Post on 29-Sep-2018
UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA
PREUNIVERSITARIA PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE
INTEGRALES
Autor: Lcdo. Helys Joel Terán Terán
Tutor (a): Dra. Vilma Morales
Bárbula, Diciembre de 2017
UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA
PREUNIVERSITARIA PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE
INTEGRALES
Autor: Lcdo. Helys Joel Terán Terán
Bárbula, Diciembre de 2017
ii
Trabajo Especial de Grado presentado ante la Dirección de Postgrado de la Universidad de Carabobo para optar al título de Magíster en Educación Matemática
iii
AVAL DEL TUTOR
Dando cumplimiento a lo establecido en el reglamento de Estudios de Postgrado
de la Universidad de Carabobo en su artículo 133, vigente a la presente fecha quien
suscribe DRA. VILMA MORALES titular de la cédula de identidad No. V-
4.453.597, en mi carácter de Tutora del Trabajo de Maestría titulado “ERRORES
EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA
PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES” presentado por el
ciudadano LCDO. HELYS JOEL TERÁN TERÁN titular de la cédula de identidad
No. V-19.518.409, para optar al título de MAGÍSTER EN EDUCACIÓN
MATEMÁTICA, hago constar que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos
suficientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por parte del
jurado examinador que se le designe. Por tanto doy fe de su contenido y autorizo su
inscripción ante la Dirección de Asuntos Estudiantiles.
En Bárbula a los 06 días del mes de diciembre año dos mil diecisiete.
Dra. Vilma Morales
C.I.: V-4.453.597
iv
AUTORIZACIÓN DEL TUTOR
Dando cumplimiento a lo establecido en el reglamento de Estudios de Postgrado
de la Universidad de Carabobo en su artículo 133, vigente a la presente fecha quien
suscribe DRA. VILMA MORALES titular de la cédula de identidad No. V-
4.453.597, en mi carácter de Tutora del Trabajo de Maestría titulado “ERRORES
EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA
PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES” presentado por el
ciudadano LCDO. HELYS JOEL TERÁN TERÁN titular de la cédula de identidad
No. V-19.518.409, para optar al título de MAGÍSTER EN EDUCACIÓN
MATEMÁTICA, hago constar que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos
suficientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por parte del
jurado examinador que se le designe. Por tanto doy fe de su contenido y autorizo su
inscripción ante la Dirección de Asuntos Estudiantiles.
En Bárbula a los 06 días del mes de diciembre año dos mil diecisiete.
Dra. Vilma Morales
C.I.: V-4.453.597
v
UNIVERSIDAD DE CARABOBOFACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADOMAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
INFORME DE ACTIVIDADES
Participante: HELYS JOEL TERÁN TERÁN C.I. No. V- 19518409
Tutora: Vilma Morales C.I. No.V- 4.453.597
Correo electrónico del participante: helysteran@gmail.com
Título tentativo del Trabajo: ERRORES DE MATEMÁTICA
PREUNIVERSITARIA, SU PERMANENCIA Y EFECTO EN EL DESEMPEÑO
DE MATEMÁTICA II DE ECONOMÍA SOCIAL
Línea de Investigación: Enseñanza, aprendizaje y evaluación de la educación matemática.SESIÓN FECHA HORA ASUNTO OBSERVACIÓN
1 30/09/13 10:00 amRevisión de la temática, bibliografía recomendada.
Aceptación Tutoría.
Asesoramiento
2 02/10/13 9:00 amEl problema, interrogantes y objetivos. Discusión, Teóricos y Metodología de investigación.
Asesoramiento. Revisión
Capítulo I.
3 07/11/13 8:30 amDiscusión del Instrumento y recomendaciones parala validación.
Asesoramiento.Revisión del
Capítulo II y III.4 15/01/14 10:00 am Revisión del Capítulo I y II Asesoría.5 20/01/14 10:30 am Revisión de los Cap. I, II y III6 24/01/14 8:00 am Revisión del proyecto. Inscripción.
7 01/03/15 7:00 am Revisión y sugerencias del Capítulo I.
Vía Correo.
8 08/03/15 5:00 pm Corrección del Capítulo I. Vía Correo.9 29/04/15 11:00 am Revisión Capítulo I, II y III.
10 29/06/15 10:00 am Tabla de Operacional. Capítulo III y IV.
Asesoría y revisión.
11 10/10/15 8:30 am Revisión Capítulo III y IV.12 29/10/15 9:30 am Ajustes de los Capítulos II y IV.13 03/11/15 9:15 am Revisión Capítulo IV. Vía correo.14 24/03/15 12:00 m Revisión Tabla Operacional. Vía correo.15 30/03/16 9:00 am Revisión Capítulo III.16 11/04/16 7:40 am Revisión y sugerencias del Vía correo.
vi
Capítulo IV.
17 17/04/16 9:00 am Correcciones Capítulo IV. Vía correo electrónico
18 18/07/16 3:00 pm Revisión de Capítulos I, II, III, IV y V.
19 16/09/16 4:00 pm Revisión de Normas APA. Vía correo electrónico
20 22/09/16 3:00 pm Revisión general y sugerencias Capítulo IV.
Título definitivo: ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA
PREUNIVERSITARIA PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES.
Comentarios finales acerca de la investigación: ______________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________.
Declaramos que las especificaciones anteriores representan el proceso de dirección
del Trabajo de Grado de Maestría antes mencionado.
________________ __________________
Vilma Morales Helys Terán
C.I.: V-4.453.597 C.I.: V-19.518.409
vii
UNIVERSIDAD DE CARABOBO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
VEREDICTO
Nosotros, Miembros del jurado designado para la evaluación del Trabajo de Grado
TITULADO: ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA
PREUNIVERSITARIA PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE
INTEGRALES, PRESENTADO POR el ciudadano TERÁN TERÁN HELYS
JOEL, TITULAR DE LA CÉDULA DE IDENTIDAD No. V- 19518409, PARA
OPTAR AL TÍTULO DE MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA,
ESTIMAMOS QUE EL MISMO REÚNE LOS REQUISITOS PARA SER
CONSIDERADO COMO .
NOMBRE APELLIDO CÉDULA FIRMA
BÁRBULA, DICIEMBRE DE 2017
viii
DEDICATORIA
A Dios, en primer lugar, por brindarme sabiduría, vida, salud, paciencia y la fortaleza
necesaria en todo momento para llevar a feliz término este objetivo en mi vida.
A mis padres, Lorenzo y Yoleida Terán que con gran ejemplo y apoyo han hecho de
mí una persona con buenos principios y valores humanos en la vida.
A mis hermanas, Loreida, Lorena, especialmente, Loreidy Terán quien ha estado en
todo momento.
A mis hermosos sobrinos, Lisandro y Lhix Jimena que han sido motivo de
inspiración.
A mi esposa amada, Yennyfer Figuera, por tener esa hermosa paciencia, apoyarme y
darme palabras de aliento en todo momento, por ser mi gran amiga y pilar de apoyo
en la realización de esta meta.
¡Los Amo!
ix
RECONOCIMIENTOS
A Dios, por darme las fuerzas necesarias para culminar otra meta más.
A Yennyfer Figuera, por impulsarme a continuar y culminar esta meta.
A la Profesora Vilma Morales por su entrega, esmero, comprensión, paciencia y
ayuda incondicional en todo momento durante el desarrollo de este trabajo de
investigación.
A los profesores de la Universidad de Carabobo, especialmente a las Profesoras
María del Carmen Padrón y Mariela Herrera de quienes recibí una excelente
formación.
Al Profesor Cirilo Orozco por el apoyo al impulsarme en este trabajo de
investigación.
A la Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada, UNEFA - Guacara
Estado Carabobo, por darme la oportunidad de impulsar la presente investigación.
A todos… ¡GRACIAS!
Nunca se acaba de comprender.Todo saber auténtico y vivo
comporta su halo de bruma y sus zonas oscuras,por lo que deberíamos dedicar aquí
un verdadero elogio a la imperfección.
JEAN PIERRE ASTOLFI
x
ÍNDICE GENERAL
pp.
DEDICATORIA…………………………………………………………...... ix
RECONOCIMIENTOS……………………………………………………... x
LISTA DE CUADROS…………………………………………………….... xiv
LISTA DE GRÁFICOS……………………………………………………... xv
RESUMEN…………………………………………………………………... xvii
ABSTRAC
T…………………………………………………………………...
xviii
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………… 19
CAPÍTULO I. EL PROBLEMA 22
Planteamiento del problema…………………………………………….. 22
Objetivos de la Investigación…………………………………………… 35
Objetivo General…………………………………………………… 35
Objetivos Específicos………………………………………………. 35
Justificación de la Investigación………………………………………... 35
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO 39
Antecedentes de la Investigación……………………………………….. 39
Fundamentación Teórica………………………………………………... 42
Bases Epistemológicas……………………………………………... 42
Bases Psicológicas…………………………………………………. 44
Concepto de “Error”………………………………………………... 49
Características Fundamentales de los Errores……………………… 51
Categorías de errores en el aprendizaje de la Matemática…………. 52
Clasificación de los Errores………………………………………... 53
Tipología de los Errores de los alumnos según Astolfi…………… 53
Sistema de variables…………………………………………………….. 60
Variables…………………………………………………………… 60
Operacionalización de las Variables…………………………………… 61
CAPÍTULO III. MARCO METODOLÓGICO 62
Enfoque y paradigma…………………………………………………… 62
Diseño de Investigación………………………………………………... 63
Tipo y Nivel de Investigación………………………………………….. 64
Matemática II en la carrera Economía Social de la UNEFA…………... 65
Procedimiento de la Investigación……………………………………... 66
Primera Fase……………………………………………………….. 66
Segunda Fase………………………………………………………. 69
Tercera Fase……………………………………………………….. 71
Población y Muestra…………………………………………………… 71
Técnicas e Instrumentos de Recolección de Datos…………………….. 72
Validez y Confiabilidad………………………………………………... 73
CAPÍTULO IV. INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS 78
Presentación de los Resultados……………………………………….... 79
Instrumento No. 1: Prueba Diagnóstico………………………………... 80
Instrumento No. 2: Evaluación No. 1…………………………………... 91
Instrumento No. 3: Evaluación No. 2…………………………………... 93
Instrumento No. 4: Evaluación No. 3…………………………………... 95
Instrumento No. 5: Evaluación No. 4…………………………………... 99
CAPÍTULO V. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 107
Conclusiones de la investigación………………………………………. 107
Recomendaciones……………………………………………………… 112
REFERENCIAS……………………………………………………………. 115
ANEXOS 119
A. Instrumento de Validación…………………………………………. 120
xii
B. Instrumento de validación de la Prueba Diagnóstico……………….. 121
C. Prueba Diagnóstico (Instrumento definitivo)……………………….. 127
D. Instrumento de validación de la Evaluación No. 1………………….. 128
E. Evaluación No. 1 (Instrumento definitivo)………………………….. 133
F. Instrumento de validación de la Evaluación No. 2………………….. 134
G. Evaluación No. 2 (Instrumento definitivo)………………………..... 139
H. Instrumento de validación de la Evaluación No. 3………………….. 140
I. Evaluación No. 3 (Instrumento definitivo)……..……………………. 146
J. Instrumento de validación de la Evaluación No. 4…………………... 147
K. Evaluación No. 4 (Instrumento definitivo)…...…………………….. 152
L. Coeficiente de correlación Pearson entre las dos evaluaciones…….. 153
xiii
LISTA DE CUADROS
CUADRO pp.
1 Estadísticas de estudiantes inscritos, aprobados y aplazados en el segundo período del 2010 y en el primer período lectivo del 2011……………………………………………………………
33
2 Matriz de operacionalización de las Variables………………… 61
3 Contenidos de matemática preuniversitaria tomados en consideración para la elaboración de la Prueba Diagnóstico…… 67
4 Valores y significado del coeficiente de confiabilidad…………. 76
5 Frecuencia de respuestas correctas, no respondidas e incorrectas por ítem en la prueba diagnóstico………………………………. 79
6 Frecuencia de respuestas correctas, no respondidas e incorrectas por ítem para cada evaluación parcial de Matemática II……….. 90
7 Errores cometidos de acuerdo a los contenidos de matemática preuniversitaria y a la tipología de Astolfi, 1999……………….. 102
xiv
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO pp.
1 La comprensión de las instrucciones. Adaptado de Astolfi, 1999 54
2 Hábitos escolares o de mala interpretación. Adaptado de Astolfi, 1999……………………………………………………. 55
3 Concepciones alternativas. Adaptado de Astolfi, 1999………… 56
4 Operaciones intelectuales implicadas. Adaptado de Astolfi, 1999……………………………………………………………... 56
5 Procesos adoptados. Adaptado de Astolfi, 1999……………….. 57
6 Sobrecarga cognitiva. Adaptado de Astolfi, 1999……………… 58
7 Origen en otras disciplinas. Adaptado de Astolfi, 1999………... 58
8 Complejidad propia del contenido. Adaptado de Astolfi, 1999… 59
9 Tipología de errores de Astolfi, 1999. Terán, H., 2017………… 59
10 Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Prueba Diagnóstico…... 80
11 Porcentaje de respuestas para el ítem 2. Prueba Diagnóstico…... 81
12 Porcentaje de respuestas para el ítem 3. Prueba Diagnóstico…... 82
13 Porcentaje de respuestas para el ítem 4. Prueba Diagnóstico…... 83
14 Porcentaje de respuestas para el ítem 5. Prueba Diagnóstico…... 84
15 Porcentaje de respuestas para el ítem 6. Prueba Diagnóstico…... 85
16 Porcentaje de respuestas para el ítem 7. Prueba Diagnóstico…... 86
17 Porcentaje de respuestas para el ítem 8. Prueba Diagnóstico…... 87
18 Porcentaje de respuestas para el ítem 9. Prueba Diagnóstico…... 87
19 Porcentaje de respuestas para el ítem 10. Prueba Diagnóstico…. 88
20 Porcentaje de respuestas para el ítem 1-a. Evaluación No. 1…… 91
21 Porcentaje de respuestas para el ítem 1-b. Evaluación No. 1…... 92
22 Porcentaje de respuestas para el ítem 1-c. Evaluación No. 1…… 92
xv
23 Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Evaluación No. 2……... 93
24 Porcentaje de respuestas para el ítem 2. Evaluación No. 2……... 94
25 Porcentaje de respuestas para el ítem 3. Evaluación No. 2……... 94
26 Porcentaje de respuestas para el ítem 1-a. Evaluación No. 3…… 95
27 Porcentaje de respuestas para el ítem 1-b. Evaluación No. 3…... 96
28 Porcentaje de respuestas para el ítem 2. Evaluación No. 3……... 96
29 Porcentaje de respuestas para el ítem 3-a. Evaluación No. 3…… 97
30 Porcentaje de respuestas para el ítem 3-b. Evaluación No. 3…... 98
31 Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Evaluación No. 4…….. 98
32 Porcentaje de respuestas para el ítem 2-a. Evaluación No. 4…… 99
33 Porcentaje de respuestas para el ítem 2-b. Evaluación No. 4…... 100
34 Porcentaje de respuestas para el ítem 2-c. Evaluación No. 4…… 100
35 Porcentaje de respuestas para el ítem 3. Evaluación No. 4……... 101
36 Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.. 104
37 Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.. 105
38 Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.. 106
xvi
UNIVERSIDAD DE CARABOBOFACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADOMAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Autor: Lcdo. Helys Joel Terán TeránTutora: Dra. Vilma MoralesFecha: Diciembre, 2017
RESUMEN
Esta investigación tuvo como objetivo analizar los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria, que presentan los estudiantes de Economía Social, en la resolución de integrales de la asignatura Matemática II de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas (UNEFA), extensión Guacara del Estado Carabobo. La fundamentación teórica se centró en la Tipología de Astolfi (1999) sobre los errores de los alumnos. La metodología empleada se basó en el paradigma positivista con un enfoque cuantitativo, sustentado en una investigación de campo no experimental, de nivel transversal o transeccional y descriptivo. Los datos se obtuvieron a través de pruebas de evaluación; primero, por una prueba tipo ensayo denominada “prueba diagnóstico” y, segundo, cuatro (4) evaluaciones aplicadas durante el semestre académico, siendo objeto de estudio toda la población puesto que se realizó un estudio de tipo censal, la cual estuvo conformada por trece (13) estudiantes. El instrumento fue sometido al juicio de expertos para su validación, con respecto a la confiabilidad se obtuvo por medio del coeficiente de correlación Pearson correspondiente a las pruebas de formas equivalentes o de formas alternas. Se concluyó, entre otros aspectos, que los estudiantes no están debidamente preparados con los contenidos previos para desenvolverse satisfactoriamente en Matemática II. En tal sentido, se recomienda a los docentes que identifiquen los errores que presentan sus estudiantes de manera tal que a éstos se les dé un nuevo enfoque, dejar de usarlos en forma punitiva y convertirlos, mediante novedosas estrategias, en una oportunidad para aprender.
Palabras clave: Errores, matemática preuniversitaria, error en el aprendizaje de la matemática.
Línea de Investigación: Enseñanza, Aprendizaje y Evaluación de la Educación Matemática.Temática: Procesos de enseñanza y aprendizaje en los diferentes niveles y modalidades de la educación matemática.Sub-Temática: Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de la Matemática.
xvii
ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA PREUNIVERSITARIA PRESENTES EN LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES
UNIVERSITY OF CARABOBOFACULTY OF EDUCATION
GRADUATE ADDRESSMASTERS IN MATHEMATICS EDUCATION
Author: Lcdo. Helys Joel Terán TeránTutor (a): Dra. Vilma MoralesYear: December, 2017
ABSTRACT
The university mathematics, presented by Social Economy students, in the resolution of integrals of Mathematics II of the National Polytechnic Experimental University of the Armed Forces (UNEFA), Guacara extension of the Carabobo state. The theoretical foundation focused on the Typology of Astolfi (1999) on the errors of the students. The methodology used was based on the positivist paradigm with a quantitative approach, based on a non-experimental field research, of a transversal or transectional and descriptive level. The data was obtained through evaluation tests; first, by a test type called "diagnostic test" and, second, four (4) evaluations applied during the academic semester, the whole population being studied since a census-type study was carried out, which consisted of thirteen (13) students. The instrument was submitted to expert judgment for validation, with respect to the reliability was obtained by means of the Pearson correlation coefficient corresponding to the tests of equivalent forms or alternate forms. It was concluded, among other aspects, that the students are not properly prepared with the previous contents to perform satisfactorily in Mathematics II. In this sense, teachers are recommended to identify the errors presented by their students in such a way that they are given a new focus, stop using them in a punitive way and convert them, through novel strategies, into an opportunity to learn.
Keywords: Errors, pre-university mathematics, error in the learning of mathematics.
Research Line: Teaching, Learning and Evaluation of Mathematics Education.Theme: Teaching and learning processes in the different levels and modalities of mathematics education.Sub-Theme: Difficulties, obstacles and errors in the learning of Mathematics.
xviii
ERRORS IN THE LEARNING OF PRE-UNIVERSITY MATH PRESENT IN THE RESOLUTION OF INTEGRALS
INTRODUCCIÓN
La educación matemática en la actualidad tiene diversidad de líneas de
investigación las cuales intentan estudiar fenómenos que intervienen en la enseñanza
y aprendizaje de la disciplina numérica, es por ello, que en el presente, parece haber
una ola de investigación, en auge y expansión, permitiendo a muchos investigadores
del mundo buscar mejoras al sistema educativo y estrategias o pautas que faciliten la
comprensión de la matemática en los diferentes niveles, tomando en cuenta el entorno
y el contexto.
Considerando el planteamiento anterior, se puede decir, que la educación
matemática está en renovación y los cambios pedagógicos, particularmente,
comprenden la atención de contenidos y procesos que se llevan a cabo en el
desarrollo de la comprensión, razonamiento y resolución de problemas. Se asume que
hay deficiencias en la enseñanza y en la forma de recibir los objetos numéricos, por lo
que se insiste en analizar los errores de aprendizaje de los estudiantes en la
matemática preuniversitaria. También hay coincidencia en la intención de realizar
minuciosos análisis de contenidos en los materiales de evaluación de manera que se
puedan identificar las diversas dificultades que se encuentran registradas, no sólo en
los escritos de los estudiantes, sino también en la praxis de los docentes, con la
intención de describir el modo en que esos errores inciden en el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Todo investigador que profundice en la búsqueda de conocimientos en educación
matemática converge en indagar; la comprensión, análisis y resolución de problemas
numéricos por intermedio del análisis de los algoritmos matemáticos que expliquen
las razones de errores de un determinado contenido o fallas en la solución de un
problema, donde el conocimiento se ha desarrollado de manera defectuosa. Sin
embargo, es importante destacar que este tipo de errores no viene dado en el
procedimiento por sí sólo, sino que se estructura desde la percepción mental, en la
capacidad de cognición del ser humano, es por ello que surge la necesidad de tomar
en consideración otros factores que influyen en la manera de procesar la información,
destacando todos los elementos que forman parte de un individuo, tal como lo son:
sus ideas, intereses, necesidades y expectativas.
En relación con los párrafos anteriores, cuando el docente de matemática evalúa
de forma oral, escrita o práctica algún contenido de la asignatura que dicta, en
cualquier nivel, surge la preocupación al observar que los resultados no son los
esperados; existen en tales respuestas errores de aprendizaje presentes en el desarrollo
de la misma o simplemente no existe ninguna respuesta. Por ello, surgen
interrogantes sobre el qué ha pasado, cuáles son las causas de las equivocaciones del
estudiante.
En este orden de ideas, el investigador ha observado por varios semestres
consecutivos que el rendimiento en la asignatura Matemática II de Economía Social
de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas
(UNEFA) es poco satisfactorio, por lo que en este estudio, se ha planteado realizar un
diagnóstico para conocer los errores en el aprendizaje de la Matemática, adquiridos
en la Educación Media General (se denominará matemática preuniversitaria), que el
estudiante trae consigo y analizar cómo éstos están presentes en el desempeño de la
mencionada asignatura, mediante la metodología que se explica a continuación.
En el capítulo I, se presenta la descripción y formulación del problema donde se
resalta la necesidad de hacer un estudio en cuanto a las dificultades que presentan, en
el aprendizaje, los estudiantes en el área de matemática. Igualmente, se plantean los
objetivos de la investigación que permitirán de manera metódica el análisis y
descripción de la situación, así como también la justificación y relevancia del estudio.
En el capítulo II, se presentan los antecedentes de otras investigaciones, los
postulados teóricos que apoyan y sustentan el presente estudio, asimismo, en este
apartado del proceso de investigación, se presenta la tabla de operacionalización de
variables.
20
En el capítulo II, se vislumbra la metodología empleada en la investigación,
describiendo el enfoque, paradigma, diseño, tipo y nivel de la investigación, de igual
manera se detalla la población estudiada, las técnicas e instrumentos de recolección
de datos así como también la validez y confianza.
En el capítulo III, se presenta el análisis e interpretación de los resultados que se
obtuvieron del presente estudio, donde se analizan cada uno de los ítem de las
pruebas realizadas durante el desarrollo del semestre las cuales permitieron hacer el
análisis de los errores encontrados en el diagnóstico, su presencia en el desempeño de
matemática II y en las pruebas aplicadas a los estudiantes de segundo semestre de
Economía Social de la UNEFA.
Finalmente, en el capítulo IV se presentan los hallazgos de la investigación, a
través de las conclusiones y recomendaciones.
21
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
Planteamiento del problema
El error forma parte de la cotidianidad del ser humano, pues podría decirse que es
un conocimiento deficiente e incompleto en cualquier faceta de su vida. El campo
educativo no escapa de ello; en el proceso de la enseñanza y aprendizaje de la
matemática, siempre ha existido, en todos los niveles educativos, la preocupación por
los errores de aprendizaje presentes en el desempeño del alumnado, ya que éstos
representan uno de los factores que lo inducen al fracaso escolar. Prueba de esta
preocupación se traduce en las múltiples investigaciones, que han surgido al respecto,
en todos los ámbitos educativos y en muchas partes del mundo.
Es importante tomar en consideración que el error en el aprendizaje de la
matemática debería asumirse, no como un elemento que está allí presente, sino, como
un elemento que pueda ser útil e interesante para la adquisición y reformulación de un
nuevo y mejor conocimiento, al respecto Abrate, Pochulu y Vargas (2006)
manifiestan que: “el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a
ser considerado como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno
y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos” (p. 12).
Ahora bien, el error se manifiesta en el estudiante a través de su capacidad
cognitiva, siendo más preciso, en las operaciones matemáticas, puesto que al
desarrollar las actividades de matemática se observan constantes errores, según lo
expresado por De la Torre (2004): “el alumno realiza las operaciones matemáticas de
forma mecánica, porque ya las domina, pero ante el error cometido presta mayor
atención para descubrir dónde pudo tener el fallo” (p. 49); de acuerdo al autor antes
mencionado, el estudiante incurre en el error al realizar las operaciones matemáticas
de manera mecánica, debido a que olvidan realizar un análisis cuidadoso antes de dar
respuesta, sin embargo, al cometer un error y hacerlo consciente está dispuesto en
aclarar las dificultades que se le presentan.
No sólo existe preocupación a nivel del profesorado por este tema, además, existen
organizaciones que se interesan en realizar estudios mediante programas con la
finalidad de conocer el nivel de desempeño matemático, tal es el caso, del Programa
para la Evaluación Internacional de los Alumnos (PISA), proyecto coordinado por la
Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE, 2012), en el
cual se pudo observar a nivel mundial las carencias en el desempeño por parte de los
estudiantes en la matemática, viéndose reflejado en los porcentajes con indicadores
negativos.
Para ello, se contó con la participación de 34 países miembros de la organización y
31 economías y países asociados, por ende, se hace mención de algunos países que
obtuvieron resultados negativos, es decir, no alcanzaron el nivel básico (nivel 2), de
acuerdo a la OCDE la media para establecer la cuota de este nivel fue de 23%,
entendiéndose que los porcentajes superiores a éste se encuentran catalogados como
resultados poco satisfactorios, a continuación se presentan los países que se
encontraron por encima de este porcentaje: Estados Unidos (25,8%), Suecia (27,1%),
Eslovaquia (27,5%), Grecia (35,7%) y los Emiratos Árabes Unidos (46,3%), en
consecuencia, representan un nivel de desempeño poco favorable según lo esperado
por esta organización.
De igual forma, esta circunstancia no sólo se presenta en los países antes
mencionados, sino también, en ocho (8) países latinoamericanos quienes participaron
dentro del mismo programa PISA, en los cuales se pudo observar mayor porcentaje
en cuanto al bajo rendimiento en el área del conocimiento de la matemática, a
continuación, se mencionan los países y economías asociadas: Uruguay (55,8%),
23
Costa Rica (59,9%), Argentina (66,5%), Brasil (67,1%), Colombia (73,8%), Perú
(74,6%), así como también los países, Chile (51,5%) y México (54,7%), miembros de
la OCDE, todos con un rendimiento en matemáticas por debajo del nivel esperado en
la evaluación de PISA.
En este particular, es importante destacar aunque Venezuela no participó en estos
estudios, se toma en consideración los resultados del mismo para fines de la presente
investigación, ya que a través de ellos se muestran unos indicadores negativos en
cuanto a la evaluación en el área de matemática a nivel mundial, teniendo como
común denominador una baja capacidad para formular, interpretar y emplear las
matemáticas en los distintos contextos, incluyendo conceptos y procedimientos
matemáticos para describir y explicar fenómenos, lo cual se utilizó como referencia
para el desarrollo del presente trabajo de grado.
De tal manera que, reflexionando acerca de los resultados de PISA, descritos en
párrafos anteriores y comparándolos con lo observado a nivel nacional en Venezuela,
es importante destacar la opinión de Albornoz (2013) quien plantea: “más que una
receta para encaminarnos hacia el éxito académico, (…) lo que observamos
actualmente en Venezuela es una receta para el fracaso, porque estamos siguiendo
una aventura experimental cuando requerimos es una reforma convencional” (p. 93),
tal como lo expresa el autor es de suma importancia considerar el hecho educativo
desde la realidad y no experimentar en el camino, lo que sugiere asumir planes
controlados que ayuden a mejorar la educación en Venezuela. Es por ello que, al
observar de manera general los diferentes niveles de la educación Venezolana, se
puede notar que los educandos no escapan de estas dificultades y pareciera tener
mayor incidencia en el área de la matemática, por lo cual es importante escudriñar en
el proceso de aprendizaje de los estudiantes.
Ante lo expuesto, es válido considerar que todo docente al entrar en un aula de
clases puede percibir, a través de diferentes formas de expresión, las expectativas,
metas u objetivos de los educandos con respecto a la materia, sin embargo, lo que es
24
difícil de notar a primera vista es la manera en la cual los estudiantes procesan la
información que se les emite, ya que cada uno es diferente y tiene una forma especial
de organizar sus ideas y construir su propio conocimiento.
En este sentido, Popper y Lorenz (2000) afirman que: “nuestra cabeza es un cubo
con una tapa llena de agujeros, a través de los cuales se infiltra información
procedente del mundo. Esa es la teoría que fundamenta la pedagogía actual” (p.70).
Esta perspectiva del autor, sugiere que toda la información que se nos suministra es
depositada en la cabeza, sin embargo no detalla cómo se procesa, pues cada individuo
es único y diferente.
Tal como lo expresa, Briceño (2011), al referirse que el aprendizaje:
…parte siempre de la recepción de algún tipo de información, de todos los datos que se reciben, se selecciona y se organiza la información. Sin embargo, este proceso de aprendizaje es algo más complejo debido a la multiplicidad de variables, elementos y estrategias que influyen en el mismo. En este desarrollo cognitivo están no solamente el recibir y enviar mensajes o contenidos sino también la práctica, análisis, reflexión y razonamiento de pensamientos, ideas y estructuras. Igualmente, no todas las personas aprenden igual ni a la misma velocidad, lo cual no es ninguna novedad (p.143).
En relación al párrafo antes citado, la autora describe que el aprendizaje parte de
los datos obtenidos, los cuales deben procesarse mediante la organización de la
información, pero que no se queda sólo en ello pues existen diversos elementos que
influyen en él, de igual manera, hace mención a la importancia que tienen factores
como: la práctica, el análisis, reflexión, razonamientos, ideas y estructuras para el
desarrollo cognitivo del individuo, por lo cual es importante que el educando estimule
su aprendizaje para que éste sea más significativo, atendiendo a su propio estilo,
método o estrategia para aprender.
En este mismo sentido, en 1979, Keefe (en Oxford, 1990), define los estilos de
aprendizaje como: “tratos fisiológicos, afectivos y cognitivos que son indicadores
relativamente estables de cómo los aprendices perciben, interactúan con y responden
25
al ambiente de aprendizaje” (p. 6); lo que implica que los estudiantes pueden
responder de diferentes maneras a la información que recopilan en un aula de clases,
tomando en cuenta su propia manera de organizar los datos, mediante los tratos
fisiológicos, afectivos y cognitivos que le funcionen para la adquisición del
conocimiento.
Si bien es cierto que, cada estudiante es responsable de conocer y familiarizarse
con el método, estrategia o estilo que le ayude a profundizar en su propio aprendizaje,
también lo es que los educadores son parte fundamental para impulsar y motivar a los
estudiantes a descubrir la manera en que éstos pueden mejorar sus conocimientos, es
por ello que se toma en consideración la opinión de Briceño (op. cit), quien
manifiesta que:
Los estilos y estrategias de aprendizaje sobresalen entre las variables más importantes que influyen en la actuación de los estudiantes, por lo tanto, los facilitadores pueden ayudar a sus estudiantes concibiendo una instrucción que responda a las necesidades de la persona con diferentes preferencias estilísticas y enseñándoles a la vez la forma de mejorar sus estrategias para adquirir conocimiento (p.145).
Del párrafo descrito anteriormente, vale la pena preguntarse si en el proceso de
aprendizaje de la matemática y la minimización de los errores, ¿es importante la
didáctica del docente?, citando a D’Amore (2005): “la suposición más o menos
explícita parecía ser la siguiente: si se mejora la enseñanza, mejorará también el
aprendizaje” (p. 11), en consecuencia, se debe a través de la didáctica de la
matemática empleada por el docente, identificar los errores cometidos por el
estudiante, los cuales, no se deben asumir como elementos negativos, sino al
contrario, tomar acciones de corrección que permitan construir un aprendizaje más
significativo.
Podría decirse entonces que, estos errores detectados en el aprendizaje del
educando pueden mejorarse empleando una didáctica donde no sólo, el horizonte, sea
impartir un contenido a cabalidad, sino que es necesario interesarse también en cómo
26
va a ser enseñado ya que es importante tomar conciencia en lo que se refiere a la
necesidad de perfeccionar la didáctica en beneficio de la formación del estudiante.
De tal manera que, el docente de matemática debe prestar atención al identificar
errores en el aprendizaje de los estudiantes, debido a que es él quien facilita los
elementos de aprendizaje a través de la enseñanza, ya que debería estar en constante
actualización e intercambio de opiniones en conferencias sobre didáctica de la
matemática y pedagogía en cuanto a la educación, al respecto Mora (2004) señala
que:
La complejidad que caracteriza la educación, está determinada por un conjunto de variables pedagógicas, didácticas, culturales, sociales, económicas y políticas, lo cual compromete continuar más en la búsqueda de caminos con la finalidad de mejorar la práctica como docentes de aula y, por lo tanto, aportar argumentos que impulsen la transformación de la educación matemática (p. 84).
Como consecuencia de esto, se podría obtener una mejora en la formación de los
aprendices y así disminuir los errores y obstáculos que no los dejan avanzar; sin
embargo, pareciera que el estudiante en su proceso de aprendizaje pasa por alto estos
elementos o estrategias didácticas que el docente utiliza para obtener resultados
favorables en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática.
Además, para la obtención de resultados favorables en matemática, se debe tomar
en consideración al ser humano en todas sus etapas y pasos por los diferentes niveles
del sistema educativo; en tal sentido, el niño desde su primer contacto con el mundo
que lo rodea, va asimilando de una manera informal la idea de número, forma,
tamaño y en su evolución va incorporando nuevos contenidos, de allí que la
matemática siempre se encuentra inmersa en las actividades del diario vivir, es así
como el niño explora y usa la lógica racional, como característica innata va
desarrollando la disciplina matemática con la estimulación de padres, como primeros
maestros y el medio ambiente; de acuerdo al boletín emitido por Massachusetts PIRC.
27
Luego de este aprendizaje intuitivo, el niño comienza su tránsito hacia un
aprendizaje formal. En este camino hacia el aprendizaje de la matemática, el niño va
concibiendo conceptos o procedimientos erróneos que se convierten en preocupación
constante para el docente, ya que éstos aparecen de manera sistemática en la
construcción del conocimiento, por tal motivo, en este proceso debería estar presente
la corrección y superación de los mismos mediante actividades que le permitan al
estudiante tener una práctica constante, y así disminuir las dificultades presentes en el
procedimiento y manejo adecuado de la definición de los contenidos matemáticos.
Es así que el docente, en los primeros años de formación del niño específicamente
en la Educación Básica, juega un papel fundamental, debido a que si el niño en esta
etapa comete errores y se penaliza como un acto negativo, podrían convertirse estas
dificultades en una forma de odio o rechazo, lo que en un futuro pudiera
transformarse en uno de los factores de retraso académico y quizás de deserción
escolar y exclusión social, esto sustentado en un artículo de Rivas (2005), donde
plantea:
Un docente cuya visión del fenómeno educativo se expresa en los hechos, negándole al niño la posibilidad de que construya y reconstruya los saberes escolares, en virtud de asumirse él, como fuente básica del conocimiento, propiciando una nefasta dependencia en el niño y creando condiciones favorables para que el verbalismo, el formulismo y el aprendizaje mecánico se instalen desde temprana edad escolar (p. 167).
Es decir, si quienes imparten una enseñanza matemática, desde una adición o
sustracción, emplean recursos y metodologías pedagógicas que promueven más que
técnicas, procedimientos reales, lógicos y contextualizados, adecuados para los
primeros años de educación en el proceso de enseñanza y aprendizaje, el proceso
sería más efectivo en el individuo en formación, evitando dificultades y errores en el
aprendizaje del educando.
El perfil del docente, requiere de acciones concretas, que sin duda se relacionan
con el profesional que ejerce en el campo de la matemática, es por ello que ser
docente no significa vaciar contenidos repetitivos, definitivos, es necesario que se
28
aborden con propiedad nuevos paradigmas, en miras hacia una educación de calidad,
en este sentido Murillo (2003) afirma que el docente necesita: “una interesante
propuesta de actualización del maestro de matemática bajo los nuevos preceptos
teóricos-prácticos de las matemáticas a través de situaciones de aprendizajes
significativos tomadas de la vida cotidiana” (p. 178). De acuerdo a esto, se vislumbra
que en la matemática es propicio incorporar diversas situaciones de aprendizaje que
permiten generar en los educandos un aprendizaje significativo, que atienda a su
contexto cotidiano, promoviendo así un conocimiento funcional en el estudiante, que
permita aportar soluciones en el medio que le rodea.
En los párrafos anteriores, se ha insistido en la preparación del docente, ya que
debe ir a la par con la enseñanza, y todo buen método de aprendizaje debe incidir en
el estudiante asertivamente, adecuar diversas estrategias para la mediación de los
contenidos que permitirán el logro de los objetivos planteados.
El Currículo Básico Nacional y sus programas presentan nuevos modelos
contextualizados y articulados con otras asignaturas para la enseñanza y aprendizaje
de la matemática, dándole un carácter de interdisciplinario, pero se desconocen los
resultados de investigaciones al respecto y se evidencia rendimiento poco
satisfactorio en carreras universitarias, donde el conocimiento previo, matemática
adquirida en niveles anteriores, se es requerido.
En lo que se refiere al Currículo Nacional Bolivariano, del subsistema de
Educación Primaria que contempla lo siguiente: “el maestro y la maestra planificarán
junto con los niños, las niñas y otros colegas, las experiencias de aprendizajes que se
caractericen por la investigación y que conlleven tanto a la comprensión de ideas
matemáticas, como estrechar relaciones con el ambiente” (p. 21), de esta manera los
docentes en conjunto con los niños y niñas se apropian de los paradigmas
innovadores, entonces cabría preguntarse: ¿En la realidad se aprecia y practica lo
descrito en éste y en los párrafos anteriores?, ¿el maestro le da sentido a esta
contextualización?, ¿ha sido o se ha preparado para ello?
29
En virtud de esto último, haciendo una reflexión en la manera común de enseñar
matemática y, de generar aprendizajes en los distintos niveles del sistema educativo,
particularmente, en los primeros grados básicos de la educación integral del
educando, la pedagogía de la escuela pareciera que produce el conjunto de creencias
o mitos de la traumática experiencia de muchas generaciones de estudiantes en cuya
memoria escolar está anidada el estigma de una matemática que despertó miedo en su
edad escolar.
Por otro lado, y tomando en cuenta las consideraciones anteriores, en las
instituciones de Educación Media General, a pesar de que en la educación matemática
hay docentes que toman posturas tradicionalistas, otros modernas y avanzadas,
existen muchos que tienen el propósito de ayudar a superar los errores que presentan
los estudiantes en su aprendizaje, con el objetivo de eliminar las costumbres escolares
tradicionalistas donde sólo se dedica a recibir contenidos que a la larga inducen hacia
el error en el aprendizaje de la matemática, en palabras de Rico (1997) plantea que
hay:
Dos estereotipos del profesor de matemáticas: aquél que mantiene una posición convencional y tradicional, aquél otro que sostiene posiciones modernas y avanzadas. […], hay una serie de consideraciones generales que ambos tipos de profesores comparten tales como que el error es algo natural, que debe diagnosticarse de inmediato y que hay que ayudar a los alumnos a superarlo (p. 2).
La noción de número es de forma intuitiva desde los primeros meses de vida,
concreta en el nivel primaria y más formal en Educación Media General: números
naturales, enteros, racionales, irracionales, reales e imaginarios, ecuaciones,
funciones, trigonometría, figuras geométricas, entre otros temas de gran relevancia,
son temas que juegan un papel en la construcción del conocimiento, que servirá de
base para su educación superior. En función de ello, el currículo de Liceos
Bolivarianos plantea que: “es fundamental desarrollar en él y la adolescente, los
procesos matemáticos para el estudio de situaciones, tendencias, patrones, formas,
diseños, modelos y estructuras de su entorno” (p. 16), sin embargo, pareciera aún que
30
los contenidos continúan aislados y sin denotar relevancia en cuanto a la resolución
de situaciones en el contexto real del educando.
Además, de los conocimientos o aprendizajes de matemática que adquieren los
estudiantes en la secundaria, por lo anteriormente citado, el currículo busca la
comprensión de la realidad para la transformación social, esto pareciera que no se
cumple en su totalidad debido a los errores que permanecen en el aprendizaje de los
estudiantes, que no solo están presentes en la educación media, sino que continúan
siendo evidentes en los niveles de educación superior.
Por otra parte, las demandas que surgen en este contexto educativo
correspondiente al nivel superior ya no son solamente lograr los aprendizajes
tradicionales de la escuela sino manejar e interpretar contenidos y estrategias
didácticas que permitan un aprendizaje significativo y con él, desarrollar un
conocimiento apto que le permita al educando desenvolverse en un futuro en un
campo profesional; Morles, Medina y Álvarez (2003), al respecto señalan que: “los
vínculos existentes en Venezuela entre las instituciones de educación superior y otros
niveles del sistema educativo (el primario y el secundario) han sido hasta ahora, en
general, bastante débiles, pero con tendencia a fortalecerse” (p. 85).
En este mismo sentido, es importante resaltar que las instituciones de educación
superior tienen un papel fundamental en la formación de la ciudadanía, al respecto,
Pernía (2010) considera que: “las instituciones de educación superior, […], deben
tomar conciencia de la necesidad e importancia sobre la formación profesional amplia
y sólida en los diferentes procesos que involucra la docencia de la matemática en
todos los niveles” (p. 97), es decir los docentes de matemática en educación superior
deben contar con una preparación que les permita detectar y diagnosticar los errores
que el estudiante trae de niveles previos, además adaptar estrategias metodológicas
que ayuden a superar dichos errores.
Ahora bien, si el docente de matemática de educación superior debe subsanar los
errores, se hace cuesta arriba el cumplimiento de los objetivos propuestos en este
31
nivel. En tal sentido, es necesario el estudio de errores de aprendizaje que están de
forma constante en las evaluaciones aplicadas a los estudiantes, por lo que amerita
hacer un análisis de los mismos para contribuir a minimizarlos, de tal manera, que no
interfiera en el logro de los nuevos objetivos.
Es por ello que, se debe tomar en cuenta las conclusiones y aportes del programa
PISA, mencionado en párrafos anteriores, donde señala la ausencia de definiciones
básicas, anclaje de conocimientos, aunado al proceso de aprendizaje en el desarrollo
cognitivo de los estudiantes, esto sin duda alguna conllevan a la constante evidencia
de errores. En 1980, Matz (citado en Socas, 2007), señala que: “los errores son
intentos razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una
nueva situación” (p. 33), de esto se puede decir que a pesar de que el error constituye
un aspecto negativo, son intentos para hallar una solución a nuevos problemas.
Por ende, los errores que padecen los estudiantes en el nivel de educación
superior, deberían ser tomados en cuenta, revisados y analizados para minimizarlos,
en este sentido, Socas (2007) plantea lo siguiente:
Las investigaciones desarrolladas en este sentido nos han llevado a profundizar más en el origen y causa de los errores y a revisar los errores desde dos puntos de vista: las dificultades inherentes a las Matemáticas y las dificultades inherentes al proceso de enseñanza y aprendizaje de las mismas en el ámbito escolar. (p. 24).
Ahora bien, el fracaso del estudiantado por constantes errores en el aprendizaje de
la matemática, es lo que ha motivado el presente estudio, donde el investigador, a
través de su experiencia como docente, ha venido observando, con preocupación, en
la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas (UNEFA),
extensión del núcleo de Carabobo ubicada en el Municipio Guacara del Estado
Carabobo, el desempeño poco satisfactorio de los estudiantes en la asignatura
Matemática II, de la carrera de Economía Social, durante varios semestres, para el
segundo período del 2010 (II-2010), y el primer período del 2011 (I-2011) (Ver
Cuadro 1), y al parecer, una de las causas del problema está en concepciones erróneas
y la falta de los conocimientos previos en el aprendizaje de la matemática de niveles 32
anteriores, matemática preuniversitaria, los cuales se traducen en altos porcentajes de
aplazados en los parciales de dicha asignatura, sobre todo al momento de resolver
integrales, estando este contenido presente en todos los parciales.
Cuadro 1
Estadísticas de estudiantes inscritos, aprobados y aplazados en el segundo período del 2010 y en el primer período lectivo del 2011
Segundo semestre 2010 Primer semestre 2011
InscritosAprobados Aplazados
InscritosAprobados Aplazados
No. % No. % No. % No. %
96 52 54 44 46 57 36 63 21 37
Fuente. Departamento de Ingresos (UNEFA)
Una vez revisados los porcentajes descritos en el cuadro anterior, proporcionados
por el departamento de ingresos de la mencionada universidad, se pudo observar que
aunque en ambos semestres la mayoría de los estudiantes aprobaron la asignatura, el
rendimiento no es del todo satisfactorio además se visualiza que la cantidad de
estudiantes inscritos para el primer semestre del 2011, está por debajo del semestre
anterior. Esta problemática lleva a otras consecuencia, tales como: la deserción
estudiantil, lo cual se observa en el cuadro 1, donde para el segundo semestre 2010 la
matrícula estudiantil era de 96, quedaron 44 aplazados y para el primer semestre de
2011 se inscribieron sólo 57 estudiantes, lo que representa una diferencia
significativa.
Otro elemento a considerar es que la asignatura Matemática II de Economía Social
es prerrequisito de otras asignaturas del siguiente semestre tales como: Matemática III
(MAT-31135), lo cual trae como consecuencia el atraso del estudiantado en la carrera
de estudio y las implicaciones personales y psicológicas a que esto conlleva.
Todo esto, vinculado con las observaciones del investigador en el segundo
semestre del año 2013, le llevan a plantearse las siguientes interrogantes: ¿Cuáles son
los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria que presentan los 33
estudiantes cursantes de la asignatura Matemática II?, ¿Qué errores presentan los
estudiantes en la resolución de las integrales propuestas en los parciales respectivos
de la asignatura matemática II?, ¿De qué manera los errores en el aprendizaje de
matemática preuniversitaria están presentes en el desempeño de la asignatura
Matemática II de Economía Social?
Objetivos de la investigación34
Objetivo General
Analizar los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria, que
presentan los estudiantes en la resolución de integrales, de la asignatura Matemática
II de Economía Social de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las
Fuerzas Armadas (UNEFA), extensión Guacara del Estado Carabobo.
Objetivos Específicos
1. Identificar los tipos de errores en el aprendizaje de matemática
preuniversitaria, presentes en los estudiantes cursantes de la asignatura
Matemática II de Economía Social.
2. Determinar los errores de aprendizaje presentes en las evaluaciones parciales
de la asignatura Matemática II de Economía Social.
3. Describir los tipos de errores, que afectan la correcta solución de las
integrales, en las evaluaciones parciales de la Asignatura Matemática II de
Economía Social.
Justificación de la Investigación
La matemática contempla una de las áreas del conocimiento indispensable para el
desarrollo del pensamiento en el ser humano, ella vislumbra procesos racionales que
ayudan y promueven la cognición, mediante la comprensión y análisis de situaciones,
de tal manera que el individuo interactúa diariamente con los elementos que en ella
intervienen y a su vez el estudio de errores cometidos por los estudiantes se convierte
en una de las actividades de la acción educativa, es por ello que el presente estudio
está orientado al análisis de errores de aprendizaje que traen consigo los estudiantes
de la educación matemática preuniversitaria y su permanencia en matemática de
educación universitaria.
Al respecto la opinión de Morín (2003), constituye un aporte de gran relevancia,
ya que afirma que:
35
La racionalidad puede ser definida como un conjunto de las cualidades de verificación, control, coherencia, adecuación, que permiten asegurar la objetividad del mundo exterior y operar la distinción y la distancia entre nosotros y este mundo. A partir de ahí, y visto que todo conocimiento es traducción y reconstrucción y que las fermentaciones fantásticas parasitan cualquier conocimiento, el error y la ilusión son los problemas cognitivos permanentes de la mente humana. A pesar de sus capacidades de control y verificación, el conocimiento humano ha corrido y sigue corriendo riesgos formidables de error… (p. 108).
Considerando el planteamiento anterior, es necesario destacar que el error forma
parte de la cotidianidad y que es normal en la capacidad humana; sin embargo el
hacer conscientes las situaciones donde éste se expone, es probable que disminuya en
las futuras ocasiones, pues empleando la racionalidad, el individuo es capaz de actuar
con coherencia y reconstruir el conocimiento superando o evitando el error.
En vista de que la racionalidad en el individuo se desarrolla desde el momento de
su nacimiento, es relevante mencionar que la matemática es una de las pocas áreas
con la cual se trabaja desde la etapa inicial, donde se fundamenta la base del
conocimiento, requisito previo para el buen desenvolvimiento en los estudiantes a
medida que avanzan; es en este nivel de educación primaria donde se fija lo que será
en estudios posteriores el dominio de conceptos y algoritmos utilizados en
matemática de bachillerato (matemática preuniversitaria) por lo que, a través de esta
investigación se realizan unas pruebas con las cuales se pretende conocer y
determinar los errores en el aprendizaje de la matemática que persisten en los
estudiantes de las universidades Venezolanas, específicamente en la UNEFA.
En este sentido, el presente trabajo de investigación pretende dar respuesta a las
líneas estratégicas del sistema educativo superior, lo que permite promover
favorablemente un beneficio académico en los estudiantes en cuanto al aprendizaje
para entonces ir en pro de una calidad de educación, es por ello que constantemente al
inicio de año o semestre se debe tener como premisa reforzar lo ya adquirido, por lo
que el docente debe hacer un diagnóstico para detectar las necesidades que puedan,
los estudiantes, presentar en esta etapa preuniversitaria.
36
En relación al párrafo anterior, es importante clarificar que todos esos elementos
logran un impacto social, ya que al promover una educación en matemática que
media con el desarrollo del pensamiento, estudiando problemas relacionados con la
descripción e interpretación, forma parte de la realidad que asume y que rodea al
estudiante, de modo que se busca consolidar al recurso humano que será el que tome
las riendas y se desenvuelva en la sociedad en un futuro; para ello es necesario una
preparación en matemática adecuada que sugiera un desenvolvimiento favorable en
estudios posteriores.
De esta manera, se considera que los errores conducen a la frustración, repitencia
y deserción del estudiantado de la asignatura Matemática II de Economía Social, por
lo que este estudio contribuye de manera significativa a minimizar estos efectos,
divulgando los hallazgos de la misma ante los docentes, no sólo universitarios sino de
educación media general, a fin de poder discernir en los factores que inciden en esta
problemática.
En este orden de ideas, la presente investigación pretende ser un recurso
importante para el docente de educación media general, de manera que pueda fijar su
atención a las necesidades de los educandos, promoviendo estrategias de enseñanza
que desencadenen en el estudiante un aprendizaje significativo y al docente
universitario la amplitud de la mirada hacia las carencias de los participantes,
convirtiéndose éstas en oportunidades en vez de obstáculos.
Es por ello, que el presente estudio se interesa en el análisis de errores
permanentes que se evidencian en matemática II como consecuencia del
desconocimiento de conceptos, procedimientos o poca comprensión por parte de los
estudiantes y así mejorar los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria,
su permanencia en matemática II, no sólo brindando un beneficio a los estudiantes y
docentes de la institución donde se desarrolló la investigación, sino también a otras
instituciones e investigadores que deseen abordar problemáticas con índoles
similares.
37
En este sentido, es importante considerar la opinión de Popper y Lorenz (2000)
que explican:
La nueva escuela se va a caracterizar entonces porque el maestro no puede limitarse a la utilización de fórmulas o recetas fijas sino que tiene que ser un creador constante que está continuamente atento al desarrollo de sus alumnos y que le proporciona las oportunidades para que aprendan (p. 223).
Por otra parte, esta investigación constituye un punto de partida a otras
investigaciones tales como el estudio no solo de errores, sino de dificultades y
obstáculos que incidan en el desempeño de los estudiantes, por ende se facilita a otros
investigadores el estudio de esta temática ya que es una variante en la educación
matemática en el mundo y particularmente en Venezuela. En este sentido se puede
aseverar el aporte filosófico, teórico, metodológico, pedagógico y andragógico que el
presente estudio manifiesta, pues además de los autores que sustentan la investigación
con sus postulados y teorías, se encuentra un tipo de estudio que sugiere una base a
futuras investigaciones, de igual manera, a docentes de Educación Media y
Universitaria que deseen estudiar y ampliar este tipo de fallas.
38
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
En este capítulo se profundiza la manera de contextualizar el problema planteado
en la investigación, a través del progreso de una visión teórica que delimita la misma,
es aquí donde se detallan las actividades que el investigador lleva a cabo para tal
efecto como organización, determinación, obtención y consulta de los diferentes
postulados teóricos, es por ello que a continuación se esboza, en el presente marco
teórico los antecedentes, los fundamentos epistemológicos, psicológicos que le dan
pertinencia al estudio.
Antecedentes de la Investigación
Toda investigación amerita la consulta de estudios previos que le permitan orientar
su objeto de estudio, de tal manera que se puedan adquirir herramientas e información
necesaria que amplíe y guíe el trabajo de grado que se realiza, por esta razón, a
continuación se presentan algunos autores que desarrollaron estudios similares al
presente.
Azañero (2013), realizó una investigación titulada: Errores que presentan los
estudiantes de primer grado de secundaria en la resolución de problemas con
ecuaciones lineales, presentado ante la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Cuyo objetivo general fue identificar los errores que cometen los estudiantes de
primer grado de secundaria al resolver problemas con ecuaciones lineales. Éstos
fueron determinados a través de una metodología basada en una prueba diagnóstico,
mediante una secuencia de problemas.
En tal sentido, este autor antes mencionado, de los resultados obtenidos concluyó
que: “al resolver problemas con ecuaciones lineales, los estudiantes muestran
dificultades” (p. 4), lo cual se relaciona con esta investigación ya que los estudiantes
de Matemática II de Economía Social presentan errores en el desempeño de la
asignatura, presumiblemente, como consecuencia del aprendizaje obtenido en los
contenidos de matemática preuniversitaria.
De Castro (2012), en su tesis doctoral: Estimación en cálculo con números
decimales: Dificultad de las tareas y análisis de estrategias y errores con maestros
en formación, presentado ante la Universidad de Granada. Dentro de los objetivos
planteados, por el autor, se encontró estudiar la dificultad relativa de las tareas de
estimación en función del tipo de operación y del tipo de número. La metodología de
la investigación se basó en dos partes complementarias: una de tipo cuantitativo,
llevada a cabo a través de la administración y posterior análisis estadístico de una
prueba de estimación, y otra de tipo cualitativo, realizada a través de entrevistas
individuales. Concluyó que: “la dificultad fundamental al estimar con decimales
radicó en los propios decimales. Entre las dificultades destacaron las producidas al
operar la coma decimal” (p. 454).
En ese mismo sentido; Herrera (2011), en su estudio: Obstáculos y errores en el
aprendizaje de los números irracionales para optar al título de Magister en Educación
Matemática, presentado ante la Facultad de Ciencias de la Educación de la
Universidad de Carabobo. Tuvo como objetivo general analizar los errores y los
obstáculos que presentan los estudiantes del 3° año de educación media general de la
Unidad Educativa Nacional “Creación Barrio 19 de Abril” en el aprendizaje de los
números irracionales. La metodología empleada estuvo bajo el enfoque cualitativo, de
tipo etnográfico. Concluye que los estudiantes hacen una asociación incorrecta entre
los signos y la operación aritmética así como la poca comprensión e identificación de
las características más relevantes de los elementos de cada conjunto numérico,
dejando un aporte a esta investigación, el estudio citado, con referente al análisis de
errores en el aprendizaje de las matemáticas preuniversitarias.
40
Por otra parte; Castillo (2011), en su trabajo de maestría titulado:
Representaciones simbólicas: un obstáculo para la solución de problemas
algebraicos, presentado ante la Universidad del Zulia. Cuyo objetivo general fue
determinar los errores asociados al manejo de los símbolos matemáticos presentes en
los estudiantes de tercer año de educación media general, de la Unidad Educativa
Colegio “Ntra. Sra. del Carmen” del municipio Machiques, del estado Zulia, que
pueden considerarse como un obstáculo para la solución de los problemas algebraicos
de contexto. Desarrolló una investigación descriptiva, con un diseño de campo, no
experimental, transeccional. Concluyó que los estudiantes colocaron de manifiesto
errores tales como la traducción del lenguaje ordinario al simbólico, la suma de
términos no semejantes, no incluir la variable de las operaciones aritméticas, entre
otros, que obstaculizan la satisfactoria resolución de problemas algebraicos de
contexto. En consecuencia, el estudio realizado por la autora citada, es tomado en
consideración para la presente investigación, ya que describe que los estudiantes
manifestaron errores básicos de matemática preuniversitaria que obstaculizan la
satisfactoria solución de problemas algébricos.
Vanegas (2011), en su tesis doctoral: Las representaciones de funciones
matemáticas de una variable, presentada ante la Universidad del Zulia. Se planteó
como objetivo general diseñar una propuesta didáctica con base en las indagaciones
obtenidas sobre conocimientos previos, representaciones mentales y capacidad de los
alumnos de cálculo I de la facultad de ingeniería de la Universidad del Zulia. En
cuanto a la metodología empleada se basó en una investigación mixta cuali-
cuantitativa de tipo fenomenológica. De acuerdo a los resultados que obtuvo,
determinó que las concepciones de los estudiantes son estables y meramente
operacionales, el lenguaje matemático muy deficiente, sus representaciones son de
tipo proposicional y analógicas sin llegar a representaciones mentales tipo modelos,
ni concepciones estructurales. En referencia a los errores cometidos por los
estudiantes fueron de razonamientos.
41
Piñero (2011), realizó un estudio titulado: Errores y obstáculos en el concepto de
número decimal de alumnos adultos de diferentes culturas en un entorno de falta de
libertad, presentado ante la Universitat Autónoma de Barcelona. El objetivo general
fue analizar los errores cometidos en las producciones de alumnos adultos de
diferentes culturas en una situación particular, la falta de libertad. El estudio se
enmarcó en una investigación cuantitativa, experimental de tipo Ex Post-Facto
realizando una descripción de los hechos ocurridos. En conclusión del autor, el
estudio ha puesto de manifiesto una dificultad general en los números decimales, con
sujetos que han cometido errores frecuentes.
Fundamentación Teórica
A continuación se presentan diferentes autores, cuyos postulados sustentan el
desarrollo de la investigación, las cuales se establecen en bases epistemológicas,
psicológicas, categorías, características y clasificación de errores:
Bases Epistemológicas
Popper (1979) plantea que: “el conocimiento no puede partir de la nada. El avance
del conocimiento consiste, principalmente, en la modificación del conocimiento
anterior” (p. 72). En otras palabras si se fundamenta el conocimiento a medida que se
avanza y llegan nuevos tópicos es donde se reformula el mismo, de manera más
explícita no hay fuentes últimas para alcanzarlo, la presencia del error es una
necesidad de un constante ejercicio de la crítica, todo esto se hace en virtud de
modificar los conocimientos deficientes.
Popper (1979) resume en nueve tesis los resultados epistemológicos de su
reflexión:
1. No hay fuentes últimas del conocimiento. Debe aceptarse toda fuente y toda
sugerencia y, en primer lugar, deben ser sometidas a un examen crítico.
2. La cuestión epistemológica adecuada no es la relativa a las fuentes; más bien
preguntaremos si la afirmación hecha es verdadera, si concuerda con los hechos. 42
Esto se denomina examinando o sometiendo a prueba la afirmación misma, de
modo directo, o bien sometiendo a prueba sus consecuencias.
3. En conexión con el examen y revisión críticos tienen importancia todo tipo de
argumentos.
4. La fuente más importante de nuestro conocimiento es la tradición. La mayor
parte de las cosas que sabemos las hemos aprendido por el ejemplo o porque las
hemos leído u oído previamente.
5. Toda parte de nuestro conocimiento por tradición es susceptible de examen
crítico y puede ser abandonado.
6. El conocimiento no puede partir de la nada. El avance del conocimiento consiste,
principalmente, en la modificación del conocimiento anterior.
7. No hay ningún criterio que permita reconocer la verdad. Pero sí poseemos
criterios que, con suerte, permiten conocer el error y la falsedad. La claridad y
distinción no son criterios de verdad, pero la oscuridad y la confusión indican el
error. Análogamente, la coherencia no basta para establecer la verdad pero la
incoherencia y la inconsistencia permiten establecer la falsedad.
8. La función más importante de la observación y el razonamiento, y aún de la
intuición y la imaginación, consiste en contribuir al examen crítico de las
conjeturas con las que se sondea lo desconocido.
9. La solución de un problema plantea nuevos problemas sin resolver, y ello es
tanto más así cuanto más profundo era el problema original y más audaz.
En este sentido, el conocimiento que es adquirido en niveles de educación
primaria es imprescindible por lo que se debe someter a prueba constante toda
afirmación, debido a que es en esta etapa donde se construyen bases sólidas porque
sin éstas no tendrá éxito la inclusión de nuevos temas en estudio; en consecuencia, y
tomando la cavilación hecha por Popper, el conocimiento en matemáticas no parte de
la nada, es por ello que, si se tienen los conocimientos bien estructurados y reforzados
o se modifican se podrán incorporar nuevos conocimientos.
43
Aunque Popper en esta reflexión se refiere al conocimiento general, y
directamente al conocimiento de las ciencias experimentales, resulta oportuno tomar
como referencia a las matemáticas, pues muchos de los errores que se desencadenan
en ésta asignatura pueden estar relacionados directamente al conocimiento, por lo
cual se puede admitir el error como parte elemental de la adquisición del
conocimiento, de esta manera, podría entonces tomarse las nueve hipótesis de Popper
para analizarlas y suministrar aportes importantes para el presente estudio.
Es importante destacar que, el conocimiento no se trata sólo de plantear los
obstáculos externos, sino más bien es en el acto mismo, por conocer, dónde aparecen
interrelacionados por una especie funcional indispensable las confusiones y las
dificultades, entonces pues, Bachelard (2000), lo denomina obstáculos
epistemológicos. Este planteamiento hecho se toma como fundamento epistemológico
debido a que aborda el conocimiento de lo real desde sus inicios de manera
inmediata, plena y surge del pensamiento empírico.
A pesar de que el pensamiento empírico es claro, planteado por Bachelard;
también este autor en su reflexión, al retornar en un pasado de error vislumbra una
corrección intelectual, textualmente: “al volver sobre un pasado de errores, se
encuentra la verdad en un verdadero estado de arrepentimiento intelectual” (p. 15), es
decir, explica la presencia de obstáculos cognitivos en los estudiantes sobre
matemática, se conoce en contra de un conocimiento previo cambiando o superando
estos conocimientos mal adquiridos.
Bases Psicológicas
En el proceso de enseñanza y aprendizaje, es necesario conocer la estructura
cognitiva del discente, específicamente ahondar más en cuanto a cuáles son los
conocimientos previos que emplea en el desarrollo de su aprendizaje. Es por esto, que
el autor presenta las teorías psicológicas que sirven de sustento a la investigación en
cuanto al análisis de errores en los aprendizajes de la Educación Matemática.
44
El estudiante es capaz de vincular contenidos que se le presentan de manera
trascendental y conectar lo primordial del conocimiento nuevo a lo que él ya sabe, el
aprendizaje significativo destaca el tipo de proceso de aprendizaje y el resultado del
mismo; en este sentido Moreno (1989), vislumbra que: “en el aprendizaje
significativo interactúan dos factores: las características del material o tarea de
aprendizaje y la estructura cognoscitiva del estudiante” (p. 150).
Cabe agregar, el material de aprendizaje que es presentado a los estudiantes
adquiere significado cuando logra relacionarlo con sus conocimientos previos, es
decir, para que haya un aprendizaje significativo el estudiante al enfrentarse con
contenidos, que para él puedan ser nuevos, éste podrá vincularlos con los ya
aprendidos en su estructura cognoscitiva; de esta manera este aprendizaje será
efectivo y duradero. En otras palabras, el aprendizaje significativo presume una
interacción entre la nueva información y las ideas existentes.
Esta teoría del aprendizaje significativo le brinda la oportunidad al estudiante de
desempeñarse mejor cuando éste adquiere el conocimiento nuevo y complementa el
que ya existe en su estructura cognoscitiva, pues le permite entender de mejor manera
los contenidos y saber de qué forma interactuar con ellos en un futuro cuando los
necesite, pues el educando viene acostumbrado a acudir a técnicas como repetir
constantemente lo que estudiaba para poder comprender un tema, llevándolo así a un
aprendizaje memorístico donde solo se asimila el conocimiento para el momento de
ser evaluado, no para que perdure y sirva de aliado en una labor futura.
En el aprendizaje significativo, el proceso mismo de adquirir información deja
como producto una reforma tanto de los conocimientos recién adquiridos como del
aspecto específicamente pertinente de la estructura cognoscitiva con la cual aquél
conocimiento se relaciona. Para que este aprendizaje significativo se manifieste,
Rodríguez, L. (2004), plantea que deben darse dos condiciones fundamentales:
1. Actitud potencialmente significativa de aprendizaje por parte del aprendiz, o
sea, predisposición para aprender de manera significativa.
45
2. Presentación de un material potencialmente significativo. Este requiere:
Por una parte, que el material tenga significado lógico, esto es, que sea
potencialmente relacionable con la estructura cognitiva del qué aprende de
manera no arbitraria y sustantiva;
Y por otra, que existan ideas de anclaje o sub-sumidores adecuados en el
sujeto que permitan la interacción con el material nuevo que se plantea.
Al analizar el material de aprendizaje, Ausubel (1968) distingue dos tipos: uno
potencial o lógico que se refiere a la naturaleza del material en sí mismo; otro real o
psicológico, que consiste en que dicho material puede ser comprendido por el
estudiante e incorporado a su estructura cognoscitiva.
El significado potencial o lógico, se hace real o psicológico cuando se convierte en
un contenido cognoscitivo nuevo, como resultado de haber sido relacionado de forma
sustancial con las ideas existentes en la estructura cognoscitiva y de haber
interactuado con éstas; pasando a construir el nuevo aprendizaje. Ausubel llama al
significado psicológico, significado idiosincrático, es decir, relacionado con la
personalidad del individuo, con sus capacidades, actitudes, valores y por supuesto con
su estructura cognoscitiva (ob. cit. p. 150).
En el aprendizaje significativo por recepción, el contenido potencialmente
significativo es comprendido o hecho significativo durante el proceso de
internalización. Este aprendizaje por descubrimiento, el contenido descubierto, se
hace significativo de la misma manera en gran parte.
En este sentido, para este tipo de aprendizajes Ausubel puntualiza que en los
estudiantes menores, cierta porción de los aprendizajes por repetición o por
descubrimiento suele ser conveniente, pero la mayor parte del aprendizaje en el aula,
especialmente el de los estudiantes de mayor edad, es aprendizaje significativo por
recepción, pues: “después de los años de la escuela primaria, el aprendizaje por
recepción verbal constituye el método más eficaz de asimilar significativamente el
contenido sustancial de una disciplina” (Ausubel, Novak y Hanesian, 1978, p.463).
46
Los planteamientos anteriores se pueden complementar con el esbozo de
Kilpatrick, Gómez y Rico (1998) donde proponen:
Todo conocimiento es construido. El conocimiento matemático es construido,
al menos en parte, a través de un proceso de abstracción reflexiva.
Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de construcción.
Las estructuras cognitivas están en desarrollo continuo. La actividad con
propósito induce la transformación de las estructuras existentes.
Reconocer el constructivismo como una posición cognitiva conduce a adoptar
el constructivismo metodológico.
De acuerdo a lo citado anteriormente, el constructivismo nos conduce hacia el
conocimiento verdadero, es decir en matemática los conocimientos se construyen de
forma constante en la estructura cognitiva del ser humano con el propósito de
transformar el error y, por ende, conduce a adoptar metodologías constructivistas en
el desarrollo continuo donde se deberá incluir un diagnóstico, detección, corrección y
superación mediante actividades que promuevan características sobre sus propias
producciones.
Confrey y Cazak (2006) manifiestan las raíces del constructivismo matemático:
Tenemos que ubicar las raíces del constructivismo en tres tradiciones, gran parte habituales del PME (The International Group for the Psychology of Mathematics Educations): (1) Resolución de problemas […], (2) Errores, barreras críticas y obstáculos epistemológicos […], y (3) Teorías del desarrollo cognitivo […]. Todas estas tradiciones impregnan la educación matemática con la opinión de que algo más que la lógica de la matemática era necesario para explicar, predecir, y facilitar el aprendizaje de las matemáticas. Todas ellas reconocen que la dificultad o la facilidad de aprendizaje no pueden ser explicadas simplemente mirando a la complejidad de la materia, sino que era necesario tener en cuenta otros factores para el camino recorrido de aprendizaje y los niveles de éxito o fracaso (p.307).
En consecuencia la más influyente, probablemente, es la tercera tradición
forjadora del desarrollo del constructivismo; pues agregando el trabajo de Piaget
47
(1932), acerca de las teorías del desarrollo cognitivo, en general, el constructivismo
ha poseído un impacto importante en la educación matemática, en el sentido que ha
situado a los niños al frente de la actividad que ha preguntado acerca de cuestiones
genuinas sobre cómo hacer un uso efectivo de los recursos y las ideas que éstos
aportan al aprendizaje.
En este sentido, Piaget (1932) propuso una forma alternativa sobre cómo se
construye el conocimiento, planteó una situación según la cual el conocimiento es el
producto de la interacción entre el sujeto y la realidad que lo rodea; al intervenir sobre
la realidad va construyendo las propiedades que la integran y al mismo tiempo va
construyendo su propia mente, a esta posición se le ha denominado el
constructivismo; el sujeto tiene que construir tanto sus ideas como sus conocimientos
sobre el mundo partiendo de su experiencia, como también sus propios instrumentos
de conocer. El individuo va pasando por una serie de estadios a lo largo de su
desarrollo que son distintas formas de interactuar con la realidad.
Para Piaget, el conocimiento no es una mera copia de los datos que proceden de la
realidad exterior, no se transmite directamente, el conocimiento no se produce como
consecuencia de un acto de comprensión instantáneo, su adquisición exige una acción
por parte del que aprende y una interacción con el entorno, debe ser activamente
construido desde la experiencia propia del individuo y no recibido pasivamente del
entorno por el sujeto.
Para que el aprendizaje esté disponible viene determinado por la idoneidad del
bagaje cognitivo que tiene el discente para enfrentarse a los requisitos de una nueva
tarea determinada de aprendizaje, abarcando esta idoneidad dos aspectos, primero, los
conocimientos previos específicos que poseen con relación a la materia en
aprendizaje y, segundo, el estado de madurez intelectual cognitiva del individuo.
Desde la visión de Brousseau (1997), el error no puede considerarse sólo como
prueba de la ignorancia, inseguridad o del azar éste puede ser el resultado de un
conocimiento anterior que le ayudó, en su momento, a resolver diversas situaciones
48
de manera exitosa, por el contrario, ahora se revela falso o simplemente inadaptado;
este tipo de errores generado por obstáculos, son previsibles.
Los errores que persisten una y otra vez están ligados a la estructura cognitiva del
estudiante además, utilizan procedimientos que en otras ocasiones han obtenido
resultados positivos; Brousseau, Davis y Werner (1986), señalan que:
Los errores que cometen los alumnos muestran, en algunos casos, un patrón consistente; los alumnos tienen con frecuencia concepciones inadecuadas (“misconceptions”) sobre los objetos matemáticos; a veces, estas concepciones inadecuadas los conducen a usar procedimientos equivocados que no son reconocidos como tales por sus profesores (p. 22).
Los errores aparecen en el desenvolvimiento del estudiante y más aún cuando se
enfrenta a conocimientos novedosos que le obligan a hacer una reestructuración y
revisión de lo que ya conocen, se considerará como un esquema cognitivo inadecuado
tras intentos razonables pero no exitosos de adaptar conocimientos a una nueva
situación.
Concepto de “Error”
Es importante destacar la definición que le dan distintos autores a la palabra
“error”, es por ello, que a continuación se presentan los distintos conceptos que nos
llevan a un mismo punto, el error. Según thefreedictionary y la Real Academia
Española, convergen en que el error es un concepto, idea, opinión o juicio falso o
equivocado.
Para esta investigación, desde la visión educativa, para De la Torre (2004): “el
error es entendido como distorsión, inadecuación o improcedencia” (p. 18), ahora
bien, para el mismo autor: “es un concepto que se inscribe en la perspectiva cognitiva
de la educación, legitimada por la reforma y avalada por destacados psicólogos y
pedagogos desde Dewey y Piaget hasta handbooks” (p. 15). Para ellos el error toma
un enfoque humanista frente a su carácter habitual que es sancionador, es más
49
integrador y comprensivo perspectiva desde la cual, cada vez más, se adhieren otros
paradigmas.
Para Astolfi (1999), en los modelos constructivistas: “los errores no se consideran
faltas condenables ni fallos de programa lamentables: son síntomas interesante de los
obstáculos con lo que se enfrenta el pensamiento de los alumnos” (p. 15), es decir, los
errores no representan un impedimento para el conocimiento, sino más bien son una
oportunidad de visualizar el proceso donde se encuentra el estudiante, el cual indica
los progresos y dificultades que presentan para poder encontrar un camino que lleve a
la corrección del error en el conocimiento.
De igual forma para Briceño (2011), el error es tan normal que supone: “una
debilidad común, que está presente en todos los procesos y acciones del sujeto como
ente falible que es” (p. 24). En consecuencia, podría decirse que el error forma parte
de la formación humana desde sus inicios, estando presente en cada faceta del
individuo, así que no debe verse de manera sorpresiva, sino tan normal como la
propia evolución del sujeto.
Ahora bien, el error en el aprendizaje de la matemática es considerado por
Rodríguez (2004) como las: “insuficiencias que se incrementan de grado en grado y
que se manifiestan en el limitado desempeño de los estudiantes en la asimilación y
uso de los conocimientos, que en general no rebasan el plano reproductivo” (p. 4). Es
así como, la autora califica al error como aquellas insuficiencias que se manifiestan
en el uso de conocimientos del estudiante durante su desempeño académico.
Por otra parte, Del Puerto y Minnaard (2004) afirman que:
El análisis de los errores cometidos por los alumnos en su proceso de aprendizaje provee una rica información acerca de cómo se construye el conocimiento matemático; por, otro lado, construye una excelente herramienta para revelar el estado de conocimiento de los alumnos, imprescindible a la hora de realimentar el proceso de enseñanza-aprendizaje con el fin de mejorar los resultados (p. 4)
50
Desde este punto de vista se puede discernir que el error en el aprendizaje de la
matemática es una oportunidad para potenciar las capacidades del estudiante y lograr
mejorar su desempeño.
Características Fundamentales de los Errores
Brousseau, Davis y Werner (citados en Rico, 1997) señalan cuatro vías por las
cuales el error puede presentarse, enunciándolas de la siguiente manera:
1. Se hace evidente rápidamente que los errores de los alumnos son, con
frecuencia, el resultado de un procedimiento sistemático que tiene alguna
imperfección; pero el procedimiento imperfecto lo utiliza el alumno de modo
consistente y con confianza. En estos casos, los errores muestran un patrón
consistente.
2. Los alumnos tienen con frecuencia grandes concepciones inadecuadas
(misconceptions) acerca de aspectos fundamentales de las matemáticas.
3. Cuando es posible observar a los alumnos y también intercambiar información
con sus profesores usuales, se ve que los alumnos emplean con frecuencia
procedimientos imperfectos y tienen concepciones inadecuadas que no son
reconocidas por sus profesores.
4. También se hace evidente que los estudiantes son con frecuencia más
inteligentes para inventar sus propios métodos originales de lo que se espera
de ellos. Incluso cuando un método ha sido presentado por el profesor, un
alumno puede desarrollar su propio método original, llegando hasta ignorar el
método del profesor.
Ahora bien, de acuerdo a lo expresado por Rico (1997), la mayor parte de los
investigadores y especialistas coinciden en considerar como características generales
de los errores, ya que estos surgen como espontáneos y de forma inesperada ante el
profesor; las siguientes:
51
1) Los errores, con frecuencia, cometidos por los estudiantes surgen de manera
espontánea y sorprendente, manteniéndose por lo general ocultos para el profesor
durante algún tiempo.
2) Los errores son persistentes y particulares de cada individuo. Son difíciles de
cambiar puesto que requieren de la corrección para una reorganización
fundamental del conocimiento en el alumno.
3) Hay un predomino de errores sistemáticos con respecto a los errores por azar.
Los errores sistemáticos son más frecuentes, pues revelan los procesos mentales
subyacentes del alumno; estos errores se toman como síntomas que señalan hacia
un método o comprensión equivocada subyacente, que el estudiante considera y
utiliza como correcto. Los errores por azar reflejan falta de cuidado y tienen
relativamente poca importancia.
4) Los alumnos no toman conciencia al momento que cometen un error, pues no
cuestionan lo que les parece obvio y no consideran el significado de los símbolos
y conceptos con los que trabajan.
Categorías de errores en el aprendizaje de la Matemática
Es importante tener presente que los errores, al igual que el fenómeno educativo,
se ponen en evidencia pues son la manifestación exterior de un proceso complejo en
la que intervienen distintas variables; ejemplo de ello, profesor, estudiante, currículo,
y el contexto donde se desenvuelven. Es por esto que surge la necesidad de delimitar
las causas que originan el error en pro a su tratamiento.
Sin embargo, las investigaciones que se realizan en torno a los errores en el
proceso de aprendizaje han sido de preocupación constante en la Educación
Matemática, como producto de esto se han realizado trabajos los cuales se han
centrado básicamente en cuatro líneas de investigación, que Rico (1995) las resume
de la siguiente manera:
1. Estudios sobre análisis, causas, elementos, taxonomías en la clasificación de
los errores; en donde cada uno de estos estudios responden a una particular
52
teoría psicopedagógica y a un planteamiento epistemológico particular del
conocimiento y de la matemática.
2. Trabajos acerca del tratamiento curricular de los errores, como ejemplo de
esta línea son las propuestas didácticas que parten del error para construcción
de manera correcta de los conocimientos matemáticos.
3. Estudios relativos a la formación de los docentes en cuanto a la capacidad
para detectar, interpretar, analizar y tratar los errores de sus estudiantes.
4. Investigaciones psicométricas que integran técnicas estadísticas como
contrastaciones de hipótesis, para el posterior análisis de los errores.
También, el autor realiza varias propuestas para categorizar los errores, cada cual
inspirada en un modelo particular con respecto al procesamiento de la información
además de otras clasificaciones como resultados de investigaciones empírica sobre
errores.
Clasificación de los Errores
El error data, quizás, de tiempos antiguos en distintos aspectos y particularmente
en la enseñanza y aprendizaje de la matemática, es decir, muchos han sido los
investigadores y las teorías que se han presentado en relación a este tema, por lo que
vale resaltar la postura de Astolfi (1999), quien destaca que aprender es arriesgarse a
errar. A continuación, se presentan algunas tipologías para clasificar el error que se
han desarrollado en distintas situaciones, igualmente, en la matemática:
Tipología de los Errores de los alumnos según Astofi
Con respecto a los errores, Astolfi (1999) afirma que no son faltas condenables ni
fallo de programas, sino por el contrario, los explica como síntomas de los obstáculos
a los cuales se enfrenta el pensamiento de los estudiantes, planteando además el
estatus didáctica que le da el docente al error estando en concordancia con el modelo
pedagógico inmerso en la clase. Establece una tipología con la cual pretende romper
53
con las categorías tradicionales adoptadas al referirse sobre ellos, en consecuencia,
los tipifica de la siguiente manera:
Errores debidos a la redacción y comprensión de las instrucciones de trabajo
dadas: Este error está relacionado con la dificultad de los estudiantes en la
comprensión de las instrucciones de trabajo que se les dan, bien sea oralmente o
por escrito, además involucra las dificultades de lectura de los enunciados de
problemas y de otros textos escolares. En este sentido de manera esquemática
se presentan esta tipología del error en cuanto a la comprensión de las
instrucciones:
Gráfico 1. La comprensión de las instrucciones. Adaptado de Astolfi, 1999.
Errores que provienen de los hábitos escolares o de una mala interpretación de
las expectativas: Este tipo de errores tienen un papel esencial en la actividad
cotidiana de la clase y en el “oficio del alumno”. La clase funciona como un
sociedad de costumbres, es decir, una sociedad que dispone de sus propias
reglas, pero sin que estas costumbres se hayan dictado, ni aun menos
formalizado; muchos de los errores provienen de la dificultades que encuentran
los estudiantes para entender los aspectos implícitos de la situación. De manera
resumida a través del siguiente esquema se presentan los errores provenientes
de costumbres escolares o mala interpretación:
54
Dificultad en la comprensión de las instrucciones
Dificultades de lectura de los enunciados de
problemas y de otros textos escolares
La forma de preguntar es también fuente de
muchos malentendidos
Gráfico 2. Hábitos escolares o de mala interpretación. Adaptado de Astolfi, 1999.
Errores como resultado de las concepciones alternativas de los alumnos: Este
tipo de errores está relacionado con los obstáculos, de los que ya hemos visto,
hasta qué punto perduran a lo largo de la escolaridad y cómo afloran en las
producciones y respuestas de forma inesperada. Además, denominadas
representaciones en relación con las diferentes nociones enseñadas; estas
representaciones están estructuradas de forma subyacente por obstáculos
epistemológicos, vienen a cohabitar con saberes escolares las cuales quedan
como adquisiciones superficiales y son movilizadas cada vez que el oficio del
alumno tiende a relacionarlas con el problema o la actividad. Sin embargo, estas
representaciones vuelven a menudo a aparecer inalteradas, en contextos más
sencillos no relacionados, aparentemente, con el uso de los conceptos
disciplinares. El acento que se pone en las representaciones de los alumnos, en
su evolución positiva, lleva a no considerar a los conocimientos únicamente
como cosas que deben adquirirse y memorizarse. Un modelo esquemático de
esta situación se presenta a continuación:
55
Hábitos o mala
comprensión
Actividad cotidiana de
la clase
Oficio del alumno
La clase funciona como una
sociedad de costumbres
Errores de dificultades en los
alumnos para entender aspectos
implícitos
Gráfico 3. Concepciones Alternativas. Adaptado de Astolfi, 1999.
Errores ligados a las operaciones intelectuales implicadas: Estas operaciones
pueden o no estar disponibles en los alumnos y, sin embargo, parecen naturales
al enseñante. Además, están relacionados más directamente con la diversidad de
las operaciones intelectuales y que deben utilizarse para resolver problemas
que, aparentemente, están al alcance de los alumnos; esta dificultad reside en la
construcción progresiva de los conceptos de suma y sustracción, que a la misma
operación aritmética pueden corresponder operaciones lógicas extremadamente
diferentes desde el punto de vista del esfuerzo de abstracción que implican.
Esquemáticamente se presenta a continuación:
Gráfico 4. Operaciones intelectuales implicadas. Adaptado de Astolfi, 1999.
56
Obstáculos Cohabitar con saberes
escolares
Adquisiciones superficialesRepresentacio
nes de los alumnos
Campos Conceptuales
Operaciones intelectuales
Conceptos de suma y sustracción
Errores en los procesos adoptados: Estos tipos de errores pueden ser muy
diversos, ya que el docente espera el uso de un procedimiento estándar, no
llegando a comprender el camino o la intención del estudiante. Algunas
producciones de los educandos se etiquetan con excesiva rapidez como errores,
cuando manifiestan la diversidad de los procedimientos posibles para resolver
un ejercicio y el docente espera un tipo de respuesta muy preciso; pero a
menudo es la disconformidad con la solución lo que se sanciona, debidos a que
los estudiantes han podido realizar procedimientos, no necesariamente
absurdos, pero con los que no se había contado. Y siendo más precisos, el
docente siempre se sorprende de la tremenda variedad de estrategias que
aplican espontáneamente los estudiantes en la resolución, al momento que se les
deja la posibilidad y se observa su trabajo. A continuación se presenta de forma
esquemática este tipo de error:
Gráfico 5. Procesos adoptados. Adaptado de Astolfi, 1999.
Errores debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad: Esto se debe a la
capacidad de trabajo debido a que es limitada y se subestima frecuentemente la
carga cognitiva de la actividad. Durante mucho tiempo, en efecto, la memoria,
concebida como un fenómeno de grabación-repetición ha sido minusvalorada
en provecho de funciones cognitivas más nobles, como la reflexión, las
operaciones intelectuales, la creatividad, entre otros; pero ahora parece más
claro que la memoria no es un sistema pasivo, sino que está en el centro de los
57
Procedimientos Adoptados
Diversidad de los Procedimientos
Variedad de Estrategias de
Resolución
Comparar Recorridos
Procedimientos no absurdos
aprendizajes inteligentes. El exceso de palabras en las escuelas sigue afectando
a los errores, a las confusiones, a los olvidos de los estudiantes; en cambio sería
sensato, sin duda, efectuar una selección de los contenidos que se van a enseñar
hasta llegar a lo esencial, pues, si bien es cierto que la memoria tiene sus
límites, también es cierto que dispone de recursos en los que basarse; cabe
agregar que la memoria no es lineal y sedimentaria, sino que está estructurada
como una trama semántica. Un modelo esquemático es el siguiente:
Gráfico 6. Sobrecarga cognitiva. Adaptado de Astolfi, 1999.
Errores que tienen su origen en otra disciplina: Este tipo de error que se da con
frecuencia, ya que muchas veces se castiga al estudiante, o al menos se le llama
la atención, por no haber reutilizado en Física o en Geografía lo que habían
aprendido en Matemáticas. incomprendidos en la medida en que las
transferencias de las competencias requeridas parece natural, cuando en verdad
no lo es en absoluto. Como modelo esquemático se tiene:
Gráfico 7. Origen en otras disciplinas. Adaptado de Astolfi, 1999.
Errores causados por la complejidad propia del contenido: Complejidad que
no siempre es percibida como tal por los análisis de las disciplinas habituales ni
en las programaciones que se realizan; el análisis de este tipo de errores es
58
Limitada por su capacidad de corto plazo.
Memoria de Trabajo
Datos guardadosNueva información en la estructura cognitiva
Memoria a Largo Plazo
Transferencia entre Disciplinas
Rasgos Superficiales y Estructurales
Defender y Organizar la Transferencia
típico del trabajo propiamente didáctico, que consiste, en más ocasiones de lo
que se piensa. Un modelo esquemático para esta tipología de error es:
Gráfico 8. Complejidad propia del contenido. Adaptado de Astolfi, 1999.
En el gráfico 9 se visualizan, en resumen, los tipos de errores según Astolfi:
Gráfico 9. Tipología de errores de los alumnos (Astolfi, 1999). Terán, H., 2017.
Las categorizaciones propuestas por este autor son pertinentes para esta
investigación porque forman parte de los objetivos propuestos al organizar el tipo de 59
Complejidad del
Contenido
Carga Mental
Naturaleza de las Operaciones Intelectuales
Punto de Vista Psicológico del Sujeto
que Aprende
Punto de Vista Epistemológico de
la estructura del Contenido
error, ya que forma parte de los errores diagnosticados en los estudiantes los cuales
inciden en la Educación Media General, se toma como fundamento la teoría antes
mencionada la cual tiene pertinencia al estudio de errores en el aprendizaje de la
matemática preuniversitaria pues resulta esclarecedor en este trabajo ya que es un
constructo en la Educación Matemática que permite focalizar un dominio cognitivo
para el mejor desenvolvimiento en la resolución de una situación problema, además
es importante resaltar que los errores que tienen su origen en otra disciplina y los
errores causados por la complejidad propia del contenido, se excluyen para el estudio.
De acuerdo a las ideas teóricas presentadas anteriormente, los conceptos de errores
en el aprendizaje de la matemática resultan esclarecedores en el presente trabajo de
investigación y, de manera general, dentro de las habilidades matemáticas, permite
enfatizar el dominio cognitivo específico; dado que los conocimientos previos
constituyen una parte importante en el proceso de enseñanza y aprendizaje para el
buen desempeño de la asignatura Matemática II.
Sistema de Variables
Variables
Antes de realizar el desarrollo operacional de las variables, es importante tener
bien definido este término, según Palella y Martins (2012) expresan que: “las
variables son elementos o factores que pueden ser clasificados en una o más
categorías. Es posible medirlas o cuantificarlas, según sus propiedades o
características” (p. 67); es decir, las variables permiten describir con exactitud los
factores fundamentales a solucionar de un problema, tomando en cuenta los
elementos o factores que pueden ser clasificados en una o más categorías, las cuales
es posible medirlas de acuerdo a sus características, en consecuencia vale la pena
destacar que para el estudio la variable independiente es el aprendizaje de la
matemática y la variable dependiente es el error.
60
Operacionalización de las Variables
Objetivo General: Analizar los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria, que presentan los estudiantes de Economía Social, en la resolución de integrales de la asignatura Matemática II de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas.Cuadro 2
Matriz de operacionalización de las variablesVariable Definición Nominal Dimensiones Indicadores Instrumento
Tipos de errores en el aprendizaje
de la matemática
Los errores no se consideran faltas
condenables ni fallos de programa
lamentables: son síntomas interesante de los obstáculos con lo que se enfrenta el pensamiento de los alumnos (Astolfi,
1999; 15)
Errores debidos a:- Comprensión.
- Hábitos escolares o mala interpretación de las expectativas.- Concepciones
alternativas.- Operaciones
intelectuales implicadas.
- Procesos adoptados.
- Sobrecarga cognitiva.
Ecuación lineal y Ecuación cuadrática.
Números Racionales.Potenciación y Propiedades
con Números Enteros.Producto Notable.
Conjunto de los números Reales.
Números Enteros.Factorización.
Prueba de Rendimiento
Momento Inicial
Función primitiva.Integral indefinida.Integral por partes.
Integral por sustitución.Integral por fracciones
parciales.Sustitución trigonométrica.
Integral definida.
Prueba de Rendimiento
Momento Final
Fuente. Elaborado por el autor.
61
CAPÍTULO III
MARCO METODOLÓGICO
En este capítulo, se describen los métodos y procedimientos empleados en la
investigación, es por ello que, a continuación se detalla el enfoque, paradigma,
diseño, tipo, nivel de investigación, la población estudiada, y las técnicas e
instrumentos de recolección de datos, la validez y confiabilidad de los mismos.
Enfoque y paradigma
La investigación es de enfoque cuantitativo dentro del paradigma positivista. El
positivismo deja a un lado lo confuso; para darle mayor fundamento a este término,
Palella y Martins (2012) expresan que: “el positivismo quita todo lo indeterminado y
vago; procura hacerse preciso como la ciencia matemática” (p. 45), en consecuencia,
podría decirse que es el ordenamiento de la información de una manera estructurada y
coherente para descubrir los hechos de una realidad y así cumplir con los objetivos
planteados, por lo cual, el presente estudio sigue estos preceptos.
Además, como paradigma positivista, centra su atención en los principios, teorías
y normas orientadas a describir el mundo empírico, al respecto Palella y Martins
(2012) afirman que este paradigma busca la: “verificación empírica de los hechos y
sus causas, con el objetivo de establecer leyes universales. La complejidad de todo lo
humano se reduciría a variables que, cuantificadas y analizadas, facilitarían el cálculo
de la probabilidad estadística de que algo ocurra” (p. 40). Este paradigma es la base
de la investigación cuantitativa.
Diseño de la Investigación
Según lo expresado por Arias (2012): “el diseño de investigación es la estrategia
general que adopta el investigador para responder al problema planteado” (p. 27). Es
por ello, que el presente estudio se enmarcó en un diseño no experimental, en vista de
que no existen variables susceptibles de manipulación, apoyado en Hernández,
Fernández y Baptista (2010), estos estudios son los que: “se realizan sin la
manipulación deliberada de variables y en los que sólo se observan los fenómenos en
su ambiente natural para después analizarlos” (p. 149).
A continuación, se amplía lo referente al diseño, es decir, las estrategias
empleadas para la consecución de los objetivos planteados en esta investigación:
Fase 1: Definición de la situación problemática, el objeto de estudio o factores
relacionados con él, en el contexto real donde se manifiesta. En tal sentido, en
la presente investigación se observó el fenómeno de estudio, errores en el
aprendizaje de matemática preuniversitaria, directamente en su contexto
(UNEFA).
Fase 2: Referentes teóricos: revisión de la bibliografía; investigaciones y
enfoques teóricos pertinentes al tema de estudio.
Fase 3: Acciones metodológicas; diseño, tipo, nivel, población, muestra, diseño
de los instrumentos.
Fase 4: Recolección y análisis de los datos: se elaboró y aplicó en primer lugar
un instrumento o prueba diagnóstico (momento inicial) con la finalidad de
verificar los conocimientos previos y los tipos de errores de aprendizaje de los
estudiantes en matemática del nivel preuniversitario. En segundo lugar, se
aplicaron cuatro evaluaciones durante el semestre (momento final), se
estudiaron los errores que presentaban los estudiantes al resolver las integrales
y se examinó si los errores en el aprendizaje de la matemática preuniversitaria
permanecían en la resolución de las mismas. Una vez aplicados se procedió a
63
ordenar, procesar e interpretar los datos y clasificar errores, tanto en la prueba
diagnóstico como en los parciales, teniendo como referente teórico a Astolfi.
Fase 5: Una vez interpretados los datos, se convino en deducir las conclusiones
y recomendaciones, a partir del estudio realizado.
En este sentido, una vez aplicados los instrumentos en el tiempo determinado, se
procedió a realizar la descripción de los hallazgos sin manipular variable alguna, sino
tal cual las evidencias que arrojó el estudio realizado.
Tipo y Nivel de la Investigación
Siguiendo a Balestrini (2006), en toda investigación: “se debe delimitar el tipo de
estudio de que se trata con su respectivo esquema de investigación, que se adecúe y
sea el más apropiado en relación a los objetivos propuestos” (p. 129). En este sentido,
el tipo, de la presente investigación, es de campo ya que la recolección de los datos
fueron extraídos de donde han ocurrido los hechos, en este caso en específico en la
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas, según
Palella y Martins (2012) expresan que la investigación de campo: “consiste en la
recolección de datos directamente de la realidad donde ocurren los hechos, sin
manipular o controlar variables. Estudia los fenómenos sociales en su ambiente
natural” (p. 88).
Asimismo, la investigación se enmarcó en un nivel transversal o transeccional,
puesto que se recolectaron datos en un único momento, como lo expresan Palella y
Martins (2012): “se ocupa de recolectar datos en un solo momento y en un tiempo
único. Su finalidad es la de describir las variables y analizar su incidencia e
interacción en un momento dado, sin manipularlas” (p. 94), este tiempo fue durante el
segundo período lectivo del año 2013.
Al mismo tiempo, la investigación se circunscribe en el nivel descriptivo, ya que
el objetivo de la misma es recolectar datos sobre cada una de las categorías para
interpretar las realidades tal y como han ocurrido, Palella y Martins (2012), plantean
64
que: “el nivel descriptivo hace énfasis sobre conclusiones dominantes, o sobre cómo
una persona, grupo o cosa, se conduce o funciona en el presente” (p. 92).
De esta manera, en la presente investigación se diagnosticaron los tipos de errores
que presentan los estudiantes en el aprendizaje de sus conocimientos previos de
matemáticas y de qué manera, están presentes en el desempeño del estudiantado de la
asignatura Matemática II de Economía Social, haciendo una descripción detallada,
mediante el registro de los hallazgos obtenidos en el estudio realizado interpretando
las realidades del hecho.
Matemática II en la carrera Economía Social de la UNEFA
La asignatura Matemática II (MAT-31125) está compuesta por los siguientes
espacios curriculares: 5 unidades crédito, con 3 horas teóricas y 4 horas prácticas
semanales. A su vez, tiene como prerrequisito la aprobación de la asignatura
Matemática I (MAT-31114), dentro del pensum de estudios de la universidad, así
como también, se requiere de la aprobación de esta asignatura Matemática II, debido
a que ésta es prerrequisito de Matemática III (MAT-31135).
Los contenidos de la asignatura están conformados por cuatro (4) unidades que se
desarrollaron durante el semestre, en primer lugar, la unidad 1, comprende: función
primitiva e integral definida, en la unidad 2: métodos de integración, en la unidad 3:
aplicaciones de la integral; y, en la unidad 4: integrales impropias. El desarrollo de
estas unidades tiene como objetivo aplicar los métodos de resolución de las
ecuaciones diferenciales para la formulación, resolución y análisis de modelos
económicos.
Estas unidades están distribuidas en tres (3) cohortes, pautado por la UNEFA. Para
el primero, se consideró las unidades 1 y 2; en el segundo, las unidades 1 y 3, en
cuanto a la integral definida hasta sus aplicaciones; y, por último, en el tercer cohorte,
aplicaciones en coordenadas polares, correspondiente a la unidad 3; así como también
las integrales impropias correspondientes a la unidad 4.
65
Una vez revisado y distribuidos por cohortes las unidades con sus respectivos
contenidos programáticos se elaboró la planificación respectiva al desarrollo de la
asignatura Matemática II, la cual fue entregada en la semana seis, de acuerdo a lo
pautado por el departamento de planificación, evaluación y control de la UNEFA.
Cabe agregar, los estudiantes que inscribieron la asignatura, para este período, fue de
un total de trece (13), mencionado anteriormente, en edades que oscilaron entre los 18
y 22 años. De la cantidad total, 12 son mujeres (92%) y sólo 1 hombre (8%).
Es importante señalar que el semestre estuvo pautado y planificado para dieciocho
(18) semanas, de las cuales quince (15) semana fueron de clase, iniciando el lunes 30
de septiembre del 2013 hasta el viernes 28 de febrero del 2014, y en las restantes tres
(3) se realizó reparación y entrega de las calificaciones finales.
Procedimiento de la Investigación
Para realizar el análisis de errores que cometen los estudiantes con mayor
frecuencia en el aprendizaje de la Matemática del nivel de Educación Media General,
se realizó una evaluación al inicio del semestre para diagnosticar los conocimientos
previos de los estudiantes; así como también, durante el desarrollo del semestre se
aplicaron ocho (8) parciales de los cuales se tomaron para el estudio sólo cuatro (4)
de la asignatura Matemática II de la UNEFA; de igual manera, para el análisis se
tomó como base la fundamentación teórica y los objetivos planteados, se siguieron
los procedimientos de investigación que se llevaron a cabo en tres fases. En la
descripción, se hace referencia tanto a las técnicas usadas como a la forma en que se
aplicaron.
Primera Fase: Diseño y aplicación del instrumento No. 1.
Antes de diseñar la evaluación que se suministraría a los estudiantes de Economía
Social, al inicio del semestre, se hizo una revisión de investigaciones referentes a las
categorizaciones de errores, para el caso particular, se diseñó tomando en
consideración el modelo de prueba realizado por Cadenas (2007), en su trabajo de
66
investigación publicado en la revista ORBIS titulado: Carencias, dificultades y
errores en los conocimientos matemáticos en alumnos del primer semestre de la
escuela de educación de la Universidad de los Andes, de tal manera que se modificó
el instrumento adaptándolo a las necesidades del presente estudio, tanto en forma
como en contenido.
Terminada esta etapa de la revisión de trabajos realizados al respecto, se
confeccionó el instrumento de la evaluación, el cual constó de diez (10) ítem
orientados a indagar cuáles eran los conocimientos previos en el aprendizaje de la
Matemática en la Educación Media General, en cada ejercicio se pidió la resolución
de una situación matemática, la cual es potencialmente generadora de error, donde se
involucraron contenidos conceptuales.
Asimismo, en la mayoría de los ejercicios planteados se les solicitó que los
identificaran, dependiendo del caso propuesto, además, indicar el o los
procedimientos que los estudiantes siguen para su resolución. Al mismo tiempo, se
empleó un lenguaje acorde al nivel en que se encontraban los educandos con el
objetivo de que se sintieran cómodos y entendieran el sentido de cada pregunta en la
evaluación, la cual se aplicó con la denominación “Prueba Diagnóstico” (Ver Anexo
C).
A continuación en el siguiente cuadro se muestran los contenidos por cada ítem,
indicándose la definición, conceptos, y los procedimientos involucrados, que para
efectos de la presente investigación se utilizaron como base para analizar los errores
que emergieron a partir de los datos obtenidos por cada ítem.
Cuadro 3
Contenidos de matemática preuniversitaria tomados en consideración para la elaboración de la Prueba Diagnóstico
Contenidos de Matemática Preuniversitaria
Ítem No. 1
Apartados Ecuaciones lineales.
67
a) y b)
Ítem No. 2
- - Orden en el conjunto de los Números Racionales.
Ítem No. 3
- - Diferencia de Números Racionales.
Ítem No. 4
- - Potenciación de Números Enteros y sus Propiedades.
Ítem No. 5
- -Producto Notable: El cuadrado del Binomio de una
diferencia.
Ítem No. 6
- -
Conjunto de los números Reales:
- Conjunto de los Números Naturales.
- Conjunto de los Números Enteros.
- Conjunto de los Números Racionales.
Ítem No. 7
- - Operación con Números Enteros.
Ítem No. 8
- - Ecuación Cuadrática.
Ítem No. 9
- - Propiedades de la Potenciación.
Ítem No. 10
- - Factorización: Trinomio cuadrado Perfecto.
Fuente. Elaborado por el autor.
Por último, cabe destacar que la investigación fue complementada en cada
situación con la fundamentación teórica que sustenta a la investigación, entre los
hallazgos encontrados por el investigador y los presentados por algunos estudios
previos que se relacionan con el estudio.
68
Segunda Fase: Diseño y aplicación de las evaluaciones parciales.
En esta fase se procedió a elaborar las evaluaciones, que fueron aplicadas durante
el desarrollo del semestre, tomando en cuenta los contenidos de la asignatura, a
continuación se describen los instrumentos empleados para el desarrollo de esta fase.
Instrumento No. 2: Se realizó una (1) pregunta con tres (3) apartados en los cuales
debían resolver los ejercicios mediante la definición de la primitiva de una función,
para tal fin, los estudiantes necesitaban de los conocimientos de matemática
preuniversitaria en cuanto a: productos notables: producto de la suma por la
diferencia de dos cantidades y cubo de un binomio, razones trigonométricas inversas,
identidades trigonométricas, potenciación de exponentes racionales, propiedades de la
potenciación y radicación.
Al instrumento elaborado, de acuerdo a las condiciones enunciadas anteriormente,
se le dio la denominación de “QUIZ” y fue administrado en la cuarta semana de
clase, la cual se correspondió con el martes 22 de octubre del 2013. Finalmente, la
evaluación fue aplicada el día previsto, con una duración promedio de 50 minutos
para su resolución. Cabe aclarar, también, que para efectos de la investigación en lo
sucesivo se mencionará como “Evaluación No. 1” (Ver Anexo E).
Instrumento No. 3: Se realizaron tres (3) preguntas en las cuales debían resolver los
ejercicios aplicando el método de integración por sustitución, los estudiantes
necesitaban conocimientos de matemática preuniversitaria en cuanto a: propiedades
de la potenciación, factorización y adición de conjuntos numéricos.
Una vez elaborado el instrumento, tomando en cuenta las consideraciones a los
temas mencionados, esta segunda evaluación se le otorgó la denominación “2°
QUIZ” el cual fue aplicado en la cuarta semana de clase, correspondiente al día
viernes 25 de octubre del 2013, de acuerdo a la planificación establecida. Por último,
la evaluación fue suministrada para la fecha prevista, con una duración de 50 minutos
69
para su resolución. Para efectos del presente estudio, se denominará “Evaluación No.
2” (Ver Anexo G).
Instrumento No. 4: Se realizaron tres (3) preguntas, donde la primera y segunda
tenían dos apartados (a) y (b), respectivamente, en las cuales debían resolver los
ejercicios aplicando integración indefinida y los métodos de integración por partes y
por sustitución, los estudiantes necesitaban conocimientos de matemática
preuniversitaria en cuanto a: productos notables: cuadrado de la diferencia de dos
cantidades, potenciación en con exponente racional, propiedades de la
potenciación, trigonometría y hacer uso de la ley de los signos con respecto al
producto.
Luego de elaborado el instrumento de evaluación, tomando en cuentas las
consideraciones antes descritas, esta tercera evaluación correspondiente al primer
cohorte, se aplicó denominándola “Evaluación Corta” la misma fue suministrada al
grupo en la quinta semana de clases, correspondiendo a la fecha pauta para su
aplicación el día martes 29 de octubre del 2013. Esta evaluación tuvo una duración de
90 minutos para ser resuelto por los estudiantes. En último término, este instrumento,
de aquí en adelante, se catalogará como “Evaluación No. 3” (Ver Anexo I).
Instrumento No. 5: Se realizaron tres (3) preguntas, donde la segunda tuvo tres
apartados (a), (b) y (c), en las cuales debían resolver los ejercicios aplicando el
método de integración por fracciones parciales, por sustitución trigonométrica, de
igual manera se evaluó la integración definida, los estudiantes necesitaban
conocimientos de matemática preuniversitaria relacionados a: factorización (factor
común denominador), operaciones básicas, definición de las razones trigonométricas,
identidades trigonométricas, propiedades de la potenciación (producto de potencia de
igual base), propiedad distributiva respecto al producto.
Asimismo, luego de haber elaborado el instrumento de evaluación, de acuerdo a lo
descrito anteriormente, esta evaluación fue la cuarta de la asignatura y la primera del
segundo cohorte, la denominación que se le dio fue de “Evaluación Corta”,
70
aplicándola en la séptima semana de clase en el semestre, dando cumplimiento con la
fecha planificada la cual fue el día viernes 15 de noviembre del 2013. Finalmente, en
lo sucesivo tendrá la denominación de “Evaluación No. 4” (Ver Anexo K).
Cabe destacar, que por ser esta la evaluación con mayor contenido tanto de
matemática preuniversitaria como de Matemática II, fue considerada para la
confiabilidad en la correlación Pearson.
Tercera Fase: Contenidos de matemática preuniversitaria presentes en
Matemática II.
Para esta fase, se tomaron en cuenta cuatro (4) evaluaciones, descritas
anteriormente, de Matemática II aplicadas a los estudiantes durante el desarrollo del
semestre académico, las cuales se seleccionaron para analizar porcentual y
descriptivamente los ítems propuestos para determinar de esta manera si los
conocimientos previos de matemática incidían en la resolución de cada integral, a fin
de destacar los elementos en los cuales se detectaron las equivocaciones y determinar
la presencia de los tipos de errores de matemática preuniversitaria en el desempeño de
la asignatura Matemática II.
Se tomaron estas evaluaciones para analizar cada una de las preguntas donde los
conocimientos previos estaban presentes para resolver a término y correctamente las
mismas, de esta manera se describieron los porcentajes de la cantidad de estudiantes
que manifestaban el mismo comportamiento y aquellos conocimientos básicos de
matemática preuniversitaria que no fueron dominados en cada uno de los ítem de los
instrumentos aplicados, así como también se toma en cuenta la fundamentación
teórica que le da sustento a la investigación en cuanto a la tipología de errores.
Población y Muestra
Según lo planteado por Arias (2012): “la población, o en términos más precisos
población objetivo, es un conjunto finito o infinito de elementos con características
comunes para los cuales serán extensivas las conclusiones de la investigación” (p.81).
71
Este planteamiento, refiere que la población es la cantidad de personas, las cuales
permitirán llevar a cabo una investigación y, además, en palabras de Hernández,
Fernández y Baptista (2010) es el: “conjunto de todos los casos que concuerdan con
determinadas especificaciones” (p. 174).
Atendiendo a las consideraciones anteriores, se estudió a la población en su
totalidad, es decir, significa que se realizó un censo o estudio de tipo censal, la cual
estuvo conformada por trece (13) estudiantes, según Arias (2012): “el censo busca
recabar información acerca de la totalidad de una población” (p. 33), en
consecuencia, la cantidad antes descrita de estudiantes fueron quienes se inscribieron
y cursaron en el segundo período lectivo del 2013 (II–2013), en la asignatura
Matemática II de la carrera Economía Social.
Técnicas e Instrumentos de Recolección de Datos
En este apartado, se esbozan a continuación los métodos que se emplearon para la
obtención de los datos, al respecto Arias (2012): “se entenderá por técnica de
investigación, el procedimiento o forma particular de obtener datos o información”
(p. 67). En este trabajo, para la recolección de la información, en primera instancia se
realizó la prueba diagnóstico, y como segunda instancia, las cuatro (4) evaluaciones
aplicadas durante el avance del semestre académico, tal como se explicó en el diseño
de la investigación. La técnica empleada fue la prueba de evaluación que según
Palella y Martins (2012): “la prueba de evaluación es una técnica que implica la
realización de una tarea definida en un tiempo determinado, con el fin de valorar el
resultado de un aprendizaje o labor didáctica” (p. 124).
En cuanto al instrumento que fue aplicado, Arias (2012) opina que: “un
instrumento de recolección de datos es cualquier recurso, dispositivo o formato (en
papel o digital), que se utiliza para obtener, registrar o almacenar información” (p.
68). En el caso de la presente investigación, se empleó como instrumento la prueba
tipo ensayo como recurso para obtener información con respecto a los conocimientos
de los discentes.
72
El instrumento antes mencionado, según Palella y Martins (2012): “… pueden ser
escritas u orales. Generalmente están construidas con preguntas abiertas y requieren
la elaboración de respuestas por parte del investigado” (p.145); esta prueba tipo
ensayo fue empleada, en un primer momento como prueba diagnóstico, es decir, para
recolectar la información necesaria, en cuanto a los conocimientos de matemática
preuniversitaria en los estudiantes de Matemática II.
Para el fin de la prueba diagnóstico se estructuró tomando en consideración los
siguientes aspectos: a) definición; b) descripción del procedimiento; c) resolución de
lo planteado, es decir, dejar evidencia de cómo se llegó a la respuesta. La prueba
diagnóstico se elaboró, partiendo de los conocimientos básicos que deberían dominar
los estudiantes egresados del nivel de Educación Media General y que a la vez son
requisitos básicos en la asignatura de Matemática II.
Para el momento final, fueron aplicadas cuatro (4) pruebas en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de Matemática II, de igual manera fueron elaboradas como
pruebas tipo ensayo, con el objetivo de observar las respuestas de los estudiantes, los
errores cometidos y la presencia de estos tipos de errores en el aprendizaje de la
matemática preuniversitaria en el desempeño de Matemática II.
Validez y Confiabilidad
La validez, según Palella y Martins (2012): “se define como la ausencia de sesgos.
Representa la relación entre lo que se mide y aquello que realmente se quiere medir”
(p. 160). Por consiguiente, el método que se empleó en la presente investigación para
así garantizar la validez fue la técnica del juicio de experto, esta consistió en entregar
a tres (3) expertos en el área educativa especialistas en el área de matemática, un
ejemplar de cada instrumento con su respectiva matriz de respuesta con los objetivos
de la investigación (Ver Anexos B, D, F, H y J). Los expertos hicieron la revisión
respectiva al contenido, la pertinencia, la redacción y coherencia para cada ítem.
73
En cuanto a la confiabilidad Palella y Martins (2012) la definen como: “la
ausencia de error aleatorio en un instrumento de recolección de datos. Representa la
influencia del azar en la medida; es decir, es el grado en el que las mediciones están
libres de la desviación producida por los errores causales” (p. 164). Tomando en
consideración lo planteado anteriormente es necesario destacar que la presente
investigación requirió la aplicación de una prueba diagnóstico empleada para
determinar los errores en el aprendizaje de la matemática preuniversitaria,
posteriormente se realizaron otras pruebas equivalentes a la diagnóstico, a través de
las cuales se pudo obtener el objetivo general del estudio: Analizar los errores en el
aprendizaje de matemática preuniversitaria, que presentan los estudiantes en la
resolución de integrales, de la asignatura Matemática II de Economía Social de la
Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas (UNEFA),
extensión Guacara del Estado Carabobo.
Es por ello, que se empleó para determinar la confiabilidad el coeficiente de
correlación Pearson correspondiente a las pruebas de formas equivalentes o de formas
alternas, las cuales son definidas por Cohen y Swerdlik (2001) como:
Formas alternas y formas equivalentes son términos que en ocasiones se usan en forma indiscriminada, aunque hay una diferencia técnica entre ellos. Existen formas equivalentes de una prueba cuando para cada forma de la prueba son iguales las medias y las varianzas de las puntuaciones de pruebas observadas. (...) Las formas alternas tan sólo son versiones diferentes de una prueba que se han construido con el fin de ser equivalentes. Aunque no cumplen con los requisitos para la designación legítima de “equivalentes“, las formas alternas de una prueba están diseñadas generalmente para ser equivalentes con respecto a variables (o ítems) como contenido y nivel de dificultad (p. 160).
De igual manera, Palella y Martins (2012), consideran que en las formas
equivalentes: “se puede establecer la confiabilidad de una prueba administrándola en
diferentes momentos al mismo sujeto, pero tomando la precaución de que la prueba
sea diferente en cuanto a los contenidos aunque equivalente en cuanto a la forma”
(p.167). De tal manera que, las pruebas empleadas como instrumentos para la
recolección de datos, estuvieron enfocadas en diferentes contenidos pero que todos 74
ameritaban de los conocimientos de matemática preuniversitaria para ser resueltos,
además fueron suministradas en diferentes intervalos de tiempo, pero a los mismos
sujetos dentro de un período lectivo en la UNEFA.
En este sentido, tal como se manifestó anteriormente para determinar la
confiabilidad de los instrumentos empleados se utilizó el coeficiente de correlación de
Pearson, el cual se basa según Hernández, Fernández y Baptista (2010), en: “una
prueba estadística para analizar la relación entre dos variables medidas en un nivel
por intervalos o de razón” (p.311), el mismo enfocado en la técnica producto-
momento, en el cual se administran dos o más pruebas equivalentes a la inicial; en el
caso del presente estudio a la diagnóstico, y la prueba equivalente o paralela fue la
Evaluación No. 4, pues en ella se evaluó todos los contenidos de Matemática II de la
carrera Economía Social y para su resolución los estudiantes debían manejar
conocimientos básicos de matemática preuniversitaria (evaluados en la prueba
diagnóstico); de igual forma los valores de las variables corresponden a las
puntuaciones obtenidas en las evaluaciones.
En este sentido, es necesario analizar la opinión de Palella y Martins (2012), al
respecto del coeficiente de correlación Pearson: “permite relacionar dos variables.
Este estadístico no supone causalidad entre las variables, sino se ocupa de definir el
comportamiento de las puntuaciones obtenidas por dos variables estudiadas en una
muestra determinada” (p. 180), es importante considerar que la presente
investigación, procuró a través de éste método estadístico determinar la confiabilidad
de los instrumentos aplicados, por lo cual al evaluar los contenidos mediante diversas
pruebas, se procedió a establecer la correlación de los mismos, a través de los
puntajes obtenidos, ya que éstos indicaron los conocimientos adquiridos y su
desenvolvimiento en la asignatura de la carrera de Economía Social.
Así mismo, es importante resaltar que para tabular los datos se tomó en
consideración los trece (13) estudiantes de la población estudiada, donde se
cuantificaron las dos (2) variables anteriormente descritas esto se realizó para que la
75
confiabilidad arrojara mayor precisión en cuanto al nivel obtenido; el coeficiente de
Pearson es expresado de la siguiente manera:
r xy=N ∑ XY −∑ X ∑Y
√[ N∑ X2−(∑ X )2 ] [N ∑Y 2−(∑ Y )2 ]Donde:
r xy: es el coeficiente de correlación
N: número de sujetos
X: valores de X (1era aplicación)
Y: valores de Y (2da aplicación)
XY: producto de cada valor X por su correspondiente Y.
De igual manera, se presenta la tabla de correlación Pearson que permitió medir el
nivel de confiabilidad:
Cuadro 4
Valores y significado del coeficiente de confiabilidadRango Confiabilidad
-1,00 Correlación negativa perfecta
-0,90 Correlación negativa muy fuerte
-0.75 Correlación negativa considerable
-0.50 Correlación negativa media
-0.25 Correlación negativa débil
-0.10 Correlación negativa muy débil
0.00No existe correlación alguna entre las
variables.
+0.10 Correlación positiva muy débil
+0.25 Correlación positiva débil
+0.50 Correlación positiva media
+0.75 Correlación positiva considerable
+0.90 Correlación positiva muy fuerte
+1.00 Correlación positiva perfecta
76
Fuente. Datos tomados de Hernández, Fernández y Baptista, 2010.
Donde:
Si rxy > 0 → la relación es positivaSi rxy = 0 → no existe relaciónSi rxy < 0 → la relación es negativa
Basados en la información anterior, a continuación se describe detalladamente la
confiabilidad en el presente estudio:
r xy=N ∑ XY −∑ X ∑Y
√[ N∑ X2−(∑ X )2 ] [N ∑Y 2−(∑ Y )2 ]r xy=
13 (327 )−(44 ) (70 )
√ [13 (232 )−(44 )2 ] [13 (550 )−(70 )2 ]
r xy=4251−3080
√ [3016−1936 ] [7150−4900 ]
r xy=1171
√ (1080 ) (2250 )
r xy=0,75
Interpretación: El nivel arrojado para el coeficiente Pearson fue de 0.75, lo que
indica un nivel de correlación positiva considerable; de tal manera que, para efectos
del presente estudio representa la correlación de los tipos de errores en el aprendizaje
de matemática preuniversitaria se observan simétricamente tanto en la prueba
diagnóstico como en la Evaluación No. 4 lo cual refleja una confiabilidad favorable
de los instrumentos aplicados.
77
CAPÍTULO IV
INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS
Una vez definida la metodología que se emplearía para la investigación, y
aplicados los instrumentos para la recolección de los datos se procedió a realizar un
análisis e interpretación de cada uno de los datos estudiadas; es por ello que, en este
capítulo, se presenta la información obtenida, una vez aplicado el tratamiento
estadístico que se utilizó para su correspondiente análisis. Se comienza realizando la
descripción de los hallazgos para el primer instrumento, luego los resultados
encontrados en las evaluaciones parciales aplicadas durante el semestre y, por último,
la presencia de los primeros hallazgos en el desarrollo de los ítems de cada una de las
evaluaciones aplicadas, con la finalidad de obtener la información pertinente para
describir los resultados.
En primera instancia, se aplicó el primer instrumento, el cual consistió en una
prueba diagnóstico, en donde se presenta un análisis de los datos recabados de cada
uno de los ítems, es decir, se vislumbran las respuestas correctas e incorrectas de los
estudiantes y el porcentaje que representan para esta primera fase, al mismo tiempo se
conocen las referencias porcentuales en cuanto a definiciones y procedimientos
empleados, pertinentes a los ítems evaluados. Estos hallazgos ofrecieron una
panorámica sobre los errores de aprendizaje de la matemática preuniversitaria, es
decir, los conocimientos previos, adquiridos en el nivel de Educación Media General.
De igual manera, como segunda instancia se aplicaron cuatro (4) evaluaciones
durante el semestre, permitiendo suministrar información sobre los conocimientos de
Matemática II en estudiantes de Economía Social de la UNEFA, temas relacionados
con derivadas, su aplicación y las tablas de integración, integrales indefinidas,
definidas y los métodos de integración, de donde se determinaron los tipos de errores
que están presentes en los estudiantes cursantes de la asignatura, asimismo se
presentan los porcentajes que representan y su correspondiente descripción.
Finalmente, como última instancia, se determinó si el desconocimiento de
matemática preuniversitaria o los errores que se diagnosticaron están presentes en el
desempeño del estudiante al resolver los diferentes tipos de integrales en la asignatura
Matemática II, haciendo un análisis de los datos cuantitativamente y una descripción
de los mismos logrando de esta manera dar respuesta a los objetivos planteados en la
presente investigación.
Presentación de los Resultados
Cuadro 5
Frecuencia de repuestas correctas, no respondidas e incorrectas por ítem en la prueba diagnóstico
Semestre II-2013
Ítems 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CorrectoNo. 5 6 4 0 3 0 1 3 2 2
% 39 46 31 0 23 0 8 23 15 15
No RespondeNo. 2 2 1 1 4 5 4 9 7 10
% 15 15 8 8 31 39 31 69 54 77
IncorrectoNo. 6 5 8 12 6 8 8 1 4 1
% 46 39 61 92 46 61 61 8 31 8
Fuente. Resultados de la prueba diagnóstico, cálculo realizado por el autor.
Interpretación: Tomando en cuenta los resultados obtenidos en cada ítem de la
prueba diagnóstico, se pudo observar que la población estudiada demostró dificultad
al emitir respuesta, pues en sus producciones se hallaron errores de aprendizaje, para
los ítems 5 y 8 coinciden con un 77%, el 9 y 10 concuerdan con un 85%, en cuanto al
79
ítem 7 se presentó con un 92%, mientras que en los ítems 4 y 6 hubo un 100%. En tal
sentido, se puede vislumbrar que la mayoría de los porcentajes superan el 50% de la
población evaluada, lo que indica que los porcentajes más bajos se encuentran en las
respuestas correctas, ya que los estudiantes se equivocaron al responder o no
respondieron las preguntas, demostrando así que hay ausencia de los conocimientos
previos y presentan errores en el aprendizaje de la matemática preuniversitaria.
En lo sucesivo se presentan los hallazgos en las respuestas suministradas por los
estudiantes para la prueba diagnóstico, en donde se evidenciaron las carencias o
ausencias en sus conocimientos de matemáticas los cuales debieron ser adquiridos en
Educación Media General, matemática preuniversitaria, estas dificultades se
mostraron a través de los errores cometidos en las pruebas por los estudiantes
universitarios.
Instrumento No. 1: Prueba Diagnóstico.
Ítem No. 01: ¿Cuál es la raíz de la ecuación 2 x−1=0?
Apa
rtad
os a. Explique qué procedimiento sigue para hallar la raíz de la ecuación.
b. Dé una definición de ecuación.
Al resolver una ecuación, ésta puede ser considerada sencilla para un estudiante
universitario, pero de acuerdo con los resultados obtenidos en cuanto al desarrollo de
la ecuación lineal se encontraron diversidad en las respuestas, tal como se presenta a
continuación:
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
54%
23%
23%
Gráfico 10. Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Prueba Diagnóstico.
80
Interpretación: De acuerdo a los resultados obtenidos en el ítem 1 de la prueba
diagnóstico, sólo 3 estudiantes (23%) acertaron en la respuesta, pudiéndose notar que
dominaban las reglas de transposición de términos; otro 23% de los estudiantes no
respondieron a la pregunta, evidenciándose que los mismos carecían de conocimiento
sobre el tema planteado y, por último, 7 estudiantes (54%) quienes representan la
mayoría de la población, demostraron no poseer dominio de la competencia evaluada
ya que se observaron dificultades enfocadas en errores sobre conceptos de
ecuaciones, es decir, que al resolverlas encuentran el valor equivocado de la incógnita
[ x=−1 ]. Dentro de las respuestas, también, se evidenció que los estudiantes indicaron
[√ x−1=0 ]; de acuerdo a Astolfi (1999) este tipo de error está relacionado con la
dificultad que tienen los estudiantes para comprender las instrucciones dadas y a los
recorridos empleados.
Ítem No. 2: Ordena los siguientes tres números 13 ; 1,41;
−12 , en forma creciente.
¿Qué procedimiento sigues para ordenarlo?
En este ítem, se evidenció, el conocimiento parcial de la relación de orden.
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
39%
15%
46%
Gráfico 11. Porcentaje de respuestas para el ítem 2. Prueba Diagnóstico.
Interpretación: Se observa, de acuerdo a estos resultados, a pesar de que 6
estudiantes (46%) ordenaron de manera correcta los números en forma creciente,
hubo 5 estudiantes que lo hicieron de manera incorrecta (39%) y 2 que no
respondieron (15%), lo que equivale a un 54% que no poseían este conocimiento
previo, es decir lo que se ha llamado matemática preuniversitaria. Asimismo, en el 81
procedimiento los estudiantes no tenían conocimiento de qué debían hacer para
ordenar los números de acuerdo a lo solicitado para este ítem. En la corrección, se
pudo observar los que estuvieron en el rango del 39%, algunos lo ordenaron en forma
decreciente y otros sin un orden en específico. En tal sentido un 54% no tenían
dominio de la misma, es de destacar que las respuestas fueron diversas, dentro de las
cuales se muestra [13
;−12
;1,41]. Este tipo de error es debido a la comprensión de las
instrucciones y las operaciones intelectuales implicadas de acuerdo a Astolfi (1999).
Ítem No. 3: ¿Cuál es el resultado de 15−2
4 ? Además diga, ¿cómo identificas esta
expresión?
Para la resolución de este ítem, se requería que los estudiantes efectuaran una
adición de números racionales, donde debían hacer uso del siguiente esquema:
ab− c
d=ad−bc
bd con bd ≠0, en consecuencia, a continuación se presentan el
porcentaje arrojado por las respuestas de los educandos:
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
62%
7%
31%
Gráfico 12. Porcentaje de respuestas para el ítem 3. Prueba Diagnóstico.
Interpretación: Se observa en el gráfico los resultados para el ítem 3 de la prueba
diagnóstico, donde 4 estudiantes (31%) aplicaron correctamente el procedimiento
respectivo demostrando un desenvolvimiento favorable en la adición de fracciones,
mientras que 1 estudiante (7%) no respondió a la pregunta; además, es importante
resaltar que 8 estudiantes (62%) respondieron de forma incorrecta y, aunque
82
identificaron la expresión de manera correcta, mostraron deficiencias en el
procedimiento que debían seguir en la adición de fracciones con diferente
denominador, pudiéndose determinar fallas en las operaciones básicas de los
contenidos de matemática preuniversitaria. Asimismo, se halló en las respuestas de
los estudiantes, entre otras, como ejemplo lo siguiente [ 1120 ]; esto de acuerdo con
Astolfi (1999) son errores ligados a operaciones intelectuales implicadas,
concepciones alternativas y de los hábitos escolares.
Ítem No. 4: ¿Cuál es el valor de (22 )−2?, Explique qué procedimiento sigues.
Para este ítem, se requería el uso de las propiedades de la potenciación, sin
embargo, a través de esta prueba diagnóstico aplicado a los estudiantes cursantes de
segundo semestre, se identificaron errores y dificultades los cuales se presentan a
continuación:
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
92%
8%
0%
Gráfico 13. Porcentaje de respuestas para el ítem 4. Prueba Diagnóstico.
Interpretación: Se observa en el gráfico, para los resultados del ítem 4 de la prueba
diagnóstico, ningún estudiante suministró una respuesta correcta, mientras que 1
estudiante (8%) no dio respuesta alguna, pudiéndose observar las debilidades que
presentaron los estudiantes en el aprendizaje de matemática previa, 12 estudiantes
(92%) respondieron de manera incorrecta las cuales estuvieron enfocado en el
desconocimiento de las propiedades de la potenciación, por no identificar la
semántica de la operación, así como también, se observó la multiplicación de la base
83
por el exponente. Entre las respuestas, que fueron diversas, se encontró
[16 ,2 , 32 ,−34 ,20 , 2−4 y 42 ] como resultado de los procedimientos empleados, los
cuales no fueron los idóneos; esto concuerda con lo planteado por Astolfi (1999)
debido a que se presentaron errores como resultado de los hábitos escolares o de una
mala interpretación de las expectativas, operaciones intelectuales implicadas y
procesos adoptados.
Ítem No. 5: Desarrolla la siguiente expresión (1−x )2, y explique el procedimiento
que empleaste. ¿Qué tipo de expresión es?
Aquí se plantea la puesta en práctica del desarrollo del cuadrado de la diferencia
de un binomio, además de realizar el desarrollo respectivo el estudiante debe
identificar el tipo de expresión; es necesario destacar que se hallaron errores en su
resolución por parte de los estudiantes, a continuación se detallan los hallazgos:
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
46%
31%
23%
Gráfico 14. Porcentaje de respuestas para el ítem 5. Prueba Diagnóstico.
Interpretación: A través del gráfico se observa que en los resultados para el ítem 5
de la prueba diagnóstico, sólo 3 estudiantes (23%) aplicaron el procedimiento
respectivo demostrando un desenvolvimiento en el desarrollo del producto notable, 4
estudiantes (31%) no saben o no dan respuesta alguna para este ítem, mientras que 6
estudiantes (46%), entre las respuestas incorrectas, se halló (1−x2), de tal manera que
usaron de forma errónea la linealidad sin tomar en cuenta el exponente, cuadrado de
la diferencia de un binomio, se evidenció el desconocimiento de la conceptualización
algebraica para desarrollar este caso de los productos notables, además, estuvo 84
enfocado en los procedimientos que debían seguir para el desarrollo de este ejercicio,
obteniendo de ésta manera un 77% de estudiantes que no dominaban estas
competencias, para identificar la expresión y el procedimiento a seguir. Este tipo de
error se corresponde con lo planteado por Astolfi (1999) en cuanto a los procesos
adoptados y a las concepciones alternativas.
Ítem No. 6: Dados los números 13 ; 0; 2,72; −5; π y
−32 colocar el símbolo
(pertenece) o (no pertenece), según los números dados pertenezcan o no, al
conjunto N de los números naturales; al conjunto Z de los números enteros, al
conjunto Q de los números racionales o al conjunto R de los números reales.
Esta situación involucró la relación entre los contenidos citados anteriormente,
aunque su misión se centró en detectar sí los estudiantes identifican el conjunto
numérico al cual pertenecen los números planteados, sin embargo se pudo determinar
que en su totalidad no conocen a cuál conjunto numérico pertenecen. A continuación
se presentan los resultados obtenidos:
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
54%
46%
0%
Gráfico 15. Porcentaje de respuestas ítem 6. Prueba Diagnóstico.
Interpretación: En el gráfico se observa los resultados arrojados para el ítem 6 de la
prueba diagnóstico, destacando que ningún estudiante conoce a cuál conjunto
numérico pertenecían los números propuestos en el ejercicio, 6 estudiantes (46%) no
respondieron por desconocimiento parcial o total de los conjuntos numéricos
presentados en esta pregunta, y 7 estudiantes (54%) respondieron de forma incorrecta
85
las cuales estuvieron enfocado en la definición al identificar el conjunto de los
números reales, lo que implica que el 100% de los estudiantes no dominaban este
contenido. Ejemplo de esto, hacen referencia a [ 2,72 ] como un número entero, y a [ π ]
(pi) como número racional. Es por esto que, de acuerdo a Astolfi (1999), son errores
debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad y a las concepciones alternativas.
Ítem No. 7: Calcula el valor de la siguiente expresión (−3 ) [−2− (−3 )−1 ]. Explique el procedimiento a seguir.
En este ítem no se especifica el camino para la resolución (por ejemplo; propiedad
distributiva), con la intencionalidad de ver las diferentes formas que toman los
estudiantes para llegar a la respuesta.
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
62%
31%
7%
Gráfico 16. Porcentaje de respuestas ítem 7. Prueba Diagnóstico.
Interpretación: Se observan claramente los resultados para el ítem 7 de la prueba
diagnóstico, sólo 1 estudiante (7%) realizó correctamente el procedimiento en este
ítem, 4 estudiantes (31%) no respondieron por desconocimiento parcial o total al
simplificar los signos de agrupación haciendo uso de la ley de los signos con respecto
al producto, mientras que 8 estudiantes (62%) respondieron incorrectamente estando
enfocado en la definición y procesos adoptados al simplificar los símbolos de
agrupación, lo que determinó que un 93% de los estudiantes no maneja
adecuadamente las competencias de matemática preuniversitaria en este contenido.
En sus respuestas se evidenció que [−1 ;−12 ;−3;3 ;6 ; y 27 ], por consiguiente
siguiendo a la tipología de Astolfi (1999) son errores ligados a las operaciones
86
intelectuales implicadas, procesos adoptados, hábitos escolares y a las concepciones
alternativas.
Ítem No. 8: Calcula las raíces de la ecuación x2−2 x+1=0. ¿Qué tipo de ecuación es?
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
8%
69%
23%
Gráfico 17. Porcentaje de respuestas ítem 8. Prueba Diagnóstico.
Interpretación: En este gráfico se puede observar que 3 estudiantes (23%) realizaron
correctamente el procedimiento en este ítem hallando su resultado, mientras que 9
estudiantes (69%) no respondieron por desconocimiento parcial o total de cómo hallar
el o los valores de X, y sólo 1 estudiante (8%) respondió de manera incorrecta cuyo
resultado estuvo enfocado en la definición y procesos adoptados al hallar la forma
reducida de la expresión o raíces, haciendo uso de la resolvente; lo que indica que el
77% de los estudiantes no lograron las competencias de este ítem. A pesar, de estos
resultados se observó que al no responder dejaron como evidencia las deficiencias en
matemática básica; es por ello que, se ubica dentro de los errores debidos a la
sobrecarga cognitiva en la actividad y a los procesos adoptados, de acuerdo a lo
planteado por Astolfi (1999).
Ítem No. 9: Calcula (−2 )434
(−2 )3 (−3 )3
87
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
31%
54%
15%
Gráfico 18. Porcentaje de respuestas ítem 9. Prueba Diagnóstico.
Interpretación: De acuerdo a estos resultados, se puede observar que sólo 2
estudiantes (15%) realizaron correctamente el procedimiento en este ítem, mientras
que 7 estudiantes (54%) no respondieron por desconocimiento de las propiedades de
la potenciación, también vale destacar que 4 estudiantes (31%) respondieron
incorrectamente presentando errores y dificultades en cuanto a la definición y
procedimientos empleados al aplicar las propiedades de la potenciación con bases
negativas y exponente par o impar, lo que determinó que un 85% de los estudiantes
no tienen dominio en relación a éste contenido; de acuerdo con Astolfi (1999) son
errores debidos a los procesos adoptados, concepciones alternativas, y a las
operaciones intelectuales implicadas. Un ejemplo, de las respuestas suministradas, en
el denominador (−2 )3, (−3 )3, respondieron que su resultado (−8) y (−3).
Ítem Nº 10: Factorizar la siguiente expresión: x2−10 x+25. Explica el
procedimiento a seguir.
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
8%
69%
23%
Gráfico 19. Porcentaje de respuestas ítem 10. Prueba Diagnóstico.
88
Interpretación: Tomando en consideración la información presentada en el gráfico,
se puede observar que sólo 3 estudiantes (23%) realizaron correctamente el
procedimiento en este ítem, mientras que 9 estudiantes (69%) no respondieron por
desconocimiento de los casos de factorización, y 1 estudiante (8%) en su respuesta lo
realizó ( x+5 ) ( x+5 ) de forma incorrecta evidenciándose error enfocado en la
definición y procedimiento empleado al aplicar factorización, lo que muestra que un
77% de los estudiantes no dominaron las competencias de matemática
preuniversitaria con este tema; como consecuencia, son errores como resultado de los
hábitos escolares o de una mala interpretación de las expectativas, operaciones
intelectuales implicadas y a los procesos adoptados en concordancia con la tipología
de Astolfi (1999).
Por último, con respecto a la tipología de errores de Astolfi (1999), se determinó
que más del 95% de las dificultades o errores presentados por los estudiantes
estuvieron distribuidas entre: errores como resultados de los hábitos escolares o de
una mala interpretación de las expectativas, producidos por la aplicación incorrecta
de las propiedades, justificadas en esquemas similares, además de no identificar la
semántica de las operaciones. Otro aspecto, son los errores debidos a la sobrecarga
cognitiva en la actividad, causados por la carencia de aprendizajes relativos a
destrezas y conceptos que no fueron guardadas y almacenadas en la memoria.
Del mismo modo, otro alto porcentaje que se eleva del 90% de las situaciones que
fueron resueltas por los estudiantes dejaron patrones de error los cuales se encuentran
distribuidas de la siguiente forma: errores ligados a las operaciones intelectuales
implicadas, en donde presentaron dificultades al realizar las operaciones básicas,
causados por aprendizajes incorrectos. También, aquellos errores debidos a los
procesos adoptados, causados por procedimientos creados por los mismos
estudiantes, que interfirieron en el adecuado procesamiento de la información.
Asimismo, los errores debidos a la comprensión de las instrucciones, pues los
estudiantes no analizaban lo que se les estaba preguntando para luego emitir
respuestas, en consecuencia, respondían incorrectamente.
89
A continuación se hace una descripción de los hallazgos en las pruebas aplicadas,
a los estudiantes del segundo semestre de Economía Social de la asignatura
Matemática II, éstas fueron seleccionadas durante el desarrollo del semestre II-2013,
tomando en consideración cuatro (4) evaluaciones para identificar los errores
cometidos en la asignatura, con el propósito de dar respuesta al segundo objetivo
específico; en donde se evidenciaron los errores en el desempeño de ésta cátedra:
Cuadro 6
Frecuencia de repuestas correctas, no respondidas e incorrectas por ítem para cada evaluación parcial de Matemática II
Semestre II-2013
Ítems
Correcto No Responde Incorrecto
No. % No. % No. %
Evaluación No. 1 1
a 0 0 3 23 10 77
b 0 0 10 77 3 23
c 0 0 3 23 10 77
Evaluación No. 2
1 6 46 1 8 6 46
2 3 23 0 0 10 77
3 0 0 3 23 10 77
Evaluación No. 3
1a 0 0 1 8 12 92
b 2 15 1 8 10 77
2 3 23 4 31 6 46
3a 1 8 7 54 5 38
b 0 0 8 62 5 38
Evaluación No. 4
1 1 8 4 31 8 61
2
a 0 0 3 23 10 77
b 0 0 4 31 9 69
c 0 0 7 54 6 46
3 0 0 2 15 11 85
90
Fuente. Resultados de cada prueba parcial, cálculo realizado por el autor.
Interpretación: Tomando en cuenta los resultados obtenidos para cada ítems en las 4
evaluaciones parciales aplicadas de Matemática II, se puede destacar que se
encontraron dificultades, de ésta manera en la Evaluación No. 1, para cada una de las
preguntas el 100% respondió incorrectamente o simplemente no respondió; en cuanto
a la Evaluación No. 2, para el ítem 1, hubo un 54%; en cuanto al ítem 2 un 77%; en el
ítem 3 el 100%. En lo que respecta a la Evaluación No. 3, el ítem 2 representa el
77%; el 1-b con un 85%; el ítem 3-a con un 92%; mientras que los ítems 1-a y 3-b
estuvieron con un 100%, respectivamente; por último, en la Evaluación No. 4, para el
ítem 1 representa el 92%; mientras que los ítems 2-a, 2-b, 2-c y 3 coinciden con el
100%. En otras palabras, se puede acotar que gran parte de los porcentajes superan el
50% de respuestas incorrectas en los estudiantes evaluados, esto indica que los
porcentajes más bajos se ubicaron en las respuestas correctas, debido a que los
estudiantes se equivocaron al responder o no respondieron los ítems, demostrando así
que hay ausencia de los conocimientos previos.
Instrumento No. 2: Evaluación No. 1.
Ítem No. 1-a: Encontrar la integral indefinida de ∫ ( x−3 ) ( x+3 ) dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
77%
23%
0%
Gráfico 20. Porcentaje de respuestas para el ítem 1-a. Evaluación No. 1.
Interpretación: Se observa en el gráfico, que de las respuestas obtenidas ningún
estudiante respondió correctamente este ítem, en este sentido, se pudo observar que
sólo 3 estudiantes (23%) no respondieron a la pregunta, lo que indica ausencia de
91
conocimientos en matemática preuniversitaria, mientras que 10 de ellos (77%)
desarrollaron de forma incorrecta la integral, encontrándose en su mayoría errores de
producto notable, producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, los cuales
pertenecen a matemática preuniversitaria; lo que significa que un 100% de los
estudiantes evaluados no dominan las competencias necesarias para resolver este ítem
de la primera evaluación parcial.
Ítem No. 1-b: Encontrar la integral de
∫ cos (x )1−( cos ( x ) )2
dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
23%
77%
0%
Gráfico 21. Porcentaje de respuestas para el ítem 1-b. Evaluación No. 1.
Interpretación: En el gráfico presentado anteriormente, se muestra que no se
emitieron respuestas correctas por parte de los estudiantes para este ítem, además 10
estudiantes (77%) no dieron respuesta para lo solicitado en este tipo de ejercicios
sobre integrales, denotando deficiencias en el aprendizaje, destrezas y conceptos
previos que evitan la resolución, cabe resaltar, también, que de los 13 estudiantes, 3
(23%) respondieron incorrectamente debido al uso inadecuado de los conocimientos
de trigonometría, razones trigonométricas e identidades trigonométricas, contenidos
que corresponden a la matemática preuniversitaria, lo que indica que el 100% de los
estudiantes evaluados no dominan las competencias necesarias en la resolución de
integrales.
Ítem No. 1-c: Encontrar la integral de ∫ 1√ x
( x+2 )3 dx
92
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
77%
23%
0%
Gráfico 22. Porcentaje de respuestas para el ítem 1-c. Evaluación No. 1.
Interpretación: En el gráfico se destaca que 0% de los estudiantes, o sea, ninguno,
respondió correctamente a este ítem, mientras que 3 estudiantes (23%) desconoce o
simplemente no sabían qué hacer al no responder a la pregunta, de igual modo 10
estudiantes (77%) en sus respuestas presentaron errores sobre la definición de las
reglas de integración, desarrollo del producto notable, cubo de una suma,
potenciación de exponentes racionales, propiedades de la potenciación y radicación, y
los procedimientos que siguen al plantear la integral, contenidos que no estaban
presentes en sus conocimientos sobre matemática preuniversitaria y Matemática II,
éstos no les permitieron desenvolverse correctamente en esta asignatura, lo cual
indica que el 100% de los estudiantes no dominaron las competencias necesarias para
la resolución del ítem 1-c.
Instrumento No. 3: Evaluación No. 2.
Ítem No. 1: Calcular la integral indefinida de ∫ x3 dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
46%
8%
46%
Gráfico 23. Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Evaluación No. 2.
93
Interpretación: Se observa a través del gráfico que, 6 estudiantes (46%) conocían y
comprendían el sentido de la integral, respondiendo satisfactoriamente, es decir,
dominaron el concepto de integral indefinida y la aplicación de integración inmediata,
mientras que sólo 1 estudiante (8%) no respondió la pregunta notándose deficiencias
en el aprendizaje de la definición de integrales, por otra parte, los otros restantes 6
estudiantes (46%) en sus respuestas presentaron errores sobre las reglas de
integración, y los procedimientos que siguieron al plantear la integral, estos
conocimientos no se encuentran presentes en sus conocimientos en el aprendizaje de
matemática preuniversitaria, Matemática I y Matemática II, lo cual no les permiten
desenvolverse correctamente en esta asignatura.
Ítem No. 2: Calcular la integral indefinida de ∫ x (3 x2−4 ) dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
77%
0%
23%
Gráfico 24. Porcentaje de respuestas para el ítem 2. Evaluación No. 2.
Interpretación: Se observa a través del gráfico que, sólo 3 estudiantes (23%)
conocían y comprendían el sentido de la integral, respondiendo satisfactoriamente, es
decir, dominaban el concepto de integral indefinida y la aplicación de integración
inmediata, cabe resaltar que todos respondieron a esta pregunta, mientras que en las
respuestas se halló, en 10 estudiantes (77%), errores sobre las reglas de integración
debidos al desconocimiento de los siguientes temas: potenciación, multiplicación de
signos, entre otros, además de los procedimientos incorrectos que siguieron al
plantear la integral, de manera tal que no dominaban las competencias necesarias de
matemática preuniversitaria y matemática I, lo cual no les permiten desenvolverse
correctamente en esta asignatura.
94
Ítem No. 3: Calcular la integral indefinida de ∫ 2 x−1x2−x+1
dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
77%
23%
0%
Gráfico 25. Porcentaje de respuestas para el ítem 3. Evaluación No. 2.
Interpretación: Se observa que 0% no respondió correctamente a la pregunta, esto
indica que ningún estudiante dominaban los conocimientos requeridos de matemática
básica y de Matemática I y II, en este sentido 3 estudiantes (23%) no respondieron a
la pregunta, mientras que los restantes 10 estudiantes (77%) se hallaron en sus
respuestas errores sobre las reglas de integración, y los procedimientos que seguían
para la resolución de la integral, prescindiendo de los conocimientos sobre
matemática preuniversitaria y Matemática I, lo cual no les permitieron desenvolverse
correctamente en esta asignatura, en consecuencia el 100% de los estudiantes
evaluados no dominan las competencias necesarias para la resolución de este ítem.
Instrumento No. 4: Evaluación No. 3.
Ítem No. 1-a: Encontrar la integral indefinida de ∫ ( 2t 2−1 )2 dt
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
92%
8%
0%
Gráfico 26. Porcentaje de respuestas para el ítem 1-a. Evaluación No. 3.
95
Interpretación: Se observa que el 0% de los estudiantes no respondieron
correctamente, mientras que sólo 1 estudiante (8%) no respondió el ítem, mostrando
evidentemente deficiencias y dificultades en el aprendizaje de matemática
preuniversitaria, Matemática I y Matemática II, además, cabe señalar que los 12
estudiantes (92%) restantes respondieron de forma incorrecta, ya que presentaron
errores en el aprendizaje sobre los conocimientos de matemática preuniversitaria,
como lo es el producto notable, cuadrado de la diferencia de dos cantidades, así como
también los procedimientos que siguieron para la resolución de la integral,
prescindiendo de los conocimientos necesarios para resolver los ejercicios de la
asignatura Matemática II, en consecuencia se puede inferir que el 100% de los
estudiantes no dominan las competencias.
Ítem No. 1-b: Encontrar la integral indefinida de ∫ x+6√x
dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
77%
8%
15%
Gráfico 27. Porcentaje de respuestas para el ítem 1-b. Evaluación No. 3.
Interpretación: Se observa que sólo 2 estudiantes (15%) dominaron, no sólo los
conocimientos básicos de matemática, sino que conocían y comprendían en su
totalidad las reglas de derivación e integración al responderlo correctamente,
asimismo, 1 estudiante (8%) no respondió la pregunta realizada poniendo en
evidencia las dificultades presentes en su aprendizaje, también es importante hacer
mención que 10 estudiantes (77%) en sus respuestas presentaron errores sobre los
conocimientos de matemática preuniversitaria, potenciación en con exponente
racional y las propiedades de la potenciación, de igual forma los procedimientos que
siguieron para la resolución de la integral, prescindiendo de los conocimientos de
Matemática I, lo que no les permitieron desenvolverse correctamente en esta 96
asignatura Matemática II, arrojando de esta manera que el 92% de la muestra
evaluada no domina las competencias para éste ítem.
Ítem No. 2: Usando la integración por sustitución encontrar la integral de:∫sin (2 x ) ∙cos (2 x )dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
46%
31%
23%
Gráfico 28. Porcentaje de respuestas para el ítem 2. Evaluación No. 3.
Interpretación: En el gráfico se observa que, sólo 3 estudiantes (23%) dominaron,
no sólo los conocimientos básicos de matemática, sino también en su totalidad las
reglas de derivación e integración, sin embargo, 4 estudiantes (31%) no respondieron
la pregunta realizada, evidenciando dificultades; en este mismo sentido, los restantes
6 estudiantes (46%) presentaron errores en la resolución de la integral, razón por la
cual se pudo determinar que hay deficiencias en el aprendizaje de la matemática
preuniversitaria, así como también en los procedimientos empleados, demostraron
además que hay ausencia de conocimientos sobre Matemática I y en consecuencia de
Matemática II, es por esto que no se desenvuelven correctamente en esta última
asignatura, esto representa que el 84% no domina las competencias necesarias para
este ítem.
Ítem No. 3-a: Usando la integración por partes encontrar la integral de: ∫ x ∙sin ( x ) dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
38%
54%
8%
Gráfico 29. Porcentaje de respuestas para el ítem 3-a. Evaluación No. 3.
97
Interpretación: En el gráfico se observa que 1 estudiante (8%) respondió
correctamente, es decir, sólo este estudiante acertó en su respuesta; sin embargo, 7
estudiantes (54%) no resolvieron el ejercicio, evidenciando deficiencias en el
aprendizaje, mientras que 5 estudiantes (38%) respondieron mostrando en sus
respuestas dificultades sobre los conocimientos de matemática preuniversitaria,
referente a la ley de los signos con respecto al producto, así como también en los
procedimientos empleados para la resolución de la integral a través de los métodos de
integración, asimismo demostraron pocos conocimientos sobre Matemática I,
repercutiendo esto en un desenvolvimiento incorrecto de la asignatura Matemática II,
esto muestra que un 100% de los estudiantes evaluados no dominaban las
competencias necesarias para la resolución del ejercicio.
Ítem No. 3-b: Usando la integración por partes encontrar la integral de: ∫ x3 sin ( x ) dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
38%
62%
0%
Gráfico 30. Porcentaje de respuestas para el ítem 3-b. Evaluación No. 3.
Interpretación: La gráfica nos muestra que ningún estudiante respondió
correctamente, esto representa el 0%; sin embargo, 8 estudiantes (62%) no
resolvieron esta integral, además, 5 estudiantes (38%) en sus respuestas se detectaron
errores tanto de matemática básica como de Matemática I y II, entre los cuales se
encontraron la ley de los signos con respecto al producto, concepciones,
procedimientos, reglas de derivación y técnicas de integración, es decir, cuando
resolvieron los integrales por ausencia de estos tópicos convergieron en errores, lo
que indica que el 100% de los estudiantes evaluados no dominaban las competencias
necesarias para la resolución del ítem.
98
Instrumento No. 5: Evaluación No. 4.
Ítem No. 1: Resolver la integral por descomposición en fracciones parciales ∫ x2−3( x−1 )2 (x+1 )2
dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%
61%
31%
8%
Gráfico 31. Porcentaje de respuestas para el ítem 1. Evaluación No. 4.
Interpretación: Se muestra en la gráfica que sólo 1 estudiante (8%) comprendió y
realizó el procedimiento respectivo para la resolución de este tipo de integrales, sin
embargo, 4 estudiantes (31%) no respondieron por desconocimiento o simplemente
desconfiaron de sus respuestas, por su parte, los restantes 8 estudiante (61%) en sus
respuestas se hallaron errores debidos al aprendizaje de matemática básica, entre los
cuales se encontraron factorización, factor común, operaciones básicas, concepciones
y procedimientos, es decir, cuando resolvieron los integrales por descomposición de
fracciones parciales convergieron en errores, en consecuencia se infiere que el 92%
de los estudiantes evaluados no dominaban las competencias necesarias para la
resolución de este ítem.
Ítem No. 2-a: Usando sustitución trigonométrica encontrar la integral de:
∫ 4x2√16−x2
dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
77%
23%
0%
99
Gráfico 32. Porcentaje de respuestas para el ítem 2-a. Evaluación No. 4.
Interpretación: En la gráfica se observa que ningún estudiante suministro respuesta
correcta para este ítem, también se observa que 3 estudiantes (23%) no respondieron
a esta pregunta, además 10 estudiantes (77%) en sus respuestas presentaron errores en
el aprendizaje de matemática básica, entre los cuales se pueden mencionar la
definición de la razones trigonométricas, identidades trigonométricas, concepciones y
procedimientos, es decir, cuando resolvieron los integrales por sustitución
trigonométrica mostraron deficiencias en sus conocimientos, en consecuencia, el
100% de los estudiantes evaluados no dominaban las competencias necesarias para la
resolución de integrales.
Ítem No. 2-b: Usando sustitución trigonométrica encontrar la integral de:
∫ 1√ x2−25
dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%
69%
31%
0%
Gráfico 33. Porcentaje de respuestas para el ítem 2-b. Evaluación No. 4.
Interpretación: A través de la gráfica se observa que no hubo estudiantes en cuyas
respuestas se determinará de manera correcta para este ítem, mientras que 4
estudiantes (31%) no dieron respuesta al ejercicio, denotando deficiencias en el
aprendizaje, los restantes 9 estudiantes (69%) presentaron errores en sus respuestas
los cuales eran sobre la definición de la razones trigonométricas, identidades
trigonométricas, los procedimientos empleados, desconocimiento de la reglas de
derivación, en otras palabras, al resolver los integrales por sustitución trigonométrica
100
convergieron en dificultades, también se observa que el 100% de los estudiantes
evaluados no dominaron las competencias necesarias para la resolución de este ítem.
Ítem No. 2-c: Usando sustitución trigonométrica encontrar la integral de:∫ x √1+x2 dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%
46%
54%
0%
Gráfico 34. Porcentaje de respuestas para el ítem 2-c. Evaluación No. 4.
Interpretación: Se observa en la gráfica que no hubo estudiante que respondieran de
manera correcta para este ítem, también se vislumbra que 7 estudiantes (54%) no
respondieron, en tanto no sabían qué hacer frente a la situación planteada, mientras
que 6 estudiantes (46%) incurrieron en errores al responder, debido al
desconocimiento de la definición de la razones trigonométricas, identidades
trigonométricas, la reglas de derivación, también se observó deficiencias en cuanto a
los procedimientos empleados, al resolver los integrales por sustitución
trigonométrica, esto indica que el 100% de los estudiantes evaluados no dominaron
las competencias para la resolución de esta integral.
Ítem No. 3: Hallar la integral definida de: ∫−1
3
5 x (2 x2+3 x−5 ) dx
INCORRECTO
NO RESPONDE
CORRECTO
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
85%
15%
0%
Gráfico 35. Porcentaje de respuestas para el ítem 3. Evaluación No. 4.
101
Interpretación: La gráfica muestra que al respecto no se encontraron respuestas de
manera correcta en esta pregunta, además 2 estudiantes (15%) no respondieron para
este ítem, en consecuencia se puede decir que, ante el ejercicio, manifestaron que no
sabían qué responder debido a la ausencia de conocimientos, mientras que 11
estudiantes (85%) en sus respuestas incurrieron en errores con respecto a las reglas de
integración así como también de los conocimientos de matemática preuniversitaria
con respecto a la propiedad distributiva respecto al producto, propiedades de la
potenciación en el caso producto de potencia de igual base, así como en los
procedimientos empleados, en otras palabras, al resolver los integrales por sustitución
trigonométrica convergieron en dificultades, demostrando así que el 100% de la
muestra evaluada no dominaron las competencias necesarias para la resolución de
éste ítem.
A continuación se examina si los errores en el aprendizaje de matemática
preuniversitaria presentes en los estudiantes de Matemática II de Economía Social,
repercutieron en el desempeño de éstos al resolver los integrales en dicha asignatura,
es decir, se vislumbra aquí la columna vertebral del presente trabajo de investigación,
mostrando los resultados e inquietudes del investigador, en el estudio de las
dificultades y errores que se encuentran en la población estudiantil que ingresa a la
UNEFA.
En este sentido, se da respuesta a los objetivos propuestos, presentando a
continuación los errores encontrados, luego de aplicar un primer instrumento (prueba
diagnóstico), con respecto a los conocimientos de matemáticas adquiridos en
Educación Media General, y de qué manera están presentes en el desempeño de
matemática II; realizando una revisión en un segundo, tercero, cuarto y quinto
instrumento (evaluaciones parciales aplicadas en Matemática II), ya analizados
anteriormente, para determinar de esta manera cómo están presentes e influyen estos
errores en el desenvolvimiento de la asignatura. Así, se comienza por agrupar los
contenidos de matemática preuniversitaria presentes en las evaluaciones de
Matemática II, tomando en cuenta estos temas de estudio, se expresan el número de
102
errores hallados de acuerdo a la tipología de error, tal como se muestra en el siguiente
cuadro:
Cuadro 7
Errores presentes de acuerdo a los contenidos de matemática preuniversitaria
Contenido
Matemático
Errores debidos a:
Totales
A la
com
pren
sión
de
las
inst
rucc
ione
s de
trab
ajo
De
las c
ostu
mbr
es e
scol
ares
o
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na m
ala
inte
rpre
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de la
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tivas
De
las c
once
pcio
nes
alte
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de
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lum
nos
A la
s ope
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En
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ogni
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dura
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el e
jerc
icio
A su
ori
gen
en o
tra
disc
iplin
a
Por
la c
ompl
ejid
ad p
ropi
a de
l co
nten
ido
Productos notablesRazones trigonométricas inversas e identidades trigonométricas
4 0 6 0 6 4 0 0 20
Producto notablePotenciación con exponente racionalLey de los signos
1 3 7 7 4 0 0 0 22
FactorizaciónOperaciones básicaDefinición de las razones trigonométricasIdentidades trigonométricasPropiedad distributiva respecto al productoPotenciación y propiedades
0 9 11 6 6 0 0 0 32
Fuente. Errores cometidos de acuerdo a la tipología de Astolfi, 1999.
Separando la información y analizando la tipología de error, para cada uno de los
temas que integraron las evaluaciones, se observó que:
103
En el desarrollo de la primera evaluación parcial de Matemática II, los errores más
frecuentes devinieron de concepciones alternativas y de recorridos empleados; 6
estudiantes (46%) antes de resolver los integrales debían desarrollar el producto
notable cubo de la suma de un binomio y en sustitución de este tema de matemática
preuniversitaria hacían uso de concepciones alternativas; asimismo, 6 estudiantes
(46%) en sus respuestas empleaban otros recorridos o procedimientos con respecto a
este producto notable que no erran los correctos para concretar la resolución de la
integral.
Por último, 4 estudiantes (31%) no comprendieron que para resolver las integrales
se requería de los conocimientos de matemáticas preuniversitarias con respecto a los
productos notables, particularmente, el producto de la suma por la diferencia de
binomios y, en consecuencia, estos errores son debidos a la comprensión de las
instrucciones; de igual forma, 4 estudiantes (31%), debido a la gran cantidad de
información obtenida en la Educación Media General, desarrollaban el cuadrado de
un binomio cuando debían desarrollar el cubo de una suma en los productos notables
esto debido a sobrecarga cognitiva y costumbres escolares. Cabe destacar que, estos
errores de matemática preuniversitaria estuvieron presentes en la resolución de
integrales, lo cual repercutió en el buen desenvolvimiento de los estudiantes. En el
siguiente gráfico se resumen de manera porcentual estos resultados:
Compr
ensió
n de
las i
nstru
ccio
nes
Conce
pcio
nes a
ltern
ativ
as
Recor
ridos
empl
eados
Sobr
ecar
ga co
gniti
va0%5%
10%15%20%25%30%35%40%45%50%
31%
46% 46%
31%
Gráfico 36. Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.
