ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ПО ВЫСШЕЙ...

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Гуманитарный факультет

Кафедра информационных технологий

И. К. СИРОТИНА

ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВУЗОВ

Минск

2014

2

УДК51(075.8)(076.3) С 414

А в т о р

И. К. Сиротина

старший преподаватель кафедры информационных техноло-

гий гуманитарного факультета Белорусского государственно-

го университета.

Р е ц е н з е н т

А. И. Марченко

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий

кафедрой высшей математики и информатики Института

предпринимательской деятельности.

Сиротина, И. К. Тематические тесты по высшей

математике : для экономических спец. вузов / И. К.

Сиротина ; БГУ, Гумани-тарный фак., Каф.

информационных технологий. – Минск : БГУ, 2014. –

128 с. – Библиогр.: с. 126.

Пособие представляет собой сборник апробиро-

ванных тематических тестов по высшей математике.

Адресуется студентам специальности «Менеджмент»

гуманитарного факультета БГУ. Может быть использо-

вано в процессе изучения высшей математики студен-

тами других специальностей.

Iryna Sirotina.Thematic tests in higher mathematics

Manual is a collection of proven test case in higher ma-

thematics.

Addressed to students in "Management" humanitarian

BSU. Can be used in the process of studying higher ma-

thematics students in other majors.

3

ВВЕДЕНИЕ

Пособие представляет собой сборник апробированных темати-

ческих тестов по высшей математике: линейной и векторной алгеб-

ре; аналитической геометрии; дифференциальному исчисле-

нию;интегральному исчислению;дифференциальным уравнениям;

рядам.

Тесты пособия позволяют проверитьоперативные теоретиче-

ские знания студентов и определить уровень их практических уме-

ний и навыков. С этой целью в сборник включено 15 теоретических

тестаи 28 практических тестов двух уровней сложности, что дает

возможностьосуществлять внутреннюю дифференциацию обуче-

ния.

Поскольку сборник содержит экономические приложения про-

изводной и интегралов, то тесты сориентированы,прежде всего, на

обучение студентов экономических специальностей вузов. Однако

это не означает, что они не могут быть использованы при обучении

высшей математике студентов всех других специальностей.

Перед каждым заданием (или перед группой заданий) приве-

дена инструкция по его выполнению.Так, например, если перед

заданием записано «Укажите правильный вариант ответа», то,

выполнив это задание, из приведенных ниже вариантов ответов

необходимо выбрать только один правильный. Если записано

«Укажите все варианты правильных ответов», то среди приве-

денных ниже вариантов ответов может оказаться правильным или

только один, или несколько, или все варианты ответов могут быть

правильными.Если перед заданием записано «Установите соот-

ветствие», то приведено два (или три) столбца информации. Ин-

формацию первого столбца следует соотнести с информацией вто-

рого столбца (или двух других столбцов). При этом второй столбец

(или два других) чаще всего содержит избыточную информа-

цию.Если перед заданием записано «Установите правильный по-

рядок действий», то приведенную ниже информацию необходимо

расположить в правильной последовательности.Если перед задани-

4

ем записано «Укажите все необходимые действия», то приведен-

ный ниже алгоритм может содержать как избыточную, так и лож-

ную информацию.Задания открытой формы не содержат вариантов

ответов. Перед такими заданиями записано «Дополните».

Поясним сказанное, рассмотрев несколько примеров решения

тестовых заданий.

Укажите правильный вариант ответа:

Пример 1. Количество целых чисел, принадлежащих промежутку

убывания функции 11523

1 23 xxxy , равно

Варианты ответов: 1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 7; 5) 0.

Решение. Найдем производную функции:

11523

1 23 xxxy ,

54052233

1 22 xxxxy .

Найдем промежуток убывания функции, решая неравенство

0542 xx .Получим: 1 ;5x .

Запишем целые числа, принадлежащие данному промежутку:

–4; –3; –2; –1; 0.

Так как промежутку убывания функции принадлежит 5 целых

чисел, то правильный вариант ответа: 2) 5.

Ответ следует записать так: 2.


Пример 2. Если ряд 1

1

2

3nn

n сходится, то найдите 31 aa , а если

ряд расходится, то найдите 12 aa

Варианты ответов: 1) 27

7; 2)

81

31; 3)

9

1; 4)

9

2; 5) 3.

Решение. Исследуем данный ряд на сходимость, применяя

признак Даламбера.Запишем:

1

2

3nn

na ,

2

2

13

1nn

na ,

2

22

121 1

3

1

3

31

n

n

n

n

a

an

n

n

n ,

5

13

11

3

111lim

3

11

3

1lim

22

nn

n

nn.

Поскольку ряд 1

1

2

3nn

nсходится, то найдем сумму первого и

третьего членов этого ряда: 9

2

3

3

3

14

2

231 aa .

Правильный вариант ответа: 4) 9

2.

Ответ записывают так: 4.

Укажите все правильные варианты ответов:

Пример 3. Несобственным интегралом называют:

1) определенный интеграл, у которого хотя бы один из его пре-

делов бесконечен;

2) определенный интеграл, у которого оба его предела беско-

нечны;

3) определенный интеграл от неограниченной функции;

4) неопределенный интеграл от ограниченной функции.

Решение. Несобственными называют интегралы, у которых хо-

тя бы один из пределов равен бесконечности и интегралы от неог-

раниченных функций. Следовательно, правильными являются пер-

вый, второй и третий варианты ответов.

Ответ записывают так: 1; 2; 3.


Пример 4. Если основная матрица системы линейных уравнений

вырождена, то система уравнений:1) имеет одно решение;2) не

имеет решений;3) имеет бесконечное множество решений;4) может

иметь как одно, так и несколько решений;5) может не иметь реше-

ний, либо иметь бесконечное множество решений.

Решение. Если матрица, составленная из коэффициентов при

переменных системы линейных уравнений, вырождена, то такая

система уравнений может не иметь вовсе решений, либо иметь бес-

конечно много решений. Приведенные варианты ответов содержат

только один правильный ответ.

Ответ: 5.

Установите соответствие:

6

Пример 5.Действия с матрицами 12

01A и

01

14B :

ДЕЙСТВИЕ РЕЗУЛЬТАТ

1) BA ; а)38

25;

2) BA 23 ; б)01

16 ;

3) BA ; в)51

15;

4) AB . г)02

04;

д)

29

14 ;

е) не существует.

Решение.Выполним действия с матрицами:

1) 11

15

0112

1041

01

14

12

01BA ;

2) 38

25

0326

2083

02

28

36

0323 BA ;

3) 01121142

00111041

01

14

12

01BA ,

29

14BA ;

4) 10012011

11042114

12

01

01

14AB ,

01

16AB .

Ответ следует записать так: 1 – в, 2 – а, 3 – д, 5 – б.


Пример 6. Согласованность матриц

7

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B , 232221

131211

aaa

aaaA и

3231

2221

1211

cc

cc

cc

C :

МАТРИЦА ЕЕ РАЗМЕРЫ СОГЛАСОВАНА

С МАТРИЦЕЙ

1)А; а) 23 ; ж) С;

2)В; б) 16 ; з) А;

3)С. в) 33 ; и)иА, и В;

г) 53 ; к) иВ,и C;

д) 32 . л) иА, и С.

Решение. Если матрица содержит nстрок и mстолбцов, то го-

ворят, что она имеет размеры mn . Тогда:

матрицаА имеет размеры 32 ;

матрица B имеет размеры 33 ;

матрица C имеет размеры 23 .

Одна матрица согласована с другой, если количество столбцов

первой матрицы равно количеству строк второй. Тогда:

матрицаА согласована как с матрицей B, так и с матрицей C;

матрица B согласована с матрицей C;

матрица C согласована с матрицей А.

Ответ записывают так: 1 – д – к; 2 – в – ж; 3 – а – з.

Установите правильный порядок действий:

Пример 7.Чтобы найти производную функции xgxfy , необ-

ходимо в правильном порядке выполнить следующие действия:

1) yxfxgy ln ; 2) xfxgy lnln ; 3) xgxfy lnln ;

4) xfxgy lnln .

Решение. Чтобы найти производную показательно-степенной

функции необходимо:

1) прологарифмировать обе части уравнения xg

xfy , т. е.

записать: xg

xfy lnln ;

2) согласно свойству логарифмов xnx an

a loglog записать:

xfxgy lnln ;

8

3) найти производную левой и правой части последнего урав-

нения: xfxgy lnln , xfxgy

yln ;

4) выразить явно y .

Ответ следует записать так: 3; 2; 4; 1.

Укажите все необходимые действия:

Пример 8.Чтобы найти критические точки функции yxfz ; ,

необходимо:

1) найти частные производные первого порядка функции

yxfz ; ;

2) найти частные производные второго порядка функции

yxfz ; ;

3) найти критические точки функции, решая систему уравнений

0xz , 0yz ;

4) найти критические точки функции, решая систему уравнений

0xxz , 0yyz ;

5) найти значения вторых производных в критической точке

000 ; yxM : AzMxx

0

, BzMxy

0

, CzM

yy0

;

6) найти определитель CB

BA;

7) найти определитель CB

AB;

8) если 0 , то записать: экстремум в точке 000 ; yxM есть;

9) если 0 , то записать: экстремума в точке 000 ; yxM нет.

Решение. Чтобы найти критические точки функции двух пере-

менных, необходимо: найти частные производные первого порядка

функции yxfz ; и решить систему уравнений 0xz , 0yz .

Приведенный алгоритм содержит как избыточную информацию

(варианты ответов 2, 5, 6, 8 и 9), так и ложную информацию (вари-

анты ответов 4, 7).

Ответ следует записать так: 1; 3.

Дополните:

9

Пример 9. Сумма модулей всех значений переменных, которые

образуют решение системы линейных уравнений

,23

,52

,532

zyx

zyx

zyx

равна_____.

Решение. Найдем решение данной системы уравнений по фор-

мулам Крамера: A

Ax

x,

A

Ay

y,

A

Az

z,

где A – определитель основной матрицы системы;

xA , yA и zA – определители, полученные в результате за-

мены первого, второго и третьего соответственно столбцов опреде-

лителя матрицыА столбцом свободных членов.

Вычислим определители:

1) 513

11

13

213

11

212

113

211

132

A ;

2) 512

15

12

253

11

215

112

215

135

xA ;

3) 1023

51

13

215

12

252

123

251

152

yA ;

4) 513

115

23

513

21

512

213

511

532

zA .

Найдем значения переменных:

15

5x , 2

5

10y , 1

5

5z .

Найдем сумму модулей значений переменных:

3121zyx .

Ответ: 3.

11

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Структура тестов 1. Матрица. Виды матриц.

2. Линейные действия с матрицами.

3. Произведение матриц.

5. Числовые характеристики матриц.

6. Ранг матрицы.

7. Обратная матрица.

Тест 1.1 для проверки теоретических знаний по теме «Матрицы и определители»

Укажите все варианты правильных ответов (1 – 2):

1.Матрица размеров mn имеет вид:

1)

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

21

22221

11211

;2)

nmnn

m

m

ccc

ccc

ccc

21

22221

11211

;

3)

aaa

aaa

aaa

; 4)

nmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

; 5)

nmn

m

xx

xx

1

111

.

2. МатрицыАи Вравны, если:

1) количества элементов матрицА и В совпадают;

2) размеры матрицА и В совпадают;

3) все соответствующие элементы матрицА и В равны;

4) определители матрицА и В равны;

5) матрицыА и В симметричные.

Установите соответствие (3 – 7):

3. Виды матриц: МАТРИЦА ПРИМЕР

12

1) строка; а) cba ;

2) диагональная; б)a

a

0

0;

3) нулевая; в)

0

0

0

3231

2321

1312

aa

aa

aa

;

4) третьего порядка. г)

4

8

1

;

д)

2010

0221

8421

;

е)

0000

0000

0000

.

4. Виды матриц: МАТРИЦА ПРИМЕР

1) единичная; а)

100

010

001

;

2) треугольная; б)

350

006

001

;

3) квазитреугольная. в)

1300

2120

3421

;

г)

001

010

100

;

13

д)

111

111

111

.

5.Линейные действия с матрицами: ОПЕРАЦИЯ ДЕЙСТВИЕ

1) сложение матриц; а) умножение всех элемен-

тов матрицы на число;

2) вычитание матриц; б) умножение одной из

строк матрицы на число;

3) умножение матрицы на

число.

в) сложение соответствую-

щих элементов матриц;

г) вычитание соответст-

вующих элементов матриц;

д) умножение одного из

столбцов матрицы на чис-

ло.

6. Свойства линейных действий над матрицами: A, B и C – матрицы

одинаковых размеров; O – нулевая матрица; и – любые дейст-

вительные числа: ДЕЙСТВИЕ РЕЗУЛЬТАТ

1) CBA ; а) AB ;

2) AA ; б) )( CBA ;

3) BA ; в) BA ;

4) )( BA ; г) AA ;

5) A . д) A ;

е) O;

ж) 2A.

7. Согласованность матриц: ВИД

СОГЛАСОВАННОСТИ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) матрицаВ согласована

с матрицей А;

а) количество строк матрицыА

равно количеству столбцов

матрицы В;

2) матрицаА согласована

с матрицей В;

б) количество столбцов матри-

цыВ равно количеству строк

матрицы А;

14

3) матрицыА и В взаимно

согласованы.

в) матрицыА и В имеют одина-

ковый порядок;

г) количество строк матрицыВ

равно количеству строк матри-

цы А;

д) количество столбцов матри-

цыА равно количеству строк

матрицы В.


8. Свойства произведения матриц(матрицыА, В и С – согласованы):

1) BAAB ;2) ACBABC ;3) CABABC ;

4) если XA , то XBAB ;5) если XA , то BXAB .


9. Определитель матрицы: МАТРИЦА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

1)2221

1211

aa

aa;

а) 312312332211 aaaaaa

312213133221 aaaaaa

331221322311 aaaaaa ;

2)

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

; б) 22221212 AaAa

42423232 AaAa ;

3)

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

. в) 22221111 AaAa

44443333 AaAa ;

г)21122211 aaaa ;

д) 22112112 aaaa .

Укажите все правильные варианты ответов (10 – 16):

10. Свойства определителей:

1) определитель матрицы равен нулю, если все элементы какой-

либо ее строки (столбца) равны нулю;

2) определитель не изменится, если к элементам некоторой

строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элемен-

ты другой ее строки (столбца), умноженные на любое число;

3) определитель не изменится, если транспонировать матрицу;

15

4) при перестановке двух строк (столбцов) матрицы определи-

тель поменяет знак;

5) определитель диагональной матрицы равен произведению

всех ее диагональных элементов.

11.Минором элемента ija матрицыА называют:

1) определитель матрицыА, у которого отсутствует i-я строка и

j-й столбец;

2) определитель матрицыА, у которого отсутствует j-я строка и

i-й столбец;

3) матрицаА, у которой отсутствует i-я строка и j-й столбец;

4) матрицыА, у которой отсутствует j-я строка и i-й столбец;

5) определитель матрицы А.

12.Алгебраическое дополнение элемента ija матрицыА находят по

формуле:

1) ij

ji

ij MA 1 ;2) ijij MA ;3) ij

ij

ij MA 1 ;

4) ji

ji

ji MA 1 ;5) ij

ji

ij MA 1 .

13.Рангом матрицы называют:

1) определитель матрицы;

2) наибольший порядок отличных от нуля ее миноров;

3) наименьший порядок отличных от нуля ее миноров;

4) минор наибольшего порядка;

5) наибольший порядок из равных нулю ее миноров.

14.Если матрица вырождена, то:

1) ее определитель равен нулю;

2) ее определитель отрицателен;

3) она симметрична;

4) она не имеет обратной матрицы;

5) ее ранг равен нулю.

15. Верными являются утверждения о ранге матрицы:

1) ранг матрицы равен нулю, только в том случае, если матрица

нулевая;

2) если ранг квадратной матрицы равен ее порядку, то матрица

вырожденная;

3) ранг матрицы выражается целым числом, заключенным ме-

жду нулем и наименьшим из чисел m и n, где m – количество

строк матрицы, а n – количество ее столбцов;

16

4) ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной

матрицы;

5) если вычеркнуть из матрицы строку, все элементы которой

равны нулю или приписать к ней такую строку, то ранг матри-

цы изменится.

16. Если матрица 1A является обратной к матрице

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A ,

то верно, что:

1)

100

010

00111 AAAA ;2)

111

111

11111 AAAA ;

3)

332313

322212

312111

1 1

AAA

AAA

AAA

AA ;4)

332313

322212

312111

1 1

AAA

AAA

AAA

AA ;

5)

333231

232221

131211

1 1

AAA

AAA

AAA

AA .


17. Решение матричных уравнений: УРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЕ

1) BAX ; а) BAX 1;

2) BXA . б) BAX T ;

в) 1BAX ;

г) ABX 1.

17

Тест 1.2 для проверки умений и навыков по теме «Матрицы и определители»


1.Согласованность матриц

278

410

355

B , 213

213A и

50

14

32

C :

МАТРИЦА ЕЕ РАЗМЕР СОГЛАСОВАНА

С МАТРИЦЕЙ

1)А; а) 23 ; ж) С;

2)В; б) 16 ; з)А;

3)С. в) 33 ; и)иА, и В;

г) 53 ; к) иВ,и C;

д) 32 . л)иА, и С.

2. Транспонирование матриц: МАТРИЦА ТРАНСПОНИРОВАННАЯ

МАТРИЦА

1)34

21; а)

110

334

251

;

2)

132

135

041

; б)

102

8513

412

435

;

3)

201

1358

214

534

. в)41

32;

г)32

41;

18

д)

21325

0513

1844

.

3.Действия с матрицами

23

12

54

A ,

20

34

21

B и

01

58

34

C :


1) CA ; а)

63

56

12

;

2) AB2 ; б)

43

22

33

;

3) BC 32 . в)

206

24

01

;

г)

24

410

88

;

д)

62

128

1211

.


302

534A ,

13

21

04

B и14

21D :


19

1) AB ; а)

210

618

268

;

2) AD ; б)171214

1138;

3) BA2 . в)634

268;

г)317

134;

д)

12910

1138

201216

.

5. Числовые характеристики матриц: МАТРИЦА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАНГ

1)105

21; а) 0; е) 0;

2)

240

153

041

; б) – 60; ж) 3;

3)

0642

0050

3421

0121

. в) – 20; з) 2;

г) – 18; и) 4;

д) 60. к) 1.

6. Дана матрица

130

123

214

A :

МИНОР ЗНАЧЕНИЕ

1) 21M ; а) –9;

2) 32M ; б) 10;

20

3) 33M ; в) –20;

4) 13M . г) –5;

д) 11;

е) 9.

7. Дана матрица

314

213

021

A :

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

ДОПОЛНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЕ

1) 13A ; а) –1;

2) 32A ; б) –4;

3) 31A ; в) –6;

4) 12A . г) 2;

д) 1;

е) 0.


