/�&%1� ����7�&%1� �4�&%1���� ��&�1!�8�'����
��1�C��%� /����/� 6�'!"$��"�'!11��&%+�#$�/���7� �⊕�����⊕� 6�⇔�Σ�&%1� %�7�&%1����
���%���7� �⊕�����⊕� 6/�-A�66-%#�$%!"�)�C��3 /����/�36��∈�Π��%�→�Σ�3%�∈����'$�)"�%'!1!+6E%'1���
�"�"!$��6%�C�3�∈���→�3%�∈�����A�'$�)"�6+!;�#$�)+��6%�7�5%���)� � � !̂ �5%��3$+�%$�-��%91��*-*1�"$�&��Π� %������E���%���7� �⊕�����⊕� 6/�'!%�"$�) �∈��� /���/����/�)6�∈��� 6/������-!+'�∃�_�)�∈����/���/�∀�%�∈��6/�)J %�7�)%����"�∈������∈�K����&��&��+*�"4 ���-!+'�K����7���K����⊕�K"�����
���*5%"%$%!"�&��-��8�'���&�6$*��&����I�)"�'�,� �&�������
���*5%"%$%!"�&��-��8�'���&�6$*��&����I�&�'�'�,'�')66-*1�"$�%+�'�&�������
13 – Rang d'une application linéaire
�'!1!+6E%'1��%"&)%$�'!1!+6E%'1��%"&)%$�'!1!+6E%'1��%"&)%$�'!1!+6E%'1��%"&)%$����
����E���!%$�)�∈����/� ����"�')66!'��()����A��'$�)"�')66-*1�"$�%+��&��O�+�)���!%$�)�A�C�3�∈���A�→�)�3��∈�1�)���A�'$�)"�%'!1!+6E%'1��� ��&�������E���E*!+91��&)�+�"��C�&%1���7�&%1�O�+�)�4�&%1�1�)��
����E���%�&%1���7�&%1� /��$�)�∈����/� �/��-!+'�)�%";�#$%,��⇔�)�')+;�#$%,��⇔�)�8%;�#$%,���
����������������� ������������������������������� ����������������?��
�
����� ��
��66-%#�$%!"'��66-%#�$%!"'��66-%#�$%!"'��66-%#�$%!"'����
����3����&��&%1�"'%!"�5%"%���5/���∈��������-!+'�&%1�O�+�����5�≤�&%1�O�+�5�4�&%1�O�+���� ��&�1!�C�3�∈�O�+�����5�→�5�3��������3����&��&%1�"'%!"�5%"%���)�∈��������"�"!$���L�7�&%1�O�+�)L��� ��L���'$�#+!%''�"$�/�'$�$%!""�%+�/��$���L4 ����L���'$�&*#+!%''�"$��� ��&�1!'���
����&��&%1�"'%!"�5%"%����)/�,��∈��������-!+'�C�+��)���,��≤�+��)��� � +��)���,��≤�+��,��� �
+��)�4�,��≤�+��)��4�+��,���� J+��)����+��,�J�≤�+��)���,��� ��&���
��1�C�&%1����4�M��≤�&%1���4�&%1�M�����$)&��&��∆�C���∈������→�����4� ������∈������∈���������� ∀���∈������[��/�&̀∆��7�&̀ ���� � � � ��O�+�∆�7����� ∆"�C���∈��"����→�∆� ∈��"� �����'$�')+;�#$%,��� ��∆�')+;�#$%,��� ��$+%#��&��∆"�&�"'�-��8�'��#�"!"%()����� � ��&�1!'���
���!%$���)"�K����,�&��&%1�"'%!"�5%"%�/��$� ��$���&�)3�'�,'�&������-!+'�&%1�� 4���7�&%1� �4�&%1�����&%1�� �∩����� ��&��
�"$�+6!-�$%!"�&��?��+�"���"$�+6!-�$%!"�&��?��+�"���"$�+6!-�$%!"�&��?��+�"���"$�+6!-�$%!"�&��?��+�"������
�!%$�"�≥� ���!%$�K�7���!)�����!%�"$��./����/��"�∈�K�&%'$%"#$�'��$�:./����/�:"�∈�K���-!+'�∃�_���∈�K"���/�∀�%�∈�<./����/�">/����%��7�:%��� ��&�1!�C�*$)&��&��)�C���∈�K"����→�����.�/����/����"���∈�K"4 ���
