Post on 25-Jul-2019
HA Almen, 6. Semester Gruppe nr. S10-13.55
Bachelor afhandling
Erhvervsøkonomisk Institut Opgaveskriver:
Brian Schrøder Hansen
Vejleder:
Nicolai Borcher Hansen
Markowitz porteføljeteori
gennem finanskrisen
Handelshøjskolen, Aarhus Universitet
Forår 2010
Abstract
Markowitz is called the fader of modern portfolio theory. For decades he’s theory has been accepted
for one of the most important portfolio theories. The question is how his portfolio theory manage
throw the crisis in 2008, is he’s theory still useful after the bear marked.
The thesis is divided into two parts, the first is a theoretical review of the theory, and the second
part is an empirical analysis of the theory performance throw the crisis in 2008.
The aim of the theoretical part is to make a review of the parts of Markowitz mean-variance portfo-
lio theory and how to make an efficient portfolio. The theory consists of the expected yield and risk
for an asset, correlation between them and how it effects the portfolio decisions. An important as-
pect of portfolio decisions is how to use diversification to reduce risk.
Before the empirical analysis can be made, it’s important to test the data material, since Markowitz
portfolio theory is based on the condition of normal distribution. The test shows that the subsequent
constructions should be based on weekly return, since it’s better normal distributed than the daily
based return, but still not perfectly normal distributed.
Under the constructions of portfolios with mean-variance, it appeared that the fall in the stock mar-
ket didn’t have much influence on the data material, because of its size. The biggest change was the
correlation between the asset rises throws the period. This led to the stocks represented a smaller
proportion of the portfolios in the late 2008. It’s not possible with statistic certainty to conclude that
the minimum variance portfolio and the most efficient portfolio performs better than the bench-
mark, but it’s possible with statistic certainty to conclude that efficient portfolios with short sales
allowed generated significant negative alpha values.
The idea behind EWMA is the resent data is weighted higher, which should led to a data material
that is more accurate, and follows the markets trends. That influenced the standard deviations rose
even more than with the mean-variance, so that the deviations between the calculated values and the
actual values were less. The trend with increasing correlation became even more evident with this
approach. That the data material was better adapted to the market increased the expectations that
EWMA could generate a better return than the mean-variance approach. The portfolios constructed
with this approach decreased the shareholdings more that the mean-variance, and that there were
sold short in a larger scale than earlier with the mean-variance. All this resulted with statistic cer-
tainty were generated positive alphas in the minimum variance portfolio, it was not possible to ge-
nerates such positive alphas in the most efficient portfolios.
The Sharpe index turned out to be the best measurement for a portfolios performance, since this had
pointed out all the significant alphas. So from this performance measurement it turns out that almost
every portfolio constructions with the EWMA approach performed best, however with the excep-
tions of the minimum variance portfolio with short sales allowed. So from this it can be concluded
that the EWMA approach creates the best portfolios in a bear market, since it is better to adapt the
marked conditions.
Based on the analysis it seems that Markowitz portfolio theory still is valid after the crisis in 2008,
based on not all alphas were negative or different from zero, and that the theory showed that an in-
vestor should decrease the shareholdings.
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse
1. INDLEDNING ............................................................................................................................ 1
1.1. Problemformulering ........................................................................................................................ 2
1.2. Afgrænsning ..................................................................................................................................... 3
1.3. Metodevalg ....................................................................................................................................... 4
2. MARKOWITZ MEAN-VARIANCE PORTEFØLJE TEORI ............................................. 5
2.1. Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv ....................................................................... 5
2.2. Kovarians og korrelation ................................................................................................................ 6
2.2.1. Kovarians ................................................................................................................................................. 6
2.2.2. Korrelation koefficienter .......................................................................................................................... 7
2.3. Forventet afkast og standard afvigelse for en portefølje ........................................................... 10
2.4. Diversifikation ................................................................................................................................ 11
2.4.1. Systematisk risiko ................................................................................................................................... 11
2.4.2. Usystematisk risiko ................................................................................................................................. 12
2.5. Den efficiente Rand ....................................................................................................................... 12
2.5.1. Den efficiente rand uden kortsalgsmuligheder ....................................................................................... 13
2.5.2. Minimums varians porteføljen ................................................................................................................ 13
2.5.3. Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv ........................................................................... 14
2.5.4. Den efficiente rand med kortsalgsmuligheder ........................................................................................ 15
2.6. Delkonklusion ................................................................................................................................ 15
3. DATAANALYSE ..................................................................................................................... 17
3.1. Datagrundlag ................................................................................................................................. 17
3.1.1. Datamateriale til porteføljekonstruktion ................................................................................................ 17
3.1.2. Den risikofrie rente ................................................................................................................................. 18
3.1.3. Benchmark .............................................................................................................................................. 19
3.2. Test af normalfordeling................................................................................................................. 19
3.2.1. Skewness ................................................................................................................................................. 19
3.2.2. Kurtosis .................................................................................................................................................. 19
3.2.3. Jarque-Bara test ..................................................................................................................................... 20
3.2.4. Test af datamateriale for normalfordeling ............................................................................................. 20
4. PORTEFØLJESAMMENSÆTNING MED MEAN-VARIANCE ..................................... 23
4.1. Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver .................................................................... 23
4.1.1. Udvikling i afkastserien .......................................................................................................................... 23
4.1.2. Udviklingen af standart afvigelserne ...................................................................................................... 24
Indholdsfortegnelse
4.1.3. Udviklingen af korrelationen mellem aktiverne ...................................................................................... 26
4.2. Porteføljer uden kort salg ............................................................................................................. 29
4.2.1. Sammensætning af MVP ......................................................................................................................... 29
4.2.2. Sammensætning af tangentporteføljerne ................................................................................................ 32
4.3. Porteføljer med kort salg .............................................................................................................. 34
4.3.1. Sammensætning af MVP ......................................................................................................................... 35
4.3.2. Sammensætning af tangentporteføljerne ................................................................................................ 37
4.4. Performansevaluering ................................................................................................................... 38
4.4.1. Teoretisk gennemgang af performance .................................................................................................. 39
4.4.2. Performance for MVP ............................................................................................................................ 40
4.4.3. Performance for tangentporteføljerne .................................................................................................... 43
4.5. Evaluering af Markowitz porteføljeteori med mean-variance .................................................. 45
5. PORTEFØLJESAMMENSÆTNING MED EWMA ........................................................... 48
5.1. Teoretisk gennemgang af EWMA ................................................................................................ 48
5.2. Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver .................................................................... 49
5.2.1. Udvikling af std. afvigelserne ................................................................................................................. 49
5.2.2. Udvikling af korrelationen mellem aktiverne ......................................................................................... 50
5.3. Sammensætning af porteføljer uden kortsalg ............................................................................. 52
5.3.1. Sammensætning af MVP ......................................................................................................................... 52
5.3.2. Sammensætning af tangentporteføljer porteføljerne .............................................................................. 54
5.4. Sammensætning af porteføljer med kortsalg .............................................................................. 56
5.4.1. Sammensætning af MVP ......................................................................................................................... 56
5.4.2. Sammensætning af tangentporteføljer .................................................................................................... 58
5.5. Performansevaluering ................................................................................................................... 60
5.5.1. Performance for MVP ............................................................................................................................ 60
5.5.2. Performance for tangentporteføljerne .................................................................................................... 62
5.6. Evaluering af Markowitz porteføljeteori med udgangspunkt i EWMA .................................. 63
5.6.1. Performance forskelle mellem mean-variance og EWMA ...................................................................... 64
6. KONKLUSION ........................................................................................................................ 65
7. BIBLIOGRAFI ........................................................................................................................ 68
8. BILAGSOVERSIGT ............................................................................................................... 69
Indledning
1
1. Indledning
At der i dag både bliver set på afkast i forhold til den dertilhørende risiko for en portefølje, virker
meget indlysende, men da Markowitz i 1952 skrev hans doktor disputats om porteføljeteori var det-
te ikke normalt. Dengang var det kun afkastet der var i fokus, dvs. at ud fra den tankegang ville en
investor vælge at investere i det aktiv med det højeste afkast. Ud fra datidens synspunkter er det
måske heller ikke så sært at Markowitz fik meget hårde ord med på vejen da han skulle forsvare sin
disputats, hvor han bl.a. fik at vide det intet havde med økonomi at gøre, og derved ikke burde tilde-
les en Ph.d. i økonomi. Markowitz har dog senere i 1991 indrømmet at portefølje teori ikke var en
del af økonomi, da han forsvarede sin disputats, men dette er det i dag.1 Spørgsmålet er således,
hvorvidt Markowitz porteføljeteori stadig har sit værd efter den seneste krise.
Investeringer i aktier har altid været forbundet med en hvis risiko, men at risikoen ville være så stor
som gennem finanskrisen i 2008, kom bag på mange investorer. I tiden optil var mange blevet for-
gyldt med høje afkast på deres investeringer. Det var ikke kun professionelle der investerede, der
var også en meget stor stigning af privatpersoner der hoppede ud som investorer, for at få del af de
høje afkast der var at hente på markedet.
En investor har muligheden for at sprede sine investeringer ud på flere aktiver for at nedsætte risi-
koen. En sådan sammensætning kunne ske ud fra Markowitz (1952), der senere modtog en nobel-
pris for teorien og er blevet kaldt ”fader” af moderne porteføljeteori. Teorien tager højde for den
indbyrdes korrelation mellem aktiver, dette betyder at risikofyldte aktiver kan sammensættes, såle-
des at den samlede risiko for porteføljen er laver end de individuelle aktivers risiko. Altså sker der
en diversifikation, hvilket er grundelementet i Markowitz teori.
Der er dog det forbehold at ingen har kendskab til fremtiden og at historien sjældent gentager sig i
fremtiden. Dette kan skabe nogle udfordringer, da alle værdierne der bliver brugt til sammensæt-
ningen af en portefølje ud fra Markowitz er baseret på historiske tal, der er forsøgt tilpasset til frem-
tiden.
1 (Varian 1993)
Problemformulering
2
1.1. Problemformulering
Hovedformålet med denne opgave er at analysere hvordan Markowitz porteføljeteori klarede sig
igennem den seneste finanskrise, med udgangspunkt i C20 indekset samt et par udvalgte danske
statsobligationer. Selv om det ikke er muligt at se ud i fremtiden, ville det så ved hjælp af Marko-
witz teori have været muligt at forudsige, at de risikofyldte aktiver skulle have udgjort en faldende
andel af den samlede portefølje.
Den første del af opgaven vil gennemgå Markowitz porteføljeteori, ved at redegøre for beregningen
af afkast, risiko samt den indbyrdes korrelation mellem de enkelte aktiver. Disse værdier vil jf.
Markowitz (1952) blive brugt til at sammensætte den efficiente rand, minimumsvarians porteføljen
samt en udledning af kapitalmarkeds linien. Der vil blive set på hvordan det med denne teori er mu-
ligt at bortdiversificere den usystematiske risiko, hvilket samtidig betyder at en investor kun vil
kunne påregne at modtage afkast for den systematiske risiko.
Inden den empiriske analyse af Markowitz teori kan foretages, skal der undersøges hvorvidt forud-
sætningerne om afkastet er normalfordelt, således at den empiriske analyse vil blive så retvisende
som muligt.
Udgangspunktet for den empiriske del af opgaven vil være at benytte Markowitz porteføljeteori til
at se hvordan de enkelte porteføljers afkast samt risiko, ændres i løbet af finanskrisen. Men ikke
mindst den afgørende korrelation, da det formodes at korrelationen aktier imellem vil stige, hvilket
går ud over risikoreduktionen. Det vil samtidig blive interessant at se hvordan minimumsvarians-
porteføljen udvikler sig, om den kommer til at ligge tættere op af den risikofrie rente, og om inve-
storerne vil modtage betaling for den ekstra risiko de har påtaget sig ved investeringen af de risiko-
fyldte aktiver.
I den oprindelige teori Markowitz (1952) udviklede, blev der brugt en gennemsnitlig varians. Pro-
blemet i finansielle tidsserier er at disse varianser ikke er stationære, så derfor inddrages EWMA
der er en tidsvægted varians, der gør at den seneste varians vægtes højere end de foregående. Disse
varianser benyttes til at sammensætte nye korrelations matricer, og dermed sammensætning af nye
porteføljer. Det vil dermed blive undersøgt hvorvidt disse sammensætninger, performer bedre end
benchmarket, men ikke mindst om det vil være en fordel at benytte sig af denne fremgangsmåde i
stedet for de oprindelige gennemsnitlige varianser.
Ved at inddrage kortsalg, vil der blive analyseret hvorvidt denne mulighed vil være fordelagtigt i et
nedadgående marked. Så det på den måde vil være muligt at udnytte at aktiernes afkast er negative,
Problemformulering
3
men er det overhovedet muligt at finde ud af hvilke aktiver der skal købes og hvilke der skal sælges,
således at en investor ikke påtager sig unødigt risiko. Denne mulighed vil både blive brugt under
mean-variance samt EWMA sammensætning af porteføljer.
Er Markowitz teori brugbar i krisetider, eller er den kun blevet benyttet på baggrund af at den har
fået tildelt en Nobelpris. Det vil derfor blive nødvendigt at forholde sig til hvorvidt de konstruktio-
ner der bliver lavet undervejs performer bedre end benchmarket. Dette sker for at finde ud af om
hvorvidt de enkelte konstruktioner har givet et bedre resultat end den passive strategi benchmarket
vil følge.
Efter endt analyse, skulle der gerne tegne sig et billede af teoriens anvendelighed i praksis.
Ud fra overstående gennemgang af teori samt den efterfølgende empiriske analyse har opgaven til
formål at besvare følgende hovedspørgsmål.
Hvordan sammensættes en efficient portefølje ud fra Markowitzs porteføljeteori?
Hvilken indflydelse har variansen samt kovarianserne?
Hvordan udledes den efficiente rand?
Skal analyserne bygge på dags- eller ugedata for at få en så efficient sammensætning som
muligt?
Hvordan ændres det bagvedliggende datamateriale undervejs i en krise, bliver det tilpasset?
Stiger kovarianserne når aktiemarkedet går ned, og i givet fald hvilken betydning får
dette?
Er det muligt ved hjælp af kortsalg af aktier at udnytte et kriseramt marked?
Er en portefølje sammensætninger med tidsvægtede varianser bedre end gennemsnitsvarian-
serne til at klare krisetider?
Er Markowitz porteføljeteori stadig brugbar efter den seneste krise?
1.2. Afgrænsning
Selve den finansielle krise vil blive afgrænset til at udgøre 2008 for denne opgave, men der vil blive
brugt datamateriale tilbage fra 2000 til at beregne de forventede afkast, risiko samt korrelation mel-
lem de enkelte aktiver.