8. Если матрицаАимеет вид

320

153

241

,то значение выражения

23112113 2 AAMM равно

Варианты ответов: 1) 8; 2) – 4; 3) 3; 4) – 10; 5) 100.


9. Нахождение матрицы, обратной данной: МАТРИЦА ОБРАТНАЯ ЕЙ МАТРИЦА

1)84

22; а)

25,05,0

25,01;

2)

100

150

341

. б)25,025,0

5,01;

21

в)

100

2,02,00

2,28,01

;

г)

113

054

001

.

10. Действия с матрицей12

13A :


1) TA ; а) 11

23;

2) 1A ; б) 11

23;

3) 2A . в) 6,04,0

2,02,0;

г)

14

19;

д)

18

47.

Тест 1.3 для проверки умений и навыков по теме «Матрицы и определители»



2374

8653

2421

A ,

4157

6321

8431

B ,

22

6347

8653

4831

C и

31086

712107

6834

D :


1) TDCA 32 ; а)

1682125

281862

1820114

;

2) CABA2 . б)

162818

81820

21611

2524

;

в)

193314

51824

181510

2341

;

г)

1951823

3318154

1424101

.

2.Действия с матрицами763

8104C и

15

34D :


1) DC 2 ; а)125

916;

2) CD 34 ; б)1625

1531;

3)22 DE . в)

335623

112825;

г)396672276

132696300;

д) не существует.

3. Числовые характеристики матриц:

23

МАТРИЦА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

1)

T

576

13105

8163

; а) – 5250;

2)

0642

2050

3421

0321

. б) 0;

в) 1;

г) 525.

Укажите правильный вариант ответа(4 – 8):

4. Если известно, что 150

631A ,

107

341B ,то определи-

тель матрицы TBAC 2 равен

Варианты ответов: 1) 216; 2) – 3756; 3) 138; 4) 108; 5) 32.


43A ,

31

04B ,то разность опреде-

лителей матриц C и D, при условии, что BAC , а ABD ,

равна

Варианты ответов: 1) 148; 2) 0; 3) 138; 4) – 108; 5) 35.

6. Если определитель матрицы

431

158

32

x

xx

A равен –11, то

положительное значение x равно


7.Наименьшее неотрицательное решение уравнения

0

cos00

sin10

cos1sin

x

x

xx

равно

Варианты ответов: 1) 1; 2) 2

; 3) ; 4) 2

3; 5) 0.

24

8.Если известно, что 21

12A , а

11

11B ,то решение уравне-

ния BAX имеет вид

Варианты ответов: 1) 2,06,0

2,06,0; 2)

6,04,0

2,02,0; 3)

11

11;

4) 2,02,0

6,06,0; 5)

21

12.

Дополните (9 – 10):


12A ,

11

11B и BXA ,то сумма

элементов первой строки матрицы Х равна _____.

10. Если известно, что матрица А имеет вид

61593

0178

2531

0084

A ,

то значение выражения 43

2

133423rank AMMAA равно _____.

25

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Структура тестов

1. Основные понятия и определения.

2. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

3. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5. Исследование систем линейных уравнений.

Тест 2.1 для проверки теоретических знаний по теме «Системы линейных уравнений»


1.Характеристики системы линейных уравнений

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

..............................................

,...

,...

2211

22222121

11212111

:

ХАРАКТЕРИСТИКА ПРИМЕР

1) коэффициенты при пере-

менных уравнений системы; а)

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A

2

1

21

22221

11211

~ ;

2) свободные члены уравне-

ний системы; б)

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

;

3) основная матрица систе-

мы; в) T

nxxxX ...21 ;

4) расширенная матрица

системы; г)

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

B

21

22221

11211

;

26

5) искомая матрица системы. д)T

nbbbB ...21;

е) ib , где mi , ... ,2 ,1 ;

ж)

ija , где mi , ... ,2 ,1 ;

nj ..., ,2 ,1 .

2.Основные понятия и определения: СИСТЕМА ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) определенная; а) свободные члены всех ее уравне-

ний равны нулю;

2) неопределенная; б) хотя бы один из свободных чле-

нов уравнений системы равен нулю;

3) совместная; в) система имеет хотя бы одно ре-

шение;

4) несовместная; г) система имеет более одного ре-

шения;

5) однородная.

д) решением системы являетсяупо-

рядоченная совокупность чисел,

при подстановке которых в систему

каждое из ее уравнений обращается

в верное равенство;

е) система не имеет ни одного ре-

шения;

ж) системаимеет два решения.

Укажите все необходимые действия (3 – 5):

3.Чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом,

необходимо:

1) записать основную матрицу A системы;

2) записать матрицу-столбец X, состоящую из переменных

уравнений системы;

3) записать матрицу B, состоящую из столбца свободных чле-

нов;

4) записать расширенную матрицу системы;

5) найти определитель основной матрицы системы;

6) найти матрицу, обратную матрице A;

7) найти матрицу Х, умножив матрицуВ на матрицу 1A ;

8) найтиматрицу Х, умножив матрицу 1A на матрицу B.

27

4. Чтобы решить систему линейных уравнений, содержащих п пе-

ременных, методом Крамера, необходимо:

1) найти определитель A основной матрицы системы;

2) найти определители iA ( ni ,1 ), полученные в результате

замены i-го столбца определителя A столбцом свободных

членов системы;

3) найти определители iA ( ni ,1 ), полученные в результате

замены i-ой строки определителя A столбцом свободных чле-

нов системы;

4) найти значения переменных уравнений системы по форму-

лам i

iA

Ax ;

5) найти значения переменных уравнений системы по форму-

лам A

Ax

i

i.

5.Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, не-

обходимо:

1) составить основную матрицу системы;

2) составить расширенную матрицу системы;

3) с помощью элементарных преобразований привести основ-

ную матрицу системы к треугольному виду;

4) с помощью элементарных преобразований привести расши-

ренную матрицу системы к трапециевидному виду;

5) на основе полученной треугольной матрицы составить и ре-

шить систему линейных уравнений;

6) на основе полученной трапециевидной матрицы составить и

решить систему линейных уравнений.

Укажите все варианты правильных ответов:

6. Чтобы привести матрицу к треугольному виду, можно выполнять

следующие элементарные преобразования этой матрицы:

1) умножать и делить ее любою строку на отличное от нуля

число;

2) умножать и делить ее любой столбец на действительное чис-

ло;

28

3) менять местами строки;

4) менять местами столбцы;

5) складывать и вычитать строки;

6) складывать и вычитать столбцы;

7) перемножать и делить строки;

8) перемножать и делить столбцы;

9) вычеркивать строки, все элементы в которых нули.


7.Исследование систем линейных уравнений: СИТЕМА ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) совместная; а) ранг основной матрицы системы ра-

вен рангу ее расширенной матрицы;

2) не совместная. б) ранг основной матрицы системы

больше ранга ее расширенной матрицы;

в) ранг основной матрицы системы не

равен рангу ее расширенной матрицы;

г) ранг расширенной матрицы системы

больше ранга ее основной матрицы.

Тест 2.2 для проверки умений и навыков по теме «Системы линейных уравнений»

Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):

1. Если 00 , yx – решение системы линейных уравнений

,02148

,01335

,0174

yx

yx

yx

то значение выражения 1

0

2

0 yx равно

Варианты ответов: 1) 1,25; 2) 1; 3) 20; 4) 0,5; 5) – 0,75.

2.Система линейных уравнений

165

,73

,532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

имеет следующее решение

29


1421x ;

9

72x ;

63

1163x ;

2) 63

171x ;

3

1722x ;

163

723x ; 3)

61

121x ;

453

4372x ;

35

423x ;

4) 5

121x ;

5

1432x ;

5

143x ; 5)

3

21x ;

3

42x ;

3

53x .

3.Сумма всех значений переменных, которые образуют решение

системы уравнений

,3

,132

,05

321

321

321

xxx

xxx

xxx

равна


72;2)

26

39; 3)

13

10; 4)

23

143;5)

63

116.

4.Если 000 ; ; zyx – решение системы уравнений

,74

,22

,0132

zyx

zyx

zyx

то значение 0x равно

Варианты ответов: 1)5; 2)3; 3)1; 4) – 1; 5)0.

5. Если 321 ; ; xxx – решение системы уравнений

,114

,223

,922

321

321

321

xxx

xxx

xxx

то значение 2x равно

Варианты ответов: 1) 0; 2) – 3; 3) – 51; 4) 1; 5) 17

5.

6. Если 000 ; ; zyx – решение системы уравнений

,114

,1153

,1132

zyx

zyx

zyx

то значение 0z равно

30


7. Если 000 ; ; zyx – решение системы уравнений

,03

,4662

,233

zyx

zyx

zyx

то значение выражения 00 yx равно


4; 3) 1; 4) 12; 5) 5a , где Ra .

8.Если A – определитель основной матрицы системы уравнений

,043

,02

,032

zyx

zyx

zyx

а 000 ; ; zyx – ее решение, то значение выражения 000 zyxA равно

Варианты ответов: 1) 28; 2) 34; 3) 17; 4)– 14; 5) 0.

9.Если k – количество решений,а Ar – ранг основной матрицы сис-

темы уравнений

,134

,032

,3745

zyx

zyx

zyx

то значение выражения kAr равно


10.Сумма модулей всех значений переменных, которые образуют

решение системы линейных уравнений

,7545

,225

,4253

,7322

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

равна


31

Тест 2.3 для проверки умений и навыков по теме «Системы линейных уравнений»


1.Дана система уравнений

.02

,0532

,043

zyx

zyx

zyx

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗНАЧЕНИЯ

1) определитель основной

матрицы системы; а) 0;

2) количество решений сис-

темы. б) 1;

в) 2;

г)3;

д) бесконечное множество.

2.Дана система уравнений

.02

,52

,13

yx

yx

yx

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗНАЧЕНИЯ

1) ранг основной матрицы

системы; а) 0;

2) ранг расширенной матри-

цы системы; б) 1;

3) количество решений сис-

темы. в) 2;

г) 3;

д) бесконечное множество.


3. Система уравнений

025

,0342

,032

42

4321

321

xx

xxxx

xxx

1) имеет одно решение;

2) имеет бесконечно много решений;

3) не имеет решений.


32

4.Система уравнений

08112

,0522

,0432

,01313

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

1) совместная;

2) не совместная;

3) определенная;

5) не определенная.


5. Если Ar – ранг основной, а

Ar~ – ранг расширенной матрицы сис-

темы уравнений

,324

,243

,1432

,432

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

то значение выражения AArr ~ равно


6. Если 000 ; ; zyx – решение, A

r~ –ранг расширенной матрицы

системы уравнений

,05342

,0643

,042

zyx

zyx

zyx

то результат вычисления выражения

1

2~

000

Ar

zyx равен

Варианты ответов: 1) 3; 2) 9; 3) –9; 4) 1,75; 5) 0.

7. Решение системы линейных уравнений

72

,732

,143

32

31

21

xx

xx

xx

имеет вид

33

Варианты ответов: 1) 141x , 02x , 73x ;

2) R1x , R2x , R3x ; 3)Ø;

4) ax1 , 72 ax ; 733 ax , где Ra ;

5) ax 3141 , ax2, ax 273 , где Ra .

8. Решение системы уравнений

2255

,12642

,123

,132

321

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

имеет вид

Варианты ответов: 1) 0 ;6

1 ;

6

1 ;

6

1; 2) 1 ;1 ;1 ;1 ;

3) 4444 ;5 ;7 ;5 xxxx , где R4x ; 4)Ø;

5)4444 ;

6

5

6

1 ;

6

7

6

1 ;

6

5

6

1xxxx , где R 4x .


9.Если система линейных уравнений имеет вид

,10932

,3264

,2589

,432

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

топроизведение всех значений переменных, которые образуют ее

решение, равно _____.

10. Если система линейных уравнений имеет вид

,1635

,22

,2323

,2234

4321

421

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

то абсолютная величина суммы всех значений переменных, кото-

рые образуют ее решение, равна _____.

34

3. ВЕКТОРЫ


1. Основные понятия и определения.

2. Линейные операции над векторами.

3. Линейная зависимость векторов.

4. Скалярное произведение векторов.

5. Векторное произведение векторов.

6. Смешанное произведение векторов.

7. Приложения векторов.

Тест 3.1 для проверки теоретических знаний по теме «Векторы»

Установите соответствие(1 – 2):

1. Основные понятия и определения: ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1) вектор; а) отрезок, начало и конец кото-

рого совпадают;

2) нуль-вектор; б) направленный отрезок;

3) единичный вектор;

в) векторы, лежащие в парал-

лельных плоскостях (или в одной

плоскости);

4) коллинеарные векторы; г) вектор, длина которого равна

единице;

5) компланарные векторы.

д) векторы, лежащие на парал-

лельных прямых (или на одной

прямой);

е) векторы, лежащие в пересе-

кающихся плоскостях;

ж) векторы, лежащие на перпен-

дикулярных прямых.

2. Если точки 111 ;; zyxA и 222 ;; zyxB – концы отрезкаАВ, то:

ХАРАКТЕРИСТИКА ФОРМУЛА

1) координаты вектора

BA ; а)

2

12

2

12

2

12 zzyyxx ;

2) длина вектора AB ; б) 212121 ; ; zzyyxx ;

35

3) координаты середи-

ны отрезка АВ. в)

121212 ; ; zzyyxx ;

г)2

;2

;2

212121 zzyyxx;

д)2

21

2

21

2

21 zzyyxx


3.Длину вектора 321 ;; aaaa находят по формуле:

1) 321 aaaa ; 2) 321 aaaa ;

3) 2

3

2

2

2

1 aaaa ; 4) 2

3

2

2

2

1 aaaa ;

5) 2

3

2

2

2

1 aaaa .


4. Линейные действия с векторами 321 ; ; aaaa и 321 ; ; bbbb :


1) ba ; а)321321 bbbaaa ;

2) ab ; б) 321 bbbk ;

3) bk . в) 321 ; ; kbkbkb ;

г) 332211 ; ; bababa ;

д) 332211 ; ; ababab .

5. Разложение вектора a поортам: РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

1) kjia ; а) ;a ;

2) ijka ; б) ; ;a ;

3) jia . в) ; ;a ;

г) ; ;a ;

д) 0 ; ;a .

6.Если выражение baaa mm...2211 – линейная комби-

нация n-мерных векторов1a ,

2a , …, ma , то:

ВЕКТОРЫ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО БАЗИС

36

1) линейно

зависимы; а) 0b и 0

1

2m

i

i ; д) образуют;

2) линейно

независимы. б) 0b и 0

1

2m

i

i ; е) не образуют.

в) 0b и 01

2m

i

i ;

г) 0b и 01

2m

i

i .


7. Если векторы 321 ; ; aaaa , 321 ; ; bbbb и 321 c ;c ;cc образу-

ют базис, то:

1) 0

321

321

321

bbb

aaa

ccc

; 2) 0

333

222

111

cba

cba

cba

; 3) 0

321

321

321

T

ccc

bbb

aaa

;

4) 0333222111 cbacbacba ;5) 0333222111 cbacbacba .

Укажите все правильные варианты ответов(8 – 10):

8. Если векторы 321 ; ; aaaa и 321 ; ; bbbb образуют угол равный

, то скалярное произведение этих векторов находят по формуле:

1) cosbaba ; 2) baba ;

3) sinbaba ; 4) 332211 babababa ;

5) 332211 ; ; babababa .

9.Величину угла между векторами 321 ; ; aaaa и 321 ; ; bbbb

находят по формуле:

1) ba

bacos ; 2)

ba

bacos ;

3) 23

22

21

23

22

21

332211cosbbbaaa

bababa;

37

4) ba

basin ; 5)

ba

basin .

10.Если векторы a и b образуют угол , то проекцию вектора a

на вектор b находят по формуле:

1) cosпр aab

;2) cosпр bab

;

3) b

baa

bпр ; 4)

a

baa

bпр ; 5)

b

baa

bпр .


11.Даны векторы 321 ; ; aaaa и 321 ; ; bbbb :

ВЕКТОРЫ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) коллинеарны; а) 0ba ;

2) перпендикулярны; б) 0ba ;

3) образуют острый угол; в) 1ba ;

4) образуют тупой угол. г) 0ba ;

д) 332211 bababa ;

е)

3

3

2

2

1

1

a

b

a

b

a

b.

12.Умножение векторов

321 ; ; aaaa , 321 ; ; bbbb и 321 ; ; cccc :

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЗАПИСЬ ФОРМУЛА

1) скалярное; а) cba ; е) 332211 cbcbcb ;

2) векторное; б) ba ; ж) 333222111 cbacbacba ;

3) смешанное. в) bac , ; з)

321

321

bbb

aaa

kji

;

г) bac и)

321

321

321

bbb

aaa

ccc

;

38

д) bc . к)

321

321

321

bbb

aaa

ccc

.

13.Даны векторы 321 ; ; aaaa , 321 ; ; bbbb и 321 ; ; cccc :

ЗАДАЧА ОТВЕТ

1) площадь параллелограмма, по-

строенного на векторах a иb , рав-

на;

а) ba ;

2) площадь грани пирамиды, по-

строенной на векторах a и c , рав-

на;

б) bac ,3

1;

3) объем параллелепипеда, постро-

енного на векторах a , b и c , равен; в) bac ,

6

1;

4) объем пирамиды, построенной

на векторах a , b и c , равен. г) bca , ;

д) ca ;

е) ba ;

ж) ca5,0 .


14.Если векторы 321 ; ; aaaa , 321 ; ; bbbb и 321 ; ; cccc компла-

нарны, то

1) 0

321

321

321

bbb

aaa

ccc

; 2) 0

333

222

111

cba

cba

cba

; 3) 0

321

321

321

T

ccc

bbb

aaa

;

4) 0333222111 cbacbacba ; 5) 0333222111 cbacbacba .

39

Тест 3.2 для проверки умений и навыков по теме «Векторы»


1.Серединой отрезка АВ, если 1 ;8 ;5A и 5 ;2 ;3B , является точка с

координатами

Варианты ответов:

1) 0 ;4 ;5 ; 2) 5 ;2 ;7 ; 3) 3 ;5 ;4 ; 4) 5 ;8 ;1 ; 5) 5 ;2 ;8 .

2.Длина вектора 7 ;4 ;5b равна

Варианты ответов: 1) 103 ; 2) 8; 3) 105 ; 4) 12; 5) 35 .

3.Длина вектора BC , если 0 ;4 ;1B , а 1 ;5 ;3C , равна

Варианты ответов: 1) 5,1 ;2) 3

5; 3)

3

2; 4) 6 ; 5) 1.

