والمتسلسالت المتتاليات

) المتتابعات ) SEQUENCESالمتتاليات

األعداد من مجموعات األحوال من كثير في تواجهناحالة : كل في لدينا يكون بحيث عناصرها بترتيب نهتم

من . . . كال نسمي ، ثالث عنصر ، ثان عنصر ، أول عنصرمتتابعة ) ( متتالية المرتبة المجموعات هذه من األعداد

سابقا درسناها التي العادية المجمعات عن لها تمييزا . عناصرها بين للترتيب أهمية ال والتي

المرتبة : مثال : متتالية . . . 8، 6، 4، 2المجموعة هي ، الموجبة . الزوجية األعداد متتالية ، المعروفة

العدد والعدد 2نسمي المتتالية في األول الحد 4الحد. . . . وهكذا ، فيها الثاني

المرتبة : مثال: االعداد . . . 5 3، 1المجموعة متتالية هي ، األول = حدها ، الموجبة الثاني = 1الفردية وحدها ،3. . . ،

وهكذا.

للمتتالية : العام GENERAL TERM OF AالحدSEQUENCE

هذه تكون أي بانتظام المتتالية حدود تتوالى عام بوجهمعرفة نستطيع بحيث معينة قاعدة أو نمط وفق الحدود

الحدالذي . الحد ترتيب عرف إذا المتتالية في حد ايويرمز nرتبته المتتالية في العام الحد أو النوني يسمى

بالرمز . unلهالعام مثال: حدها التي المتتالية n2 + 3 = unاكتب

المتتالية الحل : حدود على نعوض . . . u1, u2, u3للحصول ، ، n: 1قيم 2 ، 3 . . . ،

العام الحد قانون فيu1 =3 + 1 × 2 = 5إذن

7 =2 × 2 + 3 = u2

9 =2 × 3 + 3 = u3

هي : المتتالية ، . . . 9، 7، 5وتكون

اسئلة :

االول : السؤالالتالية : للمتتاليات العام الحد اكتب

أ(

. . . .27، 8، 1ب( ،. . . . .7، 7، 7ج( ،

المجموع ورمز SERIES ANDالمتسلسالتSIGMA NOTATION

وفق الحقيقية األعداد من مرتبة مجموعة هي المتتالية أن سبق فيما عرفنا)) (( )) (( ، إشارة استبدلنا إذا ولكن ، اإلشارة حدودها بين ويفصل معينة قاعدة

: فمثال ))+(( متسلسلة تسمى المتتالية فإن الجمع ، . . .8، 5، 2بإشارةالمجموع : أم هذا + . . . 8 + 5 + 2متتالية عن وللتعبير متسلسلة فيسمى

يسمى خاصا رمزا نستخدم سيجما ) (∑المجموع ويقرأ

كان مثال : ، a = إذا = b قيم أوجد ،a ، b . ؟ بينهما العالقة ما

؟ نستنتج ماذاالحل :

30 =3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = a10 =1 + 2 + 3 + 4 = b

أن B3 = aنالحظ

الحسابية : والمتسلسالت المتتالياتARITHMETIC PROGRESSION

عمقه بئرا يحفر أن مقاول قدره 6اتفق مبلغا يتقاضى أن على رياال 50أمتار ، يحفره قدم أول ، 75عن الثاني القدم عن الثالث .100رياال القدم عن رياال

وهكذا. .

المجموع : رمز خواص

1 )z × n = z∑ حيث ،n ، n zثابت

2( )∑u)a =au∑ حيث ،a ثابت

3( )u + d)∑ =∑ u + ∑d

/ وكم ، البئر من السادس المتر حفر يكلفه كم معرفة البئر صاحب يريدكله . البئر حفر يكلفه

يحفره متر كل عن للمقاول سيدفعها التي االجرة البئر صاحب كتبقدرها منتظمة زيادة وهو نفسه السابق النمط فكتب 25مستخدما ، رياال

