Το μαθηματικό τυπολόγιο του προγραμματιστή

Το μαθηματικό τυπολόγιο του προγραμματιστή 1

ΤΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΤΟΥΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΗ

Copyright (c) 2005 Panagiotis Kyriakakis, Dimitris Papageorgiou. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License".

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1 Αναλυτική Γεωμετρία......................................................................................................31.1 Βασικά.....................................................................................................................3

1.1.1 Εξίσωση ευθείας.................................................................................................31.1.2 Απόσταση σημείου από ευθεία.............................................................................31.1.3 Απόσταση δύο σημείων (ή μήκος ευθυγράμμου τμήματος)....................................41.1.4 Το μέσο ευθυγράμμου τμήματος.........................................................................41.1.5 Εξίσωση κύκλου.................................................................................................41.1.6 Περιέχεται σημείο σε κύκλο;................................................................................41.1.7 Είναι σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου;...................................................41.1.8 Ιδιότητες τριγώνου.............................................................................................5

1.2 Διανύσματα .............................................................................................................51.2.1 Ιδιότητες...........................................................................................................61.2.2 Εσωτερικό γινόμενο............................................................................................61.2.3 Εξωτερικό γινόμενο............................................................................................7

1.3 3D...........................................................................................................................71.3.1 Αλλαγή κλίμακας.................................................................................................71.3.2 Μετατόπιση........................................................................................................71.3.3 Στροφή..............................................................................................................81.3.4 Προβολή............................................................................................................8

1.4 Εμβαδά – Όγκοι .......................................................................................................91.4.1 Ορθογώνιο με μήκος b και πλάτος a.....................................................................91.4.2 Παραλληλόγραμμο με βάση b και ύψος h.............................................................91.4.3 Τρίγωνο με βάση b και ύψος h...........................................................................101.4.4 Τραπεζοειδές με παράλληλες πλευρές a και b και ύψος h.....................................101.4.5 Κύκλος με ακτίνα r............................................................................................101.4.6 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με μήκος a πλάτος c και ύψος b.............................101.4.7 Παραλληλεπίπεδο με διατομή Α και ύψος h.........................................................101.4.8 Σφαίρα με ακτίνα r............................................................................................101.4.9 Ορθός κυκλικός κύλινδρος με ακτίνα r και ύψος h...............................................101.4.10 Ορθός κυκλικός κώνος με ακτίνα r και ύψος h...................................................101.4.11 Πυραμίδα με βάση A και ύψος h.......................................................................11

2 Τριγωνομετρία..............................................................................................................122.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί..........................................................................................122.2 Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών...........................................................................122.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις αθροίσματος και διαφοράς..........................................132.4 Μετατροπές γωνιών................................................................................................13

2.4.1 Μοίρες – rad ....................................................................................................132.4.2 Rad – Μοίρες....................................................................................................132.4.3 O αριθμός π.....................................................................................................13

3 Λογαριθμικές συναρτήσεις.............................................................................................14


3.1 Πράξεις με λογαρίθμους..........................................................................................143.2 Αλλαγή βάσης λογαρίθμων......................................................................................143.3 Ο αριθμός e............................................................................................................14

4 Άλγεβρα.......................................................................................................................154.1 Ταυτότητες............................................................................................................15

4.1.1 Διώνυμο του Newton........................................................................................154.2 Εξισώσεις...............................................................................................................15

4.2.1 Εξίσωση δευτέρου βαθμού................................................................................164.3 Ανισότητες.............................................................................................................164.4 Πίνακες..................................................................................................................16

4.4.1 Μοναδιαίος πίνακας...........................................................................................164.4.2 Ανάστροφος πίνακας.........................................................................................174.4.3 Πράξεις πινάκων...............................................................................................174.4.4 Πρακτικά βοηθήματα........................................................................................18

5 Στατιστική και πιθανότητες............................................................................................195.1 Συνδυαστική...........................................................................................................19

5.1.1 Συνδυασμοί......................................................................................................195.1.2 Διατάξεις..........................................................................................................205.1.3 Επαναληπτικές διατάξεις....................................................................................20

5.2 Στατιστική .............................................................................................................205.2.1 Αριθμητική μέση τιμή ή μέσος όρος...................................................................215.2.2 Συχνότητα επανάληψης.....................................................................................215.2.3 Απόκλιση μιας τιμής xi από το μέσο όρο.............................................................215.2.4 Ιδιότητα της απόκλισης.....................................................................................215.2.5 Μέση απόκλιση ................................................................................................215.2.6 Μέσο σφάλμα ή τυπική απόκλιση.......................................................................225.2.7 Σφάλμα του μέσου όρου ..................................................................................225.2.8 Σχετικό σφάλμα r..............................................................................................22

5.3 Παραδείγματα.........................................................................................................226 Οικονομικά...................................................................................................................23