Ved beregning af de enkelte investeringsmuligheders afkast, vil der ikke blive taget højde for han-
delsomkostninger, samt skattemæssige forhold for den opnåede gevinst eller tab.
Problemformulering
4
Der vil ikke være nogle forudbestemte hvor mange aktier og obligationer der skal være i den samle-
de portefølje, da det er et af hovedformålene at finde ud af om denne sammensætning ændres gen-
nem krisen.
1.3. Metodevalg
For at besvare spørgsmålet omkring sammensætningen af en portefølje vil der blive taget udgangs-
punkt i Markowitz oprindelige teori fra 1952.
Til at teste datamaterialet for om det følger en normalfordeling, vil der blive foretaget test i Eviews
omkring skævhed, topstejlhed, hvorefter disse værdier vil blive fuldt op af en Jarque-Bara test, for
at kunne konkludere hvorvidt efterfølgende sammensætninger skal baseres på dags- eller ugedata.
Udregningerne af de enkelte porteføljers sammensætning vil ske i Excel vha. solveren. For at skabe
en model der foretager alle beregninger på en gang, således at solveren ikke skal ændres for at finde
de enkelte elementer i porteføljen, vil der blive lavet en VBA2 makro der kan beregne de enkelte
porteføljekarakteristika. Hvorefter der ligeledes vil blive undersøgt hvordan disse nøgletal har ud-
viklet sig gennem tiden og hvilken indvirkning det har på porteføljesammensætningerne.
For at undersøge hvordan Markowitz portefølje teori klarede sig gennem finanskrisen, vil der blive
sammensat en ny portefølje primo hver måned gennem 2008. Disse konstruktioner bliver lavet for
både minimumvarians porteføljerne og tangentporteføljerne, med og uden kortsalg. Der vil derefter
blive udført en performancetest, for at se hvordan de enkelte sammensætninger har klaret sig. Til
denne performancetest vil der blive brugt Sharps ratio, Treynor og Jensens indeks, for ud fra disse
værdier at konkluderer hvorvidt porteføljerne har klaret sig bedre end benchmarket. For at kunne
skabe en statistisk sikkerhed vil Jensen alpha også blive estimeret i Eviews.
Fremgangsmåden for de tidsvægtede varianser, vil følge samme struktur som ved mean-variance,
for at skabe mest muligt struktur og gennemskuelighed gennem opgaven.
Efter ovennævnt analyse skulle der gerne tegne sig et billede af hvorvidt Markowitz porteføljeteori
har sit værd i fremtiden.
2 VBA er et programmeringssprog der anvendes til at automatisere ofte anvendte fremgangsmåder og processer.
Markowitz mean-variance portefølje teori
5
2. Markowitz mean-variance portefølje teori
Dette afsnit har til formål at gennemgå de enkelte elementer i Markowitz porteføljeteori, for at ska-
be forståelse for de bagvedliggende elementer i den efterfølgende analyse af teorien.
2.1. Forventet afkast og standardafvigelse for et aktiv
En portefølje er en sammensætning af flere aktiver, sammensætningen sker bl.a. på baggrund af de
enkelte aktivers gennemsnitlige afkast samt risiko.
I finansiel litteratur bliver der skelnet mellem to måder hvorpå afkastet kan beregnes, den geometri-
ske- og den aritmetiske metode, også kendt som kontinuert og diskret. Den mest intuitive er den
aritmetiske metode, der beregnes ved blot at finde den procentvise forskel mellem to aktiekurser.
Da portefølje teorien er opbygget ud fra en analyse over flere tidsperioder vil det være mest fordel-
agtigt at benytte den geometriske metode hertil. Der er dog små afvigelser i resultaterne, det geome-
triske afkast resultere i mindre afkast, men disse afvigelser er som regel ikke så store.3 Ligeledes
tager den geometriske højde for rentes rente således at det er muligt at ligge en række logaritmiske
afkast sammen og på den måde se hvordan udviklingen har været gennem en given periode.
Det geometriske afkast beregnes som følgende:4
𝑅𝐴 = ln 1 +𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1
𝑌𝑡−1 = ln
Yt
Yt−1 [2.1]
Såfremt der ønskes at tages højde for udbetaling af dividender i løbet af perioden, tilføjes disse på
følgende måde, således det samlede afkast kan beregnes som følgende:5
𝑅𝐴 = ln 𝑌𝑡 + 𝐷𝑖𝑣𝑡𝑌𝑡−1
[2.2]
3 (Benninga, Czaczkes 2000, s. 149)
4 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997)
5 (Benninga, Czaczkes 2000, s. 132)
Markowitz mean-variance portefølje teori
6
Den risiko der er forbundet med det enkelte aktiv, er de udsving der har været i forhold til middel-
værdien for det givne aktiv. Sådanne udsving beregnes ved hjælp af enten varians eller standard
afvigelsen. Variansen kan dog være svær at fortolke på, så derfor kan standartafvigelsen med fordel
udregnes, der er den kvadrerede værdi af variansen. Standart afvigelsen kan beregnes på følgende
må:6
𝜎 𝑟𝑖 =1
𝑀 𝑟𝑖𝑡 − 𝐸 𝑟𝑖
2𝑀
𝑡=1
[2.3]
Hvor 𝐸(𝑟𝑖) angiver middelværdien for aktiv i gennem hele perioden og rit angiver afkastet for aktiv
i gennem periode t.
Problemet ved at udregne risiko på baggrund af standart afvigelser er at der implicit antages at inve-
stor er ligeså interesseret i tab som gevinst, hvilket modsiger alt fornuft, da det vides at en investor
er glad for uventet ekstraafkast, men derimod bliver betænkelig efter uventet tab7
2.2. Kovarians og korrelation
Ud over det enkelte aktivs risiko, tager Markowitz porteføljeteori også højde for de enkelte aktivers
indbyrdes korrelation. Netop inddragelsen af denne dimension betyder, at en portefølje kan have en
lavere risiko end aktivet med den laveste risiko. Dette kan lade sig gøre ved at sammensætte en por-
teføljen af aktiver der ikke svinger sammen, således at der udnyttes at nogle aktiver har modsatvir-
kende afkast, så det på denne måde er muligt at eliminere dele af risikoen.
2.2.1. Kovarians
Den samlede porteføljes risiko bliver bl.a. beregnet på baggrund af kovariansen mellem de enkelte
aktiver. Kovariansen mellem de enkelte aktiver er et udtryk for hvordan afkastet for aktiverne svin-
ger med hinanden, det er f.eks. ikke utænkeligt at går det godt for en aktie i en given branche, vil
dette påvirke de øvrige aktier i samme branche.
6 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 22)
7 (Sumnicht 2009)
Markowitz mean-variance portefølje teori
7
Kovariansen mellem to aktiver kan udregnes på følgende måde:8
𝜎 𝑟𝑖𝑘 =1
𝑀 𝑟𝑖𝑡 − 𝜇𝑖 ∗ (𝑟𝑘𝑡 − 𝜇𝑘)
𝑀
𝑡=1
[2.4]
Ud fra ovenstående ses der at kovariansen kan antage en værdi mellem -∞ og ∞. Hvis begge aktiver
afviger enten positivt eller negativt fra middelværdien er det muligt at opnå en positiv kovarians,
men hvis den ene afviger negativt fra middelværdien vil kovariansen være negativ.
2.2.2. Korrelation koefficienter
Kovarianserne har dog deres svagheder, da de kan være svære at fortolke, det kan f.eks. være svært
at bedømme hvorvidt en kovarians på 40 mellem aktiv i og k er ensbetydende med at de svinger
sammen i høj grad, eller kun i et vist omfang. Det er derfor rent fortolkningsmæssigt en fordel at
omregne kovariansen til korrelation koefficienter, da disse antager en værdi mellem -1 og 1.
Korrelation koefficienterne mellem to aktiver udregnes som følgende:9
𝜌𝑖𝑘 =𝜎𝑖𝑘𝜎𝑖𝜎𝑘
[2.5]
Som det ses i [2.5] er korrelations koefficienterne, kovariansen delt med produktet af de to aktivers
standart afvigelser.
Der kan opstilles følgende sammenhæng mellem korrelations koefficienterne:
0 < ik < 1 = Aktiverne korrelerer positivt med hinanden
ik = 0 = Aktiverne korrelerer ikke med hinanden
-1 < ik < 0 = Aktiverne korrelerer negativt med hinanden
Med udgangspunkt i to aktiver vil det blive udledt matematisk hvordan graden af overstående korre-
lationer vil påvirke porteføljens risiko.
Korrelation 𝜌𝑖𝑘 = 1
Hvis to aktiver har en korrelations koefficient på +1 siges der at, de to aktiver korrelere perfekt med
hinanden, således at hvis aktiv 1 stiger vil aktiv stige ligeså meget. Det vil medføre at en porteføljes
risiko, bestående af 2 aktiver, kan beregnes på følgende måde:
8 (Benninga, Czaczkes 2000 s. 133)
9 (Elton 2003, s. 54)
Markowitz mean-variance portefølje teori
8
1. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖
2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘
2 ∗ 𝜎𝑘2 + 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜌𝑖𝑘 ∗ 𝜎𝑖 ∗ 𝜎𝑘
2. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖
2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘
2 ∗ 𝜎𝑘2 + 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑖 ∗ 𝜎𝑘
3. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 + 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘
2
4. 𝜎𝑃 = 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 + 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘
Det ses således at hvis aktiverne korrelere perfekt, vil porteføljens risiko være en vægtning af de
enkelte aktivers risiko, dette vil også samtidig medføre at, det ikke er muligt at reducere den samle-
de risiko på porteføljen ved inddragelse af flere aktiver, forudsat de også er perfekt korreleret. Der
er dog den undtagelse at der ved brug af kortsalg er muligt at nedbringe risikoen, såfremt to aktiver
korrelere perfekt og den ene købes mens den anden kortsælges i lige store andele.
Korrelation 𝜌𝑖𝑘 = 0
I den efterfølgende matematisk udledning tages der udgangspunkt i en porteføljes risiko med to
aktiver, der efterfølgende udvides til M antal aktiver. Det antages at de enkelte vægte og risiko er
ens for aktiverne.
1. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖
2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘
2 ∗ 𝜎𝑘2 + 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜌𝑖𝑘 ∗ 𝜎𝑖 ∗ 𝜎𝑘
2. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖
2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘
2 ∗ 𝜎𝑘2 + ⋯……+ 𝑥𝑚
2 ∗ 𝜎𝑚2
3. 𝜎𝑝2 =
1
𝑀
2
∗ 𝜎𝑖2 +
1
𝑀
2
∗ 𝜎𝑘2 + ⋯……+
1
𝑀
2
∗ 𝜎𝑚2
4. 𝜎𝑝2 = 𝑀 ∗
1
𝑀
2
∗ 𝜎2
5. 𝜎𝑝2 =
𝑀
𝑀2 ∗ 𝜎2 =
𝜎2
𝑀
6. 𝜎𝑝 =𝜎
𝑀
Det ses herved at ved en korrelation lig nul, vil det være muligt at nedbringe risikoen ved at øge
antallet af aktiver i porteføljen. Denne effekt er dog aftagende, således at effekten er størst ved ind-
dragelsen af de første aktiver.
Markowitz mean-variance portefølje teori
9
Korrelation 𝜌𝑖𝑘 = −1
Såfremt korrelations koefficienten skulle være -1, siges det at aktiverne er perfekt negativ korrele-
ret. Dette betyder at risikoen kan elimineres på følgende måde:
1. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖
2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘
2 ∗ 𝜎𝑘2 + 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜌𝑖𝑘 ∗ 𝜎𝑖 ∗ 𝜎𝑘
2. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖
2 ∗ 𝜎𝑖2 + 𝑥𝑘
2 ∗ 𝜎𝑘2 − 2 ∗ 𝑥𝑖 ∗ 𝑥𝑘 ∗ 𝜎 𝑟𝑖 ∗ 𝜎 𝑟𝑘
3. 𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘
2
4. 𝜎𝑝 = (𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘)
Det ses således at det er muligt at bortdiversificere porteføljens risiko, såfremt følgende op opfyldt:
5. 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘 = 0
6. 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 = 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘
7. 𝑥𝑖
𝑥𝑘=
𝜎𝑘
𝜎𝑖
8. 𝑥𝑖 =𝜎𝑘∗𝑥𝑘
𝜎𝑖 𝑥𝑘 =
𝜎𝑖∗𝑥𝑖
𝜎𝑘
Hvis ovenstående porteføljevægte indsættes i sætning 5, fremkommer følgende:
9a. 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑗 =𝜎𝑘∗𝑥𝑘
𝜎𝑖∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘 = 0
9b. 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 − 𝑥𝑘 ∗ 𝜎𝑘 = 𝑥𝑖 ∗ 𝜎𝑖 −𝜎𝑖∗𝑥𝑖
𝜎𝑘∗ 𝜎𝑘 = 0
Det ses således ved perfekt negativ korrelation er det muligt at eliminere risikoen, såfremt at sæt-
ning 7 er opfyldt. Skulle dette ikke være tilfældet vil der stadig være opnået en væsentlig risikore-
duktion.
For at anskueliggøre sammenhængen mellem risiko og korrelation ses det nedenfor i figur 2.1, tyde-
ligt at des højere korrelationskoefficienten er jo ringere er muligheden for at nedbringe den samlede
risiko.
Markowitz mean-variance portefølje teori
10
Figur 2.1, Forhold mellem afkast og risiko ved forskellige korrelationer
Kilde: egen tilvirkning
Det ses derfor tydelige hvordan risikoreduktionen er størst jo mere korrelationen afviger fra perfekt
korrelation.
2.3. Forventet afkast og standard afvigelse for en portefølje
Det samlede afkast for en portefølje bestående af flere aktiver, kan beregnes på følgende måde, ud
fra de individuelle afkast på aktiverne:10
𝐸 𝑟𝑝 = 𝑥𝑖 ∗ 𝐸 𝑟𝑖
𝑀
𝑖=1
[2.6]
Hvor E(rp) angiver porteføljens samlede afkast og M antallet af aktiver i porteføljen. Det ses at en
porteføljes afkast, er det vægtede gennemsnit af de forventede afkast for de enkelte aktiver. Hvis de
enkelte aktiver er fordelt med samme vægt i porteføljen kan xi med fordel erstattes med 1/M.
