Post on 21-Dec-2018
Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matematica
MTM131 - Geometria Analıtica e Calculo Vetorial
Professora: Monique Rafaella Anunciacao de Oliveira
Lista de Exercıcios 2
1. Determine as equacoes das seguintes elipses:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Respostas: (a)x2
9+y2
4= 1; (b)
x2
25+y2
9= 1; (c)
x2
4+y2
13= 1; (d)
(x− 4)2
16+y2
9= 1; (e)
(x− 4)2
5+
(y − 4)2
1= 1;
(f)(x+ 6)2
9+
(y − 5)2
16= 1
2. O ponto C(3, 2) e o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria sao paralelos
aos eixos coordenados, escreva a equacao da elipse.
Resposta:(x− 3)2
9+
(y − 2)2
4= 1
3. As metades do eixo maior e da distancia focal de uma elipse medem, respectivamente, 10 cm e 6 cm, e seu centro
e o ponto (4,−2). Se o eixo menor e paralelo ao eixo coordenado Ox, escreva a equacao reduzida dessa elipse.
Resposta:(x− 4)2
64+
(y + 2)2
100= 1
4. Calcule a distancia focal e a excentricidade da elipse (λ) 25x2 + 169y2 = 4225.
Respostas: distancia focal = 24; excentricidade: e =12
13
5. Determine a equacao da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P (1, 1) e tem um foco F1
(−√
6
2, 0
).
Resposta:x2
3+y2
32
= 1
6. Construa o grafico da conica cuja equacao e 25x2 + 16y2 = 400 e obtenha as coordenadas dos focos.
Resposta: F1(0,−3) e F2(0, 3)
7. Determine os focos da conica de equacao(x− 1)2
25+
(y − 1)2
9= 4.
Resposta: F1(−7, 1) e F2(9, 1)
8. Qual e a equacao do conjunto dos pontos P (x, y) cuja soma das distancias a F1(0,−6) e F2(0, 10) e 34?
Resposta:x2
225+
(y − 2)2
289= 1
9. Determine as equacoes das seguintes hiperboles:
(a) (b)
(c)
(d)
Respostas: (a)x2
4− y2
5= 1; (b)
y2
4− x2
12= 1; (c)
(x− 3)2
1− y2
8= 1; (d)
(x− 4)2
1− (y − 3)2
3= 1
10. Obtenha a distancia focal da hiperbole cuja equacao ex2
36− y2
64= 1.
Resposta: 20
11. Calcule a excentricidade da hiperbole cuja equacao e 9x2 − 25y2 = 1.
Resposta: e =
√34
5
12. Construa os graficos das conicas (λ)x2 − y2 = 1 e (λ′) y2 − x2 = 1. Sao coincidentes?
Resposta: Nao
13. Determine as coordenadas dos focos da hiperbole cuja equacao e 9y2 − 16x2 = 144.
Resposta: F1(0,−5) e F2(0, 5)
14. Obtenha os focos da conica cuja equacao e(x− 1)2
7− (y − 1)2
2= 1.
Resposta: F1(−2, 1) e F2(4, 1)
15. Determine a equacao da hiperbole que tem as seguintes propriedades:
(a) seu centro e a origem; (b) um de seus focos e F1(0,−2); (c) um de seus pontos e P (1,√
3).
Resposta:y2
2− x2
2= 1
16. Determine as equacoes das seguintes parabolas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Respostas: (a) y2 = 8x; (b) x2 = 12y; (c) x2 = −8y; (d) (y − 3)2 = 4(x− 3); (e) (x− 3)2 = 4(y − 2);
(f) (x− 1)2 = −8(y − 2)
17. Ache as coordenadas do foco F e a equacao da diretriz da parabola y2 = −8x.
Respostas: F (−2, 0) e (d)x = 2
2
18. Determine o foco e o vertice da parabola (λ) (y − 3)2 = 8(x− 1).
Respostas: F (3, 3) e V (1, 3)
19. Ache a equacao da diretriz da parabola representada pela equacao y = (x− 3)2.
Resposta: (d) y = −1
4
20. Obtenha a equacao da parabola cuja diretriz e (d)x = 0 e cujo foco e F (2, 2).
Resposta: (y − 2)2 = 4(x− 1)
21. Qual e a equacao do conjunto dos pontos P (x, y) que sao equidistantes da reta (d) y = 5 e do ponto F (0, 0).
Resposta: x2 = −10y + 25
22. Dada a parabola de equacao x = y2 − 6y + 8, determine as coordenadas do vertice.
Resposta: V (−1, 3)
23. Caracterize a conica representada por cada uma das equacoes abaixo:
(a) 3x2 + 2y2 − 12x− 4y + 8 = 0.