6.1 Απο-Φορολόγηση....................................................................................................236.2 Τόκοι – Δάνεια........................................................................................................23

6.2.1 Γενικός Τύπος Ανατοκισμού...............................................................................236.2.2 Αποπληρωμή με σταθερές καταθέσεις................................................................236.2.3 Αποπληρωμή εφ’ άπαξ......................................................................................236.2.4 Γενικός τύπος τοκοχρεολυσίου...........................................................................24

6.3 Πληρωμή n τιμολογίων με μια επιταγή χωρίς καθυστέρηση (τόκους)..........................247 GNU Free Documentation License..................................................................................25


1 Αναλυτική Γεωμετρία

1.1 Βασικά

1.1.1 Εξίσωση ευθείας

Α. Η γενική μορφή της εξίσωσης της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (x0,y0) είναι:

( ) ( )00 xxyy −=− λ

Β. Η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία έστω p(x1,y1) και q(x2,y2) είναι:

12

2

12

2

yy

yy

xx

xx

−−

=−

−

Γ. Όταν δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους τότε ισχύει:

121 =⋅ λλ

1.1.2 Απόσταση σημείου από ευθεία

Έστω η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία p(x1,y1) και q(x2,y2) και θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση d του σημείου t(xt,yt) από αυτή.

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:

1. Αν y1=y2 τότε:

)( 1 tyyabsd −=

2. Αν x1=x2 τότε:)( 1 txxabsd −=

3. Σε κάθε άλλη περίπτωση:

Αρχικά υπολογίζουμε τα:

12

12

xx

yy

−−

=λ

και

11 xyc λ−=

πάλι έχουμε δύο περιπτώσεις:

3.1 Αν λ>0 και c>0 τότε:

( )( )cxyabsd tt +−= λ

3.2 Διαφορετικά:


( )

−

−=λ

cyxabsd tt

1.1.3 Απόσταση δύο σημείων (ή μήκος ευθυγράμμου τμήματος)

Έστω τα σημεία p(x1,y1) και q(x2,y2) η απόσταση μεταξύ τους είναι:

( ) ( ) 2122

12 yyxxd −+−=

σε τρεις διαστάσεις είναι:

( ) ( ) ( ) 2122

122

12 zzyyxxd −+−+−=

1.1.4 Το μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Έστω τα σημεία p(x1,y1) και q(x2,y2) το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζεται από τα p και q έχει συντεταγμένες:

X:2

12 xx +

Y: 2

12 yy +

1.1.5 Εξίσωση κύκλου

Κύκλος με κέντρο το σημείο (α,b) και ακτίνα r έχει εξίσωση

( ) ( ) 222 rbyax =−+−

1.1.6 Περιέχεται σημείο σε κύκλο;

Έστω το σημείο p(x1,y1) αν είναι μέσα σε κύκλο ακτίνας r και κέντρου (α,b) πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη

( ) ( ) 221

21 rbyax ≤−+−

αν είναι ίσο, τότε είναι πάνω στην περιφέρεια.

1.1.7 Είναι σημείο πάνω στην περιφέρεια του κύκλου;

Έστω το σημείο p(x1,y1) αν είναι πάνω στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας r και κέντρου (α,b) πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη


( ) ( ) 221

21 rbyax =−+−

1.1.8 Ιδιότητες τριγώνου

Έστω ένα τρίγωνο με πλευρές Α,Β,C και αντίστοιχες γωνίες α,b,c τότε ισχύει:

π=++ cba

aBCCBA cos2222 −+=

bACCAB cos2222 −+=

cABBAC cos2222 −+=

c

C

b

B

a

A

sinsinsin==

Για ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει 222 CBA =+

1.2 Διανύσματα

Ας θεωρήσουμε ένα τυχόν διάνυσμα Α και ένα σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων x1,x2,x3 το οποίο έχει ως αρχή την αρχή του Α. Τότε τα μοναδιαία διανύσματα είναι:

)0,0,1(1 =x

, )0,1,0(2 =x

και )1,0,0(3 =x

Το διάνυσμα Α είναι:

332211 xaxaxaA ++= ή ),,( 321 aaaA =


Τέτοιο σύστημα μπορεί να είναι ο τρισδιάστατος χώρος, που συνήθως τον συμβολίζουμε x,y,z ή ο χώρος του χρώματος RGB και τα α1,α2,α3 αντιστοιχούν στις χρωματικές συνιστώσες R,G και B.

Το άθροισμα δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα που έχει προβολές το άθροισμα των προβολών των διανυσμάτων αυτών.

1.2.1 Ιδιότητες

Πολλαπλασιασμός αριθμού c με διάνυσμα ),,( 321 aaaA = είναι ),,( 321 cacacaAc = .