Hvor porteføljens afkast var et vægtet gennemsnit, er variansen dog mere kompleks en det vægtede
gennemsnit af de enkelte aktivers varians. Dette skyldes at der skal tages højde for korrelationen
mellem de enkelte aktiver. Således at porteføljens varians kan udregnes som følgende:11
𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖
2𝜎𝑖2 +
𝑀
𝑖=1
(𝑥𝑖𝑥𝑘𝜎𝑗𝑘 )
𝑀
𝑘=1𝑘≠𝑗
𝑀
𝑖=1
[2.7]
10 (Haugen 1997, s. 70)
11 (Elton 2003, s. 57)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Afkast
Risiko
Korrelation = 1 Korrelation = -1 Korrelation = 0
Markowitz mean-variance portefølje teori
11
2.4. Diversifikation
Når der tales om diversifikation betyder det blot at der bliver investeret i flere aktiver, således at
risikoen nedsættes. Det er i den forbindelse vigtigt at skelne mellem to former for risiko, den usy-
stematiske og den systematiske risiko, da det kun er muligt at bortdiversificere den usystematiske
risiko, se figur 2.2 nedenfor.
Figur 2.2, Illustration af usystematisk og systematisk risiko
Kilde: Egen tilvirkning
2.4.1. Systematisk risiko
Den systematiske risiko opstår som følge af den generelle usikkerhed der er i økonomien, denne
risiko kaldes også for markedsrisiko.12
I og med denne risiko ikke kun dækker over et enkelt aktiv,
men hele markedet, er det ikke muligt at bortdiversificere denne risiko ved inddragelse af flere akti-
ver. Der er dog den mulighed for at mindske den ved at investere globalt i stedet for nationalt. Dette
skyldes at hvad der er systematisk risiko i det ene land, påvirker ikke nødvendigvis et andet land,
således at det på den måde er muligt at bortdiversificerer yderligere risiko.13
Det er også under denne kategori finanskrisen tilhører, da den er udslaget af den generelle usikker-
hed der forefindes i verdensøkonomien. Denne risiko har senere vist sig ikke være mulig at bortdi-
versificere da krisen har haft mærkbar effekt verden over, således den ikke ville kunne nedsættes
vha. en international portefølje. Netop at krisen indgår i den systematiske del af risikoen gør også
det ikke er muligt at sikre sig mod finanskrisens risiko ved at have en veldiversificeret portefølje af
aktier. Det der derimod er muligt vha. Markowitz er at den gerne skulle give aktierne en mindre
12 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 30)
13 (Moffett, Eiteman & Stonehill 2009 s. 455)
Systematisk
risiko
Usystematisk
risiko
Antal aktiver
𝜎2(𝑟𝑝)
Markowitz mean-variance portefølje teori
12
andel af porteføljen således at f.eks. statsobligationer udgør langt størstedelen, da disse ikke er udsat
for samme markedsrisiko som aktierne.
2.4.2. Usystematisk risiko
Den usystematiske risiko opstår som følge af den risiko der er ved investering i det enkelte aktiv.
Det er vigtigt at huske på at en investor ikke modtager nogen belønning for den usystematiske risi-
ko. Denne form for risiko er derved specifik for det enkelte aktiv, og afhænger bl.a. af branchen
aktiven befinder sig i.
Det at den usystematiske risiko kan nedsættes kan illustreres ud fra porteføljens samlede risiko med
den antagelse at korrelationen mellem aktiverne er lig nul.
1. 𝜎𝑝 =𝜎
𝑀
Det ses således at ved inddragelsen af flere aktiver at den samlede porteføljes risiko nedsættes, dog
er effekten af inddragelsen af flere aktiver størst ved de første, grundet kvadratroden.
2.5. Den efficiente Rand
Den efficiente rand er sammensat således at den dækker over de kombinationsmuligheder, der fore-
ligger ud fra de mulige aktiver, der ved et givet afkast giver den laveste risikoen. I den efficiente
rands vendepunkt findes minimums varians porteføljen (MVP), det er den kombinations mulighed
hvor den laveste risiko forefindes. Alle de kombinationsmuligheder der findes der har et lavere af-
kast end MVP vil ikke indgå i den efficiente rand da der findes en kombinationsmulighed der giver
et højere afkast med den samme risiko, se figur 2.3.
Figur 2.3, Illustration af den efficiente og kritiske rand samt MVP
Kilde: Egen tilvirkning
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Afkast
RisikoEfficiente rand Kritiske rand MVP
Markowitz mean-variance portefølje teori
13
2.5.1. Den efficiente rand uden kortsalgsmuligheder
Rent praktisk udregnes en masse porteføljer der ligger på den efficiente rand, for at kunne illustrere
randen. Ved sammensætning af den efficiente rand uden at tage højde for muligheden for at kort-
salg, foregå på følgende måde ved at minimere variansen:
𝜎𝑝2 = 𝑥𝑖
2𝜎𝑖2 +
𝑀
𝑖=1
(𝑥𝑖𝑥𝑘𝜎𝑗𝑘 )
𝑀
𝑘=1𝑘≠𝑗
𝑀
𝑖=1
Under følgende betingelser:
1. 𝑥𝑖 = 1
𝑁
𝑖=1
2. 𝑥𝑖 ∗ 𝑟𝑖 = 𝑟𝑝
𝑁
𝑖=1
3. 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1,… .𝑁
Betingelse 1 sørger for at summen af de enkelte vægte for aktiverne i porteføljen giver 1, sammen
med betingelse 3 der gør at vægtene af de enkelte aktiver ikke er negative, og derved gør at det ikke
er muligt at foretage kortsalg. Betingelse 2 har til formål at minimere variansen for porteføljen ud
fra et givet konstantafkast. Konstantafkastet ændres i takt med de forskellige porteføljer udregnes så
den efficiente rand dannes.
Dette kan nemt løses i Excel vha. af solveren ved at indtaste de ovenstående betingelser, for at mi-
nimere variansen.
2.5.2. Minimums varians porteføljen
Grunden til at MVP netop er så interessant, er at det er den kombinationsmulighed hvorved den
laveste risiko forefindes. Intuitivt ville et sådan punkt udgøre det aktiv med den laveste risiko, men
dette er ikke tilfældet, da de enkelte aktiers korrelation imellem kan give en mulighed for at sam-
mensætte en portefølje, der har en lavere varians end aktivet med den laveste varians.
Ved beregningen af MVP vil der ikke blive taget højde for de enkelte aktivers afkast, da denne
kombination kun har for øje at skulle have den mindste varians ved at minimere [2.7]
Markowitz mean-variance portefølje teori
14
2.5.3. Den efficiente rand kombineret med et risikofrit aktiv
I det foregående blev den efficiente rand bestemt ud fra den antagelse, at det kun er muligt at inve-
stere i risikofyldte aktiver, såsom aktier. Da det ikke er sikkert at en investor udelukkende vælger at
placere alle sine midler i risikofyldte aktiver, må modellen naturligvis også tage højde for dette.
Kombinationsmulighederne mellem det risikofrie aktiv og den risikofyldte portefølje vil danne en
lineær sammenhæng kaldet kapitalmarkedslinien, se figur 2.4.
Figur 2.4, Den efficiente rand med kapitalmarkedslinien
Kilde: Egen tilvirkning
Det forventede afkast for en sådan kombination kan udregnes på følgende måde:14
𝐸 𝑟𝑐 = 1 − 𝑥𝑝 𝑟𝑅𝐹 + 𝑥𝑝 ∗ 𝑟𝑝 [2.8]
Hvor xp angiver andelen der investeres i den risikofyldte portefølje, samt rp er det afkast den risiko-
fyldte portefølje kan genererer.
Ligeledes kan risikoen udregnes på følgende måde
𝜎 𝑟𝑐 = 1 − 𝑥𝑝 2∗ 𝜎𝑅𝐹
2 + 𝑥𝑝2 ∗ 𝜎𝑝2 + 2 ∗ 𝑥𝑝 ∗ 1 − 𝑥𝑝 ∗ 𝜎𝑅𝐹 ∗ 𝜎𝑝 ∗ 𝜌𝑅𝐹𝑃 [2.9]
= 𝑥𝑝 ∗ 𝜎𝑝
14 (Elton 2003 s. 85)
0
2
4
6
8
10
12
2 3 4 5 6 7 8 9
Markowitz mean-variance portefølje teori
15
Det ses at udregningen af risikoen kan forkortes ned, således at det bliver andelen af den risikofyld-
te portefølje gange dennes risiko. Dette skyldes at der udnyttes at det risikofrie aktiv har en risiko på
nul, samt at kovariansen mellem de to aktiver er lig nul.
2.5.3.1. Kapitalmarkedslinien
Den lineære sammenhæng mellem de to muligheder kan beskrives ved at substituere [2.8] ind i
[2.9] således følgende udtryk fremkommer:15
𝐸 𝑟𝑐 = 𝑟𝑅𝐹 +𝑟𝑝 − 𝑟𝑅𝐹
𝜎𝑃∗ 𝜎𝐶 [2.10]
Det ses at kapitalmarkedslinien [2.10] består af to dele, en konstant, den risikofrie rente, samt en
hældningskoefficient der er udtryk for risikopræmien per risikoenhed multipliceret med den kombi-
nerede risiko, også kaldet Reward-to-Variability ratioen (RtV). Hældningskoefficienten er også
kendt som Sharpes ratio, dette performancemål vil blive benyttet senere under performance da den
forklare risikopræmien pr risikoenhed en investor modtager. Hældningskoefficienten findes ved den
kombinationsmulighed på den efficiente rand med den højeste Sharpe ratio.
Såfremt at investoren skulle have mulighed for at låne til den risikofrie rente, og placere de lånte
midler i den risikofrie portefølje, ville denne have mulighed for at geare sin investering.
2.5.4. Den efficiente rand med kortsalgsmuligheder
Kortsalg går i al sin enkelthed ud på at en investor låner et aktivt af en anden, med den overbevis-
ning om at aktivets værdi vil falde i den kommende periode, hvor aktivet er lånt. Investoren sælger
aktivet for så senere at købe det tilbage igen, for at overdrage det tilbage igen. Hvis der udbetales
dividender i perioden aktivet er lånt, skal der ske betaling til vedkommende det er lån fra.16
Rent praktisk foregår sammensætningen af porteføljer på samme måde som ved sammensætninger
uden kortsalg, dog fjernes restriktionen om at de enkelte vægte skal være positive.
2.6. Delkonklusion
Der er i dette afsnit gennemgået hvorledes det er muligt at sammensætte den mest efficiente porte-
følje ud fra Markowitz porteføljeteori. Det grundlæggende er at finde de enkelte aktivers gennem-
snitlige afkast, hvor det geometriske var det bedste samt mest praktiske til at beskrive afkastet. Ud
15 (Elton 2003 s. 86)
16 (Haugen 1997 s. 69)
Markowitz mean-variance portefølje teori
16
fra dette kunne de enkelte aktivers risiko, samt korrelation udregnes. Således at der ud fra disse tre
nøgletal er muligt at maksimere en sammensætnings afkast for en given risiko.
Dataanalyse
17
3. Dataanalyse
Dette kapitel har til formål at præsentere de enkelte elementer der indgår i datamaterialet der vil
blive brugt til at fremstille de enkelte porteføljer. Derudover vil data sættet blive testet for om hvor-
vidt efterfølgende konstruktioner skal sammensættes på baggrund af dags eller ugedata, alt afhæn-
gig af hvilken serie der opfylder betingelsen om normalfordeling bedst.
3.1. Datagrundlag
Dette afsnit vil både omhandle det bagvedliggende valg af datamateriale til sammensætning af de
enkelte porteføljer, samt en beskrivelse af det benchmark der vil blive benyttet i performance afsnit-
tet.
3.1.1. Datamateriale til porteføljekonstruktion
Selve datamaterialet vil indeholde to former for aktiver, aktier og obligationer. De aktier der indgår,
er de aktier der har været med i C20-indekset gennem perioden 1.1.2000 til 31.12.2008. Aktier der
har været en del af indekset, men ikke har været med gennem hele perioden er blevet fravalgt. Det
er således blevet til 16 aktier der overholder kravet, se tabel 3.1. Derudover indgår der 3 obligatio-
ner, valget er faldet på danske statsobligationer for at eliminere kreditrisikoen.
Tabel 3.1 Oversigt over datamaterialet
Aktier Obligationer
Carlsberg
Danisco
Danske Bank
DSV
FLSmidth
Lundbeck
Jyske Bank
Maersk A
Maersk B
NKT
Norden
Novo Nordisk
Sydbank
Topdanmark
Vestas
William Demant
2 års statsobligation indeks
5 års statsobligation indeks
10 års statsobligation indeks
Kilde: Egen tilvirkning
Grunden til at dataperioden er så lang, er for at sikre markedet har gennemgået mindst en cyklus
gennem perioden, således at materialet både indeholder op samt nedture i markedet, jf. figur 3.1.
Dataanalyse
18
Figur 3.1, Afkast serie for C20 indekset
Kilde: Egen tilvirkning
Ved at benytte historiske data der strækker sig så langt tilbage er det muligt at sikre en efficient por-
teføljekonstruktion, jf. (Elton 2003 s. 90). Der er dog den forudsætning at dataet ikke ændres væ-
sentlig over tid, således at der benyttes stationært data. Dette kan måske vise sig at være et problem,
der er derfor der bliver testet for hvorvidt datamaterialet er normalfordelt i de efterfølgende afsnit.
3.1.1.1. Afkastserie for aktier
Afkastet for aktierne er beregnet ud fra et ”return index” fra Datastream der tager højde for dividen-
de udbetalinger i løbet af perioden. For at tage højde for dividende udbetalinger er der den forud-
sætning at dividende udbetalingerne geninvesteres i samme aktiv. Således at indekset kan beregnes
på følgende måde:17
𝑅𝐼𝑡 = 𝑅𝐼𝑡−1 ∗𝑃𝐼𝑡𝑃𝐼𝑡−1
∗ 1 +𝐷𝑌𝑡100
∗1
𝑁 [3.1]
Hvor 𝑅𝐼𝑡 er return indekset dag t, 𝑃𝐼𝑡 pris indekset for dag t, 𝐷𝑌𝑡 er dividenden i % dag t og N er
antal handelsdage i løbet af året, hvilket er sat til 260 dage. Herefter beregnes afkastet ved hjælp af
[2.1], der giver den logaritmiske ændring i indekset.
3.1.2. Den risikofrie rente
Da den risikofrie rente er af ren teoretisk karakter, hvor der er et sikkert og forudsigeligt afkast.18
Hertil benyttes renten på 10 års statsobligation. Renten vil blive omregnet således at den passer til
17 Datastream
18 (Bodie, Merton 2000 s. 323)
0
100
200
300
400
500
600
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Dataanalyse
19
selve porteføljekonstruktionen. Således at hvis der benyttes ugedata, vil renten også blive beregnet
ud fra et ugentligt afkast.