.175، 150، 125، 100، 75، 50المتتالية :يكلفه السادس المتر أن البئر صاحب البئر 175استنتج حفر تكاليف وأن ،

هي : كله50 + 75 + 100 + 125 + 150 + 175 = 675 . رياال

المتتالية : حسابية .175، 150، 125، 100، 75، 50تسمى متتالية

مثال :يلي : فيما غيرها من الحسابية المتسلسالت أو المتتاليات ميز

1 )3 ،5 ،7 . . . ، ،31 2 )1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1/ 20 األولية( 3 األعداد ∑ (r + 7( 4متتالية

r=1

الحل : ، . . . 7، 5، 3المتتالية( 1 حيث 31، ثابت أساسها ألن 7، 2 = 3 – 5حسابية– 5 = 2 ألن 20 /1 + . . . + 1/3 + 1/2 + 1المتسلسلة( 2 حسابية ليست

حيث ثابت غير بينما 2 / 1 = - 1 – 2 / 1أساسها ،1/3 – 1/2 - = 1/6 األولية( : 3 األعداد ألن . . . 7، 5، 3، 2متتالية حسابية ليست ،3 – 2 = 1

ثابت 2= 3 – 5بينما غير فأساسها4( )r + 7) ∑ ( = 1+7( + )2+7( + ) 3+7 ( + ) 4 + 7 ( + . . . + )10+ 7 )

= 8+ 9+10+ . . .+17 حيث ثابت أساسها ألن حسابية متسلسلة 1 = 9 - 10= 8 - 9فهي

: الحسابية للمتتالية العام الحدالحسابية : المتتالية أساسها 27، 23، 19، 15، 11، 7، 3لنأخذ 4التي

: التالي النمط ونالحظالثاني u2 =4 (×1 – 2 + ) 3 = 1×4 + 3 = 7الحد

الثالث u3 =4 ( × 1 – 3 )3 = 2× 4 + 3 = 11الحد

السابع u7 =4 ( × 1 – 7 + )3 = 4 × 6 + 3 = 27الحد

تعريف :حدين كل بين الفرق فيها يكون التي متتالية هي الحسابية المتتالية

يسمى ثابتا مقدرا متتالين. المتتالية أساس مباشرة له السابق والحد حد أي بين الثابت الفرق

العدد = حد كل أن الحد ) ( + ) 3الحظ رتبة األول وهذا ( × 1 –الحد األساس. ذلك من ،تحقق األول الحد على أيضا ينطبق

هو : حسابية لمتتالية االول الحد كان إذا العام الحد dوأساسها aبشكل فإنالثالث = a+ dالثاني = الحد ،a + d2 = العاشر ،وهكذا . . .a+ 9dوالحد

هو ) ( النوني الحد العام الحد ويكون ( n– 1 ) d = a = un

مثال :األول حدها التي الحسابية المتتالية في الخامس الحد .5وأساسها 2أوجد

. المتتالية من األولى الخمسة الحدود بكتابة تحققالحل :

2 =a ، 5 = d a+ ) n – 1 ( n= un

2( + 5 – 1× ) 5= u5 22 =2 + 4 ×5 = u

هي : المتتالية 22، 17، 12، 7، 2التحققالخامس = .22الحد صحيحة النتيجة ،

: الحسابية ARITHMETIC MEANاألوساطيكون منها األوسط الحد فإن حسابية متتالية من متتالية حدود ثالثة أخذنا إذا

الحسابية : المتتالية ففي اآلخرين، للحدين حسابيا 17، 13، 9، 5وسطاالعدد أن المجاورين 9نالحظ للعددين الحسابي الوسط 5 = 9ألن 13، 5هو

