Post on 08-Mar-2019
[Type the document title]
[Type the document title]
MODUL STATISTIKA I
LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA I
SEMESTER GENAP 2012
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS PADJADJARAN
Disusun Oleh:
Tim Asisten Dosen Statistika FE UNPAD
Mengetahui dan Menyetujui,
Ketua Program Studi ESP UNPAD
Dr. Mohammad Fahmi, S.E., M.T.
NIP. 197312302000121001
[Type the document title]
KATA PENGANTAR
Bismillahirahmaanirrahiim
Assalamu‟alaikum Wr. Wb,
Alhamdulillahirabbil‟alamin. Puji Syukur penyusun ucapkan atas segala
Rahmat dan Karunia-Nya yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga akhirnya
kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika I 2012 ini dengan sebaik-
baiknya.
Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penyusunan modul ini. Penyusun berharap semoga modul ini dapat bermanfaat dan
memberikan kontribusi aktif terhadap dunia akademis.
Akhir kata, tidak ada gading yang tak retak, kesempurnaan hanya milik Allah
SWT, penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan.
Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penyusun nantikan demi
perbaikan modul ini ke arah sempurna.
Wassalamu‟alaikum Wr. Wb.
[Type the document title]
Irsyad Sarah Yusti
Meisa Ditha Tiara Yessica
Hamdi Ardina Yasyir
Nina Kore Heni
[Type the document title]
DAFTAR ISI
DISTRIBUSI FREKUENSI 1
UKURAN GEJALA PUSAT 29
UKURAN DISPERSI 59
ANGKA INDEKS 94
ANALISIS DERET BERKALA 110
PELUANG 142
DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS 163
DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH
DISTRIBUSI NORMAL 190
APPENDIX 205
[Type the document title]
1
DISTRIBUSI FREKUENSI
Ringkasan Teori
Seringkali data yang telah tertumpuk tersedia dalam jumlah yang sangat besar
sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri – cirinya. Oleh karena itu,
data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data
tersebut kedalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui
cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis sesuai dengan kepentingan kita.
Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam
kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam tiap kelas
yang disebut frekuensi kelas, Suatu pengelompokan atau penyusunan data menjadi
tabulasi data yang memakai kelas – kelas data dan dikaitkan dengan masing – masing
frekuensinya disebut distribusi frekuensi atau Sebaran frekuensi
Bagian Distribusi Frekuensi
1. Kelas ( Class )
Pengelompokan individu atau item dari data ( Class ) yang diobservasi
kedalam batas – batas nilai tertentu
2. Batas kelas ( Class limit )
Bilangan – bilangan yang membatasi kelas – kelas ( class limit ) tertentu, yang
memiliki 2 macam pengertian:
a. Batas Kelas / ujung kelas ( State Class Limit ) yaitu bilangan -
bilangan yang tertera didalam suatu distribusi frekeuensi yang
membatasi kelas – kelas tertentu yang terdiri dari
[Type the document title]
2
i. Batas bawah kelas / Ujung bawah kelas (Lower State Class
limit/ LCL)
Adalah bilangan yang paling kecil yang membatasi kelas
tertentu
ii. Batas atas kelas/Ujung atas kelas (Upper State Class limit/
UCL)
Bilangan yang paling besar yang membatasi kelas tertentu
b. Batas kelas sebenarnya / Tepi kelas ( Class Boundaries ) yaitu
bilangan – bilangan yang membatasi antara tiap dua kelas yang
berurutan, yang terdiri dari :
i. Batas bawah kelas sebenarnya/tepi bawah kelas ( Lower Class
Boundaries / LCB )
Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas
sebelumnya dengan ujung bawah kelas yang bersangkutan
ii. Batas atas kelas sebenarnya/tepi atas kelas ( Upper Class
Boundaries / UCB )
Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas yang
bersangkutan dengan ujung bawah kelas yang berikutnya
3. Panjang kelas /Lebar kelas / Ukuran Kelas ( Class interval / Class Size )
Ci
Bilangan – bilangan yang menunjukkan panjang / lebar / ukuran dari tiap –
tiap kelas yang diperoleh dengan cara mengurangkan batas bawah kelas
berikutnya dengan batas kelas yang bersangkutan
4. Frekuensi ( Frequency ) f
Angka yang menunjukkan banyaknya data individual yang terdapat dalam
satu kelas
[Type the document title]
3
5. Nilai tengah/ titik tengah/tanda kelas ( Midpoint / Class Mark ) X
Bilangan – bilangan yang dapat mewakili kelas – kelas tertentu yang
diperoleh dengan jalan atau cara merata – ratakan batas kelas yang
bersangkutan.
Nilai tengah =
Contoh soal :
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester
Mata kuliah Statistika I
Batas kelas Tepi Kelas Nilai Tengah Frekuensi
23 – 27 22,5 – 27,5 25 2
28 – 32 27,5 – 32,5 30 4
33 – 37 32,5 – 37,5 35 15
38 – 42 37,5 – 42,5 40 21
43 – 47 42,5 – 47,5 45 31
48 – 52 47,5 – 52,5 50 35
53 – 57 52,5 – 57,5 55 46
58 – 62 57,5 – 62,5 60 11
63 – 67 62,5 – 67,5 65 12
68 – 72 67,5 – 72,5 70 3
Jumlah 180
[Type the document title]
4
LCL UCL LCB UCB Nilai tengah Σ f f
Tahapan untuk menyusun suatu distribusi frekuensi
Secara umum langkah – langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi
frekuensi adalah sebagai berikut :
1. Menyusun urutan (array) dari data yang di observasi
Array : data yang disusun berdasarkan urut - urutan
2. Tentukan nilai maksimum ( terbesar ) dan nilai minimum ( terkecil ) dari data
mentah, kemudian hitunglah sebaran / rentang/jangkauan/ Range dengan
menggunakan :
Rumus : R = Xmaksimum - Xminimum
3. Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges
k= 1 + 3,322 Log N atau k = 1 + 3,322 log n
N = banyaknya anggota populasi; n = banyaknya anggota sampel
4. Menentukan panjang/lebar/ukuran dari tiap – tiap kelas dengan rumus
Ci =
=
5. Menentukan batas – batas kelas serta memasukkan setiap individu/item dari
data yang diobservasi kedalam kelas yang bersangkutan
6. Menyusun suatu distribusi frekuensi secara jelas dan lengkap berdasarkan
tabel pada tahap 5
Ci merupakan blangan bulat yang mempunyai nilai kelipatan 3 atau 5 yang
diperoleh dengan cara membulatkan ke atas dari hasil perhitungan
[Type the document title]
5
Macam – macam Grafik Distribusi Frekuensi
1. Histogram ( Hystogram )
Suatu bentuk grafik distribusi frekuensi yang merupakan batang – batang
yang disusun secara berderet tanpa jarak yang menggambarkan tinggi
frekuensi tiap kelas
2. Poligon ( Polygon )
Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah
yang menghubungkan titik tengah histogram tiap kelasnya
3. Ozaiv ( Ogive )
Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah
yang menghubungkan tinggi frekuensi kumulatif dari tiap – tiap kelasnya.
[Type the document title]
6
4. Kurva Frekuensi ( Frequency Curve / Smoothing Curve)
Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis lengkung yang
juga merupakan penghalusan dari bentuk poligon sedemikian rupa sehingga
luas daerah dibawahnya sama dengan luas daerah dibawah poligon.
Macam – macam Distribusi Frekuensi
a) Distribusi Frekuensi Distrikyaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap dua
kelas yang berurutan terdapat celah 1 unit / satuan
b) Distribusi Frekuensi Kontinu yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap
kelas yang berurutannya terdapat celah sebesar 0 atau bilangan yang
mendekati 0
c) Distribusi Frekuensi tertutup yaitu distribusi frekuensi yang seluruh batas
kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu
d) Distribusi Frekuensi terbuka yaitu distribusi frekuensi yang tidak seluruh
batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu, terdiri atas
a. DF terbuka atas
Adalah DF yang batas bawah kelas terakhirnya tidak dinyatakan
dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “
b. DF terbuka bawah
Adalah DF yang batas atas kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan
bilangan melainkan dengan keterangan “ lebih dari “
c. DF terbuka atas bawah
[Type the document title]
7
Adalah DF yang batas bawah kelas pertama dan batas atas kelas
terakhirnya masing – masing tidak dinyatakan dengan bilangan
melainkan dengan keterangan “ kurang dari “ dan “ atau lebih “
e) Distribusi Frekuensi Relatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya
dinyatakan dengan bilangan – bilangan tertentu yang berbentuk ratio atau
persentase yang jumlah seluruh frekuensinya selalu sama dengan 1 atau 100
%
firelatif =
dalam bentuk ratio
firelatif =
x 100 dalam bentuk persentase
f) Distribusi Frekuensi Kumulatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya
ditambahkan atau dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap kelasnya
dari DF asalnya. DF kumulatif terdiri dari :
a. DF Kumulatif positif / DF kumulatif kurang dari/DF kumulatif less
than
DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan 0
kemudian ditambahkan secara bertahap dengan frekuensi tiap – tiap
kelas dari DF asalnya.
b. DF Kumulatif negatif / DF kumulatif lebih dari/DF kumulatif more
than
DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan jumlah
seluruh frekuensi dari DF asalnya kemudian dikurangkan secara
bertahap dengan frekuensi tiap-tiap kelas dari DF asalnya.
Rumus - Rumus Yang Biasa Dipakai Dalam Distribusi Frekuensi
UCBi = LCB(i+1) Cii = UCB(i+1) – LCBi
UCB =
Cii =X (i+1) – Xi Untuk DF Yang memiliki Ci sama
Xi =
UCLi = LCLi –( Ci-1 ) Untuk DF Diskrit
Cii = LCL(i+1) – LCL UCLi = LCLi –( Ci- ) Untuk DF Kontinu
fi kepadatan =
[Type the document title]
8
Contoh Soal :
Berikut ini diberikan data tinggi badan mahasiswi Fakultas Ekonomi dan Bisnis ,
Universitas Harapan Ayah dan Ibu
a) Susunlah data tersebut ( Array ) ?
b) Buatlah ditribusi frekuensinya ?
c) Berapa jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan maksimal 140 cm dan
yang lebih dari 170 cm ?
d) Buatlah distribusi frekuansi kumulatifnya ?
e) Gambarkan Ogive nya ?
Jawab :
a) Array
[Type the document title]
9
b) Distribusi Frekuensi
R = Xmaks – X min
= 180 – 121 = 59
k=1+3,322 log n
= 1 +3,322 log 40 = 6,3220 , diambil 6
Ci = R/k 59/6 = 9,8333, diambil 10
Distribusi Frekuensi Data
Tinggi Badan Mahasiswa
Universitas Harapan Ayah Dan Ibu
Tinggi Badan Jumlah Mahasiswa
121 – 130 2
131 – 140 3
141 – 150 11
151 – 160 10
161 – 170 9
171 – 180 5
Jumlah 40
Sumber : Contoh Soal Distibusi Frekuensi Modul Pratikum Statistika 1, 2012
[Type the document title]
10
c) Jadi, Jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi maksimal dari 140 dan yang
lebih dari 170 adalah 2+3+5 = 10 orang
d) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai
berikut :
Tinggi badan Jumlah
Mahasiswa
Frekuensi Kumulatif
Nilai Fk kurang dari Nilai Fk lebih dari
< 121 0 > 121 40
121 – 130 2 < 131 2 > 131 38
131 – 140 3 < 141 5 > 141 35
141 – 150 11 < 151 16 > 151 24
151 – 160 10 < 161 26 > 161 13
161 – 170 9 < 171 35 > 171 5
171 – 180 5 < 181 40 > 181 0
Jumlah 40
e) Gambar Ogive nya adalah :
[Type the document title]
11
SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI
1. Berikut ini disediakan distribusi relatif umur dari 65 orang mahasiswa di
universitas “ X “
Umur Frekuensi relatif
16 – 20 12,31
21 – 25 15,38
26 – 30 24,62
31 – 35 21,54
[Type the document title]
12
36 – 40 15,38
41 – 45 7,69
46 – 50 3,08
a) Susunlah ke dalam distribusi frekuensi biasa ( distribusi frekuensi asalnya ),
dan gambarkan histogram dan poligonya ?
b) Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari , serta
gambarkan ogifnya ?
Jawab :
( Pokok – Pokok Materi Statistika 1 – M. Iqbal hasan, hal 61, no 3)
a) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan
rumus
frel =
x 100 atau f i=
jadi : f1=
= 8 f2 =
= 10
f3 =
= 16 f4 =
= 14
f5 =
= 10 f6 =
= 5
f7 =
= 2
Tabel 1. Umur mahasiswa universitas “X”
Umur X Banyaknya
[Type the document title]
13
Mahasiswa
16 – 20 18 8
21 – 25 23 10
26 – 30 28 16
31 – 35 33 14
36 – 40 38 10
41 – 45 43 5
46 – 50 48 2
Jumlah 66
Gambar 1a .
b) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai
berikut :
Umur Banyaknya
Mahasiswa
Frekuensi Kumulatif
Nilai fk Nilai fk
< 16 0 > 16 65
16 – 20 8 < 21 8 > 21 57
21 – 25 10 < 26 18 > 26 47
26 – 30 16 < 31 34 > 31 31
[Type the document title]
14
31 – 35 14 < 36 48 > 36 17
36 – 40 10 < 41 58 > 41 7
41 – 45 5 < 46 63 > 46 2
46 – 50 2 < 51 65 >51 0
Gambar 1b.Ogif
Positif dan
Negatif Untuk
Umur Mahasiswa
„ X „
2. Here is afrequency distribution of 75 measurements of the diameter pipe
construction of abuilding.
