Post on 13-Apr-2018
7/26/2019 Tgs Nonparstater
1/20
STATISTIKA NONPARAMETRIK
A. Uji Kruskal-Wallis One-Way Anova for Rank Daa
Uji Kruskal-Wallis merupakan uji nonparametrik satu faktor yang
sebanding dengan One-Way ANOVA (uji-F) pada data yang tidak berpasangan
(independent). Dengan kata lain, uji ini digunakan untuk menguji apakah median
sampel sama. Jika data berdistribusi normal atau sampel yang diambil dalam
ukuran besar, maka one-way ANOVAdapat digunakan. amun jika datanya tidak
berdistribusi normal atau ukuran sampel ke!il, maka digunakan uji Kruskal-
Wallis. Uji ini sebanding dengan uji "ann-Whitney, karena uji "ann-Whitney
digunakan untuk # kelompok perlakuan (sampel) sedangkan uji Kruskal-Wallis
digunakan untuk minimal $ kelompok sampel.
!. Asu"si Uji Kruskal-Wallis
a. Data yang dianalisis terdiri dari ksampel berukurann1
, n2
, n3
, , nkk 3 .
b. Data berasal dari k sampel yang berbeda (independent)% data tidak
berpasangan.
!. &ariabel yang diamati merupakan 'ariabel kontinu.
d. Data paling tidak berskala ordinal.
#. $an%ka&-$an%ka& Pen%ujian
a. Se'ara "anual
) umuskan hipotesis statistik berdasarkan hipotesis penelitian
H0:E ( r i )=
(N+1 )2 untuk setiap
i=1,2, , k
H1:E (r i ) (N+1 )
2 minimal untuk salah satui=1,2, , k
dengan kata lain,H
0:
t
idak terdapat perbedaan yang signifikanantar kelompok akibat perlakuan
H1:minimal terdapat satuketidaksamaan akibat perlakuan
#) *entukan taraf signifikansi
7/26/2019 Tgs Nonparstater
2/20
$) Urutkan data mulai dari yang terke!il hingga terbesar. +engurutan dilakukan
tanpa memisahkan data berdasarkan kelompok sampelnya.
) "eranking data se!ara keseluruhan dengan aturan sebagai berikut
Data terke!il menjadi peringkat dan data terbesar memiliki peringkat
terbesar.
pabila tidak ada data yang berulang maka peringkat sama dengan
urutan data
pabila ada data yang berulang maka peringkat ditentukan dengan
+eringkat (R )= urutandata yangbernilai samabanyaknya data yangbernilai sama
/itung jumlah
R
( i)
dan rataan rank
r(i)
pada masing-masing
kelompok perlakuan.
0) /itung statistik uji Kruskal-Wallis dengan
H=
n[i
(ri (N+1 )2 )2
]N(N+1 )
12
atau
H= 12
N(N+1)
i
R i2
n3 (N+1)
ri= rataan rank kelompok ke i
Ri= jumlah rank kelompok ke i
n= banyaknya replikasi (perulangan pada tiap perlakuan)
N= banyak keseluruhan data
1) /itung nilai kritis uji Kruskal-Wallis dengan
pabila replikasi pada masing-masing kelompok perlakuan
0 maka
tentukan nilaiH
tabel sesuai dengan tabel Kruskal Wallis.
7/26/2019 Tgs Nonparstater
3/20
pabila banyaknya replikasi tidak memungkinkan untuk menggunakan
tabel Kruskal Wallis ( H tersebar dalam distribusi 2hi-kuadrat) sehingga
kita membandingkan dengan 2
;k1 dimana = taraf
signifikansi dan k= banyaknya kelompok perlakuan.
