ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ∆ΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Παρουσιάζουν έντονη χρονική µεταβολή σε σχέση µε τον

χαρακτηριστικό χρόνο (ιδιοπερίοδο) της κατασκευής.

Μπορούν να χωρισθούν σε κατηγορίες ανάλογα µε:

(β) την προέλευσή τους (περιβαλλοντικά – ανθρώπινης

δραστηριότητας)

(γ) την τυχαιότητά τους (τυχαία – αιτιοκρατικά)

(α) την µορφή τους (περιοδικότητά – χρονική διάρκεια)

1.1 ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

f(t) Αρµονική διέγερση

Επιταχυνσιόγραµµα

t

1/ε

τ ε

Μοναδιαίο πλήγµα

f(t)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3sec

cm

Ust

Γεµάτος

Άδειος

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

seccm

Γεµάτος

Άδειος

Ο ρόλος της µάζας

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

seccm

Γεµάτος

Άδειος

1.2 ∆ΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

Βαθµοί ελευθερίας (ΒΕ) µετακινήσεις & στροφές που

απαιτούνται για την περιγραφή της απόκρισης του φορέα

yyzz

x

Σύστηµα έξι

βαθµών ελευθερίας

(ΒΕ)

∆ιακριτοποίηση φορέα

µε την τεχνική των

συγκεντρωµένων µαζών

1.3 ΜΟΡΦΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ∆ΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Το απλούστερο δυναµικό σύστηµα µε ένα (1) ΒΕ, δηλαδή

ο µονοβάθµιος ταλαντωτής

Μάζα m (tn= kN*sec2/m), ελατήριο δυστένειας k (kN/m)

και ιξώδης αποσβεστήρας µε συντελεστή απόσβεσης c

(kN*sec/m).

Απαρτίζεται από

µάζα, αποσβεστήρα,

και ελατήριοm

c

kf(t)

u(t)

Εαν η χρονικά µεταβαλλόµενη απόκριση του φορέα είναι

u(t) (σε m), η ταχύτητά του u’(t) (σε m/s) και η

επιτάχυνσή του u’’(t) (σε m/s2) , τότε:

fI(t) = m u’’(t) , fD(t) = c u’(t) , fS(t) = k u(t) .

Η εξωτερική δύναµη f(t) (kN)

αναγκάζει τη µάζα να ταλαντωθεί.

Ανά πάσα χρονική στιγµή, πέρα της

f(t), αναπτύσσονται και πρόσθετες

δυνάµεις που αντιτίθενται στην

κίνηση. Αυτές είναι οι δυνάµεις:

Αδράνειας fI(t), Απόσβεσης fD(t)

και Επαναφοράς fS(t)

f(t)

fI(t)

fD(t)

fS(t)

Αρχή του D’Alembert

Για κάθε χρονική στιγµή t, η εξωτερική δράση f(t) ισούται

µε το άθροισµα των δυνάµεων αδρανείας fI(t), απόσβεσης

fD(t) , και επαναφοράς fS(t) = ku(t) .

Είναι δηλαδή: mu’’(t)+cu’(t)+ku(t) = f(t)

Στην περίπτωση στατικού φορτίου f(t) = f, η απόκριση

είναι επίσης στατική. Οπότε η παραπάνω εξίσωση

µεταπίπτει στην κλασσική στατική εξίσωση ισορροπίας:

ku = f.

∆υσκαµψία k ταυτίζεται µε την στατική δύναµη f που

απαιτείται για µοναδιαία µετατόπιση (για u = 1, k = f).

1.4 ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΑ ∆ΟΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ρεαλιστικές κατασκευές συστήµατα εκατοντάδων ή

χιλιάδων βαθµών ελευθερίας.

Θεώρηση µονοβάθµιων ταλαντωτών (1-ΒΕ) µόνο σε

εξαιρετικές περιπτώσεις. Π.χ.

υδατόπυργοι

επίπεδα µονώροφα διατµητικά πλαίσια µε αβαρή

υποστυλώµατα.

Επίπεδο διατµητικό πλαίσιο υπό δυναµική διέγερση f(t).

Άκαµπτο ζύγωµα φέρει το σύνολο των φορτίων βαρύτητας

w. Στύλοι αβαρείς.

f(t)w

c k

u(t)

fI f(t)

fD

fS

w = συνολικό βάρος του συστήµατος (σε kN)

Μάζα m = w/g (g = επιτάχυνση της βαρύτητας σε m/s2).

Μονάδες µάζας tn = kN*s2/m.

fS

k

u

1

Η µεταφορική δυσκαµψία k του

πλαισίου (σε kN/m), προκύπτει

από την ΣΥΝΘΕΣΗ των

µεταφορικών δυσκαµψιών των

ΣΤΥΛΩΝ.

Ο συντελεστής ιξώδους απόσβεσης c

(σε kN*s/m) εξαρτάται κυρίως από

το υλικό του φορέα και τον τρόπο

θεµελίωσης.

fD

c

u’

1

Να υπολογισθούν:

η συνολική µάζα m &

η συνολική δυσκαµψία k

του µονοβάθµιου φορέα.

Παράδειγµα

Tο διατµητικό πλαίσιο ΑΒΓ∆ του σχήµατος, φέρει

άκαµπτο ζύγωµα και αβαρή υποστυλώµατα κοινής

διατοµής τα οποία στηρίζονται µε πάκτωση στο Α και

άρθρωση στο ∆. Το διανεµηµένο φορτίο q, περιλαµβάνει

και τα ίδια βάρη,q

h k

A

B Γ

∆

l

um

k

u

Υπολογισµός µάζας: m = w/g = (ql)/g

Υπολογισµός µεταφορικής δυσκαµψίας πλαισίου:

k = kAB+k∆Γ

όπου k = η στατική µεταφορική δύναµη fst που απαιτείται

για µοναδιαία µετατόπιση.

B Γ

VΓ∆VΒΑ

fst(u=1)Από Στατική ΙΙ, για µοναδιαία

διαφορική µετακίνηση βάσης –

κορυφής, u = 1, τα υποστυλώµατα

αναπτύσσουν καµπτικές ροπές

(M) και τέµνουσες (V), ανάλογα

µε τις συνθήκες στήριξής τους, ως

ακολούθως:

ΜΑΒ = -6EI/h2, MBA = +6EI/h2

VBA = VAB = (MBA - MAB)/h = 12EI/h3

MΓ∆ = +3EI/h2, M∆Γ = 0

VΓ∆ = (MΓ∆ - Μ∆Γ)/h = 3EI/h3

Κατά συνέπεια, η µεταφορική δυσκαµψία του συστήµατος

ισούται µε:

k = fst(u=1) = VBA + VΓ∆ = 15EI/h3

Σηµείωση:

Αν η µάζα των στύλων δεν θεωρηθεί αµελητέα, θα

µπορούσε να θεωρηθεί ότι ισοκατανέµεται στους κόµβους

αρχής και τέλους των υποστυλωµάτων. Άρα στην µάζα

ζυγώµατος θα έπρεπε να προστεθεί και η ΜΙΣΗ µάζα των

υποστυλωµάτων.

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ

uq

h k

A

B Γ

∆l

B Γ

VΓ∆VΒΑ

FI

Η απλούστερη δυνατή µορφή ταλάντωσης µονοβάθµιου

ταλαντωτή, είναι όταν η εξωτερική διέγερση f(t) και η

απόσβεση c, είναι µηδενικές.

Η ταλάντωση οφείλεται στην επιβολή, την χρονική στιγµή

t = 0, αρχικής µετατόπισης u0 ή/και αρχικής ταχύτητας

u’0, ενώ µετά την αποµάκρυνση από την αρχική θέση

ισορροπίας το σύστηµα αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθερα.

A1

T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)=0 m/sec ξ=0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3sec

cm

U(0)=0.03 m

A2

T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)= +/- 0.1 m/sec ξ=0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3sec

cm

U'(0)=0.1 m/sec

U'(0)= -0.1 m/sec

A3

T=1 sec U(0)=0.03 & 0.05m U'(0)= 0.03 m/sec ξ=0

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3sec

cm

U(0)=0.03 m

U(0)=0.05 m

A4

T=1 & 0.5 sec U(0)=0.03 m U'(0)= 0 m/sec ξ=0

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

seccm

T=1 sec

T=0.5 sec

Η εξίσωση της ταλάντωσης είναι: m u’’(t) + ku(t) = 0

∆ιαιρώντας µε m, : u’’(t) + ω2 u(t) = 0 όπου ω2 = k/m

Η λύση της οµογενούς γραµµικής διαφορικής εξίσωσης 2ου

βαθµού , είναι u(t) = Cert

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση ταλάντωσης, προκύπτει η

χαρακτηριστική εξίσωση (r2 + ω2) = 0 ( r2 <0)

η οποία έχει ρίζες: r = ±±±± iω, εποµένως

u(t) = C1 e iωt + C2 e -iωt

µε παραγώγους: u’(t) = Cr ert και u’’(t) = Cr2 ert

όπου οι συντελεστές C1 και C2 είναι συζυγείς µιγαδικοί

u(t) = R1 cos ωt + R2 sin ωt

όπου οι πραγµατικοί συντελεστές R1 και R2 προκύπτουν

από τους C1 και C2 ως: R1 = C1 + C2 και R2 = (C1 - C2)i

Εξίσωση αρµονικής ταλάντωσης εύρους R και κυκλικής

συχνότητας ω.

Εναλλακτικά,

u(t) = R sin(ωt+θ) = R sin(ωt) cos(θ) + R cos(ωt) sin(θ)

Όπου:

R cos(θ) = R2, R sin(θ) = R1, R2 = R1

2 + R22, tan θ = R1/R2

Μετά από πράξεις και αξιοποιώντας την ταυτότητα του

Euler: e±±±± iωt = cos ωt ±±±± i sin ωt προκύπτει τελικά:

Oι συντελεστές R1 και R2 προσδιορίζονται από τις αρχικές

συνθήκες u0 και u’0, µε τις σχέσεις R1 = u0 , R2 = u’0 /ω

Γιατί??

Αντικαθιστώντας, η εξίσωση κίνησης παίρνει την µορφή:

u(t) = u0 cos ωt + u’0 /ω sin ωt

Κατά συνέπεια, η ελεύθερη ταλάντωση µονοβάθµιου

συστήµατος χωρίς απόσβεση είναι µία ΑΡΜΟΝΙΚΗ

κίνηση της οποίας το, ΑΜΕΙΩΤΟ µε την πάροδο του

χρόνου, εύρος εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, ενώ η

συχνότητά της εξαρτάται τα µηχανικά του

χαρακτηριστικά (µάζα και ακαµψία).

u(t) = R1 cos ωt + R2 sin ωt

u’(t) = R1 [-sin ωt]ω + R2 [cos ωt]ω

Για τον λόγο αυτό, η συγκεκριµένη συχνότητα µε την

οποία ταλαντώνεται ελεύθερα ο µονοβάθµιος ταλαντωτής

– ανεξάρτητα από το είδος της αρχικής του διαταραχής -

ονοµάζεται ιδιοσυχνότητα ωο του ταλαντωτή, ενώ ο χρόνος

που απαιτείται για την εκτέλεση µιας πλήρους ελεύθερης

ταλάντωσης, καλείται ιδιοπερίοδος Το.

ωο = [k/m]1/2 (σε rad/s), To = 2π/ω0 (σε s)

u0

t(s)1

2

3

4

5

To = 2π/ωο

R

R

1 2 3 4 5

u’0

Παράδειγµα

Αβαρείς στύλοι διατοµής 30/30 cm.

Στατική µεταφορική δύναµη fst = 174.75 kN, προκαλεί

αρχική µετατόπιση u0. Κατόπιν το σύστηµα αφήνεται να

ταλαντωθεί ελεύθερα.

Να υπολογισθούν η ιδιοπερίοδος, η θέση & η ταχύτητα του

φορέα µετά παρέλευση χρόνου t = 0.5 s.

Να ληφθούν: g = 10 m/s2 και E = 25*109 N/m2.

10 kN/m

3,0 m

10,0 m

A

B Γ

∆

5,0 m

(γ) Υπολογισµός δυσκαµψίας: k = kAB + kΓ∆.

Η ροπή αδράνειας της κοινής τετραγωνικής διατοµής

είναι: I = a4/12 = 0.34/12 = 6.75*10-4 m4

kAB = 3*EI/h3 = 3*(2.5*107)*( 6.75*10-4) / 33 =1875 kN/m

kΓ∆ = 12*EI/h3 = 12*(2.5*107)*( 6.75*10-4) / 53 = 1620 kN/m

Συνολικά, k = 1875 + 1620 = 3495 kN/m

(α) Μετατροπή µονάδων (σε kN-m).

a = 30cm = 0.3m. Ε = 25*109 N/m2 = 25*106 kN/m2

(β) Υπολογισµός µάζας: w = q*L = 10*10 = 100 kN

m = W/g = 100/10 = 10 kN*sec2/m = 10 tn

ΛΥΣΗ

(στ) Εξίσωση ταλάντωσης -ταχύτητας:

u(t) = u0 cos ωt + u’0 /ω sin ωt = 0.05 cos 18.69t

u’(t) = -0.05*18.69 sin 18.69t

Για t = 0.5 sec

u(0.5) = -0.05 m, u’(0.5) = -0.074 m/sec

ΠΡΟΣΟΧΗ Γωνίες σε rad

(δ) Ιδιοσυχνότητα ω (rad/sec) – Ιδιοπερίοδος Τ (sec)

ω = [k/m]1/2 = [3495/10]1/2 = 18.69 rad/sec

T = 2π/ω = 0.336 sec

(ε) Αρχική µετατόπιση λόγω στατικού φορτίου

u0 = Fst/k = 174.75/3495 = 0.05 m

Αρχική ταχύτητα u’0 = 0

ΑΠΟΣΒΕΣΜΕΝΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Απουσία απόσβεσης οδηγεί στο µη ρεαλιστικό

αποτέλεσµα µιας ΑΜΕΙΩΤΗΣ, επ’ άπειρο συνεχιζόµενης

ελεύθερης ταλάντωσης.

Στην πραγµατικότητα όλα τα δυναµικά συστήµατα

καταναλώνουν ενέργεια.

Στις δοµικές κατασκευές, για παράδειγµα, η απώλεια

ενέργειας οφείλεται:

στην τριβή των µελών του φέροντος οργανισµού και

του συστήµατος θεµελίωσης µε το έδαφος,

στις τριβές και τυχόν αποδιοργάνωση στοιχείων

πλήρωσης,

στην εµφάνιση πλαστικών αρθρώσεων και µηχανισµών

υστέρησης κλπ.

