Post on 07-Jul-2018
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
1/12
MODUL PERKULIAHAN
AnalisisStruktur 2
Pemodelan Struktur (1)
Fakultas ProgramStudiTata Muk a Kod! MK DisusunOl!"
TeknikPerencanaan danDesain
Teknik Sipil
#$11018 Jef Franklyn
Sinulingga, ST, MT
Abstract KompetensiMateri Analisa Struktur 2 berisikan diskritisasi
struktur; vector perpindahan dan gaya; hukum
keseimbangan dan kompatibilitas; hubungan
aksi dan perpindahan; dan tata local dan global .
Mahasiswa/i memahami konsep dasar analisis struktur
dengan metoda matriks .
$%&% Diskritisasi Struktur
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
2/12
Untuk memudahkan dalam analisis struktur yang ditinjau dapat disederhanakan
menjadi model diskrit Model diskrit diperoleh dengan cara membagi ! bagi struktur atas
sejumlah ELEMEN " dimana setiap elemen dibatasi oleh titik kumpul/ titik simpul/ node
#enentuan letak titik simpul/ node didasarkan oleh$
a Terjadi perubahan si%at bahan/ materialb Merupakan titik kumpulc Terjadi perubahan geometri strukturd Tempat bekerjanya gaya terpusat atau perubahan pembebanan
&eberapa contoh diskritisasi struktur dapat dilihat sebagaimana gambar berikut ini
'am(ar &% )onto" diskritisasi struktur
'ode pada diskritisasi struktur pada analisis struktur dengan metode kekakuan juga
merupakan jumlah pengekangan yang harus diberikan agar struktur menjadi kinematis
tertentu (tidak ada perpindahan di semua titik simpul #ada pemilihannya diberikan
kebebasan dimana dianggap memudahkan dalam perhitungan struktur selanjutnya
#ada permasalahan dinamik" struktur dapat dianggap didiskritisasi (dibagi!bagi)menurut cara!cara berikut$
1. #rosedur Massa Terkelompok (Lumped-Mass Procedure)
Massa struktur dianggap terpusat/ terkelompok pada suatu titik tertentu atau
beberapa titik tertentu Sehingga perpindahan struktur yang diperhitungkan juga yang
berkenaan dengan gaya inersia yang terkait dengan massa terkelompok tersebut
#erpindahan tersebut selanjutnya disebut sebagai derajat kebebasan atau
*+, (Degree of Freedom).
2 #erpindahan yang digeneralisir
2#&* 2
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
3/12
Massa struktur tetap terdistribusi sepanjang struktur Sehingga derajat kebebasan
struktur tak terhingga" dan perpindahan pada setiap titik pada struktur dianggap
mengikuti suatu persamaan yang digeneralisir
. Metode lemen 0ingga
Merupakan kombinasi dari metoda pertama dan kedua di atas
$%2% -!ktor P!r inda"an dan'a.a
*alam model diskrit system strutkur berbentuk rangka" perpindahan translasi dan
rotasi dapat diambil sebagai komponen perpindahan pada setiap titik simpul *i dalam
ruang ada tiga translasi pada arah ortogonal (Arah sumbu 1" dan 3 dalam koordinat
kartesius) dan tiga rotasi terhadap ketiga sumbu orthogonal tersebut 4eenam komponen
perpindahan ini dinamakan DERAJAT KEBEBA AN T!T!K !M"#L $DE%REE &'
'REED&M()
&erpadanan dengan keenam derajat kebebasan di atas maka terdapat 5 komponen
aksi yang terdiri dari gaya pada arah translasi dan . momen pada arah rotasi *alam metode
matrik" besaran *ang memp+n*ai besar dan arah disebut sebagai ,e-tor " sehingga
perpindahan dan gaya adalah merupakan suatu besaran vektor
&eberapa jenis elemen yang umum dimodelkan beserta komponen perpindahan dan
gayanya dapat dilihat pada gambar berikut ini
Tabel1) Komponen perpindahan dan ga*a beberapa .enis elemen
2#&* 3
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
4/12
$%$% Hukum K!s!im(angan dan
K!s! adananTujuan analisa struktur ialah menentukan gaya luar (komponen reaksi) dan gaya dalam
(resultan tegangan) 6aya!gaya ini harus memenuhi syarat -eseimbangan dan
menghasilkan perubahan bentuk yang sepadan (compatible) dengan kontinuitas struktur
dan kondisi tumpuan
A) Keseimbangan
Salah satu tujuan analisa struktur ialah menentukan berbagai aksi struktur" seperti
reaksi tumpuan dari resultan tegangan (momen lentur" gaya geser" dan seterusnya)
#enyelesaian untuk besaran ini harus memenuhi seluruh syarat keseimbangan statis
Tinjaulah suatu perletakan yang memikul sejumlah aksi 7esultan semua aksi bisa
berupa gaya" kopel (momen)" atau keduanya -ika perletakan tersebut berada dalam
keseimbangan statis" resultannya nol" yaitu resultan vector gaya dan resultan vector momen
keduanya nol
Suatu vector dalam ruang selalu bisa diuraikan ketiga komponen yang saling tegak
lurus" seperti arah 8" y" dan 9 -ika resultan vector gaya sama dengan nol" maka
komponennya juga harus sama dengan nol -adi" persamaan keseimbangan statis adalah$
*alam persamaan ini" menyatakan jumlah aljabar komponen 8" y"
dan 9 dari semua vector gaya yang bekerja pada benda bebas -ika vector resultan momen
sama dengan nol" persamaan keseimbangan momen statis adalah$
*alam persamaan ini" menyatakan jumlah aljabar komponen 8" y"
dan 9 dari semua kopel dan gaya yang bekerja pada benda bebas #ersamaan di atas
menyatakan persamaan keseimbangan statis dalam tiga dimensi yang dapat diterapkanpada sembarang benda bebas seperti struktur keseluruhan" bagian dari struktur" batang
tunggal atau titik kumpul struktur
B) Kesapadanan
Selain syarat keseimbangan statis" seluruh syarat kesepadanan harus terpenuhi dalam
analisa struktur Syarat ini menyatakan perpindahan di seluruh bagian struktur dan kadang!
kadang disebut syarat geometris Misalnya" syarat kesepadanan harus dipenuhi di semua
2#&*
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
5/12
titik tumpuan" yaitu perpindahan struktur harus konsisten dengan kondisi tumpuan Sebagai
contoh" di tumpuan jepit tidak akan terjadi translasi dan rotasi sumbu batang
Syarat kesepadanan harus juga terpenuhi di semua titik kumpul pada bagian dalam
struktur Umumnya yang diperhatikan ialah kesepadanan titik kumpul struktur Misalnya
disambungan yang tegar antara dua batang" perpindahan (translasi dan rotasi) kedua batang
harus sama
%ambar /) *arat Translasi dan Rotasi pada T+mp+an
$%/% Hu(ungan Aksi dan
P!r inda"an:stilah aksi< dan perpindahan< dipakai untuk menjabarkan konsep tertentu dalam
analisis struktur
A) A-si
Suatu aksi berupa gaya atau kopel tunggal 'amun" aksi bias juga merupakan
gabungan gaya dan kopel" beban tersebar" atau gabungan aksi!aksi tersebut #ada kasus
gabungan ini semua gaya" kopel dan beban tersebar harus memiliki hubungan tertentusehingga bias dinyatakan oleh symbol tunggal
=ontoh$
-ika beban pada balok tumpuan sederhana A& terdiri dari dua gaya # sama besar
(lihat 6ambar .)" maka gabungan kedua beban ini dapat dipandang sebagai aksi tunggal
dan dinyatakan dengan satu symbol , 6abungan kedua beban ini dengan reaksi 7 A dan 7 &
di tumpuan juga boleh dipandang sebagai aksi tunggal" karena keempat gaya tersebut saling
berhubungan secara unik
2#&* !
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
6/12
%ambar ) A-si Rea-si pada Balo- T+mp+an ederhana
Aksi dalam adalah resultan distribusi tegangan dalam" meliputi momen lentir" gaya
geser" gaya aksial dan momen punter Untuk membedakan reaksi ini dari beban pada
struktur" reaksi digambarkan oleh tanda panah dan garis miring
=ontoh$
*alam menghitung gaya aksial N " momen lentur M " dan gaya geser V di suatu
potongan balok6ambar >b" misalnya di tengah bentang" kita perlu meninjau keseimbangan
static suatu balok Salah satu caranya ialah dengan membuat diagram benda bebas (free-
body) setengah bagian kanan balok deperti diperlihatkan pada 6ambar >b *ari diagram ini
terlihat bahwa setiap aksi dalam berupa gaya atau kopel tunggal
%ambar )%a*a Dalam pada Kantile,er
2#&* "
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
7/12
B) "erpindahan
#erpindahan pada umumnya berupa translasi atau rotasi di titik struktur Translasi
menunjukkan jarak pergerajan titik pada struktur" dan rotasi menyatakan sudut putar garis
singgung pada kurva elastis (atau garis normalnya) di satu titik Misalnya" pada balok
kantilever pada 6ambar ?" translasi @ dan rotasi di ujung balok dipandang sebagai
perpindahan Bebih jauh lagi" seperti dalam kasus aksi" perpindahan dapat dipandang
berlaku umum" yaitu sebagai gabungan translasi dan rotasi
%ambar 2) Translasi dan Rotasi "ada Kantile,er
Tinjauhlah rotasi di sendi & pada balok dua bentang pada 6ambar 5 7otasi ujung
kanan batang A& diberi notasi C" sedang rotasi ujung kiri batang &= diberi notasi 2 Masing!
masing rotasi ini dipandang sebagai perpindahan Selain itu" jumlah kedua rotasi yang diberinotasi juga merupakan perpindahan Sudut dapat dipandang sebagai rotasi relative di
titik & antara ujung batang A& dan &=
2#&* #
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
8/12
%ambar 3) Translasi dan Rotasi "ada Balo- ederhana
4ontoh 5+b+ngan antara a-si dan perpindahan
#erhitungan perpindahan (perubahan panjang) merupakan bagian yang sangat
penting dalam analisis statis taktentu Untuk lebih memudahkan pemahaman" tinjaulah
sebuah pegas yang analog dengan perilaku batang sebagaimana gambar berikut ini
%ambar 6) De7le-si pada pegas
-ika beban bekerja menjauhi pegas" maka pegas akan memanjang dan kita katakan
bahwa pegas mengalami beban tarik -ika beban bekerja ke arah pegas" maka pegas akan
memendek dan kita katakan bahwa pegas tersebut mengalami tekan
Apabila diberikan gaya #" pegas tersebut memanjang sebesar δ " dan panjangnya
menjadi B D δ -ika bahan dari pegas tersebut elastis linier" maka beban dan perpanjangan
akan sebanding
" - )2#&
* $M!kanika +a"an
Pusat +a"an A,ar dan !L!arning-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
9/12
*imana k adalah konstanta kekakuan pegas dan dide%inisikan sebagai sebagai gaya
yang menghasilkan perpanjangan satuan" artinya k E #/ δ *engan cara yang sama"
konstanta % disebut %leksibilitas dan dide%inisikan sebagai perpanjangan yang dihasilkan oleh
beban sebesar satu" artinya 7 9")
*ari pembahasan tersebut jelas bahwa kekakuan dan %leksibilitas merupakan
kebalikan satu sama lainnya $
:
%ambar 8) "erpan.angan batang prismati- *ang mengalami tari-
#erpanjangan δ pada suatu batang prismatis yang mengalami beban tarik # seperti
pada gambar -ika beban bekerja melalui pusat berat penampang ujung" maka tegangan
normal terbagi rata di penampang yang jauh dari ujung dapat dinyatakan dengan rumus σ E
#/A" dimana A adalah luas penampang Selain itu" jika batang tersebut terbuat dari bahanyang homogen" maka regangan aksialnya adalah ε E δ /B" dimana δ adalah perpanjangan
dan B adalah panjang batang
*engan asumsi hukum 0ooke berlaku (bahan adalah elastis linier) Selanjutnya"
tegangan dan regangan longintudinal dapat dihubungkan dengan persamaan σ E ε "
dimana adalah modulus elastisitas *engan menggabungkan hubungan!hubungan dasar
ini" maka kita dapat menghitung perpanjangan batang $
2#&* %
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
10/12
#ersamaan ini menunjukkan bahwa perpanjangan berbanding langsung dengan
beban # dan panjang B dan berbanting terbalik dengan modulus elastisitas serta luas
penampang A 0asil kali A dikenal sebagai rigiditas aksial suatu batang #ersamaan
tersebut berlaku juga untuk elemen struktur yang mengalami tekan" dimana δ menunjukkan
perpendekan batang
#erubahan panjang suatu batang biasanya sangat kecil dibandingkan panjangnya
Sehingga pada kondisi demikian kita dapat menggunakan panjang awal batang (bukan
setelah ditambahkan perpindahan) dalam perhitungan
4ekakuan dan %leksibilitas suatu batang prismatis dide%inisikan dengan dengan cara
yang sama seperti pada pegas 4ekakuan adalah gaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan
perpanjangan satuan" atau #/ δ dan %leksibilitas adalah perpanjangan akibat beban satuan
atauδ
/# Sehingga kekakuan dan %leksibilitas suatu batang prismatis adalah
$%0% Tata Sum(u Lokal dan 'lo(al
4oordinat 6B+&AB adalah koordinat re%erensi struktur yang bersi%at tetap 4oordinat
B+4AB adalah kooordinat yang arahnya tetap pada setiap batang" terhadap sumbu global
arahnya relative bergantung pada sudut yang dibentuk terhadap arah sumbu 1!global
#ada umumnya sebuah struktur terdiri dari banyak elemen yang dihubungkan satu
dengan yang lainnya menjadi sebuah kesatuan struktur lemen!elemen tersebut tentu saja
tidak seluruhnya berorientasi mendatar" ada yang tegak" ada pula yang miring" sehingga
2#&* 1&
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
11/12
matri8 kekakuan perlu ditrans%ormasikan secara linier agar sesuai dengan posisi elemen
yang bersangkutan
Sehingga pada analisis digunakan satu re%erensi koordinat yang sama untuk seluruh
elemen struktur Untuk mentrans%ormasikan dari berbagai posisi koordinat lokal menjadi satu
re%erensi koordinat yang sama (global)" digunakan sebuah trans%ormasi linier (matri8
trans%ormasi) untuk menyesuaikan '
(C) 7angka batang Sederhana (2) *iskritisasi rangka batang dalam sistem koordinatlokal
(.) Sudut yang dibentuk rangka batangdengan sistem koordinat global
(>) *iskritisasi rangka batang dalam sistem koordinatglobal
%ambar ;) Trans7ormasi -oordinat rang-a batang
Untuk suatu titik pertemuan dengan enam derajat kebebasan" maka matri8
trans%ormasi yang sesuai untuk titik tersebut adalah $
dimana
Untuk suatu balok lurus dengan dua belas derajat kebebasan" matri8 yang sesuai
untuk balok tersebut dituliskan sebagai berikut $
Untuk balok lurus yang hanya ditinjau dalam satu bidang (dua dimensi)" maka matri8
trans%ormasi dari sistim koordinat dapat dituliskan sebagai $
2#&* 11
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id
8/18/2019 Modul Analisa Struktur 2 [TM3]
12/12
dimana
5 *A,TA7 #USTA4A
Daftar Pustaka&asuki" A (t thn ) Analisis Struktur Metode Matriks
6hali" A " F 'eville" A (CGH?) Structura !"a ysis (#er$ema%a"). -akarta$ rlangga
Ieaver" I " F 6ere" - M (CGG5) !"a isa Matriks u"tuk Struktur &a"gka (#er$ema%a").
-akarta$ rlangga
2#&* 12
M!kanika +a"anPusat +a"an A,ar dan !L!arning
-e% ,ranklyn Sinulingga" S T" M T http$//www mercubuana ac id