3) Kriteria uji
Jika H
7/26/2019 Tgs Nonparstater
4/20
/;diterima jika%&alue > taraf signifikansi
. ono& Soal Uji Kruskal Wallis
) eplikasi pada tiap kelompok perlakuan sama (equal group)
?erikut adalah data @aktu yang dibutuhkan oleh mahasis@a dari tiga kelas
pada +endidikan "atematika 8+8 U+= dalam menyelesaikan soal U*8
8tatistika *erapan. pakah @aktu yang dibutuhkan oleh mahasis@a pada
ketiga kelas untuk menyelesaikan soal tersebut samaA
No A (1) B (2) C (3)
1 50 58 72
2 80 96 100
3 60 72 84
4 73 80 77
5 82 95 90
6 96 75 78
7 102 88 86
8 41 100 85
9 85 72 89
10 98 79 84
+enyelesaian
Se'ara "anual
a. /ipotesis statistik
H0:E ( ri )=15,5 untuk setiap i=1,2,3
H1:E ( ri ) 15,5 minimal untuk salah satu i=1,2,3
dengan kata lain,H
0:
t
idak terdapat perbedaan 'aktu yang signifikanantar ketiga kelas
H1:minimal terdapat satuketidaksamaan 'aktu antar ketiga kelas
b. *araf signifikansi 0,05
!. +erankingan data
NoA (1) B (2) C (3)
Data
RankData
Rank Data Rank
1 50 2 58 3 72 6
2 80 13,5 96 25,5 100 28,5
7/26/2019 Tgs Nonparstater
5/20
3 60 4 72 6 84 16,5
4 73 8 80 13,5 77 10
5 82 15 95 24 90 236 96 25,5 75 9 78 11
7 102 30 88 21 86 20
8 41 1 100 28,5 85 18,5
9 85 18,5 72 6 89 22
10 98 27 79 12 84 16,5
JumlahRank
144,5 148,5 172
RataanRank
14,45 14,85 17,2
d. "enghitung statistik uji
H=
n[i (ri(N+1 ) /2 )2
]N(N+1)/12
H=10 [ (14,45(30+1)/2 )2+(14,85(30+1)/2 )2+(17,2(30+1)/2 )2 ]
30(30+1)/12
H=10 [1,1025+0,4225+2,89 ]
77,5
H=44,15
77,5
H=0,57
atau
H= 12
N(N+1)
i
R i2
n3 (N+1 )
H=
12
30(30+1) [144,5
2+148,52+1722
10
]3(30+1)
H= 4
310[7251,65 ]93
H=0,57
e Uji kritisnya adalah 2
0,05 ;2=5,991
7/26/2019 Tgs Nonparstater
6/20
H
7/26/2019 Tgs Nonparstater
7/20
DiperolehH=0,57 dengan %&alue=0,752>=0,05 maka H0
diterima, berarti tidak terdapat perbedaan median @aktu yang signifikan antar
ketiga kelas.
#) eplikasi pada tiap kelompok perlakuan tidak sama (unequal group)
?erikut adalah data @aktu yang dibutuhkan oleh mahasis@a dari tiga kelas
pada +endidikan "atematika 8+8 U+= dalam menyelesaikan soal U*8
7/26/2019 Tgs Nonparstater
8/20
8tatistika *erapan. pakah @aktu yang dibutuhkan oleh mahasis@a pada
ketiga kelas untuk menyelesaikan soal tersebut samaA
No A (1) B (2) C (3)
1 50 58 72
2 80 96 100
3 60 72 77
4 73 80 90
5 82 95 78
6 96 75 86
7 102 88 89
8 41 100 84
9 85 72
10 79
+enyelesaian
Se'ara "anual
a. /ipotesis statistik
H0:E ( ri )=14 untuk setiap i=1,2,3
H1:E ( ri ) 14 minimal untuk salah satu i=1,2,3
dengan kata lain,H
0:
t idak terdapat perbedaan 'aktu yang signifikan antar ketiga kelas
H1:minimal terdapat satuketidaksamaan 'aktu yang dibutu)kanketiga kelas
b. *araf signifikansi 0,05
!. +erankingan data
NoA (1) B (2) C (3)
Data RankData
RankData
Rank
1 50 2 58 3 72 62 80 13,5 96 23,5 100 25,5
3 60 4 72 6 77 10
4 73 8 80 13,5 90 21
5 82 15 95 22 78 11
6 96 23,5 75 9 86 18
7 102 27 88 19 89 20
8 41 1 100 25,5 84 16
9 85 17 72 6
10 79 12
Jumlah 111 139,5 127,5
7/26/2019 Tgs Nonparstater
9/20
Rank
Rataan
Rank
12,3
313,95 15,94
d. "enghitung statistik uji
H=
n[i (ri(N+1 ) /2 )2
]N(N+1)/12
H=(9(12,3327+12 )
2
)+(10(13,9527+12 )2
)+(8(15,94(27+1)2 )2
)27(27+1)/12
H=25+0,025+30,031
63
H=55,056
63
H=0,874
atau
H= 12
N(N+1
)
i
R i2
n3 (N+1 )
H= 12
27(27+1) [ 1112
9+139,5
2
10+127,5
2
8 ]3(27+1)H=
1
63[1369+1946,03+2032,03 ]84
H=84,87484
H=0,874
e Uji kritisnya adalah 2
0,05 ;2=5,991
H
7/26/2019 Tgs Nonparstater
10/20
1
n1
+ 1
n2
+++1
nk
~n=k
~n= 3
1
9+ 1
10+1
8
=8,9256
L!="0,025
2.27(27+1)12.8,9256
L!=1,9614,117
L!=1,96 (3,7572
L!=7,3642
Kemudian hitung selisih rataan rank antar kelompok perlakuan,
|# ri|
7/26/2019 Tgs Nonparstater
11/20
%&alue=0,646>=0,05 maka H0 diterima, berarti tidak terdapat
perbedaan median yang signifikan antar ketiga kelompok akibat pengaruh
faktor.