العدد 2 / 13= أن المجاورين 13كما للعددين الحسابي .17، 9هو

مثال:العددين 4أدخل بين حسابية 29، 4أوساط

ادخال : الحل بين 4عند حسابية النحو :29، 4أوساط على المتتالية تصبح4 ،x 1 ،x2 ، x3 ، x4 ،29

a= 4وتكون ، 29 = u6

a + d 5 = u6

29 =4 + 5 × d 20 =5d d = 5

وأساسها األول حدها حسابية متتالية ألي العام –d ) nهو dالحد1 ( + a = un

عام : بشكلالعددين بين حسابي وسط إدخال ، aيمكن b = الوسط هذا aفيكون

+ b / 2 األعداد وتشكل a ،a + b /2 ، b . كان وإذا حسابية ، aمتتالية b يمكننا فإنه عددين

هي : حسابية كاوساط اعداد عدة ، x1ادخال x2 ، x 2 ، . . . ، xn بين

الحسابية : المتتالية هي 29، 24، 19، 14، 9، 4تصبح االوساط 14، 9وتكون ،19 ،24

الحسابية : المتسلسلة SUM OFمجموعARITHMETIC SERIES

عام الصحيحة 1787في االعداد جميع يجمعوا أن تالميذه من معلم طلب مأي 100إلى 1من

تالميذ 100 + . . . + 3 + 2+ 1 احد فاجأه حتى معدودة دقائق سوى تمض لمجاوس ويدعى

وهو ) ( الصحيح الجواب اعطاء بأن الثالث الصف في آنذاك .5050وكان ، الجواب على حصلت كيف مندهشا المعلم سأله

يلي : كما الحل جاوس كتبcn = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 معكوس بشكل نفسه المجموع كتب ثم

cn = 100 + 99 + 98 + . . . + 1 الحدود ) cn 2= 1010 + 101+ 101 + . . . + 101بالجمع (100عدد

2c = 101 × 100 c= 101 × 100 / 2 = 50 ) 101 ( = 5050

أول مثال : مجموع المتسلسلة : 20أوجد حدود من + . . . 13 + 8 + 3حدا

األول :الحل حدها حسابية متسلسلة هي ، a= 3المتسلسلة d = 5 n / 2 )2a + ) n – 1 ( d ( = cn

20 / 2 ( 2 × 3 + 19 × 5 = ) 10 ( 6 + 95= ) cn

= 10 × 101 = 1010

الهندسية والمتسلسالت المتتالياتGEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES

الهندسية للمتتالية العام الحد

تعريف : حد كل بين النسبة فيها يكون التي المتتالية هي الهندسية المتتالية

ثابتة . نسبة مباشرة له السابق والحدالهندسية . المتتالية أساس تسمى الثابتة النسبة

قاعدة :هندسية المتتالية من األول الحد كان فإن rوأساسها aإذا

العام الحدهو : الهندسية r 1 - aN = unللمتتالية

قاعدة :n/ 2 ) a+ k( = cn . . . )1( n / 2 )2a + )n – 1 (d ( = cn . . . )2(

مثال:قيمته الذي الحد ترتيب : 1215ما الهندسية المتتالية حدود ، 15، 5من

45 . . . ؟ ، : الحل

قيمته الذي الحد أن ، a = 5حيث unهو 1215نفرض r = 3 1215 = 1-arn = un

1215 = 5 ×3n-1 ( على (5بالقسمة234 = 3n- 1 اذنn – 1 = 5 األسس تساوت األساسات تساوت إذا ألنه

n = 6 قيمته الذي السادس 1215الحد الحد هو

: الهندسية GEOMETRIC MEANاألوساط

للعددين: مثال الهندسي الوسط هو 9، 4ما

للعددين الحل : الهندسي الوسط أن c ،9، 4نفرضتكون التعريف ، c، 4من ويكون 9 الهندسية c / 4 = 9 / cمتتالية

c2 = 36 = c=± 6 للعددين هندسيان وسطان يوجد هما 9، 4إذن متتاليان 6، لدينا فتكون ،

9، 6، -4واألخرى : 9، 6، 4إحداهما : أن 9 × 4 = 6الحظ

: الهندسية المتسلسلة SUM OFمجموعGEOMETRIC SERIES

كانت إذا أنه ولكن r =1الحظ أعاله المذكورة القاعدة تطبيق نستطيع ال فإنناتصبح : الهندسية المتسلسلة

a+ a + a + . . . = a ∑ = n a ( :1مثال )

الهندسية : المتسلسلة حدود من األولى الستة الحدود مجموع +6 + 3أوجد12 . . . +

تعريف:للعددين الهندسي ، aالوسط b العدد ذلك تكون cهو ، aبحيث c ، b

. هندسية متتالية

عام : بشكلكان للعددين cإذا الهندسي الوسط ، aهو b فإن c2 = ab

قاعدةأول حدها nمجموع هندسية متسلسلة حدود من

هو :rوأساسها aاألول

r ≠ 1حيث

الحل : 3 =a ، 2 = r

c = 3 ) 2 6– 1 ( / 2 – 1 = 3 ) 64 – 1 ( / 1 = 3 × 63 = 189 4 ( 2مثال )

∑ 5Rأوجد R=1

الحل : هي : 4 5+ 3 5+ 2 5 + 1 5المتسلسلة

أنها : باعتبار 780 = 625 + 125 + 25 + 5أي المجموع حساب يمكن ، متسلسلة المتسلسلة

األول حدها هو : 5وأساسها 5هندسية مجموعها فيكونc = 5 ) 5 4– 1 ( / 5 – 1 = 5 × 624 / 4 = 5 × 156 = 780

الالنهائية : الهندسية المتسلسلةINFINITE GEOMETRIC SERIES

مثال :المتسلسلة مجموع وجد + . . . ) (.1/9 +1/3 + 1أوجد إن نهاية ال ما إلى

الحل : حدها = نهائية ال هندسية وأساسها = 1المتسلسلة ،1/3

أن هو 1> 1/3وبما مجموع للمتسلسلة يوجد إذنc= a / 1 – r = 1 / 1-1/3 = 1 / 2/3 = 3\2

∞مثال : ∑r(1/2أوجد ) -

الحل : هو - المتسلسلة حدود من األول u( =1/2 = )-1/2الحد

u2= ) -1/2(2 = 1/4 ، u3= )-1/2(3=-1/8 هي : - المتسلسلة . 1/8، -1/4، 1/2حدود نهائية . . . ال متسلسلة فهي ،

r = 1/4 ÷-1/2 = - 1/2- | أن وبما الهندسية 1>1/2| = 1/2، للمتسلسلة إذنالالنهائية

: هو مجموع

قاعدة :األول حدها نهائية ال هندسية متسلسلة /aهو : rوأساسها aمجموع

1 – r حيثr<1.

c∞ = a/1- r = -1/2 /) 1+1/2 ( = -1/2 / 3/2 = -1/3 تطبيقات بعض في الالنهائية الهندسية المتسلسلة مجموع استخدام يمكن

: اآلتي المثال من يتضح كما(:3مثال )

الدوري العشري الكسر عادي 4حول كسر إلىالعشري: الحل الكسر يكافئ العشري الكسر 444 0 00000إن00000 444 0 = 4/10 + 4/100 + 4/ 1000. . .+

أن 1/10 = 100/ 4 ÷ 1000 / 4، 1/10 = 4/10 ÷ 4/100الحظأساسها نهائية ال هندسية ، r = 1/10فالمتسلسلة 4/10 =a

مجموعها =c= a / 1- r = 4/ 10 / 1-1/10 = 4/9 ÷ 9/10فيكون 4/10 ×10/9 = 4/9

الكسر . 4 = 4/9إذن بتحويل الجواب صحة من عشري 4/9تحقق كسر إلى

والمتسلسالت المتتاليات

(المتتابعات ) المتتاليات    SEQUENCES

من مجموعات األحوال من كثير في تواجهنايكون بحيث عناصرها بترتيب نهتم لدينا األعداد

عنصر : ، ثان عنصر ، أول عنصر حالة كل فياألعداد . . . من كال نسمي ، هذه ثالث من

لها ) ( تمييزا متتابعة متتالية المرتبة المجموعاتالتي العادية المجمعات والتي عن سابقا درسناها عناصرها بين للترتيب أهمية  .ال

المرتبة : : المجموعة هي . . . 8، 6، 4، 2مثال ، متتالية ، المعروفة الزوجية متتالية األعداد

. الموجبة

العدد والعدد 2نسمي المتتالية في األول 4الحد ، فيها الثاني وهكذا. . . الحد .