Μηδενικό διάνυσμα )0,0,0(0 = .

Πρόσθεση διανυσμάτων. Αν ),,( 321 aaaA = και ),,( 321 bbbB = τότε

),,(),,(),,( 332211321321 babababbbaaaBA +++≡+=+ .

Μέτρο διανύσματος 23

22

21

2aaaA ++= .

Συνημίτονα κατεύθυνσης. Έστω το διάνυσμα 332211321 ),,( xaxaxaaaaA ++== τότε:

A

ax 11cos =

A

ax 22cos =

A

ax 33cos =

1.2.2 Εσωτερικό γινόμενο

Ως εσωτερικό γινόμενο (ή βαθμωτό) δύο διανυσμάτων ),,( 321 aaaA = και

),,( 321 bbbB = ονομάζεται ο αριθμός BA ⋅ που ορίζεται ως εξής

∑=

=++==⋅3

1332211cos

iiibabababaBABA θ

όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των A και B .

Αν τα A και B δεν είναι μηδενικά αλλά το BA ⋅ είναι μηδέν τότε τα δύο αυτά διανύσματα

είναι κάθετα μεταξύ τους. Επίσης ισχύει ότι 2

AAA =⋅

P1 P

2

P3

P

Q

x1 x

2

x3

O


1.2.3 Εξωτερικό γινόμενο

Ως εξωτερικό γινόμενο (ή διανυσματικό) δύο διανυσμάτων ),,( 321 aaaA = και

),,( 321 bbbB = ονομάζεται το διάνυσμα που ορίζεται ως εξής

321122311312332 )()()(sin xbabaxbabaxbabanBABA +++++==× θ

όπου n

είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των A και B , έτσι ώστε A ,

B και n

να αποτελούν δεξιόστροφο σύστημα.

Το εξωτερικό γινόμενο μπορεί να γραφεί και

321122311312332 )()()( xbabaxbabaxbabaBA +++++=×

ή σε μορφή ορίζουσας

321

321

321

bbb

aaa

xxx

BA

=×

1.3 3D

1.3.1 Αλλαγή κλίμακας

Έστω το διάνυσμα θέσης ενός σημείου

=

z

y

x

r

έστω θέλουμε να το μεγεθύνουμε ή σμικρύνουμε κατά sx,sy,sz τότε το νέο σημείο είναι

⋅⋅⋅

=

z

y

x

sz

sy

sx

r '

1.3.2 Μετατόπιση


=

z

y

x

r

έστω θέλουμε να το μετατοπίσουμε κατά dx,dy,dz τότε το μετατοπισμένο σημείο είναι


+++

=

z

y

x

dz

dy

dx

r '

1.3.3 Στροφή


=

z

y

x

r

και

=′

'

'

'

z

y

x

r

είναι αυτό που προκύπτει μετά την στροφή. Η στροφή δίνεται με τους παρακάτω πίνακες στροφών

−=

θθθθ

cossin0

sincos0

001

Px

−=

θθ

θθ

cos0sin

010

sin0cos

P y

−=

100

0cossin

0sincos

θθθθ

Pz

Έτσι, για μια στροφή γύρω από τον άξονα x , παίρνουμε το r’ ως r’=Pxr. Κατά τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται και οι στροφές γύρω από τους άλλους άξονες.

1.3.4 Προβολή

Θα δούμε την τυπική προβολή με προοπτική σε ένα επίπεδο παράλληλο στο επίπεδο x-y και το κέντρο της προβολή πάνω στον άξονα z.


Q είναι η απόσταση του COP (Center Of Projection - Κέντρο της προβολής) από το (0,0,zp).(dx,dy,dz) είναι ένα κανονικοποιημένο διάνυσμα κατεύθυνσης.

Αν COP είναι το σημείο (xc,yc,zc) τότε

222ccc zyxQ ++=

Q

xd c

x = , Q

yd c

y = και Q

zzd pc

x

−=

Οι συντεταγμένες x και y μετά την προβολή είναι:

1+−

+−=

z

p

z

xp

z

x

p

Qd

zzd

dz

d

dzx

x και

1+−

+−=

z

p

z

yp

z

y

p

Qd

zzd

dz

d

dzy

y

Μπορούμε να περιορίσουμε το COP(xc,yc,zc) να βρίσκετε πάντα πάνω στον άξονα z (xc=0, yc=0) και να χρησιμοποιήσουμε τους παραπάνω τύπους για υπολογίσουμε την προβολή των σημείων.

