Post on 16-Apr-2015
Simetrias do Plano Simetrias do Plano e Grupos de Frisoe Grupos de Friso
1. Isometrias no Plano1. Isometrias no Plano
Transformação geométrica (em IR2)
É uma aplicação bijectiva T, de IR2 em IR2, que a
cada ponto faz corresponder um novo ponto.
Isometria
É uma transformação geométrica T, de IR2 em IR2,
que preserva as distâncias, ou seja, tal que, se A e B são
dois pontos quaisquer de IR2, se tem
dist(T(A), T(B))=dist(A, B).
Isometrias
Reflexões Translações Reflexões deslizantes Rotações
1.1. Translação
Translação definida por v
É a transformação T de IR2 em IR2 tal que T(A)=A+v
(figura 1).
Translação inversa de T 1 vector v
Translação identidade I vector nulo
A
v
Figura 1
A=T(A)
A translação é uma isometria
Prova: Se P e Q forem enviados em P e Q,
respectivamente, então QQPP . Se P, Q, P e Q
forem colineares (figura 2a),
QPPPQPQQQPPQ .
Caso contrário, P PQQ é um paralelogramo (figura
2b). Logo, QPPQ .
P P
Q Q Q' P' P Q
Figura 2a Figura 2b
1.2. Rotação. Simetria central
Rotação de centro O e amplitude (figura 3)
É uma transformação T de IR2 em IR2
tal que para A=T(A) verifica-se:
AOOA
o ângulo orientado AOOA , tem amplitude .
O
A
Figura 3
A=T(A)
A rotação inversa T 1 é a rotação de centro O e
amplitude .
A transformação identidade é a rotação (de centro O)
em que =0º (ou um múltiplo de 360º).
Simetria central ou meia-volta
A simetria de centro O é uma rotação de centro O e
amplitude 180º.
A simetria central é involutiva (TT=I)
A rotação é uma isometria.
Prova: Sejam P e Q enviados em P e Q,
respectivamente, pela rotação de centro O e amplitude
. Se O, P e Q forem colineares (figura 4a), atendendo
à definição, QPPOQOOPOQPQ . De
contrário (figura 4b), POOP , QOOQ e
QOPPOQ )( QQOPPO . Logo, pelo
critério LAL (de congruência de triângulos) conclui-se
que QOPPOQ . Pelo que, QPPQ .
Figura 4a
P'
Q'
O
Q P
Figura 4b
P´
Q´
Q P
O
1.3. Reflexão
Reflexão (ou simetria axial) de eixo e
É a transformação T de IR2 em IR2 tal
que, qualquer que seja o ponto A de IR2
( eA ), a mediatriz do segmento de recta
AA , com A T(A), é a recta e (figura 5).
A reflexão é involutiva (TT=I). T= T 1
e
A' A
Figura 5
A reflexão é uma isometria.
Prova: (uma ideia)
Sejam P e Q dois pontos de IR2 e P e Q as suas
imagens, respectivamente, por uma reflexão de eixo e.
1º Caso: P e Q estão do mesmo lado de e.
2º Caso: P e Q estão em lados opostos de e.
3º Caso: Só Pe (ou Pe e Qe).
A prova assenta sobretudo na decomposição de PQ
na soma ou diferença de comprimentos de segmentos
de recta, que permitem obter QP , usando
essencialmente a definição de reflexão.
Reflexão deslizante
Dada uma reflexão R, de eixo e, e uma translação T
de direcção paralela a e, chama-se reflexão deslizante à
transformação S=TR de IR2 em IR2 (figura 6).
A inversa de S=TR é S 1=R 1T 1.
Figura 6. A reflexão deslizante S transforma ABC em CBA . S é
a composta da reflexão de eixo e com a translação de vector BB .
e
C''
B''
A' B'
C'
C B
A
A''
A reflexão deslizante é uma isometria.
Prova: Seja S=TR uma reflexão deslizante.
Atendendo que T e R são isometrias tem-se:
dist(S(A), S(B))=dist(T(R(A)), T(R(B)))
=dist(R(A), R(B))
=dist(A, B).
1.5. Algumas propriedades das isometrias
1.5.1.Composta de duas translações
B''
C''
C'
B' C
B
A
A' A''
21 vv
2 v 1v
Figura 7. A translação T, de vector 21 vv , transforma ABC em CBA . T é a composta da translação T2, de vector 2v (que transforma CBA
em CBA ), com a translação T1, de vector 1v (que transforma ABC em CBA ).
