ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf...

35

Transcript of ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf...

Page 1: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

������� � ������ ������

��� �� ��� �������� ���������

��� ����� �� ����

� ��� �������� ���� � ���� ������� �� ������� ��� ������

����������� �

� ���

� ������ ���� ����������� �� ����� �!���� �������� ��� "�#

�$ ���� ������ ��������� � �"���� ��� � %� ��� ���� ��

����������� � ��� &!����"������ $�� � �� ��� ��

������ ����� � ���������� � ����� �������� � ����� $ ���

� ��$�� ��� ������� � � ����� � � ���� � � �����������

'�������� (������ � (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 2: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� ����� �� ����

� ������� ��� ������ ����������� ��� $ ����� �

�������� �� � ����� $�

��� ����� ����� �� � ����� $� $ ��� �������� ����

�������� ����������,

����� �� � ���������� � ��� ����� � �������� ��� �

������ $��� �� $��"������� �����

� %� ��� �������� ����� �������� � �� �� ���������

��� ������ � ������� �����$� ��� �� ���� �� � ���

����� �� ���� �� �� �� ���� ��� � ��� ���� �������� ��

���� ��$$���� ��� �� ���� ���� �������� � ������

���������� � ��� ������ ���������� � �������� �� ��� ��

�-� ���� ����� ���- � ��� %� ��� ���������� � ���

�� ������ � ���������

'�������� (������ # (�� )� ��� *����"+��� +����������

� ����� $������� ��������

� ���� ��$� �� ��"������ $ ��� �������� ��� � ����� $� $

��� � ��$��� � ��� �������� ���� �� ����� �� ����������� �

����� ������ � ���� � ����� $ ��� ��� �������� � ��

����� $������ ��� ��� ������ �� ���� �-� ��� ��������

��� ��� �������� �� � ����� $�������� ���� �� ���� ��������

�������� � � � ����� � ������� � � ��� �� �� $�

� ��� ����� � ���������� ��������� �� �������

���� �� $ � ������� �� $�� ������� ����� � �� �������� ��

� ���� � �� �� � ������� ����� � ���������

������� �������� � � ����� $������� ��������� .������� ��

���� ���� ��� ����� ������ ����������� � ��� /�������0

������

'�������� (������ 1 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 3: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

'�������� � ����������� ��� � ���� �

2� ����� ������ ���� ��� �� $��"������� ����� � � 3��

� � �� ��� ��� � ���� �� ������� � ���� � � � �

�� ��� ��� � ���� �� ������� � ���� � 4�� �������

��� ��� ������ �� �� � ��� ��������� � ��� � �������

������ ��� �������� �� ���� ��-� ��� �� � �$ ��� �

������ �� $� � ��� ����� � � � � � ������� ��������

���� � � ����� ������� �������� ���� � ���

����!���� ������� �� ��� '���5��� $�� �%���� �� ���

�������� ������ ���

� � #� � � �� � #� �#�

����� � � # �� ��� ������ ��� � ������� � � �������

#� �������������

'�������� (������ ) (�� )� ��� *����"+��� +����������

'�������� � ����������� ��� � ���� �

� �� � ����� $� ��� ��� ��������� ��� �� ��� �� ���

� ���� �

�� � #� � � �� � #� �1�

.������� � ��� �������� �� � ����� $�������� ��� ���

���������� � ��� ������ ���� �� � �� $�� � ��� �������� ��

� ����� $��� 6����� $ ��� ��� ���� � ��� ��� � ���� ��

�� ���������� ��� � �� �� ����� ����

���� �����

� ����� ������

�� � #� � � � #� �)�

����� �� �� �� ��

'�������� (������ 7 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 4: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

'�������� � ����������� ��� � ���� �

����� ��� ������� � � ����� $� $ ��� �������� ��

������� ��� �� ��������� $ ��� ��� � ���� �� ���� �����

� .������� � �� � ����� $� ��� �������� ������ �� $�� ��-

�� ��� �!�� ������� �� ������ ����� ���� ������� ����

#� � �7�

� �� ���

� � �8�

���� ���� � 9� � � � �� ������� � ����� � ���

������ ����

������� �� ��� � ����� $� � ��� ��������, � ��� ���� � ����

�� �� ��� ��� ��� � ���� �� ����������� 4��� ��� ���

��� � ���� � �� ��� �� ��������� �� ����������� � ���

��� �������� �� � ����� $��������

'�������� (������ 8 (�� )� ��� *����"+��� +����������

'�������� � ����������� ��� � ���� �

�� � ���� �������� �� ����������� �� ��� �� ����� ���

��� � ���� �#�� 6 ��������� ��� � ���� � �� ������ �

� � #� ���

#: � �� � #� 9 � #� � ��; �<�

� ����������� ��� � ���� � �� ������ �

� � #� ���

#: � �� � #� � #� � ��; �=�

��� ���� ��

# �� ��%����� �� ��������� � ��� ���

� ���� �

� � � #��#� # � � �>�

4��� ��� �� ����� ��� ��� ����� � �� ����� �����

� � ��# � � � � � � � ? ��?�

'�������� (������ < (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 5: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