B1

T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)=0 m/sec ξ=5%

ξ=5%

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3sec

cm

U(0)=0.03 m

B2

T=1 sec U(0)=0.03m U'(0)= +/- 0.1 m/sec ξ=5%

ξ=5%

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3sec

cm

U'(0)=0.1 m/sec

U'(0)= -0.1 m/sec

B3

T=1 sec U(0)=0.03 & 0.05m U'(0)= 0.03 m/sec ξ=5%

ξ=5%

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3sec

cm

U(0)=0.03 m

U(0)=0.05 m

Με αρχικές συνθήκες u0 και u’0 , η εξίσωση κίνησης είναι:

mu’’(t) + c u’(t) + ku(t) = 0

u(t)m

Ι

∞∞∞∞

c

A

B Γ

∆

Για λόγους απλότητας

θεωρείται ότι το

αποτέλεσµα αυτών των

µηχανισµών αποδίδεται µε

ένα ‘ισοδύναµο’ ιξώδη

αποσβεστήρα, µε

κατάλληλο συντελεστή

απόσβεσης c (σε kN*s/m).

Συνεπώς, η οριακή ποσότητα απόσβεσης που δεν επιτρέπει

ελεύθερη ταλάντωση καλείται κρίσιµη απόσβεση ccr

Όταν η διαθέσιµη απόσβεση µεγαλύτερη της κρίσιµης,

τότε όταν ο ταλαντωτής αφεθεί ελεύθερος - µετά την

αρχική αποµάκρυνσή του – θα επανέλθει σταδιακά στη

θέση ισορροπίας χωρίς να την προσπεράσει.

Σε εφαρµογές πολιτικού µηχανικού ο συντελεστής ξ

χρησιµοποιείται ευρύτατα και ονοµάζεται ποσοστό

κρίσιµης απόσβεσης

ξ = = crc

c

02mω

c

Συµπερασµατικά, για δυνατότητα ελεύθερης ταλάντωσης

πρέπει ξ < 1.0. Οπότε:

u(t) = e-ξω0t (Β sin ωdt + Α cos ωdt) = R0 e-ξω0t sin(ωdt+θ)

όπου

Β = , Α = u0, R = , tan θ = d

000

ω

ξωu+uɺ2 2A +B

A

B

Η αποσβεσµένη συχνότητα ταλάντωσης ωd είναι

µικρότερη της ιδιοσυνότητας χωρίς απόσβεση ω0 και

ορίζεται ως:

2ξ-1ωd = ω0

u0

t(s)

u’0

T0 = 2π/ω0

Td = 2π/ωd

Εκθετική µείωση R*exp(-ξωοt)Χωρίς απόσβεση

Με απόσβεση

∆ιαφορές λόγω παρουσίας απόσβεσης:

(1) στην ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ταλάντωσης (ωd αντί για ω0) και

(2) ως προς το µειούµενο ΕΥΡΟΣ.

Στα συνήθη δοµικά έργα το ξ, κυµαίνεται από 2% – 8 %,

ανάλογα µε το υλικό, το έδαφος και τον τρόπο θεµελίωσης.

Στον ΕΑΚ προτείνεται ξ = 2% για µεταλλικές κατασκευές

και ξ = 5% για κατασκευές οπλισµένου σκυροδέµατος.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ωd/ω0

ξ Τιµές ξ για την πλειοψηφία

δοµικών έργων

Η εκθετική περιβάλλουσα του µειούµενου εύρους

ταλάντωσης είναι Re-ξω0t, οπότε ο λόγος των µεγίστων Rj

και Rj+n δύο κύκλων ταλάντωσης j και j+n, ικανοποιεί την

λογαριθµική σχέση:

Η τελευταία ισότητα ισχύει µε πολύ ικανοποιητική

προσέγγιση για τις µικρές τιµές του ξ ενδιαφέροντος

πολιτικού µηχανικού. Η ποσότητα δ καλείται λογαριθµική

µείωση εύρους.

ln(Rj/Rj+n) = n ≈≈≈≈ n*2πξ = nδ2ξ-1

πξ2

Όσο µεγαλύτερη η απόσβεση διαθέτει ένα σύστηµα τόσο

πιο γρήγορα µειώνεται το εύρος ταλάντωσης.

Για παράδειγµα, οι κύκλοι ελεύθερης ταλάντωσης n(0.5)

που απαιτούνται ώστε το αρχικό εύρος ταλάντωσης να

µειωθεί στο µισό, είναι: n(0.5) ≈≈≈≈ 0.11/ξ

Αυτό σηµαίνει για ένα σύστηµα µε ξ = 5%, το εύρος

µειώνεται κατά 50% για κάθε 2.2 κύκλους ελεύθερης

ταλάντωσης.

Οι παραπάνω σχέσεις χρησιµοποιούνται ευρύτατα για τον

πειραµατικό προσδιορισµό των δυναµικών

χαρακτηριστικών υφιστάµενης κατασκευής.

Προς τον σκοπό αυτό, το σύστηµα διαταράσσεται από τη

θέση ισορροπίας και κατόπιν αφήνεται να ταλαντωθεί

ελεύθερα ενώ ταυτόχρονα καταγράφεται η κίνησή του.

t (sec)

u(t)

R1

R2

R3 R4

Υπολογίζεται ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση

πλήρους κύκλου ταλάντωσης Τd, οπότε ωd = 2π/Τd.

Με γνωστά τα ξ και ωd, υπολογίζονται τα ω0 = και

Τ0 = 2π/ω0

2

d

ξ-1

ω

Υπολογίζεται η λογαριθµική µείωση δ (για παράδειγµα,

ln(R1/R4) = 3δ).

Με γνωστό το δ υπολογίζεται το ξ = 2π/δ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ∆ΙΕΓΕΡΣΗΣ

Αρµονικές διεγέρσεις είναι σπάνιες (λειτουργία βαρέων

µηχανηµάτων, δράση ήπιων κυµατισµών). Συνήθως

συνυπάρχουν πολλές συχνότητες.

Αρµονική διέγερση µε µοναδική (ή κυρίαρχη) συχνότητα

µπορεί να παρασταθεί ως: f(t) = f0 sin t,ωω

Αποτελεί θεµελιώδη µορφή διέγερσης, διότι.

(α) Λόγω της µαθηµατικής της απλότητας, επιτρέπει την

διερεύνηση πολύ σηµαντικών παραµέτρων της

καταναγκασµένης ταλάντωσης,

(β) Μέσω του µετασχηµατισµού Fourier, σύνθετες µορφές

διέγερσης µπορούν να αναλυθούν σε ένα άθροισµα

αρµονικών συνιστωσών (αρχή επαλληλίας γραµµικών

φορέων).

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

seccm

Γεµάτος

Άδειος

c

m

k

f0 sinϖϖϖϖt

t (s)

f(t)

H πρώτη συνιστώσα uc(t) προέρχεται από το γενικό

ολοκλήρωµα της οµογενούς και αντιστοιχεί στην

περίπτωση της ελεύθερης αποσβεσµένης ταλάντωσης

(αλλά µε σταθερές που ∆ΕΝ ταυτίζονται µε αυτές της

ελεύθερης ταλάντωσης).

Το εύρος της αποσβεσµένης ελεύθερης ταλάντωσης µέσα

σε λίγους κύκλους µηδενίζεται. Κατά συνέπεια η uc(t)

αποτελεί ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΗ ταλάντωση.

Η δεύτερη συνιστώσα up(t) προέρχεται από το ειδικό

ολοκλήρωµα της εξίσωσης και εκφράζει την συµπεριφορά

του συστήµατος υπό συνεχή παρουσία της διέγερσης.

Η συνιστώσα up(t) καλείται ΠΑΡΑΜΕΝΟΥΣΑ καθώς

διατηρείται όσο διαρκεί η διέγερση. Η µορφή της είναι

αρµονική µε συχνότητα ίση µε την συχνότητα της

διέγερσης και ισούται µε:

ω

Συνεπώς, τo εύρος της παραµένουσας ταλάντωσης ρ,

µπορεί να συσχετιστεί µε την στατική απόκριση ust αν στο

σύστηµα δρούσε ΣΤΑΤΙΚΑ η µέγιστη τιµή διέγερσης (Pst

= P0).

Ο συντελεστής δυναµικής ενίσχυσης D(β,ξ) εκφράζει το

πόσες φορές µεγαλύτερη (ή µικρότερη) είναι η µέγιστη

παραµένουσα αρµονική απόκριση του συστήµατος από την

αντίστοιχη στατική.

Συνεπώς, αποτελεί ταυτόχρονα και ένα δείκτη ΛΑΘΟΥΣ

αν επιλύσουµε µε µεθόδους Στατικής, ένα πρόβληµα που

στην πραγµατικότητα είναι αρµονικό.

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

β

D(ξ,β)

ξ=0ξ=0,1

ξ=0,2

ξ=0,5ξ=1

Όταν η συχνότητα διέγερσης προσεγγίζει την

ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή (β 1), τότε έχουµε το

φαινόµενο του συντονισµού µε έντονη δυναµική ενίσχυση

η οποία εξαρτάται από το διαθέσιµο ποσοστό απόσβεσης

(D 1/2ξ).

Όταν η συχνότητα διέγερσης τείνει στο µηδέν (β 0),

διέγερση & απόκριση εκφυλίζονται σε στατικές (D 1).

Από το σχήµα γίνονται φανερά τα ακόλουθα

Όταν η συχνότητα διέγερσης υπερβεί κατά πολύ την

ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή (β> 2), τότε το σύστηµα δεν

µπορεί να ‘παρακολουθήσει’ τις εναλλαγές της διέγερσης

µε αποτέλεσµα το εύρος ταλάντωσης να γίνει µικρότερο

ακόµα και της στατικής απόκρισης και για β> 3, να τείνει

στο µηδέν (D 0).

Στην πραγµατικότητα η τιµή του β που µεγιστοποιεί τον

συντελεστή δυναµικής ενίσχυσης δεν είναι η τιµή β = 1,

αλλά:

= 0 β = β0 = β∂

)β,ξ(D∂22ξ-1

Επιπλέον, εάν Dmax(ξ,β) = η µέγιστη τιµή του συντελεστή

δυναµικής ενίσχυσης, εύκολα αποδεικνύεται ότι οι τιµές β1

και β2 που αντιστοιχούν στην τιµή D(β1) = D(β2) =

(µε β1 < β < β2), έχουν µεταξύ τους απόσταση: 2

Dmax

∆β = β2 – β1 = ≈≈≈≈ 2ξ0

12

ω

ω -ω

0

1

2

3

4

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

β

D(ξ,β)

D = Dmax /

Dmax

2

Το ενεργειακό φορτίο αρµονικής ταλάντωσης είναι

ανάλογο του τετραγώνου του εύρους και για τον λόγο αυτό

η ποσότητα ∆β καλείται διάστηµα υποδιπλασιασµού

ισχύος.

Πειραµατικός προσδιορισµός δυναµικών

χαρακτηριστικών υφιστάµενων κατασκευών

Εγκαθίσταται καταγραφικό δίκτυο και διεγέρτης µε

δυνατότητα ελεγχόµενης µεταβολής της συχνότητας

διέγερσης. Αρχίζοντας µε την µικρότερη δυνατή

συχνότητα, επιχειρείται σταδιακή σάρωση όλου του

διαθέσιµου εύρους των συχνοτήτων τα διέγερσης.

Για κάθε συχνότητα διέγερσης , το σύστηµα αφήνεται

να ταλαντωθεί για αρκετούς κύκλους ώστε να απαλειφθεί

η παροδική συνιστώσα και καταγράφεται η παραµένουσα

ταλάντωση.

Η συχνότητα που αντιστοιχεί στο µέγιστο εύρος

ταλάντωσης umax είναι = ω0 , ενώ η διαφορά των

συχνοτήτων & που η κάθε µία τους αντιστοιχεί

σε εύρος ταλάντωσης , ισούται µε ∆ϖϖϖϖ≈≈≈≈ 2ξω0.

ω 22ξ-1

2ω 1ω

2

u max

Παρατήρηση: Όλα τα αποτελέσµατα που αφορούν στην

ταλάντωση λόγω αρµονικής διέγερσης µπορούν να

εφαρµοσθούν και στην περίπτωση εδαφικού κραδασµού,

υπό την προϋπόθεση ότι η εδαφική κίνηση ug(t) είναι

αρµονική µε συχνότητα ω

m = 55 tn, ω0 = = 6.355 rad/s, β = 3π/6.355 =

1.483

D(β=1.483, ξ=0.15) = = 0.782

5523.2221

222 )483.1*15.0*2(+)483.1-1(

1

Η µέγιστη παραµένουσα απόκριση είναι uPmax = 0.782*ust

=0.782* = 0.0182 m = 1.82 cm.23.2221

83.51

Η αντίστοιχη ροπή βάσης είναι: Mmax = Vmax*h =

(k* uPo)*h = (2221.23*0.0182)*10 = 405.31 kNm

Παράδειγµα

Ο Υδατόπυργος του παραδείγµατος 2.3, υπόκειται σε

αρµονική διέγερση f(t)= 51.83* sin(3πt). Να υπολογισθούν

η µέγιστη µετατόπιση και η ροπή βάσης.

• Συνεχεια στο επόµενο

2.4 ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΛΟΓΩ Ε∆ΑΦΙΚΟΥ

ΚΡΑ∆ΑΣΜΟΥ

Μια από τις σηµαντικότερες µορφές διέγερσης των

κατασκευών αποτελεί η Ε∆ΑΦΙΚΟΣ ΚΡΑ∆ΑΣΜΟΣ

(σεισµικής δράση, υπόγειες εκρήξεις, εργασίες διάνοιξης

τούνελ, κλπ).

Η υπερκείµενη κατασκευή υπόκειται σε καταναγκασµένες

ταλαντώσεις χωρίς να είναι προφανής η παρουσία

εξωτερικής.

Μια επαναδιατύπωση όµως της διαφορικής εξίσωσης ως

προς την σχετική µετατόπιση, αποκαλύπτει ότι η εδαφική

δράση µπορεί να θεωρηθεί ως µια ισοδύναµη µεταφορική

διέγερση της µάζας του συστήµατος.

Έστω το µοναβάθµιο πλαίσιο του σχήµατος, το οποίο

υπόκειται σε εδαφική κίνηση ug(t).

ut(t) = ug(t) + u(t)

m

ck

ug

ut

uΣε κάθε χρονική στιγµή t, η

συνολική µετατόπιση του

φορέα από την αρχική θέση

ισορροπίας (ut), αποτελείται

από την εδαφική

µετατόπιση (ug) και την

σχετική µετατόπιση

εδάφους – ζυγώµατος (u).

Η εξίσωση δυναµικής ισορροπίας της ταλαντούµενης

µάζας του ζυγώµατος είναι ανάλογη αυτής της ελεύθερης

ταλάντωσης καθώς περιλαµβάνει µόνο τις δυνάµεις

αδράνειας fI, απόσβεσης fD και επαναφοράς fS.

fI + fD + fS = 0

Oι δυνάµεις που αναπτύσσονται στα υποστυλώµατα fS και

τον αποσβεστήρα fD οφείλονται στην σχετική µετατόπιση

u και σχετική ταχύτητα u’, αντίστοιχα.

Αντίθετα, η δύναµη αδράνειας εξαρτάται από την

συνολική επιτάχυνση ut’’ του συστήµατος σχετικά µε την

αρχική θέση ισορροπίας του.