Midpoint Amount of Pipes
14,5 11
24,5 10
34,5 7
44,5 24
54,5 14
[Type the document title]
15
64,5 9
a) Arrange the origin`s frequency distribution?
b) Draw Histogramsandpolygons curve?
c) What percentage of the measurement pipe at least 40 cm?. And how
many pipes measuring more than 50 cm?
Jawab :
( Modul Statistika 1 , 2010 no 4)
Mid point = Xn
Ci = Xn+1 - Xn
= 24,5 – 14,5
= 10
X1 = 14,5
Tepi Atas = 2Xn – Tb
Tepi Bawah = Tb + Ci
2Xn – Tb = Tb + Ci
2(14,5) – Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas 1
29 – Tb = Tb + 10
2Tb = 29 – 10
Tb = 9,5
Ta = 2(14,5) – 9,5
= 19,5
X2 = 24,5
Tepi Atas = 2Xn – Tb
Tepi Bawah = Tb + Ci
2Xn – Tb = Tb + Ci
2(24,5) – Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas 2
49 – Tb = Tb + 10
[Type the document title]
16
2Tb = 49 – 10
Tb = 19,5
Ta = 2(24,5) – 19,5
= 29,5
X3 = 34,5
Tepi Atas = 2Xn – Tb
Tepi Bawah = Tb + Ci
2Xn – Tb = Tb + Ci
2(34,5) – Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas 3
59 – Tb = Tb + 10
2Tb = 59 – 10
Tb = 29,5
Ta = 2(24,5) – 29,5
= 39,5
X4 = 44,5
Tepi Atas = 2Xn – Tb
Tepi Bawah = Tb + Ci
2Xn – Tb = Tb + Ci
2(44,5) – Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas 4
89 – Tb = Tb + 10
2Tb = 89 – 10
Tb = 39,5
Ta = 2(44,5) – 39,5
= 49,5
X5 = 54,5
Tepi Atas = 2Xn – Tb
[Type the document title]
17
Tepi Bawah = Tb + Ci
2Xn – Tb = Tb + Ci
2(54,5) – Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas 5
109 – Tb = Tb + 10
2Tb = 109 – 10
Tb = 49,5
Ta = 2(54,5) – 49,5
= 59,5
X6 = 64,5
Tepi Atas = 2Xn – Tb
Tepi Bawah = Tb + Ci
2Xn – Tb = Tb + Ci
2(64,5) – Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas6
129 – Tb = Tb + 10
2Tb = 129 – 10
Tb = 59,5
Ta = 2(64,5) – 59,5
= 69,5
Distribusi Frekuensi pengukuran Pipa
Pengukuran Banyak Pipa / f
10 – 19 11
20 – 29 10
30 – 39 7
[Type the document title]
18
40 – 49 24
50 – 59 14
60 – 69 9
Total 75
Sumber : Soal No.2 Modul Pratikum Statistika 1, 2012
b)
d) Jadi. % jumlah pengukuran yang dilakukan minimal/ paling sedikit 40
cm adalah
x 100 = 62,67 %
Dan , jumlah pengukuran lebih dari 50 Cm adalah =14 + 9 = 23
Pengukuran
3. The following are50 students‟ grades instatistics IIat the University
ofPadjadjaranSemesterII1997.
[Type the document title]
19
a) How manypeoplewho scoredbetween44-52and80-82?
b) What percentageof peoplewho scoredbetween53-61and89-97?
c) How many peoplewhoscore lessthan44 andlessthan 71?
Jawab:
( Pokok – Pokok Materi Statistika 1 – M. Iqbal Hasan, hal 55)
a) Tabel: Nilai Statistika II 50 mahasiswa Unpad semester II tahun1997
Nilai Frekuensi / f
35 – 43 3
44 – 52 2
53 – 61 3
62 – 70 7
71 – 79 13
80 – 88 13
89 – 97 9
Jumlah 50
Jadi, Banyaknya mahasiswa yang
mendapat nilai antara 44 – 52 adalah 2
orang dan antara 80 – 88 adalah 13 orang.
Sumber : Soal no 7 Modul Pratikum Statistika 1
FEB Unpad 2012
.
[Type the document title]
20
b) Tabel: Distribusi frekuensi relatif nilai statistika II mahasiswa Unpad
tahun 1997
Nilai Frekuensi / f Frekuensi
Relatif ( % )
35 – 43 3 6
44 – 52 2 4
53 – 61 3 6
62 – 70 7 14
71 – 79 13 26
80 – 88 13 26
89 – 97 9 18
Jumlah 50 100
c) Tabel : Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari
Nilai Frekuensi / f Frekuensi Relatif (fkumulatif)
Nilai Fk kurang dari
<35 0
35 – 43 3 <44 3
44 – 52 2 <53 5
53 – 61 3 <62 8
Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara
53 – 61 adalah 6 % dan yang mendapat
nilai antara 89 – 97 adalah 18 %
[Type the document title]
21
62 – 70 7 <71 15
71 – 79 13 <80 28
80 – 88 13 <89 41
89 – 97 9 <98 50
Sumber : Soal no 3 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012
Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang, dan
yang kurang dari 71 adalah 15 orang.
4. Distribusi frekuensi kumulatif dari Gaji Bulanan 60 Orang Pekerja Pabrik X
adalah sebagai berikut :
Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan
Kurang dari 1 0
Kurang dari 2 4
Kurang dari 3 8
Kurang dari 4 15
Kurang dari 5 30
Kurang dari 6 45
Kurang dari 7 56
Kurang dari 8 60
[Type the document title]
22
a) Susunlah Distribusi Asalnya ?
b) Buatlah distribusi Frekuensi relatifnya ?
Jawab :
( Modul Statistika 1, 2010 no 8 )
a) Panjang / lebar kelas = Ci = 2 – 1 = 1
Distribusi Frekuensi Gaji Bulanan Pabrik X
Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan
1 – 1,9 4
2 – 2,9 4
3 – 3,9 7
4 – 4,9 15
5 – 5,9 15
6 – 6,9 11
7 – 7,9 4
Jumlah 60
Sumber : Soal no.4 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad
f5 =
= 25 %
f6 =
= 18,33%
f7 =
= 6,67 %
f1=
= 6,67 %
f2 =
= 6,67 %
f3 =
= 11,67 %
f4 =
= 25 %
[Type the document title]
23
Distribusi Frekuensi relatif Gaji Karyawan Pabrik X
Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan
Relatif ( f relatif )
1 – 1,9 6,67 %
2 – 2,9 6,67 %
3 – 3,9 11,67 %
4 – 4,9 25 %
5 – 5,9 25 %
6 – 6,9 18,33%
7 – 7,9 6,67 %
Jumlah 100 %
5. The databelowisthedata onbirthsper1000 populationin various district ofthe
island of Javaforthe period1955 to 1959
[Type the document title]
24
a) Arrange a goodfrequency distributionforthis data?
b) Make alist ofcumulativefrequencydistributionsof lessthanandmorethan?
Jawab :
(Prof.Dr. Sudjana. Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5. Hal 88 no 10)
a) Carilah banyaknya kelasnya terlebih dahulu
k = 1 + 3,322 log n
= 1 + 3,322 log 75
= 7,1878, ambil k = 8
Rentang kelas = Rmaks – Rmin = 44,3 – 13 = 31,3
Panjang / lebar kelas =
= 3,9125, ambil 4
Distribusi frekuensi
kelahiran per 1000 penduduk di berbagai daerah di jawa 1955 – 1959
Kelahiran
per 1000
penduduk
f
(banyaknya
kelompok )
13,0 – 16,9 2
17,0 – 20,9 3
21,0 – 24,9 0
[Type the document title]
25
25,0 – 28,9 7
29,0 – 32,9 20
33,0 – 36,9 22
37,0 – 40,9 12
41,0 – 44,9 9
Jumlah 75
Sumber : Soal no 5 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012
b) Distribusi frekuensi kurang dari dan lebih dari
Kelahiran per 1000 penduduk di jawa sellama 1955 - 1959
Frekuensi kumulatif
Nilai fk Kurang dari Nilai fk Lebih dari
Kurang dari 13,0 0 Lebih dari 13,0 75
Kurang dari 17,0 2 Lebih dari 17,0 73
Kurang dari 21,0 5 Lebih dari 21,0 70
Kurang dari 25,0 5 Lebih dari 25,0 70
Kurang dari 29,0 12 Lebih dari 29,0 63
Kurang dari 33,0 32 Lebih dari 33,0 43
[Type the document title]
26
Kurang dari 37,0 54 Lebih dari 37,0 21
Kurang dari 41,0 66 Lebih dari 41,0 9
Kurang dari 45,0 75 Lebih dari 45,0 0
Sumber : Soal no 5 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012
6. Here isthe resultof thequizFinancialReportconductedby the
FinancialMarketCommunityin 2010against35 people.
a)Arrangearrayresultsfromthelowestquiz?
b) Arrange a good FrekeunsiDistributionofthe data andcreatepolygons curve?
c) How many peoplewhodo notpass ifthepassat least72?
Jawab :
a) susunan hasil kuis dari terendah sampai yang tertinggi.
b) Range = Xmaks – Xmin = 95 – 32 = 63
k = 1 + 3,322 log n
[Type the document title]
27
= 1 + 3,322 log 35 = 6,12939, ambil 6
Ci =
=
= 10,5, ambil 11
Distribusi frekuensi
Kuis Financial Report
Nilai Banyak mahasiswa
32 – 42 2
43 – 52 6
53 – 62 2
63 – 72 8
73 – 82 9
83 – 92 5
93 – 102 3
Jumlah 35
Sumber : Soal no 6 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012
Gambar : Poligon Hasil kuis
finacial Report
[Type the document title]
28
c) Jumlah orang yang tidak lulus jika nilai lulus minimal 72 = 2+6+2+8 = 18
Orang
7. Berikut ini adalah data mengenai akumulasi nilai dari pertandingan Atletik
dalam Kejuaraan Atletik Dunia :
Dari data yang diberikan diatas saudara diminta untuk:
a) Buatlah Array ( susunan data) dari data tersebut ?
b) Buatlah Distribusi Frekuensinya ?
c) Berapa banyak peserta yang akan lolos kejuaraan jika akumulasi nilai
minimal adalah 38 ?
d) Berapa banyak peserta kejuaraan yang memiliki akumulasi nilai
kurang dari 49 dan lebih dari 54 ?
e) Berapa batas kelas ke 4 ? batas atas kelas ke 5 ? tepi bawah kelas ke 1
? tepi atas kelas ke 6 ?
f) Buatlah distribusi frekuensi kumulatifnya ?
g) Gambarkanlah kurva Ogive nya ?
Penyelesaian :
a) Array ( susunan data) dari data tersebut adalah
[Type the document title]
29
b) R = X maks – X min = 55 – 30 = 25
k= 1+3,322 log n = 1+ 3,322 log 45 = 6,491971970 ~ 6
Ci = R/k = 25/6 = 4,166666 ~ 4
Distrubusi Frekuensi Akumulasi Nilai Pada Kejuaraan Atletik
Sumber : Soal no 7 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012
Akumulasi Nilai
( interval kelas )
Jumlah peserta (f)
30 – 33 5
34 – 37 6
38 – 41 9
42 – 45 7
46 – 49 8
50 – 53 9
54 – 57 1
Jumlah 45
[Type the document title]
30
c) Jumlah peserta yang akan lolos seleksi jika akumulasi nilai
minimalnya 38 adalah sebanyak = 9 + 7 +8+9+1 = 34 orang
d) banyak peserta kejuaraan yang memiliki akumulasi nilai kurang dari
46 dan lebih dari 54 adalah 27 ( 7 +9+6+5 ) + 1 = 28 orang
e) Berapa batas bawah kelas ke 4 = 42
batas atas kelas ke 5 = 49
tepi bawah kelas ke 1 = 30 – 0,5 = 29,5
tepi atas kelas ke 6 = 53 + 0,5 = 53,5
f) Distribusi Frekuensi Kumulatif Akumulasi Nilai Pada Kejuaraan
Atletik
Frekuensi kumulatif
Nilai fk Kurang dari Nilai fk Lebih dari
Kurang dari 30 0 Lebih dari 30 45
Kurang dari 34 5 Lebih dari 34 40
Kurang dari 38 11 Lebih dari 38 34
Kurang dari 42 20 Lebih dari 42 25
Kurang dari 46 27 Lebih dari 46 18
Kurang dari 50 35 Lebih dari 50 10
Kurang dari 54 44 Lebih dari 54 1
Kurang dari 58 45 Lebih dari 58 0
[Type the document title]
31
g) Kurva Ogive
8. Berikanlah Komentar dan penjelesan saudara mengenai cara – cara
pembentukan kelas – kelas dibawah ini ?
a. b.
Penyelesaian :
a. Salah, seharusnya kelas – kelas intervalnya adalah
b. Salah, sebab ada bagian dari kelas interval tersebut yang berimpit ( 2,5
– 7,5 ) berisikan sebagian data dari ( 5,0 – 10,5 ) kelas ini juga
berisikan sebagian dari data ( 7,5 – 12,5 )
2,5 – 7,5
5,0 – 10,5
7,5 – 12,5
Dan
seterusnya
2,5 – 5,0
5,0 – 7,5
7,5 – 10,0
2,5 – 4,9
5,0 – 7,4
7,5 – 9,9
[Type the document title]
32
UKURAN GEJALA PUSAT ( MEASURE OF CENTRAL
TENDENCY )
Pengertian
Ukuran Gejala Pusat / Ukuran Nilai Sentral / Rata – rata ( Average ) menunjukkan
dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat
(mengelompok).