4.Коллинеарными являются векторы 321 ; ; aaaa и 321 ; ; bbbb

Варианты ответов: 1) 2 ;1 ;1a и 3 ;2 ;1b ;

2) 3 ;4 ;1a и 2 ;1 ;0b ; 3) 0 ;4 ;2a и 2 ;3 ;4b ;

4) 3 ;4 ;1a и 3 ;1 ;4b ; 5) 2 ;4 ;1a и 4 ;8 ;2b .

5. Скалярное произведение векторов kjia 45 и kijb 32

равно


6. Косинус угла между векторами 2 ;1 ;5a и 0 ;1 ;2 b равен


711; 2)

3

52; 3)

5

712; 4) 33 ; 5)

65

11.

7. Проекция вектора )0 ;1 ;2(b на вектор )2 ;1 ;5(a равна


11; 2)

5

11; 3) 5; 4) 30; 5) 511 .

8.Если векторы 1 ;4 ;5a и 5 ; ;1 nb перпендикулярны, то значе-

ние n равно


40

9. Площадь треугольника с вершинами в точках 3 ;2 ;1A ; 4 ;1 ;3B и

4 ;3 ;2C равна


5; 2)

4

51; 3)

2

14;4)

2

1; 5) 23 .

10. Объем параллелепипеда, построенного на векторах )1 ;3 ;2(a ,

)2 ;4 ;1(b и )0 ;2 ;1(c ,равен


Тест 3.3 для проверки умений и навыков по теме «Векторы»


1. Если известно, что jia 5 , kjib 534 , kjc 2 , то зна-

чение выражения cba3 равно

Варианты ответов: 1) 2365 ; 2) 525263 ;

3) 575268 ; 4) 53315 ; 5) 53573 .

2. Если точка 0 ;1 ;5B – середина отрезка АС, а точкаА имеет коор-

динаты 3 ;2 ;1 , то длина отрезка АС равна

Варианты ответов: 1) 181 ; 2) 135 ; 3) 136 ; 4) 28 ; 5) 10 .

3.Если вектор ma ;2 ;5 коллинеарен вектору 8 ; ;10 nb , то произ-

ведение чисел mи n равно


4. Если точки 2 ; ;5 nA и nB ;3 ;6 – концы отрезка АВ, длина ко-

торого равна 4, то положительное значение n равно


51; 2)

2

34; 3)

3

24;

4) 8

57; 5)

2

25.

5. Если точки 2 ;1 ;0A , 4 ;3 ;2B и 3 ;2 ;1C – вершины тре-

угольника ABC , то косинус внутреннего угла этого треугольника

при вершинеВ равен

41

Варианты ответов: 1) 25,0 ; 2) 4,0 ; 3) 249

15; 4) 51 ; 5)

3

5.

6. Если векторы 3 ;3 ;1a , 0 ;2 ;2b и xxc ;5 ; компланарны, то

значение переменной х равно

Варианты ответов: 1) – 15; 2) 3; 3) 0; 4) 10; 5) 30.

7. Если векторы 1 ;2 ;11a , 1 ;6 ;32a и 3 ;9 ;33a образуют базис,

то разложение вектора 0 ;5 ;2b по этому базису имеет вид

Варианты ответов: 1) 21 52 aab ; 2) 321

3

1aaab ;

3) 321 3,033 aaab ; 4) 31

3

1aab ; 5) не существует.


8.Умножение векторов 5 ;3 ;1a , 3 ;2 ;1b и 2 ;0 ;0c :

ПРОИЗВЕДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТ

1) cba ; а) – 10;

2) ca ; б) ij 42 ;

3) ac ; в) jk 25 ;

4) bc . г) ji 26 ;

д) 10;

е) ij 42 .


9. Если объем параллелепипеда, построенного на векторах

)2 ;2 ;3( na ; ) ;4 ;1( nb и )1 ;2 ;1(c , равен 10 и 2n , то значение вы-

ражения 2

3

n

n равно _____.

10. Если точки )4 ;0 ;2(A , )7 ;3 ;0(B , )6 ;0 ;0(C и )5 ;3 ;(nD являются

вершинами пирамиды ABCD, а длина высоты, опущенной из точки

B, равна 19

3, то произведение всех действительных значений n

равно _____.

42

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

4. ЛИНИИНА ПЛОСКОСТИ


1. Задание прямой на плоскости.

2. Взаимное расположение прямых на плоскости.

3.Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола,

парабола.

Тест 4.1 для проверки теоретических знаний по теме «Линии на плоскости»


1.Уравнение прямой на плоскости: СПОСОБ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЕ

1) общее уравнение прямой; а) bkxy ;

2) известна точка );( 00 yxM ,

принадлежащая прямой, и

нормальный вектор прямой

BAn ; ;

б)n

yy

m

xx 00 ;


принадлежащая этой пря-

мой,и направляющий вектор

прямой nml ; .

в)n

yy

m

xx 00 ;

г) 000 yyBxxA ;

д) 0CByAx ;

е) 0ByAx .

2.Уравнение прямой на плоскости: СПОСОБ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЕ


принадлежащая прямой, и

угловой коэффициент k

прямой;

а) )( 00 xxkyy ;

43

2) известны координаты то-

чек );( 11 yxA и );( 22 yxB ,

принадлежащих прямой;

б) )( 0xxkyy ;

3) известны отрезки, кото-

рые отсекает прямая на осях

координат (a на оси Ox и b

на оси Oy).

в) 12

1

12

1

yy

yy

xx

xx;

г)

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx;

д) 1

b

y

a

x;

е) 1

b

y

a

x.


3. Расстояние от точки );( 00 yxM до прямой 0CByAx нахо-

дят по формуле:

1) 22

00

BA

CByAxd ; 2)

22

00

BA

CByAxd ;

3) 22

00

BA

CByAxd ; 4)

BA

CByAxd 00 ;

5) CByAxd 00 .


4. Взаимное расположение на плоскости прямых 111 bxky и

222 bxky :

ПРЯМЫЕ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) параллельны; а) 21 kk и

21 bb ;

2) перпендикулярны; б) 21 kk и

21 bb ;

3) пересекаются под острым

углом ; в) 121kk ;

4) совпадают. г) 12

12

1 tg

kk

kk;

44

д) 12

21

1 tg

kk

kk;

е) 121kk .

5. Кривые второго порядка на плоскости: ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1) эллипс;

а) геометрическое место точек, разности

расстояний от которых до директрисы

равны;

2) окружность;

б) геометрическое место точек, модули

разностей расстояний от которых до фо-

кусов равны;

3) парабола; в) геометрическое место точек, равно-

удаленных от фокусов;

4) гипербола.

г) геометрическое место точек, равно-

удаленных от данной точки, называемой

центром;

д) геометрическое место точек, равно-

удаленных от фокуса и директрисы;

е) геометрическое место точек, суммы

расстояний от которых до фокусов рав-

ны.

6. Кривые второго порядка на плоскости: КРИВАЯ КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

1) окружность; а) 12

2

2

2

b

y

a

x;

2) гипербола; б) 12

2

2

2

b

y

a

x;

3) эллипс; в) 12

2

2

2

y

b

x

a;

4) парабола. г) 222 Ryx ;

д) pxy 2 ;

е) pxy 22 .

7.Эллипс: a– большая полуось; b– меньшая полуось; 2cрасстояние

между фокусами: ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОРМУЛА

45

1) эксцентриситет; а) a

c;

2) фокусы. б) c

a;

в) 0 ;c , где 22 bac ;

г) 0 ;c , где 22 bac .

8. Гипербола: a– действительная полуось; b– мнимая полуось; 2c–

расстояние между фокусами: ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОРМУЛА

1) асимптоты; а) 1a

c;

2) эксцентриситет; б) 1a

c;

3) фокусы. в)a

bxy ;

г)b

axy ;

д) 0 ;c , где22 bac ;

е) 0 ;c , где 22 bac .

9. Парабола: ось OX – ось симметрии; p – расстояние от фокуса до

директрисы: ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИД

1) фокус; а) 0 ;2

p;

2) директриса. б) 0 ;2p ;

в)2

px ;

г)2

py .

46

Тест 4.2 для проверки умений и навыков по теме «Линии на плоскости»


1. Если прямая пересекает оси координат в точках )0 ;3(A и

)8 ;0(B , то ее уравнение с угловым коэффициентом имеет вид


yx; 2) 1

83

yx;

3) 83

8xy ; 4) 38xy ; 5) 838 yx .

2. Если прямая проходит через точки )2 ;1(A и )4 ;2(B , то уравне-

ние этой прямой в общем виде записывают

Варианты ответов: 1) 86xy ; 2) 86xy ;

3) 3

4

6

yx ; 4) 086 yx ; 5) 1

6

2x

y.

3.Если угловой коэффициент прямой, проходящей через точку

)5 ;1(M , равен 5, то уравнение этой прямой в отрезках имеет вид

Варианты ответов: 1) 105 yx ; 2) 1102

yx;

3) 1102

yx; 4) 1

22

3 yx; 5) 023 yx .

4. Даны прямые:

43xy ; (1) 45xy ; (2)

83xy ; (3) xy 38 ; (4)

1062 xy . (5)

Параллельными являются прямые

Варианты ответов: 1) (1), (3) и (5); 2) (1) и (2); 3) (2) и (5);

4) (1), (3), (4) и (5); 5) (3) и (4).

5. Даныпрямые:

0753 yx ; (1) 0753 yx ; (2)

05610 yx ; (3) 5yx (4)

Перпендикулярными являются прямые

Варианты ответов: 1) (1) и (2); 2) (1) и (3); 3) (2) и (3);

4) (3) и (4); 5) (2) и (4).

47

6. Сумма расстояний от точки )2 ;1(A до прямых 568 xy и 5y

равна

Варианты ответов: 1) 8; 2) 5; 3) 1,5; 4) 3,25; 5) 4,5.

7.Если уравнение окружности имеет вид 1)6(9)( 22 yx , то

сумма координат точки, которая является ее центром, равна

Варианты ответов: 1) 3; 2) –3; 3) –15; 4) 15; 5) 0.

8. Если эллипс пересекает ось Ox в точках )0 ;2(1A и )0 ;2(2A , а ось

Oy в точках )1 ;0(1B и )1 ;0(2B , то его фокусы находятся в точках

Варианты ответов: 1) )0 ;3(1F , )0 ;3(2F ;

2) )1 ;1(1F , )2 ;2(2F ; 3) )1 ;2(1F , )1 ;2(2F ;

4) )1 ;1(1F , )2 ;2(2F ; 5) )3 ;0(1F , )3;0(2F .

9. Если гипербола проходит через точки )0 ;3(1A и )0 ;3(2A , причем

длина ее мнимой полуосиbв 2 раза меньше длины действительной

полуосиa, то значение выраженияb

ba

2

32

равно

Варианты ответов: 1) 9; 2) 4; 3) 3,5; 4) 7,5; 5) 4,5.

10. Если уравнение параболы имеет вид xy 102 , то ее фокус на-

ходится в точке, сумма координат которой, увеличенная в 2 раза,

равна

Варианты ответов: 1) 2,5; 2) 5; 3)10; 4)20; 5)25.

Тест 4.3 для проверки умений и навыков по теме «Линии на плоскости»


1. Если расстояние от точки Mс положительными координатами до

прямой 553 yx равно 34 , то сумма координат точки M, при

условии, что ее ордината в 2 раза больше абсциссы, равна


2. Если прямая проходит через точку )2 ;1(A и параллельна пря-

мой 552 yx , то она проходит и через точку

Варианты ответов: 1) )8,0 ;2( ; 2) )8 ;2( ; 3) )8,0 ;2( ;

48

4) )0 ;0( ; 5) )1 ;2( .

3. Если прямая проходит через точку )2 ;1(A и перпендикулярна

прямой 552 yx , то этой прямой принадлежит точка

Варианты ответов: 1) )5,5 ;2( ; 2) )5,9 ;2( ; 3) )8,0 ;2( ;

4) )0 ;0( ; 5) )1 ;2( .

4. Угол между прямыми 12xy и 45xy равен


11 arctg ; 2)

11

3 arcctg ; 3)

11

7 arccos ;

4) 130

11arcsin ; 5)

130

3arcsin .

5. Если уравнение окружности имеет вид 014222 yxyx

,то произведение координат ее центра равно

Варианты ответов: 1) 2; 2) –2; 3) –8; 4) 8; 5) 2,25.

6. Если уравнение эллипса имеет вид 164 22 yx , то его эксцен-

триситет равен


2; 2)

2

3; 3)

2

33; 4)

33

2; 5)

3

32.

7. Если уравнение гиперболы имеет вид 164 22 xy , то ее экс-

центриситет равен


3; 2)

2

3; 3)

2

5; 4)

3

8; 5)

4

9.


8. Уравнение эллипса:

УСЛОВИЕ КАНОНИЧЕСКОЕ

УРАВНЕНИЕ

1) большая полуось эллипса

с центром в точке )4 ;1(M

равна 2, а малая полуось

равна 1;

а) 1169

22 yx;

2) эллипс с центром в точке

0 ;0O пересекает ось Oxв

точках )0 ;3(A и )0 ;3(B , а

ось Oy в точках )4 ;0(C и

б) 1)4(4

1)( 22

yx

;

49

)4 ;0(D ;

в) 4)2(1)( 22 yx ;

г) 922 yx ;

9. Уравнение гиперболы: УСЛОВИЕ УРАВНЕНИЕ

1) действительная ось равна

10, мнимая полуось равна 5; а) 2522 yx ;

2) точка 0 ;5F – фокус,

мнимая ось равна 6. б) 5yx ;

в) 1916

22 yx;

г) 1916

22 yx.

10. Уравнение параболы: УСЛОВИЕ УРАВНЕНИЕ

1) директриса имеет вид

3x ; а) yx 42

;

2) директриса имеет вид

1y . б) yx24 ;

в) xy 122;

г) 26yx .

50

5. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ


1. Уравнения плоскости.

2.Уравнения прямойв пространстве.

3,Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

4. Взаимное расположение прямых в пространстве.

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

6. Расстояние от точки до прямой и плоскости.

Тест 5.1 для проверки теоретических знаний по теме «Плоскость и прямая в пространстве»


1. Уравнение плоскости в пространстве: СПОСОБ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЕ

1) известна точка );;( 000 zyxM ,

принадлежащая плоскости, и

нормальный вектор плоскости

);;( CBAn ;

а) )( 00 yyBxxA 0)( 0zzC ;

2)известно, что плоскость пере-

секает оси координат в точках

)0 ;0 ;(1 aM , )0 ; ;0(2 bM и

) ;0 ;0(3 cM ;

б) 0121212

111

pnm

zzyyxx

zzyyxx

;

3) известны три точки

);;( 1111 zyxM , );;( 2222 zyxM и

);;( 3333 zyxM , принадлежащие

плоскости;

в) 0121212

111

pnm

zzyyxx

zzyyxx

4) известно, что вектор

);;( pnml параллелен плоскости,

проходящей через точки

);;( 1111 zyxM и );;( 2222 zyxM ;

г) 0c

z

b

y

a

x;

51

5) общее уравнение плоскости с

нормальным вектором

);;( CBAn .

д) 0

131313

121212

111

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

;

е) 1c

z

b

y

a

x;

ж) 0CzByAx ;

з) 0DCzByAx .

2. Уравнение прямой в пространстве: СПОСОБ ЗАДАНИЯ УРАВНЕНИЕ

1) известен направляющий век-

тор прямой );;( pnml и точка

);;( 000 zyxM , принадлежащая

этой прямой;

а) .0

,0

222

111

zCyBxA

zCyBxA;

2) известно, что прямая прохо-

дит через точки );;( 1111 zyxM и

);;( 2222 zyxM ;

б) p

zz

n

yy

m

xx 000 ;

3) общее уравнение прямой. в) 12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx;

г) 0DCzByAx ;

д) 000 zz

p

yy

n

xx

m

3. Взаимное расположение в пространстве плоскостей

01111 DzCyBxA и 02222 DzCyBxA с нормальными

векторами 1n и

2n :

ПЛОСКОСТИ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) параллельны; а) 021 nn ;

2) перпендикулярны; б) 021 nn ;

3) образуют угол . в)

21

21cosnn

nn;

г)

21

21sinnn

nn ;

52

д) 2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A;

е)2

1

2

1

2

1

2

1

D

D

C

C

B

B

A

A.

4. Взаимное расположение в пространстве прямых, где 1l и

2l –

направляющие, а 1n и

2n – нормальные векторы этих прямых:

ПРЯМЫЕ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) параллельны;

а)21 || ll и не параллельны

вектору21MM (точки М1 и

М2 принадлежат прямым);

2) перпендикулярны; б) 21 || ll ;

3) образуют угол . в) 021 ll ;

г)

21

21cosll

ll ;

д)

21

21cosnn

nn;

5. Взаимное расположение прямой n

zz

m

yy

l

xx 000 и плос-

кости 0DCzByAx :

ПРЯМАЯ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) параллельна

плоскости; а)

n

C

m

B

l

A;

2) перпендикулярна

плоскости; б) lmnABC ;

3) образует с плос-

костью угол . в) 0CnBmAl ;

г)222222

cosnmlCBA

CnBmAl;

д)222222

sinnmlCBA

CnBmAl.


53

6.Расстояние от точки ) ; ;( 000 zyxM до плоскости

0DCzByAx

с нормальным вектором n находят по формуле:

1) DCzByAx

CBAd

000

222

; 2) CBA

DCzByAxd 000 ;

3) 000 CzByAx

nd ; 4)

n

DCzByAxd

000.

Тест 5.2 для проверки умений и навыков по теме «Плоскость и прямая в пространстве»


1.Если точка )3 ;4 ;1(A принадлежит плоскости

0DCzByAx ,

а вектор )1 ;8 ;5(n – нормальный вектор этой плоскости, то

значение D равно Варианты ответов: 1) 0; 2) 14; 3) – 8; 4) – 24; 5) 24.

2.Если плоскость проходитчерез точки )2 ;4 ;1(A , )5 ;3 ;2(B и

)0 ;2 ;1(C , то сумма координат нормального вектора этой плоскости

равна


3. Если )0 ;2 ;1(1n – нормальный вектор плоскости , а )3 ;0 ;1(2n –

нормальный вектор плоскости , то угол между этими плоскостя-

ми равен


4 arccos ; 2)

10

3 arccos ; 3)

2

10 arccos ;

4) 10

2 arccos ; 5)

3

38 arccos .

4.Расстояние от точки 1 3; 1;M до плоскости 0253 zyx

равно

54


19 ; 2) 3

352 ; 3) 35

3519 ; 4) 19

35 ; 5) 2

53 .

5. Плоскости 53 nzyx и 645 zynx перпендикулярны

при условии, что значениеn равно

Варианты ответов: 1) – 2; 2) 1; 3) 0; 4) 4; 5) – 5.

6. Если прямаяn

z

m

y

l

x 345параллельна вектору

kijb 825 и проходит через точку 0 4; 5; zM , то значение

выражения 0mz равно

Варианты ответов: 1) 10; 2) 15; 3) –24; 4) 24; 5) –6.