Αντικαθιστώντας την κάθε δύναµη στην παραπάνω σχέση

ισορροπίας, έχουµε m ut’’(t) + c u’(t) + k u(t) = 0

Αλλά, ut(t) = ug(t) + u(t) ut‘’(t) = ug‘’(t) + u’’(t) = ag(t) +

u’’(t),όπου ag(t) = εδαφική επιτάχυνση

Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις, η εξίσωση

δυναµικής ισορροπίας του ταλαντωτή προκύπτει ως

m [ag(t) + u’’(t)] + c u’(t) + k u(t) = 0

Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η απόκριση ενός ταλαντωτή

υπό εδαφικό κραδασµό ταυτίζεται µε την απόκρισή του

θεωρώντας ΑΚΛΟΝΗΤΗ τη βάση του, υπό τη δράση

ισοδύναµου µεταφορικού σεισµικού φορτίου fg(t) το οποίο

είναι ανάλογο της ταλαντούµενης µάζας και της εδαφικής

επιτάχυνσης.

m u’’(t) + c u’(t) + k u(t) = - m ag(t) = fg(t)

Η διαπίστωση αυτή εξηγεί και τον λόγο για τον οποίο οι

αντισεισµικοί κανονισµοί χρησιµοποιούν την µέγιστη

εδαφική επιτάχυνση ως κύριο παράγοντα διαµόρφωσης

των σεισµικών φορτίων

m

ck

ug

=

fg(t) = - m ag(t)m

ck

Το γεγονός ότι η µάζα του συστήµατος δρα µόνο ως ένας

βαθµωτός πολλαπλασιαστής, σηµαίνει ότι το σεισµικό

φορτίο µεταφέρει τα χαρακτηριστικά της Ε∆ΑΦΙΚΗΣ

ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ως προς την διάρκεια, τη µορφή, το

συχνοτικό περιεχόµενο, κλπ.

Συνεπώς, τα αποτελέσµατα της µελέτης των

καταναγκασµένων ταλαντώσεων υπό τη δράση διάφορων

µορφών διεγέρσεων που θα αναφερθούν στις επόµενες

ενότητες, µπορούν να εφαρµοσθούν και στην περίπτωση

του εδαφικού κραδασµού υπό την προϋπόθεση ότι η

µορφή της διέγερσης προσοµοιάζει την µορφή της

εδαφικής επιτάχυνσης.

Παράδειγµα 2.4

Ο Υδατόπυργος του παραδείγµατος 2.3, υπόκειται σε

σεισµική δράση, µε ταχύτητα εδάφους (σε cm/sec) vg

=10*cos(3π*t). Να υπολογισθούν η µέγιστη µετατόπιση και

η ροπή βάσης όταν ο υδατόπυργος είναι (α) γεµάτος µε

νερό, µε την πειραµατικά προσδιορισµένη τιµή του ξ και

(β) άδειος από νερό, λαµβάνοντας ξ = 0.

Επίλυση:

Από τη συνάρτηση εδαφικής ταχύτητας vg = 0.1*cos(3πt)

προκύπτει η αντίστοιχη συνάρτηση εδαφικής επιτάχυνση

ag = -0.3*π* sin(3πt), η οποία διαµορφώνει την σεισµική

διέγερση ως: fg(t) = - m ag(t).

(α): ω0 = = 6.355 rad/s,

β = 3π/6.355 = 1.483, m = mt = 55 tn

fg = -mt* ag = -55 * [-0.3*π* sin(3πt)] = 51.83* sin(3πt)

D(β=1.483, ξ=0.15) = = 0.782

5523.2221

222 )483.1*15.0*2(+)483.1-1(

1

Η µέγιστη παραµένουσα απόκριση είναι umax = uPo =

0.782*ust = 0.782* = 0.0182 m = 1.82 cm.23.2221

83.51

Η αντίστοιχη ροπή βάσης είναι: Mmax = Vmax*h =

(k* uPo)*h = (2221.23*0.0182)*10 = 405.31 kNm

(β): ω0 = = 21.08 rad/s,

β = 3π/21.08 = 0.447

fg = -mb* ag = -5 * [-0.3*π* sin(3πt)] = 4.712* sin(3πt)

2221.235

Πρέπει να σηµειωθεί ότι στην προκειµένη περίπτωση

µηδενικής απόσβεσης, η λύση της οµογενούς δεν είναι

παροδική και συνεπώς πρέπει να ληφθεί υπόψη η

συνολική λύση (2.17).

Αν, αγνοηθεί η συνεισφορά της λύσης της οµογενούς, θα

είχαµε συντελεστή δυναµικής ενίσχυσης, µέγιστη

απόκριση και µέγιστη ροπή ίσα µε:

D(β=0.447, ξ=0) = = 1.25, uPo = 1.25* =

2.65*10-3 m, Mmax = 58.9 kNm2447.0-1

1

23.2221

712.4

Οι τιµές που προκύπτουν είναι 34.5% µικρότερες από

αυτές που υπολογίζονται αν ληφθεί υπόψη και η

συνεισφορά της λύσης της οµογενούς, οπότε η λύση της

εξίσωσης δυναµικής ισορροπίας προκύπτει ως:

k

f0u(t) = * *(sinϖϖϖϖt - βsinωοt).2

1

1-β

Ο µηδενισµός της παραγώγου της παραπάνω σχέσης

αποκαλύπτει ότι τα µέγιστα προκύπτουν τις χρονικές

στιγµές t = (2kπ) / (ωο ±±±± ϖϖϖϖ).

Για το συγκεκριµένο παράδειγµα και για k = 1,

παρουσιάζεται µέγιστη απόκριση την χρονική στιγµή t =

2π/( 21.08+3π) = 0.206 s ίση µε umax = 3.57 *10-3 m η οποία

προκαλεί ροπή βάσης Mmax = 79.21 kNm.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ∆ΙΕΓΕΡΣΗ ΠΛΗΓΜΑΤΟΣ

Πλήγµατα ιδιαίτερη κατηγορία διεγέρσεων πολύ

µικρής χρονικής διάρκειας, συγκρινόµενες µε την

ιδιοπερίοδο των κατασκευών στις οποίες επιδρούν (π.χ.

εκρήξεις, κρούσεις κατά την έµπηξη πασάλων θεµελίωσης,

κλπ).

Λόγω της µικρής διάρκειας του πλήγµατος, η µέγιστη

απόκριση του ταλαντωτή συµβαίνει πολύ γρήγορα χωρίς

να προλάβουν να ενεργοποιηθούν οι µηχανισµοί απώλειας

ενέργειας και να επηρεάσουν σε αξιόλογο βαθµό την

κίνησή του.

Είναι συνήθης πρακτική, κατά συνέπεια, να αγνοείται η

απόσβεση στη µελέτη διέγερσης πλήγµατος.

Ορθογωνικό πλήγµα

Έστω µονοβάθµιος ταλαντωτής

χωρίς απόσβεση, ο οποίος υπόκειται

στη δράση του ορθογωνικού

πλήγµατος του σχήµατος.

Η µελέτη της απόκρισης του συστήµατος απαιτεί την

διάκριση δύο χρονικών φάσεων κατά τις οποίες ο

ταλαντωτής εκτελεί διαδοχικά καταναγκασµένη και

ελεύθερη ταλάντωση.

H µέγιστη τιµή µετάθεσης είναι δυνατόν να συµβεί κατά

τη διάρκεια της 1ης ή της 2ης φάσης, ανάλογα µε τον λόγο

της διάρκειας του πλήγµατος (t1) προς την ιδιοπερίοδο του

ταλαντωτή (Τ0).

Κατά τη διάρκεια της πρώτης

φάσης t ≤≤≤≤ t1, η διέγερση είναι

σταθερή f(t) = fo, οπότε η εξίσωση

δυναµικής ισορροπίας είναι:

Η λύση αποτελείται από το άθροισµα της λύσης της

οµογενούς (για ξ = 0) uc(t) = R1 sin(ωt) + R2 cos(ωt)

και της ειδικής λύσης (σταθερό φορτίο) up(t) = fo/k.

Εάν υποτεθεί ότι οι αρχικές συνθήκες της πρώτης φάσης

είναι µηδενικές, δηλαδή [u(0) = u’(0) = 0], τότε έχουµε R1

= 0, R2 = -fo/k και συνεπώς

Η παραπάνω λύση καλύπτει την µετάθεση του ταλαντωτή

για t ≤≤≤≤ t1. Θέτοντας την παράγωγο της u(t) ίση µε µηδέν,

το µέγιστο της µετάθεσης προκύπτει την χρονική στιγµή t

= π/ω και είναι ίσο µε

Με δεδοµένο ότι ο όρος fo/k παριστά την στατική

µετάθεση, ο συντελεστής δυναµικής ενίσχυσης στην

περίπτωση ορθογωνικού πλήγµατος είναι ίσος µε δύο.

Αυτό βέβαια υπό την προϋπόθεση ότι η διάρκεια της

πρώτης φάσης θα είναι τουλάχιστον ίση µε τον

απαιτούµενο χρόνο εµφάνισης του µεγίστου, t1 ≥≥≥≥ π/ω =

Tο/2 (όπου Το = ιδιοπερίοδος του ταλαντωτή = 2π/ωο).

(t > t1, t2=t- t1) u(t2) = R2 sin(ωt2) + R1 cos(ωt2)

Με την προϋπόθεση ότι t1 < Tο/2, η µέγιστη τιµή

µετάθεσης στην δεύτερη φάση ισούται µε

Κατά τη δεύτερη φάση ταλάντωσης t > t1, η δράση του

πλήγµατος έχει ολοκληρωθεί και το σύστηµα εκτελεί

ελεύθερη ταλάντωση µε αρχικές συνθήκες την µετατόπιση

και ταχύτητα του τέλους της 1ης φάσης.

Τριγωνικό πλήγµα

Εστω µονοβάθµιος ταλαντωτής

χωρίς απόσβεση, ο οποίος

υπόκειται στη δράση του

τριγωνικού πλήγµατος του

σχήµατος.

Και στην περίπτωση αυτή, η µελέτη της µετάθεσης του

συστήµατος και ο προσδιορισµός των τιµών αιχµής,

απαιτεί την διάκριση δύο διαδοχικών χρονικών φάσεων.

Κατά την διάρκεια της πρώτης φάσης, όταν t ≤≤≤≤ t1, ο

ταλαντωτής εκτελεί καταναγκασµένη ταλάντωση µε

εξίσωση δυναµικής ισορροπίας

Το ειδικό ολοκλήρωµα είναι:

οπότε η γενική λύση προκύπτει ως:

Εάν οι αρχικές συνθήκες της πρώτης φάσης είναι

µηδενικές (u(0) = u’(0) = 0)

Θέτοντας t2 = t - t1, η λύση της 2ης φάσης (για t > t1) είναι

Κατά τη 2η φάση ταλάντωσης t > t1, το σύστηµα εκτελεί

ελεύθερη ταλάντωση µε αρχικές συνθήκες την µετατόπιση

και ταχύτητα του τέλους της πρώτης φάσης. Θέτοντας t =

t1 οι αρχικές αυτές συνθήκες προκύπτουν ως:

Ο χρόνος της µεγίστης µετάθεσης εξαρτάται από τον λόγο

της διάρκειας του πλήγµατος t1 προς την ιδιοπερίοδο Το :

Αν t1/To > 0.4 µέγιστη µετάθεση κατά την 1η φάση

Αν t1/To < 0.4 µέγιστη µετάθεση κατά την 2η φάση

Ηµιτονοειδές πλήγµα

Εστω µονοβάθµιος ταλαντωτής

χωρίς απόσβεση, ο οποίος

υπόκειται στη δράση πλήγµατος

µισού ηµιτόνου του σχήµατος.

Κατά την διάρκεια της πρώτης φάσης, όταν t ≤≤≤≤ t1, ο

ταλαντωτής εκτελεί καταναγκασµένη ταλάντωση υπό τη

δράση αρµονικού φορτίου µε εξίσωση κίνησης:

Σύµφωνα µε όσα έχουν ήδη παρουσιαστεί, το ειδικό

ολοκλήρωµα της εξίσωσης έχει την µορφή:

Η διάκριση µεταξύ παραµένουσας και παροδικής

συνιστώσας δεν έχει πλέον νόηµα, δεδοµένου ότι η

απόσβεση στο υπόψη σύστηµα θεωρείται µηδενική. Ακόµα

και σε αντίθετη περίπτωση όµως, η παροδική συνιστώσα

δεν θα µπορούσε να θεωρηθεί αµελητέα λόγω της πολύ

µικρής διάρκειας της πρώτης φάσης.

Λόγω των µηδενικών αρχικών συνθηκών, η λύση 1ης

φάσης προκύπτει ως:

Με µέγιστο την χρονική στιγµή :

Θέτοντας t2 = t - t1, η λύση της 2ης φάσης (ελεύθερη

ταλάντωση) είναι:

Με µέγιστο:

Η διερεύνηση του χρόνου εµφάνισης των µεγίστων,

αποκαλύπτει ότι αυτός εξαρτάται από τις τιµές των

παραµέτρων β και t1/To. Λαµβάνοντας όµως υπόψη ότι η

διάρκεια t1 ισούται µε το µισό της περιόδου της διέγερσης,

τότε η παράµετρος β = Το/2t1.

Συγκεκριµένα, οι υπολογισµοί αποδεικνύουν:

Όταν t1/To > 0.5, (δηλαδή β < 1), το µέγιστο εµφανίζεται

κατά τη διάρκεια της 1ης φάσης.

Όταν t1/To < 0.5, (δηλαδή β > 1), το µέγιστο εµφανίζεται

κατά τη διάρκεια της 2ης φάσης

Όταν t1/To = 0.5, (δηλαδή β = 1), το µέγιστο εµφανίζεται

στο χρονικό σύνορο των δύο φάσεων t = t1

Για όλα τα είδη πλήγµατος που παρουσιάστηκαν στην

παρούσα ενότητα και για ξ = 0, η γραφική παράσταση των

συντελεστών δυναµικής ενίσχυσης παρουσιάζεται στο

σχήµα που ακολουθεί ως συνάρτηση του λόγου της

διάρκειας του πλήγµατος προς την ιδιοπερίοδο του

ταλαντωτή t1/T.

Συντελεστές δυναµικής µετάθεσης πληγµάτων

Σε διεγέρσεις τύπου πλήγµατος µπορούν να ορισθούν ως

συντελεστές δυναµικής ενίσχυσης οι λόγοι της µέγιστης

δυναµικής µετάθεσης προς την αντίστοιχη στατική, D =

umax / ust.

D

Συντελεστές δυναµικής ενίσχυσης πλήγµατος (ξ = 0).

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΤΥΧΟΥΣΑ ∆ΙΕΓΕΡΣΗ –

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ DUHAMEL

Πέρα από την αρµονική διέγερση υπάρχουν και άλλες

περιπτώσεις διεγέρσεων οι οποίες έχουν σχετικά απλή

µορφή και οι ταλαντώσεις που προκαλούν µπορούν να

περιγραφούν µε συγκεκριµένες µαθηµατικές εκφράσεις.

