Post on 15-Oct-2021
Statistical physics methods applied to particulatematter
Jorge Kurchan
LPS-ENS, Paris
PASI
J. Kurchan (LPS-ENS) 1 / 53
1. Statistical Mechanics:
Many particles: → a statistical approach is called for
The miracle of Liouville equation: flat measure is leftinvariant by dynamics.
No such things here, so equilibrium Stat Mech does notapply
J. Kurchan (LPS-ENS) 2 / 53
Frictionless and un-forced
qi = pi
m
pi = −∂H∂qi
E=const
The motion is restricted to the energy shell, and a flatdistribution is conserved
J. Kurchan (LPS-ENS) 3 / 53
If we wish to ‘stir’ or ‘shake’ the system, we need a thermostat inorder to have a stationary state
Second Principle!
J. Kurchan (LPS-ENS) 4 / 53
Gaussian (Hoover) thermostat
E=const
The motion is restricted to the energy shell
J. Kurchan (LPS-ENS) 5 / 53
Gaussian thermostat: deterministic
qi = pi
m
pi = −∂H∂qi
+ γ(t)pi︸ ︷︷ ︸thermostat
− fi(q)︸ ︷︷ ︸forcing
energy is conserved provided γ(t) = f•pp2 .
However, under forcing, the distribution is not flat, ergodicity isnot guaranteed!
J. Kurchan (LPS-ENS) 6 / 53
Gaussian thermostat: noisy
qi = pi
m
pi = −∂H∂qi
+ γ(t)pi︸ ︷︷ ︸thermostat
− fi(q)︸ ︷︷ ︸forcing
− η‖i︸︷︷︸
conservativenoise
η‖i is a noise tangential to the energy surface
again, energy is conserved provided γ(t) = f•pp2 .
J. Kurchan (LPS-ENS) 7 / 53
A chaotic system without forcing
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
J. Kurchan (LPS-ENS) 8 / 53
Forcing, thermostat
E
A A
__
J. Kurchan (LPS-ENS) 9 / 53
A chaotic system with strong enough forcing
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
J. Kurchan (LPS-ENS) 10 / 53
Stochastic thermal bath: Langevin dynamics
qi = ∂H
∂pi= pi
m = vi
pi = −∂H∂qi− fi(q)︸ ︷︷ ︸Forcing
+ ηi(t)− γpi︸ ︷︷ ︸Thermal Bath
〈ηi(t)ηj(t′)〉 = 2γTδijδ(t− t′)
the stationary distribution is the Gibbs-Boltzmann one
J. Kurchan (LPS-ENS) 11 / 53
Generalized Langevin equation.
q = −∂H∂q
+ η(t) +
∫ t
0dt′ R(t, t′)q′(t′)
〈η(t)η(t′)〉 = C(t, t′)
Fluctuation-dissipation:
TR(t− t′) = ∂
∂t′C(t− t′) TR(ω) = −ωC(ω)
J. Kurchan (LPS-ENS) 12 / 53
If, for example, T = T (ω) is a growing function
we are injecting heat in the high frequencies andretrieving it in the low ones, an out of equilibrium
situation
J. Kurchan (LPS-ENS) 13 / 53
... and of course we could inject heat at a singlefrequency (vibrating) and retrieve it in another
timescale
the important point is that a generic bath isnon-equipibrium, it does not guarantee an
equilibrium (or any known) distribution.