Pengukuran pusat data penting untuk dilakukan karena suatu kelompok data bila
diurutkan maka kecenderungan bahwa data tersebut akan memusat pada bagian
tengah. UGP berfungsi sebagai alat untuk membandingkan dua atau lebih kelompok
bilangan atau kelompok keterangan yang berbeda.
Dengan demikian. Ukuran Gejala Pusat adalah bilangan atau keterangan yang dapat
mewakili deretan bilangan atau deretan keterangan tertentu atau suatu nilai yang
mewakili suatu kelompok data yang pada umunya mempunyai kecenderungan
terletak di tengah – tengah dan memusat dalam suatu kelompok data yang disusun
menurut besar kecilnya nilai data
Macam – Macam Penggolongan UGP Meliputi :
1. Mayor mean, yang terdiri dari ;
a. Rata – Rata hitung ( Arithmatic Mean )
b. Median
c. Modus
2. Minor Mean, Terdiri dari :
a. Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean )
[Type the document title]
33
b. Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean )
1. Mayor Mean
1.a. Rata – Rata Hitung ( Arithmatic Mean )
Adalah bilangan yang diperoleh dari hasil bagi antara jumlah bilangan –
bilangan tersebut dengan banyaknya bilangan yang bersangkutan. Pengertian rata –
rata hitung dapat dikembangkan menjadi rata – rata tertimbang ( weighted mean )
dan rata – rata dari rata – rata
Sifat – sifat dari Rata – Rata hitung :
Mudah dihitung
Rata – rata hitung sangat baik digunakan untuk menghitung rata – rata dari
data yang mempunyai sebaran yang relatif kecil ( tidak mempunyai nilai
ekstrim ) atau dari data yang berbentuk deret hitung.
Rata – rata hitung dapat digunakan untuk menghitung rata – rata dari data
kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka.
Untuk menghitungnya, digunakan rumus – rumus sebagai berikut :
Data Tidak Berkelompok
( Ungroupped data )
Data berkelompok
( Groupped Data )
Populasi Sampel Populasi Sampel
Rata – Rata Hitung ( atau )
Cara Panjang : Cara Panjang :
[Type the document title]
34
Cara Pendek
Cara Pendek :
Rata – Rata Tertimbang ( Wm )
Wm =
Rata – Rata dari Rata – Rata ( M )
M =
Keterangan :
X = Nilai data yang diobservasi N : Banyaknya data pada pupulasi
W = Weighted ( timbangan ) n : Banyaknya data pada sampel/ Jml
Frekuensi
Xi = Nilai tengah / mid point xo : Nilai tengah pada kelas u = 0
Ui = Skala arbiter pada kelas ke-i Ci : Interval kelas
1.b. Median ( Me )
Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau
deretan keterangan menajdi dua bagian yang sama sehingga letaknya berada di
[Type the document title]
35
tengah data ketika data tersebut sudah diurutkan dari kecil sampai terbesar atau
sebaliknya.
Sifat – Sifat Median diantaranya :
Median sangat baik digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang
mengandung nilai atau pengertian ekstrim
Median dapat pula digunakan untuk menghitung rata – rata dari data kualitatif
ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi baik yang terbuka
maupun yang tertutup.
Rumus – Rumus Median
Data Tidak Berkelompok
( Ungroupped data )
Data berkelompok
( Groupped Data )
Populasi Sampel Populasi Sampel
Letak Me :
½ ( N + 1)
Nilai Me :
Data ke ½ ( N + 1)
Letak Me :
½ ( n + 1)
Nilai Me :
Data ke ½ ( n + 1)
Letak Me :
½ N
Nilai Me :
Tbme +
Letak Me :
½ n
Nilai Me :
Tbme +
Keterangan :
[Type the document title]
36
Tbme : Tebi kelas bawah kelas median
F : Frekuensi kumulatif sebelum Kelas media
fme : Frekuensi sebenanrnya kelas median
Ci : Interval Kelas
Dari pengertian Median diatas dapat dikembangkan menjadi :
i. Kuartil ( Qi )
Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau
deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama
ii. Desil ( Di )
Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau
deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama
iii. Persentil ( Pi )
Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau
deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama
Rumus – Rumus Kuartil , Desil dan Persentil
Data Tidak Berkelompok
( Ungroupped data )
Data berkelompok
( Groupped Data )
Populasi Sampel Populasi Sampel
[Type the document title]
37
Kuartil ( Q i ) ; i = 1,2,3
Letak Qi :
( N + 1)
Nilai Qi :
Data ke
( N + 1)
Letak Qi :
( n + 1)
Nilai Qi :
Data ke
( n + 1)
Letak Qi :
N
Nilai Qi :
TbQi +
Letak Qi :
n
Nilai Qi :
TbQi +
Desil ( D i ) ; i = 1,2,3,...,9
Letak Di :
( N + 1)
Nilai Di :
Data ke
( N + 1)
Letak Di :
( n + 1)
Nilai Di :
Data ke
( n + 1)
Letak Di :
N
Nilai Di :
TbDi +
Letak Di :
n
Nilai Di :
TbDi +
[Type the document title]
38
Persentil ( P i ) ; i = 1,2,3,...,99
Letak Pi :
( N + 1)
Nilai Pi :
Data ke
( N + 1)
Letak Pi :
( n + 1)
Nilai Pi :
Data ke
( n + 1)
Letak Pi :
N
Nilai Pi :
Tbpi +
LetakPi :
n
Nilai Pi :
Tbpi +
1.c. Modus ( Mo )
Adalah bilangan atau keterangan yang paling sering muncul atau terjadi
dalam suatu deretan bilangan atau deretan keterangan tertentu.
Sifat – sifat dari Modus :
Baik digunakan untuk menghitung rata – rata yang menunjukkan keadaan
yang sedang Trendi atau kejadian yang sering muncul.
Dapat digunakan untuk menghitung nilai rata – rata dari data kualitatif
ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka maupun
tertutup.
Rumus – Rumus Modus :
[Type the document title]
39
Data Tidak Berkelompok
( Ungroupped data )
Data berkelompok
( Groupped Data )
Populasi Sampel Populasi Sampel
Mo = nilai data yang sering muncul
Mo = Tbmo +
Cimo
Keterangan :
Tbmo = Tepi bawah kelas modus
d1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus
d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah kelas modus
Hubungan Rata – Rata Hitung, Median, dan Modus
Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat, akan memberikan gambaran bentuk kurva
data yang bersangkutan. Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat ialah sebagai
berikut :
Jika rata – rata hitung, medain dan modus memiliki nilai yang sama maka
kurvanya berbentuk simetris. Pada kurva simetris sempurna, nilai rata – rata
[Type the document title]
40
hitung, median dan modus terletak pada suatu titik di tengah – tengah absis
dan ketiganya berimpitan.
Jika nilai rata – rata hitung lebih besar daripada nilai median dan lebih besar
dari pada nilai modus maka kurvanya menceng ke kanan
Jika nilai rata – rata hitung lebih kecil daripada nilai median dan lebih kecil
dari pada nilai modus maka kurvanya menceng ke kiri
= Me = Mo Mo Me Me Mo
Jika distribusinya tidak terlalu menceng, hubungan rata – rata hitung, median dan
modus secara matematis dituliskan sebagai berikut :
Rata – Rata Hitung – Modus = 3 ( Rata – Rata Hitung – Median )
- Mo = 3 (
2. Minor Mean
2.a. Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean / GM)
Adalah bilangan yang diperoleh dari akar pangkat banyaknya bilangan –
bilangan tersebut dari hasil kali bilangan – bilangan yang bersangkutan
Sifat – sifat Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean / GM) :
[Type the document title]
41
Rata – rata ukur sangat baik untuk menghitung rata – rata dari data yang
menunjukkan suatu perkembangan atau perubahan yang dinyatakan dalam
bentuk persentase atau rasio
Rata – rata ukur tidak dapat digunakan untuk menghitung rata – rata dari data
kualitatif ataupun dari data yang berbentuk Distribusi frekuensi terbuka.
Data Tidak Berkelompok
( Ungroupped data )
Populasi Sampel
GM =
Atau
Log GM =
GM =
Atau
Log GM =
Data berkelompok
( Groupped Data )
Populasi Sampel
GM = GM =
[Type the document title]
42
Atau
Log GM =
Atau
Log GM =
Dari pengertian rata – rata ukur dapat dikembangkan menjadi :
i. Rata – rata tingkat bunga ( Mt )
Populasi dan sampel : Mt = Mo .
ii. Rata – rata tingkat pertambahan jumlah penduduk ( Pt )
Populasi dan sampel : Pt = Po .
2.b. Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean )
Adalah bialangan yang diperoleh dari hasil bagi antara banyaknya bilangan –
bilangan tersebut dengan jumlah kebalikan bilangan – bilangan yang bersangkutan
Sifat – sifat Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean ) :
Rata – rata harmonis sangat baik untuk menghitung rata – rata dari data per
unit tertentu dengan syarat hasil kali antara banyaknya unit dengan nilai data
tersebut konstan.
Rata-rata harmonis lebih sesuai bila digunakan pada data atau observasi yng
unit pembilanngnya tetap, sedangkan unit penyebutnta berubah-ubah (
bervariasi )
[Type the document title]
43
Rata – rata harmonis tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari
data kualitatif ataupun data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka.
Rumus – Rumus Rata – Rata Harmonis :
Data Tidak Berkelompok
( Ungroupped data )
Data berkelompok
( Groupped Data )
Populasi Sampel Populasi Sampel
HM =
HM =
HM =
HM =
Contoh Soal :
1. Berikut ini Jumlah pengunjung yang datang ke sebuah Mall dalam 6 hari
terakhir di kota Bandung
295, 1002, 941, 768, 768, 1283.
a) Tentukanlah rata – rata pengunjung mall di kota bandung tersebut ?
b) Tentukanlah Median dan Modusnya ?
Penyelesaian :
Diketahui : n = 6
X1 = 295, X2 =1002, X3 = 941, X4 = 768, X5 = 768, X6 = 1283
Ditanya :a). b). Me c). Mo
[Type the document title]
44
Jawab:
=
= 842.833
b). Urutkan data dari yang terkecil hingga data yang terbesar
295, 768, 768, 941,1002, 1283
Median = Data ke ½ ( n + 1) = ½ ( 6 + 1) = 3,5 berarti Me tertelak diantara data
ke 3 dan ke 4 Sehingga mediannya = (768 + 941 ) / 2 = 854,5
Modus = Data yang sering muncul = 768
Jadi rata – rata, Median dan Modus dari pengunjung yang datang selama 6 hari
terakhir ini adalah sebesar 842, 855, dan 768 pengunjung.
2. Berikut ini adalah distribusi frekuensi banyaknya surat yang harus dikirimkan
oleh Fedex ke 50 kota yang berhasil dikumpulkan oleh suatu lembaga di Provinsi „
X „ pada tahun 2009
Distribusi Frekuensi
Banyaknya surat yang harus dikirim Fedex ke 50 kota, tahun 2009
Jumlah surat yang harus dikirim Banyaknya kota
20 – 29 5
30 – 39 8
[Type the document title]
45
40 – 49 12
50 – 59 6
60 – 69 7
70 – 79 10
80 – 89 2
Jumlah 50
a) Hitunglah rata – rata dengan cara pendek dan cara panjang ?
b) Tentukan Median dan Modus ?
c) Tentukan kuartil 2 ?
d) Tentukan Desil 9 dan Persentil 65 ?
Penyelesaian :
Diketahui : n = 50, Ci = Lcl2 – Lcl1 = 30 – 20 = 10
Kelas Frekuensi Xi fi.xi ui fi.ui
20 – 29 5 24,5 122,5 -3 -15
30 – 39 8 34,5 276 -2 -16
40 – 49 12 44,5 534 -1 -12
50 – 59 6 54,5 327 0 0
60 – 69 7 64,5 451,5 1 7
70 – 79 10 74,5 745 2 20
[Type the document title]
46
80 – 89 2 74,5 169 3 6
Jumlah 50 2625 -10
Ditanya : a) c) Q3
b) Me..? , Mo..? d) D9 dan P65
Jawab :
a) Cara Panjang :
=
= 52,5
Cara Pendek :
= 54,5 +
.10 = 52,5
Jadi, baik dengan cara panjang maupun cara pendek menunjukkan bahwa rata – rata
surat yang harus dikirm Fedex ke 50 kota di Provinsi „ X „ pada tahun 2009 adalah 53
buah surat.
b) Letak Me = ½ n = ½ 50 = 25 data ke 25 terletak pada kelas 40 – 49
Tbme =
=
= 39,5
Me = Tbme +
= 39,5 +
.10 = 49,5
Letak Mo = pada kelas 40 – 49 ( karena memiliki frekuensi terbanyak )
d1 = 12 – 8 = 4
d2 = 12 – 6 = 6
[Type the document title]
47
Mo = Tbmo +
Cimo = 39,5 +
. 10 = 43,5
Jadi, berdasarakan hitungan diatas, terlihat bahwa surat yang paling banyak diterima
kota di Provinsi „ X „ pada tahun 2009 adalah berkisar 44 buah surat dengan median
atau ½ dari kota – kota tersebut menerima surat kurang dari 50 dan sebagian kota lagi
menerima lebih dari 50 buah surat
c) Letak Q3 = ¾ n = ¾ 50 = 37,5 data ke 37,5 terletak di kelas 60 – 69
TbQ3=
=
= 59,5
Q3 = TbQ3 +
= 59,5 +
= 68,7857
Jadi, ¾ atau 75 % dari kota – kota di provinsi X pada tahun 2009 menerima surat
berkisar sebesar 69 buah surat. Sedangkan sisanya menerima lebih dari 65 surat
d) Letak D9 = i/10 n = 9/10. 50 = 45 data ke 45 terletak dikelas 70 – 79
Tbd9 =
=
= 69,5
TbD9 +
= 69,5 +
= 76,5
Jadi, 9/10 kota – kota di Provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar kecil
dari 77 buah surat ( desil 9 = 77 buah surat ),sedangkan sisanya menerima surat lebih
dari 77 buah surat
Letak P65 = i/100.n = 65/100 . 50 = 32,5 data le 32,5 terletak di kelas 60 – 69
Tbp65 =
=
= 59,5
[Type the document title]
48
TbP65+
= 59,5 +
= 61,6429
Jadi, 65/100 dari kota –kota di Provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar
kecil dari 62 buah surat, sedangkan sisanya menerima surat lebih dari 62 buah surat
[Type the document title]
49
SOAL UKURAN GEJALA PUSAT
1. Setelah dilakukannya penelitian terhadap 2 depertemen yang berbeda pada
suatu perusahaan independen terkemuka, didapat bahwa rata – rata gaji yang
diterima pada 2 depertemen tersebut adalah $ 2.200 perbulan, pada
depertemen Planning And Controling Qualityrata – rata gaji yang didapat oleh
karyawannya sebesar $ 2.450 perbulannya, sedangkan departemen Financial
Strategymenerima gaji sebesar $ 2.100 per bulan. Dengan data tersebut
saudara diminta untuk menentukan perbandingan banyaknya karyawan pada 2
depertemen tersebut, dan beri kesimpulan yang jelas ?