Υπάρχουν όµως πολλές περιπτώσεις κατά τις οποίες η

διέγερση εµφανίζει εξαιρετικά πολύπλοκη µορφή

• ανεµο-φορτία,

• κυµατο-φορτία

• σεισµικά φορτία

η οποία δεν µπορεί να περιγραφεί µε αναλυτική

µαθηµατική σχέση.

Η περιγραφή τους µπορεί να γίνει µόνο σε ψηφιακή

µορφή κάνοντας χρήση καταγραφών προηγούµενων

συµβάντων.

Για την αντιµετώπιση αυτών των προβληµάτων, είναι

αναγκαίο να διατυπωθεί µια µεθοδολογία επίλυσης της

δυναµικής απόκρισης φορέων, η οποία να έχει ΓΕΝΙΚΗ

εφαρµογή (ανεξάρτητα από τη µορφή διέγερσης).

Αυτή η µεθοδολογία στηρίζεται στην απόκριση

µονοβάθµιου ταλαντωτή σε µοναδιαίο ορθογωνικό

πλήγµα, η οποία προσδιορίζεται από το ολοκλήρωµα του

Duhamel.

Καταναγκασµένη ταλάντωση µοναδιαίου πλήγµατος

m

Ι∞∞∞∞

u(t))

c

f(t)

f

t

1/ε

τ ε

Έστω ότι ο φορέας του σχήµατος

υπόκειται την χρονική στιγµή t =

τ, στη δράση πλήγµατος

απειροστής διάρκειας ε και

µοναδιαίου εµβαδού.

Λόγω της ακαριαίας δράσης του

πλήγµατος δεν προλαβαίνουν να

ενεργοποιηθούν οι δυνάµεις

επαναφοράς και απόσβεσης κατά

την δράση του πλήγµατος.

Αυτό σηµαίνει ότι η απόκριση περιλαµβάνει µία φάση

ελεύθερης ταλάντωσης µε αρχικές συνθήκες u(τ) = 0, u’(τ)

= 1/m, (αρχή της διατήρησης της ορµής).

Με αυτές τις αρχικές συνθήκες, η εξίσωση αποσβεσµένης

ελεύθερης ταλάντωσης προσδιορίζει την απόκριση

µοναδιαίου πλήγµατος h(t-τ) ως:

u(t) = h(t-τ) = e-ξω(t-τ) sin[ωd(t-τ)]dωm

1

Προφανώς κάθε πλήγµα µε χρόνο εµφάνισης τ,

διαµορφώνει την απόκριση σε µεταγενέστερο χρόνο (t ≥≥≥≥ τ).

Λόγω της απόσβεσης, η επίδραση του πλήγµατος

εξασθενεί όσο αποµακρυνόµαστε από την δράση του.

t

h(t-τ )

h(t-τ)

t1/m

τ

Καταναγκασµένη ταλάντωση σε διέγερση τυχούσας

µορφής

Σε περιπτώσεις µη µοναδιαίου πλήγµατος, η απόκριση του

συστήµατος είναι αυτή που προκύπτει από την εφαρµογή

της προηγούµενης σχέσης, πολλαπλασιασµένης επί το

εµβαδόν του υπόψη πλήγµατος.

Συνεπώς, η δράση µοναδιαίου πλήγµατος µπορεί να

αποτελέσει την βάση µελέτης πιο σύνθετων µορφών

διέγερσης εάν θεωρηθούν ότι συντίθενται από διαδοχικά

(µη-µοναδιαία) πλήγµατα.

Το άθροισµα της επίδρασης όλων των πληγµάτων,

συνθέτει την συνολική απόκριση του συστήµατος στην

τυχούσα φόρτιση.

f

Α π ό κ ρ ισ η σ τ ο 1ο π λ ή γ µ α

Α π ό κ ρ ισ η σ τ ο 2ο π λ ή γ µ α

Α π ό κ ρ ισ η σ τ ο νο π λ ή γ µ α

Σ υ ν ο λ ικ ή α π ό κ ρ ισ η

Στο όριο, για απειροστή διάρκεια δράσης κάθε πλήγµατος,

το άθροισµα µετατρέπεται σε ολοκλήρωµα και η απόκριση

προκύπτει ως:

u(t) = = f(τ) e-ξωο(t-τ) sin[ωd(t-τ)]dτ∫t

0

dτ ) f(τ τ)-h(tdω m

1

∫t

0

Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως ολοκλήρωµα του Duhamel

και παρέχει την δυνατότητα υπολογισµού της απόκρισης

µονοβάθµιου ταλαντωτή σε τυχούσα διέγερση

(προσδιορισµένης είτε αναλυτικά είτε ψηφιακά).

ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ

Σε πολλές εφαρµογές της δυναµικής των κατασκευών –

ιδιαίτερα σε περιπτώσεις περιβαλλοντικών διεγέρσεων – η

διέγερση είναι πολύπλοκη, ραγδαία µεταβαλλόµενη και

διαθέσιµη µόνο σε ψηφιακή µορφή.

Κατά συνέπεια, δεν είναι δυνατός ο προσδιορισµός της

απόκρισης των φορέων µε την εφαρµογή αναλυτικών

λύσεων και καλείται να καταφύγει σε αριθµητικές

µεθόδους υπολογισµού

Επιπλέον, για να αντιµετωπισθεί η τυχαιότητα και το

απρόβλεπτο του συµβάντος, ο µελετητής µηχανικός

καλείται να εξασφαλίσει έναν αριθµό

‘αντιπροσωπευτικών’ ψηφιακών καταγραφών της υπό

µελέτη διέγερσης και να προχωρήσει σε επαναληπτική

εφαρµογή της µεθοδολογίας.

Είναι προφανές ότι για εφαρµογές ρουτίνας, η όλη

διαδικασία αποτελεί ένα σύνθετο εγχείρηµα µε υψηλό

υπολογιστικό κόστος, ιδιαίτερα στη φάση

προκαταρκτικών µελετών όπου απαιτείται συχνή

επανάληψη της ανάλυσης για διάφορα σενάρια διέγερσης

ή/και φορέα.

Έστω, για παράδειγµα, ότι µας ενδιαφέρει η εκτίµηση της

σεισµικής συµπεριφοράς κατασκευής η οποία πρόκειται να

κατασκευαστεί στην περιοχή των Σεπολίων της Αθήνας.

Προς τον σκοπό αυτό επιλέγουµε, ως αντιπροσωπευτική,

την χρήση της καταγραφής της εδαφικής επιτάχυνσης

στην περιοχή αυτή κατά τον σεισµό της 7ης Σεπτεµβρίου

1999. Ενδεικτικά, µία οριζόντια της καταγραφής

παρουσιάζεται στο σχήµα που ακολουθεί.

Αθήνα 1999 (Splb1-L)

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

scm/s

2

Οριζόντια συνιστώσα εδαφικής επιτάχυνσης του σεισµού

της 7/9/1999 (ΙΤΣΑΚ, καταγραφικός σταθµός Σεπολίων).

Με την προϋπόθεση ότι ο φορέας µπορεί να θεωρηθεί ως

µονοβάθµιος ταλαντωτής, η εξίσωση δυναµικής

ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση (2.15), ως

m u’’(t) + c u’(t) + k u(t) = - m ag(t) = fg(t)

Εφαρµόζοντας το ολοκλήρωµα του Duhamel για το

σεισµικό φορτίο fg προκύπτει:

u(t) = = ag(τ) e-ξωο(t-τ) sin[ωd(t-τ)]dτ∫t

0

g dτ ) (τf τ)-h(tdω

1∫t

0

Με δεδοµένη την εδαφική επιτάχυνση ag(t), η λύση

εξαρτάται από το ποσοστό κρίσιµης απόσβεσης ξ και την

ιδιοσυχνότητα ωο (ή την ιδιοπερίοδο Το = 2π/ωο) του

ταλαντωτή.

Έτσι, για έναν µονοβάθµιο ταλαντωτή µε ξ = 5% και

ιδιοπερίοδο Το = 0.5 s (ωο = 12.57 rad/s) η απόκριση

υπολογίσθηκε αριθµητικά και παρουσιάζεται στο Σχήµα.

ξ = 5%, Tο = 0.5 s

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

s

cm

Λαµβάνοντας υπόψη ότι τα επιταχυνσιογράµµατα

υπόκεινται σε πυκνή ψηφιοποίηση (συνήθως ανά 0.01 s),

τα αρχεία αποτελεσµάτων που προκύπτουν περιέχουν

δεκάδες χιλιάδες σηµεία.

Η διαχείριση και επεξεργασία τους διευκολύνεται από το

γεγονός ότι από άποψη απαιτήσεων σχεδιασµού το

ενδιαφέρον του µελετητή εστιάζεται στις µέγιστες τιµές

(τιµές αιχµής), οι οποίες κυρίως προσδιορίζουν τις ροπές

και τέµνουσες σχεδιασµού.

Κατά συνέπεια, από κάθε επίλυση θα µπορούσαν να

αποθηκευτούν µόνον οι τιµές αιχµής. και όχι στο σύνολο

των τιµών της χρονοϊστορίας απόκρισης του φορέα.

Πρέπει να σηµειωθεί ότι κατά τη διάρκεια των

υπολογισµών, πέραν της µετατόπισης u(t), µπορούν εύκολα

να αποθηκευτούν και πρόσθετες παραµέτροι απόκρισης

(όπως ταχύτητα u’(t) και επιτάχυνση u’’(t)).

Με δεδοµένο ότι συνήθη επαγγελµατικά προγράµµατα

ανάλυσης και διαστασιολόγησης κατασκευών δεν

παρέχουν την δυνατότητα εν-χρόνω ολοκλήρωσης, στην

∆υναµική των Κατασκευών – ιδιαίτερα στην Σεισµική

Μηχανική – έχει επικρατήσει η χρήση των Φασµάτων

Απόκρισης (S).

Με τον όρο φάσµα, εννοείται η γραφική παράσταση του

µέγιστου της απόκρισης της κατασκευής στη δράση

συγκεκριµένης διέγερσης, για διάφορες τιµές της

ιδιοπεριόδου Τ και του ποσοστού κρίσιµης απόσβεσης ξ

του ταλαντωτή S(ξ,Τ).

ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ –(2)

Είναι προφανές ότι για την δεδοµένη σεισµική διέγερση, η

προκύπτουσα φασµατική τιµή χαρακτηρίζει ένα σύνολο

συστηµάτων µε διαφορετικά χαρακτηριστικά (m, c, k)

αλλά µε ίδιες τιµές Τ και ξ. Κατά συνέπεια, τα

διαγράµµατα αυτά µπορούν να θεωρηθούν ως η

‘υπογραφή’ του συγκεκριµένου εδαφικού κραδασµού και

απεικονίζουν την επίδρασή του στο δοµηµένο περιβάλλον.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι τα φάσµατα απόκρισης

αποτελούν εξαιρετικά εύχρηστο εργαλείο σχεδιασµού

καθώς παρέχουν την δυνατότητα άµεσου υπολογισµού των

αναγκαίων µεγεθών σχεδιασµού, καθιστώντας περιττές

τόσο την εξασφάλιση επιταχυνσιογραµµάτων όσο και την

εν χρόνω ολοκλήρωση της εξίσωσης κίνησης.

Κατασκευή φάσµατος απόκρισης για ξ = 5%, της

οριζόντιας συνιστώσας Splb1-L (Σεπόλια, 7/9/1999).

T = 0 .2 s

-1 .0 -0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0

s

cm

T = 0 .5 s

-3 .0

-2 .0

-1 .0

0 .0

1 .0

2 .0

3 .0

s

cm

T = 1 .0 s

-4 .0 -3 .0 -2 .0 -1 .0 0 .0 1 .0 2 .0 3 .0 4 .0

s

cm

0 .0

1 .0

2 .0

3 .0

4 .0

5 .0

6 .0

0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2

T (s )

S d

(cm )

umax=-0,75

umax= 2,32

umax=3,61

Στη διεθνή βιβλιογραφία, τα φάσµατα απόκρισης συνήθως

καλύπτουν ένα µεγαλύτερο εύρος ιδιοπεριόδων από 0.05 s

ως 5.0 s, για να συµπεριλάβουν και κατασκευές πολύ

µεγάλης περιόδου (ουρανοξύστες, γέφυρες).

Για τον Ελληνικό χώρο και για συνήθη κτιριακά έργα το

άνω όριο µπορεί να περιορισθεί στα 2.0 – 3.0 s

Για κάθε τιµή της περιόδου, το φάσµα απεικονίζει µόνο

την µέγιστη τιµή απόκρισης χωρίς να παρέχει

πληροφορίες για τις υπόλοιπες τιµές της χρονοϊστορίας

Παρά ταύτα, η πληροφορία αυτή είναι επαρκής για τον

σχεδιασµό συστηµάτων µε κριτήρια τα οποία δεν

περιλαµβάνουν σωρευτικούς µηχανισµούς αστοχίας

(κόπωση, βρόχοι υστέρησης, κλπ).

Ανάλογα µε το πεδίο εφαρµογής, η κρίσιµη ποσότητα

σχεδιασµού µπορεί να είναι η ταχύτητα ή η επιτάχυνση

απόκρισης. Για τον λόγο αυτό στα φάσµατα η απόκριση

είναι δυνατόν να εκφράζεται σε όρους µετατόπισης umax

(φάσµα µετατοπίσεων Sd), σε όρους ταχύτητας u’max

(φάσµα ταχυτήτων Sv) ή σε όρους επιτάχυνσης u’’max

(φάσµα επιταχύνσεων Sa).

Στα Σχήµατα που ακολουθούν φαίνονται τα τρία φάσµατα

(µετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης) για ξ = 5%, της

οριζόντιας συνιστώσας Splb1-L (Σεπόλια, 7/9/1999).

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Τ (sec)

Sd (cm

)

Παρατηρούµε ότι οι τιµές του φάσµατος µετατόπισης Sd

αυξάνουν µε την αύξηση της ιδιοπεριόδου.

Αυτό ερµηνεύεται από το γεγονός ότι µεγαλύτερες

ιδιοπερίοδοι αντιστοιχούν σε πιο εύκαµπτες κατασκευές

και είναι αναµενόµενο η µετατόπισή τους να αυξάνει.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Τ (sec)

Sv (cm

/sec)

Ανάλογη διαπίστωση (δηλαδή αύξηση των φασµατικών

τιµών µε την αύξηση της ιδιοπεριόδου) δεν προκύπτει από

το φάσµατα ταχυτήτων Sv στο οποίο παρατηρείται µια

σταθεροποίηση και µετά πτώση των τιµών για µεγάλες

περιόδους.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Τ (sec)

Sa (g)

Ακόµα πιο έντονο είναι το φαινόµενο στο φάσµα

επιταχύνσεων Sa για το οποίο, πέρα από κάποιο σηµείο,

παρατηρούµε µείωση των φασµατικών τιµών στις

µεγάλες ιδιοπεριόδους.

