Fundamentos Matemática Financiera

1. Conceptos básicos de matemáticas financieras.

• 2. Interés simple o interés compuesto.

• 3. Los símbolos y su significado.

• 4. Formulas, Ejemplos y soluciones.

• 5.- Amortización de un prestamos (sistema francés y Americano).

Introducción:

Un inversionista deposita un capital © en una institución financiera a una cierta tasa de interés (i) en un determinado período de tiempo (n) lo que genera un monto final (M) que corresponde al dinero depositado más los intereses ganados (I). Lo anterior nos permite definir lo siguiente:

Capital Inicial $100

Monto Final =$120

Tasa = 20% en un año.

Términos Básicos

Capital = Corresponde al capital depositado o invertido.

Intereses = Que corresponde a la ganancia del capital depositado expresado en pesos.

Tasa de Interés = Es la tasa que se cobra por el dinero depositado expresado en porcentaje.

Monto final = Es la suma del capital inicial y los intereses generados por el deposito.

Período de Tiempo = Es el tiempo por el cual el dinero es depositado.

Simbología a Utilizar

Capital = C.

Intereses = I.

Tasa de Interés = i. Monto final = M.

Período de Tiempo = n (cuando este se expresa en años).

Formulas de interés simple:

Intereses = I= C x n x i

Donde C= es el capital inicial

N = periodos de tiempo

I= Tasa de interés asociada al tiempo.

Monto final = C + I

Donde = Es el capital y I el monto ganado en intereses.

Otras Formulas de interés simple:

M = C (1 +i x n) Monto final con los intereses sumados a interés simple.

C = . M . Capital inicial depositado

1 + i x n

.i = M/C – 1 Tasa de interés

n

.n = M/C – 1 Tiempo en años.

i

Ejemplo:

Un capital de $5.000.000 depositado a 4 años a una tasa de interés del 6% anual. Determinar el monto final del capital.

Datos:

C = $5.000.000, Tasa de interés = 6%,

.n = 4

M=C (1 + i x n)

M = $5.000.000 ( 1 + 0,06 x 4)= $6.200.000

Donde I = M – C = $6.200.000 - $5.000.000

I = $1.200.000

Con las otras formulas se puede calcular la tasa y el tiempo.

Ejercicios Interés Simple:

1.- Se deposita el 70% de un capital al 3% de interés simple y el resto al 6% de interés simple produciéndose $300.000 en intereses en un período de tres años.

Calcular

a) El monto depositado

b) El Monto final.

Respuesta: a) $2.564.103 b) $2.864.103

Ejercicios Intereses Simples

2.- A que tasa de interés un capital de $4.000.000 se convierte en $4.500.000 en un tiempo de dos años.

Datos:

C = $4.000.000

M = $4.500.000

.n = 2 años.

Calcular la tasa i = ?

Respuesta = 6,25%.

Ejercicios de Interés Simple:

3.- En cuanto se convertirá una suma de $100.000 a una tasa del 4,4% al año.

Calcular el monto a interés simple.

Datos:

C = $100.000

.i = 4,4%

.n = 1

M = ?

Respuesta. $122.000

Ejercicios de Interés Simple:

4.- ¿cuál fue el capital inicial de una Suma que se convirtió en $170.000 a una tasa del 35% anual en 3 años?.

Calcular el capital inicial:

Datos:

M = $170.000.

.i = 35%.

.n = 3 años.

C = ?

Respuesta $82.927

Ejercicios de Interés Simple:

5.- ¿En cuanto tiempo un capital de $200.000 se convertirá en $280.000 a una tasa del 2% anual?

Calcular el tiempo necesario:

M = $200.000.

.i = 2%.

.n = ?.

C = $280.000

Respuesta n =20

Ejercicios de Interés Simple:

6.- ¿Cual es el capital inicial y el monto de una suma que gano $50.000 en intereses en 6 años a una tasa del 3% anual?.

Calcular el capital inicial y el Monto final.

I= $500.000

.n= 6

.i = 3%

Respuesta $277.778 y $327.778.-

Formulas de interés Compuesto:

Ejemplo:

Un capital de $1.000.000 depositado en un banco a interés compuesto con una capitalización anual durante 5 años al termino de los cuales el banco devuelve $1.276.280. Determinar la tasa de interés a la que fue colocado.

Datos:

C = $1.000.000, Monto =$1.276.280

.n = 5

.i = 0,05 o 5%.-

Ejercicios Interés compuesto:

1.- A que tasa de interés compuesto un capital de $14.000.000 se convierte en $28.00.000 en un tiempo de dos años.

Datos:

C = $14.000.000

M = $28.000.000

.n= 2 años.

.i = ? Respuesta = 41,42%

Ejercicios Interés compuesto:

2.- En cuanto se convertirá una suma de $100 Millones obtenidos en la lotería de Concepción a una tasa del 4,4% a los 3 años a interés compuesto.

Datos:

C = $100

.n = 1

.i = 4,4%

M = ?

Respuesta = $113.789.318

Ejercicios Interés compuesto

3.- ¿cuál fue el capital inicial de una Suma que se convirtió en $750.000 a una tasa del 3,5% anual en 4 años?.

Datos:

M = $750.000

.i = 3,5%

.n = 4 años.

C = ?

Respuesta = $653.582

Ejercicios Interés compuesto

4.- ¿En cuanto tiempo un capital de $100.000 se convertirá en $200.000 a una tasa del 5% anual?.

Datos:

M = $200.000

.i = 5%

C = $100.000

.n = ?

Respuesta = 14,2 años.

