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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA UNIBAN/SP
PAULO MASANOBO MIASHIRO
A TRANSIÇÃO DAS RAZÕES PARA AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo 2013
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PAULO MASANOBO MIASHIRO
A TRANSIÇÃO DAS RAZÕES PARA AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante Anhanguera, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa. Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão.
São Paulo 2013
FOLHA DE APROVAÇÃO Aprovado em 15 de agosto de 2013. Banca de defesa: Profa. Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, Uniban. Assinatura: ______________ Profa. Dra. Cristina Cerri, USP. Assinatura: _______________ Profa. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa, Uniban. Assinatura: _______________ Biblioteca
Bibliotecário: _________________________________________________ Assinatura: _________________________________ Data: ___ / ___ / ___
São Paulo, ___ de ________________ de 20____
Autorizo a reprodução parcial ou total deste trabalho, por qualquer que seja o processo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos.
Assinatura:_________________________Local e data_______________________
AGRADECIMENTO
A Deus, pela saúde e a disposição para o estudo e o trabalho.
A meus familiares, amigos, colegas e à todos os professores do Curso de Mestrado em Educação Matemática, que me ajudaram nesta jornada.
Ao meu irmão Wilson e sua esposa Alejandra, que tornaram possível a realização do meu sonho em cursar este mestrado.
A minha orientadora, Professora Doutora Maria Elisa Esteves Galvão, que com muito paciência, presteza e inteligência, conduziu esta pesquisa.
As Professoras Doutoras Cristina Cerri e Nielce M. Lobo da Costa, por participarem da minha banca e pelas valiosas sugestões que enriqueceram este trabalho.
A minha amiga, Professora Mariângela V. Canuto, pela revisão ortográfica desta dissertação.
Ao amigo, mestrando Marcelo Paiva pela ajuda com as fotografias.
A minha esposa Cleuza, pelo apoio e compreensão.
O autor.
RESUMO
O objetivo deste trabalho é investigar a combinação do contexto experimental
com o contexto computacional, no ensino dos principais conceitos presentes na
transição das razões para as funções trigonométricas. No contexto experimental,
com os materiais concretos confeccionamos triângulos, discos e um dispositivo que
denominamos “ciclo trigonométrico”. No contexto computacional utilizamos o
programa educacional Cabri-Géomètre II, para permitir uma interação dos alunos
com as razões trigonométricas e com as propriedades dos arcos de uma
circunferência. Para introduzirmos o gráfico da função seno, criamos um modelo que
simulava o movimento de uma roda gigante.
Baseados na Teoria da Aprendizagem Significativa, de David Ausubel, e numa
minuciosa pesquisa na história da trigonometria, escolhemos os conceitos
relacionados à função seno, e com esses conceitos planejamos algumas atividades
que foram aplicadas a nove alunos de um curso superior de Licenciatura em
Matemática, nos moldes da metodologia do Design Based Research (DBR).
A análise dos dados nos levou à conclusão de que a estratégia de ensino nas
intervenções provocou e revelou algumas habilidades e conhecimentos adquiridos
pelos participantes, tais como as medidas em radianos, a construção de uma tabela
trigonométrica e do gráfico da função seno. O pequeno numero de estudantes e
suas frequências irregulares não recomendavam uma análise comparativa, no
entanto a experiência com as intervenções nos possibilitou observar que, para uma
aprendizagem significativa do conceito ”ciclo trigonométrico”, temos que confirmar
se todos os conceitos subsunçores estão devidamente consolidados na estrutura
cognitiva dos alunos, pois de acordo com o princípio da reconciliação integrativa ,
qualquer falha nesses conhecimentos (sistema cartesiano ortogonal, definição de
lugar geométrico do círculo, conjunto dos números reais e medidas em radianos)
poderá impossibilitar a combinação desses conceitos subsunçores necessários para
a construção desse conceito e a compreensão da função seno.
Palavras chave: Teoria da Aprendizagem Significativa; trigonometria; contexto
experimental e contexto computacional; Cabri-Géomètre II; tabelas trigonométricas e
o gráfico da função seno.
ABSTRACT
The objective of this study is to investigate the combination of experimental
context and computational contexts, in order to teach the main concepts present in
the transition of the reasons for the trigonometric functions. In the experimental
context, with concrete materials, we made triangles, discs and a device called
“trigonometric cycle”. In the computational contexts we used the educational software
Cabri-Géomètre II, to allow student interaction with the trigonometric ratios, and the
properties of the arcs of a circle. To introduce the graph of sine function, we created
a model that simulates the movement of a giant wheel.
Based on the David Ausubels’ Meaningful Learning Theory, and on a
meticulous research in the history of trigonometry , we chose the concepts related to
the sine function , and used these concepts to plan activities, which were then
applied to nine undergraduate mathematics students, following the Design Based
Research Methodology (DBR).
Data analysis led us to the conclusion that the teaching strategy resulted in
interventions and revealed some skills and knowledge acquired by the participants,
such as measures in radians, building a table and graph of the trigonometric sine
function. The small number of students and theirs irregular frequencies, did not
recommended a comparative analysis, however the experience with the interventions
allowed us to observe that, for a significant learning of the concept “trigonometric
circle”, we must confirm if all concepts are subsumers properly consolidated in the
cognitive structure of the students, because according to the principle of integrative
reconciliation any failure in such knowledge (orthogonal cartesian system, defining
the locus of the circle, set of real numbers and measures in radians) may preclude
the combination of these concepts subsumers needed to build this concept and
understanding of the sine function.
Keywords: Theory of Meaningful Learning; trigonometry ; material context and
computational context ; Cabri-Géomètre II ; trigonometric tables and the graph of the
sine function .
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático (fazer matemática, atividade matemática). .................................................................................... 77 Tabela 2 - Desempenho dos nove alunos no teste diagnóstico. ................................................ 95 Tabela 3 - Atividades da primeira intervenção. ............................................................................. 97 Tabela 4 - Atividades da segunda intervenção. .......................................................................... 108 Tabela 5 - Atividades da terceira intervenção .............................................................................. 116 Tabela 6 - Atividades da quarta intervenção ................................................................................ 125 Tabela 7 - Comparação do teste diagnóstico com o teste final. ............................................... 141
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Teste diagnóstico, questões 1 – 4. .............................................................................. 93 Quadro 2 - Teste diagnóstico, questões 5 -6. ................................................................................ 94 Quadro 3 - 1ª Int., at.1. ...................................................................................................................... 98 Quadro 4 - 1ª int., at. 1, final da 1ª parte. ....................................................................................... 99 Quadro 5 - 1ª int., at. 1, início da 2ª parte. ................................................................................... 101 Quadro 6 - 1ª int., at. 2, início. ........................................................................................................ 102 Quadro 7 - 1ª int., at. 2, final. .......................................................................................................... 104 Quadro 8 - 1ª int., at. 3, problema 1. ............................................................................................. 106 Quadro 9 - 1ª int., at. 3, problemas de aplicação do seno. ........................................................ 107 Quadro 10 - 2ª int., at. 3. ................................................................................................................. 109 Quadro 11 - 2ª int., at. 4. ................................................................................................................. 111 Quadro 12 - 2ª int., at. 5. ................................................................................................................. 113 Quadro 13- 2ª int., at. 6. .................................................................................................................. 114 Quadro 14 - 2ª int., problemas sobre as medidas em radianos. ............................................... 115 Quadro 15 - 3ª int., at.1. .................................................................................................................. 118 Quadro 16 - 3ª int., at.1 ................................................................................................................... 118 Quadro 17 - 3ª int., at.1, leitura: definição de uma função periódica. ...................................... 120 Quadro 18 - 3ª int., at. 2. ............................................................................................................... 121 Quadro 19 - 3ª int., at. 2, tabela. .................................................................................................... 122 Quadro 20 - 3ª int., at. 2, final. ........................................................................................................ 124 Quadro 21- 4ª int., at. 1. .................................................................................................................. 126 Quadro 22 - 4ª int., leitura: definição de seno. ............................................................................. 128 Quadro 23 - 4ª int., at. 2. ................................................................................................................. 129 Quadro 24 - 4ª int., at. 2, questão. ................................................................................................. 129 Quadro 25 - 4ª int., at. 3. ................................................................................................................. 131 Quadro 26 - 4ª int., at. 4. ............................................................................................................... 134 Quadro 27 - Teste final, questões 1-2. .......................................................................................... 137 Quadro 28 - Teste final, questões 3-5. .......................................................................................... 138 Quadro 29 - Teste final, 6ª questão. .............................................................................................. 139 Quadro 30 - Teste final, questões 7- 8. ........................................................................................ 140
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - A inclinação das pirâmides do Egito ............................................................................. 19 Figura 2 - Thales e o cálculo da altura de uma pirâmide com uma estaca. .............................. 20 Figura 3 -Gnômon. ............................................................................................................................. 20 Figura 4- Ilustração do Teorema de Pitágoras por decomposição............................................. 22 Figura 5 - Aristarco e a comparação de distâncias. ...................................................................... 23 Figura 6 - Esquema de Aristarco. .................................................................................................... 24 Figura 7 - Apolônio e os epiciclos. ................................................................................................... 25 Figura 8 - As observações de Eratóstenes para calcular o perímetro da Terra. ...................... 26 Figura 9 - Triângulos inscritos. ......................................................................................................... 27 Figura 10 - Ilustração do Sistema Ptolomaico. .............................................................................. 28 Figura 11 - A relação entre senos, arcos e cordas. ...................................................................... 29 Figura 12 - A Lei dos senos. ............................................................................................................. 30 Figura 13 - Teorema de Ptolomeu. .................................................................................................. 31 Figura 14 - O Teorema de Ptolomeu e o seno da diferença de dois ângulos. ......................... 32 Figura 15 - O Teorema de Pitágoras no Sulvasutra Katyayana. ................................................ 33 Figura 16 - As funções seno e tangente. ........................................................................................ 36 Figura 17 - A aritmetização da geometria. ..................................................................................... 40 Figura 18 - Fermat e o traçado das tangentes. ............................................................................. 42 Figura 19 - O contradomínio da função de Euler. ......................................................................... 47 Figura 20 - Definição da função de Euler. ...................................................................................... 47 Figura 21 - A função do Seno no Ciclo trigonométrico ........................................................................ 65 Figura 22 - Funções circulares e função seno. .............................................................................. 66 Figura 23 - O seno dos ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes. ........................................................ 67 Figura 24 - O domínio e o contradomínio da função sen x. ......................................................... 67 Figura 25 - Definição do seno. ......................................................................................................... 68 Figura 26 - O seno de alguns valores de x. ................................................................................... 69 Figura 27 - O princípio da assimilação, segundo Alsubel, Novak e Hanesian. ........................ 73 Figura 28 - Tratamento para o calculo da área de um paralelogramo....................................... 78 Figura 29 - Problema de Schoenfeld. .............................................................................................. 78 Figura 30 – Duas disposições dos elementos da figura do problema de Schoenfeld. ............ 79 Figura 31 - Reconhecimento de uma conversão. ......................................................................... 80 Figura 32 - Objetos do ambiente experimental .............................................................................. 88 Figura 33 - O dispositivo “ciclo-trigonométrico” ............................................................................. 89 Figura 34 - O dispositivo “ciclo trigonométrico” e a projeção ortogonal de um ponto sobre o eixo vertical. ......................................................................................................................................... 90 Figura 35 - Triângulos escalenos semelhantes. ............................................................................ 98
LISTA DE MANUSCRITOS
Manuscrito 1 - Aluno 7, 1a. ............................................................................................................... 99 Manuscrito 2 - Aluno 7, 1b. ............................................................................................................... 99 Manuscrito 3 - Aluno 7, at.1. ........................................................................................................... 100 Manuscrito 4- Aluno 7, at.1a. .......................................................................................................... 102 Manuscrito 5 - Aluno 8, at.2. ........................................................................................................... 103 Manuscrito 6 - Aluno 9, at.2. ........................................................................................................... 105 Manuscrito 7 - Aluno 3, at.3. ........................................................................................................... 110 Manuscrito 8 - Aluno 8, at.4. ........................................................................................................... 111 Manuscrito 9 - Aluno 3, at.6. ........................................................................................................... 114 Manuscrito 10 - Aluno 3, at.6. ......................................................................................................... 115 Manuscrito 11 - Aluno 8, at.6. ......................................................................................................... 116 Manuscrito 12 - Aluno 3, int. 3, at.6. .............................................................................................. 119 Manuscrito 13 - Aluno 4, int. 3, at.6. .............................................................................................. 119 Manuscrito 14 - Aluno 3, int. 3, at.6. .............................................................................................. 119 Manuscrito 15 - Aluno 7, 3ª int., at.2. ............................................................................................ 122 Manuscrito 16 - Aluno 4, 3ª int., at.2. ............................................................................................ 122 Manuscrito 17 - Aluno 7, 3ª int., gráfico. ....................................................................................... 123 Manuscrito 18 - Aluno 4, 3ª int., gráfico. ....................................................................................... 123 Manuscrito 19 - Aluno 2, 4ª int. at.1. ............................................................................................. 127 Manuscrito 20 - Aluno 4, 4ª int. at.2. ............................................................................................. 130 Manuscrito 21 - Aluno 2, 4ª int. at.2. ............................................................................................. 130 Manuscrito 22- Aluno 8, 4ª int., tabela. ......................................................................................... 132 Manuscrito 23 - Alunos 4 e 7, gráfico da função seno. .............................................................. 133 Manuscrito 24 - Aluno 8, gráfico da função seno. ....................................................................... 133 Manuscrito 25 - Aluno 1, TF, tabela trigonométrica e gráfico do seno. ................................... 142 Manuscrito 26 - Aluno 2, TF, função seno. .................................................................................. 143 Manuscrito 27 - Aluno 2, TF, gráfico da função seno. .......................................................... 144 Manuscrito 28 - Aluno 2, TF, função seno. .................................................................................. 144 Manuscrito 29 - Aluno 3, TF. ........................................................................................................ 145
Sumário
INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 14
Capítulo 1............................................................................................................................................. 17
Uma breve história da trigonometria ........................................................................................... 17
1.1 - A Antiguidade no Egito e na Grécia. ............................................................................. 18
1.2 A trigonometria dos hindus e dos árabes. ...................................................................... 33
1.3 A trigonometria no Renascimento. .................................................................................. 37
1.4 A trigonometria a partir do século XVII ........................................................................... 38
Capítulo 2............................................................................................................................................. 49
Revisão de literatura .......................................................................................................................... 49
2.1. Pesquisas correlatas .......................................................................................................... 49
2.1.1. Parâmetros Curriculares Nacionais - terceiro e quarto ciclos do Ensino ........... 60
2.1.2. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – 2000. ............................ 61
2.1.3. Proposta Curricular do Estado de São Paulo – Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio, 2008 ....................................................................... 62
2.2. Análise da apresentação da função seno, em três livros didáticos de matemática para o ensino médio. ..................................................................................................................... 63
Capítulo 3............................................................................................................................................. 70
Referencial teórico ............................................................................................................................. 70
3.0 . Introdução .......................................................................................................................... 70
3.1. A Teoria da Aprendizagem Significativa ......................................................................... 70
3.1. Registros de representação semiótica ............................................................................ 76
Capitulo 4 ............................................................................................................................................. 82
4.0. Considerações teóricas da nossa metodologia. ................................................................ 82
4.1. Objetivo, planejamento e procedimentos metodológicos. ................................................ 84
4.2. Sujeitos da pesquisa. ......................................................................................................... 85
4.2.1. Preparação do teste diagnóstico e do design inicial das quatro intervenções . 85
4.2.2. Planejamento final das quatro intervenções .......................................................... 87
4.2.3. Os objetos do ambiente experimental ..................................................................... 87
4.2.3.1. O dispositivo “ciclo trigonométrico” ...................................................................... 88
4.2.3.2. O programa Cabri-Géomètre II e o ambiente computacional .......................... 90
Capitulo 5 ............................................................................................................................................. 92
Relato das intervenções e análise dos resultados ........................................................................ 92
5. Apresentação do teste diagnóstico ...................................................................................... 92
5.1.1. Resultado da aplicação do teste diagnóstico ............................................................. 95
5.1.2. Primeira intervenção ...................................................................................................... 97
5.1.3. Segunda Intervenção ................................................................................................... 108
5.1.4. Terceira intervenção .................................................................................................... 116
5.1.5. Quarta intervenção ....................................................................................................... 124
5.2. Apresentação do teste final ............................................................................................ 136
5.2.1. Resultados do teste final ............................................................................................. 140
5.2.2. Refletindo sobre o teste final e as intervenções ...................................................... 145
Capítulo 6........................................................................................................................................... 148
Considerações finais ........................................................................................................................ 148
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 151
ANEXOS ............................................................................................................................................ 155
14
INTRODUÇÃO
Durante a última década trabalhamos como professor para aulas particulares
de física e matemática. Em 2008, ingressamos na Especialização em Educação
Matemática, como preparação para o mestrado, agora em andamento. Desde a
graduação, tivemos um grande interesse em compreender os processos de ensino e
da aprendizagem dos estudantes. Em 2011, ocupamos uma vaga de professor de
matemática para o ensino médio numa escola particular. Nesta tarefa, procuramos
aplicar e entender na prática, as teorias de aprendizagem estudadas recentemente.
Nas aulas particulares e na nossa experiência em sala de aula, constatamos
que, independentemente da procedência dos alunos, com frequência eles
confundiam as razões seno e cosseno, no triângulo retângulo e suas extensões ao
ciclo trigonométrico. As medidas em radianos provocavam inúmeras
incompreensões, erros e muita insegurança. A figura do ciclo trigonométrico e a
construção de gráficos também costumavam causar bastante embaraço. Enfim,
constatamos que a trigonometria ainda representava um enigma para muitos
estudantes, dificultando a resolução de problemas na matemática e na física, e
impedindo a compreensão de outras criações, tais como os números complexos e o
Cálculo Diferencial e Integral. Dessa forma, decidimos continuar no mesmo tema
que havíamos escolhido para a nossa monografia de especialização, e definimos o
nosso projeto de pesquisa nos seguintes termos: ”a transição das razões para as
funções trigonométricas”.
Nas pesquisas correlatas, verificamos que o trabalho de Briguenti (1994), foi
um dos primeiros a tratar da trigonometria com base na teoria da aprendizagem
significativa. Com essa escolha, a autora procurou trabalhar nos organizadores
prévios e nos conceitos subsunçores dessa teoria, e a partir daí, construiu seus
testes e suas atividades. Esse fato despertou nosso interesse pela teoria de
Ausubel. Nas pesquisas sobre o mesmo tema, verificamos que o programa
computacional Cabri-Géomètre II, tem sido empregado na trigonometria, ora num
ambiente estritamente computacional, ora combinado com materiais concretos.
Entre os trabalhos analisados, destacamos o de Lobo da Costa (1997), que recorreu
a esse software, utilizando arquivos prontos para serem manipulados pelos alunos.
Todavia nas suas considerações finais, a autora sugeriu que, nas futuras pesquisas
15
com esse programa computacional, os pesquisadores permitam que os alunos
possam construir as figuras dinâmicas, ao invés de recorrerem aos arquivos prontos.
No contexto experimental, ela recomendou a montagem de dispositivos simples, a
fim de introduzir novos conceitos matemáticos. Aceitamos estas sugestões, e
montamos um dispositivo para o contexto experimental. No contexto do computador,
ministramos uma aula introdutória num laboratório de informática com e sobre o
Cabri-GéomètreII, tendo por base um roteiro da Galvão. Assim, possibilitamos que
os alunos construíssem as figuras dinâmicas durante as atividades, antes de
interagirem com o computador. Diante disso, formulamos nossa questão de
pesquisa:
-- Quais as contribuições de uma “estratégia de ensino” para a aprendizagem
significativa da transição das razões para as funções trigonométricas?
A nossa hipótese é que combinando adequadamente os materiais concretos
com o software Cabri-Géomètre II, e ajudando os alunos na construção das figuras
dinâmicas desse programa computacional, poderemos obter uma aprendizagem
significativa nos principais conceitos presentes na transição das razões
trigonométricas, para a função seno. Nas dissertações publicadas sobre esse
assunto, não encontramos exatamente a mesma questão de pesquisa ou a mesma
hipótese a ser confirmada, por estas razões, entendemos que o nosso projeto
poderá contribuir para a Educação Matemática.
Após definirmos o nosso tema, o referencial teórico, e os contextos de
abordagem, procuramos uma metodologia de natureza intervencionista, que
permitisse reajustes quando necessários, e possibilitasse uma melhoria educacional
com essa nova forma de aprendizagem. Assim escolhemos a metodologia do Design
BasedRasearch.
Esta pesquisa será apresentada em seis capítulos.
No capítulo I, realizamos um estudo histórico-epistemológico com o objetivo
de mostrar a evolução da trigonometria e destacaremos os principais matemáticos e
suas criações. Desde as razões trigonométricas que surgiram devido à semelhança
de triângulos estudada por Thales, até a função de Euler, que tornou possível a
extensão das funções seno e o cosseno para todos os quadrantes. Observamos que
nas intervenções que programamos, resumimos em apenas quatro tópicos esse
percurso histórico.
16
O capítulo II foi destinado à revisão de literatura. Para a nossa revisão
escolhemos quatro dissertações relacionadas ao tema: Briguenti (1994), Lobo da
Costa (1997), Lindegger (2000) e Goios (2010). Em seguida, analisamos os
Parâmetros Curriculares Nacionais e de alguns livros didáticos, sendo que, destes
últimos, destacamos apenas alguns aspectos ligados à apresentação da definição
da função seno.
No capítulo III, após justificarmos a escolha da Teoria da Aprendizagem
Significativa e da Teoria dos Registros de Representação Semiótica, fizemos uma
breve exposição sobre os aspectos dessas teorias que utilizamos em nosso
trabalho.
No Capítulo IV, discorremos sobre a metodologia que adotamos para nossa
pesquisa, o Design Based de Cobb et al, e sobre os princípios da Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel, Novak e Hanesian, que refletiram em
nossos procedimentos metodológicos.
No capítulo V destacamos alguns momentos e registros das intervenções e
analisamos dos dados provenientes dos testes realizados antes, durante e depois
dessas aplicações.
No capitulo VI refletimos sobre nossa experiência e encerramos com algumas
sugestões para futuros pesquisadores.
17
Capítulo 1 Uma breve história da trigonometria
Na introdução do livro Episódios da antiga história da matemática, publicado
em 1964, o autor Asger Aaboe chama a atenção dos leitores para dois aspectos da
matemática: o caráter acumulativo, que não descarta os conhecimentos antigos,
para substituir pelos atuais, como o que ocorre, por exemplo, na física, e o caráter
dedutivo, que exige de suas teorias uma progressão ordenada, lógica, a partir de
axiomas, que se originaram de conteúdos antigos. Por outro lado, segundo Moreira,
(2006, p.15), Ausubel chama de “conceito subsunçor”, uma ideia, uma proposição
existente na estrutura cognitiva, capaz de servir de “ancoradouro” a uma nova
informação, para atribuir um significado a essa informação. A principal condição para
que ocorra uma aprendizagem significativa, é a existência desse conceito, na
estrutura cognitiva de quem aprende. Como nossa pesquisa busca uma
aprendizagem significativa na trigonometria, decidimos começá-la pela história da
matemática. Neste caminho, esperamos identificar e compreender os principais
conceitos subsunçores, que devem estar presentes desde as razões trigonométricas
até a moderna definição das funções seno e cosseno, para utilizá-los durante
nossas intervenções com os alunos.
Considerando os aspectos da matemática, apontados por Aaboe, a teoria de
Ausubel e as recomendações do PCN de 1998, quanto ao emprego do recurso da
história para auxiliar os alunos na construção dos conceitos, organizamos este
capítulo especialmente para o estudo da trigonometria, com os dados encontrados
em uma revisão bibliográfica em livros e textos de história da matemática.
Dividimos este capítulo em quatro períodos, agrupando as principais
conquistas da matemática voltadas ao desenvolvimento da trigonometria. Iniciamos
o primeiro período com a provável origem da geometria, há cerca de 4000 a.C., nas
medições dos agrimensores no antigo Egito. Neste período incluímos a antiga
Grécia, por volta do século VI a.C., com Thales de Mileto, desenvolvendo uma
geometria demonstrativa e Pitágoras e seus seguidores, estabelecendo as relações
métricas no triângulo retângulo. No segundo período, que se inicia no século V d.C.,
vamos encontrar, na Índia, uma função equivalente ao seno. Do século VIII ao
18
século X d.C., veremos que os árabes aperfeiçoaram a álgebra, construíram tabelas
de seno e introduziram o raio unitário. No terceiro período, o do Renascimento, que
teve início em 1453 com a queda do império Bizantino em Constantinopla (atual
Istambul), surgiram as primeiras publicações específicas à trigonometria. No quarto
e último período, relataremos como a trigonometria participou da invenção do
Cálculo Diferencial e Integral com Newton e Leibniz. Examinaremos também, em
que circunstâncias Euler criou a função E(x), que estendeu a trigonometria a todos
os quadrantes do ciclo trigonométrico.
1.1 - A Antiguidade no Egito e na Grécia.
De acordo com Piletti e Arruda, (1996, p.18), no antigo Egito as chuvas
provocavam enchentes e quando as águas voltavam ao normal deixavam um limo
muito fértil. A vida girava em torno dos ciclos das cheias e vazantes do rio Nilo, a
agricultura movia a economia e alimentava milhares de pessoas numa área de 3000
quilômetros de comprimento por 15 de largura. A preocupação com as vazantes do
rio Nilo e com a natureza levou os egípcios ao estudo da astronomia.
Segundo o historiador grego Heródoto, Sesóstris, rei do Egito que viveu há
aproximadamente 4000 anos, repartiu as terras entre os habitantes para o cultivo,
exigindo em troca o pagamento de impostos. Se a colheita fosse prejudicada pela
enchente excessiva, eram enviados os medidores de terras, afim de que o imposto
se tornasse justo, proporcional à área cultivada.
Conclusão de Heródoto: “Eu creio que foi daí que nasceu a geometria e que
depois ela foi passada aos gregos”. Na demarcação os egípcios usavam cordas,
estacas e objetos rudimentares, e foram, provavelmente, os primeiros topógrafos.
Segundo Eves (2004, p.38), para a escrita os gregos usavam o papiro,
material inventado pelos antigos egípcios a partir do papu, um junco aquático. No
papiro de Ahmes, de 1650 a.C.,comprado pelo egiptólogo escocês Henry Rhind,
encontram-se 85 problemas copiados de um trabalho antigo em escrita hierática
pelo escriba Ahmes. Muitos desses problemas eram geométricos e continham
fórmulas para o cálculo de áreas de terras e volumes de depósitos de grãos. Em um
deles, havia informações sobre o “seqt”. Esse material encontra-se no Museu
Britânico e mede cerca de 20 pés de comprimento por 13 polegadas de altura.
19
Para manterem constantes as inclinações das pirâmides, Boyer, (1996, p.13)
relata que os egípcios criaram um conceito semelhante ao da cotangente de um
ângulo. A inclinação era medida em seqt, palavra egípcia que significa a razão entre
o afastamento horizontal de uma reta obliqua em relação ao eixo vertical (a altura da
pirâmide), e a medida da altura. A figura 1 identifica essas medidas. A unidade de
medida da altura era o “cúbito” e a unidade do afastamento horizontal, a “mão”; duas
unidades diferentes no mesmo conceito.
Figura 1 - A inclinação das pirâmides do Egito Fonte: Lobo da Costa (1997, p.9), Dissertação PUC/SP.
O seqt da pirâmide de Quéops cujo lado media 440 cúbitos e a altura 280
cúbitos, foi calculado da seguinte maneira:
i) Para obterem o afastamento horizontal, tomaram a metade do lado: ii)
cúbitos.
iii) Multiplicaram 220 por 7 para converterem em “mãos” = 1540 mão.
iii) Calcularam: = ½ mãos por cúbito.
Na prática o seqt 5 ½ correspondia a percorrer a distância de 5 ½ mãos na
horizontal para aumentar a altura de 1 cúbito, durante a construção.
De acordo com Eves, (2004, p.95), Thales (640 a.C. – 564 a.C.), filósofo,
astrônomo e matemático que viveu em Mileto, na Grécia, ao visitar a pirâmide de
Quéops no Egito calculou a altura deste monumento recorrendo à semelhança dos
triângulos formados pelas alturas da pirâmide e de uma estaca que ele fincou na
areia e suas respectivas sombras, conforme ilustra a figura 2.
20
Figura 2 - Thales e o cálculo da altura de uma pirâmide com uma estaca. Fonte: Adaptação nossa, da figura de Mendes et al (2009, p.142)
Gnômons “eram instrumentos essencialmente constituídos de estiletes que
indicam a altura do Sol projetando uma sombra num plano horizontal. Inventado
pelos caldeus, foi introduzida na Grécia pelos pitagóricos” (Enciclopédia Delta
Larousse, 1970).
Esta palavra também serviu para designar a parte do relógio de Sol que mede
o tempo com o deslocamento lateral da sombra associado ao ângulo de elevação do
Sol. Os astrônomos repararam que ao amanhecer a sombra era longa, encurtava-se
ao meio dia e voltava a se alongar no entardecer.
Figura 3 -Gnômon. Fonte: Nosso acervo.
Segundo Struik, (1987, p.38), o estudo dos gregos na antiguidade tinha como
principal objetivo a compreensão do homem no universo de acordo com um
esquema racional, ajudando a colocar uma ordem no caos e a organizar as ideias
num encadeamento lógico. A partir dessas observações, percebemos a forte
influência da filosofia, no limiar da matemática grega, e destacamos a importância do
papel de Thales nesse cenário, que durante o sexto século a.C., de acordo com
Eves, (2004,p.94), para responder a algumas questões da matemática, comportou-
se como se o processo empírico do antigo Oriente não bastasse. Numa atmosfera
21
racionalista, Thales desenvolveu a geometria demonstrativa, impondo uma
matemática dedutiva. Por este motivo, ele foi considerado um dos “sete sábios” da
antiguidade, e o “primeiro matemático verdadeiro”, criador do princípio de que todas
as verdades matemáticas devem ser justificadas, demonstradas e provadas por
meio do raciocínio lógico. A ele são atribuídos os seguintes teoremas: qualquer
diâmetro divide um círculo em duas partes iguais; em um triângulo isósceles os
ângulos da base são iguais; dois triângulos que tenham um lado e os ângulos a eles
adjacentes respectivamente iguais são iguais. Quanto à proposição: um ângulo
inscrito num semicírculo é um ângulo reto, é possível que ele tenha aprendido numa
de suas viagens a Babilônia.
Durante suas pesquisas, os historiadores tiveram acesso a alguns
manuscritos e relatos, escritos vários séculos depois que os originais foram
produzidos. A principal fonte de informações sobre o desenvolvimento da geometria
grega encontra-se na abertura do livro I, dos Elementos de Euclides, contida no
Sumário Eudemiano de Proclo, filósofo e matemático neoplatônico que estudou em
Alexandria. Outro importante matemático e filósofo citado no Sumário Eudemiano é
Pitágoras, que nasceu em Samos, próximo a Mileto, onde vivia Thales. Segundo
Eves, (2004, p.97), tudo o que se refere a Pitágoras, são meras suposições, e é
possível que ele tenha nascido por volta de 572 a.C., viajado ao Egito e a Babilônia,
e devido aos conhecimentos adquiridos nessa viagem, tenha se tornado um místico,
e decidido fundar em Crotona, no sul da Itália um centro de estudo de filosofia,
matemática e ciências naturais, que funcionou como uma confraria secreta,. A
filosofia pitagórica buscava explicar, usando os números, as características do
homem e da matéria.
