קורס אינטראקטיביקורס אינטראקטיבי המועבר ע”י ד”ר קרסנוב המועבר ע”י ד”ר קרסנוב 88-37688-376 מבוסס על הקורס מבוסס על הקורס

קורס אינטראקטיביקורס אינטראקטיבי המועבר ע”י ד”ר קרסנוב המועבר ע”י ד”ר קרסנוב 88-37688-376 מבוסס על הקורס מבוסס על הקורס

2 .............…... (LU and Cholesky……….)ירוק פ. 6פרק

9 .............................................חישוב ערכים עצמים. 7פרק

MATLAB .................................................... 10דוגמה ב

cubic spline .............…............. 11 . אלגוריתם של 8פרק

Least square approximations ...................... 14. 9פרק

15דסיה ליניארית ......................................................... גר

16 . ריבוים מזעורים רציפים....................................10פרק

18 . פולינומים אורתוגוננליים ..................................11פרק

20 ינטגרציה נומרית.... ..................................א. 12פרק

- פירוק מטריצות - פירוק מטריצות66פרק פרק - פירוק מטריצות - פירוק מטריצות66פרק פרק

Square matrix

General cases

P*A=L*U nxn - מטריצה A [L,U,P]=lu(A) LU Decomposition

A מטריצה - סימטרית

ומוגדרת חיובית

U=chol(A) Cholesky

U=rref(A) Reduced row echelon form

A=Q*R,

Q-orthogonal

[Q,R]=qr(A) QR Decomposition

A=S*D*V,

S,V- unitary

D - diagonal

[S,D,V]=

svd(A)

Singular Value Decomposition

2n

Triangular,

Tridiagonal

הוראות תנאים לשימושיה

כמות הפעולות פקודת MATLABב

שיטה

3/n3

6/n3

3/n3

3/n3

3/n3

2/n2Special cases

U*UA T

LULU פירוקפירוק

,n,i, i ju

ulal

,N,j, j iulau

ii

j

kkjikij

ij

i

kkjikijij

2

1

1

1

1

1

2100

770

213

142

011

001

3306

963

213

:דוגמה

,n,i, i ju

ulal

,N,j, j iulau

ii

j

kkjikij

ij

i

kkjikijij

2

1

1

1

1

1

2100

770

213

142

011

001

3306

963

213

:דוגמה

CholeskyCholeskyשיטת שיטת

N,1,i ,llal1i

1kkiikijii

N,2,i i,j u

ulal

ii

1j

1kkjikij

ij

(עבור מטריצה סימטרית ומוגדרת חיובית) : דוגמה

155.100

817.0225.10

0707.0414.1

155.1817.00

0225.1707.0

00414.1

210

121

012

תלת-אלכסונית תלת-אלכסוניתLULUפרוק פרוק

3.7321 0 0 0

1 3.7333 0 0

0 1 3.75 0

0 0 1 4

U,

1 0.2679 0 0

0 1 0.2667 0

0 0 1 0.25

0 0 0 1

L ,

00

0

0

00

41

141

141

14

A

1- i j ,/ual

1 i j ,a u

1- i j ,ulau

jjijij

ijij

jiijiiii

1- i j ,/ual

1 i j ,a u

1- i j ,ulau

jjijij

ijij

jiijiiii

:לדוגמה

PPמטריצה פרמוטציה מטריצה פרמוטציה

44434241

14131211

24232221

34333231

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

1000

0001

0010

0100

14131211

44434241

24232221

34333231

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

0001

1000

0010

0100

]4] ל[3[ ו] 3] ו[1[החלפת שורות: •

PivotingPivoting עם עם LULUפירוק פירוק

0100

0001

0010

1000

P

4226

4110

3221

3201

A ,

2.4286 0 0 0

2.8571 2 0 0

3.6667 2.3333 2.3333 0

4.0000 2.0000 2.0000 6

U

1 0 0.4286 0

0 1 0.1429- 0.1667

0 0 1 0.1667-

0 0 0 1

L

MATLAB ב [L,U,P]=lu(A) או [P][A]=[L][U]

QRQRפירוק פירוק Q מטריצה אורטוגונלי -

R - משולשת עליונה

T1 QQ

2/31/32/3

1/32/32/3

2/32/31/3

224

2

2

4

24

1

100

010

001

ww2IH

22424

12231

24

1ww

24)13)(3(2)xg(g2s

3gxsign ;3221xxxg

2

2

1

1:,Ax ;

