Post on 23-Jul-2018
Metal Forming CAE Lab.Department of Mechanical EngineeringGyeongsang National University, Korea
보의 처짐
공학 보이론과 상미분방정식
의관계( ) ( ) ( ) bq x v x M x
( ) ( ) ( ) 0 yF V x V x x q x x21( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 C b bM M x M x x V x x q x x
처짐곡선과곡률간의관계: 1( ) v x
변형률-곡률관계:
xx
y
재료의성질:
xx xx
yE E
축력: 0 0 xxA AdA ydA
굽힘모멘트:1 ( )
bxx bA
MydA M v xEI
( ) ( ) bEIv x M x
( ( )) ( ) bEIv x M q x
경계조건• 기하학적경계조건:
• 역학적경계조건:
( ) 0,v L ( ) 0 v L
(0) ,V P (0) ,bM M ( ) ,V L P
(0) (0) (0) b
MM EIv M vEI
( ) (0) ( (0)) (0) b
PV M x V EIv vEI
( ) ( ) dV x q x
dx
( ) ( ) bdM x V xdx
(0) 0 v(0) 0,v
2
2
( ) ( )bd M x q xdx
평형조건:
보의 처짐에 대한 미분방정식
1 b
zz
MEI
1 ( )d v xds
( ) ( )zz bEI v x M x
곡률-변형곡선의관계:
보의변형:
정정계문제: 에미지의힘(모멘트포함)을포함하지않는경우: 전반부( )bM x
( )bM x
(0) 0, ( ) 0, (0) 0, ( ) 0,v v L v v L etc
부정정계문제: 에미지의힘(모멘트포함)을포함하는경우: 후반부
경계조건:
(0) (0) 0 (0) 0, (0) 0 (0) 0b bV M v M v etc
( ) ( ) ( )zz bEI v x M x q x
경계조건의분류:
기하학적경계조건:
역학적경계조건:
( ) 0,v L ( ) 0 v L
(0) ,V P (0) ,bM M ( ) ,V L P
(0) 0, v(0) 0,v 필수경계조건
자연경계조건
경계조건의예:
(0) 0V
( ) 0V L
( ) V L W
( ) 0V L
(2 ) 0V L( ) 0bM L
(0) 0bM
(0) 0bM
(0) 0bM
( ) 0bM L
( ) 0bM L
( ) 0bM L
( ) 0bM L
( ) 0bM L(0) 0v
( ) 0v a(0) 0v
(0) 0v
(0) 0v
( ) 0 v L a
(0) 0v
( ) 0v L
(0) 0 v
(0) 0 v(0) 0 v
( ) 0v L( ) 0v L
( ) ( )( ) ( ) ( ( ))
b
b
M x EIv xV x M x EIv x
경계조건
외팔보 - 집중하중
2 1( ) q x WL x W x0
1( ) V x WL x W x0 1( )bM x WL x W x WL Wx
( )( ) 0b
V L WM L
(0) 0(0) 0
vv
( ) bEIv x M WL Wx
2 31 2( )
2 6WL WEIv x x x C x C
Deflection curve ; ( ) ( )x v x
22 21( ) ( )
2 2W WLv L WL L
EI EI
예제
반력의계산
경계조건
의계산( )bM x
자연경계조건
필수경계조건
의계산( )v x
•••
•
•
•
•
•
적분상수 의 결정1 2,C C
2(0) 0 0v C •1(0) 0 0v C •
W
W
WWL
L
x L
2 31( ) ( )2 6
WL Wx x xEI
에서기울기
21( )
2WEIv x WLx x C
00 01 0 1( )
2 2 q L q Lq x x q x x L
1 2 20 0 0 0( )2 2 2 2
bq L q q L qM x x x x x
2 30 01( )
4 6q L qEIv x x x C
3 40 01 2( )
12 24
q L qEIv x x x C x C
4 30 0 01 1( ) 0 0 ( )
12 24 24q q qv L L C L C L
3 4 30 0 01( )12 24 24q L q qv x x x L x
EI
단순지지보 - 균일분포하중
•
•
•
•
•• 2(0) 0 0v C
0q
0
2q L 0
2q L
L
예제
반력의계산
경계조건
(0) 0( ) 0
b
b
MM L
(0) 0( ) 0
vv L
자연경계조건
필수경계조건
의계산( )bM x
의계산( )v x
적분상수 의 결정1 2,C C
1 2 20 0 0 0( )2 2 2 2
q L q q L qEIv x x x x x •