A composta de duas translações T1 e T2, de
vectores 21
e vv
é uma translação T, de vector 21
vv .
Prova: Seja A um ponto qualquer do plano. Vamos
mostrar que T(A)= A 21
vv .
T(A)=(T2T1)(A)
=T2(T1(A))
= T2(A 1 v )
=(A1
v )
2 v
=A 21
vv .
1.5.2.Composta de duas rotações com o mesmo
centro
A composta de duas rotações R1(O; ) e R2(O; ) é
a rotação R(O; +).
Prova: Omitida (ver trabalho escrito). €
Figura 8. A rotação R1(O; ) transforma ABC em CBA e a rotação R2(O; ) transforma CBA em CBA . A rotação R (O; +) é a composta da R2 com R1, transformando ABC em CBA .
B''
A''
C''
C'
B'
A'
A
B
C
O
1.5.2.Composta de duas reflexões
2e
A'' C''
B'' C'
A'
B'
A
B
C
d 2d
1e
Figura 9a. A composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação. A reflexão R1, de eixo e1, transforma ABC em CBA e a reflexão R2, de eixo e2, transforma CBA em CBA . A translação T, de vector
BB , é a composta da R2 com R1, transformando ABC em CBA .
A composta da reflexão R2, de eixo e2, com a reflexão
R1, de eixo e1, é uma translação de vector perpendicular
aos eixos, se estes forem estritamente paralelos, sentido
de e1 para e2 e norma igual ao dobro da distância entre
os eixos.
Prova. Omitida (ver trabalho escrito).
Figura 9b. A composta de duas reflexões de eixos concorrentes é uma rotação. A reflexão R1, de eixo e1 transforma
ABC em CBA e a reflexão R2, de eixo e2, transforma CBA em CBA . A rotação R (O; 2) é a composta da R2
com R1, transformando ABC em CBA .
C''
A''
B''
C'
A'
B' A
B
C
O
2e
1e
2
A composta da reflexão R2, de eixo e2, com a reflexão
R1, de eixo e1, é uma rotação de centro no ponto de
intersecção dos eixos, se estes forem concorrentes, e
amplitude igual ao dobro do ângulo dos eixos.
Prova. Omitida (ver trabalho escrito).
2. Simetrias do Plano2. Simetrias do Plano
2.1. Transformações de simetria
Transformação de simetria (ou simplesmente
simetria) de F (subconjunto de IR2 ou figura de IR2)
É uma transformação T de IR2 em IR2 tal que T(F)=F.
Significa que como subconjuntos de IR2 T(F) e F são
iguais.
e
Figura 1
Exemplos de figuras simétricas
A reflexão de eixo e deixa a figura 1 invariante. A
figura tem uma simetria de reflexão.
A rotação de amplitude 72º e centro no centro da
figura deixa a figura 2 invariante. A figura 2 tem uma
simetria de rotação.
Figura 2
Exemplo de uma figura não simétrica
A figura 3 não é simétrica. Não existe nenhuma
transformação geométrica da identidade que a deixe
invariante.
Figura 3
2.2. Grupo de simetria de F
O conjunto das transformações de simetria de F é um
grupo para a composição de transformações (grupo de
simetria de F).
Sejam T, R e S transformações de simetria de F. Então:
TS transformação de simetria de F.
TS(F)=T(S(F))
=T(F)
=F.
A composição é associativa
((TR) S)(F)= (TR)(S(F))
=T(R(S(F)))
=T ((RS)(F))
Então, (TR) S=T (RS).
T 1 transformação de simetria. T 1(F)=F
(porque T(F) =F).
I transformação de simetria. I(F)=F.
Elementos do grupo de simetria da figura 1
8 reflexões (de eixos e, f, g, h, i, j, l, e m).
8 rotações em torno do centro da figura (de
amplitudes 45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º e
360º).
Geradores do grupo: reflexão de eixo e e rotação
de 45º ou reflexões de eixos e e f
m l
j i h
g
f
Figura 1
e
Elementos do grupo de simetria da figura 2
5 rotações (de 72º, 144º, 216º, 288º, e 360º em
torno do centro da figura).