7. Если прямая перпендикулярна векторам 1 ;3 ;2a и 2 ;1 ;3b , то

она параллельна вектору

Варианты ответов: 1) 3 ;4 ;5c ; 2) 2 ;3 ;6c ; 3) 7 ;1 ;5c ;

4) 5 ;1 ;7c ; 5) 1 ;2 ;1c .

8. Уравнение прямой 5,05,15,0

,745

zyx

zyxв канонической форме

имеет вид

Варианты ответов: 1)13

1

17

2

11

zyx;

2) 13

1

17

2

11

zyx; 3)

3

1

7

2

11

11 zyx;

4) 1

13

2

17

1

11 zyx; 5)

13

1

17

2

11

zyx.

9. Если расстояние от точки )5 ;3 ;(xC до плоскости

24532 zyx

равно 38

56, то сумма всех значений х (или значение х, если оно

единственное) равна

Варианты ответов: 1) –1; 2) 58; 3) 1; 4) 0; 5) 28.

10. Параметрические уравнения прямой 52

,742

zyx

zyxимеют

вид

55

Варианты ответов: 1)

;32

,39

,65

tz

ty

tx

2)

;23

,13

,65

tz

ty

tx

3)

;23

,13

,65

tx

ty

tz

4)

;32

,39

,65

tx

tz

ty

5) tzyx 2 .

Тест 5.3 для проверки умений и навыков по теме «Плоскость и прямая в пространстве»


1. Если плоскость параллельна плоскости 010235 zyx и

проходит через точку 1 3; 2;M , то сумма координат точек, в ко-

торых эта плоскость пересекает оси координат, равна

Варианты ответов: 1)30

11; 2)

30

13 ; 3) 10; 4) – 4; 5) – 10.

2.Если плоскость проходит через точки )3 ;1 ;2(A , )1 ;2 ;6(B и пер-

пендикулярна плоскости 0424 zyx , то произведение коор-

динат нормального вектора этой плоскости равно

Варианты ответов: 1) 1; 2) – 48; 3) 672; 4) 18; 5) 0.

3. Если точки )0 ;3 ;1(A , )1 ;2 ;1(B , )2 ;1 ;2(C и )3 ;1 ;2(D – вершины

пирамиды, то сумма квадратов длин ребер, выходящих из верши-

ныА, равна



пирамиды, тоабсолютная величина скалярного произведения нор-

мальных векторов граней ABCи ADCравна



пирамиды, то угол между гранями ABCи ADCравен


56

1)2

; 2) 10

3; 3)

4; 4)

22

3arccos ; 5)

6

13arcsin .


пирамиды, то прямая ADобразует с гранью ABC угол, величина ко-

торого равна


1)4

; 2) 8

3; 3)

26

5arccos ; 4)

6

13arcsin ; 5)

26

13arcsin .


пирамиды, то угол между прямымиACи ADравен


1)4

; 2) 8

3; 3)

3; 4)

26

5arccos ; 5)

5

23arccos .


пирамиды, то длина перпендикуляра, опущенного из точки D на

плоскость грани АВС, равна


2; 3) 2 ; 4) 4; 5) 0,5.


9.Угол между прямой

42

,5

,3

tz

ty

tx

и плоскостью 5,42 zyx ра-

вен _____.

10.Сумма координат проекции точки )4 2; ;1(D на плоскость

72,16,0 zyx равна _____.

57

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

6. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФУНКЦИИ


1. Предел числовой последовательности.

2. Предел функции.

3. Свойства пределов.

4. Непрерывность функции и точки ее разрыва.

5. Раскрытие простейших неопределенностей.

6. Асимптоты графика функции.

Тест 6.1 для проверки теоретических знаний по теме «Предел числовой последовательности и функции»


1. Дана числовая последовательность nx :

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) ограничена; а) 0M , такое, что

Mxn n:N ;

2) не ограничена. б) 0M , такое, что

Mxn n:N ;

в) 0M Mxn n:N ;

г) 0M Mxn n:N .

2.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) бесконечно малая; а) 0 N0N такой, что

nxNn :0 ;

2) бесконечно большая. б) 0A N0N такой, что

AxNn n:0 ;

в) 0A N0N такой, что

58

AxNn n:0;

г) 0 N0N такой, что

nxNn :0.


3.Числоа является пределом числовой последовательности nx ,

если:

1) 0 N0N такой, что nxNn :0

;

2) 0 N0N такой, что axNn n:0;

3) 0 N0N такой, что axNn n:0 ;

4) 0 N0N такой, что axNn n:0.


4. Сходящиеся и расходящиеся последовательности: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) сходится; а) предел последовательности не

существует;

2) расходится. б) axnnlim ;

в) n

nxlim ;

г) предел последовательности

равен бесконечности или не су-

ществует.


5. Функцией xfy называют:

1) такую зависимость переменной х от переменной у, что каж-

дому значению х соответствует единственное значение у;

2) такую зависимость переменной у от переменной х, что каж-


3) такую зависимость переменной х от переменной у, что одно-

му значению у могут соответствовать несколько значений х;

4) зависимость переменной у от переменной х.


6. Число b называют пределом функции xfy в точке ax , ес-

ли:

59

1) 0 0 такое, что axx 0: , выполняется

неравенство bxf ;

2) 0 0 такое, что bxx 0: , выполняется

неравенство axf ;

3) если 0nx , то bxf n;

4) для любой последовательности nx аргументов функции,

сходящейся ка, соответствующая последовательность значений

функции nxf сходится к b.


7. Свойства пределов:

1) cxx 0

lim ; а) )( lim0

xfcxx

;

2) )( lim0

xfcxx

; б) 0;

3) xgxfxx 0

lim ; в) xgxfxxxx 00

lim lim ;

4) xgxfxx 0

lim ; г) с;

5) xg

xf

xx 0

lim . д) xgxfxxxx 00

lim lim ;

е) xgxfxxxx 00

lim lim ;

ж) xg

xf

xx

xx

0

0

lim

lim;

з) xgxfxxxx 00

lim lim .

8. Свойства пределов:

1) xf n

xx 0

lim ; а) e;

2) x

k

xlim ; б)

e

1;

3) xx

lim ; в) 1;

60

4) kx

kx

x

sin lim

0; г) 0;

5) xx

x1

01 lim . д)

n

xxxf

0

lim ;

е) ;

ж) k;

з) xfnxx 0

lim .


9. Функция xfy непрерывна в точке а, если:

1) axfxlim ; 2) aaf

alim ;

3) afxfax

lim ; 4) afxfax

lim .


10. Точка а – точка разрыва функции xfy :

ТОЧКА РАЗРЫВА ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) первого рода; а) xfxfaxax 00

limlim ;

2) второго рода. б) xfxfaxax 00

limlim ;

в) пределы xf

ax 0lim и xf

ax 0lim

не существуют;

г) xfax 0

lim и xfax 0

lim ;

д) хотя бы один из пределов

xfax 0

lim , xfax 0

lim равен беско-

нечности или не существует.


11. Прямая ax является вертикальной асимптотой графика

функции )(xfy , если:

1) xfax 0

lim ;

2) xfax 0

lim ;

3) xfax 0

lim и xfax 0

lim ;

61

4) хотя бы одно из условий xfax 0

lim , xfax 0

lim

выполняется.

12. Прямая bkxy является наклонной асимптотой графика

функции )(xfy , если:

1) x

xfk

x

)(lim , kxxfb

x)(lim ; 2)

x

xfk

x

)(lim , kxxfb )( ;

3) x

xfk

)(, kxxfb

x)(lim ; 4)

x

xfk

x

)(lim

0, kxxfb

x)(lim

0

Тест 6.2 для проверки умений и навыков по теме «Предел функции»


1. Значение предела 132

347lim

2

2

2 xx

xx

xравно


17; 2) ; 3)

13

178; 4) 32; 5) 0.

2. Предел функции 4

22

2

x

xxxf в точке 2x равен

Варианты ответов: 1) –1; 2) ; 3) 0,5; 4) 2; 5) не существует.

3. Число, обратное значению предела 103

2115lim

2

2

2 xx

xx

x, равно


9; 2) 1; 3)

9

21 ; 4)

9

13; 5)

11

9.

4.Значение предела 8

414 lim

32 x

x

xравно

Варианты ответов: 1) ; 2) 0,09; 3) – 9,7; 4) 12

1; 5)

96

1.

5. Абсолютная величина значения предела 254

206 lim

3

3

xx

x

xравна

Варианты ответов: 1) 1,5; 2) 5; 3) – 5; 4) ; 5) 3.

62


2

2

010

5

23

5 tg

5 lim x

xx

xx

x

x

xравно


7; 2)

3

1; 3)

15

8; 4)

3

4; 5)

5

27.

7.Значение выражения

1

07cos

2

5sin lim5 x

x

x

xравно


7; 2)

5

2; 3)

10

7; 4)

7

10; 5)

25

2.

8. Результат вычисления предела

x

x x

x

4

5lim равен

Варианты ответов: 1) 3e ; 2)

4e ; 3) 9e ; 4)

5e ; 5) e .

9. Вертикальныеасимптоты (асимптота) графика функции

9

32x

xy имеют вид

Варианты ответов: 1) 3x ; 2) 3x ; 3) 3x ; 4) 3y ;

5) не существуют.

10. Наклонная асимптота графика функции 3

52

x

xxxf имеет

вид

Варианты ответов: 1) 6xy ; 2) 6xy ; 3) 8xy ;

4) 62xy ; 5) не существует.

Тест 6.3 для проверки умений и навыков по теме «Предел функции»


1. Сумма координат точки (точек) пересечения асимптотграфика

функции x

xxy

4

532 2

равна

Варианты ответов: 1) 4,75; 2) 0; 3) 0,75; 4) – 2,32; 5) 43.

2. В результате вычисления предела 1

23lim

1 x

x

xполучим

63

Варианты ответов: 1) 11; 2) 1,1; 3) 0; 4) ; 5) 0,5.

3. Число, противоположное значению предела

3 23 8627

1024lim

xx

x

x,

равно

Варианты ответов: 1) 8; 2) 4; 3) – 2; 4) 2; 5) – 8.

4. Значение предела xxxx

342lim 2 , увеличенное в два раза,

равно

Варианты ответов: 1)–0,75; 2)–1,5; 3) 0,25; 4) ;

5) не существует.

5. Если mxx

x

x 12

12coslim

4

4

0, то значение выражения

4

4 2sinlim

x

x

mxрав-

но

Варианты ответов: 1) ; 2) 1; 3) – 1; 4) 16; 5) 0.

6. Наименьшее натуральное значение а, для которого справедливо

неравенство ax

xxxx

x 1

6623lim

3

234

1, равно

Варианты ответов: 1) 1; 2) 0; 3) 3

2; 4) 2; 5) не существует.

7.Значение предела

12

15

45lim

x

x x

x равно

Варианты ответов: 1) ; 2) 9; 3) 0; 4)2e ; 5)

1e .

8. В результате вычисления предела x

x x

x

5

2

0 1025

425lim получим

Варианты ответов: 1) 2e ; 2) 2; 3) 0; 4) ; 5) 0,5.



2 sinlim

22 xx

x

x равно _____.

10.Значение предела x

x

x 5

51 lnlim

0 равно _____.

64

7. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


1. Определение производной.

2. Правила дифференцирования.

3. Таблица производных функций.

4. Производная неявной функции.

5. Производная функции, заданной параметрически.

6. Производная показательно-степенной функции.

7. Дифференциал функции.

Тест 7.1 для проверки теоретических знаний по теме «Производная функции одной переменной»


1. Если функция )(xfy определена и непрерывна в окрестности

точки 0x , то:

ПОНЯТИЕ ФОРМУЛА

1) приращение функции в

точке 0x ;

а) dxxfdy )( ;

2) производная функции в

точке 0x ;

б) 00 xfxxfy ;

3) дифференциал функции. в) dx

xfdy

)(;

г) y

xxf

y 00 lim ;

д) x

yxf

x 00 lim .

2. Правила дифференцирования: )(1 xfu , )(2 xfv :

1) uv ; а) xfk ;

2) xgf ; б)2v

vuvu;

3) xkf ; в) xgxgf ;

65

4) v

u; г) xfk ;

5) vu . д) vuvu ;

е) vu ;

ж) vu ;

з) v

u.

3. Производная сложной функции xfgy :

ФУНКЦИЯ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1) )(xf n ; а) )(

12 xf

;

2) )(xf ; б) )(2

1

xf;

3) 3 xf ; в) 33 xf

xf;

4))(

1

xf. г) )()( 1 xfxfn n ;

д) )(2

)(

xf

xf;

е) 3 23 xf

xf;

ж))(

)(2 xf

xf.



1) )(xfe ; а) )(ln)( xfaa xf ;

2) )(xfa ; б)x

1;

3) )(log xfa ; в) )(

)(

xf

xf;

66

4) )(ln xf . г) )()( xfe xf;

д)axf

xf

ln)(

)(;

е) )(xfe ;

ж) )(

ln

xf

a.



1) )(cos xf ; а))(sin

)(

xf

xf;

2) )(sin xf ; б))(sin

)(2 xf

xf;

3) )( tg xf ; в) )()(cos xfxf ;

4) )( ctg xg . г) )(sin)( xfxf ;

д) )(sin xf ;

е))(cos

)(2 xf

xf;

ж) )(cos xf .



1) )(arcsin xf ; а))(1

)(

2 xf

xf;

2) )(arccos xf ; б) )(1 2 xfxf ;

3) )( arctg xf ; в))(1

)(

2 xf

xf;

4) )( arcctg xf . г) )(1

)(

2 xf

xf;

д) )(1

)(2 xf

xf;

67

е) )(1

)(2 xf

xf;

ж) )(1 2 xfxf .


7. Производную функции tgy

tfx , находят по формуле:

1) tg

tfy x ; 2)

tf

tgyx ;

3) tgtfyx ; 4) tgtfx y.

Укажите правильные действия (8 – 9):

8. Чтобы найти производную y неявной функции 0 ; yxF , не-

обходимо:

1) дифференцировать обе части равенства 0 ; yxF , считая,

что у – независимая переменная, а х – зависимая оту перемен-

ная;

2) дифференцировать обе части равенства 0 ; yxF , считая,

что х – независимая переменная, а у – зависимая от х перемен-

ная;

3) из полученного уравнения найти переменную y ;

4) из полученного уравнения найти переменную у.

9. Чтобы найти производную функции xg

xfy , необходимо

выполнить следующие действия:

1) xgxfy lnln ; 2) xfxgy lnln ;

3) xfxgy lnln ; 4) xfxgy lnln ;

5) xfxgy ln ; 6) yxfxgy ln ;

7) yxfxgy ln .

68

Тест 7.2 для проверки умений и навыков по теме «Производная функции одной переменной»


1. Производная функции 5sin715 2 xxy имеет вид

Варианты ответов: 1) xx sin715 ; 2) xx cos730 ;

3) xx cos730 ; 4) 5cos73 xx ; 5) 5cos730 xx .

2. Производная функции xxy 44 cos4sin4 имеет вид

Варианты ответов: 1) 4y ; 2) xxy 2cos2sin ;

3) xy 2cos4 ; 4) xy sin8 ; 5) xy 2sin8 .

3. Если xxx

y 323

, то значение выражения )2(y равно


11; 2)

3

1; 3)

4

121; 4) 1; 5)

2

11.

4. Производная функции xxy sinln5log3 имеет вид

Варианты ответов: 1) x tg3ln

1; 2) x

x arctg

3ln

1;

3) xx

tg3ln

1; 4) x

x ctg

3ln

1; 5) x

x ctg

3ln

3.

5. Если функция имеет вид xxy 15log3cos 2, то значение вы-

ражения 3

y равноВарианты ответов: 1) 15ln

2ln; 2) 2log15 ;

3) 15log2 ; 4) 15log

2log

2

3 ;5) 5log 2 .

6. Если неявная функция имеет вид 22 635 yxyx , то значение вы-

ражения xy в точке 10 ;9A равно


10; 2)

31

40; 3)

3

11 ; 4) 2; 5) 1.

7. Производная второго порядка функции 5

2

2ln

x

xy имеет вид

Варианты ответов: 1) 22 4

40

x

xy ; 2)

225

2

x

xy ;

69

3) 245

8

xy ; 4)

22 45

2

x

xy ; 5)

22 45

8

x

xy .

8. Дифференциал функции 44 xy x имеет вид

Варианты ответов: 1) 334 xy x ; 2) dxxdy x 44 ;

3) dxxdy x 344ln4 ; 4) dxdy x43 ; 5) dxxdy 312 .

9. Производная функции x

xy2

13 задается формулой

Варианты ответов: 1) yxx

xy 13ln2

13

6;

2) 2

13ln13

6x

x

xy ; 3) yx

x

xy 13

13;

4) yxy2

13ln ; 5) yxx

xy 13ln

13

6 2 .

10. Если функция задана формулой 8

4233 2

x

xxy , то значение

выражения 1f равно

Варианты ответов: 1) 1; 2) 0; 3) –3; 4) 3

1; 5)

3

2.

Тест 7.3 для проверки умений и навыков по теме «Производная функции одной переменной»


1. Производная функции xy 5 arctg равна


1) x

x

251

5; 2)

2ln5

23

x

x; 3)

x

x

221

5ln2; 4)

x

x

251

5ln5; 5)

x

x

251

5ln5.

2. Производная функции xey x 5 ctgcos равна

Варианты ответов: 1) xxex x 5sin5sin5 2sin ;

2) xxe x 5sin2,0cos 2cos ; 3) xxe x 5sin5sin 2cos ;

4) xxe x 5sin5sin23 25cos ; 5) xxxx x 5sin5,2sin4 2cos .

70

3. Если x

xy3

1 arcctgarcsin , то значение выражения 5,0y

равноВарианты ответов: 1) 13

25; 2)

3

2; 3)

3

1; 4)

4

5; 5)

2

11.

4. Значение производной функции 2

23arcsin xy в точке 3

1x

равноВарианты ответов: 1) 52 ; 2) 51,0 ; 3) 25; 4) 33,9; 5) 1.

5. Производная функции 085 2 yyxx имеет вид

Варианты ответов: 1) yx

xy

16

1; 2)

xyy

161

1;

3) yx

xy

161

110; 4)

yx

yxxy

161

120; 5)

x

yxxy .

6. Производная функции 3ln33

xyxy имеет вид

Варианты ответов: 1) x

yy ; 2)

2x

yy ;

3) 2

3 xyy ; 4) x

yy ; 5)

3ln3

1

3

172xyxyxx

y .

7. Производная функции x

xy5

2 3log равна

Варианты ответов: 1) 2ln3log

3log

2

2

2

x

xy

x

; 2) x

xy2

2 3log ;

3) 2log3logln 32 xxy ; 4) x

xy3

2 3log ;5)

exxxyx

21

22

5

2 log3log3logln3log5 .