212

122

121

A

)1(

)1(

1

12222

322

21

חישוב ערכים עצמיםחישוב ערכים עצמים ..77פרק פרק

:QRליצור סידרת לפי אלגוריתם פירוק for I = 1:N,] Q,R] = qr(A); A=R*Q; end

שאיפות למטריצה משולשת עליונה עם ערכים Aואז האיטרציות עצמים באלכסון:

)n(A

עם •

אז הוא הווקטור עצמי שמטים לערך עצמי

המשוואה אופיינית•

vAv vAv v

0)IAdet( 0)IAdet(

MATLABדוגמה ב

» A=[1 2 -1; 2 2 -1; 2 -1 2]A = 1 2 -1 2 2 -1 2 -1 2

» [Q,R]=qr(A) QR פירוקQ = -0.3333 -0.5788 -0.7442 -0.6667 -0.4134 0.6202 -0.6667 0.7029 -0.2481R = -3.0000 -1.3333 -0.3333 0.0000 -2.6874 2.3980 0.0000 0.0000 -0.3721

» N=7; for I = 1:N, [Q,R]=qr(A); A=R*Q; end A

A =

2.4142 1.8597 -1.3934

-0.0000 3.0000 1.8974

0.0000 -0.0000 -0.4142

» [V,D]=eig(A)

V =

0.4472 0.4472 -0.5571

0.6325 -0.6325 -0.7428

0.6325 -0.6325 -0.3714

D =

2.4142 0 0

0 -0.4142 0

0 0 3.0000

InterpolationInterpolation SplineSpline CubicCubic . . 88פרק פרק

יתרון: הן רציפות S(xi), S’(xi), S”(xi)בכל נקודות

NATURAL SPLINES S”(x0)= S”(xn) =0 עבור

i1ii3

1ii

i3i

i

1iiii

n1-n1n

1iii

100

xxh)x(x6h

z)x(x

6h

zxbaxS

xxx,xS

......................................

xxx,xS

.....................................

xxx,xS

S(x)

,

Natural Cubic SplineNatural Cubic Spline :המערכת משוואות היא תלת אלכסוניות ומקיימת תנאי אלכסון השולט

i1i

i1ii xx

yyδy

1nn

12

01

n

2

1

n1n1-n

2211

110

δyδy

δyδy

δyδy

6

z

z

z

)h2(hh00

0

h)h2(hh

00h)h2(h

:עם הפרשים סופיים

Natural Cubic SplineNatural Cubic Spline x y-2 -10 11 12 -3

z :לדוגמה0z1z20

:פתרון

2x1,3x26x7x1s

1x0,3xx1s

0x2x,1s

S(x)

2

1

0

Least square approximationsLeast square approximations. . 99פרק פרק

להתאים לנתונים פולינום:•

nn10 xaxaay

N

1ii

ni

N

1iii

N

1ii

n

1

0

N

1i

2ni

N

1i

ni

N

1ii

N

1i

ni

N

1ii

a

a

aN

yx

yx

y

xx

x

xx

רגרסיה ליניאריתרגרסיה ליניארית

2xxx

xxyyxx

2xxx

yxxy

Nb

N

Na

baxy

N

1k

2kk

1

1yY

nN סטיי

:ה

ריבוים מזעורים רציפיםריבוים מזעורים רציפים . . 1010פרק פרק

להתאים לפונקציה פולינום :כך שערך של אינטגרל הריבויים מזעורים תהיה מינימלי

נקבל מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות עבור מקדמים :