3.1.3. Benchmark
Til de senere performance test vil der blive konstrueret et benchmark bestående af 40 % aktier og
60 % obligationer. For at simplificere benchmarket så meget som muligt, vil C20-indekset udgøre
aktierne og indekset for den 10 årige statsobligation udgøre obligationsdelen.
3.2. Test af normalfordeling
Følgende test har dels til formål at finde ud af om hvorvidt porteføljekonstruktionen skal konstrue-
res ud fra afkastet af dags- eller ugedata. Da Markowitz porteføljeteori bygger på forudsætningen
om normalfordeling vil der blive set på både skævheden samt kurtosis der undersøge topstejlheden.
Disse to test vil blive opfuldt af Jarque-Bera test, hvor både skævhed samt kurtosis indgår i vurde-
ringen om hvorvidt afkastene følger en normalfordeling
3.2.1. Skewness
Skævhed er et udtryk for om hvorvidt middelværdien afviger fra medianen, hvilket vil sige om for-
delingen kan betragtes som symmetrisk. Ved eksempelvis en højreskæv fordeling vil middelværdi-
en være større end medianen, dette vil resultere i en positiv testværdi, og omvendt ved en venstre-
skæv fordeling.
Skævheden han beregnes på følgende måde:19
𝑆 =1
𝑁
𝜇 − 𝜇
𝜎
3𝑁
𝑖=1
[3.2]
3.2.2. Kurtosis
Ved at teste for kurtosis testes der for om afkastet centrere sig om middelværdien eller om fordelin-
gen har flade haler. Ved en forholdsvis høj kurtosis fremkommer der fede haler, hvilket vil sige der
er flere ekstreme værdier i forhold til en normalfordeling.
19 Eviews User Guide
Dataanalyse
20
Kurtosis beregnes på følgende måde:20
𝐾 =1
𝑁
𝜇 − 𝜇
𝜎
4𝑁
𝑖=1
[3.3]
Hvis afkastserien har en kurtosis der ligger over 3, kaldes denne fordeling for leptokurtisk, hvilket
gør at fordelingen netop har større sandsynlighed for fede haler.21
3.2.3. Jarque-Bara test
Til at samle de to test om skævhed samt kurtosis benyttes Jarque-Bara testen, der samler de to test i
en, for at kunne konkludere hvorvidt afkastserien følger en normalfordeling.
Jarque-Bara testen kan udregnes på følgende måde:22
𝐽𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒 − 𝐵𝑎𝑟𝑎 =𝑁
6 𝑆2 +
(𝐾 − 3)2
4 [3.4]
Hvor S er skævheden og K kurtosis. Jarque-Bara værdien skal vurderes ud fra en χ2 fordeling med 2
frihedsgrader. Det giver følgende hypotese ved testen:
H0: Afkastet følger en normalfordeling
H1: Afkastet følger ikke en normalfordeling
Nul-hupotesen forkastes såfremt at Jarque-Bara værdien er højere end 5,99 ved et konfidensniveau
på 5 %.
3.2.4. Test af datamateriale for normalfordeling
For at finde ud af hvorvidt det datamateriale der skal ligge til grund for fremtidige porteføljekon-
struktioner skal baseres på dags eller uge data, er de to datamaterialers logaritmiske afkast blevet
analyseret ud fra de tre føromtalte test og samlet i tabel 3.2.
Det ses tydeligt ud fra tabellen at der er problemer ved begge afkastserier, et af de tydeligste pro-
blemer er at der ikke er en eneste afkastserie, hverken på dags eller ugebassis, der lever op til den
føromtalte kritiske værdi på 5,99 for en 𝜒2 fordeling, H0 hypotesen om normalfordeling kan derfor
forkastes.
20 Eviews User Guide
21 (Verbeek 2004 s. 400)
22 Eviews User Guide
Dataanalyse
21
Tabel 3.2 Oversigt over normalfordelingstesten
Dagsdata Ugedata
1.1.2000 til 31.12.2004 1.1.2004 til 31.12.2008 1.1.2000 til 31.12.2008
Skævhed Kurtosis JB Skævhed Kurtosis JB Skævhed Kurtosis JB
Carlsberg -0,615 11,93 4.426,1 -0,468 13,95 5.252,8 -0,834 10,92 1.280,4
Danisco -0,372 10,57 3.143,4 0,180 8,07 1.121,1 -0,699 10,07 1.010,7
Danske Bank 0,034 7,31 1.010,2 -0,734 14,33 5.671,8 -2,463 24,96 9.896,7
DSV -0,297 6,90 846,9 0,606 10,54 2.534,2 -0,227 6,68 268,6
FLSmidth 0,165 9,96 2.643,6 -0,089 7,71 963,6 -0,489 6,48 255,6
Lundbeck -1,068 14,27 7.152,7 -0,332 13,95 5.233,1 -0,785 8,70 683,7
Jyske Bank 0,298 8,14 1.454,2 -0,797 9,17 1.765,9 -1,453 10,99 1.413,9
Maersk A 0,081 10,75 3.265,8 -0,289 9,19 1.677,9 -0,021 5,79 152,3
Maersk B 0,879 14,53 7.394,8 -0,349 9,52 1.866,5 0,004 4,76 60,6
NKT 0,952 11,44 4.067,1 -0,638 9,84 2.102,7 0,867 11,35 1.420,8
Norden 1,558 14,86 8.170,5 -0,679 8,78 1.530,6 0,326 9,96 955,0
Novo Nordisk -0,637 16,67 10.242,9 0,034 8,11 1.136,8 -0,873 8,32 611,8
Sydbank 1.323 13,55 6.436,9 -1,291 19,04 11.465,3 -3,689 36,03 22.378,1
Topdanmark -0,217 7,30 1.014,4 0,303 9,56 1.886,1 0,057 7,12 332,5
Vestas 0,132 20,52 16.697,2 -0,285 11,89 3.448,4 -0,699 8,58 646,9
William Demant -0,047 11,79 4.199,9 -0,554 14,40 5.704,1 0,227 7,84 461,9
2 års stats obl. -0,648 6,48 749,6 -0,378 13,83 5.125,7 -0,085 6,29 242,6
5 års stat obl. -0,554 4,99 283,7 0,829 21,58 15.126,9 -0,168 4,86 79,9
10 års stat obl. -0,631 4,39 191,5 0,236 7,59 924,2 -0,211 4,36 44,9
Anm.: Da der i studenterudgaven af Eviews er lagt begrænsninger på hvor mange observationer der må in d-
gå i en serie er analysen for dagsdata opdelt i to perioder.
Kilde: Egen tilvirkning, beregningen er foretaget i Eviews , vedlagt i bilag 1
Selv om der ikke er nogle af ovenstående afkastserier der kan betragtes som normalfordelt, er der
ingen tvivl om at ugedata er bedre end dagsdata. Dette ses ved at så godt som alle Jarque-Bara vær-
dier er lavere end tilsvarende værdier for dagsdata.
Problemerne med normalfordeling skyldes til dels at afkastserierne har meget høje kurtosis værdier,
der betyder at der er en tendens til fede haler, altså ekstreme værdier forekommer. Dette sammen-
holdt med at langt de fleste afkast serier har problemer med skævhed, gør at de ikke følger en nor-
malfordeling.
Tages der f.eks. udgangspunkt i Sydbank, der har problemer med at afkast serien er yderst skævt
fordel, hvilket føre til at også kurtosis bliver meget høj, pga. der er nogle ekstrem negative afkast.
Dataanalyse
22
Dette bevirker også at når det gennemsnitlige afkast udregnes vil denne værdi være højere end me-
dianen. Intuitivt vil en investor foretrække en højreskæv aktie frem for en venstreskæv, da der fore-
kommer færre værdier der afviger negativt i forhold til middelværdien. Dette er der dog ikke i Mar-
kowitz model mulighed for at tage hensyn til fordelingens skævhed.
Ud fra ovenstående analyse konkluderes der at der er store problemer med normalfordelingen, men
afkastserier baseret på ugedata har en fordeling der er mere normalfordelt end dagsdata. Der vil
derfor blive benyttet ugedata til at konstruere de fremtidige porteføljer, samt performance analyse.
Da der er en klar forudsætningsbrud på normalfordelingen, kan der stilles spørgsmålstegn ved hvor-
vidt de efterfølgende porteføljekonstruktioner er retvisende.
Porteføljesammensætning – mean-variance
23
4. Porteføljesammensætning med mean-variance
Efter at have gennemgået den teoretiske del, samt analyseret datagrundlaget der ligger til grund for
porteføljesammensætning, vil der i dette afsnit blive konstrueret porteføljer ud fra Markowitz klas-
siske teori med mean-variance.
Det vil indledningsvist blive undersøgt hvordan de enkelte værdier der ligger til grund for porteføl-
jesammensætningen, afkast, risiko samt kovarians, har udviklet sig gennem 2008. Hvorefter der vil
blive sammensat porteføljer for hver måned gennem 2008, for at se hvordan sammensætningen har
udviklet sig gennem finanskrisen. Dette vil ske både med restriktion om kortsalg, men også uden
for at se om det har været muligt at udnytte kortsalg gennem krisen til at skabe et merafkast. Til slut
vil de enkelte porteføljers performance blive evalueret ud fra det sammensatte benchmark. Selve
performance analysen har til formål at undersøge hvorvidt Markowitz porteføljeteori har kunne ge-
nererer et bedre afkast end et simpelt benchmark.
4.1. Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver
Overordnet set var 2008 et meget dårligt aktieår, grundet de voldsomme fald finanskrisen medførte
i den sidste del af året, jf. figur 4.1. I det efterfølgende vil der blive analyseret hvordan dette fald har
påvirket de bagvedliggende værdier, til beregning af porteføljesammensætning.
Figur 4.1, Graf over afkast-index for C20 indekset, år 2008
Kilde: engen tilvirkning
4.1.1. Udvikling i afkastserien
Spørgsmålet er hvordan udsvingene i aktiekurserne kommer til udtryk i porteføljekonstruktionen,
her tænkes specielt på de meget ekstreme fald der skete i det sidste kvartal af 2008. Derfor er de
200
250
300
350
400
450
500
januar april juli oktober
Porteføljesammensætning – mean-variance
24
værdier der indgår til porteføljesammensætning samt de reelle værdier blevet samlet i bilag 2, hvor
de efterfølgende konklusioner er truffet på baggrund af disse beregninger. Ud fra bilaget ses det at
de beregnede afkast, som porteføljekonstruktioner er blivet sammensat på baggrund af, er faldet i
takt med at indekset også har tabt værdi. Men forskellen på de beregnede og reelle værdier stiger
markant hen over det sidste kvartal i 2008. Derfor er det blevet en kendsgerning at de voldsomme
kursfald har forplantet sig i det store datamateriale, således at de benyttede afkast ligger væsentlig
over det reelle afkast, og dermed ikke er retvisende. Dette er også i forlængelse af at der jf. (Elton
2003) skulle benyttes historisk data lang tid tilbage for at sikre at porteføljesammensætningen blev
så efficient som muligt. Dette var netop for at sikre at dataene var stationære, og at ekstreme udfald
ikke ville påvirke billedet i det lange løb. Det er også ifølge (Elton 2003) muligt at der bliver juste-
ret på afkastene så de bedre matcher investors forventninger til fremtiden. Dette ville også være
muligt at gøre her, men da det ikke er en del af Markowitz teori, vil det ikke blive forsøgt at ændre
datamaterialet således at det er stemmer bedre overens med de reelle værdier. Dette sker til dels
pga. det kan være svært at spå om hvordan de fremtidige afkast vil se ud, men vigtigst af alt at det
ikke var en del af den oprindelige teori. Et af problemerne med at de voldsomme kursfald har for-
plantet sig i datamaterialet er at det på det på kort sigt kan komme til at koste investoren dyrt, da
afkastene ligger langt fra de realiserede afkast.
Det gennemsnitlige afkast for samtlige aktier er positivt i starten af 2008, men de ekstreme udsving
der har været i afkastet har gjort at Maersk og Carlsberg levere et negativt afkast i november og
december måned. Men det er samtidigt opsigtsvækkende at det gennemsnitlige afkast for Maersk
har ligget på niveau med de 3 statsobligationer, således at aktien ikke har kunnet generere et mera-
fakst svarende til den ekstra risiko en investor har ved en Maersk aktie.
Den aktie der performer bedst på afkastsiden er uden tvivl Norden, den ligger gennemsnitlig med et
afkast der er dobbelt så højt som den nærmeste, NKT uden at tage hensyn til den medfølgende risi-
ko. Det skal dog også bemærkes at det har været de to aktier, der har været de største afvigelser på
gennem perioden, mellem de anvendte værdier og de reelle værdier.
4.1.2. Udviklingen af standart afvigelserne
Nu er det ikke kun afkastet der har betydning for porteføljesammensætningen, men i stor grad også
hvordan risikoen er for de enkelte aktiver og imellem. Det blev i foregående afsnit konkluderet at
det store kursfald ikke blev voldsomt synligt i datamaterialet, grundet dets omfang. Det samme er
Porteføljesammensætning – mean-variance
25
gældende for standart afvigelserne, de ligger mere eller mindre stabilt gennem hele perioden.23
De
stiger dog en smule mod slutningen af 2008, dette skyldes naturligvis de voldsomme udsving der
har været i afkastet mod slutningen af 2008.
Ved sammenligning af standart afvigelserne mellem aktier og obligationer ses det meget tydeligt at
der ikke er samme risiko ved at investere i obligationer, frem for aktier. Dette forhold skal ses i ly-
set af det laver afkast obligationerne generere i forhold til aktierne. Således at der er meget god
sammenhæng mellem risiko og afkast.
Vestas ligger med den klart højeste standart afvigelse gennem hele perioden, denne høje standart
afvigelse skylde de ekstreme udsving der er i afkastserien gennem hele perioden for datamaterialet,
dette ses specielt i 2008, jf. figur 4.2.
Figur 4.2, Afkast serie for Vestas
Kilde: egen tilvirkning i Eviews
Disse ekstreme udsving kan medføre at der forekommer heteroskedasticitet, hvilket bevirker at de
udregnede standart afvigelserne ikke giver et retvisende billede for de reelle standart afvigelser. At
standart afvigelserne ikke giver er retvisende billede, får også betydning for udregningen af den
efficiente rand, hvilket gør at de beregnede MVP og tangentporteføljer måske ikke er de korrekte.
Således at en investor i givet fald vil påtage sig en højere eller lavere risiko, end det forventede ved
sammensætningen af disse porteføljer.