8. Дифференциал функции xxy 66 cossin равен

Варианты ответов: 1) dxxdy 4sin ; 2) dxxdy 2sin32 ;

3) dxxdy 4sin5,1 ; 4) dxxy 4sin1 ; 5) xdy 4cos .


9. Если функция имеет вид xy 2cos2 , то значение выражения

88

yy равно _____.

71

10. Если функция имеет вид,132sin

,3 tg5

ty

ttx то значение производ-

ной переменной у по переменной х при 0t равно _____.

8. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ


1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

2. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

3. Исследование функции с помощью производной: промежут-

ки монотонности, точки экстремума функции; токи перегиба и

промежутки выпуклости и вогнутости графика функции.

4. Наибольшее и наименьшее значение функции на заданном

отрезке.

5. Приближенные вычисления значений функции.

6. Правило Лопиталя.

Тест 8.1 для проверки теоретических знаний по теме «Приложения производной»


1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: функции

xf и xg непрерывны на отрезке ba ; и дифференцируемы на

интервале ba; :

ТЕОРЕМА ФОРМУЛИРОВКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ

СМЫСЛ

1) Ферма;

а) если bax ;0, то

0

0

xf

xg

agbg

afbf;

ж) касательная к графи-

ку функции в точке 0x

параллельна оси орди-

нат;

2) Лагранжа; б)

0xfab

afbf,

где bax ;0 ;

з) касательная к графику

функции в точке 0x па-

раллельна оси абсцисс;

72

3) Ролля;

в) если bax ;0, то

0

0

xg

xf

agbg

afbf;

и) касательная к графи-

ку функции в точке 0x

перпендикулярна оси

абсцисс;

4) Коши.

г) если функция xf в

точке bax ;0 имеет

локальный экстремум,

то 00xf ;

к) у графика функции

существует точка, в ко-

торой касательная па-

раллельна оси абсцисс;

д) если bfaf и

bax ;0 , то 00xf ;

л) касательная к графи-

ку функции в точке

bax ;0 перпендику-

лярна секущей, соеди-

няющей концы графика

функции;

е) если bfaf и

bax ;0 , то 00xf .

м) касательная к графи-

ку функции в точке

bax ;0 параллельна

секущей, соединяющей

концы графика функ-

ции.

2. Уравнения касательной и нормали к графику функции xfy в

точке 00 ; xfx :

УРАВНЕНИЕ ФОРМУЛА

1) касательной; а) ))(()()( 000 xxxfxfxf ;

2) нормали. б) ))(()()( 000 xxxfxfxf ;

в)

)()()(

0

00

xf

xxxfxf ;

г)

)()()(

0

00

xf

xxxfxf .


3. Если для любых 1x и

2x , принадлежащих промежутку ba; , из

неравенства 21 xx следует неравенство 21 xfxf , то функция

xfy на промежутке ba; :

1) возрастает; 2) не убывает; 3) не возрастает; 4) убывает.

73

4. Если для любых 1x и

2x , принадлежащих промежутку ba; , из

неравенства 21 xx следует неравенство 21 xfxf , то функция

xfy на промежутке ba; :

1) возрастает; 2) не убывает; 3) не возрастает; 4) убывает.

5. Достаточное условие возрастания функции xfy на задан-

ном промежутке:

1) если 0xf , то функция возрастает на этом промежутке;

2) если 0xf , то функция возрастает на этом промежутке;

3) если 0xf , то функция не убывает на этом промежутке;

4) если 0xf , то функция не возрастает на этом промежут-

ке.


6. Особые точки графика функции: ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1) минимум функции; а) значение аргумента, при котором

достигается экстремум функции;

2) максимум функции;

б) такое значение функции, которое

меньше всех других ее значений в

окрестности рассматриваемой точки;

3) критические точки

функции;

в)такое значение функции, которое

больше всех других ее значений в

окрестности рассматриваемой точки;

4) экстремум функции. г) наибольшее значение функции;

д) максимум и минимум функции;

е) значения аргумента, при которых

производная функции равна нулю

или не существует.


7. Необходимое условие экстремума функции )(xfy :

1) если 0xf , то 0x – точка экстремума функции;

2) если 0x – точка экстремума функции )(xfy , то произ-

водная функции в этой точке равна 1;

3) если 0xf , то в точке 0x экстремума функции не суще-

ствует;

74

4) если 0x – точка экстремума функции, то производная функ-

ции в этой точке равна нулю.


8. Достаточные условия экстремума функции )(xfy в точке 0x :

1) если при переходе через точку 0x производная меняет знак с

«–» на «+», то 0x – точка локального минимума, а если с «+»

на «–» – локального максимума;

2) если при переходе через точку 0x производная меняет знак с

«+» на «–», то 0x – точка локального минимума, а если с «–» на

«+»– максимума;

3) если при переходе через точку 0x производная не меняет

знак, то 0x – точка экстремума;

4) если 00xf , то в точке 0x –локальный минимум; если

00xf , то в точке 0x –локальный максимум;

5) если 00xf , то в точке 0x –локальный максимум; если

00xf , то в точке 0x –локальный минимум.

Установите правильную последовательность (9 – 10):

9. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции

xfy на заданном отрезке, необходимо:

1) найти значение функции на концах отрезка и в критических

точках, принадлежащих данному отрезку;

2) найти xf ;

3) определить наибольшее и наименьшее из полученных значе-

ний;

4) определить критические точки функции, решая уравнение

0xf .


10. Исследование функции )(xfy с помощью второй производ-

ной: ФУНКЦИЯ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) вогнута; а) 0xf ;

75

2) выпукла; б) 0xf ;

3) имеет в точке 0x перегиб. в) 00xf ;

г) 00xf ;

д) 00xf ;

е) 00xf .


11. Приближенное значение функции )(xfy в точке xxx 0

находят по формуле:

1) xxfxfxf 00 ;2) xxfxxfxf 000 ;

3) xxfxfxxf 000 ; 4) xxfxfxxf 000 .

12. Правило Лопиталя: если функции xf и xg определены,

дифференцируемы и являются бесконечно малыми в некоторой

окрестности точки 0x , то:

1) xg

xf

xg

xf

xxxx 00

limlim ; 2) 0

0

00

limlimxg

xf

xg

xf

xxxx;

3) xf

xg

xg

xf

xxxx 00

limlim ; 4)

xg

xf

xg

xf

xxxx 00

limlim .

Тест 8.2 для проверки умений и навыков по теме «Приложения производной»


1. Функция 452 2 xxy не возрастает на промежутке

Варианты ответов: 1) 25,1 ; ; 2) ;25,1 ;

3) 25,0 ; ; 4) 1,25 ; ; 5) ;25,1 .

2. Наименьшее значение функция 2415 23 xxy принимает в

точке с абсциссой


3. Максимальное значение, принадлежащее промежутку 2

;0 ,

функция xy 4sin принимает в точке с абсциссой

76


; 2) 4

; 3) 2

3; 4)

8; 5)

3

2.

4. Нормаль, проведенная к графику функции xy 4log2 в точке

10x , имеет вид

Варианты ответов: 1) 2ln12 xxf ; 2) 2ln1xxf ;

3) 2ln12 xxf ;4) 2ln

12 xxf ; 5)

2ln

12

xxf .

5. Касательная к графику функции 22 34 xy x в точке 20x

имеет вид

Варианты ответов: 1) 224ln52)( xxf ;

2) 234ln216)( xxf ; 3) 2122ln244)( xxf ;

4) 124ln51224)(xf ; 5) 2124ln512244)( xxf .

6. Наименьшее целое значение, принадлежащее промежутку, на

котором функция 94

93

23 x

xx

y вогнута, равно


7. Наибольшее значение функции 563ln 2xxy на промежут-

ке 6;1 равно


1) 32ln ; 2) 25ln ; 3) 13ln ; 4) 122ln ; 5) 47ln .

8. Сумма модулей значений функции 12x

xy в точках перегиба

равна

Варианты ответов: 1) 0; 2) 35,0 ; 3) 32 ; 4) 0,75; 5) 18.

9. Значение выражения x

x

x

2lnlim равно

Варианты ответов: 1) 0; 2) е; 3) 1; 4) 2,7; 5) 18.

10. Приближенное значение выражения 1,0e равно

Варианты ответов: 1) 1,1; 2) 2,8; 3) 0,1; 4) 0,99; 5) 11,2.

77

Тест 8.3 для проверки умений и навыков по теме «Приложения производной»


1. Количество целых чисел, принадлежащих промежутку не убыва-

ния функции xxy 210 , равно


1) 6; 2) 5; 3) 4; 4) 7; 5) бесконечное множество.

2. Функция x

xxf

5

2ln)( вогнута на промежутке

Варианты ответов: 1) ;5,0 5,1e ; 2) ee ;5,0 5,1 ;

3) 35,0 ;0 e ; 4) ;0 ; 5) ;5,0e .

3. Если m – количество точек экстремума, а n – количество точек

перегиба функции 2xey , то значение выражения mn равно


4. Сумма наибольшего и наименьшего значений функции

xxxy ln35 2 на промежутке 2 ;2,0 равна


1) 5ln85 ; 2) 13,75; 3) 2ln5 ; 4) 2,0ln86 ; 5) 5ln86 .

5. Касательная к графику функции xxy 2sin в точке 0x име-

ет вид

Варианты ответов: 1) xy ; 2) xy ;

3) 222 xy ; 4) 2161

3)(

xxxf ; 5)

2

2

161

323)(

xxf .

6. Нормаль, проведенная к графику функции x

xxy6

48 2 в

точке 40x , имеет вид


1) 4523

85,134)( xxf ; 2) 4

523

85,134)( xxf ;

3) 423

813)( xxf ; 4) 456135)( xxf ;

5) 451)( xxf .

78

7. Приближенное значение выражения 421cos с точностью до со-

тых равно

Варианты ответов: 1) 0,49; 2) 0,50; 3) 0,48; 4) 0,47; 5) 0,51.

8. Приближенное значение выражения 03,1ln равно

Варианты ответов: 1)1; 2) 0,03; 3) 1,26; 4) 0,4; 5) 1,03.



0sincoslim

x

xxx равно _____.

10. Значение выражения

1

22

22

0 sin

sinlim

xx

xx

x равно _____.

9. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ


1. Экономический смысл производной.

2. Эластичность функции.

3. Предельные величины в экономике.

4.Применение теорем о среднем в экономике.

Тест 9.1 для проверки теоретических знаний по теме «Применения производной в экономике»


1. Если tu – объем продукции, выпущенной предприятием за

время t, tv – производительность труда на предприятии в момент

времени t, то экономический смысл производной выражается фор-

мулой:

1) tutv ; 2) tutv ;

3) tu

tv1

; 4) tvtu .

2. Определение эластичности функции xfy :

79

1) эластичность функции показывает процент прироста незави-

симой переменной, соответствующий приращению зависимой

переменной на 1 %;

2) эластичность функции показывает процент прироста зависи-

мой и независимой переменной;

3) эластичность функции показывает процент прироста зависи-

мой переменной, соответствующий приращению независимой

переменной на 1 %;

4) эластичность функции показывает скорость ее роста.

3. Эластичность функции xfy находят по формуле:

1) xfxf

yxE y

; 2) xfxf

xyEx

;

3) xfxf

xyEx

; 4) xfxyEx .

4. Если функция tK выражает величину вклада в момент времени

t, то ставку банковского процента r можно найти по формуле:

1) tKr ln ; 2) tKr ln ;

3) tKr ln ; 4) tKr .

5. Приложение теоремы Ферма в экономике: если х – объем выпус-

каемой продукции, p – цена продукции, 0x – точка, в которой

функция прибыли xП достигает своего максимума, а xС –

функция издержек производства, то:

1) xСp ; 2) 0xСp ;

3) 0xСpxП ; 4) 0xСxПp .

6. Если 0x – точка глобального максимума функции прибыли

xП , а pS – функция предложения, то справедливо равенство:

1) pSx0 ; 2) pSx0 ;

3) pSxПx0 ; 4) pSxПx0 .

Укажите все правильные действия:

7. Если tA – стоимость некоторого активаА в момент времени t, r

– доходность от вложения денег в другие активы, то, чтобы опре-

80

делить стратегию покупки и продажи активов с целью получения

максимально возможной прибыли, необходимо:

1) найти промежуток времени, в течение которого доходность

активаА будет больше r, решая неравенство rtAln ;

2) найти промежуток времени, в течение которого доходность

активаА будет больше r, решая неравенство rtAln ;

3) если временной промежуток задается интервалом 21 ; tt , то

активА следует купить в момент времени 2t , а продать в мо-

мент времени 1t ;

4) если временной промежуток задается интервалом21 ; tt , то

активА следует купить в момент времени 1t , а продать в мо-

мент времени 2t ;

5) если временной промежуток задается интервалом

; ; 21 tt , то активА следует продать в момент време-

ни 1t , и купить в момент времени 2t ;

6) если временной промежуток задается интервалом

; ; 21 tt , то активА следует купить в момент времени

1t , а продать в момент времени 2t .

Тест 9.2 для проверки умений и навыков по теме «Применения производной в экономике»


1. Если объем продукции, выпущенной предприятием, задается

формулой 322 xxetf , то производительность труда на предпри-

ятии в момент времени 1t равна

Варианты ответов: 1) 1; 2) 1,5; 3) 6; 4) 14; 5) 4.

2. Если функция 12 3xxW выражает выручку от реализации х

единиц товара, то предельная выручка от реализации 10 единиц

товара составит

81

Варианты ответов: 1) 1999 ден. ед.; 2) 600 ден. ед.;

3) 2000 ден. ед.; 4) 16 ден. ед.; 5) 1 ден. ед.

3. Если функция издержек производства имеет вид

310ln xxI , то при выпуске 2 единиц товара предельные из-

держки составят


10; 2)

17

1; 3) 0; 4) 1,7; 5) 18.

4. Если функция имеет вид 732 4 xxy , то ее эластичность

задается формулой


384

4

xx

xxyEx ;

2) 108 2xyEx ; 3) 732

384

3

xx

xyEx

;

4) 732

384

4

xx

xxxE y

; 5)

1

4

4

732

38

xx

xxxE y

.

5. Если аргумент функции 39 xy увеличить на 1 %, то значение

функции в точке 3x увеличится на

Варианты ответов: 1) 3 %; 2) 2,25 %; 3) 0,3 %; 4) 10 %; 5) 1 %.

6. Если 4,1

0 1 tKtK – величина вклада на момент времени t, то

через 6 лет после открытия вклада ставка составит

Варианты ответов: 1) 50 % годовых; 2) 5 % годовых; 3) 10 %

годовых; 4) 70 % годовых; 5) 20 % годовых.

7. Если функция издержек производства, связанных с выпуском х

единиц продукции имеет вид xxxC 52 3 , а цена единицы

продукции 77p ден. ед., то максимальную прибыль можно по-

лучить при объеме производства, равном


8. Если функция издержек производства задана формулой

1652 2 xxxC ,

то функция предложения имеет вид

Варианты ответов: 1) 54ppS ; 2) 54xxS ;

3) 25,125,0 ppS ; 4) 12525ppS ; 5) 5pxS .

82

9.Если стоимость некоторого актива в момент времени t определя-

ется функцией xtA 6 , а доходность от вложения денег в дру-

гие активы составляет 50 %, то продать актив выгодно

Варианты ответов: 1) через 6 лет; 2) через 14 лет; 3) через 7

лет; 4) через 8 лет;4) через 6 или 8 лет.

10. Если стоимость некоторого актива в момент времени t опреде-

ляется функцией 652 xxtA , а доходность от вложения де-

нег в другие активы составляет 25 %, то в течение 10 ближайших

лет купить актив выгодно

Варианты ответов: 1) через 2 года; 2) через 3 года; 3) через 5

лет; 4) через 2 или через 3 года; 5) через год.

10. ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ


1. Функция многих переменных (ФМП): основные понятия и

определения.

2. Частные производные и полный дифференциал функции.

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

5. Экстремум функции.

6. Условный экстремум.

7. Наибольшее и наименьшее значение функции в заданной об-

ласти.

Тест 10.1 для проверки теоретических знаний по теме «Дифференциальное исчисление ФМП»


1.Функцией двух переменных yxfz ; называют

1) такую зависимость переменной у от переменной х, что каж-


2) такую зависимость переменной zот переменных х иу, что ка-

ждой паре значений х и у соответствует единственное значение

z;

3) зависимость переменной у от переменных xи z;

83

4) зависимость переменной zот переменных у и х.


2. Частные производные первого порядка функции yxfz ; в

точке 000 ; yxM

ПРОИЗВОДНАЯ ФОРМУЛА

1)

0Mдx

дz; а)

x

yxfyyxxf

x

0000

0

; ;lim ;

2)

0Mдy

дz. б)

y

yxfyxf

y

00

0

; ;lim ;

в) x

yxfyxxf

x

0000

0

; ;lim ;

г) y

yxfyyxf

y

0000

0

; ;lim .


3. Если функция задана формулой yxfz ; , то верно, что:

1) xxxx zz ; 2)

yyyy zz ;

3) yxxy zz ; 4)

дy

дz

дy

д

дy

zд2

2

.

5) дy

дz

дx

д

дxдy

zд2

; 6) дy

дz

дx

д

дx

zд2

2

.


4. Частные производные неявной функции zyxF ; ; находят по

формулам

1) z

xx

F

Fz ,

z

y

yF

Fz ; 2)

z

xx

F

Fz ,

z

y

yF

Fz ;

3) z

xz

F

Fx ,

z

y

zF

Fy ; 4)

x

zx

F

Fz ,

y

zy

F

Fz .


5. Дифференциал функции yxfz ;

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФОРМУЛА

84

1) полный; а) 22 dyzdxzzd yx ;

2) второго порядка. б) dyzdxzdz yx ;

в) dxzdyzdz yx ;

г) 222 2 dyzdxdyzdxzzd yyxyxx .

Укажите все правильные действия (6 – 7):

6. Отыскание экстремума функции yxfz ; :

1) находим частные производные первого и второго порядка

функции yxfz ; ;

2) находим критические точки функции, решая систему урав-

нений 0xz , 0yz ;

3) находим значения вторых производных в критической точке

000 ; yxM : AzMxx

0

, BzM

xy0

, CzM

yy0

;

4) находим определитель CB

BA;

5) находим определитель CB

AB;

6) если 0 , то экстремум в точке 000 ; yxM есть, а если

0 – нет;

7) если 0 , то экстремума в точке 000 ; yxM нет, а если

0 – есть;

8) если 0A , то имеем точку максимума, а если 0A – ми-

нимума;

9) если 0A , то имеем точку минимума, а если 0A – макси-

мума.

