Post on 17-Jan-2016
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Faculté polydesciplin-aire de Larache
Séries de FOURIER
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I. Aspects historiques .
II. Décomposition en Série de Fourier.
III. Théorème de Fourier.
IV. les identités trigonométriques.
V. Calcul d’intégrales intéressantes.
VI. Exemples.
Plan
Faculté polydesciplinaire de Larache
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I. Aspects historiques :
* Les séries de Fourier ont été introduites par joseph Fourier en 1822.
* Ils sont commencé avec les travaux de Joseph Fourier sur l'équation de la chaleur. Ayant représenté les phénomènes par une équation, dite équation de la chaleur, il s'efforça ensuite de la résoudre. Au cours de ce travail il s'aperçut que tout serait merveilleux s'il réussissait à représenter n'importe quelle fonction par une série de sinus et de cosinus et qu'il est facile de prouver la convergence de celle-ci. Faculté polydesciplinaire
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II. Décomposition en Série de Fourier:
La décomposition en série de Fourier permet de
décomposer un signal en somme de sinusoïdes. On
utilise principalement les séries de Fourier dans le cas
des signaux périodiques. Elles permettent ainsi de
passer facilement du domaine temporel au domaine
fréquentiel. Pour pouvoir être décomposable, un
signal doit être à variations bornées.
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III.Théorème de Fourier
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Exprimer un signal x(t) de période T comme une combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de F = 1/T , dite fréquence fondamentale.
=> Somme de sinus et de cosinus : facile à interpréter.
Définition de la DSF : forme trigonométriqueUn signal x(t) de période T, s'exprime sous certaines
conditions comme :
Principe
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Coefficients de la série
IV.les identités trigono-métriques :
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V. Calcul d’intégrales intéressantes :
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Exemple 1.
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Trouver la série de Fourier de la fonction :
Réponse. Puisque f (x) est impair on a an = 0, pour
,
On cherche les coefficients b n . Pour
,VI.Exemples :
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Par conséquent
Exemple 2.
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Trouver la série de Fourier de la fonction :
Réponse.
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Exemple 3.
Trouver la série de Fourier de la fonction :
Réponse.
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Par conséquent
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Exemple 4.
Trouver la série de Fourier de la fonction :
Réponse.
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