23 Se bilag 2
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
00 01 02 03 04 05 06 07 08
VESTAS
Porteføljesammensætning – mean-variance
26
De tre bankaktier i C20 indekset, Danske Bank, Jyske Bank samt Sydbank har været nogle af de
aktier der har været hårdest ramt af krisen i slutningen af 2008. De oplevede alle meget store kurs-
fald, hvilket giver anledning til en stigende standart afvigelser, men som alle de andre aktier er de
beregnede standart afvigelserne ikke retvisende, således at det kan se ud som om at en investor ikke
vil løbe en så stor risiko ved investeringen af disse aktier, som der reelt set er.
4.1.3. Udviklingen af korrelationen mellem aktiverne
Korrelationenen mellem de enkelte aktiver er i samspil med de enkelte standart afvigelser med til at
give det overordnede billede af den risiko en investor løber ved investeringen i en given portefølje,
da den rette kovarians mellem aktiver kan være med til at nedsætte den samlede risiko, vha. diversi-
fikation. For at bortdiversificerer så meget risiko som muligt, skal korrelationskoefficienterne være
tætte på nul eller negative. For simplificeringens skyld vil der i dette afsnit kun blive set på korrela-
tionskoefficienterne, da kovarianserne som tidligere nævnt kan være svære at fortolke.
4.1.3.1. Korrelation for obligationerne
Overordnet ses der at korrelationen obligationerne imellem er meget stor, der forekommer næsten
perfekt positiv korrelation, jf. tabel 4.1. Dette gør at det ikke er muligt at nedsætte porteføljens risi-
ko synderligt ved inddragelse af flere obligationer, men dette gælder kun for porteføljekonstruktio-
ner uden kortsalg. Det vil derimod være muligt at fjerne risikoen ved at kortsælge den ene og købe
den anden i det rette omfang.
Tabel 4.1, Oversigt over korrelationskoefficienter mellem obligationer og aktier, jan 2008
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
2 års obl 0,09 0,09 0,03 0,05 0,21 0,02 0,20 0,22 0,05 0,04 0,19 0,14 0,12 0,12 0,11 0,21 1,00 5 års obl 0,07 0,08 0,01 0,02 0,20 0,02 0,17 0,18 0,06 0,08 0,15 0,16 0,11 0,12 0,15 0,23 0,85 1,00
10 års obl 0,03 0,06 0,05 0,02 0,16 0,04 0,15 0,12 0,04 0,10 0,12 0,15 0,08 0,06 0,12 0,21 0,72 0,90 1,00
Anm.: Røde korrelationskoefficienter angiver at de er negative.
Kilde: Egen tilvirkning, Excelfilen porteføljesammensætning jan.
Ligeså interessant en observation er at korrelationen imellem obligationerne og aktierne er negativ,
hvilket gør at muligheden for risikonedsættelse er til stede, ved at kombinere aktier og obligationer i
porteføljerne. Gennem 2008 er disse korrelationskoefficienter faldet yderligere således det er muligt
at nedsætte risikoen ydermere, jf. tabel 4.2. Dette skyldes at obligationerne ikke har haft samme
nedgang som aktierne gennem krisen samt genereret et positivt afkast i perioden.24
At korrelationen
24 Bilag 2
Porteføljesammensætning – mean-variance
27
er faldet yderligere gennem året, åbner op for at det er muligt at nedsætte risikoen yderligere, hvis
der ses isoleret set ud fra kovarianserne, men det skal huskes på at standart afvigelserne også steg
gennem året, således at denne mulighed er begrænset.
Tabel 4.2, Ændring af korrelationskoefficienter gennem 2008 mellem obligationer og aktier
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
2 års obl 0,06 0,06 0,00 0,06 0,03 0,05 0,06 0,01 0,03 0,01 0,01 0,04 0,05 0,05 0,02 0,04 0,00 5 års obl 0,06 0,06 0,03 0,06 0,01 0,07 0,04 0,03 0,10 0,02 0,01 0,03 0,05 0,00 0,02 0,07 0,08 0,00
10 års obl 0,08 0,08 0,05 0,05 0,05 0,03 0,00 0,05 0,05 0,01 0,05 0,02 0,04 0,03 0,00 0,02 0,02 0,05 0,00
Anm.: Røde korrelationskoefficienter angiver negativ udvikling i korrelationskoefficienterne
Kilde: Egen tilvirkning
Samtidig med at korrelationen overfor aktierne blev mere negativ, faldt den indbyrdes korrelation
mellem obligationerne en smule, hvilket giver en øget mulighed for yderligere diversifikations ef-
fekt ved at sprede investeringen ud på flere obligationer. Det skal dog bemærkes at de stadig er
stærkt positivt korreleret, således af effekten er begrænset ude kortsalg.
4.1.3.2. Korrelation for aktierne
For aktiernes vedkommen ses det at den indbyrdes korrelation er højest mellem de to Maersk aktier,
jf. tabel 4.3, hvilket ikke er så besynderligt da det er samme selskab der er bagvedliggende, dette
bevirker ligesom det var gældende for obligationerne imellem, en begrænset diversifikations effekt
uden kortsalg.
Korrelationen mellem aktierne er alle positive i begyndelsen af 2008, dog alle langt fra at være per-
fekt korreleret, således der vil kunne være en begrænset risikoreduktion tilstede ved porteføljer ude-
lukkende bestående af aktier. Så for at opnår den bedst mulige diversifikationseffekt skal aktierne
kombineres med obligationer, da disse som føromtalt korrelerede negativt med aktierne.
Porteføljesammensætning – mean-variance
28
Tabel 4.3, Oversigt over korrelationskoefficienter mellem aktier, jan. 2008
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
Maersk A 1,00
Maersk B 0,89 1,00 Carlsberg B 0,15 0,18 1,00
Norden 0,16 0,16 0,02 1,00 DSV B 0,33 0,37 0,17 0,08 1,00
Danisco 0,14 0,18 0,21 0,06 0,28 1,00 Danske Bank 0,23 0,21 0,18 0,02 0,29 0,20 1,00
Flsmidth 0,26 0,25 0,21 0,08 0,37 0,18 0,26 1,00 Jyske Bank 0,20 0,20 0,23 0,10 0,25 0,21 0,24 0,22 1,00
H Lundbeck 0,16 0,17 0,12 0,09 0,20 0,10 0,16 0,12 0,08 1,00 NKT 0,28 0,27 0,14 0,14 0,25 0,20 0,19 0,38 0,17 0,13 1,00
Novo Nordisk 0,20 0,21 0,19 0,07 0,31 0,17 0,24 0,16 0,08 0,22 0,17 1,00 Sydbank 0,20 0,18 0,10 0,11 0,27 0,20 0,34 0,22 0,36 0,07 0,18 0,15 1,00
Topdanmark 0,24 0,22 0,14 0,06 0,30 0,20 0,30 0,29 0,25 0,14 0,20 0,13 0,25 1,00 Vestas 0,18 0,16 0,17 0,14 0,31 0,14 0,25 0,29 0,19 0,15 0,26 0,24 0,18 0,15 1,00
William Demant 0,17 0,14 0,10 0,01 0,30 0,19 0,23 0,17 0,10 0,14 0,23 0,25 0,16 0,19 0,29 1,00
Kilde: Excelarket ”porteføljesammensætning jan”
Det ses at Norden har forholdsvise lave korrelations koefficienter set i forhold til de øvrige aktier,
dog er korrelationen med Maersk aktierne højst, hvilket er meget naturligt, da de begge er indenfor
den samme branche, på trods af at Maersk også opererer indenfor mange andre brancher. At bran-
cherne indbyrdes korrelerer med hinanden ses også inden for de tre bankaktier, Sydbank, Danske
Bank og Jyske Bank. Det at brancherne korrelere med hinanden kan være med til at åbne op for en
mulighed for bortdiversifikation ved inddragelsen af kortsalg, men det betyder samtidig også der vil
være en forhøjet risiko ved at placere store andele af porteføljen indenfor samme branche. De høje-
ste korrelationer skal dog findes inden for DSV aktien, der kun har en korrelationskoefficient under
0,2 overfor Carlsberg, hvilket gør at den umiddelbart ikke virker så interessant set ud fra korrelatio-
nen.
Der har gennem starten af 2009 været en del debat omkring porteføljeteori gennem krisetiden i ma-
gasinet ”Journal of Financial Planning”, en af konklusionerne i denne debat har været at det eneste
der går op i krisetider er kovariansen.25
Denne tendens ses også for aktierne i C20-indekset, jf. tabel
4.4, dog med to små undtagelser der er uden den store betydning grundet ændringens størrelse. Det
er dog stadig en kritisk udvikling da det er med til at nedsætte muligheden for diversifikation yder-
25 (Holton 2009)
Porteføljesammensætning – mean-variance
29
ligere, det må dermed også formodes at den samlede risiko på porteføljerne vil stige gennem 2008
sammenholdt med de stigende standart afvigelser.
Tabel 4.4, Ændring af korrelationskoefficienter gennem 2008 mellem aktierne
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
Maersk A 0,00
Maersk B 0,02 0,00 Carlsberg B 0,14 0,13 0,00
Norden 0,17 0,17 0,18 0,00 DSV B 0,11 0,09 0,15 0,16 0,00
Danisco 0,11 0,10 0,03 0,16 0,01 0,00 Danske Bank 0,13 0,14 0,18 0,28 0,07 0,20 0,00
Flsmidth 0,13 0,13 0,14 0,22 0,11 0,10 0,13 0,00 Jyske Bank 0,09 0,10 0,08 0,18 0,06 0,10 0,25 0,07 0,00
H Lundbeck 0,03 0,03 0,02 0,07 0,01 0,05 0,08 0,04 0,06 0,00 NKT 0,07 0,07 0,12 0,10 0,08 0,03 0,09 0,06 0,07 0,04 0,00
Novo Nordisk 0,05 0,05 0,05 0,10 0,04 0,03 0,07 0,08 0,08 0,03 0,04 0,00 Sydbank 0,15 0,15 0,22 0,22 0,08 0,19 0,30 0,11 0,22 0,10 0,11 0,08 0,00
Topdanmark 0,09 0,10 0,14 0,14 0,09 0,06 0,10 0,09 0,01 0,04 0,05 0,09 0,08 0,00 Vestas 0,12 0,12 0,10 0,15 0,06 0,12 0,13 0,10 0,08 0,05 0,05 0,05 0,16 0,10 0,00
William Demant 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,02 0,02 0,08 0,00 0,01 0,04 0,02 0,02 0,05 0,01 0,00
Kilde: Egen tilvirkning
De korrelationskoefficienter der har haft den mest markante stigning er Sydbank, Norden samt Dan-
ske bank. Korrelationen mellem de tre bankaktier er gennem 2008 steget meget kraftigt, således at
den indbyrdes korrelationskoefficient mellem Danske bank og Sydbank kom op på 0,64 i decem-
ber.26
4.2. Porteføljer uden kort salg
Der vil i det efterfølgende blive sammensat en portefølje primo hver måned gennem 2008, af disse
konstruktioner vil der blive gennemgået hvordan udviklingen har været inde for MVP samt tan-
gentporteføljerne.27
4.2.1. Sammensætning af MVP
Udviklingen i MVP gennem 2008 har været rimelig stabil for vægtningen mellem aktier og obliga-
tioner, hvor der gennem hele perioden har været en klar overvægtning af obligationer i forhold til
aktier. Denne overvægtning af obligationer, er dog ikke overraskende. Det skyldes til dels den lave
26 Excelarket ”Porteføljemodel dec”
27 Alle konstruktioner i excel ark kan findes på den vedlagt CD i mappen ”porteføljeoptimering”
Porteføljesammensætning – mean-variance
30
standart afvigelse for obligationerne, men også den negative korrelation obligationer og aktier imel-
lem. Den negative korrelation mellem aktierne gør at den kan bruges til at nedsætte risikoen, såle-
des at porteføljerne kan få en lavere risiko end hvis der kun var investeret i obligationer. Netop på
denne baggrund er det også lykkedes at skabe porteføljer der har en lavere risiko end den 2 årige
statsobligation.28
Tabel 4.5, Porteføljekarakteristika for MVP uden kortsalg
Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV
Januar 2,2 % 97,8 % 0,081 0,141 -0,003
Februar 2,9 % 97,1 % 0,086 0,151 0,049 Marts 2,4 % 97,6 % 0,083 0,142 0,042 April 2,5 % 97,5 % 0,082 0,143 0,044 Maj 2,5 % 97,5 % 0,082 0,144 0,009 Juni 2,7 % 97,3 % 0,080 0,152 -0,020 Juli 2,6 % 97,4 % 0,078 0,158 -0,081 August 2,5 % 97,5 % 0,077 0,158 -0,078 September 2,5 % 97,5 % 0,079 0,159 -0,031 Oktober 2,7 % 97,3 % 0,080 0,159 -0,012 November 1,7 % 98,3 % 0,077 0,168 -0,034
December 1,6 % 98,4 % 0,079 0,170 0,013
Gennemsnit 2,4 % 97,6 % 0,080 0,154 -0,009 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg”
Det ses af ovenstående tabel 4.5 at Markowitz model forudsiger at aktierne skal indgå i en mindre
andel gennem det sidste kvartal af 2008. Dette sker på trods af at aktierne aldrig har udgjort nogen
væsentlig andel af de samlede porteføljer. De stigende standart afvigelser påvirker også sammen-
sætningerne i sidste par måneder af 2008, hvor det samlede porteføljes risiko stiger, men stigningen
skyldes også at det ikke udnyttes i samme omfang at aktierne har en negativ korrelation til obligati-
onerne. At porteføljerne indeholder så store andele af obligationer er ikke nogen overraskelse, da de
har en væsentlig lavere standart afvigelse end aktierne, for ved MVP bliver der kun fokuseret på at
nedsætte risikoen uden at tage højde for det dertilhørende afkast..
Det sidste element i tabel 4.5 er RtV også kaldet sharpe-indekset, viser som tidligere nævnt den
risikopræmie en investor modtager pr ekstra risiko i forhold til den risikofrie rente. Dette indeks har
gennemsnitlig været negativ gennem perioden, men der har også været enkelte måneder gennem
2008 hvor denne har været positiv. Det ville derfor have været mere fordelagtigt at placere investe-
ringerne i 10 års statsobligation, da denne er brugt som den risikofrie rent, i de perioder hvor RtV
har været negativ, taget risikoen i betragtning.
28 Bilag 2
Porteføljesammensætning – mean-variance
31
Ses der på allokeringen af den store andel af obligationer, viser det sig at der er en klar overvægt-
ning af den 2 årige statsobligation gennem hele 2008. Denne obligation tegner sig stort set som den
eneste obligation, dog er der i februar og marts investeret mindre andele i den 5 årige statsobligati-
on. Den 10 årige statsobligation indgår ikke på noget tidspunkt i MVP, dette skyldes at den gennem
hele perioden har en højere standart afvigelse end de to andre obligationer.29
Det kan dog ud fra
samme tankegang omkring standart afvigelser syntes besynderligt at den 5 årige statsobligation ind-
går i de to måneder nu hvor dens standart afvigelse er højere end den 2 årige statsobligation. Forkla-
ringen på dette skal findes i korrelationen til aktierne, da denne har nogle korrelationer der er mere
negative end den 2 årige statsobligation
Tabel 4.6, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP
Aktier Obligationer
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
---------------------------------------------------------------- % ---------------------------------------------------------------- --------- % ---------
Jan. 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,2 0,2 0,2 0,0 0,0 0,4 97,8 0,0 0,0
Feb. 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0 0,7 0,4 0,1 0,0 0,2 0,3 0,5 0,0 0,0 0,4 91,2 5,9 0,0
Mar. 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,2 0,2 0,3 0,0 0,0 0,4 97,6 0,0 0,0
Apr. 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,2 0,2 0,4 0,0 0,0 0,4 97,5 0,0 0,0
Maj. 0,0 0,0 0,0 0,2 0,2 0,0 0,6 0,3 0,1 0,0 0,2 0,2 0,3 0,0 0,0 0,4 97,5 0,0 0,0
Jun. 0,0 0,2 0,0 0,2 0,1 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,1 0,2 0,5 0,0 0,0 0,4 97,3 0,0 0,0
Jul. 0,0 0,2 0,0 0,1 0,2 0,0 0,6 0,3 0,0 0,0 0,2 0,2 0,4 0,0 0,0 0,4 97,4 0,0 0,0
Aug. 0,0 0,2 0,0 0,1 0,2 0,1 0,5 0,4 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,0 0,0 0,4 97,5 0,0 0,0
Sep. 0,0 0,2 0,0 0,2 0,1 0,0 0,5 0,4 0,0 0,0 0,1 0,2 0,4 0,0 0,0 0,4 97,5 0,0 0,0
Okt. 0,1 0,2 0,0 0,2 0,1 0,1 0,4 0,4 0,1 0,1 0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,4 97,2 0,1 0,0
Nov. 0,0 0,1 0,0 0,1 0,2 0,0 0,1 0,4 0,0 0,0 0,1 0,2 0,0 0,0 0,0 0,3 98,3 0,0 0,0
Dec. 0,0 0,1 0,0 0,1 0,1 0,0 0,2 0,4 0,0 0,0 0,2 0,1 0,0 0,0 0,0 0,4 98,4 0,0 0,0
Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg”
Gennem 2008 har der grundlæggende været 7 aktier der har været med i alle porteføljer, dog med
en meget begrænset andel. De aktier der har været med hele vejen er Norden, DSV, Danske Bank,
FLSmidth, NKT, Novo Nordisk og William Demant. Det er måske overraskende at Danske Bank
aktien har været med hele vejen, da bank aktier har været meget hårdt ramt gennem krisen, men det
skal dog bemærkes at andelen af denne aktie er faldet meget i de sidste to måneder. Dette ses også
ved Sydbank aktien udgik i slutningen af 2008 hvor krisen var værst i 2008.
Ud fra ovenstående sammensætning af MVP porteføljerne vil det forventes at afkastet vil ligge om-
kring de 3 %30
, da det ca. er hvad den 2 årig statsobligation har givet af afkast gennem 2008, på
29 Bilag 2
30 Bilag 2
Porteføljesammensætning – mean-variance
32
trods af at der jf. tabel 4.5 vil være et mindre afkast, dette skyldes naturligvis at det er ud fra histori-
ske data og ikke de reelle data, som der vil blive brugt ved performance vurdering.
4.2.2. Sammensætning af tangentporteføljerne
Tangentporteføljerne har fuldt samme udvikling som MVP porteføljerne dog noget mere markant
forskel på andelene af aktier og obligationer. Som det ses nedenfor i tabel 4.6 er andelene af aktier
væsentlig større end i MVP porteføljerne. Dette skyldes naturligvis at der ved disse sammensætnin-
ger har været fokus på at maksimere RtV.
Tabel 4.7, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne uden kortsalg
Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV
Januar 46,8 % 53,2 % 0,388 1,098 0,279 Februar 38,1 % 61,9 % 0,327 0,943 0,264 Marts 39,5 % 60,5 % 0,336 0,975 0,266
April 39,6 % 60,4 % 0,333 0,998 0,258 Maj 43,2 % 56,8 % 0,355 1,081 0,253 Juni 46,0 % 54,0 % 0,383 1,176 0,255 Juli 50,9 % 49,1 % 0,405 1,352 0,233 August 52,0 % 48,0 % 0,402 1,379 0,227
September 42,5 % 57,5 % 0,345 1,147 0,227 Oktober 41,7 % 58,3 % 0,302 1,077 0,204 November 30,6 % 69,4 % 0,256 1,149 0,151
December 23,1 % 76,9 % 0,223 0,959 0,152
Gennemsnit 41,2 % 58,8 % 0,338 1,111 0,231 Kilde: Egen tilvirkning, excelarket ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg”
En meget interessant observation i tabel 4.7 er andelen af aktier fra august og fremad bliver reduce-
ret til det halve i december, men hvis Markowitz porteføljemodel skal kunne bruges gennem krisen
må aktiernes andel også ses i lyset af kursudviklingen. Det ses i figur 4.3 at aktieandelen i tangent-
porteføljen følger kursudviklingen for C20-indekset meget godt, det syntes dog at se ud som om at
aktieandelen først følger kursen en måned efter.
Porteføljesammensætning – mean-variance
33
Figur 4.3, Oversigt over C20 indekset og aktiernes andel i tangentporteføljen i 2008
Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg
Ud fra figur 4.3 ser det umiddelbart ud som om, at Markowitzs porteføljeteori ville kunne spare en
investors portefølje for at gå ned med markedet, ved at bruge de ændrede forhold som en slags
guide-line, for hvor meget aktierne skal udgøre i en portefølje. For at dette skal kunne få en gavnlig
effekt bør en portefølje derfor omstruktureres ofte gennem en sådan krise.
Nu hvor det ser ud som Markowitz tilpasser sig sine omgivelser bliver det spændende at se ved en
senere performance analyse om det også er muligt at skabe en signifikant bedre alpha.31
Modsat MVP porteføljerne er den 10 årige statsobligation omdrejningspunkt for obligationer i tan-
gentporteføljerne, der sker dog en mindre spredning af obligationer i de første tre måneder hvor den
5 årige statsobligation indgår i et beskedent omfang. Grunden til at det netop er blevet den 10 årige
statsobligation der har fået den dominerende rolle for obligationer, og ikke den 2 årige som i MVP,
skal til dels findes i at der er en højere risikopræmie pr risikoenhed for den 10 årige statsobligation,
altså RtV. At den har fået denne overvægtning er altså sket på trods af at den 2 årige statsobligation
i langt de fleste tilfælde har en bedre negativ korrelation til aktierne, men i dette tilfælde er det mere
fordelagtigt at udnytte den højere RtV end den 2 årige statsobligations mulighed for risikoreduktion
gennem diversifikation.
31 Jensens indeks, mere om denne senere i afsnittet omkring performance
200
250
300
350
400
450
500
20,0%
25,0%
30,0%
35,0%
40,0%
45,0%
50,0%
55,0%
januar april juli oktober
Aktieandel (venstre akse) C20 indekset (højre akse)
Porteføljesammensætning – mean-variance
34
Tabel 4.8, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne uden kortsalg
Aktier Obligationer
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Jysk
e B
ank
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
--------------------------------------------------------- % --------------------------------------------------------- ------------------ % ------------------
Jan. 0,0 14,1 3,1 5,8 1,5 1,8 18,5 1,3 0,6 0,0 13,4 39,8
Feb. 0,0 12,0 2,9 2,1 1,2 1,7 15,6 2,5 0,0 0,0 19,9 42,0
Mar. 0,3 12,5 2,7 2,8 1,0 2,5 15,1 2,5 0,0 0,0 6,2 54,4
Apr. 0,5 12,8 3,1 1,6 0,8 2,4 14,8 3,6 0,0 0,0 0,0 60,4
Maj. 0,6 14,1 3,4 1,5 1,1 2,3 16,2 3,9 0,0 0,0 0,0 56,8
Jun. 0,2 15,4 4,0 0,5 1,1 1,9 19,4 3,6 0,0 0,0 0,0 54,0
Jul. 0,0 18,3 4,7 0,1 1,4 2,2 20,6 3,6 0,0 0,0 0,0 49,1
Aug. 0,0 18,4 3,7 0,0 0,6 2,3 23,3 3,7 0,0 0,0 0,0 48,0
Sep. 0,0 15,5 3,4 0,0 0,4 2,2 17,0 4,1 0,0 0,0 0,0 57,5
Okt. 0,0 12,9 1,8 0,1 0,5 2,9 18,2 5,3 0,0 0,0 0,0 58,3
Nov. 0,0 14,7 4,7 0,0 1,2 4,5 1,0 4,5 0,0 0,0 0,0 69,4
Dec. 0,0 11,3 2,9 0,0 0,2 3,6 0,0 5,1 0,0 0,0 0,0 76,9
Anm.: de aktier der ikke indgår i de forskellige konstruktioner er blevet udeladt
Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”realiseret afkast mean -variance uden kortsalg”
Det ses jf. tabel 4.8 at der grundlæggende er to aktier, Norden og Sydbank der har været de to mest
dominerende aktier gennem året i tangentporteføljerne, dog er Sydbank blevet udeladt de to sidste
måneder, ligesom det var tilfældet i MVP.
Der kan stilles spørgsmålstegn ved hvorvidt tangentporteføljernes sammensætning er fuldt ud diver-
sificeret, da de mere eller mindre grundlæggende består af tre store andele, heraf en obligation og to
aktier, samt et par mindre andele af andre aktier. Det problematiske kan opstå ved at der i bund og
grund bliver sammensæt en meget snæver portefølje, der afhænger meget af de tre aktivers perfor-
mance. Den 10 årige statsobligation har dog en meget lille risiko32
, men problemet opstår ved at op
mod en tredjedel af porteføljens afkast afhænger af hvordan disse to aktier klare sig. Dette kunne
have været løst ved at lave en begrænsning for hvor stor en andel de enkelte aktier må have i den
samlede portefølje, for at tvinge modellen til at øge diversificeringen.
4.3. Porteføljer med kort salg
I modsætningen til de foregående portefølje sammensætninger, er der nu blevet taget højde for mu-
ligheden med kortsalg, hvilket kort beskrevet går ud på, at der spekuleres i kursfald. Hvilket alt an-
32 Bilag 2
Porteføljesammensætning – mean-variance
35
det lige ville kunne udnyttes i krisetider til at tjene penge på et faldende marked, hvis det er muligt
at forudsige hvilke aktier der skal kortsælges.
Der vil i det efterfølgende være to måder til at opgøre portefølje andelene på. Den første er brutto
metoden hvor det er forskellen mellem kortsolgte aktier og investerede aktier der udgør andelen.
Problemet med denne metode er at den ikke tage højde for hvor store andele der er blevet kortsolg-
te, således at den angiver en mindre værdi da kortsalg mindsker andelen. For at tage højde for dette
er de nominelle andele også blevet udregnet, denne metode omregner de enkelte porteføljevægte til
numeriske værdier og på den måde finder andelene.
4.3.1. Sammensætning af MVP
Der har gennem 2008 ikke været de store udsving i hvorvidt de enkelte porteføljer er sammensat,
men det ses dog meget tydeligt at andelen af obligationer har været klart dominerende gennem hele
perioden., jf. tabel 4.9. Der syntes dog at være en tendens til jf. brutto andelene at aktierne nedprio-
riteres i november og december, men dette skyldes at udelukkende at der bliver kortsolgt aktier der
før blev købt, jf. tabel 4.10. Dette ses meget tydeligt hvis der i stedet fokuseres på de nominelle an-
dele, der har der rent faktisk været den modsatte tendens at aktierne udgjorde en større andel, hvil-
ket kan tilskrives graden af kortsalg, det ser således ud til at der forsøges at øge afkastet ved at kort-
sælge gennem krisetiden.
Tabel 4.9, Porteføljekarakteristika for MVP med kortsalg
Brutto andel Numerisk andel
Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv. RtV
Januar 2,0 % 98,0 % 2,5 % 97,5 % 0,079 0,129 -0,017 Februar 2,2 % 97,8 % 2,7 % 97,3 % 0,081 0,130 0,021 Marts 2,3 % 97,7 % 2,7 % 97,3 % 0,081 0,131 0,031
April 2,4 % 97,6 % 2,7 % 97,3 % 0,080 0,131 0,028 Maj 2,4 % 97,6 % 2,7 % 97,3 % 0,080 0,133 -0,007 Juni 2,6 % 97,4 % 2,6 % 97,4 % 0,077 0,140 -0,044 Juli 2,6 % 97,4 % 2,3 % 97,7 % 0,075 0,147 -0,108 August 2,6 % 97,4 % 2,4 % 97,6 % 0,075 0,147 -0,100 September 2,4 % 97,6 % 2,3 % 97,7 % 0,076 0,147 -0,060 Oktober 2,4 % 97,6 % 2,2 % 97,8 % 0,077 0,148 -0,034 November 1,6 % 98,4 % 2,4 % 97,6 % 0,074 0,156 -0,057
December 1,5 % 98,5 % 2,7 % 97,3 % 0,075 0,158 -0,012
Gennemsnit 2,2 % 97,8 % 2,5 % 97,5 % 0,077 0,141 -0,030 Anm.: brutto andelene angiver hvis der f.eks. har været kortsalg på -0,25 og køb på 0,25 en andel på 0
Kilde: Egen tilvirkning, excelarket ”realiserede afkast mean -variance med kortsalg”
Det vil ifølge teorien være muligt at sammensætte porteføljer med en lavere risiko ved at udnytte
kortsalg, således at den efficiente rand forskydes mod venstre. Dette er også tilfældet i de ovenstå-
Porteføljesammensætning – mean-variance
36
ende konstruktioner af MVP, risikoen er rent faktisk blevet halveret i forhold til de konstruktioner
der er foretaget uden mulighed for kortsalg i samme periode. Hvilket har medført en bedre RtV,
men den er stadig negativ gennem langt det mest af 2008. Således at det vil være mere fordelagtigt
at placere midlerne til den risikofrie rente, da der er en negativ risikopræmie for at tage yderligere
risiko end den risikofrie rente indebære.
I tabel 4.10, ses det tydeligt, modsat de konstruktioner der blev foretaget uden kortsalg at der bliver
investeret i alle de mulige aktiver før eller siden gennem 2008. Der vil derfor forventes at der opstår
en bedre diversifikation af risikoen, på trods af det kun er forholdsvis små andele der er placeret i
aktier. Det udnyttes således at korrelationen mellem de enkelte aktier er positivt, således der på den
måde sker en risikoreduktion.
En anden væsentlig betragtning er at der gennem hele 2008 bliver investeres 100 % i de to årige
statsobligationer, samt en mindre andel i de 5 årige, hvorimod der bliver kortsolgt at den 10 årige.
Ligesom det var tilfældet med aktierne udnyttes det også at korrelationen mellem obligationerne er
positive, effekten er dog bedre i og med at der næsten er en perfekt positiv korrelation imellem ob-
ligationerne. At der ikke bliver allokeret mere til den 2 årige skyldes at der stadig er et loft på hvor
meget den enkelte aktiv må fylde i den samlede portefølje, pga. simplificering, denne begrænsning
er også sat på de resterende aktiver, da det har vist sig ved at fjerne denne restriktion at der bliver
købt og kortsolgt meget store mængder af de enkelte aktiver.
Tabel 4.10, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP med kortsalg
Aktier Obligationer
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
------------------------------------------------------------------ % ------------------------------------------------------------------ -------- % --------
Jan. -0,1 0,0 -0,1 0,2 0,3 -0,3 0,6 0,4 0,0 -0,1 0,2 0,2 0,4 0,1 -0,1 0,3 100 12,7 -14,7 Feb. -0,1 0,0 -0,1 0,1 0,3 -0,3 0,6 0,3 0,2 -0,1 0,2 0,2 0,4 0,1 -0,1 0,3 100 11,8 -14,0 Mar. -0,1 0,0 0,0 0,2 0,3 -0,2 0,6 0,3 0,2 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,1 -0,1 0,3 100 10,9 -13,2 Apr. 0,0 0,0 -0,1 0,1 0,3 -0,3 0,7 0,3 0,2 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,1 -0,1 0,3 100 11,3 -13,6 Maj. 0,0 0,0 0,0 0,2 0,3 -0,3 0,6 0,3 0,2 0,0 0,2 0,2 0,4 0,2 -0,1 0,3 100 11,2 -13,5 Jun. 0,1 0,1 -0,1 0,2 0,1 0,0 0,6 0,4 0,1 -0,1 0,1 0,2 0,6 0,1 -0,1 0,3 100 11,4 -14,0 Jul. 0,2 0,1 -0,1 0,1 0,1 0,1 0,6 0,3 0,1 -0,1 0,1 0,2 0,5 0,1 0,0 0,2 100 11,2 -13,8 Aug. 0,1 0,1 -0,1 0,1 0,1 0,1 0,5 0,4 0,1 -0,1 0,1 0,2 0,4 0,1 0,0 0,3 100 9,6 -12,2 Sep. 0,2 0,1 -0,2 0,1 0,1 0,1 0,5 0,4 0,1 -0,1 0,1 0,2 0,5 0,1 0,0 0,3 100 12,3 -14,7 Okt. 0,1 0,1 -0,1 0,2 0,1 0,1 0,5 0,4 0,0 -0,1 0,1 0,2 0,5 0,1 0,0 0,3 100 11,5 -13,9 Nov. 0,1 0,1 -0,5 0,1 0,2 0,1 0,3 0,5 0,3 0,0 0,1 0,2 -0,1 -0,1 -0,1 0,3 100 12,9 -14,4 Dec. 0,1 0,1 -0,4 0,1 0,2 0,1 0,4 0,5 0,4 0,0 0,1 0,2 -0,3 -0,1 -0,1 0,3 100 13,4 -14,9
Kilde: Egen tilvirkning, excelarket ”realiserede afkast mean -variance med kortsalg”
Porteføljesammensætning – mean-variance
37
Der er den væsentlig forskel mellem konstruktionerne med og uden kortsalg er at, der bliver kort-
solgt af de aktier der ikke indgår i MVP uden kortsalg. At der er den forskel kan skyldes at risikoen
ved at købe disse aktier er for høj.
Ud fra tabel 4.10 ses det at der er 3 aktier der skal kortsælges gennem hele perioden, Carlsberg, H
Lundbeck samt Vestas. Dette er på trods af at det afkast der ligger til grundlag for beregningerne
alle er positive gennem hele perioden, med den lille undtagelse af Carlsberg i november og decem-
ber. At Vestas vælges at kortsælges skyldes kombinationen mellem den høje standart afvigelse samt
at det er en af de aktier der korrelerer mest positivt med de andre aktier.
4.3.2. Sammensætning af tangentporteføljerne
Ligesom det var gældende for tangentporteføljerne uden kortsalg udgør aktierne en væsentlig højere
andel af porteføljerne end ved MVP. Ses der på de to måder andelene er opgjort på i tabel 4.11, vi-
ser det sig der er meget stor forskel på de to måder. Brutto metoden tegner et billede af at obligatio-
nerne har fået en mindre andel end tidligere set, men dette er dog ikke helt tilfældet, da der ses ud
fra de nominelle andele at dette skyldes at der bliver kortsolgt relativ store andele af obligationerne,
for at udnytte den positive korrelation imellem. Ligesom tidligere udgør aktier en mindre del i slut-
ningen hvor aktiemarkedet blev ramt af krisen, det ses dog at dette udnyttes ved at der bliver kort-
solgt store andele af aktier, da forskellen mellem brutto og de nominelle andele stiger kraftigt mod
slutningen af 2008.
Tabel 4.11 Porteføljekarakteristika for tangent porteføljerne med kortsalg
Brutto andel Numerisk andel
Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV
Januar 72,6 % 27,4 % 40,9 % 59,1 % 0,737 2,105 0,311 Februar 58,4 % 41,6 % 36,5 % 63,5 % 0,637 1,884 0,297
Marts 58,3 % 41,7 % 36,0 % 64,0 % 0,624 1,843 0,297 April 56,2 % 43,8 % 35,4 % 64,6 % 0,600 1,828 0,287 Maj 60,2 % 39,8 % 39,9 % 60,1 % 0,649 1,988 0,286 Juni 70,1 % 29,9 % 40,9 % 59,1 % 0,728 2,276 0,283 Juli 79,9 % 20,1 % 50,0 % 50,0 % 0,880 2,939 0,268 August 80,5 % 19,5 % 50,1 % 49,9 % 0,859 2,955 0,260 September 63,2 % 36,8 % 41,9 % 58,1 % 0,661 2,268 0,254 Oktober 63,3 % 36,7 % 43,2 % 56,8 % 0,636 2,326 0,238 November 36,6 % 63,4 % 48,6 % 51,4 % 0,675 2,788 0,213
December 20,3 % 79,7 % 45,7 % 54,3 % 0,516 2,107 0,209
Gennemsnit 60,0 % 40,0 % 42,4 % 57,6 % 0,684 2,276 0,267 Kilde: Egen tilvirkning, excela rket ”realiserede afkast – mean-variance med kortsalg
Porteføljesammensætning – mean-variance
38
Holdes nøgletallene op mod tangentporteføljerne uden kortsalg, ses det som forventet at afkastet er
blevet forbedret. Det forventede afkast er fordoblet i forhold til før, dog skal det bemærkes at risi-
koen er steget tilsvarende. At afkastet er steget mere end risikoen ses ved at RtV samtidig er blevet
forbedret. Dette tyder på et betragtelig merafkast ved at benytte sig af kortsalg, men det skal også
huskes på at risikoen er noget større ved at benytte sig af kortsalg.
Tabel 4.12, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne med kortsalg
Aktier Obligationer
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
------------------------------------------------------------ % ------------------------------------------------------------ --------- % ---------
Jan. -7,9 -9,6 4,1 26,7 12,9 -15,7 3,2 -3,9 14,0 -1,8 6,6 5,8 33,8 5,0 -3,6 3,0 -100 27,7 99,8 Feb. -7,5 -9,3 2,9 23,6 12,6 -14,2 2,1 -4,0 7,5 -2,2 6,1 5,3 30,0 7,5 -2,9 1,0 -100 44,5 97,1 Mar. -6,6 -9,6 3,7 23,5 11,7 -13,3 2,7 -3,9 8,2 -2,7 5,4 6,6 27,3 7,1 -2,8 0,9 -100 41,8 100 Apr. -7,1 -9,0 3,9 23,3 12,2 -13,1 2,0 -3,8 6,4 -3,2 4,9 6,2 26,1 8,4 -2,5 1,4 -100 43,5 100 Maj. -7,6 -10,4 4,6 25,7 13,6 -15,5 1,4 -3,7 6,9 -3,5 5,9 6,5 28,6 9,2 -2,9 1,4 -91 30,7 100 Jun. -6,7 -11,9 4,2 29,5 15,1 -14,2 -1,0 -3,7 5,3 -4,3 5,9 6,4 37,9 9,7 -2,4 0,3 -100 29,4 100 Jul. -7,9 -16,6 5,1 38,2 21,3 -24,2 -6,3 -5,5 7,5 -5,3 8,7 9,4 47,2 12,9 -2,5 -1,9 -100 20,1 100 Aug. -8,1 -17,1 2,3 37,8 19,7 -20,7 -7,4 -6,7 7,7 -4,9 7,4 10,0 52,2 13,2 -1,8 -3,1 -100 19,5 100 Sep. -5,3 -12,5 3,0 29,8 15,0 -13,9 -3,2 -6,2 4,6 -3,7 5,1 7,4 34,7 11,7 -0,3 -2,9 -92 29,2 100 Okt. -7,1 -13,2 2,3 27,2 14,8 -16,4 -3,9 -9,6 6,5 -4,1 6,7 9,3 39,4 15,4 -0,7 -3,3 -100 36,7 100 Nov. -5,0 -24,4 -8,4 32,9 26,5 -23,4 -17,5 -12,0 5,7 -4,9 11,5 17,4 24,6 20,6 -4,7 -2,3 -96 59,4 100 Dec. -5,4 -17,5 -9,1 24,5 19,0 -11,5 -14,7 -9,3 -0,3 -1,9 7,7 12,5 11,9 19,1 -1,9 -2,9 -61 40,4 100
Kilde: Egen tilvirkning, excelarket ”realiserede afkast mean -variance med kortsalg”
I modsætningen til MVP er 6 aktier er der blevet kortsolgt gennem hele perioden, de to Maersk ak-
tier, Danisco, FLsmidth, H Lundbeck og Vestas. Der er dog den forskel at der i modsætning til
MVP bliver der ikke kortsolgt Carlsberg før de sidste to måneder. Ligesom det var tilfældet med
tangentporteføljerne uden kortsalg bliver der investeret i den 10 årig statsobligation og kortsolgt
store andele af den 2 årige statsobligation, mens der gennem perioden har været svingene andele af
den 5 årige statsobligation.
Det at de forskellige andele svinger meget gennem 2008, tyder på at der skal føres en aktiv investe-
rings strategi der tilpasser porteføljerne jævnligt, hvilket vil medføre øgede handelsomkostninger.
Det bliver derfor spændende at se i performance analysen hvorvidt der er en fordel i at omstrukture-
re porteføljerne aktivt, eller om en passiv strategi er bedre. Det forventes dog at den aktive vil klare
sig bedre, nu hvor andelene svinger meget.
4.4. Performansevaluering
Dette afsnit har til formål at undersøge hvorvidt de enkelte porteføljekonstruktioner har performet
bedre end det valgte benchmark. Der vil for simplificeringens skyld blive sammensat 4 forskellige
Porteføljesammensætning – mean-variance
39
investeringsstrategier ud fra de føromtalte konstruktioner, for MVP og tangentporteføljerne, dette
vil ske med og uden kortsalg, de 4 strategier består som følgende:
MVik for MVP
RtVik for tangentporteføljerne
Hvor i angiver følgende konstruktioner:
1: Porteføljen konstrueret primo januar.
2: Portefølje der er tilpasset primo januar og juli.
3: Portefølje der er tilpasset i primo januar, april, juli og oktober.
4: Portefølje der er tilpasset hver primo måned.
Hvor k angiver om hvorvidt porteføljen er med eller uden kortsalg, henholdsvis m og u.
Der vil indledningsvist blive en teoretisk gennemgang af hvordan de enkelte strategier vil blive målt
i forhold til hinanden. Det er netop vigtigt ikke blot at sammenligne afkast, da dette ikke giver et
reelt udtryk for hvorvidt den ene strategi har klaret sig bedre end den anden. Det er derfor vigtigt at
få risikojusteret de enkelte performancemål.33
Dette gøres da et afkast der er dobbelt så stort ikke
nødvendigvis er dobbelt så godt, hvis det f.eks. har været tre gange så risikofyldt at gennemføre
denne strategi.
4.4.1. Teoretisk gennemgang af performance
Det første performancemål der vil blive brugt er Sharpes ratio, der blev gennemgået i forbindelse
med kapitalmarkedslinien i det teoretiske afsnit omkring Markowitz porteføljeteori. Her var Sharpes
ratio udtryk for hældningskoefficienten på kapitalmarkedslinien, der angiver risikopræmien en in-
vestor modtager for hver ekstra risikoenhed der bliver taget.
Treynor-indekset, er et performancemål, der er et udtryk for det merafkast i forhold til den risikofrie
rente, porteføljen genererer pr. enhed systematisk risiko. Treynor-indekset benyttes kun til porteføl-
jer der er fuldt diversificeret, da beta er et udtryk for den systematiske risiko, der forudsættes derfor
at den usystematiske risiko er helt eller delvist bortdiversificeret.
33 (Haugen 1997 s. 309)
Porteføljesammensætning – mean-variance
40
Treynor-indekset kan udregnes som følgende:34
𝑇𝑝 =𝐸 𝑟𝑝 − 𝑟𝑓
𝛽𝑝 [4.1]
Hvor beta kan beregnes som følgende:35
𝛽𝑝 =𝐶𝑜𝑣 𝑟𝑖 𝑟𝑚
𝜎𝑖2 [4.2]
Hvor i angiver aktiv i og m benchmarket det holdes op mod.
Det sidste performancemål der benyttes er Jensen-indeks, denne bruger ”security market line”
(SML) som benchmark, således at alpha er et udtryk for om porteføljen har skabt et mindre eller
merafkast. Hvor en positiv alpha er udtryk for at der er skabt et merafkast
Jensens indeks kan beregnes som følgende:36
𝐽𝑝 = 𝐸 𝑟𝑝 − 𝑟𝑓 + 𝛽𝑝(𝐸 𝑟𝑚 − 𝐸(𝑟𝑝)) [4.3]
Jensens alpha kan også estimeres ud fra en liniær regressionsmodel som følgende:37
𝑟𝑝 − 𝑟𝑓 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖(𝑟𝑚 − 𝑟𝑓) + 𝑒 [4.4]
Hvor 𝑟𝑝 angiver afkastet for porteføljen og 𝑟𝑚 er således afkastet for benchmarket. Fordelen ved at
gennemføre en regression af alpha er at det er muligt at undersøge hvorvidt alpha er forskelligt fra
nul, og dermed hvor signifikant porteføljen har givet et mindre eller merafkast i forhold til bench-
market.