Transformação geradora: rotação de 72º.
Figura 2
3. Frisos e grupos de friso3. Frisos e grupos de friso
Padrão
Figura obtida pela repetição de outra - o motivo do
padrão.
Friso
Padrão com simetrias de translação numa só direcção
(com uma translação de módulo mínimo não nulo).
Podem existir outras simetrias para além da de
translação.
Figura 3b. Motivo do padrão da figura 2. Figura 2
v
Figura 1
Figura 3a. Motivo do padrão
da figura 1.
Grupos de frisos
Só existem sete grupos de friso (ou tipos de friso).
Isto significa que ao associarmos a cada friso o seu
grupo de simetria, apenas obteremos 7 grupos distintos.
Prova: (no Livro Transformation Geometry de George Martin faz-
se a prova desta afirmação entre as páginas 78 e 81)
Fluxograma de Washburn-Crowe para classificação de frisos
não
Existe uma reflexão de eixo vertical?
não sim
Existe uma reflexão de eixo horizontal?
Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante?
sim Existe uma meia-volta?
sim não
Existe uma reflexão de eixo horizontal?
Existe uma meia-volta?
sim não sim não
sim não
pmm2 pma2 pm11 p1m1 p1a1 p112 p111
(fig. 11) (fig. 10) (fig. 9) (fig. 8) (fig. 7) (fig. 6) (fig. 5)
Friso p111
1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular
à direcção de translação do friso.
1 não tem reflexão de eixo com a direcção da
translação do friso
nem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso
1 não existe uma meia-volta
Figura 5. Friso com simetria de translação.
Friso p112
1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular
à direcção de translação do friso.
1 não tem reflexão de eixo com a direcção da
translação do friso.
nem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso
2 existe uma meia-volta
Figura 6. Friso com simetria de meia-volta.
Friso p1a1
1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular
à direcção de translação do friso.
a tem reflexão deslizante de eixo (de reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso.
1 não existe uma meia-volta.
Figura 7. Friso com simetria de reflexão deslizante.
Friso p1m1
1 não tem nenhuma reflexão de eixo perpendicular
à direcção de translação do friso.
m tem reflexão cujo eixo tem a direcção da
translação do friso.
1 não existe uma meia-volta.
Figura 8. Friso com simetria de reflexão de eixo horizontal.
Friso pm11
m tem uma reflexão de eixo perpendicular à
direcção de translação do friso.
1 não tem reflexão de eixo com a direcção da
translação do friso.
nem reflexão deslizante de eixo (da reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso.
1 não existe uma meia-volta.
Figura 9. Friso com simetria de reflexão de eixo vertical.
Friso pma2
m tem uma reflexão de eixo perpendicular à
direcção de translação do friso.
a tem reflexão deslizante de eixo (da reflexão)
paralelo à direcção da translação do friso.
2 existe uma meia-volta.
Figura 10. Friso com simetrias de reflexão deslizante, meia-volta e reflexão vertical.
Figura 11. Friso com simetrias de reflexões de eixos horizontal e vertical e meia volta.
m tem uma reflexão de eixo perpendicular à
direcção de translação do friso.
m tem reflexão cujo eixo tem a direcção da
translação do friso.
2 existe uma meia-volta.
Friso pmm2
FIMFIM(da 1ª parte)(da 1ª parte)
4. Padrões Periódicos ou Papeis de 4. Padrões Periódicos ou Papeis de ParedeParede
Padrões periódicos ou Padrões periódicos ou papeis de parede são papeis de parede são figuras planas figuras planas caracterizadas por caracterizadas por terem uma região terem uma região fundamental (motivo) e fundamental (motivo) e duas translações duas translações linearmente linearmente independentesindependentes
DefiniçãoDefinição
17 Grupos de Simetria dos 17 Grupos de Simetria dos Padrões PeriódicosPadrões Periódicos
Grupos Sem RotaçõesGrupos Sem Rotações
Grupo p1Grupo p1
Apenas estão presentes Apenas estão presentes translações;translações;
É um grupo de É um grupo de translações.translações.
Grupo pmGrupo pm
Além das duas Além das duas translações presentes translações presentes que formam um que formam um subgrupo de qualquer subgrupo de qualquer papel de parede, estão papel de parede, estão presentes reflexões.presentes reflexões.