1 1
1 1
( )
( )b
bq x P x P x aL
bM x P x P x aL
33 3( ) P b bv x x x a bL x
EI L L
1 1
2 21
3 31 2
( )
( )2 2
( )6 6
bEIv x P x P x aLb PEIv x P x x a CL
b PEIv x P x x a C x CL
23
3 31 1
(0) 0 0
( ) 0 06 6 6 6
v C
bP P bLP Pbv L L b C L CL L
•
•
•
•
•
•
•
단순지지보 - 집중하중
P
L
ba
a PLb PL
예제
반력의계산
경계조건
(0) 0( ) 0
b
b
MM L
(0) 0( ) 0
vv L
자연경계조건
필수경계조건
의계산( )bM x
의계산( )v x
적분상수 의 결정1 2,C C
001 0
1 20 0
( )8 2
( )8 2 2b
q L Lq x x q x
q L q LM x x x
23
4 40 0 01 1
(0) 0 0
7( ) 0 048 24 16 24 16
v C
q q q Lv L L L C L C
33 40 0 071( )
48 24 2 384
q L q q LLv x x x xEI
•
•
•
•
•
•
•
1 20 0
2 30 01
3 40 01 2
( ) ( )8 2 2
( )16 6 2
( )48 24 2
bq L q LEIv x M x x x
q L q LEIv x x x C
q L q LEIv x x x C x C
단순지지보 - 일부분포하중
0q
0
8q L 03
8q L
예제
반력의계산
경계조건
(0) 0( ) 0
b
b
MM L
(0) 0( ) 0
vv L
자연경계조건
필수경계조건
의계산( )bM x
의계산( )v x
적분상수 의결정1 2,C C
0 0 00 1 1
2 1 10 0 0
( )2 2
( )2 2 2
b
L Lq x x x a x L a
L LM x x x a x L a
230 0
102 48 4 2
LL Lv C L a
3 21 1(0) 32 48 3 02 2 2Lv v f f
0.223a L
•
•
••
•
•
•
3 2 20 0 01
4 3 30 0 01 2
( ) ( )
( )6 4 4
( )24 12 12
bEIv x M xL LEIv x x x a x L a C
L LEIv x x x a x L a C x C
430 0
1 2 2 1( ) 0 024 24
av a a aC C C aC
•
내부단순지지보 - 균일분포하중
예제
반력의계산
경계조건
(0) ( ) 0(0) ( ) 0b b
V V LM M L
( ) 0( ) 0
v av L a
자연경계조건
기하학적구속조건
의계산( )bM x
의계산( )v x
적분상수 의 결정1 2,C C
최적의 의결정:a (0) ( / 2)v v LafL
0
0
2L 0
2L
2L aa a
L
1 1 1
1 1 1
3( )2 2 2 2 2
3( )2 2 2 2 2b
P L Pq x x P x x L
P L PM x x P x x L
QQ Q
Q
22 2
3 31 1
(0) 0 0
( ) 0 012 48 12 16
v CP P L PLv L L L C L C
2 23 3 31 3( )
12 6 2 12 12 16P P L P L PLv x x x x L x
EI
Q Q Q
•
•
••
•
•
•
2 2 21
3 3 31 2
( ) ( )3( )
4 2 2 43( )
12 6 2 12
bEIv x M xP P L PEIv x x x x L C
P P L PEIv x x x x L C x C
Q QQ Q
•
•
내부 및 경계단순지지-집중하중
P
B
2 2P Q
Q
32 2P Q
예제
반력의계산
경계조건
(1.5 )(0) (1.5 ) 0
b b
V LM M L
Q
(0) 0( ) 0
vv L
자연경계조건
필수경계조건
의계산( )bM x
의계산( )v x
적분상수 의 결정1 2,C C
의계산Q3 2 2 20 0
2 12 8 12 16 2 3L P L L PL Lv P
Q Q Q
( ( )) ( )zzEI v x q x
( ) ( )
( ) ( ) ( ( ))b
b
M x EIv x
V x M x EIv x
굽힘모멘트와 하중밀도함수의 관계
경계치문제
지방방정식(미분방정식)
필수경계조건: 의 0, 1차도함수
자연경계조건: 의 2, 3차도함수
( ) ( ) ( ( )) ( )
( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( )
b b
b b
b
EIv x M x EIv x M x
M x V x V x q x M x q x
EIv x M x
( )v x
( )v x