�*$�+1%"�$%!"�&)�6!-:"]1��%"$�+6!-�$�)+��I�6�+$%+�&�'�*-*1�"$'�&��-��8�'��#�"!"%()��&��K��������1�C�'!%$�ϕ�C�K����→���K/�K���� K�%"5%"%���ϕ�%";�#$%,��1�%'�6�'�')+;�#$%,��� � ��#�+�ϕ� <'%">�7�∅���� K�5%"%���ϕ�')+;�#$%,��1�%'�"!"�%";�#$%,��� � ��#�+�G�T�#�+�K���/�-)%/��'$�%"5%"%���
14 – Hyperplans
��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'����
♦��!%$���)"�K��'6�#��,�#$!+%�-���"�"!$���P�7����/�K��-A�"'�18-��&�'�5!+1�'�-%"*�%+�'�')+����?��5!+1��8%-%"*�%+��#�"!"%()���'$�-A�66-%#�$%!"�C��3/�ϕ��∈���×��P�→�ϕ�3��∈�K��♦���E����)3�')66-*1�"$�%+�'�&A)"�101��'�,�'!"$�%'!1!+6E�'��101���"�&%1�∞��� ��6+!;�#$%!"���
♦��!%$� �)"�'�,�&������"�&%$�()�� ��'$�&��#!&%1�"'%!"�5%"%��'%� �6!''9&��)"�')66-*1*"$�%+����&��&%1�"'%!"�5%"%�����"'�#��#�'/�!"�*#+%$�C�#!&%1� �7�&%1����
��'�6�+$%#)-%�+�C��%����'$�&��&%1�"'%!"�5%"%�/��-!+'�∀� �'�,�⊂��/�#!&%1� �4�&%1� �7�&%1����♦��"��66�--��E:6�+6-�"�&����$!)$�'�,���&��#!&%1�"'%!"� ���3�C�#!&%1�<���∈������=��� ��7������7�.�>�7�����3�C�?A�"'�18-��&�'�5!"#$%!"'�6�%+�'��'�,�&�������'$�&��&%1�"'%!"��$�&��#!&%1�"'%!"�%"5%"%�'��
♦���E���!%$�)�∈����/� ���)��'$�&��+�"��5%"%���O�+�)��'$�&��#!&%1�5%"%��&�"'���� ��&�1!�∞���
� !+1�'�-%"*�%+�'��$�E:6�+6-�"'� !+1�'�-%"*�%+�'��$�E:6�+6-�"'� !+1�'�-%"*�%+�'��$�E:6�+6-�"'� !+1�'�-%"*�%+�'��$�E:6�+6-�"'����
♦���E���!%$���⊂�������'$�)"�E:6�+6-�"�&����⇔�∃�ϕ�∈��P�[�<.>/���7�O�+�ϕ�� ��&�1!'���
♦���E���()�$%!"'�&A)"�E:6�+6-�"�C��!%�"$�ϕ/�ψ�∈��P�[�<.>��O�+�ϕ�7�O�+�ψ�⇔��ϕ/�ψ���'$�-%*�� ��&�1!���
♦���E��&%1���7�"���!%$� �)"�'�,�&����� ��'$�)"�E:6�+6-�"�&����⇔�&%1� �7�"��� ��
♦��:6�+6-�"�&��K"���!%$�ϕ�∈�K"�P���"�"!$���� /����/��"��-��8�'��#�"!"%()��&������!%$�3�7��3 /����/�3"��∈�����-!+'�3�7�Σ�3%��%��ϕ�3��7�Σ λ%�3%� !̂ �∀�%�∈��"/�λ%�7�ϕ��%����3�C�*()�$%!"�&��6-�"�,�#$!+%�-�&�"'��D���3�4�8:�4�#F�7�.�!̂ ���/�8/�#��≠��./�./�.���
15 – Dualité en dimension finie
�M�'�'�&)�-�'�M�'�'�&)�-�'�M�'�'�&)�-�'�M�'�'�&)�-�'����
� � � �������E*!+91���E*!+91���E*!+91���E*!+91�����
��E���!%$���)"�K����,�&��&%1�"'%!"�5%"%���∀�3�∈���[�<.>/�∃�ϕ�∈��P/�ϕ�3��7� �� ��&�1!�����E���!%$�M�7��� /����/��"��8�'��&������"�"!$���;P�-��5!+1��-%"*�%+��3�7�Σ�3L��L�∈���→�3;�∈�K��
����������������� ������������������������������� ����������������?��
�
����� S�
�-!+'���%P���'$�)"��8�'��&���P�7����/�K��� ��&�1!���
B!$�$%!"�C�':18!-��&��O+!"�#L�+�T�∀��%/�;��∈��"2/��%P��;��7�δ%�;��
��������������3�+#%#�'��3�+#%#�'��3�+#%#�'��3�+#%#�'����
����7�������M�7���%��C�8�'��#�"!"%()��&�������%P���'$N�--��)"��8�'��&������P�K��$�8%�"�"!"����%'��--���'$�-%8+���
���!%$��� /�����8�'��&�����5 �7�� ��$�5��7�� �4������-!+'/�5 P�7�� P�����P��$�5��7���P��
��$)&��&A)"���66-%#�$%!"�-%"*�%+���$)&��&A)"���66-%#�$%!"�-%"*�%+���$)&��&A)"���66-%#�$%!"�-%"*�%+���$)&��&A)"���66-%#�$%!"�-%"*�%+�����
�!%�"$��� /����/��6��∈��6���!%$�)�C�ϕ�∈��P�→��ϕ�� �/����/�ϕ��6���∈�K6��
♦���E���� /����/��6���'$�)"��8�'��&������)�%'!1!+6E%'1��� � ��&�1!���
♦���E���� /����/��6���'$�-%8+��⇔�)�')+;�#$%,��� � � ����&�1!'�����E���$�&�"'�#��#�'�C� ��#!&%1�O�+�)�7�6�
� � � ��<�3�∈���=�∀�ϕ�∈��P/�ϕ�3��7�.�>�7�∩�O�+�ϕ�7���#$�<��%/�%�∈��6�>�♦� �1%--��&A*()�$%!"'�&A)"�'�,�C��!%$� �)"�'�,�&������� /����/��6��8�'��&�� ��O�+�)�7�<�ϕ�∈��P/�ϕ� ��7�<.>>���!%$�(�7�&%1�����6�7�&%1�O�+�)���!%$��ϕ /����/�ϕ(��8�'��&��O�+�)���ϕ /����/�ϕ(���'$��66�-*��5�1%--��&A*()�$%!"'�&�� ��∀�3�∈��/�3�∈� �⇔�∀�%�∈��(/�ϕ%�3��7�.����1�C�&%1� �7�"���(��
�"$�+'�#$%!"�&AE:6�+6-�"'�"$�+'�#$%!"�&AE:6�+6-�"'�"$�+'�#$%!"�&AE:6�+6-�"'�"$�+'�#$%!"�&AE:6�+6-�"'����
�!%�"$�ϕ /����/�ϕ(�∈��P�[�<.>��$�∀�;�∈��(/��;�7�O�+�ϕ;���!%$�,�C�3�∈���→��ϕ �3�/����/�ϕ��3���∈�K6��
♦���E���ϕ /����/�ϕ(��8�'��&���P���,�%'!1!+6E%'1�� � ��&�1!���
���!%$���7��ϕ /����/�ϕ(��8�'��&���P���-!+'�∃�_�M�8�'��&����&!"$����'$�-��&)�-���♦���E���ϕ /����/�ϕ(��-%8+��⇔�,�')+;�#$%,�� � � ����&�1!'�����E���$�&�"'�#��#�'�C� ��#!&%1�O�+�,�7�(�
� � � ��<�ϕ�∈��P�=�ϕ�O�+�,��7�<.>�>�7���#$�<�ϕ%/�%�∈��(�>� � ��&�1!����66-%#�$%!"� C� -A*()�$%!"� &�� $!)$� 6-�"� ()%� 6�''�� 6�+� -A%"$�+'�#$%!"� &�� �� 6-�"'��� �$� M� �'$� #!18%"�%'!"� -%"*�%+�� &�'�*()�$%!"'�&�����$�&��M��
♦��ϕ /����/�ϕ(��"!"�"*#�''�%+�1�"$�-%8+����-!+'/�O�+�,�7�&%1�����+��ϕ /����/�ϕ(���
����������������� ������������������������������� ���������
�
����� H�
����� �
16 – Trace
��+�#��&A)"��1�$+%#��#�++*���+�#��&A)"��1�$+%#��#�++*���+�#��&A)"��1�$+%#��#�++*���+�#��&A)"��1�$+%#��#�++*�����
♦��!%$���%;��-��8�'��#�"!"%()��&������"�&*5%"%$��+�7�Σ �%%P��♦���E��∀���/�M��∈��"�K�2/��+��M��7��+�M���� ��&���
♦���E��∀���∈��"�K�/�∀���∈��?"�K�/��+���7��+���� �������♦��!%$���∈��"�K��$�--��()��∀���∈��"�K�/��+�����7�.���-!+'���7�.����3����1�C��+����%�;��7�1 ;�%�
♦�∀���∈��/��!%$����C���∈��"�K��→��+�����∈�K�∈��"�K�P����-!+'�∀�ϕ�∈��"�K�P/�∃�_���∈��"�K�/�ϕ�7�������3�����&���→������
♦� �7�<���∈��"�K��=��+���7�.>�7�O�+��+��'$�)"�E:6�+6-�"��&%1� �7�"2��� ��M�'��C���%;�%�≠�;�∪���%%����""�%�∈��"� ����3��
��+�#��&A)"��"&!1!+6E%'1���+�#��&A)"��"&!1!+6E%'1���+�#��&A)"��"&!1!+6E%'1���+�#��&A)"��"&!1!+6E%'1�����
���'$�')66!'*�&��&%1�"'%!"�5%"%���
♦��!%$�)�∈��������!%$�M�8�'��&���/��$���7���$�)/M����-!+'��+����"��&*6�"&�6�'�&��M����+�&*5%"%$%!"/��+�)��7��+������ ��&�1!���
��E��∀��)/�,��∈�����2/��+�)���,��7��+�,���)���♦���'�&A)"�6+!;�#$�)+�C��+�6��7�+��6���� K��
��K�⊂�����!%�"$�6/�(�6+!;�#$�)+'���-!+'�6�4�(�6+!;�#$�)+�⇔�6���(�7�(���6�7�.����3��
�$�&�"'�#��#�'/���7�1�6�⊕��1�(�⊕��O�+�(�∩�O�+�6����♦�K�⊂����6 /����/�6L�6+!;�#$�)+'���-!+'�Σ�6%�6+!;�#$�)+�⇔�∀��%/�;��∈��L2/�%�≠�;���6%���6;�7�.����3��
17 – Matrices équivalentes ♦��!%�"$��/�M�∈��6/�(�K������$�M�'!"$�*()%,�-�"$�'�'%�∃���∈��?6�K�/�∃��∈��?(�K�/���7��M���"�"!$����G�M����E��-�'A��%$�&A)"��+�-�$%!"�&A*()%,�-�"#��')+��6/�(�K���♦��!%$���∈��6/�(�K����!%�"$�� /����/��(�∈��6/� �K��-�'�,�#$�)+'�#!-!""�'�&�������"�&*5%"%$�+�����7�+��� /����/��(��7�&%1���#$�<��%/�%�∈��(�>����1�C�+�����≤��%"�6/�(��♦���E���!%$�)�∈���� /������M �8�'��&��� ��$�M��8�'��&�������-!+'�+��)��7�+����$�)/�M /�M����� ��&�1!���
��G�M���+����7�+��M�����66�-'�')+�-�'�1�$+%#�'�&��#E�"��1�"$�&��8�'���
����E���!%�"$��6/�(��∈��P2���"�"!$��d+�7��
�+ .
. .�∈��6/�(�K����!%$���∈��6/�(�K���+�����7�+�����G�d+��
♦���E��∀���/�M��∈��6/�(�K�/���G�M�⇔�+����7�+��M��?��"!18+��&��#-�''�'�&A*()%,�-�"#���'$��%"�6/�(��4� ��
♦���E��∀���∈��6/�(�K�/�+�����7�+��$���� ��&�1!��,�#�d+���
18 – Opérations élémentaires sur les matrices
�M�'��#�"!"%()��&���M�'��#�"!"%()��&���M�'��#�"!"%()��&���M�'��#�"!"%()��&���""""����K��������
��1�C��%�;��L�-�7�δ;�L��%�-��
�+�"',�#$%!"�C�� �%�;�λ��7�"�4�λ�%�;��� � �%�≠�;����+1)$�$%!"�C�� �%�;�7�"����%�%����;�;�4��%�;�4��;�%�� �%�≠�;���%-�$�$%!"�C�� �%�λ��7�"�4�� ���λ��%�%��
��*'!-)$%!"�&�����7�M�6�+�6%,!$�6�+$%�-��*'!-)$%!"�&�����7�M�6�+�6%,!$�6�+$%�-��*'!-)$%!"�&�����7�M�6�+�6%,!$�6�+$%�-��*'!-)$%!"�&�����7�M�6�+�6%,!$�6�+$%�-����
��∈��?"�K�/�M�∈��"/� �K����"�#E�+#E����&�"'��"/� �K��$�-�()�����7�M���"�$+%�"�)-%'��-��$!)$���"�+�1!"$���?��"!18+��&A!6*+�$%!"'�G�"D=D��
����������������� ������������������������������� ���������
�
����� Z�
��)$+�'��66-%#�$%!"'��)$+�'��66-%#�$%!"'��)$+�'��66-%#�$%!"'��)$+�'��66-%#�$%!"'����
♦���-#)-�&���� �C����7�M;��!̂ �M;�7�$��.�����.� �.�����.����B!18+��&A!6*+�$%!"'�7���"D���?�'�'!-)$%!"'���'�+!"$�-�'�,�#$�)+'�#!-!""�'�&���� ��
♦���-#)-�&��&*$���C�6+!&)%$�&�'�*-*1�"$'�&%��!"�)3�6!)+�-��1�$+%#��$+%�"�)-%'*�����%'�")1*+%()�1�"$/�'%���"A�'$�6�'�%",�+'%8-�/�&*$���7� .� S��
����3���-����3���-����3���-����3���-""""��������"��"&+*�6�+�-�'�$+�"',�#$%!"'���"��"&+*�6�+�-�'�$+�"',�#$%!"'���"��"&+*�6�+�-�'�$+�"',�#$%!"'���"��"&+*�6�+�-�'�$+�"',�#$%!"'����
�?"����7�<���∈��"����=�&*$���7� �>��'$�)"�'!)'N�+!)6��&���?"�����
-��'$��"��"&+*�6�+�<��%�;�λ��=�%�≠�;��$�λ�∈��P>�
�*1!�C�6�+�&�'��%� ;/�!"�+�"&�-��1�$+%#��*��-��I�-A%&�"$%$*�C����%� ;�����7�"��?�'�%",�+'�'�&�'��%� ;��'!"$�&�'��%� ;����&!"#���6�)$�'A*#+%+���"�5!"#$%!"�&�'��%�;��
����3���*#!16!'%$%!"�?�����3���*#!16!'%$%!"�?�����3���*#!16!'%$%!"�?�����3���*#!16!'%$%!"�?�����
♦��!%$���∈��?"�����
∃�?�$+%�"�)-�%+��%"5*+%�)+�/�∃���$+%�"�)-�%+��')6*+%�)+��$�-'�()����7�?��⇔�∀�L�∈��"/�&*$��L�≠�.��!̂ ��L��1%"�)+'�6+%"#%6�)3���'$�-��1�$+%#��&���L�����3$+�%$��&����()%�#!16!+$��-��#�++*�L�×�L�&)�E�)$�I���)#E�����&�1!���6+!&)%$�6�+�8-!#'�T�⇐�+*#)++�"#��')+�"�����1�C�?A)"%#%$*��'$��'')+*��'%�!"�%16!'��I�?�&��"��#!16!+$�+�()��&�'� �')+�-��&%��!"�-���
�)$+�� &*1!"'$+�$%!"� e#!"'$+)#$%,�e� &�� ⇐� C� � !"� 1)-$%6-%�� �� I� ��)#E�� 6�+� &�'� �%� ;�λ�� 6!)+� !8$�"%+� )"�� 1�$+%#��$+%�"�)-�%+��')6*+%�)+����"�5�%$��"�'!+$��()��-�'��%�;�'!%�"$�$!)'�$+%�"�)-�%+�'�%"5*+%�)+'���
♦��66-%#�$%!"�C��!)+�+*'!)&+�����7�M/��$���7�?��!"�+*'!)&�&A�8!+&��c�7�M�6)%'����7�c��B!18+��&A!6*+�$%!"'�7���"2���
����������������� ������������������������������� � ����������������
�
����� U�
���� ���������� �
19 – Formes bilinéaires symétriques sur un � ev
��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'��*"*+�-%$*'����
�!%$���)"������,���!%$�M�C���×���→����
�"�&%$�()��M��'$�8%-%"*�%+��'%�∀�3�∈��/�:�→�M�3/�:���$�:�→�M�:/�3��'!"$�&�'�5!+1�'�-%"*�%+�'��
�"�&%$�()��M��'$�':1*$+%()��'%�∀��3/�:��∈��2/�M�3/�:��7�M�:/�3����3�C��"���+!&)%$�'#�-�%+��#�"!"%()��
�3�C���/�c��∈��"���2�→��+��c���'$�)"��5!+1��8%-%"*�%+��':1*$+%()���6�'�&*5%"%��6!'%$%,����
�3�C��5/�����.���/�8�/���2�→���8�5�f�!̂ �f�∈��.���/�8�/��4P���)''%��
�3�C��3/�:��∈���→�ϕ�3�ψ�:��!̂ ��ϕ/�ψ��∈��P2��'$�)"��5!+1��8%-%"*�%+����
� !+1�'�()�&+�$%()�'� !+1�'�()�&+�$%()�'� !+1�'�()�&+�$%()�'� !+1�'�()�&+�$%()�'����
���5���!%$�M�C���→��2�)"�� M��')+����(�C�3�∈���→�M�3/�3��∈����'$��66�-*��5!+1��()�&+�$%()���''!#%*��I�M��
?A�"'�18-�������&�'�5!+1�'�8%-%"*�%+�'�':1*$+%()�'�')+����'$�)"�K��,���
?A�"'�18-�������&�'�5!+1�'�()�&+�$%()�'�')+����'$��)''%�)"�K��,��
?A�66-%#�$%!"�ϕ�C�M�∈������→�(�∈�������66�+$%�"$�I�������/�������
!+1)-�'�&��6!-�+%'�$%!"�C��!%$�M�∈�������$�(�-��5!+1��()�&+�$%()���''!#%*���
� ♦�∀��3/�:��∈��2/�M�3/�:��7�g���(�3�4�:����(�3���:���
� ♦�∀��3/�:��∈��2/�M�3/�:��7�h���(�3�4�:����(�3����(�:��� � ��&�1!'�&�,�-!66�1�"$���
��E��ϕ��'$�&!"#�)"�%'!1!+6E%'1����
� !+1�'�()�&+�$%()�'�6!'%$%,�'� !+1�'�()�&+�$%()�'�6!'%$%,�'� !+1�'�()�&+�$%()�'�6!'%$%,�'� !+1�'�()�&+�$%()�'�6!'%$%,�'����
(�∈�������'$�&%$��6!'%$%,��'%�∀�3�∈��/�(�3��≥�.�� � � ��1�C��∀��3/�:��∈�X2/�M�3/�:��≥�.����M�7�.��
�3�C�M�3/�:��7�Σ�α%�3%�:%�∈����"���'$�6!'%$%,��⇔�∀�%�∈��"/�α%�≥�.���3�C�M�5/����7���8�5���f�∈����.���/�8�/�����'$�6!'%$%,��⇔�f�6!'%$%,���
�3�C�M��/�c��7��+��c��∈����"�����"A�'$�6�'�5!+#*1�"$�6!'%$%,����!"$+�3�16-��&�"'��2���
��E���E*!+91��&����)#E:��#Ef�+F�C��!%$�M�∈�����/�M�6!'%$%,����-!+'�∀��3/�:��∈��2/�JM�3/�:�J2�≤�M�3/�3��M�:/�:���� ��&�1!��,�#�5�C�$�→�(�3�4�$:��≥�.���
�� !+1�'�8%-%"*�%+�'�':1*$+%()�'�&*5%"%�'�6!�� !+1�'�8%-%"*�%+�'�':1*$+%()�'�&*5%"%�'�6!�� !+1�'�8%-%"*�%+�'�':1*$+%()�'�&*5%"%�'�6!�� !+1�'�8%-%"*�%+�'�':1*$+%()�'�&*5%"%�'�6!'%$%,�''%$%,�''%$%,�''%$%,�'����
�!%$�M�∈����"����"�&%$�()��M��'$�&*5%"%��6!'%$%,��'%�∀�3�∈���[�<.>/�(�3��Y�.��
�3�C�M�5/����7���8�5�f�∈����.���/�8�/�����'$�&*5%"%��6!'%$%,��⇔�<�3�∈���/�8��=�f�3��Y�.�>��'$�&�"'��&�"'���/�8���
� f�3��7�3�J'%"� =3�J�#!",%�"$��
��E���!%$�M�)"�� M����')+�����-!+'�∀��3/�:��∈��2/�JM�3/�:�J2�≤�(�3��(�:�/��$�JM�3/�:�J2�7�(�3��(�:��⇔��3/�:��-%*���� ��&�1!��,�#�-��101��5���
����������������� ������������������������������� � ����������������
�
����� V�
20 – FBS sur un � ev de dimension finie
���$+%#��&A)"�� M����$+%#��&A)"�� M����$+%#��&A)"�� M����$+%#��&A)"�� M�����
♦��!%$�M�7��� /����/��"��)"��8�'��&���/��$�ϕ�∈��������"�"!$���%;�7�ϕ��%/��;����"�&*5%"%$���$�ϕ/�M��#!11����%;���
��E��∀��3/�:��∈��2/�'!%�"$����$�c�∈��"/ ����-�)+'�#!!+&!""*�'�&�"'�M���-!+'�ϕ�3/�:��7�$����c�� ��&�1!���
��1�C��!%$�M�7��� /����/��"��8�'��&�����?A�66-%#�$%!"�(�∈������→���$�(/�M��∈��"�����'$�)"�%'!1!+6E%'1�����&���
�!+!--�%+��C�&%1������7�&%1������7�"�"4 �=���
♦��!%�"$�M/�MA�8�'�'�&�����ϕ�∈��������!%�"$���7���$�ϕ/�M���$��A�7���$�ϕ/�MA����!%$���-��1�$+%#��&��6�''����&��M�I�MA�C���7���$�&/�MA/�M����-!+'��A�7�$������� ��&�1!��,�#�-�11����
?�11��C��∀���/����∈��"/ ���2/�$������7�.������7�.�� � ��&�1!��,�#�,�#$�)+'�&��-��8�'��#�"!"%()����
�"�&*5%"%$�D�+�-�$%!"'�&A*()%,�-�"#���I�"��6�'�#!"5!"&+���C�
∀���/��A��∈��"���2/����$��A�'!"$�&%$�'�#!"�+)�"$�'�''%�∃���∈��?"���/��A�7�$�������
∀���/��A��∈��"���2/����$��A�'!"$�&%$�'�'�18-�8-�'�''%�∃���∈��?"���/��A�7��� ������
∀���/��A��∈��"���2/����$��A�'!"$�&%$�'�*()%,�-�"$�'�''%�∃���/���∈��?"���/��A�7������⇔�+����7�+���A�����66�-��
���"����"����"����"�����
♦��!%$�M�)"��8�'��&������!%$�(�∈��������"�&*5%"%$�+��(�7�+����$�(/�M���� ��%"&*6�&��M���
♦��66-%#�$%!"�-%"*�%+���''!#%*��I�)"��5!+1��()�&+�$%()��C��!%$�ϕ�∈��������
�!%$�)�C�3�∈���→�ϕ3�∈��P�!̂ �ϕ3�C�:�∈���→�ϕ�3/�:��∈����)�∈����/��P����
�!%$�M�)"��8�'��&�����$�MP�'��&)�-����-!+'�C���$�)/�M/�MP��7���$�ϕ/�M�����1�C�+��ϕ�7�+��)����)$+��1�"%9+��&��&*5%"%+�+��ϕ����+�&*5%"%$%!"/�!"�6!'��O�+�(�7�O�+�)�7�<�3�∈���=�∀�:�∈��/�ϕ�3/�:��7�.�>� ���$$�"$%!"���
�"��66�--��-A�"'�18-��&�'�,�#$�)+'�%'!$+!6�'�&��(�<�3�∈���=�(�3��7�.�>��
W �+"%"�/�O�+�(�≠�<�3�∈���=�(�3��7�.�>��"��*"*+�-��
♦��!%$�(�∈��������"�&%$�()��(��'$�&*�*"*+*��'%�O�+�(�≠�<.>����1�C�(�"!"�&*�*"*+*��⇔�O�+�(�7�<.>�⇔�)�%'!1!+6E%'1��⇔���$�(/�M��∈��?"����!̂ �M��'$�)"��8�'��&�����
��3�16-�'��3�16-�'��3�16-�'��3�16-�'����
♦���"'��2/�(�3 /�3���7�3 2���3�2���-!+'�ϕ��3� /�3��/��: /�:����7�3 3����: :���O�+�(�7�<.>��'!$+!6�'�7���&+!%$�'��
♦���"'��2/�(�3 /�3���7�3 2��O�+�(�7����./ ��7�,�#$�)+'�%'!$+!6�'��
♦���"'��"���/�(����7��+��2���ϕ��/�B��7��+��B���O�+�(�7�<.>��ϕ��%;/��L-��7� �⇔�;�7�L��$�%�7�-��
��$�(/�#�"!"���'$�)"��1�$+%#��&��6�+1)$�$%!"���"�6�)$�-A*#+%+���"�+�"���"$�-�'��%;�')%,�"$�C���%%��T���%;��;%�����
♦���"'������/�(����7�&*$�����O�+�(�7�<.>��
�� !+1�'�()�&+�$%()�'�6!'%$%,�'�� !+1�'�()�&+�$%()�'�6!'%$%,�'�� !+1�'�()�&+�$%()�'�6!'%$%,�'�� !+1�'�()�&+�$%()�'�6!'%$%,�'����
♦���E���!%$�(�∈�����/�(�≥�.���-!+'�∀�3�∈��/�(�3��7�.�⇔�3�∈�O�+�(�� ��&�1!�+�6%&����
?A�"'�18-��&�'�,�#$�)+'�%'!$+!6�'��'$�O�+�(��
♦���E���!%$�(�∈�������(��'$�6!'%$%,���$�"!"�&*�*"*+*��⇔�(��'$�&*5%"%��6!'%$%,���
♦��!%$���)"��'6�#��,�#$!+%�-��)#-%&%�"���!%$�6�∈������)"�6+!;�#$�)+�$�-�()��∀�3�∈��/��6�3���≤��3�����!"$+�+�O�+�6���1�6���3�� ��!"�)$%-%'��(�3��7��3�2����6�3��2���
����������������� ������������������������������� � ����������������
�
������.�
21 – Méthode de Gauss �!%$���)"������'6�#��,�#$!+%�-�&��&%1�"'%!"�5%"%����
♦���E���!%$�(�∈�������$�ϕ�'��5!+1��6!-�%+����-!+'���6!''9&��)"��8�'��!+$E!�!"�-��M�7��� /����/��"��6!)+�(�C�
� ∀��%/�;��∈��"2/�%�≠�;���ϕ��%/��;��7�.�� � ��&�1!�6�+�+*#)++�"#��')+�"�7�&%1����
♦��!%$�(�∈��������!%$�M�7��� /����/��"��)"��8�'��(���!+$E!�!"�-�����$�(/�M��7�&%���α /����/�α"��!̂ �∀�%�∈��"/�α%�7�(��%���
�!%$�+�7�+��(��7�R<�%�∈��"�=�α%�≠�.�>���"�')66!'��� /����/��+�"!"�")-'��$��+4 /����/��"�")-'���+4 /����/��"�'!"$�%'!$+!6�'���
�-!+'�(�7�Σ�α%��%P�2��
�*#%6+!()��C�')66!'!"'�α /����/�α+�+*�-'�"!"�")-'��$�ϕ /����/�ϕ+�&�'�5!+1�'�-%"*�%+�'�%"&*6�"&�"$�'��
�!%$�(�7�Σ�α%�ϕ%2���A�'$�)"��5!+1��()�&+�$%()����"�6�)$�$+!),�+�)"��8�'��M�7��� /����/��"��$�--��()��(�7�Σ�α%��%P�2��
♦��-�!+%$E1��&����)''�C��!%$�M�7��� /����/��"��)"��8�'��&������!%$�(�∈��������!%$���7���%;��7���$�(/�M���
�!%$�3�∈�����"�"!$��3%�7��%P�3���(�3��7�$������7�Σ��%;�3%�3;�
� •� ��#�'�C�∃�%�∈��"/��%%�≠�.���%�6�+��3�16-��� �≠�./�!"�*#+%$�
� (�3��7�� ���
��3 �4�
� �
� �3��4�����4�
� "
� �3"
�
�4�( �3�/����/�3"���
� �"�+�#!11�"#���,�#�( ��
� •����#�'�C�∀�%�∈��"/��%%�7�.���%�6�+��3�16-��� ��≠�./�!"�*#+%$�
� (�3��7�� ����
��3 �4�
��D
� ��3D�4�����4�
��"
� ��3" �
���3��4�
� D
� ��3D�4�����4�
� "
� ��3" �4�( �3D/����/�3"��7�� ��ϕ ϕ��4�( �3D/����/�3"��
� (�3��7�� �
� �ϕ �4�ϕ��2���� �
� ��ϕ ���ϕ��2�4�( �3D/����/�3"���
� �"�+�#!11�"#���,�#�( ��
��-��5%"/�!"�!8$%�"$�-A*#+%$)+��&��(�'!)'�-��5!+1��Σ�α%�ϕ%2/�!̂ ��ϕ%���'$�)"��5�1%--��-%8+��&�"'��P�� �
��G&�+*#)++�"#��')+�-��"!18+��&��,�+%�8-�'/��,�#�&�'�1�$+%#�'���
�3�C�� 3 �3��7� ��3 �4�3��2���
��3 ���3��2�
� 3 �3��4�3 �3D�4�3��3D�7� ��3 �4�3��4��3D�2���
��3 ���3��2���3D2�
� 3 �3��4�3 �3D�4�3 �3��4�3��3D�4�3��3��4�3D�3��7� ��3 �4�3��4��3D�4��3��2���
��3 ���3��2����
���3D�4�
��3�
�
���D��3�2�
��-�5�)$�8%�"�#!""�@$+��-��1*$E!&��&����)''�����"$+�-��...��