Transformari Mobius˘ - cs.ubbcluj.rodiana.halita/files/research/DM2014-2.pdfconjugata matricii˘ 1...

Transformari Mobius

Diana-Florina Halita

Facultatea de Matematica si InformaticaMasterat Matematica Didactica

10 Mai 2014

Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 1 / 31

Introducere

Rezumat

Transformari Geometrice

Structuri Algebrice ⇒ Grupul Izometriilor, împreuna cusubgrupurile acestuia

Grupul Transformarilor Mobius + proprietati

Sfera Riemann

Definitie

Sfera Riemann

(z, t) ∈ C× R : |z|2 + t2 = 1}

Definitie

Prin proiectie stereografica se întelege o aplicatie care transformafiecare punct al planului complex în plan de pe sfera Riemann sireciproc.

Proiectia Stereografica

Proiectia stereografica

π(z) = (2z

1 + |z|2,−1 + |z|2

1 + |z|2)

Aceasta functie este bijectiva, iar inversa ei este π−1 : P → C ∪ {∞},

π−1(z, t) =z

1 − t

Definitie

Prin distanta chordala între doua puncte z1, z2 ∈ C se întelege distantaeuclidiana dintre proiectiile stereografice ale celor doua puncte,π(z1), π(z2).

κ(z1, z2) =2|z1 − z2|

1 + z21

1 + z22

Proprietati

Proprietate

Proiectia stereografica este o transformare conforma, adica pastreazaunghiurile dintre doua curbe.

Proprietate

Proiectia stereografica transforma cercurile sau dreptele din planulcomplex în cercuri de pe sfera Riemann. Dreptele din planul complexvor corespunde cercurilor care trec prin polul nord al sferei Riemann.

Transformari Mobius

Definitie

O transformare Mobius este o functie

T : C ∪ {∞} → C ∪ {∞}, T (z) =az + bcz + d

, a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0

Definitie

Multimea tuturor transformarilor Mobius formeaza un grup:

(Mob, ◦)

Transformari Mobius

Observatie

Se pune în evidenta omomorfismul între grupuri:

Φ : GL2(C) → Mob, Φ(

a bc d

=az + bcz + d

Vizualizarea transformarilor Mobius - Puncte fixe

Teorema

O transformare Mobius diferita de transformarea identica are:

un punct fix, daca matricea M corespunzatoare transformarii este

conjugata matricii(

1 10 1

doua puncte fixe, daca matricea M corespunzatoare transformarii

este conjugata matricii Mk

λ 00 λ−1

Observatie

Daca c 6= 0 ambele puncte fixe sunt din C. Daca c = 0 atunci cel putinunul din punctele fixe tinde spre ∞.

Clasificarea Transformarilor Mobius

O transformare Mobius este:

identitate, daca M e conjugata ±

1 00 1

parabolica, daca M e conjugata ±

1 10 1

eliptica, daca M e conjugata(

λ 00 λ−1

, |λ| = 1

hiperbolica, daca M e conjugata(

λ 00 λ−1

, λ ∈ R{±1}

loxodromica, daca M e conjugata(

λ 00 λ−1

, |λ| 6= 1

Clasificarea Transformarilor Mobius

parabolica, daca tr(M) = ±2

eliptica, daca −2 < tr(M) < 2

hiperbolica, daca tr(M) < −2 sau tr(M) > 2

loxodromica, daca tr(M) /∈ R

sau echivalent,

parabolica, daca tr(M)2 = 4

eliptica, daca tr(M)2 < 4

hiperbolica, daca tr(M)2 > 4

loxodromica, daca tr(M)2 /∈ [0,∞)

Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann

Actiunea Transformarilor Mobius asupra sfereiRiemann

transformare eliptica, z → eiθz - aceasta transformare rotestesfera Riemann fixând punctele 0 si ∞ - punctele se misca de-alungul unui cerc

transformare hiperbolica, z → kz, k > 1 - punctele se misca de-alungul unui arc de cerc de la un punct fix la altul

transformare loxodromica, z → kz, k /∈ R - punctele se misca de-alungul unei spirale logaritmice, de la un punct fix la altul

transformare parabolica, z → z + 1 - punctele se misca de-alungul unui cerc, prin unicul punct fix.

Observatie

Fie T o transformare Mobius T (z) = Az + B. În acest caz putem alegeA = ρeiα, cu scopul de a privi transformarea ca o compunere între orotatie de centru α, o dilatare de ordin ρ si o translatie de vector B.

Observatie

T (z) = Az + B, A = ρeiα.

Observatie

Pentru α > 0, ρ = 1 si B = 0, T (z) este o rotatie a planului complex,care se mapeaza într-o rotatie a sferei ((a)). Punctele fixe ale acesteitransformari sunt cei doi poli ai sferei, care corespund în planulcomplex originii si ∞-ului. Aceasta este o transformare Mobiuseliptic a.

Observatie

Pentru α = 0, ρ > 1 si B = 0, T (z) este o dilatare a planului complexcentrata în origine ((b)). Punctele fixe ale acestei transformari sunt ceidoi poli ai sferei, care corespund în planul complex originii si ∞-ului.Pentru α = 0, ρ < 1 si B = 0, T (z) este o contractie a planului complexcentrata în origine.Aceste transformari sunt transform ari Mobius hiperbolice .

Observatie

Pentru α 6= 0, ρ 6= 1 si B = 0, T (z) este combinatie dintre cele douacazuri anterioare ((c)). Punctele fixe ale acestei transformari sunt ceidoi poli ai sferei, care corespund în planul complex originii si ∞-ului.Aceasta este o transformare Mobius loxodromic a.