(b) 2y = x2 + 2x+ 7.
(c) 4x2 − 3y2 + 6y − 15 = 0.
(d) x = y2 + y + 1.
(e) 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0.
(f) 9x2 − 4y2 − 18x− 8y − 20 = 0.
Respostas: (a) Elipse com centro O(2, 1), a =√
3, b =√
2; (b) Parabola com vertice V (−1, 3) e parametro p = 1;
(c) Hiperbole com centro O(0, 1), a =√
3, b = 2; (d) Parabola com vertice V
(3
4,−1
2
)e parametro p =
1
2;
(e) Elipse com centro O(1, 2), a = 3, b = 2; (f) Hiperbole com centro O(1,−1), a =5
3, b =
5
2
24. Uma conica tem equacao x2 + 2y2− 4x+ 2 = 0. Caracterize a conica, determine seus focos e sua excentricidade.
Resposta: Elipse com centro O(2, 0), a =√
2, b = 1, focos F1(1, 0) e F2(3, 0), excentricidade e =1√2
25. Obtenha uma reta t paralela a reta y = x e tangente a parabola (λ) y = x2−x+3. Ache o ponto T de tangencia.
Respostas: (t)x− y + 2 = 0;T (1, 3)
26. Obtenha uma reta t perpendicular a reta (r)x+ 2y + 1 = 0 e tangente a hiperbole (λ) 5x2 − y2 = 1.
Resposta: Nao existe
27. Determine a equacao reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hiperbole 9x2−16y2 = −144
e cuja excentricidade e o inverso da excentricidade da hiperbole dada.
Resposta:x2
62516
+y2
25= 1
28. Mostre que, se os pontos A 6= B, entao os segmentos orientados (A,B) e (B,A) sao de mesmo comprimento,
mesma direcao e de sentido contrario.
29. Prove que:
(a) Se (A,B) ∼ (P,Q) e (C,D) ∼ (P,Q) entao (A,B) ∼ (C,D).
(b) Se (A,B) ∼ (C,D) entao (B,A) ∼ (D,C).
(c) Se (A,B) ∼ (C,D) entao (C,A) ∼ (D,B).
30. Prove que:
(a) Se−−→AB =
−−→CD entao
−→AC =
−−→BD. (b) Se
−−→BC =
−→AE entao
−−→EC =
−−→AB.
31. Prove que ~u = −~u se, e somente se, ~u = ~0.
32. Mostre que:
(a) Se ~u 6= ~0, entao ||~u|| > 0.
(b) ||−~u|| = ||~u||.
33. Verifique se e verdadeira ou falsa cada afirmacao e justifique sua resposta.
3
(a) (A,B) ∈−−→AB.
(b) (A,B) ∼ (C,D) se, e so se,−−→AB =
−−→CD.
(c) Se AB ‖ CD, entao−−→AB ‖
−−→CD.
(d) Se−−→AB =
−−→CD, entao A = C e B = D.
(e) Se−−→AB =
−−→CD, entao (A,C) ∼ (B,D).
(f) Se−−→AB =
−−→CD, entao AC ∩BD = ∅.
(g) Se∣∣∣∣∣∣−−→AB∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣−−→CD∣∣∣∣∣∣, entao−−→AB =
−−→CD.
(h) Se−−→AB =
−−→CD, entao
∣∣∣∣∣∣−−→AB∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣−−→CD∣∣∣∣∣∣.