001 0
(4) 001 0
0 100
1 20 0
( )2
( ) ( )2
( )2
( )2 2
A
A B
Lq x x x
LEIv x q x x x
LEIv x x x C
LEIv x x x C x C
2 30 01
3 40 01 2
( )4 6
( )12 24
LEIv x x x C
LEIv x x x C x C
23
4 40 0 01 1
(0) 0 0
( ) 0 012 24 24
v CLv L L L C L C
33 40 0 0
3 4 30
1( )12 24 24
224
L Lv x x x xEI
Lx x L xEI
•
•
•
•
•
•
•
•
단순지지보 - 균일분포하중
예제
반력의계산
경계조건
(0) (0) 0( ) ( ) 0
b
b
M EIvM L EIv L
(0) 0( ) 0
vv L
의계산( )v x
적분상수 의 결정1 2,C C0
2L 0
2L
L
0
(4)1 1
0 0
1 1
2 21
3 31 2
( ) ( )2 2
( ) ( )2 2
( )2 2
( )4 2 2
( )12 6 2
P LEIv x q x x P x
P LEIv x q x x P x
P LEIv x x P x
P P LEIv x x x C
P P LEIv x x x C x C
22
3 31 1
(0) 0 0
( ) 0 012 48 16
v C
P P PLv L L L C L C
23 31( )
12 6 2 16
P P L PLv x x x xEI
•
•
•
•
•
•
•
단순지지보 - 집중하중
P
2P
2P
예제
반력의계산
경계조건
(0) (0) 0( ) ( ) 0
b
b
M EIvM L EIv L
(0) 0( ) 0
vv L
의계산( )v x
적분상수 의결정1 2,C C
(4) 0 00 1 0 0
0 1 10 0 0
1 2 20 00
2 3 30 00 1
3 4 40 00 1 2
3( ) ( )8 2
3( )8 23( )8 2 2 23( )
16 6 6 23( )48 24 24 2
LEIv x q x L x x x
LEIv x L x x x
LEIv x L x x x
LEIv x L x x x C
LEIv x L x x x C x C
33 4 40 3 1 1 9( )
48 24 24 2 384
L Lv x L x x x xEI
2
4 30 1 1 0
(0) 03 1 1 9( ) 048 24 24 16 384
v C
v L L C L C L
•
•
•
•
•
•
•
단순지지보-일부분포하중
0
038
L 0
8L
2L
예제
반력의계산
경계조건
(0) (0) 0( ) ( ) 0
b
b
M EIvM L EIv L
(0) 0( ) 0
vv L
의계산( )v x
적분상수 의결정1 2,C C
02
0
6L
0
2L
0
2L
2(4) 0 10 0 0
2 1 0
20 1 20 0 0
1 0
20 1 2 30 0 0 0
22 30 0 0 0
22 30 0 0 0
( ) ( )6 2
( )6 2 2
( )6 2 2 6
6 2 2 6( )
6 4 6 24
L LEIv x q x x x x xL
L LEIv x x x x xL
L LEIv x x x x xL
L L x x xL
L LEIv x x x x
41
22 3 4 50 0 0 0
2
( (0) 0)
( ) ( (0) 0)12 12 24 120
x C vL
L LEIv x x x x x C vL
•
•
•
•
•
외팔보 - 선형분포하중
예제
반력의계산
경계조건
( ) ( ) 0( ) ( ) 0bM L EIv L
V L EIv L
(0) 0(0) 0
vv
의계산( )v x
20
6L
0
2L
5
2 2 3 4 00 0 0
xEIv L x Lx xL
42
FL L
L 2 2F
L LL
3F
L LL
4F
LL
5F LL L
3F L 3F L 3F L 3F L 3F L
(4) 01 0 2
000 1
1 000
2 100 1
3 20 01 2
( ) ( )
( )
( )
( )2
( )6 2
MEIv x q x x M x aL
MEIv x x M x aL
MEIv x x M x aL
MEIv x x M x a CL
M MEIv x x x a C x CL
22 2 2
0 0 0 01 1
(0) 0
( ) 06 2 2 6
v CM L M b M b M Lv L C L C
L
3 2 20( )
6 2 2 6
M x x a b Lv x xEI L L
3 2
2 2 20 0( ) 36 2 6 6
M M aa b Lv a a a b LEI L L EIL
•
•
•
•
•
•
•
•
단순지지보 - 모멘트 하중
a b
0ML
0ML
0M
L
예제
반력의계산
경계조건
