SAMPLING DAN DISTRIBUSI SAMPLING

CAKUPAN MATERI:• Sampel Acak Sederhana (Simple Random Sampling

– SRS)• Estimasi Titik (Point Estimation)• Distribusi Sampling untuk Rata-rata• Distribusi Sampling untuk Proporsi• Sifat Penaksir (estimator) Titik• Estimasi Interval (Interval Estimation)

1R. M. DAHLAN & WIN K

INFERENSIA STATISTIK

• Tujuan dari inferensia statistik adalah untuk memperoleh informasi tentang populasi berdasarkan informasi sampel.

• Populasi adalah kumpulan dari seluruh obyek yang diamati.

• Sampel adalah himpunan bagian dari populasi.• Hasil dari sampel adalah nilai estimasi dari

karakteristik populasi.• Parameter adalah karakteristik dari populasi.• Dengan metode sampling yang sesuai/tepat, sampel

yang terpilih adakan menghasil estimator yang “baik” mengenai karakteristik populasi.

2R. M. DAHLAN & WIN K

INFERENSIA STATISTIK (L)

• Inferensi Statistik meliputi:

1. Estimasi Parameter, terdiri dari:• Estimasi Titik (Point Estimation), yaitu suatu

nilai dari sampel sebagai estimator parameter• Estimasi Interval (Interval Estimation), yaitu

suatu interval yang dengan tingkat kepercayaan tertentu memuat nilai parameter.

2. Pengujian Hipotesis

3R. M. DAHLAN & WIN K

SAMPEL ACAK SEDERHANA (SIMPLE RANDOM SAMPLING – SRS)

1. Populasi Terbatas (Finite Population)– SRS untuk populasi terbatas berukuran N adalah

sampel yang dipilih sedemikian sehingga masing-masing kemungkinan sampel berukuran n memiliki peluang yang sama untuk terpilih.

– Ada 2 (dua) tipe, yaitu:• Dengan Pengembalian (with replacement -

WR)• Tanpa Pengembalian (without replacement -

WOR)

4R. M. DAHLAN & WIN K

SAMPEL ACAK SEDERHANA (SIMPLE RANDOM SAMPLING – SRS)

2. Populasi Tak Terbatas (Infinite Population)– SRS dari populasi tak terbatas merupakan

sampel yang dipilih sedemikian sehingga kondisi berikut terpenuhi:• Masing-masing elemen dipilih dari populasi

yang sama• Setiap elemen dipilih secara bebas

(independent)

5R. M. DAHLAN & WIN K

ESTIMASI TITIK (POINT ESTIMATION)

• Dalam estimasi titik kita menggunakan data sampel untuk menghitung suatu nilai statistik sebagai estimasi parameter populasi.

• Contoh:– sebagai estimator titik dari rata-rata populasi,

.– s sebagai estimator titik dari simpangan baku

populasi, .– sebagai estimator titik dari proporsi populasi,

p.

x

p̂

6R. M. DAHLAN & WIN K

SAMPLING ERROR

• Sampling error merupakan perbedaan absolut antara estimator tak bias (unbiased) dengan paramemter populasi.

• Contoh sampling error:

untuk rata-rata sampel

untuk simpangan baku sampel

untuk proportsi sampel

|x|

|pp̂|

7

|s|

R. M. DAHLAN & WIN K

DISTRIBUSI SAMPLING UNTUK

• Proses Inferensi Statistik

8

X

Population Population dg Rata-ratadg Rata-rata

mm = ? = ?

Population Population dg Rata-ratadg Rata-rata

mm = ? = ?

Sampel Acak sederhana Sampel Acak sederhana berukuran n dipilih berukuran n dipilih

dari populasi.dari populasi.

Data sampel Data sampel menghasilkan nilai menghasilkan nilai rata-rata sampel .rata-rata sampel .

Data sampel Data sampel menghasilkan nilai menghasilkan nilai rata-rata sampel .rata-rata sampel .xx

Nilai digunakanNilai digunakanUntuk membuat Untuk membuat

inferensi tentang inferensi tentang mm..

Nilai digunakanNilai digunakanUntuk membuat Untuk membuat

inferensi tentang inferensi tentang mm..

xx

R. M. DAHLAN & WIN K

DISTRIBUSI SAMPLING UNTUK (L)

• Distribusi sampling untuk adalah distribusi probabilita dari semua kemungkinan nilai rata-rata sampel .

• Expected Value E( ) =

dimana = rata-rata populasi • Simpangan baku dari

– Populasi Terbatas Populasi Tak terbatas

– merupakan faktor koreksi

x

x

9

X

x

x

1N

nN)

n(x

1N

nN)

n(x

n

x

n

x

)1N()nN(

R. M. DAHLAN & WIN K

DISTRIBUSI SAMPLING UNTUK (L)

• Populasi terbatas diperlakukan seperti populasi tak terbatas bila n/N < 0,05.

• merupakan kesalahan baku (standard error) dari rata-rata.

• Jika n > 30, Teorema Limit Pusat (central limit theorem) menyatakan bahwa distribusi sampling untuk mendekati distribusi Normal.

• Jika n < 30), distribusi sampling dapat diasumsikan normal jika dan hanya jika populasinya memiliki/ diasumsikan berdistribusi Normal.

x

x

10

X

x

R. M. DAHLAN & WIN K

DISTRIBUSI SAMPLING UNTUK

• Distribusi sampling untuk adalah distribusi probabilita dari semua kemungkinan nilai proporsi sampel .

• Expected Value E( ) = p

dimana p = proporsi populasi • Simpangan baku dari

– Populasi Terbatas Populasi Tak terbatas

– merupakan kesalahan baku dari proporsi

p̂

p̂

11

p̂

p̂

1N

nN

n

)p1(pp̂

1N

nN

n

)p1(pp̂

n

)p1(pp̂

n

)p1(pp̂

p̂

p̂R. M. DAHLAN & WIN K

SIFAT PENAKSIR (ESTIMATOR) TITIK

• Sebelum menggunakan suatu nilai sampel sebagai estimator titik, perlu diperiksa apakah nilai sampel tersebut memenuhi sifat-sifat sebagai estimator yang baik, yaitu:

a. Tak bias (Unbiased), yaitu jika nilai harapan dari estimator sama dengan nilai parameter populasi yang diestimasi.

b. Efisien (Efficient), yaitu jika estimator tersebut memiliki standar error yang paling kecil dibandingkan estimator tak bias yang lain.

c. Konsisten (Consistent)12R. M. DAHLAN & WIN K

SIFAT PENAKSIR (ESTIMATOR) TITIK (L)

c. Konsisten (Consistent)

Suatu estimator dikatakan memiliki sifat konsisten, apabila estimator tersebut cenderung mendekati nilai parameter populasi jika ukuran sampel ditingkatkan (semakin besar).

13R. M. DAHLAN & WIN K

ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION)

• Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi normal. Varian populasi diketahui.Misalkan variabel acak n observasi/sampel dari suatu populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varian σ2. Jika σ2 diketahui dan rata-rata sampel yang diobservasi adalah maka interval kepercayaan 100(1 – α)% untuk rata-rata populasi adalah:

dimana memenuhi

dan Z mempunyai distribusi normal baku.

x

14

n

zx

n

zx 22

2z

2)zZ(P 2

R. M. DAHLAN & WIN K

ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) (L)

• Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi: sampel dengan ukuran besarMisalnya n observasi/sampel dari suatu populasi dengan rata-rata μ. Maka jika n besar, interval kepercayaan 100(1 – α)% untuk μ adalah:

dimana s = simpangan baku sampelPenafsiran ini secara khusus akan tetap sesuai walaupun distribusi populasi bukan normal.

15

n

szx

n

szx 22

R. M. DAHLAN & WIN K

DISTRIBUSI t

• Kurva dari distribusi t memiliki bentuk mirip dengan kurva normal, namun lebih runcing.

• Ciri khusus: distribusi t tergantung pada suatu parameter yang disebut derajat bebas (degrees of freedom).

• Jika derajat bebas meningkat maka perbedaan distribusi t dengan distribusi normal baku semakin kecil.

• Distribusi t dengan derajat bebas yang lebih besar memiliki varian yang lebih kecil.

• Rata-rata dari distribusi t = 0 (nol).

16R. M. DAHLAN & WIN K

DISTRIBUSI t

• Membaca Tabel Student’s tMisalkan α = 0,05 dan n = 10, maka nilai tabel tn-1,α/2 = t(10-1);0,025 = 2,262

Degrees Area in Upper Tail

of Freedom .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . .

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

. . . . . .

Degrees Area in Upper Tail

of Freedom .10 .05 .025 .01 .005

. . . . . .

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

. . . . . .

17R. M. DAHLAN & WIN K

ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) (L)

• Interval kepercayaan untuk rata-rata populasi normal: varian populasi tidak diketahuiMisalnya n observasi dari variabel acak dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varian tidak diketahui. Interval kepercayaan 100(1-α)% untuk rata-rata populasi adalah

dimana tn-1,α/2 memenuhi

P(tn-1 > tn-1,α/2 ) = α/2

Variabel acak tn-1 mempunyai distribusi student’s t dengan derajat bebas (n–1).

18

n

stx

n

stx x2,1nx2,1n

R. M. DAHLAN & WIN K

UKURAN SAMPEL UNTUK ESTIMASI INTERVAL RATA-RATA POPULASI

• Misalkan E = nilai sampling error maksimum yang ditentukan.

• E sering disebut sebagai batas kesalahan (margin of error).

maka

sehingga

19

nzE

2

nzE

2

2

22

E

)z(n 2

2

22

E

)z(n 2

R. M. DAHLAN & WIN K

ESTIMASI INTERVAL (INTERVAL ESTIMATION) (L)

• Interval kepercayaan untuk proprosi populasi (sampel besar)Jika menotasikan proporsi “sukses” dalam sampel acak dari n observasi suatu populasi dengan proporsi sukses p. Maka, jika n besar, interval kepercayaan 100(1 – α)% untuk proporsi populasi adalah

dimana zα/2 memenuhi

P (Z > zα/2) = α/2Z mempunyai distribusi normal baku.

p̂

20

n

)p̂1(p̂zp̂p

n

)p̂1(p̂zp̂ xx

2xx

2

R. M. DAHLAN & WIN K

UKURAN SAMPEL UNTUK ESTIMASI INTERVAL PROPORSI

POPULASI• Misalkan E = nilai sampling error maksimum yang

ditentukan.• E sering disebut sebagai batas kesalahan (margin of

error).

maka

sehingga

21

n

)p1(pzE

2

n

)p1(pzE

2

2

2

E

)p1(p)z(n 2

2

2

E

)p1(p)z(n 2

R. M. DAHLAN & WIN K

CONTOH ESTIMASI INTERVAL

1. Suatu proses memproduksi kantong-kantong gula. Berat kantong-kantong diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 1,2 ons. Suatu sampel 25 kantong diambil dan memiliki rata-rata 19,8 ons. Buatlah selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi berat kantong gula!

SOLUSI: α = 0,05 zα/2 = 1,96

n

zx

n

zx 22

25

)2,1)(96,1(8,19

25

)2,1)(96,1(8,19

22

27,2033,19 R. M. DAHLAN & WIN K

CONTOH ESTIMASI INTERVAL (L)

2. Sampel acak berukuran 172 mahasiswa akuntansi ditanya pendapat mereka ttg pentingnya suatu pekerjaan dengan skala 1 (tidak penting) s.d. 5 (sangat penting). Ternyata diperoleh rata-rata nilai adalah 4,38 dengan standar deviasi 0,7. Buat selang kepercayaan 99% untuk rata-rata populasi.

SOLUSI: α = 0,01 zα/2 = 2,575

n

szx

n

szx 22

172

)7,0)(575,2(38,4

172

)7,0)(575,2(38,4

23

52,424,4 R. M. DAHLAN & WIN K

CONTOH ESTIMASI INTERVAL (L)

3. Sampel acak berukuran 6 mobil dari suatu model tertentu memiliki konsumsi bahan bakar sbb (mil per galon):

18,6 18,4 19,2 20,8 19,4 20,5Buat selang kepercayaan 90% untuk rata-rata konsumsi bahan bakar populasi.

SOLUSI: α = 0,10 tn-1,α/2 = t5;0,05 = 2,015

n

stx

n

stx 2,1n2,1n

6

)98,0)(015,2(48,19

6

)98,0)(015,2(48,19

24

29,2067,18 R. M. DAHLAN & WIN K

CONTOH ESTIMASI INTERVAL (L)

4. Sampel acak berukuran 344 pemilik perusahaan ditanya mengenai kebijakan perusahaan pada bagian pembelian barang jika diberi hadiah oleh pemasok. Ternyata, 83 menyatakan tidak ada kebijakan apapun. Buat selang kepercayaan 90% untuk proporsi populasi yg menyatakan tidak ada kebijakan apapun berkenaan dg hal tersebut.

SOLUSI: α = 0,10 zα/2 = 1,645

n

)p̂1(p̂zp̂p

n

)p̂1(p̂zp̂ xx

2xx

2

344

)759,0)(241,0(645,1241,0p

344

)759,0)(241,0(645,1241,0

25279,0p203,0

R. M. DAHLAN & WIN K