المرتبة: : المجموعة متتالية . . . 5 3، 1مثال هي ، الموجبة الفردية األول =  االعداد حدها وحدها 1، ،

. . . 3الثاني = وهكذا ، .

 

العام للمتتالية الحد : GENERAL TERM OF A SEQUENCE

تكون أي بانتظام المتتالية حدود تتوالى عام بوجهقاعدة أو نمط وفق الحدود بحيث هذه معينة

عرف إذا المتتالية في حد اي معرفة نستطيعرتبته . الحدالذي الحد أو n ترتيب النوني يسمى

بالرمز له ويرمز المتتالية في العام .un الحد

العام: حدها التي المتتالية اكتب n2 + 3 = un مثال

المتتالية : حدود على للحصول u1, u2, u3 الحل ، . . . قيم ، n: 1 نعوض 2 ، 3 ، . . .

  العام الحد قانون في

3 + 1 × 2 = 5إذن = u1

      7= 2 × 2 + 3 = u2

      9= 2 × 3 + 3  = u3

هي :     المتتالية 9، 7، 5وتكون ، . . .

 

: اسئلة

 

االول : السؤال

  التالية للمتتاليات العام الحد : اكتب

27، 8، 1أ( ،. . . .

7، 7، 7ب( ،. . . . .

ورمز المجموع المتسلسالت SERIES AND SIGMA NOTATION

مرتبة مجموعة هي المتتالية أن سبق فيما عرفناقاعدة وفق الحقيقية األعداد ويفصل من معينة

)) إشارة )) استبدلنا إذا ولكن ، اإلشارة حدودها بين )) الجمع)) بإشارة تسمى ))+(( ، المتتالية فإن

: فمثال المجموع . . . :8، 5، 2متسلسلة أم متتالية ، هذا + . . . 8 + 5 + 2 عن وللتعبير متسلسلة فيسمى

يسمى خاصا رمزا نستخدم ويقرأ∑ ) المجموع (سيجما

 

كان : إذا    a = مثال قيم   =   ، a أوجد b . ما ؟ نستنتج ماذا ؟ بينهما العالقة

: الحل

30= 3 × 1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 = 3 + 6 + 9 + 12 = a

10= 1 + 2 + 3 + 4 =  b

أن B3 =a  نالحظ

 

 

  الحسابية المتتاليات والمتسلسالت :ARITHMETIC  PROGRESSION

 

عمقه بئرا يحفر أن مقاول أن 6اتفق على أمتار قدره مبلغا عن 50يتقاضى ، رياال يحفره قدم أول

75 ، الثاني القدم عن القدم 100رياال عن رياال وهكذا . . . الثالث

المتر حفر يكلفه كم معرفة البئر صاحب يريد / حفر يكلفه وكم ، البئر من كله السادس البئر .

للمقاول سيدفعها التي االجرة البئر صاحب كتبالنمط مستخدما يحفره متر كل نفسه عن السابق

قدرها منتظمة زيادة فكتب  رياال 25وهو ، 175، 150، 125 ، 100، 75، 50المتتالية : .

يكلفه السادس المتر أن البئر صاحب ، 175استنتج هي كله البئر حفر تكاليف : وأن

.رياال 675 = 175 + 150 + 125 + 100 + 75 + 50

المتتالية :  175، 150، 125، 100، 75، 50تسمى حسابية . متتالية

  

: مثال

  من الحسابية المتسلسالت أو المتتاليات ميزيلي فيما : غيرها

1( 3 ، 5 ، 7 ، . . . ، 31                               2( 1 + 1/2 + 1/3 + . . . + 1 /20

األولية )3 األعداد 4                                 متتالية ( r + 7 ( ∑

                                                                                 r=1

: الحل

، . . . 7، 5، 3المتتالية )1 أساسها 31، ألن حسابية حيث 2 = 5 – 7، 2 = 3 – 5ثابت

ليست  20 /1 + . . . + 1/3 + 1/2 + 1المتسلسلة )2 ألن حسابية

  حيث ثابت غير بينما  2 / 1 = - 1 – 2 / 1أساسها ،1/3 –1/2 - = 1/6

األولية : )3 األعداد ليست . . . 7، 5، 3، 2متتالية ، ألن 1 = 2 – 3حسابية

  ثابت 2= 3 – 5بينما غير فأساسها

4( )r + 7 ( ∑       = )1+7( + )2+7 ( + )3+7 ( + ) 4 + 7( + . . . + ) 10+ 7(

                          = 8 +9+10+. . . +17

حيث ثابت أساسها ألن حسابية متسلسلة -9فهي8 =10 - 9 = 1       

 

 

الحسابية للمتتالية العام :الحد

الحسابية : المتتالية 27، 23، 19، 15، 11، 7، 3لنأخذ أساسها التالي ونالحظ 4التي النمط :

الثاني 4 (×1 – 2 + ) 3 = 1×4 + 3 = 7الحد = u2

الثالث 4 ( × 1 – 3 )3 = 2× 4 + 3 = 11الحد = u3

                                 

السابع 4 ( × 1 – 7 + )3 = 4 × 6 + 3 = 27الحد = u7

العدد = حد كل أن األول ) (3الحظ رتبة + )  الحد وهذا ( × 1الحد – الحد األساس على أيضا ينطبق

ذلك من ،تحقق .األول

حسابية : لمتتالية االول الحد كان إذا العام بشكلالحد  d وأساسها a هو الثاني فإن =  a+ d ، الحدالعاشر a + d2 = الثالث وهكذا . . .، a+ 9d = والحد

هو ) ( ويكون النوني الحد العام الحد

   n– 1 ( d = a = un(

: مثال

  التي الحسابية المتتالية في الخامس الحد أوجداألول الحدود تحقق. 5وأساسها 2حدها بكتابة

المتتالية من األولى .الخمسة

: الحل

2=  a،  5 = d

  a+ ) n – 1 ( n= un

2 + )5 – 1 ( ×5= u5

22= 2 + 4× 5  = u

هي : المتتالية 22، 17، 12، 7، 2التحقق

الخامس = صحيحة 22الحد النتيجة ، .

الحسابية األوساط :ARITHMETIC MEAN

عام : بشكل

العددين بين حسابي وسط إدخال ، a يمكن b الوسط هذا a = فيكون+ b / 2 األعداد وتشكل

 a ،a + b /2 ، b . كان وإذا حسابية ، a متتالية b يمكننا فإنه عددينعدة هي  ادخال حسابية كاوساط اعداد : x1 ، x2 ، x 2 ، . . . ، xn بين

، a العددين b كال المجاورين ألن للعددين حسابيا وسطا يكون منها المتتالية في   له

 

حسابية متتالية من متتالية حدود ثالثة أخذنا إذايكون منها األوسط الحد حسابيا فإن وسطا

الحسابية : المتتالية ففي اآلخرين، ، 9، 5للحدين أن 17، 13 الحسابي 9العدد نالحظ الوسط هو

المجاورين أن 2 /  13 = 5 = 9ألن 13، 5للعددين كما المجاورين 13العدد للعددين الحسابي 17، 9هو .

