Post on 19-Feb-2018
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
1/40
2 STABILITATEA GEOMETRIC GRINZILOR DE BETONPRECOMPRIMAT
2.1 Fundamentarea din er!e"ti#$ i!t%ri"$
Problema instabilitii elastice a capatat incepnd cu secolul XX o
importanta deosebita datorita folosirii otelului si aliajelor de inalta rezistenta in
structurile ingineresti, navigatie si aviatie. Primele probleme de instabilitate
elastica au fost rezolvate de L. Euler, care a studiat flambajul barelor
comprimate acum mai bine de 2 de ani. !eoarece materialele folosite atunci
aveau rezistenta relativ mica "lemnul si piatra#, elementele construite erau
relativ groase, iar astfel problema stabilitatii nu era de prima importanta.
$onstruirea de poduri metalice la sfarsitul sec. X%X a facut ca problema
flambajului sa capete o importanta deosebita.
Lateral stabilit& of t'e beams is a concern since t'e end of t'e X%X
centur&, ('en Prandtl and )ic'ell performed t'eoretical studies upon long
beams (it' a narro( rectangular cross*section +-. %n 'is earl& scientific
activit&, imos'en/o derived t'e fundamental differential e0uations of torsion
for %*beams and studied t'e lateral buc/ling of t'e transversel& loaded %*beam
+2-. 1ince t'an, man& ot'er investigators "e.g., lasov, 3inter, 4ill and
5alambos# studied bot' elastic and inelastic lateral*torsional stabilit& of beams
(it' various s'apes +6-. 'e elastic stabilit& of t'e t'in*(alled beams subjected
to a midspan concentrated load, e0ual end moments and uniform distributed
load, (as solved b& 'imos'en/o and 5ere +7-.
Prin folosirea otelului s*au realizat elemente zvelte comprimate, placi
subtiri si invelitori subiri, care pot ceda nu numai din cauza eforturilor mari
care pot depasi rezistenta materialului, ci si datorita insuficientei stabilitatii
elastice a elemenetelor sale zvelte sau cu pereti subiri. %n acest sens, au inceput
sa fie realizate cercetari intense teoretice si e8perimentale, stabilinduse*se
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
2/40
limitele in care pot fi aplicate formulele teoretice. !e asemenea s*a stabilit ca
flambajul elementelor comprimate este doar un caz particular al instabilitatii
elastice, viitoare cercetari fiind facute asupra comportarii stalpiilor cu sectiune
plina, compusa sau si cu elemente tubulare, table cu inima plina, placicilindrice subtiri etc, cu ajutorul carora s*au stabilit mai multe tipuri de cedare a
elementelor "imos'en/o 9 5ere, :;6#.
2.2 Tiuri de in!ta&i'itate
%n general, t'e structural stabilit& of a prestressed concrete girder is a
ver& comple8 problem. %t is related to t'e distance bet(een t'e lateral supports
to t'e compression flange, boundar& conditions, t&pe and position of t'e loads,moment gradient along t'e unsupported lengt', t&pe of t'e crosss*section, non*
prismatic nature of t'e member, material properties, magnitude and distribution
of residual stresses, initial imperfections, eccentricit& of loading, prestressing
force, position of stiffening elements + interaction of s'ear*bending*compression, creep and
s'rin/age of concrete, t'ermal effects etc. 3'en dealing (it' concrete, long
term stabilit& becomes a primar& issue to be surpassed in order to meet t'e
goals of a performance based design.
)odalitile de pieredere a stablitii a unui element ?ncovoiat se pot
descrie ?n cel mai adecvat mod prin relaia dintre deplasri @i ?ncrcri. Pentru
domeniul de comportare liniar*elastic se disting urmtoarele tipuriA
pierderea stabilitatii prin bifurcarea echilibrului
* trecerea brusca a barei din pozitie rectilinie in pozitie deformata ca pozitie de
ec'ilibru stabil la limita, dupa care pentru orice crestere a fortei a8iale aplicate,
bara isi pierde stabilitatea
* dupa o anumita valoare a fortei Pcr, e8ista mai multe forme de ec'ilibruA
stabile si instabile
* pentru o bara comprimata fara incarcari transversale Bigura 6.a#, in diagrama
vCf"P# la atingerea sarcinii critice PCPcr,poate sa para o discontinuitate brusca a
pantei curbe
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
3/40
* curba prezinta doua ramuri, din care una dreapta si alta carecterizata printr*o
crestere brusca a deformatiilor. "Bigura 6.c##
* in Bigura 6.b# este indicata ramificarea care apare in punctul PCPcr.
*momentul ?n care ?ncrcrile e8terioare ating valorile critice, bara iese dinpoziia de ec'ilibru @i tinde s ocupe o nou poziie de ec'ilibru
* e8A flambajul barelor drepte, comprimate centric , flambajul arcelor, flambajul
lateral la incovoiere al grinzilor, flambajul prin rasucire, flambajul placilor
plane etc
Bigura6.c# bare din materiale care asculta de legea lui 4oo/e
Bigura ADifurcarea ec'ilibrului
pierderea stabilitatii prin deformare contiunu, divergenta echilibrului
este caracterizata prin faptul ca diagrama vCf"P# este de la inceput o curba continua
care in apropierea valorii critice a sarcinii, prezinta cresteri mari ale sagetiilor.