7. Отыскание условного экстремума функции yxfz ; при на-

личии уравнения связи 0 ; yx методом неопределенных мно-

жителей Лагранжа:

1) запишем функцию Лагранжа yxyxfyxF ; ; ; ;

, где – неопределенный множитель;

2) находим частные производные функции Лагранжа xF и yF ;

85

3) решая систему уравнений 0xF , 0yF и 0 ; yx , на-

ходим значения , х и у;

4) находим второй дифференциал Fd 2 функции Лагранжа;

5) определяем знак Fd 2 для системы значений , хи у;

6) определяем знак Fd 2 для системы значений , хиупри ус-

ловии, что 0dydx yx ;

7) если 02Fd , то функция имеет условныйминимум, а если

02Fd , то функция имеет условный максимум;

8) если 02Fd , то функция имеет условный максимум, а если

02Fd , то функция имеет условный минимум.

Тест 10.2 для проверки умений и навыков по теме «Дифференциальное исчисление ФМП»


1. Сумма частных производных функции yxxyyxf 22 ; рав-

на

Варианты ответов: 1) yx1 ; 2) 1; 3) 4; 4) 0; 5) yx .

2. Произведение частных производных функции x

yz равно

Варианты ответов: 1)3x

y; 2)

x

y; 3)

x

y; 4)

y

x; 5) 1.

3. Полный дифференциал функции 22 105 yxyxz имеет вид

Варианты ответов: 1) dxdyyxdz 820 ;

2) dyyxdxyxdz 5210 ; 3) dyyxdxyxdz 5210 ; 4)

dyyxdxyxdz 55 ; 5) dyyxdxyxdz 552 .

4. Полный дифференциал функции 22 105 yxyxz при ее из-

менении от точки 1 ;21M до точки 1,1 ;99,12M равен

Варианты ответов: 1) 1,12; 2) 2; 3) 0,2; 4) 0; 5) 1,5.

5. Дифференциал второго порядка функции yxz 2 имеет вид

Варианты ответов: 1) dxdyydxzd 22 22 ;

86

2) xdxdyydxzd 42 22 ; 3) dxdyydxzd 222 ;

4) 222 42 dyxdxdyydxzd ; 5) dyydxzd 22 4 .

6. Если функция имеет вид 2 arcctgcossin5 xyxz , то значение

выражения yxxy zz 2 равно

Варианты ответов: 1) xyx 3cos5 ; 2) 41

2

x

x; 3) – 1; 4) 0; 5) 3.

7.Если функция задана формулой zyxxyz , то значение ее

частной производной yz в точке 3 ;2 ;1M равно

Варианты ответов: 1) – 2; 2) 9; 3) 6; 4) – 8; 5) 0.

8.Значение полного дифференциала функции

xyxxyz cos255

при условии, что 2

yx , равно

Варианты ответов: 1) dydx 5,05,125,5 ; 2) 5,126 ;

3) 18,5; 4) dydx 512555 ; 5) dxdy5,126 .

9. Сумма координат критических точек (или критической точки,

если она единственна) функции yxyxyxz 222равна

Варианты ответов: 1) 6; 2) 3,5; 3) 0; 4) 1; 5) –9.

10. Значение функции 44422 yxyxz в точке экстремума

(или сумма значений в точках экстремума) равно

Варианты ответов: 1) 8; 2) 0; 3) –4; 4) –12; 5) 7.

Тест 10.3 для проверки умений и навыков по теме «Дифференциальное исчисление ФМП»


1. Если функция имеет вид 22 sin1

53 ; yxy

xxyxf , то зна-

чение выражения ;2yf равно


87

1) 2 ; 2) 4 ; 3)1 ; 4)21

; 5)2

41.

2.Значение дифференциала второго порядка функции xyxexz 2105ln

в точке 1 ;1M равно

Варианты ответов: 1) 222 51010ln4001 edyedxdydx ;

2) 222 51010ln4001 edyedxdydx ; 3) e1510ln4001 2 ;

4) 22 51010ln8001 edyedxdydx ; 5) e1510ln4001 2 .

3.Полный дифференциал функции zeu xy 52 имеет вид

Варианты ответов: 1) dzxdyydxedu xy4 ;

2) dzxdyydxedu xy22 ;3) dzydyxdxedu xy 52 2 ;

4) dzxdyydxedu xy 52 2 ;5) dzxdyydxedu xy 52 2 .

4. Если функция задана формулой 2sin arctg, yy

xxyxf , то

значение выражения yxf xy , равно:

Варианты ответов: 1) y

x

y

x

y

x

ysincos

132

;

2) y

x

y

x

y

x

y

2

32coscos

1; 3)

y

x

y

xsincos ;

4) y

x

y

x

y

x

ysinsin

12

; 5) y

x

y

x

y

x

ysincos

132

.

5. Если функция задана формулой 2210ln xxyy

x,то значение

выражения 2 ;2y равно

Варианты ответов: 1) – 1;2) 2,55;3)41

55;4)

3

7;5) 0.

6. Сумма модулей координат точки (точек) экстремума функции

yyxxyxf 32 ; 32 равна

Варианты ответов: 1) 132; 2) 2; 3) 0; 4) 8,56; 5) 3,4.

88

7. Наименьшее значение функции 2223 yxyxz в треугольной

области, ограниченной линиями 1x , 0y и xy , равно


8.Наименьшее значение функции 422 ; 22 yyxxyxf в

круге 422 yx равно

Варианты ответов: 1) –1; 2) 0; 3) 2; 4) –2; 5) 4.


9. Значение экстремума функции 22 yxz при условии, что

062 yx , равно _____.

10. Условный максимум функции yxz 689 при условии, что

2522 yx , равен _____.

11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


1. Неопределенный интеграл и его свойства.

2. Таблица основных неопределенных интегралов.

3. Непосредственное интегрирование.

4. Метод подстановки.

5. Метод интегрирования по частям.

6. Интегрирование рациональных дробей.

7. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Тест 11.1 для проверки теоретических знаний по теме «Неопределенный интеграл»


1. Функция F(x) является первообразной функции )(xf , если:

1) )()( xfxF ;

2) )()( xfxF ;

3) СxfxF )()( ;

4) )()( xfСxF .

89


2. Свойства неопределенного интеграла:

1) dxxgс ; а) dxxgdxxg )()( 21 ;

2) dxbk

xg ; б) Cb

k

xkG ;

3) dxxgxg 21 . в) bk

xG

k

1;

г) dxxgc ;

д) dxxgc ;

е) dxxgdxxg )()( 21 .

3. Интегралы от элементарных функций: ИНТЕГРАЛ ЗНАЧЕНИЕ

1) dx ; а) Cx 1 ;

2) 2x

dx; б) Cxn x 1 ;

3) dxx n ; в) Cxln ;

4)x

dx. г) C1 ;

д) Cn

xn

1

1

;

е) Cx ;

ж) Cx2

1.


1) dxe x ; а) Cxa x ln ;

2) dxa x ; б) Ca

a x

ln;

90

3)21 x

dx; в) Cx 5,02 ;

4) x

dx. г) Cxarctg ;

д) Cxarcsin ;

е) Ce x ;

ж) Cx .


1) x

dx2cos

; а) Cxctg ;

2) xdxcos ; б) Cxsin ;

3) x

dx2sin

; в) Cxtg ;

4)21 x

dx. г) Cxsin ;

д) Cx212 ;

е) Cxarcsin ;

ж) Cxarccos .

Тест 11.2 для проверки умений и навыков по теме «Неопределенный интеграл»


1. Множество всех первообразных функции 1хxf при 0x

имеет вид:

Варианты ответов: 1) xy ln ; 2) 2xy ; 3) xy ln ;

4) Cxy ln ; 5) Cxy 2 .

2. Если xxf cos и ef , то функция xf имеет вид:

Варианты ответов:1) exxf sinsin ;

91

2) exxf sinsin ; 3) xxf sin ;

4) Cxxf sin ; 5) Cxxf sin .

3. Если график первообразной функции 4xxf проходит через

точку 3 ;20М , то значение первообразной в точке 1x равно

Варианты ответов:1) 24

71; 2)

3

1; 3)

8

21; 4)

3

1; 5)

24

79.

4. Значение интеграла dxx

x x

3

152 3 равно

Варианты ответов:1) Cx

xx

3

ln

5ln

52 2 ; 2)

3

ln

5ln

5

2

4 xx x

;

3) Cxx x

3

ln

5ln

5

2

4

; 4) Cxx x

3

ln5ln5

2

4

; 5) 3

ln

5ln

5

2

4 xx x

.

5. Значение интеграла dxx

2cos2 равно

Варианты ответов:1) xxsin2 ; 2) Cxcos15,0 ;

3) Cxx sin2,0 ; 4) Cxx 2sin ; 5) Cxx sin5,0 .

6. Значение интеграла dxx tg равно

Варианты ответов:1) Cxcosln ; 2) Cxcosln ;

3) Cx2sin ; 4) Cx2cos ; 5) Cxsinln .

7. Значение интеграла dxx3

23 равно


12

234

; 2) Cx 12232

;

3) Cx 23ln ; 4) Cx

16

234

; 5) Cx 2ln23 .

8. Значение интеграла dxxx 3 равно

Варианты ответов:1) 35

3434,0 xx ;

2) Cxx 3

5

325

32; 3) 1; 4) Cx

x 34

34

3; 5) 0.

92

9. В результате вычисления интеграла xdxx sin получим

Варианты ответов:1) Cxxx cos2sin ;

2) Cxxx sincos ; 3) Cxxx cossin ;

4) Cxxx cossin ; 5) Cxxx ctgsin .

10. В результате вычисления интеграла 2532

22

x

dx получим

Варианты ответов:1) Cx2

320,04 0,1arctg ;

2) Cx 6,04,0 0,1arctg ; 3) 6,04,0 0,2arcctg x ;

4) Cx 12,008,0 arctg 0,04 ; 5) Cx 6,04,0 arctg 0,2 .

Тест 11.3 для проверки умений и навыков по теме «Неопределенный интеграл»


1. Если 020 ff и 1xf , то значение 1f равно

Варианты ответов:1) 1; 2) 0; 3) 0,5; 4) – 0,5; 5) 1,5.

2. Если точки 0 ;4A и 0 ;4B принадлежат графику первообраз-

ной xF функции,1 при

,1 при 11 xх

xxf то значение 0F равно

Варианты ответов:1) 4; 2) – 4; 3) 1; 4) 2; 5) – 3.

3. Значение интеграла 6

122 xx

dxx равно

Варианты ответов:1) Cxx 4ln3ln ; 2) Cx3 ;

3) Cxx 23ln ; 4) Cxx 2342ln ; 5) Cxx

23

.

4. Значение интеграла xdxe x sincos равно

Варианты ответов:1) Ce xsin ; 2) Cxe x cos ;

3) Ce xcos ; 4) Cxecos ; 5) Ce xcos .

5. Значение интеграла dxex x2 равно

Варианты ответов:1) Cexeex xxx 222 ;

93

2) Cexeex xxx 223 ; 3) Ceex xx 22 ;

4) Cxeeex xxx 522 ; 5) Ceex xxx 23ln2 .

6. В результате вычисления интеграла xdxarcsin получим

Варианты ответов:1) Cxx 22 1arcsin ;

2) Cxxx 21arcsin ; 3) Cxxx 21lnarcsin ;

4) Cxx 21lnarcsin ; 5) Cxxarcsin .

7.В результате вычисления интеграла 78 2xx

dx получим


3

4arctg

9

1; 2) C

x

x

3

3ln

6

1; 3)

Cx

x

1

7ln

6

1; 4) C

x

x

1

7ln

6

1; 5) C

x

x

7

1ln

3

1.

8.В результате вычисления интеграла 2

cossin xx

dx получим

Варианты ответов:1) Cx2sinln ; 2) Cx2sin ;

3) Cx2tg ; 4) Cxx ctgtg ; 5) Cxctg22 .

9.В результате вычисления интеграла 103

522xx

dxx получим

Варианты ответов:1) Cxx 25ln ;

2) Cxx7 9525ln ; 3) 7 97 5

2ln5ln xx ;

4) Cxx 7

9

7

5

25 ; 5) Cxx 7

9

7

5

25ln .

10.В результате вычисления интеграла dxxlnsin получим

Варианты ответов:1) Cxxx cossin5,0 ;

2) Cxlnsin5,0 ; 3) Cxx lncos ;

4) Cxxx lncoslnsin5,0 ; 5) Cxxx 2lncoslnsin .

94

12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


1. Определенный интеграл и его свойства.

2. Формула Ньютона-Лейбница.

3. Геометрические приложения определенного интеграла: пло-

щадь плоской фигуры; объем тела вращения; длина дуги кривой.

4. Несобственные интегралы.

5. Двойные интегралы.

Тест 12.1 для проверки теоретических знаний по теме «Определенный интеграл»


1. Формула Ньютона – Лейбница имеет вид:

1) )()()( aFbFdxxf

b

a

; 2) )()()( bFaFdxxf

b

a

;

3) )()()( aFbFdxxf

b

a

; 4) CxFdxxf

b

a

)( .


2. Свойства определенного интеграла:

1)

b

a

dxxf )( ; а)

a

b

dxxf )( ;

2)

a

a

dxxf )( ; б)

a

b

dxxf )( ;

3)

b

a

dxxkf )( ; в)

b

a

b

a

dxxfdxxf 21 )( ;

4)

b

a

dxxfxf 21 . г)

b

a

dxxfkx )( ;

95

д)

b

a

b

a

dxxfdxxf 21 )( ;

е)

b

a

dxxfk )( ;

ж) 0;

з) 1.

3. Приложение определенного интеграла: ЗАДАЧА ФОРМУЛА

1) площадь криволинейной тра-

пеции; ограниченной кривой

0xfy и прямыми ax ,

bx ;

а) b

a

dxxfV ;

2) площадь плоской фигуры, ог-

раниченной графиками функций

xfy 1, xfy 2

и прямыми

ax , bx ;

б) dxxfxfS

b

a

21;

3) объем тела, полученного в

результате вращения криволи-

нейной трапеции вокруг оси

абсцисс;

в)

b

a

dxxfS )( ;

4) объем тела, полученного в

результате вращения криволи-

нейной трапеции вокруг оси ор-

динат;

г) b

a

dxxfV 2 ;

5) длина дуги кривой xfy

на отрезке ba ; . д)

b

a

dyyfV 2 ;

е) b

a

dxxfL2

1 .;

ж) b

a

dxxfL2

1 .

Укажите все необходимые действия:

4. Для того чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной

графиками функций xfy 1 и xfy 2 , необходимо:

96

1) найти абсциссы 1х и

2х точек пересечения графиков функ-

ций xfy 1 и xfy 2

;

2) найти ординаты точек пересечения графиков функций

xfy 1 и xfy 2

;

3) записать пределы интегрирования 1xa и

2xb ;

4) записать пределы интегрирования 11 xfa и

22 xfb ;

5) записать подынтегральную функцию xfxfxf 21;

6) записать подынтегральную функцию xfxfxf 21;

7) вычислить интеграл

b

a

Adxxf ;

8) записать искомую площадь фигуры AS ;

9) записать искомую площадь AS .


5. Несобственным интегралом называют:

1) определенный интеграл, у которого хотя бы один из его пре-

делов бесконечен;

2) определенный интеграл, у которого оба его предела беско-

нечны;

3) определенный интеграл от неограниченной функции;

4) неопределенный интеграл от ограниченной функции.


6. Методы вычисления несобственных интегралов с бесконечными

пределами интегрирования: ИНТЕГРАЛ ФОРМУЛА

1)

a

dxxf ; а) b

aa

dxxflim ;

2) b

dxxf ; б) b

ab

dxxflim ;

3) dxxf . в) b

aa

dxxflim ;

г)

b

cb

c

aa

dxxfdxxf limlim ;

97

д)

b

cb

c

aa

dxxfdxxf limlim .

7. Методы вычисления несобственных интегралов b

a

dxxfI от

неограниченной функции xfy :

ФУНКЦИЯ ФОРМУЛА

1) не ограничена в окрестно-

сти точки b; а)

c

abc

dxxfI0

lim ;

2) не ограничена в окрестно-

сти точки а. б)

c

abc

dxxfI0

lim ;

в) b

cac

dxxfI0

lim ;

г) b

cac

dxxfI0

lim .

8. Сходимость несобственных интегралов: ИНТЕГРАЛ ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) сходится; а) предел соответствующего ему собствен-

ного интеграла не существует;

2) расходится. б) предел соответствующего ему собст-

венного интеграла равен бесконечности;

в) предел соответствующего ему собствен-

ного интеграла не существует или равен

бесконечности;

г) существует конечный предел соответст-

вующего ему собственного интеграла.

9. Методы вычисления двойных интегралов dxdyyxfI

S

; :

ОБЛАСТЬ S ФОРМУЛА

1) задана неравенствами

bxa и dyc ; а)

d

c

b

a

dxyxfdyI ; ;

98


bxa и xfyxf 21;

б)

d

c

b

a

dyyxfdxI ; ;


yfxyf 21 и dyc .

в)

xf

xf

b

a

dxyxfdyI2

1

; ;

г)

xf

xf

b

a

dyyxfdxI2

1

; ;

д)

yf

yf

d

c

dxyxfdyI2

1

; .

Тест 12.2 для проверки умений и навыков по теме «Определенный интеграл»


1. Результат вычисления интеграла

2

03 21 x

dx равен


1) 12575,0 3 ; 2) 1255,1 3 ; 3) 12; 4) 8; 5) 45.


0

33

cos dxx равен

Варианты ответов: 1) 3; 2) – 3; 3) 26 ; 4) 3

3; 5)

6

3.


0

3cos2sin xdxx равен

Варианты ответов: 1) 1; 2) – 0,8; 3) – 4; 4) 0,3; 5) 19.

4. В результате вычисления интеграла

15

1110 xx

dx получим

Варианты ответов: 1) 5; 2) 8; 3) – 6; 4) 33; 5) 12.

99

5. Площадь фигуры, ограниченной линиями xy , 2y , 9x ,

равна

Варианты ответов: 1) 8; 2) 1,63; 3) 3

8; 4)

3

4;5)

6

3.

6. Объем тела, полученного в результате вращения вокруг осиОх

криволинейной трапеции, ограниченной линиями x

y6

, 1x и

36x , равен

Варианты ответов: 1) 35; 2) 35 ; 3) 5 ; 4) 3

3; 5)

53.

7. Длина дуги кривой 3

2

3

2)( 5,1xxf , ограниченной прямыми 0x

и 3x , равна

Варианты ответов: 1) 2; 2) 1,5; 3) 3

14; 4)

3

8; 5) 2,5.

8. Результат вычисления интеграла dxx

1

4 равен

Варианты ответов: 1) ; 2) 0; 3) 1; 4) 3

8; 5)

3

1.

9. Значение интеграла

2

0

1

1

dyyxdx равно


1; 2)

3

8; 3) 3; 4) 4; 5) – 6.