Conforme Eves, (2004, p.103), o teorema de Pitágoras, tradicionalmente
atribuído a ele, já era conhecido pelos babilônios há mais de um milênio, mas a
demonstração desse teorema por decomposição, provavelmente teria sido obra de
Pitágoras ou de seus seguidores, que continuaram com a irmandade por dois
séculos após sua morte, ocorrida por volta de 500 a.C.
22
Figura 4- Ilustração do Teorema de Pitágoras por decomposição.
Fonte: Eves (2004, p.103)
Para demonstrar esse teorema, a partir de um triângulo retângulo cujos
catetos tinham as medidas que representamos pelas letras e , e a hipotenusa
pela letra , os pitagóricos construíram dois quadrados, ambos com lados medindo
, e fizeram a decomposição desses quadrados em quadrados e triângulos
retângulos, utilizando as medidas e conforme a figura 3. Ambos os quadrados
maiores tinham a mesma área e possuíam, em comum, quatro triângulos
congruentes; logo as áreas restantes eram iguais, o que lhes permitiu concluir a
igualdade da área do quadrado construído sobre a hipotenusa do triângulo retângulo
e a soma das áreas dos quadrados construídos sobre seus catetos, que hoje
escrevemos como a relação:
De acordo com Arquimedes, Aristarco de Samos (310 a.C. – 230 a.C.) propôs
o sistema heliocêntrico um milênio e meio antes de Copérnico, mas suas anotações
se perderam. Desse astrônomo foi encontrado o tratado “Sobre os tamanhos e
distâncias do Sol e da Lua”, escrito por volta de 260 a.C., que assumia o sistema
geocêntrico. Segundo Boyer, (1996, p.109), Aristarco considerou que, quando a
metade da lua estava iluminada, o ângulo entre as linhas de vista ao Sol e à Lua
“diferia para menos de um ângulo reto para um trinta avos de um quadrante” (nessa
ocasião, na Grécia ainda não havia a divisão do circulo em 360° e nem as tabelas
trigonométricas).
23
Figura 5 - Aristarco e a comparação de distâncias. Fonte:(lado direito da figura) RPM, vol.1, 1983;(lado esquerdo) Boyer (1996, p.109).
Hoje sabemos que a razão , conforme o esquema da figura 5 corresponde
ao , e o ângulo expresso em frações de quadraturas equivale a . Como os
ângulos internos no vértice e no vértice eram menores que , e
segundo Boyer (1996, p.108), havia um teorema que hoje pode ser expresso na
desigualdade: de onde ele concluiu que
Assim Aristarco chegou à conclusão de que a distância da Terra ao Sol
estava entre 18 e 20 vezes a distância da Terra à Lua. Mesmo tendo errado devido à
precariedade dos instrumentos de medição, seu raciocínio estava correto e muito
melhor que os valores atribuídos por Arquimedes a Eudoxo e Fídias, que eram
respectivamente, de nove e doze vezes a mesma distância.
Tendo determinado as distâncias relativas do Sol e da Lua, e verificando que
ambos tinham o mesmo tamanho aparente, para um observador na terra, ele
deduziu que seus respectivos tamanhos estavam na mesma razão; de acordo com
Boyer (1996, p.109), . Aristarco observou que, durante o eclipse da lua, a largura da
sombra projetada pela terra era o dobro da largura da lua.
Na figura 6, usamos as seguintes abreviações:
= distância da Terra à Lua.
= distância da Terra ao Sol.
= raio do Sol.
= raio da Lua.
= raio da Terra.
24
Figura 6 - Esquema de Aristarco.
Fonte: Boyer (1996, p.109)
Reproduzimos o esquema de Aristarco na figura 6, onde aparecem dois
triângulos semelhantes, com vértices nos pontos e , respectivamente.
Segundo Boyer (1996, p.109), usando a semelhança de triângulos, ele sabia
que: ; mas e temos .
Aristarco havia concluído que a distância da Terra ao Sol era de
aproximadamente 19 vezes a distância da Terra a Lua, ou seja, estava entre 18 e 20
vezes. Utilizou essas medidas que ele considerava como verdadeiras e prosseguiu:
a) tomando e , ele substituiu esses valores na equação
(I) e simplificou a expressão, obtendo
b) tomando , ele substituiu esse valor na equação (I) e simplificou:
ou
Depois juntou os resultados de a) e b) e chegou as relações:
> e
Com esses cálculos, Aristarco chegou a conclusão que o raio da Terra era de
aproximadamente 2,8 vezes o raio da lua, e o raio do Sol correspondia a 6,6 vezes o
25
raio da Terra. Hoje sabemos que existem discrepâncias nesses valores, mas para os
recursos da época essas conclusões foram muito importantes.
De acordo com Eves (2004, p.198) Euclides, Arquimedes e Apolônio de
Perga, foram os três gigantes da matemática do século III a.C.. Apolôno (262 a.C. -
190 a.C.) também foi um importante astrônomo, o autor das Secções Cônicas, uma
extensa obra de oito livros. Segundo Boyer (p.98), Apolônio construiu uma figura,
para explicar o movimento dos planetas. Nessa figura o ponto , que representava
um planeta, girava uniformemente ao longo de um pequeno circulo (epiciclo) de
centro , que por sua vez, se movia ao longo de um círculo maior, conhecido como
deferente, cujo centro era a Terra ( ). A figura 7 mostra esse esquema:
Figura 7 - Apolônio e os epiciclos. Fonte: Boyer (1996, p.99)
Segundo Boyer (1996, p.109), Erastóstenes (275 a.C.- 195 a.C.) nasceu em ,
na costa sul do Mar Mediterrâneo, e foi um dos maiores talentos da antiguidade,
tendo sido geógrafo, autor de peças de teatro, crítico literário, filósofo, atleta e
matemático. É de sua autoria o algoritmo para a determinação dos números primos,
o “Crivo de Erastóstenes”.
De acordo com Boyer (1996, p.110), Eratóstenes observou que ao meio-dia
no dia do solstício de verão (o mais longo dia do ano, que no Hemisfério Norte,
ocorre no dia 21 de junho) os raios solares a prumo iluminavam e se refletiam no
fundo de um poço na cidade de Cirene. Nesse mesmo dia e hora em Alexandria, a
5000 estádios ao norte de Cirene, os raios solares, ao incidirem numa coluna
vertical, projetavam uma sombra indicando que a distância angular do Sol ao zênite,
era de um cinquenta avos de um círculo (7,2º), conforme mostra a figura 7.
Eratóstenes assumiu que devido à grande distância entre a Terra e o Sol, os raios
26
solares alcançavam a Terra em linhas praticamente paralelas e a diferença da
elevação do Sol em pontos distantes era devida à esfericidade da Terra.
Conhecendo a proposição da geometria euclidiana que garantia a igualdade dos
ângulos nos pontos C e O, quando duas retas paralelas são cortadas por uma
transversal, Eratóstenes deduziu que a mesma relação entre um arco de 7,2° e uma
volta completa com 360°, acontecia entre o perímetro da terra e um arco cujo
comprimento era a distância de Cirene a Alexandria. Com este ângulo, esta relação
seria de 50 vezes:
.
Com os recursos da época, a distância entre Alexandria e Cirene foi estimada
equivalente a 5 000 estádios, e o perímetro da Terra em 250 000 estádios, isto é, 50
vezes a distância de Cirene a Alexandria. Como cada estádio media cerca de um
décimo de milha, segundo Eratóstenes, o perímetro da Terra media o equivalente a
37000 quilômetros, com um erro de apenas 10% a menos da medida atual (site
www.astronoo.com/pt/terra.html, acesso em 26/04/2013), que é de 40007,5
quilômetros.
Figura 8 - As observações de Eratóstenes para calcular o perímetro da Terra. Fonte: Nossa adaptação na figura 10.3, Boyer (1996, p.111)
Segundo Struik (1987, p.55), na antiguidade, a hipótese de que o Sol, e não a
Terra, era o centro do movimento dos planetas, tinha poucos adeptos e a aceitação
desta suposição foi, em parte, devida ao prestígio de Hiparco, um astrônomo que fez
27
valiosas observações entre 141 e 127 a.C. O que se sabe a respeito desse cientista,
veio através de Ptolomeu, que viveu três séculos depois. Devemos a Hiparco a ideia
de localização dos pontos sobre a superfície terrestre através da latitude e da
longitude. Segundo Eves (2004, p.202), essas descobertas ocorreram no
Observatório de Rhodes. Hiparco desenvolveu um método que tomava como
referência as estrelas fixas, inventou o astrolábio, instrumento que determinava em
graus, a altura aparente das estrelas, e com esse instrumento observou e catalogou
a posição de 850 estrelas. Nesta época ainda não existiam instrumentos óticos para
a astronomia. Hiparco descobriu a precessão dos equinócios, um lento movimento
no polo terrestre que ocorre a cada 26,7 anos, hoje justificada pela Teoria da
Gravidade de Isaac Newton. Ele desenvolveu os primeiros estudos sobre a
trigonometria esférica, introduziu na Grécia a divisão do círculo em 360 partes iguais,
e compilou a primeira tabela trigonométrica. Por estas razões ele foi chamado de “o
pai da trigonometria”.
Segundo Maor, (1998, p.23), para Hiparco poder calcular o movimento dos
epiciclos sem a existência das tabelas de relações trigonométricas, ele considerou
que, nos triângulos inscritos na circunferência dos epiciclos, os lados correspondiam
às cordas relacionadas com seus respectivos ângulos centrais. Por séculos isto se
constituiu na principal tarefa da trigonometria.
Figura 9 - Triângulos inscritos.
Fonte: Galvão (2008).
A figura 9 é uma simplificação do modelo dos epiciclos, onde as letras e
, representam o centro dos epiciclos, sobre a circunferência “deferente”, sobre o
qual se deslocam o centro dos epiciclos durante um ano. Nessa figura o ponto no
centro do deferente representa um observador na Terra.
28
Seus trabalhos se perderam, mas de acordo com outros autores, é possível
que ele tenha tabulado os comprimentos das cordas com um intervalo de 7.5°. De
acordo com Eves, (2004, p.203), o comentador Teon de Alexandria (sec. IV) atribuiu
a Hiparco a autoria de um tratado sobre a construção de uma “tábua de cordas”, em
doze livros.
Três séculos depois de Hiparco, no ano 150 d.C., viveu em Alexandria, o
astrônomo, geógrafo e matemático Klaudius Ptolomaios, ou Ptolomeu, que de
acordo com Aaboe, (1997, p.133), foi o autor da mais importante obra sobre a
trigonometria na antiguidade, o “Almagesto”, um manual de astronomia em 13 livros,
onde ele descreve suas observações sobre fatos astronômicos, considera o sistema
geocêntrico para o universo e apresenta uma tábua de cordas, para ângulos de ½°
a 180° com intervalos de 30’, detalhando cada etapa de sua construção. Com esta
obra, Ptolomeu deu sequência aos estudos de modelos geométricos para o
movimento do Sol, da lua e dos planetas, desenvolvidos por Eudoxo de Cnido.
Figura 10 - Ilustração do Sistema Ptolomaico. Fonte: Site: http://astrology.about,com acesso em 15/01/2012.
Segundo Katz, (2008, p.156), o “Almagesto” de Ptolomeu lançou o germe da
moderna ideia de função, apresentando algumas tabelas e exibindo relações
funcionais entre conjuntos e quantidades. Os antigos Babilônios compilavam tabelas
contendo informações sobre predições e detalhes de fenômenos celestes. Nesta
obra Ptolomeu deu um enorme passo ao fornecer uma base para o tratamento
computacional desses fenômenos de grandezas contínuas, não se restringindo a
apresentação das tabelas, mas também mostrando como interpolar para fornecer
29
valores funcionais para qualquer valor da “variável independente”. Assim a corda era
expressa como uma função de um arco, a inclinação do Sol como uma
função ) de longitude, e o tempo de elevação , como uma função de duas
variáveis, representadas pelo comprimento do arco lambda ao longo da elipse e a
latitude geométrica Ptolomeu frequentemente usava suas tabelas ao contrário,
isto é, descobria o arco de uma corda, usando o que hoje chamamos de função
inversa.
Aaboe, (2002, p.133) relata que para Ptolomeu, a função era definida
como sendo comprimento da corda que correspondia a um arco de α graus em um
círculo cujo raio media . Existia uma relação simples entre a corda e o atual seno
desse ângulo. Os cálculos eram feitos na base , segundo a matemática dos
babilônios, da seguinte maneira: no lado direito da figura 10, no triângulo retângulo
o seno do ângulo era igual a razão , então ele substituiu por :
que resultou em (1)
O segmento é a corda , conforme mostra a figura 11, e temos a
igualdade:
Figura 11 - A relação entre senos, arcos e cordas. Fontes: Aaboe (202, p.134).
Na unidade adotada por Ptolomeu, equivale à medida do dobro do raio,
substituindo resulta:
30
(1)
As relações entre os ângulos inscritos, os ângulos centrais e as medidas de
cordas de Ptolomeu, possibilitaram a descoberta de uma relação equivalente à lei
dos senos para qualquer triângulo. Dado um triângulo e sua circunferência
circunscrita, sabemos da geometria euclidiana plana, que a medida de todo ângulo
inscrito em um arco de circunferência tem a metade da medida do correspondente
arco.
Figura 12 - A Lei dos senos.
Fonte: Maor (1998, p.89)
Na figura 12, vemos que a medida da corda , é representada pela letra
“a” (medida do segmento ). Substituindo na equação (1) vai
resultar: ; dividindo ambos os termos desta igualdade por ,
, o que equivale a escrever:
Recorrendo ao mesmo raciocínio, nessa mesma figura, podemos deduzir
que:
ou , resultando em: =
ou , resultando em
31
Juntamos as relações dessas três últimas igualdades na expressão:
Assim demonstramos a igualdade que hoje é conhecida com a Lei dos Senos.
Como consequência dessa última relação temos que, se o triângulo está inscrito
numa circunferência com diâmetro de comprimento unitário, então o comprimento de
cada um de seus lados coincide com o seno do ângulo oposto a ele.
Ptolomeu também estudou os quadriláteros inscritos e escreveu uma
proposição que ficou conhecida como o Teorema de Ptolomeu:
“Se é um quadrilátero convexo inscrito numa circunferência, então
ou seja:“ a soma dos produtos dos lados opostos de
um quadrilátero inscritível, é igual ao produto de suas diagonais”.
Para demonstrar o Teorema de Ptolomeu, construímos a figura 13,
desenhando um quadrilátero inscrito, Na diagonal desse quadrilátero
colocamos um ponto E, de modo que os ângulos e fossem iguais. Assim,
por construção, os triângulos são semelhantes, conforme podemos
observar. Da mesma forma, os triângulos e também são semelhantes, pois
os ângulos e são iguais, e os ângulos e também são iguais.
Figura 13 - Teorema de Ptolomeu.
Fonte: Aaboe (2002, p.147)
Somando (I) e (II) obtemos
32
Como , podemos escrever: , e
assim provamos este teorema.
De acordo com Maor (1998, p.92), como caso especial do Teorema de
Ptolomeu, (quando um dos lados do quadrilátero é o diâmetro da circunferência de
diâmetro 1) podemos deduzir a fórmula do seno da diferença de dois ângulos.
Figura 14 - O Teorema de Ptolomeu e o seno da diferença de dois ângulos. Fonte: Aaboe (2002, p.149)
Nessa figura temos que, no triângulo retângulo , cuja hipotenusa tem
comprimento 1, α é o ângulo e β é o ângulo ; então:
.
Nesse mesmo triângulo ou
Também observamos que no triângulo retângulo , é o ângulo , de
onde e
Como o triângulo está inscrito numa circunferência de diâmetro unitário,
temos que o ângulo oposto a mede , e, usando a observação acima,
temos que
De acordo com o Teorema de Ptolomeu, no quadrilátero , temos:
Como , podemos escrever:
33
Substituindo pelos valores que encontramos:
Esta foi à fórmula mais importante que Ptolomeu utilizou para construir a sua
tabela, mas de acordo com Maor (1998, p.94), é possível que ela tenha sido
descoberta dois séculos e meio antes, por Hiparco.
1.2 A trigonometria dos hindus e dos árabes.
Sulvasutras é uma palavra hindu que significa “regras de cordas”, em
referência às cordas usadas para medidas; a palavra também serve para designar
livros de regras e rituais para a construção de altares. Nesses altares os hindus
ofereciam sacrifícios para os seus deuses, pedindo saúde, vida longa e fortuna.
Numa das versões, o Baudhayana Sulvasutra, escrito por volta de 800 a.C,
encontra-se o Teorema conhecido como de Pitágoras, da seguinte forma: “A corda
que é esticada através da diagonal de um quadrado, produz uma área igual ao
dobro do quadrado original”. Outro sulvasutra, o Katyayana Sulvasutra apresenta
uma versão mais geral: “a corda que é esticada ao longo do comprimento da
diagonal de um retângulo, produz uma área que seus lados horizontais e verticais
fazem juntos” (tradução nossa). Na figura 14 reproduzimos a ilustração desse texto:
Figura 15 - O Teorema de Pitágoras no Sulvasutra Katyayana. Fonte: Site: www.gap-system.org/~history/HistTopics/Indian_sulvasutras.htm
34
De acordo com Boyer (1996, p.141), numa das versões dos Sulvasutras,
estão as regras para a construção de ângulos retos, usando uma corda dividida em
três partes, cada parte tinha um determinado comprimento. Esses comprimentos
formavam as tríadas pitagóricas (um grupo de três números inteiros, e positivos, x, y
e z, que satisfaziam a relação derivada do Teorema de Pitágoras: )
como 3, 4 e 5, ou 12, 35 e 37.
Segundo Boyer (1996, p.143), terminado o período dos Sulvasutras, no
século IV, teve início a idade dos Siddhantas (sistemas de astronomia). O Surya
Siddahanta (Sistema do Sol) é um texto épico que data de 400 d.C. Sabemos que
Ptolomeu se baseou na relação funcional entre as cordas de uma circunferência e
os ângulos centrais para construir sua tabela de cordas. Embora os hindus tenham
adquirido conhecimentos de trigonometria dos helênicos, eles aperfeiçoaram esses
conhecimentos, quando consideraram a relação funcional entre a metade da corda e
a metade do ângulo central, e, a partir dessa relação, construíram uma tabela para
servir de base para os cálculos da trigonometria esférica. “Assim, aparentemente
surgiu na Índia a precursora da função trigonométrica moderna que chamamos de
seno de um ângulo, e a introdução da função seno, representa a contribuição mais
importante dos Siddhantas à história da matemática” (Boyer, 1996, p.143).
Aryabatha, um matemático hindu que nasceu por volta de 475, foi o autor do
primeiro trabalho a se referir explicitamente ao seno como função de um ângulo.
Segundo Boyer, (1996, p.155), a palavra seno teve origem em uma série de erros de
tradução do sânscrito “jyâ-ardha”, que significa meia-corda. Aryabatha costumava
abreviar esse termo para jya ou o sinônimo jiva. Algum hindu, ao traduzir esta
palavra para o árabe, transcreveu foneticamente, sem considerar o significado
original. Os árabes a escreviam sem as vogais, mais tarde os escritores
interpretaram jb como jaib, que significa seio ou estar amamentando. No século XII,
foi traduzido do árabe para o latim por Gherardo de Cremona (1114-1187), o tradutor
dos clássicos gregos, como sendo sinus, que também significava seio, baia ou golfo.
A palavra sinus chegou à língua inglesa pelo ministro Edmund Gunter (1581-
1626), que mais tarde se tornou professor de astronomia no Greshan College, em
Londres, o inventor de um dispositivo mecânico para calcular logaritmos de senos e
tangentes. A notação abreviada sin, apareceu num desenho que descrevia sua
invenção.
35
Segundo Maor, (1998, p.38), a função cosseno surgiu da necessidade de
calcular o seno do ângulo complementar. Aryabatha chamava esses valores de
kotiya. O nome cosseno surgiu a primeira vez com Edmund Gunter que escreveu
co.sinus, foi modificado por John Newton para cossinus em 1658.
Enquanto que na Grécia o estudo da matemática estava à disposição de
qualquer um que se interessasse, na Índia, devido ao sistema de castas, apenas os
sacerdotes podiam se dedicar a essas pesquisas. Embora os hindus não fossem
muito hábeis na geometria, pouco preocupados com as demonstrações e a estrutura
lógica, devemos a eles o mais importante legado da matemática, o aperfeiçoamento
do sistema numérico de base decimal e posicional, e a notação do zero.
Na Arábia, em 766, o califa al-Mansur fundou a cidade de Bagdá às margens
do rio Tigres, e ela se tornou um próspero centro comercial e intelectual do Islam.
Harum al-Hashid, que o sucedeu em 766, fundou uma biblioteca em Bagdá
trazendo os clássicos gregos e textos científicos, e estabelecendo um programa de
tradução.
Durante o reinado de seu filho, al-Manun terminaram as traduções dos
Elementos de Euclides e do Almagesto de Ptolomeu. Nesses três últimos reinados,
foram chamados para Bagdá mestres da Síria e da Mesopotâmia, além dos judeus
nestorianos. Entre eles estava o astrônomo e matemático Mohamed ibu-Musa al-
Khowarizm, o autor de um livro de aritmética e álgebra de suma importância para a
história da matemática. Al-Khowarizm aprendeu com os hindus o sistema de
numeração decimal e o nome de seu livro “Al-jabr Wa ‘l muqabalah” deu origem a
palavra álgebra.
Na trigonometria, uma das mais significativas contribuições dos árabes foi do
astrônomo al-Battani (850-929), que adotou o jiva dos Siddhantas e teve a genial
ideia de introduzir a circunferência de raio unitário, demonstrando que a razão jiva
era válida para qualquer triângulo retângulo, independente do valor da hipotenusa.
No seu livro “Sobre o movimento das Estrelas”, al-Battani deu uma regra para se
encontrar a posição do Sol no horizonte, a partir do comprimento s da sombra de um
gnômon de altura , com o emprego das funções seno e seno versor (naquela
ocasião, a função cosseno ainda não existia, e o seno versor correspondia ao seno
do ângulo complementar)..
36
Segundo Maor, (1998, p.38), somente um século depois, com Abu‘l-Wefa
(940-998), estudioso da álgebra e da trigonometria, é que a fórmula acima pôde ser
escrita na forma:
Wefa construiu uma tabela de seno para arcos com intervalo de 1° com oito
casas decimais, introduziu o conceito de tangente e provavelmente de secante e de
cossecante.
A moderna palavra “tangente” surgiu pela primeira vez em 1583 no Geometria
Rotundi, obra do matemático dinamarquês Thomas Fincke (1561-1646); antes
disso, os escritores europeus usavam os termos relacionados à sombra do gnômon:
“sombra de uma linha reta” para a medida da sombra e “sombra virada” para a altura
do gnômon.
A palavra tangente vem do latim tangere, que significa tocar, e a sua
associação com a função tangente pode ser explicada com a construção da figura
15. Iniciamos a construção com uma circunferência e os lados de um ângulo central
medindo , e o segmento que divide esse ângulo em dois ângulos iguais a ;
em seguida traçamos uma linha paralela a e tangente ao círculo no ponto Q, e
prolongamos o segmento e até encontrar esta linha em e ,
respectivamente.
Desta forma:
Assim mostramos que a função tangente se relaciona com a reta tangente, da
mesma forma que a função seno se relaciona com a corda. De acordo com Boyer,
(1996, p.186), esta construção é a base para a moderna definição das seis funções
trigonométricas.
Figura 16 - As funções seno e tangente. Fonte: Maor (1998, p.39)
37
1.3 A trigonometria no Renascimento.
De acordo com Maor (1998, p.41), com a queda de Constantinopla (atual
Istambul) em 1453, os refugiados que escaparam do oriente levaram preciosos
manuscritos sobre antigos tratados gregos para o ocidente. A Europa estava se
convalescendo da peste negra e a recente invenção da imprensa possibilitava a
difusão de obras eruditas, antes só acessíveis nos manuscritos. O crescimento da
matemática não foi tanto quanto o da literatura ou das ciências naturais. Eram raras
as pessoas que tinham um preparo para entender a matemática ou lerem os
clássicos gregos. Nesse período a trigonometria teve duas figuras notáveis,
Regiomontanus e Copérnico.
Johann Muller (1436-1476), conhecido como Regiomontanus, nasceu em
1436, na cidade de Konigsberg, atual Kaliningrad, na Alemanha. Estudou na
Universidade de Viena, onde conheceu o matemático e astrônomo Georg von
Peurbach (1423-1461) com quem fez uma grande amizade. Peurbach havia
estudado com o Cardeal Nicholas de Cusa, (filósofo, astrônomo e matemático que,
em visita a Constantinopla entrou em contato com as ciências gregas) e devido à
sua grande admiração por Ptolomeu, estava planejando publicar uma versão
corrigida do Almagesto, baseada numa tradução latina, mas morreu subitamente aos
38 anos de idade. Regiomontanus assumiu a tarefa de seu mestre, aprendendo o
grego para ler Ptolomeu no original e comprando manuscritos originais nas suas
viagens à Grécia e à Itália. Quando estava em Veneza em 1464, Regiomontanus
escreveu De Triangulis Omnimodis (Os triângulos de todas as espécies), a primeira
obra dedicada exclusivamente a geometria, em cinco livros. O livro I começa com as
definições de conceitos básicos de raio, igualdade, círculo, arco e corda, a função
seno e 56 proposições tratando de soluções geométricas nos triângulos planos. O
livro II trata da lei dos senos, com resolução de problemas. Os três últimos livros, da
geometria esférica e trigonometria, como ferramentas na astronomia. Ele também
traduziu do grego, as obras de Herão, Apolônio e Arquimedes. .
Em 1474, Regiomontanus publicou seu primeiro livro de matemática e
astronomia para fins comerciais, o Ephemerides, contendo uma tabela com a
posição do sol, da Lua e dos planetas para cada dia de 1475 a 1506.
38
Segundo Eves (2004, p.313), a astronomia contribuiu tanto para a
matemática, que a designação de matemático, significava astrônomo. Entre esses
astrônomos do século XVI, destacamos o escocês Nicolau Copérnico (1473-1543),
que nasceu em Torum, cursou a Universidade de Cracóvia, e foi à Bolonha para
estudar medicina, astronomia e direito. Mais tarde ele tornou-se professor nas
universidades européias, voltando à Polônia em 1505. Em 1506, observando os
corpos celestes, percebeu que as hipóteses geocêntricas de Aristóteles e Ptolomeu
não correspondiam à realidade e, contrariando também a Igreja, que colocava o
homem no centro do universo, revolucionou a visão do mundo ao defender a
hipótese de um sistema heliocêntrico, segundo a qual, a Terra movia-se em torno do
Sol. Em 1543 foi publicado o seu tratado “De Revolutionibus Orbitun Celestium”
(sobre as evoluções das órbitas celestes) com seções sobre trigonometria, tendo o
cuidado de dedicá-lo ao Papa.
1.4 A trigonometria a partir do século XVII
Este século se caracterizou pelos grandes avanços políticos, econômicos e
sociais, que motivaram as atividades intelectuais. A pesquisa na matemática
também teve grandes descobertas. John Napier (1550-1617) inventou os logaritmos
em 1614, para tornar menos trabalhoso os cálculos aritméticos, ajudado pelo cálculo
numérico e inspirado nas fórmulas trigonométricas que transformam uma
multiplicação em adição e subtração; Harriot e Willian Oughtred aperfeiçoaram a
notação e a codificação da álgebra; Galileu fundou a Dinâmica; Descartes e Fermat
inventaram a Geometria Analítica e o aumento das notações algébricas por Viète,
fez com que a trigonometria assumisse na primeira metade do século XVII, um
moderno caráter analítico.
Para Eves (2004, p.308), François Viète (1540-1603), foi o maior matemático
francês do século XVII, embora tenha sido membro do parlamento da província de
Bretanha, e se dedicado à matemática nas horas vagas. No seu mais importante
trabalho “In Arten”, ele introduziu uma notação para distinguir as incógnitas das
constantes, utilizando as vogais para as incógnitas e as consoantes para as
quantidades constantes e conhecidas. Após algumas décadas, Descartes preferiu
as letras x, y e z para as quantidades desconhecidas e as letras a, b e c, para
39
quantidades conhecidas. Na sua obra “Cânon Mathemáticus”, Viète construiu
tabelas das seis funções trigonométricas com ângulos em aproximações de minutos.
No lugar das frações sexagesimais ele usou as decimais e desenvolveu
métodos para resolver problemas de triângulos planos e esféricos com as seis
funções trigonométricas. Além dessas contribuições, ele introduziu na geometria
uma importante mudança: admitir um processo infinito, com a descoberta de sua
fórmula de produto infinito:
.
Maor (1998, p.51) observa que, enquanto os inventores da trigonometria
clássica estavam voltados para a aplicação nos céus, uma nova era teve início
baseando-se na mecânica da vida diária. Galileu descobriu que todos os problemas
de movimento podiam ser resolvidos em dois componentes de direções
perpendiculares, e verificou ainda que esses componentes podiam ser tratados
independentemente, um do outro, tornando assim a trigonometria indispensável ao
estudo dos movimentos. Na ocasião, a artilharia era considerada uma ciência, e
estudando a trajetória de uma bala de canhão, ele concluiu que no componente
vertical, ou seja, a altura máxima alcançada pela bala dependia do ângulo do
canhão em relação ao solo, podia ser calculada pela equação: h = , onde
vo é a velocidade inicial da bala e é o ângulo do canhão em relação ao solo.
Galileu também estudou o movimento pendular e as deformações da mola, e
verificou que a trigonometria podia ser aplicada nesses fenômenos físicos.
Segundo Boyer (1996, p.231), o termo “produto cartesiano” é um
anacronismo, pois Descartes estava longe de associar um sistema de coordenadas
formado com pares de números a um ponto geográfico. É possível que Nicole
Oresme, que nasceu na Normandia por volta de 1323, ao resolver um problema
sobre uma taxa de variação constante, tenha tido a brilhante ideia de traçar numa
figura ou num gráfico a maneira pela qual variam as coisas. Partindo do princípio de
que tudo que é mensurável, é imaginável na forma de quantidade contínua, Oresme
construiu um gráfico, velocidade x tempo para um corpo que se movia em
aceleração constante, representando o tempo na longitude (abscissas) na reta
horizontal e a velocidade na latitude (ordenadas), da mesma forma que construímos
40
atualmente. O uso das coordenadas não era novo, a ideia remonta a Apolônio que
nasceu em Perga por volta de 262 a.C., e é considerado junto com Euclides e
Arquimedes, um dos gigantes da matemática do século III a.C.. A originalidade na
ideia de Oresme foi representar na horizontal quantidade variável (tempo) e construir
um gráfico com esses dados, antecipando-se assim a geometria analítica.
Somente três séculos depois dos gráficos de Oresme, com desenvolvimento
do simbolismo e dos processos algébricos, é que a geometria analítica pode
desempenhar seu papel na aplicação da álgebra na geometria, com as contribuições
de Descartes e Fermat, que foram decisivas para este estudo.
