Post on 05-Feb-2018
PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL Partial Differential Equations – PDE
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Universitas Gadjah Mada Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi Sarjana Teknik Sipil
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Diferensial Parsial – PDE 2
q Acuan q Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,
2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n Chapter 23 dan 24, hlm. 707-749.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Diferensial Parsial – PDE 3
q Suatu fungsi u yang bergantung pada x dan y: u(x,y) q Diferensial u terhadap x di sembarang titik (x,y)
q Diferensial u terhadap y di sembarang titik (x,y)
( ) ( )x
yxuyxxuxu
x Δ−Δ+
=∂∂
→Δ
,,lim0
( ) ( )y
yxuyyxuyu
y Δ−Δ+
=∂∂
→Δ
,,lim0
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Diferensial Parsial – PDE 4
Contoh arti fisik:
u elevasi tanah pada peta situasi.
u ditunjukkan oleh garis-garis (kontour) elevasi tanah.
X
Y
buat potongan memanjang di sepanjang garis ini à apa yang akan Sdr lihat?
u(x,y)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Diferensial Parsial – PDE 5
12 2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
uyu
xyxu
yuyu
xyxu
582
2
2
3
=+∂∂
+∂∂
∂
xyxu
xu
=∂∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
2
33
2
2
6
xyu
xuxu
=∂∂
+∂∂2
2
q Tingkat (order) PDE adalah tingkat tertinggi suku derivatif
q PDE merupakan fungsi linear apabila
q fungsi tsb linear pada u dan derivatif u, dan
q koefisien persamaan tsb hanya bergantung pada variabel bebas (x atau y) atau konstanta
(1)
(2)
(3)
(4)
PDE Order Linear (1) 2 ya (2) 3 ya (3) 3 tidak (4) 2 tidak
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Diferensial Parsial – PDE 6
02
22
2
2
=−∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
Dyu
Cyxu
Bxu
Aq PDE yang dibahas pada mk Matek di sini
hanya PDE linear bertingkat dua
q PDE linear bertingkat dua dan fungsi dua variabel bebas (x,y) dapat dikelompokkan menjadi:
q eliptik
q parabolik
q hiperbolik
B2−4AC kategori
< 0 eliptik
= 0 parabolik
> 0 hiperbolik
A, B, C : fungsi x dan y
D : fungsi x, y, u, ∂u/∂x,dan∂u/∂y
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Diferensial Parsial – PDE 7
B2 − 4AC Kategori Nama Persamaan
< 0 Eliptik Persamaan Laplace (permanen, 2D spasial)
= 0 Parabolik Persamaan konduksi panas (tak-permanen, 1D spasial)
> 0 Hiperbolik Persamaan gelombang (tak-permanen, 1D spasial)
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yT
xT
tT
xT
k∂∂
=∂∂2
2
2
2
22
2 1ty
cxy
∂∂
=∂∂
PDE Eliptik (Persamaan Laplace) Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace
Persamaan Diferensial Parsial – PDE 8
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Laplace 9
∆z
X
Y
q Sebuah plat logam persegi tipis
q kedua permukaan dilapisi dengan isolator panas
q sisi-sisi plat diberi panas dengan temperatur tertentu
q transfer panas hanya dimungkinkan pada arah x dan y
q Ditinjau pada saat transfer permanen telah tercapai (steady-state condition)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Laplace 10
∆x
∆y q(x)+q(x+∆x)
q(y)+q(y+∆y)
q(y)
X
Y q Pada steady-state condition, aliran kedalam sebuah elemen (lihat gambar di samping) selama periode ∆t haruslah sama dengan aliran yang keluar dari elemen tsb:
( ) ( )( ) ( ) tzxyyqtzyxxq
tzxyqtzyxq
ΔΔΔΔ++ΔΔΔΔ+
=ΔΔΔ+ΔΔΔ
q(x) dan q(y) berturut-turut adalah fluks panas arah x dan arah y, dalam satuan kal/cm2/s.