1.4 Εμβαδά – Όγκοι

1.4.1 Ορθογώνιο με μήκος b και πλάτος a

Εμβαδό = abΠερίμετρος = 2a + 2b

1.4.2 Παραλληλόγραμμο με βάση b και ύψος h

Εμβαδό = bh = ab sinθΠερίμετρος = 2a+2b


1.4.3 Τρίγωνο με βάση b και ύψος h

Εμβαδό = ( )( )( )csbsassabbh −−−== θsin2

1

2

1

όπου ( )cbas ++=2

1

Περίμετρος = a+b+c

1.4.4 Τραπεζοειδές με παράλληλες πλευρές a και b και ύψος h

Εμβαδό= ( )bah +2

1

Περίμετρος=

+++φθ sin

1

sin

1hba

1.4.5 Κύκλος με ακτίνα r

Εμβαδό=πr2

Περίμετρος =2πr

1.4.6 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με μήκος a πλάτος c και ύψος b

Όγκος = abcΕμβαδό επιφάνειας = 2(ab+ac+bc)

1.4.7 Παραλληλεπίπεδο με διατομή Α και ύψος h

Όγκος = Ah = abc sinθ

1.4.8 Σφαίρα με ακτίνα r

Όγκος = 3

3

4r⋅π

Εμβαδό κωνικής επιφάνειας= 4πr2

1.4.9 Ορθός κυκλικός κύλινδρος με ακτίνα r και ύψος h

Όγκος = π r2 hΕμβαδό κυλινδρικής επιφάνειας= 2πrh

1.4.10 Ορθός κυκλικός κώνος με ακτίνα r και ύψος h

Όγκος = hr 23

1π

Εμβαδό κωνικής επιφάνειας= rlhrr ππ =+ 22


1.4.11 Πυραμίδα με βάση A και ύψος h

Όγκος = hΑ3

1


2 Τριγωνομετρία

2.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί

Για μια γωνία Α σε οποιοδήποτε τεταρτημόριο οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι:

Ημίτονο: ( )r

Β Γ=ϕsin

Συνημίτονο: ( )r

Α Β=ϕcos

Εφαπτομένη: ( )Α ΒΒ Γ=ϕtan

Συνεφαπτομένη: Β ΓΑ Β=ϕcot

Α Β= rϕsec

Β Γ= rϕcsc

2.2 Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών

Αν φ1+φ2=90 τότε tan(φ1)*tan(φ2)=1

AA

sin

1csc =

A

AA

cos

sintan = 1cossin 22 =+ AA

A

A

AA

sin

cos

tan

1cot == 1tansec 22 =+ AA


AA

cos

1sec = 1cotcsc 22 =− AA

2.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις αθροίσματος και διαφοράς

BABABA sincoscossin)sin( ±=±BA

BABA

tantan1

tantan)tan(

∓

±=±

BABABA sinsincoscos)cos( ∓=±BA

BABA

cotcot

1cotcot)cot(

±=± ∓

2.4 Μετατροπές γωνιών

2.4.1 Μοίρες – rad

Έστω μια γωνία θ σε μοίρες τότε σε rad είναι:

πθ180

=r

2.4.2 Rad – Μοίρες

Έστω μια γωνία r σε rad τότε σε μοίρες είναι:

180π

θ r=

2.4.3 O αριθμός π

Συνήθως το π είναι ορισμένο σαν σταθερά στις περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού, αλλά αν δεν είναι τότε είτε μπορούμε:

Να θέσουμε μια σταθερά με τιμή 3.1415926535897932384626433832795.Να υπολογίσουμε το λόγο 22/7=3,14 μέχρι δεύτερο δεκαδικό.Να υπολογίσουμε το λόγο 355/113=3,14159292 μέχρι έβδομο δεκαδικό.Να κάνουμε την πράξη 4*Atn(1). Atn είναι στην Visual basic, atan στην php.Να κάνουμε την πράξη acos(-1)


3 Λογαριθμικές συναρτήσεις

3.1 Πράξεις με λογαρίθμους

NMMN aaa logloglog +=

NMN

Maaa logloglog −=

MpM ap

a loglog =

3.2 Αλλαγή βάσης λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι του αριθμού Ν ως προς τις βάσεις a και b συνδέονται με τη σχέση:

a

NN

b

aa log

loglog =

Έτσι ο δεκαδικός λογάριθμος του Ν με τον φυσικό λογάριθμο του συνδέονται με τη σχέση:

e

NN

log

logln = και

10ln

lnlog

NN =

3.3 Ο αριθμός e

Ο αριθμός e είναι η βάση των φυσικών λογαρίθμων και έχει τιμή 2,718281828 περίπου. Μπορούμε να πάρουμε την τιμή του χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση exp, e=exp(1.).


4 Άλγεβρα

4.1 Ταυτότητες

Θα αναφέρουμε κάποιες πολύ βασικές ταυτότητες και ορισμούς της άλγεβρας.

4.1.1 Διώνυμο του Newton

Γενίκευση του τύπου του διωνύμου του Newton

( ) ∑=

−

−=+

n

i

iinn yxiin

nyx

0 !)!(

!, όπου το n είναι ακέραιος.