Grupo pgGrupo pg
Além do subgrupo das Além do subgrupo das translações estão translações estão presentes também as presentes também as reflexões deslizantes.reflexões deslizantes.
Grupo cmGrupo cm
Grupo onde estão Grupo onde estão presentes as reflexões.presentes as reflexões.
Reflexões deslizantes Reflexões deslizantes onde o eixo não é das onde o eixo não é das reflexões. reflexões.
Grupos Com Rotações de Grau 2 - 180 GrausGrupos Com Rotações de Grau 2 - 180 Graus
Grupo p2Grupo p2
Rotações de 180 graus Rotações de 180 graus e translações.e translações.
Grupo pggGrupo pgg
Rotações de 180 graus;Rotações de 180 graus; Não há reflexões;Não há reflexões; Há reflexões deslizantes.Há reflexões deslizantes.
Grupo pmgGrupo pmg
Para além das Para além das translações e rotações translações e rotações de 180 graus, estão de 180 graus, estão presente reflexões em presente reflexões em uma só direcção.uma só direcção.
Grupo pmmGrupo pmm
Rotações de 180 grausRotações de 180 graus Reflexões em duas Reflexões em duas
direcções.direcções. Os centros de rotação Os centros de rotação
estão sobre os eixos de estão sobre os eixos de reflexão.reflexão.
Grupo cmmGrupo cmm
Rotações de 180 graus onde Rotações de 180 graus onde os centros de rotação não os centros de rotação não estão sobre os eixos de estão sobre os eixos de reflexão.reflexão.
Reflexões em duas Reflexões em duas direcções.direcções.
Grupos Com Rotações de Grau 4 - 90 GrausGrupos Com Rotações de Grau 4 - 90 Graus
Grupo p4Grupo p4
Não tem reflexões nem Não tem reflexões nem reflexões deslizantes, reflexões deslizantes, apenas rotações de 90 e apenas rotações de 90 e 180 graus.180 graus.
Grupo p4mGrupo p4m
Rotações de 90 e 180 graus.Rotações de 90 e 180 graus. Reflexões onde os eixos Reflexões onde os eixos
fazem um ângulo de 45 graus.fazem um ângulo de 45 graus.
Grupo p4gGrupo p4g
Rotações de 90 e 180.Rotações de 90 e 180. Reflexões onde os eixos não Reflexões onde os eixos não
fazem ângulo de 45 graus.fazem ângulo de 45 graus.
Grupos Com Rotações de Grau 3 - 120 GrausGrupos Com Rotações de Grau 3 - 120 Graus
Grupo p3Grupo p3
Apenas rotações de 120 Apenas rotações de 120 graus.graus.
Grupo p31mGrupo p31m
Rotações de 120 graus.Rotações de 120 graus. Reflexões.Reflexões. Os centros de rotação não Os centros de rotação não
estão todos sobre os eixos estão todos sobre os eixos de reflexão.de reflexão.
Grupo p3m1Grupo p3m1
Rotações de 120 graus.Rotações de 120 graus. Reflexões.Reflexões. Os centros de rotação estão Os centros de rotação estão
todos sobre os eixos de todos sobre os eixos de reflexão.reflexão.
Grupos Com Rotações de Grau 6 - 60 GrausGrupos Com Rotações de Grau 6 - 60 Graus
Grupo p6Grupo p6
Rotações de 60, 120 e 180 graus.Rotações de 60, 120 e 180 graus.
Grupo p6mGrupo p6m
Acrescenta reflexões às Acrescenta reflexões às simetrias do grupo simetrias do grupo anterioranterior
Qual é a menor rotação?
060 0120 090 0180 nenhuma
Existe reflexão? Existe reflexão? Existe reflexão? Existe reflexão? Existe reflexão?
Sim
Não
Não
Sim
6p m 6p 3pEstão
todos os eixos de rotação sobre os eixos de reflexão?
Sim
Não
31p m3 1p m
Não
Sim
4p Existem reflexões
cujos eixos fazem
um ângulo de 450
Sim
Não
4p g4p m
Não S
im
Existem reflexões em duas
direcções?
Não
Sim
pmg
Existe reflexão
deslizante?
Sim
Não
2ppgg Estão todos os centros
de rotação sobre os eixos de reflexão?
Sim
Não
cmmpmm
Não
Sim
Existe uma
reflexão deslizante cujo eixo não é de reflexão?
Não
Sim
pm
Existe reflexão
deslizante?
Sim
Não
pg 1p cm
PavimentaçõesPavimentações
Cada um dos motivos é Cada um dos motivos é isolado por uma figura isolado por uma figura geométrica.geométrica.
A reunião destas figuras A reunião destas figuras geométricas gera uma rede, geométricas gera uma rede, que cobre todo o plano.que cobre todo o plano.
PavimentaçõesPavimentações
Com as pavimentações pretende-se cobrir Com as pavimentações pretende-se cobrir completamente o plano, através de um conjunto completamente o plano, através de um conjunto numerável de ladrilhos que não se sobrepõem e não numerável de ladrilhos que não se sobrepõem e não deixam espaços em branco.deixam espaços em branco.
Conjuntos aceitáveis Conjuntos aceitáveis para ladrilhos de uma para ladrilhos de uma
pavimentaçãopavimentação
Conjuntos não Conjuntos não aceitáveis para aceitáveis para
ladrilhos de uma ladrilhos de uma pavimentaçãopavimentação
Conjuntos não conexos e cuja fronteira não é uma curva Conjuntos não conexos e cuja fronteira não é uma curva fechada ou que se cruza não são aceitáveis para fechada ou que se cruza não são aceitáveis para
construir uma pavimentação.construir uma pavimentação.
Pavimentações RegularesPavimentações Regulares
São constituídas apenas por polígonos regulares do São constituídas apenas por polígonos regulares do mesmo tipomesmo tipo
Só é possível construir 3.Só é possível construir 3.
LadosLados Ângulo InternoÂngulo Interno Nº de PolígonosNº de Polígonos
33 6060 66
44 9090 44
55 108108 3,3333333333,333333333
66 120120 33
77 128,5714286128,5714286 2,82,8
88 135135 2,6666666672,666666667
99 140140 2,5714285712,571428571
1010 144144 2,52,5
1111 147,2727273147,2727273 2,4444444442,444444444
1212 150150 2,42,4
1313 152,3076923152,3076923 2,3636363642,363636364
1414 154,2857143154,2857143 2,3333333332,333333333
1515 156156 2,3076923082,307692308
1616 157,5157,5 2,2857142862,285714286
1717 158,8235294158,8235294 2,2666666672,266666667
1818 160160 2,252,25
1919 161,0526316161,0526316 2,2352941182,235294118
2020 162162 2,2222222222,222222222
Pavimentações Semi-Regulares ou Pavimentações Semi-Regulares ou ArquimedianasArquimedianas
São as que não são formadas apenas por um polígono regular. São as que não são formadas apenas por um polígono regular.
Em torno de cada vértice pode encontrar-se triângulos equiláteros, Em torno de cada vértice pode encontrar-se triângulos equiláteros, hexágonos, quadrados e pentágonos regulares.hexágonos, quadrados e pentágonos regulares.
Chama-se Chama-se espécieespécie de um vértice aos polígonos regulares que se de um vértice aos polígonos regulares que se intersectam nesse vértice.intersectam nesse vértice.
Chama-se Chama-se tipotipo de vértice à ordem pela qual estão colocados os de vértice à ordem pela qual estão colocados os polígonos em torno do vértice. polígonos em torno do vértice.
17 espécies de vértices e 21 tipos17 espécies de vértices e 21 tipos É condição necessária para que uma pavimentação formada É condição necessária para que uma pavimentação formada
por polígonos por polígonos regularesregulares seja de um dos seguintes dos 21 seja de um dos seguintes dos 21 tipostipos
3.3.3.3.3.3 3.3.3.3.6 3.3.3.4 3.3.4.3.4
3.3.4.12 3.4.3.12 3.3.6.6 3.6.3.6
3.4.4.6 3.4.6.4 3.7.42 3.9.18
3.9.18 3.8.24 3.10.15 3.12.12
17 espécies de vértices e 21 tipos17 espécies de vértices e 21 tipos
4.4.4.4 4.5.20 4.8.8 5.5.10
4.6.12 6.6.6
17 espécies de vértices e 21 tipos17 espécies de vértices e 21 tipos
ExemplosExemplos
FIMFIM