q(x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Laplace 11
∆x
∆y q(x)+q(x+∆x)
q(y)+q(y+∆y)
q(y)
X
Y q Jika semua suku pada persamaan tsb dibagi dengan ∆z ∆t, maka:
( ) ( ) ( ) ( ) xyyqyxxqxyqyxq ΔΔ++ΔΔ+=Δ+Δ
q Pengelompokan suku dan perkalian dengan ∆x/∆x atau ∆y/∆y menghasilkan:
( ) ( ) ( ) ( )0=ΔΔ
ΔΔ+−
+ΔΔΔ
Δ+−xy
yyyqyq
yxx
xxqxq
q(x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Laplace 12
∆x
∆y q(x)+q(x+∆x)
q(y)+q(y+∆y)
q(y)
X
Y q Pembagian dengan ∆x ∆y menghasilkan:
q Mengambil nilai limit persamaan tsb dan memperhatikan definisi diferensial parsial, maka diperoleh:
0=∂∂
−∂∂
−yq
xq
( ) ( ) ( ) ( )0=
ΔΔ+−
+Δ
Δ+−y
yyqyqx
xxqxq
(persamaan konservasi energi)
q(x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Laplace 13
∆x
∆y q(x)+q(x+∆x)
q(y)+q(y+∆y)
q(y)
X
Y
q Penyelesaian PDE tsb membutuhkan syarat batas fluks panas q; padahal syarat batas yang diketahui adalah temperatur T.
q Oleh karena itu, PDE di atas diubah menjadi PDE dalam T dengan menerapkan Hukum Fourier untuk konduksi panas.
0=∂∂
−∂∂
−yq
xq
(Fourier’s law of heat conduction)
iT
k
iT
Ckqi
∂∂ʹ−=
∂∂
ρ−=
q(x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Laplace 14
∆x
∆y q(x)+q(x+∆x)
q(y)+q(y+∆y)
q(y)
X
Y iT
kiT
Ckqi ∂∂ʹ−=
∂∂
ρ−=
q(x)
qi : fluks panas arah i (kal/cm2/s) k : koefisien difusi thermal (cm2/s) ρ : rapat massa medium (g/cm3) C : kapasitas panas medium (kal/g/°C) T : temperatur (°C) k´ : konduktivitas thermal (kal/s/cm/°C)
q Persamaan di atas menunjukkan bahwa fluks panas tegak lurus sumbu i sebanding dengan gradien/slope temperatur pada arah i.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Laplace 15
∆x
∆y q(x)+q(x+∆x)
q(y)+q(y+∆y)
q(y)
X
Y
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yT
xT
q(x)
q Dengan memakai Fick’s Law, maka persamaan konservasi energi dapat dituliskan sbb.
( )yxfyT
xT
,2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
q Jika ada source atau sink:
(Persamaan Laplace)
(Persamaan Poisson)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Persamaan Laplace 16
∆x
∆y q(x)+q(x+∆x)
q(y)+q(y+∆y)
q(y)
X
Y
iH
Kqi ∂∂
−=
q(x) qi : debit aliran arah i (m3/m/s) K : konduktivitas hidraulik (m2/s) H : tinggi energi hidraulik (m) i : panjang lintasan, panjang aliran (m)
q Persamaan tsb sama dengan persamaan aliran melalui medium porus (Hukum Darcy).
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yH
xH
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 17
q Penyelesaian persamaan Laplace, dan berbagai PDE di bidang enjiniring, hampir tidak pernah dilakukan secara analitis, kecuali untuk kasus-kasus yang sederhana.
q Penyelesaian hampir selalu dilakukan dengan cara numeris.
q Teknik penyelesaian PDE secara numeris q Metode beda hingga (finite difference approximation, FDA)
q Metode elemen hingga (finite element method, FEM)
q Metode volume hingga (finite volume method, FVM)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Finite Difference Approach – FDA 18
∆x
∆y
X
Y q Langkah pertama dalam FDA
q Domain fisik plat persegi dibagi menjadi sejumlah pias atau grid titik-titik diskrit.
q PDE Laplace diubah menjadi persamaan beda hingga di setiap titik hitung (i,j).
q Di titik hitung interior (simbol bulat hitam):
0 1 2 3 4 0
1
2
3
4
21,,1,
2
2
2,1,,1
2
2
2
2
y
TTT
yT
x
TTT
xT
jijiji
jijiji
Δ
+−≈
∂∂
Δ
+−≈
∂∂
−+
−+ § diferensi tengah (central difference)
§ error = O[(∆x)2] & § error = O[(∆y)2]
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Finite Difference Approach – FDA 19
∆x
∆y
X
Y q Persamaan Laplace dalam bentuk beda hingga:
0 1 2 3 4 0
1
2
3
4 0222
1,,1,2
,1,,1 =Δ
+−+
Δ
+− −+−+
y
TTT
x
TTT jijijijijiji
q Jika ukuran grid seragam, ∆x = ∆y, maka:
04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ jijijijiji TTTTT
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Finite Difference Approach – FDA 20
0754
04
1,22,11,1
1,10,12,11,01,2
−−=++−
=−+++
TTT
TTTTT
q Di titik-titik yang berada di batas domain (simbol bulat putih), berlaku syarat batas (boundary conditions) à temperatur diketahui/ditetapkan.