S

dxdyyx 32 при условии, что прямо-

угольная область S ограничена линиями 01x , 32x и 01y ,

22y , равно

Варианты ответов: 1) 8; 2) 2; 3) 3, 56; 4) 36; 5) 16.

100

Тест 12.3 для проверки умений и навыков по теме «Определенный интеграл»


1. В результате вычисления интеграла 2

1

4 sin10 dxx

x

получим

Варианты ответов: 1) 14 3 2101,010lg4 e ;

2) 4 3101,010lg4 e ; 3) 14 3 210104 ;

4) 12lg4 e ; 5) 0.

2. Объем тела вращения вокруг оси Оукриволинейной трапеции,

ограниченной кривой xy 2 , прямой 2y и осьюОх, равен

Варианты ответов: 1) 4,6 ; 2) 5; 3) 1,55; 4) 9; 5) 4,5 .

3. Площадь фигуры, ограниченная линиями x

y1

, 12

1

xy ,

2x , ax , равна 153,0ln при значенииа из промежутка


1) 2 ;2 ; 2) 71, ;1 ; 3) 8 ;5 ; 4) 9 ;4 ; 5) 4 ;5,0 .


1

2 1x

dxравно


3; 3)

4; 4)

12; 5) .

5. Значение интеграла dxxe x

1

2

равно

Варианты ответов: 1) 2e ; 2) 0; 3) 123; 4)

e2

1; 5) .

6.Значение интеграла

2

11x

dxравно

Варианты ответов: 1) – 5; 2) 2; 3) 21; 4) 1; 5) .

101


24

6

3

2

6

yy

y

dxdy равно

Варианты ответов: 1) – 5; 2) 0; 3) 2,1; 4) 1; 5)– 2.


S

x

y

dxdye , при условии, что область S – тре-

угольник с вершинами в точках 0 ;0O , 0 ;1A и 1 ;1B , равно

Варианты ответов: 1) 5,5; 2) 5,05,0 e ; 3) 1; 4) 1e ; 5) 3,14.



S

dxdy3 , при условии, что область

Sограничена кривыми 2xy и 2yx , равно _____.

10. Объем тела, ограниченного плоскостями zyx 2 , 95,1 yx

, 22yx , 3x и 0z , равен _____.

102

13. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ЭКОНОМИКЕ


1. Нахождение объема производства.

2. Определение среднего времени изготовления единицы про-

дукции.

3. Нахождение дисконтированного дохода.

4. Определение издержек производства.

5. Определение дисконтированной стоимости при непрекра-

щающемся денежном потоке.

Тест 13.1 для проверки теоретических знаний по теме «Применение интегралов в экономике»


1. Если tfy – производительность труда в момент времени t,

то объем продукции, выпущенной производителем за промежуток

времени T ;0 равен:

1) T

dttfV

0

1 ; 2) T

dttfV0

;

3) T

dttfV

0

2 ; 4) T

dttfV0

.

2. Если функция Кобба-Дугласа имеет вид tettg , то объ-

ем продукции, выпущенной производителем за t лет, равен:

1) t

t dtetV

0

; 2) t

t dtetV0

;

3) t

dttV0

; 4) t

t dtetV0

.

3. Если функция xt выражает время, затраченное на изготовле-

ние продукции, то среднее время, затраченное на изготовление

103

единицы продукции, в период освоения изделий от1x до

2x нахо-

дят по формуле:

1) 2

112

.

1x

x

ср dxxtxx

t ; 2) 2

121

.

1x

x

ср dxxtxx

t ;

3) 2

112

.

1x

x

ср dxxtxx

t ; 4) 2

1

.

x

x

ср dxxtt .

4. Если функция tf показывает поступление дохода за время t, а i

– удельная норма непрерывно начисляемого процента, то дискон-

тированный доходК за время T равен:

1)

T

dttfiK

0

; 2)

T

it dtetfK

0

;

3)

T

it dtetfK

0

; 4)

TidttfK

0

.

5. Если q – объем выпуска продукции, 0C – издержки для произ-

водства первой единицы продукции, qCMC – функция пре-

дельных издержек, то функция издержек qC имеет вид:

1)

q

MCdqqC

1

; 2)

q

CMCdqqC

1

0 ;

3)

q

MCdqCqC

1

0 ; 4)

q

CMCdqqC

0

0 .

6. Если tR – рента земельного участка, а r – непрерывная про-

центная ставка, то дисконтированная стоимость земельного участ-

ка может быть найдена по формуле:

1)

0

dttReS r ; 2) dtetRS rt;

3)

0

dtetRS rt ; 4)

0

dtetRS rt .

104

Тест 13.2 для проверки умений и навыков по теме «Применение интегралов в экономике»


1. Если производительность труда бригады рабочих задана функ-

цией 12t

ttf , то объем продукции, выпущенной бригадой за

второй и третий часы работы, равен

Варианты ответов: 1) 2ln ; 2) 5ln5,0 ; 3) 9; 4) 1; 5) 85.

2. Если поступление товара на склад характеризуется функцией

tttf 23 2, то за 4 дня запас товара на складе будет составлять


1) 230 ед.; 2) 425 ед.; 3) 15 ед.; 4) 80 ед.; 5) 50 ед.

3. Если функция Кобба-Дугласа имеет вид tettg 53 , то объ-

ем продукции, выпущенной за 5 лет работы предприятием, равен


1) 25

43 20e; 2)

25

1439 25e; 3) 125; 4) 25; 5) 14394 5,2e .


234 23 xxxK ,

а объем продукции, выпускаемой станком, изменился от 10 до 20

единиц, то среднее значение издержек производства составит


1) 150; 2) 16 000; 3) 17 002; 4) 15 698; 5) 18 000.


369 2 xxxK ,

а объем производства изменился от 2 до 6 единиц, то количество

продукции, выпускаемой при средних издержках производства,

превысит

Варианты ответов: 1) 6 изделий; 2) 5 изделий; 3) 4 изделия;

4) 10 изделий; 5) 13 изделий.

6. Если в период освоения изделий от 41x до 92x функция из-

менения затрат времени на изготовление этих изделий имеет вид

105

5,05xxt , то среднее время, затраченное на освоение одного

изделия, составит


7. Если известна функция предельных издержек

1056 2 qqMC и 101 q ,

то функция издержек имеет вид

Варианты ответов: 1) qqqqC 105,22 23;

2) 023 105,22 CqqqqC ; 3) 11105,22 23 qqqqC ;

4) 023 2054 CqqqqC ; 5) 0

2 1056 CqqqC .

8. Если функция предельных издержек задана формулой

124 3 qqMC , 101 q , а издержки для производства пер-

вой единицы товара составляют 25 ден. ед., то при производстве 5

единиц товара издержки составят

Варианты ответов: 1) 670 ден. ед.; 2) 700 ден. ед.; 3) 0 ден. ед.;

4) 1234 ден. ед.; 5) 43 ден. ед.

9. Если первоначальные капиталовложения при процентной ставке

10 % составляли 20 тыс. ден. ед., то при намеченном ежегодном

увеличении капиталовложения на 1 тыс. ден. ед. дисконтирован-

ный доход за 2 года составит ден. ед.

Варианты ответов: 1) 1256 тыс.; 2) 130 тыс.; 3) 2,0

320300

eтыс.;

4) 2

3230

eтыс.; 5)

2,0

320300

eтыс.

10. Если рента Rзадается формулой tetR 5,075 , а предельная

ставка 10r %, то дисконтированная стоимость земельного участ-

ка составит

Варианты ответов: 1) 22 ден. ед.; 2) 876 ден. ед.;

3) 131

4376 ден. ед.; 4)

13

900 ден. ед.; 5) 125 ден. ед.

106

. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


1. Уравнения с разделяющимися переменными.

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второ-

го порядка с постоянными коэффициентами.

5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами.

Тест 14.1 для проверки теоретических знаний по теме «Дифференциальные уравнения»

Укажите все варианты правильных ответов (1 – 2):

1. Дифференциальными являются уравнения:

1) 293 xyxy ; 2) yxyy cos455 ;

3) dyyxdxyx 1045 10;

4) 85 yxdx ; 5) 02 3 dyyx .

2. Решить задачу Коши – значит:

1) найти общее решение дифференциального уравнения;

2) найти интегральную кривую, проходящую через заданную

точку 000 ; yxM ;

3) найти частное решение дифференциального уравнения,

удовлетворяющее начальным условиям 00 yxy ;

4) найти множество интегральных кривых;

5) найти общий интеграл дифференциального уравнения.


3. Дифференциальные уравнения первого порядка: УРАВНЕНИЕ ОБЩИЙ ВИД МЕТОД РЕШЕНИЯ

1) с разделен-

ными перемен-

ными;

а) dxxfdyyf )()( ; з) проинтегрировать

обе части уравнения;

2) с разделяю-

щимися пере-

менными;

б) dxxfdyyxf )() ;( ; и) разделить пере-

менные и проинтег-

рировать обе части

107

уравнения;

3) однородные; в) dyxfdxygxf )()()( 21;

к) применить под-

становку uxy , где

xfu ;

4) линейные. г) 0xqyxpy ;

л) применить под-

становку uvy , где

xfu 1, xfv 2

;

д) dyyxQdxyxP ,, ,

где yxPkkykxP n , , и

yxQkkykxQ m , , ;

м) применить под-

становку v

uy , где

xfu 1, xfv 2

.

е) dyyxQdxyxP ,, ,

где yxPkkykxP n , , и

yxQkkykxQ n , , ;

ж) 0yxqyxpy .

4. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффици-

ентами: УРАВНЕНИЕ ОБЩИЙ ВИД

1) однородные; а) 0qyypy ;

2) неоднородные. б) 0yxqyxpy ;

в) xfyxqyxpy ;

г) xfqyypy .

5. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений

второго порядка с постоянными коэффициентами, где

02 qpkk – характеристическое уравнение:

КОРНИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕ-

СКОГО УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

1) R21 kk ; а) kxkx xececy 21 ;

2) R21 kk ; б) xkxk

ececy 21

21 ;

3) ibak 2,1. в) bxcaxcy sincos 21

;

г) bxcbxcey ax sincos 21 ;

д) ibxcibxcey ax sincos 21 .

108

Укажите все правильные действия:

6. Чтобы решить линейное неоднородное дифференциальное урав-

нение второго порядка с постоянными коэффициентами (*) необ-

ходимо:

1) записать в общем виде частное решение y~ уравнения (*);

2) найти общее решение 0y соответствующего уравнению (*)

однородного уравнения 0qyypy ;

3) подставить значения y~ , y~ и y~ в уравнение (*) и найти

значения неопределенных коэффициентов;

4) найти значения выражений y~ и y~ ;

5) записать решение y~ с определенными коэффициентами;

6) записать общее решение уравнения (*) в виде yyy ~0 ;

7) записать общее решение уравнения (*) в виде yyy ~0 .


7. Решение нелинейных однородных дифференциальных уравне-

ний второго порядка с постоянными коэффициентами:

p, q– коэффициенты, 1k ,

2k – корни характеристического уравне-

ния 02 qpkk ; xfy – вид правой части уравнения; a, b,

m– постоянные коэффициенты; A, B, C– неопределенные коэффи-

циенты: ПРАВАЯ ЧАСТЬ УРАВНЕНИЯ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ

1) mxaexf и 21 kkm ; а)

mxAey~ ;

2) mxaexf и 1km ; б)

mxAxey~ ;

3) cbxaxxf 2 и 0q ; в) BAxy~ ;

4) mxbmxaxf cossin и

022 mqp ;

г) CBxAxy 2~ ;

5) baxxf , 0q , 0p . д) mxBmxAy cossin~ ;

е) mxBmxAxy cossin~ ;

ж) BxAxy 2~ .

109

Тест 14.2 для проверки умений и навыков по теме «Дифференциальные уравнения»


1. Функция 192 2 xxy является решением дифференциально-

го уравнения

Варианты ответов: 1) 024335 xyy ;

2) 58246 xyy ; 3) 0532

xyy ;

4) 544 xyy ; 5) xxyy 92 2 .

2. Решение дифференциального уравнения 0322 dxydyx

при условии, что 30x , а 50y , имеет вид


2

22

237

x

xy ; 2)

2

2

22

221

x

xy ;

3) 2

2

2

23

x

xy ; 4)

2

2

22

23

x

xCy ; 5) 5y .

3. Общее решение дифференциального уравнения 223 yyxy имеет

видВарианты ответов:

1) C

xy

2

; 2) 43 Cxy ; 3) 5

43 x

y ; 4) 23 xy ; 5) 23 Cxy .

4. Решение уравнения 0cossin xyxy при2

x имеет вид


1) xy sin ; 2) 1y ; 3) 2y ; 4) Cy ; 5) Cy .

5. Общий интеграл уравнения 224 yxyxy имеет вид

Варианты ответов: 1) 23 2ln8 Cxxy ; 2) 22 2ln8 Cxxxy ;

3) 222 2ln8 Cxxxy ; 4) 222 8 Cxxy ; 5) Cxy ln42 .

6. Решение дифференциального уравнения 152 yy , удовлетво-

ряющего начальным условиям 10y , имеет вид

Варианты ответов:1) xey 5,261 ; 2) xey 5,22,12,0 ;

110

3) 45,2 xey ; 4) ee

yx

3

1

5

5,2

; 5) xey 5,2 .

7. В результате интегрирования дифференциального уравнения

xy sin получим

Варианты ответов: 1) CСxxy sin ; 2) Сxxy sin ;

3) 21sin CxСxy ; 4) Сxy cos ; 5) xxy 2sin .

8. Общее решение дифференциального уравнения 065 yyy

имеет вид

Варианты ответов:1) xx CxeCey 32 ; 2) xx eCeCy 32

21 ;

3) xx xeCeCy 321 ; 4) xx eey 32 23 ; 5) xx xeCeCy 3

22

1 .

9. Частное решение уравнения 0242 yyy , удовлетворяющее

условиям 10y и 10y , имеет вид

Варианты ответов:1) xx eey 22 93 ; 2) 0y ;3) xey x 1 ;

4) xey 2 ; 5) xx xeey 2 .

10. Если 3

34x , то общий интеграл уравнения 0yyy

имеет вид Варианты ответов:1) xey 5,05 ; 2) xCey 5,0 ; 3)

3

2

Cey ; 4) 4ey ; 5) xCey 5,0 .

Тест 14.3 для проверки умений и навыков по теме «Дифференциальные уравнения»


1. Общий интеграл дифференциального уравнения

03223 dxxyydyxxy

имеет вид

Варианты ответов: 1) xxyy

32ln2ln23

3

;

2) Cxxyy

3ln2ln23

3

; 3) Cxyy

3ln23

2 3

;

111

4) Cxxy 5ln2ln2 ; 5) Cxxxy

73ln23

23

.

2. В результате решения задачи Коши для дифференциального

уравнения x

yxyxy ctg2 при 10x ,

0y получим

Варианты ответов: 1) yCx cos ; 2) y

xx sin2

;

3) 0cos2

x

yx ; 4)

x

yx cos ; 5)

x

yx cos2 .

3. Решением дифференциального уравнения 1

132

2

x

xyxxy

является функция

Варианты ответов: 1) 121 232 xCxyx

;

2) xCxy 215,12 ; 3) 11 25,12 xCxy ;

4) 11 25,12 xCxy ; 5) 252 1 xCxy .

4. Общий интеграл уравнения 222 xy имеет вид

Варианты ответов: 1) Cxxxy 2ln2 ;

2) Cxxy 22ln ; 3) Cxxy 22 1 ;

4) 21

2

2

1ln CxCx

xy ; 5) CCxxxy 2ln2 .

5. Если уравнение имеет вид 09yy , то значение выражения

60y равно


1) C3 ; 2) 213 CC ; 3)

216 CC ; 4) –3; 5) 0.

6. Общий интеграл дифференциального уравнения xeyy

имеет вид

Варианты ответов: 1) xCxCy sincos 21;

2) xexCxCy 5,0sincos 21; 3) xey 5,0 ;

4) xAexxy sincos ; 5) xAexCxCy sincos 21 .

7. Частное решение уравнения xeyyy 243 имеет вид

112

Варианты ответов:1) xey x 14,0~ ; 2) xx eCeCy 4

21~ ;

3) xey 4,0~ ; 4) xxx xeeCeCy 4,0~ 4

21; 5). xxey 4,0~ .

8. Решением уравнения 32532 2 xxyyy является семей-

ство интегральных кривых вида


55

9

26

3

5 23

21 xxeCeCy xx ;

2) xx eCeCy 3

21; 3)

27

55

9

26

3

5 2 xxy ;

4) 557845 2 xxy ; 5) 325 2 xxy .

9. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения

xxyyy cossin526

при условии, что 20y , 20y , имеет вид

Варианты ответов: 1) xxy 2cos5,02sin2,0 ;

2) xx eey 32

16

23

2

1; 2) xxy 2cos2sin5 .

4) xxeey xx 2cos5,02sin5,22,13,0 32 ;

5) xxeey xx 2cos2sin32 .

10. Решение системы уравнений yxdt

dx, yx

dt

dy2 при 0t

имеет вид

Варианты ответов: 1) Cx 2 , Cy 32 ;

2) 21 CCx , 1313 21 CCy ;

3) 21 2CCx ,

216 CCy ;

4) 21 CCx , 1313 21 CCy ;

5) 21 CCx , 1313 12 CCy .

113

15. РЯДЫ


1. Числовые ряды: необходимое и достаточное условия их схо-

димости.

2. Признаки сходимости числовых рядов с положительными

членами.

3. Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся ря-

дов.

4. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

5. Ряд Тейлора и ряд Маклорена.

Тест 15.1 для проверки теоретических знаний по теме «Ряды»


1. Виды рядов: РЯД ЗАПИСЬ

1) числовой с произвольны-

ми членами; а) n

n xc ;

2) числовой знакочередую-

щийся; б)

1n

n xf ;

3) функциональный; в) 0n

n

n axc ;

4) степенной. г) 1

11

n

n

na ;

д) 1n

na .

2. Дан числовой ряд 1n

na и nS – последовательность его час-

тичных сумм: РЯД ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) сходится; а) предел последовательности частич-

114

ных сумм ряда существует;

2) расходится. б) предел последовательности частич-

ных сумм ряда равен нулю;

в) предел последовательности частич-

ных сумм ряда равен бесконечности;

г) предел последовательности частич-

ных сумм ряда не существует или ра-

вен бесконечности.


3. Необходимое условие сходимости числового ряда 1n

na : если

ряд сходится, то

1) 0lim nn

a ; 2) 0lim nn

a ;

3) nn

alim ; 4) предел n-го члена ряда не

существует.


4. Следствие из необходимого признака сходимости числового ря-

да 1n

na :

ЕСЛИ РЯД

1) 0lim nn

a , то; а) сходится;

2) 0lim nn

a , то. б) расходится;

в) может сходиться, а может

и расходиться.