J. Kurchan (LPS-ENS) 14 / 53
2. Glasses
J. Kurchan (LPS-ENS) 15 / 53
Crystallisation
T
E
melting
crystal
liquid
E versus T .J. Kurchan (LPS-ENS) 16 / 53
Glassy solid:
T
T
E
τα
liquid
liquid
T TTk 1 2
aging
aging
J. Kurchan (LPS-ENS) 17 / 53
J. Kurchan (LPS-ENS) 18 / 53
(less and less) transient density profiles
ρ (x)
���� ���� ���� ���������������� ���� ����
t−t
density autocorrelation (t−t
w
w)
averaged over time τα
τα
J. Kurchan (LPS-ENS) 19 / 53
{
{
ρ (x) averaged over time τα
��������
����
���� ���� �������� ����
���� ���� ����
������������
����
��������
��������
����
���� ����
���� ����
����
��������
���������������� ����
������������
���� ���� ���� ���������������� ���� ����
���� ���� ���� ����
������������
����
����
����Α
Β
a
c
g
b
d
e
If τα =∞ we have true states
J. Kurchan (LPS-ENS) 20 / 53
correlations and responses
A quantity:
ρk(t) =
∫dx cos(kx)ρ(x, t)
The correlation of its fluctuations:
Ck(t, tw) = 〈ρk(t)ρk(tw)〉
The response at time t to a conjugate field hρk acting from time−∞ to tw
χ(t, tw) =δ〈ρk(t)〉δh
J. Kurchan (LPS-ENS) 21 / 53
The α scale, in and out of equilibrium
T2
T
T
Tk 1
T3
T
τα
liquidaging
C C
T2
1 1hr 10hr
ατ
ατ (T) w(t )
J. Kurchan (LPS-ENS) 22 / 53
{
{
ρ (x) averaged over time τα
��������
����
���� ���� �������� ����
���� ���� ����
������������
����
��������
��������
����
���� ����
���� ����
����
��������
���������������� ����
������������
���� ���� ���� ���������������� ���� ����
���� ���� ���� ����
������������
����
����
����Α
Β
a
c
g
b
d
e
free energy
don’t ask
a,b,c d,e,g
landscape
J. Kurchan (LPS-ENS) 23 / 53
Glasses in this non-ideal world age
they are continuously evolving into more compactconfigurations
or, alternatively, they are continuously nucleating stabler andstabler phases
evolution becomes slower as time passes
J. Kurchan (LPS-ENS) 24 / 53
Aging in the correlations
T = 0:3
tC k(t)
10410310210110010�1
10.80.60.40.20Autocorrelation of density fluctuations (Lennard-Jones system, Kob-Barrat)
J. Kurchan (LPS-ENS) 25 / 53
Aging in a response function
the stretching of a plastic bar, from an hour to four years old (Struik)
J. Kurchan (LPS-ENS) 26 / 53
In equilibrium one should expect χ and C to be related:
C
χ
J. Kurchan (LPS-ENS) 27 / 53
indeed:
Tχ(t, tw) = C(t, t)− C(t, tw) or T∂χ(t,t′)∂t′ = − ∂C(t,t′)
∂t′
wC(t,t )
(t,t )wχ
J. Kurchan (LPS-ENS) 28 / 53
the fluctuation-dissipation theorem says something importantabout thermalisation:
E∗ = E + xρk +p2x2
+ω2x2
2
system
noise
response=dissipation
J. Kurchan (LPS-ENS) 29 / 53
the fluctuation-dissipation theorem says something importantabout thermalisation:
E∗ = E + xρk +p2x2
+ω2x2
2
x = −ωx− ρk but ρk = [ρk]o︸ ︷︷ ︸bare
+
∫ t
∞dt
′ ∂χ(t, t′)
∂t′x(t
′)︸ ︷︷ ︸
back reaction
————————————
x = −ωx+ [ρk]o +∫ t∞ dt′ ∂χ(t,t
′)∂t′ x(t′)
————————————
... an oscillator in a good thermal bath of temperature Tprovided that 〈[ρk]o(t)[ρk]o(t′)〉 = −T ∂χ(t,t′)
∂t′
J. Kurchan (LPS-ENS) 30 / 53
A concrete example for a magnetic system:
cf. Grigera Israeloff
J. Kurchan (LPS-ENS) 31 / 53
Aging in the correlations and the response in solvable models
T2
TT
T2
ατ (T)
1
χ
T2
T
T
C
1
ατ (T)
ατ w(t )
C
1hr 10hr
ατ w(t )
1hr10hr
χ
χ
χ
C
C
1
constant temperature T
Teff
J. Kurchan (LPS-ENS) 32 / 53
This, in turn, led to the search of effectivetemperatures in realistic models
all the temperatures in a given timescale should coincide!