'�� � ��������

(������� �� ����� ��� ��� � ���� �� ����������� � ���

� ����� $� � � ��� � ��� �������� �� ����� �������

(������� �� ����� ��� ��� � ���� �� ��������� � ���

� ����� $� � � ��� � ��� �������� �� ����� �������

��"� ��$�� ��� �� ���� ����� �� ������ �������� ����

� ��$�� ��� �� ���� ���� ��

� ���� ��� � ��� ������� ������� �� ���� �� ����� ���

��������� ���� ��� � ����� �� � ���� �� ����� ���

��������� ���� ��� � ���� � � ��� �!� ��� � ��� �������

�������

'�������� (������ = (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� (��� �!������ ��� �����

� ��� ��� � ���� ������� ��� ��� �� $��"������� ����

� �� �� �������� �� ��� ��� �������� � ��� ��� ����� �

�� ��� �� ��� ��� �������� � �� ���� � �� �!����� ��� ���

� ���� ��������

� � #� ���

#: � �� � #� � #� � ��; � ? ����

��� ��� � ���� � ������

���� ������� ��� �� ����� �� � �� $��"������� ���� � ��

�������� �� � ���� � � �������� ���� �� ��� (��� �!������

��� ������

'�������� (������ > (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 6: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

�� � ���� � �� � � ��������

��� @��� ��� ��������� �� �� ��� �� ����� ��� ��������� ��

����������� ��� � ���� � ��� ���� �������� ������� $

���� ������ ��� ��� � ���� ���� �� ������ ��������� ��

����������� ���� ������� �� ��� � ����� $� � �� ���

���������

��� �������� �� ���������� � �� � ����� �� ����� $ ���

��� � ���� � ��� ������� � � ����!� �����

����� � �� �� ����� ��� �� ����� ��� � � �������� �

������

'�������� (������ �? (�� )� ��� *����"+��� +����������

�� � ���� � �� � � ��������

*�� �!����� ���� ����� ������ ����� ������ ��� �� # �

1� ������� $ ����� �� $��"������� ����� � � � �� ���

��� � ���� ����� ���

� � # 1� ���

1A

� �� � #� � 1�� �� � #� � 1�� �� � #� � 1�

��#�

��� �������� �� $ ����������� ��� � ���� �� ������ �

���� � ����� �� �� �������� � ��� ��� ��� ��� ��� �� ��

��$ � ��� ������� � ��� ������� � ���� �� ������� ��

���� ��$ �

'�������� (������ �� (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 7: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

+���������� � �� � ����� $������� ��������

B���� ��� �� ������� ��� ������ ����������� �� ���-� $

�� ��� ����������� ��� �� �� �� ��� ��$��� ����� �

����������� �� �� ����� �� ����� �� ����� ��� �!�������

�� ��� ����� � ���������� � � $��� ����������� �

A

�A #A 1A��1�

������� $ ��� �� $��"������� ����� ��� ����� � ����� ��

���������� �������� �� $ �� $��� ����������� ���� �� �

������� ��� �������� �� ����� $������� �� � ����� $�������,

�� � ��� ����� ���� � ������� ��� �������� �� ����� � ��

� ����� $������� �������� �&!����"������ ����������� �,

����� � �*����"+��� ����������� �, � ���� � �����"C� ����

����������� ��

'�������� (������ �# (�� )� ��� *����"+��� +����������

+���������� � �� ����� �

3�� �� �� ����� ����� �������� �� $ �� � ��$� ������ � C��

� ��$� ����� � �� ��$� ����, ���� ����� � �� � � ����� ��

�� $��"������� ����� ���� ��� ��� � ��$�� 3�� ��� ����� �

����� ���� � ��$� �� , � ��� ����� � �������� ����

��� � ��$� �� � *�� ����� �� �� ������ ��� ��� (���

�!������ ��� ����� ��� ��� ������� ����� � �������� ����

� ��$� �� � ���� ��� �!���� ���� � �� �

'�������� (������ �1 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 8: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