Από το διώνυμο του Newton προκύπτουν οι πολύ βασικές ταυτότητες:

222 2)( bababa ++=+

32233 33)( babbaaba +++=+

Αναλυτικά η πρώτη προκύπτει αν στο διώνυμο του Newton θέσουμε n=2 τότε έχουμε:

0=i 2002

!0)!02(

!2aba =

−−

1=iabba 2

!1)!12(

!2 112 =−

−

2=i 2222

!2)!22(

!2bba =

−−

Τελικά το άθροισμα των όρων είναι 22 2 baba ++ .

4.2 Εξισώσεις

Έστω η εξίσωση Α=Β. Τότε έχουμε τις εξής ιδιότητες:

i. Μπορούμε να προσθέσουμε και στα δύο μέλη με την ίδια ποσότητα χωρίς να αλλάξει η σχέση, aBaABA +=+⇔=

ii. Μπορούμε να αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη με την ίδια ποσότητα χωρίς να αλλάξει η σχέση, aBaABA −=−⇔=

iii. Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με την ίδια ποσότητα χωρίς να αλλάξει η σχέση, aBaABA =⇔=

iv. Μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με την ίδια ποσότητα χωρίς να αλλάξει η σχέση,

a

B

a

ABA =⇔=


Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:

1=⇔=B

ABA

4.2.1 Εξίσωση δευτέρου βαθμού

02 =++ cbxax

Ρίζες: a

acbbx

2

42 −±−=

Εάν a,b,c είναι πραγματικοί και acbD 42 −= η διακρίνουσα, τότε οι ρίζες είναι

πραγματικές και άνισες, εάν D>0πραγματικές και ίσες, εάν D=0συζυγείς μιγαδικές, εάν D<0.

Εάν x1,x2 είναι οι ρίζες, τότε a

bxx −=+ 21 και

a

cxx =21

4.3 Ανισότητες

Έστω η ανισότητα BA > τότε ισχύουν οι ιδιότητες:

i. Μπορούμε να προσθέσουμε και στα δύο μέλη με την ίδια ποσότητα χωρίς να αλλάξει η σχέση, aBaABA +>+⇔>

ii. Μπορούμε να αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη με την ίδια ποσότητα χωρίς να αλλάξει η σχέση, aBaABA −>−⇔>

iii. Μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με την ίδια ποσότητα χωρίς να αλλάξει η σχέση, aBaABA >⇔>

iv. Μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με την ίδια ποσότητα χωρίς να αλλάξει η σχέση,

a

B

a

ABA >⇔>

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι:

1>⇔>B

ABA

4.4 Πίνακες

4.4.1 Μοναδιαίος πίνακας

Μοναδιαίος πίνακας είναι ο τετραγωνικός πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδενικά εκτός από στα στοιχεία της διαγωνίου που είναι μονάδα. Έστω ο nXn μοναδιαίος πίνακας U τότε είναι:


Uij=0 για ji ≠και Uij=1 για ji =

4.4.2 Ανάστροφος πίνακας

Έστω ο πίνακας Α, ανάστροφος του είναι ο πίνακας που παίρνουμε αν κάνουμε τις στήλες γραμμές και τις γραμμές στήλες και συμβολίζεται ΑΤ. Δηλαδή έστω ο πίνακας στήλη:

=

c

b

a

A

Τότε ο ανάστροφός του είναι ο πίνακας γραμμή:( )cbaAT =

Έστω ο 3Χ3 πίνακας:

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Ο ανάστροφός του είναι ο:

=

332313

322212

312211

aaa

aaa

aaa

AT

Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία της διαγωνίου δεν άλλαξαν.

4.4.3 Πράξεις πινάκων

Το άθροισμα του (m,n)-πίνακα Α με τον (m,n)-πίνακα Β είναι ένας (m,n)-πίνακας C όπου

ijijij bac +=

Το γινόμενο του (m,n)-πίνακα Α με τον (n,p)-πίνακα Β είναι ένας (n,p)-πίνακας C όπου

∑=

=n

kkjikij bac

1

Παράδειγμα:

Πίνακας 2Χ2 επί πίνακα 2Χ2 δίνει πίνακα 2Χ2

++++

=

dwcydzcx

bwaybzax

wz

yx

dc

ba

Πίνακας γραμμή επί πίνακα στήλη δίνει πίνακα με ένα στοιχείο

( ) ( )zcybxa

c

b

a

zyx ++=


4.4.4 Πρακτικά βοηθήματα

• Θέλουμε να βάλουμε k στοιχεία σε ένα πίνακα nxm ο οποίος όμως να πλησιάζει τον τετραγωνικό, όταν είναι δυνατό τετραγωνικός.

