Q U I S E R E N C O N T R E N T E N C O M M U N ... - GEDCIQ
Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E
Transcript of Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E
Ü B U N G
M A S C H I N E N E L E M E N T E
Achsen und Wellen:
Dimensionierung
Stephan Voigt, M.Eng.
Hochschule AnhaltAnhalt University of Applied Sciences
Übung Maschinenelemente Achsen und Wellen: Dimensionierung
Hochschule AnhaltAnhalt University of Applied Sciences
Agenda
1. Einleitung
2. Achsen
3. Wellen
4. Beispiel
Stephan Voigt, M.Eng. 2
Übung Maschinenelemente Achsen und Wellen: Dimensionierung
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1. Einleitung
Auf Basis der aus den äußeren Lasten resultierenden Schnittgrößenverläufe der Achse bzw. Welle lässt sich ein
überschlägiger Durchmesser 𝑑𝑑üb ermitteln:
• an der Stelle der größten Belastung oder
• über die gesamte Trägerlänge Schnittgrößenverläufe müssen vorliegen!
Der tatsächliche Durchmesser muss jedoch Schwächungen des Querschnitts bspw. durch Passfedernuten, Profile
oder Eindrehungen berücksichtigen.
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2. Achsen
Die bei Achsen maßgebende Biegespannung lautet:
Mit 𝑊𝑊b = 𝜋𝜋/32 ⋅ 𝑑𝑑3 und 𝜎𝜎b zul = 𝜎𝜎b üb folgt
Als überschlägige zulässige Biegespannung (Festigkeit) ist näherungsweise
(Biegewechselfestigkeit) einzusetzen. Kleinere Werte bei umlaufenden, größere bei ruhenden Achsen.
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𝜎𝜎b =𝑀𝑀b
𝑊𝑊b≤ 𝜎𝜎b zul
𝑑𝑑üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀b
𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b üb
𝜎𝜎b üb ≈ 0,15 … 0,25 ⋅ 𝜎𝜎bW
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Bei Hohlachsen ist
mit dem (zunächst angenommenen) Durchmesserverhältnis 𝑘𝑘 = 𝑑𝑑i/𝑑𝑑a.
Demnach lautet die Dimensionierungsformel
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𝑊𝑊b =𝜋𝜋
32⋅𝑑𝑑a4 − 𝑑𝑑i4
𝑑𝑑a=
𝜋𝜋32
⋅ 𝑑𝑑a3 ⋅ 1 −𝑑𝑑i4
𝑑𝑑a4=
𝜋𝜋32
⋅ 𝑑𝑑a3 ⋅ 1 − 𝑘𝑘4
𝑑𝑑a_üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀b
𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b üb ⋅ (1 − 𝑘𝑘4)
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Der so ermittelte Durchmesser 𝑑𝑑a bzw. 𝑑𝑑a_üb ist
theoretisch nur der Stelle des größten Biegemomentes
𝑀𝑀b = 𝑀𝑀bmax erforderlich.
Zur Werkstoff- und Gewichtsersparnis kann der
Wellendurchmesser der Belastung angepasst werden,
indem nicht das Maximum des Biegemomentes 𝑀𝑀bmax
sondern der Biegemomentenverlauf 𝑀𝑀b(𝑥𝑥) verwendet
wird:
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𝑑𝑑(𝑥𝑥)üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀b(𝑥𝑥)
𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b üb
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So lassen sich Träger gleicher Festigkeit gestalten.
nahezu konstante Biegespannung über die gesamte Welle keine Spannungs-Hotspots!
Die höheren Fertigungskosten sollten nur dann in Kauf genommen werden, wenn sie durch Werkstoffeinsparung,
kleinere (und somit günstigere) Lager und geringere Transport- und Montagekosten amortisiert werden.
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3. Wellen
Analog zu Achsen ergibt sich für rein auf Torsion beanspruchte Wellen:
Als überschlägige zulässige Torsionsspannung (Festigkeit) ist näherungsweise
(Torsionswechselfestigkeit) einzusetzen. Kleinere Werte bei schwellender bzw. wechselnder, größere bei statischer
Torsion.
3.1 Torsionsbeanspruchte Wellen
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𝑑𝑑a_üb ≥3 16 ⋅ 𝑀𝑀t
𝜋𝜋 ⋅ 𝜏𝜏t üb ⋅ (1 − 𝑘𝑘4)𝑑𝑑üb ≥3 16 ⋅ 𝑀𝑀t
𝜋𝜋 ⋅ 𝜏𝜏t übbzw.
𝜏𝜏t üb ≈ 0,27 … 0,47 ⋅ 𝜏𝜏tW
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Beispiel einer ausschließlich torsionsbeanspruchten Welle: Kardanwelle
Da die Torsion über die Wellenlänge konstant bleibt, ist der Wellendurchmesser ebenfalls konstant.
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3.2 Torsions- und biegebeanspruchte Wellen
Wirken Biege- und Torsionsmomente gleichzeitig, so ist zunächst das sogenannte Vergleichsmoment zu ermitteln:
Herleitung
Die Vergleichsspannung 𝜎𝜎v = 𝜎𝜎b2 + 3 ⋅ 𝜏𝜏t2 sei durch 𝜎𝜎v = 𝑀𝑀V/𝑊𝑊b gegeben, d.h. 𝜎𝜎v habe den Charakter eine
Biegespannung. Dann folgt mit 𝜎𝜎b = 𝑀𝑀b/𝑊𝑊b und 𝜏𝜏t = 𝑀𝑀t/𝑊𝑊t:
Wegen 𝑊𝑊t = 2 ⋅ 𝑊𝑊b folgt die obige Formel.
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𝑀𝑀V = 𝑀𝑀b2 +
34⋅ 𝑀𝑀t
2
𝑀𝑀V
𝑊𝑊b=
𝑀𝑀b
𝑊𝑊b
2
+ 3 ⋅𝑀𝑀t
𝑊𝑊t
2
⇒ 𝑀𝑀V = 𝑀𝑀b2 + 3 ⋅
𝑊𝑊b
𝑊𝑊t
2
⋅ 𝑀𝑀t2
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Damit gilt für 𝑑𝑑üb
mit
Mit 𝑀𝑀V(𝑥𝑥) lässt sich in Analogie zu angeformten Achsen ebenfalls ein Träger mit nahezu konstanter
Beanspruchung generieren.
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𝑑𝑑a_üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀V
𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b üb ⋅ (1 − 𝑘𝑘4)𝑑𝑑üb ≥3 32 ⋅ 𝑀𝑀V
𝜋𝜋 ⋅ 𝜎𝜎b übbzw.
𝜎𝜎b üb ≈ 0,15 … 0,25 ⋅ 𝜎𝜎bW
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Alternativ zur Auslegung anhand der Spannungen, kann eine Welle auch auf Basis der zulässigen Verdrillung
dimensioniert werden. Der Verdrehwinkel 𝜑𝜑 ist gegeben durch:
Dabei ist
• 𝑙𝑙v die verdrehte Länge (Abstand von Torsionsein- bis -ausleitung)
• 𝐺𝐺 Schubmodel, 𝐺𝐺 ≈ 8 ⋅ 104 N ⋅ mm−2 für Stahl
• 𝐼𝐼p polares Flächenträgheitsmoment
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𝜑𝜑 =𝑀𝑀t ⋅ 𝑙𝑙v𝐺𝐺 ⋅ 𝐼𝐼p
𝜑𝜑 = rad
𝐼𝐼p =𝜋𝜋
32⋅ 𝑑𝑑4
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Mit 𝜑𝜑 = 𝜑𝜑zul folgt:
Je nach Anwendungsfall ist
je Wellenmeter.
In die obigen Gleichungen ist 𝜑𝜑zul in Bogenmaß (Radiant) einzusetzen.
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𝑑𝑑a_üb ≥4 32 ⋅ 𝑀𝑀t ⋅ 𝑙𝑙v𝜋𝜋 ⋅ 𝐺𝐺 ⋅ 𝜑𝜑zul ⋅ (1 − 𝑘𝑘4)
𝑑𝑑üb ≥4 32 ⋅ 𝑀𝑀t ⋅ 𝑙𝑙v𝜋𝜋 ⋅ 𝐺𝐺 ⋅ 𝜑𝜑zul
bzw.
𝜑𝜑zul = 0,25° … 0,5°
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4. Beispiel
Für die skizzierte Getriebewelle aus 41Cr4 ist der Verlauf des Vergleichsmomentes (mit 𝑀𝑀t = 2.500 Nm) sowie ein
daraus resultierender Wellenentwurf zu ermitteln.
Die Längen 𝑙𝑙 = 260 mm, 𝑙𝑙1 = 80 mm und 𝑙𝑙2 = 90 mm sind einem ersten Entwurf entnommen.
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Gegebene Kraftgrößen
𝐹𝐹t2 = 10 kN
𝐹𝐹r2 = 3,67 kN
𝐹𝐹t3 = 26,33 kN
𝐹𝐹r3 = 9,58 kN
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Definition einer Funktion in MathCAD zur Abbildung einer Wellengestaltung
• Die Abbildung zeigt den Entwurf einer Zwischenwelle.
• Definition der Absatzlängen und Durchmesser
als Vektoren:
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𝑑𝑑vec =
𝑑𝑑1𝑑𝑑2𝑑𝑑3𝑑𝑑4
𝐿𝐿vec =
𝐿𝐿1𝐿𝐿2𝐿𝐿3𝐿𝐿4
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• Wellendurchmesser als Funktion einer Laufvariable
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• Mit den Zahlenwerten
und
ergibt sich beispielsweise folgender Graph:
• Für die Laufvariable 𝑥𝑥 gilt:
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𝑑𝑑vec =
20405530
mm 𝐿𝐿vec =
4080
160195
mm
𝑥𝑥 ∈ [0, 𝐿𝐿max] mit 𝐿𝐿max = max(𝐿𝐿vec)