Penyelesaian :
Diket : = $ 2.450
= $ 2.100
= $ 2.200
Ditanya : perbandingan n1 dan n1
Jawab :
=
$2.200 =
2.200 n2 + 2.200 n1 = 2.100 n2 + 2.450 n1
100 n2 = 250 n1
[Type the document title]
50
n2 = 2,5 n1
Jadi, perbandingan banyaknya jumlah karyawan departemen Financial S
trategy dengan karyawan departemen Planning and Controling Quality adalah
1:1,25
2. Beloware giventhe population ofacountryduring theperiod1951 - 1963, (
inmillions )
Years 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
Population 10,16 12,00 13,90 15,91 17,93 20,07 22,71 25,97 29,00
Calculatewhat percentage ofthe average increase ofthe country's
populationevery year?
Solution :
(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed 5, hal. 149 no 45)
Use formulate
Pt = Po ( 1+
)
t
Given : Po = 10,16 Pt = 39,95 dan t = 12
Asked : x ?
Solution : Pt = Po ( 1+
)
t
39,95 = 10,16 ( 1 +
)
12
Years 1960 1961 1962 1963
Population 32,53 36,07 37,89 39,95
[Type the document title]
51
Log 39,95 = log 10,16 + 12 log ( 1 +
)
Log 39,95 – log 10,16 = 12 log ( 1 +
)
0,594623075 = 12 log ( 1 +
)
0,049551922 = log ( 1 +
)
X = 12
Jadi, rata – rata kenaikan penduduk negara tersebut selama tahun 1951 – 1963
adalah 12 %
3. Following represent data from salary`s CEO in NY City in billion Dollar USA
( $ )
Salarys Amount of CEO
11 - 20 14
21 - 30 16
31 - 40 25
41 - 50 35
51 - 60 18
61 - 70 12
71 - 80 30
Calculate : a) Mean, Median and Mode of Salarys of CEO in NY City ?
b) Determine quartil 1, quartil 2, and quartil 3 ?
[Type the document title]
52
c) Determine desil 7 and what is means?
Solution:
Given : n = 150 Ci =Lcl2 – Lcl1 = 20 – 10 = 10
Class Frequency (fi) Xi Xi fi
11 - 20 14 15,5 217
21 - 30 16 25,5 408
31 - 40 25 35,5 887,5
41 - 50 35 45,5 1592,5
51 - 60 18 55,5 999
61 - 70 12 65,5 786
71 - 80 30 75,5 2265
Jumlah 150 7155
Asked : a) Mean. Mode, Median
b) Q1,Q2 dan Q3
c) D7 and what is means ?
Jawab : a) Mean = =
=
= 47,7
Situation of Median = Me= ½n = 75
[Type the document title]
53
= ½ ( 150 + 1) = 75,5
Me = Lme +
Ci
= 40,5 +
10 = 46,21428571
So, mean of salary`s CEO in NY City is $ 47.700.000 with median of that is $
46.214.285
b) situation of Q1 = ¼ ( n) = ¼ ( 150) = 37,5
Qi = Lq1 +
Ci 30,5 +
= 33,5
situation of Q2 = 2/4 ( n) = 2/4 ( 150) = 75
Qi = Lq1 +
Ci 40,5 +
= 46,214285
situation of Q3 =3/4 ( n) = ¾ ( 150) = 112,5
Qi = Lq1 +
Ci 60,5 +
= 64,25
So, Calculate result for Q1, Q2 and Q3 Salary of CEO in NY City are $
33.500.00 , $46.214.285 and $ 64.250.000
c) Situation of D7 = i/10 x n = 7/10 x 150 = 105
[Type the document title]
54
D7 = 50,5 +
.5 = 54,66666667
So, highest salarys from 70% lowest salarys of CEO in NY City are
$54.666.666,67
4. Berikut ini disajikan berat badan dari mahasiswa fakultas ekonomi dan bisnis
universitas padjadjaran pada tahun 2010
Berat badan ( Kg ) Banyaknya Mahasiswa
60 – 62 10
63 – 65 25
66 – 68 32
69 – 71 15
72 – 74 18
a) Tentukanlah rata – rata hitungnya ? dan berapa Modus nya ?
b) Dengan menggunakan hubungan rata – rata hitung, median dan
modus tentukanlah berapa median nya ?
Penyelesaian : a)
Berat badan
( Kg )
Frekuensi
( f )
Titik tengah ( X ) f.X
60 – 62 10 61 610
63 – 65 25 64 1600
66 – 68 32 67 2144
[Type the document title]
55
69 – 71 15 70 1050
72 – 74 18 73 1314
Jumlah 100 6718
=
=
= 67,18
Jadi rata –rata dari berat badan mahasiswa FEB Unpad pada tahun 2010
adalah 67,18 Kg
Mo = Tb +
Ci
Kelas modus adalah kelas ke – 3 sehingga
Tb = 65,5 d1 = 32 – 25 = 7, d2 = 32 – 15 = 17, dan Ci = 3
Mo = 65,5 +
. 3 = 66,375
Jadi, modus dari berat badan mahasiswa FEB Unpad pada tahun 2010
sebesar 66,375 Kg
a) Hubungan rata – rata hitung, median dan modus
Rata – rata hitung – Modus = 3 ( Rata – rata hitung - Median )
67,18 – 66,375 = 3 ( 67,18 – Me )
0,81 = 201,54 – 3.Me
200,73 = 3.Me
66,91 = Me
[Type the document title]
56
Jadi, dengan menggunakan hubungan rata – rata hitung, median dan modus ,
didapat median dari berat badan mahasiswa FEB Unpad 2010 adalah 66,91Kg
5. Dalam tahun 1949, perusahaan – perusahaan asuransi kecelakaan mobil di
amerika serikat telah membayar sebanyak 715,673 permintaan yang besarnya
$ 100 atau kurang, rata – ratanya $ 33,91, juga mereka telah membayar
sebanyak 157,879 permintaan yang besarnya $ 101 sampai dengan $ 1000
dengan rata – rata $ 216,89 dan sejumlah 1707 permintaan yang besarnya
melebihi $ 1000 dengan rata – rata $ 1635,09. Tentukanlah permintaan rata –
rata dari keseluruhan ?
Penyelesaian :
(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5, hal. 145 no 21)
Sebaiknya disusun dahulu dalam daftar sebagai berikut :
Permintaan Banyaknya (ni) Rata – rata (xi) ni.xi
Kurang dari $ 100 715,673 33,91 24.268.471,43
$ 101 - $ 1000 157,879 21,89 34.242.376,31
Lebih adri $ 1000 1,707 1635,09 2.791.098,63
Jumlah 875.256 61.301.946,36
Permintaan rata – rata =
= $ 70,04
Jadi, rata rata permintaan dari keseluruhan Asuransi adalah $ 70,04
[Type the document title]
57
6. Seseorang menanamkan modal dengan bunga 7 % dalam tahun pertama.
Untungnya disatukan dengan modal asal yang kemudian ditanamkan lagi
dengan bunga 9 % pada tahun kedua. Dengan jalan yang sama, pada tahun
yang ketiga uang itu ditanamkan dengan bunga 10 %, pada tahun keempat 12
% dan pada tahun kelima 15 %. Berapa bunga rata – rata yang didapat selama
periode 5 tahun itu ?
Penyelesaian :
(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5, hal. 147 no 36)
=
=
% = 10,6 %
Jadi bunga rata – rata yang didapat selama periode 5 tahun dalam penanaman
modal tersebut adalah 10,6 %
7. The followingdataare givenheight20Padjadjaran Universitystudent
148.121,142,143,148,125,132,143,149,134,
145,150,134,145,150,154,154,152,151,150
Make afrequency distributionandthen calculate:
a) The medianandthe modewithgroupeddataformula?
b) Percentile 45 and Deciles3 withthegroupeddata formula?
Penyelesaian :
R = Rmaks – Rmin = 154 – 121 = 33
k= 1+3,322 log n = 1+3,322 log 20 = 5,322 ~ 6
Ci =
=
= 6,666 ~ 7
[Type the document title]
58
Tinggi badan ( Kelas Interval ) Jumlah Mahasiswa ( f )
121 – 127 2
128 – 133 1
134 – 140 2
141 – 147 5
148 – 154 10
Jumlah 20
a) Median
Letak median = ½ n = ½ 20 = 10 data ke 10 terletak pada kelas 141 – 147
Tbme =
=
= 140,5
Me = Tbme +
= 140,5 +
.7 = 147,5
Modus
Letak Mo = pada kelas 148 – 154 ( karena memiliki frekuensi terbanyak )
d1 = 10 – 5 = 5
d2 = 10 – 0 = 0
Mo = Tbmo +
Cimo = 147,5 +
. 7 = 154,5
Jadi, 20 data tinggi badan mahasiswa FEB Unpad memiliki median sebesar
147,5 dan modusnya sebesar 154,5
b) Letak D3 = i/10 n = 3/10. 20 = 6 data ke 6 terletak dikelas 141 – 147
[Type the document title]
59
Tbd9 =
=
= 140,5
TbD9 +
= 140,5 +
= 141,9
Jadi, 3/10 dari 20 data tinggi badan mahasiswa FEB Unpad adalah berkisar
kurang dar1 141,9 Cm, sedangkan sisanya memiliki tinggi badan lebih dari
141,9 cm
Letak P45 = i/100.n = 45/100 . 20 = 9 data le 32,5 terletak di kelas 141 -
147
Tbp65 =
=
= 140,5
TbP45+
= 140,5 +
= 146,1
Jadi, 45/100 dari 20 data tinggi badan mahasiswa FEB unpad berkisar kecil
dari 146,1 Cm, sedangkan sisanya lebih dari 146,1Cm
8. Hamdi`s Corporation adalah sebuah perusahaan sukses multinasional yang
mempunyai banyak cabang perusahaan di dunia. Hamdi Ahmad Selaku CEO
Hamdi`s Corporation suatu hari ingin melakukan investigasi terhadap
perusahaannya di 6 negara , dengan menggunakan pesawat jet pribadi, berikut
ini adalah waktu tempuh dan kecepatan perjalanan yang dilakukan untuk
menginvestigasi perusahaan.
Perjalanan Waktu Tempuh ( Xt ) Kecepatan ( Wt )
[Type the document title]
60
Jakarta – Hongkong 5 Jam 8000 Km/ jam
Hongkong – Paris 8 Jam 7500 Km / jam
Paris – Amsterdam 2 Jam 8210 Km / jam
Amsterdam – Mesir 4 Jam 7710 Km / jam
Mesir – Rusia 9 Jam 8810 Km/ jam
Dari data diatas, berapakah rata – rata kecepatan pesawat jet yang digunakan
oleh Hamdi Ahmad dalam melakukan perjalanan tersebut ?
Penyelesaian :
=
=
=
= 8091,07142
Jadi, rata – rata kecepatan pesawat jet yang digunakan oleh Hamdi Ahmad
dalam melakukan perjalanan tersebut adalah 8091,07142 KM/Jam
9. Ardina bermaksud berpergian dari Padang –Padang Panjang – Bukittinggi
dengan menempuh jarak 90 Km, ketika Ardina pergi ke Padang Panjang
mobil Limousin yang digunakanya menempuh rata – rata kecepatan 52
km/jam ,Ketika dari padang panjang ke Bukittinggi ardina menempuh hanya
dengan kecepatan 40 Km. Namun ketika Ardina kembali ke Padang pada sore
hari, Limousinya menempuh rata – rata kecepatan 60 km/jam. Coba saudara
hitung berapa kecepatan rata – rata yang digunakan ardina untuk pulang dan
pergi ?
[Type the document title]
61
Penyelesaian:
Dik : n = 3 X1 = 52 X2 = 40 X3 = 70
Dit : HM ?
Jawab :
HM =
=
= 51,2676 km/jam
Jadi rata – rata Limousin yang digunakan ardina untuk menempuh Padang –
Padang Panjang – Bukittinggi Pulang Pergi adalah 51,26 km/jam
10. Dibawah ini disajikan data mengenai upah mingguan karyawan di perusahaan
“ A “ pada tahun 2007 ( dalam ribuan rupiah )
Pertanyaan :
a) Berapa Besar Upah yang
diterima oleh
sebagian besar karyawan tersebut ?
b) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang
bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah minimalnya ?
