Post on 02-Feb-2018
Katedra za strojarsku automatiku
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 1
Katedra za strojarsku automatiku
Linearni sistemi :
xu = Xu sin(t)
xi = Xi sin(t+)xi
Xi
t
2T
i 1
2
X f ( )
f ( )
Zadatak frekvencijske analize
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 2
Katedra za strojarsku automatiku
Osnovna svojstva linearnih sistema :
Ako sistem pobudimo harmoničnim signalom frekvencije ω, onda će iizlazni signal biti iste frekvencije ω.
Amplituda izlaznog signala Xi bit će tim manja što je frekvencija ulaznogsignala veća, a u slučaju da ω → ∞, amplituda izlaza Xi → 0.
Istovremeno će izlazni signal povećanjem frekvencije ulaznog signala sve više zaostajati (kasniti) za ulaznim signalom za neki kut φ.j ( ) g φ
A lit d i l i l X bit ć ti ć št j f k ij l Amplituda izlaznog signala Xi bit će tim veća što je frekvencija ulaznogsignala veća, a u slučaju da ω → ∞, amplituda izlaza Xi → ∞ .
Istovremeno će izlazni signal povećanjem frekvencije ulaznog signala sve više prethoditi ulaznom signalu za neki kut φ.
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 3
Katedra za strojarsku automatiku
Veza područja dinamičke analize
s = jωj
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 4
Katedra za strojarsku automatiku
m m 1b b b b( ) B( )
m m 1
m m 1 1 0in n 1
u n n 1 1 0P.U. 0
b s b s ... b s bx (s) B(s)G s
x (s) N(s) a s a s ... a s a
s → jω
m m 1
m m 1 1 0i B Bn n 1
u N Nn n 1 1 0
b (j ) b (j ) ... b (j ) bX (j ) B(j ) Re ImG j
X (j ) N(j ) Re Ima (j ) a (j ) ... a (j ) a
n n 1 1 0(j ) (j ) (j )
Sin n p ij n n f nk ij j p ij n n f nk ij d n n in nSinusna prijenosna funkcija je prijenosna funkcija svedena na sinusnufunkciju na ulazu!
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 5
Katedra za strojarsku automatiku
2 2X (j ) B(j ) R I 2 2
i B B
2 2u N N
X (j ) B(j ) Re ImAFK G j
X (j ) N(j ) Re Im
B NB N
Im ImFFK ar tan ar tan
R R
B N
B NRe Re
AFK i FFK prikazujemo grafički ! Bode-ovi dijagrami
Nyquist-ov dijagram
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 6
Nichols-ov dijagram
Katedra za strojarsku automatiku
ImG(j )G(j)
Re
1G(j ) f ( )
2f ( )
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 7
Katedra za strojarsku automatiku
iP
x (s)G(s) K PG(j ) K
s → jωP
u
G(s) Kx (s) PG(j ) K
PAFK G(j ) K P(j )
FFK 0 ImIm
KP
Re
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 8
Katedra za strojarsku automatiku
5 5s → jωPKG( ) 5
G(s)s 1
5G(j )
j 1
s → jωPG(s)Ts 1
5G(j )
1 j
1 j1 j 2
5 5 j
1
2 2
5 5j
1 1
max 2
1 j 1 j 1
Re
1 1
ImRe
ImKPω =
2 2
2 2 2
5 5 5AFK G(j )
1 1 1
Re
ω = 0.51 1 1
ImFFK arctan arctan( )
ω = 1
FFK arctan arctan( )Re
0 5 0
0 5 4 5
G(j )
27
1
5
0.5 4.5
3.5
0.98
- 27
- 45
- 79
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 9
0.98
0 - 90
Katedra za strojarsku automatiku
2 2s → jωPK
2
2G(s)
s s 1
2
2G(j )
j j 1
s → jωP2 22 1
KG(s)
T s T s 1
2
2G(j )
1 j
2
2
1 j
1 j
2
22 2
2(1 ) 2 j
1
2
2 22 2 2 2
2 1 2j
1 j 1 j 2 21
Re
2 2 2 21 1
ImRe
22 2
2 222
2 2
2 1 4AFK G(j ) Re Im
1
2 21
2
ImFFK arctan arctan
Re 1
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 10
Katedra za strojarsku automatiku
G(j )
0 2 0
0.5 1.8
G(j )
- 34
1
3
2
0.2
- 90
- 110
0 - 180
Im
K
Re
ω =
ω = 3
KP
ω = 0.5
ω = 1 max -2
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 11
Katedra za strojarsku automatiku
ImIm
ReKP
ω = 0ω =
max 0 P0
P1 max 2
max P2
P3
P1 max 2
P3 max 2
max 2 P4
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 12
Katedra za strojarsku automatiku
s → jω G(s) 5 s 1 G(j ) 5 j 1 s → jω PG(s) K Ts 1
Re
G(j ) 5 5 j
Im Im 1Re
2 2 2AFK G(j ) Re Im 5 1
Im Im ω = 1
AFK G(j ) Re Im 5 1
ImFFK arctan arctan( ) Re
KP
FFK arctan arctan( )Re
Re
G(j )
ω = 0
max 2
0
1
5 0
7.1
G(j )
45
max 2
5
25.5 79
90
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 13
Katedra za strojarsku automatiku
( ) 1 1 j js → jωi
u i
x (s) 1G(s)
x (s) T s
i i
1 j jG(j )
T j j T
s → jω
1G(j ) 0 j
T G(j )
Re ImiT 0 - 90
1/Ti 1 - 90
0 90
I
2 2
i
1AFK G(j ) Re Im
T
0 - 90
Re
Im
i
1TIm
FFK arctan arctan
iFFK arctan arctan
Re 0 2
2
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 14
2
Katedra za strojarsku automatiku
( ) s → jωi
Du
x (s)G(s) T s
x (s) DG(j ) T j
s → jω
DG(j ) 0 T j G(j )
Re Im
D(j ) j0 0 90
1/TD 1 90
90
I
2 2DAFK G(j ) Re Im T
90
Im
DTImFFK arctan arctan
DFFK arctan arctanRe 0 2
2
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 15
Re
Katedra za strojarsku automatiku
s → jωsTix (s) j Ts jω
msTi
u
x (s)G(s) = = e
x (s)
mj TG(jω) = e
Polarna krivulja u Nyquist-ovom j yqdijagramu je kružnica polumjera 1 i fazom koja se ponavlja svakih -2.
Im
Re
Im
1 Re1
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 16
Katedra za strojarsku automatiku
SGRGw ix
R S R SZ
R S M O
G G G GG
1 G G G 1 G
MG
SGRGw ix
O R S MG G G G
MGM
Za potrebe određivanja stabilnosti regulacijski se krug otvara !Za potrebe određivanja stabilnosti regulacijski se krug otvara !
Nyquist-ov se dijagram za potrebe stabilnosti crta za otvoreni regulacijski krug GO a zaključci vrijede za zatvoreni regulacijski krug GZ
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 17
krug GO , a zaključci vrijede za zatvoreni regulacijski krug GZ .
Katedra za strojarsku automatiku
ImPolarna krivulja otvorenog kruga !
Re
1- 1
180 G (j ) 1O180 G (j ) 1
O180 G (j ) 1
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 18
O180 G (j ) 1
Katedra za strojarsku automatiku
Uvjet stabilnosti:
Zatvoreni sustav biti će stabilan ako Nyquistova krivulja otvorenog sustavane obuhvaća kritičnu točku, tj. obilazi u smjeru rastućih frekvencija
č č č č(=0 =∞) kritičnu točku s desne strane. Kritična točka mora ostati lijevo od krivulje po kojoj se krećemo u smjeru rastućih frekvencija, jer će u tom slučaju biti ispunjen uvjet da za =-1800 |G(j)|<1jer će u tom slučaju biti ispunjen uvjet da za = 180 |G(j)|<1.
1. Stabilan sustav2. Granično stabilan sustav3. Nestabilan sustav
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 19
Katedra za strojarsku automatiku
Uvjet stabilnosti:
Zatvoreni sustav biti će stabilan ako se u području koje obuhvaća Nyquistova krivulja otvorenog sustava, a koje se nalazi s njezine desnestrane gledano u smjeru rastućih frekvencija (=0 =∞), ne nalazi kritična točka.