Αρχικά υποθέτουμε τον πίνακα τετραγωνικό, δηλαδή n=m.Τότε ο πίνακας χωράει n2 στοιχεία. Θα πρέπει να ισχύει k=n2 ή n=int(sqr(k))Όμως, αν k>n2 τότε

m=n+1Διαφορετικά

m=n

• Σε ένα nxm πίνακα θέλουμε να τοποθετήσουμε k στοιχεία. H θέση (row, column) του I στοιχείου στον πίνακα υπολογίζεται ως εξής:

g=i/mIf g>Trunc(g)

row = trunc(g)+1Else

row= trunc(g)End If

coloumn= I-(row-1)*m

Αντίστροφα το στοιχείο στη θέση (row, coloumn) ενός nxm πίνακα, έχει αύξοντα αριθμό (index):

i=(row-1)*m+coloumn


5 Στατιστική και πιθανότητες

5.1 Συνδυαστική

5.1.1 Συνδυασμοί

Έστω S={a1,a2,a3,…,an} ένα σύνολο με n διακεκριμένα στοιχεία. Κάθε σύνολο από m στοιχεία (1<=m<=n), τα οποία λαμβάνονται από τα στοιχεία του συνόλου S, δηλαδή κάθε υποσύνολο του S με m στοιχεία καλείται ανά m συνδυασμός των n στοιχείων. Δύο συνδυασμοί, οι οποίοι διαφέρουν μόνο στην διάταξη των m στοιχείων δεν θεωρούνται διάφοροι μεταξύ τους, αλλά θεωρούνται ότι είναι ο αυτός συνδυασμός. Το πλήθος των m συνδυασμών των n στοιχείων, που ονομάζεται n ανά m, είναι:

( ) !!

!

mnm

n

m

n

−=

ισχύει επίσης nn

=

1

και 1=

n

n και ορίζουμε 1

0=

n

O υπολογισμός του n ανά m γίνεται ως εξής:

Αν mnm −≥ τότε κάνουμε το εξής loop:nm=1For I=1 To n-m

nm=nm*(m+I)/INext

Αν mnm −< τότε κάνουμε το εξής loop:nm=1For I=1 To m

nm=nm*(n-m+I)/INext

Ελεύθερη επανάληψη είναι όταν το ίδιο στοιχείο μπορεί να υπάρχει στον ίδιο συνδυασμό περισσότερες από μια φορές.


Το πλήθος των m συνδυασμών των n στοιχείων με ελεύθερες επαναλήψεις είναι:

( ) !1!

)!1(1

−+−=

−+nm

mn

m

mn

Ο υπολογισμός σύμφωνα με τα προηγούμενα γίνεται ως εξής:

Κάνουμε το εξής loop:nm=1For I=1 To m

nm=nm*(n-1+I)/INext

5.1.2 Διατάξεις

Έστω S={a1,a2,a3,…,an} ένα σύνολο με n διακεκριμένα στοιχεία. Καλείται ανά m διάταξη των n στοιχείων κάθε μετάθεση m στοιχείων τα οποία λαμβάνονται από το σύνολο S. Επομένως δύο ανά m διατάξεις των n στοιχείων θεωρούνται διάφορες, όταν ή δεν αποτελούνται από τα αυτά ακριβώς στοιχεία ή αποτελούνται μεν από τα αυτά στοιχεία, αλλά διαφέρουν ως προς την σειρά των στοιχείων. Δηλαδή σε κάθε διάταξη παίζει ρόλο όχι μόνο ποια m στοιχεία θα λάβουμε από τα n, αλλά και ποια μετάθεση αυτών των m στοιχείων.

)!(

!

mn

nnm −

=∆

Το οποίο το υπολογίζουμε κάνοντας το εξής loop:

nm=1For I=1 To m

nm=nm*(n-m+I)/INext

5.1.3 Επαναληπτικές διατάξεις

Καλούμε ανά m επαναληπτική διάταξη των n στοιχείων κάθε ανά m διάταξη την οποία μπορούμε να σχηματίσουμε από τα στοιχεία του συνόλου S όπου όμως κάθε στοιχείο μπορεί να ληφθεί μέσα στην διάταξη πολλές φορές (φυσικά όχι περισσότερες από m)

Οι επαναληπτικές διατάξεις των n στοιχείων ενός συνόλου είναι σε πλήθος nm

5.2 Στατιστική


5.2.1 Αριθμητική μέση τιμή ή μέσος όρος

Οι τιμές που προκύπτουν από την επανάληψη της μέτρησης μιας ποσότητας προσεγγίζουν μια κεντρική τιμή. Σαν τέτοια τιμή ορίζουμε την αριθμητική μέση τιμή ή μέσο όρο. Ο μέσος όρος είναι το άθροισμα όλων ων τιμών της μέτρησης διαιρεμένο με το πλήθος των τιμών. Συμβολίζεται με x και υπολογίζεται από τη σχέση

∑=

=+++

=N

ii

N xNN

xxxxx

1

321 1...