(i) Se (A,B) ∼ (C,D), entao∣∣∣∣∣∣−−→AB∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣−−→CD∣∣∣∣∣∣.Respostas: (a) V; (b) V; (c) V; (d) F; (e) V; (f) F; (g) F; (h) V; (i) V
34. Vale a igualdade ||~u+ ~v|| = ||~u|| + ||~v|| para quaisquer vetores ~u e ~v? Justifique sua resposta. E quanto a
||~u− ~v|| = ||~u|| − ||~v||?Respostas: Nao. Nao.
35. Prove que, se−−→AB +
−→AC =
−−→BC, entao A = B.
36. Mostre que o oposto de ~u+ ~v e −~u− ~v.
37. Na figura abaixo, ABCDEFGH representa um paralelepıpedo. Sendo ~u =−−→AB,~v =
−−→AD e ~w =
−→AE, exprima
−−→HB e
−−→DF em funcao de ~u,~v, ~w.
Respostas:−−→HB = ~u− ~v − ~w;
−−→DF = ~u− ~v + ~w
38. Determine a soma dos vetores indicados na figura.
(a) (b) (c) (d)
Respostas: (a)−−→AD; (b) ~0; (c)
−−→AD; (d)
−→AC
39. No paralelepıpedo da figura abaixo, determine o vetor ~x:
(a) ~x =−−→GH −
−−→HE −
−−→FE +
−→AE +
−−→AB.
(b) ~x =−−→HD −
−−→CF +
−−→DG+
−−→BC +
−→AF −
−−→BE.
(c) ~x =−−→AB +
−−→HG+
−→AC +
−−→DF +
−−→CE +
−−→BD.
Respostas: (a) ~x =−→AG; (b) ~x =
−−→HD; (c) ~x = 2
−→AF
40. Calcule a soma dos seis vetores que tem por representantes segmentos orientados com origem em cada um dos
vertices, e extremidade no centro de um mesmo hexagono regular.
Resposta: ~0
4
41. Quais sao a origem e a extremidade de um representante do vetor−−→BC +
−−→GH −
−→FA−
−−→GC +
−−→FB?
Resposta: A e H
42. Na figura abaixo, sejam ~u =−−→AB,~v =
−−→AH, ~w =
−→AC. Obtenha representantes dos vetores ~x e ~y tais que
~u+ ~v + ~x = ~0 e ~u+ ~v + ~w + ~y = ~0.
Respostas: ~x =−→GA; ~y =
−→FA
43. Mostre que, se ~v e um vetor nao-nulo, entao ~v e seu versor sao paralelos, de mesmo sentido, e que o versor de ~v
e unitario (isto e, tem norma 1).
44. Sendo ~u,~v e ~w representados na figura abaixo, represente ~x = 2~u− ~v + 5~w/4 por uma flecha de origem O.
Resposta:
45. O hexagono ABCDEF e regular, de centro O. Prove que−−→AB +
−→AC +
−−→AD +
−→AE +
−→AF = 6
−→AO.
46. Resolva os sistemas nas incognitas ~x e ~y:
(a)
{~x+ 2~y = ~u
3~x− ~y = 2~u+ ~v(b)
{~x+ ~y = ~u− 2~v
~x− ~y = 3~u
Respostas: (a) ~x = 5~u/7 + 2~v/7; ~y = ~u/7− ~v/7; (b) ~x = 2~u− ~v; ~y = −~u− ~v
47. Suponha que ~u = λ~v. Prove que:
(a) se ~v 6= ~0, entao |λ| = ||~u|| / ||~v||;
(b) se ~u e ~v sao de mesmo sentido, entao ~u =||~u||||~v||
~v; se sao de sentido contrario, ~u = −||~u||||~v||
~v.
48. Prove que, se P = A− ~u, entao−−→AB + ~u =
−−→PB, qualquer que seja B.
49. Determine a relacao entre ~u e ~v, sabendo que, para um dado ponto A, (A+ ~u) + ~v = A.
Resposta: ~u = −~v
50. Dados os pontos A,B e C, determine X, sabendo que (A+−−→AB) +
−−→CX = C +
−−→CB.
Resposta: C = X
51. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
(a) Se (~u,~v, ~w) e LD, entao (~u,~v) e LD.