). Uji ,rie/"an T1o-Way Anova for Rank Daa
Uji 9riedman merupakan uji nonparametrik dua faktor sebanding
dengan analisis 'ariansi dua arah (Two-Way ANOVA). 9aktor pertama merupakan
perlakuan yang dimanipulasi ('ariabel bebas)k 3
7/26/2019 Tgs Nonparstater
12/20
dan faktor kedua merupakan 'ariabel kontrol (blok). Uji 9riedman mensyaratkan
tidak ada ulangan(replication) bagi perlakuan yang diberikan kepada kelompok
perlakuan (unit per!obaan). "aksudnya, hanya ada tepat satu pengamatan untuk
setiap perlakuan di dalam setiap sel (perlakuan dan blok). ?iasanya, uji 9riedman
digunakan jika seseorang tidak mempertimbangkan asumsi kenormalan dari
distribusi sampel atau asumsi-asumsi yang dibutuhkan oleh Two-Way C&
tidak terpenuhi.
!. Asu"si Uji ,rie/"an
a. Data yang dianalisis terdiri darik
sampel berukurann1
, n2
, n3
, , nk
b. Data berasal dari k sampel yang berhubungan (dependent)% data
berpasangan.
!. &ariabel yang diamati merupakan 'ariabel kontinu.
d. Data paling tidak berskala ordinal.
#. $an%ka&-$an%ka& Pen%ujian
a. Se'ara "anual
) umuskan hipotesis statistik berdasarkan hipotesis penelitianH
0:
t
idak terdapat perbedaan yang signifikanantar kelompok akibat perlakuan
H1:minimal terdapat satuketidaksamaan akibat perlakuan
#) *entukan taraf signifikansi
$) Jika melihat pengaruh faktor pertama urutkan data mulai dari yang terke!il
hingga terbesar pada masing-masing kelompok pada faktor kedua.
Jika melihat pengaruh faktor kedua urutkan data mulai dari yang terke!il
hingga terbesar pada masing-masing kelompok pada faktor pertama.) "eranking data sesuai langkah pada poin $) dengan aturan sebagai berikut
Data terke!il menjadi peringkat dan data terbesar memiliki peringkat
terbesar.
pabila tidak ada data yang berulang maka peringkat sama dengan
urutan data
pabila ada data yang berulang maka peringkat ditentukan dengan
+eringkat (R )= urutandata yangbernilai samabanyaknya data yangbernilai sama
7/26/2019 Tgs Nonparstater
13/20
/itung jumlah
R
( i)
pada masing-masing kelompok.
0) /itung statistik uji 9riedman dengan
= 12
Nk(k+1 )
i
Ri23N(k+1 )
N= banyaknya faktor blok('ariabel kontrol)
k= banyaknya faktor perlakuan ('ariabel bebas)
Ri= jumlah rank pada masing-masing kelompok perlakuan,
i=1,2, , k
1) /itung nilai kritis uji Kruskal-Wallis dengan
2
; k1 dimana = taraf signifikansi dan k= banyaknya
kelompok perlakuan.
3) Kriteria uji
Jika
7/26/2019 Tgs Nonparstater
14/20
(. Pro%ra" MINITA)
) =nputkan data.
#) +ilih Sa * Non+ara"eri's * ,rie/"an.$) "asukkan kolom yang berisi data respon ('ariabel terikat) pada Res+onse.
) "asukkan kolom yang berisi le'el faktor ('ariabel bebas) pada Trea"en.
0) "asukkan kolom yang berisi le'el blok ('ariabel kontrol) pada )lo'ks.
1) Klik OK.