Upah Banyaknya Karyawan
120 – 129 5
130 – 139 7
140 – 149 10
150 – 159 14
160 – 169 10
170 – 179 8
180 – 189 6
[Type the document title]
62
c) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang
bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah maksimalnya ?
d) Berapa gaji rata – rata yang diterima oleh karyawan ?
e) Gambarkan kurva histogramnya dari distribusi diatas ?
Penyelesaian :
a) Besar Upah yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut
Modus terletak di kelas ke 4 yang berarti tepi bawah kelasnya adalah 149,5
d1 = 14 – 10 = 4
d2 = 14 – 10 = 4
Ci = 10
Mo = Tbmo +
Cimo = 149,5 +
.10 = 154,5
Jadi besar upah yang diterima sebagian besar karyawan adalah Rp 154.500
b) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang
bekerja lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah
Bisa digunakan P80 atau D8 disini kita gunakan P80
LetakP80 :
60 = 48
Nilai P80 : Tbpi +
169,6+
= 179,5
Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang
bekerja lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah Rp 179.500
c) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang
bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah maksimalnya ?
[Type the document title]
63
Bisa digunakan P20atau D2disini kita gunakan P20
LetakP80 :
60 = 12
Nilai P80 : Tbpi +
129,5+
= 139,5
Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang
bekerja lebih dari 2 tahun, upah maksimalnyanya adalah Rp 139.500
d) Rata – rata gaji yang diterima karyawan adalah
=
=
= 154,8333333
Jadi rata – rata gaji karyawan adalah Rp. 154.833
e) Gambarkan kurva histogramnya dari distribusi diatas ?
Upah
(Kelas )
Banyaknya
Karyawan (fi)
Xi Xi.fi
120 – 129 5 124 620
130 – 139 7 134 938
140 – 149 10 144 1440
150 – 159 14 154 2156
160 – 169 10 164 1640
170 – 179 8 174 1392
180 – 189 6 184 1104
Jumlah 60 1078 9290
[Type the document title]
64
[Type the document title]
65
UKURAN DISPERSI
Ukuran Dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran
yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai
pusatnya. (pokok2 materi statistika 1 Ir. M Iqbal Hasan MM)
Kegunaan Ukuran Dispersi
Sebagai pelengkap dari ukuran gejala pusat dalam membandingkan dua atau
lebih kelompok bilangan. Pada ukuran gejala pusat, nilai rata-rata seperti
mean atau median hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak
memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut.
Untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai.
(Statistika Teori dan Aplikasi, J. Supranto)
Macam-macam Ukuran Dispersi
a. Ukuran Dispersi Absolut
Ukuran dispersi absolut adalah ukuran dispersi yang hanya dapat digunakan
untuk melihat penyimpangan-penyimpangan nilai yang terdapat pada suatu
kumpulan data, bukan untuk beberapa kumpulan data.
Ukuran dispersi absolut terdiri dari:
1. Rentang / Sebaran/ Jangkauan/ Range (R):
adalah selisih data terbesar (maksimum) dengan data terkecil (minimum).
Pada umumnya, semakin kecil rentang untuk sekumpulan data, makin
merata tersebarnya data. Bila rentang makin besar maka data tersebut
semakin tidak merata.
Rumus:
Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)
Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:
R= -
[Type the document title]
66
Data Berkelompok (Grouped Data)
Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:
R= -
Dimana:
merupakan nilai tengah kelas tertinggi
merupakan nilai tengah kelas terendah
2. Sebaran/ Rentang Antar Quartil/ Inter Quartile Range (IQR)
Adalah suatu bilangan yang diperoleh dari selisih antara kuartil 3 dan
kuartil 1.
Rumus:
Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:
IQR = -
Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data
berkelompok
3. Simpangan Kuartil/ Kuartil Deviasi/ Quartile Deviation (QD)
Adalah suatu bilangan yang merupakan setengah bagian dari sebaran antar
kuartil.
Rumus:
Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:
QD =
atau QD =
Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data
berkelompok
4. Simpangan Rata-rata/ Average Deviation (AD)
Adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak penyimpangan nilai suatu
variabel terhadap rata-rata hitungnya.
Rumus:
[Type the document title]
67
Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)
Populasi: AD =
Sampel: AD = x
Data Berkelompok (Grouped Data)
Populasi: AD =
Sampel: AD = x
5. Simpangan Baku/ Standar Deviasi/ Standard Deviation (σ atau s)
Adalah suatu bilangan yang merupakan rata-rata penyimpangan nilai suatu
variabel terhadap rata-rata hitungnya.
Rumus:
Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)
Populasi:
Metode biasa (cara panjang) Metode angka kasar (cara pendek)
σ =
σ =
Sampel besar (n>30):
Metode biasa (cara panjang) Metode angka kasar (cara pendek)
s = x
s =
Sampel kecil (n≤30):
Metode biasa (cara panjang) Metode angka kasar (cara pendek)
s = x
s =
[Type the document title]
68
Data Berkelompok (Grouped Data)
Populasi:
Metode biasa (cara panjang)
σ =
Cara pendek:
Metode angka kasar Metode Coding
σ =
σ =
Sampel besar (n>30)
Metode biasa (cara panjang)
s = x
Cara pendek:
Metode angka kasar Metode Coding
s =
s =
Sampel kecil (n≤30):
Metode biasa (cara panjang)
s = x
Cara pendek:
Metode angka kasar Metode Coding
s =
s =
[Type the document title]
69
keterangan:
c : panjang kelas
u =
=
d = X - M
X = nilai tengah
M = rata-rata hitung sementara
6. Variasi/ Variance (V)
Adalah suatu bilangan yang merupakan bentuk kuadrat dari simpangan
bakunya.
Rumus:
Populasi: V=
Sampel: V=
Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data
berkelompok
b. Ukuran Dispersi Relatif
Adalah ukuran dispersi yang dapat digunakan untuk membandingkan
dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data. Dispersi Relatif
dirumuskan:
Dispersi relatif =
Ukuran dispersi relatif terdiri dari:
1. Koefisien variasi / Coefficient of Variation (CV)
Adalah suatu bilangan yang biasanya dinyatakan dalam persen yang
merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan baku terhadap
rata-rata hitungnya. Semakin kecil nilai koefisien variasinya maka data
semakin homogen.
Populasi: CV =
x 100%
[Type the document title]
70
Sampel: CV =
x x 100%
Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data
berkelompok
2. Koefisien Variasi Kuartil/ Coefficient of Quartile Variation (CVQ)
Adalah suatu bilangan yang biasanya dinyatakan dalam persen yang
merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan kuartil
terhadap mediannya atau antara selisih kuartil 3 dan kuartil 1 terhadap
jumlah kuartil 3 dan kuartil 1.
Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:
CVQ =
x 100% atau CVQ =
x 100%
Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data
berkelompok
3. Angka Baku/ Standard Score (Z)
Adalah suatu bilangan yang merupakan hasil bagi atau perbandingan
antara selisih nilai tertentu suatu variabel dan rata-rata hitung terhadap
simpangan bakunya. (Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas, Dr.
Boediono, Dr, Ir Wayan Koster)
Populasi: Z =
Sampel: Z = x
Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data
berkelompok
UKURAN KEMENCENGAN (Skewness) Sk =
Ukuran kemencengan adalah suatu ukuran yang menunjukan tingkat
ketidaksimetrisan atau kejauhan simetris dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi
yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama
besarnya, sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan bentuk
[Type the document title]
71
kurvanya akan menceng. Jika kurva distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke
kanan maka distribusi tersebut disebut menceng ke kanan atau memiliki
kemencengan positif. Sebaliknya jika kurva distribusi memiliki ekor yang lebih
panjang ke kiri maka distribusi tersebut disebut menceng ke kiri atau memiliki
kemencengan negatif. Berikut adalaha gambar kurva distribusi normal, menceng ke
kanan dan menceng ke kiri.
a. Kurva distribusi normal
Mo=Me= x
b. Kurva distribusi menceng ke kanan
Mo Me x
c. Kurva distribusi menceng ke kiri
x Me Mo
[Type the document title]
72
Metode yang digunakan untuk mengukur ukuran kemencengan (Skewness)
1. PEARSON
(nilai selisih rata-rata dibagi simpangan baku)
Rumus:
Populasi: Sk =
atau Sk =
Sampel: Sk = x
atau Sk =
x
2. BOWLEY
(berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi)
Rumus:
Sk =
atau Sk =
3. MOMEN
(didasarkan pada perbandingan momen-momen ke-3 dengan pangkat tiga
simpangan baku)
Rumus:
Data tunggal/ tidak berkelompok
Populasi : Sk = =
Sampel : Sk = =
x
Data Berkelompok
Populasi: Sk = =
atau
Sk = =
.
Sampel: Sk = =
x
atau
[Type the document title]
73
Sk = =
.
Kemencengan kurva menurut Pearson ialah:
1. Sk = 0 kurva memiliki bentuk simetris
2. Sk > 0 kurva menceng ke kanan atau menceng positif
3. Sk < 0 kurva menceng ke kiri atau menceng negatif
Batas-batas nilai ukuran kemencengan beserta artinya:
1. 0,0 ≤ (Sk = < 0,1 bentuk kurva distribusinya bisa dianggap normal
2. 0,1 ≤ (Sk = < 0,3 bentuk kurva distribusinya menceng.
Bila bernilai negatif menceng ke kiri, bila bernilai positif menceng ke kanan
3. (Sk = ≥ 0,3 bentuk kurva distribusinya sangat menceng
Bila bernilai negatif sangat menceng ke kiri, bila bernilai positif sangat
menceng ke kanan
UKURAN KERUNCINGAN (Kurtosis) Kt =
Keruncingan distribusi data atau kurtosis adalah derajat atau ukuran tinggi
rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data.
Berdasarkan keruncingannya kurva distribusi dapat dibedakan atas 3 macam, yaitu:
1. Leptokurtik (puncak relatif tinggi/ runcing)
2. Mesokurtik (puncak tidak tinggi dan tidak mendatar atau bisa disebut normal)
3. Platikurtik ( puncak hampir mendatar/ tumpul)
Leptokurtik
Mesokurtik
Platikurtik
[Type the document title]
74
Batas-batas ukuran keruncingan:
1. > 3 kurva distribusinya runcing (leptokurtik)
2. = 3 kurva distribusinya normal (mesokurtik)
3. < 3 kurva distribusinya tumpul (platikurtik)
Rumus- Rumus yang digunakan:
Data tunggal/ tidak berkelompok
Populasi : =
Sampel : =
x
Data Berkelompok
Populasi: =
atau
=
.
Sampel: =
x
atau
=
.
Contoh Soal:
Berikut ini adalah sampel nilai dari mid test statistika I dari sekelompok mahasiswa di
sebuah Universitas:
30, 35, 42, 50, 58, 66, 74, 82, 90, 98
Tentukanlah:
a. Semua ukuran dispersi absolutnya
b. Semua ukuran dispersi relatifnya, kecuali angka baku
c. Ukuran kemencengan dan ukuran keruncingannya beserta artinya
[Type the document title]
75
Jawaban:
X X - x x
x
x
30 -32,5 1056,25 900 1115664,063
35 -27,5 756,25 1225 571914,0625
42 -20,5 420,25 1764 176610,0625
50 -12,5 156,25 2500 24414,0625
58 -4,5 20,25 3364 410,0625
66 3,5 12,25 4356 150,0625
74 11,5 132,25 5476 17490,0625
82 19,5 380,25 6724 144590,0625
90 27,5 756,25 8100 571914,0625
98 35,5 1260,25 9604 1588230,063
ΣX= 625
X = 62,5
Σ= 4950,5
Σ= 44013
Σ= 4211386,625
a. Ukuran dispersi absolut:
R = -
R = 98-30 = 68
IQR = -
= 84-40,25
= 43,75
QD =
=
= 21,875
AD = x
=
= 19,5
s = x
=
= 23,45326322
V= = = 550,05555556
[Type the document title]
76
b. Ukuran dispersi relatif
CV =
x x 100% =
x 100% = 37,52522115%
CVQ =
x 100% =
x 100% = 35,28225806%
c. Ukuran kemencengan:
Rumus Pearson:
Sk = x
=
= 0,063956984
Ternyata 0,0 <0,063956984< 0,1
0,0 < (Sk = < 0,1 bentuk kurva distribusinya bisa dianggap normal
Gambar:
Ukuran keruncingan:
=
x
=
= 1,391912716
Ternyata 1,391912716 < 3
< 3 maka kurva distribusinya berbentuk tumpul (platikurtik)
Gambar:
[Type the document title]
77
Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab:
1. Buka software Minitab
2. Masukan data pada worksheet 1
3. Ketik “nilai” pada kolom C1 lalu masukan data
4. Klik stat Basic Statistic display descriptive statistics lalu masukan
variabel nilai (C1) ke kotak variabel.
5. Pilih statistics, lalu akan muncul:
[Type the document title]
78
6. Pilih descriptive statistics yang dibutuhkan lalu Klik OK
7. Akan muncul output sebagai berikut:
—— 12/2/2011 10:58:31 AM ———————————————————— Welcome to Minitab, press F1 for help.
Descriptive Statistics: nilai Variabel N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1
nilai 10 0 62.50 7.42 23.45 550.06 37.53 30.00 40.25
Variabel Median Q3 Maximum Range IQR Skewness Kurtosis
nilai 62.00 84.00 98.00 68.00 43.75 0.09 1.30
[Type the document title]
79
SOAL UKURAN DISPERSI
1. Plywood Inc. Reported these returns on stockholder equity (in percent) for the
past 5 years: 4,3 4,9 7,2 6,7 and 11,6
a. Compute the range, average deviation, standard deviation and variance
b. Compute the coefficient of variation and coefficient of quartile variation
Penyelesaian:
X X - x x
4,3 -2,64 6,9696
4,9 -2,04 4,1616
7,2 0,26 0,0676
6,7 -0,24 0,0576
11,6 4,66 21,7156
ΣX= 625
X = 6,94
Σ x = 9,84 Σ = 32,972
a.