(b) Se (~u,~v) e LI, entao (~u,~v, ~w) e LI.
5
(c) Se ~u,~v e ~w nao sao nulos e se (~u,~v, ~w) e LD, entao (2~u,−~v) e LD.
(d) Se (~u,~v, ~w) e LI, entao (~u,~v) e LD.
(e) Se (~u,~v, ~w) e LD, entao (~u,~v) tanto pode ser LD como LI.
(f) Se (~u,~v) e LI, entao (~u,~v, ~w) tanto pode ser LD como LI.
Respostas: (a) F; (b) F; (c) F; (d) F; (e) V; (f) V
52. Prove que (~a,~b,~c) e LD, quaisquer que sejam ~u,~v e ~w.
(a) ~a = 2~u+ 4~v + ~w, ~b = −~u+ ~v/2 + 3~w/4, ~c = ~v + ~w/2.
(b) ~a = ~u+ 2~v − ~w, ~b = 2~u− 3~v + ~w, ~c = 7~v − 3~w.
(c) ~a = ~u− 2~v + ~w, ~b = 2~u+ ~v + 3~w, ~c = ~u+ 8~v + 3~w.
53. Prove:
(a) (~u,~v) e LI se, e so se, (~u+ ~v, ~u− ~v) e LI.
(b) (~u,~v, ~w) e LI se, e so se, (~u+ ~v + ~w, ~u− ~v, 3~v) e LI.
54. Determine a e b, sabendo que (~u,~v) e LI e que (a− 1)~u+ b~v = b~u− (a+ b)~v.
Resposta: a =2
3, b = −1
3
55. No trapezio ABCD da figura abaixo, o comprimento de AB e o dobro do comprimento de de CD. Exprima−−→AX
como combinacao linear de−−→AD,
−−→AB.
Resposta:−−→AX = 2
−−→AD/3 +
−−→AB/3
56. Seja E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base. Sabendo que (x, y, x− y)E = (x2, y2, x+ y)E , calcule x2 + y2 − x.
Resposta: x2 + y2 − x = 0
57. Sendo ~u = (1,−1, 3)E , ~v = (2, 1, 3)E , ~w = (−1,−1, 4)E , determine a tripla de coordenadas de:
(a) ~u+ ~v. (b) ~u− 2~v. (c) ~u+ 2~v − 3~w.
Respostas: (a) (3, 0, 6)E ; (b) (−3,−3,−3)E ; (c) (8, 4,−3)E
58. Escreva ~t = (4, 0, 13)E como combinacao linear de ~u = (1,−1, 3)E , ~v = (2, 1, 3)E , ~w = (−1,−1, 4)E .
Resposta: ~t = ~u+ 2~v + ~w
59. ~u = (1,−1, 3)E pode ser escrito como combinacao linear de ~v = (−1, 1, 0)E , ~w = (2, 3, 1/3)E?
Resposta: Nao
60. Verifique se ~u e ~v sao LI ou LD.
(a) ~u = (0, 1, 0)E , ~v = (1, 0, 1)E .
(b) ~u = (0, 11, 1)E , ~v = (0,−22,−2)E .
(c) ~u = (0, 1, 1)E , ~v = (0, 3, 1)E .
(d) ~u = (1,−3, 14)E , ~v = (1/14,−3/14, 1)E .
Respostas: (a) LI; (b) LD; (c) LI; (d) LD
61. Verifique se ~u,~v e ~w sao LI ou LD.
6
(a) ~u = (1, 0, 0)E , ~v = (200, 2, 1)E , ~w = (300, 1, 2)E . (b) ~u = (1, 2, 1)E , ~v = (1,−1,−7)E , ~w = (4, 5,−4)E .
Respostas: (a) LI; (b) LD
62. Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam LD.
(a) ~u = (m, 1,m)E , ~v = (1,m, 1)E .
(b) ~u = (m, 1,m+ 1)E , ~v = (1, 2,m)E , ~w = (1, 1, 1)E .
(c) ~u = (m, 1,m+ 1)E , ~v = (0, 1,m)E , ~w = (0,m, 2m)E .