FDTSelf BSelf Ak = 7:47
CorrelationSus eptibility
10.80.60.40.20
21.510.50Binary Lennard-Jones glass, simulation L. Berthier and JL Barrat
J. Kurchan (LPS-ENS) 33 / 53
Rheology and shear thinning:the other face of aging
shear-thinning: stirring a liquid makes τα smaller, and kills aging
γ.
J. Kurchan (LPS-ENS) 34 / 53
but surprisingly, effective temperatures are still there (for small γ)
T
χ
C
Teff
constant temperature T
ατ
C
ατ
χ
( ) ( )γ γ
.
. .
J. Kurchan (LPS-ENS) 35 / 53
iso-τα and iso-Teff lines
Drive
Tk Tg Tc
Near Equilibrium
T
J. Kurchan (LPS-ENS) 36 / 53
flat exploration of states (why?)
ENERGY
equilibrium inside a state
flat (metastable) distribution of states
J. Kurchan (LPS-ENS) 37 / 53
flat exploration of states (why?)
f
Icrystal
Σ
?
1/T
gradient
gradient
1/Teff
J. Kurchan (LPS-ENS) 38 / 53
Amazingly, one has ’laws’ for the slow out-ofequilibrium regime, quite independent of what
the system will do at infinite times
This is a new way of thinking, and it is not wellestablished yet
J. Kurchan (LPS-ENS) 39 / 53
3. Back to dense granular matter
J. Kurchan (LPS-ENS) 40 / 53
Granular compaction under gentle vibrations =aging
they are continuously evolving into more compactconfigurations
or, alternatively, they are continuously nucleating stabler andstabler phases
evolution becomes slower as time passes
J. Kurchan (LPS-ENS) 41 / 53
Aging in the correlations
T = 0:3
tC k(t)
10410310210110010�1
10.80.60.40.20Autocorrelation of density fluctuations (Lennard-Jones system, Kob-Barrat)
J. Kurchan (LPS-ENS) 42 / 53
Non-equilibrium one should NOT expect χ and C to have asimple relation
C
χ
J. Kurchan (LPS-ENS) 43 / 53
indeed:
Tχ(t, tw)↔ C(t, t)− C(t, tw) or ∂χ(t,t′)∂t′ ↔ ∂C(t,t′)
∂t′
χ
wC(t,t )
(t,t )w
J. Kurchan (LPS-ENS) 44 / 53
Aging in the correlations and the response in solvable models, with anon thermal bath
nothing special !
ατ w(t )
C
1hr 10hr
ατ w(t )
1hr10hr
χ χ
C
C
1
Teff
constant weak shaking
T
J. Kurchan (LPS-ENS) 45 / 53
Rheology and shear thinning:the other face of aging
shear-thinning: stirring a granular ensemble makes τα smaller,and kills compaction
γ.
J. Kurchan (LPS-ENS) 46 / 53
but again surprisingly, effective temperatures are still there (for
small γ)
J. Kurchan (LPS-ENS) 47 / 53
flat exploration of states (why?)
NONEQUILIBRIUM inside a state
flat (metastable) distribution of statesENERGY
J. Kurchan (LPS-ENS) 48 / 53
flat exploration of states (why?)
f
Icrystal
Σ
?
1/T
gradient
gradient
1/Teff
J. Kurchan (LPS-ENS) 49 / 53
Amazingly, this is essentially Edwards’ idea, nowvalidated within solvable models
cfr. Karen’s talk.
J. Kurchan (LPS-ENS) 50 / 53
J. Kurchan (LPS-ENS) 51 / 53
J. Kurchan (LPS-ENS) 52 / 53
J. Kurchan (LPS-ENS) 53 / 53