* calculul se face luand in considerare imperfectiuniile geometricesistructutrale
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
4/40
* daca in cazul precedent se adauga si efectele transversale initiale "momente
incovoietoare#, curba vCv"P# nu mai prezinta ramificarea din Bigura 6.b,
corespunzatoare fortei transversale
* pe masura cresterii incarcarii e8terioare, ca urmare a descresterii progresive a
rigiditatii structurii, deformatiile structurii se accentueaza contiunuu
* sarcina limita de ec'ilibru corespunzatoare momentului anularii rigiditatii
structrii, cand deformatiile structurii se pot dezvolta fara o crestere a incarcarii
e8terioare
Bigura 2A Dare din materiale ideal elastice ce asculta de legea lui 4oo/e sicalculate conform teoriei de ordinul %%%
pierderea stabilitatii prin traversare
* este caracteristica membranelor pocnitoare, arce cu sageti foarte mici, arce pleostite
subtiri, invelitori subtiri cu curbura foarte mica si sistemelor care pot fi reduse la
sc'ema din Bigura
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
5/40
Bigura 6 a#, b#
Bigura < c#
disparitia formelor stabile de echilibru- in cazul din Bigura ;.a# , forta are
tot timpul directie tangentiala la bara si nu e8ista alte forte transversale.
* relatia vCv"P# are forma din Bigura b#, dupa PCPcrnee8istand decat situatia de
instabilitate
Bigura 7
pierderea de stabilitate prin curgere lenta* in cazul barelor solicitate transversal si
cu materiale cu proprietati de curgere lenta, deformatiile transversale cresc in timp,tinzand la un moment dat la infinit.
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
6/40
* variatia deplasarii in timp e data in Bigura .
* cresterea are loc pentru pentru un timp denumit critic. La doua forte a8iale PFP2,
corespund doua curbe caraceristice pentru care t,crG t2,cr "Bigura f#.
Bigura < a#, b#
1unt considerate imperefectiuni gemoetriceA abateri de la forma teoretica a8ei,
aplicarea sarciniilor cu e8centricitate, abateri geometrice in forma sectiunii
transvesale sau e8istenta unor slabiri locale etc. iar imperfectiuni structuralecele carese refera la material ca de e8emplu neomogenitatea materialului caracterizat aprin
vibratii ale curbei caracteristice, zone plastice ale unei parti din structura, prezenta
eforturilor reziduale etc#. =ceste imperfectiuni sunt cauza dezvoltarii continue a
deformatiilor inca de la inceputul aplicarii sarcinilor. %n acest caz, sarcinile critice se
determina prin considerarea formei deformate a structurii, folosind calculul de ordinul
%% sau %%%.
%n continuare, se va face o caracterizare succinta a tipurilor de flambaj care potaparea la elementele de tip bara.
%n literatura de specialitate, in functie de modul dencrcare, elementul de tip
barse clasific inA "2# , "2#, "#
. Element de tip column sau stalp " figura a #*bara solicitata doar la
compresiune a8ial sau bara verticala solicitata la compresiune
2. Element de tip beam sau grinda " figura b # * bara solicitata lancovoiere
6. Elemente de tip beam-column sau grinda comprimata " figura b #* barasolicitatncovoiere @i compresiunen acelai timp.
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
7/40
Bigura $lasificarea elementelor de tip bara
2.2 M%duri de ierdere a !ta&i'it$(ii )rin*i'%rre"%mrimate +i ,a"t%rii de in,'uen($
Bactori care influeneaz flambajulA
distana dintre reazemele tlpii comprimate condiiile de contur tipul i forma seciunii tipul, poziia i nivelul ?ncrcriilor "de stabilizare sau destabilizare# propietiile materialului fortele de prcomprimare pozitia si modul de rigidizare si fi8are al talpii sau al inimii imperfeciunile iniiale ale geometriei seciunii i e8centricitatea ?ncrcrii momentul gradient de lungul lugimii nerezemate magnitudinea i distribuia tensiuniilor reziduale
2.- Sta&i'itatea e'a!ti"$ a e'emente'%r n"%#%iate
2.3.1 Flambajul torsional
2.6.2 Blambajul general
2.4.2 Tipurile de flambaj(de pierdere a stabilitatii) caracteristice elementelor de
tip bara
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
8/40
!in teoria elementara a incovoierii stim ca eforturile si deformatiile grinzilor
sunt proportionale cu sarcinile incarcate iar momentele si fortele taietoare sunt
nesemnificativ influentate. !eformatia finala a grinzii se va obtine prin insumarea
deformatiilor produse de fiecare solicitare in parte. $and grinda este actionata
simultan de sarcini a8iale si transverale, momentele incovoietoare, eforturile si
deformatiile din grinda nu mai sunt proportionale cu marimea sarcinii a8iale. 5rinzile
supuse la solicitari a8iale de compresiune si sarcini transversale se numesc grinzi
comprimate. $el mai detaliat si reperezentativ studiu de flambaj elastic si neelastic ale
elementelor de tip bara este realizat de imos'en/o95ere in "2#, pentru diferite
tipuri de sectiuni, conditii de rezemare si incarcare.
%ncarcarea critica a unei grinzi comprimate se poate determina utilizand doua
cai conform "2#A
* considerand actiunea simultana a solicitarilor de compresiune si incovoiere sau
admintinad ca grinda are o curbura initiala. 1arcina critica se determina considerand
ca forta a8iala produce deformatii mari ale grinzii, c'iar daca sarcinile transversale
sunt relativ mici
* studiind comportarea unei bare ideale, considerata a fi initial perfect dreapta si
comprimata de o forta perfect centrata "Bormula lui Euler, cazul unei bare zvelte
ideale# .
Pentru determinarea incarcarilor critice, se pleaca de la ecuatiile fibrei
deformate a barei, scriindu*se ecuatiile de ec'ilibru pe element si luand in considerare
conditiile de rezemare si de incarcare.
Bara de sectiune zvelta "dec'idereHinaltimeF2#este bara la care in sectiune o
lungime este mult mai mare cealalta. 5rinzile ?n care distana dintre talpa comprimata
si lateral suport este de
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
9/40
* flambajul prin incovoiere-torsiune(flexural-torsional),la barele drepte de sectiune
dublu simetrica dec'isa
*flambajul barelor curbe"arce si inele#
*flambajul lateral, al grinzilor supuse la incovoiere
- voalarea placilor plane
* voalarea generala sau locala a placilor curbe subtiri
Elementele cu pereti subtiri si elementele zvelte, pot fi supuse la unul dintre
modurile generice de flambaj: local, distorsional sau global, i la interaciunea
acestora . Flambajul local sau voalarea pereilor seciunii transversale reprezint
distorsiunea sau strmbarea seciunii. Termenul de "flambaj global" desemneaz
flambajul prin ?ncovoiere "Euler# precum i flambajul prin ?ncovoiere*rsucire sau
flambajul lateral, prin ?ncovoiere i rsucire, al grinzilor.
)odurile de flambaj pentru un element de tip barasuntA "26#
flambaj flexural al stlpiilor (columns)
flambaj prin rasucire al stlpiilor (columns)
flambaj lateral torsional al grinziilor(beam)
flambaj local- flambajul partii considerata cu pereti subtiri a sectiuniitransversale "flambajul inimii sau al talpii
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
10/40
Bigura ; )odurile de flambaj general pentru o grind % solicitat
a8ial
oduri de flambaj: )odul care corespunde incarcarii critice se numeste mod critic
de flambaj.+Bigura 2,6,7-
Tabel ! "aracteri#area modurilor de flambaj
Tipul de flambaj "aracteristici
$ocal
Blambajul inimii * comportamentul la flambaj al unei plci zvelte de tip
inim este similar cu flambajul unui element de tip
plac
* in timpul construciei se recomand limitarea
deformrilor din ?ncovoiere i deplasri transversale
ale inimii.
* flambajul local al unui element nu ?nseamn cedarea
total a seciuni
Blambajul talpii
%lobal
Lateral * deplasarea laterala a talpii superioare
Lateral* orsional * deplasare lateral i rsucire dar fr incovoiere
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
11/40
"incovoiere si torsiune in acelasi timp), talpa
comprimat flambeaz ?n direcie lateral, urmat de
rotirea grinzii
* bara este incovoiata pe directia a8ei strong sinefi8ata la incovoiere pe directia a8ei (ea/, astfel
aceasat se poate rasuci.
*nu e8ist rezerve post*critice ?n cazul acestui tip de
flambaj, deci fenomenul de instabilitate va duce la
colapsul general al grinzii.
* %n general apare dac rigiditatea seciunii
transversale este mic.orsional "flambaj prin
rasucire sau torsiune#
* se produce prin rotirea seciunii transversale ?n jurul
a8ei longitudinale, care ramane dreapta
* elementul va flamba, prin flambajul talpilor
* caracterizeaza stalpii scurti de sectiune desc'isa, la
care centrul de greutate corespunde cu centrul de
taiere si la care rigiditile la ?ncovoiere ?n raport cu
a8ele principale sunt apropiate ca valoare "sectiuni
dublu simetrice %, anti*s&mmetrical I*s'apes,cruciforms etc#
Ble8ural*orsional "flambaj
prin ?ncovoiereJrsucire#
* rsucirea se produce prin rotirea seciunii
transversale ?n
jurul a8ei longitudinale, concomitent cu ?ncovoierea
elementului ?n lungul a8ei, insa fara sc'imbarea
formei sectiunii
* este modul critic de flambaj al stalpilor de sectiune
nesimetrica, la care centrul de greutate si de taiere nu
coincid
* rigiditatea la ?ncovoiere ?n raport cu a8a de simetrie
are valori apropiate de rigiditatea la ?ncovoiere ?n
raport cu a8a perpendicular cu a8a de simetrie.
* apare ?n general la seciunile care nu au dou a8e de
simetrie, de sectiune transversal desc'is mono*
simetric sau cu seciune oarecare "K, $, , L..#, la
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
12/40
care rigiditatea la torsiune este redusa
*trebuie luat ?n considerare deoarece seciunea
transversal este critic.Ble8ural * incovoiere pe direcia (ea/ a8is
* este critic la stalpii zvelti si de sectiune dublu
simetrica sau stalpiilor or one ('ic' is not susceptible
to, sau care sunt fi8ati pentru a preveni rasucirea
!istorsional * flambaj lateral cu distorsiunea sectiunii
* const ?n deformarea inimii sau a tlpii
* cel mai comun este flambajul distorsional al tlpii ?n
care talpa se rotete vertical fa de a8a orizontal.Este un mod ?n care se sc'imb forma seciunii
transversale e8cluznd flambajul local " !efiniie
dat in 1tandardul =ustralianHMe( Iealand $B1
1tandard, Mort' =merican $B1 1pec i recent
acceptat i de terminologia de specialitate#
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
13/40
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
14/40
Bigura )oduri de flambaj caracteristice seciunii transversale
&igura '. ! Tipuri de flambaj
2.4.' imilitudinea intre flambajul unui stalp si pierderea stabilitaii laterale a
unei grin#i
$and elementele structurale zvelte sunt sunt incarcate pe directia strong a8is,,acestea au tendinta de a ceda prin flambaj in t'eir (ea/ plane, astfel pot sa isi piarda
stabilitatea. 1talpul solicitat a8ial si grinzile incarcate transversal se comporta
asemanator la flambaj.