xf 01n

1nn

nn a...xaxaxp

min b

a

dxxpxfE 2n

n,...,1,0i,0dxxxpxf2da

dEn i

b

ai

n10 a,...,a,a

n,...,1,0i,dxx)x(fan

0j

i

b

a

j

1ji1ji

1ji

ab

] 0,1[לדוגמה: נתונה פונקציה בקטע לדוגמה: נתונה פונקציה בקטע

2986.1

5973.1

0973.2

3e8

1

1e4

1

1e4

1

dx)xe(x

dx)xe(x

dx)xe(1

a

a

a

5

1

4

1

3

14

1

3

1

2

13

1

2

11

2

2

2

1

0

x22

1

0

x2

1

0

x2

2

1

0

ערך מינימלי לאינטגרל

22102 xaxaaxp יש למצוא פולינום ריבוית שנותן

x2xexf

min 1

0

dxxaxaaxeE

22210

x

ותשובה היא:2

2 x9.1642 x2.5806- 0.3328(x)p

אפשר להציג כל הפונקציה: Legendre בעזרת הפולינומים של

xPaxPaxPaxf nn1100

פולינומים אורתוגונלייםפולינומים אורתוגונליים . . 1111פרק פרק

j i if 0

j i if #

1

1

ji dxxPxP

הם אורתוגונליים: Legendre הפולינומים של

0

1

22

P x 1

P x x

1P x x

3

33

n nn2

n n n

3P x x x

5

1 dP x 1-x

2 n! dx

Legendre PolynomialLegendre Polynomial

How would you work with a least square fit of a function.

dxxsxPaxPaxPaE21

1

221100

Legendre PolynomialLegendre PolynomialHow would you work with a least square fit of a function.

02 0

1

1

2211000

dxxPxsxPaxPaxPada

dE

1

1

0

1

1

022

1

1

011

1

1

000

dxxPxsdxxPxPa

dxxPxPadxxPxPa

Legendre PolynomialLegendre PolynomialThe coefficient a0 is determined by the orthogonality of the Legendre polynomials:

1

1

00

1

1

0

0

1

1

0

1

1

000

dxxPxP

dxxPxs

a

dxxPxsdxxPxPa

Legendre Polynomial ExampleLegendre Polynomial Example

Given a simple polynomial:

22xxs

We want to throw a loop, let’s model it from 0 to 4 with f(x):

xPaxPaxPaxf 221100

Legendre Polynomial ExampleLegendre Polynomial Example

The first step will be to scale the function:

bmux We know that at the ends are 0 and 4 for x and -1 to 1 for u so

8168

22*22

2

uuus

uus22 ux

Legendre Polynomial ExampleLegendre Polynomial ExampleThe coefficients are

6667.102

3333.21

8168

1

1

1

1

2

1

1

00

1

1

0

0

du

duuu

duuPuP

duuPus

a

8 and 16 21 aa

Legendre Polynomial ExampleLegendre Polynomial ExampleThe Legendre functions must be adjusted to handle the scaling:

Legendre Polynomial Example

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5

X Values

Y V

alu

esLegendrePolynomial

Exact Value

12

1 xu

15.08

15.016

15.0667.10

2

1

0

xP

xP

xPxf

Tchebyshev PolynomialTchebyshev Polynomial

The Tchebyshev polynomials are another set of orthogonal functions, which can be used to represent a function as components of a function.

xTaxTaxTaxf nn1100

Tchebyshev PolynomialTchebyshev PolynomialThese function are orthogonal over a range [ -1, 1 ]. This range can be scaled to fit the function. The orthogonal functions are defined as:

1i j

21

0 if i j

if i j 01 /2 if i j 0

T x T xdx

x

Tchebyshev PolynomialTchebyshev Polynomial

The Tchebyschev functions are:

xTxT2xT

3xx4xT

1x2xT

xxT

1xT

1-nn1n

33

22

1

0

x

Tchebyshev PolynomialTchebyshev Polynomial

How would you work with a least square fit of a function.

dxxsxTaxTaxTaE21

1

221100

Tchebyshev PolynomialTchebyshev PolynomialHow would you work with a least square fit of a function.

02 0

1

1

2211000

dxxTxsxTaxTaxTada

dE

1

1

0

1

1

022

1

1

011

1

1

000

dxxTxsdxxTxTa

dxxTxTadxxTxTa

Rearrange

אפשר להציג את האינטגרל בעזרת צמתים ומשקלים מהפונקציה:

n

b

a

xfxfxfdxxf n2211

אינטגרציה נומריתאינטגרציה נומרית . . 1212פרק פרק

))()(4...)(2)(4)((

))()(2...)(2)((

13216

1212

nnh

b

a

nnh

b

a

xfxfxfxfxfdxxf

xfxfxfxfdxxf

נוסחת טרפז:•

נוסחת סימפסון:

i ix

HOMEPAGEדר' שיף דוגמות: