Section 4.1.notebook

1

October 13, 2014

Setion 4.1

Angle and Angle Measure

Section 4.1.notebook

2

October 13, 2014

An angle is in standard position when its vertex is at the origin and its initial ray or arm is on the positive x­axis.  The other ray is called the terminal arm.

If the angle of rotation is counterclockwise, the angle is positive.  If the angle of rotation is clockwise, the angle is negative.

Angle in standard position

Initial arm

terminal arm

reference angle (always with the x­axis)

Section 4.1.notebook

3

October 13, 2014

Positive angle ­ Counter clockwise rotation

Negative angle ­ Clockwise rotation

Section 4.1.notebook

4

October 13, 2014

Note:  In Math521B you would ususally see

This would indicate that we were looking for an answer within one rotation.  Now we will start looking for answers within two, three or more rotations.

Two positive rotations.

Three positive rotations.

Section 4.1.notebook

5

October 13, 2014

We are familiar with angles being measured in degrees.  A whole circle is measures 3600.

00,3600

900

1800

2700

In this chapter we will learn how to measure angle with radians.  You can think of it as distance can be measured in miles or kilometers.

Section 4.1.notebook

6

October 13, 2014

Arc length is given by the formula:

A radian (rad) is defined as the angle formed by rotating the radius of a circle through an arc length equal to the radius.

θ must be expressed in radians

Section 4.1.notebook

7

October 13, 2014

To convert between radians and degrees, think of the circumference of a circle:To convert between radians and degrees, think of the circumference of a circle:To convert between radians and degrees, think of the circumference of a circle:To convert between radians and degrees, think of the circumference of a circle:

arc length is the entire circle

Section 4.1.notebook

8

October 13, 2014

00,3600

900

1800

2700

Section 4.1.notebook

9

October 13, 2014

There are different ways to remember how to convert between radians and degrees and vice­versa.

Knowing that 1 hour = 3600 s and 1 km=1000m convert 90km/h to m/s.

If 1 mol = 6.02 x 1023 molecules how many moles is 9.72 x 1039 molecules?

So if                convert 5.2 radians to degrees.

Section 4.1.notebook

10

October 13, 2014

To change from degrees to radians, multiply the measure in degrees by

Convert to radians:

To change from radians to degrees, multiply the measure in radians by

Convert to degrees:

Section 4.1.notebook

11

October 13, 2014

4.1

Example 1:  Your TurnDraw each angle in standard position. Change each degree measure toradians and each radian measure to degrees. Give answers as both exactand approximate measures (if necessary) to the nearest hundredth ofa unit.a) –270°  b) 150°c)  d) –1.2

Answer

Section 4.1.notebook

12

October 13, 2014

Note: When an angle is given without a degree sign, it is assumed to be in radians.

Find the indicated angle or radius:

r = 4 cm

15 cm

80o

12 m

r

Section 4.1.notebook

13

October 13, 2014

Angles that have the same initial and terminal arm are called co­terminal angles. The least possible positive co­terminal angle is called the principal angle.                            or

Find the principal angle of ­400.

Section 4.1.notebook

14

October 13, 2014

Find coterminal angles in general form

Section 4.1.notebook

15

October 13, 2014

What is the principal angle of 4000?

Section 4.1.notebook

16

October 13, 2014

What is the principal angle for the following?

a.  10000 b.  ­4250 c.  

d. e. f.  ­9.24 rads

Section 4.1.notebook

17

October 13, 2014

4.1

Example 2:  Your TurnFor each angle in standard position, determine one positive andone negative angle measure that is coterminal with it.a) 270°  b)    c) 740°

Answer

Section 4.1.notebook

18

October 13, 2014

3

1

2

4.1Example 3

Continue Next Page

Express Coterminal Angles in General Forma) Express the angles coterminal with 110° in general form. Identify the    angles coterminal with 110° that satisfy the domain –720° ≤ θ < 720°.

the angles coterminal with      in the domain –4π ≤ θ < 4π.

b) Express the angles coterminal with      in general form. Identify 

a) Angles coterminal with 110° occur at 110° ± (360°)n, n ∈ N.    Substitute values for n to determine these angles.

1

n 1 2 3

110°– (360°)n

110°+ (360°)n

From the table, the values that satisfy the domain –720° ≤ θ < 720°are –610°, –250°, and 470°. These angles are coterminal.

3

2

Section 4.1.notebook

19

October 13, 2014

6

4

4.1 Example 3 Continued

Express Coterminal Angles in General Form

n 1 2 3 45

b)        ± 2πn, n ∈ N, represents all angles coterminal with      .

Substitute values for n to determine these angles.

4

The angles in the domain –4π ≤ θ < 4π that are coterminal are 6

5

Section 4.1.notebook

20

October 13, 2014

4.1

Example 3:  Your Turn

Write an expression for all possible angles coterminal with eachgiven angle. Identify the angles that are coterminal that satisfy–360° ≤ θ < 360° or –2π ≤ θ < 2π.a) –500°  b) 650°  c) 

Answer

Section 4.1.notebook

21

October 13, 2014

To change from degrees to radians, multiply the measure in degrees by

Convert to radians:

To change from radians to degrees, multiply the measure in radians by

Convert to degrees:

Section 4.1.notebook

22

October 13, 2014

Note: When an angle is given without a degree sign, it is assumed to be in radians.

Find the indicated angle or radius:

r = 4 cm

15 cm

80o

12 m

r

Section 4.1.notebook

23

October 13, 2014

Angles that have the same initial and terminal arm are called co­terminal angles. The least possible positive co­terminal angle is called the principal angle.

Section 4.1.notebook

24

October 13, 2014

Pages 175­178#1­23