Post on 22-Mar-2021
PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
BAMAT-202
Self Learning Material
Directorate of Distance Education
SWAMI VIVEKANAND SUBHARTI UNIVERSITY
MEERUT-250005
UTTAR PRADESH
SIM Module Developed by :
Reviewed by :
•
Assessed by:Study Material Assessment Committee, as per the SVSU ordinance No. VI (2).
Copyright © Laxmi Publications Pvt Ltd.
No part of this publication which is material protected by this copyright notice may be reproduced or transmitted or utilized or stored in any form or by any means now known or hereinafter invented, electronic, digital or mechanical, including photocopying, scanning, recording or by any information storage or retrieval system, without prior permission from the publisher.
Information contained in this book has been published by Laxmi Publications Pvt Ltd and has been obtained by its authors from sources believed to be reliable and are correct to the best of their knowledge. However, the publisher and its author shall in no event be liable for any errors, omissions or damages arising out of use of this information and specially disclaim and implied warranties or merchantability or fitness for any particular use.
Published by : Laxmi Publications Pvt Ltd., 113, Golden House, Daryaganj, New Delhi-110 002.Tel: 43532500, E-mail: info@laxmipublications.com
DEM C—Typeset at: Printed at: Edition: 2020
Self-Instructional Material i
CONTENTS
UNIT I
1. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
Introduction ....................................................................................................................................................................... 1
Definition of a Partial Differential Equation .................................................................................................................... 1
Order of a Partial Differential Equation ........................................................................................................................... 2
Linear Partial Differential Equation ................................................................................................................................. 2
Notation ............................................................................................................................................................................. 2
Formation of a Partial Differential Equation ................................................................................................................... 2
Formation of a Partial Differential Equation by Elimination of Arbitrary Constants .................................................... 2
Formation of a Partial Differential Equation by Elimination of Arbitrary Functions .................................................... 7
2. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE FIRST ORDER(Equations Linear in p and q) 13
Introduction ..................................................................................................................................................................... 13
Solution of a Partial Differential Equation ..................................................................................................................... 13
Complete Solution ........................................................................................................................................................... 14
Particular Solution ........................................................................................................................................................... 14
Singular Solution ............................................................................................................................................................. 14
General Solution .............................................................................................................................................................. 15
Lagrange Linear Equation .............................................................................................................................................. 15
Solution of Lagrange Linear Equation ........................................................................................................................... 15
3. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATINS OF THE FIRST ORDER(Equations Non-linear in p and q) 29
Introduction ..................................................................................................................................................................... 29
Special Type I : Equations Containing only p and q ...................................................................................................... 29
Special Type II : Equations of the Form z = px + qy + g(p, q) ...................................................................................... 34
Special Type III : Equations Containing only z, p and q ............................................................................................... 39
Special Type IV : Equations of the Form f1(x, p) = f
2(y, q) ............................................................................................ 44
Use of Transformations ................................................................................................................................................... 49
Charpit’s General Method of Solution ........................................................................................................................... 53
ii Self-Instructional Material
UNIT II
4. HOMOGENEOUS LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH CONSTANTCOEFFICIENTS 59
Introduction ..................................................................................................................................................................... 59
Partial Differential Equations of Second and Higher Order .......................................................................................... 59
Homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ........................................................ 60
Some Theorems ............................................................................................................................................................... 61
General Solution of Homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0 with Constant Eoefficients ... 62
General Solution of Homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = F(x, y) withConstant Eoefficients ...................................................................................................................................................... 65
Particular Integral of f(D, D)z = F(x, y) ......................................................................................................................... 66
Particular Integral when F(x, y) is Sum or Difference of Terms of the Form xmy
n...............................................................................................66
Particular Integral when F(x, y) is of the Form f(ax + by) ............................................................................................. 68
General Method of Finding Particular Integral .............................................................................................................. 75
5. NON-HOMOGENEOUS LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITHCONSTANT COEFFICIENTS 81
Introduction ..................................................................................................................................................................... 81
Non-homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ................................................ 82
Reducible and Irreducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients ..... 82
General Solution of Reducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0with Constant Coefficients .............................................................................................................................................. 82
General Solution of Irreducible Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation f(D, D)z = 0with Constant Eoefficients .............................................................................................................................................. 85
General Solution of Non-homogeneous Linear Partial Differential Equation with Constant Eoefficients ................. 88
Particular Integral of f(D, D)z = F(x, y) ......................................................................................................................... 89
Particular Integral when F(x, y) is Sum or Difference of Terms of the Form xmy
n...............................................................................................89
Particular Integral when F(x, y) is of the Form eax+by............................................................................................................................................................................92
Particular Integral when F(x, y) is of the Form sin (ax + by) or cos (ax + by) .............................................................. 93
Particular Integral when F(x, y) is of the Form eax+by V(x, y) ......................................................................................... 96
6. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS REDUCIBLE TO EQUATIONS WITHCONSTANT COEFFICIENTS 99
Introduction ..................................................................................................................................................................... 99
Reducible Linear Partial Differential Equations with Variable Coefficients ................................................................ 99
Solution of Reducible Linear Partial Differential Equations with Variable Coefficients ........................................... 100
Self-Instructional Material iii
UNIT III
7. MONGE’S METHODS
Introduction ................................................................................................................................................................... 105
Partial Differential Equation of Second Order ............................................................................................................ 105
Intermediate Integral ..................................................................................................................................................... 105
Monge’s Methods .......................................................................................................................................................... 106
Monge’s Method of Solving Rr + Ss + Tt = V ............................................................................................................ 106
Monge’s Method of Solving Rr + Ss + Tt + U(rt – s2) = V ......................................................................................... 115
UNIT IV
8. APPLICATIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 121
Introduction ................................................................................................................................................................... 121
Principle of Superposition ............................................................................................................................................ 122
Method of Separation of Variables (or Product Method) ............................................................................................ 122
Vibrations of a Stretched String, One Dimensional Wave Equation 2 2
22 2y y
ct x
........................................... 131
Solution of the Wave equation ...................................................................................................................................... 132
Transforming Non-homogeneous BCs to Homogeneous Ones ................................................................................... 134
D’Alembert’s Solution of the Wave Equation .............................................................................................................. 136
D’Alembert’s Solution Satisfying Initial Conditions ................................................................................................... 137
Duhamel’s Principle for one Dimensional Wave Equation ......................................................................................... 139
Vibrating membrane—Two-dimensional Wave equation ............................................................................................ 159
Solution of Two-Dimensional Wave Equation ............................................................................................................. 160
One-Dimensional Heat flow 2
22
u uc
t x
................................................................................................................. 167
Solution of the Heat Equation ....................................................................................................................................... 168
Inhomogeneous Boundary Condition ........................................................................................................................... 169
Two-Dimensional Heat flow ......................................................................................................................................... 182
Solution of Laplace’s Equation in Two Dimensions .................................................................................................... 183
Laplace Equation ........................................................................................................................................................... 202
Solutions of Laplace’s Equation ................................................................................................................................... 202
Course II
Course Name: Partial Differential Equations (PDE) Course Code: BAMAT-202
Course Objectives:
The main objectives of this course are to introduce the students to the exciting world of partial Differential Equations and their applications.
Unit 1: Definition of partial differential equations, order and degree of partial differential equations, Lagrange solution of linear partial differential equations of first order, working rule to find the solution of Lagrange equation Non linear PDE of first order: Charpit’s method
Unit 2: Linear partial differential equation of second and higher order of homogeneous and non homogeneous forms with constant coefficients, solution of a liner partial differential equations with constant coefficients, Determination of C.F. and the P.I
Unit 3: partial differential equation of second order, Second order PDE with variable coefficients. Canonical Forms, Monge’s method. Monge’s method of integrating.
Unit 4: Solution of heat and wave equations in one dimensions by method of separation of variables. Solution of heat and wave equations in two dimensions by method of separation of variables.
Course Learning Outcomes: The course will enable the students to:
1. Formulate Partial Differential Equations for various Mathematical models.
2. Will be able to solve partial differential equation of first and higher order using various techniques.
3. Apply these techniques to solve and analyze various mathematical models.
References:
1. Edwards, C. Henry, Penney, David E., & Calvis, David T. (2015). Differential Equation and Boundary Value Problems: Computing and Modeling (5th ed.). Pearson Education.
2. Ross, Shepley L. (2004). Differential Equations (3rd ed.). John Wiley & Sons. India
��������� �������������� �
�����
�������������������������
���������
����������
�� ������ ����������� ���������������
������� ����������� ���������������
�������������� ���������������
�������
���������� ����������� ���������������
���������� ����������� ����������������������������� ������������������
���������� ����������� ����������������������������� ����������������
������
�������������������������������������������������������
�������� ������������������������������������������������������������� �������� ��������!��!�������������� ���������������������!�������"#�������� ��������� ����������������������������������������������� ��������� ����������������"����������������������$� �������������������������� ����!�%!������������� ��������� ����������������"
����������������������������������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������
�����������������%�����������������������!��!���� ������&�� �� ������ �� ���������������������!������������������������������������� �������
#��� ���� �%����������� ������'�������� ��������� �����������������(
���
zx
zy
z y x 3 5 3tan ( ) ��� xzzx
yzzy
xy
��� ( )y zzx
xyzy
xz2 2
��� xzx
yzy
z xzy
���
���
����
����
3 2 22
���2 3 2 02
2
2 2
2
z
x
zx y
z
y ���x
z
xy
z
yy
zy
xzx
22
22
2
2 0
.
�� ����� ������������������
�� ��������� �������������
�����
������������������������������� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������
#��������� ����������� �������������������� ������������������ ������%����������� ���!��!�� �����%� �� ���� ������� � �������� �������"� ���� ���� ������� �����������������)*+,-�%!������!�$������������ ����� ���� ��������������������������������������� ����������� ���������������� �����"
��� ������ ������ ������ ������ ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������
���������� ����������������������������������� ���������������!�����������������������!��!������������������ ������%���������������������������%�����"���������� ���������������� ���������������������������������������� �������� �����������������)*+,-�%!������!������ ���$� ��������'���������������������������������������.�����"
#����������� ����������������zzx
y
5 7 ����������������������� �������
�����������������������������!��������������������������!��!��zx�������������
��%�����"
��������������� ��������������������
� ���/��)�$��-������ ������� �� �������������!���������������������� ��������������� ���� �%���������(
zx
pzy
qz
xr
zx y
sz
yt , , , , .
2
2
2 2
2
���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������
#���������� �� ����� � ����%��������� ������������������������%�������%!�������������� ����!�������"�������������� ����!������������������������������������������������ ������"�#������������� �������������������)��� ������-%!������������������� ���������������"
���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������������������������������������ ���������������������������������������� ����� � ����� � ����� � ����� � ����� ������������������������������� ��� ��� ��� ��� ���
����������� ������� �� �������������!������������������ ������
�)�$��$��$��$��-�/�0$ """)*-
����������������������������������"
��������� �������������� �
�����
�������������������������
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
�
fx
fz
zx
fy
fz
zy
0 0and
fx
pfz
0 """)1-
���
fy
qfz
0 """)2-
���%������$������������������������� ����)*-$�)1-$�)2-����� ��%��������������� ���� ����)���������-�/�0"
#����������������������������� ����������������"�#������������ ��������������������������"
�������������������� ������������� ������������������������������ ����������������������������������������� �� ������������� ������������������������������� � �������� �������������������� �� �� ����� ����� ������������������������������������������������������� ��
pz y
xq and 1.
�� ��� ��������� �� ���������� � �������� ��� �������� ����� ��������� �� ��������������������������������������� �� ������������� ������������������������� ���������������������������� �� �� ������������������������ ���
�������������
�������� ��� ��� ������� ������������ ��������� �� ���������� �������������������������������������������
)�- ������ ���� )��- ������������
)���- ������� ����� )�!- �����������"
�����)�-�3����!� ��/ )��4��-)��4��- """)*-
��/ ���4����4����4���
� ��������%������������ "�"�"��������$� ��%��
zx�/ �)*-�4�0�4��)*-�4�0 """)1-
���zy�/ �)*-�4��)*-�4�0�4�0 """)2-
)1- ��/zx�+�� )2- ��/�
zy�+��
�����%�����!������� �����������)*-$� ��%��
� z xzy
x yzx
y ���
��� �
�����
�� zzx
.zy
)��- 3����!�� ��/�����4�����4���" """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
�������� �zx�/�1���4�0�4�0 """)1- �����������
zy�/�0�4�1���4�0 """)2-
)1- ������� ��/�1�� ��/�px2
��� )2- ��/�1�� ��/�qy2"
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�����%�����!������� �����������)*-$� ��%��
zpx
xqy
ypx
qy
���
���
���
��� �
��������
���2 2 2 2
2 2 �� zpx qy pq
xy
2 2 4
�� ���������������� ������� �
)���- 3����!�� ��/�)���4��-)���4��-" """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
������� ��
zx
y b x( )( )2 2 0 """)1- ��� ��
zy
x a y( )( )2 2 0
""")2-
)1- �� ��/�1�)���4��- ���4���/�px2
)2- �� ��/�1�)���4��- ���4���/�qy2
�����%�����!������� ����4����������4�����)*-$� ��%��
zqy
px
2 2
. or pq 4xyz.
)�!- 3����!�� ��/�����������" """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
� �
zx
a by bebx( sin ) . """)1-
��� � �
zy
ae b bybx( ) . cos """)2-
)1- ��/ ����������� """)5-
)2- ��/ ����������� """)6-
�!��%�)5-����)6-$� ��%����pq �/�������"
����$ �)5- ��/ �� ��/�pz"
�pq
pz
y ���
���tan � �� p q tan
pyz
�
����������� ������������������������������������������������������
x
a
y
b
z
c1.
2
2
2
2
2
2
�����3����!�xa
yb
zc
2
2
2
2
2
2 1 " """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
20
20 02 2
2 2xa
zc
zx
c x a zzx
or """)1-
��� 02 2
0 02 2
2 2 y
b
z
c
zy
c y b zzy
or """)2-
��������� �������������� �
�����
�������������������������
� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��
0 022
���
��� a z
zy x
zy
zx
zz
y xzx
zy
0.2
����������� �����������������������������������������������������������������������#�$������������"
��������� ���������� """)*-
���������������� ��������� ����������������""7��� ������������������������"
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
�)*-�4�0�4��zx�/ 0 """)1- ������ �����0�4��)*-�4��
zy�/�0 """)2-
)1- ��4����/ 0 ��� ��/�+���
)2- �����/ 0 ��� ��%��
���� ���4����4����/ *
)+���-��4�)+���-��4����/�*
�� )���4����4�*-����/ * �� np q
1
12 2)������%���8�0-
l npp
p qm nq
q
p q
2 2 2 21 1,
�����%�����!������� �������������)*-$� ��%��
px
p q
qy
p q
z
p qa
2 2 2 2 2 21 1 1
�� z px qy a p q 1 .2 2 ����������� ������������������������������������������������������&
����������������������%��'"
���������)�����-����������������������������+���/�0"
3������������)�����-$�������������� ������������� �������9��
)��+��-��4�)��+��-��4�)��+��-��/�5: """)*-
)*-�������������� ������ ��������� ����������������������������������"
� ��������%�)*-���������� "�"�"�������$� ��%��
1)��+��-�4�0�4�1)��+��-���/�0 """)1-
��� 0�4�1)��+��-�4�1)��+��-���/�0 """)2-
)1- ��+���/�+�)��+��-� ��� )2- ��+���/�+�)��+��-�
)*- )��+��-����4�)��+��-����4�)��+��-��/�5:
�)���4����4�*-�)��+��-��/�5: """)5-
)1-�+�)2- 1)��+��-�/�+�1)��+��-�)�%�- z bx yp q
)5- ( )p qx yp q
2 22
1 49
���
���
�� � ����� �����! ��"��!�����# ��"� !��
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�����������(�����������������������������������������������!������!������������������������"
�����#������������ ����� ������ ����������������%������������������4�����4�����4�1����4�1���4�1����/ 0 """)*-
�������������������������������������"
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
1���4�0�4�1����4�1����4�1)�"*�4���-�4�1���/ 0 """)1-
��� 0�4�1���4�1����4�1�)���4��"*-�4�1���4�1���/ 0 """)2-
)1- ���������)�������-�/ 0 """)5-
)2- ���4����4����4��)���4�����-�/ 0 """)6-
;�������%�)5-����������)6-��������������%$� ��%��
����4����4�����4�����4�����4�����4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0
�� ����4�����4�����4����4�1����4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0
<��%�)*-$� ��%�� +�)����4�����4���-�4�)���4���-�)���4����4��-�/ 0
)���4����4��-�)+���4����4���-�/�0 ����� ������
$%&'()*�&+,���-%&��%,.()*�/&%0,�1�
&����(� ������%!������������!��!�%�!�����������������������������$������������ �� � ������������������� "�"�"� ����������� !�������� ������������ ��������� ���� ��������� ��� %��� ���� ����������%�������� ���������������"
&����((� � � ���� ������� � � ��������� ��������� �� ����� ����� ���� ������� � �����������!�������$�������������������� ��������������������������������%!������������������������ ����������������� ����������"
&����(((� � � ���� ������� � � ��������� ��������� �� ������ ��� ���� ������� � �����������!�������$�������������������� ������������������������%!�������������� ����������������� ����������"
&����(.� � � ������������ ������������������� ��%������� ����� ������������ �����������!�������$�������������������� ������������������������%!������������ ����������������� ���������������%���������������"
�� �����
� ����������� ������������� ������ ������ ���������������������� � �������� �� �� ���� �� ����������� ������� � !"�#
���������������� � ��������� !�"��#�����$ ���������������� % �����������������
& 22
2
2
2z
x
a
y
b ' z axe a e by y 1
22 2
( z xy y x a b 2 2 ) ������������������!
* ������������������� ! ������������������ � ������������������������������ �������������������������� ���������� �
� ��"��#���� ��"��#������������ ����������������������������������� �� ����������������������������������������
��������� ��������������
�����
�������������������������
$ ������������������������������ ��� ����������������� ����������������������������������������������������$������
% ��������������������������� �� ���������������� ��������������� ���$�����
2�34��3
zx
zy
. 1 �
zx
zy
1 $ z xzx
yzy
zx
zy
.
%
zy
yzx
���
���
22
& 2z xzx
yzy
'
zy
xzx
zx
���
���2
(
zx
zy
xzx
yzy
)
zx
zy
zz
x y
20 * x
zx
yzy
z
2
!
2
2
2
2
20 0
z
x
z
yz x
zx
yzy
xyz
x y , , z
zx
zy
k22 2
21
���
���
���
���
�
���
�
���
�
zx
zy
0 $ zzx
zy
k22 2
21
���
���
���
���
�
���
�
��� % x
zy
yzx
0 .
���� ���� ���� ���� ���� ���������������������������������������� �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������������������������������������ ���������������������������������������� ����� � ����� � ����� � ����� � ����� ���������������������������������������������������
����������!��������������� �������� �������!����������������������)��!-�/�0 """)*-
��� ��� ��������� �������� ��� ������ ���� !"�=�%����%� �� ��� �� ������ � ��� �� ���� ��������%�)*-���������� "�"�"��$� ��%��
fu
ux
uz
zx
fv
vx
vz
zx
���
��� �
����� 0
fu
ux
puz
fv
vx
pvz
���
��� �
����� 0
��
fu
fv
vx
pvz
ux
puz
���
��� �
����� """)1-
>������$�� ��������%�)*-���������� "�"�"��$� ��%��
fu
fv
vy
qvz
uy
quz
���
��� �
����� """)2-
�������%������%�)1-�����)2-$� ��%��
���
��� �
����� �
����� �
�����
vx
pvz
ux
puz
vy
qvz
uy
quz
�
vx
pvz
uy
quz
vy
qvz
ux
puz
���
��� ���
���
���
��� ���
���
uy
vz
uz
vy
puz
vx
ux
vz
qux
vy
uy
vx
���
��� �
�����
����4�?��/�=$
���� P Q
uy
vz
uz
vy
uz
vx
ux
vz
, ��� R
ux
vy
uy
vx
.
#������������������������� ���������������"�#���������� ������������������"�������%�������� �������������������� ����� ���� �� �����&������ ����������� �������
� ��������� �������������
�����
������������������������������� �������������
����������� ��������������������������������������������������������������������������������������
�# ��������������� ��# ������������������������������ ���# � �����������"���#���' ��# ������������������������������
�����)�-�3����!����/��)���4�1��-" """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
zx
p f x yx
x y x f x y ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2
���
zy
q f x yy
x y y f x y ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 4 2
�!��%� ��%���pq
xy
2
or 2py qx 0.
)��- 3����!���)���4����4���-�/���������" """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"���������� ��%��
� ���
��� f x y z x z
zx
a czx
( ) . .2 2 2 2 0 2 1 0
""")1-
��� � ���
��� f x y z y z
zy
b czy
( ) . .2 2 2 0 2 2 0 1
""")2-
)1- 2 2 2 2 f x y z x pz a cp( ) . ( ) """)5-
)2- 2 2 2 2 f x y z y qz b cq( ) . ( ) """)6-
�!��%�)5-����)6-$� ��%��
�x pzy qz
a cpb cq
x pz b cq y qz a cp
or ( ) ( ) ( ) ( )
�� �������������������������������
�� 5��"�6�!���� 6��"���! ������"�5��
)���- 3����!�� �)���4���$���+���-�/�0" """)*-
��� ��/����4���� ���� !�/���+���"
)*- �)�$�!-�/�0 """)1-
� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��
�
fu
ux
fv
vx
vz
zx
���
��� 0
fu
xfv
y p. ( . )2 1 0
2 0xfu
p yfv
( ) """)2-
� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��
�
fu
uy
fv
vy
vz
zy
���
��� 0
��
fu
yfv
x q. ( . )2 1 0
��������� �������������� �
�����
������������������������� 2 0y
fu
q xfv
( ) """)5-
�������%�
fu
fv
and � ����)2-�����)5-$� ��%���22
0x p yy q x
*
1�)��+��-�+�1�)��+��-�/�0 �� � �"���������"����
)�!- 3����!����)���4����4���$����+�1��-�/�0" """)*-
��� ��/����4����4��� ��� !�/����+�1��"
)*- �)��!-�/�0 """)1-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��$� ��%��
�
fu
ux
uz
pfv
vx
vz
p���
��� �
����� 0
�
fu
x zpfv
y zp( ) ( )2 2 2 2 0
( ) ( )x zpfu
zp yfv
0 """)2-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��$� ��%��
�� �
fu
uy
uz
qfv
vy
vz
q���
���
���
��� 0
fu
y zqfv
x zq( ) ( )2 2 2 2 0
( ) ( )y zqfu
zq xfv
0 """)5-
�������%�
fu
fv
and � ����)2-�����)5-$� ��%���x zp zp y
y zq zq x
0.
)��4���-)���+��-�+�)��4���-)���+��-�/�0
���+����4������+�����+�����4����+������4�����/�0
�)��4��-���+�)��4��-���/����+��� � ��"� !�����"���
�������� 7�� ��� ������� ������������ ��������� �� ���������� ��������������������������������������������
)�- ���)�-�4��)�- )��- ��/�����%� ������
)���- ����� ��� )�!- �������� ������ �����"�����)�-�3����!������)�-�4��)�-" """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
�
zx
y y x ( ) . ( )1 """)1- ���
zy
x y x ( ) ( ) . 1 �""")2-
� ��������%�)1-� "�"�"��$� ��%��
2
1z
y xy x ( ) ( ) . """)5-
(+��������������������������'���������������'�������xy
ba
xy
dc
and .
)����������������������� ba
dc
� ad bca b
c d 0 0or .
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
2 1 1zy x x
zy
xy
zx
y ���
��� �
�����( ) ( ) )<��%�)1-�����)2--
xyz
y xx
zx
yzy
x y y x
2
( ( ) ( ))
xyz
y xx
zx
yzy
z2
"
)��- 3����!�� ��/��)���+��-�4�)���4��-" """)*-
� ��������%���������� "�"�"��������$� ��%��
p f x yx
x y g x yx
x y ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
""")1-
��� �q f x yy
x y g x yy
x y ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
""")2-
)1- ��/�1�� )���+��-�4�1�)���4��- """)5-
)2- ��/�+�� )���+��-�4�*�")���4��- """)6-
� ��������%�)5-� "�"�"��$� ��%��
��/�1�� )���+��-�"�1��4�1"*�� )���+��-�4�1�)���4��-�"�1��4�1"*�)���4��-
�� ��/�5���)� )���+��-�4�)���4��--�4�1�)� )���+��-�4�)���4��-- """),-
� ��������%�)6-� "�"�"��$� ��%��
��/�+�� )���+��-�"�)+�*-�4�)���4��-�"�*
�� ��/�� )���+��-�4�)���4��- """)9-
),- � r x tpx
���
���4 2
22 )<��%�)5-�����)9--
xz
x4x
zy
zx
.2
23
2
2
)���- 3����!�� ��/��)�-�4�)�-" """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
��*�/�� )�-���4�0 ����������""")1-������ �0�/��)�-���4�)�- """)2-
� ��������%�)1-�����)2-� "�"�"��$� ��%��
��0�/�� )�-��"��4�� )�-�� """)5- ��� �0�/��)�-��"��4��)�-���4�0 """)6-
)5- � )�-����/�+��)�-��)6- � )�-����/�+��)�-��
�!��%$� ��%���pq
rs
or ps qr 0.
)�!- 3����!��� ��/��)��4���-�4�)��4���-" """)*-
� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
��/��)��4���-�"���4�)��4���-�"�� """)1-
��� ��/��)��4���-�"�*�4�)��4���-�"�* """)2-
� ��������%�)1-���������� "�"�"��������$� ��%��
��/��)��4���-����4�)��4���-��� """)5-
��� ��/��)��4���-���"�*�4�)��4���-���"�* """)6-
��������� �������������� ��
�����
�������������������������
� ��������%�)2-� "�"�"��$� ��%����/��)��4���-�"�*�4�)��4���-�"�* """),-
)5- ����)��4���-�4����)��4���-�+���/�0)6- ���)��4���-�4���)��4���-�+���/�0
),- �)��4���-�4�)��4���-�+���/�0�������%��)��4���-�����)��4���-� ������������������������$� ��%��
�
a b ra b s
t
2 2
1 10
�)��+��-���+�)���+���-���4�)����+����-���/�0 ��"� ����5!3����5����8���������9��)�����������������������!�������*����������� �����������
fx xz z
,y yz z
0.0
0
0
0
���
���
��������������������������"
�����3����!� fx xz z
y yz z
���
���
0
0
0
00, " """)*-
��� ux xz z
vy yz z
0
0
0
0and .
)*- �)��!-�/�0 """)1-� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��
�����������
fu z z
x xz z
zx
fv
y yz z
zx
1 00
0
0
02
0
02
���
���
���
��� ( ) ( )
fu z z
px x
z zfv
py y
z z1
00 0
20
2
���
���
���
���
0 0
( ) ( ) """)2-
� ��������%�)1-���������� "�"�"��$� ��%��
�������������
fu
x x
z zzy
fv z z
y y
z zzy
���
���
���
���
0 0
( ) ( )02
0 02
1 00
fu
qx x
z z
fv z z
qy y
z z
���
���
���
���
0 0
( ) ( )02
0 02
10 """)5-
�������%�
fu
fv
and � ����)2-�����)5-$� ��%��
�
1
1 00 02
02
02
0 02
z zp
x x
z zp
y y
z z
qx x
z z z zq
y y
z z
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
�z z p x x p y y
q x x z z q y y
0
00
( ) ( )( ) ( )
0 0
0 0
��[ ( )] [ ( )] ( ) ( )z z p x x z z q y y pq x x y y 0 0 00 0 0 0
�� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z p x x z z z z q y y 02
0 0 00 0
� ��"���!��� ��"���!�����"����
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� $%&'()*�&+,���-%&��%,.()*�/&%0,�1�
&����(� ������%!������������!��!�%�!��������������������� ������$������������ �� � ������������������� "�"�"� ����������� !�������� ������������ ������� ���� ��������� ��� %��� ���� ����������%�������� ���������������"
&����((� � � ���� ������� � � ��������� ������� �� ����� ����� ���� ������� � �����������!�������$�������������������� ���������� ������������%!������������ ����������������� ����������"
&����(((� � � ���� ������� � � ��������� ������� �� ������ ��� ���� ������� � �����������!�������$�������������������� ���������� ������������%!������������ ����������������� ���������������%���������������"
�� ������
�������������������������������� ��������������������������������� ����� ������� �,� ����������� ���#
����� �����# � ����� ���"���#
$ � ������������#������������ % ������������� ��#
& ���������� �������# ' ����� ��&�#
( � ���������#������ ) ���� �����#�� ���"���#
* ����� �#������� �# ! ����� ��#���� �����#
����� ��#���� �&�# � � �������������������"���#���'
$ ����� ��� ������������"���#���� ��� ����������������#�
2�34��3
����� � ����������' $ ��"��#����� ��"��#����������
% ������������"�� & ���"���������"��� ' ����������'
( � ��"��#����� ��"��#����� ��"��# ) �����������
* ��������' ! � ��"��#���"� ���"���#������ ��"��#���� ��"��#� �����#���' ����"����������"������' � � �����#�"� �����#������"��
$
2
2
2
2 2
2
21z
x
z
y a
z
t .
:���
� ��������������������������"��� � ���#���'
� "� "�"�"��$� ��%���
fu
ux
uz
zx
fv
vx
vz
zx
���
��� �
����� 0
fu
pfv
x zp( . ) ( )1 1 2 2 0
>������$
fu
qfv
y zq( . ) ( )1 1 2 2 0
�������%
fu
fv
, $� ��%�� 1 2 21 2 2
0 p x zp
q y zq"
��������� �������������� ��
�����
����������������������������������������
�������������������������������������������������������
������������������$� ���������������������� � ����%��������� ����������������"#�����'���������������!���������� ����������������"�>��!�%����������� ������������������������ ����� ������ ������� �������%!����������� ���������������"�� ���������� ��%����������� �����������������������������������)���������-"���������������������$� ���������� ���������!������������������� ��������� ����������������� � ���������������������������������������������"
������������������������������������������������������������ �� �� �� �� �� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������
��3��������� ����������� ������������������������������� ��������!���������������� � � ��� ���� ������� ���!��!��� ���� ���!��� ������ ���� ���� %!��� ������� ���������������������� ��"
����������� ����������� ���������������� ���������������� ����;����� � ����������"
�����������'��� ��������� ������������������ � ���������$����������� ���������� ���������"�#���������(
)�- ���������������� )��- ����������������
)���- >�%������������ )�!- @��������������"
�� ����� ���������������������������������� ��
������������������������� ��!
���������
����������
>�������� ����������� ���������������
���������>������
���������>������
>�%�����>������
@�������>������
��%���%���������������
>�������� ���%���%���������������
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� ����������������������������������������������������������������������
����������� ������� �� �������������!������������������ �������)�$��$��$��$��-�/�0 """)*-
����������������������������������"� ��������%�)*-���������� "�"�"��������$� ��%��
fx
pfz
0 """)1- ���
fy
qfz
0 """)2-
�������%� � � ���� �� � ���� � )*-$� )1-� ���� )2-$� ��%��� ��� �������� � � ���� ���)���������-�/ 0"�#��������������� ����������������� � ���������"
���)*-$������������� ���������������������� �� �������������������������� ������������!����������)���������-�/�0"
#��� ������ �)�� �� �� �� �-� /� 0� �� ������ � ���� � 6�������� � 3�������� � � � � �����������)�� �� �� �� �-� /� 0"
�����'��������/�)��4��-)��4��-���������������������� ����������������/��"
� �� �� �� �� ����� ��������� ��������� ��������� ��������� ������������������������������
���������������������%!�%���������������!����������������������������������������������������� ����������� ����������������� � �������������������������6����3��������� ��������������������"
�����'��������/�)��4�*-)��4�5-����������������������� �����������������"
������ ����������� ����������� ����������� ����������� ������������������������������
������)���������-�/�0��������������������������� ����������� ���������������)���������- / 0"�#�������������� �����$���������������������������%�������������
�������������������� ����������������� f x y z a bfa
fb
( , , , , ) , , 0 0 0
������������
3��;�����3��������� �������������)���������-�/�0$����!���������� ��������������"#��� �������� ����������� ���� ��!������ � � ���� ��� ���� ��������������� ���� ���������������� �����%!����������� ���������������"�#�����%������������������������������������������������������������� ������������"
���� �'�����$� �� /���� 4���� +� )��� 4���-� �� ���� �������� �������� � � ����������� ������������������/����4����+�)���4���-"
���� �)���������-�/���+����+����4����4���"
fa
x afb
y b 2 2,
�������%��������� ����������������$
��+����+����4����4����/�0$ +���4�1��/�0$� %��4�1��/�0$� ��%���� zx y 2 2
4.
#������������ ������%!����������"
zx y 2 2
4���������%�������������� ���������������/����4����+�)���4���-"
��������� �������������� ��
�����
����������������������������������������
��� �������� �������� �������� �������� ������������������������������
�����)���������-�/�0������������������������������ �������������� ���������������)���������-�/�0"�������/�)�-"
�)��������)�--�/�0��������.���������� ������ �������� ����� �)���������-/�0"�#�������������� �����$���������������������������%�����������������������
��� ���� ���� ��������� f x y z a afa
( , , , , ( ))
0 0and � �� ������ ���� ;������
3��������� �������������)���������-�/�0$����!���������� ��������������"�#���������� ����������� ���� ��!������ � � ���� ��� ���� ������������ ��� ���� ��������)���������)�--�/�0"
� ���/�)�-$� �������������������� �����$�������������������� ������ ���
������������� f x y z a afa
( , , , , ( )) ,
0 0and ��������������"�#��������%��������������
� � ���� �������� )�� �� �� �� �-� /� 0� �� ������ ��� ���� ���� � � ��������
f x y z a afa
( , , , , ( )) ,
0 0 $� ��������������������� �����"
3��&�� ������ �������!��������������� �������� ����������
�)�$�!-�/�0 """)*-
��������������� ������� �������!$����� ���4�?��/�= """)1-
���� P Q R
uy
vz
uz
vy
uz
vx
ux
vz
ux
vy
uy
vx
, , .
)1-������������� ����������������� � ���������"
#���� �)�$�!-�/�0� ������������� � ���������������4�?��/�="�>��� �)��!-�/�0������������������� ������A�7$���������%���������������� �������������)1-"
� � � � � �� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ �������� ��������������������
3��&�� ���������������� ����������������� � �����������!��!������������ �������������������!��!���� ���������������!�������)�-� "�"�"����������������!�������)�������-"�#���������������� � �����������!��!���������������������������!��!��� ����� �����������!��!����������"
�����������$����������� ����������������� � ������������������������������������������������ ����� �������4�?��/�=� ������$�?$�=����� �������� ������"�#�������� ����������� ��������������������������,�;���;���������� �������
�����'������5���4�,����/����4����4������������%���%���������������"
������������������������� ���������� ���������� ���������� ���������� �� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ ����� ������ �������� ��������������������
��� ���4�?��/�= """)*-
�������%���%���������������� ������$�?$�=����� �������� ���������������!�����������������������!���������������"�#����������� ���������
dx dy dzP Q R
""")1-
������������,�;���;��3�3����� ���������� ����������������� ���������������)*-"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������/��������!�/�������� ����������������������� ��������������)1-"
�����)��!-�/�0$���������������� ������� �������!" """)2-
� ��������%�)2-���������� "�"�"��������$� ��%��
fu
ux
uz
pfv
vx
vz
p���
��� �
�����+ = 0
���
fu
uy
uz
qfv
vy
vz
q���
���
���
���+ = 0
�������%�
fu
fv
and $� ��%����
ux
puz
vx
pvz
uy
quz
vy
qvz
0
ux
puz
vy
qvz
vx
pvz
uy
quz
���
��� ���
��� �
����� ���
��� 0
uz
vy
uy
vz
pux
vz
uz
vx
qux
vy
uy
vx
���
��� �
����� 0
uy
vz
uz
vy
puz
vx
ux
vz
qux
vy
uy
vx
���
��� �
����� """)5-
)2-�������������� �������������)5-"
#�&�%�� ���������� ���/��������!�/���$� ��%��
�
ux
dxuy
dyuz
dz 0 """)6-
���
vx
dxvy
dyvz
dz 0 """),-
>���������!���������������� ������$� ����!�
dxuy
vz
uz
vy
dyuz
vx
ux
vz
dzux
vy
uy
vx
""")9-
<��%�)1-�����)9-$� ����!�
uy
vz
uz
vy
uz
vx
ux
vz
ux
vy
uy
vx
P Q Rsay( )
uy
vz
uz
vy
uz
vx
ux
vz
ux
vy
uy
vx
P Q R, , .
�����%�������!��������)5-$� ��%������4�?��/�= �� ���4�?��/�=$
���������%!����������� ���������������"
� ���/��������!�/��������� ����������������������� ������������� �� �������
��������� dx dy dzP Q R
$������������������� �������)�$�!-�� �������!��������������
������%���%�� �����������������4�?��/�="�#����������� �)�$�!-�/�0� �� ����%��������������� ����������������4�?��/�="������������$� ����������������������������$��������������/��!�4������������������������ ����������������4�?��/�="
��������� �������������� �
�����
����������������������������������������
�������%���*�������������� �� �������������������������� ���dx dy dzP Q R
� � �
������������������������������ ��+����,����-������� �.� ������������-�������������� �������� �� �����������������-������������� ��� ����������� ��+����,����-�
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/����=����&
�����(� ������ ������ ��������$�?�����="
�����((� ����������������(� dx dy dzP Q R
"
�����(((� ������ ��������������������������/���������!�/������ �����������%!�����3����((�
�����(.� 3�����)�$�!-�/�0���������������%���������������� �����%!����������"
<����(�������������$� ���������������������������� ����������������4�?��/�=
��� ���������������� �� �� ������� �������'�������������� dx dy dzP Q R
�%!�����
��������������!�������� ������ ��������������!��!��"�# ���������������������� �������'���������������������������������������"
�������������
����������� ���������������������������������+���������������������)�- ,��-��. )��- ��������������
)���-y zx
p xzq y2
2 )�!- ����
)!- ����,�� �%������"�����)�-�3����!����1��4�6��/�*"
B��� �� ���/�1$�?�/�6$�=�/�*
��'������������������� dx dy dzP Q R
�"
�"�"� dx dy dz2 5 1
""")*-
#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%����6���+�1���/�0 """)1-
����%����%�)1-$� ��%�� ��6��+�1��/��� """)2-
#�&�%����������� �� �������� �)*-$� ��%�� ����+�6���/�0 """)5-
����%����%�)5-$� ����!� ��+�6��/��� """)6-
�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>���"���!��8>� ���������������������� �����"
)��- 3����!�� ����4�����/�������"
B��� ��/ ��$�?�/���$�=�/�������"
��'������������������dx dy dzP Q R
"
�"�"�dx
y
dy
x
dz
x y z2 2 2 2 2 """)*-
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��
�� �����+������/�0����2�����+�2�����/�0 """)1-
����%����%�)1-$� ��%��� ���+����/��� """)2-
#�&�%����������� �� �������� �)*-$� ��%���2�����+�2������/�0 """)5-
����%����%�)5-$� ��%��� ���4�2����/��� """)6-
�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>����������!��8$� ���������������������� �����"
)���- 3����!� �y zx
p xzq y2
2 "
B��� P Q R y zx
xz y2
2, ,
��'������������������� dx dy dzP Q R
"
�"�"� � xdx
y z
dyxz
dz
y2 2 """)*-
#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��
�����/����� �� 2�����+�2�����/�0 """)1-
����%����%�)1-$� ����!������+����/��� """)2-
#�&�%����� ������������� �������� �)*-$� ��%��
������� �� 1����+�1����/�0 """)5-
����%����%�)5-$� ����!�� ���+����/��� """)6-
�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������� ���"���>����"���!��8>� ���������������������� �����"
)�!- 3����!�����/��" �����4�0"��/��
B��� ��/��$�?�/�0$�=�/��"
��'������������������� dx dy dzP Q R
�"
�"�"� dxz
dy dzx
0
""")*-
>����� ������� �)*-����������/�0
��/��� """)1-
#�&�%����� ������������� �������� �)*-$� ��%��
����/���� �� 1����+�1����/�0 """)2-
����%����%�)2-$� ����!�� ���+����/��� """)5-
�����)1-�����)5-$�����%���������������� �����%!������������� �>����"���!���8> ���������������������� �����"
)!-�3����!�� )���4�1��-���+�����/���"
B��� ��/����4�1��$ ?�/�+���$�=�/���"
��'������������������dx dy dzP Q R
"
�"�"� dx
x y
dyxy
dzxz2 22
""")*-
��������� �������������� ��
�����
����������������������������������������
#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��� dx
x y
dyxy2 22
.