Segundo Eves (2004, p.384), para os gregos, uma variável correspondia ao
comprimento de um segmento, o produto de duas variáveis a uma área de algum
retângulo, o produto de três variáveis ao volume de algum paralelepípedo; contudo
para Descartes, representava o quarto termo da proporção:
E não uma área, e poderia ser representado por um segmento de reta desde
que se conhecesse o comprimento . Com um segmento unitário, ele mostrou que
era possível representar, com um segmento de reta, qualquer potência de uma
variável e até mesmo o produto de duas variáveis, desde que se atribuíssem
valores. Para essa aritmetização da geometria, Descartes marcava o comprimento
num eixo dado, e um segmento de comprimento formando um ângulo com o
eixo de , com o objetivo de construir pontos em que para cada correspondesse
um satisfazendo uma relação dada, conforme ilustra a figura 17.
Figura 17 - A aritmetização da geometria. Fonte: Eves (2004, p.385)
41
De acordo com Eves (2004, p.389), na mesma ocasião que Descartes
articulava as bases da geometria analítica, esse assunto também atraía atenção de
outro gênio francês, Pierre de Fermat (1601-1665. Como conhecedor das línguas
clássicas, participou da restauração de obras perdidas da antiguidade, entre elas
“Lugares Planos” de Apolônio, com base nos clássicos gregos preservados.
Estudando essas obras e usando sua intuição, fez importantes descobertas
matemáticas por puro diletantismo, sem nada publicar, apenas trocando
correspondências com os matemáticos Descartes, John Wallis, Roberval, Blaise
Pascal e Cristian Huygens. Numa dessas correspondências com Roberval, ele
escreveu a equação geral da reta e da circunferência e discutiu sobre as hipérboles,
elipses e parábolas. Enquanto Descartes partia de um lugar geométrico para
encontrar sua equação, Fermat partia de uma equação para estudar o lugar
geométrico correspondente. Esses dois aspectos recíprocos formaram a base da
geometria analítica.
O traçado das tangentes era um problema antigo, que os gregos tinham
conseguido solucionar para alguns casos particulares. Descartes desenvolveu um
método para construir tangentes a uma curva, conhecendo-se a equação desta
curva, e o ponto de tangência. Este método dependendo do tipo de curva era muito
complicado. Segundo Garbi (2007, p.194), Fermat também desenvolveu um método
para o traçado das tangentes, quando pensou em melhorar a definição grega de
tangente: ”uma reta que tem somente um ponto com uma curva”, sabendo que esta
definição só servia para circunferências e elipses, pois qualquer paralela ao eixo de
uma parábola, corta esta parábola em apenas um ponto, mas não é tangente à
mesma. Para solucionar este desafio, ele teve a brilhante ideia de usar o conceito de
limite para ajudar a definição de tangente, traçando uma secante PP’ a uma curva
(fig.18), e ir aproximando indefinidamente P’ de P, para que estas secantes tendam
a uma reta definida, como a tangente procurada, cujo coeficiente angular,
posteriormente, é obtido por meio da trigonometria.
42
Figura 18 - Fermat e o traçado das tangentes. Fonte: Garbi (2007, p.198)
Segundo Boyer (1996, p.292), no começo do século XVII, o assunto que
despertava a atenção dos pesquisadores em matemática, era a teoria das
probabilidades, e um dos mais dedicados a esse assunto foi. Abraham De Moivre,
que nasceu em 1667, na província de Champagne, na França. Devido à perseguição
religiosa, imposta por Luiz XIV, com a revogação do Edito de Nantes, Moivre
emigrou para a Inglaterra, onde assistiu às aulas sem permissão e estudou
matemática por conta própria tornando-se professor para aulas particulares. Numa
dessas aulas conheceu Isaac Newton e o seu livro “Principia”, sobre a Teoria da
Gravitação, que De Moivre leu avidamente, e em pouco tempo tornou-se um
especialista no assunto. Em 1697 foi eleito para a Royal Society e mais tarde para
as academias de Paris e Berlim, contudo nunca foi aceito como professor
universitário por não ser inglês de nascimento. A ele devemos a fórmula que sugeriu,
sem justificar sua origem. que relaciona os números complexos com a trigonometria:
= .
De acordo com Boyer (1996, p.292), em 1642 na aldeia de Woolsthorpe, no
sul da Inglaterra nasceu Isaac Newton, um gênio que muito contribuiu para a física e
a matemática. Aos dezoito anos de idade quando estudava no Trinity College, a
leitura de um livro de astrologia comprado em uma feira, despertou em Newton o
interesse pela matemática. Não entendendo esse livro, procurou um de
trigonometria, e assim chegou até Os Elementos de Euclides, que achou muito
óbvio. Em seguida leu o La Géomètrie de Descartes, que considerou difícil. Como
autodidata, continuou suas pesquisas lendo Clavis de Oughtred, a Geometria a
43
Renato Des Cartes de Schooten, a Optica de Kepler, as obras de Viète, o
Arithmetica infinitorum de Wallis e o Geometrical Lectures de Isaac Barrow, o
primeiro Lucasian Professor de matemática em Cambridge. Mais tarde conheceu as
obras de Galileu, Fermat e Huygens. Em apenas dois anos ele absorveu
conhecimentos da matemática e da Física, que serviram de base para as suas
futuras descobertas.
Na matemática, segundo Katz (2008, p.539), entre as descobertas de Newton
estão o Teorema Binomial, de 1664, publicado por Wallis em 1685; um método para
encontrar raízes de polinômios de grau igual ou acima de 5 e o Método das Fluxões
(hoje conhecido como cálculo diferencial) que ele desenvolveu a partir dos binômios
e dos problemas que envolviam taxas de variação com variáveis contínuas ou fluxos
(a atual derivada), sistematizando com essa teoria os casos particulares de traçados
analíticos de tangentes que haviam sido encontrados há décadas. De acordo com
Stewart (2002, p.345), as “Geometrical Lectures”, mostraram que Barrow sabia como
calcular algebricamente as tangentes e as curvas, no estudo de um ponto em
movimento, e que o declive dessas retas numa representação correspondia a
velocidade desse ponto, mas não percebeu a natureza e o alcance do teorema
fundamental, pois mesmo que tenha apresentado resultados geométricos tratando
de tangentes e áreas, nunca os utilizou para calcular áreas.
Em 1646, nasceu em Leipzig, na Alemanha o grande gênio universal Gottfried
Wilhelm Leibniz, que em meio a muita polêmica disputou com Newton a invenção do
cálculo. Segundo Eves (2004, p.442), ainda na infância, Leibniz aprendeu o latim e o
grego sem qualquer ajuda, e aos doze anos de idade já tinha assimilado todo o
conhecimento da matemática, filosofia, teologia e leis, até então publicadas. Aos
quinze anos, ingressou na Universidade de Leipzig saindo como Bacharel em
Direito, aos vinte anos recusaram-lhe o titulo de doutor, devido a sua pouca idade.
Mudou-se para Nuremberg e na Universidade de Altdorf obteve seu doutorado. Mais
tarde se engajou no serviço diplomático, onde serviu por quarenta anos. Nessa
função viajou muito, e numa dessas viagens conheceu Huygens, que lhe deu
algumas aulas de matemática e o aconselhou a ler os tratados de Pascal. Em 1673,
quando participava de uma missão política em Londres, comprou um exemplar do
Lectiones geometricae de Barrow, conheceu Oldenburg e tornou-se membro da
Royal Society. Em 1676 voltou a Londres trazendo uma máquina de calcular que ele
inventara.
44
Segundo Garbi (2008, p.225), Leibniz viveu num século histórico da
matemática, em que foi criada a Geometria Analítica, o conceito de função (Leibniz
foi o primeiro a utilizar a palavra função no atual sentido matemático), o método de
Fermat para o traçado das tangentes (considerado como o germe do método
diferencial), o Método dos Indivisíveis de Cavalieri (indivisível de uma porção plana
é uma corda dessa porção e indivisível de um sólido dado é uma secção desse
sólido). Todas essas descobertas conduziam para uma nova modalidade de cálculo
que sistematizasse o método de “exaustão” (com esse método é possível mostrar
que a diferença entre a área de um polígono regular circunscrito a um círculo e a
área do círculo pode se tornar tão pequena quanto se deseje), que Eudóxo havia
criado há dois mil anos. Leibniz se conscientizou desse momento histórico e deu sua
contribuição na criação do Cálculo Diferencial e Integral.
Um dos mais importantes matemáticos da Suíça no século XVIII foi Leonhard
Euler (1707-1783). Segundo Eves (2004, p.473), Euler aprendeu os fundamentos da
matemática com o seu pai, um pastor calvinista, e, quando jovem, foi aluno de
Jacques Bernoulli, tornando-se amigo de seus filhos, os irmãos, Nicolaus e Daniel
Bernoulli. Devido a essa convivência, ele descobriu sua vocação para a matemática.
Euler estudou medicina, astronomia e línguas orientais. Por indicação dos irmãos
Bernoulli, tornou-se membro da Academia de São Petersburgo, onde permaneceu
por quatorze anos, para, em seguida, a convite de Frederico, o Grande, chefiar a
seção de matemática da Academia de Berlim. Depois retornou a São Petersburgo,
onde, aos 76 anos de idade, veio a falecer, sem nunca ter sido professor, mas um
escritor notável, autor de mais de 800 obras entre livros e artigos. Por ano, ele
produzia, em média, 800 páginas sobre a matemática pura e aplicada. Graças a sua
prodigiosa memória, mesmo depois de cego na velhice, continuou a produzir,
escrevendo numa lousa e ditando para um secretário. A Sociedade Suíça de
Ciências Naturais iniciou em 1909 uma edição completa em 76 volumes
substanciais, reunindo todas as obras de Euler.
Segundo Katz (2008, p.593), em março de 1739, Euler percebeu que a função
seno permitiria a solução analítica de tais equações de ordem superior. Diante disso,
apresentou um artigo à Academia de Ciências de São Petersburgo, com a resolução
de um problema sobre o movimento de um oscilador harmônico impulsionado por
duas forças, uma proporcional à distância e outra variando senoidalmente com o
tempo, com a seguinte equação diferencial:
45
Onde s representava a posição e t o tempo. Essa talvez tenha sido a primeira
vez que a função seno apareceu numa equação diferencial. Para estudar um
aspecto especial dessa solução, ele apagou o termo do seno para em seguida
multiplicar por b ds resultando em: . Integrou em relação à
e isolou ficando:
Esta expressão se tornou a primeira solução analítica que se tem registro.
Num segundo aspecto, para um caso geral, ele defendeu que a solução seria:
, sendo uma nova variável.
Nos anos seguintes, Euler continuou a discussão das resoluções de
problemas com equações diferenciais por correspondência com Johann Bernoulli.
Nessas resoluções, ele havia notado que o seno e as funções exponenciais foram
usadas nas soluções das mesmas equações, e deduziu que elas deveriam pertencer
a mesma classe de funções, as transcendentais. Como sua intenção era introduzir
essas funções no cálculo, ele acabou criando um método de resolução para as
equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, da forma:
Depois de tratar esse problema de várias maneiras, inesperadamente ele
descobriu que poderia substituir a equação diferencial dada, pela equação
algébrica:
,
Um polinômio irredutível nos fatores lineares e quadráticos, onde cada fator
linear , levou à solução , enquanto que cada fator quadrático na forma levou à solução:
46
Euler concluiu que a solução geral era a soma das soluções correspondentes
de cada fator. Assim, resolveu o problema proposto por Daniel Bernoulli em 1735,
que tratava da solução de , fazendo corresponder a equação algébrica
fatores como , resultando:
Embora ele não tenha dito como desenvolveu o seu método algébrico, na
solução da equação , podemos supor que Euler apenas generalizou
esse método. Como um trabalhador incansável, ele prosseguiu com suas pesquisas
e descobertas na matemática, e com a publicação do Introductio in analysin
infinitorum em 1748, estabeleceu as bases da análise, o estudo de processos
infinitos. Com o surgimento da análise, o conceito de função tornou-se fundamental.
No Introductio, Euler revelou que “às vezes, ele pensava em função menos
formalmente e mais geralmente como a relação entre duas coordenadas de pontos
sobre uma curva traçada a mão livre sobre um plano” (Boyer, 1996, p.306). Nessa
obra, com o tratamento estritamente analítico das funções trigonométricas, “o seno
deixou de ser um segmento de reta, e tornou-se um número ou uma razão, que
poderiam ser encontrados na ordenada de um ponto sobre um circulo unitário, ou no
número definido pela série ” (Boyer, 1996).
Segundo Lima (1991, p;42) tendo por base a Análise Matemática recém
criada em consequência dos Cálculos Infinitesimais, Euler inventou uma função que
modernizou as noções de seno e cosseno, definidas no triângulo retângulo e
permitiu substituir o ângulo por um número real Ele estabeleceu que o domínio de
sua função é o conjunto R dos números reais, e o contradomínio é, por definição,
o círculo de raio unitário no plano cartesiano (que representaremos por . Nesse
contradomínio, devido ao Teorema de Pitágoras, para as coordenadas e de
qualquer ponto , sempre vai valer a relação = 1. A figura 19 ilustra esse
detalhe:
47
Figura 19 - O contradomínio da função de Euler. Fonte: Lima (1991, p.43)
Segundo Lima (1991, p.44), com as condições estabelecidas sobre o domínio
e o contradomínio, Euler fixou a origem dos arcos no ponto de e
considerou com sentido positivo, todos os arcos que começavam nesse ponto, e
percorriam a circunferência no sentido anti-horário. Finalmente Euler definiu sua
função : R → da seguinte maneira: dado um número real , essa função faz
corresponder a cada valor de , um arco de comprimento com o ponto na
sua extremidade.
As coordenadas do ponto , definem o cosseno e o seno:
Na figura 20, ilustramos esta definição:
Figura 20 - Definição da função de Euler. Fonte: Lima (1991, p.45).
48
Portanto, de acordo com a função : R → , é a abcissa e é a
ordenada do ponto
A partir do trabalho de Euler, as funções trigonométricas passaram a fazer
parte do repertório das funções matemáticas e têm inúmeras aplicações na
descrição dos fenômenos periódicos.
Antes da invenção da função de Euler, só existiam as razões trigonométricas,
ou seja, o quociente entre os lados de um triângulo retângulo. O advento dessa
função estendeu o alcance das funções trigonométricas para além do triângulo
retângulo, e tornou possível se conhecer o cosseno e o seno de ângulos maiores
que 90º, e substituir as medidas em graus por números reais que expressam as
medidas em radianos de um arco num círculo de raio unitário. Devemos, portanto,
ao matemático Leonhard Euler (1707-1783) a transição das razões para as funções
trigonométricas que será objeto principal da nossa pesquisa.
49
Capítulo 2
Revisão de literatura
2.1. Pesquisas correlatas Procurando na literatura, pesquisas relacionadas à pesquisa sobre o ensino
da trigonometria, escolhemos as seguintes dissertações de mestrado para nossa
revisão:
• BRIGUENTI, Maria José Lourenção, UNESP de Rio Claro, Ensino e
aprendizagem da trigonometria; novas perspectivas da Educação Matemática,
1994, na área de concentração em ensino e aprendizagem da matemática e
seus fundamentos filosófico-científicos, sob a orientação da Drª. Celi Vasques
Crepaldi.
• LOBO DA COSTA, Nielce Meneguelo, PUC/SP, Funções seno e cosseno:
uma sequencia de ensino a partir dos contextos do “mundo experimental” e do
computador, 1997, na área de Ensino da Matemática, sob a orientação da Drª.
Sandra M.P. Magina.
• LINDEGGER, Luiz Roberto de Moura, PUC/SP, Construindo os conceitos
básicos da trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da
manipulação de modelos, 2000, na área de Ensino da Matemática, sob a
orientação da Drª. Sandra M.P. Magina.
• GOIOS, Douglas Ferreira, UNIBAN/SP, Potencialidades didático-pedagógicas
de um objeto para a aprendizagem: uma análise através da Teoria da
Cognição Corporificada para o ensino de trigonometria, 2010, da linha de
pesquisa Tecnologias Digitais e Educação Matemática, sob a orientação da
Drª. Janete Bolite Frant.
Escolhemos a pesquisa de Briguenti (1994), não apenas pelo assunto, mas
por se fundamentar no mesmo referencial teórico que adotamos, a aprendizagem
significativa de Ausubel.
Diante das dificuldades demonstradas por seus alunos na aprendizagem da
trigonometria, Briguenti planejou sua pesquisa com a intenção de atingir a vários
50
objetivos distintos, dentre os quais destacamos dois, que aparentemente
encaminharam a pesquisa: segundo a autora, um deles era verificar as dificuldades,
as falhas nos conceitos básicos da trigonometria e as disciplinas que dificultam a
adaptação dos alunos no curso superior; o outro objetivo, pesquisar a adaptação da
Teoria da Aprendizagem Significativa para alunos do 1º e do 2º grau. Na prática,
esses dois objetivos transformam-se em duas pesquisas independentes.
Para pesquisar sobre as dificuldades básicas dos conceitos trigonométricos,
foram propostas12 questões numéricas a 103 alunos do ensino superior, nos cursos
de química, ciência da computação e licenciatura em matemática das unidades da
UNESP de Bauru e Araraquara. As três primeiras questões eram sobre as relações
trigonométricas num triângulo retângulo, acompanhadas das respectivas figuras. A
quarta questão mostrava a figura de um triângulo equilátero de lado medindo “l”, e
pedia que fosse calculado o seno, cosseno e a tangente do ângulo de 30°. Na quinta
e na sexta questões era dado o valor da tangente de um ângulo agudo, num
triângulo retângulo, e eram pedidos os valores do seno e do cosseno. Da primeira à
sexta questões, segundo a autora, o acerto dependia do conhecimento e da
aplicação dos conceitos básicos trigonométricos. A oitava questão era sobre a
menor determinação de um arco. A nona solicitava o domínio da função
. Na décima era perguntado se era igual a , na
décima primeira quais os valores de x, sabendo que , e a última
questão pedia para fosse determinado o sinal da expressão
.
Com os resultados dessas questões, Briguenti trabalhou na análise
quantitativa dos dados, construiu gráficos estatísticos e tabelas com as frequências
relativas aos acertos e concluiu que as dificuldades começaram com a interpretação
dos enunciados dos problemas e se estenderam pelas falhas nos conceitos básicos
e fundamentais relacionados às razões e funções trigonométricas, aspectos que,
provavelmente, impediram a formulação de hipóteses para a resolução dos
problemas. Comparado o desempenho dos grupos, Briguenti,(1994, p.42) atribuiu o
baixo desempenho dos alunos de licenciatura, à prova de vestibular que, em virtude
do grande número de vagas nessa área, permitiu o ingresso de alunos
despreparados para o curso e manifestou a preocupação de que esses profissionais
seriam lançados no mercado com graves falhas conceituais. Neste sentido esperava
51
que sua pesquisa pudesse colaborar provocando uma reflexão para melhorar a
preparação dos professores de matemática “fortalecendo os conceitos básicos e
relevantes da Trigonometria, minimizando assim, as falhas conceituais
demonstradas” (Briguenti, 1997, p.43). Para pesquisar a adaptação da Teoria da
Aprendizagem Significativa ao ensino da trigonometria, Briguenti preparou as
atividades para dois grupos distintos. O primeiro destinado aos alunos de 8ª série do
1º grau (atual ensino fundamental) da rede estadual de ensino da cidade de Bauru,
aplicado em 6 horas/aulas, no qual foram propostas atividades como: desenhar,
medir e calcular as razões trigonométricas;
• Conhecendo-se o seno de um dos ângulos e a medida de um dos catetos,
calcular o outro;
• Conhecendo-se o valor da tangente de um ângulo, calcular as outras razões
trigonométricas;
• Com dois problemas contextualizando a tangente.
Nas pesquisas, com os alunos de 1° e 2° grau (atual ensino médio), a
pesquisadora não fez nenhuma avaliação quantitativa. Na terceira questão, cujo
enunciado era: Sabendo que construa um triângulo retângulo
ABC verificando a igualdade acima e determine o valor da hipotenusa. Nessa
questão os alunos erraram, pois não perceberam que poderiam utilizar o teorema de
Pitágoras. Na quinta questão, em que, com um triângulo equilátero, os alunos
tinham que calcular os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, a
autora percebeu que os alunos desconheciam as propriedades desse triângulo.
Apesar dessas falhas, Briguenti ponderou que ocorreu uma aprendizagem
significativa, visto que os alunos desenvolveram o novo conhecimento apoiados nas
propriedades e conceitos estudados anteriormente. Em relação aos erros nas
resoluções dos exercícios, ela justificou dizendo que “os alunos não tinham
solidificado, na sua estrutura cognitiva, os conceitos básicos, dos quais dependiam o
sucesso desta aplicação” Briguenti (1994, p.138).
Para o segundo grupo, formado por 29 alunos da 2ª série do 2º grau, foram
necessárias 5 aulas para os experimentos, com a participação da professora de
matemática dessa classe. Devido à escolha da teoria da aprendizagem significativa
e a teoria de Bruner, Briguenti teve o cuidado de verificar com alguns materiais e
atividades extraclasse, se, na estrutura cognitiva desses alunos, já existia o conceito
52
da semelhança de triângulos. Para isso, apresentou esquadros de 60°, de diferentes
tamanhos, mapas de diferentes dimensões, assim como miniaturas de carros e
prédios. Na rua pediu que medissem a altura de uma árvore, com uma trena e um
compasso para marcar o ângulo visual e medir a mesma árvore através do reflexo
de um espelho colocado no chão.
Em sala de aula, as atividades começaram com a construção de uma tabela
de seno e cosseno variando de 10° em 10°. Seguindo as instruções, os alunos
traçaram um semicírculo e com um dispositivo de transparência e projetaram uma
sequência de arcos para simular o movimento. Com a variação desses arcos e seus
valores, os alunos construíram tabelas. Numa outra atividade, foi pedido aos alunos
que desenhassem um arco em qualquer raio, e medissem o comprimento desse
arco com um barbante para verificarem a medida em radianos. Depois de comentar
sobre a necessidade da trigonometria no estudo dos movimentos circulares e
periódicos, para mostrar que qualquer número real pode corresponder a um ponto
no ciclo trigonométrico, a autora manda construírem um ciclo trigonométrico com
raio de 5 cm e pede que sobre ele sejam marcados arcos de um a seis radianos.
Apenas com a identificação das variáveis independente e dependente na
função e exemplos de gráficos de funções de 1º e 2º grau. Nenhum
aluno conseguiu construir o gráfico da função seno.
Nas suas considerações finais, a autora sugeriu que os professores que
propusessem atividades para ajudar os alunos na construção dos conceitos, sem,
contudo abandonar os textos de trigonometria; completou comentando sobre a
importância da hierarquia conceitual e da pré-disposição do aluno para a
aprendizagem.
Nessa pesquisa a autora declara: “o estudante brasileiro revela certa
tendência à aprendizagem mecânica e não à significativa. Isto se dá porque a nossa
maneira de ensinar está voltada para o desenvolvimento do comportamento
baseado no “conhecimento” e não tem a preocupação de desenvolver no aluno a
capacidade de traduzir uma forma simbólica para outra, um nível abstrato para
outro...” (Briguenti, 1994, p.13). A pesquisa de Briguenti é uma das primeiras neste
país, a tratar a trigonometria, com base na teoria da aprendizagem significativa. A
autora procurou trabalhar nos organizadores prévios e nos conceitos subsunçores
dessa teoria, a partir daí, construiu seus testes e suas atividades. Em nossa
pesquisa, adaptamos a atividade de Briguenti, para a construção de tabelas de seno
53
para arcos variando de 10° em 10°, com o dispositivo de transparências, em uma de
nossas intervenções com o Cabri, que, com sua geometria dinâmica, permitiu
literalmente o aumento dos arcos enquanto exibia suas medidas. Também
adaptamos a atividade que a autora planejou para as medidas em radianos com um
barbante, para uma intervenção com o Cabri.
Prosseguindo no assunto trigonometria, selecionamos a pesquisa de Lobo da
Costa, (1997), devido ao tema e aos procedimentos metodológicos. Durante a sua
revisão bibliográfica, Lobo da Costa encontrou uma dissertação de 1992, sobre a
aquisição do conceito de função, da mexicana Wenzelburger.(1992) Segundo Lobo
da Costa, Wenzelburger (1992), depois de experimentar o ambiente do lápis e papel,
dos materiais concretos e do computador gráfico, deduziu que o melhor ambiente
para o ensino era o computacional. Para investigar a influência desses contextos no
ensino de trigonometria, Lobo da Costa decidiu que a sua pesquisa teria como
objetivo: identificar qual a melhor ordem na aplicação desses contextos, para
introduzir os conceitos das funções seno e cosseno.
A autora aplicou sua pesquisa a 32 alunos do 2º grau, na rede particular de
ensino, da cidade de São Paulo, divididos em três grupos identificando-os como A, B
e C. O grupo A, com 16 alunos, serviu como referência no contexto da sala de aula;
o grupo B, com 8 alunos, começou no contexto do mundo experimental para
encerrar no computador, e o grupo C, também com 8 alunos, com os contextos na
ordem inversa do B. Lobo da Costa planejou todas as atividades, tendo por base o
construtivismo de Piaget, assim procurou possibilitar a interação do sujeito com o
objeto, nas mais diferentes situações.
Ao verificar as vantagens e desvantagens para o professor, entre preparar as
situações com materiais concretos e no computador, Lobo da Costa lembrou que
esse último era menos dispendioso, sem o risco de quebrar o material ou falhar na
experiência. Com o computador, as figuras podiam ser construídas rapidamente e os
alunos sentiam-se atraídos pela resposta imediata desse equipamento. Na escolha
dos softwares, a autora optou pelo Graphamatica for Windows, para a construção de
gráficos e pelo Cabri-Géomètre II, por funcionar como um caderno de rascunho na
geometria dinâmica.
Para o mundo experimental, Lobo da Costa inventou três dispositivos
concretizando os conceitos e situações a serem estudadas na trigonometria. O
pêndulo de areia para as funções periódicas, a roda de caneta a laser para ligar o
54
ciclo trigonométrico às funções seno e cosseno, e o alarme ótico para fornecer os
dados para a construção de um gráfico dessas funções. Segundo a autora, com eles
o professor pode desempenhar o papel de mediador numa zona de desenvolvimento
proximal (é a diferença de desenvolvimento mental, que uma criança pode atingir
sem ajuda de alguém, e com a ajuda de um adulto ou outra criança), conforme a
teoria sócio-interacionista de Vygotsky.
Lobo da Costa incluiu na sua pesquisa, uma análise sobre os obstáculos
epistemológicos (do desenvolvimento histórico e da prática educacional), e didáticos
(que dependem da escolha didática) no estudo da trigonometria. Dessa seção
destacamos a incomensurabilidade (números incomensuráveis dos pitagóricos).
Costa observou que no estudo das funções trigonométricas em R, surgiu o número
π, como obstáculo epistemológico. Quanto aos obstáculos didáticos, destacamos os
ligados ao conceito de função, e as medidas em radianos. Para a autora, os
conhecimentos das funções de 1º e 2º grau, e das funções exponenciais e
logarítmicas, podem se constituir num obstáculo para o entendimento das funções
trigonométricas, pois necessitam de uma redefinição de seno e cosseno, quando
saem da restrição dos ângulos agudos para valerem em qualquer número real.
Quanto às medidas em radianos, ela as considerou como uma dificuldade ligada à
mensuração, porque usamos dois sistemas de medidas, o decimal para
comprimento do arco de circunferência e o sexagesimal para o ângulo central
correspondente. Costa ponderou que o aprendizado anterior em graus, também
pode se tornar um obstáculo a introdução do radiano.
A avaliação dessa pesquisa se deu a partir de três testes para os três grupos
de sujeitos: um pré-teste, um teste durante e um teste após as atividades. Com as
taxas de acertos, foram construídos os gráficos estatísticos, que mostraram o
desempenho desses grupos. No pós-teste o desempenho do grupo A foi de 9,37%,
do grupo B, de 77,7% e do grupo C, de 70%. A autora atribuiu o baixo desempenho
do grupo A, a “falta de comprometimento com projeto, desses alunos, pois eles
sabiam que não participariam das seqüência didáticas, sendo apenas um grupo de
referências” (Lobo da Costa, 1997, p.143).
Nas suas considerações finais, ao verificar que o grupo que teve o melhor
desempenho, começou no contexto experimental e terminou no computacional, Lobo
da Costa concluiu que a melhor ordem de abordagem era a do grupo B. Tendo em
vista o sucesso na aprendizagem também na ordem inversa, a pesquisadora admitiu
55
que os dois ambientes foram necessários e complementares. A autora sugeriu que
os professores criem dispositivos, ao introduzirem novos conceitos matemáticos, a
exemplo de suas montagens com o material concreto.
Para as futuras pesquisas, Lobo da Costa recomendou que os alunos
construíssem os arquivos do Cabri, antes de trabalharem a trigonometria no
triângulo retângulo, e no ciclo trigonométrico. Desta forma, segundo ela, as
atividades serão menos formais e dirigidas, como foram as suas.
Os resultados da pesquisa de Lobo da Costa determinaram nossos
procedimentos metodológicos, pois planejamos nossas intervenções com as
atividades que tiveram início no contexto experimental para terminarem no
computacional, e nesse contexto tivemos a preocupação de substituir os arquivos
prontos do Cabri, com os quais iríamos trabalhar, pelas figuras construídas pelos
próprios alunos. Essa pesquisa também nos inspirou na criação de um dispositivo
para introduzirmos o ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno. Nossa
opinião é que a autora poderia se concentrar na teoria das situações didáticas de
Guy Brousseau, em cujo bojo já se encontram as ideias cognitivistas e
construtivistas de Piaget, Vygotsky e Vergnaud , para sintetizar essa pesquisa, uma
importante contribuição para a educação matemática.
Escolhemos a dissertação de Lindegger (2000), não apenas por se propor a
tratar dos conceitos básicos da trigonometria, mas devido ao emprego de materiais
concretos nessa proposta. Lindegger (2000), limitou o estudo da trigonometria às
relações trigonométricas no triângulo retângulo, enquanto que Briguenti (1994) e
Lobo da Costa (1997), o estenderam até as funções seno e cosseno. O objetivo
dessa pesquisa foi investigar uma abordagem a partir da manipulação de modelos,
para introduzir de modo claro, os conceitos das razões trigonométricas, seno,
cosseno e tangente. O autor chamou de modelos às representações concretas,
maquete, triângulos em madeira e dispositivos utilizados para auxiliar a
compreensão dos conceitos, e adotou essa denominação às construções
geométricas.
Além de se basear em Brousseau, Lindegger acrescentou, ao referencial
utilizado, as teorias sócio-construtivistas de Vygotsky, com a sua zona de
desenvolvimento proximal, e as ideias de Vergnaud sobre a formação de conceitos
na matemática, relacionados com as situações e resoluções de problemas.
56
Para testar a hipótese de que a aplicação de uma sequência didática, a partir
de situações-problemas é adequada para facilitar a construção e a apropriação dos
conceitos trigonométricos, o pesquisador trabalhou com alunos da 8ª série do ensino
fundamental divididos em dois grupos, o de referência, no qual participaram 32
alunos em 15 horas/aula, em sete encontros com a abordagem tradicional das
definições seguidas de exercícios, e a adoção de um livro didático; e o grupo
experimental, que contou com a participação de 24 alunos, em onze encontros que
totalizaram, 18 horas/aula de 50 minutos. Para verificar a compreensão dos
conceitos básicos da trigonometria em ambos os grupos, o autor aplicou pré-teste
com 9 questões.
Na sequência de ensino construída para onze encontros, segundo Lindegger,
cada conceito foi abordado, partindo da contextualização para a formalização. Como
exemplo dessa abordagem, escolhemos a atividade que teve como objetivo rever o
conceito de semelhança de triângulos, razão e proporção, a partir de um problema
para se medir a altura de uma árvore inacessível, com uma maquete. Nesse modelo,
em escala 1:50, próximo à miniatura da árvore se encontra um boneco de uma certa
altura conhecida. O autor recomenda que, depois de fazer um relato histórico, sobre
Thales medindo uma pirâmide com um bastão de altura conhecida, o professor
deverá reproduzir o esquema na lousa, com o desenho de uma árvore e um homem,
e os triângulos retângulos formados com os raios solares e as respectivas sombras.
Feito o esquema, o professor deverá entregar aos alunos a maquete e uma régua, e
pedir que eles discutam a solução. Depois de algum tempo ele poderá formalizar a
resolução.
Aproveitamos essa atividade para observar, nessa pesquisa, o momento
“adidático”, em que o professor não interfere na ação dos alunos e aguarda a
interação desses alunos com o desafio proposto nessa situação-problema, conforme
as etapas da aprendizagem propostas pela teoria das situações didáticas de Guy
Brousseau ( Brusseau, Didáctica das Matemáticas, 1996, p.48-50).
A partir dos dados coletados na sua pesquisa, Lindegger fez avaliações
qualitativas e quantitativas. Na avaliação quantitativa, ele constatou que no pré-
teste, no grupo de referência (GR) o índice de acertos foi de 0%, e no grupo
experimental (GE), o índice de acertos foi de 2,27%. Com esses resultados,
Lindegger deduziu que os dois grupos demonstraram desconhecer o assunto. No
pós-teste, o GR, teve um índice de acertos de 46,09%, enquanto que o GE atingiu
57
69,32%, esse último, considerado pelo pesquisador como satisfatório. Na avaliação
individual por aluno, em uma tabela construída pelo autor, podemos verificar que, no
pós-teste, quatro alunos do GE acertaram 100% das questões, enquanto que
apenas um aluno do GR atingiu esse índice. Para sua avaliação qualitativa, o autor
transformou os dados quantitativos em qualitativos, com esse fim construiu tabelas
quantitativas com o percentual de acertos pelos sujeitos individualmente, e dessa
tabela ele classificou o desempenho em faixas de percentuais de acertos, ou seja,
considerou como de “bom desempenho”, os que acertaram 6, 7 ou 8 questões (75%-
100%); de “médio desempenho”, os que acertaram 4 ou 5 questões (50%-62,5%) e
de “fraco desempenho, os que acertaram de 0 a 3 questões (0%-37,5%). Com essa
classificação ele construiu uma nova tabela, segundo a qual no grupo experimental
55% tiveram um bom desempenho, 27% um médio desempenho e 18%, um fraco
desempenho.
Nas suas conclusões, o autor considerou satisfatórios os resultados
qualitativos e quantitativos, obtidos com a aplicação de uma sequência de ensino
nos moldes de Brousseau, nas quais estão implícitas as ideias de Vygotsky, com
sua ZDP e enfatiza que o processo da construção dos conceitos básicos da
trigonometria ganha força quando se parte da resolução dos problemas concretos
para os problemas formais.
Para as futuras pesquisas, Lindegger sugere que se relacione a sequência de
ensino em sala de aula e tarefas para casa, para que durante o intervalo entre as
aplicações das sequências, o aluno continue ligado à trigonometria e desenvolva
suas competências em situações significativas.
Com essa pesquisa, ratificamos a abordagem de nossa pesquisa, que
começou no contexto experimental, e terminou no computacional, conforme sugere a
pesquisa de Lobo da Costa (1997). Também consideramos de fundamental
importância, a constatação de Lindegger, quanto à eficiência do processo de
construção dos conceitos da trigonometria, quando se inicia nos problemas ligados a
realidade e se finaliza na sistematização da matemática.
Na procura de uma dissertação mais atual, sobre a aprendizagem na
trigonometria, encontramos a pesquisa de Goios (2010), diferente das que vimos
anteriormente, devido a área de pesquisa em que se encontra, ligada às tecnologias
e a peculiaridade da teoria da cognição corporificada, de Lakoff & Johnson, 2000 ;
Lakoff & Nuñes, 2001.
58
Para investigar quais os aspectos que influem no processo de ensino e
aprendizagem, nas aulas de trigonometria, Goios procurou analisar as metáforas
apresentadas pelos alunos nessas aulas, justificando com essa teoria, a relação das
metáforas com a matemática. Sem uma breve explanação sobre alguns conceitos
dessa teoria, este texto ficará sem sentido.
Segundo Lakoff & Johnson 2001, apud Goios, (p.25, 2010), as metáforas são
partes integrantes dos nossos pensamentos, e não se tratam apenas de simples
recursos poéticos, mas de pensamento e ação. Para esses autores, a maioria de
nossos pensamentos ocorre de forma metafórica e inconsciente. De acordo com
essa teoria, “metáfora conceitual” é um mecanismo cognitivo que permite partir de
um domínio conhecido (fonte) para inferir num domínio desconhecido (alvo). Para
exemplificar, Goios transcreveu o seguinte trecho da poesia de Chico Buarque, “vida
é viagem”:
Já conheço os passos dessa estrada.
Sei que não vai dar em nada.
Seus segredos sei de cor.
Já conheço as pedras do caminho (Grifos do autor)
Com esse exemplo, o autor mostrou que, com as metáforas passos e estrada,
podemos inferir as atitudes da vida, assim como as palavras pedras do caminho,
podemos inferir como as dificuldades que surgem durante a vida, desta forma do
domínio fonte “viagem”, constituído com as metáforas passo, estrada, caminho e
pedras, podemos inferir no domínio alvo “vida”, as atitudes, a linha de vida e as
dificuldades.
Segundo Goios, existem dois tipos de metáforas conceituais: a metáfora
básica, quando ocorre entre domínios distintos, como os versos que citamos, e a
metáfora de ligação que, associa o domínio fonte com as nossas experiências do
cotidiano e o domínio alvo aos conhecimentos da matemática. Para o pesquisador,
as metáforas de ligações nos ajudam a entender as ideias mais avançadas da
matemática. Nessa teoria os autores usam o termo “movimento fictivo” quando se
referem a objetos matemáticos com propriedades estáticas, numa linguagem
dinâmica, dando ideia de movimento. Por exemplo, a “função cresce”. Para
59
completar a relação dos conceitos utilizados por essa teoria, encontramos os
“objetos de aprendizagem (OA)”, definidos pelo MEC como sendo qualquer recurso
que possa ser reutilizado, para dar suporte ao aprendizado.
Essa pesquisa foi aplicada numa escola pública de Bragança Paulista, no
interior de São Paulo, em 2007, quando o IDESP- Índice de Desenvolvimento da
Educação do Estado de São Paulo, nessa instituição tinha sido de 2,00, enquanto a
média estadual na ocasião, era de 2,54. Dessa escola participaram oito alunos do
primeiro ano do ensino médio. Dividida em duas fases, a primeira fase dessa
pesquisa foi destinada a análise de materiais, entre os quais constavam os
aplicativos disponibilizados pela Rede Interativa Virtual de Educação - RIVED, que
se encontra no site: www.rived.mec.gov.br.
No OA do RIVED, intitulado “o mundo da trigonometria”, são apresentadas as
funções seno, cosseno e tangente, no ciclo trigonométrico. A abertura apresenta
uma animação com frases e imagens, sugerindo o uso da trigonometria no cotidiano,
exibindo imagens de botes descendo uma cachoeira, jogos de futebol, e jogos de
sinuca. Optando pela função seno, surge uma sequência de imagens auto
explicativas, que começa com a apresentação do ciclo trigonométrico, e termina com
associação da ordenada desse ponto com a função seno. Para a construção do
gráfico do seno, aparece a primeira imagem dinâmica, que permite que o aluno
possa “arrastar” o ponto P sobre o ciclo, e observar que este aplicativo vai
construindo o gráfico num eixo cartesiano, marcado com os intervalos de frações de
π radianos.
O primeiro encontro para as atividades com os alunos, foi dedicado à
comparação dos números racionais e irracionais, em frações, números decimais,
com questões numéricas e atividades em que os números se encontravam em tiras
de papéis para serem ordenados. O segundo encontro foi com o OA “o mundo da
trigonometria” para que os alunos estimassem os senos de alguns ângulos. Durante
as apresentações das figuras do aplicativo, Goios registrou o emprego da metáfora
pelos alunos, como “ciclo trigonométrico é relógio”, com o domínio fonte constituído
das palavras ponteiro de um relógio, movimento dos ponteiros e eixo do relógio, para
a inferência das palavras do domínio alvo: ângulos, variação de ângulos e ponto de
origem no plano cartesiano. Para o terceiro encontro, o pesquisador desenvolveu
com o software dinâmico Geogebra, um aplicativo para detalhar o ciclo
trigonométrico. Para finalizar os encontros, os alunos voltaram ao “mundo da
60
trigonometria”, comparando valores da função seno, estimando alguns valores de
seno, já que esse aplicativo não possui escala.
Nas suas considerações finais, após analisar detalhadamente as gravações
em áudio e vídeo, ele chegou à conclusão que “essas metáforas foram fundamentais
para que os alunos desenvolvessem seus conceitos sobre trigonometria, fazendo
uso dos conhecimentos prévios para inferências que permitiram a produção de um
conhecimento novo” (Goios, 2010, p.122).
A leitura dessa dissertação nos fez refletir sobre a importância das novas
teorias de aprendizagem para as pesquisas em educação matemática. Nunca nos
ocorreu que as metáforas tivessem um papel tão significativo na aprendizagem ,
assim como não podemos imaginar, para futuras pesquisas na trigonometria,
qualquer atividade em que os recursos dos softwares da geometria dinâmica e a
internet não participem.
2.1.1. Parâmetros Curriculares Nacionais - terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental 1998
A Secretaria do Ensino Fundamental do Ministério da Educação e do
Desporto elaborou este documento oficial para os professores do ensino
fundamental com o objetivo de promover um debate educacional que envolva
escolas, pais, governo e a sociedade para provocar um aperfeiçoamento no sistema
educativo brasileiro e orientar a prática escolar para que toda a criança tenha acesso
a um conhecimento matemático que o ajude a tornar-se um cidadão no mundo do
trabalho, das relações sociais e da cultura.
Repudiando a tradicional prática educacional em que o professor se limita a
apresentar oralmente todo o conteúdo, definindo, demonstrando e esperando que o
aluno aprenda pela reprodução, este documento propõe um professor organizador
da aprendizagem, que considere o aluno como o principal construtor nesse
processo, sem expor todo o conteúdo, mas fornecendo apenas as informações que
ele não possa conseguir sem ajuda.
Como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem, este
documento recomenda a resolução de problemas, que “possibilita aos alunos
mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade de gerenciar as informações
61
que estão ao seu alcance” (PCN, p.40). Com esta prática, os alunos terão uma
melhor visão sobre os conceitos e procedimentos matemáticos.
Este parâmetro defende a importância dos recursos da história da
matemática, argumentando que ela pode esclarecer as ideias que estão sendo
construídas pelos alunos e inspirar o professor a novas formas de abordagem dos
conceitos matemáticos. O uso das tecnologias com o computador nas escolas
também não foi esquecido, tendo em vista o desenvolvimento de softwares que
possibilitem pensar, refletir e criar soluções. Procuramos acatar estas
recomendações, quando reservamos em nossa pesquisa, um capítulo
especialmente para a história da trigonometria, e programamos todas as nossas
intervenções com o software Cabri-Géomètre II.
2.1.2. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – 2000.
O objetivo principal dos parâmetros para o ensino médio é indicar direções
que possam propiciar aos alunos a formação adequada para sua vida num mundo
de mudanças, que cada vez mais exige o desenvolvimento de competências
matemáticas para os novos desafios profissionais e sociais. Segundo os PCNEM, ao
longo do ensino médio a matemática tem uma função formativa, e por esse motivo,
deve desenvolver no aluno o raciocínio dedutivo e gerar hábitos investigativos, que
podem ser usados em novas situações, além dos limites da matemática. Ao mesmo
tempo, a matemática tem um papel instrumental, ao colocar suas ferramentas à
disposição do aluno.
Os objetivos educacionais da resolução CNE/98, já atribuíam a matemática
um papel importante no desenvolvimento das competências essenciais, que
dependiam das habilidades de caráter gráfico, geométrico algébrico e estatístico. Os
PCNEM – 2000 confirmaram essas atribuições.
Este documento cita o estudo da trigonometria como exemplo de um tema
matemático capaz de contribuir para o desenvolvimento das competências e
habilidades para a compreensão de fenômenos periódicos e para enfrentar
situações-problemas, até mesmo para os alunos que não pretendem seguir a
carreira das ciências exatas, neste caso, sem a necessidade de se aprofundar em
equações e identidades trigonométricas, apenas analisando e colocando em prática
62
alguns aspectos dessas funções. Entre esses aspectos, podemos destacar a
aplicação da trigonometria em problemas de medições de lugares inacessíveis e a
análise dos gráficos das funções trigonométricas na construção de modelos
relacionados com os fenômenos periódicos.
2.1.3. Proposta Curricular do Estado de São Paulo – Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio, 2008
Com vistas ao desenvolvimento curricular, a Secretaria da Educação do
Estado de São Paulo fez um levantamento no seu acervo documental e técnico
pedagógico, e implantou um processo de consultas a escolas e professores, para
divulgar as melhores experiências escolares desse estado.
Após a publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais e a criação do
Enem, os especialistas que preparam esta proposta concluíram que os conteúdos
disciplinares das diversas áreas eram a principal matéria prima para a formação dos
alunos como cidadãos e como pessoas. Essas disciplinas eram fundamentais, mas
tornou-se claro que o foco estava no desenvolvimento das competências pessoais
dos alunos. Nesse sentido foram escolhidas três pares dessas competências
básicas. A primeira competência foi a expressão/compreensão, posto que a
matemática, ao lado da língua materna, compõe um par como um meio de
expressão e de compreensão da realidade. A segunda competência, relativa à
argumentação/decisão, coloca a matemática como um instrumento para o
desenvolvimento do raciocínio lógico e a capacidade de tomar decisões a partir dos
elementos disponíveis. A terceira competência, relativa ao par concreto/abstrato,
considera que os objetos matemáticos são exemplos imagináveis para se
compreender a permanente articulação entre as abstrações e a realidade concreta.
Um exemplo nesta última competência é o abstrato número 5, um elemento comum
a todas as coleções concretas que podem ser colocadas em correspondência com
os dedos de uma mão, sejam elas formadas por frutas, pessoas ou objetos.
Na matemática, esta proposta curricular para o Ensino Fundamental e Médio,
agrupou os conteúdos fundamentais em quatro grandes blocos matemáticos,
juntando as propostas anteriores nas quais constavam números, geometria e
medidas, ao tratamento da informação. Partindo do princípio de que os conteúdos
63
fundamentais são os meios para o desenvolvimento das competências pessoais,
esta proposta organizou uma sequencia entre eles, distribuindo-os pelas séries e
bimestres e escolhendo um grande tema por bimestre. Contudo, esta divisão não
deve ser compreendida como algo fechado e inflexível, e o nível de aprofundamento
de cada tema deverá ficar à critério do professor, assim como a escolha mais
conveniente dos conteúdos, em cada bimestre, de acordo com as circunstâncias e
sempre que for possível apresentar esses conteúdos empregando a tecnologia e os
materiais concretos.
Segundo esta proposta, as formas planas e espaciais poderão ser
trabalhadas em contextos concretos, na 5ª e 6ª série do ensino fundamental, e com
os teoremas de Tales e Pitágoras e as razões trigonométricas, na 7ª e 8ª série.
Neste período, deverá ser exigida das crianças a articulação do raciocínio lógico-
dedutivo. Este documento adverte que a geometria plana não deve ser um assunto
restrito ao ensino fundamental, enquanto que a espacial e analítica deve ser restrita
ao ensino médio, esses temas podem se sobrepor em qualquer época, e a
geometria deve ser trabalhada em todos os anos numa abordagem espiralada,
mudando apenas o aprofundamento. Assim o número irracional (pi) pode aparecer
nos cursos de geometria elementar, associado aos cálculos do círculo e da
circunferência, e voltar no ensino médio em contextos ligados a trigonometria.
2.2. Análise da apresentação da função seno, em três livros didáticos de matemática para o ensino médio.
Em nossa prática de ensino como professor do ensino médio, e em aulas
particulares de matemática, durante o estudo da definição da função seno,
constatamos que a maioria dos alunos, não conseguia entender na íntegra, o
significado e a combinação das palavras, letras e figuras nessa definição, em seus
respectivos livros textos.
Escolhemos três livros do ensino médio, para uma breve análise no tema
central de nossa pesquisa, a definição da função seno:
• Livro 1 – volume único para o ensino médio, 1994.
• Livro 2 – volume único para o ensino médio, 2005.
64
• Livro 3 – parte de uma coleção para o ensino médio, 2004.
Devido à grande variedade de registros de representação semiótica exigida
pela trigonometria (escrita algébrica, tabelas, figuras geométricas e gráficos),
estabelecemos como critério de análise a forma de apresentação, com as figuras, e
a escrita algébrica usada para designar as coordenadas cartesianas, a medida de
um arco e os eixos cartesianos, no encaminhamento e formalização da definição da
função seno.
No livro 1, conforme podemos ver na figura 21, é o ângulo central
correspondente ao arco . Nessa mesma figura, as letras e , foram usadas
para dar nome aos eixos cartesianos. Nosso parecer é que o emprego da letra
para representar a variável independente da função seno, e ao mesmo tempo
nomear o eixo cartesiano horizontal nessa definição, pode confundir o leitor que
ainda está se familiarizando com um novo conceito. Além disso, esses autores ao
definirem “seno (do arco ou do ângulo x)”, não observaram que x é um número
real, correspondente à medida em radianos do arco e o mesmo acontecendo
ao escreverem “do ângulo . Segundo Lima (1991, p.4), para considerar a função
definida para todo número real é preciso falar em seno de um número, em
vez de um ângulo. Na parte inferior dessa mesma figura os autores destacaram que
sem perceberem que não é a ordenada do ponto . O
recomendável seria: ).
65
Figura 21 - A função do Seno no Ciclo trigonométrico Fonte: Livro 1
No livro 2, conforme mostramos na figura 22, os autores optaram por definir
as funções circulares, substituindo as coordenadas do ponto P localizado no círculo,
pelas medidas dos segmentos, com extremos no ponto O no centro do círculo, e nas
projeções ortogonais de P, nos eixos verticais e horizontais. De acordo com esse
texto, “x é um ângulo agudo” e P é a extremidade de um arco correspondente a ele.
Nessa figura, embora o arco esteja destacado, faltou identificarem a origem do arco
com uma letra. Vejamos essa página:
66
Figura 22 - Funções circulares e função seno.
Fonte: Livro 2.
Nesta situação, para definir a função seno no primeiro quadrante, os autores
recorreram a razão seno no triângulo retângulo OP1P,e assim provaram que seno
de um número real x, era igual a medida do segmento OP1, que na figura aparece
como um vetor apontando para cima.
Depois de apresentarem como exemplo o seno do ângulo de 30º, esses
autores estenderam a função seno para os outros quadrantes, com os ângulos x, y e
z, cujas projeções ortogonais fizeram surgir os pontos X, Y e Z no eixo “senos”.
Novamente, deixaram de identificar a origem desses ângulos, e escolheram as letras
x e y, que, tradicionalmente, designam os eixos cartesianos. Na figura 23, essas
letras estão localizadas na extremidade dos respectivos arcos, como um ponto em
letra minúscula, cuja projeção ortogonal no eixo vertical, fez surgir o correspondente
ponto em letra maiúscula.
67
Figura 23 - O seno dos ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes.
Fonte: Nosso acervo.
De acordo com história da geometria analítica, no século XVII, Descartes
empregou as letras e num desenho com duas semi-retas concorrentes, com a
medida de x representando uma variável independente numa semi-reta horizontal.
Essa idéia deu origem aos eixos cartesianos (Eves, p.384). Influenciados pela
história da matemática, os livros didáticos, do ensino fundamental e do ensino
médio, costumam designar os eixos cartesianos com essas letras. Na figura 24,
vemos como os autores recorreram ao diagrama de Venn, para explicar o domínio e
imagem da função seno.
Figura 24 - O domínio e o contradomínio da função sen x. Fonte: Livro 2.
68
Na Teoria dos Registros de Representações Semióticas, vimos que “o acesso aos
objetos matemáticos, passa necessariamente por representações semióticas”, Duval
(2008, p.21), Na figura 23 (livro 2) deste capítulo, vimos que as letras
então distribuídas pelo círculo e pelos eixos horizontal e vertical, para mostrarem a
função seno em todos os quadrantes. Nosso parecer é que essas letras, dispostas
dessa forma, podem confundir o leitor com os dois eixos cartesianos, ou até mesmo
sugerir a participação dos três eixos da geometria espacial.
No livro 3, encontramos um exemplo ilustrado pela figura 25, em que o autor
empregou as letras e para nomear os eixos cartesianos. Nesse caso a letra
foi utilizada apenas para designar uma variável independente e não provocou
nenhuma dúvida..
Figura 25 - Definição do seno.
Fonte: Livro 3.
Ainda no livro 3, encontramos uma figura (que reproduzimos na figura 26),
que apresenta os diferentes arcos nos diferentes quadrantes, e seus respectivos
senos, determinados pela variação do número real x. Neste caso bastou à letra
(não foram usadas as letras e ), para mostrar a função seno em todos os
quadrantes.
69
Figura 26 - O seno de alguns valores de x. Fonte; Livro 3.
Nosso parecer é que, no livro 3, os registros de representações semióticas (a
escrita algébrica e as figuras geométricas) não deixam margens à dúvidas, e podem
contribuir para uma aprendizagem significativa, desse conceito tão complexo.
Para contornar o problema que poderia causar um duplo significado das
letras, na definição da função seno, procuramos preparar nossas intervenções,
evitando essas situações.
Segundo Duval (2004), enquanto que na biologia as células podem ser vistas
e estudadas por instrumentos, os objetos da matemática dependem apenas de suas
representações semióticas. Esse autor também adverte que não devemos confundir
um objeto matemático, com as suas diversas representações (a exemplo da função
seno que dispõe de muitas representações). Por essa razão, em nossa análise da
apresentação da função seno nesses livros didáticos, entendemos que qualquer
duvida provocada pela escrita algébrica ou pela figura, podem ser uma fonte de
confusão para o aprendiz.
70
Capítulo 3
Referencial teórico
3.0 . Introdução
Em nossa prática cotidiana verificamos que, com muita frequência, os alunos
resolvem problemas com a trigonometria utilizando os valores dos senos, cossenos
e tangentes de ângulos, sem ao menos compreenderem a origem desses valores.
Esses alunos não são capazes de interpretar as figuras e construir os gráficos das
funções trigonométricas. Procuramos identificar, na literatura da educação
matemática, as teorias de aprendizagem que poderiam dar suporte para o desafio
do ensino e da aprendizagem da trigonometria, e escolhemos a teoria da
aprendizagem significativa de Ausubel, Novak e Hanesian e os estudos dos registros
de representação semiótica de Duval, ambos cognitivistas, isto é, baseados no
funcionamento da estrutura cognitiva do aprendiz. Escolhemos a primeira por
elucidar como se desenvolve o processo de aprendizagem e quais as vantagens que
poderemos tirar desse entendimento, e a segunda pela importância do manuseio
desses registros na aprendizagem da trigonometria.
3.1. A Teoria da Aprendizagem Significativa
Ausubel, Novak e Hanesian, os autores da obra Psicologia Educacional
(1978, p.20), consideram que, para a melhoria da aprendizagem escolar, é urgente e
necessária a distinção entre os dois processos de aprendizagem, que os mesmos
classificam como por recepção ou por descoberta, e a distinção entre a
aprendizagem automática (ou mecânica) e significativa. Considera-se a
aprendizagem por recepção quando o aluno recebe pronto todo o conteúdo a ser
aprendido, ou seja, na sua forma final, ficando para este aluno a tarefa de
internalizar esse conteúdo, e por descoberta, quando o conteúdo a ser aprendido
não é dado pronto, mas deve ser descoberto pelo aluno, antes que possa ser
significativamente incorporado à sua estrutura cognitiva. Esses autores ressaltam
que tanto a aprendizagem por recepção, quanto a aprendizagem por descoberta,
podem ser automática ou significativa, porém sem estabelecer uma dicotomia entre
esses polos.
71
A maior parte das informações adquiridas pelos alunos tanto dentro como fora
da escola, é apresentada verbalmente, e sob o ponto de vista psicológico,
aprendizagem receptiva verbal é mais complexa, visto que ela exige um
amadurecimento intelectual. Assim uma criança em idade pré-escolar, adquire o
conceito “cadeira” por descoberta, depois de alguns encontros incidentais com esse
objeto, abstraindo as características comuns, para generalizar seus atributos, mas
não é capaz de compreender os conceitos “democracia” ou “aceleração”. Esses
autores lembram que a aprendizagem receptiva também é usada na solução dos
problemas diários e a aprendizagem por descoberta, muitas vezes é utilizada em
sala de aula para esclarecer, avaliar e integrar matérias. Todavia, Ausubel, Novak e
Hanesian (1978, p.24), alertam que apenas a “descoberta” da solução correta para
os problemas de matemática e ciência, sem a compreensão real das operações e
dos conceitos envolvidos, quando os estudantes memorizam problemas típicos,
fórmulas e manipulam símbolos algébricos, não se constitui num experimento
genuinamente significativo. Como exemplo, nesta pesquisa, durante os encontros
com os alunos, planejamos atividades com materiais concretos e com o software
Cabri, para que os alunos pudessem redescobrir as razões trigonométricas nos
triângulos retângulos semelhantes.
Nos casos de recepção e descoberta, a aprendizagem significativa só
acontece quando uma nova informação se relaciona de forma não arbitrária e não
literal, com algo que o aluno já esteja familiarizado, presente na sua estrutura
cognitiva; além disso, o material a ser aprendido tem que possuir um sentido lógico,
o que esses autores chamam de “potencialmente significativo”, e tem que haver por
parte do aluno uma disposição, para uma aprendizagem significativa. Segundo
Moreira (2006), nesse processo o novo conhecimento deve interagir com um
conhecimento específico existente na estrutura cognitiva do aprendiz, que Ausubel
nomeou de “conceito subsunçor”. Esse conceito pode ser uma ideia ou uma
proposição, “capaz de servir de ancoradouro a uma nova informação” Moreira (2006,
p.15).
Moreira (2006) observa que quando os conceitos e proposições são
apresentados verbalmente, mas o aluno ainda não dispõe dos subsunçores
necessários à aprendizagem significativa, ele pode aprender mecanicamente (ou
automaticamente), até que alguns elementos de conhecimento presentes na sua
estrutura cognitiva, ligados às novas informações, possam servir de subsunçores,
72
mesmo que pouco elaborados. Nessa situação, Ausubel, Novak e Hanesian (1978,
p.140) recomendam o emprego dos organizadores prévios, um material introdutório
que deve ser apresentado antes do material a ser aprendido, com as ideias mais
abrangentes dos conhecimentos precedentes, ou até mesmo que possuam
conceitos similares àqueles a serem aprendidos. É importante destacar que os
organizadores não são necessariamente textos escritos, podendo ser uma
discussão, uma demonstração, ou até mesmo um filme, dependendo das
circunstâncias envolvidas na aprendizagem.
Os autores Ausubel, Novak e Hanesian, (p.39, 1978), distinguem a
aprendizagem significativa em três tipos: representacional, proposicional e de
conceito. De acordo com essa teoria de aprendizagem, todos os tipos de
aprendizagem significativa dependem da aprendizagem representacional, que
consiste em atribuir significados a símbolos (geralmente palavras isoladas). A
aprendizagem significativa na combinação das palavras em proposições ou orações
é tratada na aprendizagem proposicional. As palavras isoladas também podem
representar ideias genéricas ou categorizadas, e são estudadas no terceiro tipo de
aprendizagem significativa, a de conceito. No entanto, Ausubel (1978, p.57) apud
Moreira (p.24, 2006) adverte que independentemente do tipo, o processo de
aquisições de informações resulta em mudança, tanto da nova informação adquirida,
quanto no aspecto especificamente relevante da estrutura cognitiva que se relaciona
com essa informação.
Ainda de acordo com Ausubel, Novak e Hanesian, (p.39, 1978), a
aprendizagem representacional é o tipo de aprendizagem significativa mais básica,
que condiciona os demais, e se constitui num processo que ocorre quando se
aprende o significado de símbolos particulares, geralmente as palavras isoladas, ou
o que elas representam. Nesse sentido, as palavras particulares em qualquer língua,
são símbolos compartilhados, que podem representar um conceito, uma situação ou
um objeto do mundo físico.
A aprendizagem proposicional é um processo que consiste em atribuir
significados a combinação de palavras em proposições ou sentenças. Ausubel,
Novak e Hanesian, (p.40, 1978) advertem que nesta modalidade, a aprendizagem
significativa não se limita ao aprendizado das palavras isoladamente, ou na
combinação dessas palavras, mas nas novas ideias expressas na forma
proposicional.
73
Depois de definir o conceito como objetos, eventos, situações ou
propriedades que possuem atributos comuns, designados por algum símbolo ou
signo, Ausubel, Novak e Hanesian ( p.47, 1978) estabelecem que a aprendizagem
de conceito é um processo que pode ocorrer de duas maneiras: por formação de
conceito, em crianças de idade pré-escolar, e por assimilação de conceitos em
crianças de idade escolar e com os adultos. Na primeira, quando os atributos são
obtidos por meio de experiências diretas e em etapas. Assim, as crianças podem
aprender o conceito “cachorro” depois de encontros sucessivos com cachorros,
gatos e etc., até que possam generalizar os atributos que constituem o conceito
“cachorro” numa certa cultura. À medida que o vocabulário da criança aumenta, e já
existam conceitos adquiridos por formação na sua estrutura cognitiva, novos
conceitos podem ser obtidos pelo segundo processo, o da assimilação.
Ao introduzir o processo da assimilação, Ausubel expôs a sua concepção
quanto à aquisição, retenção e organização dos conhecimentos na estrutura
cognitva. Segundo Moreira (2006, p.28), nesse processo, quando um novo conceito
ou uma proposição a, potencialmente significativo, é assimilado sob uma ideia,
conceito ou proposição, já estabelecido na estrutura cognitiva do aprendiz, ou seja,
um subsunçor A, a nova informação a, interage com o subsunçor A, e ambos se
modificam , transformando-se no produto interacional A’a’. Esse produto não
representa apenas o novo significado a’, mas inclui também a modificação da ideia-
ancora A. A essência desse princípio, é a interação do novo conhecimento com os
conceitos aprendidos anteriormente. Ausubel, Novak e Hanesian (1978, p.105)
fizeram o seguinte esquema para ilustrar o princípio da assimilação:
Figura 27 - O princípio da assimilação, segundo Alsubel, Novak e Hanesian.
Fonte: Ausubel,Novak e Hanesian (1978, p.105).
Mas esse processo não encerra com o produto interacional A’a’. Depois de
um período de retenção, essas ideias se separam nas entidades individuais A’ e a’.
74
Num segundo estágio desse processo, com o esquecimento de a’, vai resultar
em apenas A’, o resíduo subsunçor modificado. Ausubel denomina essa redução de
memória de “assimilação obliteradora”, e considera que o inesperado nesse
processo de assimilação não só justifica a retenção das ideias aprendidas
significativamente, como também o da redução gradual dos significados recém
aprendidos, para a retenção dos conceitos e proposições mais estáveis na estrutura
cognitiva. Esse autor compara esse processo de redução memorística, que reduz a
um denominador comum uma experiência prévia e acumulativa ao processo de
formação de conceitos. Neste processo, um conceito abstrato é mais manipulável
que as dezenas de exemplos dos quais foi abstraído. ”O problema principal em
adquirir um conteúdo numa disciplina acadêmica, está em contrariar o processo
inevitável da assimilação obliteradora que caracteriza todo o processo de
aprendizagem significativa” (Ausubel, 1968, p.119).
Para esclarecer a comparação entre o sentido do termo assimilação proposta
por Piaget e a usada por Ausubel, Novak (1977) apud Moreira (2006), observa que
na concepção de Ausubel, o novo conhecimento interage com os conceitos e
proposições relevantes e específicos existentes na estrutura cognitiva, e não com
ela como um todo, conforme o sentido piagetiano.
Ao lembrar que no processo da aprendizagem significativa, a nova informação
deve interagir com os conceitos subsunçores do aprendiz, Moreira (2006), ressalta
que esta situação reflete a “subordinação” entre o novo material e os conceitos
subsunçores. Sob esse aspecto, Ausubel distingue dois tipos de aprendizagem
subordinada, a inclusão derivativa e a inclusão correlativa. Quando o material novo,
a ser aprendido é derivado (ou está implícito) de um conceito já estabelecido na
estrutura cognitiva, o significado desse material surge rapidamente e com pouco
esforço, ocorrendo assim uma inclusão obliterativa, pois os conceitos subsunçores
mais inclusivos “absorvem” o novo material. Porém, é mais comum que a nova
matéria de estudo, se aprenda pela inclusão correlativa, quando o novo material de
aprendizagem é uma extensão, uma elaboração, uma modificação ou uma limitação
de proposições aprendidas previamente.
Vimos que na aprendizagem subordinada, os conceitos subsunçores são
mais gerais e inclusivos que as novas informações. Quando acontecer o contrário,
isto é, quando o novo conceito for mais geral e inclusivo que as ideias já
estabelecidas na estrutura cognitiva, o novo conceito, A irá assimilar os conceitos a1,
75
a2, a3 . da estrutura cognitiva e a aprendizagem será superordenada. Por exemplo,
uma criança que já possua na sua estrutura cognitiva os conceitos dos animais
cachorro, gato e rato, ao aprender o conceito de mamífero, esse novo conceito mais
geral, irá assimilar todos esses animais.
Durante o processo de aprendizagem por subordinação, quando o conceito
subsunçor sofre alguma modificação, podemos dizer que, com esse conceito está
ocorrendo uma diferenciação progressiva. Mas, quando a nova informação é
aprendida por uma superordenação dos conceitos subsunçores, ou uma
recombinação de ideias (que não apresentam nenhuma dependência entre si)
presentes na estrutura cognitiva, dizemos que com esses conceitos, ocorreu uma
reconciliação integrativa.
Esses autores também defendem que, durante a aquisição de novos
conhecimentos pelos seres humanos, a organização mental forma naturalmente nas
suas estruturas cognitivas uma pirâmide ordenada hierarquicamente, onde as ideias
mais inclusivas ocupam o ápice dessa pirâmide, e englobam progressivamente as
ideias menos inclusivas, ou seja, a organização mental nos seres humanos segue o
princípio da diferenciação progressiva. Com base nessa organização mental, esses
autores recomendam aos professores que programem a apresentação dos novos
conteúdos de suas disciplinas, segundo esses princípios, ou seja, que comecem
pelas ideias mais gerais, para que elas já estejam disponíveis na estrutura cognitiva
dos alunos, como conceitos subsunçores, quando forem apresentas as novas ideias.
Ausubel, Novak e Hanesian (1978, pp.159-161) estendem suas concepções
quanto ao funcionamento do sistema cognitivo, para orientar os autores de livros-
texto, na organização dos capítulos e dos tópicos. Segundo esses autores, aplicar o
princípio da reconciliação integrativa na programação desses livros, é não segregar
idéias ou tópicos particulares dentro de seus respectivos capítulos, e sim explorar as
relações entre essas ideias, assinalando as semelhanças e diferenças significativas,
e reconciliar as inconsistências reais ou aparentes. Este princípio também se aplica
quando o assunto é organizado em linhas paralelas, ou seja, quando entre esses
tópicos não existir nenhuma dependência sequencial. Por outro lado, organizar um
assunto de acordo com os princípios da diferenciação progressiva, é começar pelas
ideias mais gerais e mais inclusivas, para permitir que essas ideias sejam
progressivamente diferenciadas.
76
Para se organizar uma sequencia de tarefas, os autores Ausubel, Novak e
Hanesian (1978, p.164) alertam que é preciso averiguar qual é a sequencia
particular mais eficiente, a partir de uma análise lógica dos tópicos, para utilizar o
princípio da reconciliação integrativa, o principio da diferenciação progressiva ou a
combinação dos dois.
3.1. Registros de representação semiótica
Diante da complexidade do ambiente tecnológico-computacional, na França,
na virada do milênio, foram realizados cursos de preparação para todos os
estudantes. Conforme os relatos de Raymond Duval, pesquisador em Educação
Matemática, durante esses eventos surgiram as seguintes questões:
Como podemos entender as dificuldades, frequentemente intransponíveis,
que alguns estudantes têm na compreensão da matemática?
Qual a natureza e em quais aspectos identificamos estas dificuldades?
Para Duval, as respostas a estas perguntas não estão restritas a um ramo da
matemática ou à sua história, mas podem ser encontradas numa abordagem
cognitiva. Segundo o pesquisador, uma abordagem cognitiva pode determinar a
origem dessa incompreensão e ajudar o estudante a compreender e controlar a
diversidade dos processos matemáticos. Para analisar esta situação é preciso saber
quais os sistemas cognitivos necessários ao acesso aos objetos matemáticos, como
se efetuam as múltiplas transformações do processo matemático e o que caracteriza
a matemática do ponto de vista cognitivo.
Segundo Duval (2003, p.p.13-14) sob o ponto de vista cognitivo, a matemática
se caracteriza pela grande variedade de representações semióticas (língua natural,
sistemas de numeração, figuras geométricas, escritas algébricas e formais,
representações gráficas) e pela importância dessas representações, baseada em
dois aspectos: o acesso aos objetos matemáticos (já que esses objetos não são
visíveis por instrumentos), e a possibilidade do tratamento matemático (nas
operações de calculo com o sistema de numeração decimal, nos algarismos indu-
arábicos que substituíram os algarismos romanos). A exemplo de Descartes, o
filósofo e matemático para o qual todo o conhecimento estava ligado a alguma
representação, Duval também chamou essas representações semióticas de registros
77
e classificou os sistemas cognitivos que dão acesso aos objetos matemáticos em
quatro tipos distintos de registros, conforme podemos visualizar na tabela a seguir:
Tabela 1 - Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático (fazer matemática, atividade matemática).
Fonte: Duval, Registros de Representações Semióticas e Funcionamento da Compreensão em Matemática, in Machado (2008, p.14)
Sob o ponto de vista da aprendizagem e do ensino na matemática, existem
dois tipos de transformações de representações semióticas radicalmente diferentes:
os tratamentos e as conversões. De acordo com essa teoria, os tratamentos são as
transformações que acontecem dentro de um mesmo registro, por exemplo, a
transformação de uma fração em um número decimal ou na resolução de um
sistema de equações do primeiro e do segundo grau, com todas as transformações
desde a escrita do sistema, até a aplicação da fórmula Báskhara. Conferindo essas
operações na tabela de Duval, verificamos que elas permanecem dentro do mesmo
registro, classificadas como sistemas de escrita numérica e algébrica,
respectivamente. Já as conversões são as transformações de representações que
mudam de um registro para outro, por exemplo, durante a passagem da escrita
algébrica de uma função para o seu gráfico cartesiano.
REPRESENTAÇÃO
DISCURSIVA
REPRESENTAÇÃO
NÃO DISCURSIVA
REGISTROS
MULTIFUNCIONAIS:
Os tratamentos não
são algoritmizáveis
Língua natural
Associações verbais (conceituais).
Forma de raciocinar:
- Argumentação a partir de observações,
de crenças...
- Dedução válida a partir de definição ou
Teoremas.
Figuras geométricas planas
ou em perspectivas
(configurações nas dimensões:
0, 1, 2 ou 3)
- Apreensão operatória e não
somente perceptiva.
- Construção com instrumentos
REGISTROS
MONOFUNCIONAIS:
Os tratamentos são
principalmente
algoritmos.
Sistemas de escritas:
- Numéricas (binária, decimal,
fracionárias,...)
- Algébricas
- Simbólicas (línguas formais)
- Cálculo
Gráficos cartesianos.
- Mudanças de sistemas de
coordenadas.
- Interpolação, extrapolação.
78
Após observar numerosas vezes às falhas e os bloqueios dos estudantes em
diferentes níveis de ensino, Duval (1978, P.116) considerou como a primeira fonte
de incompreensão a complexidade e a especificidade do tratamento no registro
monofuncional. Como exemplo, ele escolheu o problema do cálculo da área de um
paralelogramo e considerou que naquela situação muitos alunos desconheciam a
fórmula da área dessa figura geométrica, e não eram capazes de “enxergar” que
através de um tratamento, ela podia ser reconfigurada e transformada num
retângulo, cuja fórmula já conheciam. Assim a reconfiguração poderia facilitar o
cálculo da área da figura original.
Figura 28 - Tratamento para o calculo da área de um paralelogramo.
Fonte: Duval (2006, p.116)
Como segundo exemplo, Duval (2006) citou o problema de Schoenfeld (1986), proposto por Mesquita, em 1989, à alunos do ensino médio na França, com o seguinte enunciado:
O perímetro do triângulo , é maior que, menor, ou igual a soma da medida dos segmentos e ?
Figura 29 - Problema de Schoenfeld.
Fonte: Duval (2006, p.118)
A figura 29 ilustra esse problema.
Para Duval, havia duas maneiras de procurar uma solução para esse
problema, uma delas tomando como eixo de simetria, e outra, tomando os dois
79
segmentos e , como eixos de simetria. Para ilustrar esses enfoques, o autor
construiu uma figura com as duas alternativas (figura 30). Duval constatou que a
maioria dos alunos tentou resolver com a primeira alternativa, mas a solução exigia a
segunda alternativa, a qual mais da metade dos alunos não conseguiu “enxergar”:
Figura 30 – Duas disposições dos elementos da figura do problema de Schoenfeld.
Fonte: Duval (2006, p.118)
Prosseguindo nas suas pesquisas, sobre as falhas ou bloqueios nas
atividades da matemática, em alunos de diferentes níveis, Duval (2006), considerou
que a segunda fonte de incompreensão ocorria na conversão de representações ou
na mudança de registros e dependia do fenômeno de variabilidade do caráter de
congruência e não congruência entre duas representações do mesmo objeto e do
sentido de direção. Para analisarmos uma atividade de conversão, basta
compararmos o registro de partida, com o registro de chegada. Quando o registro
de partida transparece no registro terminal, podemos dizer que há uma congruência,
e quando isto não ocorre, dizemos que houve uma não congruência. Duval
exemplificou a congruência e a não congruência com as três situações seguintes:
A primeira na conversão da expressão “o conjunto dos pontos cuja ordenada
é superior à abscissa” na escrita algébrica . Neste caso a conversão inversa
permite reencontrar o registro de partida, logo trata-se de uma congruência.
A segunda situação partindo da expressão “o conjunto de pontos que tem
uma abcissa positiva”, para a expressão algébrica . Apesar da falta, na escrita
algébrica, de uma unidade significante que corresponda a “positivo”, na conversão
80
inversa ainda é possível voltarmos ao registro de partida, isto é, trata-se de uma
congruência.
Na terceira situação, que parte da expressão “o conjunto dos pontos que tem
abcissa e ordenada do mesmo sinal”, para a expressão algébrica , Duval
mostrou uma caso de não congruência, pois, da expressão , podemos voltar
ao registro de partida, mas não saberemos os sinais de e , respectivamente.
Quanto ao exemplo de fonte de incompreensão devido ao sentido da
conversão, o autor exibiu o seguinte teste de reconhecimento, que ele havia
aplicado em 1988 na França, aos alunos, com idades entre 15 a 16 anos, após uma
aula sobre as funções lineares. Nesse teste, os alunos tinham que reconhecer qual a
expressão algébrica correspondente a cada dos gráficos dessa figura (31).
Figura 31 - Reconhecimento de uma conversão.
Fonte: Duval (2006, p.113) No segundo gráfico dessa figura, a maioria dos alunos teve dificuldades de
reconhecer a expressão algébrica, fato que coloca em evidência o bloqueio causado
pelo sentido da conversão.
Além dessas fontes de incompreensão, Duval também associou os fracassos
e os bloqueios na compreensão dos conceitos, ao “enclausuramento” em um
registro, ou seja, quando o aluno não consegue reconhecer o mesmo objeto
matemático em duas representações diferentes. Nesse aspecto, o autor adverte que
jamais devemos confundir um objeto com a sua representação. Na biologia, os
objetos podem ser medidos ou observados por instrumentos, como o microscópio.
Na matemática, o acesso aos objetos passa pelas representações semióticas; por
esta razão a compreensão matemática está intimamente ligada ao fato de dispor de,
81
ao menos, dois registros de representações diferentes. Para o autor a compreensão
em matemática, requer a coordenação dos diferentes registros.
A teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval não se limita
aos aspectos que abordamos. Escolhemos apenas os aspectos que podem ter
alguma ligação com a nossa pesquisa. Para nós, são de especial importância, os
bloqueios que eventualmente possam surgir na compreensão, em razão dos
tratamentos ou conversões, entre os registros semióticos das funções
trigonométricas.
82
Capitulo 4
4.0. Considerações teóricas da nossa metodologia.
Escolhemos a metodologia do Design Based Research, em razão de suas
características retrospectivas e reflexivas.
De acordo com Steffe e Thompson (2000), nos EUA, por volta de 1970, os
primeiros pesquisadores em Educação Matemática perceberam que, para poderem
entender a “matemática dos estudantes”, primeiro era preciso desenvolver novos
modelos de pesquisa com raízes na educação matemática, ao invés de simplificar e
usar os modelos criados fora da educação matemática, com a Epistemologia
Genética de Piaget e suas entrevistas clínicas; segundo, era necessário superar o
grande abismo que existia entre a prática de pesquisa e a prática de ensino, pois as
pesquisas sobre as atividades matemáticas dos estudantes deveriam se estender
por períodos mais longos, para que os pesquisadores pudessem avaliar a interação
dos conhecimentos matemáticos com os estudantes.
Collins (1999) relata que, na década de 90, surgiu nos EUA um movimento
liderado por Ann Brown para desenvolver uma nova metodologia que estudasse as
intervenções educacionais sob a bandeira do “design experiments” ou “design
research”. Essa teoria recomendava que para se estudar os fenômenos da
aprendizagem, era preciso substituir o ambiente do laboratório pelo mundo real.
Segundo Kelly (2002), os pesquisadores adotaram essa metodologia que teve suas
raízes no campo da engenharia, em números cada vez mais crescentes, e assim
usaram, na educação, as ferramentas das ciências. O primeiro artigo abordando o
Design Based Research, resumiu o pensamento de um grupo, cujos membros
tinham sólidos conhecimentos nas áreas das ciências cognitivas, psicologia,
antropologia, inteligência artificial, biologia, matemática, da interação homem-
computador, e algum envolvimento com a nova metodologia. Cobb, Confrey,
Disessa, Lehrer e Schauble, foram os membros desse grupo e os autores desse
artigo intitulado “design experiments in Educational Research”, publicado no
Educacional Research em 2003.
Em Cobb et al (2003), os autores ressaltaram que a metodologia do design,
deveria trabalhar num contexto sujeito a testes e revisões, sucessivas e iterativas,
83
de forma sistemática tendo como alvo um domínio específico da matemática. Nesse
artigo, a metáfora ”ecologia de aprendizagem” é utilizada para enfatizar que os
conceitos são projetados como sistemas de interação, e não como uma lista de
fatores distintos que influenciam o aprendizado. Na sequencia, Cobb et al
relacionaram algumas configurações e alvos dessa teoria:
• Para reproduzir em pequena escala uma versão da aprendizagem ecológica,
que estuda em profundidade cada detalhe, os professores-pesquisadores
devem preparar uma série de sessões de ensino com poucos estudantes.
• Nas salas de aulas experimentais, uma equipe de pesquisadores
colaboradores, deve assumir junto com o professor a responsabilidade da
instrução.
• Apoiar o desenvolvimento profissional de uma comunidade, com os estudos
desenvolvidos pelo professor e seus pesquisadores colaboradores.
Com esses objetivos, os pesquisadores Cobb et al (2003), identificaram as
seguintes características do Design Based Research (DBR):
Primeira característica: trata-se de uma nova teoria capaz de dar apoio ao
processo de aprendizagem não apenas para um aluno individualmente, mas para
uma classe e até mesmo uma comunidade. Segunda característica: sua natureza
intervencionista possibilita uma melhoria educacional nessa nova forma de
aprendizagem. Terceira característica: uma forte evidência de suas faces
prospectivas e refletivas. Com a face prospectiva, as hipóteses são colocadas em
prática e testadas em sala de aula, e com a face retrospectiva, no caso de algumas
dessas conjecturas serem rejeitadas, outras conjecturas alternativas poderão
substituí-las em novos testes.. Outra característica refere-se à iteratividade dessa
metodologia, provocada pelas repetições da terceira característica, que forma um
ciclo que só termina quando todas as conjecturas forem testadas e revisadas. A
quinta característica dessa metodologia é o pragmatismo, que surgiu como resultado
da aplicação de suas configurações , já mencionadas neste texto.
Os pesquisadores Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer e Schauble, encerram esse
artigo no Educational Reseacher (Vol 32, nº 1, p.p. 9-13, ), alertando que as
configurações e características que eles identificaram na metodologia do DBR,
podem se tornar altamente promissoras para a melhoria da educação, desde que
elas sejam efetivamente gerenciadas.
84
Segundo Steffe e Thompson (2000), o principal motivo do uso dessa
metodologia pelos pesquisadores é entender como os estudantes raciocinam
durante a aprendizagem da matemática, daí a necessidade de se incluir em cada
episódio de ensino preparado para trabalhar em um certo conhecimento, um
observador e uma gravação para registrar esse evento, além de um professor e de
um aluno. Com a ajuda desses registros, podem ser preparados os episódios
subsequentes.
4.1. Objetivo, planejamento e procedimentos metodológicos.
O objetivo de nossa pesquisa foi verificar as contribuições de uma estratégia
de ensino, formada pela combinação do contexto experimental com o contexto
computacional, para a aprendizagem significativa dos principais conceitos presentes
na transição das razões para as funções trigonométricas. Com esse propósito
preparamos um “design” inicial com quatro intervenções, abrangendo os principais
conceitos do assunto, um teste diagnóstico, uma breve apresentação do programa
computacional Cabri-Géomètre II, e um teste final. Nossas intervenções foram
permeadas por atividades e testes. Com base nos resultados obtidos no teste
diagnostico, reformulamos nossas intervenções, com um “design” final.
Nossos procedimentos metodológicos foram embasados pelas características
prospectivas e retrospectivas da metodologia do Design Based Research. Com a
primeira, partimos da hipótese de que a aprendizagem tende a ser significativa,
quando, numa estratégia de ensino, forem utilizados materiais concretos em
combinação com o programa computacional Cabri-Géomètre, para cada tema, e
nesse contexto computacional, os alunos construíram e usaram as figuras dinâmicas
do Cabri-Géomètre. Pela característica retrospectiva, avaliamos o desempenho dos
alunos ao final de cada intervenção e, quando preciso, reformulamos a etapa
seguinte.
Para entendermos o raciocínio dos sujeitos de nossa pesquisa, gravamos em
áudio, fotografamos, guardamos os arquivos do Cabri-Géomètre e anotamos,
conforme as recomendações de Steffe e Thomson (2000), para a metodologia do
DBR.
85
4.2. Sujeitos da pesquisa.
Os sujeitos desta pesquisa foram nove alunos de um curso noturno de uma
universidade particular da cidade de São Paulo, que na época cursavam o terceiro
semestre de licenciatura em matemática. Devido ao reduzido número de
participantes, optamos por uma pesquisa qualitativa e abrimos mão de formar um
grupo de referência.
4.2.1. Preparação do teste diagnóstico e do design inicial das quatro intervenções
Quando planejamos o teste diagnóstico e preparamos o “design” inicial das
quatro intervenções, consideramos que os nossos sujeitos de pesquisa eram alunos
de um curso superior, no terceiro semestre de licenciatura em matemática.
Especialmente para alunos nesse estágio acadêmico, preparamos quatro
intervenções e planejamos quatro encontros. Refletimos que, provavelmente as
maiores dificuldades seriam relativas ao manuseio do software Cabri-Géomètre II.
Esse material se encontra nos anexos desta dissertação sob os títulos “Teste
diagnóstico” e “Design inicial das intervenções”.
A principal referência na construção desse teste diagnóstico foi a Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel, que denomina de “conceitos subsunçores”
todos os conhecimentos que devem estar presentes na estrutura cognitiva do
aprendiz para uma aprendizagem significativa do conceito da função seno. Assim,
identificamos os principais conceitos ligados à trigonometria, e considerando a
sequencia histórica dessas criações, começamos com as relações trigonométricas
no triângulo retângulo e prosseguimos com as medidas em radianos. Completamos
o nosso teste com duas questões sobre a função seno, com a intenção de
avaliarmos o entendimento do aluno quanto a essa função, e verificarmos se eles
eram capazes de completar uma tabela com os senos dos ângulos notáveis, para, a
partir dessa tabela, construir o gráfico da função. Ressaltamos que estávamos
trabalhando com alunos do ensino superior, que teoricamente, deveriam ter tido
86
algum contato com esses conhecimentos durante o ensino fundamental, médio e os
primeiros semestres da licenciatura em matemática.
Sintetizamos o teste em seis questões e para tornar nossa avaliação
qualitativa, substituímos a pontuação inicialmente definida numa escala de 0 a 10
por quatro classificações:
• Nenhuma noção (n.n)....................................................... 0 à 2. • Alguma noção (a.n.) ...........................................................3 à 5 • Entendimento parcial (e.p,) ................................................6 à 8 • Domínio do conceito (d.c.) ................................................9 à 10.
Na preparação do design inicial das quatro intervenções, levamos em conta
os conceitos subsunçores (da Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel),
identificados na preparação do teste diagnóstico, a ordem que esses conceitos
surgiram na história da matemática, as dificuldades dos alunos nos tratamentos e
nas conversões das representações semióticas (segundo a Teoria dos Registros de
Representações Semióticas de Duval) utilizadas pela trigonometria, os Parâmetros
Curriculares Nacionais – do Ensino fundamental (1998) e do Ensino médio (2000),
as pesquisas correlatas de Briguenti (1994), Lobo da Costa (1997), Lindegger
(2000), Goios (2010); os livros: “Trigonometria Números Complexos” de Carmo,
Morgado e Wagner (2005), SBM; “Matemática, Contexto e Aplicações” de Dante
(2003), Editora Ática; Trigonometria da coleção Fundamentos da Matemática
Elementar de Gelson Iezzi; “Functions Modeling Change”, dos autores Connally,
Gleason e Hughes-Hallet e o livro ” Atividades com o Cabri-Géomètre II” de Baldin e
Villagra (2010), Eduscar.
A primeira intervenção teve como objetivo explorar as relações
trigonométricas no triângulo retângulo com o Cabri-Géomètre e ajudar os alunos na
construção de uma tabela para senos dos ângulos notáveis com a aplicação do
Teorema de Pitágoras. A construção dessa tabela exigiu inicialmente a divisão de
um triangulo equilátero, a aplicação do Teorema de Pitágoras com uma escrita
algébrica, o conceito das razões seno e cosseno e a passagem desses valores para
uma pequena tabela trigonométrica, ou seja, foram necessárias algumas conversões
e alguns tratamentos nos registros de representação semióticas nessa resolução.
Observamos que tanto nessa intervenção, quanto nas intervenções posteriores, a
teoria de Duval ajudou-nos a identificar e lidar com as dificuldades e os bloqueios
dos alunos. O objetivo da segunda intervenção neste planejamento era promover
87
situações com o Cabri-Géomètre e os materiais concretos, para as medidas em
radianos, mostrando que essas medidas independem das dimensões da
circunferência. No planejamento inicial da terceira intervenção o objetivo era criar um
organizador prévio para a função seno, com a contextualização de uma situação
para identificar e estudar um fenômeno periódico, e apresentar a definição do ciclo
trigonométrico. O objetivo do planejamento inicial da quarta intervenção era o estudo
da definição da função seno e a construção de gráficos dessa função, no papel e
com o Cabri-Géomètre.
4.2.2. Planejamento final das quatro intervenções
Após o teste diagnóstico, apoiados pelo Design Based Research, começamos
a reformular o planejamento inicial das intervenções. Diante das circunstâncias, logo
percebemos que seria impossível abrangermos os conceitos escolhidos em apenas
quatro intervenções, mas mantivemos a palavra “intervenção”, porque indiretamente
elas agrupavam as situações e as atividades propostas em torno de um assunto. O
planejamento final das intervenções se encontra nos anexos desta dissertação.
4.2.3. Os objetos do ambiente experimental
Para esse ambiente, construímos com o EVA, três jogos com dois retângulos
proporcionais, para serem medidos, relacionados e comparados pelos alunos. Com
o mesmo material, recortamos discos e juntamos a arames com a medida dos
respectivos raios desses discos, que podiam ser “entortados” para possibilitarem a
medida de arcos. Com os triângulos escalenos foram propostas atividades
envolvendo a semelhança entre os triângulos; com os triângulos retângulos
trabalhamos as relações trigonométricas; com os discos de EVA acompanhados de
arames cortados nas medidas dos seus respectivos raios, estudamos as medidas
em radianos e com o dispositivo “ciclo trigonométrico” o objeto matemático que leva
esse nome.
88
Figura 32 - Objetos do ambiente experimental
Fonte: Nosso acervo.
4.2.3.1. O dispositivo “ciclo trigonométrico”
Criamos esse dispositivo, para servir como uma extensão do giz e lousa,
durante as explicações que, como professor-pesquisador, tivemos que fazer sobre o
ciclo trigonométrico e a função seno. Para confeccioná-lo, usamos uma pequena
chapa de fibra de madeira medindo 26x26 cm, um disco de EVA com 20 de
diâmetro; reaproveitamos uma régua de madeira cujos números foram apagados
para uma gravação manual com os números decimais 0.3, 0.5, 0.7, 0.9.; recortamos
e dobramos 20 cm de arame; um cordão de algodão medindo aproximadamente 70
cm; dois suportes desmontáveis. Para construirmos esta peça nos inspiramos no
objeto matemático Ciclo Trigonométrico e procuramos materializar todos os
elementos desse objeto, que participam da definição do seno de um ângulo, quais
sejam, uma circunferência cujo raio passou a servir como unidade de comprimento e
um ponto de origem dos arcos orientados. O disco de EVA representa a
circunferência, o orifício em que aparece o cordão, a origem dos arcos, o cordão
cuja trajetória acompanha a curvatura da circunferência representa um arco
orientado ou a sua primeira determinação. As réguas de madeira representam os
eixos cartesianos com as coordenadas (a, b).
89
Figura 33 - O dispositivo “ciclo-trigonométrico” Fonte: Nosso acervo. Quando escrevemos alguns números decimais nesses eixos, nossa
preocupação não era a precisão da posição ou a quantidade dos números gravados,
e sim a ideia de identificarmos as coordenadas de um ponto , imagem da função
, localizado na extremidade de um arco materializado pelo cordão. Nesse
equipamento, o arame que atravessa o centro da centro da circunferência (pode ser
movido manualmente como um ponteiro de relógio), foi colocado para materializar o
lado do ângulo formado pelo arco. Esse dispositivo é acompanhado por uma
pequena lanterna, que ao produzir um feixe de luz paralelo ao eixo horizontal,
ilumina a extremidade do cordão (arco e um ponto P), e materializa a projeção
ortogonal de um ponto do ciclo trigonométrico, sobre o eixo vertical, que surge como
uma sombra no eixo vertical, durante as explicações da definição da função seno,
conforme mostramos na figura 34.
90
Figura 34 - O dispositivo “ciclo trigonométrico” e a projeção ortogonal de um ponto sobre o
eixo vertical. Fonte: Nosso acervo.
4.2.3.2. O programa Cabri-Géomètre II e o ambiente computacional
Em 1985, os pesquisadores Jean-Marie Laborde e Frank Ballemain, do
Instituto de Informática e Matemática da Universidade Joseh Fourier, em Grenoble,
na França, desenvolveram o programa computacional educativo Cabri-Géomètre
(abreviação da palavra francesa “cahier de brouillon intéractif”) especialmente para o
estudo da geometria plana. Trata-se de um software interativo, que possui
ferramentas capazes de construir na tela do computador, figuras dinâmicas
substituindo o lápis, o papel, a régua e o compasso. Essas figuras podem ser
deslocadas, ampliadas ou reduzidas, mas continuam preservando suas
propriedades. Com as ferramentas do Cabri-Géomètre, podemos dispor dos eixos
cartesianos, medir o comprimento de segmentos e arcos, medir ângulos, e transferir
o comprimento de um segmento para o outro, e até mesmo, transferir o comprimento
de um arco para um segmento. As construções dinâmicas desse programa
computacional podem facilitar o estudo dos teoremas da geometria euclidiana plana
e da trigonometria. Suas construções podem ser salvas em arquivos e revistas
passo a passo. Todos esses recursos a transformaram o programa computacional
Cabri-Géomètre II numa valiosa ferramenta educacional.
91
Durante nossas intervenções com os alunos, em cada assunto. sempre que
possível, procuramos alternar o material concreto e o programa computacional
Cabri-Géomètre II.
92
Capitulo 5
Relato das intervenções e análise dos resultados
Este capítulo tem por objetivo a apresentação e análise dos testes iniciais e
finais, assim como das quatro intervenções que promovemos junto aos nove alunos
do curso de licenciatura, tendo como objetivo promover uma aprendizagem
significativa do conceito da função seno, usando materiais concretos e o programa
computacional dinâmico Cabri-Géomètre II.
Iniciamos esta seção com a apresentação do teste diagnóstico e os
resultados obtidos. Em seguida, faremos um relato analítico das quatro intervenções
que foram aplicadas no laboratório de informática. Encerramos com uma análise
sobre o teste final que aplicamos para avaliar o alcance de nossas atividades e
refletir sobre a nossa questão de pesquisa.
5. Apresentação do teste diagnóstico
95
5.1.1. Resultado da aplicação do teste diagnóstico
Conforme havíamos planejado, aplicamos o teste diagnóstico e com base nos
registros dos nove alunos. Lembramos os critérios estabelecidos para tornar nossa
avaliação qualitativa: substituímos a pontuação inicialmente definida numa escala de
0 a 10 por quatro classificações:
• Nenhuma noção (nn)....................................................... 0 a 2. • Alguma noção (an) ...........................................................3 a 5. • Entendimento parcial (ep) ................................................6 a 8. • Domínio do conceito (dc) ................................................9 a 10.
A partir dessas equivalências, construímos a seguinte tabela:
Tabela 2 - Desempenho dos nove alunos no teste diagnóstico.
Número das questões - conteúdo Número do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1ª -
Relações trigonométricas no triângulo retângulo (cálculo do seno, cosseno e tangente) dc nn ep nn nn nn dc an nn
2ª - Rel.trig.triângulo retângulo (problema em uma situação real) an nn ep nn nn an nn nn nn
3ª -
Relações trigonométricas no triâng.retângulo + T.Pitágoras (cálculo do sen, cos e tg) nn nn an nn nn nn an nn nn
4ª -
a) Medidas em radianos (conversão) nn nn nn nn nn nn an an nn
b) Medidas em radianos (cálculo) nn nn nn nn an nn nn nn nn
c) Medidas em radianos (problema numa situação real) nn nn nn nn an nn nn nn nn
5ª -
Definição da função seno (identificação da variável independente e estudo no ciclo trigonométrico) an nn nn nn nn nn nn nn nn
6ª - Gráfico da função seno nn nn nn nn nn nn nn nn nn
Fonte: nosso acervo.
96
Com a tabela 2, observamos que os alunos de números 2 e 9, demonstraram
não ter nenhuma noção dos conceitos ligados á trigonometria (relações
trigonométricas no triângulo retângulo, medidas em radianos e a função seno).
O aluno nº4, não resolveu as questões de 1 a 5, mas conseguiu preencher
corretamente a tabela da 6ª questão, com os valores da função y = sen x. Este aluno
conhecia a correspondência das medidas em radianos dessa tabela, para as
medidas em graus, e chegou a usar sua calculadora científica para completá-la,
embora não tenha utilizado esses valores para traçar o gráfico do seno.
O aluno nº 7 acertou a 1ª questão, mostrando que conhecia as relações
trigonométricas no triângulo retângulo, mas na 2ª questão, com o problema da
escada encostada numa parede, não conseguiu esquematizar esta situação num
triângulo retângulo, desenhou um triângulo sem o ângulo reto, e, com o desenho
errado não enxergou a aplicação do seno de um dos ângulos. Na 6ª questão, apesar
de não ter preenchido a tabela para a construção do gráfico,ele escreveu
corretamente nessa folha, os valores dos senos e cosseno dos ângulos notáveis.
Os alunos nº1 e nº3 demonstraram conhecer as relações trigonométricas no
triângulo retângulo e a aplicação desse conceito numa situação real, acertando a 1ª
e a 2ª questão. Sobre a função seno na 5ª questão, o nº1 respondeu que a letra x da
função f “representa ordenada”, confundindo , que representa a
medida em radianos de um com a ordenada de um ponto , e o nº3
demonstrou total desconhecimento sobre esse conceito.
Nenhum dos alunos conseguiu traçar o gráfico da função seno, na sexta
questão.
Todos os erros e dificuldades encontrados nesse teste foram muito úteis para
a preparação da próxima etapa de nossa pesquisa. Tendo como metodologia o
Design Based Research, sabíamos que poderíamos reformular nossa primeira
intervenção. Assim, reescrevemos as atividades, modificando todas as situações de
modo a adequá-las aos sujeitos.
97
5.1.2. Primeira intervenção
O objetivo principal foi trabalhar com as razões trigonométricas no triângulo
retângulo para torná-las conceitos relevantes e estáveis (subsunçores) na estrutura
cognitiva dos alunos, possibilitando uma aprendizagem significativa da definição da
função seno, como ordenada de um ponto P, situado na extremidade de um arco
AP, de medida . No quadro a seguir, temos um resumo das atividades
programadas.
Tabela 3 - Atividades da primeira intervenção. Sequência das atividades Temas Atividade 1
Semelhança de triângulos (medindo material concreto e relacionando lados+ Cabri)
Atividade 2
Relações trigonométricas no triângulo retângulo (descobrindo o seno com o Cabri)
Atividade 3
Construção de uma tabela com os Valores Notáveis do Seno (professor, lousa e giz, com as figuras do triângulo equilátero e do quadrado)
Resolução de problemas Usando a tabela atividade anterior.
Fonte: nosso acervo.
Esta intervenção foi aplicada ao longo de dois encontros, num tempo
aproximado de 90 minutos, nos dias 11 e 18 de maio de 2012. No primeiro encontro
compareceram sete alunos, correspondentes aos números 1, 2, 3, 4, 7, 8 e 9, e no
segundo encontro compareceram seis alunos (1, 2, 5, 6, 8 e 9). Em destaque,
reproduzimos a página que os alunos receberam para a primeira atividade desta
intervenção:
98
Quadro 3 - 1ª Int., at.1.
Fonte: nosso acervo.
Na 1ª parte dessa atividade, foram entregues jogos com triângulos escalenos
em EVA, conforme exibimos na figura a seguir:
Figura 35 - Triângulos escalenos semelhantes. Fonte: nosso acervo.
Nessa atividade os alunos trabalharam em duplas, um medindo e outro
anotando, mas cada um preencheu sua folha de participação. Durante as medições
com uma régua, um dos alunos queixou-se das dificuldades de se medir os
triângulos em EVA, por serem muito moles e se entortarem. Explicamos que não era
necessária muita precisão. O ideal seria que esses triângulos fossem recortados em
madeira compensada. Com exceção do aluno 5, que misturou as medidas em
99
centímetros e milímetros, todos conseguiram constatar a igualdade das razões que
havíamos proposto, respondendo às perguntas que formulamos. Em destaque, as
respostas do aluno 7:
Manuscrito 1 - Aluno 7, 1a.
Fonte: nosso acervo.
Seguindo as instruções da folha para o cálculo das razões ele escreveu:
Manuscrito 2 - Aluno 7, 1b.
Fonte: nosso acervo.
Depois de trabalhar com os triângulos escalenos, os alunos passaram para os
triângulos retângulos em EVA, e seguiram as instruções do texto:
Quadro 4 - 1ª int., at. 1, final da 1ª parte.
Fonte: nosso acervo.
Com exceção do aluno 9, todos os participantes mediram com uma régua, desenharam esses triângulos na folha e calcularam o seno do ângulo α.
Como exemplo reproduzimos a figura do aluno 7.
100
Manuscrito 3 - Aluno 7, at.1.
Fonte: nosso acervo.
No final da primeira parte, explicamos aos alunos que estávamos trabalhando
com a comparação os lados dos triângulos maiores e menores, para identificarmos
diretamente a proporcionalidade entre os comprimentos dos lados desses triângulos
semelhantes (AAA). Destacamos que o principal objetivo dessa atividade era
relacionar as medidas dos lados de um mesmo triângulo, para que os alunos
descobrissem, e confirmassem, com triângulos retângulos semelhantes, que essa
relação entre os lados, a razão . para o mesmo ângulo α, é sempre uma constante
que tem um nome: seno do ângulo α.
Na 2ª parte desta atividade, os alunos começaram a trabalhar no contexto do
computador. Como o objetivo era reforçar a ideia de semelhança de triângulos,
pedimos que tratassem da figura no Cabri da mesma forma que lidaram com os
triângulos retângulos em material concreto.
101
Quadro 5 - 1ª int., at. 1, início da 2ª parte.
Fonte: nosso acervo.
Não exigimos nenhuma medida para o triângulo . Oito alunos
conseguiram construir esses triângulos, medir todos os lados, e usar a calculadora
do Cabri. Apenas o aluno 5 teve muitas dificuldades com as ferramentas desse
software, e não participou dessa construção, desculpando-se, afirmando que não
possuía um computador . Após esta tarefa com o Cabri, para justificar a
semelhança desses triângulos, os alunos 2 e 5, não escreveram nada nessa folha;
os alunos 1 e 9 responderam que os triângulos tinham a mesma medida; o aluno 6,
justificou com as palavras: “sim, porque os ângulos são iguais”; o aluno 8 escreveu:
“em qualquer um dos triângulos retângulos ao dividirmos co/ca (a medida do cateto
oposto pela medida do cateto adjacente) ou co/hip, sempre teremos medidas iguais,
porque eles são triângulos semelhantes seus ângulos são iguais”. Apenas o aluno 7
percebeu que a semelhança de triângulos também ocorre devido a
proporcionalidade de seus lados, conforme ele tentou explicar:
102
Manuscrito 4- Aluno 7, at.1a.
Fonte: nosso acervo.
Após todas as atividades com o Cabri, pedimos que os alunos respondessem
às perguntas que formulamos, antes de explicarmos as respostas corretas, porque
nossa intenção era conduzir o raciocínio desses alunos com essas perguntas, e
verificar se a construção das figuras com o Cabri influiu nos seus entendimentos.
Quadro 6 - 1ª int., at. 2, início.
Fonte: nosso acervo.
Nessa atividade com o Cabri, dos seis alunos presentes, somente o aluno 5
se negou a utilizá-lo. Mesmo com a nossa ajuda, preferiu acompanhar um colega e
não preencher a sua folha; o aluno 1, confundiu a nossa proposta, e calculou o seno
103
e o cosseno no mesmo triângulo, obtendo os resultados 0,57 e 0,82; os alunos 2, 6,
8 e 9, completaram esta atividade conforme mostra a tela do Cabri do aluno 8:
Tela 1 - Aluno 8 calculando o seno de Â.
Fonte: nosso acervo. Em destaque, as respostas do aluno 8:
Manuscrito 5 - Aluno 8, at.2.
Fonte: nosso acervo.
Como pesquisador, nesta atividade registramos o entusiasmo desses alunos
ao descobrirem a praticidade do software Cabri, que, em poucos minutos, lhes
permitiu desenhar, medir e calcular com precisão, sem a necessidade de digitar os
104
números, pois bastava clicar sobre as medidas que a calculadora reconhecia e
dividia.
No item c, pedimos que, com o mouse, deslocassem o segmento DE, e,
novamente, calculassem a razão: cateto oposto α/hipotenusa. Em seguida,
formulamos as perguntas para conduzir o raciocínio dos alunos:
Quadro 7 - 1ª int., at. 2, final.
Fonte: nosso acervo.
Seguem as respostas do aluno 9, que no item “c” coincidiu com as dos outros
alunos:
105
Manuscrito 6 - Aluno 9, at.2.
Fonte: nosso acervo.
.
No item c, verificamos que nenhum dos alunos respondeu que não
dependia; devido à semelhança entre esses triângulos, seus lados são proporcionais
e as razões entre os catetos opostos e suas respectivas hipotenusas são as
mesmas.
Antes de iniciarmos a atividade 3, cumprindo as funções de professor
aplicador, desenhamos na lousa um triângulo retângulo de medidas 3, 4 e 5
unidades, e calculamos as razões seno, cosseno e tangente dos dois ângulos
agudos.
106
Quadro 8 - 1ª int., at. 3, problema 1.
Fonte: nosso acervo.
Incluímos as razões trigonométricas com os ângulos notáveis, para evitar que
esses alunos aprendessem mecanicamente, ou seja, que decorassem esses
valores, sem que ocorresse uma interação entre essas razões (a experiência de
terem calculado o seno e o cosseno desses ângulos, numa figura geométrica), nas
suas estruturas cognitivas.
Durante esta atividade, anotamos em nosso diário de bordo, as seguintes
observações: no triângulo equilátero, os alunos confundiram a letra “l” (ele
minúscula) com o número um; os alunos não perceberam que deveriam a aplicar do
teorema de Pitágoras para o cálculo do cateto cuja medida desconheciam
(correspondente a altura do triângulo equilátero); eles também não souberam fazer
as passagens algébricas, e racionalizar as frações. Toda essa situação nos fez
refletir sobre a inclusão do teorema de Pitágoras entre os conceitos subsunçores a
serem trabalhados. Como nenhum dos participantes conseguiu resolver o problema
1 do quadro 8, assumimos o papel de professor da pesquisa, e explicamos
107
detalhadamente cada passo, na lousa. O mesmo ocorreu em relação ao segundo
problema do quadro 9.
Encerramos esta intervenção com os seguintes problemas:
Fonte: nosso acervo.
Dentre os seis alunos que participaram desse encontro, os de números 1, 6 e
8, resolveram corretamente a primeira questão (quadro 9), calculando a altura do
topo da escada em 3,4 metros. Nenhum dos alunos conseguiu fazer a segunda e a
terceira questão.
Para um retrospecto geral desta primeira intervenção, consideramos que a
maioria dos alunos (oito em nove) percebeu que a semelhança de triângulos se
traduz com a proporcionalidade dos lados desses triângulos, e que a razão entre o
cateto aposto a um ângulo e a hipotenusa (seno) é sempre a mesma quando
consideramos um determinado ângulo em triângulos retângulos semelhantes.
Contudo, nenhum dos alunos conseguiu calcular as razões trigonométricas dos
ângulos notáveis por não saberem aplicar o teorema de Pitágoras e pelas
dificuldades que encontraram nos tratamentos algébricos e racionalização de
frações. Também verificamos que três, dentre os seis alunos que participavam da
última atividade, resolveram apenas um problema (o mais simples que não exigia o
conhecimento do teorema de Pitágoras) dos três que propusemos para uma
Quadro 9 - 1ª int., at. 3, problemas de aplicação do seno.
108
contextualização e aplicação das razões trigonométricas. Sob a ótica da teoria de
Ausubel, para uma aplicação dos conceitos tratados nessas atividades, faltou nas
estruturas cognitivas desses alunos o conceito subsunçor Teorema de Pitágoras
(que não incluímos nessas atividades), e à luz da Teoria dos Registros de
Representações Semióticas, de Duval, teriam que superar as dificuldades que se
concentram no tratamento dos sistemas algébricos e numéricos (racionalização), e
na conversão do registro de representação semiótica da língua materna do
enunciado dos problemas para o registro nas figuras geométricas.
5.1.3. Segunda Intervenção
O objetivo principal era permitir que a medida em radianos se transformasse
num dos conceitos subsunçores para uma futura aprendizagem significativa da
função seno, na transição que estamos trilhando entre a trigonometria no triângulo
retângulo e as funções trigonométricas. Essa intervenção foi totalmente aplicada no
encontro do dia 25/05/2012, com a presença dos alunos 1, 3, 5 e 8.
Tabela 4 - Atividades da segunda intervenção. Sequência das atividades Temas Atividade 1
Unidade de medida padrão (Cabri)
Atividade 2
Conceito de ângulo e distinguir num ângulo central, o maior e o menor. (Cabri)
Atividade 3
Medidas em radianos (material concreto)
Atividade 4
Comparar as medidas em radianos Nos círculos maiores e menores, (Cabri)
Atividade 5
O número π (Cabri)
Atividade 6
Conversão de graus em radianos. (lápis e papel)
Fonte: nosso acervo.
109
Como tínhamos pouco tempo para muitas atividades, decidimos não aplicar
as duas primeiras, e começar pela terceira. Assim, após uma breve explicação sobre
a adoção de um padrão de medida para medir segmentos de retas, e um rápido
comentário sobre a definição de um ângulo iniciamos com a atividade 3: Nos
anexos desta dissertação, encontram-se as duas primeiras intervenções que
deixamos de aplicar.
Começamos a segunda intervenção pela atividade 3:
Quadro 10 - 2ª int., at. 3.
Fonte: nosso acervo.
Para essa atividade, cada um dos alunos recebeu um disco em EVA,
acompanhado de um pedaço de arame flexível na medida do raio, e uma fita
110
métrica. O arame tinha que ser flexível para mostrarmos que, com a medida do raio
(numa reta), teríamos que medir o comprimento de um arco (uma curva).
Em destaque, as respostas do aluno 3:
Manuscrito 7 - Aluno 3, at.3.
Fonte: nosso acervo.
Como podemos ver nas respostas do aluno, ele acertou ao calcular as
medidas dos arcos em radianos, e respondeu que “as medidas em radianos são
proporcionais”, omitindo as palavras “à medida do raio”.
Durante as medições da atividade 3, com o material concreto discos de EVA,
devido às pequenas dimensões desses discos, pedimos aos alunos que
arredondassem os números decimais, desprezando os décimos de milímetros.
O aluno 3, registrou a medida do arco AD (semicírculo) como sendo de 24,6
cm, que resultou numa medida de 3 u.m.. Com um disco de raio medindo 10,4 cm, o
aluno 8 também acertou suas respostas, usando as mesmas palavras do aluno 3.
Os alunos 1 e 5, não conseguiram responder porque não entenderam as perguntas.
Antes do início da próxima atividade, explicamos como construir e como
medir o comprimento de um arco na tela do Cabri, para que, em seguida,
construíssem dois círculos concêntricos, conforme a figura 5 da atividade 4:
111
Quadro 11 - 2ª int., at. 4.
Fonte: nosso acervo.
O aluno 8 fez as divisões de forma correta, com as circunferência que havia
construído, mas não respondeu a nossa pergunta. Apenas o aluno 3 completou esta
parte, vejamos suas respostas: Manuscrito 8 - Aluno 8, at.4.
Fonte: nosso acervo.
112
O aluno 3 errou ao responder “Sim...”, a resposta que esperávamos era:
- Não, porque para um mesmo ângulo central, a razão entre o comprimento de um
arco e o respectivo raio sempre será o mesmo, independente da medida do raio. Daí
a validade das medidas em radianos.
Nesta atividade, os alunos 1 e 5 nada responderam. O aluno 5 chegou a
escrever A/B = 0.16 , mas interrompeu o registro sem qualquer explicação.
Passamos para a próxima atividade, na qual nosso objetivo era fazer com que
os alunos, nesta interação com o Cabri, redescobrissem o número π.
113
Quadro 12 - 2ª int., at. 5.
Fonte: nosso acervo.
Na figura a seguir, reproduzimos o trabalho dos alunos com o Cabri.
Tela 2 - Redescobrindo o número π.
Os alunos 3 e 8, responderam corretamente as perguntas da atividade 5
A seguir, a atividade 6:
114
Quadro 13- 2ª int., at. 6.
Manuscrito 9 - Aluno 3, at.6.
Fonte: nosso acervo.
Exibimos acima a resposta do aluno 3. Os alunos 3,5 e 8 preencheram
corretamente a tabela de conversão, e usando a regra de três, que incluímos neste
texto.
Para verificar o entendimento dos alunos, no que se refere às medidas em
radianos, propusemos três problemas:
115
Quadro 14 - 2ª int., problemas sobre as medidas em radianos.
Fonte: nosso acervo.
Os alunos 3 e 8, acertaram as respostas dos problemas a e b, conforme
mostramos a seguir: Manuscrito 10 - Aluno 3, at.6.
Fonte: nosso acervo.
No item c, o aluno 8 errou nos cálculos com os números decimais. Observamos que
a calculadora que esse aluno estava usando sempre separava, na tela, os números
de três em três dígitos com um ponto. Provavelmente esse aluno confundiu esse
ponto com uma vírgula, sem perceber que o valor de 2,889 era incompatível com o
raio de 460 metros:
116
Manuscrito 11 - Aluno 8, at.6.
Fonte: nosso acervo.
Ao final desta intervenção, considerando que dois dos quatro alunos
presentes tiveram um bom desempenho, não podemos avaliar a adequação das
atividades que planejamos para as medidas em radianos para o tratamento desse
conceito. Os recursos do programa educacional Cabri complementaram o material
concreto, conduzindo o raciocínio desses alunos. Ao final de cada atividade com o
Cabri, a motivação desses alunos aumentava. Constatamos isso durante a atividade
4, quando eles mediram o comprimento dos arcos e usaram a calculadora desse
aplicativo, encontrando as medidas em radianos. Lamentamos que, nesse encontro,
estavam presentes apenas quatro dos nove alunos que aceitaram participar de
nossa pesquisa.
5.1.4. Terceira intervenção
O principal objetivo da terceira intervenção era o estudo do objeto matemático
ciclo trigonométrico e a apresentação da “roda-gigante”, um organizador prévio para
a introdução da função periódica seno.
Tabela 5 - Atividades da terceira intervenção Sequência das atividades Temas Atividade 1
Coordenadas dos pontos do ciclo trigonométrico. (Cabri)
Atividade 2
Construção do gráfico de uma função periódica. (Cabri)
Fonte: nosso acervo.
117
Realizamos esta intervenção, nos dias 01/06/2012 e 22/06/2012. Participaram
do primeiro encontro, os alunos 2, 3, 4 e 7, e do segundo encontro, os aluno 5 e 8.
Iniciamos esta intervenção com uma exposição, com o objetivo de
proporcionarmos aos alunos uma aprendizagem por recepção (na classificação da
teoria da aprendizagem significativa de Ausubel, quando “o que deve ser aprendido,
é apresentado ao aprendiz em sua forma final”, conforme Moreira (2006, p.17). Para
as explicações, recorremos ao dispositivo que criamos: “ciclo trigonométrico”, e, com
esse material, apresentamos aos alunos o objeto matemático ciclo trigonométrico.
Manuseamos esta peça, como uma extensão da lousa e giz, e aproveitamos a
oportunidade para falar sobre as medidas em radianos, os eixos cartesianos, os
quatro quadrantes, o círculo orientado, o ângulo central, os lados de um ângulo e
primeira determinação de um arco. Enquanto mostrávamos o cordão que
representava um arco, ouvimos o comentário do aluno 3, afirmando que a partir
daquele instante, passava a entender a medida 3,14 rd.
Numa segunda etapa, explicamos com o Cabri e um projetor de imagens, os
passos para a construção de um círculo de raio unitário. Na sequência, colocamos
um ponto no primeiro quadrante desse círculo. Com essa figura, repetimos as
explicações que havíamos feito anteriormente, e ativamos a ferramenta
“coordenadas”, mostrando que ao movimentar esse ponto, o programa dinâmico
atualizava imediatamente as coordenadas. O entusiasmo desses alunos naquele
momento, nos mostrou que o ato da construção dessa figura dinâmica, pode
contribuir para uma aprendizagem significativa, graças à motivação que provoca.
Nessa oportunidade, estávamos ansiosos para saber se esses alunos conseguiram
perceber com a figura dinâmica do Cabri, a genialidade de Euler, na criação do ciclo
trigonométrico, que possibilitou a aplicação do Teorema de Pitágoras nas
coordenadas dos pontos situados nesse ciclo.
Preparamos a atividade 1 para permitir que os alunos realizassem uma
redescoberta, usando as coordenadas dos pontos situados ao longo do ciclo
trigonométrico. Para representar o círculo unitário, orientado e com a origem no
ponto A, adotamos o símbolo S1, que encontramos no livro “Trigonometria números
complexos” de Carmo, Morgado e Wagner. Vejamos como foi proposta essa
atividade:
118
Quadro 15 - 3ª int., at.1.
Fonte: nosso acervo.
Depois dessa apresentação, seguimos com as instruções:
Quadro 16 - 3ª int., at.1
Fonte: nosso acervo.
Os quatro alunos presentes no dia 1º de junho de 2012, realizaram com
sucesso essa tarefa. Vejamos as respostas e os comentários do aluno 3, idênticos
ao do aluno 7:
119
Manuscrito 12 - Aluno 3, int. 3, at.6.
Fonte: nosso acervo.
Respostas do aluno 4:
Manuscrito 13 - Aluno 4, int. 3, at.6.
Fonte: nosso acervo.
Do Aluno 3
Manuscrito 14 - Aluno 3, int. 3, at.6.
Antes da aplicação da próxima atividade, pedimos a todos que fizessem uma
leitura no seguinte texto:
120
Quadro 17 - 3ª int., at.1, leitura: definição de uma função periódica.
Fonte: nosso acervo.
Preparamos a atividade 2, adaptando uma contextualização do livro
“Functions Modeling Change: a preparation for calculus”, dos autores Connally,
Gleason, Hughes-Hallet et al, sobre a maior roda-gigante do mundo, construída às
margens do rio Thames, em Londres, que tem 500 pés de altura, com capacidade
para transportar 1400 passageiros em 60 cápsulas, numa volta que dura 20 minutos.
Ao escolhermos essa contextualização, nossa intenção foi prover a estrutura
cognitiva dos alunos, sujeitos de nossa pesquisa, com um organizador prévio para a
introdução de uma função periódica, e ao mesmo tempo propor uma situação em
que ocorrem duas conversões de registros de representações semiótica (quando o
aluno constrói uma tabela com base num enunciado, e quando, a partir dessa
tabela, faz um gráfico). De acordo com a teoria cognitiva dos registros de
representação semiótica de Duval, a conversão de registros, se constitui numa das
dificuldades na aprendizagem dessa disciplina, e para ele “a compreensão em
matemática implica a capacidade de mudar de registro” (Duval, 2008, p.21).
121
Quadro 18 - 3ª int., at. 2.
Fonte: nosso acervo.
Junto ao texto dessa atividade, entregamos um arquivo pronto e ajudamos os
alunos na construção dessa figura que criamos, contendo a nossa roda-gigante,
construída com a geometria dinâmica do Cabri, preparada para que fosse possível
medir a altura de um ponto situado no círculo, em intervalos de 5 minutos, e exibir do
lado esquerdo da figura, acima da palavra altímetro, uma medida em centímetros,
que variava no intervalo de 1 a 9 cm. O ponto do círculo que representava a
posição de um passageiro, podia ser manipulado pelos alunos com a ferramenta
“ponteiro”. Vejamos a continuação dessas instruções:
122
Quadro 19 - 3ª int., at. 2, tabela.
Fonte: nosso acervo.
Seguem as respostas do aluno 7.
Manuscrito 15 - Aluno 7, 3ª int., at.2.
Fonte: nosso acervo.
Esse aluno não arredondou as medidas que viu no “altímetro". Os outros
alunos anotaram as medidas conforme as anotações do aluno 4, abaixo:
Manuscrito 16 - Aluno 4, 3ª int., at.2.
Fonte: nosso acervo.
123
Vejamos o gráfico que o aluno 7 construiu a partir de sua tabela:
Manuscrito 17 - Aluno 7, 3ª int., gráfico.
Fonte: nosso acervo.
Do aluno 4
Manuscrito 18 - Aluno 4, 3ª int., gráfico.
Fonte: nosso acervo.
Os alunos 2 e 3 também construíram suas tabelas e seus gráficos, da
mesma forma que estes que acabamos de mostrar, e no final perguntamos:
124
Quadro 20 - 3ª int., at. 2, final.
Todos concordaram que se tratava de uma função periódica, cujo período era
de 60 minutos. Nesta resposta o aluno 4 acrescentou: “concluí que em uma roda
gigante obtemos uma função de seno”.
No dia 22/06/2012, como compareceram apenas os alunos 5 e 8, fizemos
uma revisão das atividades anteriores e em seguida, repetimos tudo o que havíamos
feito com a 3ª intervenção. Os dois alunos participaram com entusiasmo, embora o
aluno 5, como das vezes anteriores, se limitasse a assistir sem usar o computador.
Ao final das atividades da 3ª intervenção, em vista dos bons resultados
apresentados pelos alunos, consideramos que o objetivo de submeter os alunos a
um organizador prévio para a introdução da função periódica seno, foi atingido. A
interação entre esses alunos e o computador foi excelente, pois a figura da
geometria dinâmica funcionou como um prático dispositivo para a construção dessa
tabela. Nossas atividades se mostraram eficientes e adequadas para esta
intervenção.
5.1.5. Quarta intervenção
O principal objetivo desta intervenção foi promover uma aprendizagem
significativa da função seno, com a construção do gráfico do seno.
Para explicar as etapas da divisão do ciclo trigonométrico em arcos de 30º, e
a construção do gráfico do seno com o software Cabri, essenciais para a quarta e
ultima intervenção, na semana anterior, comparecemos na sala de aula com o
projetor multimídia. Aproveitamos a oportunidade para reapresentar o nosso
dispositivo “ciclo trigonométrico”. Nesse dia estavam presentes os alunos 1, 2, 3, 4,
6, 7, 8.
125
O intervalo entre a terceira e a quarta intervenção foi de dois meses e meio.
No segundo semestre, tivemos muitas dificuldades em combinar com os alunos a
continuação de nossa pesquisa. A quarta intervenção se deu em dois encontros, o
primeiro no dia 10/09/2012 com a participação dos alunos número 2, 3, 4, 7, 8 e 9, e
o segundo, após um intervalo de quase dois meses, no dia 05/11/2012, com a
participação dos alunos 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9.
Tabela 6 - Atividades da quarta intervenção Sequência das atividades Temas
Atividade 1
Validar os valores do seno e do cosseno, determinados pelas coordenadas cartesianas dos pontos do ciclo trigonométrico. (Cabri + calculadora científica)
Atividade 2
Definição do seno e a 1ª Relação Fundamental da Trigonometria. (Dispositivo ciclo + Cabri)
Atividade 3
Gráfico da função seno. (Cabri + papel milimetrado)
Atividade 4
Gráfico da função seno. (Cabri)
Fonte: nosso acervo.
Antes do início dessas atividades, desempenhando o papel de professor,
desenhamos na lousa, um ciclo trigonométrico com um ponto no primeiro quadrante,
e lembramos que com os eixos cartesianos, todos os pontos do círculo
trigonométrico poderiam ser identificados e localizados pelas suas coordenadas. Em
seguida entregamos aos alunos as instruções para a primeira atividade desta
intervenção:
126
Quadro 21- 4ª int., at. 1.
Fonte: nosso acervo.
Com um projetor multimídia, orientamos os alunos na construção da figura
ciclo trigonométrico, com o ponto P e suas cordenadas.
A seguir, a tela do Cabri com a construção do aluno 2:
127
Tela 3 - Aluno 2 na construção do Ciclo Trigonométrico Fonte: nosso acervo.
Com as coordenadas do Cabri II, o aluno 2 calculou as razões
trigonométricas do triângulo OPP’ no primeiro quadrante.:
Manuscrito 19 - Aluno 2, 4ª int. at.1.
Fonte: nosso acervo.
Conforme podemos ver, ele entendeu a nossa proposta inicial, acertou nas
respostas para o seno, o cosseno e a tangente, mas em seguida, ao invés de medir
o ângulo com o Cabri, errou ao confundir o seno com a tangente. Verificamos que os
alunos 7 e 9 entenderam a nossa proposta, e calcularam corretamente as razões
trigonométricas do ângulo que cada um construiu. Os alunos 3 e 4 se limitaram ao
valor do seno e os alunos 6 e 8 nada responderam.
Nesta atividade, dos sete alunos apenas dois responderam corretamente,
validando a passagem das relações trigonométricas do triângulo retângulo para o
primeiro quadrante do ciclo trigonométrico, com o Cabri e uma calculadora científica.
128
Antes da segunda atividade, pedimos que aos alunos que fizessem a leitura
do seguinte texto:
Quadro 22 - 4ª int., leitura: definição de seno.
Fonte: nosso acervo.
Como professor, reapresentamos nosso dispositivo “ciclo trigonométrico”
acompanhado de uma lanterna. A esse material concreto, associamos a imagem
correspondente à função, no ponto P, suas coordenadas, as projeções ortogonais
nos eixos, a medida de um arco e o significado da primeira determinação, enfim,
explicamos a definição da função seno, por intermédio de uma aprendizagem por
recepção, e estabelecer a ligação entre o concreto e o virtual. Terminada nossa
reapresentação, passamos para a atividade 2:
129
Quadro 23 - 4ª int., at. 2.
Fonte: nosso acervo.
Para uma aplicação dessa relação, propomos uma questão::
Quadro 24 - 4ª int., at. 2, questão.
Fonte: nosso acervo.
Por uma falha nossa redigimos e entregamos aos alunos, uma cópia da
atividade 2 com a palavra “sen2” , onde omitimos a letra . Como consequência, os
alunos responderam repetindo o nosso erro. Dos seis alunos que participaram desta
atividade, apenas os alunos 4 e 7, conseguiram escrever corretamente a primeira
130
relação fundamental da trigonometria, e resolver o problema que finalizava essa
atividade. Manuscrito 20 - Aluno 4, 4ª int. at.2.
Fonte: nosso acervo.
Ainda na atividade 2, destacamos a resposta do aluno 2: Manuscrito 21 - Aluno 2, 4ª int. at.2.
Fonte: nosso acervo.
Nesta resolução, notamos que na terceira linha, ele escreveu 0,69 no lugar de
0,64 e fora do radicando, em seguida omitiu o sinal de igual escrevendo e
completou a questão com a expressão , enfim, com tantos equívocos, de
alguma forma ele chegou à resposta certa. Este fato nos chamou a atenção para as
dificuldades desses alunos em lidar com as expressões algébricas. O aluno 9
também cometeu erros dessa natureza. Segundo a teoria dos Registros de
Representação Semiótica de Duval, a compreensão em matemática, está associada
à coordenação entre os registros de representação. Nesse caso, como aconteceu
dentro dos registros da escrita algébrica, pode ser classificado como um erro no
“tratamento” da escrita algébrica. Na atividade 2, os alunos 6 e 8, nada
responderam.
Terminada a atividade 2, explicamos detalhadamente como dividir um circulo
em intervalos de , e como construir um arco que tinha como início o ponto A
(1,0), com o Cabri II e um projetor multi-mídia, para que todos pudessem reproduzir
a figura 4 da próxima atividade.
131
Quadro 25 - 4ª int., at. 3.
Fonte: nosso acervo.
Os alunos trabalharam em duplas, na construção da figura 4, Que continha
um círculo demarcado com doze pontos em intervalos de 30º. Esses pontos
serviram de referência para o comprimento dos arcos, exigidos pela tabela 1. A
figura 4 se transformou num dispositivo para mostrar o valor da função seno nos
intervalos demarcados da seguinte forma: a partir do ponto A, os alunos (com o
mouse que controlava a ferramenta “ponteiro”) iam variando o comprimento dos
arcos, e anotando a novo valor do seno (ordenada) na tabela 1.
132
Tela 4 - Aluno 8, verificando o seno de 210º. Fonte: nosso acervo.
Na sequencia, exibimos a tabela construída pelo aluno 8. Todos preencheram
corretamente essa tabela, mas apenas os alunos 4 e 7 traçaram o gráfico com
perfeição, conforme reproduzimos a seguir:
Manuscrito 22- Aluno 8, 4ª int., tabela.
Fonte: nosso acervo.
133
Manuscrito 23 - Alunos 4 e 7, gráfico da função seno.
Fonte: nosso acervo.
As duplas formadas pelos alunos 3 e 9, e, 6 e 2 , assim como o aluno 8, que
trabalhou individualmente, erraram de forma idêntica na construção dos gráficos,
cometendo os mesmos erros (deixaram de associar os valores da tabela com as
coordenadas dos pontos no gráfico), ignorando a tabela que eles haviam construído,
conforme podemos ver no exemplo do aluno 8: Manuscrito 24 - Aluno 8, gráfico da função seno.
Fonte: nosso acervo.
134
Nesta atividade para a construção do gráfico, verificamos que apenas dois
entre os sete alunos, entenderam que, nos dados da tabela, estavam as
coordenadas dos pontos para traçarem o gráfico. Lembramos que havíamos
fornecido aos alunos, o papel quadriculado com os eixos já traçados e com alguns
pontos do eixo horizontal, identificados com as medidas em radianos. Também
lembramos que numa intervenção anterior para a construção do gráfico da “roda-
gigante”, todos traçaram seus gráficos corretamente. Nessa ocasião a variável
independente do eixo horizontal, eram os minutos, e a tabela associava o tempo em
minutos com a altura da roda-gigante em centímetros.
A última atividade foi reservada para a construção do gráfico da função seno,
usando os recursos do Cabri, sem apelarmos para a ferramenta “lugar geométrico”
desse software, que traça automaticamente esses gráficos. Na ocasião explicamos
aos alunos que o “lugar geométrico” do Cabri II, facilitava o traçado do gráfico das
funções trigonométricas, mas não exigia o conhecimento das etapas dessas
construções.
Vejamos como foi proposta essa atividade:
Quadro 26 - 4ª int., at. 4.
Fonte: nosso acervo.
Na Tela 5, mostramos parte dessa construção, com as ferramentas
“Transferência de medidas” e “Rastro”. Nesse momento, o aluno deslocava com o
135
“mouse”, a extremidade do arco no terceiro quadrante, e via surgir na tela esse
gráfico:
Tela 5 - A construção da senoide pelos alunos
Fonte: nosso acervo.
Com a nossa ajuda, os sete alunos presentes conseguiram traçar uma
senoide, conforme havíamos planejado. “Observamos o interesse e a surpresa
desses alunos ao descobrirem como funcionava a ferramenta ‘transferência de
medidas”, que transferia as medidas de um arco no ciclo trigonométrico, para a reta
horizontal do sistema de coordenadas cartesianas (ponto crucial da definição da
função , em que é um número real que representa as medidas em radianos
de um arco).
No anexo desta dissertação, encontra-se em um CD com os arquivos (Cabri-
Géomètre II) dessa construção. Para se rever as etapas de construção de qualquer
figura desse CD, basta clicar em “Editar”, e escolher a opção “Rever construção”.
Com os resultados das questões dessa última intervenção, verificamos que
três dos sete alunos participantes, não perceberam que a relação fundamental da
trigonometria: tiveram como base a combinação das razões
trigonométricas no triângulo retângulo com o Teorema de Pitágoras no ciclo
trigonométrico. Vimos que sete alunos preencheram corretamente a tabela da
função seno com os dados da figura dinâmica do Cabri, mas apenas dois desses
alunos conseguiram desenhar o gráfico dessa função corretamente, fazendo
corresponder as coordenadas fornecidas pela tabela com os pontos do sistema
136
cartesiano. À luz da teoria dos registros de representações semióticas de Duval,
cinco desses alunos não realizaram a conversão do sistema escrito da tabela, para
o gráfico cartesiano. Na semântica dessa teoria, para a construção desse gráfico,
faltou a coordenação entre essas representações semióticas da matemática, o que,
segundo Duval, significa que esses alunos não compreenderam o objeto matemático
em questão. Analisando este episódio com a teoria de Ausubel, a aprendizagem
para a construção do gráfico do seno, não foi significativa porque na estrutura
cognitiva desses cinco alunos, faltaram os conceitos subsunçores relativos às
medidas em radianos, (lembramos que alguns desses alunos haviam participado da
construção do gráfico da “roda-gigante”, quando a variável independente era o
tempo em minutos), e as noções da geometria analítica que orientam a construção
do gráfico de uma função, a partir de uma tabela que contenha as coordenadas.
Nos nossos registros, consta que no dia 01/06/2012, os alunos de números 2, 3, 4
e 7 conseguiram construir o gráfico da “roda-gigante”. O encontro da construção do
gráfico do seno aconteceu no dia 05/11/2012, com a presença dos alunos 2, 3, 4, 6,
7, 8 e 9. O intervalo entre esses eventos foi de 126 dias. Acreditamos que a
frequência irregular desses alunos, e esse grande intervalo de tempo, tenham
contribuído para o esquecimento de alguns conceitos.
Considerando o desempenho dos alunos nessa última intervenção, o nosso
objetivo principal de promover uma aprendizagem significativa da função seno, não
foi totalmente atingido, mas temos que registrar um importante aproveitamento, visto
que todos conseguiram construir a tabela do seno e dois desses alunos perceberam
a consequência do Teorema de Pitágoras na primeira relação fundamental da
trigonometria (sen2x + cos2x = 1), e construíram o gráfico da função seno com perfeição.
5.2. Apresentação do teste final
Terminadas as quatro intervenções, aplicamos o teste final aos oito alunos.
Lembramos que no teste diagnostico haviam participado nove alunos. Neste evento,
a única ausência foi a do aluno 5, que deixou de comparecer as encontros, devido
as suas dificuldades no manuseio do computador.
139
Quadro 29 - Teste final, 6ª questão.
Fonte: nosso acervo.
A nossa pergunta b, estava mal formulada, visto que deixamos de escrever
.
140
Quadro 30 - Teste final, questões 7- 8.
Fonte: nosso acervo.
5.2.1. Resultados do teste final
Construímos essa tabela transportando os dados do teste diagnóstico e
agrupando as questões do teste final, nos conceitos da trigonometria no triângulo
retângulo, nas medidas em radianos e na função seno. Desta forma tornamos
possível a comparação entre esses dois testes.
O critério de avaliação do teste final foi o mesmo que usamos no inicial, onde
“nn” representa nenhuma noção, “an” corresponde alguma noção, “ep” significa
entendimento parcial e “dc” representa domínio do conceito. Incluímos nessa tabela,
a frequência de cada aluno (a quantidade de encontros que eles compareceram, no
total de nove). Vejamos a tabela 3:
141
Tabela 7 - Comparação do teste diagnóstico com o teste final. Aluno Freq. Conceitos Teste diagnóstico Teste final Progresso observado
1 6
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. an an
Construiu a tabela da função seno. • Medidas em radianos nn nn
• Função seno an an
2 7
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn an Aplicou a razão seno.
Reconheceu a. validade nos pontos P de S1 : P(a,b) → a2+b2=1 Construiu a tabela e esboçou o gráfico da função seno (sem ident. as med. no eixo horizontal)
• Medidas em radianos nn nn
• Função seno nn an
3 6
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. an an
• Medidas em radianos nn nn
• Função seno nn an
4 5
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn an Construiu a tabela e esboçou o gráfico
da função seno.(sem ident. as med. no eixo horizontal) Reconheceu a. validade nos pontos P de S1 : P(a,b) → a2+b2=1
• Medidas em radianos nn nn
• Função seno nn an
5 4
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn
(não fez)
• Medidas em radianos an
• Função seno nn
6 4
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn nn
(nenhum) • Medidas em radianos an nn
• Função seno nn nn
7 6
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. an an
Construiu a tabela e o gráfico (com linhas retas e s/nº) • Medidas em radianos an nn
• Função seno nn an
8 8
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. a.n. an
Construiu a tabela e o gráfico da função seno, errando med. eixo horiz. • Medidas em radianos nn nn
• Função seno nn an
9 5
• Relações trigonométricas no triângulo retângulo. nn nn
(nenhum) • Medidas em radianos nn nn
• Função seno nn nn
Fonte: nosso acervo.
142
A resposta do aluno 1 à pergunta: O que representa o x e o P nessa definição
foi: “corresponde abscissa, P ponto da ordenada”. A resposta esperada seria : x
representa um número real, que corresponde à medida do arco AP, e o ponto “P é a
imagem pela função E : →S1 , de uma infinidade de números reais, todos eles da
forma: ” (Carmo, Morgado e Wagner, 2005,
p.37) para a variável independente x, ou seja P é o ponto E(x) cuja ordenada
corresponde ao seno de x. Em seguida, a tabela do seno e o respectivo gráfico
desse aluno:
Manuscrito 25 - Aluno 1, TF, tabela trigonométrica e gráfico do seno.
Fonte: nosso acervo.
Conforme podemos ver nessa figura, o aluno 1 errou em toda a tabela (trocou
pelos números do cosseno) e não soube associar esses números para a contrução
do gráfico. Como ele não identificou as medidas no eixo cartesiano horizontal,
entendemos que faltou a esse aluno, o conhecimento dos conceitos sistema
cartesiano ortogonal e medidas em radianos.
A nossa pergunta b, estava mal formulada, visto que deixamos de escrever
. Vejamos as respostas do aluno 2:
143
Manuscrito 26 - Aluno 2, TF, função seno.
Fonte: nosso acervo.
Admitimos que cometemos um erro ao formularmos a pergunta do item “d”.
Deveríamos desmembrá-la em duas perguntas:
-- Porque vale a relação ¿
-- Qual a principal consequência dessa relação¿
O aluno 2 não conseguiu responder as perguntas sobre a função seno, e no item
c, confundiu a pergunta, cuja resposta correta seria: . No gráfico
que mostramos a seguir, acertou no desenho, mas deixou de identificar as medidas
dos eixos.
144
Manuscrito 27 - Aluno 2, TF, gráfico da função seno.
Fonte: nosso acervo.
Manuscrito 28 - Aluno 2, TF, função seno.
Fonte: nosso acervo.
O aluno 3 acertou nas curvas do gráfico, mas não identificou os pontos dos
eixos cartesianos . Seguem as respostas desse aluno:
145
Manuscrito 29 - Aluno 3, TF.
Fonte: nosso acervo.
Os demais alunos apresentaram respostas semelhantes sobre a função seno,
sem entenderem nossas perguntas (que reconhecemos como mal formuladas), e
sem definirem a função seno.
Conforme podemos ver na nossa tabela 2, o maior progresso verificado na
comparação entre o teste diagnóstico e o teste final, foi em relação à construção da
tabela do seno, pois, no primeiro teste, apenas os alunos 4 e 8 haviam acertado, e
no final os alunos 1, 2 3, 4, 7 e 8 conseguiram construir essa tabela. Dentre esses
alunos, quatro conseguiram esboçar o gráfico da função seno, apesar de terem
omitido as medidas (em radianos) no eixo cartesiano horizontal. Não podemos
deixar de registrar que, no teste final, o aluno 4 demonstrou conhecer a validade da
relação a2 + b2 = 1, sendo a e b, coordenadas de um ponto P do ciclo S1, em
qualquer quadrante.
5.2.2. Refletindo sobre o teste final e as intervenções
Conforme nosso planejamento inicial, aplicamos um teste inicial e um final,
sendo que, neste último, a maioria dos alunos não conseguiu resolver os problemas
sobre as razões trigonométricas e as medidas em radianos. No entanto, não
podemos esquecer que o objetivo deste trabalho era responder à seguinte questão
de pesquisa:
-- Quais as contribuições de uma “estratégia de ensino” para a aprendizagem
significativa da transição das razões para as funções trigonométricas?
146
De acordo com nossa questão de pesquisa, o objetivo principal deste trabalho
acadêmico, não se limitava à avaliação das resoluções e das respostas sobre a
função seno e sim de verificar quais as contribuições da estratégia de ensino
formada pela combinação do contexto experimental com o contexto computacional
do Cabri-Géometrè II, na aprendizagem significativa dos principais conceitos
presentes na transição das razões para as funções trigonométricas, adquiridas ao
longo das intervenções. Na maioria das atividades conseguimos combinar os
materiais concretos com o programa computacional Cabri-Géomètre II e ajudar os
alunos na construção das figuras dinâmicas propostas.
As contribuições de nossa estratégia de ensino, para a aprendizagem dos
conceitos presentes na transição das razões para as funções trigonométricas,
observadas nas intervenções foram as seguintes:
• A aprendizagem do cálculo das razões trigonométricas.
• A percepção de que as razões trigonométricas surgiram em decorrência da
semelhança entre triângulos retângulos.
• A aprendizagem do cálculo das medidas em radianos.
• A redescoberta do número π.
• A habilidade de construir uma tabela e um gráfico, a partir da contextualização
de uma função periódica ainda não identificada.
• A aprendizagem da construção de uma tabela e do gráfico da função seno.
Registramos que os últimos encontros para as intervenções, tiveram início por
volta de 21h10min, com duração média de oitenta minutos. Ao final desse período,
os alunos pediam que encerrássemos às pressas, preocupados com a insegurança
nas ruas. A falta de regularidade dos alunos em nossos encontros, também influiu
na nossa pesquisa. Verificamos que nenhum dos alunos compareceu em todas as
intervenções, e por esse motivo não comparamos os seus desempenhos. No dia do
teste final, alguns alunos atribuíram as dificuldades na resolução dos problemas, aos
intervalos entre os nossos encontros, que eles mesmos agendavam, em meio aos
seus compromissos pessoais e às provas acadêmicas.
147
Embora tenhamos feitos alguns registros dessas intervenções com algumas
fotos filmagens e gravações em áudio, decidimos descartá-las devido a baixa
qualidade técnica. E para preservar a identidade de nossos sujeitos de pesquisa.
148
Capítulo 6
Considerações finais
Planejamos cuidadosamente cada passo de nossa pesquisa, pautados na
Teoria da Aprendizagem Significativa de David Ausubel e na metodologia do Design
Based Research. Preparamos quatro intervenções especialmente para um grupo de
alunos de um curso superior de licenciatura em matemática, imaginando que
durante a aplicação, nossa maior preocupação estaria em observar e ajudar esses
alunos no manuseio dos materiais concretos e no uso do programa computacional
Cabri-Géomètre II. Contudo, durante as primeiras atividades, constatamos que
esses alunos desconheciam alguns dos conceitos fundamentais da matemática
essenciais para o estudo da trigonometria. Por essa razão reformulamos as
intervenções, procurando simplificar as questões e aumentar a quantidade de
exemplos. Assim, estendemos as quatro intervenções em nove encontros,
pressionados também pelo pouco tempo disponível dos alunos.
O reduzido número de sujeitos de nossa pesquisa e a irregularidade nas suas
frequências, não recomendavam que fizéssemos uma comparação ou uma
minuciosa análise qualitativa ou quantitativa no resultado dos testes e nas
intervenções, contudo, a experiência proporcionada com os nove alunos,
combinando o contexto experimental com o computacional, aumentou nossa crença
na potencialidade didática da combinação desses contextos, utilizados por Lobo da
Costa na pesquisa de sua dissertação de mestrado sobre as funções seno e
cosseno em 1997.
Constatamos que a aplicação da “estratégia de ensino”, formada pela
combinação do contexto experimental com o contexto computacional, com os alunos
construindo as figuras dinâmicas do Cabri II, trouxe diversas contribuições para a
aprendizagem significativa dos conceitos subsunçores da trigonometria. Na primeira
intervenção foi possível constatar que os nove alunos aprenderam a calcular as
razões seno, cosseno e tangente, e perceberam que a invariância dessas razões
surgiu das semelhanças de triângulos retângulos. Na segunda intervenção, há
evidências que pelo menos, dois dos quatro dos alunos que participaram desse
encontro, aprenderam como medir os arcos e o significado das medidas em
149
radianos. Mas, consideramos que as contribuições mais importantes em nossa
pesquisa, aconteceram em decorrência da terceira e da quarta intervenção. Na
terceira intervenção após apresentarmos o dispositivo “ciclo trigonométrico” (que
criamos por sugestão de Lobo da Cota (1997)), ouvimos um dos alunos dizer que
naquele momento ele havia entendido o que representava a medida 3,14 rd. Ainda
nesse encontro, com a contextualização da roda-gigante, com o Cabri II, os alunos
conseguiram construir uma tabela e um gráfico de uma função ainda não
identificada. Também destacamos, que na quarta e última intervenção, a figura
dinâmica do Cabri II funcionou como um dispositivo prático, fazendo com que os seis
alunos presentes conseguissem preencher a tabela do seno, e um desses alunos
traçasse com perfeição o gráfico da função seno. Vale lembrar que, na ocasião do
teste diagnóstico, nenhum desses alunos, sabia construir a tabela do seno, e muito
menos esboçar o gráfico dessa função. Segundo Duval (2008, p.16), a conversão da
tabela para o gráfico, consiste em mudar de registro de representação conservando
o mesmo objeto matemático, e essa coordenação só ocorre com a compreensão
desse objeto.
Nas nossas pesquisas correlatas, vimos que em 1994, Brighenti publicou sua
dissertação de Mestrado em Educação Matemática sobre o ensino e a
aprendizagem da trigonometria, com aplicação da Teoria da Aprendizagem
Significativa de Ausubel. Sobre o mesmo tema e apoiada no mesmo referencial
teórico, esta pesquisadora publicou em 2003 o livro Representações Gráficas,
destinado aos professores de Licenciatura em Matemática. Nesse livro, assim como
na sua dissertação de mestrado de 1994, a autora defendeu o emprego dos
organizadores prévios, no ensino da trigonometria, justificando que ele favorecia a
prática dos princípios de diferenciação progressiva e a prática da reconciliação
integrativa, e sugeriu que o professor apresentasse o texto histórico sobre Thales de
Mileto e a determinação da altura das pirâmides de Quéops, na antiguidade, antes
de apresentar o conceito das razões trigonométricas. Segundo Brighenti (2003,
p.41), com esse organizador prévio, escolhido devido ao princípio da diferenciação
progressiva, as ideias mais gerais sobre o assunto são apresentadas em primeiro
lugar. O aluno poderá estabelecer as diferenças e as semelhanças entre os fatos
históricos e os fatos que ocorrem no seu cotidiano com a reconciliação integrativa.
Concordamos com a proposta de Brighenti, quanto ao emprego desse
organizador prévio, e também que o princípio da diferenciação progressiva pode
150
ajudar o aluno na aprendizagem das razões trigonométricas. No entanto, o estudo
das razões trigonométricas é uma parte de um conjunto de conceitos subsunçores
da trigonometria, e em nosso entendimento, o conceito mais complexo desse grupo
é o ciclo trigonométrico, cuja aprendizagem significativa depende do princípio da
reconciliação integrativa, para que haja a combinação dos seguintes conceitos:
sistema cartesiano ortogonal, definição de lugar geométrico do círculo, arco
orientado e as medidas em radianos e o conjunto dos números reais. Ressaltamos
que esses conceitos citados, são constituídos por ideias “paralelas”, que não
guardam entre si uma dependência sequencial, e nessa situação, de acordo com
Ausubel, Novak e Hanesian (1978, p.161), compreender parte do material não
pressupõe a compreensão do conjunto. Por esta razão, para a apresentação do ciclo
trigonométrico, defendemos que apenas um organizador prévio, não poderá dar
conta da aprendizagem do conceito do ciclo trigonométrico. Em nossa opinião, antes
de aplicarmos qualquer estratégia de ensino, para uma aprendizagem significativa
do conceito ”ciclo trigonométrico”, temos que confirmar se todos os conceitos
subsunçores estão devidamente consolidados na estrutura cognitiva dos alunos,
pois qualquer falha nesses conhecimentos (sistema cartesiano ortogonal, definição
de lugar geométrico do círculo, conjunto dos números reais e medidas em radianos)
poderá impedir a aplicação do princípio de reconciliação integrativa, ou seja, irá
impossibilitar a combinação desses conceitos subsunçores.
Para as futuras pesquisas no ensino e aprendizagem da trigonometria,
nossa sugestão é que continuem persistindo na combinação dos contextos materiais
e computacionais. Esperamos que este trabalho possa contribuir para a Educação
Matemática, e possa servir de inspiração para novos pesquisadores.
151
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AABOE, Asger, Episódios da História Antiga da Matemática, Sociedade Brasileira de
Matemática-SBM, trad. João B. Pitombeira de Carvalho, Rio de Janeiro, 1984.
AUSUBEL, David; NOVAK, ;HANESIAN, Helen, Psicologia Educacional, Tradução*
das professoras Eva Nick, Helena de Barros C. Rodrigues, Luciana Peotta, Maria
Ângela Fontes e Maria da Gloria R. Maron, da Universidade Santa Úrsula, do
Instituto de Psicologia da UFRJ, Editora Interamericana,1978. (*) Educational Psychology, a cognitive view, N.Y., Rinehart and Winston, New York, U.S.A.
BARBOSA, João Lucas M, Geometria Euclidiana Plana, Sociedade Brasileira de
Matemática-SBM, Rio de Janeiro, 2006.
BONGIVANNI, Vincenzo, A construção de uma tabela trigonométrica. Publicado na
Revista Iberoamericana de Educação Matemática - UNION, nº 18, junho de 2009.
BOYER, Carl C., História da Matemática, Editora, 470 p., Edgard Bucler, São Paulo,
1996.
BRASIL, Ministério da Educação e Cultura, Secretaria de Educação Fundamental,
Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília, 1998. 148 p.
BRASIL, Ministério da Educação e Cultura, Secretaria da Educação Média e
Tecnológica, Coordenação Geral do Ensino Médio, Parâmetros Curriculares
Nacionais - Ensino Médio.2000.
CARMO, Manfredo Perdigão.; MORGADO, Augusto Cesar ; WAGNER, Eduardo,
Trigonometria Números Complexos. Sociedade Brasileira de Matemática (SBM),
Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, 2005.165 p.
COBB, Paul; CONFREY, Jere; DISESSA, Andrea; LEHRER, Richard: SCHAUBLE,
Leona, Design Experiments in Educational Research, Educational Researcher;
Jan/Feb 2003; Wilson Education Abstracts, p.9. Encontrado no
site:<http:eec.edc.org/cwis_docs/NEWS_ARTICLES_JOURNAL/Cobb_Paul_Design
_Experiments>. Acesso em 30/03/2013
152
CONNALLY, Eric; GLEASON, Andrew ; M.; HUGHES-HALLET, Deborah ;
CHEIFETZ, Philip ; DAVIDIAN, Ann; FLATH, Daniel; KALAYCIOUGLU, Selin;
LAHME, Brigitte; LOCK, Patti F.; MCCALLUN, Willian; MORRIS, Jerry; RHEA,
Karen; SCHIMIERER, Ellen; SPIEGLER, Adam ; MARKS, Elliot; AVENOSO, Frank;
QUINNEV, Douglas; YOSHIWARA, Katherine, Functions Modeling Change, a
preparation for calculus, John Wiley & Sons, Inc., U.S.A., 1998.
BRIGHENTI, Maria J. L., Ensino e aprendizagem da trigonometria; novas
perspectivas da Educação Matemática. Dissertação de Mestrado em Educação
Matemática, sob a orientação da Drª. Celi Vasques Crepaldi., Universidade Estadual
Paulista, Rio Claro, S.P.1994.
BRIGHENTI, Maria J. L., Representações gráficas – atividades para o ensino e a
aprendizagem de conceitos trigonométricos, 150 p., Editora da Universidade do
Sagrado Coração, Bauru, S.P., 2003.
DANTE, Luiz R., Matemática Contexto & Aplicações. Editora Ática, São Paulo, S.P.,
616 p., 2003.
DANTE, Luiz R., Matemática Contexto & Aplicações. Editora Ática, 626 p., São
Paulo, S.P., 2009.
DUVAL, Raymond, Semiósis e Pensamento Humano, registros semióticos e
aprendizagens intelectuais. Trad. Lênio F. Levy e Marisa R. A. Silveira, Livraria da
Física Editora, São Paulo, 2009.110 p.
DUVAL, Raymond, A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning
of mathematics, publicado na revista Educational Studies in Mathematics, pp.103-
131, 2006.
DUVAL, Raymond in MACHADO, Silvia Alcântara (org.) Aprendizagem em
matemática – Registros de Representação Semiótica, pp.11-33. Papirus editora,
Campinas, S.P., 2008.
153
EVES, Howard, Introdução à história da matemática. Trad. Hygino H. Domingues,
.Editora Unicamp, Campinas, S.P., 2004.
FIORENTINI, Dario & LORENZATO, Sergio, Investigação em educação matemática.
Editora Autores Associados LTDA, Campinas, S.P., 2008.
GALVÃO, Maria E. E.L.. A História da Trigonometria. CEU- Centro de Extensão
Universitária, IME-USP/UNIFIEO.
GARBI, Gilberto G., A rainha das ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso
mundo da matemática, 468 p., Editora Livraria da Física, São Paulo, S.P., 2007.
GOIOS, Douglas Ferreira, Potencialidades didático-pedagógicas de um objeto para a
aprendizagem: uma análise através da Teoria da Cognição Corporificada para o
ensino de trigonometria. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, sob a
orientação da Drª. Janete Bolite Frant, Universidade Bandeirante de São Paulo,
2010.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto,
Matemática – volume único. Atual Editora, São Paulo, S.P., 2005.
IEZZI, Gelson, Fundamentos de matemática elementar 3: trigonometria. Coleção
para o ensino médio, Atual Editora, São Paulo, S.P., 2004.
LIMA, Elon Lages, Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas, artigo da RPM,
nº 4, pp.1-8, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, R.J., 1991.
LINDEGGER, Luiz Roberto de Moura, PUC/SP, Construindo os conceitos básicos da
trigonometria no triangulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação de
modelos. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, sob a orientação da
Drª. Sandra M.P. Magina, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2000.
LOBO DA COSTA, Nilce M., Funções seno e cosseno: uma sequencia de ensino a
partir dos contextos do mundo experimental e do computador. Dissertação de
Mestrado em Educação Matemática, sob a orientação da Drª. Sandra M.P. Magina.
Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 1997.
154
KATZ, Victor, A history of mathematics – an introduction., 992 p., Addison Wesley,
Washington, D.C., U.S.A., 2008.
MAOR, Eli, Trigonometric Delights, Princeton University Press, New Jersey, U.S.A.,
1998.
MOREIRA, Marco Antônio. A teoria da aprendizagem significativa e sua
implementação em sala de aula. Editora UnB, Brasília, 2006.186 p.
MIASHIRO, Paulo. M. A delicada transição do conteúdo tangente, como razão
trigonométrica, para o conteúdo função tangente, durante o processo de ensino e
aprendizagem. Monografia para Especialização em Educação Matemática, Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, 2010.
PILETTI, Nelson; ARRUDA, José J.A., Toda a História – História geral e história do
Brasil. 408 p., Editora Ática, São Paulo, S.P., 1996.
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO, Proposta Curricular
do Estado de São Paulo – Matemática – Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino
Médio.2008.
STEFFE, Leslie.P, & THOMPSON, Patrick W., Teaching experiment methodology:
underling principles and essential elements, org. R.Lesh e A.E. Kelly, “Research
design in mathematics and science education”, pp. 267-307, 2000., no site:
<http://pat-thompson.net/PDFversions/2000TchExp.pdf>Acessoem 30/03/2013.
STRIK, DirkJ, cap. 11, Por que estudar história da matemática, in História da técnica
e da tecnologia. Org. Ruy Gama, trad. Celia Regina.
YAMAMOTO, Yuiriko B. e VILLAGRA, Guilhermo A. L., Atividades com Cabri-
Géomètre II.EdufsCar- Inep, São Carlos, S.P., 2010. 240 p.
(fig.15) no site <www.gapsystem.org/~history/HistTopics/Indian_sulbasutras.html>,
acesso em 06/01/2012.
155
ANEXOS
Anexo 1 - Teste Diagnóstico
1- De acordo com as medidas desta figura, calcular as seguintes relações trigonométricas: a) b) c) d)
2- Uma escada de 4 metros de comprimento está apoiada numa parede
perpendicular ao solo. Sabendo que o ângulo entre a escada e o solo é de 60°, calcular a altura do topo da escada.
Considerar:
3- Calcule o seno, cosseno, tangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo em que um dos catetos mede 3cm e a hipotenusa mede 32 cm.
4- Conversão de medidas. a) A medida de um arco em radianos é . Encontrar sua medida em
graus, e calcular sua primeira determinação positiva. b) Calcular, em radianos, a medida de um ângulo central correspondente a
um arco de 18 cm, num círculo cujo raio mede 6 cm. c) Um parque público ocupa a área de um círculo cujo raio mede 460 m.
Encontre a distância percorrida por uma pessoa para dar uma volta em torno desse parque.
156
5- Estudo da função seno.
Se
a) O que é, e o que representa a letra na função ? Responda e
indique na figura acima.
b) Qual é o domínio e o contra-domínio dessa função?
c) Se o ponto no ciclo, tem abscissas e ordenadas que
relação existe entre e ?
d) Qual é a diferença entre a função seno no triangulo retângulo, e a função
seno no ciclo trigonométrico.
e) Defina as funções seno e cosseno.
6- Complete a tabela e construa o gráfico da função seno:
0 π/6 π/4 π/3 π/2 π
3π/2 2π
158
Anexo 2 - Design Inicial das quatro intervenções
1ª INTERVENÇÃO.
Trigonometria no triângulo retângulo.
A trigonometria foi criada pelos matemáticos para se determinar a distância entre dois pontos inacessíveis.
Objetivo: explorar as relações trigonométricas no triângulo retângulo.
a) Com o Cabri, construir, medir e calcular a relação entre os lados de três triângulos retângulos justapostos, conforme o modelo a seguir:
Obs.: Se o triângulo retângulo (o maior) for construído a partir de uma reta horizontal, com o ponto E colocado sobre essa reta, “arrastando” esse ponto, podemos alterar as dimensões desse triangulo retângulo, sem a necessidade de construir os três triângulos.
b) Completar a Tabela 1 com as medidas obtidas na sua construção.
Para as medidas dos lados dos triângulos, usamos as três abreviações:
: cateto oposto, : cateto adjacente, : hipotenusa.
Ângulo Triângulo ADE ACF ABG
Tabela 1: Relações entre os lados desses triângulos retângulos.
159
c) Compare as razões co/hip dos três triângulos e diga o nome dessa razão. R._______________
d) O que garante as definições de = e = para um dado ângulo α? R._______________
Objetivo: construir a tabela de valores notáveis do seno:
a) Para determinar o valor de sen 30°, construir com o Cabri II, um triângulo eqüilátero cujos lados meçam “l”, conforme o modelo a seguir:
Observe que a altura relativa à base AC divide esse triângulo eqüilátero em dois triângulos retângulos, cujos ângulos agudos são de 30º e 60º.
Com o triângulo MCB e o Teorema de Pitágoras, sabendo que a hipotenusa mede “l”, e um dos catetos a metade dessa hipotenusa, calcule a medida de , e com todas as medidas do triangulo MCB, aplique a razão para
chegar aos valores do e do .
b) Para determinar o valor de , construa com o Cabri, um quadrado conforme o modelo a seguir, em seguida, com o Teorema de Pitágoras, descubra quanto mede a diagonal desse quadrado, a exemplo do caso anterior, calcule o
.
160
c) Com uma calculadora científica, encontre os valores dos senos e cossenos
desses ângulos e escrever ao lado da tabela para comparação.
Tabela 2: Tabela do seno para os ângulos notáveis.
Ângulos seno 30° 45° 60°
161
2ª INTERVENÇÃO.
Objetivo: Conceito de ângulo.
Um ângulo é a reunião de duas semi-retas que têm a mesma origem, mas não estão contidas na mesma reta. O interior de um ângulo é definido como a intersecção dos semi-planos cujas origens são os lados do ângulo.
Objetivo: refletir sobre a correspondência entre cada arco de uma circunferência e o ângulo central.
a) Traçar uma circunferência com centro A e duas semi-retas com origem em seu centro; b) Marcar as intersecções B e C das semi-retas com a circunferência; c) Marcar o arco que está no interior do ângulo BÂC. d) Medir o ângulo e o arco. Esse arco é um arco menor da circunferência e sua medida, em graus, será dada pela medida do ângulo BÂC. O complementar da circunferência que está no exterior do ângulo será chamado um arco maior e sua medida em graus, será:
Figura para distinguir o arco menor do arco maior.
162
Objetivo: mostrar que as medidas em radianos, independem das dimensões das circunferências, e podem substituir as medidas em graus.
a) Na figura acima, temos anotadas as medidas dos arcos e dos respectivos raios das circunferências. Podemos observar que as razões entre o comprimento do arco de cada circunferência e o respectivo raio é constante. Calcule essa razão.
b) Construa, com o CABRI, uma figura como a dada acima e verifique, usando a calculadora, a igualdade das razões entre o comprimento do arco e o raio da respectiva circunferência.
Nota importante: A medida do ângulo, em radianos, será a razão acima, isto é, a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência em que está contido.
c) Encontre a medida, em radianos, do ângulo da figura abaixo.
Objetivo: Medida da circunferência e conversão de medidas com material manipulável
163
Esta atividade será realizada sem o uso do Cabri, apenas com materiais manipuláveis (discos de isopor, fita métrica, fita adesiva, barbante, caneta hidrográfica), régua, esquadro, transferidor, calculadora, lápis e papel.
a) Com discos de raios variáveis, medir o perímetro e o diâmetro do disco com o barbante e preencher uma a tabela com esses dados.
A constante obtida acima é o número ______ conhecido comoπ , assim o comprimento de uma circunferência de raio será
b) Usando a constante π e o comprimento da circunferência dado acima, encontre a medida, em radianos dos ângulos da tabela abaixo.
Graus 90° 180° 270° 360° Radianos
c) Temos agora duas maneiras de medir ângulos: graus ou radianos. Estabeleça uma relação entre elas e preencha a tabela abaixo.
rd
Graus
Responder:
- O que podemos aprender com essa experiência?
164
3ª INTERVENÇÂO.
Para contextualizarmos o estudo de uma função cujo domínio apresenta uma periodicidade, construímos com o Cabri, uma roda-gigante1 que gira em sentido anti-horário, e demora uma hora para completar uma volta. Esta roda tem 8 cm de diâmetro, e sua plataforma de embarque A, se encontra a 5 cm de altura. O tempo de uma volta completa é de 60 minutos. Este “equipamento” dispõe de um “altímetro”, que indica a cada instante, a altura que se encontra um passageiro, em relação ao solo.
Roda-Gigante
Obs.: nesta figura dinâmica construída com o Cabri, a posição do passageiro pode ser alterada com o “ponteiro” (mouse). Os pontos foram colocados no circulo central, como os números de um relógio analógico, para servirem de referência de posição em relação ao tempo.
1 Esta contextualização é uma adaptação nossa, no texto de CONNALLY, GLEASON e HUGHES‐HALLET, do livro Functions Modeling Change, financiado pela National Science Fundation Grant, Editora Wiley & Sons, 1998, p. 258.
165
Objetivo: criar uma função periódica no contexto de uma roda gigante e construir o gráfico dessa função. a) Vamos ajudá-lo a construir esta figura com o Cabri, ou a recorrer ao nosso
arquivo. Pegue o elevador e na plataforma A, embarque como passageiro nesta “roda-gigante”, e vá anotando na tabela 1, a sua altura de 5 em 5 minutos, de acordo com o “altímetro”.
t(min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 h(t) (cm)
Tabela 1 – Altura do passageiro em relação ao solo.
t(min) 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 h(t) (cm)
Tabela 2 – Altura do passageiro em relação ao solo. b) Com os dados da Tabela da roda-gigante complete os gráficos:
Figura 2 – Gráfico das alturas da roda-gigante em 60 minutos.
166
Figura 3 – Gráfico das alturas da roda-gigante em 120 minutos.
Com os gráficos, responda as seguintes perguntas:
- Esta função é periódica? Caso seja, diga qual é o período?
:
Definição de ciclo trigonométrico.
Com base nas atividades anteriores, sabemos que o comprimento do arco de um ângulo de 1 rd é igual ao raio, e também sabemos que em qualquer circunferência, a razão entre o comprimento de um semicírculo pelo raio é aproximadamente 3,14. Esse número pode ser representado pela letra grega , e podemos dizer que ângulo correspondente a 180º equivale à Na figura a seguir, temos um círculo de raio unitário num sistema cartesiano ortogonal. Esse círculo é orientado, ou seja, nele todos os arcos começam no ponto A (1, 0) e terminam num ponto P qualquer.
167
Para a definição2 de ciclo trigonométrico, associamos a cada número real x, com0 ≤ x ≤ 2π, um único ponto P da circunferência , de forma que se x = 0 , então P coincide com A; e se x>0 ,então o arco AP terá um comprimento x. Quando dois arcos têm a mesma extremidade e diferem entre si pela quantidade de voltas, dizemos que eles são congruentes. Assim o arco x é congruente aos arcos = x + k 2π, onde k= ±1, ±2,...
2 IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar, Vol. 03, Trigonometria, p. 33‐34, 2003.
168
4ª INTERVENÇÂO
Estudo da função seno.
Objetivo: Mostrar que a ordenada do ponto na extremidade do arco é igual ao valor do seno do ângulo correspondente no triangulo retângulo. – Construir no Sistema Ortogonal do CABRI um círculo unitário, e no primeiro quadrante deste círculo o arco AP, e encontrar as coordenadas desse ponto com a ferramenta “Equações ou Coordenadas”.
Figura 1 – Estudo da função seno
Na figura 1, temos o triangulo retângulo formado pelos pontos PP’O. Neste triangulo, de acordo com a definição de seno no triangulo retângulo, o seno do ângulo agudo P’ÔP é a razão entre as medidas do cateto oposto PP’ e a hipotenusa OP.
= = 0,79
Responda a pergunta e complete a afirmação: - Porque temos a igualdade: ? - Então o valor do seno é iguala _____________________
169
Definição3 de seno (como medida de um segmento) Dado um arco de medida x, definimos como a ordenada do ponto e representamos igualando em que é a medida do segmento orientado que acabamos de obter.
Aproveitando a figura anterior, apagar o triângulo, medir o ângulo e deslocar o ponto P para preenchermos os dados da tabela, anotando apenas a ordenada do ponto P.
Figura 2 – Estudo da função seno (2)
x 0 (30°) (45°)
(90°) (120°) (135°) (150°) π (180°) (210°)
sen x
x (225°) (240°)
2π (360°)
sen x
Tabela 1- Valores do seno..
3 DANTE, Luiz R., Matemática – Contexto & Aplicações, p. 206, Editora Atica, 2003
170
Com os dados da Tabela 1, construir o gráfico da função seno:
Figura 3 – Gráfico da função seno.
Objetivo: Construir o gráfico4 da função seno com a ferramenta “Rastro”, em arcos negativos e positivos. As figuras a seguir ilustram as etapas dessa construção.
Figura 4 - Encontrando um ponto do gráfico.
4 BALDIN, Yuriko Yamamoto, VILLAGRA, Guilherme Antonio Lobos, Atividade com Cabri‐Géomètre II para curso de Licenciatura em Matemática e Professores do Ensino Fundamental Médio, ED UFSCar, 2.
171
Figura 5- Traçando o gráfico com o Lugar Geométrico do seno.
Figura 6 - Utilizando o Rastro para traçar o gráfico do seno.
Responda as perguntas: - Sabendo que as medidas no eixo estão em radianos, qual o período dessa função? R.: __________ - Observando esses gráficos, é possível determinar o domínio e a imagem da função seno? R.: -Depois dessas atividades, as figuras e tabelas que mostram as características dessa função tornaram-se mais elucidativas? E as relações entre elas?
172
R.: Anexo 3 - Design Final das quatro intervenções
1ª INTERVENÇÃO.
Atividade 1 – Semelhança de triângulos.
1ª Parte – Com o material manipulável, uma régua e um transferidor, examinar triângulos semelhantes pela congruência dos três ângulos (caso AAA).
• Nos triângulos escalenos confeccionados em EVA, cujos lados medem respectivamente: e ’, verifique se:
= (constante) e anote as medidas e o resultado nesta folha:
Verifique também as relações:
e calcule e anote nesta folha.
Complete a frase: Quando os triângulos são semelhantes, a razão entre seus respectivos lados é uma _____________.
Responda a pergunta: Conhecendo apenas um dos ângulos desse triangulo, é possível deduzirmos os outros?
R: ____
• Com os triângulos retângulos.
Desenhe os triângulos nesta folha, com as medida dos lados e do ângulo α, em seguida verifique a razão entre o cateto oposto ao ângulo α e a hipotenusa (co/hip) nos três triângulos, anotando nesta folha.
Responda a pergunta: Conhecendo apenas um dos ângulos de um triangulo retângulo, é possível deduzirmos os outros?
2ª Parte – Com o Cabri II, construir os triângulos conforme a figura abaixo, e medir seus segmentos.
173
Figura 15 – Semelhança de triângulos retângulos.
Com essas medidas, verifique que os triângulos ABC e AED são semelhantes. Justifique sua conclusão usando a calculadora do Cabri.
Atividade 2 - relações trigonométricas no triângulo retangulo. Vamos usar a mesma figura da atividade anterior com o Cabri, relacionando os lados em cada triângulo.
Figura 2 – A relação trigonométrica seno.
.
a) Com o Cabri II, calcular o seno do ângulo Â, no triângulo ABC (maior) e completar:
=
5 Nota da revisão: Com o Cabri II, os triângulos retângulos ABC e ADE da figura 1, podem ser substituídos por apenas um, desde que o primeiro (ABC) seja construído na seqüência:
i) A partir do ponto A, traçar uma semi-reta horizontal para a direita. ii) Em qualquer lugar dessa semi-reta, com a ferramenta “ponto sobre objeto”,colocar o ponto C. iii) Do ponto C, traçar uma perpendicular ao segmento AC. iv) Nessa perpendicular. Colocar o ponto B. v) Unindo os três pontos, traçar os lados do triângulo, com a ferramenta “segmento”. vi) Com a ferramenta “distância ou comprimento”, medir os 3 lados. vii) Agora para aumentar ou diminuir o triângulo ABC, basta deslocar com a ferramenta “ponteiro”
o ponto C, usando o mouse.
174
b) Com o Cabri II, calcular o seno do ângulo Â, no triângulo ADE (menor) e completar:
c) Experimente deslocar o segmento DE e com as novas medidas, calcule o
seno do ângulo Â, e responda as perguntas:
- A razão seno, em relação a um determinado ângulo, depende das dimensões do triangulo retângulo? Justifique. R: - A razões cosseno e tangente, em relação a um determinado ângulo, dependem das dimensões do triangulo retângulo? Justifique.
• No final desta atividade, o professor deverá desenhar na lousa e um triangulo retângulo de medidas, 3, 4 e 5 unidades, identificar seus vértices, e em seguida calcular as razões seno, cosseno e tangente.
Atividade 3 – Resolução de dois problemas para a construção de uma tabela com os valores notáveis do seno. Obs.: resolver algebricamente, sem a necessidade de construção com o Cabri II. Problema1. No lado esquerdo da figura 3, vemos o triângulo equilátero . Cada lado desse triângulo tem a medida “l”, e é o ponto médio do segmento . No triângulo retângulo formado pela união dos pontos e , calcular a altura
( ) usando o teorema de Pitágoras, e com todas as medidas desse triangulo retângulo, calcular o seno dos ângulos dos vértices e , registrando-os na tabela 1. Lembrete: no triangulo eqüilátero, os 3 ângulos internos são iguais e medem 60°.
Figura 3 – O triângulo eqüilátero e o quadrado no estudo do seno
Problema 2. No lado direito da figura 3, vemos o quadrado , cujo lado mede “a”, e os pontos , e G formam um triangulo retângulo. A diagonal desse quadrado
175
é a hipotenusa do triangulo retângulo formado pelos pontos . Calcular a diagonal d, e os senos dos ângulos dos vértices e registrando-os na tabela 1.
Tabela 1 – seno de ângulos notáveis. • O professor deverá verificar se os alunos conseguiram completar esta atividade,
para uma eventual ajuda.
Aplicação do seno na resolução dos seguintes problemas:
1. Uma escada de 4 metros de comprimento está apoiada numa parede
perpendicular ao solo. Sabendo que o ângulo entre a escada e o solo mede 60°, calcular a altura do topo da escada.
Dado: e considerar
2. Calcule o seno, cosseno, tangente dos ângulos agudos do triângulo retângulo
em que um dos catetos mede e a hipotenusa mede .
3. (UFSE) Se os raios solares formam um ângulo α com o solo, qual é, aproximadamente, o comprimento da sombra de um edifício com de altura?
Dado:
• Depois de alguns minutos, caso seja preciso, o professor deverá resolver na lousa cada problema, e justificar cada etapa da resolução.
α
176
2ª INTERVENÇÃO.
Atividade 1. Adotando uma medida padrão. Objetivo: Mostrar o significado de uma medida padrão. Com o Cabri, traçar dois segmentos de reta, conforme mostra a figura, em seguida medir esses segmentos e considerar o menor, como unidade de medida.
Figura 1 – Medida padrão de um segmento.
:
Um ângulo é a reunião de duas semiretas que têm a mesma origem, mas não estão contidas na mesma reta. O interior de um ângulo é definido como a intersecção dos semiplanos cujas origens são os lados do ângulo.
Figura 2 – O ângulo BÂC e seu interior.
Atividade 2. Construir a figura 2 com o Cabri II, para estudar os conceitos de ângulos e arcos (distinguir o arco maior do arco menor).
177
Figura 3 – O ângulo central BÂC e o arco BC
Com base na leitura sobre o ângulo, complete as definições:
Arco maior é __________________________________________
Ângulo do arco menor BC é ______________________________
Atividade 3. (com material concreto) Objetivo: A aprendizagem das medidas em radianos. Procedimentos: com o disco de EVA (material concreto), medir comprimento de arcos, tomando o raio como unidade padrão. Obs.: Iniciar os arcos pelo ponto A, no sentido anti-horário.
Figura 3 – A medição de arcos no material concreto.
I) Antes de começar a medir os arcos, meça o raio deste disco e anote: raio____ cm.
II) Com a fita métrica para acompanhar a borda do disco, a partir do ponto A faça a medida dos arcos AB, AC e AA. arco AB ; ____ cm = ___ u.m. arco AC: ____ cm = ___ u.m. arco AD: ____ cm = ___ u.m. arco AA: ____ cm = ___ u.m.
III) Divida cada uma destas medidas pela medida do raio, anotando nesta folha
Responda a pergunta: O que representam estas medidas? R: ____________________________________________
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Atividade 4 – Comparar as medidas em radianos, obtidas no círculo maior e no círculo menor, relativas ao mesmo ângulo.
Construir ou usar o arquivo do Cabri II com a figura 3, e medir os arcos e os raios dos dois círculos.
Figura 3 – Verificando a relação entre arcos e raios.
Efetuar as divisões:
=
=
Responder a pergunta: As medidas em radianos dependem do raio do círculo? Justifique.
R:
• O professor deverá acompanhar estas atividades para no final, se for necessário, esclarecer qualquer dúvida, fazendo uso do giz e da lousa.
Atividade 5 – O número irracional 3,1415...,e o comprimento do círculo.
Com o Cabri II, reproduzir a figura 4, colocando neste circulo um . Em seguida medir o comprimento do raio , e do . Com a calculadora dividir o comprimento do arco pelo raio, para obter a medida em radianos, e responder a pergunta:
Qual foi o valor aproximado do número encontrado, e como ele se tornou conhecido?
R: ____________
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Complete as frases6:
“ A constante é a razão entre o comprimento de qualquer semicírculo e o seu ___”
Se o arco der uma volta inteira (360°) a sua medida em radianos será ______________.
Figura 4 – Medidas de arcos em π radianos.
Atividade 5 – Conversão dos graus em radianos.
Fazer a conversão, com lápis e papel, recorrendo a regra de três:
grau radiano
180°------------ π
90° ------------ x
e preencher a tabela a seguir:
Medida do ângulo em graus
90° 180° 270° 360°
Medida do ângulo em radianos
Tabela – Conversão de medidas.
Responder: - O que podemos aprender com essa experiência? 6 CARMO, M.P.; MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; “Trigonometria/ Números Complexos”, Coleção do professor de Matemática – SBM, 2005.
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Resolver os seguintes problemas:
d) A medida de um ângulo em radianos é 2π rd. Encontrar sua medida em
graus. e) Calcular, em radianos, a medida de um ângulo central correspondente a
um arco de 18 cm, num círculo cujo raio mede 6 cm. f) Um parque público ocupa a área de um círculo cujo raio mede 460 m.
Encontre a distância percorrida por uma pessoa para dar uma volta em torno desse parque.
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3ª INTERVENÇÃO.
Apresentação do material concreto “ciclo trigonométrico”.
Com o dispositivo “ciclo trigonométrico”, o professor deverá fazer breves comentários sobre: a escolha de um sentido para percorrer o ciclo, as medidas em radianos, a primeira determinação de um arco e demonstrar como se mede a altura do ponto localizado na extremidade do arco, com o objetivo de preparar os alunos para a atividade 2.
Foto 1 – Dispositivo “ciclo trigonométrico”.
i) Construção do ciclo trigonométrico.
Sejam u e v, os eixos cartesianos ortogonais de um plano. Tomemos uma circunferência com o centro no encontro desses eixos, um raio unitário e um ponto A, como origem dos arcos. Esta circunferência pode ser percorrida nos dois sentidos; convencionou-se que o sentido anti-horário seria positivo. Neste círculo orientado7, a medida algébrica do arco AP, é o comprimento desse arco.
7 CARMO, Manfredo P.; MORGADO, Augusto: WAGNER, Eduardo, Trigonometria Números Complexos, da Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2005, p.35.
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Figura2 – Arco no ciclo trigonométrico.
Para a definição8 de ciclo trigonométrico, associamos a cada número real x, com0 ≤ x ≤ 2π, um único ponto P da circunferência , de forma que se x = 0 , então P coincide com A; e se x>0 ,então o arco AP terá um comprimento x. Quando dois arcos tem a mesma extremidade e diferem entre si pela quantidade de voltas, dizemos que eles são congruentes. Assim o arco x é congruente aos arcos = x + k 2π, onde k= ±1, ±2,... Obs.: Embora a figura do ciclo trigonométrico seja formada pelos eixos cartesianos u e v, que o dividem o círculo em quatro partes, denominadas quadrantes, e pelo círculo orientado, esta representação é um ciclo trigonométrico, utilizado para o estudo das funções trigonométricas, e não se constitui no gráfico de uma função trigonométrica em particular, conforme veremos em breve Atividade 1 – Característica dos pontos do S1. Todos os pontos P(a, b) de S1, não coincidentes com os eixos cartesianos e em qualquer quadrante, formam com a sua projeção ortogonal no eixo horizontal e o ponto O, no vértice do ângulo central, um triângulo retângulo, cujos catetos têm a medida das coordenadas, e a hipotenusa, medindo 1 rd, conforme mostra a figura 3:
8 IEZZI, Gelson, Fundamentos da Matemática Elementar, Vol. 03, Trigonometria, p.33-34, 2003.
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Figura 3 – Pontos do S1.
Com o Cabri II, construir o ciclo trigonométrico (figura 3). Deslocar o ponto , onde corresponde a abscissa e a ordenada de . Observar que geometria dinâmica do Cabri II atualiza as coordenadas, de acordo com o deslocamento. Com essas coordenadas, verificar se para todos os quadrantes vale a relação (Teorema de Pitágoras no S1):
Completar: Ponto P no 1º quadrante:_____ + ____= ___ 2º quadrante:_____ + ____ = ___ 3º quadrante: _____+ ____ = ___ 4° quadrante: _____+ ____ = ___ Estudo de uma função periódica
Dizemos que uma função éperiódica de período , se existir um número real tal que , para todo real, em outras palavras, uma função é periódica se seus valores se repetem em intervalos de tempos regulares. Os gráficos dessas funções apresentam curvas que se repetem a cada período. Como exemplo, podemos citar um exame de eletrocardiograma num indivíduo saudável (este exame registra as variações dos potenciais elétricos, gerados pela atividade elétrica do coração).
Atividade 2 – RODA-GIGANTE9
Você terá que embarcar como passageiro numa roda-gigante que dispõe de um elevador para deixá-lo na plataforma de embarque, no ponto A da figura. Esta roda,
9 Esta contextualização é uma adaptação nossa, no texto de CONNALLY, GLEASON e HUGHES-HALLET, do livro Functions Modeling Change, financiado pela National Science Fundation Grant, Editora Wiley &Sons,1998, p.258.
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que está representada em escala na figura, gira em sentido anti-horário, e o diâmetro de sua circunferência, na representação, é de 8 cm. A altura da plataforma A (a altura do centro da roda), na representação, é de 5 cm.
Figura 4 – Roda-gigante
Esta roda demora uma hora para dar uma volta completa e você dispõe de um altímetro que mede a altura em que você se encontra em relação ao solo (considerar desprezíveis as suas medidas e a medida da gôndola)
a) Marque, na figura acima, a posição a cada 5 minutos.
Tabela 1 – Altura do passageiro em relação ao solo. t (min) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 h(t) (cm) Tabela 2 – Altura do passageiro em relação ao solo. t (min) 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 h(t) (cm) b) Com os dados das Tabelas da roda-gigante complete os gráficos:
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Figura 5 – Gráfico das alturas da roda-gigante em 60 minutos.
Após a construção dos gráficos, responda as seguintes perguntas:
- Esta função é periódica? Caso seja, diga qual é o período e o que você concluiu destas atividades?
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4ª INTERVENÇÃO (duplas de alunos).
• O professor deverá reproduzir a figura 1 na lousa e lembrar que um ponto pode ser localizado pelas coordenadas. Mostrar que a medida dessas coordenadas corresponde à medida dos lados do triangulo retângulo OPP’. Ressaltar que a hipotenusa mede 1 (raio unitário).
Atividade 1 – Construir o ciclo trigonométrico, conforme o modelo da figura 1.
Figura 1–O triângulo OPP’ e as coordenadas do ponto P.
- Para esta atividade, devemos construir o ciclo trigonométrico, a partir da ferramenta: “mostrar os eixos”, aumentar com o “ponteiro” a distância de 0 a 1, e traçar a circunferência de centro (0,0) e raio 1.
- Colocar um ponto P no primeiro quadrante do ciclo, e com as coordenadas, fornecidas pelo Cabri, calcular o seno e o cosseno e a tangente do ângulo central Ô, no triângulo OPP’, usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo:
Lembrar que medida OP = raio = 1
=
Compare os valores obtidos com os números fornecidos pelas coordenadas do Cabri II, e responda o que você entende por seno, cosseno e tangente, num triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 1 (círculo de raio unitário).
R:____________________________________________________________
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Pergunta: E se o ponto P estiver no 2º quadrante, como poderemos calcular essas relações trigonométricas?
R:_____________________________________________________________
A definição do cosseno e do seno de um número real Sendo um círculo de raio unitário no plano cartesiano. Para um número real , medida de um arco de a função conhecida como a função de Euler, faz corresponder um ponto do círculo . Como ponto de um sistema de coordenadas cartesianas, o ponto pode ser representado pelo pelas coordenadas . Com essascoordenadas, podemos definir o cosseno de como a abscissa , e o seno de como a ordenada . Na figura 2, observem que
Figura 2 – Definição das funções seno e cosseno.
• O professor deverá reapresentar o material concreto “ciclo trigonométrico”, para o estudo da função seno (medida de arcos; radianos; o ciclo que associa ao número real um ponto de que é a imagem de uma infinidade de números reais, todos eles da forma
Com o cordão mostrar a 1ª det. do arco e a função Completar as explicações na lousa, com a figura do ciclo trigonométrico.
Atividade 2 – Estudo das funções seno e cosseno.
Em atividades anteriores, já constatamos que com as coordenadas e do ponto em devido ao Teorema de Pitágoras, para os quatro quadrantes, se verifica a relação:
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Nota: a partir da figura 3, vamos chamar o ponto de
Figura 3 – Relação fundamental da trigonometria.
Como as coordenadas do ponto foram definidas como o cosseno e o seno de x respectivamente, e correspondem às medidas dos catetos do triangulo retângulo , cuja hipotenusa mede 1. Com o Teorema de Pitágoras podemos deduzir que:
R: ___
Isolando , podemos escrever: ____________ ou isolando ,
podemos escrever: = _____________
Resolver as seguintes questões:
a) Sabendo-se que é igual a 0,8, e é a medida de um arco do primeiro quadrante, determinar os valores do e da .
b) Sabendo-se que é igual a , e é a medida de um arco do terceiro
quadrante, determinar os valores do e da .
• No final desta atividade, o professor deverá consolidar as relações fundamentais da trigonometria:
= 1 para todo x para todo x + kπ
Atividade 3 – Construção do gráfico da função seno. - Construir a figura 3 com o Cabri, colocar as coordenadas no ponto localizado na extremidade do arco x (apagar a abscissa), e com o “ponteiro” arrastar esse ponto
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de 30° em 30°, para preencher a tabela com os respectivos valores desta função. Com os dados dessa tabela, construir o gráfico em papel milimetrado.
Figura 4 - Estudo da função seno.
0° (30°)
(90°)
(120°)
(150°)
π (180°) (210°)
(240°)
2π (360°)
Tabela 1- Valores do seno. Atividade 4 – Construção do gráfico da função seno, com o Cabri II.
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Instruções para o professor
• Não usar o “lugar geométrico” do Cabri II, e sim a construção em etapas com as ferramentas “transferência de medidas” e “rastro”.
• Após a construção, salvar esta figura em um pen-drive, para estudá-las com a ferramenta “reconstrução” do Cabri II.
_____________________________________término das intervenções.
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Anexo 4 - Teste Final
TESTE FINAL
1. De acordo com as medidas desta figura, calcular as seguintes relações trigonométricas:
2 Calcular a medida x, nos seguintes triângulos retângulos:
3 Um atirador se encontra a 30 metros de uma parede, com um alvo. Calcular a altura do centro desse alvo ao chão.
Dados: sen 12° = 0,20 e tg 12° = 0,21.
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4 Sendo cos x = - 0,67 , com , determinar sen x e tg x.
5 Medidas em radianos.
a - Calcular em graus e radianos, a medida correspondente a um arco de 24 cm, num círculo cujo raio mede 6 cm.
b - Um parque público ocupa a área de um círculo cujo raio mede 100m. Encontre a distância percorrida por uma pessoa para dar uma volta em torno desse parque. c - No problema anterior, que distancia corresponde a um angulo de π/6 rd?
6 Estudo da função seno.
Responda as seguintes perguntas: a) Como pode ser definida a função seno?
R:
b) O que representam o x e o P nessa definição? R:
c) Qual é o domínio e a imagem da função seno? R:
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d) Se o ponto P pertence ao ciclo, por que razão estando o ponto P(a,b) em qualquer quadrante, vale a relação a2 + b2 = 1, e qual a principal conseqüência dessa propriedade? R:____________________________________________________________
7 Complete a tabela e construa o gráfico da função seno :
0 π/2 π 3π/2 2π
8 Responda as perguntas. a) O dispositivo “ciclo trigonométrico” (utilizado pelo professor) esclareceu
algum conceito? Qual? b) Com a construção das figuras com o Cabri II, você aprendeu alguns
conceitos trigonométricos? Quais? R: