Una forma geometrica de medir irracionalidad

Pedro Morales-Almazan

Department of MathematicsThe University of Texas at Austin

pmorales@math.utexas.edu

Universidad del Valle de GuatemalaGuatemala, 6 de enero de 2016

Pedro Morales-Almazan Math Department

Irracionalidad

“Los problemas no pueden ser resueltos al mismo nivel depensamiento en el que fueron generados.”

Albert Einstein

Pedro Morales-Almazan Math Department

Irracionalidad

Historia

¿Que tan irracional puede ser un numero?

α ∈ Q, α /∈ Q

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Irracionalidad

Historia

¿Que tan irracional puede ser un numero?

α ∈ Q, α /∈ Q

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Irracionalidad

Historia

¿Que tan irracional puede ser un numero?

α ∈ Q, α /∈ Q

Pedro Morales-Almazan Math Department

Irracionalidad

Historia

• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.

• Todo real es aproximable por racionales.

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Irracionalidad

Historia

• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.

• Todo real es aproximable por racionales.

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Irracionalidad

Historia

• La irracionalidad es una propiedad, no una medida.

• Todo real es aproximable por racionales.

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Irracionalidad

Historia

Medir irracionalidad

Sea α ∈ R. La irracionalidad de α se puede estudiar por medio deanalizar el conjunto de racionales p/q tales que∣∣∣α− p

q

∣∣∣ < 1

qµ,

para distintos valores de µ.

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Irracionalidad

Historia

Medir irracionalidad

Sea α ∈ R. La irracionalidad de α se puede estudiar por medio deanalizar el conjunto de racionales p/q tales que∣∣∣α− p

q

∣∣∣ < 1

qµ,

para distintos valores de µ.

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Irracionalidad

Historia

limn→∞

pnqn

= α

1 Razon de crecimiento de qn

2 La sucesion pnqn

mas eficiente (qn creciente)

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Irracionalidad

Historia

limn→∞

pnqn

= α

1 Razon de crecimiento de qn

2 La sucesion pnqn

mas eficiente (qn creciente)

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Irracionalidad

Historia

limn→∞

pnqn

= α

1 Razon de crecimiento de qn

2 La sucesion pnqn

mas eficiente (qn creciente)

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Irracionalidad

Historia

limn→∞

pnqn

= α

1 Razon de crecimiento de qn

2 La sucesion pnqn

mas eficiente (qn creciente)

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Irracionalidad

Interpretacion geometrica

Pedro Morales-Almazan Math Department

Irracionalidad

Interpretacion geometrica

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Irracionalidad

Interpretacion geometrica

1 α es la pendiente de la recta L

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Irracionalidad

Interpretacion geometrica

2 El sector circular Sr es simetrico al rededor de L.

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Irracionalidad

Interpretacion geometrica

3 Sr no contiene ningun punto entero.

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Irracionalidad

Interpretacion geometrica

4 Medir el area A(r) de Sr .

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Irracionalidad

Problema

Analizar el comportamiento de A(r) cuando r →∞.

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Irracionalidad

Problema

Analizar el comportamiento de A(r) cuando r →∞.

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Irracionalidad

Graficas de A(r)

(a) α = e (b) α = π

(c) α =√2 (d) α =

√3

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Irracionalidad

Graficas de A(r)

(e) α = e (f) α = π

(g) α =√2 (h) α =

√3

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Irracionalidad

Definiciones

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Irracionalidad

Definiciones

θ(r) = 2∣∣∣ arctan(α)− arctan

(p

q

) ∣∣∣ , pq∈ Q y p2 + q2 < r2 .

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Irracionalidad

Definiciones

A(r) =r2

2θ(r)

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Irracionalidad

Fracciones Continuas

h0 = a0

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Irracionalidad

Fracciones Continuas

h1 = a0 +1

a1

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Irracionalidad

Fracciones Continuas

h2 = a0 +1

a1 +1

a2

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Irracionalidad

Fracciones Continuas

h3 = a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3

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Irracionalidad

Fracciones Continuas

h = a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +1

. . .

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Irracionalidad

Fracciones Continuas

h = a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +1

. . .

h = [a0; a1, a2, a3, . . . ]

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Irracionalidad

Fracciones continuas: Ejemplos

110

7= [1; 2, 3] = 1 +

1

2 +1

32 φ = [1; 1]

3√

2 = [1; 2]

4√

3 = [1; 1, 2]

5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]

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Irracionalidad

Fracciones continuas: Ejemplos

110

7= [1; 2, 3] = 1 +

1

2 +1

3

2 φ = [1; 1]

3√

2 = [1; 2]

4√

3 = [1; 1, 2]

5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]

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Irracionalidad

Fracciones continuas: Ejemplos

110

7= [1; 2, 3] = 1 +

1

2 +1

32 φ = [1; 1]

3√

2 = [1; 2]

4√

3 = [1; 1, 2]

5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]

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Irracionalidad

Fracciones continuas: Ejemplos

110

7= [1; 2, 3] = 1 +

1

2 +1

32 φ = [1; 1]

3√

2 = [1; 2]

4√

3 = [1; 1, 2]

5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]

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Irracionalidad

Fracciones continuas: Ejemplos

110

7= [1; 2, 3] = 1 +

1

2 +1

32 φ = [1; 1]

3√

2 = [1; 2]

4√

3 = [1; 1, 2]

5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]

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Irracionalidad

Fracciones continuas: Ejemplos

110

7= [1; 2, 3] = 1 +

1

2 +1

32 φ = [1; 1]

3√

2 = [1; 2]

4√

3 = [1; 1, 2]

5 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, . . . ]

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Irracionalidad

Propiedades

• Todo real tiene representacion en fraccion continua.

• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3

π ∼ [3; 7] =22

7= 3.142857...

π ∼ [3; 7, 15] =333

106= 3.141509...

π ∼ [3; 7, 15, 1] =355

113= 3.141592...

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Irracionalidad

Propiedades

• Todo real tiene representacion en fraccion continua.

• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3

π ∼ [3; 7] =22

7= 3.142857...

π ∼ [3; 7, 15] =333

106= 3.141509...

π ∼ [3; 7, 15, 1] =355

113= 3.141592...

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Irracionalidad

Propiedades

• Todo real tiene representacion en fraccion continua.

• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.

eg. π ∼ [3] = 3

π ∼ [3; 7] =22

7= 3.142857...

π ∼ [3; 7, 15] =333

106= 3.141509...

π ∼ [3; 7, 15, 1] =355

113= 3.141592...

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Irracionalidad

Propiedades

• Todo real tiene representacion en fraccion continua.

• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3

π ∼ [3; 7] =22

7= 3.142857...

π ∼ [3; 7, 15] =333

106= 3.141509...

π ∼ [3; 7, 15, 1] =355

113= 3.141592...

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Irracionalidad

Propiedades

• Todo real tiene representacion en fraccion continua.

• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3

π ∼ [3; 7] =22

7= 3.142857...

π ∼ [3; 7, 15] =333

106= 3.141509...

π ∼ [3; 7, 15, 1] =355

113= 3.141592...

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Irracionalidad

Propiedades

• Todo real tiene representacion en fraccion continua.

• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3

π ∼ [3; 7] =22

7= 3.142857...

π ∼ [3; 7, 15] =333

106= 3.141509...

π ∼ [3; 7, 15, 1] =355

113= 3.141592...

Pedro Morales-Almazan Math Department

Irracionalidad

Propiedades

• Todo real tiene representacion en fraccion continua.

• Las convergentes producen la aproximacion mas eficiente deun numero.eg. π ∼ [3] = 3

π ∼ [3; 7] =22

7= 3.142857...

π ∼ [3; 7, 15] =333

106= 3.141509...

π ∼ [3; 7, 15, 1] =355

113= 3.141592...

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Irracionalidad

Propiedades

Aproximacion geometrica

Los puntos enteros mas cercanos a la recta y = αx estan dadospor las convergentes de α.

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Irracionalidad

Propiedades

Aproximacion geometrica

Los puntos enteros mas cercanos a la recta y = αx estan dadospor las convergentes de α.

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Irracionalidad

Propiedades

Aproximacion geometrica

Los puntos enteros mas cercanos a la recta y = αx estan dadospor las convergentes de α.

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Irracionalidad

Sucesion de areas

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1

mn = (p2n + q2

n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)

∣∣∣Mn = (p2

n+1 + q2n+1)

∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣

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Irracionalidad

Sucesion de areas

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1

mn = (p2n + q2

n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)

∣∣∣Mn = (p2

n+1 + q2n+1)

∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣

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Irracionalidad

Sucesion de areas

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1

mn = (p2n + q2

n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)

∣∣∣

Mn = (p2n+1 + q2

n+1)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)

∣∣∣

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Irracionalidad

Sucesion de areas

h0 < h2 < h4 < · · · < α < · · · < h3 < h1

mn = (p2n + q2

n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)

∣∣∣Mn = (p2

n+1 + q2n+1)

∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣

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Irracionalidad

mn = (p2n + q2

n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)

∣∣∣Mn = (p2

n+1 + q2n+1)

∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣

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Irracionalidad

mn = (p2n + q2

n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)

∣∣∣Mn = (p2

n+1 + q2n+1)

∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣

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Irracionalidad

mn = (p2n + q2

n)∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)

∣∣∣Mn = (p2

n+1 + q2n+1)

∣∣∣ arctan(α)− arctan(hn)∣∣∣

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Irracionalidad

Cotas

Teorema sobre cotas inferiores

mk <

(h2k + 1

α2 + 1

)(qkqk+1

)(1 +

3√

3

16(α2 + 1)εk

),

(h2k + 1

α2 + 1

)(qkqk+1

) 1

1 + 1ak+2

(qk

qk+1

) − 3√

3

16(α2 + 1)εk

< mk .

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Irracionalidad

Cotas

Teorema sobre cotas inferiores

mk <

(h2k + 1

α2 + 1

)(qkqk+1

)(1 +

3√

3

16(α2 + 1)εk

),

(h2k + 1

α2 + 1

)(qkqk+1

) 1

1 + 1ak+2

(qk

qk+1

) − 3√

3

16(α2 + 1)εk

< mk .

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Irracionalidad

Cotas

Teorema sobre cotas superiores

Mk <

(h2k+1 + 1

α2 + 1

)(qk+1

qk

)(1 +

3√

3

16(α2 + 1)εk

),

(h2k+1 + 1

α2 + 1

)(qk+1

qk

) 1

1 + 1ak+2

(qk

qk+1

) − 3√

3

16(α2 + 1)εk

< Mk .

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Irracionalidad

Cotas

Teorema sobre cotas superiores

Mk <

(h2k+1 + 1

α2 + 1

)(qk+1

qk

)(1 +

3√

3

16(α2 + 1)εk

),

(h2k+1 + 1

α2 + 1

)(qk+1

qk

) 1

1 + 1ak+2

(qk

qk+1

) − 3√

3

16(α2 + 1)εk

< Mk .

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Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente periodicas

α = [a0; a1, . . . , ak , b1, b2, . . . , bn]

Teorema

1

Ci + 1bi+1

≤ lim infk→∞

ml+kn+i−1 ≤1

Ci.

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Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente periodicas

α = [a0; a1, . . . , ak , b1, b2, . . . , bn]

Teorema

1

Ci + 1bi+1

≤ lim infk→∞

ml+kn+i−1 ≤1

Ci.

Pedro Morales-Almazan Math Department

Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente periodicas

α = [a0; a1, . . . , ak , b1, b2, . . . , bn]

Teorema

1

Ci + 1bi+1

≤ lim infk→∞

ml+kn+i−1 ≤1

Ci.

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Irracionalidad

Teorema

lim supk→∞

Ml+kn+i−1 ≤ Ci ,

C 2i

Ci + 1bi+1

≤ lim infk→∞

Ml+kn+i−1 .

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Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente periodicas

√3 = [1; 1, 2]

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Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente periodicas

√3 = [1; 1, 2]

Pedro Morales-Almazan Math Department

Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente periodicas

√2 = [1; 1]

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Irracionalidad

Fracciones continuas eventualmente periodicas

√2 = [1; 1]

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Irracionalidad

Preguntas

@p3d40

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