�dxdy
x yxy
2 22 2
24
2
xdxdy
xy
y
22
42xdxdy
xy
y���
��� """)1-
��� ��/���"
)1- dzdy
zy
y���
���
24
#�������������� ����������������� ����������"
�� I.F. �e e yy
dyy
22 2log
zy y y dy2 214 � ( ) C �� �����4����/��� """)2-
#�&�%����������� �� �������� �)*-$� ��%��� dyy
dzz
0 """)5-
����%����%�)5-$� ��%��� ��%���4���%���/���%����������/��� """)6-
�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������� ���������>���!���8> ���������������������� �����"
<����((�������������$� ���������������������������� ����������������4�?��/�=
��� ���������������� �� �� ������� �������'�������������� dx dy dzP Q R
�%!�����
��������������!�������� ������ ��������������!��!��"���������������������������� �������'���������������� �����������%����� �����������"
����������� ���������������������������������+���������������������
)�- ��,��-�������%,� )��- �������������%��
)���- �������� �%�������� ���� )�!- ���%� �������� �"
�����)�-�3����!� ��4�1��/�6��4�����)��+�1�-"
��'����������������� dx dy dzz y x1 2 5 2
tan ( )
" """)*-
#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��
���+�1���/�0 """)1-
����%����%�)1-$� ����!�� ��+�1��/��� """)2-
#�&�%����������� �� �������� �)*-��������%�)2-$� ����!�
��dy dz
z2 50
tan C1""")5-
����%����%�)5-$� ����!��12
15
5 1 2y z log| tan |C C
�� � 6��+�1���%�C�6��4�����)��+�1�-�C�/�*0�� """)6-
�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������
��"���>����"�����;�?���������� ��"���!�?!���8>
���������������������� �����"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
)��- 3����!�� ���4����/������)���+���-"
��'�����������������dxy
dyx
dz
xyz x y
2 2 2( )" """)*-
#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%�� 1����+�1����/�0 """)1-
����%����%�)1-$� ����!�� ���+����/��� """)2-
#�&�%����������� �� ��������� �)*-��������%�)2-$� ����!�� ydydz
z
C12
0
""")5-
����%����%�)5-$� ����!���� y z2
1
1
221
1
���
���
CC
y
z x y
2
2 2 221
( )
C """)6-
�����)2-�����)6-$�����%���������������� �����%!������������
f x y ,y2
1z(x y )
02 22
2 2
���
��� $� ���������������������� �����"
)���- 3����!�� ��)���4���-���+���)���4���-���/���"
��'�������������������dx
xz z xy
dy
yz z xy
dz
x( ) ( )2 2 4
" """)*-
#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ��%��� dxx
dyy
0 """)1-
����%����%�)1-$� ����!�� ��%���4���%���/���%�����������/��� """)2-
#�&�%����� ������������� �������� �)*-��������%�)2-$� ��%���dx
z z
dz
x( )21
3
C
�� �����+�)���4����-����/�0 """)5-
����%����%�)5-$� ����!��� ��� x z z4 41
2
24 4 2
���
���
CC
�� ���+����+�1�����/�5�� """)6-
����� )2-����� )6-$� ����%������� ��������� � ����%!����������� �� ��>���� "���
"������!���8>� ���������������������� �����"
)�!- 3����!�� �)��+��-�/����4�)��4��-�"
���+����/����4�)��4��-�"
��'������������������ dxz
dyz
dz
z x y
2 2( )
" """)*-
#�&�%����� ����� �� �������� �)*-$� ����!�����4����/�0 """)1-
����%����%$� ����!�� ��4���/��� """)2-
#�&�%����������� �� �������� �)*-��������%�)2-$� ����!��dyzdz
z
212
0C
""")5-����%����%�)5-$� ��%��
y z 12
212
2log| |C C �� y z x y 12
2 22log ( ( ) ) C """)6-
��������� �������������� ��
�����
����������������������������������������
������)2-������)6-$�������%������������������ �������%!��������������
f x + y, y12
log z (x y) 02 2 ���
��� � $
���������������������� �����"
<����(((�������������$� ���������������������������� ����������������4�?�/�=�������%����� �������(
��dx dy dz dx dy dzP Q R
P Q RP P Q Q R R1 1 1
1 1 1 ,
�������$�?�$�=����������� �������� ����������"�� � ������������� ���$�?�$�=�$������������4�?�?�4�=�=���D���$������ ����!�������4�?����4�=����/�0"�3�����%�������������������%���������������� �������'�������������"���$�?�$�=����������������������3�E�����%�� ����������� ��������������������%�� �� �������� �������'�������������$ �� ������������������������������� �������'�������������"
����������� ���������������������������������+���������������������
)�- ����%�� ������%�� ������%�� )��- ������ �%������ ������%��
)���- ������ �%�������' )�!- �/�%0� ���/�%,� ��,�%0�"
�����)�-�3����!���)���+���-���4��)���+���-���/��)���+���-"
��'������������������dx
x y z
dy
y z x
dz
z x y( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
""")*-
#�&�%� 1 1 1x y z
, , �������������$����� ������� �)*-
/
1 1 1 1 1 1
02 2 2 2 2 2x
dxy
dyz
dz
y z z x x yx
dxy
dyz
dz
( ) ( ) ( )
1 1 10
xdx
ydy
zdz
����%����%$� ��%�����%�C�C�4���%�C�C�4���%�C�C�/���%���
�� ��� C���C�/��� �� ����/��� """)1-
#�&�%�������������������$����� ������� �)*-
/�xdx ydy zdz
x y z y z x z x y
xdx ydy zdz
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0( ) ( ) ( )
����4�����4�����/�0 �� 1����4�1����4�1����/�0
����%����%$� ��%�� ���4����4����/��� """)2-
�����)1-�����)2-$�����%���������������� �����%!������������� ���>�������������!��8>� ���������������������� �����"
)��- 3����!�� �)���4��-���+��)���4��-���/��)���+���-"
��'������������������dx
x y zdy
y x zdz
z x y( ) ( ) ( )2 2 2 2
""")*-
#�&�%����$�+�*�������������$����� ������� �)*-
/�xdx ydy dz
x y z y x z z x y
xdx ydy dz
( )
( ) ( ) ( )
102 2 2 2 2 2
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
���1����4�1����+�1���/�0
����%����%$� ��%�� ���4����+�1��/��� """)1-
#�&�%� 1 1 1x y z
, , ������������$����� ������� �)*-
/�
1 1 1 1 1 1
02 2 2 2x
dxy
dyz
dz
y z x z x yx
dxy
dyz
dz
1 1 10
xdx
ydy
zdz
����%����%$� ��%�����%�C�C�4���%�C�C�4���%�C�C�/���%���
�� C���C�/��� �� ����/��� """)2-
����� )1-� ���� )2-$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� � ��������"���>����!���8>� ���������������������� �����"
)���- 3����!�� ��)���4���-���+�����/�+���"
��'�������������������dx
y z
dyxy
dzxz2 2
""")*-
#�&�%����������� �� �������� �)*-$� ��%���dyy
dzz
0
����%����%$� ����!����%�C�C�+���%�C�C�/���%���
�� �yz
yz
C or C1 1 """)1-
#�&�%�������������������$����� ������� �)*-
/�xdx ydy zdz
xy xz xy xz
xdx ydy zdz
2 2 2 2 0
��1����4�1����4�1����/�0
����%����%$� ����!�����4����4����/��� """)2-
�����)1-�����)2-$�����%���������������� �����%!������������� �@�>�������������!��8>� ���������������������� �����"
)�!- 3����!�� �)5��+�2�-���4�)5��+�1�-���/�1��+�2�"
��'������������������� dxy z
dyx z
dzy x4 3 4 2 2 3
""")*-
#�&�%�������������������$����� ������� �)*-
/�adx bdy cdz
a y z b x z c y x
( ) ( ) ( )4 3 4 2 2 3��� �)5��+�2�-�4��)5��+�1�-�4��)1��+�2�-�/�0 """)1-
)1- )5�+�2�-���4�)5��4�1�-��4�)+�2��+�1�-���/�0
��� �5��+�2��/�0$�5��4�1��/�0$�+�2��+�1��/�0
��(���/�2�(�5$���(���/�*�(�+�1$�����(���/�+�1�(�2
��(���(���/�+�1�(�2�(�5
)1-�������� �����/�+�1$���/�2$���/�5
��������� �������������� ��
�����
����������������������������������������
���� ������� �)*-
/�
2 3 4
2 4 3 3 4 2 4 2 32 3 4
0dx dy dz
y z x z y xdx dy dz
( ) ( ) ( )
��+�1���4�2���4�5���/�0
����%����%$� ����!��+�1��4�2��4�5��/��� """)2-
����$�)1- 5)���4���-�+�2)���4���-�4�1)���+���-�/�0
��� ���4����/�0$����4����/�0$����+����/�0
��(���/�+���(��$���(���/�+���(��$�����(���/���(��
��(���(���/�+���(���(��
)1-�������� �����/�+��$���/��$���/��"
���� ������� �)*-
/�
xdx ydy zdz
x y z y x z z y xxdx ydy zdz
( ) ( ) ( )4 3 4 2 2 3 0
+�1����4�1����4�1����/�0
����%����%$� ��%���+����4����4����/��� """)5-
�����)2-�����)5-$�����%���������������� �����%!������������
"�������������>�"�������������!���8$
���������������������� �����"
<����(.�������������$� ���������������������������� ����������������4�?��/=�������%����� �������(
dx dy dz dx dy dzP Q R
P Q RP P Q Q R R1 1 1
1 1 1 ,
�������$�?�$�=�������������� ��������� ����������"�� � ������������� ���$�?�$�=�$��������������4�?����4�=�������'���� ��������� ��� ������ �����4�?�?�4�=�=$���������
��������P Q RP P Q Q R R1 1 1
1 1 1dx dy dz
����������� ������������� ������� ���'�������������
���%���������������� �������'�������������"�E�����%�� ����������� �������������������%�� �� �������� �������'�������������$� �� ������������������������������ �������'�������������"
����������� ���������������������������������+���������������������
)�- ���%�� �����%�� ����%��
)��- ���� ������ �����
)���- �������� ��������� ���4�1z
)�!- ��������� ����������� ����������"�����)�-�3����!����)���+���-���4�)���+���-���/����+���"
��'������������������ ��dx
x yz
dy
y zx
dz
z xy2 2 2
""")*-
#�&�%�*$�*$�*�����������������������$����� ������� �)*-
/�1 1 1
2 2 2 3 3 3
. . .dx dy dz
x yz y zx z xy
xdx ydy zdz
x xyz y xyz z xyz
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� � dx dy dz
x y z yz zx xy
xdx ydy zdz
x y z x y z yz zx xy
2 2 2 2 2 2( )( )
( ) ( ) ( )x y z d x y z xdx ydy zdz 12
2 2 2
� ( ) ( ) ( )x y z d x y z d x y z 12
02 2 2
����%����%$� ��%���12
12
2 2 2 21( ) ( )x y z x y z C
�� ���������/��� """)1-
#�&�%�*$�+�*$�0�����0$�*$�+�*�������������$����� ������� �)*-
/��dx dy
x yz y zx
dy dz
y zx z xy
0
0
0
02 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )
�������������dx dy
x y z x ydy dz
y z x y z
2 2 2 2( ) ( )
dx dy
x y x y zdy dz
y z y z x
( ) ( ) ( ) ( )
���������d x y
x yd y z
y z( ) ( )
0
����%����%$� ��%�������%�C��+��C�+���%�C���+���C�/���%���
�� �� x yy z
x yy z
C or C2 2 """)2-
����� )1-� ���� )2-$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� �
f xy yz zx,x yy z
0
���
��� $� ���������������������� �����"
)��- 3����!�� � )��4��-���4�)��4��-���/���4��"
��'������������������� � dxy z
dyz x
dzx y
""")*-
#�&�%�*$�+�*$�0�����0$�*$�+�*�������������$����� ������� �)*-
/�dx dy
y z z xdy dz
z x x y
00
00( ) ( ) ( ) ( )
""")1-
� dx dyx y
dy dzy z
( ) ( )
d x yx y
d y zy z
( ) ( )
0
����%����%$� ��%������%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���
�x yy z
x yy z
C or C1 1 """)2-
#�&�%�*$�+�*$�0�����*$�*$�*�������������$����� ������� �)*-�����)1-
�dx dy
y z z xdx dy dz
y z z x x y
0
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d x yx y
d x y zx y z
( )( )
( )( )
2
�� 2 0d x y
x yd x y z
x y z( ) ( )
��������� �������������� ��
�����
����������������������������������������
����%����%$� ��%�����1���%�C���+���C�4���%�C���4���4���C�/���%���
)��+��-��C�������C�/��� )��+��-��)��4���4��-�/�F��� """)5-
�����)2-�����)5-$�����%���������������� �����%!������������
� x yy z
, (x y) (x y z) 02
���
��� $
���������������������� �����"
)���- 3����!�������)��4��-�4������)��4��-�/���4�1z
.
��'�������������������� dxx y
dyx y
dz
zz
cos ( ) sin ( )
1""")*-
#�&�%�*$�*$�0�����*$�+�*$�0�������������$����� ������� �)*-
dx dyx y x y
dx dyx y x y
00
00cos ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( )""")1-
)*-�����)1- �zdz
zd x y
x y x y2 1
( )
cos ( ) sin ( )
�12
21 2 42.
cos sin sin ( / )zdz
zdt
t tdtt
$� �������/���4��"
1
2
21 4
02
. cosz
zdz t dt
�
����� ec
����%����%$� ��%���1
21
12 4
21log| | log tan logz t �
�����
C
����������( )
tan
/zx y
2 1 2
11
2 8
�
�����
C """)2-
����$ )1- cos ( ) sin ( )cos ( ) sin ( )
( ) ( )x y x yx y x y
d x y d x y
�cos sincos sin
( ) , .t tt t
dt d x y t x y
0 where
����%����%$� ��%����� ��%C������4������C�+�)��+��-�/���%���
�C������4������C�����/���
� � � cos ( ) sin ( )x y x y ey x � � C2 """)5-
�����)2-�����)5-$�����%���������������� �����%!������������
f(z 1)
tanx y
2 8
, cos (x y) sin (x y) e 0,2 1/ 2
y x �
�����
�
�
����
�
�
����
�
���������������������� �����"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
)�!- 3����!����)���4����4���-���4�)���4����4���-���/����4����4���"
��'������������������ dx
y yz z
dy
z zx x
dz
x xy y2 2 2 2 2 2
""")*-
#�&�%�*$�+�*$�0�����0$�*$�+�*�������������$����� ������� �)*-
dx dy
y yz z z zx x
dy dz
z zx x x xy y
0
0
0
02 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )
� dx dy
y x yz zx
dy dz
z y zx xy
2 2 2 2
dx dyy x y x z
dy dzz y z y x
( ) ( ) ( ) ( )
d x y
x yd y z
y z( )( )
( )( )
d y zy z
d x yx y
( ) ( )
0
����%����%$� ��%����� ����%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���
� � y zx y
y zx y
C or C1 1 """)1-
#�&�%�*$�+�*$�0�����*$�0$�+�*�������������$����� ������� �)*-
dx dy
y yz z z zx x
dx dz
y yz z x xy y( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
dx dy
y x yz zx
dx dz
z x yz xy
2 2 2 2
dx dy
y x y x zdx dz
z x z x y
( )( ) ( )( )
�dx dy
x ydx dz
x z
( ) ( )
d x z
x zd x y
x y( ) ( )
0
����%����%$� ��%�����%�C���+���C�+���%�C���+���C�/���%���"
�x zx y
x zx y
C or C2 2 """)2-
����� )1-� ���� )2-$� ���� %������� �������� � � ���� %!��� �������� �
fy zx y
,x zx y
0
���
��� >� ���������������������� �����"
�� ����
������������������ ���� �� ������� �� �����.��������������������� ��# �#�������������� ��# �����������
���# ������������������������� ��# ��������������
�# ����������� ��# ��������������
���# ��"��#����� ��"��#������"�� ����# ����"�������� ��"�/�#
� �#���"�/����0������� ����/�# ��# ����0��������� �� ��"�0�#
���# ���"����������� ��# ����"�����������
�# ������������/���"�������' ��# ��"��#� �����#����
���# � �������# �������#����� ����# ��������������
��������� �������������� �
�����
����������������������������������������
$ �#� ��"��#���� ��"��#������"�� ��# � ��"��#����� ��"��#����� ��"��#
���# 1 1 1 1 1 1z y
px z
qy x
���
��� �
����� ��# �� ��"��#������ ��"��#������ ��"��#
�#b c
ayzp
c ab
zxqa b
cxy
���
���
���
���
���
���
��# � �����#����� ��"��#�����������
���# � ���"���#��"�� �������#����� �������# ����# ��"��#���� �����#����/��
% �#� ���"����"���#����/������/�� ��# !����#���� !����#�����
���# ���"����"���#���� ���"����"���#����� ��"��# ��# ��������������
�# � �����#��"�� �����#���� ��"��# /����/�����#���'
��# y x y az p x x y az q z x y( ) ( ) ( ) � � � � ���# ��������������' ����# �������#����/������ �����#��
2�34��3
�#�� ��"��������� ���#���' ��# � ���"��������"���#���'
���# fxy
xz
sinsin
,sinsin
���
��� 0 ��# � ���"��������"���#���'
�# fxy
yz
,���
��� ���' ��# f
y x z y1 1 1 1
0 ���
��� ,
���# fx ay b
y bz c
���
��� , 0 ����# � ������������"���#���'
� �#�� /�������������� /�����#�"��#���' ��# f y x x z y x 3 3 0, log| cot ( )|� �
���# � �������/ �����#��"���#���' ��# f xy zax
y, log| |
���
��� 3
02
�# fxy
x zxy
, log �
���
��2
0 ��# � ���������"� �����#�� ��1���1#���'
���# � �������"/�����"���#���' ����# f xy zxy
���
���
2 0,
$ �#�� �����������������������#���' ��# � ��������������#���'
���# � ��������������#���' ��# f xyzx y z
,1 1 1
0 ���
���
�# � �����������������������������������#���' ��# � /���"��������"����"���#���' ���# � ���������������&��#���' ����#
f x y z x y e y x ��
��
log| |, ( ) tan ( / )2 2 2 1
0
% �#� fyz
x y zz
,2 2 2
0 �
����� ��# f x y
x yz
( ) ( ) ,1 12
02 2 ���
���
���# f z x yx y
z �
����� ,
2 2
20 ��# f
xy
xy z, ���
���
2 0
�# f xy x y x y z, ( )( ) � � 0 ��# fx y
zx y az
���
���, 2 2 2 0
���# f y zx
e y z2 2
1 0���
��� ,
tan ( / ) ����# f
y
x y
x yz2 2
0
���
��� , �
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
:���3
$ ��#�%������������������������������������������
���# %���������������!&���"�!&���"�!&���������������
% �#�%������������������������ ��# %���!��!��'��������������
���# %���!��"�!��'��������"����'�������������� ��# %���!&���!&���'�������������� �# %���!��!��'�����!��!��!�������������� ��# %���!��!��'��������"����'��������������
���# 2�������dxx
zdy ydz
z yz
dyyz
dz
yz
d y z
y z
���
���
���
���
01
112 2
2
2 2( / )
( / )
log| | tan logxyz
1 C�
����# %���!��!��'�����!��"�!��'��������������
�������������������������������������������������������
E���� � ����!�� ������� ������������ � ���!�%� ���� �������������� ���������������� �������������������������!��!����������"����������� ���������������� � �������������������������������������"����������������������$� �������������������������� � ���!�%�������������"� ��� ���� ��������$� �������� ������ ������������ ���!�%������������������� ���������� ������������!����������������������������������%�������������"������������������$� ����������&�����AB�����C3�;���������B��� ��������"
��� ����� ����� ����� ����� ���������������������������������������������������� ��������������������������������������������� ��������� ��������� ��������� ��������� �������������������� ���� ���� ���� ���� ��������
��� )�$��-�/ 0 """)*-
������������� ����������������� � ��������������������%�������������"
��� ��/ ���4�)�-��4�� """)1-
������������������������ �)*-$� �����)�-�������� ������� ��"
)1- pzx
a qzy
a
and ( )
)*- )�$�)�--�/ 0"
"� ����� ��������������������������������� ����������������#$������������� ��!
���������
����������
>�����#������(�����������������%�������������
>�����#�������(����������� ������������/����4����4�)�$��-
>�����#��������(�����������������%�������$��������
>�����#�����G�(����������� ������������)�$��-�/���)�$��-
<���� �#���� ��������
������7��@�������;������� �>������
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������������������ �)*-��
��� ����� �!�����6>
�����)�$�)�--�/�0������������������������������"
#�� ���������%������������$����
�)���������-�/ ��+����+�)�-��+��
<��%���)���������-�/�0$�
fa
fc
0 0, , �������%���������������%!�����
�������%��������� �����������������(
��+����+�)�-��+���/ 0$� +���+�)�-���/�0$� +�*�/�0
#�������������$��������+�*��0" #������������%������������"
#�� �������%��������������$�������/�)�-$� ��������������������� �����"
<��%��)�������$�)�--�/�0$� fa 0, �����%�����������������%!�����
��"����"� �!���"� �!���8>�"���"� �!���"� �!���8�
�������������
�����������(��!������������������������������������������)�- ������/�� )��- ��%���1�
)���- ��,���. )�!- ���2��,��/�'"�����)�-�3����!� ���4����/��" """)*-#�������������� ����� ��� )���-�/�0"��� ��/����4�)�-���4�� """)1-
������������������������ �)*-$� �����)�-�������� ������� ��"
)1- � pzx
a qzy
a
and ( )
)*- a a a a2 2 2 2 2 ( ( )) ( ) or
��� ( ) .a a a 2 2 and
#�������������������������z ax a y c2 2 $�� ������������������
����������������������+������"�#������������%������������"
#�� �������%��������������$������)���������-�/���+����+� 2 2 a y c �������/)�-"
<��%� �)���� �����)�--�/�0$� fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���
��������
z ax a y (a) 0, xa
ay (a) 0,2 2
2 2
��������������������� �����")��- 3����!� ���+����/�1�" """)*-
#�������������� ����� ���� )���-�/�0"
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
��� ��/����4�)�-���4�� """)1-
������������������������ �)*-$� �����)�-�������� ������� ��"
)1- � pzx
a qzy
a
and ( )
)*- �a a k a a k2 2 2 2 2 ( ( )) ( ) or
��� )�-�/� a k2 2 ���������1�"
#�������������������������z ax a k y c2 2 �$�� ������������������
��������������������������1�"
#������������%������������"
#�� �������%��������������$����
� f x y z a c z ax a k y c( , , , , ) 2 2 ��������)�-"
<��%� �)���� �����)�--�/�0$� fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���
��������
z ax a k y (a) 0, xa
a ky (a) 0,2 2
2 2
��������������������� �����")���- 3����!� ��/�1���4�*" """)*-#�������������� ����� ���� )���-�/�0"��� ��/����4�)�-���4�� """)1-
������������������������ �)*-$� �����)�-�������� ������� ��"
)1- pzx
a qzy
a
and ( )
)*- a a aa
2 11
22( ( )) ( ) . or
��� )�-�/� a 12
��������*"
#������������������������� z axa 1
2y c
�$�� ����� �� ����� �� ����
�������������������������*"#������������%������������"�#�� �������%��������������$����
� f x y z a c z axa
y c c a( , , , , ) ( ). 12
and
<��%� �)���� �����)�--�/�0$�fa 0, � ����%������� �������� ��%!������ ���
��������(
z axa 1
2y (a) 0 >�
x
12 2 a 1
y (a) 0 $
��������������������� �����")�!- 3����!�� ���4�,��4�1��4�5�/�0" """)*-
#�������������� ����� ���� )���-�/�0"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
��� ��/����4�)�-���4�� """)1-
������������������������ �)*-� �����)�-�������� ������� ��
)1- pzx
a qzy
a
and ( )
)*- ���4�,��4�1)�-�4�5�/�0 �� ( )aa
a ���
���
2
23 2
#��� �������� �������� �� z axa
a y c ���
���
2
23 2 $� ������� ���� �� ���
�����������������"#������������%������������"�#�� �������%��������������$����
f x y z a c z axa
a y c c a( , , , , ) ( ). ���
���
2
23 2 and
<��%� f x y z a afa
( , , , , ( )) , ,
0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���
���������(
z axa2
3a 2 y (a) 0, x (a 3)y (a) 0,2
���
���
��������������������� �����"
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�; �>� !���8
�����(� #�&�����������������������/����4�)�-���4��� ���������������������������������"
�����((� ���� pzx
a qzy
a
, ( )"
�����(((� >�������������!������� �����������)���-�/�0����� �������!������ �)�-��������� ��"���������!������ �)�-�������������������������/����4�)�-��4��"
�����(.� ����%�����������������&���)���������-�/���+����+�)�-��+��$�������/�)�-"� ����������A�7������������ "�"�"��������� ���������%�����������������
�)��������)�--�/�0$�fa�/�0$��"�"���+����+�)�-��+�)�-�/�0$�+���+�)�-���+
)�-�/�0$� ��������������������� �����"�����.� ��������� ����� ����)���-�/�0����������%������������"
�� �����
/ �0��������� �� �������������������������������� ���#
����������!3 � ������
$ ���"������! % ����������
& ����������� ' �������������'
( ������ ) ���������� ��
* �������! ! ������
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
2�34��3
1/� z ax a y c 16 2 ������������������������������� ������������"�4�����4�//�5 ���������� ��� ��
2/�z ax a a xa
ay a
16 0
1602
2 ( ) , ( ) ,������������������������
����� ��
� 1/� z ax a y c ������������������������������� ���������������'�
//�5 ���������� ��� ��
2/�z ax a y a xa
y a ( ) , ( ) ,01
20 ������������������������������ ��
$ 1/� z ax a y c 2 1 ������������������������������� ������������1�1��!�
//�5 ���������� ��� ��
2/�z ax a y a 2 1 ( ) ���'��
xa
ay a
2 10 ( ) ��������������������������
����� ��
% 1/� z axa
ay c
1������������������������������� ���������������!�
//�5 ���������� ��� ��
2/� z axa
ay a x
ay a
10
1
10
2 ( ) ,
( )( ) , �������� ��� ���� ���������
����� ��
& 1/� z ax a a y c 2 ������������������������������� �����������������"� "�!��'#�
//�5 ���������� ��� ��
2/�z ax a a y a xa
a ay a
2
20
2 1
20 ( ) , ( ) , ������������������������
����� ��
' 1/�z axa
ay c
1�������������������������������� ���������������"�!�
//�5 ���������� ��� ��
2/� z axa
ay a x
ay a
10
1
10
2 ( ) ,
( )( ) , �������� ��� ���� ���������
����� ��( 1/������������� �������������������������������������� ��������������6�'�
//�5 ���������� ��� ��
2/� z ax y a a xya
a log ( ) , ( ) , 0 0 � ����� � � � � � �� �� � �� � � � � ��
����� ��
) 1/� z axa
n n y c ���
���
242 ������������������������������� ��������
//�5 ���������� ��� ��
2/� z axa
n n y a x n n y a ���
��� �
�����
24 0
12
4 02 2 ( ) , ( ) , �������
���������������������� ��
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� * 1/� z ax a y c 2 3/ ������������������������������� ���������������'�
//�5 ���������� ��� ��
2/� z ax a y a x a y a 2 3 5 3023
0/ /( ) , ( ) , �������� ��� ���� ���������
����� ��
! 1/� z axka
y c ������������������������������� ���������������'�
//�5 ���������� ��� ��
2/� z axka
y a xk
ay a ( ) , ( ) ,0 0
2������������������������������ ��
��� ����� ����� ����� ����� ��������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� �!!!!!��"��"��"��"��"
������������������� ��/ ���4����4�)���-" """)*-��� ��/ ���4����4�� """)1-
�������������� �)*-"
)1- pzx
a qzy
b
and
)*- ���4����4���/ ���4����4�)���- ��/ )���- )1- ��/ ���4����4�)���-" �������������������� ��)*-��
��� �����5����; �>�5!$� ����������������������������������"#�� ���������%������������$������)���������-�/���+���%��%)���-"
� <��%� �)���������-�/�0$�
fa
fb
0 0, $� ������%������������� ��%!�����
�������%��������� �����������������(
z ax by g(a, b) 0, xga
0, ygb
0
$� ���!���� �� ���� ��� ���
%!����������"#�� �������%��������������$�������/�)�-$� ��������������������� �����"
<��%� f x y z a afa
( , , , , ( )) , ,
0 0 �����%�����������������%!�����
��"����"� �!��"�; �>� �!!���8>�"���"� �!���"�;� �>� �!!���8��������%������������������������ ����� ���������������� � ����#� ������� � �� � � ���
1�������3�������� ������������ �#��%�������� ����������������� ����#����.� �������-������1�������3�������� �
�������������
�����������(��!������������������������������������������
)�- ���������� )��- ������������
)���- z px qy 4 1 p q2 2 )�!- ������������� "
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
�����)�-�3����!� ��/����4����4���" """)*-
#�������������� ����� ���� ��/����4����4�)���-"
������������������ �)*-������������5�����5$� ���������������������������������"
#�� ���������%������������$����
�)���������-�/ ��+����+����+���
fa�/ +���+�� ���
fb�/�+���+��
�)���������-�/ 0 �%��%��%����0 """)1-
fa�/ 0 ����+���+���/�0 """)2-
fb�/ 0 ����+���+���/�0 """)5-
�����%�����!������� ��������� ����)2-�����)5-���)1-$� ��%����+�)+��-���+�)+��-���+�)+��-)+��-�/�0 �� ��4����/�0���������������� ���)*-" >�%��������������� ���������8�#�� �������%��������������$�������/�)�-"
<��%� f x y z a afa
( , , , , ( )) , ,
0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���
���������(��"����"� �!���"��� �!���8>�"���"� �!���"� �!�"�� �!���8$� �����������
��������� �����")��- 3����!�� ��/����4����4�����" """)*-#�������������� ����� ������/����4����4�)���-" ������������������� �)*-������������5������5�$� �������������������������
��������"�#�� ���������%������������$�����)���������-�/ ��+����+����+�����
fa�/ +���+�1��� ���
fb�/�+���+�1���
�)���������-�/ 0 �%��%��%�����/�0 """)1-
fa�/ 0 ������+���+�1����/�0 """)2-
fb�/ 0 ������+���+�1����/�0 """)5-
abx
a by
abxy
abxy2 2 3
1 3
2 2 4 4 �
�����, , ( ) ,
/
( ) ./ /
/ /
/
ab bx
bx
xyx
y
xy
������
������2 2
4
2 2
1 3 2 3
1 3 1 3
2 1 3
"
>������$� �ayx
������
2 1 3
2
/
zyx
xxy
yxy
������
������ ���
���
2 1/3 2 1/3 2 3
2 2 40
/
z x y ���
���
2 3 2 31/3 1/3 1/31
21
21
2 20/ /
.
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� z
32
x y .4/32/3 2/3
#���%!���������%������������$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������$�������/�)�-"
<��%� f x y z a afa
( , , , , ( )) , ,
0 0 � ���� %������� �������� �� %!��� ��� ���
���������(��"����"� �!���"��� �!!����8>�"���"� �!���"���� �!!��"���� �!� �!���8>
��������������������� �����"
)���- 3����!�� z px qy p q 4 1 2 2 �" """)*-
#�������������� ����� ������/����4����4�)���-" ������������������ �)*-��
z ax by 4 1 a b2 2 $� ����������������������������������"
#�� ���������%������������$����
� f x y z a b z ax by a b( , , , , ) 4 1 2 2
� ��
fa
xa
a b
4
1 2 2� ����
fb
yb
a b
4
1 2 2
�)���������-�/�0 �%��%���+� 4 1 2 2 a b �/�0 """)1-
����fa�/�0 ����+��%
4
1 2 2
a
a b �0 """)2-
�fb�/�0 ����+���+�
4
1 2 2
b
a b �/�0 """)5-
<��%�)2-�����)5-$� ��%��� x ya b
a b2 2
2 2
2 2
16
1
( )
16 1616
1
16
12 2
2 2
2 2 2 2
x y
a b
a b a b
( )
14
16
2 2
2 2
a b
x y
)2- a xa b x
x y
x
x y
14 4
4
16 16
2 2
2 2 2 2. "
>������$� �� �by
x y
16 2 2
�����%�����!������� �����������)1-$� ��%��
�� zx
x y
y
x y x y
2
2 2
2
2 2 2 216 16
16
160
�� zx y
x yx y
16
1616
2 2
2 2
2 2 �� ������������������
��������� �������������� �
�����
���������������������������������������
#���%!���������%������������$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������$�������/�)�-"
<��%�f x y z a afa
( , , , , ( )) , ,
0 0 �����%�����������������%!������������������(
z ax (a)y 4 1 a ( (a)) 02 2 >�
x (a)y
4(a (a) (a))
1 a ( (a))0,
2 2
��������������������� �����"
)�!- 3����!�� ��/����4����4���%�)��-" """)*-
#�������������� ����� ������/����4����4�)���-"
������������������ �)*-��
���������5������;� �5!$� ����������������������������������"
#�� ���������%������������$����� �)���������-�/���+����+����+���%�)��-
�
fa
xa1
���
fb
yb1
�)���������-�/ 0 �����+����+����+���%�)��-�/�0 """)1-
fa�/ 0 +���+�
1a�/�0 """)2-
fb�/ 0 +���+�
1b�/�0 """)5-
)2- �� ax
1����)5- b
y 1
)1- �� zxy
1 11
0log ����������;������8�
#�����������%������������$������������������� ���)*-"�#�� �������%�������������$�������/�)�-"
<��%�f x y z a afa
( , , , , ( )) , ,
0 0 �����%�����������������%!������������������(
��"����"� �!��"���;���"���;� �!���8>�"���"� �!��"�1a
(a)(a)
0
$
��������������������� �����"
�����������(����������������������������������%,�%0�������������� �������������� ������ �������� �,� 0� ' "3��� ���� ��� ��!����� �� ��� ���������������������������������������"�"�����������������������"
�����3����!� ��/����4����+�1��+�2�" """)*-
#�������������� ����� ������/����4����4�)���-"
�������������������� ��)*-������/����4����+�1��+�2�$�� �����������������������������������"�#���������������� ������ �����������������%������%��)1$�2$�0-�������0�/��)1-�4��)2-�+�1��+�2�� �����������������������"
#�� ���������%������������$����
�)���������-�/���+����+����+�1��+�2�
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
fa
xfb
y 0 2 0 0 3 0,
��+��)+�1-�+���)+�2-�+�1��+�2��/�0 �� ��/�0"������������� ���)*-"
#�����%��������������� ����8�
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*���������� ����; �>� !
�����(� #�&�����������������������/����4����4�)���-$� ���������������������������������"
�����((� ������%������������$���&�� �)���������-�/���+����+����+�)���-"����
fa
fb
and �"����������������� �����������������(� ffa
fb
0 0 0, , .
#���%!���������%������������"�����(((� ����%��������������$���&����/�)�-$� ��������������������� �����"
#������������(� ffa
0 0,
��������������%��������������"
�� ������
/ �0������� �� �������������������������������� ������4 � !"�#
��������������7�� � ���������������������
$ �����������������"��� % ������������"�/��"�0�
& ��������������0 ��#��� ' ���������������&�
( ��������������/ pq ) ������������"�/ pq
* �������������������������� ! �������������� p q2 2 1 �
8� ������������ ��������������� ����������� ����������������pq
pq p q �������������
������ ���������������������������������� ����������������� ������������� ���������������������
� 8� ������������ ��������������� ����������� ���������������� p q2 2 1 �������������
������ ���������������������������������� ����� ������
2�34��3
1/���������������7��
//�7���������'
2/���"����"� �#���"�7� �#���'������7 �#��� ����7�#� �#���'
� 1/����������������������
//�����������4����'
2/���"����"� �#���"����"� �##����'������/���� ����/ �##� �#���'
$ 1/������������������"���
//����"������4����'
2/���"����"� �#���"������ �##����'������/���� ��"�/ �##� �#���'
% 1/�������������"�/��"�0�
//�����'
2/���"����"� �#�����/����0 �#���'������ ��"�0#� �#�"�/���'
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
& 1/���������������0 ��#���
//�����"�!���'
2/���"����"� �#���"�0 �� �##������'������ �#�����
( ) ( )
( ( )) /a a a
a a
2 3 ���'
' 1/����������������&�
//����������'
2/���"����"� �#���"�aa( )
��'������ �#����1
2
( )( )
( ( ))aa a
a
���'
( 1/���������������/ ab
//� ��"��# ��"��#���!
2/���"����"� �#���"� 2 a a( ) ���'������ �#���
( ) ( )
( )
a a a
a a
���'
) 1/�������������"� 2 ab
//� ��"��# ��"��#���!
2/���"����"� �#����� 2 a a( ) ���'������ �#���"�
( ) ( )
( )
a a a
a a
���'
* 1/���������������������������
//���������"������0����'
2/���"����"� �#���"����"�� �#�"� �##����'������ ��������/ �##� �#���/���� �#���'
! 1/�������������� a b2 2 1
//�x y
z2 2
2 1
2/���"����"� �#���"� a a2 2 1 ( ( )) ���'������ �#�����a a a
a a
( ) ( )
( ( ))2 2 1���'�
:���
( //�2���������"����"����"� 2 ab ���'�� xba
yab
and .
5 � ��"�������"� ���������� 2 ab #��� ba
aba
bab
abba
+ 2
8�����������"����� ab
�
��� ����� ����� ����� ����� �������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������� ��������� ��������� ��������� ��������� ���������������!���!���!���!���!��� ���� ���� ���� ���� ��������
��� )�����-�/�0 """)*-
������������� ����������������� � ��������������������%���������������"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������/�@)�-� �������/���4������������������ �)*-� ����������������������������"
��/�dzdu
ux
dzdu
dzdu
qdzdu
uy
dzdu
a adzdu
. .1 and
)*- g zdzdu
adzdu
, ,���
��� �/�0
#��� �� ��� ��������� �������� �������� � � ���� �����"�#��� �������� � � ����������$������)���������-�/�0�%!������������������������ �)*-� ���������������������������������"�#�����%���������������������������������%��������� ����������������(
�)���������-�/�0$�
fa
fb
0 0, $����!���������� �������%!����������"
�������/�)�-� �������������������� �����"�#���%�����������������%!������������������(
�)���������)�--�/�0$�fa 0"
�������������
�����������(��!������������������������������������������
)�- ������/� )��- ���������. �.
)���- ��.%�� ���.%�-"
�����)�-�3����!�� ���4����/�5�" """)*-
#�������������� ����� ����)�����-�/�0"
������/�@)�-$� �������/���4������������������ �)*-"
�� pzx
dzdu
ux
dzdu
qzy
dzdu
uy
adzdu
and "
)*- �dzdu
adzdu
z������ ���
���
2 2
4
)*�4���-�dzdu
z���
���
2
4 dzdu a
z
2
1 2
1 2/
dz
z adu
1 2 2
2
1/
����%����%$� ��%��� 22
1 2z
u
ab
2 1 2 12 2 a z x ay b a( )
��5)*�4���-��/�5)��4����4��-�$� ���� 1��/�b a1 2 � ������!���"� ���������6!����8�#������������������������"
��� �)���������-�/�)*�4���-���+�)��4����4��-�
�fa�/�1���+�1)��4����4��-� ���
fc�/�+�1)������-
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
�)���������-�/�0 )*�4���-��+�)������-��/�0 """)1-
fa�/�0 ������1���+�1)������-�/�0 """)2-
fc�/�0 ������������+�1)������-�/�0 """)5-
���)5- �������/�0
)2- ��1���+�1)0-��/�0 1���/�0 ����8�
#�����������%������������$����������/�0���������� ���)*-"
������/�)�-"�<��%��)�������$�)�--�/�0$� fa 0, �����%�����������������%!�����
������!���"� ��������� �!!����8>�����"�� ��������� �!!� ���� �!!���8$
��������������������� �����")��- 3����!�� ��)���4����4�*-�/�*" """)*-
#�������������� ����� ����)�����-�/�0"
������/�@)�-$� �������/���4������������������ �)*-"
�� pzx
dzdu
ux
dzdx
qzy
dzdu
uy
adzdu
and .
)*- zdzdu
adzdu
22 2
1���
��� �
�����
���
��� �/�*
������ ( )11
122
2 �
����� a
dzdu z
dzdu a
zz
1
1
12
2
��� �� dzdu a
zz
1
1
12
2
.
�z
zdz
du
a1 12 2
����%����%$� ��%��� �
11
2
2z
u
ab
1 12 2a z �/����$� �������/�b a1 2
� ������!� ��"���!��� ���������6!��
#������������������������"
��� �)���������-�/�)*�4���-)*�+���-�+�)��4����4��-�
��������fa�/�1�)*�+���-�+�1)������-� ������ ��
fc�/�+�1)������-
�)���������-�/�0 ��)*�4���-�)*�+���-�+�)������-��/�0 """)1-
fa�/�0 ��������1�)*�+���-�+�1)������-��/�0 """)2-
�����������fc�/�0� +�1)������-�/�0 """)5-
������)5- ��������/�0
)2- ����1�)*�+���-�+�1)0-��/�0
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
��1�)*�+���-�/�0 �*�+����/�0 ���"�����8�
#�����������%������������$�����������+�*�/�0���������� ���)*-"
������/�)�-"��<��%���)�������$��-��/�0$��fa 0, �����%�����������������%!�����
������! ��"����!�"� ��������� �!!����8>��� ��"���!�"�� ��������� �!! ���� �!!���8>
��������������������� �����"
)���- 3����!�� �)*�+���-�/��)*�+��-" """)*-
#�������������� ����� ����)�����-�/�0"
������/�@)�-$� �������/���4������������������ �)*-"
pzx
dzdu
ux
dzdx
qzy
dzdu
uy
adzdu
. and
)*- �dzdu
adzdu
adzdu
z1 122
���
���
���
��� ( )
���dzdu�/�0 """)1-
�� �����1 22
������a
dzdu
�/��)*�+��- """)2-
)1- ��/��"�#���������������������������������������������������� ������������������"
)2- dzdu
a az
a������ 2
2
1"
��� dzdu
a az
a
1
)*�+���4���-��������/�dua
����%����%$� ��%��( )
( / )1
1 2
1/2 a aza
ua
b
�� 2 1 a az �/���4���
� ��"�������!��� ���������6!�$� �������/���"
#������������������������"
��� �)���������-�/�5)*�+���4���-�+�)��4����4��-�
��fa�/�5)+�*�4��-�+�1)������-� ���
fc�/�+�1)������-
�)���������-�/�0 5)*�+�����-�+�)������-��/�0 """)5-
��������������fa�/�0 5)+�*�4��-�+�1)������-��/�0 """)6-
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
��������������fc�/�0 +�1)������-�/�0 """),-
��),- �������/�0
)6- ������ ����5)+�*�4��-�+�1)0-��/�0 5)+�*�4��-�/�0
������������� ���+�*�4���/�0 ��/�*
)5- �5)*�+���4��)*--�+�)0-��/�0
�� �������������5�/�0$� �������������"
#������������%������������"�������/�)�-"�<��%��)���������)�--�/�0����fa 0, �����%�����������������%!������� ��"�������!�"� ��������� �!!����8>�"�������
"�� ��������� �!!� ���� �!!���8>� ��������������������� �����"
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�; �>��>� !���8
�����(� #�&����/�@)�-$� �������/���4���"
�����((� E�������%� pdzdu
����� q adzdu
$� ����%!������������������ �����
��������� ����������������� � ���������"��������������������)���������-�/�0"�#���%!������������������������ �����%!����������"
�����(((� ������%������������$����������������� ����������������� (� ��/�0$
fa
fb
0 0, .
�����(.� ���� �%������� ��������$� � ��&�� ��/�)�-$� � ����� � � �� ����� ���������
�����"��#������������(���/�0$�fa 0 ��������������%��������������"
�� ������
/ �0������� �� �������������������������������� ���#
����������� � �� ����������/#���!
$ ����������4� % �����!�����
& ������ ' 9 ��������#���4
( ����������0�������6�' ) ����������/:�
* 4 !�����#���9����� ! ��������� !�"���#�
2�34��3
1/�4 !�����#����� ����������#�
//�����'
2/�4 !�����#���"� ��������� �##����'��;���"�/ ��������� �## ���� �##���'
� 1/� !�����# !�"�/��#���4 ����������#�
//�!�"�/�����'
2/� !�����# !�"�/��#�"�4 ��������� �##����'��� !�"�/��#�"�4 ��������� �## ���� �##���'
$ 1/� !����#���� ����������#�
//�����'
2/� !����#��"� ��������� �##����'����"�/ ��������� �## ���� �##���'
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� % 1/����"� z z a a z z a x ay b2 2 2 2 24 4 4 4 log ( ) ( )
//�%��������� ���������� ��� ��
2/����"� z z a a z z a x ay a2 2 2 2 24 4 4 4 0 log ( ) ( ( )) ,
az
z a2 24���/��� �� z z a �
�����
2 24
4
4 4
3
2 2 2 2
a
z z a z a( )�"���"� �#���'�
& 1/�4����� ����������#�
//�����'
2/�4���"� ��������� �##����'��/��"� ��������� �##� ���� �##���'�
' 1/� ������#���� ����������#�
//�5 ���������� ��� ��
2/� ������#��"� ��������� �##����'��0� ������#��"� ��������� �## ���� �##���'
( 1/� !�����#�� ������0� ������#����
//�5 ���������� ��� ��
2/� !�����#�� ����"�0� ������#�"� �#���'��0���� ����"�0��"�3���"� �#���'�
) 1/� !�����#������; ����������#�
//�����'
2/� !�����#�����"�; ��������� �##����'�������"�; ��������� �##� ���� �##���'�
* 1/�� !�����#��� ����������#�
//������!���'
2/�� !�����#�"� ��������� �##����'��!������"�/ ��������� �## ���� �##���'
! 1/������ ����������#������
//�����'
2/����"� ��������� �##��"������'�� ��������� �## ���� �##�������'�
��� ����� ����� ����� ����� �������#�������#�������#�������#�������#����������������� ��������������������������������������������������������������������������������$$$$$����� �! �! �! �! �!��"���$��"���$��"���$��"���$��"���$����� � � � � �!!!!!��"��"��"��"��"
�������������������� ��)���-�/���)�$��-" """)*-
������������� �)*-��������������"
��)���-�/�� """)1- ��)���-�/�� """)2-
>��!�%�)1-� ����$����� ��/���)���->��!�%�)2-� ����$����� ��/���)�$��-"
>��������� ������� ��������$� ����!��dzzx
dxzy
dy
�/������4�����
���/���)�$��-����4���)�$��-���
����%����%$� ��%��� ���� F (x, a) dx F (y, a) dy b.1 2� �
#����������������������������������� �����%!����������"#�� ���������%������������$����
�)���������-�/���+� F F1 2( , ) ( , )x a dx y a dy b� � "
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
<��%� �)���������-�/�0$�
fa
fb
0 0, , � ������%���������������%!�����
�������%��������� �����������������(
��+� F F1 2 0( , ) ( , )x a dx y a dy b� � $
a
x a dx y a dyF F and1 2 0 1 0( , ) ( , ) .� ��� ��
#�������������$��������+�*��0" #������������%������������"#��� ���������%���������������$��������/�)�-$�� ����������������������� �����"
<��%��)���������)�--�/�0$� fa 0, �����%�����������������%!�������������������(
z– F (x, a)dx F (y,a)dy (a) 0,1 2� �
a
F (x,a)dx F (y,a)dy (a) 0.1 2 �� �� � ��������������
�����������(��!������������������������������������������
)�- p q 3x 0 )��- ���������'
)���- ����.��� ���� )�!- �������"
�����)�-�3����!� p x q 3 " """)*-
#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"
������������� �)*-��������������"
p x a 3 """)1- q a """)2-
)1- ��/�)��+�2�-� ��� )2- ��/���
�� ���/�����4����
���/�)��+�2�-�����4������
����%����%$� ��%��� ��/� ( ) .a x dx a dy b � �3 2 2
����(a 3x)
9a y b.
32
#������������������������"�#������������%������������"
#�� �������%��������������$������)���������-�/���4�19)��+�2�-��+�����+���������/�)�-"
<��% �)��������)�--�/�0$fa�/�0"
#���%�����������������%!�������������������(
����19
� ��"���!��"�����"� �!���8>�13
(a 3x) 2ay (a) 0,2
��������������������� �����"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
)��- 3����!�� ���4����4����/�0"
���4��)��4��-�/�0 px p
qy
""")*-
#�������������� ����� ������)���-�/���)���-"�������������� �)*-��������������"
�p
x pa
""")1-
qy
a """)2-
)1- ��/�ax
a1 ����� )2- ��/�+���
�� ���/�����4�����
dzax
a
1���%����
����%����%$� ��%��� ��/�ax
adx ay dy
b1 2
� � .
��/�a
ax ay b
1 2 2 2
2 2
.
�����a
1 ax ay b2 2
�
#������������������������"#������������%������������"�#�� �������%��������������$����
�)���������-�/�1��+�a
ax ay b
12 2 ��� ��/�)�-"
<��%� �)���������)�--�/�0$
fa
0 $
#���%�����������������%!�������������������(
2za
1 ax ay (a) 0,2 2
�
x
(1 a)y (a) 0
2
22 – $� ����� � �� ���
��������� ��.���")���- 3����!�� ����)*�4���-�/����"
�1 2
22 x
xp
qy
""")*-
#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"
������������� �)*-��������������"
1 2
22 x
xp a """)1-
qy
a """)2-
)1- ��/ �a x
x1 2����� )2- ��/��� )������%���
0-
��� ��/ax
x1 2�� ���/ ����4����
��������� �������������� �
�����
��������������������������������������� ���/
a x
xdx ay dy
1 2
����%����%$� ��%�� ��/a x
xdx a y dy
b2
2
1 22 � � .
��/ a xay b
12 2
22
������2 a 1 x ay b.2 2
#������������������������"�#������������%������������"
#�� �������%��������������$������)���������-�/�1��+� 2 1 2a x �+�����+������
��/�)�-"
<��%� �)���������)�--�/�0$
fa
0 $�����%�����������������%!���������
���������(
�1��+� 2 1 2a x �+�����+�)�-�/�0$ +�1�"� 1
21 2
ax. �+����+�)�-�/�0
�� ���"�2 a 1 x2 �"�����"� �!���8>� 1 x ay a (a)2 2 ���8>
��������������������� �����"
)�!- 3����!�� ���4���/���"
���+����/�� """)*-
#�������������� ����� ���� ��)���-�/���)���-"
������������� �)*-��������������"
���+����/�� """)1- ��/�� """)2-
)1- ���+����+���/�0 ��/�12
42x x a �� ��
��� ��/�12
42x x a �� ���� ���/������4�����
���/�12
42x x a dx a dy �� ��
����%����%$� ��%��� ��/�x x x a a
x x a ay b2 2
2
412
42
42
4
�
���
�
��� log
�� ����14
x x x 4a a log x x 4a ay b2 2 2 �� �� �
#������������������������"�#������������%������������"#�� �������%��������������$����
�)�� �� �����-�/� �� +�14
42 2( )x x x a � +��� ��%� )��4� x a2 4 -� +���%�� ���
��/�)�-"
�� ��������� �������������
�����
������������������������������� <��%��)���������)�--�/�0$
fa
0 $�����%�����������������%!���������
���������(
��+�14
42 2( )x x x a �+�����%� ( )x x a 2 4 �+����+�)�-�/�0$
��������
x
x a44
2 42. �+���%� ( )x x a 2 4 �+���"�
1
42x x a � 04
2 42
�
�� x a
+���+�)�-�/�0
�� ��������������"�14
(x x x 4a)2 2 �"�����;�(x x 4a)2 �"����"�� �!���8>
����x
2 x 4a2 �����;�(x x 4a)2 ���
2a
(x x 4a) x 4a2 2 ��������� �!���8>
��������������������� �����"
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�� �>��!���� �>� !