Αυτό µπορεί να γίνει άµεσα αντιληπτό στην οριακή

περίπτωση αρµονικής ταλάντωσης, για την οποία ισχύει:

u(t) = umaxsinωt, u’(t) = umaxωcosωt, u’’(t) = - umaxω2sinωt

Είναι προφανές ότι οι µέγιστες τιµές της ταχύτητας και

της επιτάχυνσης διαµορφώνονται τόσο από τη µέγιστη

µετατόπιση umax αλλά και από την συχνότητα ταλάντωσης

ω, η οποία είναι αντιστρόφως ανάλογη της περιόδου.

Για την κατανόηση αυτής της ‘συµπεριφοράς’ των

φασµάτων, θα πρέπει να λάβουµε υπόψη µας ότι τα µεγέθη

της ταχύτητας και επιτάχυνσης αφορούν σε χρονικές

παραγώγους της κίνησης και συνεπώς, στη διαµόρφωση

των τιµών τους παίζει σηµαντικό ρόλο και το συχνοτικό

περιεχόµενο της απόκρισης

Ο ταλαντωτής, όµως, δρα ως ένα είδος ‘φίλτρου’ και η

απόκρισή του περιλαµβάνει πολύ λιγότερες συχνότητες, µε

κυρίαρχη την ιδιοσυχνότητά του ωο.

Στο όριο, λοιπόν, θα µπορούσαµε να προσεγγίσουµε την

απόκριση ως αρµονική θέτοντας στην σχέση όπου ω = ωο.

Η προηγούµενη απλοποιητική θεώρηση της απόκρισης ως

αρµονικής, παρέχει την δυνατότητα προσεγγιστικής

εκτίµησης των φασµάτων ταχύτητας και επιτάχυνσης.

Φυσικά, η απόκριση λόγω εδαφικού κραδασµού δεν είναι

αρµονική καθώς η διέγερση περιλαµβάνει ταυτόχρονα

πολλές συχνότητες.

Λόγω του προσεγγιστικού τους χαρακτήρα τα φάσµατα

αυτά καλούνται φάσµα ψευδο-ταχύτητας (PSv) και φάσµα

ψευδο-επιτάχυνσης (PSa), και ορίζονται ως:

PSv = ω0* Sd, PSa = ω02* Sd (4.3)

Συγκρίσεις µεταξύ φασµάτων (Sv, Sa) και ψευδο-

φασµάτων (PSv, PSa) για την οριζόντια συνιστώσα Splb1-L

και για ξ = 5% (επόµενο Σχήµα) αποδεικνύουν ότι η σχέση

(4.3):

Έίναι ιδιαίτερα ακριβής για το φάσµα επιτάχυνσης,

Ενώ παρουσιάζονται σηµαντικές διαφορές µεταξύ PSv

και Sv για περιόδους άνω του 1.5 s. Συνεπώς η προσέγγιση

είναι επαρκής για κτίρια µέχρι 15 ορόφους.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3T (sec)

Sa,P

Sa (g)

PSa

Sa

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

T (sec)

Sv,P

Sv (cm

/sec)

PSv

Sv

ΧΡΗΣΗ ΦΑΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟ

ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟ

Τα συνήθη µεγέθη σχεδιασµού περιλαµβάνουν τις µέγιστες

τιµές της τέµνουσας (Vb) και ροπής (Mb) βάσης καθώς και

της ροπής υποστυλώµατος (Mc).

Το φάσµα απόκρισης επιτρέπει την εισαγωγή της έννοιας

του στατικού φασµατικού φορτίου fs µε την χρήση του

οποίου ο σχεδιασµός µεταπίπτει από ένα δυναµικό σε ένα

ισοδύναµο στατικό πρόβληµα.

m

k

fs= k*Sd = m* PSa

h

Vb = Τέµνουσα βάσης

Mb = Ροπή βάσης

Το ισοδύναµο φασµατικό φορτίο αντιστοιχεί σε ένα ιδεατό

µεταφορικό φορτίο το οποίο όταν εφαρµοσθεί στατικά

στον φορέα, προκαλεί απόκριση ίση µε την µέγιστη

δυναµική απόκριση umax που προκαλεί ο πραγµατικός

εδαφικός κραδασµός.

Η µέγιστη αυτή τιµή προκύπτει άµεσα από το διαθέσιµο

φάσµα ψευδο-επιτάχυνσης ως umax = Sd = (PSa /ωο2). Το

στατικό φασµατικό φορτίο ισούται µε:

fs = k*Sd = m* ωο2 * Sd = m* PSa = (W/g)* PSa = ε*W

όπου W = το βάρος της κατασκευής, g = η επιτάχυνση της

βαρύτητας και ε = PSa/g = σεισµικός συντελεστής. Ο

συντελεστής αυτός ουσιαστικά ταυτίζεται µε το φάσµα

ψευδο-επιταχύνσεων εκφρασµένου ως ποσοστό του g.

Τέµνουσα βάσης: Vb = fs = ε*W

Ροπή βάσης: Mb = h* fs = h* ε*W

Ροπή υποστυλώµατος:Μc = * Sd = *2h

EIν2

h

EIν2

ο

a

ω

PS

όπου ν = 3 για µονόπακτα υποστυλώµατα και ν = 6 και για

αµφίπακτα.

Τα ζητούµενα εντατικά µεγέθη σχεδιασµού υπολογίζονται

µε την µέθοδο της φασµατικής ανάλυσης, ως:

Αντισεισµικός αρµός

ug(t)

=

fg(t) = -m ag(t)

fs = -m PSa

Vb = fs

(!)

ug(t)

=

fg(t) = -m ag(t)

fg,max = -m Pga

Vb ≠≠≠≠ fg,max

(X)

Υπολογισµός τέµνουσας βάσης µε δυναµική φασµατική

ανάλυση (άνω – ακριβής) και µε στατική ανάλυση (κάτω -

λανθασµένη).

Παράδειγµα 4.1

Ο υδατόπυργος του παραδείγµατος 2.3, υπόκειται στη

δράση της οριζόντιας συνιστώσας Splb1-L (Σεπόλια, 1999)

για την οποία δίνεται η τιµή της µέγιστης εδαφικής

επιτάχυνσης Pga = 320 cm/s2 καθώς και δύο τιµές του

φάσµατος ψευδο-επιτάχυνσης PSa(ξ=5%, Τ=0.3) = 935

cm/s2 και PSa(ξ=5%, Τ=1.0) = 153 cm/s2. Θεωρώντας ξ =

5%, να υπολογισθούν οι τέµνουσες βάσης που προκύπτουν

από την φασµατική δυναµική ανάλυση όταν ο

υδατόπυργος είναι (α) γεµάτος µε νερό και (β) άδειος από

νερό. Ποια η διαφορά αν η διέγερση θεωρηθεί εξ’ αρχής

στατική;

Επίλυση:

Από προηγούµενες αναλύσεις του υδατόπυργου

προκύπτουν τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

(α) Όταν είναι γεµάτος, η ταλαντούµενη µάζα είναι mtot =

55 tn και η ιδιοπερίοδος είναι To = 0.989 s ≈≈≈≈ 1.0 s. Οπότε,

σύµφωνα µε την σχέση (4.6α), η τέµνουσα βάσης που

προκύπτει από την φασµατική ανάλυση είναι:

Vb = fs = mtot*PSa(5%,1.0s) = 55*1.53 = 84.15 kN

Tο, µεταβαλλόµενο µε τον χρόνο, µεταφορικό σεισµικό

φορτίο είναι ίσο µε (σχέση 2.15) fg(t) = -mag(t) και

παρουσιάζει µέγιστο όταν ag(t) = Pga. Η θεώρησή του

φορτίου ως στατικού µε τιµή ίση µε την µέγιστη fg,max,

οδηγεί σε τέµνουσα βάσης:

Vb,st = fg,max = mtot*Pga = 55*3.2 = 176 kN

Η σύγκριση των δύο αποτελεσµάτων φανερώνει ότι εδώ ο

συντελεστής δυναµικής ενίσχυσης είναι: D = = 0.48st,b

b

V

V

(β) Όταν η δεξαµενή είναι άδεια, η ταλαντούµενη µάζα

είναι mb = 5 tn και η ιδιοπερίοδος είναι To = 0.298 s ≈≈≈≈ 0.3 s.

H τέµνουσα βάσης που προκύπτει από την φασµατική

ανάλυση είναι:

Vb = fs = mb*PSa(5%,0.3s) = 5*9.35 = 46.75 kN

H αντίστοιχη τέµνουσα βάσης που προκύπτει από την

στατική ανάλυση είναι:

Vb,st = fg,max = mb*Pga = 5*3.2 = 16 kN

Η σύγκριση των δύο αποτελεσµάτων φανερώνει ότι, στην

περίπτωση αυτή, ο συντελεστής δυναµικής ενίσχυσης

είναι:

D = = 2.92st,b

b

V

V

ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ (ΕΑΚ, 2003)

Σε κάθε περίπτωση: Φd(T)/Aγ1 ≥ 0.25

I II III

∆ιορθωτικός συντελεστής απόσβεσης

Τα φάσµατα σχεδιασµού που προκύπτουν από την

στατιστική επεξεργασία των ελαστικών φασµάτων

απόκρισης, υποθέτουν ελαστική ταλάντωση του φορέα

και, συνεπώς, είναι κατάλληλα για έναν συντηρητικό

ελαστικό σχεδιασµό, ο οποίος (θεωρητικά) δεν επιτρέπει

την εµφάνιση έστω και µικρής βλάβης.

Λαµβανοµένης υπόψη της σπανιότητας εµφάνισης του

σεισµού σχεδιασµού, αυτή η απαίτηση οδηγεί συχνά σε

οικονοµικά επαχθείς λύσεις καθώς δεν εκµεταλλεύεται τα

µεγάλα περιθώρια ανελαστικής παραµόρφωσης των µελών

του υπερστατικού φέροντος οργανισµού πριν την αστοχία

τους.

Για τον λόγο αυτό, όλοι τα σύγχρονα κανονιστικά πλαίσια

επιτρέπουν την ελεγχόµενη και σταδιακή εµφάνιση

πλαστικών αρθρώσεων, µε την προϋπόθεση τήρησης

κατασκευαστικών διατάξεων ώστε να εξασφαλισθεί η

απαιτούµενη πλαστιµότητα.

Στα πλαίσια του ΕΑΚ, η παραπάνω φιλοσοφία σχεδιασµού

επιτυγχάνεται µέσω της εφαρµογής του συµβατικού

ελαστικού σχεδιασµού σε συνδυασµό µε την χρήση

εσκεµµένα µειωµένων τιµών του φάσµατος σχεδιασµού. Η

µείωση αυτή γίνεται διαίρεση του συµβατικού φάσµατος

µε έναν συντελεστή συµπεριφοράς q (ενιαίο για όλες τις

ιδιοπεριόδους).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΤΕΣ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ∆ΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (2-ΒΕ)

Mονοβάθµιος ταλαντωτής συγκεντρωµένη µάζα,

απόσβεση, ακαµψία και διέγερση η προκύπτουσα

κίνηση να δύναται να περιγραφεί από µία και µόνο

µεταβλητή.

Μόνον σπάνιες περιπτώσεις κατασκευών καλύπτουν αυτή

την προϋπόθεση.

Οι µάζες των ορόφων θεωρούνται συγκεντρωµένες στο

µέσον των αντίστοιχων ζυγωµάτων και υπόκεινται σε

ανεξάρτητες µεταφορικές δυναµικές διεγέρσεις.

Αντίθετα, η πλειονότητα των κατασκευών παρουσιάζουν

χωρικά κατανεµηµένα φορτία βαρύτητας (και άρα µάζες)

και στοιχεία δυσκαµψίας, η διακριτοποίηση των οποίων

καταλήγει σε συστήµατα πολλών βαθµών ελευθερίας

κίνησης.

Το απλούστερο πολυβάθµιο σύστηµα είναι αυτό µε δύο

βαθµούς ελευθερίας

Ένα τέτοιο σύστηµα, για παράδειγµα, αποτελεί ένα

διώροφο επίπεδο διατµητικό πλαίσιο µε άκαµπτα

ζυγώµατα και αβαρή υποστυλώµατα.

• Άκαµπτα ζυγώµατα

• Αξονική ατένεια αβαρών υποστυλωµάτων

• Μηδενική απόσβεση

m1

Ι∞∞∞∞

u2(t)

Ι∞∞∞∞

m2

u1(t)

k1

k2

f2(t)

f1(t)

∆ιατµητικό πλαίσιο δύο βαθµών ελευθερίας

Για την κατάστρωση των εξισώσεων δυναµικής

ισορροπίας επιχειρούνται τοµές των δύο ζυγωµάτων από

τις οποίες προκύπτουν και τα αντίστοιχα διαγράµµατα

ελευθέρου σώµατος (∆ΕΣ).

fI2f2(t)

fS2bfS2a

fS2bfI1

f1(t)

fS1bfS1a

fS2a

Και fSj = fSja + fSjb = kj*(uj – ui) = η ελαστική δύναµη

επαναφοράς στάθµης j λόγω των στοιχείων σύνδεσης της

στάθµης αυτής µε την αµέσως χαµηλότερη στάθµη.

Όπου fIj = η δύναµη αδράνειας µάζας j = mj * juɺɺ

Από τα ∆ΕΣ των δύο ζυγωµάτων προκύπτουν οι

ακόλουθες διαφορικές εξισώσεις δυναµικής ισορροπίας:

Άρα στην περίπτωση των πολυβάθµιων ταλαντωτών

έχουµε:

Σύστηµα διαφορικών εξισώσεων, όσες και οι βαθµοί

ελευθερίας του ταλαντωτή.

Επιπλέον, οι εξισώσεις του συστήµατος είναι

συζευγµένες

fI2 + fS21 = f2(t) → m2 + k2 (u2-u1) = f2(t)2uɺɺ

fI1 + fS12 + fS10 = f1(t) → m1 + k2 (u1-u2) +k1 u1= f1(t)1uɺɺ

Η µαθηµατική διατύπωση της δυναµικής ισορροπίας

πολυβάθµιων συστηµάτων διευκολύνεται µέσω της

χρήσης µητρώων.

M + K U = F(t)Uɺɺ

5.2 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 2-ΒΕ

Έστω ότι το 2όροφο πλαίσιο ταλαντώνεται ελεύθερα λόγω

επιβεβληµένων αρχικών µετατοπίσεων ή /και ταχυτήτων.