Stabilan sustav Granično stabilan sustav Nestabilan sustav
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 20
Katedra za strojarsku automatiku
ćPostavljeni uvjet stabilnosti zatvorenog kruga vrijediti će ukoliko je otvoreni krug stabilan ili na granici stabilnosti !
Iako se postavljeni uvjet može primijeniti i u nizu slučajeva kada je otvoreni k t bil i iji j t t bil ti t k t bi l č j krug nestabilan, precizniji uvjet stabilnosti zatvorenog kruga u tom bi slučaju glasio:
Zatvoreni sustav biti će stabilan ako Nyquistova krivulja otvorenog sustava u smjeru rastućih frekvencija (=0 =∞) obuhvaća m/2 puta kritičnu točku (m – broj polova sinusne prijenosne funkcije otvorenog sustava s pozitivnim realnim dijelom) Pritom obilazak otvorenog sustava s pozitivnim realnim dijelom). Pritom obilazak mora biti suprotan smjeru okretanja kazaljke sata.
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 21
Katedra za strojarsku automatiku
Imr
1A
1 - frekvencija kritične amplitude
2 - frekvencija kritične faze
rO
1A 1
G (j )
Re- 1 2
OG (j )
G (j ) 1
1
rOr G ( j ) 1
1
Praktične vrijednosti:Ar = 1.5 - 3
= 20 70 čvrsta regulacija
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 22
r = 20 - 70 čvrsta regulacija40 - 60 slijedna regulacija
Katedra za strojarsku automatiku
Nepreglednost u području visokih frekvencija
Otežana sinteza regulacijskog kreuga (povezivanjeprijenosne funkcije regulatora i staze ) zbog potrebe za grafičkim množenjem
Grafičko množenje:GO = GR GS GM
Grafičko množenje:amplitude se množe,
faze se zbrajaju
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 23
Katedra za strojarsku automatiku
GdB
Amplitudno frekvencijska karakteristika (AFK)GdB
log
Fazno frekvencijska karakteristika (FFK)
log
Fazno frekvencijska karakteristika (FFK)
log
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 24
-
Katedra za strojarsku automatiku
Radi lakšeg prikazivanja nagiba AFK dijagrama ukoordinatnom sistemu s logaritamskim mjerilomg japscise, uvode se pojmovi decibela i dekade.
( ) dB 20log ( )G j G j ( ) g ( )
( ) i
u
j j
XG j
X
uX
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 25
Katedra za strojarsku automatiku
1 2 3 nG( ) = G ( ) G ( ) G ( ) ... G ( )s s s s s
1 2 3 nG(jω) = G (jω) G (jω) G (jω)...G (jω) =
31 2 njj j j1 2 3 n= G e G e G e ... G e
1 2 3 nlog G(jω) = log G +log G +log G + ... + log G +
1 2 3 n+ j ( + + + ... + ) loge
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 26
Katedra za strojarsku automatiku
ix (s)G(s) K G(j ) K
s → jωi
Pu
( )G(s) K
x (s) PG(j ) K
PAFK G(j ) K GdB
FFK 0
PAFK (dB) 20log G(j ) 20log(K ) 40
20
FFK 0
log
-0.1 1 10 100 1000
-20
-40
ix (s)
AFK (dB) 20log(10) 20dB
/2
/4
i
u
x (s)G(s) 10
x (s)
AFK (dB) 20log(10) 20dB
FFK 0 log
-0.1 1 10 100 1000
-/4
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 27
-/2
Katedra za strojarsku automatiku
s → jωix (s) 1
G(s) = =1
G(jω) =
1AFK = G(jω) =
u
G(s)x (s) Ts +1
G(jω)Tωj +1
2 21 120log = 20log(1) - 20log(1+ω T )
GdB
2 2AFK G(jω)
T ω +1 2 220log 20log(1) 20log(1 ω T )
2T ω +1
0 1 1 10 100 1000
40
20 ( ) 1 ( ) dB 0G j G j L=1/T
log
-0.1 1 10 100 1000
-201
3 dB
-40
1G(jω) =
TωG(jω) dB = -20logTω
/2
/4
G(jω) d 0 og ω
log
-0.1 1 10 100 1000
-/4
L1
-20logTω = 0 ω = = ωT
FFK ( T)
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 28
-/2FFK = = -arctan(ωT)
Katedra za strojarsku automatiku
s → jωix (s)
G(s) = = Ts +1 G(jω) = Tωj +1
2 2AFK = G(jω) = T ω +1
u
G(s) Ts 1x (s)
G(jω) Tωj +1
2 2 2 2120log T ω +1 = 20log(1+ω T )
GdB
AFK = G(jω) = T ω +1 20log T ω +1 = 20log(1+ω T )2
0 1 1 10 100 1000
40
20 ( ) 1 ( ) dB 0G j G j
log
-0.1 1 10 100 1000
-20L=1/T
-40G(jω) = Tω
G(jω) dB = 20logTω/2
/4
log
-0.1 1 10 100 1000
-/4
L1
20logTω = 0 ω = = ωT
FFK ( T)
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 29
-/2FFK = = arctan(ωT)
Katedra za strojarsku automatiku
1G(s) = =
GdB40 0,2
22
NN
G(s) = =1
s + 2 s +1ωω
20
log0.1 1 10 100 1000
0,4
2N
2 2N N
ω=
s + 2 ω s +ω-20
-40
log
140 1
log0.1 1 10 100 1000
-/20,4
/2
-
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 30
Katedra za strojarsku automatiku
s → jωix (s) 1G(s) = =
1G(jω) =
1AFK = G(jω) =
T
u i
G(s)x (s) T s i
G(jω)Tωj
iAFK(dB) = -20log(Tω)
GdB40
i
(j )Tω i( ) g( )
-0.1 1 10 100 1000
40
20 i Li
1-20log Tω = 0 ω =
TL=1/Ti
log-20
iT
-40
/2
-0 1 1 10 100 1000
/2
/4
ImFFK arctan
Re
log
0.1 1 10 100 1000
-/4
iTarctan
0 2
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 31
-/2
Katedra za strojarsku automatiku
s → jωid
x (s)G(s) = = T s dG(jω) = T ωjd
u
G(s) T sx (s) dG(jω) T ωj
dAFK(dB) = 20log(T ω)dAFK = G(jω) = T ω
GdB40
d( ) g( )d(j )
-0.1 1 10 100 1000
40
20 d Ld
120log T ω = 0 ω =
TL=1/Td
log-20
dT
-40
/2
-0 1 1 10 100 1000
/2
/4
ImFFK arctan
Re
log
0.1 1 10 100 1000
-/4
dTarctan
0 2
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 32
-/2
Katedra za strojarsku automatiku
s → jωmsTix (s)
G(s) = = emj TG(jω) = e
u
G(s) ex (s)
G(jω) = e
AFK ( ) = 20log G(jω) = 20log(1) 0dB
GdB40
mFFK T
AFK ( ) 20log G(jω) 20log(1) 0dB
-0.1 1 10 100 1000
40
20
log-20
-40
/2
-0 1 1 10 100 1000
/2
/4
log
0.1 1 10 100 1000
-/4
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 33
-/2
Katedra za strojarsku automatiku
U Bode-ovim dijagramima prikažite frekvencijske karakteristike U Bode ovim dijagramima prikažite frekvencijske karakteristike sistema danog blok dijagramom.
10
0 1 1s 0.01 1s 0.001 1s
xu xi
0.1 1s
10(0.01s +1)(0.001s +1)G(s) =
0.1s +1
1G(s) = 10 0.01s +1 (0.001s +1)
0.1s +1
1G (s)
2G (s) 3G (s) 4G (s)
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 34
Katedra za strojarsku automatiku
1G (s) = 10 1G (jω) = 10 1G (jω) db = 20log(10) = 20dB
t (0) 01 = arctg(0) = 0
21
G (s) =0.1s +1
1L2
1 1ω = = = 10s
T 0.1
21
G (jω) =0.1ωj +1
1 13G (s) =0.01s +1 3G (j ) =0.01j +1 1
L3d
1 1ω = = = 100s
T 0.01
G ( ) 0 001 1 G (j) 0 001j 1 11 110004G (s) = 0.001s +1 4G (j) = 0.001j +1 1
L4d
1 1ω = = = 1000s
T 0.001
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 35
Katedra za strojarsku automatiku
GdB40
20
1G 3G
4GG
log
-0.1 1 10 100 1000
20
-20
-402G
/2
/43 4
log
-0.1 1 10 100 1000
/4
1G = 20dB 1 = 01
2-/4
-/2
1 1
1L2ω = 10s
1L3ω = 100s
1
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 36
1L4ω = 1000 s
Katedra za strojarsku automatiku
SGRGw ix
R S R SZ
R S M O
G G G GG
1 G G G 1 G
MG
SGRGw ix
O R S MG G G G
MGM
Za potrebe određivanja stabilnosti regulacijski se krug otvara !Za potrebe određivanja stabilnosti regulacijski se krug otvara !
Bode-ovi se dijagrami za potrebe stabilnosti crtaju za otvoreni regulacijski krug GO a zaključci vrijede za zatvoreni regulacijski krug GZ
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 37
krug GO , a zaključci vrijede za zatvoreni regulacijski krug GZ .
Katedra za strojarsku automatiku
G = 1 20log G 0
= GdB
40
Im
=
-0 1 1 10 100 1000
40
20
Im
log
-0.1 1 10 100 1000
-20
Re- 1
-40
/2
0 1 1 10 100 1000
/2
/4
-0.1 1 10 100 1000
-/4log
-/2
-3/4
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 38
-
Katedra za strojarsku automatiku
GdB
Imr
1A 1
logAr
Re- 1 2
2
log
1
rφr
-1
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 39
Katedra za strojarsku automatiku
GdB
Im1
Ar = φr = 0
log
Re- 1 Ar = φr = 0
2
1 = 2
1 = 2
log
2
-
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 40
Katedra za strojarsku automatiku
GdB
Imr
1A 1Ar
log1
r
Re- 1
2 2
log
-φr
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 41
Katedra za strojarsku automatiku
U Bode-ovim dijagramima odredite stabilnost sistema danog blok U Bode ovim dijagramima odredite stabilnost sistema danog blok dijagramom i prikažite amplitudnu i faznu rezervu.
10 1xu xi10
0.1 1s 1
0.01 1s
u i
1
0.001 1s
10
o10
G (s) =0.1s +1 (0.01s +1)(0.001s +1)
1 1 1G(s) = 10
0 1 +1 0 01 +1 0 001 +1( )
0.1s +1 0.01s +1 0.001s +1
G (s) G (s) G (s) G (s)
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 42
1G (s) 2G (s) 3G (s) 4G (s)
Katedra za strojarsku automatiku
G (j ) 101G (s) = 10 1G (jω) = 10 1G (jω) db = 20log(10) = 20dB
1 = arctg(0) = 0
1
1 g( )
21
G (s) =0.1s +1
1L2
1 1ω = = = 10s
T 0.1
21
G (jω) =0.1ωj +1
1 1 11 13
1G (s) =
0.01s +13
1G (j ) =
0.01j +1
1
L31 1
ω = = = 100sT 0.01
1G (s) = G (j) = 0 001j +1 11 1
ω = = = 1000s4G (s) =
0.001s +14G (j) = 0.001j +1 L4ω = = = 1000s
T 0.001
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 43
Katedra za strojarsku automatiku
GGdB -20 dB/dek
1G20
log
-0.1 1 10 100 1000 10000
-20
G G 4G
20
-40
-60
Ar
2G 3G 4G-80
-100
G
-40 dB/dek
1G = 20dB 1 = 0
1 1102 3
/4
log
-0.1 1 10 100 1000
1 1L2ω = 10s2
1L3ω = 100s
34
-/2
r L3ω = 100s
1L4ω = 1000s
-
φr
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 44
-3/2
Katedra za strojarsku automatiku
GdBGdBa
40
20
b
-20
-210 -180 -150 -120 -90
-40 c
a < b < c < d
d
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 45
Katedra za strojarsku automatiku
GdBGdB
40
20
r
-20
-210 -180 -150 -120 -90
Ar
1
-402
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 46
Katedra za strojarsku automatiku
GdBGdB
40
20
-20
-210 -180 -150 -120 -90
Ar = φr = 01 = 2
-40
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 47
Katedra za strojarsku automatiku
GdBGdB
40
20
Ar1
2
-20
-210 -180 -150 -120 -90
r
Ar1
-40
Mehatronika i robotika Upravljanje i regulacija Frekvencijsko područje - 48