R = -
R = 11,6 – 4,3 = 7,3
IQR = -
= 9,4 – 4,6
= 4,8
QD =
=
= 2,4
AD = x
=
= 1,968
[Type the document title]
80
s = x
=
= 2,871062521
V= = = 8,243
b.
CV =
x x 100% =
x100% = 41,36977696%
CVQ =
x 100% =
x 100% = 31,59722222%
Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab:
1. Buka software Minitab
2. Masukan data pada worksheet 1
3. Ketik “returns” pada kolom C1, lalu masukan data
4. Klik stat Basic Statistic display descriptive statistics lalu masukan
variabel returns ke kotak variabel.
[Type the document title]
81
5. Pilih statistics, lalu akan muncul:
6. Pilih descriptive statistics yang dibutuhkan lalu Klik OK
[Type the document title]
82
7. Akan muncul output sebagai berikut:
————— 12/2/2011 11:45:48 AM —————————————————
Welcome to Minitab, press F1 for help.
Descriptive Statistics: returns Variabel N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Median
returns 5 0 6.94 1.28 2.87 8.24 41.37 4.30 4.60 6.70
Variabel Q3 Maximum Range
returns 9.40 11.60 7.30
2. Sampel berat badan 10 mahasiswa dan 10 mahasiswi disuatu perguruan tinggi
adalah sebagai berikut:
Berat badan mahasiswa 40 50 60 55 70 65 60 55 65 80
Berat badan mahasiswi 45 55 50 60 45 40 55 50 65 60
a. Tentukan standar deviasi berat badan kelompok mahasiswa dan mahasiswi
tersebut
b. Tentukanlah koefisien variasinya, manakah yang lebih merata?
Penyelesaian:
Kelompok mahasiswa:
Data terurut:
X 40 50 55 55 60 60 65 65 70 80 Σ= 600
1600 2500 3025 3025 3600 3600 4225 4225 4900 6400 Σ=37100
s =
=
= 11,05541597
Kelompok mahasiswi
Data terurut:
[Type the document title]
83
X 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 ∑=525
1600 2025 2025 2500 2500 3025 3025 3600 3600 4225 ∑=28125
s =
=
= 7,90569415
b. Koefisien variasi berat badan mahasiswa:
CV =
x x 100%
=
x 100%
= 18,42569328%
Koefisien variasi berat badan mahasiswi:
CV =
x x 100%
=
x 100%
= 15,05846505%
Kesimpulan: Koefisien variasi (CV) berat badan mahasiswi lebih kecil dari
koefisien variasi (CV) berat badan mahasiswa. Jadi data berat badan
mahasiswi jauh lebih merata daripada berat badan mahasiswa.
3. Pada ujian akhir semester yang lalu, untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi,
Tenten memperoleh nilai 84, sedangkan untuk mata kuliah Statistika ia
memperoleh nilai 90. Dikelas itu, terdapat 50 mahasiswa, dimana nilai rata-
rata untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi adalah 76 dengan simpangan baku
10. Sedangkan nilai rata-rata untuk mata kuliah Statistika adalah 82 dengan
simpangan baku 16. Pada mata kuliah mana nilai Tenten lebih baik?
Penyelesaian:
[Type the document title]
84
Untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi
Z = x
=
= 0,8
Untuk mata kuliah Statistika
Z = x
=
= 0,5
Kesimpulan: Nilai Z untuk mata kuliah Pengantar Ekonomi lebih besar dari
nilai Z untuk mata kuliah Statistika. Jadi nilai Tenten lebih baik pada ujian
mata kuliah Pengantar Ekonomi.
4. Dari data pengukuran pipa dibawah ini:
Diameter (mm) F
65-67 2
68-70 5
71-73 13
74-76 14
77-79 4
80-82 2
Jumlah 40
a. Hitung standar deviasinya
b. Tentukan ukuran keruncingannya, jelaskan artinya dan gambarkan
Penyelesaian:
Diameter(mm) Xi f u fu f f f
65-67 66 2 -3 9 -27 81 -6 18 -54 162
68-70 69 5 -2 4 -8 16 -10 20 -40 80
71-73 72 13 -1 1 -1 1 -13 13 -13 13
74-76 75 14 0 0 0 0 0 0 0 0
77-79 78 4 1 1 1 1 4 4 4 4
80-82 81 2 2 4 8 16 4 8 16 32
Jumlah 40 -21 63 -87 291
s =
[Type the document title]
85
s =
= 3,419703935
Ukuran keruncingan
=
=
= 3,011326068
Karena ukuran keruncingannya ( hampir sama atau sama dengan 3 maka
bentuk kurvanya adalah mesokurtik atau bisa disebut normal.
gambar:
5. Dua perusahaan, yaitu Perusahaan TIDAK RUGI dan Perusahaan UNTUNG
memiliki karyawan sebanyak 50 orang. Untuk keperluan penelitian mengenai
variasi gaji karyawan, diambil sampel sebanyak 6 orang dari setiap
perusahaan dengan gaji masing-masing (dalam ribuan rupiah) adalah sebagai
berikut:
300, 250, 350, 400, 500, 550 dan 200, 450, 250, 300, 350, 500
a. Tentukanlah ukuran dispersi relatif dari kedua perusahaan tersebut,
kecuali angka bakunya
b. Perusahaan mana yang memiliki variasi gaji lebih merata?
[Type the document title]
86
c. Budi merupakan salah satu karyawan di perusahaan untung. Berapakah
gaji yang ia terima setiap bulannya jika ia memiliki angka baku untuk
gajinya sebesar 0,62?
Penyelesaian:
a. Data yang telah diurutkan:
Perusahaan Tidak Rugi:
X 250 300 350 400 500 550 Σ= 2350
62500 90000 122500 160000 250000 302500 Σ=987500
s =
=
= 115,8303357
Koefisien variasi Perusahaan Tidak Rugi:
CV =
x x 100%
=
x 100%
= 29,57370273%
CVQ =
x 100%
=
x 100%
= 28,125%
Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab:
1. Buka software Minitab
2. Masukan data pada worksheet 1
3. Ketik “gaji” pada kolom C1, lalu masukan data
[Type the document title]
87
4. Klik stat Basic Statistic display descriptive statistics lalu masukan
variabel gaji ke kotak variabel.
5. Pilih statistics, lalu akan muncul:
[Type the document title]
88
6. Pilih descriptive statistics yang dibutuhkan lalu Klik OK
7. Akan muncul output sebagai berikut:
————— 12/2/2011 11:45:48 AM ————————————————— Welcome to Minitab, press F1 for help.
Descriptive Statistics: gaji
Variabel N N* StDev Variance CoefVar Minimum Maximum
gaji 6 0 115.8 13416.7 29.57 250.0 550.0
Data yang telah diurutkan:
Perusahaan Untung
X 200 250 300 350 450 500 Σ= 2050
40000 62500 90000 122500 202500 250000 Σ=767500
s =
=
= 115,8303357
Koefisien variasi Perusahaan Untung:
[Type the document title]
89
CV =
x x 100%
=
x 100%
= 34,00107701%
CVQ =
x 100%
=
x 100%
= 32,1428571%
Dengan langkah yang sama seperti diatas, gunakan software minitab, maka
akan diperoleh output seperti di bawah ini:
————— 12/2/2011 11:45:48 AM —————————————————
Welcome to Minitab, press F1 for help.
Descriptive Statistics: gaji
Variabel N N* StDev Variance CoefVar Minimum Maximum
gaji 6 0 115.8 13416.7 33.90 200.0 500.0
b. Koefisien variasi (CV) perusahaan Tidak rugi adalah sebesar
29,57370273% sedangkan koefisien variasi (CV) perusahaan Untung
adalah sebesar 34,00107701%. CV perusahaan Tidak rugi < CV
perusahaan Untung. Jadi dapat disimpulkan bahwa perusahaan yang
memiliki variasi gaji lebih merata adalah perusahaan Tidak Rugi.
c. Z = x
0,62=
x = 413,4814748
Kesimpulan: Jadi, gaji yang diterima Budi di perusahaan Untung setiap
bulannya adalah sebesar Rp. 413.481
[Type the document title]
90
6. The traffic citations issued last year by month in Beaufort Country, South
Carolina, is reported below:
Month Citations
January 19
February 17
March 22
April 18
May 28
June 34
July 45
August 39
September 38
October 44
November 34
December 10
Total 348
a. Compute the range, average deviation, standard deviation and variance
b. Determine the Inter Quartile Range and Quartile Deviation!
c. Find the coefficient of Skewness, what is your conclusion regarding the
shape of distribution? (use the Bowley method)
[Type the document title]
91
Penyelesaian:
Data :
Month Citations X - x x
January 19 -10 100
February 17 -12 144
March 22 -7 49
April 18 -11 121
May 28 -1 1
June 34 5 25
July 45 16 256
August 39 10 100
September 38 9 81
October 44 15 225
November 34 5 25
December 10 -19 361
Total 348
X = 32
x = 120
Σ x
=1488
a. R = -
R = 45-10 = 35
[Type the document title]
92
AD = x
=
= 10
s = x
=
= 11,63068043
V= = = 135,2727273
b. Letak nilai ke
=
= 3,25
+ 0,25 ( - )
= 18 + 0,25(19-18) = 18,25
Letak =nilai ke
=
= 9,75
+ 0,75 ( - )
= 38 + 0,75(39-38)
= 38,75
IQR = -
= 38,75-18,25
= 20,5
QD =
=
= 10,25
Sk =
=
= - 0,243902439
0,1 < 0,243902439 < 0,3 and Sk < 0
[Type the document title]
93
0,1 <(Sk = < 0,3 and Sk < 0
it means the curve is skewed to the left or negatively skewed
gambar:
Langkah-langkah dengan menggunakan Minitab:
1. Buka software Minitab
2. Masukan data pada worksheet 1
3. Ketik “cititations” pada kolom C1
4. Klik stat Basic Statistic display descriptive statistics lalu masukan
variabel cititations ke kotak variabel.
[Type the document title]
94
5. Pilih statistics, lalu akan muncul:
6. Pilih descriptive statistics sesuai kebutuhan lalu Klik OK
7. Akan muncul output sebagai berikut:
————— 12/2/2011 11:45:48 AM ————————————————— Welcome to Minitab, press F1 for help.
[Type the document title]
95
Descriptive Statistics: citations Variabel N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1
citations 12 0 29.00 3.36 11.63 135.27 40.11 10.00 18.25
Variabel Median Q3 Maximum Range Skewness
citations 31.00 38.75 45.00 35.00 -0.13
7. SC Coast, an internet provider in the Southeast, developed the following
frequency distribution on the age of internet users. Find the deviation standard
and variance with coding method)
age frequency
10-20 3
20-30 20
30-40 18
40-50 12
50-60 7
Penyelesaian:
Age Xi f u fu f
10-20 15 3 -3 9 -9 27
20-30 25 20 -2 4 -40 80
30-40 35 18 -1 1 -18 18
40-50 45 12 0 0 0 0
50-60 55 7 1 1 7 7
total
60 -60 132
s =
s =
= 10,95445115
V= = = 120
[Type the document title]
96
So, the deviation standard is about 10,95445114 and variance is about 120
8. Gaji 5 orang manajer (dalam ribuan rupiah) di perusahaan A masing-masing
adalah 4.500, 4000, 5000, 4750, 4250 sedangkan gaji 5 orang manajer di
perusahaan B adalah 3750, 4200, 4500, 5250, 4750. Manakah yang lebih
bervariasi (heterogen), gaji manajer di perusahaan A atau perusaan B ?
Penyelesaian:
Perusahaan A
x =
= 4500
s =
=
= 395,2847075
CV =
x x 100%
=
x 100%
= 8,784104612%
x =
= 4490
s=
=
= 565,0221235
CV =
x x 100%
=
x 100%
= 12,58401166%
[Type the document title]
97
Kesimpulan: Karena CV perusahaan B lebih besar dari perusahaan A, maka gaji
manajer di perusahaan B lebih bervariasi (heterogen) dibanding dengan gaji
manajer di perusahaan A.
9. Diketahui sebuah data mengenai interval kelas beserta frekuensinya sebagai
berikut:
Interval kelas Frekuensi
31-40 4
41-50 3
51-60 5
61-70 8
71-80 11
81-90 7
91-100 2
Jumlah 40
Dari data yang didapatkan, tentukanlah:
a. Rata-rata dan simpangan bakunya
b. Skewness dengan menggunakan rumus Pearson
Penyelesaian:
Interval kelas Frekuensi Xi fX f
31-40 4 35,5 1260,25 142 5041
[Type the document title]
98
41-50 3 45,5 2070,25 136,5 6210,75
51-60 5 55,5 3080,25 277,5 15401,25
61-70 8 65,5 4290,25 524 34322
71-80 11 75,5 5700,25 830,5 62702,75
81-90 7 85,5 7310,25 598,5 51171,75
91-100 2 95,5 9120,25 191 18240,5
Jumlah 40 Σ= 2700 Σ= 193090
a. x =
=
= 67,5
s =
s =
= 16,46283694
b. Mo = L+
. c
= 70,5 +
. 10
= 74,944444444
Sk = x
=
= -0,452196937
0,452196937 > 0,3
(Sk = > 0,3 and Sk < 0 (nilainya negatif)
[Type the document title]
99
berarti kurva distribusinya sangat menceng ke kiri atau sangat menceng negatif
Gambar:
10. Berikut ini adalah data uang jajan dari mahasiswa Fakultas Ekonomi setiap
bulannya:
Uang jajan (rupiah) Frekuensi (orang)
500.000 - 600.000 8
600.000 – 700.000 6
700.000 – 800.000 20
800.000 – 900.000 12
900.000 – 1000.000 4
Total 50
a. Bila seorang mahasiswa mempunyai uang jajan 750.000 per bulan,
berapakah angka bakunya?
d. Bila seorang mahasiswi mempunyai angka baku 0,12 berapakah
pendapatan yang diperolehnya tiap bulan?