q BC semacam itu dikenal dengan nama Dirichlet boundary condition.
q Di titik (1,1): 50
°C
75°C
0°C
100°C
q Di 8 titik interior yang lain pun dapat dituliskan persamaan beda hingga diskrit semacam di atas. X
Y
0 1 2 3 4 0
1
2
3
4
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Finite Difference Approach – FDA 21
q Dari 9 titik interior diperoleh sistem persamaan aljabar linear yang terdiri dari 9 persamaan dengan 9 unknowns.
50°C
75°C
0°C
100°C
X
Y
0 1 2 3 4 0
1
2
3
4
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 22
1504
1004
1754
504
04
754
504
04
754
)9
)8
)7
)6
)5
)4
)3
)2
)1
3,33,22,3
3,33,23,12,2
3,23,12,1
3,32,32,21,3
3,22,32,22,11,2
3,12,22,11,1
2,31,31,2
2,21,31,21,1
2,11,21,1
−=−+
−=+−+
−=+−
−=+−+
=++−+
−=++−
−=+−
=++−
−=++−
TTT
TTTT
TTT
TTTT
TTTTT
TTTT
TTT
TTTT
TTT
q 9 persamaan dengan 9 unknowns:
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 23
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
−
−
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
150
100
175
50
0
75
50
0
75
410100000
141010000
014001000
100410100
010141010
001014001
000100410
000010141
000001014
3,3
3,2
3,1
2,3
2,2
2,1
1,3
1,2
1,1
T
T
T
T
T
T
T
T
T
q 9 persamaan dengan 9 unknowns dalam bentuk matriks
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 24
q Sistem persamaan aljabar yang dihasilkan dari penerapan persamaan beda hingga di semua titik interior q diselesaikan dengan salah satu Metode yang telah dibahas pada kuliah sebelum
UTS q untuk 9 persamaan, penyelesaian masih dapat dilakukan dengan mudah memakai
cara tabulasi spreadsheet q untuk jumlah persamaan yang banyak, seperti biasa ditemui dalam permasalahan
civil engineering, perlu bantuan program komputer n MatLab (program aplikasi berbayar) n SciLab (mirip MatLab, program aplikasi open source, platform Windows, MacOS, Linux) n Octave (mirip MatLab, program aplikasi open source, platform Windows, MacOS, Linux) n Numerical Recipes n Etc. (dapat dicari di internet)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 25
q Metode iteratif: Gauss-Seidel iteration method
q Dipakai SOR (Successive Over Relaxation) method untuk mempercepat konvergensi
q Kriteria konvergensi
41.1..1.1
.−+−+ +++
= jijijijiji
TTTTT
( ) ( ) 211 ,1
,1
.<λ<λ−+λ= ++ n
jinji
n TTTji
hitungan dilakukan dengan bantuan tabulasi spreadsheet
( )
( ) %1maxmax 1,
,1
,, <
−=ε +
+
nji
nji
nji
ji T
TT
41..1.11.
.++−− +++
= jijijijiji
TTTTTatau
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 26
iterasi, n T1,1 T2,1 T3,1 T1,2 T2,2 T3,2 T1,3 T2,3 T3,3 ∆Tmax
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ---
1 28.1250 10.5469 22.7051 38.6719 18.4570 34.1858 80.1270 74.4690 96.9955 100.0%
2 32.5195 22.3572 28.6011 55.8311 60.8377 71.5700 74.4241 87.3620 67.3517 69.7%
3 41.1859 37.8056 45.4653 71.2290 70.0686 51.5471 87.8846 78.3084 71.2700 40.9%
4 48.4201 42.5799 31.3150 66.3094 54.4950 51.8814 75.9144 73.9756 67.8114 45.2%
5 44.7485 27.6695 32.9241 59.9274 52.7977 50.3842 77.8814 74.9462 69.3432 53.9%
6 38.5996 32.7858 33.4767 60.5401 55.5973 52.9643 77.4916 75.9389 69.9171 15.9%
7 43.8224 33.4432 34.4145 63.6144 56.9367 52.7435 79.2117 76.8051 69.8722 11.9%
8 42.6104 33.5140 33.8893 62.4499 56.0988 52.3259 78.2398 75.6765 69.3148 2.8%
9 42.8062 33.0409 33.8179 62.3681 55.7299 52.1605 78.2718 75.9054 69.6173 1.4%
10 42.5003 32.9976 33.7753 62.2418 55.8746 52.3950 78.2943 75.9671 69.5771 0.7%
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Teknik Penyelesaian Persamaan Laplace 27
Y
0 1 2 3 4 0
1
2
3
4
50°C
75°C
0°C
100°C
42.50 32.99 33.77
62.24 55.87 52.39
78.29 75.96 69.57 0
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4
T°C T°C
i
T°C
j = 1
j = 2
j = 3
X
0
20
40
60
80
100
0 1 2 3 4
T°C T°C
j
T°C
i = 3
i = 1
i = 2
PDE Parabolik Penyelesaian PDE Parabolik
FDA Skema Eksplisit FDA Skema Implisit FDA Skema Crank-Nicolson
Persamaan Diferensial Parsial – PDE 28
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
PDE Parabolik 29
panas dingin
Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.
X
q Heat balance di dalam batang A
( ) ( ) TCxAtAxxqtAxq ΔρΔ=ΔΔ+−Δ
input output storage
( ) ( )tT
Cx
xxqxqΔΔ
ρ=Δ
Δ+−
q limit persamaan tsb untuk ∆x, ∆t à 0
tT
Cxq
∂∂
ρ=∂∂
−
q persamaan tsb dibagi vol = ∆xA∆t
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
PDE Parabolik 30
panas dingin
Batang logam pipih-panjang dibungkus isolator panas, kecuali di kedua ujung batang yang diberi panas dengan temperatur berbeda, panas dan dingin.
X
q Hukum Fourier untuk konduksi panas A
2
2
xT
ktT
∂∂
=∂∂
xT
Ckq∂∂
ρ−=
q Persamaan heat balance menjadi
Persamaan konduksi panas
q Persamaan di atas merupakan persamaan difusi q transpor polutan q transpor sedimen suspensi
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit 31
2
2
xT
ktT
∂∂
=∂∂
q Temperatur batang merupakan fungsi waktu dan ruang q terhadap waktu, T berupa suku derivatif pertama
q terhadap ruang, T berupa suku derivatif kedua
q Langkah hitungan pada FDA q T pada waktu t+∆t dihitung berdasarkan T pada waktu t
q T pada waktu t sudah diketahui dari nilai/syarat awal (initial condition) atau dari hasil hitungan langkah sebelumnya
q saat menghitung T di suatu titik pada suku derivatif ruang, T yang mana yang dipakai? § jika T pada waktu t à dinamai skema eksplisit § jika T pada waktu t+∆t à dinamai skema implisit
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit 32
ixT
ktT
titik di2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
=∂∂
i
ni
ni
xT
ktTT
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
=Δ−+
2
21
21
11
2
x
TTTk
tTT nn
ini
ni
ni i
Δ
+−=
Δ−
−++
2
1111
11
2
x
TTTk
tTT nn
ini
ni
ni i
Δ
+−=
Δ−
++++
+−
k konstan di sepanjang batang dan di sepanjang waktu
Skema Eksplisit
Skema Implisit
∆x seragam di sepanjang batang
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit dan Skema Implisit 33
t
X
n
n+1
i+1 i−1 i
( )nni
ni
ni
ni i
TTTxt
kTT1
2121
++−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
+= −+
t
X
n
n+1
i+1 i−1 i
ni
ni
ni
n TTxt
kTxt
kTxt
ki
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
− ++
++
−
112
12
12 21
1
Skema Eksplisit Skema Implisit
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit 34
t
X
n
n+1
8 2 ( )nn
ini
ni
ni i
TTTxt
kTT1
2121
++−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
+= −+
Skema Eksplisit
10 6 0 4 x (cm)
q Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm q time step, ∆t = 0.1 s q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
2
2
xT
ktT
∂∂
=∂∂
100°C T
= 5
0°C
4 1 5 3 0 2 i
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit 35
iterasi waktu (s) temperatur (°C) di titik hitung
n t T0 T1 T2 T3 T4 T5
0 0 100 0 0 0 0 50
1 0.1 100 2.0875 0 0 1.0438 50
2 0.2 100 4.0878 0.0436 0.0218 2.0439 50
3 0.3 100 6.0056 0.1275 0.0645 3.0028 50
4 0.4 100 7.8450 0.2489 0.1271 3.9225 50
5 0.5 100 9.6102 0.4050 0.2089 4.8052 50
( ) 4,3,2,12112
1 =+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
+=−+
+ iTTTxt
kTT nni
ni
ni
ni i
Hitungan diteruskan sampai t = 12 s
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit 36
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10
Temperatur (°C)
Jarak (cm)
t = 3 s
t = 12 s t = 9 s t = 6 s
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit 37
q Konvergensi dan stabilitas hitungan q Konvergensi berarti bahwa jika ∆x dan ∆t mendekati nol, maka penyelesaian
FDA mendekati penyelesaian eksak. q Stabilitas berarti bahwa kesalahan hitungan di setiap tahap hitungan tidak
mengalami amplifikasi, tetapi mengecil seiring dengan berjalannya hitungan.