Observatie

Pentru restul cazurilor posibile (adica A = 0 si B 6= 0), T (z) este otranslatie a planului complex ((d)). Singurul punct fix al acesteitransformari este ∞, acesta corespunzând polului nord de pe sferaRiemann. Aceasta este o transformare Mobius parabolic a.

Exemplu

Un scurt exemplu

parabolica - z →z

2iz + 1- punct fix 0

loxodromica - z → 2iz -puncte fixe 0 si ∞

Exemplu

Un scurt exemplu

eliptica - z → iz - puncte fixe 0 si ∞

Observatie

În cazul transformarii eliptice, se observa faptul ca prin aplicareaacesteia de 4 ori se ajunge la transformarea identica. Astfel, seobserva faptul ca prin transformarea aleasa fiecare cerc se transformaîn el însusi dupa 4 iteratii.

Exemplu

Tranformare eliptica

Exemplu

Transformare parabolica

Exemplu

Transformare loxodromica

Exemplu

Astfel, se observa principalele caracteristici ale transformarilor Mobius:

parabolice: punctele de pe cercuri se misca spre punctele fixe

eliptice: cercurile se misca în jurul punctului fix

loxodromic: cercurile se misca în spirale cu extremitatile în celedoua puncte fixe.

Bibliografie

Rich Schwartz: Mobius Transformations and Circles,http : //www .math.brown.edu/ res/MFS/handout5.pdf , 8octombrie 2007

-: Classifying Mobius transformations: conjugacy, trace andapplications to parabolic transformations,http://www.maths.manchester.ac.uk/∼cwalkden/hyperbolic-geometry/lecture10.pdf

-: Classifying Mobius transformations: conjugacy, trace andapplications to parabolic transformations,http://www.maths.manchester.ac.uk/∼cwalkden/hyperbolic-geometry/lecture11.pdf

Bibliografie

Stephan Tillmann: Geometry and Groups,http ://www .maths.usyd .edu.au/u/tillmann/2012−amsi/g&g_02.pdf ,12 ianuarie 2012

Stephan Tillmann: Geometry and Groups,http ://www .maths.usyd .edu.au/u/tillmann/2012−amsi/g&g_04.pdf ,12 ianuarie 2012

http : //www .math.tifr .res.in/ ∼pablo/download/teichmuller/node4.html

T.K. Carne: Geometry and Groups,https ://www .dpmms.cam.ac.uk/ tkc/GeometryandGroups/GeometryandGroupshttps ://www .dpmms.cam.ac.uk/ tkc/GeometryandGroups/Corrections.pdf2012

Bibliografie

http : //en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation

Takis Konstantopoulos: Complex Analysis,http ://www2.math.uu.se/ takis/L/ComplexAnalysis/complexnotes.pdf

L. Penaranda, L. Sacht, L. Velho : Improving Projections ofPanoramic Images with Mobius Transformationshttp : //dcc.ufrj .br/ luisp/publi/psv .pdf

Thomas Au :Visualizing Complex Functionshttp : //www .math.cuhk .edu.hk/course/math3253/Notes02.pdf

Bibliografie

Multumesc!

Transformari Mobius˘ - cs.ubbcluj.rodiana.halita/files/research/DM2014-2.pdfconjugata matricii˘ 1...

Documents

Transcript of Transformari Mobius˘ - cs.ubbcluj.rodiana.halita/files/research/DM2014-2.pdfconjugata matricii˘ 1...

OPTEZ POUR L’EXCELLENCE DES COMMUNICATIONS … · - Transfert, mise en attente, reprise - Supervision, ﬁltrage - Interception d’appel - Double-appel - Convergence ﬁxe vers

Transformari in stare solida. Tratamente termice.

MATRICEA ENERGETICA

00 Transformari de Coordonate

Feasibility of a Direct Sampling Dual-Frequency SDR ...Submitted on 17 Sep 2015 HAL is a multi-disciplinary open access ... gain ﬁxe précéderont l’ADC (Analog to Digital Converter).

Le système proie-prédateur de Volterra-Lotka · La démonstration de ce théorème repose sur le théorème du point ﬁxe contractant (donc lerésultatestencorevrai endimensioninﬁnie).Sionaffaiblit

Matricea Competentelor Assessment Center

Cap I Transformari Elementare, Aplicatii

Probleme Transformari Ciclice Fizica

Taxonomia lui Bloom (revizuită) Matricea Hess5.2.159.61/wp-content/uploads/2016/04/Raport_Competente.pdf · Taxonomia lui Bloom (revizuită) Rețeaua Webb Matricea Hess. CUPRINS

· Spatiul mioritic si matricea stilistica. Determinatii teorice ale ethos-ului românesc (2015) Conferintele aniversare CCIIF, Universitatea din Bucuresti Negatia Fi categoria nefiintei

Transformari Spectaculoase Ale Actorilor - pps

Dräger - USA | Medical and Safety Company | Technology for Life...Capteur électrochimique DrägerSensor Capteur pour détecteurs de gaz à poste ﬁxe Réponse rapide, haute précision,

c8 - Transformari 3D

Procese transformari ireversibile

David Held - Transformari Globale Politice

Transformari Mobius˘diana.sotropa/files/research/...Prin proieçtie stereografica se întelege o aplica¸tie care transform˘ a˘ fiecare punct al planului complex în plan de

Matricea energetica

CG pipeline - Facultatea de Matematica si Informaticaweb.info.uvt.ro/~petcu/grafica/g2.pdf · de referinta. Sisteme ... transformari. I ranslate Rotate D Model Projection oordinates

Transformari de Datum