Ο μέσος όρος είναι η πιθανότερη τιμή, με άλλα λόγια αντιπροσωπεύει την καλύτερη εκτίμηση της αληθινής τιμής.

5.2.2 Συχνότητα επανάληψης

Εάν οι αριθμοί x1,x2…xn επαναλαμβάνονται μέσα στο σύνολο των τιμών f1,f2,…fn φορές αντίστοιχα, τότε λέμε ότι η συχνότητα επανάληψης της τιμής x1 είναι f1, x2 είναι f2 κ.ο.κ. Στην περίπτωση αυτή έχουμε

∑=

=n

kkk xf

Nx

1

1όπου 1≥kf

5.2.3 Απόκλιση μιας τιμής xi από το μέσο όρο

Σε ένα σύνολο τιμών xi (i=1,N) μιας μέτρησης ορίζουμε σαν απόκλιση μιας τιμής xi από το μέσο όρο x το μέγεθος

xxx ii −=∆

5.2.4 Ιδιότητα της απόκλισης

Το άθροισμα των αποκλίσεων των όρων του συνόλου των τιμών από αυτή είναι μηδέν, δηλαδή

∑=

=∆N

iix

1

0

5.2.5 Μέση απόκλιση x∆

Μέση απόκλιση x∆ ορίζουμε το πηλίκο:

N

xx

N

xx

N

ii

N

ii ∑∑

==−

=∆

=∆ 11


5.2.6 Μέσο σφάλμα ή τυπική απόκλιση

( )N

xxN

ii∑

=

−= 1

2

σ, Ν>30

( )1

1

2

−

−=

∑=

N

xxN

ii

σ, Ν<30

5.2.7 Σφάλμα του μέσου όρου x

( ))1(

)( 1

2

−

−±=

∑=

NN

xxx

N

ii

xσ

5.2.8 Σχετικό σφάλμα r

Ένα μέγεθος που δίνει ένα μέτρο της ακρίβειας σε μια μέτρηση είναι το σχετικό σφάλμα r

x

xr

)(σ=

Συνηθίζεται το σχετικό σφάλμα να αναφέρεται με την μορφή r% και ορίζεται σαν το σφάλμα του μέσου όρου στα εκατό, δηλαδή

100)(

%x

xr

σ=

Συνεπώς η τιμή του μετρούμενου μεγέθους κυμαίνεται στα όρια

)(xxx σ±=

5.3 Παραδείγματα

Παράδειγμα: Ποια είναι η πιθανότητα τα τέσσερα χαρτιά που τραβάω από μια τράπουλα των πενηνταδύο να είναι όλοι άσσοι;

Ο ολικός αριθμός των ισοπίθανων γεγονότων εδώ δίνεται από τον αριθμό !48!4

!52524 =C που

μετράει τους δυνατούς συνδυασμούς με τους οποίους μπορώ να πάρω 4 χαρτιά από τα 52 και

σύμφωνα με τον κλασσικό τρόπο η επιθυμητή πιθανότητα είναι 6

524

105.31 −⋅≈=

CP .


6 Οικονομικά

6.1 Απο-Φορολόγηση

Το πρόβλημα είναι όταν γνωρίζουμε την τελική τιμή να υπολογίσουμε την καθαρή αξία. Την απάντηση την παίρνουμε λύνοντας την εξίσωση:

tfk =+όπου:k είναι η καθαρή αξία, f είναι ο φόρος, t είναι η τελική και s είναι ο συντελεστής του φόρου (πχ για 18% ΦΠΑ είναι 0,18). Ο φόρος f είναι ksf = αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση έχουμε:

⇔=+ tksk ⇔=+ tsk )1(

s

tk

+=1

Για παράδειγμα ένα προϊόν που έχει τελική αξία 118 και ο ΦΠΑ είναι 18% τότε η καθαρή του αξία είναι:

10018,01

118 =+

=k

6.2 Τόκοι – Δάνεια

6.2.1 Γενικός Τύπος Ανατοκισμού

( ) nn eKK += 10

όπου Κn το κεφάλαιο, e το επιτόκιο και n είναι οι περίοδοι ανατοκισμού.