q Skema eksplisit konvergen dan stabil jika:
21
2 ≤ΔΔxt
k
kx
t2
21 Δ
≤Δ
≤ ½ dapat terjadi oskilasi kesalahan hitungan
≤ ¼ tidak terjadi oskilasi kesalahan hitungan
= 1/6 meminimumkan truncation error
2xt
kΔΔ
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit 38
q Konvergensi dan stabilitas hitungan q untuk mendapatkan akurasi hasil hitungan, dibutuhkan ∆x kecil, namun
q konsekuensi ∆x kecil adalah ∆t pun harus kecil untuk menjamin konvergensi dan kestabilan hitungan
q jika ∆x dikalikan faktor ½, maka ∆t perlu dikalikan faktor ¼ untuk mempertahankan konvergensi dan kestabilan hitungan
q skema eksplisit menjadi mahal, dalam arti beban hitungan bertambah besar
21
2 ≤ΔΔxt
k
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit 39
t
X
n
n+1
8 2
Skema Eksplisit
10 6 0 4 x (cm)
q Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm q time step, ∆t = 0.1 s q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
2
2
xT
ktT
∂∂
=∂∂
100°C T
= 5
0°C
Hitung dengan skema eksplisit: 21
2 >ΔΔxt
k
PR dikumpulkan minggu depan!
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 40
t
X
n
n+1
8 2
Skema Implisit
10 6 0 4 x (cm)
q Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm q time step, ∆t = 0.1 s q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
2
2
xT
ktT
∂∂
=∂∂
100°C T
= 5
0°C
ni
ni
ni
n TTxt
kTxt
kTxt
ki
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
− ++
++
−
112
12
12 21
14 1 5 3 0 2 i
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 41
ni
ni
ni
n TTxt
kTxt
kTxt
ki
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
− ++
++
−
112
12
12 21
1
q Hitungan pada saat n+1=1 atau t+∆t = 0.1 s:
504
14
13
03
14
13
12
02
13
12
11
00
112
11
020875.004175.1020875.0:4 node
020875.004175.1020875.0:3 node
020875.004175.1020875.0:2 node
020875.0020875.004175.1:1 node
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
+=+−
=−+−
=−+−
+=−
020875.02 =ΔΔxt
k 05175.121 2 =ΔΔ
+xt
k
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 42
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−
04375.1
0
0
0875.2
04175.1020875.000
020875.004175.1020875.00
0020875.004175.1020875.0
00020875.004175.1
14
13
12
11
T
T
T
T
q Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns
matriks tridiagonal
q Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan program komputer.
q Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix algorithm (TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 43
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−
04375.1
0
0
0875.2
04175.1020875.000
020875.004175.1020875.00
0020875.004175.1020875.0
00020875.004175.1
14
13
12
11
T
T
T
T
q Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel
[A] {T} {RHS}
{T} = [A]−1 {RHS}
Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 44
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
0023.1
0209.0
0406.0
0047.2
04375.1
0
0
0875.2
960309.00192508.00003859.00
0192508.0960309.00192508.00003859.0
0003859.00192508.0960309.00192508.0
00003859.00192508.0960309.0
14
13
12
11
T
T
T
T
q Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah:
[A]−1 {T} {RHS}
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 45
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
+
=
0461.2
0209.0
0406.0
1750.4
020875.0
020875.0
RHS
514
13
12
011
TT
T
T
TT
q Hitungan pada saat n+1=2 atau t+∆t = 0.2 s:
q Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah q Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
9653.1
0619.0
1206.0
0101.4
0461.2
0209.0
0406.0
1750.4
960309.00192508.00003859.00
0192508.0960309.00192508.00003859.0
0003859.00192508.0960309.00192508.0
00003859.00192508.0960309.0
24
23
22
21
T
T
T
T
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 46
Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan dengan skema implisit tampak lebih cepat daripada hasil hitungan dengan skema eksplisit (pada t = 3 s).