3) =nterpretasi hasil dengan kriteria
/;ditolak jika%&alue
taraf signifikansi
/;diterima jika%&alue > taraf signifikansi
. ono& Soal Uji ,rie/"an
!akto"#
!akto" ## $%&'D%
A B C
#A
1 76,6 67,6 68,6
2 83,1 75,8 71,6
3 71,9 73,6 55,4
4 62,0 66,1 68,0
5 120,3 120,0 114,2
6 66,6 69,4 72,9
7 107,3 102,7 91,4
8 65,8 67,6 77,9
9 62,9 66,2 69,3
10 63,7 65,4 81,3
Jika ingin mengetahui pengaruh metode yang digunakan maka metode
dijadikan sebagai faktor perlakuan dan sis@a dianggap sebagai faktor blok
sehingga lakukan uji sebagai berikut
+enyelesaian
Se'ara "anual
a. /ipotesis statistik
H0:
t
idak terdapat perbedaan yang signifikan antar kelompok akibat perlakuan
H1:minimal terdapat satuketidaksamaan akibat perlakuan
b. *araf signifikansi0,05
7/26/2019 Tgs Nonparstater
15/20
!. +erankingan data
!akto" #
!akto"
##
$%&'D%
A Rank A
B Rank B
C Rank C
#A
1 76,6 3 67,6 1 68,6 2
2 83,1 3 75,8 2 71,6 1
3 71,9 2 73,6 3 55,4 1
4 62,0 1 66,1 2 68,0 3
5 120,3 3 120,0 2114,
21
6 66,6 1 69,4 2 72,9 3
7 107,3 3 102,7 2 91,4 1
8 65,8 1 67,6 2 77,9 39 62,9 1 66,2 2 69,3 3
10 63,7 1 65,4 2 81,3 3
!akto" #
!akto" ## $%&'D%
Rank A Rank B Rank C
#A
1 3 1 2
2 3 2 1
3 2 3 1
4 1 2 35 3 2 1
6 1 2 3
7 3 2 1
8 1 2 3
9 1 2 3
10 1 2 3
Jumlah Rank 19 20 21
*ua+"at Jumlah Rank 361 400 441
Jumlah *ua+"at Jumlah Rank
1202
d. "enghitung statistik uji
= 12
Nk(k+1 )
i
Ri23N(k+1 )
= 12
10 (3 (3+1)(19 2+202+212 )3.10 (3+1 )
= 1
10(1202 )120
7/26/2019 Tgs Nonparstater
16/20
=120,2120
=0,2
e. Uji kritisnya adalah 2
0,05 ;2=7,815
7/26/2019 Tgs Nonparstater
17/20
Diperoleh =0,20 dengan %&alue=0,905>=0,05 , berarti terdapat tidak
perbedaan yang signifikan akibat faktor metode.
Jika ingin mengetahui pengaruh sis@a maka sis@a dijadikan sebagai faktor
perlakuan dan metode dianggap sebagi faktor blok sehingga lakukan uji
sebagai berikut
Se'ara "anual
a. /ipotesis statistikH
0:
t
idak terdapat perbedaan yang signifikanantar kelompok akibat perlakuan
H1:minimal terdapat satuketidaksamaan akibat perlakuan
b. *araf signifikansi 0,05
!. +erankingan data
!akto" #
!akto" ## $%&'D%
A Rank B Rank C Rank
#A 1 76,6 7 67,6 4,5 68,6 3
2 83,1 8 75,8 8 71,6 5
3 71,9 6 73,6 7 55,4 1
4 62,0 1 66,1 2 68,0 2
5120,
310
120,0
9114,
210
6 66,6 5 69,4 6 72,9 6
7/26/2019 Tgs Nonparstater
18/20
7107,
39
102,7
10 91,4 9
8 65,8 4 67,6 4,5 77,9 79 62,9 2 66,2 3 69,3 4
10 63,7 3 65,4 1 81,3 8
!akto" #
!akto" ## $%&'D%Jumlah
Rank
*ua+"atJumlah
RankRan
kRank Rank
#A
1 7 4,5 3 14,5 210,25
2 8 8 5 21 441,00
3 6 7 1 14 196,00
4 1 2 2 5 25,005 10 9 10 29 841,00
6 5 6 6 17 289,00
7 9 10 9 28 784,00
8 4 4,5 7 15,5 240,25
9 2 3 4 9 81,00
10 3 1 8 12 144,00
Jumlah *ua+"at Jumlah Rank 3251,50
d. "enghitung statistik uji
= 12Nk(k+1 )i
Ri23N(k+1 )
= 12
3 (10 (10+1 )(14,52+212+142+52+292+172+282+15,52+92+122)3.3 (10+1 )
= 2
55(3251,5 )99
=118,23699
=19,236
e. Uji kritisnya adalah 2
0,05;9=16,919
>2 ;k1 maka H0 ditolak, berarti terdapat perbedaan pengaruh
faktor sis@a yang signifikan terhadap (terdapat perbedaan yang
signifikan antar sis@a).
f. ndaikan terdapat perbedaan maka dilakukan uji lanjutan
7/26/2019 Tgs Nonparstater
19/20
Nilai kritis Nemenyi * s=10 (10+1)
6.3.19,236
47,553
g. "enghitung efek si
7/26/2019 Tgs Nonparstater
20/20
Diperoleh =19,24 dan =19,28 (ad+usted for ties ) dengan
%&alue=0,023