6.2.2 Αποπληρωμή με σταθερές καταθέσεις

Αν κάποιος καταθέτει σε μια τράπεζα στο τέλος κάθε περιόδου για n συνεχόμενες περιόδους Α για ανατοκισμό με επιτόκιο της περιόδου αυτής e, ποιας ονομαστικής αξίας χρέος που λήγει τη στιγμή της τελευταίας καταβολής μπορεί να αποπληρώσει με το δημιουργούμενο ποσό από τις καταθέσεις αυτές;

( )[ ]e

eAS

n 11 −+=

6.2.3 Αποπληρωμή εφ’ άπαξ


Ποιο ποσό α πρέπει να διαθέτει κάποιος σήμερα για να εξοφλήσει την άμεση παροχή ποσού Α εκ n όρων, των οποίων ο ανατοκισμός πραγματοποιείται κάθε μια περίοδο της παροχής προς το επιτόκιο της περιόδου αυτής e;

( )( ) n

n

ee

eAa

+−+=

1

11

6.2.4 Γενικός τύπος τοκοχρεολυσίου

Με ποιο ετήσιο τοκοχρεολύσιο εξοφλείται εντός n ετών από τη σύναψη δανείου ποσού Δ, το οποίο ανατοκίζεται ετήσια, αν το ετήσιο επιτόκιο είναι e;

( )( ) 11

1

−++⋅∆=n

n

e

eeT

6.3 Πληρωμή n τιμολογίων με μια επιταγή χωρίς καθυστέρηση (τόκους).

Έστω i τιμολόγια, αν ki το κεφάλαιο του i-στού τιμολογίου και δi οι μέρες που απέχει από το πρώτο τιμολόγιο, τότε οι μέρες d που πρέπει να απέχει η επιταγή, από την ημερομηνία του πρώτου τιμολογίου είναι:

( )

∑

∑

=

=

×=

n

ii

n

iii

k

kd

1

1δ

Παράδειγμα.

Έστω πρέπει να εξοφλήσουμε τέσσερα τιμολόγια, τα οποία είναι:

Ημέρα Πληρωμής Αξία(ki) (δi)Τιμ. 1 1/3/2000 100.000Τιμ. 2 10/3/2000 80.000 10Τιμ. 3 20/3/2000 60.000 20Τιμ. 4 30/3/2000 60.000 30

Εφαρμόζοντας τον τύπο έχουμε

666666,12000.300

000.800.3

000.60000.60000.80000.100

30000.6020000.6010000.800000.100 ==+++

×+×+×+×=d

Αν «κόψουμε» την επιταγή μας με λήξη 14/3/2000 και αξία 300.000 προκύπτουν 90δρχ χρεωστικοί τόκοι, αν όμως την κόψουμε με 13/3/2000 προκύπτουν 70 δρχ πιστωτικοί τόκοι. Οπότε προτιμούμε τη στρογγυλοποίηση προς τα κάτω.


7 GNU Free Documentation LicenseVersion 1.2, November 2002

Copyright (C) 2000,2001,2002 Free Software Foundation, Inc. 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this license document, but changing it is not allowed.

0. PREAMBLEThe purpose of this License is to make a manual, textbook, or other functional and useful document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others.This License is a kind of "copyleft", which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software.We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference.1. APPLICABILITY AND DEFINITIONSThis License applies to any manual or other work, in any medium, that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. Such a notice grants a world-wide, royalty-free license, unlimited in duration, to use that work under the conditions stated herein. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". You accept the license if you copy, modify or distribute the work in a way requiring permission under copyright law.A "Modified Version" of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language.A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (Thus, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them.The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. If a section does not fit the above definition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does not identify any Invariant Sections then there are none.The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A Front-Cover Text may be at most 5 words, and a Back-Cover Text may be at most 25 words.A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, that is suitable for revising the document straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup, or absence of markup, has been arranged to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. An image format is not Transparent if used for any substantial amount of text. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque".Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML, PostScript or PDF designed for human modification. Examples of transparent image formats include PNG, XCF and JPG. Opaque formats include proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced by some word processors for output purposes only.The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text.A section "Entitled XYZ" means a named subunit of the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses following text that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a specific section name mentioned below, such as "Acknowledgements", "Dedications", "Endorsements", or "History".) To "Preserve the Title" of such a section when you modify the Document means that it remains a section "Entitled XYZ" according to this definition.The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reference in this License, but only as regards disclaiming warranties: any other implication that these Warranty Disclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License.2. VERBATIM COPYINGYou may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3.You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies.3. COPYING IN QUANTITYIf you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers) of the Document, numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects.If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages.If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a computer-network location from which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added material. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public.It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.4. MODIFICATIONSYou may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:

A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.

B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.

C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.D. Preserve all the copyright notices of the Document.E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of

this License, in the form shown in the Addendum below.G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.H. Include an unaltered copy of this License.


I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.

J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.

K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.

L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.

M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.O. Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.5. COMBINING DOCUMENTSYou may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work.In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements".6. COLLECTIONS OF DOCUMENTSYou may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document.7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKSA compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not themselves derivative works of the Document.If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.8. TRANSLATIONTranslation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.9. TERMINATIONYou may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSEThe Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.

Το μαθηματικό τυπολόγιο του προγραμματιστή

Documents

Transcript of Το μαθηματικό τυπολόγιο του προγραμματιστή