Τότε, η εξίσωση κίνησης σε µητρωική µορφή είναι:

Μ*U’’ + K*U = 0

Αν οι αρχικές συνθήκες είναι κατάλληλες, η ταλάντωση

κάθε ζυγώµατος θα είναι αρµονική, µε κοινή κυκλική

συχνότητα αλλά διαφορετικό εύρος:

1

2

u (t)

u (t)

1

2

φ cos(ωt θ)

φ cos(ωt θ)

− −

1

2

φ

φ

U(t) = = = cos(ωt-θ) =

Φ cos(ωt-θ)

Παραγωγίζοντας δύο φορές ως προς τον χρόνο, το

αντίστοιχο διάνυσµα επιταχύνσεων προκύπτει ως:

(t) = = = -ω2 Φ cos(ωt-θ)Uɺɺ1

2

u (t)

u (t)

ɺɺ

ɺɺ

2

1

2

2

ω φ cos(ωt θ)

ω φ cos(ωt θ)

− − − −

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση ισορροπίας, έχουµε:

M [-ω2 Φ cos(ωt-θ)] + K [Φ cos(ωt-θ)] = [0] →

K - ω2 Μ Φ cos(ωt-θ) = [0]

Με δεδοµένο ότι το διάνυσµα των ευρών µετάθεσης Φ δεν

είναι µηδενικό, τότε για να ισχύει η εξίσωση για κάθε

χρονική στιγµή t, θα πρέπει η ορίζουσα του µητρώου που

περιλαµβάνεται στην αγκύλη να ισούται µε µηδέν

= [0] → = [0] →

ω4 (m1m2) – ω2 (k1+k2)m2 + k2m1 + k1k2 = 0

2Κ ω Μ−2

1 2 1 2

2

2 2 2

k k m k

k k m

+ −ω −

− −ω

Θέτοντας ω2 = λ, σχηµατίζουµε ένα τριώνυµο ως προς λ µε

λύσεις λ1 = ω12 και λ2 = ω2

2. Συνεπώς, σε ένα σύστηµα 2-

ΒΕ υπάρχουν δύο συχνότητες ελεύθερης ταλάντωσης

(ιδιοσυχνότητες). Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση:

K – ωj2 Μ Φj cos(ωjt-θ) = [0] → K – ωj

2 Μ Φj = [0]

Η παραπάνω εξίσωση προσδιορίζει τις ιδιοµορφές Φj ως

σχέσεις αναλογίας µεταξύ των συνιστωσών τους, και όχι µε

συγκεκριµένες αριθµητικές τιµές. Είναι συνήθης η

πρακτική να τίθεται µία συνιστώσα ίση µε την µονάδα και

να προκύπτουν οι υπόλοιπες από τις σχέσεις αναλογίες.

ΑΝΑΠΟΣΒΕΣΤΗ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ν-ΒΕ

Οι εξισώσεις ισορροπίας

του δευτεροβάθµιου

διατµητικού πλαισίου,

εύκολα επεκτείνονται και

για την περίπτωση

συστήµατος µε ν-βαθµούς

ελευθερίας.

Εδώ, µε kj. συµβολίζεται η

συνολική δυσκαµψία των

υποστυλωµάτων, που

συνδέουν την στάθµη j µε

την αµέσως χαµηλότερη.

m1

m2

m3

mν-1

mν

k1

k2

k3

kν-1

kν

u1

u2

u3

uν-1

uν

m1

m2

m3

mν-1

mν

k1

k2

k3

kν-1

kν

u1

u2

u3

uν-1

uν

Από την δυναµική ισορροπία κάθε µιας µάζας χωριστά,

προκύπτει το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων ελεύθερης

ταλάντωσης:

1uɺɺm1 + k2 (u1-u2) +k1 u1= 0

m2 + k3 (u2-u3) + k2 (u2-u1) = 02uɺɺ

m3 + k4 (u3-u4) + k3 (u3-u2) = 03uɺɺ

…..

mν-1 + kν-1 (uν-1-uν) + kν-1 (uν-1-uν-2) = 0ν 1u −ɺɺ

mν + kν (uν-uν-1) = 0νuɺɺ

Το σύστηµα εξισώσεων µπορεί να διατυπωθεί σε

µητρωϊκή µορφή

Μ =

µητρώο µάζας =

1

2

3

1

m 0 0 . 0 0

0 m 0 . 0 0

0 0 m . 0 0

. . . . . .

0 0 0 . m 0

0 0 0 . 0 m

ν−

ν

U(t) = διάνυσµα µετάθεσης =

1

2

3

1

u (t)

u (t)

u (t)

.

u (t)

u (t)

ν−

ν

Κ = µητρώο δυσκαµψίας =

1 2 2

2 2 3 3

3 3 4

1

k k k 0 . 0 0

k k k k . 0 0

0 k k k . 0 0

. . . . . .

0 0 0 . k k k

0 0 0 . k k

ν− ν ν

ν ν

+ − − + − − + + −

−

Στο υπόψη σύστηµα ν-ΒΕ, υπάρχουν ν ιδιοσυχνότητες ωj

που αντιστοιχούν σε ν ιδιοµορφές Φj, για j = 1,2, .., ν.

Το µητρώο Φ που προκύπτει από την παράθεση των ν

ιδιοµορφών Φj, ονοµάζεται ιδιοµορφικό µητρώο και

ισούται µε:

Φ = [Φ1, Φ2, …, Φν] =

11 12 1ν

21 22 2ν

ν1 ν2 νν

φ φ . . φ

φ φ . . φ

. . . . .

. . . . .

φ φ . . φ

ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ Ι∆ΙΟΜΟΡΦΩΝ

Μια από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιοµορφών των

πολυβάθµιων ταλαντωτών είναι η ορθογωνικότητά τους

ως προς τα µητρώα µάζας Μ και δυσκαµψίας Κ.

Η ιδιότητα αυτή εκφράζεται ως ακολούθως:

ΦjT M Φk = 0 και Φj

T Κ Φk = 0, για j ≠≠≠≠ k

Αποτέλεσµα της ορθογωνικότητας είναι το γεγονός ότι

µπορεί να χρησιµοποιηθεί το ιδιοµορφικό µητρώο Φ για

τον µετασχηµατισµό των µητρώων µάζας Μ και

δυσκαµψίας Κ, ώστε να προκύψουν διαγώνια µητρώα

γενικευµένης µάζας Μ* και γενικευµένης δυσκαµψίας Κ*

Μ* = ΦΤ Μ Φ και Κ* = ΦΤ Κ Φ

Μ* =

*

1

*

2

*

3

*

1

*

m 0 0 . 0 0

0 m 0 . 0 0

0 0 m . 0 0

. . . . . .

0 0 0 . m 0

0 0 0 . 0 m

ν−

ν

Κ* =

*

1

*

2

*

3

*

1

*

k 0 0 . 0 0

0 k 0 . 0 0

0 0 k . 0 0

. . . . . .

0 0 0 . k 0

0 0 0 . 0 k

ν−

ν

Η χρησιµότητα του µετασχηµατισµού µετατροπή του

συζευγµένου συστήµατος εξισώσεων σε ένα ασύζευκτο (µε

διαγωνοποιηµένα µητρώα) σύστηµα.

η j-οστή ιδιοσυχνότητα ωj προκύπτει από τα j-οστά

στοιχεία και των διαγώνιων γενικευµένων µητρώων Μ*

και Κ* αντίστοιχα, ως:

*

j

*

j

k

mωj =

Ένα δεύτερο αποτέλεσµα της ορθογωνικότητας των

ιδιοµορφών είναι ότι µπορούν να αποτελέσουν µια

διανυσµατική ορθογωνική βάση για την ανάπτυξη του

διανύσµατος µετάθεσης U(t) του ταλαντωτή.

Όπως ακριβώς σε ένα έγχρωµο εκτυπωτή µπορούµε να

αναπαράγουµε εκατοντάδες αποχρώσεις χρωµάτων µε

κατάλληλο συνδυασµό των 3 βασικών χρωµάτων (κυανό,

µατζέντα, κίτρινο)….

Έτσι και εδώ, µπορούµε να αναπαράγουµε οποιοδήποτε

διάνυσµα µετατόπισης U(t) του πραγµατικού φορές, ως

γραµµικό συνδυασµό των ‘βασικών’ διανυσµάτων Φj

(ιδιοµορφών) µε – χρονικά εξαρτώµενους - συντελεστές

βαρύτητας qj(t)

*

km

U(t) = = Φ Q(t)

ν

j j

j 1

Φ q (t)=

∑

Με γνωστές τις ιδιοµορφές Φj και για δεδοµένο διάνυσµα

µετάθεσης U, οι πολλαπλασιαστές qj µπορούν να

προσδιορισθούν ως :

όπου η ποσότητα αποτελεί τον k-οστό όρο του

διαγώνιου µητρώου γενικευµένης µάζας Μ*

*

km

U(t) = = Φ Q(t)

ν

j j

j 1

Φ q (t)=

∑

qk(t) = =

T

k

T

k k

Φ M U(t)

Φ M Φ

T

k

*

k

Φ M U(t)

m

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για κάθε χρονική στιγµή

t, το διάνυσµα της µετάθεσης U ενός πολυβάθµιου

ταλαντωτή µπορεί να εκφρασθεί ως ένας γραµµικός

συνδυασµός των ιδιοµορφών του µε συντελεστές

βαρύτητας τις γενικευµένες µεταθέσεις qj.

Παράδειγµα 5.3

Να αποδειχθεί η ορθογωνικότητα των ιδιοµορφών του

πλαισίου του παραδείγµατος 5.1. Αν σε κάποια χρονική

στιγµή το διάνυσµα µετάθεσης είναι UΤ = [2,1] , να

υπολογιστούν οι γενικευµένες µεταθέσεις qj, που

αντιστοιχούν σε αυτό.

2m

Ι∞∞∞∞

u2(t)

Ι∞∞∞∞

m

u1(t)

2k

k

Τα µητρώα µάζας Μ, δυσκαµψίας Κ καθώς και οι

ιδιοµορφές Φ, έχουν ήδη υπολογισθεί ως:

Μ = m , K = k και Φ = 2 0

0 1

3 1

1 1

− −

0.5 1

1 1

−

(α) Η ορθογωνικότητα ως προς το µητρώα µάζας και

δυσκαµψίας ισχύει καθώς:

Φ1Τ Μ Φ2 = [0.5, 1] m = m [1,1] = 0

2 0

0 1

1

1

−

1

1

−

οµοίως Φ2Τ Μ Φ1 = … = 0

Φ2Τ Κ Φ1 = [-1, 1] k = k [-4, 2] = 0

3 1

1 1

− −

0.5

1

0.5

1

οµοίως Φ1Τ K Φ2 = … = 0

Οπότε, ω12 = 0.75k/1.5m = k/2m και ω2

2 = 6k/3m = 2k/m .

Οι τιµές αυτές συµπίπτουν µε τα αποτελέσµατα του

παραδείγµατος 5.1

(β) Τα στοιχεία των µητρώων γενικευµένης µάζας και

δυσκαµψίας είναι:

*

1m2 0

0 1

0.5

1

= Φ1Τ Μ Φ1 = [0.5, 1] m = m [1, 1] =

= 1.5 m

0.5

1

*

2m = Φ2Τ Μ Φ2 = ….. = 3m

*

1k3 1

1 1

− −

0.5

1

= Φ1Τ Κ Φ1 = [0.5, 1] k = k [0.5, 0.5]

= 0.75k

0.5

1

*

2k = Φ2Τ K Φ2 = ….. = 6k

(γ) Για τον υπολογισµό των γενικευµένων µεταθέσεων q1

και q2, εφαρµόζουµε την σχέση (5.19). Για k = 1 έχουµε:

Αντίστοιχα, για k = 2, έχουµε:

Φ1Τ Μ U = [0.5, 1] m = m [1, 1] = 3m

2 0

0 1

2

1

2

1

*

1mΑπό προηγουµένως, = 1.5 m, οπότε q1 = 3m/1,5 m = 2.

Φ2Τ Μ U = [-1, 1] m = m [-2, 1] = -3m

2 0

0 1

2

1

2

1

Από προηγουµένως, = 3 m, οπότε q2 = -3m/3 m = -1. *

2m

0,5

1,0

-1,0

1,0

= 2 * + -1 *2,0

1,0

2

1

0.5

1

1

1

−

Τελικά,

U = q1 Φ1 + q2 Φ2 = 2 - =

Η ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ Ι∆ΙΟΜΟΡΦΙΚΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ

Η ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιοµορφών

αποτελεί το όχηµα για την µετάβαση από τις συζευγµένες

εξισώσεις του φυσικού συστήµατος συντεταγµένων σε

ασύζευκτες εξισώσεις στο γενικευµένο σύστηµα

συντεταγµένων

Αν πολλαπλασιάσουµε όλα τα µέλη της εξίσωσης επί ΦΤ

M + K U = [0] Μ Φ + Κ ΦQ(t) = [0]Uɺɺ Q(t)ɺɺ

ΦΤ ΜΦ + ΦΤ ΚΦ Q(t) = [0] Μ* + Κ* Q(t) = [0]Q(t)ɺɺ Q(t)ɺɺ

U(t) = = Φ Q(t)

ν

j j

j 1

Φ q (t)=

∑

Στη γενική περίπτωση ν-βάθµιου ταλαντωτή, εκτελώντας

τους πολλαπλασιασµούς µε τα διαγώνια µητρώα Μ* και

Κ*, καταλήγουµε σε έξισώσεις ισορροπίας ενός

συστήµατος ν ασύζευκτων µονοβάθµιων ταλαντωτών της

µορφής (για j = 1, …, ν):

Το γεγονός ότι έχουµε καταλήξει στην µελέτη

ανεξάρτητων µονοβάθµιων ταλαντωτών, καθιστά δυνατή

την άντληση όλων των αποτελεσµάτων των αντίστοιχων

κεφαλαίων για µονοβάθµιους ταλαντωτές.

*

jm jq (t)ɺɺ*

jk2

jωjq (t)ɺɺ+ qj(t) = 0 + qj(t) = 0

u1(t) = u11(t) + u12(t) =

φ11 q1(t) + φ12 q2(t)

u2(t) = u21(t) + u22(t) =

φ21 q1(t) + φ22 q2(t)m1

m2

k1

k2

u1

u2

m*2

k*2

q2

m*1

k*1

q1

Στην περίπτωση ελεύθερης ταλάντωσης που εξετάζουµε

εδώ, θα πρέπει οι αρχικές συνθήκες, που κατά κανόνα είναι

γνωστές στο φυσικό σύστηµα, να µετασχηµατισθούν σε

αντίστοιχες συνθήκες του γενικευµένου.

Έτσι, οι αρχικές συνθήκες της j-οστής γενικευµένης

εξίσωσης προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες του

φυσικού συστήµατος U(0) και ως:U(0)ɺ

qj(0) = , =

T

j

*

j

Φ M U(0)

mjq (0)ɺ

T

j

*

j

Φ M U(0)

m

ɺ

Έχοντας υπολογίσει τις γενικευµένες µεταθέσεις qj(t), το

διάνυσµα της φυσικής ταλάντωσης U(t) προκύπτει από

την επαλληλία τους σύµφωνα µε την σχέση:

Επειδή η j-οστή γενικευµένη µετάθεση αντιστοιχεί στην

ταλάντωση µονοβάθµιου συστήµατος µε τα

χαρακτηριστικά της j-οστής ιδιοµορφής, η qj(t)

ονοµάζεται και ως η j-οστή ιδιοµορφική συνιστώσα της

φυσικής ταλάντωσης U(t).

U(t) =ν

j j

j 1

Φ q (t)=

∑

Επίλύση:

Από τα αποτελέσµατα του Παραδείγµατος 5.1, έχουµε ω12

= k/2m και ω22 = 2k/m

Παράδειγµα 5.4

Να υπολογιστεί το µητρώο µετάθεσης U(t = Τ1) πλαισίου

του παραδείγµατος 5.1, όταν αυτό εκτελεί ελεύθερη

ταλάντωση. Ο χρόνος Τ1 είναι η πρώτη ιδιοπερίοδος του

συστήµατος.