Penyelesaian:
Uang jajan f x fx X - x x
500.000 - 600.000 8 550000 4400000 -196000 38416000000
[Type the document title]
100
600.000 – 700.000 6 650000 3900000 -96000 9216000000
700.000 – 800.000 20 750000 15000000 4000 16000000
800.000 – 900.000 12 850000 10200000 104000 10816000000
900.000 – 1000.000 4 950000 3800000 204000 41616000000
Total 50 37.300.000 100.080.000.000
a. x =
=
= 746.000
s = x
s =
= 44739,24452
Z = x
=
= 0,09
Kesimpulan: Bila seorang mahasiswa mempunyai uang jajan 750.000 per
bulan, maka angka bakunya adalah sebesar 0,09
b. Z = x
0,12 =
5368,709344 = x- 746.000
x = 751.368,7093
Kesimpulan: Bila seorang mahasiswi mempunyai angka baku 0,12 maka
pendapatan yang diperolehnya setiap bulan adalah sebesar Rp. 751.369
[Type the document title]
101
ANGKA INDEKS
Angka Indeks adalah suatu bilangan yang dinyatakan dalam presentase (%) yang
menunjukkan besarnya perbandingan atau perubahan nilai suatu variabel tertentu
pada waktu/periode waktu tertentu dibandingkan dengan nilai variabel tersebut pada
waktu/periode dasarnya.
Waktu tertentu (waktu bejalan) adalah waktu atau periode waktu saat
dilakukan penghitungan angka indeks suatu variabel.
Waktu dasar adalah waktu atau periode waktu yang dijadikan dasar
perhitungan angka indeks suatu variabel. Periode waktu dasar biasanya
dinyatakan dalam angka indeks sebesar 100.
Pada umumnya dalam pengukuran angka indeks terdapat dua kesulitan atau kendala,
yaitu :
Data yang layak diperbandingkan dan data yang sesuai kebutuhan,
Pemilihan tahun dasar, karena tahun dasar sebagai pembanding yang baik
harus mempunyai dua kriteria yaitu saat keadaan stabil dan waktu yang
dijadikan tahhun dasar tidak terlalu lama. Dapat digunakan interval waktu
lima tahun.
I. Sumber Data
Sumber data untuk perhitungan indeks bisa didapatkan dari data-data internal
seperti data penjualan perusahaan, data produksi sebuah pabrik, dan lain-lain.
Selain itu, sumber data untuk perhitungan indeks yang bersifat umum bisa
didapatkan dari pemerintah, seperti Indeks Harga Konsumen yang bisa dilihat
pada data BPS (Biro Pusat Statistika).
[Type the document title]
102
II. Jenis – Jenis Angka Indeks
2.1.Angka Indeks Harga (Po/n)
Angka Indeks Hargaadalah angka indeks pada variabel tertentu yang
diperbandingkannya berupa harga barang/jasa dan dipakai untuk
menunjukkan perubahan harga barang/jasa.
Indeks ini bertujuan mengukur perubahan harga antara dua interval waktu
tertentu, misal antar tahun, antar kuartal, antar bulan, dan sebagainya. Dalam
praktek indeks harga adalah indeks yang paling sering digunakan seperti
indeks harga konsumen, indeks harga saham gabungan (IHSG) dan lainnya.
2.2.Angka Indeks Kuantitas (Qo/n)
Angka Indeks Kuantitasadalah angka indeks yang variabel tertentu
diperbandingkannya berupa jumlah/kuantitas barang.Indeks kuantitas
mengukur perubahan sejumlah kuantitas barang dari masa ke masa.
Sebagai contoh, jika diketahui indeks kuantitas tepung terigu tahun 2006
adalah 115, dengan dasar tahun 2002, maka ada peningkatan jumlah tepung
terigu sebesar 15%.
2.3.Angka Indeks Nilai (Vo/n)
Angka Indeks Nilaiadalah angka indeks yang variabel tertentu
diperbandingkannya berupa nilai barang atau jasa dan dipakai untuk melihat
perubahan nilai dari suatu barang/jasa. Dimana besaran nilai didapat dari
perhitungan QPV
III. Metode Mengukur Angka Indeks Harga
[Type the document title]
103
Metode ini menentukan pada penggunaan variabel harga dari waktu ke waktu
suatu komoditi tertentu. Sebagai dasar penghitungannya adalah harga sebagai
pembanding sekaligus tahun dasar (tahun ke 0) diberi simbol Po dan harga yang
diperbandingkan dan terjadi pada tahun ke-n diberi simbol Pn. Di samping itu
tahun dasar sebagai permulaan dan dasar perbandingan maka indeks selalu
besarnya 100% (angka indeks dinyatakan dalam persentase).
3.1.Metode Tak Tertimbang
Pada metode ini dianggap semua variabel yang akan diukur indeksnya
mempunyai nilai yang sama. Metode ini merupakan metode yang paling
sederhana dan praktis dalam mengukur sebuah indeks (bisa indeks harga,
indeks kuantitas, atau jenis indeks lain), walaupun cara ini mempunyai
kelemahan-kelemahan.
3.2.Metode Tertimbang
Pada metode ini ada bobot yang digunakan untuk membedakan variabel yang
satu dengan yang lain. Seperti adanya penimbangan berupa kuantitas barang
yang terjual untuk berbagai jenis barang yang berlainan harganya. Metode ini
dalam praktek masih terbagi dalam beberapa cara perhitungan indeksnya
seperti metode Laspeyers, Paasche, Fisher, dan sebagainya.
3.3.Metode Relatif
Jika pada metode tertimbang atau tak tertimbang, proses perhitungan dimulai
dengan menjumlahkan seluruh komponen yang ada kemudian dilakukan rata-
rata, maka metode relatif memulai dengan menghitung setiap indeks
komponen, kemudian baru melakukan rata-rata dari semua indeks yang
didapat.
3.4.Metode Rantai
Metode ini menghitung indeks secara berantai, missal dari tahun 1998
dibandingkan dengan tahun 1997, kemudian tahun 1999 dibandingkan dengan
tahun 1998, dan seterusnya.
[Type the document title]
104
AIH Tidak
Tertimbang
AIH Agregatif
Tertimbang
AIH Rata-rata Relatif
Tertimbang
Angka Indeks
Berantai
Harga Relatif
100/
PP
Po
n
no
AIH Laspeyers
(cenderung berlebih ke
atas-upward bias)
100/
QP
QPI
on
on
L no
Bila timbangannya nilai
barang pada waktu
dasar
QP
QPPP
Poo
oo
o
n
no /
Angka Indeks
Berantai
PP
PP
Pn
n
no
10
1
/.....
Indeks Gabungan
100
PP
o
nIP
100
Q
Q
o
nIQ
100
QP
QP
oo
nnIV
AIH Paasche
(cenderung berlebih ke
bawah-downward bias)
100/
QP
QPI
no
nn
P no
Bila timbangannya nilai
barang pada waktu
tertentu
QP
QPPP
Pnn
nn
o
n
no /
AIH Agregatif
Sederhana
100/
PP
Po
n
no
AIH Marshall
Edgeworth
100/
QQP
QQPME
noo
non
no
[Type the document title]
105
AIH Rata-rata
Relatif Sederhana
k
PP
Po
n
no
100
/
(rata-rata hitung)
k
PP
LogP o
n
no
100log
/
(rata-rata ukur)
AIH Walsh
100/
QQP
QQPW
noo
non
no
AIH Drobisch
2
//
/
III
PLD
nono
no
AIH Irving Fisher
III PLF nonono ///
IV. Pergeseran waktu atau periode waktu dasar
Bila jarak antara waktu atau periode waktu dasar dengan waktu atau priode waktu
tertentu sudah cukup jauh, maka hasil perhitungan angka indeksnya tidak atau
kurang representatif. Oleh karena itu, periode atau waktu dasar tersebut harus
disesuaikan dengan rumus sebagai berikut:
[Type the document title]
106
100II
ILD
L
B
Ket:
IB : angka indeks baru setelah dilakukan pergeseran waktu atau periode dasar
IL : angka indeks lama sebelum dilakukan pergeseran waktu atau periode dasar
ILD: angka indeks lama yang waktu atau periode waktunya dijadikan waktu atau
periode dasar baru
V. Beberapa Penerapan Angka Indeks
5.1.Pendeflasian
Adalah suatu metode untuk menghitung daya beli suatu mata uang tertentu
berdasarkan nilai nominalnya serta menghitung pendapatan nyata berdasarkan
pendapatan uangnya.
DB =
x 100 PN =
x 100
Keterangan
DB : Daya beli suatu mata uang
tertentu
PN : Pendapatan nyata
NN : Nilai nominal suatu mata uang PU : Pendapatan uang
[Type the document title]
107
asing tertentu
IHK : Indeks Harga Konsumen
5.2.Perubahan Pendapatan
PPUo/n =
x 100
5.3.Perubahan Pendapatan Nyata
PPUo/n =
x 100
5.4.Inflasi
Inflasi =
x 100
[Type the document title]
108
SOAL ANGKA INDEKS
1. Below is data of sales for PT. Sinar Trija (In million Rupiah/ton) :
Product 2010 2011
Price Quantity Price Quantity
A 51 5 60 8
B 32 7 30 9
C 73 8 78 10
D 81 9 98 6
E 93 6 95 6
Find Price Index, Quantity Index, and Value Index!
Jawaban :
Product 2010 2011
Po Qo Po.Qo Pn Qn Pn.Qn
A 51 5 255 60 8 480
B 32 7 224 30 9 270
C 73 8 584 78 10 780
D 81 9 729 98 6 588
E 93 6 558 95 6 570
Total 330 35 2.350 361 39 2.688
a. 39,109100330
361100
PP
o
nIP
b. 43,11110035
39100
Q
Q
o
nIQ
c. 38,114100350.2
688.2100
QP
QP
oo
nnIV
[Type the document title]
109
2. PT. Tambang Ganda merupakan salah satu perusahaan pengekspor timah ke beberapa
negara di Asia dan Eropa. Berdasarkan daftar harga ekspor timah per 100 kg perusahaan
tersebut berikut ini :
Tahun 2005 2006 2007 2008
Harga (Rp) 1.987 2.178 2.234 2.315
Tentukan angka indeks harga tiap tahun dengan menggunakan tahun dasar 2006? dan
berikan interpretasi dari angka indeks tersebut?
Jawaban :
Angka Indeks Harga
100/
PP
Po
n
no
Angka Indeks Harga tahun 2005 =
= 91,23
Angka Indeks Harga tahun 2006 =
= 100
Angka Indeks Harga tahun 2007 =
= 102,57
Angka Indeks Harga tahun 2008 =
= 106,29
Selama tahun 2005 – 2008 diketahui bahwa harga ekspor timah per 100 kg umumnya
mengalami kenaikan, tampak dari angka indeks yang makin lama makin besar. Diketahui
pula bahwa dalam 3 tahun dari tahun 2006 – 2008 harga ekspor timah per 100 kg telah
naik sebesar 6,29%.
3. Berdasarkan data penjualanFinding Motor mengenai penjualan mobil berbagai tipe pada
perusahan tersebut di bawah ini. Tentukan angka indeks agregatif sederhana tahun 2011
dan angka indeks rata-rata relatif sederhana tahun 2011 beserta interpretasinya:
Tipe Mobil Tahun 2010 Tahun 2011
Revolution 3570 3647
Super AT 1398 1508
Excalibur 2456 2431
[Type the document title]
110
Jawaban :
- Angka Indeks Agregatif Sederhana : Perkembangan harga penjualan mobil
Tipe Mobil Harga
Tahun 2010
Harga
Tahun 2011
Angka Indeks Agregatif
Sederhana 2011
Revolution 3570 3647
Po/n = (7586/7424)x 100
= 102,18
Super AT 1398 1508
Excalibur 2456 2431
Jumlah 7424 7586
Angka indeks agregatif sederhana pada tahun 2011 sebesar 102,18% atau mengalami
kenaikan sebesar 2,18% dibandingkan dengan harga pada tahun 2010.
- Angka Indeks Rata-rata Relatif Sederhana : Perkembangan harga penjualan mobil
Tipe Mobil Harga
Tahun 2010
Harga
Tahun 2011
Angka Indeks Rata-rata
Relatif Sederhana 2011
Revolution 3570 3647 (3647/3570)x100 = 102,16
Super AT 1398 1508 (1508/1398)x100 = 107,87
Excalibur 2456 2431 (2431/2456)x100 = 98,98
Jumlah 309,01
Indeks rata-rata relatif sederhana 2011 Po/n = 309,01 / 3
= 103,0033
Dengan menggunakan angka indeks rata-rata relatif sederhana, pada tahun 2011 terjadi
kenaikan harga jual ketiga tipe mobil tersebut sebesar 3,0033% dibandingkan tahun 2010.