!aca consideram o grinda fi8ata doar la capete si nu pe si lungime, de
desc'idere mica, supusa incremental la o incarcare transversala la mijlocul sectiunii
Bigur < aceasta se va deplasa pe directia incarcarii.
Bigura N a# 5rinzi scurte b# !eplasarea verticala a grinzii
!irectia de aplicare a incarcari si directia deplasarii sunt aceeleasi. =cest lucru
este similar cu cazul unui stalp scurt solicitat de compresiune. %n cazul unei grinzi
lungi "Bigura ;#, cand incarcarea este aplicata incremental, va produce o deplasare asectiunii pe directia de aplicare, iar dupa o anumita valoare citica, sectiunea grinzii se
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
15/40
va inclina intr*o parte si roti datorita instabilitatii talpii comprimate pe directia a8ei
longitudinale "Bigura ;.b#.
Bigura : a# 5rinzi lungi b# !eplasarea si rotirea grinzii
Prin cele doua pozitii ale sectiunii transverasle "Bigura ;.b#, apare flambajul
lateral prin deplasarea si rotirea sectiunii. $omportarea este asemanatoare cu cea a
unui stalp lung comprimat a8ial, la care intreaga sectiune se roteste ca un disc rigid
fara distorsiunea sectiunii. =semanarea este data mai jos.
Bigura 1imilitudinea dintre flamabjul grinzii si flambajul stalpului
Kn stalp solicitat a8ial se va deforma printr*o translatie pe directia
perpendiculara aplicarii punctului si va flamba intr*un mod de incovoire pura. O
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
16/40
grinda, sub incarcari transversale, este comprimata si intinsa in acelasi timp. Partea
comprimata devine instabila in timp ce tensiunile de intindere vor incerca sa
stabilizeze grinda. %ncarcarea aplicata in planul inimii, la o anumiita valoare va duce
la cedarea prin rotire si translatie a sectiunii transversale. "Bigura#. Problema
flambajului la grinda este mult mai comple8a decat cea a flambajului la stalp, fiind o
problema 6*dimensionala "forma de pierdere a stabilitatii este mult mai comple8a#.
asucirea este produsa de momentul aplicat iar momentul care produce rasucirea se
numeste moment critic. %ncarcarea critica a unei grinzi pe domeniul elastic, provides a
close upper limit to the load carrying capacity of the beam.
=stfel, la stalp apare flamabul cu o incovoiere iar in cazul flamabjului lateral,
acesta este asimilat cu o incovoiere in doua plane, insotita de torsiunea grinzii. Este
cert ca pierderea prin instabilitate laterala apare daca urmatoarele conditii sunt
sadisfacuteA
* sectiunea are rigiditati diferite dupa cele doua planuri principale "t(o principal planes
#
* incarcarile aplicate produc incovoirea in planul stiffer plane "about t'e major a8is#.
2.4. *nfluenta formei sectiunii asupra flambajului lateral-torsional
1ectiunile pot fi de forma inc'isa sau desc'isa.
%n general, se recomanda utilizarea sectiunilor de forma desc'isa , la realizarea
stalpilor si grinziilor , deoarece acestea ofera o mai buna rezistenta la tensiunile de
incovoiere, "to in-plane bending stresses#, prin distribuirea materialului in talpi, la
distante mari fata de centrul de greutate al sectiunii. =cest tip de sectiune este
recomandat si pentru conectarea grinzilor cu elementele adiacente. %n cazul ideal, in
care grinzile sunt fi8ate lateral, bending strength about the major axis forms the
principal design consideration. u cat au mai mare high major axis bending strength,
they are relatively !ea" in their minor axis bending and t!isting.
%n sectiunile de forma desc'isa, resistenta la torsiune este mica, dar au rigiditatela
incovoire mare in planul vertical "E%8#, astfel deformarea mica sub incarcari verticale.
!aca grinda este solicitatata lateral, deormarea grinzii este mult mai pronuntata , deoarece
E%8este mai mic. 5rinda este vazuta astfel ca un element care care are tendinta de a ceda
dupa directia a8ei (ea/"secundara.#
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
17/40
%n contrast cu sectiunile desc'ise , rigiditatea torsionala a sectiunilor inc'ise poate fi si
de de ori mai mare. 1ectiunea cu cea mai ridicata rigiditate la torsiune este tubul
circular gol, dar rar folosita din cauza dificultatilor de conectare a acestei sectiuni cu
alte elemente si are o rigiditate scazuta la incovoiere. "27#
Bigura 1ectiuni inc'ise si sectiuni desc'ise
2. +ierderea stabilitatii talpii comprimate: flambajul lateral torsional si
flambajul local
2..! %eneraliti
5rinda este elementul de constructie solicitat de incarcari transversale.
!imensionarea unei grinzi la moment incovoierdor conduce la conduce la seciuni cu
rigiditate mare la ?ncovoiere mare ?n planul de aciune al momentului ?ncovoietor @i
mult mai redus ?n plan
perpendicular. %n analiza la flambaj, comportarea grinzii se considera ideala dacaA
* talpa comprimata grinzii este fi8ata pentru nu se deplasa lateral
* orice forma de flambaj este prevenita.
alpa comprimata a unei grinzi poate ceda lateral, prin flambaj lateral*
torsional sau local, prin cedarea locala, la nivel de sectiune.