Οι αρχικές συνθήκες είναι U(0) = 10-3 m, = [0] 6

16

−

U(0)ɺ

Τ1 = 2π/ω1 = π , Τ2 = 2π/ω2 = π8m

k

2m

k

Φ1 = , Φ2 = 0.5

1.0

1

1

−

Οι δύο γενικευµένες εξισώσεις είναι

Ο µετασχηµατισµός των αρχικών συνθηκών σε

γενικευµένες συντεταγµένες δίνει:

2

1ω

1q (t)ɺɺ1q (t)ɺɺ

2

1ω+ q1(t) = 0 + (k/2m) q1(t) = 0

2q (t)ɺɺ 2q (t)ɺɺ2

2ω+ q2(t) = 0 + (2k/m) q2(t) = 0

q1(0) = = = = -6.67 10-3

T

1

*

1

Φ M U(0)

m

36

m [1,1] 1016

1.5m

− −

310 10

1.5

−−

q2(0) = = = = -9.33 10-3T

2

*

2

Φ M U(0)

m

36

m [ 2,1] 1016

3m

− − −

328 10

3

−−

ενώ έχουµε = = 0 1q (0)ɺ

2q (0)ɺ

Η ελεύθερη αναπόσβεστη ταλάντωση µονοβάθµιου

ταλαντωτή µε αρχική µετατόπιση u0 και µηδενική αρχική

ταχύτητα είναι: u(t) = u0 cos(ωt) = u0 cos(2πt/Τ)

Οπότε

q1(t) = -6.67 10-3 cos(2πt/Τ1), q2(t) = -9.33 10-3 cos(2πt/Τ2)

Θέτοντας όπου t = T1 και T1 / Τ2 = 2.0, έχουµε:

q1(T1) = -6.67 10-3 cos(2π) = -6.67 10-3

q2(T1) = -9.33 10-3 cos(4π) = -9.33 10-3

Επιστρέφοντας στις φυσικές συντεταγµένες τελικά έχουµε:

u1(T1) = φ11 q1(T1) + φ12 q2(T1) =

0.5*(-6.67 10-3) + (-1)*( -9.33 10-3) = 6 10-3 m

u2(T1) = φ21 q1(T1) + φ22 q2(T1) =

1*(-6.67 10-3) +1*( -9.33 10-3) = -16 10-3 m

ΚΑΤΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Η µητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας ενός

συστήµατος ν βαθµών ελευθερίας υπό την δράση

εξωτερικού φορτίου F(t) είναι

Ο µετασχηµατισµός σε γενικευµένες συντεταγµένες

προϋποθέτει τον προσδιορισµό των ιδιοσυχνοτήτων και

ιδιοµορφών µε την εφαρµογή των σχέσεων

Uɺɺ UɺΜ + C + K U = F(t)

= [0] και K – ωj2 Μ Φj = [0]

2Κ ω Μ−

Με προσδιορισµένα τα ωj και Φj, προχωρούµε στον

γνωστό µετασχηµατισµό

ΦΤMΦ + ΦΤCΦ + ΦΤKΦ Q = ΦΤ F(t)

Μ* + C* + K* Q = F*(t)

Qɺɺ

QɺɺQɺ

Qɺ

Η µητρωική σχέση που προέκυψε από τον

µετασχηµατισµό, περιλαµβάνει εξισώσεις της µορφής

Οι οποίες, λύνονται στα πλαίσια των µονοβάθµιων

ταλαντωτών

*

jm jqɺɺ*

jc jqɺ*

jk*

jf (t) jqɺɺ*

j

*

j

f (t)

mjf (t)ɶ+ + qj = +2ξjωj +ωj

2qj = =jqɺ

Όταν προσδιορισθούν οι αποκρίσεις qj των γενικευµένων

µονοβάθµιων ταλαντωτών (γνωστές και ως ιδιοµορφικές

συνιστώσες), οι αποκρίσεις στις φυσικές συντεταγµένες

προκύπτει από τον µετασχηµατισµό:

Αξίζει στο σηµείο αυτό να αναφερθεί ότι οι πρώτες

ιδιοµορφές (αυτές που αντιστοιχούν στις µικρότερες

ιδιοσυχνότητες) έχουν ενισχυµένο ρόλο στην διαµόρφωση

της συνολικής απόκρισης του συστήµατος. Γι’ αυτό και η

πρώτη ιδιοσυχνότητα - ιδιοµορφή ονοµάζεται και

κυρίαρχη.

U(t) = = Φ Q(t)

ν

j j

j 1

Φ q (t)=

∑

m1

m2

m3

k1

k2

k3

u1

u2

u3

m*2

k*2

q2

m*1

k*1

q1

m*3

k*3

q3

u3(t) =

u31(t) + u32(t) + u33(t) =

φ31 q1(t) + φ32 q2(t) + φ33 q3(t)

ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ

ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟ Ι∆ΙΟΜΟΡΦΩΝ

ν-όροφο διατµητικό

πλαίσιο σε σεισµικό

κραδασµό µε

εδαφική

µετατόπιση ug(t)

m

ck

ug

=

fg(t) = - m ag(t)m

ck

m u’’(t) + c u’(t) + k u(t) = - m ag(t) = fg(t)

u(t) = = ag(τ) e-ξωο(t-τ) sin[ωd(t-τ)]dτ∫t

0

g dτ ) (τf τ)-h(tdω

1∫t

0

Το διάνυσµα των συνολικών µεταθέσεων Ut(t), προκύπτει

ως συνδυασµός των σχετικών µεταθέσεων U(t) και της

εδαφικής µετάθεσης.

Ut(t) = U(t) +[1]ug(t)

Οι µητρωικές εξισώσεις δυναµικής ισορροπίας είναι:

Uɺɺ UɺΜ + C + K U = - Μ [1] ag(t) = Fg(t)

Αφού πρώτα προσδιορισθούν τα ωj και Φj, προχωρούµε

στον γνωστό µετασχηµατισµό

ΦΤMΦ + ΦΤCΦ + ΦΤKΦ Q = ΦΤ Fg(t)

Μ* + C* + K* Q = F*(t)

Qɺɺ

QɺɺQɺ

Qɺ

Εδώ το διάνυσµα γενικευµένης διέγερσης είναι,

F*(t) = ΦΤ Fg(t) = - ΦΤ Μ [1] ag(t)

Η ‘φυσική’ εδαφική επιτάχυνση ag περιλαµβάνεται στην

διέγερση του j-οστού γενικευµένου µονοβάθµιου

ταλαντωτή που είναι:

Οι γενικευµένες (ιδιοµορφικές) εξισώσεις προκύπτουν ως

Οι συντελεστές Lj ονοµάζονται συντελεστές διέγερσης

*

jm jqɺɺ *

jc jqɺ *

jk *

jf (t) jqɺɺ*

j

*

j

f (t)

mjf (t)ɶ+ + qj = +2ξjωj +ωj

2qj = =jqɺ

= -ag(t) = -Lj ag(t)*

jf (t)ν

k kj

k 1

m φ=

∑

Λόγω της ορθογωνικότητας των ιδιοµορφών, ο j-οστός

όρος του µητρώου γενικευµένης µάζας Μ*, ισούται µε

Οπότε, η εξίσωση ισορροπίας του γενικευµένου

µονοβάθµιου ταλαντωτή προκύπτει:

=*

jmν

2

k kj

k 1

m φ=

∑

jqɺɺ*

j

*

j

f (t)

m+ 2ξjωj + ωj

2qj = = - ag(t) = - Γj ag(t)jqɺ

ν

k kj

k 1

ν2

k kj

k 1

m φ

m φ

=

=

∑

∑

Ο συντελεστής Γj εκφράζει το ποσοστό της ‘φυσικής’

σεισµικής διέγερσης, εκφρασµένης σε όρους επιτάχυνσης

ag(t), που συµµετέχει στην διέγερση της j-οστής

ιδιοµορφής.

m1

m2

k1

k2

u1

u2

ag

m*1

k*1

q1

Γ1 ag

m*2

k*2

q2

Γ2 ag

Αυτό σηµαίνει ότι αν η εδαφική κίνηση ag(t)

προσδιορίζεται µέσω του φάσµατος απόκρισης Sd(T) που

αυτή προκαλεί, η µέγιστη µετάθεση της ιδιοµορφικής

συνιστώσας qj θα είναι Γj*Sd(Tj)

Ανάλογες τροποποιήσεις ισχύουν και για τα φάσµατα

ταχυτήτων Sv(T,ξ) και επιταχύνσεων Sa(T,ξ). Έχουµε

δηλαδή:

Sd,j = Γj Sd(Tj,ξj), Sv,j = Γj Sv(Tj,ξj), Sa,j = Γj Sa(Tj,ξj)

όπου Sd,j, Sv,j ,Sa,j είναι αντίστοιχα η µέγιστη µετάθεση,

ταχύτητα και επιτάχυνση της ιδιοµορφικής συνιστώσας qj

Παράδειγµα χρήσης του φάσµατος σχεδιασµού του ΕΑΚ

για τον υπολογισµό µέγιστης ιδιοµορφικής επιτάχυνσης

Οι φασµατικές

αυτές τιµές θα

πρέπει εκ των

υστέρων να

πολλαπλασιασ

θούν µε τους

συντελεστές

Γj.

Το πρόβληµα του συνδυασµού των φασµατικών

ιδιοµορφικών συνιστωσών.

Η ταλάντωση του j-οστού βαθµού ελευθερίας του

πολυβάθµιου συστήµατος είναι

όπου ujk(t) είναι η ‘συνεισφορά’ της k-οστής ιδιοµορφικής

συνιστώσας qk(t) στην φυσική ταλάντωση του j-οστού

βαθµού ελευθερίας uj(t).

Συνεπώς, η ταλάντωση του j-οστού βαθµού ελευθερίας

(π.χ. του j-οστού ορόφου επίπεδου διατµητικού πλαισίου),

προκύπτει ως το άθροισµα των ταυτόχρονων

ιδιοµορφικών συνεισφορών (ίδια χρονική στιγµή t).

uj(t) = =

ν

jk k

k 1

φ q (t)=

∑ν

jk

k 1

u (t)=

∑

Το µόνο που διαθέτουµε είναι οι µέγιστες τιµές των

‘συνεισφορών’ ujk(t), οι οποίες προέρχονται από τις

µέγιστες (φασµατικές) τιµές των qk(t)

Αυτά τα µέγιστα δεν συµβαίνουν ταυτόχρονα, οπότε δεν

πρέπει να προστεθούν για να προκύψει η µέγιστη τιµή της

uj(t) !!!

Τι γίνεται όµως, αν είναι γνωστή µόνο η µέγιστη τιµή του

qk = Γk Sd(Tk,ξk) και όχι ολόκληρη η χρονο-ιστορία του

qk(t) ; Όταν, δηλαδή, δεν έχουµε τις τιµές των

‘συνεισφορών’ την κάθε χρονική στιγµή;

= φj,k Γk Sd(Tk,ξk)jku

m1

m2

m3

k1

k2

k3

u1

u2

u3

m*2

k*2

q2

m*1

k*1

q1

m*3

k*3

q3

Στο σχήµα που ακολουθεί, παρουσιάζεται η

χρονοιστορία απόκρισης u3(t) του άνω ζυγώµατος ενός

τριώροφου διατµητικού πλαισίου το οποίο υπόκειται σε

σεισµική διέγερση, καθώς και οι οι τρεις ιδιοµορφικές

συνιστώσες (‘συνεισφορές’) u31(t), u32(t) και u33(t) που το

συνθέτουν.

Οπότε, για κάθε χρονική στιγµή t ισχύει:

u3(t) = u31(t) + u32(t) + u33(t)

Αν επιχειρήσουµε να εκτιµήσουµε την µέγιστη συνολική

µετάθεση από τις µέγιστες τιµές των συνιστωσών, τότε

τιµή που προκύπτει από το απλό άθροισµα είναι αρκετά

µεγαλύτερη της πραγµατικής

Ενας ορθολογικότερος τρόπος συνδυασµού είναι η χρήση

της τετραγωνικής ρίζας του αθροίσµατος των τετραγώνων

(γνωστής ως µέθοδος επαλληλίας SRSS). Σύµφωνα µε

αυτόν, η εκτιµώµενη µέγιστη τιµή της µετάθεσης uj(t)

είναι:

( + + ) = (4.91 + 1.56 + 0.10) = 6.57 > 5.1631u32u 33u

ju = =

ν2

jk

k 1

u=

∑ 2 2 2

j1 j2 jνu u ... u+ + +

Πράγµατι, η εκτίµηση της που προκύπτει από την

επαλληλία SRSS είναι πολύ κοντά στην πραγµατική3u

= = 5.15 ≈≈≈≈ 5.162 2 2

31 32 33u u u+ + 2 2 24.91 1.56 0.10+ +

ug(t)

=

fg(t) = -m ag(t)

fs = -m PSa

Vb = fs

(!)

ug(t)

=

fg(t) = -m ag(t)

fg,max = -m Pga

Vb ≠≠≠≠ fg,max

(X)

fs = k*Sd = m* ωο2 * Sd = m* PSa = (W/g)* PSa = ε*W

Τέµνουσα βάσης: Vb = fs = ε*W

Ροπή βάσης: Mb = h* fs = h* ε*W

Ροπή υποστυλώµατος:Μc = * Sd = *2h

EIν

2h

EIν2

ο

a

ω

PS

όπου ν = 3 για µονόπακτα υποστυλώµατα και ν = 6 και για

αµφίπακτα.

Άσκηση Πράξης 1

Το πλαίσιο του σχήµατος φέρει άκαµπτο ζύγωµα & υποστυλώµατα µε κοινή τετραγωνική διατοµή (axa cm). Στα κατακόρυφα φορτία περιλαµβάνεται και το ίδιο

βάρος του ζυγώµατος.

Εάν εφαρµοσθεί στατική οριζόντια δύναµη Fst = 185.6 kN, προκαλεί µετατόπιση ζυγώµατος ust = 2 cm.

Θεωρώντας ότι ο φορέας αποτελεί ταλαντωτή ενός

βαθµού ελευθερίας, να υπολογισθούν

(i) η δυσκαµψία του ταλαντωτή k, (ii) η διάσταση διατοµής a και(iii) η µάζα του ταλαντωτή m λαµβάνοντας υπόψη την

επίδραση και του βάρους των στύλων.