Ejercicios Interés compuesto

5.- Un capital de $1.000.000 es depositado a interés compuesto generando un monto de $1.276.280 durante 5 años. ¿ A que tasa de interés fue depositado?

Datos:

M = $1.276.280

.i = ?

C = $1.000.000

.n = 5 años

Respuesta = 5%

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE UNA DEUDA

La extinción de deudas mediante la operación de amortización puede realizarse de las siguientes formas:

.a) Cancelando cuotas periódicas o servicios de la deuda.

.b) Cancelando periódicamente los intereses correspondientes a la deuda y al final del plazo la deuda propiamente tal (capital).

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE UNA DEUDA

De estas dos formas de las siguientes formas resultan dos métodos de amortización:

Sistema Francés o Progresivo.

Sistema Americano.

SISTEMA FRANCES

Este sistema opera mediante la cancelación periódica de un servicio constante, de tal manera que con la cancelación de la último servicio se extingue totalmente la deuda.

El servicio de la Deuda al cual llamaremos R debe constar de dos partes bien determinadas:

SISTEMA FRANCES

Partes del servicio de la Deuda:

1) Cuota Interés (Ik) = Aquella parte que el préstamo (que designaremos con la letra P), crezca por efecto de los intereses y que por lo tanto debe ser igual a lo intereses generados en cada período de capitalización y que llamaremos Cuota Interés y que designaremos con la letra (Ik).

SISTEMA FRANCES

Partes del servicio de la Deuda:

2) Cuota Capital (Ck) = Aquella cuya finalidad es disminuir efectivamente en forma paulatina la deuda o préstamo, componente al cual llamaremos Cuota Capital y que designaremos con la letra (Ck).

SISTEMA FRANCES

Nota: De acuerdo con esto el servicio “R” debe ser siempre mayor que la cuota interés para que exista amortización, por que de otro modo, la cuota capital no existiría y por lo tanto la deuda se mantendría en el mismo valor inicial.

De lo anterior se deduce que:

R = Ck + Ik .

SISTEMA FRANCES

Nota: Siendo R constante, pero ni Ck ni Ik lo son, ya que Ik va disminuyendo a medida que pasan las cuotas producto que los intereses se calculan sobre un monto menor y Ck crece por esta misma razón.

Lo anterior nos permite establecer las siguientes formulas:

SISTEMA FRANCES

Formulas:

Servicio de la deuda:

R = P __ 1_____

1 – 1/(1+i)

i

n

SISTEMA FRANCES

Cuota Capital:

Ck = R 1/(1+i)

Cuota Interés

Ik = R - Ck

.n – k + 1

TABLA DE AMORTIZACIÓN

PERIODO SERVICIO CUOTA CUOTA DEUDA DEUDA

CAPITAL INTERES PAGADA RESTANTE

0 10.000.000

1 2.373.964 1.773.964 600.000 1.773.964 8.226.036

2 2.373.964 1.880.402 493.562 1.880.402 6.345.634

3 2.373.964 1.993.226 380.738 1.993.226 4.352.408

4 2.373.964 2.112.819 261.145 2.112.819 2.239.589

5 2.373.964 2.239.589 134.375 2.239.589 -

TOTALES 11.869.820 10.000.000 1.869.820

TABLA DE AMORTIZACIÓN

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Un empresario contrata un préstamo por $10.000.000 al 6% de interés anual pagadero en 5 años.

Calcular el servicio de la deuda.

La tabla de amortización del préstamo.

Paso 1: Calculo del servicio de la Deuda.

Lo primero es determinar cuanto debemos pagar mensual o anualmente para cancelar el préstamo:

Datos para la formula:

Préstamo = P = $10.000.000

Tiempo =.n = 5 años plazo

Tasa de Interés = i = 6%.

Paso 1: Calculo del servicio de la Deuda.

Aplicando formula del servicio: R = $10.000.000 1 =

1 – (1/(1+0,06)^5

0,06

Donde R = $2.373.964

Nota: Servicio que se mantendrá constante durante todo el pago del préstamo.

Paso: Calculo de las cuotas capital e Interés:

Datos de la formula:

R=$2.373.964

Numero de Cuota = 1

Cuota capital 1 = C1 = ?

Cuota Interés 1 = I1 = ?

.i = 6%, n = 5

Paso: Calculo de las cuotas capital e Interés:

Aplicando Formula:

Ck = R x (1/(1+i)^n-k+1 Ck=1= ($2.373.964) x (1/(1+0,06)^5-1+1=

Donde C1 =$1.773.964

Donde I1 = R – C1= $2.373.964 - $1.773.964 =

I1= $600.000.

Nota: De la misma forma calcula la cuota 2, 3,4 y 5 cambiando solamente la k en cada período. Para el período 2 sería = Ck= 2 = ($2.373.964) x (1/(1+0,06)^5-2+1=$1.880.402

Paso 3: Tabla de Amortización

Con lo anterior podemos armar la tabla de amortización del sistema Francés que se muestra a continuación.

TABLA DE AMORTIZACIÓN

PERIODO SERVICIO CUOTA CUOTA DEUDA DEUDA

CAPITAL INTERES PAGADA RESTANTE

0 10.000.000

1 2.373.964 1.773.964 600.000 1.773.964 8.226.036

2 2.373.964 1.880.402 493.562 1.880.402 6.345.634

3 2.373.964 1.993.226 380.738 1.993.226 4.352.408

4 2.373.964 2.112.819 261.145 2.112.819 2.239.589

5 2.373.964 2.239.589 134.375 2.239.589 -

TOTALES 11.869.820 10.000.000 1.869.820

TABLA DE AMORTIZACIÓN