4. Below is data export :
Export Price ($/kg) Quantity (kg)
2008 2010 2008 2010
Coffee 0,3 0,34 354 467
Tea 0,21 0,27 451 478
Pepper 0,13 0,11 568 512
Corn 0,29 0,31 752 752
Chili 0,18 0,22 535 607
Find :
a. Price Indexes of Laspeyers
[Type the document title]
111
b. Price Indexes of Paasche
c. Price Indexes of Drobisch
d. Price Indexes of Fisher
Jawaban :
Export Price ($/kg) Quantity (kg) PoQo PnQo PoQn PnQn
2008 2010 2008 2010
Coffee 0,3 0,34 354 467 106,2 120,36 140,1 158,78
Tea 0,21 0,27 451 478 94,71 121,77 100,38 129,06
Pepper 0,13 0,11 568 512 73,84 62,48 66,56 56,32
Corn 0,29 0,31 752 752 218,08 233,12 218,08 233,12
Chili 0,18 0,22 535 607 96,3 117,7 109,26 133,54
Total 589,13 655,43 634,38 710,82
a. Price Indexes of Laspeyers
25,11210013,589
43,655100
QP
QPI
oo
on
L
b. Price Indexes of Paasche
05,11210038,634
82,710100
QP
QPI
no
nn
P
c. Price Indexes of Drobisch
15,1122
05,11225,112
2
II
IPL
D
d. Price Indexes of Fisher
14,11205,11225,112 III PLF
5. Berikut ini adalah tabel barang-barang makanan hasil produksi pada tahun 2009 dan 2011
di Indonesia.
Jenis makanan Harga (ribuan) Kuantitas (kwintal)
2009 2011 2009 2011
Beras 8 10 15 18
[Type the document title]
112
Garam 6 8 7 9
Gula 5 6 8 11
Lada 4 6 4 5
Tentukan angka indeks relatif rata-rata tertimbang dengan timbangannya nilai barang
pada waktu dasar dan juga menggunakan timbangan waktu tertentu ? (tahun dasar 2009)
Jawaban :
I
n
d
e
k
s
r
e
latif rata-rata tertimbang periode waktu dasar
52,127100
218
9986,277100
QP
QPPP
IRHoo
oo
o
n
W
Indeks relatif rata-rata tertimbang periode waktu tertentu
93,127100
348
1976,445100
QP
QPPP
IRHnn
nn
o
n
W
6. Berapakah angka indeks berantai dengan mengambil mulai dari tahun 2005 berdasarkan
daftar harga Laptop Acer selama tahun 2005-2011 beserta interpretasinya?
Tahun 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Harga
(Juta rupiah) 3,4 3,8 4,5 5,5 5,4 5,6 6,2
Jawaban :
Jenis
makanan
Harga (ribuan) Kuantitas
(kwintal) PoQo Pn/Po Pn/Po(PoQo) PnQn Pn/Po(PnQn)
Po Pn Qo Qn
Beras 8 10 15 18 120 1,25 150 180 225
Garam 6 8 7 9 42 1,333
3
55,9986 72 95,9976
Gula 5 6 8 11 40 1,2 48 66 79,2
Lada 4 6 4 5 16 1,5 24 30 45
Total 218 277,9986 348 445,1976
[Type the document title]
113
Angka Indeks berantai
Tahun Harga Indeks berantai Keterangan
2005 3,4
2006 3,8 (3,8/3,4) x 100 = 111,77 Naik 11,77 % dari tahun sebelumnya
2007 4,5 (4,5/3,8) x 100 = 118,42 Naik 18,42 % dari tahun sebelumnya
2008 5,5 (5,5/4,5) x 100 = 122,22 Naik 22,22 % dari tahun sebelumnya
2009 5,3 (5,3/5,5) x 100 = 96,36 Turun 3,64 % dari tahun sebelumnya
2010 5,6 (5,6/5,3) x 100 = 105,66 Naik 5,66 % dari tahun sebelumnya
2011 6,2 (6,2/5,6) x 100 = 110,71 Naik 10,71 % dari tahun sebelumnya
7. Below is Price Index of Tin export for 100 kgs with base year 2003 :
Year 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Index 104 109 121 119 128 131 125
An economic wants to shift the base year to 2005. In other words, he wants to compute
these index numbers with a base period of 2005 rather than 2003. Can you help him out?
Jawaban :
100II
ILD
L
B
Tahun Index New Index
2005 104 100
2006 109 (109/104) x 100 = 104,81
2007 121 (121/104) x 100 = 116,35
2008 119 (119/104) x 100 = 114,42
2009 128 (128/104) x 100 = 123,08
2010 131 (131/104) x 100 = 125,96
2011 125 (125/104) x 100 = 120,19
8. Berikut merupakan tabel pendapatan karyawan PT. Grand Fury dari tahun 2004 sampai
tahun 2011 beserta IHK (Indeks Harga Konsumen) tahun-tahun tersebut :
Tahun Pendapatan (Juta Rupiah) IHK
[Type the document title]
114
2004 18,2 105
2005 21,5 108
2006 24,89 125
2007 29,65 119
2008 31 123
2009 34,5 134
2010 37 125
2011 41,5 132
a. Hitung daya beli mata uang Rp1.200.000,00 pada tahun 2004-2011 berdasarkan
nominalnya pada tahun tersebut ?
b. Berapakah pendapatan sebenarnya pada tahun 2010 ?
c. Hitung laju inflasi dari tahun 2004 – 2011, analisis laju inflasinya ?
Jawaban :
a. Nilai nominal Rp1.200.000
100IHK
DBN N
Tahun DB
2004 (1.200.000/105) x 100 Rp1.142.857,143
2005 (1.200.000/108) x 100 Rp1.111.111,111
2006 (1.200.000/125) x 100 Rp960.000,00
2007 (1.200.000/119) x 100 Rp1.008.403,361
2008 (1.200.000/123) x 100 Rp975.609,7561
2009 (1.200.000/134) x 100 Rp895.522,3881
2010 (1.200.000/125) x 100 Rp960.000,00
2011 (1.200.000/132) x 100 Rp909.090,9091
b. Pendapatan sebenarnya tahun 2010
00,000.600.29100125
000.000.37100 Rp
IHK
PP
U
N
c. Laju inflasi
Tahun IHK Inflasi
[Type the document title]
115
2004 105 100
2005 108 (108/105) x 100 102,86
2006 125 (125/108) x 100 115,74
2007 119 (119/125) x 100 95,2
2008 123 (123/119) x 100 103,36
2009 134 (134/123) x 100 108,94
2010 125 (125/134) x 100 93,28
2011 132 (132/125) x 100 105,6
Berdasarkan hasil perhitungan, dapat disimpulkan dari tahun 2004 sampai 2011 pada
umumnya terjadi fluktuasi laju inflasi yang memiliki kecenderungan naik. Ini terlihat dari
nilai inflasi tahun 2011 meningkat 5,6% dibandingkan tahun 2004.
Note : setiap materi dan jawaban pada modul ini harap
diperhatikan dengan seksama, dimungkinkan terjadinya
kesalahan ketik atau perhitungan
[Type the document title]
116
RALAT JAWABAN SOAL UGP
( soal yang dipakai adalah no 3, 10 dan 2 , untuk no 10 pertanyaan e dihilangkan )
3a) Mean = =
=
= 47,7
Situation of Median = Me= ½n = 7
Me = Lme +
Ci
= 40,5 +
10 = 46,21428571
Mo terletak pada kelas ke 4
Tbmo +
Ci mo
40,5 +
10 = 44,2037037
So, mean of salary`s CEO in NY City is $ 47.700.000 with median of that is $
46.214.285 and mode is $ 44.203.703.
c) Situation of D7 = i/10 x n = 7/10 x 150 = 105
D7 = 50,5 +
.10 = 58,83333333
So, highest salarys from 70% lowest salarys of CEO in NY City are $58.833.333
[Type the document title]
117
10 b) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja
lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah :
Bisa digunakan P80 atau D8 disini kita gunakan P80
LetakP80 :
60 = 48
Nilai P80 : Tbpi +
169,5+
= 172
Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja
lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah Rp 172.000
d) Rata – rata gaji yang diterima karyawan adalah
=
=
=
155,3333333
Jadi rata – rata gaji karyawan perusahaan A pada tahun 2007 adalah Rp. 155.333
Upah
(Kelas )
Banyaknya
Karyawan (fi)
Xi Fi.Xi
120 – 129 5 124,5 622,5
130 – 139 7 134,5 941,5
140 – 149 10 144,5 1445
150 – 159 14 154,5 2163
160 – 169 10 164,5 1645
170 – 179 8 174,5 1396
180 – 189 6 184,5 1107
Jumlah 60 1081,5 9320
[Type the document title]
118
Terima kasih
Soal dan Jawaban Ukuran Dispersi
5. Dua perusahaan, yaitu Perusahaan TIDAK RUGI dan Perusahaan UNTUNG memiliki
karyawan sebanyak 50 orang. Untuk keperluan penelitian mengenai variasi gaji
karyawan, diambil sampel sebanyak 6 orang dari setiap perusahaan dengan gaji
masing-masing (dalam ribuan rupiah) adalah sebagai berikut:
300, 250, 350, 400, 500, 550 dan 200, 450, 250, 300, 350, 500
d. Tentukanlah ukuran dispersi absolut (Range, interquartile range, quartile
deviation) untuk perusahaan TIDAK RUGI, tentukan juga ukuran dispersi relatif
dari kedua perusahaan tersebut, kecuali angka bakunya
e. Perusahaan mana yang memiliki variasi gaji lebih merata?
f. Budi merupakan salah satu karyawan di perusahaan untung. Berapakah gaji yang
ia terima setiap bulannya jika ia memiliki angka baku untuk gajinya sebesar 0,62?
Penyelesaian:
Data gaji karyawan perusahaan TIDAK RUGI yang telah diurutkan:
250, 300, 350, 400, 500, 550
e. Ukuran dispersi absolut perusahaan TIDAK RUGI:
Range = Xmax- Xmin
= 550 – 250
= 300
IQR = -
= 512,5 – 287,5
= 225
QD =
=
= 112,5
Kesimpulan: dari perhitungan diatas diperoleh nilai sebaran (range) dari gaji
karyawan di perusahaan TIDAK RUGI adalah sebesar Rp 300.000. Artinya selisih
gaji tertinggi dan gaji terendah di perusahaan TIDAK RUGI adalah sebesar Rp
300.000. sedangkan nilai dari sebaran antar kuartil (IQR) dan simpangan kuartil (QD)
berturut-turut adalah sebesar Rp 225.000 dan Rp 112.500.
[Type the document title]
119
Ukuran dispersi relatif:
Perusahaan Tidak Rugi:
X 250 300 350 400 500 550 Σ= 2350
62500 90000 122500 160000 250000 302500 Σ=987500
Koefisien variasi Perusahaan Tidak Rugi:
CV =
x x 100
standar deviasi dengan metode cara pendek:
s =
=
= 115,8303357
CV =
x x 100
=
x 100
= 29,57370273%
CVQ =
x 100
=
x 100
= 28,125%
Perusahaan Untung
X 200 250 300 350 450 500 Σ= 2050
40000 62500 90000 122500 202500 250000 Σ=767500
Koefisien variasi Perusahaan Untung:
CV =
x x 100
standar deviasi dengan metode cara pendek:
s =
[Type the document title]
120
=
= 115,8303357
CV =
x x 100
=
x 100
= 33,9015616%
CVQ =
x 100
=
x 100
= 32,1428571%
f. Koefisien variasi (CV) perusahaan Tidak rugi adalah sebesar 29,57370273%
sedangkan koefisien variasi (CV) perusahaan Untung adalah sebesar
33,9015616%. CV perusahaan Tidak rugi < CV perusahaan Untung. Jadi dapat
disimpulkan bahwa perusahaan yang memiliki variasi gaji lebih merata adalah
perusahaan Tidak Rugi.
g. Z = x
0,62 =
x = 413,4814748
Kesimpulan: Jadi, gaji yang diterima Budi di perusahaan Untung setiap bulannya
adalah sebesar Rp. 413.481
9. Diketahui sebuah data mengenai interval kelas beserta frekuensinya sebagai berikut:
Interval kelas Frekuensi
31-40 4
41-50 3
51-60 5
61-70 8
71-80 11
[Type the document title]
121
81-90 7
91-100 2
Jumlah 40
Dari data yang didapatkan, tentukanlah:
c. Rata-rata dan simpangan bakunya (dengan metode cara panjang)
d. Skewness dengan menggunakan rumus Pearson
e. Kurtosis
Penyelesaian:
Interval
kelas
F
Xi fi.Xi x x
x
x
x
31-40 4 35,5 142 -32 1024 4096 1048576 4194304
41-50 3 45,5 136,5 -22 484 1452 234256 702768
51-60 5 55,5 277,5 -12 144 720 20736 103680
61-70 8 65,5 524 -2 4 32 16 128
71-80 11 75,5 830,5 8 64 704 4096 45056
81-90 7 85,5 598,5 18 324 2268 104976 734832
91-100 2 95,5 191 28 784 1568 614656 1229312
Jumlah 40 Σ= 2700 Σ= 2828 Σ=10840 Σ= 2027312 Σ= 7010080
c. x =
=
= 67,5
s = x
=
= 16,4207763
d. Skewness:
[Type the document title]
122
Mo = L+
. c
= 70,5 +
. 10
= 74,78571429
Sk = x
=
= -0,443688785
0,443688785 > 0,3
> 0,3 and Sk < 0 (nilainya negatif)
berarti kurva distribusinya sangat menceng ke kiri atau sangat menceng negatif
gambar:
e. Kurtosis
=
x
=
= 2,410395321
2,410395321 < 3
< 3 artinya kurva distribusinya tumpul (platikurtik)
Gambar:
Ket: warna merah adalah tambahan dan ralat