+���������� � �� ����� �

�� $��"������� �����

���� ��������� ���� � ���� � � ������� ��� �� $��"�������

����� ���

A

A � �A��)�

�B���� ��� ��@���� � �� �� $�� � ��%�� �� � A

C�� $���� � ����� �� �������� ���� �� ��� ����

����� � ���������� �� $��� ����������� � �� ����� ���

���� ����� � ���������� �� ����� � ���

�� ���A

A � �A��7�

'�������� (������ �) (�� )� ��� *����"+��� +����������

&��� ������� ����������� �� ����� �

D�� $ ��� ��� ����� � �%�� ������ ������������� ��� ���� ��-���

����� � �� ��� ���� ��� ��$��� ����� � �����������

��������� �� ��� �� �!����� � �� �%����� ���� � � ����

������� �� ���� �� $�� � ��� � ��$� ����� �������� � �

*��� ��7�� �� ����

� � � A

A � �A��8�

6����� $ ��� � �� ��$� �� ��� �� � ��� '����� $E�

����!����� � �� ����

� : � � � � � � �; ��<�

��� �� $� � � ���� ������� �� �� $�� � ���

�������� � ���

�� � � ��=�

'�������� (������ �7 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 9: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

&��� ������� ����������� �� ����� �

2� $�� � ��� �������� � � ��� �� $��"������� ����� ��

���@��� �� ��� �� ���� ���

� � � ? ��>�

��

� � � ? �#?�

����� �� ��� ���� ����� � �������� � ��� ������� �

�� ��� ���� � ��$�� ���� � ����� �� �� �� ��

2���� � $ �%���� ��=� ���� ��>� � �#?�� ���� 3$� $�

����������� � � �� ����

�� � � 9 9 � ? �#��

'�������� (������ �8 (�� )� ��� *����"+��� +����������

&��� ������� ����������� �� ����� �

C%���� �#���

�� � � 9 9 � ?

���� �� ���� �� � ��� � ������ � , ��������� �� �

������

� 9 9 � ? �##�

� ��$� ������ � ��� ���� ������� ����������� ���

9��#1�

'�������� (������ �< (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 10: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *����"+��� �����������

���� $�

� � �

��#)�

����� �� ������ E� �� �� �� ��� ���� �������

����������� �� ����� � �#1� � �� ������ �

9�

�#7�

���� �� ��� *����"+��� ����������� � ��� �� �� � � ��

�� � ��� ��� ��������� �� ����� �

9�

� �#8�

'�������� (������ �= (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *����"+��� ����������� �� ������ ������

��� ��� &!����"������ ����������� � ����� �� �������

� ��� ��� �������� ��� ��� �������� ���� ����� $��������

��� �� ����� ��� ��� ��� ��� �������� � ��� � ��$� �����

�� ���� ���� �� ��� ����� � ������ ����� � ��� � ��$��

� �#<�

� ���� ���� �� ��� ��� �#7��

9� � �#=�

� ���������

9� �#>�

��� *����"+��� ����������� � ��� �� ����!����� ���

�1?�

����� �� ��� ��� ��� � ��� &!����"������

����������� �

'�������� (������ �> (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 11: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� ������� ���� ���

� ��� ��� �� /������0 ������� � ����� ��� �������� �

��� � ��$� ����� �� ���� ���� �� ��� ����� � �����

������ � ��� � ��$� ������ ��� &!����"������

����������� �������� $��� ����!����� �� ��� ����

������ *����"+��� ����������� �

�� ����� � � ����� ��� �������� � ���� � ��� � ��$� ������

�������� ��� ����� � ����� ������ � ����� � ��$�

������� ���� � ����� � ��� ����������� � �� �� �����

� ���� � ��� � � ��$�� ����

��� � � ��� *����"+��� ����������� �� ��� ������ �

9�

�1��

'�������� (������ #? (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� ������� ���� ���

4�� �� ����� ��� ���������� ��� �������� �� $��"�������

���� �� �������� �� ����� � '� ��� � � ��$� � ����� ��

�������� ����������� ���� �� $��"������� ������ ��� ����������

��� �������� ���� �� �������� ���

9�

�1#�

4�� �� ����� ��� ��� ���������� ������ � ?� � ��� ��� �

���� ������

� � �� �11�

��

� ? �� �1)�

� ����� ������ � ��� ��� ���������� ������ �� ����� ����

� ��$� ����� �� ��������� � � � � ��� ����� ����

� ��$� ���� �� ���������

'�������� (������ #� (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 12: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� ������� ���� ���

��� ������� �� ����� ��� ������� ���� ���� � $� ����

��� ������� ���� ��� ���� �� � ���� � ��� �������

������� $ ��� ��������� � ����� $ ��� ����� � ���������

� ��� �����������

��� ������� ���� ��� � ��� *����"+��� ����������� ����

������ ���� �� ��� ������� � ���� � ��� ������

����������� � �� �� ������� �� �� ��� ��������� �� ����� ,

���� �� � ��� ����������, � ����������� ���

����������� �

*�� ��� ������ ����������� � �� �� � ��� - �����$� �

��� ������� � ���� �� ���� ����� �� ������ $ ������

���������� � ��� ������� ��� ������� ���� ��� �� ��������

����� � ������� � ����� ��

'�������� (������ ## (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� ������� ���� ���

6� �!����� �� ����� ��� ��� ��� �� �� �� �� ���

��������� �� ����� � �� ������ �

? 9�

� �17�

����� ����� �� �� $��"������� ����� � ��� ������ � ��$�

� $� ��� �� 9 �

� � � � � �18�

6� �� ��$�� �!����� ��� ��� ���������� ����� ���

� �� � � ? �1<�

� ��� ��� ���������� ������ ��� ������ � ��$� ����� ��

�������� �� ��������, �� �� ��� ����� �� � ������ �����������

� � ��$�� ��� � ��$� � ��� ��$����"� ��$� �������� ���� ��

'�������� (������ #1 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 13: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� ����������

���� ���������� ���

�?��1=�

����� �?� �� ��� ���� � ��� ������� ���� ��� � � � ���

����� � ?� � �� ������ E� �� �� �� �?� �� ���������

����� ��� *���� � ��$�� � ������ � ��� *���� � ��$� ��

������ �� ��� *���� ���������� ���

� �1>�

3�� �� ���� ���� ����� � �������� �� $��"������� ������

� � ���� � � ��$� �� ������ �����������, ��� ������ ��

���� � ��� �!� ������ � ��� ��� ���

�)?�

&!����"������ �!�� � ��� ����, ����� ���

�)��

��� ����������� ����� �� ������ &!����"������

����������� �

'�������� (������ #) (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� ����������

4���� ���� �� ��� ������ ���� ����� ��� �� ���� � ����� �� �� �� ��

'�������� (������ #7 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 14: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� ������� ���� ���

4��� ��� �� �

9�

#�)#�

6� � ��$� ����� �%�� �� ��� ������� ���� ���� ��� ���$�

�������� � ��� ������ ����� �� � #� ���� �� $� ���

������ �� ��� *����"+��� ����������� , �� �� �� ���������� �� ���

��� ����� ��� �� ���� � ����� �� �� �� ��

'�������� (������ #8 (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� ������� ���� ���

�� �� ��� ����� �� - �� ��� ��� ������� ���� ��� �����

���� ����������� � ��� ��� ����� ��� �� ���� � ����� ��

�� �� �� ��� ������� ���� ��� �� $��� �� �18��

� � � � �

� ���� � � � � ���� � ���������� � ��� �!� �����,

���� ��

���� #�� ��� ������� ���� ��� �� ����� �� �� �� ��

����� ���� ������ ���� �����������

4��� ��� � ��� ���������� � ������� ��� ������� ���� ���

� � ������� �$����� � �� ��� �%���� �)#� ��� �����

���� � ��$� �%�� �� ��� ������� ���� ��� ��� ���$�

�������� � � #� ����� ��� ��� ������� ���� ��� �������

�$����� ��� ����� ��� ���$� �������� ���� �� � #�

'�������� (������ #< (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 15: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� ������� ���� ���

4���� ���� �� ��� ������ ���� ����� ��� �� ���� � ����� �� �� �� ��

'�������� (������ #= (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�

3�� �� ���- �����$� �!���� ���� ������$���� '� �� �� ��

�!���� �� �������� �� ��� ���� ���� ���� �� ��� �����

�%����� � � ��� &!����"������ $�� 6 *���� $� �� �����

� ��������� � ��-��"� ������ $ ����� � ��� �� ��� ��

���� ����� ��� ��� ������ � ��� �� � ��� �� ����

���� � ��� ��� ����

*���� $��� ����� � ����� � ������� ������� �� � ����� $�

�� ������ ������� � � ����,

��%��� 1.�,

����� �����

'�������� (������ #> (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 16: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� � ��$� �����������

$�� 6� ��$� ������������ ���� ���� ������ ��� � ��$�

����������� � �������� � ��� &!����"������ $�, ��� �

��� ������������ �� �!���� ��� ����� ���� � ��� ��������

�� �� ������ ��

��� � ��$� ����������� � �������� � *���� $� �� $��� ���

� � � � � � � �)1�

����� � � �� ��� ���� ��������

� � ��

9�

�))�

� � � �� ��� �� ���� � ������ $��� � ���� ��� ���

� � � �# 9��) #

#

�#

1

# �

�)7�

����� �� ��� ��� � ��� �������� � ��� $��

'�������� (������ 1? (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� ������� ���� ���

� ��

����� � ��� ����������� � ��� ������� ���� ��� ��

������� �� �� ��� ��������� �

?

� � � �)8�

� ��

��� �� ������

�# 9��) #

#

�#

1

# �

?

9�

� �)<�

���� �� �� ��� � ��$�� �� ������� �� �� ������ �� ����

/����-�0� � �� �� ������� �� �!��� �

� �������� ���� ��� � �#�

'�������� (������ 1� (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 17: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� ������� ���� ���

��� ����

?

� �� � �)=�

(������ $ ���� � ��$�� �� ���� $�����

� �?��

?

� �� �

�)>�

4�� �� ��� ��� �� ���� �� ����������� � ��� *����

� ���� � � �� ���� ����� ���� � ���� � ����� ��� ���������

� ����� ����������� �!���� � � ��$��� ����� �� ��� �������

���� ���� ����� �� ������� ��$�� � ��� � ��� ����������

�� �� �� ����� ��� ��������� � ��� *���� � ���� �� �� �� ���

+��� ���� � ���� �

'�������� (������ 1# (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� ������� ���� ���

3�� �� �-� ��� �������� ��� � ��� � ������ �

��� ���������� � � � �� ����� � � � �� �� �������

�� ��� � ��$�� � ��� �� � �� � �!� � � � � �����

������ ��� � � �

� � � � � 9 � � �� � 9�

#� �# ��� � 9 �7?�

'��������� $ ���� ������ � �� �%���� �)>� $�����

� �?� 9 � � ?9�� � �9

� �#

#

��� � #9 �7��

������

?

�7#�

'�������� (������ 11 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 18: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� ������� ���� ���

4�� �� ����

9�#

�71�

�� $����

� 9��#�7)�

� ��� $� ��� ��� � ��� �� ��� ��� � ��$� � �� ��$�

� �� ���� ���� � $�� ���� ���� �� �!�� � ��� ����� ����� �

��� � ��$���� �� � � �� $� ��� ������ � � ��$���� �

� � ���- �� ��� ����� � �� � ? � #

� �?� 9 � � 9#

8� �# ��� � 9 �77�

'�������� (������ 1) (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� ������� ���� ���

� �� �������

� � �#

1

1

# �78�

�� ����

�� � ��

# ���� � �

#

# �7<�

# #

#

�#

1

# �

?

9� # #

#

�#

1

# #

1

1

# 9

#

�#� �#

#

�7=�

��� ����!���� ������� �� �%���� �7=� ���

#

�#

#

�7>�

����� � � � ��� *���� � ��$� �� $��� ���

� ����?�

�#

#

1#

#

1

�8?�

'�������� (������ 17 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 19: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� ������� ���� ���

� � ����- ��� ������ �� ��� *���� � ��$� �8?� �� ��� $ ���

�� ��� � ��� ��� ���������� ������ �� �� $��"������� �����

���� � ��$� ����� ��� *���� � ��$�

�� $��"������� ����� ���� � ��$� ���� ? �� ������ �����

?

� � � �8��

��� ��� �� ���� � ����� � � $��� �� �)7��

� � �

# #

#

�#

1

# �

�8#�

���� $���� ��� ��� ������ � � �8?� �����

'�������� (������ 18 (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� ������� ���� ���

6� � ��� ��� � ������ ���� �� �� � �� ���� � ������ ��

� ��� ������� ���� ��� �� ��-

� ��

'�������� (������ 1< (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 20: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� � ��$� �����������

� ��� ������� �!������ �!������� � �7>� � �8?� �� ���

������� ���� ���� ���� �� �

#

�#

#

�#

#

1#

#

1

��� ����������� � �������� ���� � ��$� � ��� *���� $� �

��� �� ������ �

� �# #

#

�#

1

#

9�

�81�

'�������� (������ 1= (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� � ��$� �����������

'�������� (������ 1> (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 21: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� ���� � ��$�

��� ���� � ��$� � ��� *���� $� �� $��� ���

?

� � �8)�

D�� $ �%���� �81� �� ��� ������� ����������� � ��

� �# #

#

�#

1

#

9�

�� ����

# #

#

�#

1

# �

?

1

#

9�

�87�

��� � ��$�� � �� �������� ��� $ ��� �������� �������� �)=�

� �77�� �����

� � �#

7

7

# �88�

'�������� (������ )? (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� ���� � ��$�

��� ������ �� ��� ���� � ��$� � ��� *���� $� ���

# #

#

�#

1

# #

7

7

# 9

#

)� �#

# �8<�

D�� $ �%���� � �7>� � �8?��

#

�#

#

�#

#

1 ##

1

�� � �!����� ��� ���� � ��$� ��

1

7�97#

�#

#

�8=�

������ � ����� � � � ��� ���� ������� �� ���� ��

'�������� (������ )� (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 22: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� ���� � ��$�

� � ��� ������� ��� ������ �8=� �� ��� ���� � ��$� �

*���� $� �� �� ������ �� �-� $ ���$� ������� � �������

*����� �� ������� ��� ���� � ��$� � ��� ����� � ?� �� ��� $

��� �� ��� � ��� ��� ���������� ������ �� � ��$� ������ ��

�� ��� ������� ���� ��� �� ��������� � �� � ��$� ������

���� ��� ������� ���� ��� �� ������ ��� ���� � ��$� �

��� ����� � ? �� ��� �

? �

# #

#

�#

1

#

?

1

# �8>�

# #

#

�#

1

# #

7

7

# �<?�

1

7�<��

� ��� ��� �� �� �� ��� ����� ��� �8?��

1 #

#

�#

1

#1

# �<#�

'�������� (������ )# (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� ���� � ��$�

�� ������� ��� ���������� ���� �� �� � ��� ���� � ��$� �

�� � ���������� � �������� ����� � ��$� � ��� *����

� ��$� �� �!����� � �� ��$��� � ��$� ������,

#� ��� �������� �!����� � �� ��$��� � ��$� ������ ���

� ��$� $� 1#�

����������� ����������� � ��� �!� ������� ��� ���� �

� ��$�� ���� ��� ������ �������� ��� ��� �������� ���

����� ��$���� � �������

'�������� (������ )1 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 23: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� ���� � ��$�

'�������� (������ )) (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� ���� � ��$�

��� � ����� � � ��$� � ���������� � � �� ��������

$��� ����!������ ���

� �1

#�<1�

� � �� ��� �� ���� � ����� � ��� ����"��� � �������

���� ��� � *�� ��� "�#*���� $�� ��� �� ���� � ����� ��

$��� �� �)7��

� � �# #

#

�#

1

# �

# �<)�

.� ���

� � �1

#�<7�

����� $�����

>

)

#

�<8�

'�������� (������ )7 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 24: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� ���� � ��$�

.� ��� ��� ������� �� ��� ���� � ��$� � ��� *���� $� ��� ��

� ?

1

79>

)

#

�<<�

���� $���� %���� ���� ���� ��� ���� ����� ���� �����

����!����� ������ �8=��

1

7�97#

�#

#

1

79

#

)

#

'�������� (������ )8 (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� ����"��� � � ��$�

6� � ?� ��� ���� � ��$� � ��� *���� $� ��������

� ? �

1

7�

1

7

�#

#

1 ##

17

1 �<=�

���� � �� ������� ���� ��� ���� � ��$� � ��� &!����"������ $�

� ��� ��� ��� ���������� ������ ����� �� �� � � �������� ��� � ����

�������

?&"� � 1�#

#

1#

1

�<>�

� ��� *���� $� � ��� ��� ���������� ����� �� ������ � ����#

1�

'� �� � �� ��$�� ��� ����"���������� � ��$� � ��� *���� $� � ��

���� ��$�� �� ��� �������� �� $ &!����"������ $�� ���� ��

������ �� ��%�� �� � ��� (��� �!������ ��� ������ ����� ����� �� ���

����� � � ��� *���� $� ��� �� ��� $ � �� ��� �� $��"������� ���� ����

��� ������ � ��$�� *�� �������� � &!����"������ $�� ����� �� �

���� ���������� �

'�������� (������ )< (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 25: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� ��� ������

*��� ��� ���������� ���� �� �� � ��� ���� � ��$�� �� �

�������

� �

#

#�=?�

6$� � ���� ������ �� ���� �� � �� ����� ��� �

����������� ���� ���� �� ��� *���� ����������� ��� ���

������ �� ��������� � �� ��� ����������� � � ����� � ���

����� � ?�

'�������� (������ )= (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� �!���� � �� ������ ������� �

� �� ��� �� ���������� ��� ��� �� ������ ������� � �

���� �� �� �������� � *���� $�� 3�� �� ���� ��� ����

/������0 ���� ��� *���� ���������� �� ������ �� ������ ��

����� �� ��� � $� � ����������� �� ����� ��� �!������� � ��

��� ������� �� �����

��� *���� ���������� �� $��� ���

� � �

�#

#

1#

#

1

�=��

4��� ��� � ��� ����� � ������� � ��� � �� ������� ��

$��� �� �� ���� � ���� ���

� �=#�

����� �� ��� �� ���� � ��� ����� �� 6��$���E� �� �� ��

� �� ��� ������� ����� ����

'�������� (������ )> (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 26: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� �!���� � �� ������ ������� �

3�� �� �� ����� ��� �!���� � ������� ����� �� � � �� ������

������� ��� ���� D�� $ ��� ������ $ ���

+� ���� �?�7?? -$ � 1

B������ ����� ��� ?��?= -$ ��� �

B������ (� �-E� �� �� � � ��?77 �?1)F �

C������ ��� >��� �?1� -$

������ E� �� �� � ��1= �? #1 F G �

6��$���E� ����� 8�?#1 �?#1���

= =# �?�>F �=1�

��

� 81 >?? G �=)�

��� *���� ���������� �� ���� ��$� �� ������� �� ����, ��

� ���� ������������ ��� �!������� �� ��� ��� ������

������ ���- �����

'�������� (������ 7? (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� �!���� � �� ������ ������� �

6� ���� ����������� � #>1 G � �� � ��� �%����

�=?� �� ��� ��� �������

#

#

*�� � -$ � ������� ��� ����� � ������� � ��

� � 7 7= �?#)

� <) F -$ � G � �=7�

�� �� � ��������� � ������� #17 F -$ � G �� 2������ � ���

����� �� �������� ��� �� ������ ������� � �-� � �� ����

'�������� (������ 7� (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 27: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� �!���� � �� ������ ������� �

H�� �� ������ �� �������� � ��� �� ������ ������� � �

����� �-� � �� ���� �� �������� �� ��� ��� ������ �

��� ������� � ���� �� ����� ��� ���� � �� �������� ��

��� ������� � � ���� � ��� ������� � ��� �!� ��� �

���� �������

.������� � �� ���� ���� ��� ��� ������ �������� ����

����� ������� � ����� � ��� ���� � ��� �����������

������ ��� ��� ������ �������� ���� ��� �� ������

������� � ����� �� ���� ���� ��� �����������

� 9 1 �=8�

����� ��� �� �� � ����������� ��� �� �������� �� ��� ���

������ ��� ��� �� ������ ������� �� ��� �� �� � � ��

��� ����� ���A� ����������� ��� �� �������� ��� �����

������� �� � ��� ��������� �� ���� ��� ��� ������ ���

�����

'�������� (������ 7# (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� �!���� � �� ������ ������� �

������������ ��� �� �������� ��� ��� �� ������ ������� �

� ���� �� ���� ���

��� ��� ������ ��� ���� � ��� �� ������ ������� � ���

��� �%���� �=?�� $��� ���

#

#�=<�

.� ���

� ����?

#

#�==�

? 8)1 �F ����G# �=>�

�� �������� %� ����� � � ���� � �� �!����� �

��� � ������� � ���� � �� ��� #�� ��� $����� �

������ ������ � �������� � �� $���� ����$� �� �!���

'�������� (������ 71 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 28: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� �!���� � �� ������ ������� �

'�������� (������ 7) (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� �%���� � ����

����� �!������� ��� ������ ���� ������ ��������� ������ �

��� ����

� �>?�

����� ��� �������� �� $��� ���

� �>��

'�������� (������ 77 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 29: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� �%���� � ����

��� ���� � ��$� �� $��� ���

� �>#�

����� �� ��� ����� � �������� � �� $��"������� ����

���� � ��$� �

4��� �� �� ��� ����� � ��������� ���������� ���� �� �

��� �������� � � ��� ����� ���� �%���� �7�, � ���

� ����� ��� ������ E� �%���� � ���� �� � ��� ����� �

��������� ����������� ��� �������� � �� �� �� � �

�� �� � � ������ �����

� �>1�

'�������� (������ 78 (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� �%���� � ����

B���� ���� �� �������� ��� ��� � ��!� ��� �� $��"�������

� ��$� ������ �� ������ �� ��� ������ ���

#

1 �>)�

.� ���

#

1�>7�

� ���

#

1�>8�

����� ����� $ ���� � ��$� ������ �� ���� �

� �

#

1�

#

1�><�

'�������� (������ 7< (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 30: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

��� *���� $�� �%���� � ����

#

7�97#

�#

#

�>=�

���� �%���� � ���� �� ���� � ��� ��$��� � � ��

�� ��$� �������� ��� � ��� ����� � ?, ���� �������� �� ��

��� ��$� � ��� � � ��$� ��� �!���� � ��� ������� ��� � ���

����� � ��� �����������

*�� ����������� ���� ��$�� �� ��� *���� �����������

� ��� *����"+��� ����������� �������� ���

&!����"������ ����������� � � ��� �%���� � ����

�� �� ������ ��� � ��� ���� $��

� �>>�

'�������� (������ 7= (�� )� ��� *����"+��� +����������

��� *���� $�� �%���� � ����

'�������� (������ 7> (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 31: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

*���� $� � �� ������ ������� �� �$ ���� ��������������

��� �� ������ ������� � � ����� � $� ����� ��� ���

�� ������ ������� � � �� �������� � *���� $�� '� ��

������� � ��� �$ ���� ���� ��

#��??�

��� � ��$� � ��� ��� ������

� ��?��

����� ��� � ��$� � ��� ���� � ������ � ��� ��� ��������

'�������� (������ 8? (�� )� ��� *����"+��� +����������

*���� $� � �� ������ ������� �� �$ ���� ��������������

*�� ����������� ��� �� �� ����� ��� ����� � ?� '� ��� �

� ������� ������������ ���� ��

��-��� �� �� ���� ��� ����!����� � ����� ����

������� ��

��� ���� �� �-� $ ��� ����� � ? �� ��� � ��� ���

���������� ������ �� - �� ��� � ��$� ����� �� �� ��� *����

� ��$� �� ��������� � ����� ���� ���� � ��$� ��

� ���������

��� ����� �� � ����� �� �� ��� *���� � ��$�� ��� ����� �

'�������� (������ 8� (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 32: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

*���� $� � �� ������ ������� �� �$ ���� ��������������

��� ���� �$ ���� ���� � ��� � �� ������ � ��� �� ������

������� � � ������ �� $��� ���

� ��?#�

����� � ��� ������������� ��� ����� � ������� � ���

� ��� ����� � ������� � ��� � �� ������ ���� ��� ��������

*���� � ��$��

'�������� (������ 8# (�� )� ��� *����"+��� +����������

*���� $� � �� ������ ������� �� �$ ���� ��������������

#� � � ����� � � �� ��� ����� � ����� � ��� ����

� ��$� � $� �� 9 �

'�������� (������ 81 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 33: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

*���� $� � �� ������ ������� �� �$ ���� ��������������

� #�

#� � ��?1�

.� ��� ��� ������ �%����� �$ ������� ��$ ����

���� � ��� � �� ��������

�� � ��?)�

D�� $ ��� �� ���� � ����� �<7��

� � �1

#��?7�

��� �$ ������� ���

1

#

# ��?8�

'�������� (������ 8) (�� )� ��� *����"+��� +����������

*���� $� � �� ������ ������� �� �$ ���� ��������������

��� �$ ���� �������������� �

� ��?<�

� ��?=�

����� �� ��� �$ ���� ������������ 6����� $ ��

� ?�� 9 � ? ��?>�

����� ? �� ��� ����������� � ��� ����� .� ��� ���

�������������� � �� ������ �

? �

1

#?

# ���?�

'�������� (������ 87 (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 34: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

*���� $� � �� ������ ������� �� �$ ���� ��������������

3�� �� �� ����� ���� ��� � �!����� 6���� ��� �� �����

������� � � ��� ����� �����, �� ���� ����� ��� ��� ������� �

��� ����� ��� � ������ �� � �� �� $�� ������� ��� ���

�� �������� �� ��� �$ ���� ���������� � ��� ������� �

���� ������ ����� ��� ��� ������� � �� ������� $ �� ���

�$ ���� ���������� � �� ������ � *���� $��

� ���� ��� ��� ������ $ ���������� � ���� ����

+� ���� #�<�? -$ � 1

B������ ����� ��� ?�?#<? -$ ��� �

'�������� (������ 88 (�� )� ��� *����"+��� +����������

*���� $� � �� ������ ������� �� �$ ���� ��������������

��� ����� � ������� � ��� � �� ������ �� ��� �

� � 8 #= �?#=�1 �����

� ��� *���� � ��$� ���

�#

#

1#

#

1

� > #) �?�>F ���#�

� � �?7 ���1�

���� ������� ���� ��� ������� �����

# # �?7 ���)�

��� $����� � �� �� $��� I �� �� ��� �� ���� � ����

��� �$ ����� �� ���������� ��� ��� � � � � ���� ��

$�� ��� ��$�� ����� � �$ ��������

'�������� (������ 8< (�� )� ��� *����"+��� +����������

Page 35: ˇˆ˙˝williamsgj.people.cofc.edu/Fermi-Dirac Distribution.pdf · StatisticalPhysics-Part4.pdf Author: awolski Created Date: 10/28/2008 9:46:13 AM ...

*����"+��� ����������� � ������

J�� ������ �� ��� ���

C!��� ��� ��� ��� � ���� �� ������ � ����� � ���� ��

����������� � ��� �!�� $� � � ��� ��������, � ���� ��� ����

���� �� ��� (��� �!������ ��� ������

+����� ��� *����"+��� ����������� � � ��� ���� ������� �����������

�� ������ � �������� � ����� �!���� � � � ������� �

������ � �� $��"������� �����

'��� ���� �� ������ ������� ��� *����"+��� ����������� � ��

����!����� �� ��� &!����"������ ����������� �

��� *���� � ��$�, � ��� *���� �����������

+����� ����!���� �!������� �� ��� ������� ���� ��� � *����

$�� � ����� $ ��� ���������� ���� �� �� �� ���� � ������

'-���� ��� � ��$� ����������� �� �������� � *���� $�� ����� $ ���

��� ����������� �� $�� ���� ���������� ��� �� ��� *����������������

+����� �!������� � �� ��� ���� � ��$� � ��� ��� ������ � *����

$��

+����� ��� �%���� � ���� �� *���� $� � ����������� ����

������� �� ��� *���� �����������

+����� �!������� �� ��� �$ ���� �������������� � ������ �����

�$ ���� ���������� �� ���� ��� �� *���� $� � ������� ��

'�������� (������ 8= (�� )� ��� *����"+��� +����������