(0) (0) 0( ) ( ) 0
b
b
M EIvM L EIv L
(0) 0( ) 0
vv L
의계산( )v x
적분상수 의 결정1 2,C C
의결정( )v a
1 2(0) 0, (0) 0 0v v C C
(4)
20 00
2 0 0
21 10
1 0 0
20 2 20 0
0
21 3 30 0 0
1
22 40 0 0
( ) ( ) ( )
( ) 24 2
( ) 24 2
( )4 2 2
( )4 6 3 2
( )8 24 12
bM x q x EIv x
L Lq x x x x
L LEIv x x x x
L LEIv x x x x
L LEIv x x x x C
LEIv x x x
41 22
Lx C x C
4 40 01 1 1 17( )
8 24 12 16 192L Lv L
EI EI
•
•
•
•
•
•
•
외팔보-계단식 분포하중
0
0
2L
20
4L
0
2L
02
예제
반력의계산
경계조건
( ) ( ) 0( ) ( ) 0bM L EIv L
V L EIv L
(0) 0(0) 0
vv
의계산( )v x
적분상수 의결정1 2, , ( )C C v L
의계산( )v L
(4)
01 1 1
0 0 0 1
1 1 1 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) 7.5 20 10 22.5 20 20
( ) 7.5 20 10 22.5 20 201( ) 7.5 20 10 22.5 20 202
7.5( ) 10 10 11.25 202
bM x q x EIv x
q x x x x x
EIv x x x x x
EIv x x x x x
EIv x x x x
2 31
3 3 3
41 2
1 206
7.5 10 11.25( ) 10 206 3 3
1 2024
x C
EIv x x x x
x C x C
2
1 1
(0) 0 07.5 10000 1000(20) 0 8000 20 06 3 3
v C
v C C
3 3 3 41 7.5 10 11.25 1 10000( ) 10 20 206 3 3 24 3
v x x x x x xEI
••••
•
•
•
•
경계 및 내부 단순지지보 - 집중 및 분포하중
0 1kip / ft
7.5 22.5
10
20
예제
반력의계산
경계조건
(0) (0) 0(30) (30) 0
(30) (30) 0
b
b
M EIvM EIvV EIv
(0) 0(20) 0
vv
의계산( )v x
적분상수 의 결정1 2,C C
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
b
b
n nn bn
EIv x M x v v xEIv x M x v v x
v v xEIv x M x
53
4, 1
x yx y
x y
1 1 5 0 51 1 0 3 3
2.5 1.5 42.5 1.5 1
xy
xy
선형방정식과중첩원리
Linear System과 중첩원리
중첩원리
1 2
1 2
11, 0 mm .1000
30, 1 mm .1000
P P
P P
B
B
일때 였다
일때 였다
1 25, 10 ?P P B일때
1 3 35 75 10 (mm)1000 1000 1000 200B
1P 2P
A B C
1 2( ) ( ) ( ) ( )nv x v x v x v x
1 2 3( ) b b b b bnEIv x M M M M M
중첩원리에관한예제
P
P P
3 3
2
3 1 1 7( )4 3 6 8 16
5( )8
PL PLv LEI EI
PLLEI
2 1 1
1 1
3( ) 22 2
3( ) 22 2
b
Lq x PL x P x P x
LM x PL P x P x
2 2
1 2
2
1 2
1 5 73 48 16
58
PL PLv v vEI EIPLEI
•
•
•
•
•
•
•
2 21
2 3 32
( ) ( )3( ) ( (0) 0)2 2 23( ) ( (0) 0)4 3 6 2
bEIv x M xP LEIv x PLx Px x C v
P P LEIv x PLx x x C v
개별하중에의한처짐및기울기
중첩원리를 이용한 처짐량 및 기울기의 계산
P
2L
2P
32PL
P
2L
3
1
2
1
548
8
PLEI
PLEI
2
2
2
2
3
2
PLEI
PLEI
예제
반력의계산
의계산( )bM x
의계산( ), ( ), ( ) ( )v x v L L v L
중첩원리에의한처짐과기울기의계산
경계조건
( ) 0, ( ) 0v L v L (0) 0, (0) 0v v
예제 10.2 (p.429)
그림과 같이 단순지지보가 선형분포하중을 받고 있다. 탄성굽힘 곡선을 구하라. 보의 중앙 B에서의처짐량과 지지점 A에서의 기울기를 구하라. EI는 보에서 일정하다.
보의처짐
예제 10.3 (p.431)
외팔보가 그림과 같이 균일분포하중 를 받고 있다. 탄성굽힘곡선과 외팔보 끝 자유단에서 처짐량 와 를 결정하라. EI 는 보에서 일정하다.
보의처짐
Bv Bw
예제 10.4 (p.394)
그림의 단순지지보가 왼쪽과 오른쪽 지지점으로부터 각각 a와 b만큼 떨어진 곳에 집중하중 P를 받고 있다. 탄성굽힘곡선을 구하라. 또 지지점 A와 B에서 보의 기울기를 구하라. EI는 보에서 일정하다.
보의처짐
예제 10.5 (p.441)
보가 그림과 같이 지지되고 하중을 받고 있다. EI 는 보에서 일정하다. 다음을 구하라.
(a) 탄성굽힘곡선을 로 표시하기(b) 보의 오른쪽 끝단의 처짐량(c) 보 왼쪽에 작용하는 반력 와
보의처짐
0 , , , ,w L x E I
yA AM
4
04 ( ) cos( )2
d v xEI w x wdx L
예제 10.6 (p.445)
그림과 같은 보에서 불연속함수를 이용하여 다음 위치에서 보의 처짐량을 구하라.
(a) 점 A(b) 점 B보에서 이다.
보의처짐
3 217 10 kN mEI
35 kN -10 kN
예제 10.7 (p.447)
그림과 같은 보에서 불연속함수를 이용하여 다음을 구하라.
(a) A에서의 기울기(b) B에서의 처짐량보에서 으로 일정.
보의처짐
3 2125 10 kN mEI
280 kN200 kN
예제 10.8 (p.447)
그림과 같은 보에서 불연속함수를 이용하여 D에서의 처짐량을 구하라. 보에서 으로 일정하다.
보의처짐
2192,000kip-ftEI
24 kips
-224 kips-ft
예제 10.9 (p.447)
외팔보가 광폭 플랜지 형상의 구조용 형강(W형강)으로 이루어져 있다.그림과 같은 하중에서 다음을 구하라.
(a) 점 B에서의 처짐량(b) 점 C에서의 처짐량
보의처짐
6 4[ 20 GPa, 650 10 mm ]E I
4
8BwLvEI
3
6BwLEI
2
2Mxv
EI
경우1 - 균일분포하중을받는보
경우2 - 집중모멘트를받는보
경우1과 2에서구한 B와 C에서의 처짐량을더하여구한다.
예제 10.10 (p.462)
단순지지보가 넓은 플랜지 형상인 W16 x 40의 W 형강으로 이루어져 있다.그림과 같은 하중을 받을 때 점 C에서의 처짐량을 구하라.
보의처짐
4[ 29,000ksi , 518in. ]E I
2 2 2( ) 06Pbxv L b x x aLEI
에서
경우1- 30 kip 하중의경우
경우1- 20 kip 하중의경우
경우 1과 2의합으로 C의처짐량을구한다.
예제 10.11 (p.464)
단순지지보가 광폭 플랜지 형상인 W24 x 76 인 W형강으로 이루어져 있다.그림과 같은 하중을 받을 때 다음을 구하라.
(a) 점 C에서의 처짐량(b) 점 A에서의 처짐량(c) 점 E에서의 처짐량
보의처짐
4[ 29,000ksi , 518in. ]E I
2 2 2( 3 2 )6CMxv x Lx LLEI
경우1 – 가운데구간의상향처짐량
경우2 – 돌출구간 AB의하향처짐
6BMLEI
경우3 – 돌출구간 DE의 하향 처짐
3
3EPLvEI
3DMLEI
E D DEv L