�����(� #�&����������� ���)���-�/���)���-�����������"
�����((� >��!����������� ����������"�������/���)���-$���/���)�$��-"�3������/����4����� ���� � ���������� � ���� � !������ � � � �� � ���� �"� � ����%����� � ����������������%�����������������������"
�����(((� ��������� ����� ������)���-�/���)���-����������%������������"�����(.� #�&�� ���� �������� ����������� �)�� �� ���� �-�/�0"�������/�)�-"�#��
%�����������������%!�������������������(��)���������)�--�/�0$�fa 0"
�� ������
/ �0������� �� �������������������������������� ���#
��"������������ � � !����#������ !����#��
$ ������� % ��������
& ���������� ' � ��"�� ���#���� ���
( �����/������ ��� ) p q x 2
* ���"��������"�� ! ��"�0��������"���
2�34��3
1/�����13
3 3( ) ( )x y a x y b
//�5 ���������� ��� �
2/���"�13
0 03 3( ) ( ) ( ) , ( )x y a x y a x y a
� 1/�������� �������� �����#����
//�5 ���������� ��� �2/���"���� �����"�� �����#�"� �#���'��� ��������������� �#���'
$ 1/�/������������&�����
//�5 ���������� ��� �2/�/��"�����"���&��"� �#���'�����"���&������ �#���'
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
% 1/� 2 4 2z ax ay b //�5 ���������� ��� �
2/�2 4 0 2 02 2z ax ay a x a y a ( ) , / ( )
& 1/����� a x ay blog 2
//�5 ���������� ��� �
2/���"� a x ay alog ( ) , 2 0 log ( )x y a a 2 2 0
' 1/������������������1a ����������
//�5 ���������� ��� �
2/���"����"�������"� 1a
�������"� �#���'����"�12a
��������� �#���'
( 1/���������������ea
ay����
//�5 ���������� ��� �
2/���"����"����"�ea
ay
�"� �#���'������e ay
a
ay ( ) 12 ��� �#���'
) 1/�����16
2 3 2( )x a a y b
//�5 ���������� ��� �
2/���"�16
2 03 2( ) ( )x a a y a ��4���"� /��"��#����/ �#���'
* 1/�0����/ �����#������/ �����#�������
//�5 ���������� ��� �
2/�0��"�/ �����#����"�/ �����#����"� �#��'��3 3x a y a �#���'
! 1/���������������23
3 2( ) /a y ���
//�5 ���������� ��� �
2/���"����"����"�23
3 2( ) /a y �"� �#���'������ a y �� �#���'�
�������������������������������� ������ �� ������ �� ������ �� ������ �� ������ �������������������������
����������������� ������ ��������������������������%�%����������� ������������������������������� ���"
�������<��������������������� ��� ��������������� .��������������������� ������� ����� ������������� ��� ������� ��� ��� ���������������������������� �����������������������
����� ��� +��,#���'��������PZX
, QZY
��
�������������
����������� ��������������������������������������������������������������������������������������
)�- ����������� )��- ����������/��
)���- ��������� )�!- �.%�� ��������'"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�����)�-�3����!�� �����4������/��" """)*-
)*- �xz
zx
yz
zy
2 2 2 2
1
���
���
���
���
z
x
zx
z
y
zy
���
���
���
���
1 2
1
2 1 2
1
2
1/ /
""")1-
����H$�I$�J������ �!������������������H�/�������$ �I�/�������$ �J�/���������"
�E�����%����%�����$� ����!����H�/���%��$�I�/���%��$�J�/�1 z
��/�
ZX
ZX
ddz
zx
dxd z
zx
xz
x
zx
. . . ./1 1 2
1
��� ?�/�
ZY
ZY
ddz
zy
dyd z
zy
yz
y
zy
. . . . .1 1/2
1
)1- ���4�?��/�* """)2-#�������������� ����� ����)�$�?-�/�0"��� �� J�/��H�4�)�-I�4�� """)5-
������������������������ �)2-$� �����)�-�������� ������� ��"
)5- ��/�
ZX
and QZY
a a( )
)2- ���4�))�--��/�* �� )�-�/� 1 2a
��� )�-�/� 1 2 a $�+�*�����*"
#�������������������� �)2-���J�/��H�4� 1 2 a �I�4��"
#�������������������� �)*-���� z �������;����� 1 a2 ���;�����6$� ���������������������������������"
)��- 3����!�� �����4������/�5��" """)*-
)*- x
z
zx
y
z
zy
2
2
2 2
2
2
���
���
���
��� �/�5
z
x
zx
z
y
zy
���
���
���
���
1
1
2 1
1
2
�/�5 """)1-
��� H$�I$�J������ �!������������������H�/�������$ �I�/�������$ �J�/�������
�E�����%����%�����$� ����!����H�/���%��$�I�/���%��$�J�/���%��
��/
ZX
ZX
ddz
zx
dxd z
zx
xz
x
zx
. . . .1 1
1
��� ?�/
ZY
ZY
ddz
zy
dyd z
zy
yz
y
zy
. . . . .1 1
1
)1- ����4�?��/�5 """)2-
#�������������� ����� ����)�$�?-�/�0"
��� J�/ �H�4�)�-I�4�� """)5-
������������������������ �)2-$� �����)�-�������� ������� ��"
�����)5- ���������/�
ZX
and QZY
a a( )
)2- ���4�))�--��/�5 �� )�-�/� 4 2a
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
��� )�-�/ 4 2 a $�+�1�����1"
#�������������������� �)2-���J�/��H�4� 4 2 a �I�4��"
#�������������������� �)*-�����;���������;����� 4 a2 ���;�����6$� ������
���������������������������"
)���- 3����!�� ���/�������" """)*-
�z
x y
l
m n
2
����/�* z
x
zx
z
y
zy
l
m
l
n
���
������
���
�/�* """)1-
��� H$�I$�J������ �!������������������H�/����$��I�/�����$��J�/�����
�E�����%����%�����$� ����!����H�/�xm
yn
zl
m n l
1 1 1
1 1 1, , .Y Z
��/
ZX
ZX
d
dzzx
dxd
zzx x
zx
zx
lm
l
m. . . .1
��� ?�/
ZY
ZY
d
dzzy
dxd
zzy y
z
y
zy
ln
l
n. . .1
)1- �?�/�* """)2-
#�������������� ����� ����)�$�?-�/�0"
��� J�/��H�4�)�-�I�4�� """)5-
������������������������ �)2-$� �����)�-�������� ������� ��"
������)5- �����/�
ZX
and QZY
a a( )
)2- ��)�-�/�* ���������)�-�/�*K�
#�������������������� �)2-���J�/��H�4�1aI�4��"
#�������������������� �)*-��� z1 l
am 1
x1
(n 1) ay c
1 lm 1 n 1
$� ����
�������������������������������������0"
)�!- 3����!�� )*�+���-�����4�����/�0" """)*-
)*- 1 10
2
2
2 ���
��� x
x
zx y
zy
1
1
10
2
2
x x
zx y
zy/
����
����
""")1-
����H$�I$�J������ �!������������������H�/�x
xdx
1 2$ �I�/�����$ �J�/���
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�E�����%����%�����$� ����!�
H�/ 12
11 2
12
2 1/22
2
.( )
/, , .
xx
yzY Z
��/
ZX
ZX
ddz
zx
dxd
zx
xx x x
zx
. . . ./
11 1
1
2
2
��� ?�/
ZY
ZY
ddz
zy
dyd
zy y y
zy
. . . . .11 1
)1- ���4�?�/ 0 """)2-
#�������������� ����� ����)�$�?-�/�0"
��� J�/ �H�4�)�-�I�4�� """)5-
������������������������ �)2-$� �����)�-�������� ������� ��"
)5- ��/
ZX
and QZY
a a( )
)2- ���4�)�-�/ 0 �� )�-�/�+���
#�������������������� �)2-���J�/��H�+���I�4��"
#�������������������)*-�����/� a 1 xa2
y c22
2 $� ����������������
�����������������"
�� ������
���������� �������� ���� �� ������� �� �������������������������������� ���# ������������� � �������������
$ ���"������� % �����������
& ���� !�����#������ ' �������� ���������#
( �� ��&�������&��#���! ) ������������"������'
* �������������������� ����������������� ! ��������3�������/�������4������'�
2�34��3
z a x a y 1 2 �������!�����! �
22 1
11
1 21 1z
la
mx
n ay
lm n
( / )
( )��������'
$ 2 12z ax a �������1�1��! % 2 1 2z ax a �������"�!�����!
& ���� a x a y c112
2 2 2 ' ���������=� a 1 �����������!
( ���������=� 1 2 a ��������"�!�����! ) ���� ����������� ���"�!#��������
*m n
m n lz
ax xm n l m n
( )/( ) ( sin )
42 2 ( ) /1
4
1am n� /��"�����/�#����
! z axa
a y c2 22
2
23 2
�
��
�
�� �
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ��������������� ����%����� ���������������������������������������
� �����%!����������� ����������������������� ������ �����%!��������������$���������%!����������������!���������%�������7��%�������������"
�����)���������-�/�0 """)*-
�������%!����������� ����������������� � �����������������.���������������"
>��������� ������� ��������$� ����!�����/�����4���� """)1-
#����������������� ���� ���������������!��!�%����������"
�����)���������-�/�0 """)2-
������������������������!��!�%����������"�#������������)*-�����)2-��������!����� �������!������� ��������"�#���!������� ��������������������������)1-��������������%���������%��������������������"
� ��������%�)*-�����)2-���������� "�"�"��������$� ��%��
�
fx
fz
pfp
px
fq
qx
0 """)5-
��
fy
fz
qfp
py
fq
qy
0 """)6-
F F F Fx z
pp
px q
qx
0 """),-
��
F F F Fy z
qp
py q
qy
0 """)9-
;�������%�)5-����Fp$�),-����
fp�������������%$� ��%��
fx p x
fp
fz p z
fp
pfq p q
fp
qx
F F F F F F ���
���
���
��� �/�0 �""")L-
;�������%�)6-���� Fq$�)9-����
Fq�������������%$� ��%��
fy q y
fq
fz q z
fq
qfp q p
fq
py
F F F F F F ���
���
���
��� 0 """):-
����%�)L-�����):-$� ��%��
fx p x
fp
fz p z
fp
pF F F F
���
��� 4�
fy q y
fq
fz q z
fq
qF F F F
���
��� �/�0
�
qx
zx y
zy x
pq
���
���
2 2
fx
pfz p
fy
qfz q
pfp
qfq z
���
���
���
���
���
���
F F F
4� ���
���
���
���
fp x
fq y
F F0 """)*0-
#���������%���%����������� � ���������� ��������������!��������������������������������!��������"�#�����'��������������� �)*0-����
dpfx
pfz
dqfy
qfz
dz
pfp
qfq
dxfp
dyfq
d
F0
""")**-
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
����� ��������%������ �)**-����� ��)*0-"�� ������������%�����!��!���������������$�����������&��������������������������)2-"�>�������������%�����!��!�%��������������$�����������!��� ����)**-$����������� ������������������� �)*-"�>��������%������!������� ��������������/�����4�����������������%����%$� �� ���������������������"
�������������
��������7�� ��� ��� �������� �������� �� ��� ������������������������������������������4������$���������
)�- ������������� )��- �������
)���- �������� )�!- ������ ����
)!- ��/�)���4��-�"
�����)�-�3����!�� ��/����4����4����4���" """)*-
���� �)���������-�/���+����+����+����+���"
��
fx
pfy
qfz
fp
x pfq
y q , , , ,1 2 2
������7����'�����������������
dpfx
pfz
dqfy
qfz
dz
pfp
qfq
dxfp
dyfq
.
dp
p pdq
q qdz
p x p q y qdx
x pdyy q
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2
dp dq dz
px qy p q
dxx p
dyy q0 0 2 2 2 22 2
����� ���������������/�0"�������/��"
>������$���� ��/��"
�� ���/�����4����� ���/�����4����
����%����%$� ��%��� ��/����4����4��"
�����%�����!������ �����)*-$� ��%������4����4���/����4����4����4��� �� ��/����4��"
� ���������5���������5��
#������������������������"
)��- 3����!�� ���/�����" """)*-
��� �)���������-�/����+�����"
�
fx
pqyfy
pqxfz
zfp
qxyfq
pxy , , , ,2
������7����'�����������������
dpfx
pfz
dqfy
qfz
dz
pfp
qfq
dxfp
dyfq
��������� �������������� ��
�����
���������������������������������������
���dp
pqy p zdq
pqx q z ( ) ( )2 2
�/� ( ) ( )dz
p qxy q pxy
������������������������������/� ( )
dxqxy
�/�dy
pxy ( )
�����dp
pz pqydq
qz pqx2 2
�/�
dzpqxy
dxqxy
dypxy2
""")1-
)1- �������xdp pdx
x pz pqy p qxy
( ) ( )2�/�
ydq qdyy qz pqx q pxy
( ) ( )2
x dp p dx
xpzy dq q dy
yqz
2 2
d xpxp
d yqyq
( ) ( )
����%����%$� ��%��� ��%����/���%����4��
���/����� """)2- )�����%���/���%���-
>��!�%�)*-�����)2-� ����������$� ��%��� pbzx
qzby
and "
�� ���/�����4���� ���/�bzx
dxz
bydy
dzz
bx
dxby
dy 1
����%����%$� ��%��� ��%���/�����%���4�1b���%���4���%��"
����6������
#������������������������"
)���- 3����!�� ������/���" """)*-
��� �)���������-�/����4����+���"
�
fx
pfy
qfz
fp
x qfq
y p , , , ,0
������7����'�����������������
��dp
fx
pfz
dqfy
qfz
dz
pfp
qfq
dxfp
dyfq
��dp
p pdq
q qdz
p x q q y pdxx q
dyy p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
��dpp
dqq
dzpx qy pq
dxq x
dyp y
2 """)1-
)1- ��dpp
dqq
��%���/���%���4���%�� ��/��� """)2-
>��!�%�)*-�����)2-$� ��%�����/�0$���/�0 �� ��/����4��$���/�ax y
a
"
A�3��(������8>� ���8
���/�������� ���/�0����4�0����/�0 ��/��"
#��� �� ���� �� �������� �������$� ������� �� ����� ���� ������ � �� ����������������"
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� A�3��((������������>� ���
ax ya
���/�����4���� ���/�)���4��-����4�ax y
ady
���
���
/�ax y
aa dx dy
ax ya
d ax y ( ) ( )
����%����%$� ��%�����/�(ax y)
2ab.
2
#������������������������"
)�!- 3����!�� )���4���-���/���" """)*-
��� �)���������-�/�����4�����+���"
�
fx
fy
p qfz
qfp
pyfq
0 22 2, , , , �/�1���+��
������7����'�����������������
��
dpfx
pfz
dqfy
qfz
dz
pfp
qfq
dxfp
dyfq
�� dpp q
dq
p q q q
dzp py q qy z
dxpy
dyqy z0 2 2 2 22 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�dppq
dq
p
2 �/�dz
p y q y qz 2 22 2 �/�dx
py 2�/�
dyz qy 2
""")1-
)1- dppq
dq
p
dpq
dqp
2 ����4�����/�0
����%����%$� ��%���p q a2 2
2 2 2 �� ���4����/�� """)2-
>��!�%�)*-�����)2-$� ��%��� ��/� aa y
z
2 2
2 ���� ��/�ayz�"
���/�����4���� ���/�az a y
zdx
ayz
dy2 2 2
���%�����/� az a y2 2 2 ���
������dz
day
az a y dx2 2
2 2 2
2 2
���
���
���
���
���������12
2 2 2 2 2 2
ad az a y az a y dx( )
d az a y
az a y
( )2 2 2
2 2 2
�/�1���
����%����%$� ��%��� 2 2 2 2az a y �/�1���4�1� ����"�������� �����5!��
#������������������������"
)!- 3����!�� ��/�)��4��-�" """)*-
��� ��)�$��$��$��$��-�/�)���4��-��+��
fx�/�0$
fy�/�1)���4��-�$
fz�/�1)���4��-$
fp�/�+�*$
fq�/�1)���4��-��
��������� �������������� �
�����
���������������������������������������
������7����'�����������������
�� dpfx
pfz
�/�
dqfy
qfz
�/�
dz
pfp
qfq
�/�dx
fp
dyfq
dp
p qy z0 2 ( )�/�
dqq qy z q qy z2 2( ) ( )
�/�dz
p q y qy z ( ) ( )1 2�/�
dx ( )1
���/�dy
y qy z 2 ( )
dp
p qy z2 ( )�/�
dqq qy z
dzp yq qy z4 2( ) ( )
�/�dx dy
y qy z1 2 ( )
""")1-
)1- �dp
p qy zdy
y qy z2 2( ) ( )
dpp
dyy
�/�0
����%����%$� ��%�����%�C���C�4���%�C���C�/���%��
C����C�/�� ���/�F�� ���/�� )�����%���/�F�-
��/��K�
�����%�����!������ �����)*-$� ��%��ay�/�)���4��-�"
���4���/ay ���/�
ay
z ��/�a
y
zy3 2/
���/ ����4���� ���/�ay
dxa
yzy
dy ���
���3 2/
���/ ����4�a
yz dy
���
��� ����4�����/�����4� a
ydy
�)��-�/ ����4� ay
dy
����%����%$� ��%�� ���/ ���4� a �"�y1/2
1 2/�4�� ����������� ay ���5�
#������������������������"
$%&'()*��<�/��-%&�+�()*�A:2&/(<C��1�<:%D
�����(� >� ������������� �����%!�������������������� ����������������������� ���������)���������-"
�����((� ����
fx
fy
fz
fp
fq
, , , .
�����(((� 3��������������7����'��������������������������������!������� ����������!��!���� ����������� �"
�����(.� >���������� �� ��������������������������%����%��������������������������!��!�%��������������� ��������"�#�������������������%!�����������������!������ �������!������� ��������"
�����.� ��������!������� ��������������������������/�����4������������%����"#���%!������������������������ �����%!����������"
�� ��������� �������������
�����
������������������������������� �� ������
���������� �������� ���� �� ������� �� �������������������������������� �����������1������3������ ��#
����������� � ����0��
$ ���"����������"��� % ������������������
& / �����������#������ ' /��������������/�����'
( ����������� ) /���"�����"�/�����������'
* � !�����#��� ��"��#����' ! �������#�������
2�34��3
���� ��"���#�� ������������ � ���������0�������
$ ����x a x a x
aay
y b2 2 2
12
2 2
sin % ��"���#� �����#�������
& ���"�axy
a
y
2
24���� ' �� ��"��#�����������#����
( ����"�x x x a
a x x a ay b2 2
2
44
44
�
�
� log ( )
) ���������� ���"��# * 2 1c z b( ) �������������
! ����"�������� ������#��
:���3
% ����� ����y z ax
a y( )
��
���������������� ������������y z ax
a ydy
( )
dz a dx
z axy
a ydy
�
& >������?���������������� ����������dp
pdy
y4 2
� ���������
@�� ���������������������������������������������������������������a
ydx
zy
ax
y
a
ydy
2 3
2
42
�
��
�
��
�����������#�"���1
20
2
2
3ydx
x dy
y
a
ydy
�
���
�� �
' ����� ��"��#����"�1
2 2 2 2
yz y a x dy( ( ) )
A�������������/����������� /��������4�����#��� /�� ��"��#����"�/� ��"��#����#�"�4������
��������� �������������� ��
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
�������
�������������������������������������������������������
#����� � ����!�������������%� ������������� � ���!�%��������� ����������������� ����� ���������"����������� ����������������� ����� �����������!��!��$��������� ��������������������!��!���)�������-�� ���������������!��������"��� � ��������������������������� ��������� ������������������ ��������%������������"
� �� �� �� �� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ���������������������������������������������������������������������� �� �� �� �� ����������������������������������������������������
3��&�� ������ ����������� ����������� ���������������� �� ����������� � ����%���������������!��!�������%�������%!����������� ���������������"
%� ��&�'����������������� ����������
���������(����)������)�����)�����
���������
����������
�������� ������������������ �>���������B%���������
B���%��������������������� ����������������� �������������� ����
>����#�������
@�������>�������� �B���%��������������������� ����������������)�$��-��/�0� ��������������� ����
@�������>�������� �B���%��������������������� ����������������)�$��-��/��)���-� ��������������� ����
�������������%����� �)�$��-��/��)���-
�������������%����3�����)�$��-���>������� ������� �#����� ������������
�������������%����3�����)�$��-���� �����������)�����-
@�������;������� �����%��������������%���
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� �����'�����$�
3
3
2
2z
xz
x yzy
�/����4��������������� ����������������� ������
2"� ���� ���� ��&�� � � ������$�
x y
and � ���� �������� ��� �)��� ��-� ���� �)��� ��-
������!���"� � #���$� � ���� � ���!�� � � �������� �������� ��� ����� ��� ������ ��)���4�1���4��-��/����4���������)��
��4�1������4���-��/����4��"
�������BBC��������� ��
2zx y
������ ��� ��
zx
zy
. ��%����� ����
zx
zy
. ������� ������
B�# B�#�
������������� ���������������� ���������������� ���������������� ���������������� ��� � � � � ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ����������� ������������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������
3��&�� ���������������� ������������������������������ ��������������!������������������������!��!������������������ ������%��������������������������%�����"����������������� ����������������� ������������ ����� ���
A A A B B0 1 1 0
1
1 1
1
1
n
n
n
n n
n
n
n
n n
n
nz
x
z
x y
z
y
z
x
z
y
���
���
���
���
...... ......
�4�""""""�4� M N
zx
zy
���
��� �4����/��)���-$
����������� ������$���$�""""""��$������������������� �������� ��������"�� ������ ������$���$� """"""$��$����������� ��������� ������������ ���������������� ����������������������������������� �������4��B�6��3�����6���6����3"
������������������� ���������������$������������� �!����������������!��!�������%��������������������������������������"�������������������� ��������������!��!����!��!�������������������������������������������B���;�����3�������������������������� ���������������� �������������������B���;�����3�������������������������� �������
������%��������������������� ���������������� ������������� ������
� ����� ����A A A F0 1 1
n
n
n
n n
n
nz
x
z
x y
z
yx y ...... ( , ) $
����� �$���$�""""""$��������������������"
������������ ���� �%��������� �����������������(
)�- 4 52
2
2 2
2
z
x
zx y
z
y �/��� )��-
2
2
2zx
zx y
�/���������1�
)���- )���+�1����+�����4�1��-��/����� )�!-
2
2
2zx
zx y
zy
�+���/���
)!- )1���4����+�2�-��/�2����)2��+�1�- )!�- ��+���4�1��+���/�����
)!��- ����4�����+����/����� )!���- ��4�)�K�-��/�*6���
��# ��������������;������9���
� �����������������)�-$�)��-�����)���-���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"
� �������� ��������� )�!-$� )!-� ���� )!�-� ���.����%������� ������ ������� ���������������� ������������� ����"
��������� �������������� ��
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
� �����������������)!��-�����)!���-���������%��������������������� ���������������� ���!��������� ����"
� �������� �������� )��-� �� �� ���.����%������� ������ ������� � ��������������� ���!��������� ����"
���������������������$� ���������������������������� ����!�%�����%�������������������� ����������������� ������������� ����"
��������������������������������������������������
������)�$��-��/��)���-�������������������� ���������������� ������������� ����" #��� �������)�$��-���� ����� ���
A A A B B0 1 1 0
1
1 1
1
1
n
n
n
n n
n
n
n
n n
n
nz
x
z
x y
z
y
z
x
z
y
���
���
���
���
...... ......
�4�""""""�4� M N
zx
zy
���
��� �4���
������$���$�""""""$��$�������������������"
<B����������,��� D>�D!����8�5������������������������������ ������4��B�6��3�����6���6����3��(���>���>����>���5����3�������3��� D>�D!����8>��B��
���E���B��� c ui ii 1
m
��3���3����3���������� D>�D�!����8�
/������ �������������� ��)�$��-���/�0 ���*������" �)�$��-�� �/�0 ���*������
�� �)�$��- c u f c u c f ui ii
m
i i i ii
m
i
m
����
����
1 11
( ) ( ) ( )D, D D, D � cii
m
( )01
�/�0"
c ui ii
m
1
������������������� ��������������)�$��-��/�0"
<B������ ��� ,��� D>�D!�� �� - �>� �!� 5�� �� ������� �������� ���������� �������4��B�6��3������6���6����3���(�����3���3���������� D>�D!����8����E�3���3���������� D>�D!�����- �>��!>��B������E���B�������E��3���3���������� D>�D!����- �>��!�
/�������������������� �)�$��-��/ 0" �)�$��-��/ 0 """)*-
!�������������� �)�$��-��/ �)���-" �)�$��-!�/ �)���- """)1-
�� �)�$��-�)��4�!-�/ �)�$��-��4��)�$��-!/ 0�4��)���- )<��%�)*-$�)1--
/ �)���-"
��4�!�������������� ��)�$��-��/ �)���-"
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� ��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� �
����� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&���&���&���&���&����������������������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������
��� �)�$��-��/�A A A0 1 10
n
n
n
n n
n
n
z
x
z
x y
z
y ...... """)*-
���������%��������������������� ���������������� ������������� ����$� �������0"
)*-������������ ��������� )����4����
�����4�""""""�4�����-���/�0
""")1-
����)1-�������!����������M)��+����-)��+����-�""""""�)��+����-N���/�0 """)2-
#�����%������������!�������$��������������)1-�����)2-������
�ADD
ADD0 1
1
���
���
���
���
n n
�4�""""""�4����/�ADD
DD
DD0 1 2
���
���
���
���
���
���m m mn......
��$���$�""""""$��������������� ������������
����4����
����4�""""""�4����/�0" """)5-
#�����������)5-������������������������ �������� �)1-"�#��������������������������������%�����������������������������A*7����������������� ���������)1-����������%������D���"
#�����������$���$�""""""$����� �������'������������������������������������"
A�3��(��&���3������3���6��
������������""""""����"
��������)2-���� ������� ���*������$�������������� �)��+�� �-���/�0������������� �)2-����������� �)*-"
)��+�� �-���/�0 �%� ��/�0
dx dy
mdz
i1 0
���4�� ����/�0$ ���/�0
��4�� ����$ ��/���
��/� )��4�� �-" )�����%����/� )��--
��/��)��4����-$���/��)��4����-$�""""""�$���/��)��4����-��������������� �)*-"
��/��)��4����-�4��)��4����-�4�""""""�4��)��4����-������������������� �)*-"�>�������������������������������� ��������$��$�""""""$��$���������������������������%���������������� �����%!����������"
A�3��((��&���3����������3���6��
�������/���������""""""����"�����������$�������������� �)*-������� ����������/�)��4��-)��4����-�4�""""""�4��)��4����-" )� ���/���-
#�������������������������+�*���������� ���������4��$��$�""""""$��" #�����������%��������������"<��%����/������)2-$� ��%��$���M)��+����-
��)��+����-�""""""�)��+����-N���/�0""")6-
��������)6-���� ������� ���2������$�������������� �)��+�� �-��/�0������������������ �)6-����������� �)*-"
��/ )��4�� �-$ 2���������������������� �)*-"
��������� �������������� ��
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
��/ �)��4����-�4�""""""�4��)��4����- """),-������������� �)*-"
#������������ �)��+����-��/�0������������������� �)6-����������� �)*-"
)��+����-����/ 0 )��+����-)��+����-���/�0 """)9-
��� )��+����-���/ �" """)L- )9- )��+����-��/�0 ��/ �)��4����-$� �����������������" )9- ��+�����/ �)��4����-
��� ��������������������������� dx dym
dzy m x1 1 1 1
( )
"""):-
):- ���4������/ 0 ��4�����/��
#�&�%����� ������������� �������� �):-$� ��%��
���/dz
c1( )�� ���/��)�-���
��/ �)�-���4��
��/ ��)��4����-�4��)��4����-""")*0- )�����%���/��)�--
������%�),-�����)*0-$
��/���)��4����-�4��)��4����-�4��)��4����-�4�""""""�4��)��4����-
������������������ �)*-"
>��������������������������������� ��������$��$��$�""""""$�������������������������������%���������������� �����%!����������"
����������������� �� �� �������������������� �������������������������������� ���$�� ����������� ��������������� ��� ������ ���� ��#����� ���� ��#������������� �� ���� ��#��������������������� �������������������� ���
���%����������������� �� ����� ���� ����������������������������������� ������� �������� �������������� ������������������B��� �����B���!�������� ����� �� ����������� ���������������������� �C�� �
5-����� ����1���� ���/�0$�����0$��������������)1-��������)���
�����4�""""""�4�����-���/�0
�� �)���������4����
�����4�"""�4��������-��/�0 """)*-
#������������ ����/�0������������������� �)*-"
���/�0 zy�/�0 ��/�)�-$� ����������������"
>������$� �������� ������ ��������������� ��������������������������������%������ �����%�������������������/��)�-�4���)�-�4�""""""�4��
����)�-$� ������$��$�""""""$��������������� ������"
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������
)�-
2
2
2 2
2z
x8
zx y
15z
y �/�' )��- ,��-��,��'
)���- )5�%25�5��..55��%25�� ��' )�!- )5��5��%,5�5�� ��')!- )5�5���5�5�� ��'"
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� �����)�-�3����!�
2
2
2 2
28 15 0z
x
zx y
z
y "
)���+�L���4�*6��-���/�0 """)*-
E�������%���/���������/�*����������������� �)*-$�������'�������������� O)*-O����+�L��4�*6�/ 0"
��/ 2$�6
#���%���������������� �����%!������������������ ������!���� ������!> ������$���������������� ������"
)��- 3����!�� ��1��4�6��4�1��/�0"
��)1���4�6���4�1��-���/�0 """)*-
#�����'�������������� �)*-���1���4�6��4�1�/�0"
��/�+�*K1$�+�1
#���%���������������� �����%!������������
z y12
x (y 2x)1 2 ���
��� $� ������$���������������� ������"
)���- 3����!� )���+�,����4�**����+�,��-��/�0" """)*-
#�����'�������������� �)*-������+�,���4�**��+�,�/�0"
��/�*$�1$�2
#���%���������������� �����%!������������
������ �����!����� ������!����� ������!> ������$��$���������������� ������"
)�!- 3����!� )���4����+�1����-��/�0 """)*-
#�����'�������������� �)*-������4�*�+�1���/�0"
)���+�*-�/�0 �� ��/�*$�*$�+�*$�+�*"
#���%���������������� �����%!������������
������ �����!������ �����!����� ��"��!������ ��"��!>
������$��$��$���������������� ������"
)!- 3����!� )�����4�����-��/�0" """)*-
)*- �����)��4��-��/�0#��������� �%�������������������������%�������� �����������)�-�4���)�-"
#�����'�������������� ���)��4��-��/�0�����)��4�*-�/�0
��/�0$�0$�+�*
#��������� �%�������������������������%�������� �������)��4��-���)��4�0"�-�4���)��4�0"�-�4�)��4�)+�*-�-"
#���%���������������� �����%!������������
������ �!������ �!����� �!������ �!����� ��"��!>
������$��$��$��$��������������� ������"
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�
�����(� �'����������%!�������������������� ��������"�����((� ������/���������/�*����������������� ����������������������������
D���"�#�����������'�������������� �����%!����������"�>��!�������'������������"
��������� �������������� ��
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
�����(((� � �� �����������������������������������%������� �����%����������������)��4�� �-"�� �� ���������������������������������������������%����� � � ���� %������� �������� �� �)�� 4�� �-� 4� ��)� � � �-� 4� """"""4������)��4�� �-"
�����(.� � �������� ������ ��������������� ������������������ ��������/��������/�*������������� ������ ���������������������������� �����%�������������� ����������%� ��� ��� �� ��&��� ��� �)�-� 4� ��)�-� 4� """"""4������)�-"
�� �����
������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#
������� �
2
2
2
2z
x
z
y ���'
$
2
2
2 2
22
z
x
zx y
z
y
���
��� ���' % B��"�4BB���4B�#�����'
& /7��"�4'����!3����' ' B����/B�B�"�BB��"�/B�#�����'( B��"�0BB����/B�#�����' ) B����B�B�"�3BB�#�����'
* B��"�/B�B#�����' !
3
3
3
2
3
37 6z
x
z
x y
z
y ���'
B��"�0B�B���0BB��"�B�#�����' � B�B�"�0BB����/B�#�����'
$ B��"�/B�B���/BB��"�B�#�����' % B�B���B�#�����'�
2�34��3
����� ������#���� ��"���# � ����� �����#���� ��"��#
$ ����� ���� !��� 2 #�#���� ���� !�"� 2 #�# % ����� ����/�#����� ����/�#
& ������ y x x y x���
��� �
�����
45
452 ' ����� �����#���� ��"��#���� ��"�/�#
( ����� �����#����� �����#���� ��"�/�# ) ����� �#���� ����/�#���� ��"�0�#
* ����� �#����� �#���� ����/�# ! ����� �����#���� ����/�#���� ��"�0�#
����� �����#����� �����#������ �����# � ����� �#���� �����#���� ����/�#
$ ����� ��"��#���� �����#����� �����#������ �����#
% ����� �#����� �#������ �#���� ��"��#�
��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ������ � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""������������������������� �!�!�!�!�!����������"""""&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������
��� �)�$��-���/ �)���- """)*-
���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"
�������������%���������������� ��)�$��-���/�0" �)�$��-���/�0 """)1-
����!������������������%�����"�"���������������������� ��)�$��-���/��)���-" �)�$��-�!�/ �)���- """)2-
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�� $ �)�$��-)��4�!-�/ �)�$��-��4��)�$��-!�/�0�4��)���-�/��)���-)<��%�)1-�����)2--
��!�������������� ��)�$��-��/��)���-"�>�����������%���������������� �������������)�$��-��/�0$������������������� ���������������������������������"
#�������������!�� ��������������)�$��-��/��)���-����������������������������� ��������������������� ��)�$��-��/��)���-"
��!�������%���������������� ��������������)�$��-��/��)���-"#���%������������������ ��������������)�$��-��/�0�������������6������������
��6����� A�-�!�� ��������������)�$��-��/��)���-" <B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����- �>��!��3��5�����
5�����;��B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����8�������������6��������;�������B��� ������� D>�D�!����- �>��!�
� �� �� �� �� ����� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� �����$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""��������������������� �!� �!� �!� �!� �!��"��"��"��"��"
��� �)�$��-��/ �)���- """)*-
���������%��������������������� ���������������� ������������� ����"
#������E��3������������1
f ( )D, D ��� �����������������)�$��-����� ����������������
�)�$��-�1
fx y
( )( , )
D, DF
���
��� �/��)���-
1
f ( )D, D ��)���-�����������������%����� �������������)*-�������
�)�$��-�1
fx y
( )( , )
D, DF
���
��� �/��)���-�/�="B">"�� �)*-"
1
f(D, D ) �- �>� �!� �3� �������6����� ����;������ �B��� ������� D>�D!�
��- �>��!�
� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� (!&���� (!&���� (!&���� (!&���� (!������"�����������"�����������"�����������"�����������"����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
� ��)���-� �� �������� ������� � ������� � ���� �������$� �����������������
���%����1
f ( )D, D �)�� �-�� ������ ��������������� �)�$��-��/��)���-�������������
�'�����%� 1f ( )D, D
������� ������������������%��� ����� �������������"�#��
������������%����������������������!������������ ���������������������������"����� ������ ��������������%����������������"�� ���P��$������������!���������'����
1f ( )D, D
���������%��� ����� ���������������P��$������ ����������'�����1
f ( )D, D��������%��� ����� ��"
��������� �������������� �
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ���������������������(
)�- �,5�%-55�,5� ��,/��%�- )��- ������ ��������"
�����)�-�3����!�� )1���+�6���4�1��-���/�15)�%�-" """)*-#����"�"�� �)*-���1���+�6��4�1�/�0" ��/ *K1$�1"
�"�"�/ 1 212
2y x y x���
��� ( )"
�� $ �"�"�/1
2D 5 2D2 2 DD�15)�%�-
/1
2D1
5242
21
���
���
���
���
D2D
DD2 ( )y x
/24
2D1
52
2
���
���
���
��� D
2DDD2 ...... ( )y x
/12 5
1 02D 2D( ) ( )y x �
����� �/�*1�
x y x2 3
32 630
1���
��� D
( )
/ 6 2 306
6 32 33
2 3x y xx
x y x . "
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
�z y12
x (y 2x) 6x y 3x1 22 3 �
����� $
�������������������������� ������"
)��- 3����!�� ��4�)���-��4�����/���"
�
2
2
2 2
2z
xa b
zx y
abz
y ( ) �/���
)���4�)���-����4������-���/��� """)*-
#����"�"�� �)*-�� ���4�)���-���4����/�0"
��/�+��$�+�� ��"�"�/��)��+���-�4��)��+���-"
�� $ � �"�"�/�1
2 2D DD D ( )a b�)��-
��������������������������������/�1
12
1
DDD
DD
2
2 ���
���
�
��
( ) ( )a b xy
/�1
12
2
DDD
DD2
���
���( ) ...... ( )a b xy
��/�1
02D Dxy
a bx �
��
( )( ) �/��
xa b
x3 4
6 24
���
��� ( ) �"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
������� ��"���!����� ��"�5�!���16
x ya b24
x3 4 $
�������������������������� ������"
�� ��������� �������������
�����
������������������������������� �� ������
������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���# B����0BB���/B�#�����/����0� � B��"�/BB���B�#�����!/��
$ B��"�BB�"�3B�#������� % B��"���B�#�������
& B��"�3BB���9B�#�����!/�����03�� ' B��"�/BB�"�!7B�#����!/���
2�34��3
����� ��"��#���� ��"�/�#�"�76
32
3 2x x y � ����� �����#����� �����#���/��������
$ ����� ��"�/�#���� ����0�#���16
124
3 4x y x % ����� ������#���� ��"���#���112
4x
& ����� ����0�#����� ����0�#���!'�����3��� ' ����� ��"�0�#���� ����7�#��������/����
� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������ )����*�" )����*�" )����*�" )����*�" )����*�"
<B�������(� D>�D!�5����B���;�����3���6�������D����D����;�����>
�B����B�������6���������;������ D>�D!���� �����5�!��3�;�E���5�
1f(a, b) ��� ��������� � E!�E�E��������E>�4B����E��������5�>����E��� �>�5!��8�
/�����3����!� ��)���4���-�/ �����)���4���-$
��)���4���-�/ �����)���4���-
��� ����)���4���-�/ ���������)���4���-"
�)�$��-�)�����-�/ �)���-�����)�����-
)� �)�$��-���������%������� ������� ���%�����-�!��%�����������������.D�������������)���-$� ��%��
�)�$��-� ( )
( , )( )( )ax by
f a bax byn
E���� ������ ������!���������������)�$��-$� ����!�
�1
fax by
ax byf a b
n
( )( )
( )( , )
( )
D, D
1 1
fv
f a bn
( )( )
( , )( )
D, D �)!-$� �����!�/����4���"
=�����%����)!-����)!-$� ��%��1 1
fv
f a bv dv dv dv
( )( )
( , )...... ( ) ......
D, D �� � $ �����!�/���
4���"��������%������$����� ������)!-������������%������������� "�"�"�!$� ����
�����������%����� ���������%������� �������)�$��-"
/�(����1
f(D, D )(ax by)
1f(a, b)
. .. .. . (v) dv dv .. .. .. dv
�� � >
4B����E��������5�>����E��� �>�5!���8�
��������� �������������� ��
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
��6���������A�3����� ��)���-�/�0$����������+�������������� ������ ��)�$��-����������+����/�0"��������� ��������+����������������������$� ��������*"�#���!����
�
1( )b a rD D
�)�����-���%!������x
b r
r
r !�)���4���-"
1
(bD aD )r �� �����5�!���x
b r !
r
r �� �����5�!�
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������
)�- ),5�%-55�,5��-���/�-)�%�-)��- ���%,���,��� ���
)���- �5�%/5�5�/55�� ��2����0��,�
)�!- �5�%25�5�..55��%25�� ��������
�����)�-�3����!� )1���+�6���4�1���-��/�6)��+��-" """)*-
#����"�"�� �)*-���1���+�6��4�1�/�0"
��/ *K1$�1
�"�"�/ 1 212
2y x y x���
��� ( )"
�"�"�/1
2D522 5DD 2D
( )y x """)1-
�%�� ����� ��/�+�*$���/�*"���� �)�$��-�/ 1���+�6���4�1��" �)���-�/ �)+�*$�*-�/�1)+�*-��+�6)+�*-)*-�4�1)*-��/�:��0
)1- �"�"�/ 15
f a bv dv dv
( , ) �� $� ���� !�/���+��
/19
52
59 6
554
2 33. . . ( )
vdv
vy x � �"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
z y12
x (y 2x)554
(y x)1 23 �
����� $
������$���������������� ������"
)��- 3����!�� ��4���+�1��/�)1��4��-���"
2
2
2 2
22z
x
zx y
z
y �/�)1��4��-���
)���4����+�1��-���/�)1��4��-��� """)*-
#����"�"�� �)*-��� ���4���+�1�/�0" ��/�+�1$�* �"�"�/ �)��+�1�-�4��)��4��-"
�"�"�/1
D DD 2D2 2�)1��4��-��� """)1-
1��4���/ ����� ��/�1$���/�*"
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
����$ �)�$��-�/ ���4����+�1��" �)���-�/ �)1$�*-�/�)1-��4�)1-)*-�+�1)*-��/�5��0"
)1- ����"�"�/� 1 1/2
f a bv dv dv
( , ) �� $� �����!�/�1��4��
/ 14
23
14
23 5 2
115
3 2 5 2vdv
v/ /
./
� �)1��4��-��"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
������ ��"���!����� �����!���1
15(2x y)5/2 $�� ������$���������������� ������"
)���- 3����!� )���+�5����4�5���-���/�,����)2��4�1�-" """)*-
#����"�"�� �)*-�� ���+�5���4�5��/�0"
��/�0$�1$�1
�"�"�/ �)��4�0"�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-
/ �)�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-
�"�"�/1
D 4D D 4DD3 2 2 �,����)2��4�1�- """)1-
2��4�1��/ ����� ��/�2$���/�1"
����$ �)�$��-�/ ���+�5����4�5���" �)���-�/ �)2$�1-�/�)2-��+�5)2-�)1-�4�5)2-)1-��/�2��0"
)1- �"�"�/ 16
f a bv dv dv dv
( , )sin��� $� �����!�/�2��4�1�
/13
6. cos�� v dv dv �/�1� ( sin )� v dv
/ 1����!�/�1����)2��4�1�-"
����<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
��� �� �!����� ������!������ ������!�����6�3� �������!>
������$��$���������������� ������"
)�!- 3����!� )���+�,����4�**����+�,��-���/�e x y5 6 " """)*-
#����"�"�� �)*-������+�,���4�**��+�,�/�0
��/�*$�1$�2
�"�"�/ �)��4�*�"��-�4��)��4�1�-�4��)��4�2�-"
�"�"�/1
D 6D D 11DD 6D3 2 2 3 e x y5 6
""")1-
�6��4�,��/ ����� ��/�6$���/�,"
����$ �)�$��-�/ ���+�,����4�**����+�,��
�)���-�/ �)6$�,-�/�)6-��+�,)6-�),-�4�**)6-),-��+�,),-��/�+�:*��0"
)1- �"�"�/1
f a be dv dv dvv
( , ) ��� $� �����!�/�6��4�,�
/191
191
191
��� e dv dv e dv ev v v
/ 191
5 6e x y "
��������� �������������� �
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
<��%�@">"�/��"�"�4�"�"$�����%���������������� �����%!������������
��� �� �����!����� ������!����� ������!� 191
e5x 6y$
������$��$���������������� ������"
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������
)�- �5�%/5�5�/55� ��/����,���
)��- �5�%&55��%25�� �����������������%�
)���- �5�%/5�5�-55��%,5�� ������������ ���
)�!- �5�%&55��%25�� ��������,� ������"
�����)�-�3����!� )���+�5����4�5����-���/�5����)1��4��-" """)*-
#����"�"�� �)*-������+�5���4�5��/�0"
��/�0$�1$�1
�"�"�/ �)��4�0"�-�4��)��4�1�-�4���)��4�1�-"
�"�"�/1
D 4D D 4DD3 2 2 �5����)1��4��- """)1-
1��4���/ ����� ��/�1$���/�*"
����$ �)�$��-�/ ���+�5����4�5���" �)���-�/ �)1$�*-�/�)1-��+�5)1-�)*-�4�5)1-)*-��/�0"
���+�5����4�5����/ �)���+�5���4�5��-�/��)��+�1�-�
)1- �"�"�/1
(D 2D D2
). sin ( )
14 2x y ��)����/�1$���/�* ��+�1��/�0-
/1
(D 2D 2 �)
sin ( )4 2x y ���Q
�/1
(D 2D 2
).
( cos ( ))4 22
x y
/ +�1�1
(D 2D 2
)cos ( )2x y
/ +�1�"�x2
21 2( ) !����)1��4��-��)� ���+����/�)*-��+�1��/���+�1�-
/ +�������)1��4��-"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
������ �!����� ������!������ ������!�"����6�3� ������!>� ������$��$��������������� ������"
)��- 3����!� )���+�9����+�,��-���/����4�����4����4����)��+��-" """)*-
#����"�"�� �)*-����+�9��+�,�/�0"
��/�+�*$�+�1$�2
�"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4��)��4�)+�1-�-�4��)��4�2�-"
(@��������������1D
4 2sin ( )x y ����12
4 sin v dv� ������������/�����
��"�/�� ������"�/�� �� /�����#�
�� ��������� �������������
�����
������������������������������� �"�"�/
1
D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4����4����)��+��--
/1
D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4���-�4�1
D 7DD 6D3 3 2 ����)��+��-"
�� $1
D 7DD 6D3 3 2 �)���4�����4���-
/1
1 7 62
2
3
3
1
2 2 3
DDD
DD3 �
�����
�
��
( )x xy y
/1
1 7 62
2
3
32 2 3
DDD
DD3 �
�����
�
�� ...... ( )x xy y
/1 7
2 66
62 2 35 6D D D3 ( ) ( ) ( )x xy y x y
/ x x y x y x x y x5 4 2 3 3 6 5 6
60 24 67
360 2036
720
���
���
���
���
���
���
/572
160
720
124
16
6 5 5 4 2 3 3x x x y x y x y �"
����1
D 7DD 6D3 3 2 ����)��+��-
/1
(D + D D + 2D D 3D ) ( ) ( )����)��+��-
/1
D + D1
D + 2D D 3D .( ) ( )
����)��+��-
)����/�*$���/�+�* ��4���/�0-
/ 11 2 1 1 3 1D + D
1 ��.
( ( )) ( ( ))cos v dv dv $� �����!�/���+��
/1
4D + D1
. �)+����!-�/�
14D + D1
�
�����. cos ( )x y
/14
.1
D D ����)�%�-�/�+�
14
.1
( D D ) ����)�%�- )�������������-
/ +�14 1 11.
( ) !
x
����)�%�- )� ���+����/�)+�*-��+�)*-��/�+���+��-
/14������)�%�-
�"�"�/572
160
720
124
16 4
6 5 5 4 2 3 3x x x y x y x yx
x y cos ( ) "
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
������ ��"��!����� ��"���!����� ������!���572
x1
60x6 5 � 7
20x y5 � 1
24x y4 2 � 1
6x y3 3
x4
cos (x y) $� ������$��$���������������� ������"
��������� �������������� �
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
)���- 3����!� )���+�5����4�6����+�1��-���/��� ���4�)��4��-���" """)*-
#����"�"�� �)*-������+�5���4�6��+�1�/�0"
��/�*$�*$�1
�"�"�/��)��4�*�"��-�4���)��4�*�"��-�4��)��4�1�-"
�"�"�/�1
D 4D D 5DD3 2 2
2D 32 1/2( ( ) )e y xy x
/1
(D D D
1
(D D D
) ( ) ) ( )( )2
22
1/2
2D 2De y xy x
�"
�� $1
(D D D
) ( )22
2Dey x
�/�1
D (D D
2D1
22.