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10
Tem
pera
tur
(°C
)
Jarak (cm)
t = 3 s
implisit
eksplisit
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit dan Implisit
q Persamaan dan teknik penyelesaiannya straight-forward, penyelesaian dilakukan node per node
q Rentan terhadap konvergensi dan stabilitas hitungan
q Time step terkendala oleh konvergensi dan stabilitas hitungan
q Persamaan dan teknik penyelesaian lebih “rumit”, penyelesaian dilakukan secara simultan untuk seluruh node
q Konvergensi dan stabilitas hitungan lebih mudah dijaga
q Time step tidak terkendala oleh konvergensi dan stabilitas hitungan
47
Skema eksplisit Skema implisit
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit dan Implisit 48
t
X
Skema Eksplisit
1) Saat menghitung T di i, hanya titik-titik hitung (nodes) di dalam segitiga ini yang berpengaruh dalam hitungan.
2) Saat menghitung T di i, titik-titik hitung (nodes) di kedua zona ini tidak diperhitungkan, padahal secara fisik, justru node-node di sini berpengaruh thd T di titik i.
i
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Eksplisit dan Implisit 49
2
2
xT
ktT
∂
∂=
∂
∂
2
1111
11
2
x
TTTk
tTT nn
ini
ni
ni i
Δ
+−=
Δ−
++++
+−
Skema Implisit
1st order accurate 2nd order accurate
1) Skema implisit menjamin konvergensi dan stabilitas hitungan, namun aproximasi suku derivatif waktu dan suku derivatif ruang memiliki akurasi berbeda.
2) Skema implisit yang memiliki akurasi yang sama pada aproximasi suku derivatif waktu dan ruang adalah Metode Crank-Nicolson.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Metode Crank-Nicolson 50
t
X
n
n+1
i+1 i−1 i
Skema Crank-Nicolson
n+½
q Aproksimasi suku derivatif waktu ditempatkan pada waktu n+½
tTT
tT l
ili
Δ
−≈
∂
∂ +1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ
+−+
Δ
+−≈
∂
∂ +−
+++−+
2
11
111
211
2
2 2221
xTTT
xTTT
xT n
ini
ni
ni
ni
ni
q Aproksimasi suku derivatif ruang pada waktu n+½ dianggap sbg nilai rata-rata derivatif pada waktu n dan n+1
2
2
xT
ktT
∂
∂=
∂
∂
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Metode Crank-Nicolson 51
t
X
n
n+1
i+1 i−1 i
Skema Crank-Nicolson
n+½
q Bentuk beda hingga persamaan parabola dengan demikian dapat dituliskan sbb.
ni
ni
ni
ni
ni
ni
Txt
kTxt
kTxt
k
Txt
kTxt
kTxt
k
12212
112
12
112
12
12
+−
++
++−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ−
2
2
xT
ktT
∂
∂=
∂
∂
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Crank-Nicolson 52
t
X
n
n+1
8 2 10 6 0 4 x (cm)
q Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 2 cm q time step, ∆t = 0.1 s q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
2
2
xT
ktT
∂∂
=∂∂
100°C T
= 5
0°C
4 1 5 3 0 2 i
Skema Crank-Nicolson
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Crank-Nicolson 53
q Hitungan pada saat n+1=1 atau t+∆t = 0.1 s:
0875.204175.2020875.0:4 node
0020875.004175.2020875.0:3 node
0020875.004175.2020875.0:2 node
1750.4020875.004175.2:1 node
14
13
14
13
12
13
12
11
12
11
=+−
=−+−
=−+−
=−
TT
TTT
TTT
TT
020875.02 =ΔΔxt
k 05175.121 2 =ΔΔ
+xt
k
ni
ni
ni
ni
ni
ni T
xt
kTxt
kTxt
kTxt
kTxt
kTxt
k 12212112
12
112 1212 +−
++
++− ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ++⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Δ
Δ−
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 54
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−
0875.2
0
0
1750.4
04175.2020875.000
020875.004175.2020875.00
0020875.004175.2020875.0
00020875.004175.2
14
13
12
11
T
T
T
T
q Diperoleh 4 persamaan dengan 4 unknowns
matriks tridiagonal
q Apabila jumlah persamaan banyak, penyelesaian dilakukan dengan bantuan program komputer.
q Salah satu teknik penyelesaian yang dapat dipakai adalah tridiagonal matrix algorithm (TDMA) yang dapat diperoleh dari internet.
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 55
q Karena hanya 4 persamaan, penyelesaian masih mudah dilakukan dengan bantuan spreadsheet MSExcel
[A] {T} {RHS}
{T} = [A]−1 {RHS}
Gunakan fungsi =MINVERSE(…) dan =MMULT(…) dalam MSExcel
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−
0875.2
0
0
1750.4
04175.2020875.000
020875.004175.2020875.00
0020875.004175.2020875.0
00020875.004175.2
14
13
12
11
T
T
T
T
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Implisit 56
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
0225.1
0107.0
0210.0
0450.2
0875.2
0
0
0450.4
4898271.00050086.00000512.00
0050086.04898271.00050086.00000512.0
0000512.00050086.04898271.00050086.0
00000512.00050086.04898271.0
14
13
12
11
T
T
T
T
q Penyelesaian persamaan tsb dengan bantuan spreadsheet MSExcel adalah:
[A]−1 {T} {RHS}
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Crank-Nicolson 57
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
0901.4
0427.0
0841.0
1797.8
RHS
q Hitungan pada saat n+1=2 atau t+∆t = 0.2 s:
q Matriks koefisien persamaan [A] tidak berubah q Matriks di sebelah kanan tanda “=“ berubah dan merupakan fungsi T pada saat n=1
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
0036.2
0422.0
0826.0
0071.4
0901.4
0427.0
0841.0
1797.8
4898271.00050086.00000512.00
0050086.04898271.00050086.00000512.0
0000512.00050086.04898271.00050086.0
00000512.00050086.04898271.0
24
23
22
21
T
T
T
T
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Crank-Nicolson 58
Konduksi atau perambatan panas hasil hitungan dengan skema Crank-Nicolson tampak mirip dengan hasil hitungan dengan skema eksplisit (pada t = 3 s).
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10
Tem
pera
tur
(°C
)
Jarak (cm)
t = 3 s
implisit
Crank-Nicolson
eksplisit
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Skema Crank-Nicolson 59
2
2
xT
ktT
∂
∂=
∂
∂
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ+−
φ−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Δ+−
φ=Δ− −+
+−
+++
+
211
2
11
111
1 21
2xTTT
kx
TTTk
tTT n
ini
ni
ni
ni
ni
ni
ni
q Skema FDA
q φ = 0 : skema eksplisit q φ = 1 : skema implisit q φ = ½ : skema Crank-Nicolson
FDA
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA Persamaan Parabolik 60
q Bentuk umum FDA persamaan diferensial parsial parabolik
( )
( )
( ) ni
ni
ni
ni
ni
ni
Txt
k
Txt
k
Txt
kTxt
kTxt
kTxt
k
12
2
12112
12
112
1
121
121
+
−++
++−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
φ−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
φ−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
φ−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
φ−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
φ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ΔΔ
φ−
q Skema FDA
q φ = 0 : skema eksplisit q φ = 1 : skema implisit q φ = ½ : skema Crank-Nicolson
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
FDA: Persamaan Parabolik 61
t
X
n
n+1
8 2 10 6 0 4 x (cm)
q Konduksi panas di sebuah batang aluminium pipih panjang q panjang batang, L = 10 cm, ∆x = 1 cm (!!) q time step, ∆t = 0.1 s q koefisien difusi thermal, k = 0.835 cm2/s q syarat batas: T(x=0,t)= 100°C dan
T(x=20,t) = 50°C q nilai awal: T(x,t=0) = 0°C
100°C T
= 5
0°C
8 2 10 6 0 4 i
q Hitung sampai steady-state condition q Skema eksplisit q Skema implisit q Skema Crank-Nicolson
PR/ Tugas
1
2
2
xT
ktT
∂∂
=∂∂
5 7 9 3
∆x = 1 cm