Respostas: (a) m = −1 ou m = 1; (b) Nao existe; (c) m = 0 ou m = 2
63. Verifique se (~f1, ~f2, ~f3) e base, sabendo que ~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2 = ~e1 + ~e2, ~f3 = ~e3, e que (~e1, ~e2, ~e3) e base.
Resposta: Nao
64. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base, ~u = ~e1 +~e2, ~v = ~e1 +~e2 +~e3, ~w = a~e1 + b~e2 + c~e3. Determine uma relacao entre
a, b e c para que (~u,~v, ~w) seja base.
Resposta: a 6= b
65. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base, ~u = (1, 2,−1)E , ~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2 = m~e1 + 2m~e2 − ~e3, ~f3 = 4~e2 + 3~e3.
(a) Para que valores de m a tripla F = (~f1, ~f2, ~f3) e base?
(b) Nas condicoes do item (a), calcule m para que ~u = (0, 1, 0)F .
Respostas: (a) m 6= −4
7; (b) m = 1
66. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base, ~f1 = ~e1 −+~e2, ~f2 = m~e1 + ~e3, ~f3 = −~e1 − ~e2 − ~e3.
(a) Para que valores de m a tripla F = (~f1, ~f2, ~f3) e base?
(b) Nas condicoes do item (a), calcule a e b de modo que os vetores ~u = (1, 1, 1)E e ~v = (2, a, b)F sejam LD.
Respostas: (a) m 6= 2; (b) Nao existem
67. Seja E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base ortonormal. Calcule ||~u||, nos casos:
(a) ~u = (1, 1, 1)E . (b) ~u = 3~e1 + 4~e3. (c) ~u = −4~e1 + 2~e2 − ~e3.
Respostas: (a) ||~u|| =√
3; (b) ||~u|| = 5; (c) ||~u|| =√
21
68. No paralelepıpedo retangulo da figura abaixo, HG,BC e CG medem, respectivamente, 3, 1 e 2.
(a) Explique por que (−−→AB,
−→AE,−−→AD) e base e verifique se e ortonormal.
(b) Explique por que, em relacao a base do item (a),−→AG = (1, 1, 1).
(c) O comprimento da diagonal AG e d =√
14 ou d =√
3?
Respostas: (a) Nao; (c) d =√
14
69. Determine a, b e c, sabendo que (1, 1, 2)E = (2, 1, 0)F e que a matriz de mudanca da base F para a base E e −1 0 a
2 1 b
1 0 c
.Resposta: a =
3
2, b = −1, c = −1
2
7
70. Escreva a matriz de mudanca da base E = (~e1, ~e2, ~e3) para a base F = (~f1, ~f2, ~f3) e exprima o vetor ~u =
−4~f1 + ~f2 − ~f3 em funcao de ~e1, ~e2, ~e3, sabendo que ~f1 = (−3, 1, 1)E , ~f2 = (1,−2, 1)E e ~f3 = (1, 2, 0)E .
Resposta: MEF =
−3 1 1
1 −2 2
1 1 0
; ~u = 12~e1 − 8~e2 − 3~e3
71. Se E = (~u,~v, ~w) e base, que condicoes deve satisfazer m para que F = (~u+~v,m~v− ~w, ~u+m~w) seja base? Escreva
a matriz de mudanca de E para F .
Resposta: m 6= −1 e m 6= 1; MEF =
1 0 1
1 m 0
0 −1 m
72. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3), F = (~f1, ~f2, ~f3) e G = (~g1, ~g2, ~g3) bases tais que
2~e1 =√
3~f1 − ~f3 ~g1 = ~e1 + ~e2 + ~e3
2~e2 = ~f1 +√
3~f3 ~g2 = ~e1 + ~e2
~e3 = ~f2 ~g3 = ~e1
Escreva as matrizes de mudanca de base MFE ,MEG e MFG.
Respostas: MFE =
√
3/2 1/2 0
0 0 1
−1/2√
3/2 0
; MEG =
1 1 1
1 1 0
1 0 0
; MFG =
(√
3 + 1)/2 (√
3 + 1)/2√
3/2
1 0 0
(√
3− 1)/2 (√
3− 1)/2 −1/2
8