E8ist dou tipuri de tlpi comprimate. Kn tip este cel al tlpiilor comprimate
rigidizate "fi8ate# de*a dungul ambelor margini longitudinale. =stfel de tlpi se
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
18/40
numesc elemente rigidizate comprimate @i sunt tlpile comprimate din cazul
grinziilor de seciune $. n cazul elementelor de tip %, acestea se numesc elemente
comprimate nerigidizate, care sunt rigidizate doar de*a lungul uneia dintre cele dou
margini longitudinale. $elalate margini ram
n libere. $omportamentul acestor dou
tipuri de elemente este similar ,dar nu identic. "27#
ezolvarea ecuaiilor de stabilitate permite determinarea e8act a forelor
critice @i a lungimilor de flambaj. =stfel se poate e8ploata la ma8imum capacitatea de
rezisten a materialelor @i alegerea unor seciuni economice optime, concomitent cu
asigurarea condiiilor de rezisten @i stabilitate. Ecuatile de stabilitate se scriu pe baza
relatilor dintre ecuatile a8ei formate, modul de rezemare si de incarcare.
2..2 &lambajul lateral torsional $T
5rinzile solicitate la ?ncovoiere simpl au rigiditi mult diferite dup cele
dou a8e principale "%zFF%, ca urmare sunt e8puse pericolului flambajului lateral al
tlpii comprimate "pierderea stabilitii generale sau flambaj prin ?ncovoiere#,
fenomen asemntor cu flambajul prin ?ncovoiere * rsucire al barelor comprimate.
Qn cazul ?n care talpa comprimat a grinzii nu este fi8at ?mpotriva flambajului
lateral, prin elemente ale structurii din care acesta face parte, se impune verificareagrinzii la pierderea
stabilitii generale, c'iar @i ?n situaia ?n care eforturile unitare din ?ncovoiere sunt
mult inferioare celor limit. 1tudiul se poate face pri metoda statica sau energetica.
)odelul matematic de calcul la flambaj lateral are la baz urmtoarele ipotezeA
deformaiile grinzii ?n planul de rigiditate minim nu sunt ?nsoite de deformarea
seciunii
transversale a barei "seciunea se rote@te ca un disc rigid ?n jurul centrului de rsucire
$, respectiv 1 J dup notaia E$#>
se admite c ?n starea deformat a grinzii, ?ncrcrile rmn paralele cu direcia
iniial.
Qn studiul flambajului lateral al grinzilor cu inim plin intervin urmtorii
parametri "Bigura :#A
* sc'ema de ?ncrcare a grinzii, caracterizat prin coeficienii $, $2 @i $6>
* nivelul de aplicare al sarcinilor pe ?nlimea seciunii transversale a barei, precizat
prin
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
19/40
coordonata za, a punctului = ?n care se aplic ?ncrcarea>
* forma seciunii transversale a barei "prin curba de flambaj# @i caracteristicile de
rezistent
ale seciunii "=, %&, %z, %R, %#>
* condiiile de rezemare fa de cele dou plane principale de inerie, prin coeficienii
/> /(>
* marca oelului caracterizat prin limita de curgere f&.
Bigura 2 1istemul de a8e si de notare a caracteristicilor de calcul
Qn cazul acestui tip de flambaj, geometria seciunii transversale nu se sc'imb.
$nd o grind c'esonat simpl este solicitat la ?ncovoiere, talpa superioar
este comprimat iar cea inferioar este ?ntins. !ac un element zvelt este acionat de
o for a8ial, elementul va ceda datorit ?ncovoierii sau torsiunii i nu datorit
compresiunii. !ac grinda nu este fi8ata pe direcie lateral "adic nu prezint
rigidizri care s actioneze perpendicular pe planul ?ncovoierii#, iar ?ncrcarea
fle8ural crete pna la o valoare limit, grinda va ceda datorit flambajului lateral al
tlpii comprimate. Qn seciunile cu tlpi late, dac talpa comprimat flambeaz lateral,
seciunea se va rsuci ?n torsiune, rezultnd modul de flambaj numitflambaj lateral-
torsiona(#$%) "2
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
20/40
realiza grinzi cu seciuni ct mai ?nalte @i ?nguste. =stfel de elemente de rezisten
devin instabile, producndu*se un fambaj lateral atunci cnd sunt solicitate c'iar
numai de un moment ?ncovoietor.
La un anumit nivel de incarcare, sectiunea sufera o deplasare si rotire iar
ultimate moment capcit& se reduce datorita deformarii si curgerii. Parametrul cel mai
important care afecteza stabilitatea laterala a grinzilor este distanta dintre elementele
de fi8are laterala.
"a# !esc'iderea @i solicitrile, "b# !eplasri ale tlpii superioare, "c# !eplasri ale
seciunii
Bigura 6 Blambajul lateral al unei grinzi % dublu simetrice
Ecuaiile difereniale de ?ncovoiere a grinzii suntA
Sx& momentul principal de inerie al seciunii transversale dup a8a 8S > Sy&
momentul principal de inerie al seciunii transversale dup a8a &S> Sx' momentul
S2
2
S
S2
2
S
yy
xx
'dz
ud(&
'dz
vd(&
=
=
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
21/40
de ?ncovoiere dup a8a 8S, avnd direcie pozitiv ca ?n figura &> y' momentul de
?ncovoiere dup a8a j,avnd direcie pozitiv ca ?n figura &
%ar ecuatia de rasucire a barei flambate esteA
S6
6
z'dzd
dzd =
=ceasta ecuatie este valabila in cazul unei grinzicu pereti subtiri, de sectiune desc'isa.
$C5T Jreprezint rigiditate la rasucire> $CE$(Jreprezint rigiditatea (arping sau la
deplanare "torsiune neuniform# ,5*modul de elaticitate transversal> E*modul de
elasticitate longitudinal > T*constanta de rasucire, $(*constanta de flambaj
lateral"(arping contstant#
=ceste trei ecuaii reprezint ecuaiile de ec'ilibru a grinzii din care se pot
determina valorice sarcinii critice. %n continuare, se vor prezenta incarcarile critice
pentru diferite cazuri de incarcare si rezemare.
Qn abelul 6 se prezint e8presiile sarcinii critice de flambaj lateral, pentru
cteva cazuri de ?ncrcare
Tabel 2 arcini critice de flambaj
Modul de ncrcare i
rezemare
Sarcina critic defambaj
Sectiune I
Sarcina critic defambaj
(j=It)
rinzi rectan!ulare
in!u"te
#ri!iditatea la de$lanare
%&'=Dara simplu rezemat la
capete, supus la ?ncovoiere
pur
,"2
2
)*
(
#)*(&
#' !ycr
+=
1au
)*(
' ycr,= )*('
ycr
=
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
22/40
Dara simplu rezemat la
capete, cu o sarcin
concentrata la mijlocul
desc'iderii, in centrul de
greutate al sectiunii
222
22
#H"
6.7
)*#(
#
)*(&+
!
y
cr
=
=
2
:7.;#
)*(&+
y
cr=
#
)*(&'
y
cr 26;.7=
* P aplicat la distanta a fata
centrul sectiunii
E7.":7.;
2 #
a
#
)*(&+
y
cr =
* P aplicat la distanta c fata de
reazeme
2< #
)*(&
+ y
cr =
Dara simplu rezemat la
capete, cu o sarcin uniform
distribuit p, aplicat la
?nlimea fibrei medii
27#"
#
)*(&,#
j
cr = 26.2N#"#
)*(&p#
-
cr=
#
)*(&'
y
cr
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
23/40
Dara ?ncastrat la un capt,
?ncrcat cu o sarcin uniform
distribuit, aplicat la
?nlimea
fibrei medii
2N
< * depinde de raportul cHl
O ?ncrcare vertical aplicat sub centrul de forfecare al seciunii "care
coincide cu centrul de greutate al seciunii, ?n cazul seciunilor dublu*simetrice#, are
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
24/40
un efect stabilizator si mareste valoarea momentului critic, ?n timp ce, aceia@i
?ncrcare aplicat deasupra centrului de forfecare, are un efect destabilizator si scade
valoarea momentului critic.
Bigura 7 Blambajul lateral torsional al unei grinzi supus la moment
unifom
2..' &lambajul local al talpii comprimate
2..'.! *ntroducere
Blambajul local are o influenta mare asupra rezistentei elementelor, in special
asupra celor care sunt supuse interactiunii flambajului global cu cel local saudistorsional. =stfel, pe langa comportamentul global,trebuie luat in considerare si
flambaj local si cel distorsional .
Blambaj local A* al talpii comprimate
*al inimii datorita fortei taietoare
* al inimii supusa la compresiune datorita incarcariilor concentrate
%nteractiunea modurilor de flambaj are asupra rezitentei grinziilor formate din
elemente de tip placa zvelte.
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
25/40
Blambajul local al talpii comprimate reprezint un caz particular de
instabilitate a unei tlpi inferioare sau superioare sau a inimilor seciunii. $omportarea
lor se poate face sub forma analizei unor plci independente. Dleic'": dac inima e zvelt talpa comprimat poate ceda
la flambaj vertical "n special la grinzile de metal
Bigura < Blambajul de compresiune
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
26/40
Bigura ; alpa comprimata
&lambajul vertical (caracteristic grin#iilor de metal): Pentru structurile deseciune %
, flambajul este controlat de zvelteea inimii.
f
!
ryfyf! .
.
FFF
(
t
h
+
#"
;N.
aloarea de limitare este conservativ deoarce flambajul vertical al tlpii
comprimaten inima apare doar dupa curgerea talpii.
yfF *tensiunea de curgere a materialului din care e realizat talpa
rF *tensiunea rezidual ce trebuie atins pentru a obine compresiune uniform la
curgere
Blambajul lateral torsional nu influeneaz n totalitate proiectarea tlpii
comprimate. lpile rigidizate @i nerigidizate pot fi tratate ca elemente de tip plac
ncastrate pe contur @i supuse la compresiune unia8ial."==14O#. "2N#
%n cazul elementelor de metal, analiza se face considerand ca elementul este
format din placi interconectate. Blambajul local al talpii comprimate se anlizeaza
considerand o flambajul unei placi.
2..'.2 "aracteristici
Blambajul local al tlpii comprimateA talpa comprimat flambeaz local
Blambaj local alA
tlpii comprimate inimii datorit forfecrii inimii comprimate datoritncrcriilor concentrate
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
27/40
Blambajul local sau voalarea este definit ca un mod de instabilitate cand
geometria seciunii transversale se sc'imb, insa fr sa fie insotit de deplasare
lateral sau rasucire. Biecare parte a seciunii transversale"inima sau talp# poate
flamba.1eciunea transversal se poate considera ca fiind format din elemente de tip
placa.!ac aceste elemente sunt subtiri, pot flamba local "voala# cand sunt supuse la
compresiune. )ai mult,betonul este un material care flambeaz elastic. E8ista trei
moduri de cedare a plciilor comprimateA flambaj flexural, torsional si torsional-
flexural. Pentru o analiz corect, se neglijeaz orice interaciune intre elemente,
astfel fiecare plac se trateaz independent.