5. Признаки сравнения рядов 1n

na (1) и 1n

nb (2) с положитель-

ными членами при nn ba Nn :

1) если ряд (1) сходится, то ряд (2) расходится;

2) если ряд (1) сходится, то и ряд (2) сходится;

3) если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится;

4) если ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится;

5) если ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится.


115

6. Признак Даламбера. Дан ряд 1n

na с положительными членами

и существует la

a

n

n

n

1lim :

ЕСЛИ РЯД

1) 1l ; а) сходится;

2) 1l ; б) расходится;

3) 1l . в) может, как сходиться, так

и расходиться;

г) не существует.

7. Радикальный признак Коши. Дан ряд 1n

na с положительными

членами и существует lann

nlim :

ЕСЛИ РЯД

1) 1l ; а) сходится;

2) 1l ; б) расходится;

3) 1l . в) может, как сходиться, так

и расходиться;

г) не существует.

Укажите все правильные варианты ответов (8 – 14):

8. Интегральный признак Коши. Дан ряд 1n

na , члены которого

положительны и не возрастают и несобственный интеграл

1

dnan :

1)если интеграл сходится, то и ряд сходится;

2) если интеграл равен бесконечности или не существует, то

ряд расходится;

3) если интеграл равен бесконечности или нулю,то ряд расхо-

дится;

4)если интегралне существует или равен нулю, то ряд расхо-

дится.

9. Признак Лейбница для ряда 1

11

n

n

na :

116

1) если Nn : 1nn aa и 0lim nn

a , то ряд сходится;


a , то ряд сходится;


a , то ряд расходится;

4)если и 0lim nn

a , то ряд расходится.

10. Дан знакочередующийся ряд 1

11

n

n

na (1) и ряд, составлен-

ный из модулей его членов 1n

na (2):

1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) сходится абсолютно;

2) если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится, то ряд (1) схо-

дится условно;

3) если ряд (2) сходится, то ряд (1) сходится условно;

4) если ряд (2) расходится, то ряд (1) расходится условно.

11. Радиус сходимости степенного ряда 0n

nn xc находят по форму-

ле: 1) n

n

n c

cR 1lim ; 2)

1

lim nn

ncR ; 3) n

nn

cR lim ;

4)

1

1limn

n

n c

cR ; 5)

2

lim nn

ncR .

12. Теорема Абеля и следствие из нее для ряда 0n

nn xc :

1) если ряд сходится в точке 0x , то он сходится в любой точке

х, такой, что 0xx ;

2) если ряд расходится в точке 0x , то он расходится в любой

точке х, такой, что 0xx ;

3) если ряд расходится в точке 0x , то он расходится в любой

точке х, такой, что 0xx ;

117

4) если ряд сходится в точке 0x , то он сходится абсолютно в

любой точке х, такой, что 0xx .

13. Ряд Тейлора для функции xfy в окрестности точки ax

имеет вид:

1) ...!

...!2!1

2 nn

axn

afax

afax

afafxf ;

2) ...!

...!2!1

2 nn

axn

afax

afax

afafxf ;

3) ...!

...!2!1

2 nn

xn

afx

afx

afafxf .

14. Ряд Маклоренадля функции xfy имеет вид:

1) ...1!

1...1

!2

11

!1

11

2 nn

xn

fx

fx

ffxf ;

2) ......21

2 nn

xn

afx

afx

afafxf ;

3) ...!

0...

!2

0

!1

00 2 n

n

xn

fx

fx

ffxf .

Тест 15.2 для проверки умений и навыков по теме «Ряды»


1. Если ряд 1 32

13

n n

n сходится, то найдите произведение первого и

третьего его членов, а если ряд расходится, то найдите произведе-

ние четвертого и пятого членов ряда


14; 2)

45

16; 3)

13

14; 4) 53; 5) 234.

2. Если ряд 1

1

3

2nn

n сходится, то найдите

42 aa , а если ряд расхо-

дится, то найдите 31 aa

118


31; 2)

16

31; 3) 1, 34; 4) 4; 5) 3.


2

!

2

n n

n расходится, то найдите его третий член, а

если ряд сходится, то найдите его пятый член


3; 2)

5

9; 3)

6

1; 4)

3

1; 5) 6,4.

4. Если ряд 1 5

13

n

n

n

n расходится, то найдите 31 aa , а если

ряд сходится, то найдите 32 aa


1; 2)

3

2; 3)

7

2; 4)

49

25; 5)

94

9.

5. Если ряд 2 ln

1

n nn сходится, то запишите

1na

e , а если ряд расхо-

дится, то запишите 1

na

Варианты ответов: 1) nne ; 2)

nne ; 3) 2n ; 4)

nnln ; 5) nn .


111

n

nn сходится абсолютно, то найдите 4a , а

если ряд сходится условно, то запишите 4a

Варианты ответов: 1) 0,5; 2) – 0,2; 3) 1,2; 4) – 0,25; 5) 0,25.

7. Радиус сходимости ряда 1 7n

n

n

n

x равен

Варианты ответов: 1) 7; 2) 1; 3) 0; 4) 7

1; 5)

21

2.

8. Радиус сходимости ряда 1 3

2

n

n

n

nx равен

Варианты ответов: 1) 0,25; 2) 0; 3) 1; 4) 1,2; 5) .

9. Наибольшее целое число, принадлежащее интервалу сходимости

ряда 0

5,0n

nn x , равно

119


10. Число целых чисел, принадлежащих промежутку сходимости

ряда 1

!

nnx

n, равно


Тест 15.3 для проверки умений и навыков по теме «Ряды»



1 2sinn

nn расходится, то запишите его второй член, а

если ряд сходится, то запишите первый член ряда


1) 4sin5,0 ; 2) 2sin5,0 ; 3) 2sin ; 4) 2sin ; 5) 4sin2,0 .

2. Если ряд2

2

!1n n

n сходится, то найдите

1n

n

a

a, а если ряд расхо-

дится, то найдите n

n

a

a 1


1) 2

2

1n

n; 2)

21

1

n

n; 3)

2

3

1n

n; 4)

3

21

n

n; 5)

2

21

n

n.

3. Если ряд1

2 5n n

n сходится, то запишите его пятый член, а если

ряд расходится, то найдите четвертый член ряда

Варианты ответов: 1) 1,25; 2) – 0,25; 3) – 2; 4) 31

6; 5)

11

4.

4. Ряд 1n

pn сходится, для всех значений р, принадлежащих про-

межутку


120

1) ;1 ; 2) 1 ; ; 3) ; ; 4) ;1 ; 5) 0 ;1 .


2 1

7

n nсходится, то найдите предел его n-го члена, а

если ряд расходится, то найдите сумму трех первых членов ряда

Варианты ответов: 1) 5,6; 2) 0; 3) ; 4) 1; 5) 11,9.

6. Ряд n

n

n

xn

n2

0

1 сходится на интервале


1) 1 ;1 ; 2) 0,2 ;2,0 ; 3) 11 ; ee ; 4) ee ; ; 5)

1 ;0 e .

7. Количество целых чисел, принадлежащих промежутку сходимо-

сти ряда 1 2n

n

n

n

x, равно


8. Разложение функции xexf в ряд Маклорена имеет вид


1) 0n

n

n

x; 2)

1 !n

n

n

x; 3)

0 !n

n

n

x; 4)

0 1n

n

n

x; 5)

1 !n

n

n

e.

9. Разложение функции 1ln xxf в ряд Маклорена имеет вид

Варианты ответов: 1) ......32

32

n

xxxxxf

n

;

2) ...1...32

132

n

xxxxf

nn

;

3) ...!

1...!3!2

132

n

xxxxxf

nn

;

4) ...1...32

132

n

xxxxxf

nn

10. Четвертый член ряда, полученного в результате разложения

функции 1

1xxf в ряд Маклорена, имеет вид

Варианты ответов: 1) 3x ; 2) 3x ; 3) 4x ; 4) !3

3x; 5)

4

4x .

121

ОТВЕТЫ Тест 1.1

Номер задания 1 2 3 4 5 6

Вариант

правил.ответа 2, 5 3

1 – а, 2 – б,

3 – е,

4 – в

1 – а,

2 – б,

3 – в

1 – в,

2 – г,

3 – а

1 – б, 2 – е,

3 – а, 4 – в,

5 – г


Вариант

правил.ответа

1 – б,

2 – д,

3 – в

3, 4 1– г, 2 – а,

3 – б

1, 2, 3,

4, 5 1 5

Номер задания 13 14 15 16 17

Вариант

правил.ответа 2 1, 4 1, 3, 4 1, 4 1 – а, 2 – в

Тест 1.2


Вариант


1 – д – к;

2 – в – ж;

3 – а – з

1 – г;

2 – а;

3 – д

1 – г;

2 – а;

3 – д

1 – д;

2 – б;

3 – в

1 – а – к;

2 – г – ж;

3 – д – и


Вариант


1 – г;

2 – б;

3 – д;

4 – а

1 – а;

2 – г;

3 – б;

4 – в

2 1 – а;

2 – в

1 – б;

2 – в;

3 – д

Тест 1.3


Вариант

правил.ответа 1 – в; 2 – а 1 – д; 2 – г; 3 – б 1 – г; 2 – б 1 2


Вариант

правил.ответа 3 5 4 0,4 216

Тест 2.1

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7

Вариант


1 – ж;

2 – е;

3 – б;

4 – а;

5 – в

1 – д;

2 – г;

3 – в;

4 – е;

5 – а

1; 2; 3;

5; 6; 8 1; 2; 5 2; 4; 6

1; 3; 5;

9

1 – а;

2 – г

Тест 2.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 5 1 3 5 4 4 3 5 1 4

Тест 2.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант


1 – а;

2 – а

1 – в; 2 –г;

3 – а 2

1;

5 1 3 5 4 2 4

122

Тест 3.1


Вариант


1 – б;

2–а;

3 – г;

4–д;

5 – в

1 – б;

2 – а;

3 – г

3

1 – г;

2 – д;

3 – в

1 – в;

2 – г;

3 – д

1 – в – е;

2 – г – д 2

Номер задания 8 9 10 11 12 13 14

Вариант

правил.ответа 1; 4 2; 3

1;

3

1 – е;

2 – б;

3 – г;

4 – а

1 – д – е;

2 – б – з;

3 – в – и

1 – е;

2 – ж;

3 – г;

4 – в

1

Тест 3.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 3 1 4 5 4 5 1 4 3 2

Тест 3.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 2 3 5 1 3 2 4

1 – а; 2 – г;

3 – д; 4 – б 4 0

Тест 4.1


Вариант


1 – д; 2 – г;

3 – в

1 –а; 2– в;

3 – д 2

1 – а; 2 – в;

3 – д; 4 – б

1 – е; 2 – г;

3 – д; 4 – б

Номер задания 6 7 8 9

Вариант


1 – г; 2 – а;

3 – б; 4 – е 1 – а; 2 – г

1 – в; 2 – б;

3 – д 1 – а; 2 – в

Тест 4.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответ 3 4 2 1 3 5 2 1 5 2

Тест 4.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 4 3 2 5 1 2 3

1 – б;

2 – а

1 – а;

2 – в

1 – в;

2 – а

Тест 5.1


Вариант


1 – а; 2 – е;

3 – д; 4 – б;

5 – з

1 – б;

2 – в;

3 – а

1 – е;

2 – а;

3 – в

1 – а;

2 – в;

3 – г

1 – в;

2 – а;

3 – д

4

Тест 5.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 4 1 4 3 5 2 3 5 2 1

123

Тест 5.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 1 2 4 1 3 5 4 2 30 – 5

Тест 6.1


Вариант

правил.ответа 1 – б; 2 – г 1 – а; 2 – б 3

1 – б;

2 – г 2

1;

4


Вариант


1 – г; 2 – а; 3 – в;

4 – д; 5 – ж

1 – д; 2 – г; 3 – е;

4 – в; 5 – а 3

1 – б;

2 – д 4 1

Тест 6.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 1 3 3 5 2 1 4 3 3 3

Тест 6.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 3 5 1 2 4 1 4 1 – 1 1

Тест 7.1


Вариант


1 – б; 2 – д;

3 – а

1– д; 2– в; 3– а;

4 – б; 5 – ж

1 – г; 2 – д;

3 – е; 4 – ж

1 – г; 2 – а;

3 – д; 4 – в


Вариант


1 – г; 2 – в;

3 – е; 4 – б

1 – г; 2 – в;

3 – е; 4 – д 2 2; 3 1; 2; 4; 7

Тест 7.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 2 5 1 4 3 2 5 3 1 4

Тест 7.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 5 3 1 2 4 4 5 3 – 6 0,25

Тест 8.1


Вариант


1 – г – з;

2 – б – м; 3 –

д – к; 4 – в

1 – а;

2 – в 1 3 2

1 – б; 2 – в;

3 – е; 4 – д


Вариант

правил.ответа 4 1

2; 4;

1; 3

1 – а;

2 – б; 3 –е 3 1

Тест 8.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант 1 3 4 1 5 5 3 2 1 1

124


Тест 8.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 1 1 4 2 3 1 3 2 6e 3

Тест 9.1


Вариант

правил.ответа 1 3 3 2 2 1 2; 4; 5

Тест 9.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Номер

правил.ответа 5 3 1 1 2 5 3 3 4 4

Тест 10.1


Вариант

правил.ответа 2

1 – в;

2 – г

1; 3;

4; 5 1

1 – б;

2 – г

1; 2; 3; 4; 7;

8

1; 2; 3; 4; 6;

8

Тест 10.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 5 1 3 5 2 4 1 1 4 3

Тест 10.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 5 1 4 5 3 2 2 3 12 59

Тест 11.1


Вариант


1 – г; 2 – б;

3 – а

1 – е; 2 – а;

3 – д; 4 – в

1 – е; 2 – б;

3 – г; 4 – в

1 – в; 2 – г;

3 – а; 4 – е

Тест 11.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 4 1 5 3 5 2 1 2 4 5

Тест 11.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 3 1 3 5 1 2 4 5 2 4

Тест 12.1


Вариант


1 – б; 2 – ж;

3 – е; 4 – в

1 – в; 2 – б; 3 – г;

4 – д; 5 – ж 1; 3; 5; 7; 9


Вариант

правил.ответа 1; 3

1 – б; 2 – а;

3 – г

1 – а;

2 – г

1 – г;

2 – в

1 – б; 2 – г;

3 – д

125

Тест 12.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 1 4 2 5 3 2 3 5 4 4

Тест 12.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 1 1 5 2 4 2 4 2 1 43,75

Тест 13.1


Вариант правил.ответа 4 1 3 2 2 4

Тест 13.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 1 4 2 4 3 5 2 1 3 5

Тест 14.1


Вариант

правил.ответа 1;

2;

3

2;

3

1 – а – з;

2 – в – и;

3 – е – к;

4 – г – л

1 – а;

2 – г

1 – б;

2 – а;

3 – г

1; 2;

3; 4;

5; 7

1 – а; 2 – б;

3 – г; 4 – д;

5 – ж

Тест 14.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 2 1 5 4 3 2 3 2 5 3

Тест 14.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 2 3 4 4 1 2 5 1 4 4

Тест 15.1


Вариант

правил.ответа 1 – д; 2 – г;

3 – б; 4 – в

1 – а;

2 – г 1

1 – в;

2 – б 3; 5

1 –б;

2 – а;

3 – в

1 –а;

2 – б;

3 – в

Номер задания 8 9 10 11 12 13 14

Вариант

правил.ответа 1; 2 1 1; 2 2; 4 3; 4 1 3

Тест 15.2

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 3 5 1 2 4 4 1 3 2 4

Тест 15.3

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вариант

правил.ответа 1 3 5 1 2 3 5 3 4 1

126

ЛИТЕРАТУРА

1. Гусак, А. А. Математика : учебник для студ. вузов.

В 2 т. Том 1. / А. А. Гусак. – 6-ое изд. – Минск : ТетраСистемс,

2007. – 544 с.

2. Гусак, А. А. Математика : учебник для студ. вузов.

В 2 т. Том 2. / А. А. Гусак. – 6-ое изд. – Минск : ТетраСистемс,

2007. – 448 с.

3. Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гу-

сак, Г. М. Гусак, А. А. Бричикова. – Минск : ТетраСистемс, 2007. –

576 с.

4. Гринберг, А.С. Высшая математика : учеб. пособие. Ч. 1. /

Гринберг, А.С. [и др.]. – Минск : АУ, 2002.

5. Минюк, С. А. Высшая математика для экономистов : учебник

/ С. А. Минюк, С. А. Самаль, Л. И. Шевченко. – 2-е изд., испр. –

Минск : Элайда, 2007. – 512 с.

6. Плющ О.Б. Высшая математика : курс лекций. Часть I. Эле-

ментарная математика, аналитическая геометрия, линейная алгеб-

ра. / О. Б. Плющ. –3-е стер. изд. – Минск : Академия управления

при Президенте РБ, 2004. – 168 с.

127

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………............................... 3

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. Матрицы и определители

Тест 1.1 для проверки теоретических знаний………………… 10

Тест 1.2 для проверки умений и навыков…………………....... 16

Тест 1.3 для проверки умений и навыков …………………….. 20

2. Системы линейных уравнений

Тест 2.1 для проверки теоретических знаний…………………. 24

Тест 2.2 для проверки умений и навыков……………………… 27


3. Векторы

Тест 3.1 для проверки теоретических знаний……………...…. 33

Тест 3.2 для проверки умений и навыков…………………....… 38


АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

4. Линии на плоскости


Тест 4.2 для проверки умений и навыков…………………...… 45

Тест 4.3 для проверки умений и навыков …………………..… 46

5. Прямая и плоскость в пространстве


Тест 5.2 для проверки умений и навыков……………………... 52


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

6. Предел числовой последовательности и функции


Тест 6.2 для проверки умений и навыков…………………….. 60

Тест 6.3 для проверки умений и навыков …………………..… 61

7. Производная функции одной переменной

Тест 7.1 для проверки теоретических знаний…………...……. 63



8. Исследование функции с помощью производной




128

9. Приложения производной в экономике

Тест 9.1 для проверки теоретических знаний……...…………. 77


10. Функция многих переменных

Тест 10.1 для проверки теоретических знаний……………….. 81

Тест 10.2 для проверки умений и навыков……………………. 84

Тест 10.3 для проверки умений и навыков …………………… 85

11. Неопределенный интеграл

Тест 11.1 для проверки теоретических знаний……...………... 87



12. Определенный интеграл




13. Приложения определенного интеграла в экономике

Тест 13.1 для проверки теоретических знаний………...……... 101


14. Дифференциальные уравнения

Тест 14.1 для проверки теоретических знаний…………...…... 105



15. Ряды




Ответы …………………………………………………………………. 120

Литература …………………………………………………………….. 125

ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ПО ВЫСШЕЙ...

Documents

Transcript of ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ ПО ВЫСШЕЙ...