∆ίνονται: Ε = 21*105 N/cm2, γ = 25kN/m3, g = 9.81m/sec2

(α) Μετατροπή µονάδων στα δεδοµένα (από cm,N m, kN)

E = 21*105 N/cm2 , αλλά 1N = 10-3 kN και 1cm = 10-2 mΕποµένως

Ε = 21*105 (10-3 kN)/(10-2 m)2 = 21*105 (10-3 * 104) kN/m2 = 21*106 kN/m2

Επιπλεόν, ust = 2 cm = 0.02 m

(β) ∆υσκαµψία ταλαντωτή k (kN/m)

Από οριζόντια στατική ισορροπία ζυγώµατος Fst = k·ust

k = Fst / ust = 185.6/0.02= 9280 kN/m

(γ) ∆ιάσταση διατοµής a

∆υσκαµψία φορέα k = δυσκαµψία µονόπακτου στύλου kAB

+ δυσκαµψία αµφίπακτου στύλου kΓ∆

k = 3·E·I/33 + 12·E·I/53 = E·I·(3/33+12/53) = 0.207·E·I = (από προηγουµένως) 9280

E·I = 44830.92 Ι = 44830.92/21·106 = 2.13·10-3 m4

Για τετραγωνική διατοµή I = a4/12 = 2.13·10-3 m4 a= 0.40 m = 40 cm

(δ) Μάζα m

m = (συνολικό βάρος)/g = W/g

Από κατακόρυφα φορτία ζυγώµατος

Wb = (5·10 + 40) = 90 kN

Από βάρος στύλων (προσοχή µόνο το µισό) Wst = ½·γ·V = ½·25·[0.42·(3+5)] = 16 kΝ

Συνολικά W = 90 + 16 = 106 kN

m = 106/9.81 = 10.8 tn

Άσκηση Πράξης 2

Υδατόπυργος ύψους h = 10m,

χωρητικότητας V = 50 m3 στηρίζεται σε ένα

υποστύλωµα κυκλικής διατοµής µε

διάµετρο D.

h

V

(Ερώτηµα α)

Ο υδατόπυργος πληρώνεται µε νερό και του επιβάλλεται

αρχική µετατόπιση u(0) = 5cm υπό τη δράση στατικής

οριζόντιας δύναµης Fst.

Κατόπιν αφήνεται να εκτελέσει ελεύθερη ταλάντωση, και

γίνονται µετρήσεις, ώστε να προσδιορισθούν τα: ξ, ωd, Td,

ω0, T0.

Άσκηση Πράξης 3a

Water Tower - Free Vibration

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4

t(s)

u(c

m)

ω0 = = = 6.355 rad/s,

και συνεπώς,

T0 = Td = 0.989 s

2

d

ξ-1

ω20.15-1

283.6

2ξ-1

Συγκρίνοντας το εύρος 2 διαδοχικών κύκλων ταλάντωσης,

βρίσκουµε µε βάση την σχέση λογαριθµικής µείωσης

ln(5/2) = 2πξ ξ = ln(2.5)/2π = 0.146 ξ = 15%

Τέλος, υπολογίζουµε τα ω0 και T0:

Οι µετρήσεις αφορούν στο σύστηµα µε απόσβεση. Από το

διάγραµµα, ο χρόνος ολοκλήρωσης για µια πλήρη

ταλάντωση εκτιµάται ως: Td = 1.0 s. Οπότε ωd = (2π)/Td =

6.283 rad/s.

Απάντηση (α):

(Ερώτηµα β)

Υποθέτοντας ότι η ταλαντούµενη µάζα σκυροδέµατος mb

αντιστοιχεί στο 10% της µάζας του νερού mw, να

υπολογισθούν:

(i) Η στατική δύναµη fst, που απαιτήθηκε για την επιβολή

της αρχικής µετατόπισης u(0) = 5cm.

(ii) Η διάµετρος D του κυκλικού υποστυλώµατος.

Σηµείωση:

Η µεταφορική δυσκαµψία προβόλου = µονοπάκτου.

Ροπή αδράνειας κυκλικής διατοµής I = π*D4/64.

Να ληφθούν g = 10 m/s2 & Ε = 2.5*107 kNm2.

Υπολογισµός δυσκαµψίας:

ω0 = 6.355 = k = 55*(6.355)2 =

2221.22 kN/m

m/k 55/k

Υπολογισµός φορτίου

fst = k*ust = (2221.22)*(0.05) = 111.06 kN

Υπολογισµός διατοµής στύλου: k = (3EI/h3) = 2221.22

I = = = 0.0296 = D = 0.88 mE*3

h*k 3

7

3

10*5.2*3

10*22.2221

64

Dπ 4

Ερώτηµα (β):

Υπολογισµός µάζας:

Ειδικό βάρος νερού ρ = 10 kN/m3 βάρος και µάζα νερού

είναι: Bw = V*(10 kN/m3) = 500 kN mw = Bw/g = 50 tn

Συνολική µάζα mtot =mb+mw= 10%mw+mw = 55 tn

Άσκηση Πράξης 3b

Η δεξαµενή του σχήµατος στηρίζεται σε αβαρές κυκλικόυποστύλωµα ύψους h = 30m, διατοµής δακτυλίου εξωτερικήςδιαµέτρου dα = 4.15 m και πάχους s. Το συνολικό βάρος τηςδεξαµενής είναι W = 15·103 kN, ο συντελεστής απόσβεσης c = 485 kN·sec/m και το µέτρο ελαστικότητας του υλικού τουυποστυλώµατος είναι E = 21·106 kN/m2.

(α) Στην δεξαµενή επιβάλλεται οριζόντια στατική δύναµηFst = 63.13 kN η οποία προκαλεί στατική µετακίνηση ust= 4·10-3 m. Να υπολογισθεί το πάχος s της διατοµής.

(β) Κατόπιν ο φορέας αφήνεται να ταλαντωθεί ελεύθεραµε αρχική µετατόπιση u0 = 4·10-3 m και µηδενική αρχικήταχύτητα. Να υπολογισθούν η µετακίνηση και η ταχύτητατου φορέα µετά παρέλευση ενός δευτερολέπτου.

Άσκηση Πράξης 4

Αµφίπακτο πλαίσιο µε τελείως άκαµπτο ζύγωµα, φέρει αβαρήυποστυλώµατα κοινής τετραγωνικής διατοµής (40/40 cm). Τασυνολικά φορτία του φορέα δίνονται στο σχήµα, ενώ το ποσοστόκρίσιµης απόσβεσης είναι ξ = 5% και το µέτρο ελαστικότητας Ε = 2.1·107 kN/m2.

(α) Στο ζύγωµα εγκαθίσταται µηχάνηµα η λειτουργία τουοποίου επιβάλει οριζόντιο δυναµικό φορτίο P(t) = Po·sin(30·t). (α.1) Θεωρώντας µηδενικές αρχικές συνθήκες, ναυπολογισθεί η µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή του Po (σε kN) έτσι ώστε η ταχύτητα της παραµένουσας ταλάντωσης τουφορέα να µην υπερβεί την τιµή των 10 cm/sec.

(α.2) Λαµβάνοντας αυτή την οριακή τιµή για το Po, ναυπολογιστεί η µέγιστη ροπή υποστυλώµατος.

• Συνεχεια στο επόµενο

(α.3) Να σχολιάσετε τις διαφοροποιήσεις στουςυπολογισµούς του ερωτήµατος (α.1), αν αγνοηθεί ηαπόσβεση.

Άσκηση Πράξης 5 (συνέχεια ΑΠ-3b)

∆εδοµένα εκφώνησης: h = 30m, dα = 4.15 m, W = 15·103 kN, c = 485 kN·sec/m, E = 21·106 kN/m2

Αποτελέσµατα από ΑΠ-3: k =15782.5 kN/m, m = 1529.052 tn, ωο =3.213 rad/sec, ξ=4.94%.

(γ) Σε κατάσταση ηρεµίας, το σύστηµα υπόκειται σε αρµονικήεδαφική επιτάχυνση = Pga·sin(ωg·t). Αν η µέγιστη εδαφική επιτάχυνση είναι Pga = 0.24·g, ναυπολογισθεί η συχνότητα του εδαφικού κραδασµού ωg µεδεδοµένο ότι η µόνιµη (παραµένουσα) ταλάντωση της δεξαµενήςπαρουσιάζει µέγιστη µετατόπιση umax = 10 cm.

Παράδειγµα 2.5 (∆.Κ.)

Ο υδατόπυργος του παραδείγµατος 2.3 υπόκειται σε δράση

τριγωνικού πλήγµατος µε αρχική µέγιστη τιµή f0 = 10 kN

και διάρκεια t1 = 0.2 s.

Θεωρώντας ξ = 0, να υπολογισθούν η µέγιστη µετατόπιση

όταν ο υδατόπυργος είναι (α) γεµάτος µε νερό και (β)

άδειος.

Να επαναληφθούν οι υπολογισµοί για ηµιτονοειδές

πλήγµα.

Λύση

Σε όλες τις περιπτώσεις, η στατική µετάθεση είναι

(α) Όταν ο υδατόπυργος είναι πλήρης, έχουµε ωο = 6.353

rad/s, Το = 0.989 ≈≈≈≈ 1.0 s, οπότε και t1/To = 0.2 µε ωt1 =

1.271.

(α-1) Στην περίπτωση τριγωνικού πλήγµατος µε t1/To = 0.2

< 0.4, η µέγιστη µετάθεση εµφανίζεται στην δεύτερη φάση

της ελεύθερης ταλάντωσης χωρίς απόσβεση.

Το εύρος της αρµονικής ταλάντωσης προσδιορίζεται από

τις αρχικές συνθήκες της φάσης, u(0.2) και , ως εξής:

Από την θεωρητική παρουσίαση γνωρίζουµε ότι οι αρχικές

συνθήκες της 2ης φάσης είναι:

Για ωt1 = 1.271, προκύπτουν οι τιµές

(α-2) Στην περίπτωση ηµιτονοειδούς πλήγµατος, µε

δεδοµένο ότι t1/To = 0.2 < 0.5, η µέγιστη τιµή θα

εµφανιστεί κατά τη διάρκεια της δεύτερης φάσης.

Σύµφωνα µε την θεωρία, θέτοντας t2 = t - t1, η λύση της

2ης φάσης (για t > t1) είναι

Θέτοντας β = 0.5/0.2 = 2.5, έχουµε:

Με µέγιστο:

(β) Οταν ο υδατόπυργος είναι άδειος, έχουµε ωο = 21.08

rad/s , Το = 0.298 ≈≈≈≈ 0.3 s, και t1/To = 0.67 µε ωt1 = 4.216.

(β-1) Στην περίπτωση τριγωνικού πλήγµατος µε t1/To =

0.67 > 0.4, η µέγιστη µετάθεση εµφανίζεται στην 1η φάση

της καταναγκασµένης ταλάντωσης, µε εξίσωση κίνησης:

Για την περίπτωση που εξετάζουµε, η παράγωγος

µηδενίζεται όταν t = 0.11 s. Η προκύπτουσα µέγιστη τιµή

είναι:

(β-2) Στην περίπτωση ηµιτονοειδούς πλήγµατος, µε t1/To =

0.67 > 0.5, η µέγιστη τιµή θα εµφανιστεί κατά τη διάρκεια

της 1ης φάσης, µε εξίσωση κίνησης:

Με µέγιστο την χρονική στιγµή :

Άσκηση Πράξης 7

Σε κατάσταση ηρεµίας, µονοβάθµιος ταλαντωτής χωρίς απόσβεσηυπόκειται σε κρουστική ορθογωνική ώθηση. Να υπολογισθεί ηµετατόπιση κατά τη διάρκεια της 1ης φάσης, µε την εφαρµογή τουολοκληρώµατος του Duhamel.

Άσκηση Πράξης 8

Sv(T) = 0.382*T για 0 ≤ Τ ≤ 0.5 sec Sv(T) = 0.241*T1/3 για Τ > 0.5 sec

Το πλαίσιο του σχήµατος έχειτελείως άκαµπτο ζύγωµα ενώ οιστύλοι του είναι αβαρείς καιέχουν κοινή τετραγωνικήδιατοµή axa.Ο φορέας υπόκειται σε σεισµικήδράση µε φάσµα σχεδιασµούταχυτήτων (m/sec):

(α) Να υπολογίσετε τις φασµατικές ταχύτητες για τις περιόδους Τ= 0.2, 0.5, 1.0 και 2.0 sec και να σχεδιάσετε το φάσµα ταχυτήτωνSv για 0 ≤ Τ ≤ 2.0 sec(β) Να επαναλάβετε τους παραπάνω υπολογισµούς για τιςφασµατικές επιταχύνσεις και να σχεδιάσετε το φάσµαεπιταχύνσεων Sa.(γ) Να επαναλάβετε τους παραπάνω υπολογισµούς για τιςφασµατικές µετατοπίσεις και να σχεδιάσετε το φάσµαµετατοπίσεων Sd.

(δ) Να υπολογισθεί η οικονοµικότερη διάσταση a, ώστε η µέγιστηµετάθεση να µην υπερβαίνει τα 3 mm.(ε) Για την διατοµή που επιλέχτηκε, να υπολογιστούν οι σεισµικέςτέµνουσες και ροπές των στύλων.(στ) Να υπολογιστεί µια νέα τιµή της ελατηριακής σταθεράς k0

ώστε οι προκύπτουσες τέµνουσες να µειωθούν στα 2/3 τηςαρχικής τους τιµής.

∆ίνονται:Ε = 2.8·106 kN/m2, g = 9.81m/sec2, P = 50 kN, q = 5 kN/m, k0

= 250 kN/m

Άσκηση Πράξης 10

Να υπολογισθούν οι ιδιοπερίοδοι Τj και να σχεδιασθούν

ιδιοµορφές Φj του διώροφου διατµητικού πλαισίου

αµελητέας απόσβεσης (ξ = 0). Τα υποστυλώµατα

θεωρούνται αβαρή και τα ύψη των ορόφων είναι ίδια (h).

2m

Ι∞∞∞∞

u2(t)

Ι∞∞∞∞

m

u1(t)

2k

k

Επίλυση:

Η δυσκαµψία των υποστυλωµάτων ορόφου είναι k =

2*12EI/h3 = 24EI/h3, ενώ των υποστυλωµάτων ισογείου, 2

k = 2*12E*2I/h3 = 48EI/h3. Οι εξισώσεις δυναµικής

ισορροπίας προκύπτουν ως:

Οι ιδιοσυχνότητες υπολογίζονται από την σχέση

= 0 = 0

2ω4 m2 – 5ω2 km + 2k2 = 0

2Κ ω Μ−2

2

3k 2 m k

k k m

− ω −

− −ω

Οι λύσεις του τριωνύµου είναι ω12 = k/2m και ω2

2 = 2k/m,

µε αντίστοιχες ιδιοπεριόδους τις

Τ1 = 2π/ω1 = π , Τ2 = 2π/ω2 = π8m

k

2m

k

Οι ιδιοµορφές Φ1 = και Φ2 = , υπολογίζονται

ως:

11

21

φ

φ

12

22

φ

φ

ω12 = k/2m = 2φ11 = φ21

2k k

k k / 2

− −

11

21

φ

φ

0

0

ω22 = 2k/m = φ12 = -φ22

0

0

12

22

φ

φ

k k

k k

− − − −

Θέτοντας αυθαίρετα φ21 = φ22 = 1.0, έχουµε:

Φ1 = , Φ2 = , και Φ =0.5

1.0

1

1

−

0.5 1

1 1

−

Άσκηση Πράξης 11

Άσκηση Πράξης 12

Άσκηση Πράξης 13

Άσκηση Πράξης 14