)e x y
)� ��/�1$���/�* ��+�1��/�0-
/1
D ( 1 ��2D1
2 2.)
e dv dvv $� �����!�/�1��4��
�12D 1 1
21
12 2
D e
xe xex y x y x y
( ) !"
)� ���+����/�)*-��+�1��/���+�1�-
�����1
2D21/2
( ) ( – )( )
D D D y x �/�
1 12D2
1/2
( ). ( )
D D D x y
)� ��/�*$���/�* ��+���/�0-
/1
(D D �).
( )21/21
1 2 1v dv$� �����!�/���4��
/1
(D D1
(D D
).
/.
)( )
//
2
3 2
23 2
3 223
vx y
/ 23 1 2
2
23 2.
( ) !( ) /xx y )� ���+����/�)*-��+�)*-��/���+
�-
/ 13
2 3 2x x y( ) /
�"�"�/ xe x x yx y2 2 3 213
( ) / �"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
������ �����!������ �����!����� ������!���xe13
x (x y)2x y 2 3/2 $
������$��$���������������� ������"
)�!- 3����!� )���+�9�����+�,��-���/����)��4�1�-�4���� �" """)*-
#����"�"�� �)*-������+�9��+�,�/�0"
��/�+�*$�+�1$�2 �"�"�/��)��4�)+�*-�-�4��)��4�)+�1-�-�4��)��4�2�-"
�"�"�/1
D 7DD 6D3 3
232(sin ( ) )x y e x y
/�1
(D + D ) D + 2D D D
( )( )sin ( )
32x y ��4�
1(D + D ) D + 2D D D
( )( )33e x y�"
�� ��������� �������������
�����
������������������������������� �� $
1(D + D ) D + 2D D D
( )( )
sin ( )3
2x y
/1
( + 2)1 1 4 1 6( ) ( )sin
��� v dv dv dv$� �����!�/���4�1�
/ +�1
75175
175
�� �cos sinv dv dv v dv �)+����!-�/�+�175
2cos ( )x y "
����1
(D + D ) D + 2D D D
( )( )33e x y
/13
3
D D1
(D + D ) D + 2D .
( )e x y
)� ��/�2$���/�* ��+�2��/�0-
/13 3 3 2D D
1( + 1) ��.
( )e dv dvv $� �����!�/�2��4��
/13 20 1 1 20
31
1
3
D D1
.
( ) !.e
x ex yx y
)� ���+����/�)*-��+�2��/���+�2�-
/120
3xe x y
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
��� �� ��"��!����� ��"���!����� ������!� 175
cos (x 2y)1
20xe3x y $
������$��$���������������� ������"
�� ������
-����B��;�������3�����������B������4��;�������������������� ������3�F B����0BB���/B�#�����/����0� � B����/BB���B�#������������
$ B��"�/BB���B�#��������� % B��"�4B�B���4BB�#������ �� /����0�#
& �������� ' 4��"�4��������!3�� �� ����/�#
( /��"���"�0����7��&�� ) B��"�7BB���4B�#��������� 4�����#
* B��"�/�BB�����B�#������ ������# ! /B��"�7BB���/B�#�����7����� /�����#
B��"�/B�B�"�BB����/B�#��������� � B��"�4B�B���4BB�#��������� ����/�#
$ B��"�4B�B���4BB�#������ �� /�����# % B��"�0BB���/B�#�������������������� �� ���/�#�
2�34��3
����� ��"��#���� ��"�/�#���1
2402 3 3( )x y � ����� ��"��#����� ��"��#���
e x y2 3
25
$ ����� �����#����� �����#��� ex y 2
% ����� �#���� ����/�#����� ����/�#�"�132
2 3sin ( )x y
& ����� �#���� �#�������
' ���� 1 221
212
2 2y x x y x x x y���
��� �
����� log ( )
( ���� 1 232
( )y x y x xex y ���
��� ) ����� �����#���� ����4�#�"�
13
4x x ycos ( )
��������� �������������� �
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
* ����� ������#����� ������#���x
g y ax2
2( )
! z y x y x x x y ���
��� 1 2
12
253
2( ) cos ( )
����� �����#���� �����#���� ����/�#�"�12
������
� ����� �#���� ����/�#����� ����/�#�"�x
x y2
42cos ( )
$ ����� �#���� ����/�#����� ����/�#���x
x y2
42sin ( )
% ����� �����#���� ����/�#���112
13
22e xe x yx y x y cos ( ) �
��� ����������������������� ����������������������� ����������������������� ����������������������� �������������������� � � � � ����� ����� ����� ����� ����� ������ ������ ������ ������ ������ �
��� �)�$��-��/��)���- """)*-
��� �� ����%������� ������ ������� � �������� �������� � � �������� ��� ��������� ����"
������$���$�""""""$������������������ �������'�������������� �)*-"�B���������� �������������������������"
�"�"�/1
fx y
( )( , )
D, DF
/1
2( )( ) ...... ( )( , )
D D D D D DF
1 m m mx y
n
3�� ���������������������� ��!������%�� 1D D m
g x y( , )�� �����������������
���� ������)���-"
��� ��/�1
D D mg x y( , )
��)��+���-���/�)���- ��+����/�)���-
��%���%����'�����������������dx dy
mdz
g x y1
( , )
""")1-
)1- ���/�dym ���4�����/�0 ��4����/��
)1- ���/�dz
g x y( , )
���/�)�$���+���-��� ��/ g x a mx dx( , )� 1
D mDg(x, y) g(x, a mx) dx
� """)2-
� �����!��������� ��%������$������������������������������4���"
�� � ��������������!��������� ���������������%����� �)*-"
�� ��������� �������������
�����
������������������������������� �"�"�� �)*-�/
1
2( )( ) ...... ( )( , )
D D D D D DF
1 m m mx y
n
/1 1 1
D D D D D DF
1 2 m m mx y
n. ...... ( , )
#����%����������!������������������������������ ����� �������)2-"
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������
)�- �5��,55�5�� ��,����%�����
)��-
2
2
2
2 2 2z
x4
z
y
4x
y
y
x
)���-
2
2
2
2z
x
z
y �/����������%���������
)�!- �5��55%25� ����������� "
�����)�-�3����!� )���4�1���4���-���/�1������+�������" """)*-
#����"�"�� �)*-�� ���4�1��4�*�/�0"
��/ +�*$�+�* �"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4���)��4�)+�*-�-�/��)��+��-�4���)��+��-"
�"�"�/1
D 2DD D2 2 ( cos sin )2 y x y
/1
(D + D D D )
) (( cos sin )2 y x y
/1
D + D � [ cos ( ) sin ( )]2 a x x a x dx
)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/���4��-
/1
D + D [ sin ( ) { cos ( ) sin ( )}]2 a x x a x a x
/1
D + D [sin ( ) cos ( )]a x x a x �/�
1D + D
[sin cos ]y x y
/ � (sin ( ) cos ( ))a x x a x dx
)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/���4��-�����������������������/�+����)��4��-�4������)��4��-�4����)��4��-�������������������������/������)��4��-�/�������" <��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������������ ��"��!������ ��"��!�����3����>� ������$������������������������"
)��- 3����!�
2
2
2
2 2 244z
x
z
y
x
y
y
x "
�� )���+�5��-���/�4
2 2x
yyx
""")*-
#����"�"�� �)*-�� ���+�5�/�0"
��/ +�1$�1
�"�"�/ �)��4�)+�1-�-�4��)��4�1�-�/��)��+�1�-�4��)��4�1�-"
��������� ��������������
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
�"�"�/ 1 42 2 2D 4D2
���
���
xy
yx
�/� 1 42 2(D 2D )(D 2D )
���
���
xy
yx
/1 4
22
2 2D 2D �
������ x
a xa x
xdx
( )
)��+�1��/���+��� ��/�1 ��/���+����/���+�1�-
/1 2 4 2
22
2 2D 2D
���
���� a x a
a xax x
dx( )
/1 2
222
22 2D 2D
���
���� a x
aa x
ax x
dx( )
/1
22
2D 2D
�
�� log ( ) loga x
aa x
ax
x
/1 2 2
2D 2D
��
��log logy
y xy
y xx
x
/1
22
3D 2D
��
��log logy x
xy
yx
/ �
���
���log ( ) loga x x
xa x
a xx
dx2 22
22
3
)��4�1��/���+��� ��/�+�1" ��/���+����/���4�1�-
/ �
���
���log ( ) loga x x
xa x
ax
dx2 22
25
/ log ( ) . . (log ) . .a x xa x
x dx x xx
x dx
� �222
22
4�� 2
25
xa x
dx a x xlog
/ ����%�)��4�1�-�4�)1��4�-���%���4�2��/�����%���4�����%���4�2�"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
������ ��"���!����� ������!�������;����������;�������>� ������$��������������� ������"
)���- 3����!� ��
2
2
2
2z
x
z
y �/��������������+�������������"
��)���+���-���/��������������+������������� """)*-
#����"�"�� �)*-�� ���+�*�/�0"
��/ +�*$�*
� �"�"�/ �)��4�)+�*-�-�4��)��4�*"�-�/��)��+��-�4��)��4��-"
�"�"�/1
D D2 2 �)�������������+�������������-
/1
(D D )(D D ) �)�������������+�������������-
� ��������� �������������
�����
������������������������������� /
1D D
� [tan tan ( ) tan tan ( )]3 3x a x x a x dx
)��+���/���+��� ��/�*" ��/���+����/���+��-
/1
D D � tan tan ( ) [sec sec ( ) ]x a x x a x dx2 21 1
/1
D D ���� tan ( ) . tan seca x x x dx2
+�� ���tan . tan ( ) sec ( )x a x a x dx2
/1
D D
� �tan ( ) .
tansec ( ) tana x
xa x x dx
22 2
212
� ��tan .
tan ( )sec tan ( )x
a xx a x dx
22 2
212
/1
2(D D
)tan ( ) tan tan tan ( )a x x x a x2 2
�� (sec (sec ( ) ) sec ( ) (sec )2 2 2 21 1x a x a x x dx
/1
2(D D
)tan ( ) tan tan tan ( )a x x x a x2 2
�� (sec ( ) sec )2 2a x x dx
/1
2(D D )�M�������������4��������������4�������4������N
/1
2(D D )�M������������4������������N
/12 � M����)���-�������4�����������)��4��-N���
)��4���/���+��� ��/�+�*" ��/���+����/����-
/�12
2 2tan ( ) tan sec ( ) tan tan sec ( )a x x a x x dx x a x dx � �
� � �/
12������������"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
����� ��"��!���� �����!���12
������������>� ������$���������������� ������"
)�!- 3����!� )���4����+�,��-���/�������)��4��-" """)*-
#����"�"�� �)*-������4���+�,�/�0"
��/ +�2$�1
�"�"�/ �)��4�)+�2-�-�4��)��4�1�-�/��)��+�2�-�4��)��4�1�-"
�"�"�/1
D DD 6D2 2 �������)��4��-
/1
(D + 3D ) D 2D ) (�������)��4��-
��������� �������������� �
�����
�����������������������������������
������������ ���� ����� ���
/1
D + 3D � x x a x dx2 2sin ( )
)��+�1��/���+��� ��/�1" ��/���+����/���+�1�-
/1
D + 3D� x a x dx2 sin ( )
/1
D + 3D ��� ����x a x x a x dx2 2cos ( ) cos ( )
/1
D + 3D ��� ����x a x x a x a x dx2 2 2cos ( ) ( sin ( ) sin ( ) )
/1
D + 3D x a x x a x a x2 2 2cos ( ) sin ( ) cos ( )
/1
D + 3D ( ) cos ( ) sin ( )x x y x x x y x2 2 2 2 2
/1
D + 3D ( ) cos ( ) sin ( )x x y x x y2 2 2
/ [( ) cos ( ) sin ( )]x x a x x x a x dx2 2 3 2 3 �)��4�2��/���+��� ��/�+�2" ��/���+����/���4�2�-
/ [( ) cos ( ) sin ( )]x x a x x a dx2 2 4 2 4 �/ )���+�1-�
sin ( ).sin ( )
sin ( )44
244
2 4x a
xx a
dx x x a dx � �
/14
2 432
42( ) sin ( ) sin ( )x x a x x a dx �/
14
2 432
44
144
2( ) sin ( )cos ( )
.cos ( )
x x a xx a x a
dx �
�� �
/14
2 438
4332
42( ) sin ( ) cos ( ) sin ( )x x a x x a x a
/x
x y x x x y x2
41332
4 338
4 3���
��� sin ( ) cos ( )
/x
x y x x y2
41332
38
���
��� sin ( ) cos ( )"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
��� �� ��"���!����� ������!���x4
1332
sin (x y)38
x cos (x y)2
���
��� >
������$���������������� ������"
�� ������
-����B��;�������3�����������B������4��;�������������������� ������3�F ������"�3������� ��� � B����BB�"�3B�#������������
$ ��"���"�/���� /��������"���#��������"�� ���� % B��"�BB�"�/B�#����� ��"�!#���
& B��"�0BB��"�/B�#������ �� ����/�#�"���� 0���/�#
' B����/B�B�"�BB��"�/B�#����� ����/#����
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
2�34��3
����� ����/�#���� ��"�0�#�"���� ����������� � ����� ����/�#���� ��"�0�#�"���������"�� ���
$ ����� ����/�#���� ��"��#��������� % ����� ����/�#���� ��"��#������
& ����� ��"��#����� ��"��#���� ����/�#���127
����� ����/�#������
' ����� �����#���� ��"��#���� ��"�/�#�������
��������� �������������� �
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
�������������������������������������������������������
��������������������$� ����!����������!�%��������������� ���������������� ������������� ����"���������������� �� ���������%���������������� �������������������� ��������������� ���������������!��!����!��!����������������� �������"���������� ����$� �����!������������%��������������������� ���������������� ������������� ����"����������������������$� ��������������������������� � ���%%���������������� ��������������� ����������������� ���������������%������"
*� ���#��&�'����������������� ����������
���������(����)������)�����)�����
���������
����������
���.����%��������������������� ������������������ �������������� ����
=������������������������.����%��������������������� ���������������� ��������������� ����
@�������>������� � �=����������.����%��������������������� ����������������)�$��-��/�0� ��������������� ����
@�������>�������� ��������������.����%��������������������� ����������������)�$��-��/�0� ��������������� ����
@�������>�������� ����.����%��������������������� ��������������� ��������������� ����
������������%����� ��)�$��-��/��)���-
�������������%����3�����)���-���>������� ������� �#������ ������������
�������������%����3�����)���-���� ����������������
�������������%����3�����)���-���� �������������)�����-�������)�����-
�������������%����3�����)���-���� �����������������G)���-
�� ��������� �������������
�����
������������������������������� ���+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ����+������������� ��� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� ��� ���������� �
���������� ������������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������
���������������� ���������������� ������������� �������������������B���;�����3��������������������������� �������4��B�6��3�����6���6����3 ������������� �����������!��!��������%����������������������������"
�����'�����$����� ���� �%��������� ����������������������������.����%�������������������� ����������������� ������������� ����(
)�-
zx
z
ye x y
2
22 3
)��- )1���4����+�2�-��/�2����)2��+�1�-
)���- )��+�1��4�6-)���4���4�2-��/�e x y3 4 ����)��+�1�-
������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+���������������� ���������������+������������ ������ ������ ������ ������ ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ������������������������������&���&���&���&���&����������������������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������
�����)�$��-���/��)���-���������.����%��������������������� ��������������� ������������� ����"�#����������������������6�5��� ��)�$��-������������!������ ����������� � ������ ����� ������%�������������"
�����'�����$� )���+����4�2��+�2�-��/������ ���������������.����%��������������������� ���������������� ������������� ���������������+����4�2��+2��/�)��+��-�)��4���4�2-"������.����%��������������������� ��������������� ������������� ������������������6�5��� ����������������"������'������)1��
+����4��-���/����+��������������������.����%������������������������ ��������������� ������������� ������������)1���+����4��-���������������!������������ ���������������"
��� �������� �������� �������� �������� ������������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������������������+�����+�������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������
��� �)�$��-���/�)����4�����4���-�""""""�)����4�����4���-���/�0 """)*-
��� �� �����������.����%������� ������������� � �������� �������� ��� ��������� ����"
#��� ��������������� ������� �)*-������������������������"
A�3��(��-�6���3������3���6�
��������)*-���� ������� ���*������$�������������� �)� ��4�� ��4�� -���/�0������������� �)*-"
)� ��4�� ��4�� -���/ 0 � ��4�� ��/�+�� �
dxa
dyb
dzc zi i i
""")1-
��������� �������������� �
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
)1- � ���+�� ���/ 0 �� � ���+�� ��/�
����$ )1- � dzz
ca
dxi
i ��%���/�+�
ca
xi
i log
��/ e c x ai i / �� ��/�e a y b xc x ai i i
i i / ( ) )�����%��/� )--#��������������� ����� ��0"� �� ��0$�����������&�%���������������� �������� �)1-$� �������� �����
��/�e a y b xc y bi i i
i i / ( ) �������������� �)*-"
��/�e a y b xc x a 1 11 1 1
/ ( ) $ ��/�e a y b xc x a 2 22 2 2
/ ( ) $�""""""$
��/�e a y b xc x an n n
n n / ( ) ��������������� �)*-"
����e (a y b x)c x/a1 1 1
1 1 ���e a y b xc x a2 2 2
2 2 / ( ) ���������
��e a y b xc x an n n
n n / ( )
������������������ �)*-"�>��������������������������������� ��������$��$�""""""$�$����������������������������%���������������� �����%!����������"�B���� ����!����������������$���$�""""""$���������������.D������������"
A�3��((��-�6���3����������3���6�
�������� ����� �� ����������������������������������"�����������$������������
� �)*-������� ��������� z e a y b x e a y b xc x a c x an n n
n n 1 11 2 1 1
/ /( )( ) ...... ( ) "
#�������������������������+�*���������� ��������$��$��$�""""""$��"
#�����������%��������������"
)*- )����4�����4���-��)����4�����4���-��""""""�)����4�����4���-���/�0
""")2-
��������)2-���� ������� ���2������$�������������� �)� ��4�� ��4�� -���/�0������������������ �)2-����������� �)*-"
��/�e a y b xc x ai i i
i i / ( ) $�2�������������������� �)*-$����!����� ��0$�2������"
z e a y b x e a y b xc x a c x an n n
n n 3 33 3 3
/ /( ) ...... ( ) """)5-
������������� �)*-"
#������������ �)����4�����4���-����/�0������������������� �)2-����������� �)*-"
)����4�����4���-����/�0 )����4�����4���-)����4�����4���-���/�0���""")6-
��� )����4�����4���-���/�� """),-
)6- �)����4�����4���-���/�0
��/�e a y b xc x a 1 11 1 1
/ ( )
�����������������"�3������������%����������0"
),- ����4�����4�����/�e a y b xc x a 1 11 1 1
/ ( )
����4�����/�e a y b xc x a 1 11 1 1
/ ( ) �+����
�dxa
dyb
dz
e a y b x c zc x a1 1 1 1 1 1
1 1
/ ( )""")9-
)9- �����+������/�0 ����+�����/��
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
#�&�%����� ������������� �������� �)9-$� ��%��
dzdx a
e a y b x c zc x a 1
11 1 1 1
1 1( ( ) )/
dzdx
ca
za
e a y b xc x a 1
1 11 1 1
11 1/ ( ) """)L-
#��������������������"
��"�"�/�e eca
dxc x a
1
1 1 1�
/
>�������� ��)L-��
�R� ea
e a y b x e dxc x a c x a c x a1 1 1 1 1 11
11 1 1
/ / /( ) . �
/�1
11
1
1ac dx
x ca
d � ( )( )
zexa
a y b x dc x a1 1
11 1 1
/ ( )
ze x a y b x a y b xc x a1 11 1 1 2 1 1
/ ( ) ( )
Taking and 11
1 21
���
���a
d c( )
��/�e c x a 1 1/ �)���)����+����-�4��)����+����--���"""):-������%�)5-�����):-$
����e– c x/a1 1 ���� ����"�5��!����� ����"�5��!!
��e (a y b x) .. . . . . e (a y b x)c x /a3 3 3
c x /an n n
3 3 n n �
>��������������������������������� ��������$��$�""""""$��$���������������������������%���������������� �����%!����������"
������������������ ����������������������������������������������� ����� ����������� �
������������� ��� �����e a y b x x a y b xc x a 1 11 1 1 2 1 1
/ ( ( ) ( ) ������������� ��� ����"����##��������������������� �������������������� ���
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�
�����(� 6��������5�5 �����������������������������5���5"�����((� 4��������������������7���������������5��5��� ���������
8"("��e ay bxcx a / ( ) ����'��e ay bxcy b / ( ) ���'"
�����(((� 4��������������������������������5��5�������������������8"("��
�e x (ay bx)cx/a i 1
i 1
r
i
$�������'����e y y (ay bx)cy/b i 1
i 1
r
i
$�������'"
��������� �������������� �
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
�������������
����������� �����������������������������������������������������������
)�- ������' )��- 55�5%,5%0 ��'
)���- �55��5��5��� ��' )�!- ��,����,��,����'"�����)�-�3����!� ������/�0" )���4����4��-���/�0 )0"��4�*"��4�0-)��4���4�*-���/�0�""")*- #���%���������������� �)*-��
��/ �������)0��+�*"�-�4����������)*"��+�*"�-
�� ��� �� "��!��������� ��"��!>
�������������������������� ������"�������� "��#������� �������� �� ��������������� ��������������� �#�� ��� �����������
����� ���)��- 3����!� ��)��+�1��+�2-���/�0" """)*- )*"��4�0"��4�0-)0"��4�*"��4�0-)��+�1��+�2-��/�0 #���%���������������� �)*-��
��/ ��������)*"��+�0"�-�4���������)0"��+�*"�-�4��
������)*"��41"�-�� ��� �� �!����� "��!��������� ������!$ ������$��$���������������� ������"
)���- 3����!�� )���4����4����4���-���/�0" )��4��-)��4��-���/�0 )*"��4�0"��4��-)0"��4�*"��4��-��/�0
""")*- #���%���������������� �)*-��
��/ �������)*"��+�0"�-�4���������)0"��+�*"�-
�� ��� ������� �!����� ���� "��!> �������������������������� ������"
)�!- 3����!�� ��4�1��4���4�1��4�1��4���/�0 """)*-
)���4�1���4����4�1��4�1��4�*-���/�0 M)��4��-��4�1)��4��-�4�*N���/�0 )��4���4�*-����/�0 #���%���������������� �)*-��
��/ ��������)�)*"��+�*"�-�4����)*"��+�*"�--
�� ��� ���� �� ��"��!������� ��"��!!>
������$���������������� ������"
��� �������� �������� �������� �������� ��������������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+���������������������+�����+�������� ����������� ����������� ����������� ����������� ��� � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� ��������������������$$$$$ � � � � �!!!!!����������"""""��������'����'����'����'����'�&��������&��������&��������&��������&�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �����������
��� �)�$��-���/ 0 """)*-
������������������.����%��������������������� ���������������� ������������ ����"
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
��� ��/ �������"
��������/ �����)�������-�/������������������������
�)�$��-���/ �)���-��������
��/���������������������� �)*-� ��)���-�/�0�����������������������������"����)� �� �������� �� �������������������� ��%��)� �� -�/�0"
z c eia x b yi i �������������� �)*-� ��������"
#���%���������������� �)*-���z c ei 1
ia x b yi i
$�4B���� ��>�5�!���8�
�������� �������� ���������������������������������������� �� !#��������������� �$�� ��������������������������� ������������� ��������
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�
�����(� 6����������!���������������������5�5 �5�5 ��'��������5�5 ����������������������������������������5���5����5�5 �������������"
�����((� 9�������������������5�5 ��'���������������������������"
�����(((� 9������������������5�5 ��'���������������������������"
�����(.� 3������ ������ ��������� �� �� ��� ������ �������� �� ��� �!����������"
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������
)�- �5��5�5 ��' )��- �,5�%05�5�5� ��'
)���- �5�,5%0 �5��5 ��' )�!- �5�05 ��5��-5�5 ��'"
�����)�-�3����!� )���4���4��-���/�0" """)*-
���4���4�������������
��� ��/����������������������� �)*-"
������)���4���4��-���������/�0
���4���4���/�0 ��/�+�)���4��-
��/�ceax a a y ( )2$� ����������������������������������"
��#���%���������������� �)*-�����/� c eia x (a a )y
i 1
i i2
i
$� ������ ������ ����
�����������������"
)��- 3����!� )1���+�2����4���-���/�0" """)*-
��)1���+��-)���+��-���/�0
#��� �����1���+�������������"
������/����������������������� �)1���+��-���/�0"
)1���+��-����������/ 0 1���+���/�0 �� ��/�1��
��/ ceax a y 2 2
��������� ��������������
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
�����������%� ��� 1��� +� �$� ���� ����� � � %������� �������� � � )*-� �
c eia x a y
i
i i
2
1
2
"
#��� ��������+������������������"
������/�c ea x b y ��������������� �)���+��-���/�0"
�)���+��-�c ea x b y �/�0 ���+���/�0 �� ��/���
��/� c ea x a y 2
�����������%�������+��$����������� �%���������������� �)*-��� c eia x a y
i
i i
2
1
#���%���������������� �)*-�� z c e c eia x 2a y
i 1i
a x a y
i 1
i i2
i i2
$� ����
� �� �� $�� ����������������������")���- 3����!� )��4�1��+�2-)���4��-���/�0" """)*-#��� �������4�1��+�2��������" �����������%������4�1��+�2$����������� �%���������������� �)*-��
e x ( ) /3 1 �)*"��+�1"�-��"�"�����)��+�1�-"
�#��� ��������4�������������"������/����������������������� �)���4��-���/�0" )���4��-����������/�0" ���4���/�0 �� ��/�+���
��/� ceax a y 2
�����������%�������4��$����������� �%���������������� �)*-��� c eia x a y
i
i i
2
1
"
#���%���������������� �)*-������������� ��"���!��� c eia x a y
i 1
i i2
$� ��������
��������� ����������� ��� ����������������������"
)�!- 3����!� )��4�2�-��)���4�6��4��-���/�0" """)*-
#��� �����)2��4��-������������������" �����������%����)2��4��-�$����������� �%���������������� �)*-��
�������)�)2"��+�*"�-�4���)2"��+�*"�--$ �"�"� �)2��+��-�4���)2��+��-"
#��� ��������4�6��4�������������"������/����������������������� �)���4�6��4��-���/�0" ��)���4�6��4��-���������/�0
���4�6��4���/�0 �� ��/�+�)���4�6�-
��/� ceax a a y ( )2 5
�����������%� ��� ��� 4� 6�� 4� �$� ���� ����� � � %������� �������� � � )*-� �
c eia x a a y
i
i i i
( )2 5
1
"�160
� ��������� �������������
�����
������������������������������� #��� %������� �������� � � )*-� �� �� �� �� ��� "� �!� �� �� �� ��� "� �!
�� c eia x (a 5a )y
i 1
i i2
i
$� ������$��� ������������� ������������ � � � ������������
��������"
�� �����
������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#
B���B�"�!# B���/B�"�/#����' � B���!# B���B�"�!#����'
$ B��"�BB�"�/B#����' % B��"�B����B�"�B#����'
& B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#�����' ' B��"�BB���B�"�!#����'
( ������"���"�����' ) B��"�BB�"�/B����/B���/B#����'
*
2
2
2 2
26 0z
x
zx y
z
y ! B�"�0B�"�/#������'
B�"�B�#�����' � /B��"�B����B#�����'
$ B����BB���B���B���!#�����' % B�"�/B�"�!# B�"�/B��"�!#����'
& /B�"�0B���7#�� B����0B#�����'�
2�34��3
������� ��"��#������� ��"�/�# � ������� �#������ ��"��#
� ������� ��"��#������� ��"�/�#
$ ����� �#������� �����# % ����� �����#������� ��"��#
& ������� �����#������� �����# ' ������� �#������� �����#
( ������� �#������� "��# ) ����� ��"��#�������� ����/�#
* ����� ����/�#���� ��"�0�# ! �������� � ����0�#����� ����0�##
���� c eib x b y
i
i i2
1
�i
ia x b yc e i i
1
��������/����"���
���������'
$ ���� c eia x b y
i
i i
1
� �����������������������������!���'
% ������� ����/�#��� c eib x b y
i
i i( )1 2
1
2
& ����������� � /����0�#����� /����0�##��� c eia x a y
i
i i
2 3
1
/ �
��� �������� �������� �������� �������� �����������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� �������������+������������� ������ � � � � ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �������������������������&��������&��������&��������&��������&�������� �� �� �� �� ������������������������������������������
��� �)�$��-���/��)���- """)*-
��������.����%��������������������� ���������������� ������������� ����"
��������� �������������� �
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
��� ���������%���������������� ��)�$��-���/�0"
�)�$��-���/ 0 """)1-
����!������������������%����� ��)�$��-���/��)���-"
�)�$��-�!�/ �)���- """)2-
�� �)�$��-�)��4�!-�/ �)�$��-���4��)�$��-�!�/�0�4��)���-�/��)���-"
��!�������������� ��)�$��-���/��)���-"�>�����������%���������������� �������������)�$��-���/�0$���������������4�!�� ��������������)�$��-���/��)���-������%���������������� ��������������)�$��-���/��)���-"
#���%������������������ ��������������)�$��-���/�0�������������6��������������6����� A�-�!�� ��������������)�$��-���/��)���-"
<B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!�����- �>��!��3��5�����5�����;��B��;�������3�����������B��� ������� D>�D�!����8�������������6��������;�������B��� ������� D>�D�!����- �>��!�
� �� �� �� �� ����� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� ��������� ������� �����$$$$$ � � � � �!!!!!�����������"""""����������������� �!�� �!�� �!�� �!�� �!��"��"��"��"��"
��� �)�$��-���/��)���- """)*-
��������.����%��������������������� ���������������� ������������� ����"
>��$� �)�$��-�1
fx y
( )( , )
D, DF
��
�� � /��)�� �-$� ���� ������
1f
x y( )
( , )D, D
F
� �� �
������������%����� ��������������)�$��-���/��)���-"
� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �����!!!!!����������"��������������+"��������������+"��������������+"��������������+"��������������+���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
� ��)���-����������� ������� ������������ ����� �������$����������������������%���
1f
x y( )
( , )D, D
F
�� ������ �����������������)�$��-���/��)���-���������������'�����%
1f ( )D, D
������� ������������������%��� ����� �������������"�#�����������
���%����������������������!������������ ��������������������������"��������� ������ ��������������%����������������"
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������
)�- �5�%5%. ����� )��- �5�%5�%05�05 ����"
�����)�-�3����!� )���+���+�*-���/����" """)*-
���+���+�*�����������"
�"�"�/ c eia x b y
i
i i
1
$� ������ ��+�� �+�*�/�0 �� � �/��
��+�*
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� �"�"�/ c ei
a x a y
i
i i
( )2 1
1"
�"�"�/1
1
12 2
D D 1+ (D D2 2
x y x y
)/ +�)*�4�)��+���--������
/ +�)*�+�)��+���-�4�)��+���-��+�""""""-����
/ +�)*�+���4����+�1����4�""""""-����
/ +�)����+����4�1��+�5�4�0�4�""""""-�/�+�����4����+�1��4�L"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��
z c eia x (a 1)y
i 1
i i2
� x y x 2y 82 2 $� ������ ������ �������������
��������"
)��- 3����!� )���+����+�2��4�2�-���/���" """)*-
�������+����+�2��4�2��/�)��+��-�)��4���+�2-�/�)*"��+�*"��4�0-)*"��4�*"��+�2- �"�"�/ ��������)*"��4�*"�-�4��
�����������)*"��+�*"�-�/��)��4��-�4�����)��+��-"
�"�"�/1
(D D (D + D 3 ) )xy
/1 1
31
1 1
D1
DD
D3
D3
���
���
���
���
���
���
. xy
/ +�1
12
3D1
DD
D3
D3
D3
D3
�
�����
���
���
���
���
...... ...... xy
/ +�1
13D
1DD
D3
D3
2DD9
���
��� ���
���...... ...... xy
/ +�1
13D
D3
D3
2DD9
DD
D3
���
���...... xy
/ +�1
3 329 2 3
02
3Dxy
y x x x ���
���......
/ +�1
2 3 629 6 6
2 2 3 2
3x y xy x x x x
���
���
/ +�1
2 3 3 629
2 2 3
3x y xy x x
x ���
��� �"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-����� �� �����!�������� ��"��!
���
���
13
x y2
xy3
x3
x6
29
x2 2 3
$
������$���������������� ������"
2��������E�����B��������;�/�(�
�"�"�/1
(D D )(D D 3) xy
��������� �������������� ��
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
/ +� 13(D D )
1D D
3
1
�
�����
xy
/ +� 13(D D )
1D D
3D D
3...
2
�
�����
���
��� xy
/ +� 13(D D )
1D3
D3
2DD9
...
���
��� xy
/ +� 1
3D 1DD
���
���
���
���xy
y x3 3
29
/ +� 13D
1DD
���
��� �
�����
1
3 329
xyy x
/ +� 13D
1DD
D
D...
2
2
���
��� ���
���xy
y x3 3
29
/ +�1
3D1D
xyy x
x ���
���
���
���3 3
29
13
0 ...
/ +� 13D
1
3D2xy
y xx �
����� �
�����3 3
29
13
/ +� 13 2 3 6
29
13 6 6
2 2 3 2x y xy x x x x ���
���
���
���
/ +� 13 2 3 3 6
29
2 2 3x y xy x xx
���
��� "
������� ���� �������� ������������� ������ ����� � ���� ������������������������������� ������
�� ������
������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ��#
��"���������! � B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#������
$ ������"����������� % B��"�BB�"�/B����/B���/B#�������
& B��"�B����B���0B�"�/#�������� ' B B���B�"�!# B���0B�"�/#��������"�4�����/���
2�34��3
����� �#������� �����#���� � �������� �����#�������� �����#���x2
34
$ �������� �#������� �#�"����"���������!
% ����� ��"��#��������� ����/�#���x y xy x x x2 3 2
4 4 1238 2
& ���������� �����#������� ��"��#�"�12
32
32
3214
2 2x y xy x y x ���
���
' ����� �#������� �����#�������� ��"�0�#���112
2 12 12 21 24 33 2 2 2( )x x y xy x xy x �
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� � �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������
,,,,,���������������
<B������� (� D>� D�!� 5�� �� ��6����� �� D� ��� D�>� �B��1
f(D, D )e
1f(a, b)
eax by ax by
����E��� �>�5!���8�
/�����3����!��Dr ax by r ax bye a e
���Ds ax by s ax bye b e
��� �� D Dr s ax by r s ax bye a b e "
� �)�$��-�eax by �/��)���-�eax by
�!��%���������������)�$��-$� ��%����)�$��-�ef a b
eax by
ax by
( , )
E�� �� ����� � � ���� �!����� ���������1
f ( )D, D$� �� ��!�
1f
eef a b
ax byax by
( ) ( , )D, D
�"
��������%����� ������������� ������� ������������������� �� �������#� ����������
���������%������ ��1 1
fe
f a beax by ax by
(D ) ( , ), D ��������������� ���������� ����#�
'��%�������������� ����#���'���������������������������������
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������
)�- �55��5��5��� ������� )��- �5��5�/ ������"
�����)�-�3����!� )���4����4����4���-��/�emx ny " """)*-
����4����4����4����/�)��4��-)��4��-�/�)*"��4�0"��4��-)0"��4�*"��4��- �"�"�/���������)*"��+�0"�-�4��
��������)0"��+�*"�-�/��������)�-�4��
������)+��-"
�"�"�/�1
DD D D
a b abemx ny """)1-
�����/��$���/�� ���4����4����4����/����4����4�������������/�)���-)���-��0 )������%����+��$����+��-
)1- �� �"�"�/�1
( )( )m b n aemx ny
<��%�����@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��
��� ������� �!����� ���� "��!���e
(m b)(n a)
mx ny
>
�������������������������� ������"
)��- 3����!� )���4���4�5-���/�����" """)*-
���4���4�5�����������"
��������� �������������� ��
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
�"�"�/ c eia x b y
i
i i
1
$� ������ ��4�� �4�5�/�0
/� c eia x a y
i
i i
( )2 4
1
"
�"�"�/1
44
D + D2 e x y """)1-
��/ 5$���/�+�* ���4���4�5�/�)5-��4�)+�*-�45�/�*:��0
)1- �"�"�/119
4e x y
<��%� @">"� /� �"�"� 4� �"�"$� ���� %������� � �������� � � )*-� �
z ci 1
ia x (a 4)yi i
2
1
19e4x y $� ������ ������ ����������������������"
�� ������
������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#
B��"�BB�"�/B#�����e x y2 � B��"�B����B�"�B#���� e x y2 3
$ B��"�4BB���B�"�!#�����e x y3 2 % B��"�BB�"�/B����/B���/B#�����e x y2 3
& B��"�B����B���0B�"�/#����ex y ' B��"�0BB���B���!#�����e x y2 3 �
2�34��3
z y e y x ex x y 12
221
2( ) ( ) � z y x e y x ex x y 1 2
2 316
( ) ( )
$ z c e eia x b y
i
x yi i
1
3 2135
������������"�4����������"�!���'
% z y x e y x ex x y 12
22 32
110
( ) ( )
& z e y x e y x ex x x y 21 2
14
( ) ( )
' z ce ea x b y
i
x yi i
1
2 317
������������"�0������������!���'�
� �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"-./� )����*�"��������������������01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"01-� )����*�"
��������%!����������� ������������������
�)�$��-���/ �)���-$� ������)���-�/����)���4���-�)������)���4���--"
�"�"�/1
f ( )D, D ����)���4���-�)������)���4���--
#��������!����������������%����/�+��$ ���/�+������ ���/�+��$����!������������������������D���"
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� �������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������
)�- �5�5 �5�5%, ��������,�
)��- �5�%55%,5���,5�,5 �������������,��� "
�����)�-�3����!� )��4��-)��4���+�1-���/����)��4�1�-" """)*-
)*�"���4�*�"���4�0-)*�"���4�*�"���+�1-��/����)��4�1�- �"�"�/ ���������)*"��+�*"�-�4��
������������)*"��+�*"�-
�"�"�/ �)�%�-�4������)�%�-"
�"�"�/1
(D D )(D D 2) ����)��4�1�- """)1-
B��� ��/ *$���/�1
���/ +����/�+�)*-��/�+�*$ ���/�+����/�+�)*-)1-�/�+�1$
���/ +����/�+�)1-��/�+�5"
)1- �"�"�/1
(D D ) 2(D D )2 ����)��4�1�-
/1
D D 2DD 2D 2D2 2 ����)��1�-
/1
1 4 2( 2) 2D 2D ����)��4�1�-
/ +�1
2D 2D 9 ����)��4�1�-
/ +�2D 2D 9
(2D 2D ) 812
����)��4�1�-
�
2D 2D 9
4 8 4 8122D DD D2 sin ( )x y
�
2D 2D 9
4 1 8 1 2 4 4 812
(– () )( ) (– )sin ( )x y
2D 2D 9117
2sin ( )x y
1117
�M1����)��4�1�-�4�5����)��4�1�-�+�:����)��4�1�-N
1117
�M,����)��4�1�-�+�:����)��4�1�-N
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��
������ ��"��!��������� ��"��!�+�1
117�G��6�3� ������!�"�#�3��� ������!H>
�������������������������� ������")��- �3����!� )���+����+�1���4�1��4�1�-���/���� ���4����)1��4��-" """)*-���+����+�1���4�1��4�1�/�)��4��-)��+�1�-�4�1)��4��-
�/�)��4��-)��+�1��4�1-�/�)*"��4�*"��4�0-)*"��+�1��4�1- �"�"�/ ���������)*"��+�*"�-�4��
��������)*"��+�)+�1-�-
��������� �������������� ��
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
����������������������������"�"�/��)��+��-�4�������)��4�1�-"
�"�"�/1
22 3
D DD 2D 2D 2D2 2 ( sin ( ))e x yx y
/1 2 3
D DD 2D 2D 2D2 2 e x y
4�1
2D DD 2D 2D 2D2 2
sin ( )x y
/1
2 2 3 2 3 2 2 2 32 22 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e x y
4�1
4 2 1 2 1 2D 2D2
( ) ( ) (– )sin ( )
x y
/ +�110
122 3e x yx y
2D 2Dsin ( )
/ +�110
22 32e x yx y
D D
2(D D2 )sin ( )
/ +�110
22 3e x yx y
D D2( 4 + 1)
sin ( )
/ +� 110
16
2 2 22 3e x y x yx y ( cos ( ) cos ( ))
/ +�110
16
22 3e x yx y cos ( )"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��
��� �� ��"��!���������� ������!�"�1
10e
16
cos (2x y)2x 3y >
������$���������������� ������"
�� ������
������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#
B��"�BB���B�"�!#����� �� ����/�# � B�"�B�"�!# B�"�B�"�/#��������� /����0�#
$ B��"�BB�"�/B#��������� 0����4�# % /BB���B��"�0B#�����0�� �� 0��"�/�#
& B�"�B�#����� �� ��"�0�# ' B����B# B�"�B�"�B�#��������� /�����#�
2�34��3
�������� �#������� �����#���12
2sin ( )x y
� �������� �����#�������� �����#���110
2 3 3 2 3[sin ( ) cos ( )]x y x y
$ ����� �#�������� �����#���115
3 4 2 3 4[sin ( ) cos ( )]x y x y
% ����� �#���������� /��"��#���350
4 3 2 3 3 2[ cos ( ) sin ( )]x y x y
& ���� c e x y x yib x b y
i
i i2
1
182
3 9 3
[sin ( ) cos ( )]
' ���� c e k e x y x yia x a y
ii
b b x b y
i
i i i i i
2 2
1 1
134
2 3 2( ) [5 sin ( ) cos ( )]�
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� � �� �� �� �� ����� ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ������ ������� ��&���� &���� &���� &���� &���� �!�!�!�!�!����������"�������"�������"�������"�������"������������������������������������������
,,,,,����������������# �# �# �# �# �!���!���!���!���!��"""""
����������%!������������� ������������������
�)�$��-���/ �)���-$� ������)���-�/��������G)���-"
�"�"�/1
f ( )D, D��������G)���-
#������!��������������%����� �������(
1f(D, D )
e V(x, y) e1
f(D a, D b)V(x, y)ax by ax by
"
������� ���� ����#�������������� � ����#���'�� ������������ ��������1
feax by
( )D D,
���
1f a b
eax by
( ),
�
������������$� �� ���
1 11
fe
feax by ax by
( ) ( )( . )
D D D D, ,
� e
f a bax by 1
1( )
.D + D +,
"
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������
)�- �5�%/55�/5��5%,5 ������
)��- �5�5%. �5�5%0 �5�5 ����������,��� "
�����)�-�3����!� )���+�5���4�5���4���+�1�-���/�����" """)*-
���+�5���4�5���4���+�1��/�)��+�1�-��4�)��+�1�-
/ )��+�1�-)��+�1��4�*-�/�)*"��+�1��4�0-)*"��+�1��4�*-
�"�"�/ ��������)*"��+�)+�1-�-�4����������)*"��+�)+�1-�-
/ �)��4�1�-�4������)��4�1�-"
�"�"�/1
2D( ) ( )D D 2D 1 ex y
""")1-
B��� ��/�*$���/�*"
������/�*$���/�*����+�1��/�*�+�1)*-�/�+�*��0�������+�1��4�*�/�*�+�1)*-�4�*�/�0
���"�"�/�1
D 2D 11
D 2D ���
���
ex y �/�1
D 2D 1 ���
���
11 2 1( )
ex y
/��1
2D 1D 1
.ex y
�/�+�����1
1 21
(D D 1) + 1 ) (.
/�+�ex y
12D
1D
�/� ���
���
ex y . .11 2 1
1
DDD
/� ���
���
ex y . ...... .1
1 2 1D
DD
�/� e xex y x y. ( )1
1D
"
��������� �������������� �
�����
!��������������������������������������
������������ ���� ����� ���
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��
������ ������!��������� ������!�"������$� ������$���������������� ������"
)��- 3����!� )��4���+�*-)��4���+�2-)��4��-���/���������)1��4��-" """)*-
����)*"��4�*"��+�*-)*"��4�*"��+�2-)*"��4�*"��4�0-��/�����������)1��4��-
�"�"�/ �������������)*"��+�*"�-�4��������������)*�R���+�*�R��-�4��
��������)*�R���+�*�R��-
/ ����)�%�-�4������)�%�-�4��)�%�-"
�"�"�/1
(D D 1)(D D 3)(D D ) ex y����)1��4��-
/ ex y
1
1 1 1 1 1 1(D D 1) (D D 3) (D D )����)1��4��-
�
ex y 11 1 2(D D ) (D D ) (D D )
����)1��4��-
�����������������
ex y 1 2
1 42 2. ( )
) ( )
D D
((D D ) (D D )����)1���-
������������������
ex y D D(D D ) (D D )2 2
22DD 1 2DD 42 2 ����)1���-
������������������
ex y D D 2
4 1 2 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 4( (– ) . . ) ( ( ) ( . ) ) ����)1���-
������������������
ex y D D 2130
����)1��4��-
������������������ 1130
ex y �)1����)1��4��-�4����)1��4��-�+�1����)1��4��--
������������������ 1130
ex y �)2����)1��4��-�+�1����)1��4��--"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �)*-��
��������� ��"��!��������� ��"��!����� ��"��!
1130
ex y � ��6�3� ������!�"���3��� ������!!>
������$��$���������������� ������"
�� ������
������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#
B��"�BB���B�"�!#������� � B��"�BB���B�"�!#�������
$ B��"�B#��������� % B��"�B��"�0B���0B#��������������
& B����BB���B���B�"�!#���������� �������# ' B B�"�/B# B���B#���������� �����4��#��
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
2�34��3
�������� �#������� �����#�"���� � �������� �#������� �����#���12
xex
$ ���� c e yeia x a y
i
x yi i
2
1
% ����� �����#�������� ��"��#�"�16
19
19
118
227
2 2 3 2x y xy x x x xex y
& ���� c eia x b y
i
i i
1
������� ����������3����/����!;#�����������������������������"�!���'
' ����� �#���� ����/�#���� ��"��#�"�181
9 36 18 72 762 2 2( )x y x y ex y �
��������� �������������� ��
�����
��������������������������"��� �#���������������
����� ����� ���
�������������������������������������������������������
#��� �� � ����!�� �����������%� ���� �������� � � ������ ������� � ���������������� ������� ������������� ����"��� � ��������������������������� ���!�%������������������ ��������������� ����������������� ���!��������� ��������������������� ������%�������������������� ����������������� ������������ ����"
���������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ����������� ��� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� + + + + +������������������������������&����&����&����&����&����##### �� ����������� �� ����������� �� ����������� �� ����������� �� �����������
��� �)��$���-�/��)���- """)*-
������������������� ���������������� ���!��������� ����"�B�����)��$���-������� ������� ��������������������)*-������������������������ ���������������"#��� ���� �%����� ����� � � ����������� � �������� ��������� � � ���� ���� �)��$� ��-/��)���-�(
)�- �����+������/����
)��- )�����+�1�����4������+����4�2��-���/�L)�K�-)���- ����+�����4����+����/���%��"
���%������$������������������������� ������������������� ����� ����(
a xz
xa x y
z
x ya y
z
yx yn
n
nn
n
n nn
n
n0 11
1
...... ...... ( , )F
#���������������������� ��������
( ...... ......) ( , )a x a x y a y z x yn n n nn
n n0 1
1 1D D D D F "
+� ����� ��������������������� �)�,��������������(����)������
)�����)�����
���������
����������
=��������������������� ����������������� ���G���������� ����
>�������� �=��������������������� ����������������� ���G��������� ����
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ���������������������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ���������������������� ��� � � � � ��� ��� ��� ��� ��� �
�������� ����������� ����������� ����������� ����������� �������� ������������������������������&����&����&����&����&����##### �� �� �� �� �� �� �� �� �� ������������������������������������������
�����)��$���-�/�( ...... ......) ( , )a x a x y a y z x yn n n nn
n n0 1
1 1D D D D F
""")*-
��������������������������� ���������������� ���!��������� ����"
�� ���!��������������!������/���%���������!�/���%��" ��/ �� ��� ����"
��� ���/u
��� ��/�v"
�� xzx
xzu
ux
xzu x
zu
1
xx u
�� ���/��� """)1-
����$�xx
xz
xx x
zx
n xz
xn
n
nn
n
nn
n
n
���
���
� �
�
11
11 2
1
11( )
/� xz
xn x
zx
nn
nn
n
n
( )1 11
1
xz
xx
xn x
zx
nn
nn
n
n
���
���
( )1 11
1
xx
xx
n xx
nn
nn
n
n
���
���
1 11
1
�� �����/ )���+���4�*-���������
�� �����/ )���+���4�*-���������" """)2-
3�����/�1$���)2-� �����/ )���+�*-����/�)���+�*-��
�����/ ��)���+�*-
3������/�2$���)2-�� �����/ )���+�1-������/�)���+�1-���)���+�*-
�����/ ��)���+�*-)���+�1-���"
#���$� ����!� ���/���$������/���)���+�*-$��
����/���)���+�*-)���+�1-$�""""""
>������$� ����!�����/���$������/���)���+�*-$��
����/���)���+�*-)���+�1-�""""""����$ �����/ ����$
��� ���������/ ��)���+�*-�""""""�)���+���4�*-��)���+�*-�""""""�)���+���4�*-">��������%�������!�����$�����%!����������� ������������������������������
� ���������������� ������������� ��������� ��������������!�������������O!"#����������������!������&�� �����������������������!������� �������!������������������������������"�#������������������%���������������� �����%!����������"
��������� �������������� ���
�����
��������������������������"��� �#���������������
����� ����� ���
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� �����������������������
)�- xz
x2xy
zx y
yz
yx
zx
yzy
z 022
2
22
2
2
)��- xz
x4xy
zx y
4yz
y6y
zy
x y22
2
22
2
23 4
)���- ���%������%������
)�!- xz
x2xy
zx y
yz
ynz n x
zx
yzy
x y x22
2
22
2
22 2 3
���
��� �"
�����)�-�3����!� xz
xxy
zx y
yz
yx
zx
yzy
z22
2
22
2
22 0
"
)�����4�1�����4������4����4����+�*-���/�0 """)*-��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��" ��/ �� ��� ����"����$ ���/���$ ���/���$ �����/���)���+�*-$����� /�����$��
����/���)���+�*-$
��������/�u��������/�
v�"
)*- )��)���+�*-�4�1�����4���)���+�*-�4����4����+�*-���/�0 )��
��4�1�����4���
��+�*-���/�0 ))���4���-
��+�*-���/�0 )���4����+�*-)���4����4�*-���/�0 �)*"���4�*"���+�*-)*"���4�*"���4�*-��/�0" ��/ �������������)*"!�+�*"�-�4��
��������)*"!�+�*"�-/ ����)!%�-�4�����)!%�-
/ ��)��%���+���%��-�4�1x��)��%���+���%��-
/ xyx x
yx
1 21
log log���
���
���
��� �/� x
yx x
yx
1 21�
�����
���
��� $�)���-
#���%�����������������z xyx
1x
yx1 2 �
�����
���
��� $� ������$���������������
������"
)��- 3����!� xz
xxy
zx y
yz
yy
zy
x y22
2
22
2
23 44 4 6
"
)�����+�5�����4�5�����4�,��-���/����� """)*-��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��" �� �� �������� ����"����$ ���/���$����/���$��
����/���)���+�*-$������/�����$�����
��/���)���+�*-$
���� �����/�u��������/�
v"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
)*- )��)���+�*-�+�5�����4�5��)���+�*-�4�,��-���/�������
)����+�5�����4�5��
��+����4�1��-���/���� ��
))���+�1��-��+�)���+�1��--���/��
�� ��
� �)���+�1��-)���+�1���+�*-���/���� ��
�)*"���+�1���4�0-)*"���4�)+�1-���+�*-���/����� ���
��"�"�/��������)*"!�4�1�-�4���������)*"!�4�1�-
/��)1��4�!-�4�����),��4�!-�/��)1���%���4���%��-�4���)1���%���4���%��-
/��)��%����-�4���)��%��
��-
/��)���-�4���)�
��-$����
��"�"�/�1 3 4
( )D 2D )(D 2D 11 1 1 1 e u v """)1-
B��� ��/�2$���/�5
����/�2$����/�5 ���+�1���/�2�+�1)5-�/�+�6��0��� �� ���+�1���+�*�/�2�+�1)5-�+�*�/�+�,��0
)1- �"�"�/�1
5 6130
3 4 3 4
( )( ) e x yu v "
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
������ ���!������ �
��!�4�1
30x y3 4 $� ������$���������������� ������"
)���- 3����!� ����+�����4����+����/���%��"
��)�����+������4����+���-���/���%�� """)*-
��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��"
��/ ��� ��� ��/���
����$ ���/ ��$����/���$������/���)���+�*-$ �����/���)���+�*-$
����� ���/�u��������/�
v�"
)*- ����������������)��)���+�*-�+���)���+�*-�4����+���-���/�� )��
��+����-���/�� )���4���-)���+���-���/�� ���������)*"���4�*"���4�0-)*"���4�)+�*-"���4�0-��/�� �"�"�/ ���������)*"!�+�*�"��-�4��
��������)*"!�+�)+�*-"�-
/ �)!%�-�4��)!��-
/ �)��%���+���%��-�4��)��%���4���%��-
/ 1 logyx
���
��� �4��)��%���-�/�1
yx
���
��� �4��)��-$ )���"-
�"�"�/ 1 12 2 2
1
D D D1
DD1 1 1
12
12
���
���
u u
/1
2D1
DD1
12
12
���
���...... u�/�
10
6162
33
D1
( ) (log )uu
x "
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
zyx1 �
����� �4�2
3(yx)16
(log x) $� ������$���������������� ������"
��������� �������������� ���
�����
��������������������������"��� �#���������������
����� ����� ���
)�!- �3����!� xz
xxy
zx y
yz
ynz n x
zx
yzy
22
2
22
2
22
���
��� �4��
��4����4���"
)�����4�1�����4������+�����+�����4��-���/����4����4��� """)*-
��� ��/ ��%�� ��� !�/���%��"
��/ �� ��� ����"
����$ ���/ ��$ ���/���$ �����/���)���+�*-$������/�����$
�����/ ��)���+�*-$� ��������/�u��������/�
v�"
)*- )��)���+�*-�4�1�����4���)���+�*-�+�����+�����4��-���/ ����4�����4����
)����4�1�����4���
��+����+����+�����+�����4��-���/ ����4�����4����
))���4���-��+�)��4�*-)���4���-�4��-���/ ����4�����4����
)���4����+�*-)���4����+��-���/ ����4�����4����
)*"���4�*"���+�*-)*"���4�*"���+��-��/ ����4�����4����" �"�"�/ ��������)*"!�+�*"�-�4��
������)*"!�+�*"�-
/ ����)!%�-�4������)!%�-�/�xyx
xyx
n 1 2log log���
���
���
���
/ ��)�K�-�4����)�K�-$ )���"-
�"�"�/1
12 2 3
(D D (D D1 1 1 1
) )( )
ne e eu v u
/1
11
12 2
(D D (D D (D D (D D1 1 1 1 1 1 1 1
) ) ) )ne
neu v
4�1
13
(D D (D D1 1 1 1 ) )ne u
���/�1
2 1 01
0 2 1 0 21
3 0 1 3 02 2 3
( + 0 (2
) ) ( ) ( ) ( ) ( )ne
ne
neu v u
���/�1
21
21
2 32 2 3
nx
ny
nx
( )�"
<��%�@">"�/��"�"�4��"�"$�����%���������������� �����%!������������
z xyx
xyx
12 n
(x y )1
2(3 n)x1
n2
2 2 3 ���
���
���
���
$
�������������������������� ������"
$%&'()*��<�/��%-��%,.()*� �D>��D�!���- �>��!
�����(� *����/��������!����"
�����((� 4���������������������������������!������������!�������%��/����������/���"9������������������������������������������������������������������"
�����(((� �������������������������������������������3����((�
�����(.� :������������������������������!����")����!�������������������������!����������"
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� �� ����
������������������ ���� �� ������� �� �������������������������������� ���#
xz
xxy
zx y
yz
y2
2
2
22
2
22 0
� xz
xxy
zx y
yz
yy
zy
z22
2
22
2
23 2 5 2 0
$ xz
xy
z
yx
zx
yzy
22
22
2
2 0
% xz
xy
z
yxy2
2
22
2
2
& xz
xy
z
yx y2
2
22
2
22
' xz
xxy
zx y
yz
yx ym n2
2
2
22
2
22
�� ��� ��'��!
( ����"�0������/�����������/���������/� ) ������/����"������x
y
3
2
* ���"������� ! ������/������������ �������#���
����"�����"�/���������"�/������ ��yx 1
2� ����"�4����"�4���"����������� ����
2�34��3
���� 1 2yx
xyx
���
��� �
����� � ����x xy
xx y2
1 221 ( ) ( )
$ ����� ��#����yx
���
���
% ����� ��#�����yx
���
���������� ���
& ����� ��#�����yx
���
������
12
����
' �����yx
���
��������
yx
���
������
x ym n m n
m n
( )( ) 1
( ����� ��#���� ���#�������� ) ����� �#������
y
x2������ �"�
x
y
3
29
* ����� �#������ �#���12
������ ��� ! ���� 1 2
2 2 2
1yx
xyx
x yn n
n������
������
( )( )
/
����� ���#���2
2 212
14
yx
x y x���
��� (log ) log (log )
� ���� c x y x yy
ia b
i
i i
1
2 2 16 15225
( log )����������
��"�4����"����"�!���'�
��������� �������������� ���
�����
�����$��������������
�������������������������������������������������������
������������������� ����������������������� ����!�%������������������ �������������� ����������������� ���!��������� ����� ��� ������������ ���%� ������� ��� ������������� � �������� ��������� ��� �������� �� ����� �����%�%����������������!�������"�>��!�%�����%!����������� ��������������� ���!��������� ����������������������&"�3��������!�%�������������������������"
� �� �� �� �� ��� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� ����� ���������� �������� �����������������2�����������������2�����������������2�����������������2�����������������2
�� ������� � �������� �������� � � ���� ������ ������ �� � � ���� ����)���������������-�/�0"��������������������������������������� ����������������� ���������������������!��"�;��%�7�������������������������!���������������������� ����������� ������������"
������� ������� ������� ������� ������� ������� �������� �������� �������� �������� �
��� �)���������������-�/�0 """)*-
������������� ����������������� ������������"������������ ����� ������/�)!-$� ������!����� �������� ������������������������������ �����$���������������������������;���� � � )*-� � ���� %!��� ������� � �������� �������� )*-� ����� ��� ���!��� ���������%�������������� ������"
�����'�������px
1���%��/�)�-��������������������%����� �����������������/�*$
�������� ��������%�px
1���%���/�)�-� "�"�"���� ��%���
py x y 1 1
0. ������+� 10
xy ���
����/�*"
-� &��'�.��&���� �
���������
����������
�������� ����������������� �>����������
����������������%���
;��%�7��;������
;��%�7��;������� ����!�%�=��4�>��4�#��/�G
;��%�7��;������� ����!�%�=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
��������������� �� ��� �� ������������������������� ����������������������������$�� �� ����� ��� ������������������������������������� �� ����������������������� ��� �� ������������������������������������� �� ����� ��� �����
����%������������%������������%������������%������������%��������
��� =��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G """)*-
������������� ����������������� ������������$� �����=$�>$�#$�<$�G����� �������� ���������"������������� ����� ����)*-���������������������� ����������"�;��%�7������������������������!���������!�������������� ����� ����)*-"
������������ �<�/�0$������)*-�����������=��4�>��4�#��/�G"�3������������������%���������<�/�0�����<��0�����������"
����%������������������%������������������%������������������%������������������%��������������#�����#�����#�����#�����#�����33333��������������������-----��������������������44444���������������#####
��� =��4�>��4�#��/�G """)*-
��������!������������� ���������������$� �����=$�>$�#$�G����� �������� ����������"
>��������� ������� ��������$� ����!�
���/
px
dxpy
dyz
xdx
zy x
dy 2
2
2
�/��������
��� ���/
qx
dxqy
dyz
x ydx
z
ydy
2 2
2 �/��������"
>��!�%���������������� ����������$� ��%��� rdp sdy
dxt
dq sdxdy
and "
)*- �=�dp sdy
dxs
dq sdxdy
���
���
���
���S T �/�G
�M=)��-��+�>������4�#)��-�N�/�=������4�#������+�G����� """)1-
#������������(� =)��-��+�>������4�#)��-��/�0 """)2-
��� � =������4�#������+�G������/�0 """)5-
����������1��;�C3�� ������3��#�����������)2-�������!���������������������� �����"
A�3��(������ =)��-��+�>������4�#)��-��/�)�����4�E���-)�����4�E���-�/�0"
����������� ����!��� ���������������
A BR T V
1 1 00
dy dxdydp dxdq dxdy
�� """)6-
��� ��A B
R T V2 2 0
0dy dx
dydp dxdq dxdy
�� """),-
�����������)6-�������%�����"�������/��)���������-�/�������!�/�!)���������-�/������ �������������)6-"
��/�)!-��������������������%����� �)*-$�������/��$�!�/������� ��)1-���������)*-"�� ��������),-�����������%�����$� ��%�������������������������%���"�#������������������%������������!������ �������!������� ������������������ ��������"�#��!������� �����������������������������/�����4����"�#��������%���������%������
��������� �������������� ��
�����
�����$������%���������������� �)*-"�������� ��%���������������������������%������� �� ���������������������������������%��������� ���'�������������� �������4�?��/�=�����������%���%�7����������� �������%���������������� �)*-"
A�3��((������=)��-��+�>������4�#)��-��/�)����4�E��-��/�0������/��)�$��$��$��$��-�/��$�!�/�!)�$��$��$��$��-�/������� ������������
����4�E���/�0=�����4�#�����+�G�����/�0
��/�)!-��������������������%����� �)*-$�������/��$�!�/������� ��)1-���������)*-"�3���'�������������� �������4�?��/�=�����������%���%�7������������ ������%���������������� �)*-"
<����(��� ������3�;�E��;��4���3���6������������������;���3����5��B�����3���������B��;�������3��������
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1������(� 9��������!�������������������;��(��)��<"
�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���$�����������
;��� �%(�����)��� ��' """).-
��� ;�����)����%<�����' """),-
�����(((� ���������. ����������������������"
�����(.� ��������������������������"(��!���������������!�����������>�"
�����.� *���������������������������������������������������������!����������"
�������������
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������
)�- �%�������������' )��- ����%� %����%�� ���%��"
�����)�-�3����!����+���������4���������/�0"
��+���������/�+�������� """)*-
�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��
=�/�*$�>�/�0$�#�/�+������$�G�/�%�������"
#���1��;�C3�� ������3�����(
=)��-��+�>�����4�#)��-��/ 0 """)1-
��� =�����4�#�����+�G�����/ 0 """)2-
)1- )��-��+������)��-��/ 0
)���+�������-�)���4�������-�/ 0
���+��������/ 0 """)5-
��� ���4��������/ 0 """)5-)2- *"�����4�)+�����-������+�)+��������-������/ 0
�����+�����������4���������������/ 0 """)6-
3��������������������)5-�����)6-"
����%����%�)5-$� ��%�� ��+������/ �
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
)5- ���/��������"������%�����!������ ������)6-$� ��%������������+������������4��������������������/ 0
��������)���+���������4�����������-�/ 0 ���+���������4������������/ 0
)�������������-�+���������/ 0 ;�������%��������$� ��%��
)��������4����������������-�+����/ 0 �)������-�+����/ 0
����%����%$� ��%�� �������+���/ ���� ��/ )�-$����������" �������+���/ )��+�����- """),->�������������!�%�)5-�����)6-$� ��%����������4���/�)��4�����- """)9-
>��!�%�),-�����)9-$� ��%��
��/1
2 sec x�))��+�����-�4�)��4�����--
��� ��/ +�12�))��+�����-�+�)��4�����--
�� ���/ �������"
���/cos
( ( – sin ) ( sin )x
y x y x dx2
+12
( ( – sin ) – ( sin )) y x y x dy
���/12( – sin ) (cos – )y x x dx dy �4�
12 ( sin ) (cos )y x x dx dy
���/ +�12( – sin ) ( – sin )y x d y x �4�
12( sin ) ( sin )y x d y x
����%����%$� ��%��
��/ – ( – sin ) ( – sin )� 12 y x d y x �4�� 1
2( sin ) ( sin )y x d y x
��� �� ��"�3����!����� ����3����!> � 3���!#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����$� �� ���� ��������
������"
)��-�3����!�� ����)��+��-�+��)���+���-�/����+���" ���%)���+���-��%���/����+��� """)*-
�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��=�/���$�>�/�+����4���$�#�/�+���$�G�/����+���"
#���1��;�C3�� ������3�����(=)��-��+�>�����4�#)��-��/ 0 """)1-
��� =�����4�#�����+�G�����/ 0 """)2-)1- ��)��-��4�)���+���-������+���)��-��/ 0
)����+����-)�����4����-�/ 0 ���%����/ 0 """)5-
��� ��������/ 0 """)5-)2- ������%������%)���+���-�����/ 0 """)6-
��������� �������������� ���
�����
�����$������3��������������������)5-�����)6-$
)5- ���� ��� dyy
dxx
����%����%$� ��%�� ��%���/ ��%���4���%��
��%�yx�/ ��%��
yx�/��"
)6- ���"����+����"���%���"����4����"����/ 0
���%���%��������/ 0 ME�����%�)5-N
)�������-�+�)�������-�/ 0
�)��%��-�/�0 ��%���/��
������/�)�-" ���+����/�)�K�- """),-
�� � ��������������������)5-�����)6-")5- �)���4���-�/�0 ���4����/��
)6- ���"���%���"���%���"�������"����/�0
����������������/�0 ME�����%�)5-N � )�������-�4�)�������-�/�0
�)��-�4��)��-�/�0 �)�����-�/�0 ������/�1"
��� 1�/�)�-" ������/�)���4���- """)9-
3��%���� ����������������%������ �)*-"
>��!�%�),-�����)9-� ����������$� ��%��
��/x x y y y x
x yq
y x y x y x
x y
( ) ( / ) ( ) ( / )2 2
2 2
2 2
2 2
and �"
�� ���/ �������
���/x x y y y x
x ydx
y x y x y x
x ydy
( ) ( / ) ( ) ( / )2 2
2 2
2 2
2 2
"
���/ ( )
( )( / )
( – )x y
x yxdx ydy
y x
x yydx xdy
2 2
2 2 2 2
���/ ( )
( )( ) –
( / )( / )
–x y
x yd x y
y x
y x
xdy ydx
x
2 2
2 22 2
2 22 1
���/ ( )
( )( ) –
( / )( / )
( / )x y
x yd x y
y x
y xd y x
2 2
2 22 2
22 1
����%����%$� ��%��
��/ � �
( )( )
( ) –( / )( / )
( / )x y
x yd x y
y x
y xd y x
2 2
2 22 2
22 1"
��� �� �������!����� �@�!> 3��!�
#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����$� �� ���� �������� ������"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
<����((��� ������3�;�E��;��4���3���6������������������;����������������3��3���������B��;�������3��������
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�
�����(� 9��������!�������������������;��(��)��<"
�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���$�����������
;��� �%(�����)��� ��' """�.
��� ;�����)����%<�����' """�,
�����(((� ���������. ����������������������"
�����(.� ?��������������������������������������������"(��!������������������+����������� �� �� ��� ������ �������� �� ��� �!����������"
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������
)�- ��%� ����%� ���%��' )��- ��%� ���%��%����� ����� ��%� "�����)�-�3����!����)��+��-��4�)�%�-��4��%��/�0" ���4�)�%�-��+����/��%� """)*-�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��
=�/��$���>�/��%�$���#�/�+��$���G�/��%�"#���1��;�C3�� ������3�����(
�=)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-��� �=�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-
)1- �)��-��+�)��+��-������+��)��-��/�0 �)�����-)���%���-�/�0 ������/�0 """)5- ��� ���%����/�0 """)5-
)2- �����%�����%)�%�-������/�0 """)6-3��������������������)5-�����)6-"����%����%�)5-$� ��%�����4���/��")6- �����%�����%������������/�0 ������4�����)+���-�4�����)+���-�4�������/�0 ����������������/�0 )� ���%��- �)�������-�4�)����4����-�/�0 �)��-�4��)��-�/�0 ���4����/����� ��/�)�-" ������/�)���-#���������%���%���������������"
��'����������������� dxy
dyx
dzx y
( )
"""),-
),- dxy
dyx
���%����/�0 12
02 2d x y( )
���+����/�1$� �����1�����������"
),- � dxy
dzx y
dx
x k
dz
x x k
�� �� ( ) 2 2
��������� �������������� ���
�����
�����$������
���/� x x k
x k
�� ��
2
2��� """)9-
��/���4� x k2 ��
/� 12 2
����
����
x
x kdx
u
x kdx
dx
x k
duu2 –
)9- ���/�)�-�"�duu
dzu
udu ( )
����%����%$� ��%��
��/ � ( )uu
du b "
��/ �)�-�4��$ ���
��/ �( – )x x k 2 �4���)�-$ ���
��� �� �����!����� ���"���!�
#��� �� ����%������� �������� � � ����%!��� �������"�B�����$� �� ���� �������� ������"
)��- 3����!�� )��+��-�)���+����+����4���-�/�)��4��-�)��+��-"
)���+���-���+�)���+���-���4�)���+���-���/�)���-�)��+��- """)*-
�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��
�=�/����+���$���>�/�+�)���+���-$���#�/����+���$���G�/�)���-�)�%�-"
#���1��;�C3�� ������3�����(
� =)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-
��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-
)1- )���+���-)��-��4�)���+���-������4�)���+���-)��-��/�0
� �)��-��4�)���-�����4��)��-��/�0
� � )����4����-)�����-�/�0
��������/�0 """)5- ��� ������/�0 """)5-)2- )���+���-������4�)���+���-������+�)��4��-)��4��-������/�0
3��������������������)5-�����)6-"
)5- �)��-�/�0 ���/��"
)6- )�%�-��"����4�)�%�-��"����+�)�%�-��"����+�)�%�-��"����/�0
��)��+��-���+�)�%�-���+�)�%�-���4�)�%�-���/�0����������)� ����%���-
�)�%�-)���+���-�+�)��+��-)���+���-�/�0
�dp dq
p qdx dyx y
d p qp q
d x yx y
( ) ( )
����%����%$����� ��+���/��)�%�-"
��� ��/�)�-" ��+���/�)�%�-�)��-"#���������%���%���������������"
��'������������������dx dy dz
x y xy1 1
– ( ) ( )"""),-
),- ���/�+��� ����/��"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
#�&�%��)��-$��)��-$�*�������������$����� ������� �),-
/�y xy dx x xy dy dz
y xy x xy x y xy
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
�/�
y xy dx x xy dy dz ( ) ( ) 0
"
� y xy dx x xy dy dz ( ) ( ) �/�0
)��-)�������-�4����/�0 )��-��)��-�4����/�0
����%����%$����� �)��-�4���/������/��)�-" �)��-�4���/��)���-
#���%���������������� �����%!������������
������ �����!�"��� ��!>� �������������������������� ������"
<����(((��� ������3�;�E��;��4�������6�������������������;���3�
$%&'()*��<�/��-%&��%,.()*�/&%0,�1�
�����(� 9��������!�������������������;��(��)��<"
�����((� (������������!�������;�(�)�<�����=���$�����������
;��� �%(�����)��� ��' """�.
��� ;�����)����%<�����' """�,
�����(((� ���������. �����������������������"
�����(.� ?��������������������������������������"(��!������������������+��������������������������������������!����������"
�������� ��� ��� ��� ������ �������� �� ��� �������� ������� ����������������������
)�- ���%,�������2� ������)��-���%� ����%,������� ����� ���%� "
�����)�-�3����!������+�1���4���/���4�,�" """)*-
�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��
=�/���$���>�/�+�1�$���#�/�*$���G�/���4�,�"
#���1��;�C3�� ������3�����=)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-
��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-
)1- ��)��-��4�1�������4�)��-��/�0
)����4���-��/�0 ����4����/�0 ���/�+���� """)5-
����%����%$�������/�+�y
a2
2 ���4�1��/���� �������/�1�
)2- �������4�*"�����+�)��,�-������/�0 """)6- �������+�������4��)��4�,�-�)��-��/�0
����+����4�)��4�,�-����/�0
)����4����-�+����4�,����/�0
����%����%$� � ���+���4�2���/�1"
��� 1�/�)�-" ���+���4�2���/�)���4�1�-
#���������%���%���������������"
#�����'�����������������
dxy
dy dz
y x y
1 2 32 2( )
"""),-
��������� �������������� ���
�����
�����$������),- dx
ydy 1
����4����/�0 ���4�1��/��
),- +����/�dz
c y( ) 3 2 )2���+�)�--����/���
����%����%$���� ���+��)�-�/���4��"��� ��/��)�-
�����"��� �������!��������� �������!�
#���������%���������������� �)*-"�B����$���������������� ������"
)��- 3����!�� �)��+��-)����+�1����4����-�/�)��4��-��)��+��-"
���)��+��-����+�1��)��+��-��4���)��+��-��/�)���-��)��+��- """)*-
�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��/�G$� ��%��
=�/�)��+��-��$��>�/�+�1��)��+��-$��#�/���)��+��-$��G�/�)��4��-��)��+��-"
#���1��;�C3�� ������3���� =)��-��+�>�����4�#)��-��/�0 """)1-
��� =�����4�#�����+�G�����/�0 """)2-
)1- � �)��+��-���)��-��4�1��)�%�-�����4���)��+��-)��-��/�0
�� �)��+��-)����4����-��/�0 ��������/�0 ���/�0 ��/��"
)2- � )��+��-��������4���)��+��-������+�)���-��)�%�-������/�0
�)�%�-�M���"����4����"���N�+�)���+���-�M���"���4����"��N�/�0
)��+��-�)���%���-�+�)���+���-�)+����4���-�/�0)� ��������/�0-
���%����+�)���+���-�d x y
y x( )
0
���� pq
p qd x y
x y���
���
( )( )2 2 0
���d x y
x y p qd
pq
( )( / )
���
���
11
02
����%����%$� ��%�����%�)�%�-�4�12
11
12
log//
logp qp q
b
"
)��+��-��p qp q
b
��� ��/�)�-" )��+��-��p qp q
z
( )
)��+��-��)��+��-�+�)��4��-�)�-�/�0 �))��+��-��+�)�--�+��))��+��-��4�)�--�/�0 """)5-
#���������%���%���������������"�#�����'�����������������
�dx
x y z
dy
x y z
dz
( ) ( ) (( ) ( ))
2 2 0 """)6-
)6- ���/�0 ��/��"
���� ������� �)6-� /�dx dy
zdx dyx y
2 2 2( ) ( )
�)��4��-�/�+�)�-� d x yx y( )
( )
2
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ����%����%$� ��%��� ��4���/�+�)�-�"� ( )x y
d
1
1"
��4���+� ( )zx y
d
��� ��/�)�-"
x y(z)
x y(z)
"
#������������������%���������������� �)*-"�B����$��������������� ������"
�� �����
����� ������������ � ���� �� �� ���� � �� �������������������������� ������ �����������6 ���3������ ��#
������ � ��"������������/�������
$ ��"��#���� ��"��#� % ������������
& � !����#��"� ��������/��#����� !����#����' ' �� �����#��� ���"���# ��"�/#������"���
( ����"�����"�/�����/����' ) ����"�/�������������'
* ������/����������������������'
2�34��3
����� ��"��#���� �����# � ����� ���������#���� ���������#
$z
x y ���� �����#���� �&�# % ���������� �#���� �#
& ����� �#���� ���������# ' ���������� �������#���� �&�#
( ����� ��#����� �&�#���� ��# ) ������ ����� ���#���� ����� ���#
* ����� ���"���#�� �� �����#���� ���"���#�
:���
$ %��������������������������������"������ �&�# ��� ��������"������ �����#�8 ������� �����������������
�����1
x yz g x y yf
yx
���
���
�
�
��( )
��� ������1
x yz g x y xf
yx
���
���
�
�
��( ) �
���������������1
x yz g x y yf
yx
dx
���
���
�
�
��( ) ���
1x y
z g x y xfyx
dy
���
���
�
�
��( )
�������� �����#�������� �����#���� �����#�� �����#��� fyx
���
���� ����"����#
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( / )
( / )( / )
x y dz zd x y
x y
g x y
x yd x y
f y x
y xd y x
2 2 21
�
��������� �������������� ���
�����
�����$����������%������������������%������������������%������������������%������������������%��������������#���#���#���#���#��������33333��������������������-----��������������������44444���� ���� ���� ���� ���� 3333344444�5��5��5��5��5�-----�����"���"���"���"���"���#####
��� ��������=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G """)*-
��������!������������� ���������������$� �����=$�>$�#$�<$�G����� �������� ����������"
>��������� ������� ��������$� ����!�
���/�
px
dxpy
dyz
xdx
zy x
dy rdx sdy 2
2
2
��� ���/�
qx
dxqy
dyz
x ydx
z
ydy sdx tdy
2 2
2 "
>��!�%���������������� ����������$� ��%�����/�dp sdy
dxt
dq sdxdy
and �"
)*- R S Tdp sdy
dxs
dq sdxdy
���
���
���
���
�4�U V( ) ( )dp sdy dq sdx
dxdys
���
���
2
�M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N
/�=�����4�#�����4�<�����+�G���� """)1-
#������������(�=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-�/�0 """)2-
��� =�����4�#�����4�<�����+�G�����/�0 """)5-
����������1��;�C3�� ������3��B���$�������������)2-���������� ������"
�����/�)���������-������ ��������������
M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N�4�=�����4�#����
4�<�����+�G����
��� ���������"
����M=)��-��+�>�����4�#)��-��4�<)�����4�����-N�4�=�����4�#����
4�<�����+�G����
/�)�����������-�)���4����4���-
/��)��-��4�)��4��-������4��)��-��4������
4�������4�������4�������4�������/�0
�������%��� ����$� ��%��
��/ =$���4���/�+�>�+�G$���/�#$���/�<$���/�<$��/ =$���/�#$���/�<"
��� ��/ $��/�=" ��/�=���� ��/ < �/�<$���/�=� ����=�/�= ��/�*$
��/ < *�"��/�< �/�<$���/�# �<�/�# ��/�#K<"
��4���/ +�>�+�G )<-�4�)#K<-�=�/�+�>�+�G """)6-
<���4�><�4�#=�4�<G�/�0��� �$����������������� �)6-"
3����!���)�����������-)���4����4���-�/�0 """),-
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� #�&�% �/��$�),-�������� 1 11 0dy dx dp dy dx dq �
����� T
UR U U. ( )
��)�<���4�#���4�<��-�)=���4��<���4�<��-�/�0""")9-
>������$���&�%��/��$� ��%���)�<���4�#���4�<��-�)=���4��<���4�<��-�/�0""")L-
���������)9-�����)L-�%!�� ������������� ���������(
1
2
00
U T UU T U
dy dx dp
dy dx dp
��
"""):-
1
2
00
U T UR U U
dy dx dp
dy dx dq
��
""")*0-
2
1
00
U T UR U U
dy dx dp
dy dx dq
��
""")**-
R U UR U U
dy dx dq
dy dx dq
��
1
2
00
""")*1-
>�������%����������� �):-$� ��%���)��+��-�<���/�0"
� ����$������<���/�0���������$� �������������"
>������):-����������%!����������������%���"
>������$� ����S����������)*1-"
3����!�������� ����������%!������� (
1
2
00
U T UR U U
dy dx dpdy dx dq
�
""")*0-
2
1
00
U T UR U U
dy dx dp
dy dx dq
��
""")**-
#�����������)6-�������!���������������������������"
A�3��(������������ ���� ���� ����!�� � �������� �������� )*0-� ���� )**-"����� ������� )*0-� ��
���%�����"�������/��)���������-�/��$�!�/�!)���������-�/������� �������������)*0-"
��/�)!-��������������������%����� �)*-"� ��������)**-�����������%�����$� ��%�������������������������%���"�#����
��������������%������������!������ �������!������� ������������������ ��������"�#��!������� ��� ������ ���� ����������� �����/�����4����"�#��� �� ���%������ ���%��� ���%���������������� �)*-"�������� ��%��������������������������%������� �� ���������������������������������%��������� ���'�������������� �������4�?��/�=����������%���%�7������������ ���������������� �)*-"
A�3��((�������������������� ����!�����������������)*0-�����)**-"������������)*0-�������%�����"
������/��)���������-�/��$�!�/�!)���������-�/������� �������������)*0-"
��/�)!-��������������������%����� �)*-"�3���'�������������� �������4�?�/�=�����������%���%�7������������ ���������������� �)*-"
�������������������� ����� �� ������������������� ��� �� ���������� �������������������������� ��������� ���� ��� ������������������ ��������
��������� �������������� ��
�����
�����$�������������������
����������� ��������������������������������������������������������)�- ��/������%���, )��- 0��������%���%@"�����)�-�3����!� ��4�5��4���4����+����/�1 """)*-�������%�)*-� ��� =��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G$� ��%��
=�/�*$��>�/�5$��#�/�*$��<�/�*$��G�/�1".������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" ��4�5�4�)*�4�1-�/�0 �/�+�*$�+�2"���� ��/�+�*$���/�+�2"������������� ����������%!�%���������������%�����
�<���4�#���4�<���/�0 """)1-=���4��<���4�<���/�0 """)2-
)1- +����4����4����/�0 """)5-)2- ���+�2���4����/�0 """)6-����%����%�)5-�����)6-$� ��%���+���4���4���/���������+�2��4���/���� ������������
���������������������"��� ��/�)�-" ��+�2��4���/ )+���4���4��-��������������� )+���4���4��-�/ )+���4���4��-�4�" ��+�2��4���/ )+���4���4��-�4� ��+���/ +�)�4�2-��4�)�4�*-���+�#���������%���%���������"
#�����'�������������������dx dy dz
x y
1 3 1( ) ( )
"""),-
),- dx�/�+��� ���4����/�0 ��4���/�"�������""")9-
������%���������������� �������� �),-$� ��%��
�dy dz
y y 1 3 1( ) ( ) ( ) ������)<��%�)9--
���/�dz
y ( ) 2 4 1 3 ))��4�5�4�*-���+�)�4�2�4�--����4����/�0
)��4�5�4�*-� y2
2�+�)�4�2�4�-���4���/�1
�)��4�5�4�*-� y2
2�+�))�4�2-�)��4��-�4�-���4���/�)-�����M#�&�%�1�/�)-N
��
22
212
3 3 ���
��� y xy y z x y( ) ( ) ( )
��/�12
( 2 1) y ( 3) xy ( 3) y (x y).2 2
#���������%���������������� �����%!����������"
B����$������������������������������������������� �����"�������� �������� �������� �����"�0�������� �����������#����������������������������
8����������������������������� ��������������������� ����������� ���������������� ������������������ ���������� �������������������������� ����������������� ��
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
)��- �3����!����2��4���4���4����+����/�+�:" """)*-
�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G$� ��%��
��=�/�2$��>�/�*$��#�/�*$��<�/�*$��G�/�+�:"
.������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" ��4��+�,�/�0 �/�1$�+�2"��� ��/�1$���/�+�2"
������������� ����������%!�%���������������%�����
�<���4�#���4�<���/�0 """)1-
�=���4��<���4�<���/�0 """)2-
)1- � 1���4����4����/�0 1��4���4���/��
)2- � 2���+�2���4����/�0 2��+�2��4���/��
��� ��/�)�-" � �1��4���4���/�)2��+�2��4��-�����������$�����)2��+�2��4��-�/�)2��+�2��4��-�4� �1��4���4���/�)2��+�2��4��-�4� ��+���/�)2�+�1-��+�)2�4�*-��4�#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������
dx dy dzy x1 3 2 3 1
( ) ( ) """)5-
)5- ���/�dy
���4����/�0 ��4���/�" """)6-
)5- ���/�dzx x( ) ( ) ( )3 2 3 1
)<��%�)6--
)+�)2��4��4�*-���4�2�+�1�4�-����/���
��/�+�12�)2��4��4�*-����4�)2�+�1�4�-���4�1
��/�+�12�)2��4��4�*-����4�)2��4�1���+�1��+�1��4�-��4�)-
M)�����%�1�/�)-N
����12
� ����"����"��!������ ���"��!������������ ������!�
#���������%���������������� �����%!����������"
B��������������������������������������������������� �����"����������� ��������������������������������������������������������
)�- -��2��0��,���%�� �0�'
)��- ���%. ��%,��������%. ��������%�� ������%."
�����)�-�3����!�� 6��4�,��4�2��4�1)��%��-�/�+�2" """)*-
�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G$� ��%��
=�/�6$��>�/�,$��#�/�2$��<�/�1$��G�/�+�2"
.������������������<���4�><�4�#=�4�<G�/�0" 5��4�*1�4�:�/�0 �/�+�2K1$�+�2K1"��� ��/�+�2K1$ ��/�+�2K1"
#����������� ����������%!�%���������������%�����
�<���4�#���4�<���/ 0 """)1-
=���4��<���4�<���/ 0 """)2-
��������� �������������� ���
�����
�����$������)1- +�2���4�2���4�1���/ 0 +�2��4�2��4�1��/��
)2- 6���+�2���4�1���/ 0 6��+�2��4�1��/��
��� ��/�)�-" +�2��4�2��4�1��/ )6��+�2��4�1�-�����������$���� )6��+�2��4�1�-�/ )6��+�2��4�1�-�4�" +�2��4�2��4�1��/ )6��+�2��4�1�-�4� 1��+�1��/ 2��+�2��4�6��+�2��4�"#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������
dx dy dzy x y x2 2 3 3 5 3
""")5-
)5- ���/�+�dy ���4����/�0 ��4���/�"
""")6-
)5- �dx dz
x x2 3 5 3 1
( ) ( ) ( ) ���)<��%�)6--
� )+�)6��4�,�4�2-��4�2�4�6�4�-����/�1��
�+�12�)6��4�,�4�2-���4�)2�4�6�4�-���/�1��1
+�12�)6��4�,�4�2-���4�))2�4�6�)��4��-�4�-���/�1��)-��M�����%�1�/�)-N
+�12�)6��4�,�4�2-���4�)2���4�6����4�2���4�6���4��-�/�1��4�)��4��-
12� ����"��!������ ������!����������������� ������!�
#���������%���������������� �����%!����������"
B����$������������������������������������������� �����")��- 3����!���)���+�*-����+�1�����4�)���+�*-����4���)���+���-�/����4����+�*" """)*-
�������%�)*-� ���=��4�>��4�#��4�<)���+���-�/�G$� ��%��
=�/�)���+�*-��$�>�/�+�1���$�#�/�)���+�*-��$�<�/���$�G�/����4����+�*"
.������������������<���4�><�4�=#�4�<G�/�0" ����+�1�����4�)���+�*-)���+�*-����4����)���4����+�*-�/�0
����+�1�����4��������/�0��)��+���-��/�0���/���A�����K�"
��� ��/��K�$���/���K�"
#����������� ����������%!�%���������������%�����
�<���4�#���4�<���/�0 """)1-
=���4��<���4�<���/�0 """)2-
)1- �pqz
z dy. 2 �4�)���+�*-������4������/�0 """)5-
)2- )���+�*-�����4�pqz
z dx z dq. 2 2 0 """)6-
)5- �����4�)���+�*-����4�����/�0� �)�������-�+����4�����/�0
��������+����/�0 �)��-�+����/�0 ���+���/��"
)6- )���+�*-����4������4�����/�0� �)����4����-�+����4�����/�0
����4�����+����/�0 �)��-�+����/�0 ���+���/��"
��� ��/�)�-� ���+���/�)���+��-"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�����������$����� )���+��-�/�)���+��-�4�" ���+���/�)��%�-�4� ���+����/���+���4�#���������%���%�7���������"�#�����'�����������������
� dxz
dyz
dzx y
"""),-
),- ���/�+� dy
���4����/�0 ��4���/� """)9-
),- dxz
dzx x
( )
M)*�4��-��+��4�N����/���� )<��%�)9--
)*�4��-�x
x xz
k2 2
2 2
)*�4��-����+�1�)��4��-���4�1��/����4�11
�)*�+��-����+�1���4�1��/����4�)- M�����%�11�/�)-N ��"���!����"�������������������� ������!�
#���������%���������������� �����%!����������"
B����$������������������������������������������� �����"
�� ������
���������� ���� �� �� ���� � �� �������������������������������� ������������6 ���3����� �#
0���� �������#���/ � 0��"�/ ���"����#���/
$ 0����4�������� ���"���#���! % /��"�3����/���� ���"���#���4�
2�34��3
����2
2y ���/�������"� �����# � ����52
2y �"�/���"����� ��"�/�#
$ �����0�����/��"�4���"�/���� �����#% ���� ������"�!#������ /�"�/#����������� �����#
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
������/
�����������
;�����������������%�����%���������� ���� �����������������������������%��%��%!����������������� ����������������"�E�����������$��������� ��������������������������������������������������������� ��������$�B����������"
>��$�����%���������������� ����������� ����������������������%���=������������������������������������� ������$�������������������� ����������� �������������������������%��������������������� ������� �������������������������������������� �������%���="�#���������&�� �����������������������"�3������������������������ ��� ��� ���� ���� ��/�0$� ���������&�� ����� �����������������"���������� ������������������%������ ����������������������������������������!�����������"
������������������ ���������������� ����������������$� �� ���� ������%������������������������������������������������������� �������������!�����"E��� ���� ������������ �� ���� ��������� ��� ��������� �!��!�%� ������� � ���������������"�;����� ��������������!���������������!��!�%��������������� �������������������������!������������������ ������������ �!�������"��������������$��%�� ����������%���%$� ��������� �������������������������� ������������� ��������������� ������� ��������������� ���������������������������������S������������ ���� ������%� �������� ���� ����� ���� ��"��� ��������� � � ������ �����������������%!���������������� ������������"
������������������� �� ����������������%�������������� ������"
0� ��)������������� �������������������
���������
����������
�������� �>����������
;������� �>���������� �G��������)����������;�����-G���������� �����>���������>���%$����������������
3�!����������2 2
22 2
y yc
t x
>�������� �����3�!���������
#���� ����%����.����%�������E������B���%�����������
�7��������7��>�������� �����3�!���������
�7��������7��>�������>��� ��%���������������
�������7��������� �����������������3�!���������
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� �����������������������
� ���$���$�"""$���$�"""��������������� �������%��������������������������%���=$����
��/ ������4������4�"""�4������4�
"""�/�
1n n
n
c u
������������������ ������������������%���="
����������� � ��������# �� ��� 13�������������"
�������������$� ��������������������������������������� �� �� ������$����� � ����!��!������������� �����!�������"�#��� ���� �%��'��������'���������������"
�������������
������������(��!��������������������������!���������xux
yuy
02 2
�����B���������� ������� ��������"��� ��/ H)�-�I)�- """)*-
�����B����� ������� ������������I����� ������� �������$��������������� �����%!���������"
#����
ux
uy
X Y XY,
>��������%�������%!����������$� ����!�
��HI�4���HI�/ 0 ��HI�/ +��HI>�������%�����!�������$� ��%��
x XX
2 �/ y Y
Y
2
""")1-
>��������������������������!�������$������!���������������������$�������������B>��������������=B>����������"�#���� ���$���������)1-�������������� ��������������������������������������$�����1"
x XX
2 �/ +�
y YY
k2
X
X�/ kx
YY
ky 2 2and � �������� ������"
����%����%$ ��%�B/kx
cky
c
1
1
1
21 1log log logand Y
logXc1�/ k
x cky
andY
log2
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ��������������������������������� H�/ c e c e
kx
ky
1 2
and Y
�����%�������!��������)*-$� ����!�
��/ c c ek
y x1 2
1 1
���
���
�� ��/ cek
y x1 1
���
���
������/�������������������%��������������"
�����������(��!������������
ux
2ut
u$��!����������' �2���"
�����B���������� ������� ��������"
��� ��/�H)�-�#)�- """)*-
�����H����� ������� ������������#����� ������� �������$��������������� �����%!���������"
#���
ux
X T $ut�/�H#
>��������%�������%!����������$� ����!�
H#�/�1H#�4�H# �� H#�/�)1#�4�#-H
>�������%�����!�������$� ��%��XX
T TT
2""")1-
>��������������������������!�������$������!���������������������$�������������B>��������������=B>����������"�#���� ���$���������)1-�������������� ��������������������������������������$�����1"
XX�/�1 �"�"$ ��%�H�/�1��4���%���
�� ���%�Xc1�/�1� �� H�/����
�� """)2-
��� �2T T
T
�/�1 ��2T
1T �/�1 �"�"$
TT 1
2�)1�+�*-
�� ���%�#�/�12�)1�+�*-��4���%��� �� log
T
2c 1
2�)1�+�*-�
�� #�/����ek t1/2 1( ) """)5-
�����)*-$�)2-�����)5-$� ����!� ��/��)�$��-�/������"�c e k t
21/2 1( )
/1
( 1)2
k tkxce e
�������/�����
>��$ �)�$�0-�/ ,����
�����/ ,���� M@!��N
��/ , ��� 1�/�+�2
#������������������ �����%!������������
��/ ,�����"���� �"�"$ ��/�,������� ����"
�����������(��!������������
2
2z
x2
zx
zy�/�'������������������������
��!��������"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�����B���������� ������� ��������
��� ��/�H)�-�I)�- """)*-
�����H����� ������� �H����������I����� ������� �������$��������������� �����%!���������"
#��� �
zx
X Y $�
zy
XY ���
2
2
zx�/�H�I"
>��������%�������%!����������$� ����!�
�H�I�+�1H�I�4�HI�/�0 �� )H�+�1H-I�4�HI�/�0
>�������%�����!�������$� ��%��X X
XYY
2– """)1-
>��������������������������!�������$���������)1-�������������� ��������������������������������������$�����1"
X X
X 2
�/�1 �� H�+�1H�+�1H�/�0 """)2-
��� ���Y
Y�/�1 ��
YY�/�+�1 """)5-
#������������������ ����������������"���� ���"� )2-$� ���� ��'����� �������� ����� +� 1�� +� 1� /� 0� ����� ������ ���
��/�1 1 k "
#������������ ���������)2-�� H�/�c e c ek x k x1
1 12
1 1( ) ( ) ����$�������������� �)5-�� I�/����
���
>��������%� ������!������� �H�����I� �� )*-$� ����%������� ��������� � ����%!���������O�
��/�[ ] .( ) ( )c e c e c ek x k x ky1
1 12
1 13
�� ���/�[ ]( ) ( )A Be e ek x k x ky1 1 1 1 $ �������/����������E�/�����"
����������?�� ����������� ���������� �� !�������� �� ���!� ��� ��������
2
2u
xuy
2u "
�����#���%!������������
�
2
2 2ux
uy
u """)*-
��� ��/�H)�-�I)�- """)1-
����$�H����� ������� ������������I����� ������� �������$��������������� �)*-"
#���$ uy�/�HI$
2
2u
x�/�HI
>��������%���)*-$� ����!�
HI�/�HI�4�1HI �� HI�/�H�)I�4�1I-
�� XX
YY
2 �/�+�1� )���-
)�- XX �/�+�1� d
dx
2
2X �4�1�H�/�0
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
�"��� ����4�1��/�0 ��/�F�1�
>�������� H�/�������1��4�������1�
)��- � YY �4�1�/�+�1� �� Y
Y �/�+�)1��4�1-
����%����%$ ���%�I�/�+�)1��4�1-���4���%���
I�/����ek y ( )2 2
�����)1-$�����%����������������
��/�)������1��4�������1�-����ek y ( )2 2
�� ��/�)�����1��4�E����1�-�e k y ( )2 2 � �������/�����$�E�/�����"
����������?�� ����������� ���������� �� !�������� �� ���!� ��� ��������
2
2v
xvt�!������!�'�������������!�'����'������"
�����#���%!�������������
2
2v
xvt
""")*-
��� !�/�H)�-�#)�- """)1-
�����H����� ������� ������������#����� ������� ���������������������� �)*-"
#���$
2
2v
x�/�H# ���
vt�/�H#
>��������%���)*-$� ����!�
H#�/�H#
�� XX
TT
�/�+�1� )���-
)�- XX �/�+�1� H�4�1�H�/�0
�"�������4�1��/�0�����������/�F��1
>�������� �H�/�������1��4�������1�
)��- TT �/�+�1�
����%����%$ ��%�#�/�+�1���4���%���
�#�/�c e k t3
2
�����)1- !�/�)������1��4�������1�-�"�c e k t3
2 """)2-
�� $������/�0$�!�/�0
�����)2-$ 0�/����c e k t3
2 ���/�0 )� ���/�0� ���������
�����!����������-
)2-���������� !�/�������1��"�c e k t3
2 """)5-
�����/��$�!�/�0
�����)5-$ 0�/���������1�e k t 2
>�������0��������/�0� ���������������!����������" ���1��/�0 1��/��
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� 1�/�n
l �������/�*$�1$�2$�""""
�����)5-$ !�/�)�����-����n xl
enl
t
2 2
2
�� !��/�bn x
len
nl
tsin
2 2
2$� ����������/���
������������������������������� �)*-� �����/�*$�1$�2$�""""""$"�B�������������������������$���������%����������������
!/�
2 2
2
1sin
nt
ln
n
n xb e
l
�����������(��!��������������������������!���������
/
ut
ux
�0�� ��0��%���� ������'"
�������� ��/�H# """)*-
�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"
ut
�/ H#$
ux�/�#H
���������%!����������
5H#�4�#H�/ 2H#
��4TT
XX
�/ 2
�� � �����4TT
XX
3 �/����)���- """)1-
)�-4TT�/����4�2
�d pTT
���
���
34
2
���
����%�����������$
� ���%�#�/�3
4
2���
���
p��4���%��� #�/����e
pt
34
2�
���
�� """)2-
)��- � XX���� X
X�/�+���
dXX�/�+������
����%�����������$
��� ��%�H��+�����4���%���
�� H����� ep x 2
""")5-
�����)*-$� ��%��
���H#�/������ep x
pt �
���
��2
234
�� ��)�$��-�/����ep x
pt
�
���
��2
234 ����� �����/���
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
;����%����������������
��)�$��-�/ b en
p xp
t
n
�
���
��
2
234
1
""")6-
������/�0$ �)�$�0-�/ 2���+�����/� b enp x
n
2
1
�������%$� ��� ���/�*$����/�2 ��� ��� ���/�6$����/�+�*
B���$� ����)6-$�%����������������
�)�$��-�/�2������+��� ��
������������������������"��������7��(��!���������������������������������������������!��������
2ux t
�������
�!��������'������'���ut
�'������'"
��������� ��/ H# """)*-
�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"
#���$ �
ut t )H#-�/�H
ddtT
2ux t
�/x� X
Tddt
���
��� �/�
ddtT�"�
ddxX
""")1-
>��������%�)1-�������%!����������$� ��%��
ddtT�ddxX�/ ��������
���ddtT/ cos x
ddxX�
������/�+����)���- """)2-
�� $ �� ddtT �/ +���
�#�/ +���������
����%�����������$
#�/ ������4��� """)5-
����$ddxX�/ +� 1
2p�����
�H�/ +� 12p��������
����%�����������$
H�/ +� 12p������4��� """)6-
<��%�)5-�����)6-$� ��%��� ����)*-$
�)�$��-�/ H#�/� ���
���
12 2
px csin �)������4���- """),-
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������%��������������/�0� ������/�0���),-$� ��%��
0�/ ���
���
12 2
px csin �)���4���-
���4����/ 0 ���/�+���
�����),-$ut�/ ���
���
12 2
px csin �)+������- """)9-
������%������������ut�/�0� ������/�0���)9-$� ��%��
0�/ ���)+������-
���/ 0
>��������%�����!������� �������������),-$� ��%��
�)�$��-�/ +�12p������)������+���-
/ �����)*�+����-
��������9��(��!����*"5"6"��������������!���������������
�������,����'�� �'��x ��)'��-�/�.����"
�������� ��/�HI """)*-
�����H����� ������� ������������I����� ������� �������"
uy y
ddy
(XY) XY
XY
��
2
2
2
2
2
2u
x xddx
(XY) YX
YX
���������%!����������$
� �IH�/�HI�4�1HI
� XX
Y 2YY
� X
XYY�4�1�/�1)���- """)1-
)�- XX�/�1
��H�+�1H�/�0��'��������������
���+�1�/�0
��/�F� k
�"�"�/���e ekx kx C2
�����"�"�/�0
� �H�/���e ekx kx C2 """)2-
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������)��- Y
Y�4�1�/ 1
YY�/ 1�+�1
dYY�/ )1�+�1-���
����%�����������$
��%�I�/ )1�+�1-��4���%���
I�/ ����������� """)5-
B���� ����)*-$
�)���-�/ )��e ekx kx C2 -����������� """)6-
������%�������������)0$��-�/�0���)6-$� ��%��
�)0$��-�/ 0�/�)���4���-������������
���4����/ 0 ���/�+��� """),-
)�����/�0������������!����������-
�����)6-$������%����������������
�)���-�/ �����)e ekx kx -���������� """)9-
ux�/ ����� k e e ekx kx k y( ) ( ) 2
ux
e k ex
y k y���
���
0
3 21 2C C1 3 ( ) ( )�/�
nn
k yb e
1
2( )
�������%������� ����$� ��%��
)�- ���/�*$ 1�+�1�/�0
1���� k �/ *$ 1�/�1
�����/1
2 2
)��-����/�+*$ 1�+�1�/�+�2
1���� k �/ *$ 1�/�+*
�����/12i
B���� ����)9-$�����������������������
�)���-�/ 12 2
�( )e ex x2 2 �4�12
3
ie e eix ix y( )
�)���-�/ 12������ 2 ���4��������"
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� �� �����
!"#�������$�� ��$"��"����������" �"��������#����%�%��&
0�
ux
uy
2 ���'D� ���'#���4��� �
ux
uy
4 D� '���#���;����
$ 4
ux
uy
���0D� '���#���4���������� %
ut
ux
�"�/D� ���'#���!'���"�3���
& �#��� u u
yx y
���' ��# yux
xuy
3 2 0
' �#�ux
����/ut
���D ���'#���3����� ��# 4 3u u
ux y
�������� '���#���0����"�����
( �#�/� 3 0z z
yx y
��#
2
2 0u
x
uy
�
) �#��
2ux y
���/����' ��# 2u u
ux y
�D� ���'#���0�����"�/����
* �#�
2 3 5u u
ux y
���'D '���#���/���� ��#
2
2
u
x���
ut
D � ����'#������ �����!#
!
zx
z
y
2
2 0D � ���'#���'� � ���#���'� � '���#���4�����0��
8 ����
2
22
u uu
yx��������� �� ���������� �� ��������������E����� ������ ����� ���
��'�����ux
�����������������'�� ������������ ����
� F�������� �� ���������� �� ������������� ����������� ��� �� ����������� ��
2zx y
��������
������� ��������zy
���"�/����������������'���������'�������������� ���������� �� 2
�
2�34��3
����#��� 3
24x y
e � ����#���;������������
$ ����#���4������"��������� % ����#���!'���������� �"�3�����������
& �#� ����#����
kxy
��# ����#���
4 32
4 3y x
pce
' �#� ����#���3��������� ��# ����#���0��������"���������
( �#�� ����#����������� ��# ����#��� 2 (A cos B sin )p y px pxe
) �#� ����#�������
2yke ��# ����#���0���������� �"�/����������
* �#� ����#���/�������� ��# ����#������ �����!#����
! � ����#���4��������0� ����#��������������
� � ����#���� ���� !���� ���#
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������#��� ����������� ����������������!����
�������� ���& #��� ������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
������������ ��������������%� � ���%��� �� ��������� �%�������� ���� �� �������� ���� �� ���� ���������%����� ���� ��� �����������������"�#�&�%��������������������%�$�����������7�'����������������������������%������������.�'�$� �������� ������������������������ ������� ������������������������O�"
3��������������������������� ������ �����������%����������� ���� �%����������(
)�- #�����������&������������������������.���������������������� ���������%��!������������������������������������������ ���������%"
)��- #�������%������ ����� ��'������������������ ��������������������%"
)���- #��� ������� �� ���� ����%� �� ��� ���%�� ����� ���� ��������� ��� �%���� � �������%���������%�����"
)�!- #������������������������������yx����������$���������������%������ ���
��������%�����"
������ ��� ����������������� ���%���� � ���� ����%"��������� ����������� � �����������?�� � ���%����"� >��� ���� ����%���������� � ��� ��������� ��� �����%� )�����������-$� ���� ��������#������#�� ���������?�������!�������� ���%������ ��� �����!�"
>��$���������������������������D������������$� ����!�
#������/�#������/�#�)�������- """)*-
;����� ����������?�����"�E���� ���7���������� �� ������$�������������� ������������!��������������
���
2
2y
t�/�#������+�#�����
�� � �m s y
t
T
TT
TT
2
22
2
1
1
sincos
sincos
ME�����%�)*-N
�� �
2
2
yt m s
T�)�����+�����-
�� �
������
������
�
��
2
2y
t m xyx
yxx x x
T
M>�����/�������� ���������'���������������������������������������� ������!��� ���������%������������4��N
T1
xy
T2
Q
XAO x x + x
Y
P
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�� ��
2
2
yt m
T����
������
������
yx
yx
xx x x
�����/� Tm
yx
2
2 $������0
�� ��
2
22
2
2
yt
cy
x����� ��������/�
Tm
#����������������� ����������������%!�%����������!�����!��������� ��������%"�����������������������������3������4�E��� �������
#���������������������� ���������������
2
22
2
2
yt
cy
x������������ ������(
( )( )
i y xii y x l
��
0 00
whenwhen
"�#������������������� ��� ����!����!������ ��"
� � ��������%� ������� ���!��������������%� �� ������ ��!�� ���/� �)�-����� �����������%O�$�������������������������
)�- ��/��)�-� ������/�0 )��-yt�/�0� ������/�0"
���������������& #��� ����
#��� �!�����������
��
2
22
2
2y
tc
yx
""")*-
��� ��/�H# """)1-
�����H����� ������� ������������#����� ������� �������$��������������� �)*-
#���$
2
2y
t�/�H# ���
2
2y
x�/�H#
>��������%���)*-$� ����!� ���H#�/���H#
>�������%�����!�������$� ��%���XX
TT
12c
. """)2-
�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������=B>����� ������� �������">��������������������������!�������$�������������������������� �������������������������������$�����1"�#������������)2-����������������������������� ���������������"
H1�+�H�/�0 ��� #�+�1��#�/�0 """)5-
>��!�%����������)5-$� ��%��
)�- 9���1��������!������/���$����
H�/ ������4����
���$�#�/��������4����
����
)��- 9���1�������!������/�+���$����H�/ ���������4���������$� #�/�����������4����������
)���- 9���1�'H�/ ����4��� #�/�����4���
#��������!������������������������ ����� �!����������)*-����(
��/ )������4����
���-)�������4����
���-
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
�� )���������4���������-)����������4����������-
��/ )����4���-)����4���-
� ���������������������$� ����!������������������������ ������������� ��� ������������������� � �����������"�>��$� �����������%� ���������������!�������$������������������� ������� ��������"�#���� ���$�������������������!��!���%�������������"
�����%�� �)�$��-�/�)���������4��������-)����������4����������- """)6-
���������������������������� ����� �!������������������������������1�/�+���"
�� $� ����������������������������"�>�����������%��� ���������������������/�0�������/��$� ����!��� ������������������
�)0$��-�/ 0 ��� ��)���-�/�0 ����������0"<��% ��/ 0� ������/�0 ��� ��/�0� ������/��$
��%�� 0�/ ��)����������4����������- """),-
��� 0�/ )���������4���������-)����������4����������- """)9-
�����),-$� ����!�����/�0�������������)9-����������
���������)����������4����������-�/�0
��������� ��� ����������/�0�������� �� ��/�nl$� �������/�*$�1$�2$�""""""
����������� ����� �!�������������� ��%�����������������������
��/ ��� cn ct
lc
n ctl
n xl3 4cos sin sin
���
���
�� ���/ an ct
lb
n ctl
n xln ncos sin sin
���
��� $� �������/�*$�1$�2$""""""
���������%��������������������������"
#����� �����������������������;�����6����3����6B���6����3��6���6����3�
#���!��������/�nc
l �����������������;���E����3����6B���6����3��6�E����3�� ����
!�����%�����%"�#�������T�$��$��$�"""U�������������3��6�����
����%����������������� ���� ������!������� ��$� ��%��
��/n
n nan ct
lb
n ctl
n xl
���
���
1
cos sin sin
""")L-
���������%��������������"�� � ����������������������������� ����� �������� ���������%�����������
���������� ������)�"�"$������������/�0-�������������!������
. ., at 0y
i e tt
"
#���� ����!��� ��������������
�)�$�0-�/��)�- ��� ���)�$�0-�/�0$�)0������-
<��% ��/ �)�- ���yt�/�0$� ������/�0$
����!� �)�-�/ an xln
n
sin
1
"""):-
��� 0�/n cl
bn x
lnn
sin
1
""")*0-
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
>�����������):-��������������� ����%������������������� ����)�-�����������!��)0$��-� ����!�
���/2
0lf x
n xl
l� ( ) sin ��� """)**-
�����)*0-$����/�0$� ��������"
B����)L-���������� ��/n
nan ct
ln x
l
1
cos sin
""")*1-
����������%!������)**-� �����)�-��"�"����)�$�0-���&�� �"
4 ��#������#���' �#��� ����nl ������� ���������������
� ����������������� �� ���� ������ ��������� ��� ������ � �� � ����� ������� ������������ �� ��������� ������������������������� "�#���"�����
%��������������� ��� ����.���� ���!��/��0�������
�� �������������+�����������-����������������
#����������� ������������ �!������������������������!������ �� ������������������� ���������������"� ��� ���������������� � ������������ ��������5������6�������3� 0A3!�6�����B���;�����3�0A3��B���� ������������������� ������� �������������!����� ��� ������������� ����.����%�������E����������%�������E��"
(��D���6B����0�������A�������3� )�����������������������������!��� ��%�� =-
������� ���������� �����������������$������������������)0$��-�/��������)�$� -/��� ���!�����%�����%�� � ���%��� ������%!��"������������� ��������������!������������)�EG�-(
��� ����/ ������$ 0�P���P��$ ��8�0
E�� �)0$��-�/ �)�$��-�/�$ ��8�0 )���.����%�������E��-
��� �)�$�0-�/ �)�-$ ��)�$�0-�/�)�-
3������������!����������������������������� ������������ �!���������������E����������.����%������"
#����!�����������!�����.����%�������E����������%�������E��$� �����������!������ ������
�)�$��-�/
xl
�4�!)�$��- """)*-
��������%�������������������!��������� �����������!�)�$��-"
�������$� ����)*-$� ����!�
���/ !�� $ ����/ !��
���/
l �4�!� $ ����/ !��
������� ���/ ������������ ���������!���/����!��
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
����$ �)0$��-�/ �/ �4�!)0$��- !)0$��-�/�0
�)�$��-�/ �/ �4�
l��4�!)�$��-
!)�$��-�/ 0
��� �)�$�0-�/ �)�- �)�-�/
xl �4�!)�$�0-
!)�$�0-�/ �)�-�+�
xl
���)�$�0-�/ )�- !��)�$�0-�/ )�-#����� ����� �������%�������E������� !���/ ��!��� $ 0�P���P��$ �8�0E�� !)0$��-�/ 0 $ !�)�$��-�/�0 $ ��8�0
��� !)�$�0-�/ �)�-�+�
xl )B���%�������E��-�!��)�$�0-�/
)�-�� ����%��������� ������������ �!�������$�!)�$��-������� ��������"�>����.
�������$��)�$��-� ���� �� ����)*-"((� )��������0�������A�������3�)���������������-������������������� �����������������$����)0$��-�/��������)�$��-�/������%!��"
��������������������������!�������������)�EG�-(
��� ���� ������ $ 0�P�� P��$ ��8�0
E�� ���)0$��-�/ $ ���)�$��-�/ $ ��8�0
��� �)�$�0-�/ �)�- $ ���)�$�0-�/ )�-
#����!�����������!�����.����%�������E����������%�������E��$� �����������!������ ������
�)�$��-�/ ��4�
2 2 2
2 2x c t
l l�4�!)�$��- """)*-
��������%�������������������!��������� �����������!)�$��-"
�������$� ����)*-$� ����!�
���/ ���
tl
�4�!�$ ����/���� l
�4�!��
���/ �4�
l��4�!�$ ����/�
l
�4�!��
������/ ���
l�4����!��
������� ����/ ������������ �������� !���/����!��
����$ ���)0$��-�/ �/ �4�!��)0$��- !��)0$��-�/ 0
���)�$��-�/ �/ �4�
l��4�!��)�$��-
!�)�$��-�/ 0
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ��� �)�$�0-�/ �)�- ��)�-�/ ��4�
2l
���4�!)�$�0-
!)�$�0-�/ �)�-�+�
2
2x x
l
���)�$�0-�/ )�- )�-�/ !��)�$�0-#����� ����� �������%�������E������� !���/ ���!��$ 0�P���P��$ ��8�0E�� !�)0$��-�/ 0$ !�)�$��-�/�0$ ��8�0
��� !)�$�0-�/ �)�-�+�
2
2x x
l$ !��)�$�0-�/�)�-
�� ����%��������� ������������ �!�������$�!)�$��-������� ��������"�>����.�������$��)�$��-� ���� �� ����)*-"
�% �����%�����������������& #��� ����
#������������ ����� �!���������
����/ ������ """)*-������������������������������%�� ���� �!�������
!�/ ��4��� ��� ��/���+��� """)1-������������������� ������� �!������"
�� $ ���/ut�/�
u v u wv t w t
�/�
( ) ( )u u
c cv w
ut�/ �
u uv w
t���
v w
����/
2
2
u
t�/�
ut t
�/��� u u
v w v w
/ ��
2 2 2 2
2 2
u u u uv w w vv w
����/ ��
2 2 2
2 22
u u uv wv w
""")2-
����$ ���/ u u v u wx v x w x
�/�
(1) (1)u uv w
ux�/
u uv w
x��
v w
����/
2
2
u
x�/�
ux x
�/�
u uv w v w
/
2 2 2 2
2 2
u u u uv w w vv w
����/
2 2 2
2 22
u u uv wv w
""")5-
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
<��%�)2-�����)5-$�)*-����������
��
2 2 2
2 22
u u uv wv w
�/ ��
2 2 2
2 22
u u uv wv w
��
2
4u
v w�/ 0 ��
2uw v
�/�0
u
w v�/ 0
����%����%� "�"�"��� )!�������-
uv�/ �)!-
������)!-��������������� ������� �!"����%����%� "�"�"�!� )���������-
��/ ( )h v dv �4�)�-
/ )!-�4�)�- �����)�-��������������� ������� ��"�� �)�$��-�/ )��4���-�4�)��+���-
#�����&�� ������7��������7����������� ����� �!���������"
�% �����%-����������� ������������� �����������
#��������������������������������� �!��������� ���!�������%�����%���%�!�����������������������������������$����E����������������� ����������"�#���������� ������������ �!��������������������������������"
B� �!��$��7��������7�������������� �����������!�����������!������������������� ���������"
�� $� �����!������ �!���������
����/ ������$�+��P���P�$���8�0 """)*-%!��������������� �������)�$�0-�/��)�-����������!��������)�$�0-�/�)�-"
�7���������7����������� �)*-���)�$��-�/ )��4���-�4�)��+���- """)1-
<��%������������������)�$�0-�/��)�- ��)1-$� ��%���)�-�/ )�-�4�)�- """)2-
�����)1-$ ��)�$��-�/ ��)��4���-�+���)��+���- """)5-<��%���������������� ��)�$�0-�/�)�-���)5-$� ��%��
)�-�/ ��)�-�+���)�-
�� 1c
)�-�/ �)�-�+��)�-
����%����%����������� "�"�"��$� ��%��
1
( )x
ag d
c/ �)�-�+�)�- """)6-
�����������������"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
M3����!���������������������������� �������$�!��"
� F( ) F( )x
a
dt dt x
dt>��!�%�)2-�����)6-$
)�-�/ 1 1
( ) ( )2 2
x
af x g d
c"""),-
)�-�/ 1 1
( ) ( )2 2
x
af x g d
c""")9-
=�����%��������4������),-�������+������)9-$� ����!�
)��4���-�/12
�)��4���-�4�
1
( )2
x ct
ag d
c""")L-
)��+���-�/12
�)��+���-�+�
1
( )2
x ct
ag d
c
/12
�)��+���-�4�
1
( )2
a
x ctg d
c"""):-
����%�)L-�����):-$
)��4���-�4�)��+���-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N
�4�
1( ) ( )
2a x ct
x ct ag d g d
c
/ �12M��)��4���-�4��)��+���-N�4�
1( )
2
x ct
x ctg d
c<��%�)1-$� ��%��
�)�$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N�4�
1( )
2
x ct
x ctg d
c ����������������������������� ��%�������������"
/����6�����A�3�F�� ���������%�����������������$����)�$�0-�/�0���������)�-�/�0�������������������������
�)�$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N"
-������������)*-�������� ����7��������7����������� ���( ����/ ���� $ +��P���P�$ ��8�0��( �)�$�0-�/ �� $ ���)�$�0-�/�����B��� ���/ * ��/�*
�)�-�/ �� $ )�-�/����� �7���������7�����������
�)�$��-�/12M��)��4���-�4��)��+��-N�4�
1( )
2
x t
x tg d
c
/12M��)��4��-��4��)��+��-�N�4�
1sin
2
x t
x td
/ ���4����+�12M���)��4��-�+����)��+��-N
/ ���4����+�12)+�1����������-
�� �)�$��-�/ ���4����4����������"
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
)1-�������� ����7���������7�����������
���( ����/ 5��� $ +��P���P�$ ��8�0��( �)�$�0-�/ �� $ �����)�$�0-�/�0B���$ ���/ 5 ��/�1
�)�-�/ �� $ )�-�/�0 �7��������7�����������
�)�$��-�/12M��)��4���-�4��)��+���-N
�� �)�$��-�/12M)��4�1�-��4�)��+�1�-�N
��� ��%������������������������� �& #��� ����
����7��������7����������� ����� �!�������������� ��%�������������
)�- /D���3�B���;�����3)��- �������������� ��)�-�����)�-������.D���"�������7���������%!��� ������������������� � �������7������������!�
������������������� ����� �������"
�����������#������������������ ��������.����%������� �!���������
����/�������4��)�$��-$ +��P���P�$���8�0
�������������� �������)�$�0-�/�0����������!���������)�$�0-�/�0���%!�����
�)�$��-�/
( )
0 ( )
1( , )
2
t x c t s
x c t sh r s drds
c"
-�������������������� ����������������
���( ����/ ����4���+��$�+��P���P�$���8�0��( �)�$�0-�/ 0$ ��)�$�0-�/�0
B��� ���/ * ��/�* ��� �)�$��-�/���+��
E���������7��������$��������������������
�)�$��-�/
( )
0 ( )
1( , )
2
t x c t s
x c t sh r s drds
c
/
( )
0 ( )
1( )
2
t x t s
x t sr s drds
/
( )2
0 ( )
12 2
x t st
x t s
rsr ds
/
2 2
0
1 [ ( )] [ ( )][ ( ) ( )]
2 2t x t s x t s
s x t s x t s ds
/ 01
[2 ( ) 2 ( )]2
tx t s s t s ds
/ 20
1[2 2 ( ) 2 ]
2
ts t x s tx ds
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
/
3 2
0( )
3 2
ts s
t x txs
/ 3 2
( )3 2t t
t x �4����
/ 3 2
6 2t t x
�)�$��-�/�+� 3 2
6 2t t x
����������������������������"
�������������
��������#��3��������������������������������������������"=�������
�������������������������������������3���xl
�����������������������
������'"(����������������������������������������������������������������!����
����� � 3��� xl
cosctl
"
�����#������������ ���������%��
���
2
22
2
2y
tc
yx
""")*-
>��$�����������%������������������ ������ ��� '�����������)0$�0-�������)�$�0-��������������������� ���������%���������������� ������D���
�)0$��-�/ 0 """)1-
��� �)����-�/ 0 """)2-
>��$���������%������������ ����������������������!������ ������D���
yt�/ 0 �� ��/�0 """)5-
>��$���������%����������� ����������������������������/�0��������������������������
�)�$�0-�/ ����� xl
""")6-
���������)1-$�)2-$������������������������������)5-$�)6-�����������������"
��������� ��������������!����������)*-$
��� ��/ H#" """),-
�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"
� �
yt t
ddt
(XT) XT
��
���
���
2
2
2
2y
t tddt
ddt
XT
XT"
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������>������$� �
2
2
2
2
yx
ddx
TX "
>��������%��������!������������)*-$� ��%��
�Hddt
cddx
2
22
2
2
TT
X H#�/���#H
A�3��(�� �12c
TT
XX
�/�+����)���-
)�- ��12c
TT�/�+���
�ddt
2T2 �4��
���#�/�0"
��'��������������� ���4������/�0
���/�������
��/�F����
�"�"�/ ����������4����������
�"�"�/ 0
#�/ �"�"�4��"�"�/�����������4���������� """)9-
)��- �XX p2
ddx
2
2X�4���H�/�0"
��'�������������� ���4����/�0
��/�F���
�"�"�/ ���������4���������
�"�"�/ 0
H�/ ���������4��������� """)L-
B���$ �)�$��-�/�)����������4����������-)���������4���������- """):-
A�3��((�� ��12c
TT
XX
�/����)���-
)�- ��12c
TT�/���
ddt
2
2
T�+�����#�/�0
��'�������������� ����+������/�0 ��/�F��
�"�"�/ �������4�����
���
�"�"�/ 0
#�/ �������4�����
���"
)��- �XX p2 d
dx
2
2X �+���H�/�0
��'��������������
���+��
��/�0 ��/�F��
�"�"�/��������4�����
��
�"�"�/ 0
H�/�������4�����
��
B���$ �)�$��-�/ )�������4�����
���-)�����������
��- """)*0-
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� A�3��(((�� �
1 TT
XX2c
�/�0�)���-
)�- �1
02cTT #�/�0 �� d
dt
2
2
T �/�0
��'��������������
���/ 0 ��/�0$�0
�"�"�/ ���4�����
�"�"�/ 0
#�/ ���4�����
)��- �XX
0 H�/�0 ��
ddx
2
2 0X
��'��������������
���/ 0 ��/�0$�0
�"�"�/ ����4�����
�"�"�/ 0
H�/ ����4�����
B���$ �)�$��-�/ )���4�����-�)����4�����- """)**-
���� � � ������ ���������!�� ��������� ):-$� )*0-� ���� )**-$� ����!�� ��� ������ ����������� �������������� ���������������������� ������������"�>��$� ����������%� ����������������!�������$������������������������������ ������"B���������������� ������������%�����������������������������������������"
B������������ ):-� �� ����%������� ��������� ��������������� �!���������%!��������������)*-"
�� $ �)���-�/ )����������4����������-�)���������4���������-
������%��������������������$
�)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-���
���/ 0"
�����):-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)*1-
�%��$ �)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������
������/ 0�/������)���-
��/nl"
B���� ����)*1-$� �)�$��-�/� cn ct
lc
n ctl
cn xl1 2 4cos sin sin
���
��� """)*2-
�
��
yt
n cl
cn ct
lc
n ctl
cn xl
1 2 4sin cos sin
�� ��/�0$
���
���
�� ��
yt
n cl
c cn x
lt 02 40
sin
���/ 0$
�����)*2-$ �)�$��-�/ ��������n ct
ln x
l
sin """)*5-
�)�$�0-�/ ����� xl
c cn x
l 1 4 sin
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
�����/��$���/�*" C��������%
B���� ����)*5-$� �)�$��-�/������ ctl
xl
sin
������������������������"
���������8��(�����������!�����������
2
2
2
2y
xy
t��������!���������������������������!��������":��������������������������
!���������������������������������'����������!��������� ���yt
��� �
����������������������������������������"
�����#��� �!������������
2
22
2
2y
tc
yx
""")*-
���� ��/�H# """)1-
�����H����� ������� ������������#����� ������� �������"
yt t
ddt
( )XT XT
2
2
2
2y
tddt
XT
>������$
2
2 2
yx
ddx
TX2
"
>��������%���)*-$� ��%��
Hddt
cddx
2
22TT
X2
2 H#�/���#H
12c
TT
XX
""")2-
A�3��(��3���� 12c
TT
XX�/����)���-
)�- �12
2
cp
TT
ddt
2T2 �+��
���#�/�0"
��'��������������
���+������/ 0
��/ F���
�"�"�/ ��������4�����
���
�"�"�/ 0
#�/ �"�"�4��"�"�/���������4�����
���
)��- �XX p2
ddx
2
2X�+���H�/�0"
��'��������������
���+����/ 0
�� C�
�"�"�/ �������4�����
��
�"�"�/ 0"
H�/ �"�"�4��"�"�/��������4�����
��"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
B���$��������������
��/ H#�/�)��������4�����
���-)�������4�����
��-" """)5-
A�3��((��3���
�12c
TT
XX
�/�+����)���-
)�- �12c
TT�/�+��� d
dt
2T2�4�����#�/�0"
��'��������������
���4������/ 0 ��/�F����
�"�"�/ )���������4����������-
�"�"�/ 0"
#�/ �"�"�4��"�"�/����������4����������
)��- �XX p2 d
dx
2X2�4���H�/�0"
��'��������������
���4����/ 0 ��/�F���
�"�"�/ ���������4���������
�"�"�/ 0
H�/ ���������4���������"
B���$��������������
��/ H#�/�)���������4����������-)���������4���������-
""")6-
A�3��(((��3���$��12c
TT
XX
0
)�- �12c
TT�/�0 d
dt
2
2T �/�0
#�/����4����
)��-XX 0 d
dx
2
2X �/�0
H�/�����4������"
B���$��������������
�)�$��-�/ )���4����-)����4�����- """),-
� ��������!�����������������%!������ )5-$� )6-�����),-$� ����!���������������������� �������������� ���������������������� ������������"�>��$� ����������%� ����������������!�������$������������������� ������� �������������� ���������������������!��!����%���������������������������)6-����������������������"
E�������������������
��)0$��-�/ 0$ �)�$��-�/�0����������������� ��/ �)�-
������� �� ������������
yt
g x( )
�������������)6-$ �)0$��-�/ )���������4����������-���
��� 0�/ )���������4�����������-���
���/ 0"
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
B���� ����)6-$ �)�$��-�/ )���������4���������� �������� """)9-
�)�$��-�/ 0�/�)���������4����������-���������
������/ 0�/������)����- ��/�nl"
�����)9-$ �)�$��-�/ cn ct
lc
n ctl
cn xl5 6 8cos sin sin
���
��� """)L-
/ an ct
lb
n ctl
n xln ncos sin sin
���
���
���� ����������������/���
#���%����������������
�)�$��-�/ an ct
lb
n ctl
n xln n
n
cos sin sin �
�����
1
"""):-
�)�$�0-�/ �)�-�/� an x
ln sin
1
���� ���/2
0lf x
n xl
l� ( ) . sin��� """)*0-
�����):-$
���
���
yt
cl
n an ct
ln b
n ctl
n xln n
sin cos sin
1
�����/�0$ �
���
���
yt t 0
�/�)�-�/� cl
nbn x
ln sin1
���� �n cl
bl
g xn x
ldxn
l �2
0( ) . sin
bn c
g xn x
ldxn
l �2
0
( ) . sin " """)**-
B���$����������������������
�)�$��-�/ an ct
lb
n ctl
n xln n
n
cos sin sin �
�����
1
���� ���/2
0lf x
n xl
l� ( ) . sin ���
��� ���/2
0n cg x
n xl
l
� ( ) sin ���"
������������3����������������������������������������'��������
��������� ������������!���� �� �� ����xl
" :� �� �� �������� �������� ���� ����
��������������������������������� "
�����#������������ ���������%��
�
2
22
2
2y
tc
yx
""")*-
#������������ ����"�)*-��
�)�$��-�/ )����������4����������-)���������4���������- """)1-
C�=� ���>��"�� ��'"�*
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
E�������������������
�)0$��-�/ 0$ """)2-
�)�$��-�/ 0 """)5-�����������������
���
���
yt t 0
�/ 0$ """)6-
��� �)�$�0-�/ ������xl
"""),-
������%�������������������)1-$
�)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-���
���/ 0
�����)1-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-
�%��$ �)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������
������/ 0�/����� )����-
��/nl
B���$� ����)9-$
�)�$��-�/ cn ct
lc
n ctl
cn xl1 2 4cos sin sin
���
��� """)L-
�
�
� �
yt
n cl
cn ct
lc
n ctl
cn xl
1 2 4sin cos sin
�����/�0$
���
���
yt t 0
�/ 0�/�n cl
c cn x
l
2 4 sin
���/ 0"
�����)L-$
�)�$��-�/ ��������n xl
n ctl
cos �/�������
n xl
n ctl
cos
;����%����������������
�)�$��-�/ bn x
ln ct
lnn
sin cos
1
"""):-
�)�$�0-�/ ������ xl
bn x
lnn
sin1
��3
3
4
sin sin xl
xl
�
����
�
�����/�������
xl
bx
lb
xl
2 32 3
sin sin �4�"""
�������%$� ��%��
���/34
0y$����/�0$����/�
y0
4$����/���/�"""�/�0
B���$� ����):-$
�)�$��-�/34 4
3 30 0y xl
ctl
y xl
ctl
sin cos sin cos
"
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
������������3�����������������������������������������������'������"3�������'������������!����������������� �� ����%� ���������������������������" ����������������������� �������������������������������D'"
�����#��� �!������������
2
22
2
2
y
tc
y
x""")*-
#������������ ���������)*-��
�)�$��-�/�)����������4����������-�)���������4���������- """)1-
)=� ���>��"�� ��'"�*-
E������������������� �)0$��-�/ 0 """)2-
�)�$��-�/ 0 "")5-�����������������
yt�/ 0 """)6-
��� �)�$�0-�/ �)��+��- """),-
�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-��
���/ 0"
�����)1-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-
�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-��������� ������/ 0�/������)���-
��/nl"
�����)9-$ �)�$��-�/ cn ct
lc
n ctl
cn xl1 2 4cos sin sin
���
��� """)L-
�� � ����)9-$ �
�
��
yt
n cl
cn ct
lc
n ctl
cn x
l
1 2 4sin cos . sin
�����/�0$ �
���
���
yt t 0
�/�0�/�n cl
c cn x
l
2 4 sin
���/�0"
�����)L-$� �)�$��-�/���������n ct
ln x
l
sin
�)�$��-�/�������n ct
ln x
l
sin � ����������/���"
#��������%����������������
�)�$��-�/� bn ct
ln x
ln cos sin
1
"""):-
�)�$�0-�/�)���+���-�/� bn xln sin
1
���� ���/�
20
2
llx x
n xl
dxl�
( ) sin
/�2
22
0
0
llx x
n xl
nl
l x
n xl
nl
dx
l
l( )
cos( )
cos
�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
�
�����
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� /
22
0
l
ln
l xn x
ldx
l� ���
���( ) cos
/2
2 2
0
0
nl x
n xl
nl
n xl
nl
dx
l
l( )
sin( )
sin
���
��
���
��
����
�
�����
/2 2
0
n
ln
n xl
dxl
. sin�/
4 42 2
0
2
3 3
l
n
n xl
nl
l
n
l
�
����
�
����
cos
�)+������4�*-�/�4
1 12
3 3
l
nn[ ( ) ] "
�����):-$ �)�$��-�/�4 1 12
3 31
ln
n ctl
n xl
n[ ( ) ]cos sin
/�8 1
2 12 1 2 12
3 31
ln
n xl
n ctl
n ( )sin
( )cos
( )
"
������������3��������������������������������������'�' ������' ������������������������������������������!����
��� ��� �
2kl
x 0 xl2
2kl
l xl2
x l
������
������
����
���
,
( ),
�����������������������������������"
�����#����������� �������!��������� ���������%��
2
22
2
2y
tc
ydx
""")*-
#������������ ����"�)*-��
>�)�$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-��""")1-�M=� ���>��"�� ��'"�*N
E�������������������$��)0$��-�/�0$�)�$��-�/�0�����������������
yt�/ 0$
��� ��)�$�0-�/
20
22
2
kl
x xl
kl
l xl
x l
,
( ),
���
������)1-$ �)0$��-�/ )����������4����������-��
0�/ )����������4����������-���
���/ 0"
�����)1-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)2-
�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������
������/ 0�/�����V�����
��/nl"
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ��������������������������������� �����)2-$ �)�$��-�/ c
n ctl
cn ct
lc
n xl1 2 4cos sin sin
���
��� """)5-
�
�
���
yt
n cl
cn ct
lc
n ctl
cn x
l
1 2 4sin cos sin
�����/�0$
���
���
yt t 0
�/ 0�/�n cl
c cn xl
2 4 sin�
��
���/ 0"
�����)5-$ �)�$��-�/ ��������n ct
ln x
l
sin
/ ������n ct
ln x
l
sin ) ����������/���- """)6-
#��������%����������������
�)�$��-�/ bn ct
ln x
lnn
cos sin
1
"""),-
�)�$�0-�/ bn xln sin
1
M�����),-N
���� ���/2
00l
y xn x
l
l� ( , ) sin ���
/2 2 2
0
2
2lkl
xn x
ldx
kl
l xn x
ldx
l
l
l/
/sin ( ) sin� � �
�����
/4
2 0
2
2
kl
xn xl
dx l xn x
ldx
l
l
l/
/sin ( ) sin� � �
�����
/4
12
0
2
0
2kl
x
n xl
nl
n xl
nl
dx
l
l�
����
�
����
�
����
�
����
�����cos
.cos
/
/
4� ( )cos
( ) .cos
/
/l x
n xl
nl
n xl
nl
dx
l
l
l
l
�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
�����
2
21
/�4
2 2 2 22
0
2
2
k
l
ln
l n ln
n xl
nl
l ln
n ln
n xl
nl
l
l
l
�
����
�
����
�
����
�
����
�
�
����
. cos
sin. cos
sin/
/
/�4
2 22
2
2 2
2
2 2k
ll
nn l
nn
n
sin sin sin �
�����
�
� �
/�4 2
28
22
2
2 2 2 2k
ll
nn k
nn
sin sin�
� � "
�����),-$� �)�$��-�/�8 1
22 21
kn
n n ctl
n xl
sin cos sin
"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������������3���������������!������������������������������������
������1������l3
���������������������������������������������" ������
���������������������������������������������������������������������"
������������������� �!�����������
2
22
2
2y
tc
yx
""")*-
#������������ ����"�)*-��
��)�$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-��""")1-�)=� ���>��"�� ��'"�*-
���"�� ���������� ��+�0�/�al
0
30�)��+�0-
��/�3al
x """)2-
���"�� ���������� ��+���/�0
3 3
���
���
al l
xl
/
��+���/������
������ ���
���
al
xl a
lx
l23
332 3
��+���/�+�32 2axl
a
��/�+�32
32
axl
a �/�32
1a x
l�
����� � """)5-
B����������������������������
�)0$��-�/�0 """)6-
�)�$��-�/�0 """),-
�����������������
yt�/ 0$ """)9-
��� �)�$�0-�/
30 3
32
13
axl
x l
a xl
lx l
, /
,
������
�
�
""")L-�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-��
���/ 0"
�����)1-$ �)���-�/ )����������4����������-���������"""):-
�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������
������/ 0�/�����)����-"
��nl"
�)�$��-�/ cn ct
lc
n ctl
cn xl1 2 4cos sin sin
���
��� """)*0-
Y
A XO B
a
x = o x = /3l x = l
l
C ( /3, a)l
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ����������������������������������
�
��
yt
n cl
cn ct
lc
n ctl
cn xl
1 2 4sin cos sin "
�� ��/�0$
���
���
yt t 0
�/ 0�/�n cl
c cn xl
2 4 sin
�� �
���/ 0"
�)�$��-�/ ��������n ct
ln x
l
sin �/�������n ct
ln x
l
sin "
#��������%����������������
�)�$��-�/ bn ct
ln x
ln cos sin
1
""")**-
�����)**-$ �)�$�0-�/ bn xln sin
1
$� ����
� ���/�2
00l
y xn x
ldx
l� ( , ) sin
/�2 3 3
21
0
3
3laxl
n xl
dxa x
ln x
ldx
l
l
l/
/sin sin� � �
�����
�
� �
/�2 3 3
21
0
3
3lal
xn x
ldx
a xl
n xl
dxl
l
l/
/sin sin� � �
�����
�
� �
/�6
12
0
3
0
3al
x
n xl
nl
n xl
nl
dx
l
l �
����
����
���
���
�
����
� ��
���
����
�
�
�����
�
�
������cos
.cos
/
/
4�3
11
3
3
al
xl
n xl
nl
l
n xl
nl
dx
l
l
l
l������
�
����
�
����
�
����
�
����
������
�
����
�
����
�
�
�����cos cos
/
/
/�6
3 32
0
3
al
ln
l n ln
n xl
nl
l
�
����
�
����
�
�
����
�
�
����
. cossin
/
�4�3 2
3 31
3
al
ln
nn
n xl
nl l
l
. cos .sin
/
�
����
�
����
����
�
����
/�63 3 32
2 2
2 2a
lln
n ln
n � �
�
cos sin �4�
3 23 3
032 2
al
ln
n ln
n
cos sin �
�����
��
��
/�6 1
3 31
36 1
3 33
32 2a
nn
nn a
nn a
nn
�
��
�
�� cos sin cos sin
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ���
932 2
an
n
sin
�����)**-$� �)�$��-�/�9 1
32 21
an
n n ctl
n xl
sin cos sin
"
������������)�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"5���!��������������������������������������������������������������������������7����������������������������������"
�����#����������� �������!�������� ���������%��
�
2
22
2
2y
tc
yx
""")*-
#������������ ����"�)*-��
�)�$��-�/ )����������4����������-)���������4���������- """)1-
����������������%���� �����% )=� ���>��"�� ��'"�*-
���"�� ��E��$
��+�0�/hl
0
30�)��+�0-
��/3hl
� """)2-
���"�� �E���$
��+���/
������
h hl l
xl
23 3
3
/������
������
2
33
hl
xl�/�+�
63
hl
xl�
�����
��+���/ +�6
2hxl
h
��/ 2��+�6
3 12hx
lh
xl
���
��� """)5-
���"�� �����$ ���4���/0
23
23
������
h
ll
xl�/�
3 23
3hl
xl hx
l�
����� �+�1�
��/3
3 3 1hxl
h hxl
���
��� """)6-
B����E�������������������
�)0$��-�/ 0$���)�$��-�/�0�����������������
��������������������������������
yt
0 $
Bl
3, h
C23l , – h
23l , 0
l
3, 0
X
A( , 0)l
ED
(0, 0)
h
hO
Y
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
��� �)�$�0-�/
30 3
32
323
3 23
hl
x x l
hl
l xl
xl
hl
x ll
x l
, /
( ),
( ),
�
�
�
�
�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-���
���/ 0"
�����)1-$
��)�$��-�/ )����������4����������-��������� """),-
�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������
������/ 0�/������)����-
��/nl"
�����),-$ �)���-� cn ct
lc
n ctl
cn xl1 2 4cos sin sin
���
��� """)9-
��
���
���
yt
n cl
cn ct
lc
n ctl
cn x
l
1 2 4sin cos sin "
�����/�0$
���
���
yt t 0
�/ 0�/�n cl
c cn x
l
2 4 sin
���/ 0
�����)9-$ �)�$��-�/ ��������n ct
ln x
l
sin �/�������n ct
ln x
l
sin "
#��������%����������������
�)�$��-�/ bn ct
ln x
ln cos sin
1
""")L-
�)�$�0-�/ bn xln sin
1
$� ����
���/2
00l
y xn x
ldx
l� ( , ) sin
/ 2 3 32
30
3
3
2 3
2 3lhl
xn x
ldx
hl
l xn x
ldx
hl
x ln x
ldx
l
l
l
l
l/
/
/
/sin ( ) sin ( ) sin� � � �
�����
//3 2 /3
0 /3
2 3 2 3. sin . ( 2 ) sin
l l
l
h n x h n xx dx l x dx
l l l l l l
2 /3
2 3. ( ) sin
l
l
h n xx l dx
l l l
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
/6
12
0
3
0
3hl
x
n xl
nl
n xl
nl
dx
l
l�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
�
�����cos
.cos
/
/
4�6
2 22
3
2 3
3
2 3hl
l x
n xl
nl
n xl
nl
dx
l
l
l
l( )
cos( )
cos
/
/
/
/
�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
�
�����
4�6
12
2 3
2 3
hl
x l
n xl
nl
n xl
nl
dx
l
l
l
l( )
cos.
cos
/
/
�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
�
�����
/�6
3 32
0
3
hl
ln
l n ln
n xl
nl
l
�
����
�
����
�
�
����
�
�
����
. cossin
/
4�6
323 3 3
22
3
2 3
hl
l ln
n n l ln
ln
n xl
nl l
l
������
���
���
�
����
�
����
����
�
����. cos cos .
sin
/
/
4�6
3232
2 3
hl
l ln
n ln
n x ln l l
l
���
���
��
� ��. cos
sin // /
/�
2
36
32 2
32 2h
nn h
nn h
nn
cos sin cos
4�2
312 2
3 32 2
36
0232 2 2 2
hn
n hn
n n hn
n hn
n
cos sin sin cos sin �
����� �
�����
/� 183
18 232 2 2 2
hn
n hn
n
sin sin �/�
183
1832 2 2 2
hn
n hn
nn
sin sin ���
���
/�18
318
32 2 2 2h
nn h
nn
sin sin �����
/�36
32 2
h
n
nn
n
sin , when is even
0, when is odd
�����
�����)L-$ �)�$��-�/�36 1
322,4
2h
nn n ct
ln x
ln
, ...
sin cos sin
�)�$��-�/�9 1 2
32 2
21 2,
2h
mm m ct
lm xl
m
, ...
sin cos sin """):-
) �������/�1�-
�����%���/�l2������"�),-$� ��%��
� lt
h mm
m ctl
m2
9 23
1 22 2
1
, sin . . cos���
���
���
���
�"������/�0"
B���$��������� ���������%����� �����������"
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
������������:��������������������������������������������������������
������������������!�����!�������
���
���
yt
b sinxlt 0
3 ������������������������� "
�����#����������� �������!��������� ���������%��
�
2
22
2
2y
tc
yx
""")*-
#������������ ���������)*-��
�)�$��-�/�)����������4����������-)���������4���������-���""")1-�M=� ���>��"�� ��'"�*N
E�������������������$ �)0$��-�/�0 """)2-
�)�$��-�/�0 """)5-
�������������$���� �)�$�0-�/�0 """)6-
��� ��
���
���
yt
bxl
sin3 ������/�0 """),-
��������"�)1-$ �)0$��-�/ 0�/�)����������4����������-��
���/ 0"
�����)1-$ �)�$��-�/ )����������4����������-��������� """)9-
�)�$��-�/ 0�/�)����������4����������-���������
������/ 0�/������)����-
��/nl"
�����)9-$ �)�$��-�/ cn ct
lc
n ctl
cn xl1 2 4cos sin sin
���
��� """)L-
�)�$�0-�/ 0�/���������n xl
���/ 0"
�����)L-$ �)�$��-�/���������n ct
ln x
l
sin
/ ������n ct
ln x
l
sin � ����������/���
#���%����������������
�)�$��-�/1
bn ct
ln x
ln sin sin
"""):-
�
yt
bn cl
n ctl
n xln
1
. cos sin
�����/�0$� ��
���
���
yt
bn cl
n xlt
n0 1
. sin
����� xl
bn cl
n xln
. sin1
b xl
xl
bcl
xl
b cl
xl
bcl
xl4
33 2 2
33
12
3sin sin sin sin sin ...
�� �
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ���
cl
b 34
���/�34blc
���/�0 ���3
43b cl
b ���/�+�
blc12
����$ ���/�0�/���/�"""���"
B���� ����):-$ ��)�$��-�/�34 12
3 3blc
ctl
xl
blc
ctl
xl
sin sin sin sin
/�bl
cxl
ctl
xl
ctl12
93 3
sin sin sin sin�
� � "
���������7��3����������������������������������������'�����������������������������������������������":��������!����������!����������������������������!����������%� ����������������������������������������������������������������"
�����B���������������������������� �)0$��-�/��)�$��-�/�0
�)�$��-�/� an ct
lb
n ctl
n xln n
n
cos sin sin �
�����
1
""")*-
�=� ���>��"�� ��'"�1>�����������%� �����������������$��)�$�0-�/�0
�����)*-$�� 0�/� an x
lnn
sin
1
���/�0
�)�$��-�/� bn ct
ln x
lnn
sin sin
1
""")1-
��� ������������
yt
n cl
bn ct
ln xl
cln
nn
cos sin
11�������
n ctl
n xl
sin
E�� ����������yt�/��)�%�- ������/�0
�)��+��-�/� cl
nbn x
lnn
sin
1
���
c
lnb
lx l x
n xln
l �2
0( ) sin ���
/�2
2 22
2 2
3
3 30
l
x l xl
nn xl
l xl
nn xl
ln
n xl
l
( ) cos ( ) sin ( ) cos ������
���
���
���
���
��
����
/�4 2
3 3
l
n�)*�+�����-�/�
4 2
3 3
l
n�M*�+�)+*-�N
/�08 2
3 3
,
,
when is even
when is odd
nl
nn
��
��"�"�� 82 1
2
3 3
l
m( )$���&�%���/�1��+�*
���/�82 1
3
4 4
l
c m( ) �����)1-$����������������������
�)���-�/�8 1
2 12 1 2 13
4 41
lc m
m ctl
m xl
m ( )sin
( )sin
( )
"
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
���������9��(��!��
*56 ���%�����%�� %E�E��D'
:4� ����' ���� �����' �����"
�����B���� �����������%!���������������� ����������� ������)�$��-��������)�$��-�������!�
)��-���/ )��-��
)��-�)�$�0-�/ ��$ )��-��)�$�0-�/�������� )��-���/ )��-���4���+��
)��-�)�$�0-�/ 0$ )��-��)�$�0-�/�0#������������ �����%!�����������������
�)�$��-�/ ��)�$��-�4���)�$��-E���7���������7�� �������M��/�*$��)�-�/����$�)�-�/�����N
��)�$��-�/12M)��4��-��4�)��+��-�N�4�
1sin
2
x t
x td
/12M)��4��-��4�)��+��-�N�+�
12M���)��4��-�+����)��+��-N
/ ���4�,�����4����4����������E���������7�������� M�)�$��-�/���+��N
��)�$��-�/( )
0 ( )
1( )
2t x t s
x t sr s drds
�/�
( )2
0 ( )
12 2
x t st
x t s
rsr ds
/ 20
1[2 2( ) 2 ]
2
ts t x s tx ds �/�
3 2
0( )
3 2
ts s
t x txs
/3 2
( )3 2t t
t x �4�����/�+�3 2
6 2t t x
B����)�$�-�/����4�,�����4����4�����������+�3 2
6 2t t x "
�� ������
����������������� ��� ����#� ����������������������� ��������������������������� ����� ��$����� �C�� ������������ ������������������������� ��� �#���� ������"�����/�#������������!�
� 8 ���G�������4����D�� '���#���'���� 7���#��� ���'#���'�
���
���
yt t 0
���� �#
��� �#�� �#���7������� ��#�� �#���0�����/��"�/�����7��$ ����������������� �� ������������������������������������������������������'���������/����
���� �� ����������������������������������������� ������ ������� x2
���
���
�����������������
�����C�� ������������ ������������'�% ���������� ��� �� ����������� �� ��������������������� ���������#�����������������������
� ����� ��G
�������� �# ���������'
���yt��� �# ���������'
�������������������������� �� �������������������������������������
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
& %���������� ��� ������������������������� ���������������������������������������� �
2
2
2
2u
t
u
x%���������� �������������������������������������%�������������� ��������C�� ������������������������ ����� ���'#���/ ������������0�#������������������� �� ����#� �����������������������������������
' F�����B?�@������?����� �������������������� �� ��������������������� ����������������������������������������������� �����C�� ��������������������� ��� �#���� ��"���#�
( %�������� ����������������������������� ���������#������������������'���������#���%������������������������������ ������������������������� ��������������������������������������������'��8� ������
� ����#���2 12
2 21
dl
b l b n
n bl
n xl
n ctl
n
( )
sin sin cos
�
) ����������������� �� ����������������������� ��������������� �������� ���������������������
����������� ��������C�� ������������������������� �������������� ���'#���1 0
12
112
1
,
,
���
��
���
��x
x�
* ����������������� �� ����#� ��������������������������������������� �������������������������������������������� ������������ ���� �������������
��������13
����0����15
�����7�� '�����!
! @����������������������������������� ��� �� ��������������#����������������������������� ����#��������� ���������������������� � ��������������������������G
� ���'#���@���� 2 x
l
8 ��������� �� ������������$� ������������� ���� �HI+#G
2
2
u
t��
2
2
u
x� '�J���J�!� ��6�'
'���#�� /� !���#���0� ���'
���'#�� /������������
0t
ut �� '�
� 8 ��������� �� ������������$� ������������� ���� �HI+#G
2
2
u
t��
2
2
u
x� '�J���J�!� ��6�'
� '���#�� !� � !���#���0� ���'
���'#�� ������� � ���'#������ ����
$ F���B?@������?��� ����� �� ���������I+G
��� 4��� "��J���J�� ��6�'
���'#�� ������ � ���'#���4�
% ��� ����#���������� ������/��������� ��� �� ���������������������� ���
��������� �"��J���J�� ��6�'
���'#���� �#� �� ���'#���/�
F���B?@������?��� ����� ������� �#�
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
& 2������������ ��� ��� ������������$������� ���G
�# +B) ��������� "��J����J�� ��6�'
�>� ���'#���2xe � � ���'#���'
��# +B) ��������� "��J����J�� ��6�'
�>� ���'#���'� � ���'#����2xe
���# +B) ����������/� "��J����J�� ��6�'�>� ���'#���'� � ���'#���'
��# +B) �����4������������� "��J����J�� ��6�'�>� ���'#���'� � ���'#���'�
2�34��3
� ����#��� � ����������"�� ��/������/�#
� �#�� ����#���52
�����������/� � ��#�� ����#���34
�����/������4��"�1
5�����7������!'�
$ � ����#���34 2 2
14
32
32
sin cos sin cos x ct x ct
% � ����#��� sin cos sinn x
la
n atl
bn at
ln nn
���
���
1
����� �����2
0lx
n xl
dxl� F( ) sin
��� �����
2
0nax
n xl
dxl
� ( ) sin
& � ����#���/K� ������������� ��0������0�L ' � ����#����� !�"����"�0����#
) � ����#��� 2 11 2
21
nn
nn
n x n ct
���
���cos cos sin cos
* ����#���������� �������13
�����0��� ��0�����15
�����7��� ��7��
! � ����#���@����� 2 2
cosx ct
l l� ����#���/�������������� ���
� ����#������������������ ��������� $� ����#���������� ��/����4�
% � �#��������
& �#� ����#���2 2( ) ( )1
[ ]2
x t x te e ��# ����#���2 2( ) ( )1
[ ]4
x t x te e
���# ����#����� ��# ����#���� ��"������#
#��� ��������� �6�&�+�������� �& #��� ����
3�� ������ �� � ������ ���� �������� ��� ���� !�������� � � �� �%����� �����������������)��������������������� �������-"�3������������������������������������ ����������������������������������%������������������!����������������������"����#��������������������������%���������������������� ��������������������������"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������������ ����������������������� �������������"����������������������$����������������������.�����$����� �����#��)���%���������������������-����������������%���� ����%�������������%��������������������D�����"�>�������!�������������
/�)#�-�����+�)#�-�����/�#�)�����+�����-������'������$��������������������
�/�#��
���
���
���
���
�
��
ux
uxx x x
�/�#���
���
�
��
�
��
ux
ux
xx x x
�
���
�/�#���
2
2
ux�������� ����������� ������'�����"
>������$� ���� �����#�� ���%� ��� ���� ��%��� � � ���%����� ��!�� ���� !�����
����������#���
2
2u
y"
B����������������� �������� ��������������
�)���-�
���
���
2
2
2
2
2
2u
tu
xu
yT ���
��
���
���
2
22
2
2
2
2u
tc
ux
uy
��������/�Tm"
#��������� �!������������� ����������"
�������������&�+�������� ��& #��� ����
# �.���������� �!�����������
�
���
���
2
22
2
2
2
2u
tc
ux
uy
""")*-
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
��� ��/�HI# """)1- �����H����� ������� �������$�I����� ������� ������������#����� ������� �������$�������������� �)*-"
#��� ��
2
2
ut�/�HI#$�
2
2u
x�/�HI#�����
2
2u
y�/�HI#
>��������%���)*-$� ����!�� 12c�HI#�/�HI#�4�HI#
�!��%����HI#$� ����!�� 12c
TT
XX
YY
""")2-
#��� ���������������� �������������������������"������%��������������������$� ����!�
� � ddx
2
2X �4�1�H�/�0$�
d
dy
2
2Y�4���I�/�0 ��� d
dt
2
2T �4�)1��4���-��#�/�0
#������������� ��������������������������!���H�/ ������1��4�������1�
I�/ ���������4���������
��� #�/ ����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26
2 2 ��
B���� ����)1-$������������ �)*-���)�$��$��-�/ )������1��4�������1�-)���������4���������-
M����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26
2 2 ���N
""")5-
�� �����������������������������������������%����������������������� �����������
��/�0$���/��$���/�0$���/��"
#����������������������������(
)�- ��/�0$� ������/�0
)��- �/�0$� ������/��
)���- ��/�0$� ������/�0
)�!- ��/�0$� ������/��� ��������"
������%������������)�-$� ����!�
��������0�/���)���������4���������-M����� ( ) sin ( )k l ct c k l2 26
2 2 ��N
�"�"$ ���/�0
�����%� ��� /� 0� �� )2-� ���� ������%� ���� ������� )��-$� �� ��!�� ��� 1�� /� 0
���1�/�ma$� ���������������%��"
>������$�������%�������������)���-�����)�!-$� ��%��
���/ 0 �� ��/�nb$� ���������������%��"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
#���� ���$�������������)2-�������
�)�$��$��-�/ ��������m x
an yb
sin �)��������4���������-
�������/�� ma
nb
2
2
2
2
=�����%������������������������������$� ����� ��������%�����������������
�)�$��$��-�/m n
m xa
n yb
1 1
sin sin
�)��������4�E�������- """)6-
�� � � �������� � ���� � ��������� � ������� � ���� ����� ���� ���� ����� ��������/��)�$��-��"�"���)�$����0-�/��)�$��-"
#����������%�����������(���ut�/�0� ������/�0$� ��%���E��/�0"
��������%�����������( ��/��)�$��-� ������/�0$� ��%��
�)�$��-�/m
mnn
m xa
n yb
1 1
A sin sin
"""),-
#��������������������������"�;�������%�����������������m x
an yb
sin ����
���%����%� ������/�0������/���������/�0������/��$��!�����������������%����'��������������D���"�#���$� ��%��
0 0 4
a bf x y
m xa
n yb
dy dxab� � ( , ) sin sin
���
�"�"� ���/�4
0 0abf x y
m xb
n ya
a b� � ( , ) sin sin ������ """)9-
B���$� ����)6-$����������������������
�)�$��$��-�/�m n
mnm x
an yb
1 1
A sin sin
������
����������%!������)9-�������/��ma
nb
2
2
2
2 "
�������������
���������#� ����������������������� �����������������������������.�������������!����������������������������������������� �3�������,�"
�����#���!��������� �������������������������%�!���������� ����������� �!���������
���
���
2
22
2
2
2
2u
tc
ux
uy
""")*-
B����������������������������$ �)0$��$��-�/�0$��)*$��$��-�/�0$ �)�$�0$��-�/�0$��)�$�*$��-�/�0
��� ��������������������
��)�$��$�0-�/��)�$��-�/�����������1� ���
���
���
ut t 0
�/�0
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
#�����!�����"�)*-$���� ��/�HI# """)1- �����H��� ������� �������$�I����� ������� �������$�����#����� ������� �������"
2
2
2
2
ut t
�)HI#-�/�HI�ddt
2T2
2
2
2
2
2ux x
ddx
(XYT) = YTX2
2
2
2
2
2u
y y
d
dy(XYT) = XT
Y2 $
�����)*-$ �HI#�/�)I#H�4�H#I-��
12c
TT
XX
YY
#��� ���������������� ��������������������������"�������%�������������������$� ����!�
�� ddx
2
2X �4�1�H�/�0$�
d
dy
2
2Y�4���I�/�0 ��� d
dt
2
2T �4�)1��4���-��#�/�0"
#������������� ��������������������������!���$
H�/ ������1��4�������1�
I�/ ���������4���������
��� #�/ ����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ���"
�)�$����-�/ )������1��4�������1�-)���������4��������-
M����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ���N """)2-
�����)2-$��)0$��$��-�/�0�/���)���������4���������-)����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ���-
���/�0"
�����)2-$�)�$��$��-�/�������1�)���������4���������-
)����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ��-��""")5-
�)*$��$��-�/�0�/�������1)���������4���������-)����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ��-
����1�/�0�/������)����-
1�/��"
�����)5-$ �)�$��$��-�/���������)���������4���������-
)����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ���- """)6-
�)�$�0$��-�/�0�/����������"���)����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ���N
���/�0"
�����)6-$
�)�$��$��-�/������������������)����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ���- �"""),-
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� �)�$�*$��-�/�0�/�����������������)����� k l ct c k l2 2
62 2 sin ���-
���������������/�0�/������)����-
��/��" �����),-$
�)�$��$��-�/������������������)����� k l ct c k l2 26
2 2 sin ��-
�)�$��$��-�/�������������)���������4�E�������- """)9-
���� ��/��� m n2 2 "
#��������%����������������
�)�$��$��-�/�m n
1 1
������������)���������4�E�������-
""")L-������%�����������$
�
ut
0 �����/�0
��%�� �E��/�0 """):-
����$����%��������������/��)�$��-�/�����������1� ������/�0$� ��%��
� ����������1��/�m n
1 1
��������������
#���������������������>����"
� ���/�21
21 0
1
0
1. sin� � A �����1������������������
��!�����$ ���/����/����/�""""""�/�0
E��$ � ����/�5��0
1
0
12 2� � sin sin sin x m x y dxdy
/�1��0
1
0
11 4� � sin sin ( cos ) x m x y dxdy
/�1��0
1
0
144� ���
���sin sin
sin
x m x yy
dx
/�1��0
1� sin sin x m x dx
�%��$���!�����$
�����/�����/�����/�"""�/�0
E��$ �����/�1��0
12� sin x dx �/���
0
11 2� ( cos )x dx
/��� xx�
�����
sin 22 0
1
�/�� """)*0-
�����)L-$�):-�����)*0-$� ��%��
�)�$��$��-�/����������1������� """)**-
���� ��/��� m n2 2 �/�)*-� 1 4 �/� 5 �
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
�����)**-$��)�$��$��-�/������ 5 ����������1�"
�������� �8�� ��� ��� ���������� ���� �� � �� � ���������� ���������' � �� ' � � ����� �������� �� ����� F �!�� ���� �� ������ ���� ���� ���������' �����%� ��%� "(������������������������!����
������� � A cos ckt sinm x
asin
n ybmn
n 1m 1
����� 3�/16a bm n
2 2
3 3 6�.%���� �.%���� ��� 1���
ma
nb
2
2
2
2���
��� "
������������%���������"�1"**$� ����!�
�)�����-�/�m n
1 1
������m x
an yb
sin ������
���� ��/��� ma
nb
2
2
2
2 """)*-
�����)*-$� �)���$�0-��/�m n
1 1
������m x
an yb
sin
���)��+��-)��+��-�/�m n
1 1
������m x
an yb
sin
���� � ���/�2 2
0 0a bxy a x b y
m xa
n yb
dydxa b
. ( ) ( ) sin sin� �
/�4
0 0abx a x
m xa
dx y b yn yb
dya b� � ( ) sin . ( ) sin
��/�4
2 22 2
2
3 3
30
abx a x
m xa
ma
a x
m xa
ma
m xa
ma
a
( )cos
( )sin
( )cos
�
����
�
����
�
�
����
�
�
����
�
�
����
�
�
����
�
����
�
�
����
W� y b y
n yb
nb
b y
n yb
nb
n yb
nb
b
( )cos
( )sin
( )cos
�
����
�
����
�
�
����
�
�
����
�
�
����
�
�
����
�
����
�
�
����
2 22 2
2
3 3
30
�/�4 2 2 2 23
3 3
3
3 3
3
3 3
3
3 3aba
mm
am
bn
nb
n
� �
�
� �
�
cos cos
/�4 2 23
3 3
3
3 3aba
mb
n. .
�M*�+�)+�*-�N�M*�+�)+�*-N
� ���/�16 2 2
3 3 6
a bm n
�M*�+�)+�*-�N�M*�+�)+�*-N"
B���� ����)*-$
�)�����-�/� 16 1 1 1 12 2
61 1
3 3a b
m nm x
an yb
m n
n m
[ ( ) ] [ ( ) ]sin sin ������
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ���� ��/��� m
anb
2
2
2
2 """)1-
�'��������)1-���������������������$
�)�$��$��-�/�m n
1 1
��������1�����m x
an yb
sin
���� ��� 16 2 2
3 6 3a b
m n)*�+�����-)*�+�����- ��� 1��/���
ma
nb
2
2
2
2���
��� "
������������3���������������������������������������!������������������������������������������1���,�����"(����������������������������������
1���,��������� 5 �� "
�����B���� ����!��������!��������������
���
���
2
22
2
2
2
2u
tc
ux
uy
������������������� �)0$��$��-�/��)*$��$��-�/��)�$�0$��-�/��)�$�*$��-�/�0
�������������������� �)�$��$�0-�/��)�$��-�/�1����1������
ut�/�0 ������/�0
�������%�������'"�*$� ����!�
�)���$�-�/�m n
1 1
�������������������� """)*-
>��$ ��/���/�*$ �������/��� m n2 2
��� ����/�4
1 1 0
1
0
1
� � k ���1�����������������������
/�51�0
1
0
12� �sin sin sin sinm x x dx n y y dy
/�0 ������1 �� ���*
�����/�51)12 -)
12 -�/�1 ��� ��/��� ( ) ( )2 1 52 2 �
B������������)*-������������)�����-�/�1����1����������) 5 ��-"
�� ������
�������������������� �������#� ���������������������� '�J���J�!��'�J���J�/#��� ��� ��������������������������������������� ���������� ������'#����� !�"��# /����#�
� ����������������� �� �������#� ���������������������� '�J���J����'�J���J��#��� ��� ��������������������������������������� ���������� ������'#����� ���"���#� ���"���#�
$ ����������������� �� �������#� ��������������������������������������������������������������������������� ���������!������������������� ��������C�� ������������������������� ����
� ����#���sin sin .2 3 xa
yb
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
2�34��3
�������#����m n
1 1
�@��������� ��������n y2
��� ���������������@�������2563 3 6m n
���� ��
��� �� ������������� mn2
2
4
� �������#����m n
1 1
@�������m x
an yb
sin �� ������������@�����
144 3 3
3 3 6a b
m n ����������
m
a
n
b
2
2
2
2 �
$ �������#����sin sin cos2 3 xa
yb
pt �����������4 92 2a b �
��+�������� ��� �����&� � �
� �
��
�
� ��
� �
������������ �� �� ���������������%������� �������"���������������������������� � ������������ ����������������� ������ ������ ��������������������������������������%�%���"�#�&����������� ��������������%������������������ � �� �����������!���.�'�"�#������������������������������ ��������������������������������� ���������� �������������������������"�����$������������������ ������������ ��������.����������������"
#����������� �����������%������������ ���������������������������������������� � � ���� ����.�����$� ���� �����!���X� � � ������������ � � ���� ���� ���� ���
������������%�������ux��"�"$������� ����%��� ������������� "�"�"�����������������
��������"
?�$�������������� ������ �� �%����������������������������
/�+X��������
ux x
�������"
)������%��!���%����������%��������������������������������$�����������-"
?�$�������������� ������ �� �%������ �������������������������4��
/�+X��
���
���
ux x x
�������"
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
B���������������� �������������������������� �����&��������
?��+�?��/�X��������
������
�
��
ux
uxx x x
�������" """)*-
E������������� ��������� �����������������/�>���� ut
""")1-
�����>���������� ����������$������������� ������������"
�����)*-�����)1-$�>����ut�/�X��
������
������
�
��
ux
uxx x x
�� �>� ut�/�X�
� ��
�
��
�
��
ux
ux
xx x x
��
#�&�%���������������0$� ����!�
>�
ut
ux
K2
2��
ut
u
x
KS
2
2
����������
ut
cu
x2
2
2�$�� ��������/�
KS���&�� ������ ��!���� �������������� ��������"
���������������� ���� ����
#����������������� �� �
ut
cu
x2
2
2 """)*-
��� ��/�H# """)1-
�����H����� ������� ������������#����� ������� �������$��������������� �)*-"
#��� �ut�/�H# ���
2
2u
x�/�H#
>��������%���)*-$� ����!�� � �H#�/���H#
>�������%�����!�������$� ��%���XX
TT
12c
""")2-
�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������="B">"����� ������� �������">��������������������������!�������$�������������������������� �������������������������������$�����1"�#�����������)2-����������������������� ����������������"
ddx
2X2 �+�1H�/�0 ���
ddtT�+�1��#�/�0 """)5-
>��!�%����������)5-$� ��%��
)�- 9���1��������!��� ����/���$����
��H�/�������4����
���$�#�/����ec p t2 2
)��- 9���1�������!������/�+���$����
H�/����������4���������$�#�/����ec p t 2 2
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
)���- 9���1�'
H�/�����4���$�#�/���"
#��������!������������������������ ������������������)*-����(
��/�)�������4�����
��-�"����ec p t2 2
""")6-
��/�)���������4���������-�"���e c p t 2 2"""),-
��/�)����4���-�� """)9-
� ���������������������$� ����!������������������������ ������������� ���������������������� ������������"�>�����������������������������$�������������������������� �������������������
��/�)���������4���������-���ec p t 2 2
"
>�������)6-�����S�����������������"����$���������)9-�����S����������%!��������.D���������������������������"
����������������� �����������
�� ���������������� ��������������� �����������&���������������������������� ������ ����D���"
�������������EG�$ ���/ ���$�0�P���P��$���8�0
�)0$��-�/ $���)�$��-�/�V����0�)�$�0-�/ �)�-
#����!�������������%�������������������������������%����������������������$� ���������� ���� �%������ �������� ������(
�)�$��-�/ L
x �4�!�)�$��-
3�������������� �������� �!�)�$��-� ������%�!��������������EG�(
!��/ !��$ 0�P���P��$ ��8�0
!)0$��-�/ 0�/�!�)�$��-$ ���0
!)�$�0-�/ �)�-�+� L
x
!)�$� �-� ��� �� � ������ ��� ����� ���%�������� � � ���������� � � !�������"��������������)�$��-��������������������������� ����������"
�������������
�����������3��� �� ����� ����� ��������� ����� �� ����������� ���������������������":�������������������������'G4������1��������������������" ������������������������������ "
�����#��������������� �������)�$��-����� �������� ���������������
ut
cu
x2
2
2
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������!��������"�1"*2$� ����!�
��)���-�/�)���������4���������-���e c p t 2 2
""")*->��������������/�0�������/����������������0Y������&�����������������������
�����%����$���������������������������)0$��-�/��)�$��-�/�0� ��������
������)�$�0-�/��������������������">����)0$��-�/�0$� ����!�� ����)*-$
0�/ ����e c p t 2 2 ���/�0
�����)*-$ �)�$��-�/ ����������"�e c p t 2 2
""")1->����)�$��-�/�0$� ����!�� ����)1-$
0�/ �����������"�e c p t 2 2
������/ 0 ���/��
��/nl$������%�������%��
>�������)1-������������)�$��-�/�������n x
le
c n tl
. 2 2 2
2
����������%�����������"
#��� ����� %������� �������� �� �������� ��� ����%� ���� ���� ��������� ����/�*$�1$�2$""""""
�)�$��-�/� bn xl
en
c n tl
n
sin .
2 2 2
2
1
""")2-
>����)�$�0-�/��$� ����!����/� bn x
lnn
sin
1
�������� .���%������������ ����"
���/�2 0
40
0 0lu
n xl
dxn
un
nl�
�����
sin,
,
when is even
when is odd
B�������������������� �����
�)�$��-�/�4 10
1 3 5
2 2 2
2un
n xl
en
c n tl
, , ......
sin
/�4 1
2 12 10
1
2 12 2 2
2un
n xl
en
c n tl
sin( )
( )
"
������������ ������������������������������,������������1�����
���������������������������������������������������������� x2
3 sin5 x2
"
����������)�$��-�����������������������������"�#�����������������������
�)0$��-�/ 0�/��)1$��-� ��������" """)*-
#����������������
�)�$�0-�/ ���x2�4�2����
52x
""")1-
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
���.��������������� �� ����������
ut
cu
x 2
2
2 """)2-
�������������
�)�$��-�/�)���������4���������-���� e c p t 2 2 """)5-
�)0$��-�/�0�/����� e c p t 2 2C�<��%�)*-
���/�0
�����)5-$
�)�$��-�/������������ e c p t 2 2""")6-
�)1$��-�/�0�/���������1� e c p t 2 2C�<��%�)*-
����1��/�0�/�����
��/�n2$�����
B���� ����)6-$
�)�$��-�/�������n x2� e
n c t2 2 2
4
C� �����/���
#��������%����������������
�)�$��-�/�n
1
������n x2� e
n c t2 2 2
4
"""),-
�)�$�0-�/����x2
���
��� �4�2����
52x�
����� �/�
nnb
n x
1
2sin
/�������x2
���
��� �4�������
22x�
����� �4�"""�4������
52x�
����� �4�"""
�������%$� ��%��
���/�*�������/�2
B���� ����),-$
�)�$��-�/���� x2
���
��� � e
c t2 2 4/ �4�2���� 52x�
����� � e
c t25 42 2 / "
������������3�������������������������������3���H������������'G4���.''G4��������!��������������������������������!���":�H�������������������'G4���������������'G4�����������������������������������3�������"
���������������������������������������������������������������3��,'G4����������������H��I'G4"
��������������������������������������������
�u lx
lx1 0
100 0 100 ���
���
���������������������������)�"�"����������������-��
ul
x2 00 0
0 ���
���
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
#��%���������������������������$
��/���)�-�4���)���-
�������)�-� �� ���� ������� ������ ���������������������� �� ���� ���"���)��� �-� �� ���������������������������������� ������������D����������������"
��)�$��-����� ���������������������� �� ��������
�)�$��-�/�n
n nc p ta px b px e
1
2 2
( cos sin ) – """)*-
���������������$ �)0$��-�/�0�/��)�$��- """)1-
�����)*-$ ��)0$��-�/�0�/�n
nc p ta e
1
2 2– ���/�0 """)2-
����$ �)���-�/�0�/�n
nc p tb pl e
1
2 2
sin –C����%�)2-
�������/�0�/�����$�����
�� ��/�nl
""")5-
�����)*-$�)2-�����)5-$��)�$��-�/�n
n
nl
c tb
n xl
e
���
���
1
22
sin–
""")6-
<��%������������$
�)�$�0-�/�100
1l
x bn x
ln
n
sin
�������� .���%������������ ���100
lx.
���2 100
0l lx
n xl
dxl� sin
/� 20012
0
0lx
n xl
nl
n xl
nl
dx
l
l.
– cos.
– cos
�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
�
�����
/�200
2
2
0
ll
nn
ln
n xl
nl
l
�
����
�
����
����
�
����
cossin
�/� 200
1n
n
( )
B�������������������� �����
�)�$��-�/ –( )
sin200 1
1
2 2 2
2
n
n n c tl
nn x
le
:����������������������������������������������������� ����������"�"�
�)�$�0-�/100
lx"
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
E���������������������)0$��-�/�10������)�$��-�/�L0� �������!������� �������$� ��������������������������
���/ 10�4�80 20�
�����l
x �/�10�4�60l
x
#���$ ��/ ��)�-�4���)�$��-
��/ 10�4� 60
1
2 2
lx a px b px e
nn n
c p t
( cos sin ) – """),-
�)0$��-�/ 10�/�10�4�n
nc p ta e
1
2 2– C������),-
���/ 0
�����),-$ ��/ 10�4� 60
1
2 2
lx b px e
nn
c p t
sin – """)9-
�)�$��-�/ L0�/�10�4� 60
1
2 2
ll b pl e
nn
c p t
sin C������)9-
0�/n
nc p tb pl e
1
2 2sin –
������/ 0�/�����$�����
��/nl
""")L-
�����)9-�����)L-$ ��/ 10�4� 60
1
2
lx b
n xl
en
n
n cl
t
���
��� sin
–
"""):-
<��%������������$
�)�$�0-�/100
2060
1l
xl
x bn x
ln
n
sin
� 4020
1l
x bn x
ln
n
sin
���� ���/2 40
200l l
xn x
ldx
l� ���
��� sin
/2 40
2040
0
0l lx
n xl
nl
l
n xl
nl
dx
l
l�
�����
�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
�
�����cos
.cos
/2 20 20 40
0
ll
nn
ln n
n xl
nl
l
�
����
�
����
����
�
����
cossin
/
�����
401
080
nn
n
nn
( cos ),
,
when is odd
when is even
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
B������������):-�������$
�)�$��-�/ 10�4�60 80 1
2, 4
2
lx
nn x
le
nn
n cl
t
���
���
, ...( )
–sin
is even
/ 10�4� 60 40 1 2
1
4 2 2 2
2
lx
mm xl
em
c m tl
sin–
"�)��&�%���/�1�-
������������)������3���H�������������,'�������������������0'G4���I'G4�������������������!����")�������������������������������������� �� /'G4���2'G4 ��������!���" ��� ��� ����������������������� ������������� ")�������������������������������������������!������������������������
�������������������������k
c2
�."
��������������������������������������������
���/ 20�4�80 30
2030
52
���
��� x ��
���������������������������)�"�"����������������-��
���/ 50�4�60 40
20�
����� ���/�50�4��
#��%���������������������������$
��/ ��)�$��-�4���)�-
�������)�-������������������������������������������������������)�$��-������������������������������������� ������������D����������������"
� ��)���-����� ���������������������� �� ��������"
��/ 50�4���4� ( cos sin )a px b px en np t
n
2
1
""")*-
���������������$
�)0$��-�/ 50 """)1-
�)10$��-�/ ,0 """)2-
�����)*-$�����)1-$ �)0$��-�/ 50�/�50�4� a enp t
2
1
C������)1-
0�/ a enp t
2
1 ���/�0 """)5-
�����)*-$
��/ 50�4���4� b px enp t
n
sin
2
1
�%��$ �)10$��-�/ ,0�/�,0�4� b p enp t
n
sin 202
1
0�/ b p enp tsin 20
2
1
���10��/ 0�/�����$�����
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ��������������������������������� ��/
n20
��/ 50�4���4� bn x
en
nt
n
sin
2020
1
2
���
���
""")6-
<��%������������$
�)�$�0-�/ 20�4�52
x �����"�)6-$� ��%��
20�4�52
x �/ 50�4���4� bn x
nn
sin
201
32
x �+�*0�/ bn x
nn
sin
201
���� ���/220
32
10200
20� ���
���x
n xsin
����/�+�
20n�M1)+�*-��4�*N
�����)6-$ �)�$��-�/ 50�4���+� 20 2 1 120
20
1
2
( )
sin �
�� �
�����
n n
t
nn
n xe "
������������)�����������������������������������������������������������������������'��������!����������������������������������
ut
ux
2
2
3���������������������������������������������' ���� ����,��������������������������������������������������"
����
ut
ux
2
2 """)*-
������������� �)�$��-�/���e p t 2�)���������4���������- """)1-
>����������� ��������������������$���������������������� �����������������������������������������
ux�/ 0 �����/�0 """)2-
���ux�/ 0 �����/� "")5-
�����)1-$
ux
c e p t1
2�)+�����������4����������-
�� ��/�0$ 0�/ c e pcp t1 3
2 ���/�0
�����)1-$ �)�$��-�/ �����ep t 2������ """)6-
�%��ux�/ +������e
p t 2������
�� ��$
0�/ +������e p t 2�����
�����/ 0�/������)����-��/ � ��/��
�����)6-$ �)�$��-�/ ���e n t 2
������ ���� �����/���
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
;����%����������������
�)�$��-�/ b enn t
n
2
1������ """),-
�)�$�0-�/ ���1��/� b nxnn
cos
1
�������%$� ��%�� ���/ * ��� ��/�1"������������ 7������D���"
�����),-$ �)�$��-�/ �������1�"
���������7��(��!������������
ut
ux
2
2�������������������������' �0���
�����'�� �'������ �'������'E�E�"
�����#�������������������������
�
ut
ux
2
2""")*-
��%!����� �)�$��-�/ ��e p t 2
�)���������4���������- """)1-
�����)1-$ �)0$��-�/ ����e p t 2
0�/ ����e p t 2
���/ 0"
�����)1-$ �)�$�-�/ ����e p t 2������ """)2-
�)�$�-�/ 0�/�����e p t 2
������
������/ 0�/�����)����-
��/nl"
�����)2-$ �)�$��-�/ ����en x
l
nl
t2 2
2
sin �/���e
n xl
n tl
2 2
2
sin
#��������%����������������
�)�$��-�/ b en x
lnn t l
n
( / ) sin2 2 2
1
""")5-
�����)5-$ �)�$�0-�/ bn x
ln sin
1
2�������/ bn x
ln sin
1
"
����������%!��$ ���/ 2$���/�*"
B���� ����)5-$����������������������
�)�$��-�/�2 e n t
n
2 2
1
������"
��������� �������������� �
�����
%&&�� ���������������������������������
�������� �9��3������� ��������� ����� �� ��������� �� � ����������� 'G4���������")�������'��1�����'G4������������������������������������
������ux
�3������������3�����������" ������������������������������ "
������������������������ �� ����������
ut
cu
x2
2
2""")*-
�������������
�)�$��-�/ ��e p c t 2 2)���������4���������-
�� �)�$��-�/ )���������4�E������-�e p c t 2 2""")1-
������%�����D������������������$
�)0$��-�/ 0�/���e p c t 2 2
���/ 0"
�����)1-$ ��)�$��-�/�E������e p c t 2 2
""")2-
�����)2-$ �ux�/��E������e p c t 2 2
"
�� ��/��$ ��
���
���
ux x l
�/�0�/��E������e p c t 2 2
��������/�0�/���� n ���
���2�V����� �� ���/�)1��+�*-�
2
��/�)1��+�*-�2l"
�����)2-$ �)�$��-�/�E������e p c t 2 2""")5- �������/�)1��+�*-�
2l
#��������%����������������
�)�$��-�/� Bnp c t
n
px esin
2 2
1""")6- �������/�)1��+�*-�
2l"
#���������������%!��� ������������������
)�- ��/�0������/�0 )��-ux�/��������/�� """),-
#������������������ ������ ��������D���������������"�>�� ���������)6-�����������
��/�����4�E
������%��������E���������),-������� ��"
#���%!��$ 0�/�E ��� ����/��
�)�$��-�/����4�n
np c tpx e
1
2 2
B sin ��""")9- �������/�)1��+�*-�2l"
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������%�������������������/�0������/�0$� ����!�
0�/ ���4� Bnn
pxsin
1
�� +���� Bnn
pxsin
1
���� E��/2
0lx px dx
l� ( ) sinA $� �������/�)1��+�*-�2l
/ �
�����
���
���
���
����
�����2
10
0
Al
xpx
ppx
pdx
llcos
.cos
/ +�2 1
0
Al
l plp p
pxp
l
���
���
��
����
cos sin
/�
�
� �
2 12
Al
l plp p
plcos
sin �/�+2 22 1
2 12
2
2 2A ( )
( )sin ( )
l
l nn
��������)� ������/�0-
/�
�
�����
82 1 22 2
Aln
n
( )
sin �/�82 12 2
Aln ( )
�)+�*-� """)L-
�����)9-$ �)���-�/ ���4�8 1
2 121
2Al
nn
n
�
��
( )( )
����)1��+�*-�
xl
e
n c tl
2
2 14
2 2 2
2�
���
�
���
( )
���������#��(��!��
ut
ku
x
2
2 ������������������
)�- ������� )��-ux�/'�����'������
)���- ��/����+����������/�'����������/�0�������/��"
�����>����������
ut
ku
x
2
2��
�)�$��-�/ ��e c kt 2
�)���������4���������- """)*-
���"�)*-����� ���������������� ���
������%�ux�/�0� �����/�0�������/������)*-$� ��%��
���/ 0
��� ��/nl$����
��/ �����en xl
n ktl
�
���
��2 2
2
cos �/�������
n xl
e
n ktl
�
���
��2 2
2
""")1-
�%��$������������������������������/ ���)����4���- """)2- C� ����/�0
������%�ux�/�0� �����/�0������/������)2-$� ��%������/�0
��/ �����/�a0
2�)���- """)5- C������)2-
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
#���%�������������������������� ����������)1-�����)5-� ���!�������"
�)�$��-�/a
an x
len
n ktl
n
0
12
2 2
2
�
���
��
cos
""")6-
�� �������%���/����+���� �����/�0�������"�)6-$� ��%��
���+����/a
an x
lnn
0
12
cos
B���$ ��/2
30
22
llx x dx
ll� ( )
���/2
0
2
llx x
n xl
dxl� ( ) cos
/ �����
4
0
2
2 2
l
nn
n
;
;
when is even
when is odd�C�������� ����
��/l l
nn x
le
n
n ktl
2 2
22,4
264 1
2 2
2
�
���
��
,...
cos
������/�1�$� ��%��
�)�$��-�/l l
mm xl
e
m ktl
m
2 2
2 2
4
16
1 22 2
2
�
���
��
cos
�� ������
�#�8 ���G�
ut
u
x
2
2D��� ����������E����� ������ ������� ����� ��� '���#���'�� ���#��
'������������������ ����� �� ���'#�������/��
��#�8 ���G�
ut
au
x2
2
2 �����������
�#����'����������'���������#�� ������� �#����0�����xl
����������'�� ��������
���#�8 ���G�������������������� ����� ���� '���#���'���� ���#������ ���'#����� '�J���J�#�
� �#�B�������� ���� � ��� �� �� ��$������ ���� ����� ����� ��
ut
cu
x2
2
2 � ������ ���
� ������ � ����� ��� ���� '�� �#� �� '�� #�� �#� �� '� �� 6� '#� ���� ���� �������� � ����� � ���'#�����G�#������������������ ����������
��# ���������������������������� �������� �� ���������/���� �������� ���������������������������C�� ������������������������������������ ������ �#���!''��
$ %���������� ����������� ���������!'��� ��� ���� �������������� ����������������������� ��������� ������ %��� ����� �� ���� ���� ���� .���� ��� ����� 'M>� ���� �������� ����� ��� �#���� !'�"��#�
���������������������������������������� ������
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
% ������������������� ����#������� ���� ������ �������� ���������������� ��������
*������������������.�������C�� ������������������������������������������ x x d( )LL2 �
& @�� ���� ��� �� ��� ���������������� ���������!''����������������.�������C��
����������������������������������������� ���'#���x xx x
,,
0 50100 50 100
���������������������� ����#������������
' ����� ���� ���������� ��� �#� ������������ ������������'����� ����*�����.������� C�� ���������������� ���������������������� �#������������
� �#���k x
x
,
,
when L
when L L
012
012
���
����
( ���������������������������� �������� �� �������������������� ������������������������������������������������������������������� �����!''�� ����
) ����������������������������������� �� ���������*������� ����������������� � �����
���������� ��������� ���������� �����������#�������������������������������� xL
�������
� ��
* �# %������������� ��������7'���� ��������������������������.�������'M���� ����������!''M�������� ���������������������� ����� ������������%����� ������������������������������� ��������������������������������C�� ���������������������������������������������������� ��
��# @� ���� !'� �� � ��������� ��������� ������� ���� ���� �����@� ����H����������� �������������7'M>�����!''M>��������������������������$������� ����� ������������%���������������@�������������������� �9'M>����������������������������H����� ������ �3'M>������������������������������ ����������������������
! @�� ���� �� � �� �� � ���������������� �� ������� N!?� ���� ���� ����� .���� ��� C�� �����������%������������������������������%�������������� ����� �C�� ���������� ���������������������������������� ��
Hint: u xx x
x x( , )
,
( ),0
2 012
2 112
1
�
�
�
�
�
�
����
�
�
����
T
T
8 ����
t
kx
2
2
����������
�# ������������������� ��#x ���'����������'��������'����������#�� �
������
���# ��������������'�� ������������ ������������'�����#�
� �������� ��� �� ������������ ����� ������� ��
ut
u
x
2
2 ���������
�# ������������������� ��# ���!''����������'� ���� ������������ ����
���# ���'����������'�� ������������ ������������'������
O����������������������$� ���� ������������������� ������������#
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
$ 8 ��������� �� ������HI+G ������� '�J���J�!� ��6�' '���#�� !� � !���#���/� ���' ���'#�� !�������/������
% 8 ��������� �� ������HI+G ������� '�J���J�!� ��6�' '���#�� !� � !���#���0 ���'#�� !���/����0������
2�34��3
�#� ����#�������/������ ��# ����#���0����� xl
e a t l ( / )2 2 2
���#� ����#���3
21
34
1 2 2
( )cos
na n t
nn
nx e
� �#� ����#���"�2
2 2 2
2
1
l nn
n xl
e
c n tl
n
cossin
�
���
��
��#� ����#���
�
���
��4002
1
4
2 2 2
n
c n tn
nn x
ecos
sin
$ ����#���800 1
2 1
2 1103 3
2 1100
1
2 2 2
( )sin
( )( )
n
n xe
n c t
n
�
���
�
���
�
% ����#���8 1
2 1
2 13
13
2 1 2 2 2
d
n
n xe
n
n c t
( )sin
( )( )
LL2
�
& ����#���400 1
2 1
2 11002 2
2 1100
0
2
( )
( )sin
( )( )
�
���
��
m m c
t
mm
m xe
' ����#���4 1
42
1
2 2 2
2kn
n n xe
c n t
n
sin sinL
L
�
���
��
( !''������� ���
) ����#���2 4 1
4 1
2
12
4 2 2 2
���
���
m
m c t
m
m xe
( )cos
LL2
* � �#� ����#���200 1
50
1
1
2500
2 2
( )
sin
�
���
��n
n
n kt
nn x
e
��# ����#���9'�"�0��"�80 1
5
2 2 2
25
1
nn x
e
c n t
n
sin
�
���
��
! ����#���8 1
2 12 1
21
1
22 1 2 2 2T
m
mm c t
mm x e
( )
( )sin ( ) [( ) ]
���4
213
32
15
52
0 232
522
2 2
exl
exl
exl
l kt lkt
lkt
�
�����
���
���
�
�
���
�
�
���
( / ) cos cos cos ...
� ����#���!''�"�400 2 1
2 12 1
1
2
sin ( ) ( )m x
me m t
m
$ ����#���!������� 2
2 te �����
% ����#���!���/���� 2
3 te ������
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� �&�+�������� ��� �����&
������������ �� �� ���������������������$������H�I������"� � � ���� ��������������� ���������������������� ������7�������������������������������������$���������� �� ��������� ������������������������. �� ����������������H�I������������D��������%������������������������H�I"
#�&�� �� �����%����� �������� � � ��������� ����������������������&�����"��� �������� �� ���� ���.���������� ���� �� �����%������$�������������� ����������������� �������������������� �������������E����������%!�����
�%1���
���
���
uy y
���������� +�1���������
ux x
������!������������� ��� �� �����������%������������������E�������������
+�1��
���
���
uy y y
������� +�1��
���
���
ux x x
�������!���"
#���� ���$�����������%���� ������������������%������������E������������
/�+�1��
���
���
���
���
���
���
���
���
uy
k yux
k xuy
k yuxy x y y x x
/�1���
���
������
������
������
������
ux
ux
x
uy
uy
yx x x y y y
�
��� """)*-
#��������� �%���� ��������������������������%!�����
����ut
""")1-
�������/���� �����������/��������� ����������������"������%�)*-�����)1-$� �������
1��
�
������
������
������
������
ux
ux
x
uy
uy
yx x x y y y
�
�
�/�����ut
�!��%�����������������������&�%���������������0$����0$� ��%��
1
���
���
2
2
2
2u
xu
ys
ut
�� ���
���
���
2
2
2
2u
xu
yut
��������/�ks
""")2-
��������)2-�%!������������������������������ ����������� �������������������"
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������4 ������������������������������������� ������ ������
ut
���'����������� �������� ��������P�
2
2
2
2 0u
x
u
y��� 4#
���������.� ������.������3��5����� ������� �������� ��
4 �����%�������� �� ��������� �������� ���� %����$������ ����������� �#��������������������������
���
���
���
2
2
2
2
2
2u
x
u
y
u
z
ut
�������������������������������� �
2
2
2
2
2
2u
x
u
y
u
z���'
���������.������3��5����� ������������������ ��
������������� �� %���� ��������&�����������
������7������������� ������������
��������
2
2
2
2u
x
u
y�/�0 """)*-
��� �/�HI """)1-
�����H����� ������� ������������I����� ������� �������$��������������� �)*-"
#���
2
2
ux�/�HI�����
2
2u
y�/�HI
>��������%���)*-$� ����!� HI�4�HI�/�0 ��XX
YY
""")2-
�� ������B>�� �)2-����� ������� ����������������=B>����� ������� �������">��������������������������!�������$�������������������������� �������������������������������$�����1"�#������������)2-����������������������� ����������������
ddx
2
2X �+�1H�/�0 ���
d
dy
2
2Y�4�1I�/�0 """)5-
>��!�%����������)5-$� ��%��
)�- 9���1��������!������/��$����
H�/�������4����
��$�I�/����������4���������
)��- 9���1�������!������/�%��$����
H�/����������4���������$�I�/�������4����
��
)���- 9���1�'
H�/�����4���$�I�/�����4���
#���$�����!������������������������ �������7����������)*-����(
��/�)������4����
��-)���������4���������- """)6-
��/�)���������4���������-)������4����
��- """),-
��/�)����4���-)����4���- """)9-
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
� ���������������������$� ����!������������������������ ������������� ���������������������� ���������������������%!�������������������"�>������),-����������������������"
�)�$��-�/�)���������4���������-�)������
�4������-"
�������������
���������8��?��������������!�������������������!������������
2
2
2
2u
x
u
y�'
���J����������������������������'�� ������ �����' �'�������� ����n x
l
"
�����#���%!������������
2
2
2
2u
x
u
y�/�0 """)*-
��� ��/�HI """)1-
�����H����� ������� ������������I����� ������� ������������$
2
2
2
2
2
2u
x xddx
( )XY YX ���
2
2
2
2
2
2u
y y
d
dy( )XY X
Y
�����)*-$� � IH�4�HI�/�0
�XX
YY
�/�0
A�3��(��3��� �XX
YY
�/����)���-
)�- �XX p2
��H�+���H�/�0
��'�������������� � ���+����/�0
��/�F��
��"�"�/����������
��
��"�"�/�0
�H�/������
�������
)��- � � Y
Yp2 I�4���I�/�0
��'�������������� � ���4����/�0 ��/�F���
��"�"�/����������4���������
��"�"�/�0
��/����������4���������
�� $ �H)0-�/�0
���4����/�0 ���/�+���
�H)�-�/�0
������4����
���/�0 ���)�
��%���-�/�0
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
���/ 0 C�>�������+������0�)������0���- ���/ 0 H�/ 0 ��/�HI�/�0� �������������B���� ����S��������"
A�3��((��3��� �XX
YY
�/�0�)���-
)�- �XX�/�0
�H�/�0 H�/����4���
)��- � Y
Y0
� � �I�/�0 I�/�����4���
�� $ � H)0-�/�0 ���/�0
�H)�-�/�0
���4����/�0 ���/�0
��/�0 )>������0- �H�/�0
��/�HI�/�0 �������������
B���� ���������S���������"
A�3��(((��3�����XX
YY
�/�+����)���-
)�- ��XX�/�+���
� ��H�4���H�/�0 ddx
p2
22XX = 0 "
��'�������������� ���4����/�0 ��/�F���
��"�"�/����������4���������
�"�"�/�0
H�/����������4���������
)��- � +�YY�/�%��
�YY�/��� d
dy
2
2Y�+���I�/�0"
��'��������������� ���+����/�0
��/�F��"
��"�"�/�������
�4�������
�"�"�/�0
B���$ I�/���������4������
��"
�� $ �H)0-�/�0 ���/�0
�H�/���������
H)�-�/�0
���������/�0
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������������������/�0�/�����$�����
��/�nl
H�/ ������n xl
""")2-
�%��$ I)0-�/ 0
����4�����/ 0 ����/�+����
I�/ ���)���
�%���-�/����� e e
n yl
n yl
����
����
""")5-
��/ HI�/����������n x
l
�M��������+��������N
�� �)�$��-�/ ������n x
l�M��������+���������N """)6-
�� $ �)�$��-�/ ���n xl�/�������
n xl�M��������+��
�������N
���/1
e en a
ln a
l
�/�1
2 sinhn a
l�
�����
�)�$��-�/e e
n al
n xl
n y l n y l( / ) ( / )
sin
���
���
2 sinh�/�
sinh
sinh
n yl
n al
n xl
���
���
���
���
sin "
����������� 3��������������������������������������I�������������� �������� �� �������� ���� ����� �� ���������� �������� �� ����������������������������������������":��������������������������������'���!����
����' �.''���x8
�'E�EI
��������������������'�����I���������������������������1�����'G4���������������������������������������������������������!����
����� �.''e sinx8
y8
"
����������)�$��-���������������������������������� ����������"
# �� ���������� ����� �� � �������� ����������������%!�����
��
2
2
2
2u
x
u
y�/�0 """)*-
������������� �)�$��-�/�)���������4���������-)������4����
���- """)1-
E�������������������
�)0$��-�/ 0�/��)L$��-
Lty
u x y
( , ) 0
��������� �������������� �
�����
%&&�� ����������������������������������)�$�0-�/ *00����
x8$ 0�P��P�L
�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/����)�����
�4������-
���/ 0"
�����)1-$ �)�$��-�/ ���������)�������4����
��- """)2-
�)L$��-�/ 0�/�������L�)�������4�����
��-
���L��/ 0�/�����
��/n
n8
( )I
�����)2-$ �)�$�-�/ ������n x
c e c en y n y
8 38
48( )
""")5-
� Lty
��)�$��-�/ 0�/�������n x
c e c ey
n y n y
8 38
48lim
( )
��������� �������� ���
���/ 0"
�����)5-$ �)�$��-�/ ��������n x
en y
88
�/�������
n xe
n y
88
""")6-
�����)6-$ �)�$�0-�/ *00����x8 �/������
n x8
���/ *00$���/�*"
�����)6-$ �)�$��-�/ *00����x8
���
��� ��������
������������������������������������������������������� ����������"
������������3����������������������������������������������������������������������������������")�����������")�������������������������������������������������������������������������������"5����������������������������������������������������������"
��������������������$� � ���������������� �� ����������
2
2
2
2 0u
x
u
y""")*-
E�������������������$
� �)0$��-�/�0�/��)$��-
Lty
�)�$��-�/�0�)0�P���P�-
��� �)�$�0-�/���)0�P���P�->������������������)*-��
�)���-�/�)���������4���������-)������4���
��-""")1-
�����)1-$� �)0$��-�/�0�/���)�������4����
��-
���/�0"
�����)1-$ �)�$��-�/��������)�������4�����
��-
�)$��-�/�0�/��������)�������4�����
���-
�� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�������/�0�/������)����- """)2- ��/��"
�����)2-$� �)���-�/���������)���������
��- """)5-limy
�)�$��-�/�0�/���������� limy
�)������4����
��-
��������� �������� ��� ���/�0" �����)5-$� �)�$��-�/������
���������/������������� ���� �����/���
#��������%����������������
�)�$��-�/ b e nxnny
n
sin1
""")6-
�)�$�0-�/ ��/� b nxnn
sin
1
���� ���/2
00
� u nx dxsin
/2 20
0
0u nxn
un
���
��� cos
�T*�+�)+�*-�U
/4
0
0un
n
n
;
;
if is odd
if is even
�����
�����)6-$ �)���-�/4 0
1 3 5
u nxn
n
, , , ...
sin���� )�������-
�� �)���-�/4 1
2 10
1
un
n
( )����)1��+�*-�����������"
������������3��������������������������������������.'�������������� �������� �� �������� ���� ����� �� ���������� �������� �� ����������������������������������������":��������������������������������'���!����
��� ����� �20x, 0 x 520(10 x), 5 x 10
���������������������'�����.'������������������������1�����'G4" ����������������������������*���� "
��������������������$�� ����������������� �� ����������
���������������
2
2
2
2 0u
x
u
y""")*-
�������������
�)�$��-�/�)���������4���������-)�������4�����
��-""")1-
E���������������������)0$��-�/�0
�)*0$��-�/�0
� limy
�)�$��-�/��)��-�/�0
�����������������)�$�0-�/�20 0 5
20 10 5 10x x
x x,
( ) ,
���
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
�����)1-$ �)���-�/�0�/���)������4����
���-
���/ 0
�����)1-$ �)�$��-�/ ���������)�������4�����
���- """)2-
�)*0$��-�/ 0�/�������*0��)����������
��-
���*0��/ 0�/������� *0��/ ��)����-
��/n10"
�����)2-$ �)�$��-�/ ������n x
c e c en y n y
10 310
410( )
""")5-
limy
�)�$��-�/ ������n x
c e c ey
n y n y
10 310
410lim
( )
��������� �������� �������/�0"
B���� ����)5-$�)�����-�/ ��������n x
en y
1010
�/�������
n xe
n y
1010
""")6-
#��������%����������������
�)�$��-�/ bn x
en
n y
n
sin
1010
1
"""),-
�)�$�0-�/ bn x
nn
sin
101
$
�������/�210
0100
10� u xn x
dx( , ) sin
/�15
2010
20 10100
5
5
10� � ���
���x
n xdx x
n xdxsin ( ) sin
/�5� x
n x
n
n x
ndx x
n x
n
�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
����
�
����
����
���
����
���
�
�cos cos
( )cos
10
10
1 10
10
10 10
100
5
0
5
5
10
+�5
101 10
10
� �
����
�
����
����( )
cosn x
ndx
/�5�10
52
10 10
10
502
10 10
100
5
5
10
nn
n
n x
n nn
n
n x
n
( ) cossin
cossin
�
����
�
����
�
����
�
����
�
�
����
�
�
����
/�5�
���
���
��
��
502
1002
502
1000
22 2 2 2nn
nn
nn
nn
cos sin cos sin
/�800
22 2nn
sin "
�����),-$ �)���-�/800 2
102 210
1
sin /
sinn
nn x
en y
"
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ������������(��!�
2
2
2
2u
x
u
y�'� 'E�E� 'E �E��������������� ���
���������� ���'�� ����� ����� �'�������' �������"
�����#���%!�������������
2
2
2
2u
x
u
y�/�0 """)*-
��������������������� ����������������������)���-�/ )���������4���������-)����
���4��������- """)1-
�����)1-$ �)0$��-�/ 0�/���)������4�����
��-
���/ 0"
�����)1-$ �)�$��-�/ ���������)�������4�����
���- """)2-
�)$��-�/ 0�/��������)�������4�����
��-
�����/ 0�/�����)����- ��/��"
B���� ����)2-$��)�$��-�/����������)������4����
��-�/�������)�����4�E����- ���""")5-
���� �����/ �����������/�E"
�����)5-$ �)�$�-�/ �����)����4�E��-
0�/ �����)����4�E���-
0�/ ����4�E���
����/ +�E����/�+�12
Bn �)���-
�����)5-�������$ �)�$��-�/ ����� �
� �
12
12
B Bnn ny
nn nye e e e
�12
E�M�������+�������N�������/�E��������)�+��-������"
#��������%����������������
�)�$��-�/ Bnn
hn y nxsin ( ) sin
1
""")6-
�)�$�0-�/ ������/� Bnn
hn nxsin sin
1
���� E�������/ 20
2
� sin sinx nx dx
/ 11 2
0
� ( cos ) sinx nx dx
/1 1
22 2
0
� �
� �sin {sin ( ) sin ( ) }nx n x n x ���
/1 2
2 22
2 2 0
�
��
cos cos ( )( )
cos ( )( )
nxn
n xn
n xn
/1
21
21
22
1 1 n n n
n
���
���
�
� �
{( ) } $� �������1
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
E�������/
��
8
40 2
2n nn
n( )
,
,
when is odd
when is even and ������/�1$
E������1�2
20
2
� sin sinx x dx
/1
1 2 20
� ( cos ) sinx x dx �/�1
212
40
� ���
���sin sinx x dx
/1 2
218
40
���
���
coscos
xx �/�0
E��/ 0"
B����������������)6-�������$
�)�$��-�/
841 3 5
2
n
nx n yn n n, , ,...
sin sinh ( )( ) sinh
�� �)���-�/ +� 8 2 1 2 12 1 2 1 4 2 11 2,3
2
m
m x m ym m m
, , ...
sin ( ) sinh ( ) ( )( ) {( ) } sinh ( )
"
������������(��!�
2
2
2
2u
x
u
y�'����������������'���'��F�!��
��������� ���'�� ������ �'��� ����' ����%� "
�����#������������
2
2
2
2 0u
x
u
y""")*-
�������������
�)�$��-�/ )���������4���������-)������4����
��- """)1-
�)0$��-�/ 0�/���)������4����
��-
���/ 0"
�����)1-$ �)���-�/ ���������)�������4����
��- """)2-
�)�$��-�/ 0�/����������)�������4����
��-
������/ 0�/������)����-
���/ � �� ��/�na"
�����)2-$ �)�$��-�/ ������n xa
c e c en ya
n ya
( )3 4
�)�$��-�/ ��� n xa
e en ya
n ya
( )A B
""")5-
���� �����/�� ��� �����/�E
�)�$��-�/ ��� n xa
e en ba
n ba
( )A B
0�/ ��� n xa
e en ba
n ba
( )A B
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ��e e
n ba
n ba
B �/ 0
���e en ba
n ba
B12�E��)���-"
#����)5-�������$
�)���-�/ ���n xa
e e e en
n ba
n ya
n
n ba
n ya
�
��
12
12
B B
/ 12
Bn
na
b yna
b yn xa
e esin [ ]( ) ( )
/12
2Bnn xa
na
sin . sinh
�)��+��-�/�E�����n xa�����
na�)��+��-"
#��������%����������������
�)�$��-�/ Bnn
n xa
na
sin sinh
1
�)��+�- """)6-
������%��������������������)�$�0-�/��)��+��-$� ��%��
�����)6-$ �)�$�0-�/ Bnn
n ba
n xa
sinh sin
1
�)��+��-�/ Bnn
n ba
n xa
sinh sin
1
���� �E������na
ba
x a xna
a �2
0( ) sin ����
/2
22
0
0aax x
na
x
na
a x
na
x
na
dx
a
a( )
cos( ) .
cos
�
����
�
����
����
���
����
���
�
����
�
����
�
�
�����
/2
20a
an
a xna
a. ( ) . cos
� ����
/2
2 2
0
0na x
na
x
na
na
x
na
dx
a
a
( )sin
( )sin
���
��
��
�
�
����
�
����
�
�
����
�
�
�����
/4
0
nan
na
x
na
a
.– cos�
����
�
�����/� 4
2 2a
nan
. �)*�+�����-
/4
1 12
3 3
an
n
[ – (– ) ] �/�
8
0
2
3 3
a
nn
n
,
,
when is odd
when is even
��
E�/
8
0
2
3 3
ana
b nn
n
sinh ( ),
,
���
���
����
���
when is odd
when is even
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
�����)6-$��)�$�-�/�8 2
31 3 5 3
an xa
nna
b
na
b yn
, , ,...
sin
sinh. sinh ( – )
������)�������-
�� �)�$�-�/�8 1
2 12 1
2 1
2 1
2
30
3
a
nn
xa
na
b y
na
bn
( )sin ( ) .
sinh( )
( – )
sinh( )
������������3��������������������������������������!���������������������'����������������������������������������� ":������������'�������'�������1��������������������"5���������������������������������
�����������������"5������������������������� ���� sinx ya b
"
�����# ����������������� �� ����������
�
2
2
2
2 21u
x
u
y c
ut" �""")*-
E�������������������
�)0$��$��-�/ 0�/��)�$��$��-
�)��0$��-�/ 0�/��)�$��$��-
��� �)�$����-�/ �)�$��-������/�0"
������������������� ��/�HI#
�����H����� ������� �������$�I����� ������ ������������#����� ������� �������"
ut t
ddt
(XYT) XYT
2
2
2
2
2
2u
x xddx
(XYT) = YTX
2
2
2
2
2
2u
y y
d
dy(XYT) = XT
Y "
�����)*-$�I#�H�4�H#I�/�12c
( )XYT
�XX
YY
TT
c2 """)1-
#������������������������(
)�-XX�/�0$ �
YY�/�0$ �
TT
c2 �/�0
)��- ��XX�/�X�
�$ �YY�/�X�
�$TT
c2 �/�X�
)���-XX�/�+�X�
�$ � �YY�/�+�X�
�$ �TT
c2 �/�+�X�
���� X��/�X���4�X�
�"
� ���������������������$� ����!����������������������� �������������� ��������������������� ������������"
#��������������� ��%�����%!�������������������� ������%!������)���-"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
#���$ H�/ ������X���4�������X��
I�/ ������X���4�������X��
#�/ �e c t 2 2K
��/ HI#
�)�$��$��-�/�)������X���4�������X��-)������X���4�������X��-)�e c t 2 2K -""")2-
�)0$��$��-�/ 0�/���)������X���4�������X��-�e c t 2 2K
���/ 0"
�����)2-$ �)�$��$��-�/ ������X��)������X���4�������X��-)�e c t 2 2K -
/ ������X���)������X���4�������X��-)ec t 2 2K - """)5-
���� ����/ ��
�����)5-$ �)�$��$��-�/ 0�/�������X��)������X���4�������X��-ec t 2 2K
���X���/ 0�/������)����-
X��/na"
�����)5-$ �)�$��$�� � ������n xa�)������X���4�������X��-�)e
c t 2 2K - """)6-
�)�$�0$��-�/ 0�/�������n xa
c e c t. 3
2 2 K
� ���/�0"
�����)6-$ �)�����-�/ ��������n xa
y e c tsin K K
22 2 """),-
�)���$��-�/ 0�/���������n xa
be c tsin K K
22 2
���X���/ 0�/������)����-X���/ �
X��/mb"
�����),-$� �)�$��$��-�/���������n xa
m yb
e c t sin 2 2K
/ ������n xa
m yb
e c t sin 2 2K """)9-
C� ���� �����/���
E��$ X��/ X���4�X�
��/� na
mb
2 2
2
2 2
2
�� X���/ ��
na
mb
2
2
2
2���
��� "
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
E�����%�X�$���������)9-�������$
�)�$��$��-�/ A K2
mnc t
nm
n xa
m yb
e mnsin sin
2
11""")L-
�����������%��������������"
�)�$��$�0-�/ �)�$��-�/� Amnnm
n xa
m yb
sin sin
11
�������������������������� .���%������������ ����)�$��-"
���� ���/2 2
0 0a bn xa
m ybx
a
y
b. sin sin
� � ��)�$��-�����"
3��� �)�$��-�/ ���� sinx ya b
���/ 0 0
2 2. sin sin sin sin
a b
x y
n x m y x ydxdy
a b a b a b
/0 0
4sin sin sin sin
a bn x x m y ydx dy
ab a a b b
/0
cos ( 1) cos ( 1)a x x
n n dxab a a
W�0
cos ( 1) cos ( 1)b y y
m m dyb b
/
0
sin ( 1) sin ( 1)
( 1) ( 1)
ax xn na a
ab n na a
W�
0
sin ( 1) sin ( 1)
( 1) ( 1)
by ym m
b b
m mb b
/ab�"�0�/�0 )� �����/�0����������/�0-
B���� ����)L-$���)�$��$��-�/�0� �����)�$��-�/����� xa ���� y
b "
���������7��(��!����+��������������
2
2
2
2
u
x
u
y �'������������������7
�������������' �'������ �'���'�� �'�������� ���� �����������7����"
�����#���%!������������
2
2
2
2
u
x
u
y �/�0 """)*-
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
��� ��/�HI """)1-
�����H����� ������� ������������I����� ������� �������"�#���$
2
2
u
x�/
2
2x�)HI-�/�IH
���
2
2
u
y�/
2
2y�)HI-�/�HI
�����)*-$�IH�4�HI�/�0 YY
XX
""")2-
A�3��(��9��� YY
XX
�������
)�-YY�/ ��
I�+���I�/ 0
��'�����������������+����/ 0 ��/�F��
�"�"�/ �����4����
���
�"�"�/ 0
I�/ ������4����
��
)��- �+�XX�/���
H�4���H�/ 0
��'�����������������4����/ 0 ��/����
�"�"�/ ���������4����������"�"�/ 0
H�/ ���������4����������� $ I)0-�/ 0
���4����/ 0 ���/�%��
I)�-�/ 0
������4�����
���/ 0 ��)�
���+����-�/ 0
���/ 0 Sincease e
p b
pb pb
00( )
I�/ 0 ��/�HI�/�0 �������������"
B���$� ����S��������"
A�3��((��9���YY
� %XX�'����
)�-YY�/ 0
I�/ 0 I�/���4����
)��-����������������������+�XX�/�0
H�/ 0 H�/����4����
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������
�� $ I)0-�/ 0 ��/�0
I)�-�/ 0 ����/�0 ���/�0 C�� ���0 I�/ 0
��/ HI�/�0� �������������
B���$� ���������S���������"
A�3��(((��9��� YY�%
XX�%������
)�- �YY�/�+���
I�4���I�/�0
��'��������������
���4����/ 0 ��/����
�"�"�/ ���������4���������
�"�"�/ 0
I�/ ���������4���������
)��- +�XX�/�+��� H�+���H�/�0
��'��������������
���+����/ 0 ��/�F��
�"�"�/ ��������4������
���
�"�"�/ 0
H�/ ��������4������
���
�� $ I)0-�/ 0 ���/�0
I)�-�/ 0 ���������/�0
������/ 0�/�����$�����
��/nb
B���$ ��/ HI�/�������n yb � c e c e
n xb
n xb
11 12
���
���
""")5-
�� $ �)0$��-�/ 0�/�������n yb�)����4����-
����4�����/0 ����/�+����
�����)5-$ �)�$��-�/ ����������n yb� e e
n xb
n xb
���
���
/ ������n yb�����
n xb
""")6-
C� ��������/�1�������;����%����������������
�)�$��-�/n
nbn yb
n xb
1
sin sinh
"""),-
��� ��������� �������������
�����
������������������������������� �� $ �)�$��-�/ �)�-�/�
nnb
n yb
n ab
1
sin sinh
���� sinhn ab�
����� ����/
2b�
0
bf y� ( ) ����
n yb���
���/2
bn ab
sinh�
������
0
bf y
n yb� ( ) sin���" """)9-
���������9�� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������'�� �'�����' �'������ ��� ����� � ���� "
�����>����������������������������������������������������%!���������������������� �� ����������������������� � ������������������!������������������ ����������� �!�������"
(0, b) C
Y
X
f(x)B (a, b)
O A(a, 0)
0°
0° g(y)∇2u = 0
C
Y
X
f(x)B
O A0°
0° ∇2u = 01
0°+
C
Y
X
B
O A0°
0° ∇2u = 02
0°
g(y)
�� $����� ���� �%�� ��������������������������������!��(
/��5�������
212
21
2
u
x
u
y �/�0����S�������������
��)0$��-�/ 0$���)�$��-�/�0$� ��)�$�0-�/�0$���)�$��-�/��)�-
/��5�������
22
2
22
2
u
x
u
y �/�0����S�������������
��)0$��-�/ 0$���)�$�0-�/�0$���)�$��-�/�0$���)�$��-�/�)�-
��������� ��������������!����������*"
��)�$��-�/ )���������4���������-�)������4�����
���- """)*-
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
��)0$��-�/ 0�/����)������4����
���-
���/ 0
��)�$��-�/ ���������)������4����
���- """)1-
��)�$��-�/ 0�/����������)������4����
���-
������/ 0�/����� )���:-
��/na
B���$� ����)1-$ ��)�$��-�/ ������n xa � c e c e
n ya
n ya
3 4
���
���
""")2-
��)�$�0-�/ 0�/�������n xa�)���4���-
���4����/ 0 ���/�+���
��)�$��-�/ ��������n xa � e e
n ya
n ya
���
���
�/�1���������n xa�����
n ya
/ ������n xa�����
n ya� ��������/�1����
;����%��������������������������*��
��)�$��-�/n
nbn xa
n ya
1
sin sinh
""")5-
�� $ ��)�$��-�/ �)�-�/�n
nbn xa
n ba
1
sin sinh
���� �������n ba�/
2a�
0
af x
n xa� ( ) sin���
��/2
an ba
sinh�
������
0
af x
n xa� ( ) sin��� """)6-
>������$����������%��������������������������1��
���)�$��-�/n
nn yb
���
���
1
B sin
�����n xb�
����� """),-
���� E��/2
bn ab
sinh�
������
0
bg y
n yb� �
�����( ) sin
��� """)9-
C���������%�%�������$�������������)�-����)�-
B���$����������������������������%!�����%�������������
�)�$��-�/ ��)�$��-�4���)�$��-
/n
nbn xa
n ya
���
���
���
���
�1
sin sinh
4�E�����n yb
n xb
���
���
���
��� ��sinh
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� ���� ���/
2
an ba
sinh�
������
0
af x
n xa� ( ) sin���
��� E��/2
bn ab
sinh�
������
0
bg y� ( ) ���� n y
b ��"
�� ������
@�� �������������������� ���������������������������������������������������������� �C�� � ��� �������� ������������� ��� �������� ���������� ������� '���#���'��� ����#���'�
limy
v x y
( , ) ���' ��� �� ���'#����
8� ������������������$�����������������������������������
������������� ����#���2 1 1
1
akn
en xa
n n ya
n
( )sin
���
���
�
� @������������� ���� ������������ ����������'������'������/'���������/'������ �������������������%��������������� ������������� ��C ���������������������� ���/'#���� /'�"��#�����'�J���J�/'������� ���������������������.�������'M>����������������������������������������������
$ @�������������������������������������*������������ ����������������.����� ���QR��������� ������������� ���QS��������� ������������� ��������������������%�������������'�������
����������������������������������������'����.�������������������� ��xa
����������
������$������������������������ ���� ����#�
K7���#�H ������� ����� ������� �#������'�� �#������'�� �#������'����� ���'#������ �� �&�#L% %�������������� ����������������'M��� ��������������� ���������������� ��������
!''P����������� �������������������������!''M������������$������� ����� ��������������������������� ��� ������������������������� ���� ����#�
O�������� ����������������������������������� �����������
�������200 1
2
1
332
1
552
cosh cosh cosh
...
�
�
���
�
�
����
& @���������������������� ����������������������'������'������������������������������������������������������������ ������������� ��C �������������!''M>����������� ��������������������.�������'M>��������������������������������������� �� ����#��������
���������������������� ���� 12
12
a b,���
����
' 8 ���� ���� � �� ����� *������� ����� ��
2
2
2
2 0u
x
u
y � ��� �� ��������������� '�� �#� �� '�
����#���'�� ����#���'����� ���'#���� �#��� ����$�����
( 8 ��������� ������������� ���G
2
2
2
2u
x
u
y ���'��'��������'������
���������� ������� ����� ��G
� '���#���� ����#���� ���'#���'������ ����#���� �#
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������) 8 ����
2 2
2 2u u
x y���'���E����� ������ ����� ��� '���#���'�� ���'#���'�� !���#���'����
���!#���!''���� ��
* 8 ����
2 2
2 2u u
x y���'���E���� � � ����� ����� ��� '���#���'�� ����#���'�� ���'#���'����
����#�����
! 8 ����
2 2
2 2u u
x y���'���E����� ������ ����� ��� ���'#���'�� ���!#���'�� ���#���'����
'���#�����
%������������������������������ ������������������� ����������������!''M>����������������������������� �� ����#�����������������������������������C�� ������������������
2�34��3
� ����#���3200
2 120
2 120
2 1 2 131
3
n
n x n y
n n
sin( )
sin( )
( ) sinh ( )
$ ����#������ �� xa a
b yba
cosh ( ) sech
& ����#���400
2 1 2 1
2 1 2 11
n
mxa
mya
m mba
�
��
���
���
���
���
���
sin ( ) sinh ( )
( ) sinh ( )�D
12
12
200 1
2
1
332
a aba
ba
,cosh cosh
...���
� �
��� �
���
�
����
�
�
����
' ����#���n
nn xa
���
���
1
B sin
������na
� ��"��#�
����� H����2
an ba
sinh�
�����
�0
af x� ( ) ����� n x
a ���
( ����#��� bn xa
e en
n ya
n ya
n
cos
����
����
1
�������������1
0nna
bf x
n xa
dxa
cosh( ) cos�
) ����#���!''�������
sinhsinh
y
* ����#���
1
cos sin sinh2
sinhn
n x n yn
a a an b
na
! ����#���
0
1
2 1 ( 1)n
n
un
������������ �
�������#���
21 1
400 1 cos 1 cos
n m
n mn m
����� ������ � 2 2mnc k te
����� ������� ���� �#�
���� ��������� �������������
�����
������������������������������� � �� ��� ����
������7�������������� ���������������������������%�����%"�#���������� � ��� ��������� �� ������ ������������� ������� ���� ��� ������������� �����������������������"�#������������ ��������7���������$����S����������������������������$������ �������������������� ����������������"
4 ���� ��� ������ ���� ��� ����� ����� �#����" ������������������ � � ��.��*������?�
����� ������������� ��""��� ��������� ����
2
2
2
2u
x
u
y���'�����
2
2
2
2
2
2u
x
u
y
u
z���'�
4 �������������� ������� �������������� �������������������� ���.��*������?������� ����� ����� �����������������
2
2 2
2
21 1u
r rur r
u���'�
%��������� ���������� ���������� �����������'������������������ �������������������������������������������������������� � ����#�� � ���#�
4 ���$� ��� ������ ���� ��� ����� ��#� �����#� �" ������������������ � � ��.��*������?������ �������#� �����#��""��� �������������
2
2 2
2
2
2
21 1u
r rur r
u u
z���'�
%���������� ���������� ���������� ����������������'������������������ ������������������������������������������������������������� �������#�� � ������#�
4 ���%���������� ������� �������$�����#��" ������������������� ���.��*������?������� ������$�����#��"#����""��� �������������
2
2 2
2
2 2 2 2
2
22 1 1u
r rur r
u
r
u
r
ucotsin
���'�
%��������� ��������� ���������� ����������������'������������
������������ ���������������������������� ������������������������������������������ �������#�� � �����#�
�������������� �� %-��� ����
)�-������������,����6�C3�� ����������<4������3������A����3����-���
3����!������������������������������� �
2
2
2
2u
x
u
y�/�0������"�1"*,"
)�-������������,����6�C3�� ����������/�����A��������3
������7���������������������������������
2
2
2
2
ur
rur
u�/�0 """)*-
�����)�$�-�/�=)�-�)-������������/�=� """)1- �����=����� ������� ������������������ ������� ������$��������������� �)*-"
>��������%�����)*-$� ��%������=��4��=��4�=��/�0 �� )��=�4��=-��4�=��/�0
>�������%�����!�������$�r r2R R
RFF
�/���������/�1)���-
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
#���$� ��%������������ ����������������
�� ddr
rddr
2
2R R �+�1=�/�0 """)2-
��� ��dd
2
2F�4�1��/�0 """)5-
�� �)2-���������%�������������� ���������������"
�����%���/���$�)2-������������ ddr
2
2R �+�1=�/�0 """)6-
>��!�%�)6-�����)5-$� ��%��)�- 9���1��������!�����������
�=�/�������4����
���/���������
�$���/���������4��������"
)��- 9���1�������!�����%�������=�/����������4����������/�������)����%��-�4�������)����%��-���/����
��4�����
)���- 9���1�' �=�/�����4����/������%���4������/����4���
#������������������������������� �)*-������)���
��4������-)��������4��������- """),-
��/�M������)����%��-�4�������)����%��-N�)�����4����
�- """)9-��/�)�����%���4���-)���4���- """)L-
� ���������������$� ���������������� �������������� ��������������������� ������������"
4 ���F������������������� ��� ��������������� ����� ������8�������������������������� ������������E����� ��� ��� :#����� ;#��@�� ��� � 3#�������'� ������������������� ��� ������������������
���� @�� ������H������#��
%������������ ��� �������� ������ ������ ����������������������������� ���������#������ ��@��H�������
)�-������������,����6�C3�� ����������<B��������3������A����3����-���������7�����������������.������������������ �����
2
2
2
2
2
2u
x
u
y
u
z�/�0 """)*-
���� �)�$��$��-�/�H)�-�I)�-�J)�-������������/�HIJ """)1- �������������� �)*-">��������%�����)*-$� ��%���HIJ�4�HIJ�4�HIJ�/�0
�!��%����HIJ$� ��%�� ��XX
YY
ZZ
�/�0
��1 1 12
2
2
2
2
2XX
YY
ZZ
. . .d
dx
d
dy
d
dz �/�0 """)2-
������ ����� ������)�-�4���)�-�4���)�-�/�0">�����������������������$�������������������� ������$���$����������������"
������%����������������������1�$��������+)1��4���-�������!���$�)2-�%!������������� ���� �%���������(
�ddx
2
2X �+�1�H�/�0$�
d
dy
2
2Y�+���I�/�0$� d
dz
2
2Z �4�)1��4���-J�/�0
#���������������� H�/�������4����
��$�I�/�������4����
��
��J�/������ ( ) sin ( )k l z c k l z2 26
2 2
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
B��������������� �)*-��
��)������4����
��-)������4����
��-M����� ( ) sin ( )k l z c k l z2 26
2 2 N>��$���������������������������!���������&������+�1�$�+��������1��4���$����
��������!����������� �)*-��
�/�)������1��4�������1�-)���������4���������-�M�e c ek l z k l z( ) ( )2 2 2 2
6 N
#�������� ���������������������������%������������������������������%!���������������������������"
)�-������������,����6�C3�� ����������A������6���A��������3
������7�������������������������������
2
2 2
2
2
2
21 1u
r rur r
u uz�/�0 """)*-
��� �)�$�$��-�/�=)�-�)-J)�-�� ��������/�=�J """)1- �������������� �)*-"
>��������%�����)*-$� ��%�� =�J�4�1r�=�J�4�
12r�=�J�4�=�J�/�0
�!��%����=�J$� ��%��
1 1 1 12
2 2
2
2
2
2RR R
FF Zd
dr rddr r
dd z
ddz
���
���
�/�0 """)2-
������%dd
2
2F�/�+��������� d
dzk
2
22ZZ """)5-
��������)2-���������� � 1 12
2
2
2RR Rd
dr rddz
nr
���
��� �4�1��/�0
�� ���ddr
rddz
2
2
R R �4�)1����+���-=�/�0
#�����0�33��C3�� ��������������������� =�/���Z��)1�-�4���I�)1�-
#������������� ����������)2-���� ��/���������4��������$�J�/������4����
��
B��������������� �)*-�����/�M��Z�)1�-�4���I�)1�-N�)��������4��������-)�����4���
��-
�����&�� ��������������������������"
)�-������������,����6�C3�� ������������B���6���A��������3
������7�������������������������������
2
2 2
2
2 2 2 2
2
22 1 1u
r rur r
u
r
u
r
ucotsin
�/�0 """)*-
��� �)�$�$-�/�=)�-@)-B)-"�� � ���������/�=@B """)1- �������������� �)*-"
>��������%�����)*-$� ��%��
=@B�4�2r�=@B�4�
12r�=@B�4�
cot r2 �=@B�4�
12 2r sin
�=@B�/�0
�!��%����=@B$� ��%��
12
1 122
2
2
2 2
2
2RR R
GG G
HH
rddr
rddr
dd
dd
dd
���
���
���
���
cotsin
�/�0 """)2-
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ��������������������������������������% 1
222
RR R2r
ddr
rddr
���
��� �/��)��4�*- """)5-
��� �� 1 2
22
HHd
dm
""")6-
��������)2-����������� dd
dd
2G G2
cot �4�M�)��4�*-�+���������N�@�/�0
#������33�6�����,�;����C3�� �����������������������
�@�/������)���-�4����?�
�)���-#������������ �)6-�� B�/���������4��������#�����!��)5-$������������ �=�/�����������
1)1�+�*-�4�11�/��)��4�*- �� )1��+���-�4�)1�+��-�/�0
�� )1�+��-)1�4���4�*-�/�0 1�/������+���+�*
#��� =�/�����4����
�������
B���$�����%���������������� �)*-��
��/�n m
0 0
M����)���-�4���?�
�)���-N�)��������4��������-)����4����
�����-
������������� �)*-���&�� ������������������������"
�������������
���������#��)�����������������7������������������������1�����'G4��������������������������7������������������)G4"(���������������������������������������������!����
���� �4T 1
2n 1ra
n 1
2n 1
���
���
����,�%. "
�����#�&������������� ����������������������������������%�����������������������"����������������������������������������������)�$�-�����)�$�-$��������������� �������������
��
2
2
2
2
ur
rur
u�/�0 """)*-
��� ��/�=# """)1-
�����=����� ������� ������������#����� ������� ������"
�
ur r
ddr
( )RT TR
�
���
���
2
2u
r rddr
ddr
TR
TR2
2
�
2
2
2
2u d
d( )RT R
T2
2"
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
�����)*-$ ��#=�4��#=�4�=#�/�0
�r r2R R
RTT
�/�0 r r2R R
RTT
���� �9��� r rR2R
RTT
�������
)�-r r2R R
R
�/��� ��=�4��=�+���=�/�0"
������/��������������/���%�������������� ddz���������!�������������������
T�)��+�*-�4���+���U�=�/ 0
)���+���-=�/ 0
��'�������������� ���+����/ 0 ��/�F��
�"�"�/ ������4����
��
/ �����������4����
��������/������4����
��
�"�"�/ 0"
=�/ �����4����
�
)��- +�TT p2
� dd
p2
2TT = 02
"
��'�������������� ���4����/ 0
��/ F���
�"�"�/ ��������4���������"�"�/ 0
#�/ ��������4�������� �)���-�/ )���
��4����-)��������4��������- """)2-
A�3��((��9��� r rR2R
RTT
�%������
)�- � r rp
22R R
R
��=�4�=�4���=�/�0
������/��������������/���%�������������� ddz���������!�������������������
M�)��+�*-�4���4���N�=�/ 0
)���4���-=�/ 0"
��'�������������� ���4����/ 0
��/ F���
�"�"�/ )��������4���������-
�"�"�/ 0
=�/ ��������4���������
/ �����)����%��-�4�������)����%��-"
��������� �������������� ��
�����
%&&�� ���������������������������������)��- � �� �+�
TT p2
��TT p2 ��
dd
2
2
T�+���#�/�0"
��'�������������� ���+����/ 0
��/ F��
�"�"�/ �����4����
�
�"�"�/ 0"
#�/������4����
�"
B���$ �)�$�-�/�M�����)����%��-�4�������)����%��-N
)�����4����
�- """)5-
A�3��(((��9���r rR2R
RTT
�'����
)�- ��=�4��=�/�0"
������/��������������/���%��������������ddz$���������!�������������������
�M�)��+�*-�4��N=�/�0
��=�/�0
��'��������������� ���/�0
��/�0$�0
��"�"�/�)���4����-���/����4������%��
��"�"�/�0
=�/����4������%��"
)��- ��+�TT 0
�#�/�0 #�/�����4����" �)�$�-�/�)���4�����%��-�)����4����- """)6-
� ����������������������)2-$�)5-�����)6-$� ����������������������������� ������%!�������������������"
E�������������������
�)�$�0-�/�0 """),-
�)�$�-�/�0 """)9-
�)�$�-�/�# """)L-
��� ��0�������0 """):-
>��������)5-�����)6-������������ ������������������):-"
B���$�����������������������
�)�$�-�/�)�����4����
��-�)��������4��������- """)*0-
�����)*0-$ �)�$�0-�/�0�/�)�����4���
�-���
���/�0"
�����)*0-$
�)�$�-�/�)�����4����
�-������� """)**-
�)�$�-�/�0�/�)�����4����
�-�������
��� ��������� �������������
�����
�������������������������������
������/�0�/������)����- ��/��"
�����)**-$ �)�$�-�/�)�����4���
�-�������� """)*1-
�����������0�������0������� ����������������� �������/�0"
B���� ����)*1-$� �)�$�-�/�������������/�����
������"#��������%����������������
�)�$�-�/ b r nnn
n
sin
1
""")*2-
�)�$�-�/ #�/� b a nnn
n
sin
1
���� ������/
20
� { sin }T n d
/2
0
T
���
���
cos nn
�/�2Tn)*�+�����-
/2Tn�T*�+�)+�*-�U�/�
4Tis odd
0 ; is evenn
n
n
;�����
���/4T
is odd
0 ; is evenn a
n
n
n;�
����
�����)*2-$ �)�$�-�/4 1
1 3 5
T
n
n
nnra
n
, , ,...
. sin
�)�$�-�/4 1
2 11
2 1T
n
n
nra
���
���( )
����)1��+�*-
�����������������������������������������������������"
���������8��(��!��
2
2 2
2
2V
r1r
Vr
1r
V �' ����������������������
)�- <�������������' )��- <�4�����������"
�����>����������%!���� �����������������
G�/ �)������4�E���
�-����)��4�-3������/��$ G�/ �������� ���������/ )����
��4�E����-����)��4�-
���/ ������4�E��
��$��/�03�������0$�G��� ���" E��/ 0 )����� ���G��������-
���/Cn
na
G�/ ���ra
n���
��� �����"
��������� �������������� ���
�����
%&&�� ���������������������������������
������������)��������������������������1������������������ "�)������������������������������������������������������������" ������������������������������������������"
�����B���$� ����!�������&�������������������������������"
#������������
��/ )��������4��������-�)�����4�����
�- """)*-
>��$������������������������ ���������/�0
���/ 0 """)1-
����$� � �������������1$� �����!������������������"�>��������������)*-���������������� ���������1"
#���� ������/��$�������%��"�B���$� ������ ��������%�����������������
��/n
c n c n
0
1 2( cos sin ) �����
/n
n nnn n r
0
( cos sin )A B �C������/���������/�E�� )���-
������%�������$�����������
��/ �)- �� ��/��$� ��%��
�)-�/n
n nnn n a
0
( cos sin )A B
���� ������/1
0
2
� f n d( ) cos
��� ���E��/1
0
2
� f n d( ) sin
������������ �����������������������������7�������E��'EE�����!����������'�����1�����!�������������������!������������"
�������������� ���������� ���������� ��%�������7���������"
>���������� ���
2
2
2
2
rr
r�/�0��
�/�)�������4�E�����-�)����4����- """)*-
>�����0�������0 ��/�0
�/�)�������4�E�����-���� """)1-
������%����)1-$�����D��������������������
)�$�0-�/�0 ��� )�$�-�/�0$� ��%�����/�0 ��� ��/���)����-
�����%���)1-���������%����!��������������� ����/�*$�1$�2$"""$� ��%��
��/�n
nnr n
1
B sin """)2-
���� ��������� �������������
�����
�������������������������������
#����������� ����������� �����������%!��������������������� ������������������
���)�-��/�0� �����/�0 ��� )��-��/��� �����/� """)5-
>�� ���������)2-$��������������/���4�E� ������� ���������7���������"3���������$�E���������)5-������� ��"
#���$ E�/ 0 ��� ��/��
B���$ �/c
r nnn
n
B sin1
""")6- ���� ���)5-
������%����)6-$������������������/�� ������/��$� ��%��
��/c
a nnn
n
B sin1
� 11
������
Bnn
n
a nsin
E����/
21
0
� �
�����c n dsin
E�����/
2cn
E��/�2c
n an"""),-
�����)6-�����),-$
�/c c
nra
n
n
���
���
2 1
1
�����
�� ������
8� ������������������������������������������� ����������$�������������� ����������� ���� �������������� ���.�������'M>�������� ���������������� ���.�������3'M>� �������P��
���#���240 1
2 11
2 1
n
n
nra
���
���( )
������� / �"�!#�
� @����$�������������� �� �������� ���� ���� ������������.������� ���������� ���#�� " #������� ����� �������������� ���.������� C�� � �����������@������ ����������� ������������� ���������������� �����������������$������������������������� � �����������������������
���#���8 2 1
2 11
2 1
3k r
an
nn
n
���
���
.sin ( )
( )�
$ %���� �������������� �� �� ���$�������� ������ �� �������� ��� .���� ��� 'M>����� ��������������� ����������$��������� �����������������
���#���50 0
2
, when
50( ), when2
�
��
��
�
8� �����������������$������������������������� ����������
���#���200 1
2 11
1
2
2 1
n
n n
n
ra
���
���
( )
( )������� / �"�!#