Borma deformata a placilor, sarcinile si rezistentele critice la flamabaj depind
deA
*aspectul de form/ a elementului, adic raportul inalime*ltime > conditiile de
solicitare pe contur0 rezistena la curgere a materialului> modul de fi8are pe cele 7
laturi.Blambajul la structuriile de metal,este influenat de felul seciuniiA compacte
,necompacte sau zvelte.
Biecare ?ncrcare d un mod de flambaj. =tunci cnd o plac este acionat de
mai multe incrcri,vom avea mai multe tipuri de flambaj, adic/ are loc interaciunea
modurilor de flambaj.%n Bigura 26, apar compresiuni transversale care nu sc'imb
modul de flamaj. $nd modurile de flambaj sub aciunea diferitelor aciuni este
similar,tensiuniile de flambaj sub aciunea incrcrilor combinate sunt mai mici
dect efectele aciuniilor individuale
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
28/40
Bigura Blambajul placilor
O importan deosebit asupra flambajului o reprezinta rigidizariile. La
elementele de metal,incrcariile critice se determina in funcie de modul si pozitia
rigidizariilor. Uriste/ "
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
29/40
Bigura N Blambajul tlpii grinzii c'esonate
Bie grinda din Bigura 2;. Punctele = @i D se afl n partea comprimat a
grinzii. !in cauza imperfeciuniilor geometrice @i a e8centricittii accidentale,
tensiuniile din cele dou puncte nu sunt egale. alpa superioar la fel ca @i un stlp, se
va deforma prinncovoiere pe direcia a8ei * , dar inimile ofera suficienta rezisten
pentru a preveni flambajul. ns la oncrcare mai mare de compresiune, talpa va
tinde s flambeze prinncovoiere pe direcia a8ei
2*2. =cest tip de flambaj pe direcia a8ei principale a grinzii se nume@te, cum am mai
spus, flambaj lateral. =nalogia cu un stlp este valabil doarn cazul reprezentrii
comportamentului general de flambaj lateral.
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
30/40
Bigura : $edarea inimii comprimate
Bigura 2 1istem de grinzi nerigidizate si rigidizate
2..'.' &ormule de calcule si incarcari critice pentru elementele de tip placa
%n cazul talpiilor considerate elemente de tip placa"grinzi BP# solicitate lacompresiune, o e8presie simplificata a rezistentei critice la flambaj "voalare# estedata prin rezolvarea ecuatiei de mai jos"Wiao ::# "2:# ,
[ ]##"2#"#""##"#"2"2
22
fxyfxyfyfyfx
fcr
x )(p((,b
t++
=
p,0*coeficieni in funcie de coeficientul la intersectia dintre placi"modul de
rezemare a placii#
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
31/40
+entru grin#i *:
2H>#"
#"2>
7.
;
2.
N..>
6.
2..2
Pentru o grinda sub under 6*point bending, incarcarea criticaloacala de flambaj
"Pcrlocal# poate fi obtiunut cu ajutorul tensiunii critice si proprietatiile grinziiA
#b(1+
!x
cr
xlocalcr
#"N =
t*grosimea tlpii comprimate > b*limea tlpii comprimate > b(*inlimea seciunii >f*
talpa >0*constanta definit de coeficientul > (*inima > *coeficient care ine seama
de condiiile de rezemare a tlpii comprimate
!*silmilar cu E% in cazul materialelor izotropice>E&CH"tY22#, tCgrosimea panelului,+Y-*
matrice de compilanta, care e inversa matricei de rigiditate
Blambajul lateral al grinziilor la care dHb GC; nu reprezinta o problema.Kn element de plac acionat de tensiuni de compresiune, incovoiere,si
combinaia acestora poate flamba in plan sau distorsional la un anumit nivel al
incarcarii"tensiune critica locala.
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
32/40
Benomenul de voalare al placilor plane este analog flambajului barelor, insa
spre deosebire de cazul barelor drepte, pierderea stabilitatii prin flambaj a placilor
plane nu coincide cu pierderea capacitatii portante, placa fiind capabila sa preia in
continuare incarcari, curba caracteristica P*Z fiind de forma celei din Bigura 2N, fiind
necesara cunoasterea comportarii postcritice a placiilor. !escrierea acestor fenomene
fiind posibila numai in teoria neliniara.
Bigura 2 $urba caracteristica P*Z pentru o placa
Dr&an"N:# a fost primul care a studiat flambajul unei plci subiri
rectangulare simplu rezemat si a obinut ecuaia diferenial fundamental a
deformatei acesteia. Ecuatia pentru tensiunea elastic critic la flambaj este dat de
relatiaA2
2
2
#"2
=
b
t("fol
Knde / este un coeficient care depinde condiiile de contur.
$onform "2#, calculul plciilor se face considerand c placa flambeaz iniial
sub aciunea ?ncrcriilor aplicate in milocul planului sau,fiind astfel necesar s se
calculeze intensitatea acestora pentru a mentine placa in forma deformatA
Ecuaia unei plci care flambeaz este data de e8presiaA[
#2",
22
22
2
2
7
7
22
7
7
7
y
!2
yx
!2
x
!2
1y
!
yx
!
x
!yxyx
+
+
=
+
+
x2 , y2 , xy2 *forele constante prin placa
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
33/40
Tabel ' *ncarcarile critice caracteristice elementelor de tip placa in functie de
modul de incarcare si re#emare
Tipul de placa "aracteristici &ormula
!. &lambaj de compresiune
implu re#emat si uniform
comprimat dupa o direceA* placa este comprimat in planulsau median de fore uniform
distribute de*a lungul laturilor"8C>
8Ca#.
2
2 "#"
b
a
mm
a
12 crx +=
!*rigiditatea fle8ural
a plcii"
#,",2
22
=(h
1
m*reprezint numarul
de jumti deunda,in care placa
flambeaz
implu re#emat si comprimat
pe doua direcii perpendiculare
* fie o grinda simplu rezemat,
acionat de fore de compresiune
unform distribuite M8,M&. Ecuia de
la care se pleac esteA
"2
2
2
22
2
22
2
22
a
n
a
m1
b
n2
a
m2
yx
+=+
m,n* reprezint numrul de
jumati de und in care placa
flambeaz pe direcia 8 , respectiv
directia &>
* dac se consider m
de formaA
n
a
xma! mnmn
sinsin=
* pentru yy ==
tensiunea critic e
dat de e8presiaA
#"2
222
b
anmc +=
*placa patrata
#2 ec =
* unde
ha
1e 2
2 =
niform comprimate, simplu
re#emata de-a lungul a doualaturi perpediculare directiei de
* ecuaia de la care se pleac esteA
2
2
7
7
22
7
7
7
2x!
12
y!
yx!
x! y
=
+
+
* in cazul in care &C
simplu rezemata >latura &Clibera
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
34/40
compresiune si avand diferite
conditii de margine de-a lungul
celorlalte doua laturi
* &C incastrata, latura &Cb libera
* &C incastrata elastic, latura &Cb
libera* ambele laturi &C si &Cb
sunt incastatre
* ambele laturi &C si &Cb sunt
asezate pe grinzi elastice
* latura &* iar latura &Cb pe o
grinda elastica
2
2
#"b
1"2 cry
=
* in rezolvarea acestor
cazuri, valoarea
critice a fortelor de
compresiune se
determina egaland cu
ecuatiile transcente
caracteristice fiecarui
ca
implu re#emat de-a lungul a
doua laturi opuse si uniform
comprimate dupa directii
paralele cu acestea
* daca placa este simplu rezematade*a lungul laturilor 8* si 8Ca si
supusa la actiunea fortelor de
compresiune uniform distribuite
de*a lungul celorlalte doua laturi
nerezemate, ecuati placii flambate
esteA
2
2
7
7
22
7
7
7
2y!
12
y!
yx!
x! y
=
+
+
* sunt posibile doua forme de
flambaj
* valoarea sarciniicritice pentru cele
doua cazuri este
2
2
#"a
1"2 cry
=
implu re#emata, supusa la
incovoiere combinata cu
compresiune
* grind simplu rezemata de*a lungul
laturilor 8C, 8Ca cu forte continuu
distribuite actionand in planul ei
* prima apro8imatie
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
35/40
median , a caror marime esteA
#,"b
y22x =
M
*marimea fortei de compresiune
de*a lungul laturii &C
*factor numeric
pentru cazul in care Y
este mic, adica cazul
cand eforturile din
incovoiere sunt mici
in raport cu eforturile
de compresiune
,#" 2
2
2 +=
b
a
a
b
hb
1"cr
* cazul YC , e8presia
coincide cu cea pentru
o placa uniform
comprimata
2
2
"#"b
a
mm
a
12 crx +=
*efortul critic in a
treia apro8imatie,
suficient de buna
pentru cazul
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
36/40
incovoierii simple
hb
1"cr 2
2 =
2. &lambaj de forfecare(lunecare)
'. &lambaj la incovoiere
)ai general, in cazul flambajului la compresiune, pentru diferite conditii de rezemare
si de solicitare pe contur, forta critica de voalare este e8primata sub formaA "22#
2
2
2
2
2
#"#"2 b
h(h"
b
1"pcr
==
iar rezistenta critica de voalare esteA
h
pcrcr =
bH' reperezentand raportul de zveltete.
!e remarcat ca formulele sunt stabilite doar pentru domeniul elatic, in care
ecr =+++ #"
dx
dy+
dx
d'3
dx
dy+d''d33
dx,dx'
==>
=+++++ #"#"2
!aca efectul deformatiilor de forfecare cat si scurtarea grinzii sunt neglijate, e8presia
curburii a8ei grinzii este de formaA
'dx
yd(& =
2
2
Ecuatia diferentiala a a8ei grinzii se poate scrie sub formaA
3dx
dy+
dx
yd(& =+
6
6
sau
,dx
yd+
dx
yd(& =+
2
2
7
7
Tabel 0cuatii diferentiale a barelor comprimate
5rinda simplu rezemata Ecuatii
1arcina a8iala de compresiune si sarcinatranversala concentrata
* momentele in partea stanga si dreapa suntA
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
39/40
+yl
xlcl4'+yx
l
4c' +
=+=
##"",
* ecuatii de ec'ilibru
+yl
xlcl4
dx
yd(&
+yxl
4c
dx
yd
(&
=
=##""
2
2
2
2
1arcina a8iala de compresiune si mai multe forte
concentrate pe grinda
2
22
2
2
2
,
,,
2
,
2
##""+y
l
xlcl4
dx
yd(&
+yxl
c4
dx
yd(&
=
=
7/23/2019 Model Prof Initial Pt Redactare
40/40