104
En cuanto a la tercera evaluación parcial, los errores más frecuentes se debieron a
concepciones alternativas y de operaciones intelectuales implicadas; por un lado,
los estudiantes no identificaron la expresión presentada en los integrales haciendo uso
de concepciones alternativas propias del educando, llevándolos a través del
procedimiento incorrecto empleado a una solución inválida, un ejemplo de ello fue el
desarrollo del cuadrado de la diferencia de un binomio, convirtiendo al exponente 2
en un exponente racional y, por el otro, aplicar de forma incorrecta la siguiente
propiedad de la potenciación [a−n= 1an ].
Con respecto a las operaciones intelectuales implicadas, los estudiantes no
realizaron las operaciones de la multiplicación de signos, así como también, al
desarrollar los productos notables, para el caso del cuadrado de una diferencia de dos
cantidades, no colocaron los signos respectivos al desarrollo del mismo el cual
correspondía de forma alterna (positivo – negativo – positivo), así:
[ (a−b )2=a2−2ab+b2 ]. De igual forma hubo errores debidos a la comprensión de las
instrucciones, costumbres escolares o de una mala interpretación, y de recorridos
empleados. A continuación se presentan estos porcentajes:
Compren
sión d
e las
instr
uccion
es
Costumbre
s esco
lares
o de una
mala
inter
pretac
ión
Conce
pcio
nes a
ltern
ativa
s
Operac
ione
s intel
ectua
les im
plica
das
Recorri
dos em
pleado
s0%10%20%30%40%50%60%
8%
23%
54% 54%
31%
Grafico 37. Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.
105
En la cuarta evaluación parcial, aplicada en Matemática II, se presentaron como
categorías de errores más distintivos las concepciones alternativas y las costumbres
escolares o de una mala interpretación de las expectativas; de la primera se infiere
que estos errores devinieron de consideraciones al descomponer en fracciones
parciales antes de resolver el integral, pues, los estudiantes, debieron llevar a la
mínima expresión de fracciones pero al plantearla lo realizó de manera incorrecta, lo
cual incidió en el desenvolvimiento de los estudiantes en la asignatura; asimismo, al
encontrar la integral por sustitución trigonométrica no colocaron la raíz cuadrada
respectiva.
Por su parte, en la segunda categoría de error, se observó que los estudiantes
debido a las costumbres escolares se saltaron procedimientos que debían seguir.
También, se detectaron errores al efectuar las operaciones básicas en cuanto a la
adición, sustracción, ley de los signos para el producto, debidos a las operaciones
intelectuales implicadas, de igual modo, los procedimientos empleados por los
estudiantes en la resolución de los integrales no les permitieron resolver de manera
satisfactoria las integrales, en consecuencia se clasificaron como errores de
recorridos empleados. En la siguiente grafica se resume lo hallado:
Costum
bres es
colar
es o d
e una m
ala in
terpre
tación
Concep
cione
s alte
rnativ
as
Operac
iones
intelect
uales
impli
cadas
Recorrid
os em
plead
os0%
20%
40%
60%
80% 69%85%
46% 46%
Grafico 38. Porcentaje de acuerdo a la tipología de errores de Astolfi, 1999.
106
107
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Toda investigación amerita dar a conocer los hallazgos encontrados en el estudio
realizado, es por ello que en el capítulo que se desarrolla a continuación se
manifiestan las conclusiones arrojadas del análisis de los datos, tomando en
consideración para este aspecto los objetivos propuestos y los planteamientos
realizados durante la investigación; de igual manera se expresan las sugerencias y
aportes que el investigador ofrece.
Conclusiones de la investigación
Finalmente, se llega al cierre de la investigación, la cual tuvo por objetivo analizar
los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria, que presentan los
estudiantes en la resolución de integrales, de la asignatura Matemática II de
Economía Social de la Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas
Armadas (UNEFA), extensión Guacara del Estado Carabobo.
En consecuencia, se ha estructurado este capítulo final presentando las
conclusiones de la investigación con respecto a los objetivos planteados. Para ir
cerrando, se presenta a continuación las conclusiones más importantes de los
resultados suministrados a través de la metodología empleada, de acuerdo a cada uno
de los objetivos específicos que se plantearon en el primer capítulo.
La presentación se realiza en cuatro secciones, donde las primeras tres se
corresponden a las conclusiones que se formulan referentes a los objetivos
específicos; y la última, a los interrogantes de la investigación.
Al analizar cada uno de los errores presentados por los estudiantes se determinó
que más del 50% de los estudiantes se les dificultaba el procedimiento con las
operaciones básicas tales como: propiedades de la potenciación, factorización,
adición, sustracción y multiplicación de signos, ecuaciones, producto notable,
conjuntos numéricos, entre otros; todo esto arrojó como consecuencia un desempeño
inadecuado en la asignatura de Matemática II de la carrera de Economía Social.
Para el primer objetivo se pudo constatar que los errores presentados fueron de
matemática básica (matemática preuniversitaria), sin embargo, se hizo una
interpretación de la tipología de errores presentada por Astolfi (1999), donde se pudo
diagnosticar que los tipos de errores presentados por los discentes son: debidos a la
comprensión de las instrucciones, resultado de los hábitos escolares o de una mala
interpretación de las expectativas, como resultado de las concepciones alternativas de
los alumnos, ligados a las operaciones intelectuales implicadas, errores en los
procesos adoptados, debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad.
En síntesis, se relatan los errores y dificultades presentadas por los estudiantes en
el desarrollo de la prueba diagnóstico, las cuales se expresan como resultado de los
hallazgos en las evaluaciones; por consiguiente, los errores de aprendizaje más
frecuentes de los estudiantes se encontraron cuando:
Aplicaron los conceptos de ecuaciones, es decir que al resolverlas encontraban
el valor equivocado de la incógnita.
Ordenaron los números reales de menor a mayor, es decir, lo colocaron
desordenados o de manera decreciente.
Realizaban la adición de fracciones con diferente denominador, en cuanto al
procedimiento que debían seguir, pudiéndose determinar fallas en las
operaciones básicas.
Debían aplicar las propiedades de la potenciación, no identificaban el
significado de la operación, así como también, incurrían en la multiplicación de
la base por el exponente.
108
Al desarrollar los productos notables, empleaban un recorrido alterno al
correcto, es decir, un procedimiento diferente al que debían utilizar.
Debían identificar a cuál conjunto de los números reales pertenecían los
números planteados.
Debían hacer uso de las operaciones elementales, así como también de la ley de
los signos con respecto al producto.
Al identificar la ecuación cuadrática no suministraron respuesta, al hallar la
forma reducida de la expresión o raíces, haciendo uso de la resolvente.
Al aplicar las propiedades con bases negativas y exponente par o impar, no
dominaban las competencias de matemática preuniversitaria en cuanto a la
definición y procedimientos empleados.
Desconocían de los casos de factorización o los desarrollaban en forma
incorrecta.
Con la tipología de errores de Astolfi (1999), se determinó que más del 95% de las
dificultades o errores presentados por los estudiantes estuvieron distribuidas entre:
Errores como resultados de los hábitos escolares o de una mala interpretación
de las expectativas, producidos por la aplicación incorrecta de las propiedades,
justificadas en esquemas similares además de no identificar la semántica de las
operaciones.
Errores debidos a la sobrecarga cognitiva en la actividad, causados por la
carencia de aprendizajes relativos a destrezas y conceptos que no fueron
guardadas y almacenadas en la memoria.
Del mismo modo, otro alto porcentaje que se eleva al 90% de las situaciones que
fueron resueltas por los estudiantes dejando patrones de error se encuentran
distribuidos de la siguiente forma:
Errores ligados a las operaciones intelectuales implicadas, en donde presentaron
dificultades al realizar las operaciones básicas, causados por aprendizajes
incorrectos.
109
Errores debidos a los procesos adoptados, causados por procedimientos creados
por los mismos estudiantes, que interfieren en el adecuado procesamiento de la
información.
Errores debidos a la comprensión de las instrucciones, pues los estudiantes no
analizaban lo que se les estaba preguntando para luego emitir respuestas, en
consecuencia, respondían incorrectamente.
Una vez que se analizaron las teorías de los tipos de errores, se procedió a dar
respuesta al objetivo específico No. 2, el cual permitió determinar los errores
presentes en los estudiantes en el desarrollo de las integrales, mediante las pruebas
parciales aplicadas en la asignatura Matemática II de Economía Social, es importante
considerar al respecto que durante la aplicación de cada uno de los instrumentos se
pudo reconocer los tipos de errores presentados con mayor frecuencia, de matemática
preuniversitaria, los cuales estaban presentes y evitaban el desenvolvimiento
satisfactorio por parte de los estudiantes. Estos errores eran debidos a:
La incorrecta concepción y desarrollo de los productos notables, producto de la
suma por la diferencia de binomios y cubo de un binomio.
El desconocimiento de la potenciación y sus propiedades, así como también
potenciación de exponentes racionales, propiedades de la radicación, debido a
que le daban un uso erróneo en su desarrollo.
Se pudo constatar que los estudiantes de Matemática II, necesitan de contenidos
previos (matemática preuniversitaria) para desarrollar correctamente las integrales en
sus diferentes casos, evidenciándose en esta investigación que no poseen estas
competencias, lo que trae consigo no aprobar la asignatura, se desmotiven y en un
gran porcentaje abandonen la carrera.
Por último, cabe señalar que una vez aplicado el primer instrumento, se pudo
constatar que todos los estudiantes aplazaron la prueba, debido a que desarrollaron
incorrectamente las preguntas planteadas, de tal manera que los errores encontrados
110
en el primer instrumento tuvieron incidencia en los instrumentos aplicados
posteriormente, donde se ameritaba de la matemática básica para resolver ejercicios
propios de la asignatura Matemática II de la carrera de Economía Social, dichas
evaluaciones también resultaron ser aplazadas por todos (100%) los estudiantes.
Por otra parte, en cuanto a las interrogantes formuladas para el presente estudio, es
importante considerar que las mismas fueron abordadas, mediante los objetivos
específicos, sin embargo a continuación se mencionan y se plantean las respuestas
encontradas a lo largo del desarrollo de la presente investigación:
¿Cuáles son los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria que
presentan los estudiantes cursantes de la asignatura matemática II?, el 100% de
los estudiantes presentaron errores con los contenidos de matemática básica,
teniendo mayor énfasis en: propiedades de la potenciación, factorización,
conjuntos numéricos y álgebra (manejo de signos de agrupación).
¿Qué errores presentan los estudiantes en la resolución de las integrales
propuestas en los parciales respectivos de la asignatura matemática II?, el 100%
de los errores encontrados en los estudiantes se apoyan en la teoría de Astolfi
(1999), en cuanto a los procedimientos empleados para la resolución de los
ejercicios o planteamientos, la mayoría de los errores prevalecieron en la
concepción errada del discente al momento de aplicar un conocimiento de
matemática básica en la asignatura de matemática II, las razones por las cuales
emplearon los métodos inadecuados variaron según las características de las
respuestas, bien sea por desconocimiento, por mala interpretación, por
comprensión de las instrucciones, entre otros.
¿De qué manera los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria
están presentes en el desempeño de la asignatura Matemática II de Economía
Social?, al respecto se pudo demostrar que los estudiantes no dominaron las
competencias básicas necesarias, lo cual les impidió resolver los planteamientos
más complejos que se generaron en la asignatura, de ésta manera se encuentra
que en su mayoría los estudiantes presentaron errores por sobrecarga de
111
contenidos, ya que no manejaban adecuadamente la matemática preuniversitaria
y al entrar en contacto con nuevas competencias se saturan de contenidos y les
impide resolver los ejercicios, ocasionando que no aprueben la materia y en
muchos casos el abandono de la carrera.
De igual manera, el 11% de los que desarrollaron exitosamente las integrales,
aunque representan una minoría, reflejaron en sus evaluaciones dominio de las
competencias de matemática preuniversitaria, constituyendo esto otra evidencia de la
importancia del dominio de los contenidos previos en el correcto desempeño en la
asignatura Matemática II de Economía Social de la UNEFA.
112
Recomendaciones
Una vez desarrollado el estudio, surgen aportes que el investigador ofrece
partiendo de los hallazgos obtenidos, a continuación se describen los mismos:
Es importante que los diferentes niveles de la educación redimensionen sus
objetivos, establezcan y determinen los propósitos que se esperan alcanzar y se
elabore un plan desde los entes que los regulan, para que la educación en cada
uno de ellos tenga articulación uno con otro y los estudiantes puedan con mayor
claridad y pertinencia apropiarse de las diferentes asignaturas con intenciones
claras y precisas.
Los docentes de matemática preuniversitaria, es decir de los niveles básica y
media general, deben idear, planificar y ejecutar estrategias que le proporcione
al estudiante desarrollar habilidades y destrezas que le permitan desenvolverse
en su contexto; de igual manera, esas estrategias de enseñanza aprendizaje,
deben permitir el descubrimiento del propio conocimiento, donde el profesor se
dé así mismo la oportunidad de conocer los intereses y necesidades de los
dicentes para aprovechar al máximo sus potencialidades y garantizar el éxito
del desempeño de estos estudiantes en la asignatura de matemática.
Es indispensable que el nivel de media general realice una investigación en
cuanto a las necesidades del nivel superior para que los contenidos, estrategias
que se imparten estén relacionadas y se promueva en los estudiantes las
competencias apropiadas para desenvolverse con éxito en las Universidades o
Institutos de Educación Superior. Al mismo tiempo, las universidades deben ir
a las escuelas básicas para manifestar sus requerimientos al estudiantado y
trabajar coordinadamente con la directiva y docentes de las mismas.
En los centros educativos que promuevan el nivel media general, es necesario
que se realice desde las aulas un proceso de concientización en los estudiantes
que despierte el interés por practicar constantemente la asignatura de
matemáticas, de igual manera explicarles la importancia de ésta para el estudio
a nivel de educación superior.
113
Los docentes de los niveles básica y media general, deben conocer, reconocer e
identificar los errores que presentan sus estudiantes de manera tal que éstos
puedan ser utilizados con un nuevo enfoque, es decir, que no sea punitivo sino
una oportunidad para aprender y, en base a este diagnóstico, re-planificar las
clases y utilizar estrategias novedosas, donde el discente pueda darse cuenta de
la equivocación y conscientemente pueda resolver eficientemente los
planteamientos formulados por el profesor.
De igual manera, en los niveles de básica y media general, es importante
aumentar las pruebas formativas y la corrección de las mismas enfocarlas en
auto y co-evaluación, de esta manera los estudiantes sin presión tienen la
posibilidad de realizar ejercicios y ellos mismos descubrir sus errores y
enmendarlos.
Asimismo, los docentes de los niveles de básica y media general, deberían
dentro de sus estrategias incluir con mayor protagonismo a los estudiantes
sobresalientes en la asignatura de matemática, otorgarle responsabilidades con
los alumnos que presenten errores en las pruebas de tal forma que les ayuden a
subsanar las fallas.
Las universidades o institutos de educación superior, deben planificar pruebas
de diagnóstico en los estudiantes que ingresan por primera vez en asignaturas
referentes a matemática y prestar atención a los errores para dedicar unas clases
de nivelación que le permitan al estudiante una mejor comprensión de los
contenidos que se van a enfrentar.
Los docentes universitarios, con mayor fuerza deben exigir a sus estudiantes la
práctica continua de la asignatura y a su vez desarrollar estrategias que
promuevan un aprendizaje significativo en ellos.
114
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118
ANEXOS
ANEXO A: Validación del Instrumento
UNIVERSIDAD DE CARABOBOFACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE POSTGRADOMAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
VALIDACIÓN DEL INSTRUMENTO
Estimado docente:
Reciba un cordial y respetuoso saludo, acudo a usted con el propósito de solicitar
su colaboración pertinente y necesaria para que evalúe y corrija los ítems que
contienen los siguientes instrumentos, empleando como técnica la prueba de
evaluación, como primera instancia una prueba tipo ensayo la cual consiste en una
prueba diagnóstico y, como segunda instancia, una serie de pruebas las cuales se
aplicarán en la asignatura de Matemática II, los cuales han sido diseñados bajo el
enfoque cuantitativo, dirigidos a estudiantes que cursan la asignatura Matemática II,
con el objeto de dar respuesta a las interrogantes: ¿Cuáles son los errores en el
aprendizaje de matemática preuniversitaria que presentan los estudiantes cursantes de
la asignatura Matemática II?, ¿Qué errores presentan los estudiantes en la resolución
de las integrales propuestas en los parciales respectivos de la asignatura matemática
II?, ¿De qué manera los errores en el aprendizaje de matemática preuniversitaria están
presentes en el desempeño de la asignatura Matemática II de Economía Social?
A continuación se anexan los siguientes aspectos:
1. Título y Objetivos de la Investigación (General y Específicos).
2. Tabla de Operacionalización.
3. Formato de Validación de los Instrumentos.
Agradecido de antemano y esperando de su valiosa colaboración, como docente
experto en el área,
Atentamente: Lcdo. Helys Terán, Doc. de Matemática II, Economía Social (UNEFA).
120
ANEXO B: Instrumento de Validación de la Prueba Diagnóstico
121
122
123
124
125
126
ANEXO C: Prueba Diagnóstico (Instrumento definitivo)
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNEFA (GUACARA)ECONOMÍA SOCIALMATEMÁTICA II
PERÍODO: II-2013
Apellidos y Nombre: N° C.I.:Sección: Fecha: / /Sexo: Edad: Plantel de procedencia: Estimado estudiante, a continuación se presentan una serie de preguntas las cuales tienen como fin diagnosticar los conocimientos previos los cuales son requisitos de matemática II, por lo cual deberá responder:
PRUEBA DIAGNÓSTICO
1. ¿Cuál es la raíz de la ecuación 2 x−1=0?
a. Explique qué procedimiento sigues para hallar la raíz de la ecuación.
b. Dé una definición de ecuación.
2. Ordena los siguientes tres números 13 ; 1,41;
−12 , en forma creciente. ¿Qué
procedimiento sigues para ordenarlo?
3. ¿Cuál es el resultado de 15−2
4 ? Además diga, ¿cómo identificas esta expresión?
4. ¿Cuál es el valor de (22 )−2? Explique qué procedimiento sigues.
5. Desarrolla la siguiente expresión (1−x )2, y explique el procedimiento que
empleaste. ¿Qué tipo de expresión es?
6. Dados los números 13 ; 0; 2,72; −5; π y
−32 colocar el símbolo ∈ (pertenece) o ∉
(no pertenece), según los números dados pertenezcan o no, al conjunto N de los
números naturales; al conjunto Z de los números enteros, al conjunto Q de los
números racionales o al conjunto R de los números reales.
7. Calcula el valor de la siguiente expresión (−3 ) [−2− (−3 )−1 ]. Explique el
procedimiento a seguir.
8. Calcula las raíces de la ecuación x2−2 x+1=0. ¿Qué tipo de ecuación es?
127
9. Calcula (−2 )434
(−2 )3 (−3 )3
10. Factorizar la siguiente expresión: x2−10 x+25. Explica el procedimiento a
seguir.
ANEXO D: Instrumento de validación de la Evaluación No. 1
128
129
130
131
132
133
ANEXO E: Evaluación No. 1 (Instrumento definitivo)
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNEFA (GUACARA)ECONOMÍA SOCIALMATEMÁTICA IIPeríodo Lectivo: II-2013
QUIZ (I CORTE) 10%
Nombre y Apellido: _____________________________ N° de Cédula: _______________Sección:________
FECHA: _____/_____/_______
1. Encontrar la integral indefinida de:
a. ∫ ( x−3 ) ( x+3 ) dx (6 Pts.)
b. ∫ cos(x )1−(cos (x))2 dx (7 Pts.)
c. ∫ 1√ x
( x+2 )3 dx (7 Pts.)
¡ÉXITOS!
134
ANEXO F: Instrumento de validación de la Evaluación No. 2
135
136
137
138
139
140
ANEXO G: Evaluación No. 2 (Instrumento definitivo)
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNEFA (GUACARA)ECONOMÍA SOCIALMATEMÁTICA IIPeríodo Lectivo: II-2013
2° QUIZ (I CORTE) 10%
Nombre y Apellido: ________________________________ N° de Cédula: ___________________ Sección:________
FECHA: _____/_____/_______
a. Calcular utilizando la definición de integral indefinida: ∫ x3 dx (6 Pts.)
b. Calcular usando sustitución en la integral: ∫ x (3 x2−4 ) dx (7 Pts.)
c. Calcular usando sustitución en la integral: ∫ 2 x−1x2−x+1
dx (7
Pts.)
141
¡ÉXITOS!
ANEXO H: Instrumento de validación de la Evaluación No. 3
142
143
144
145
146
147
148
ANEXO I: Evaluación No. 3 (Instrumento definitivo)
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNEFA (GUACARA)ECONOMÍA SOCIALMATEMÁTICA IIPeríodo Lectivo: II-2013
EVALUACIÓN CORTA (I CORTE) 10%
Nombre y Apellido: ________________________________ N° de Cédula: ___________________ Sección:________ FECHA: _____/_____/_______
1. Encontrar la integral indefinida de:
a. ∫ ( 2t 2−1 )2 dt
b. ∫ x+6√x
dx
2. Usando la integración por sustitución encontrar la integral de:
∫sin (2x )∙ cos (2 x )dx3. Usando la integración por partes encontrar la integral de:a. ∫ x ∙sin (x)dx
b. ∫ x3 ∙sin (x)dx
“Hijo mío, desde la juventud busca la instrucción, y hasta en la vejez te encontrarás con sabiduría” (Eclesiástico 6,18).
¡ÉXITOS!Lcdo. Helys Teran
ANEXO J: Instrumento de validación de la Evaluación No. 4149
150
151
152
153
ANEXO K: Evaluación No. 4 (Instrumento definitivo)154
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA - UNEFA
Apellidos y Nombres: C.I.:
Carrera: ECONOMÍA SOCIAL Sección:Período
Lectivo: II-2013MATEMÁTICA II NOTA
FECHA: ____/____/______
EVALUACIÓN CORTA (II CORTE) 10%
1. Resolver la integral por descomposición en fracciones parciales.
∫ x2−3( x−1 )2 (x+1 )2
dx
2. Usando sustitución trigonométrica encontrar la integral de:
a. ∫ 4x2√16−x2
dx
b. ∫ 1√ x2−25
dx
c. ∫ x √1+x2 dx3. Hallar la integral definida de
∫−1
3
5 x (2 x2+3 x−5 ) dx
“Dichoso el hombre que alcanza sabiduría, el hombre que adquiere inteligencia: es mejor mercancía que la plata” (Proverbios 3, 13-14).
¡ÉXITOS!Lcdo. Helys Teran
155
ANEXO L: Coeficiente de correlación Pearson entre las dos evaluaciones
Fuente. Cálculo realizado con el Programa STATS ® 1997 – 2010.
156