MATEMATICAS FINANCIERAS

• Conceptos Básicos

– Interés– Tasa de interés

• Tipos de Interés– Interés simple– Interés compuesto

• Desrrolo de la tasa efectiva

– Tasa de interés nominal

– Período de capitalización

– Tasa de interés proporcional

– Ambito del interés simple y compuesto

– Tasas de interés equivalentes

• Programación de deuda

– Interés al rebatir

– Amortizaciones iguales

– Pagos iguales

• Tasas equivalentes

– Concepto de flujos

– Tasa interna de retorno o Tasa equivalente

– Aplicación en Programación de deuda

• Descuentos

– Sobre monto total

– Sobre monto parcial– Tasa efectiva equivalente

• Tasa de Interés Real– Precio corrientes y constantes– De flujos corrientes a reales– Tasa real equivalente

• Tasa de interés y cambio de moneda

– El tipo de cambio

– Flujos y cambio de moneda

– Tasas de interés equivalente en otras monedas

INTERES

CONCEPTO

• Es el valor o costo que otorga el mercado al uso del dinero en un período de tiempo, en un determinado instrumento financiero.

EJEMPLO

Préstamo

Saldo PagoInterésAmortiz.

P

PIA

0

1

0

Flujo de Caja

P

F

Amortización

Interés

Pago Futuro

Período0 1

1

P

F

A+I

Programación de deuda

TASA DE INTERES

CONCEPTO

• Tasa equivalente entre los pagos futuros y el préstamo, representando el costo financiero de la operación financiera.

EJEMPLO

0

1

Flujo de Caja

P = S/ 1,000

F = S/1,100

0 11,000 1,000 + 100 1,100

A

I

F

P

I P

100 1,000

i = = = 0.10 = 10%

i = = -1 = -1 = 10% F-P P

F P

1,100 1,000

+

Procesode

Capitalización

INTERES SIMPLE

CONCEPTO

• Se dá cuando en el cálculo de un pago futuro (F) no existe capitalización de intereses en períodos intermedios.

Flujo de la Deuda

0 1 2 31,000 1,000 1,000 1,300 0 100 100 100

SaldoIntereses

I = (P x i) nF = P + IF = P + (P x i) n

F = P (1+i x n)

EJEMPLO

0

1 2 3

P = S/ 1,000

F = ?

10% 10% 10%

300

F = P (1+ iequiv)(1 + iequiv) = (1 + i x n)iequiv = (1 + i x n) - 1

iequiv = i x n

¿Cuál es el pago futuro si la capitalización es trimestral?

INTERES COMPUESTO

CONCEPTO

• Se dá cuando en el cálculo de un pago futuro se capitalizan los intereses de períodos intermedios al saldo de la deuda y sobre estos se calculan los intereses del siguiente período. Se dice que existe capitalización de intereses.

EJEMPLO

0

1 2 3

P = S/ 1,000

F = ?

Flujo de Caja

0 1 2 31,000 1,100 1,210 1,331 0 100 110 121

SaldoIntereses

10% 10% 10%

F = P (1+i) F = P (1+i)(1+i)F = P(1+i)2

F = P (1+i)(1+i)(1+i)F = P(1+i)3

F = P(1+i)n

TASA DE INTERES NOMINAL

Tasa base anunciada por la institución financiera.

inom = 60% anual

PERIODO DE CAPITALIZACIONPeríodo que implica el cómputo de intereses al principal. Divide el tratamiento de la deuda entre interés simple y compuesto.

Capitalización Trimestral = 4 períodos en el año m = 4

TASA DE INTERES PROPORCIONAL

Es la primera tasa efectiva. (iefect)* y se calcula como una proporción del inom en función del número de períodos de capitalización (m).

iprop. = iefect* = inom

m

iefect* = 60% 4

AMBITO DE LOS INTERESES SIMPLE Y COMPUESTO

Interés simple Interés compuesto + múltiplo

n<m m n>miefec*

EJEMPLO

• Calcular el saldo al final del 2do. trimestre del siguiente flujo:

0 1 2 3 4 5 6

Retiros

Depósitos

400 700 400

1,000 500 600 500

La tasa de interés es 60% anual

a) Capitalizada mensualmente

b) Capitalizada trimestralmente

SOLUCION

Mes InteresesRetirosDepósitosSaldo

0

1

2

3

4

5

6

Mes InteresesRetirosDepósitosSaldo

0

1

2

3

4

5

6

a) Capitalización mensual ianual = 60% capitalización mensual ----> imensual =

b) Capitalización trimestral ianual = 60% capitalización trimestral ----> itrim = = imensual =

TASAS DE INTERES EQUIVALENTES

• i anual nominal = 60%

PeríodoCapitaliz. Sem. Men. Bimes. Trimes Semes Anual

Semanal

Mensual

Bimestral

Trimestral

Semestral

Anual

10

INTERES AL REBATIR

Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior.

Ejemplo:

¿Cuál es el saldo al trimestre 6?

