Sucesiones y series aritméticas y geométricas

Proyecto Alianza de Matemáticas y Ciencias del Tura bo (AMCT )

Por: Dr. Marlio Paredes3 de diciembre de 2011

Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child LeftBehind”,“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación

Objetivos

� Entender el concepto de sucesión y la notación de suma� Conocer las diferentes maneras de definir una sucesión:

con una fórmula para el término enésimo, en forma recursiva o simplemente dando una lista de sus términos.términos.

� Saber distinguir entre sucesiones aritméticas y sucesiones geométricas.

� Aprender a sumar los términos de una sucesión aritmética y de una sucesión geométrica.

� Conocer algunas sucesiones que aparecen de en fenómenos de la naturaleza.

Estándares

PRECÁLCULO

7.0 Define y utiliza las sucesiones y series aritméticas y geométricas yaplica el concepto de límite.

� Utiliza la notación de la sumatoria.� Utiliza la notación de la sumatoria.

� Encuentra las sumas de las series infinitas geométricas.

� Demuestra y utiliza las fórmulas de adición para las series aritméticas y para las series geométricas finitas e infinitas.

Estándares

� Usa la recurrencia para describir una sucesión.

� Utiliza el concepto de límite de una secuencia o función cuando la variable independiente tienda a infinito o a un número dado.

� Decide si las sucesiones simples convergen o divergen.

� Resuelve problemas verbales que involucren aplicaciones de secuencias y series.

La paradoja de Aquiles y la tortuga:

Cuentan que Zenón (490 – 430 A.C.), filósofo de Elea empeñadoen demostrar la imposibilidad de la existencia del movimiento,realizó el siguiente argumento:

“El guerrero Aquiles el de los pies veloces decide salir a competiren una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápidoen una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápidoque ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventajainicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo ladistancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allídescubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, máslentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo,pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzadoun poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya quela tortuga estará siempre por delante de él.”

Réplica a la paradoja:

Una interpretación moderna, basada en el cálculoinfinitesimal que era desconocido en la época de Zenón deElea, propone que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga,ya que, como demostró el matemático escocés JamesGregory (1638-1675), una suma de infinitos términos puedeGregory (1638-1675), una suma de infinitos términos puedetener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquilesrecorre la distancia que lo separa del punto anterior en elque se encontraba la tortuga son cada vez más y máspequeños, y su suma da un resultado finito, que es elmomento en que alcanzará a la tortuga.

La paradoja de Aquiles corriendo tras la tortuga es una delas más clásicas y famosas paradojas de Zenón . Este griegofilósofo pretendía demostrar que todo lo que percibimos en elmundo es ilusorio, y que cosas como el movimiento eransimplemente ilusiones y no realidades. Lo cual no deja de ser unpunto de vista original, incluso para un griego filósofo. Parademostrarlo ideó una serie de paradojas que “mostraban” que elmovimiento no existía, que todas las distancias son infinitas, queno existe el tiempo… La paradoja de Aquiles y la tortugaconsiste en una imaginaria carrera. Uno de los contrincantesconsiste en una imaginaria carrera. Uno de los contrincantes(Aquiles) era el más hábil de los guerreros aqueos, y vencedorde mil batallas. Era un superhombre casi invencible, y apodado“el de los pies ligeros”. El otro contrincante (la tortuga) es un serpor todos conocido, de proverbial lentitud y bien cachazudo.Dado que Aquiles es mucho más rápido que la tortuga(supuestamente) antes de empezar decide darle un estadio deventaja, y tras dárselo, se da el pistoletazo de salida (o sesuena un cuerno, ya que en esos tiempos no existían laspistolas, afortunadamente para muchos).

Arquímedes (287 – 212 A.C.) quien vivió 200 años mas tarde queZenón de Elea presentó la paradoja de Aquiles y la Tortuga en lasiguiente forma:

Aquiles compite una carrera con una tortuga a lo largo de la línea

. . .A B

0 1

AB/2 AB/4 AB/8

Aquiles compite una carrera con una tortuga a lo largo de la líneaAB; en un gesto de gallardía, el héroe griego otorga a la tortuga lamitad del terreno, esto es, hasta AB/2. Aquiles dobla a la tortuga envelocidad: cuando Aquiles, “el de los pies ligeros”, alcanza el puntoAB/2 la tortuga se ha desplazado al punto AB/4. Sin desesperarseAquiles camina hasta el punto AB/4, pero para entonces la tortugaha alcanzado el punto AB/8 y cuando Aquiles llegue al punto AB/8la tortuga estará en el punto AB/16, después en AB/32, en AB/64 yasí infinitamente.

Si sumamos estas distancias obtenemos la siguiente suma infinita

L++++16

1

8

1

4

1

2

1

Tenemos dos objetos matemáticos para destacar aquí:

Sucesión: LL ,2

1,,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1n

Serie: ∑∞

=

=++++1 2

1

16

1

8

1

4

1

2

1

nn

L

Sucesiones

Estrictamente hablando una sucesión es una función cuyodominio es el conjunto de los números naturales

Términos de la sucesión:Términos de la sucesión:

Usualmente se escribe en lugar de

Por ejemplo para la sucesión del ejemplo anterior escribimos:

es llamado el término n-ésimo de la sucesión

Ejemplo: Encontrar el término n-ésimo de la siguiente sucesión

Ejemplo: Encontrar el término n-ésimo de la siguiente sucesión

La sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Leonardo de Pisa

Leonardo de Pisa, mejor conocido por su apodoFibonacci (que significa hijo de Bonacci), nacióen la ciudad italiana de Pisa y vivió de 1170 a1250.

Era hijo de Guilielmo Bonacci quien trabajabaEra hijo de Guilielmo Bonacci quien trabajabacomo representante de la casa comercial italianamás importante de la época, en el norte deÁfrica.

Posiblemente Fibonacci formuló el primer modelo matemáticode un fenómeno biológico, pues es el mas antiguo que seencuentra en la literatura.

El modelo de Fibonacci:

Leonardo escribió en su famosolibro sobre la aritmética Liberabacus el siguiente problema:

Si alguien coloca una pareja de conejos en un sitiorodeado por paredes, ¿cuántas parejas de conejosgenerará la pareja inicial durante un año si se suponeque cada mes una nueva pareja es engendrada porcada pareja que a partir de su segundo mes devieneproductiva?

Comenzamos con una única parejade conejos (macho y hembra).

El Modelo de Fibonacci

Cada pareja de conejos (macho y hembra) madura (puedereproducirse) pasado un mes.

Cada pareja madura de conejos produce una única nueva parejade conejos (macho y hembra) cada temporada de crianza.

En cada fila se representanlas parejas de conejos portemporadas.

Las parejas maduras son las

El Modelo de Fibonacci

Las parejas maduras son lasde color negro.

Esto da lugar a la famosa sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,……..

Una manera, matemáticamente masformal, de describir esta situación esla siguiente:

Una sucesión definida recursivamente

K,3,2,1,11 =+= −+ kNNN kkk

Si denotamos por Nk el número de parejas (macho y hembra) deconejos al principio de cada temporada y por k la correspondientetemporada, entonces la población de conejos se describe por lasiguiente fórmula de recurrencia:

Ejemplo: Determinar los primeros términos de lasucesión definida recursivamente por

y

Sumas parciales de una sucesión

Para la sucesión:

Sumas parciales: Primera suma parcial

Segunda suma parcial

Tercera suma parcial

n-ésima suma parcial

Sucesión de sumas parciales

Ejemplo: Calcular las cuatro sumas parciales y la n-ésima sumaparcial de la sucesión

Ejemplo: Calcular las cuatro sumas parciales y la n-ésima sumaparcial de la sucesión

Esta propiedad es llamada telescópica

Notación de suma:

Ejemplos:

Propiedades:

1.

2.

3.

Sucesiones Aritméticas

Ejemplo: Suponga que un auditorio tiene 20 filas deasientos con 30 lugares en la primera fila, 32 en lasegunda, 34 en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuántosasientos tiene el auditorio en total?

Tenemos aquí una sucesión para la cual:

Lo primero que podemos observar es que entre cada término de la sucesión hay una diferencia de 2 unidades.

Una sucesión de este tipo se dice que es aritmética porque de un término a otro pasamos sumando una constante.

Definición: una sucesión aritmética es una sucesión de laforma

es el primer término y d es llamada la diferencia comúnes el primer término y d es llamada la diferencia común

El n-ésimo término de una sucesión aritmética está dado por:

Queremos calcular la suma de los términos de una sucesiónaritmética

Volviendo a nuestro ejemplo del auditorio tenemos:

y

Sucesiones Geométricas

Recordemos la sucesión del ejemplo de la paradoja de Aquilesy la tortuga

Observemos que los términos de esta sucesión tienen la siguientecaracterística

Definición: una sucesión geométrica es una sucesión de laforma

es el primer término y r es llamada la razón común

El n-ésimo término de una sucesión geométrica está dado por:

Sumas parciales de una sucesión geométrica

Ejemplo: calcular la suma de los cinco primeros términos dela sucesión geométrica

1, 0.7, 0.49, 0.343, …

y

Regresemos a la sucesión de nuestro ejemplo de la paradojade Aquiles y la tortuga

Podemos concluir que:

, cuando

Esta conclusión se debe principalmente a quela razón de nuestra sucesión geométrica es < 1

Similarmente, podemos concluir en el caso de la sucesióngeométrica general

Tenemos entonces que la suma infinita

Una suma infinita como esta es llamada una serie

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(AMCT)

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