:مثال

  العددين 4أدخل بين حسابية 29  ، 4أوساط

ادخال : عند بين 4الحل حسابية 29، 4أوساط النحو : على المتتالية 4تصبح ، x 1 ،x2 ، x3 ، x4 ،29

4  وتكون = a،  29 = u6

  a + d 5 = u6

29= 4 + 5 × d

20= 5d          d = 5

الحسابية : المتتالية 29، 24، 19، 14، 9، 4تصبح هي االوساط 24، 19 ، 14، 9وتكون

الحسابية     المتسلسلة SUM OF: مجموعARITHMETIC SERIES

عام يجمعوا 1787في أن تالميذه من معلم طلب م من الصحيحة االعداد أي 100 إلى 1جميع

معدودة 100 + . . . + 3 + 2 +1  دقائق سوى تمض لمويدعى تالميذ احد فاجأه جاوس حتى

الثالث (  الصف في آنذاك اعطاء ) وكان بأنوهو الصحيح المعلم. 5050الجواب مندهشا سأله

الجواب على حصلت ، كيف

يلي كما الحل جاوس : كتب

cn = 1 + 2 + 3 + . . . + 100 نفسه المجموع كتب ثممعكوس بشكل

cn = 100 + 99 + 98 + . . . + 1

 عدد (    cn 2= 1010 + 101+ 101 + . . . + 101  بالجمع 100الحدود (

2c = 101 × 100

c= 101 × 100 / 2 = 50 ) 101 ( = 5050

: قاعدة

n/ 2 ) a+ k( = cn          . . . )1(        n / 2 )2a + )n – 1 (d ( =  cn       . . . )2

 

 

 

أول : مجموع أوجد حدود 20مثال من حدا 13 + 8 + 3المتسلسلة : + . . .

حدها : حسابية متسلسلة هي المتسلسلة الحل، a= 3 األول d = 5

  n / 2  )2a + ) n – 1 ( d ( = cn

20 / 2 ) 2 × 3 + 19 × 5 ( = 10 ) 6 + 95 ( = cn

                                              = 10 × 101 = 1010

 

 

الجبرية : الحدود وطرح جمع : ثانيا

صورة : بابسط اكتب : Simplify مثال

1( 5a+7a - 2a -a

فإن وعليه وتطرح تجمع المتشابهة الحدود9الجواب = a

2( 3b+1-b+4

= 2b +5

3( 2ab+ab-7a+3ab

=6ab-7a

: أسئلة

صورة ابسط الى يلي ما : اختصر

1(3a-7+a+1

+4x+ 5 -3x 2( 5x2

2x+ 5 +x - 7– 3( x2

4( a2 +ab + b2 -2ab - b2+ a2

5( )2x-3( - )x+3( - )2x+7(

الجبرية المقادير : ضرب

ان درست ان a 2 6= 2a.3a سبق ، 6وأن ab= 2a ) 3b( في كما الجبرية لحدود ضرب نجري فإننا وهكذا

التالي : المثال

:مثال

اختصر ثم االقواس Expand and Simplify فك

3x)2x-2(+x)2x-1(

فإن : التوزيع قانون باستخدام 6- الحل x+ 2x2- x 6x2

-7x 8x2=

: مثال

اختصر ثم االقواس : Expand and Simplify فك

) 2a – 7() 3a + 8(

: الحل

) 2a – 7() 3a + 8( = 6a2 + 16a – 21a – 56 = 6a2 – 5a – 56

: مثال

اختصر ثم االقواس Expand and Simplify فك

2 )a+b ( 2 )a– b(

3 ) a + b(

:الحل

2 )a+b ( = )a+b()a+b(

= a2+2ab + b2

)a – b( )a – b( = 2 )a– b(

=a2 + - 2ab+ b2

a3+a 3 b2 +a b2 3 + b3= )a+ b( )a2 +2ab+b2 (= 3 )a +b(

الجبرية المقادير ضرب على : اسئلة

اختصر ثم االقواس فك

1( 2x)x-1(-3x)x+5(

2( )3x-4()3x+4(

3( )2x+3( 2

4( )3a-2( 2

5( )2x+5()3x-1(- )x-1(2)x+1(

6( )3a-4()2a+4( - )a-3()9+3(

7( )5a-9()5a+9( - )3a-5()3a+5(