Bajo las siguientes condiciones:

a) tasa de interés pasiva 5% mensualb) capitalización mensualc) tasa de interés activa: 10% mensual

Mes Saldo Depositos Retiros Interés

0 1,000

1 500

2 600

3

4

2,000

5 400

6 600

300

11

PROGRAMACION DE DEUDA

• Programar el servicio del siguiente préstamo:

Préstamo = $1,000

i = 10% efectiva mensual

n = 4

a) Pagos iguales

b) Amortizaciones iguales

Mes PagoInterésAmortiz.SaldoFinal

0

1

2

3

4

Mes PagoInterésAmortiz.SaldoFinal

0

1

2

3

4

a) Amortizaciones Iguales

b) Pagos Iguales

12

PAGOS IGUALES

PMT

P

n1 2 3 4 5

PMT (1+ i)1

P = + + + + + ...... +

PMT PMTPMT PMTPMT

PMT = ?

PMT (1+ i)2

PMT (1+ i)3

PMT (1+ i)5

PMT (1+ i)4

PMT (1+ i)n

P = + + + + ...... + 1 (1+ i)

PMT (1+ i)1

PMT (1+ i)2

PMT (1+ i)3

PMT (1+ i)n-1

PMT

P (1+i) = + + + + ...... + + - PMT (1+ i)1

PMT (1+ i)2

PMT (1+ i)3

PMT (1+ i)n-1

PMT PMT (1+ i)n

PMT (1+ i)n

P

P(1+i) = PMT + P - PMT (1+ i)n

P(1+i) - P = PMT - PMT (1+ i)n

iP = PMT (1+i)n - 1 (1+i)n

P = PMT (1+i)n - 1 i (1+i)n

PMT = P i (1+i)n (1+i)n - 1

@PMT(P , i , n)

13

TASA EQUIVALENTE

* A un período

P

F

P(1+i) = F

P = ---> i = - 1 F (1+i)

F p

* A dos períodos

P

F2F1

P = + F1 (1+i)

F2 (1+i)2

P(1+i)2 = F1 (1+i) + F2

P(1+2i+i2) = F1+iF1 + F2

P+2Pi+Pi2 -F1-iF1 - F2 = 0

Pi2 + (2P-F1)i +P-F1- F2 = 0

i = -(2P-F1)+ (2P-F1)2 - 4P(P-F1 -F2)

2P

14

TASA EQUIVALENTE

* A “n” períodos

VP

k (tasa de descuento)

VP = - P + + + .........+ F1

(1+k) F2

(1+k)2

VP = 0

k* TIR

TIR = la tasa equivalente que iguala el préstamo P a los flujos actualizados

@IRR (0.18, P F1 ..Fn)

k*

P = + + +......... + F1 (1+ TIR)

F2 (1+ TIR)2

Fn (1+ TIR)n

F3 (1+ TIR)3

Fn

(1+k)n

Flujos actualizados

k*

k* = - 1Fi P n

15

TASAS EQUIVALENTES DE FLUJOS

a) Amortizaciones iguales

1 2 3 4

350 325 300 275

1,000

F F F F (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4

P = + + +

350 325 300 275 (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4

1,000 = + + +

b) Pagos iguales

1 2 3 4

315 315 315 315

1,000

315 315 315 315 (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4

1,000 = + + +

i = ¿ ?

0

1 2 3 4

0

16

PRECIOS CORRIENTES Y CONSTANTES

En términos corrientes:

Precio bien0 = 100

mensual = 20%

Precio bien1 = 120

0 1 =20%

100 120

En términos constantes:

Precio bien0= 100Precio bien1= 100

0 1

100 100

Precios corrientesdel bien

Precios constantesdel bien

preal =

p. Corriente ( 1+ )

Para tener un precio en términos constantes se debe deflactar los precios corrientes afectándolos por la inflación.

p0

p1 = p0 * (1 + )

p1

preal = 120 (1+20%) preal = 100

p0 p1 = preal

17

DE FLUJOS CORRIENTES A REALES

FCi = Flujo Corriente del Período i

FLUJOS CORRIENTES

FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FCn

P

n1 2 3 4 5

FC1

(1+ )1

FC2

(1+ )2

FC3

(1+ )3

FC4

(1+ )4

FC5

(1+ )5

FCn

(1+ )n

FRi = Flujo Real del Período i

p

n1 2 3 4 5

FR1 FR3 FR4 FRnFR5FR2

FLUJOS REALES

= Flujo real

18

FLUJOS Y CAMBIO DE MONEDA

Fd1 Fd2 Fd3 Fd4 Fd5 Fdn

n1 2 3 4 5

Pd

TCi = Tipo de cambio del período i (S/. /$ [Unidad monetaria a emigrar])

FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FCn

P

n1 2 3 4 5

FC 1TC1

FC2

TC2

FC 3TC3

FC 4TC4

FC 5TC5

FC nTCn

PTCO

FLUJOS EN S/

FLUJOS EN $

19

TASA EQUIVALENTE

FC1 FC2 FC3 FC4 FC5 FCn

P

n1 2 3 4 5

FC 1(1+ ic)1

FC 2(1+ ic)2

FC 3(1+ ic)3

FC 4(1+ ic)4

FC 5(1+ic )5

FC n(1+ic )n

P = + + + + + ...... +

ic = Tasa de interés equivalente a cifras corrientes

ic = @ IRR (0.2, P, FC1 ...FCn)

p

n1 2 3 4 5

FR1 FR3 FR4 FRnFR5FR2

FR 1(1+ iR)1

FR 2(1+ iR)2

FR 3(1+ iR)3

FR 4(1+ iR)4

FR 5(1+iR)5

FR n(1+iR )n

P = + + + + + ...... +

iR = @ IRR (0.15, P, FR1 ...FRn)

EN FLUJOS CORRIENTES

EN FLUJOS REALES

Nota: Si = cte ----> iR = ief - 1 +

20

EJEMPLO

• Calcular el saldo al final del 2do. trimestre del siguiente flujo:

0 1 2 3 4 5 6

Retiros

Depósitos

400 700 400

1,000 500 600 500

La tasa de interés es 60% anuala) Capitalizada mensualmenteb) Capitalizada trimestralmente

a) Capitalización mensual ianual = 60% capitalización mensual ----> imensual = 5.0%

b) Capitalización trimestral ianual = 60% capitalización trimestral ----> i trim = 15.0% ----> imensual = 5.0%

Mes Saldo Depositos Retiros Interes0 1,000.00 1,0001 600.00 0 400 50.00

2 1,100.00 500 30.003 1,835.00 600 55.004 1,135.00 700 91.75

5 735.00 400 56.756 1,420.25 500 36.75

Mes Saldo Depositos Retiros Interes0 1,000.00 1,0001 650.00 0 400 50.002 1,182.50 500 32.503 1,841.63 600 59.134 1,233.71 700 92.085 895.39 400 61.696 1,440.16 500 44.77

21

TASAS DE INTERES EQUIVALENTES

• i anual nominal = 60%

PeríodoCapitaliz. Sem. Men. Bimes. Trimes Semes Anual

Semanal

Mensual

Bimestral

Trimestral

Semestral

Anual

1.25% 5.09% 10.45% 81.54%16.08% 34.74%

1.25% 5.00% 10.25% 79.59%15.76% 34.01%

1.25% 5.00% 10.00% 77.16%15.37% 33.10%

1.25% 5.00% 10.00% 74.90%15.00% 32.25%

1.25% 5.00% 10.00% 69.00%15.00% 30.00%

1.25% 5.00% 10.00% 60.00%15.00% 30.00%

22

IINTERES AL REBATIR

Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior.

Ejemplo:

¿Cuál es el saldo al trimestre 6?

Bajo las siguientes condiciones:

a) tasa de interés pasiva 5% mensual

n Saldo Deposito Retiro Interes

0 1,000.00 1,000.00

1 650.00 500.00 150.00

2 1,347.50 600.00 97.50

3 (450.38) 2,000.00 202.13

4 (217.93) 300.00 (67.56)

5 (650.62) 400.00 (32.69)

6 (148.21) 600.00 (97.59)

23

IINTERES AL REBATIR

Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior.

Ejemplo:

¿Cuál es el saldo al trimestre 6?

Bajo las siguientes condiciones:

b) capitalización mensual

n Saldo Deposito Retiro Interes

0 1,000.00 1,000.00

1 657.62 500.00 157.62

2 1,361.28 600.00 103.66

3 (424.14) 2,000.00 214.57

4 (191.00) 300.00 (66.86)

5 (621.11) 400.00 (30.11)

6 (119.01) 600.00 (97.90)

24

IINTERES AL REBATIR

Es aquel interés que se calcula sobre los saldos al período anterior.

Ejemplo:

¿Cuál es el saldo al trimestre 6?

Bajo las siguientes condiciones:

c) tasa de interés activa: 10% mensual

n Saldo Deposito Retiro Interes

0 1,000.00 1,000.00

1 800.00 500.00 300.00

2 1,640.00 600.00 240.00

3 132.00 2,000.00 492.00

4 471.60 300.00 39.60

5 213.08 400.00 141.48

6 877.00 600.00 63.92

25

Mes Saldo Amortiz Interes Pago

0 1,000

1 785 215 100 315

2 548 237 78 315

3 287 261 55 315

4 0 287 29 315

PROGRAMACION DE DEUDA

• Programar el servicio del siguiente préstamo:

Préstamo = $1,000

i = 10% efectiva mensual

n = 4

a) Pagos iguales

b) Amortizaciones iguales

a) Amortizaciones Iguales

b) Pagos Iguales

Mes Saldo Amortiz Interes Pago

0 1,000

1 750 250 100 350

2 500 250 75 325

3 250 250 50 300

4 0 250 25 275