For at skabe en mere overskuelig og sammenlignelig performancemåling vil de to MVP med og
uden kortsalg, blive behandlet samlet, ligesom det er tilfældet med tangentporteføljerne.
4.4.2. Performance for MVP
Der vil i den efterfølgende gennemgang af performance for MVP blive taget udgangspunkt i de
foregående beskrevne performancemål. Treynor-indekset vil blive udeladt, da dette performancemål
34 (Haugen 1997 s. 315)
35 (Haugen 1997 s. 53)
36 (Haugen 1997 s. 311)
37 (Farrell, Reinhart & Farrell 1997 s. 522)
Porteføljesammensætning – mean-variance
41
havde den forudsætning om at porteføljerne var fuldt diversificeret, hvilket ikke er tilfældet for
MVP, da disse stort set kun består af den 2 årige statsobligation.
Det ses at benchmarket gennem 2008 har leveret et gennemsnitlig negativt ugeafkast jf. tabel 4.13,
den dertilhørende standart afvigelse tyder på at, afkastet har været et meget ustabilt gennem 2008.
Dette skyldes at der i de sidste par måneder hvor markedet genererede negative afkast, har været
mange store udsving i afkastet hvilket har givet den høje standart afvigelse.38
Benchmarkets negati-
ve afkast tilskrives nedgangen i markedet, da den 10 årige statsobligation, som tidligere nævnt ge-
nererede et positivt afkast, dette har ikke været stort nok til at trække benchmarket op på et positivt
afkast. Samtidig ses det at alle MVP har genereret et positivt afkast gennem 2008, men dette skyl-
des naturligvis allokeringen af porteføljerne, der som udgangspunkt stort set kun består af den 2
årige statsobligation. Der tegner sig dermed et billede af at MVP har været bedre end benchmarket
gennem 2008, det skal huskes at denne sammenligning ikke tager højde for risikoen, således det
ikke er sikkert at MVP har været en bedre investering.
Tages der højde for risiko vha. Jensen-indekset, viser denne at samtlige MVP har performet bedre
end indekset da alpha er positiv og de dermed alle ligger over SML. Den strategi der har den bedste
alpha er MV3U, hvor porteføljen er blevet justeret hvert kvartal, hvorimod MV2M har været gene-
reret den højeste alpha vha. kortsalg. Generelt var der en forventning til, der ved brug af kortsalg
ville den aktive strategi med ofte tilpasset portefølje, være dem der klarede sig bedst. Dette er dog
ikke tilfældet ud fra Jensen, hvilket skyldes at der ikke var store forandringer i sammensætningen
gennem 2008. Dette skulle derimod gerne blive tydeligere for tangentporteføljerne.
Hvis de enkelte porteføljers performance bliver betragtet ud fra bredte og dybde, hvor dybde relate-
re sig til det ekstra afkast der er genereret, og bredte er antallet af forskellige aktiver hvorved porte-
føljen kan opnå dette ekstra afkast fra. Det betyder at Jensen-indekset ikke tager højde for antallet af
forskellige aktier dette ekstra afkast er genereret ud fra, men kun hvorvidt der er opnået et ekstra
afkast i forhold til benchmarket.39
38 Excelarket ”Performance mean-variance”
39 (Haugen 1997 s. 313)
Porteføljesammensætning – mean-variance
42
Tabel 4.13, Performancemål for MVP
MVP uden kortsalg MVP med kortsalg Benchmark
MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M
Afkast 0,085 0,080 0,081 0,085 0,070 0,066 0,068 0,072 -0,34
Std. afv 0,339 0,347 0,350 0,349 0,333 0,342 0,340 0,336 2,13
Sharpe 0,012 -0,002 0,000 0,012 -0,031 -0,042 -0,036 -0,027 -0,20
Jensen 1,082 1,165 1,167 1,090 1,035 1,167 1,144 1,069 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”performance mean -variance”
Således hvis der tages højde for bredden af porteføljerne vha. Sharpe ses det at de to performance-
mål ikke altid giver et entydigt svar på hvorvidt den ene portefølje er bedre end den anden. MV3U
var den portefølje der skabte det største ekstra afkast ud fra Jensen-indekset, men ifølge Sharpe har
denne sammensætning ikke performet bedre end benchmarket jf. tabel 4.13. Det er derimod MV1U
og MV4U der har klaret sig bedst, det ses således at ved sammensætning af MVP at der ikke opnås
et bedre afkast ved at omstrukturere porteføljen gennem perioden. Det eneste der taler for at der
skulle ske en oftere omstrukturering af porteføljerne, er at der jf. Jensen er muligt at skabe et større
ekstra afkast, men dette skal reelt set holdes op mod de øgede handelsomkostninger, hvilket det
dermed formodes at det vil være bedst med MV1U.
Teoretisk skulle det være muligt at sammensætte porteføljer med en mindre risiko vha. kortsalg,
dette bliver bekræftet da de enkelte MVP sammensat med kortsalg har en mindre risiko, end de til-
svarende MVP uden kortsalg. Det skal bemærkes at det kun er MV2M der jf. Jensen-indeks har
formået at skabe et større ekstra afkast end de tilsvarende MVP uden kortsalg. Dog ses der vha.
Sharpe at der har været en negativ risikopræmie pr risikoenhed, dette skyldes at de enkelte MVP har
genereret et lavere afkast samtidig med at risikoen ikke er faldet i samme omfang. Det ses således at
det er MV4M der har haft den bedste risikopræmie, det kunne derfor tyde på at hvis der benyttes
kortsalg skal porteføljen optimeres noget oftere. At risikopræmien har været negativ kan tilskrives
den lidt højere andel af aktier der er i porteføljen, men også at der forøget risiko for at have kort-
solgt aktier der stiger og omvendt.
Det kan således ud fra ovenstående performancemål se ud som om at MVP uden kortsalg sammen-
sat i januar måned er den konstruktion der klare sig bedst i forhold til benchmarket. Såfremt at Jen-
sen-indeks estimeres ud fra en liniær regression, kan denne påstand dog ikke bekræftes, jf. tabel
4.14, da dennes alpha værdi ikke er signifikant forskellige fra nul.
Porteføljesammensætning – mean-variance
43
Tabel 4.14, Estimeret Jensens alpha for MVP
MVP uden kortsalg MVP med kortsalg
MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M
Alpha 0,031 (0,044)
0,030 (0,045)
0,031 (0,045)
0,033 (0,046)
0,015 (0,044)
0,016 (0,044)
0,017 (0,044)
0,018 (0,044)
Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag 3
Det ses samtidig også at der ikke er nogle af de otte ovenstående strategier der har genereret en sig-
nifikant alpha. Således kan det ikke påvises med statistisk sikkerhed at ovenstående MVP har været
bedre end benchmarket.
4.4.3. Performance for tangentporteføljerne
I modsætning til MVP består tangentporteføljerne af væsentlig flere aktier, hvilket således gør dem
endnu mere sårbar overfor nedgang på aktiemarkedet. Efterfølgende gennemgang vil følge samme
struktur som MVP dog er Treynor-indekset medtaget denne gang, da det forudsættes at tangentpor-
teføljerne er bedre diversificerede i forhold til MVP pga. andelen af aktier.
Det ses kort uden nogen form for risikojusteret performance at alle otte sammensætninger har haft
et negativt afkast, bedst syntes dog at være RtV3 med og uden kortsalg, dog har alle sammensæt-
ningen uden kortsalg genereret et bedre afkast i forhold til de tilsvarende med kortsalg. Ses der på
risikoen har alle porteføljer med kortsalg været mere eksponeret for risiko end dem uden, hvilket
modsiger teorien, men kan tilskrives udsvingene i aktiemarkedet. De høje standart afvigelser skyl-
des igen udsvingene i de sidste par måneder af 2008, standart afvigelserne har været væsentlig mere
stationære gennem den første del.40
Der er derfor meget der tyder på at benchmarket har performet
bedre end Markowitz..
Den portefølje der jf. Jensen-indeks har været bedst er også den der har leveret det bedste afkast,
nemlig RtV4U, det skal dog bemærkes at det har været et negativt ekstraafkast, således at denne
sammensætning har performet ringere end forventet. Det er ikke kun jf. Jensen-indeks at denne
sammensætning betragtes som den bedste, Treynor udpeget selvsamme portefølje til at være den
bedste mulighed. Det skal dog huskes at Treynor har de samme svagheder som Jensen, da denne
heller ikke tager højde for den føromtalte bredte i en portefølje. Således at beta ikke nødvendigvis
ændres ved inddragelsen af flere aktiver.41
Der kan desuden stilles spørgsmålstegn ved brugbarhe-
den af Treynor og Jensen for den sags skyld til evalueringen af tangentporteføljerne, da der som
tidligere omtalt er en begrænset diversifikationseffekt ved disse porteføljer uden kortsalg, da de
40 Excelarket: ”performance Mean-Variance”
41 (Haugen 1997 s. 315)
Porteføljesammensætning – mean-variance
44
hovedsageligt består af den 10 årige statsobligation, Norden, Sydbank samt nogle mindre andele i
andre aktier.
Tabel 4.15, Performancemål for tangentporteføljerne
Tangent porteføljer uden kortsalg Tangent porteføljer med kortsalg Benchmark
RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M
Afkast -0,86 -0,91 -0,77 -0,64 -1,64 -1,87 -1,59 -1,34 -0,34 Std. afv. 3,32 3,69 3,10 2,82 5,47 6,57 5,38 4,90 2,13
Sharpe -0,28 -0,27 -0,28 -0,26 -0,31 -0,30 -0,31 -0,29 -0,20 Treynor -1,63 -1,88 -1,37 -1,05 -5,23 -7,20 -5,19 -4,09
Jensen -0,69 -0,77 -0,59 -0,43 -1,58 -1,84 -1,54 -1,27 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”performance mean -variance”
Ved at inddrage den såkaldte bredte i en portefølje vha. Sharpe, ses at det igen er RtV4 der har den
bedste risikopræmie pr risikoenhed. Da der er et entydigt svar for alle tre performancemål, konklu-
deres at RtV4U er den bedst velegnede strategi gennem krisen, således at porteføljen jævnligt bliver
tilpasset dens omgivelser.
For tangentporteføljerne der tillader kortsalg ses samme tendenser som uden kortsalg, nemlig at de
genererer et negativt afkast til relative høj risiko. Det tyder igen på at der har været meget store ud-
sving i afkastene gennem 2008, grundet de høje standart afvigelser der jf. teorien burde havde været
mindre end de tilsvarende porteføljer uden kortsalg.
Der er dog en portefølje der skiller sig ud som den bedste blandt alle tre performancemål, det er
porteføljen der er tilpasset hver måned, RtV4U. Så der tegner sig et klart billede af at en portefølje
skal tilpasses ofte gennem krisetider, således den kan modstå udsvingene i markedet.
Ved at estimere Jensens alpha, ses det at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for at de fire porte-
føljer uden kortsalg klare sig bedre eller dårligere end benchmarket. Dog tyder det på at RtV3U
klare sig bedst, men det skal understreges at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for dette.
Tabel 4.16, Estimering af Jensens alpha for tangentporteføljerne
Tangentporteføljer uden kortsalg Tangentporteføljer med kortsalg
RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M
Alpha -0,267 (0,214)
-0,241 (0,219)
-0,214 (0,190)
-0,241 (0,219)
*-0,718 (0,424)
**-0,779 (0,520)
*-0,722 (0,451)
-0,561 (0,426)
Anm.: * angiver signifikant ved 10 % og ** ved 15%
Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag3
Derimod ses det, at ved brug af kortsalg er der en vis sikkerhed for at de tre første strategier klare
sig dårligere end benchmarket, således at det ud fra de estimerede værdier vil være mest hensigts-
mæssigt at følge en strategi der tilpasser porteføljen hver måned, såfremt muligheden for kortsalg
Porteføljesammensætning – mean-variance
45
bliver benyttet. Det kan dog ikke konkluderes hvor hensigtsmæssigt denne strategi er i forhold til
benchmarket da der ikke er nogen signifikant estimat for hvorvidt den klare sig bedre eller dårligere
end benchmarket.
4.5. Evaluering af Markowitz porteføljeteori med mean-variance
Efter at have foretaget en performance vurdering af de sammensatte strategier, kunne der ved MVP
ikke påvises statistisk sikkerhed for hvorvidt de havde et afkast der var forskelligt fra benchmarket.
De havde dog alle genereret et positivt afkast gennem 2008, men dette skyldes at de stort set kun
indeholder obligationer. Ligeledes kunne det heller ikke påvises at tangentporteføljerne uden kort-
salg formåede at klare sig bedre end det valgt benchmark, hvorimod det kunne vises med en hvis
statistisk sikkerhed at vælges der at gøres brug af kortsalg skal porteføljen tilpasses hver måned for
at klare sig mindst ligeså godt som benchmarket.
At porteføljerne ikke formåede at performe bedre end benchmarket kan skyldes at de bagvedliggen-
de værdier ikke svarede til de reelle værdier. Så på trods af at afkastet faldt, risikoen steg sammen
med korrelationerne, var dette altså ikke nok. Det tyder således på at Markowitz porteføljemodel
ikke tilpasser sig så hurtig til omverdenen. Dette skyldes at de bagvedliggende værdier bliver be-
regnet på baggrund af gennemsnittet, således at Markowitz model ikke er så god til at tilpasse sig på
kort sigt. Der var også lyspunkter i modellen, da den forudså at aktiernes andel skulle mindskes,
men dette var ikke nok, eller i rettidigt, til ikke at gå ned med markedet.
Ud fra performanceanalysen kan der stilles spørgsmålstegn ved hvorvidt Markowitz model er brug-
bar til at sammensætte efficiente porteføljer, der klare sig bedre end benchmarket. Det vil være en
forkert at konkludere hvorvidt modellen er brugbar i almindelighed eller ej, alene ud fra ovenståen-
de analyse, da den kun bygger på et enkelt år, således at der ikke vides hvordan den har klaret sig i
årene op til krisen, samt de efterfølgende år. At der ikke kan påvises nogen statistisk sikkerhed for
hvorvidt teorien klarede sig bedre eller dårligere end benchmarket, kan tale til fordel for teorien.
Et af de generelle problemer ved denne analyse i et turbulent marked er at modellen tager udgangs-
punkt i fortiden, hvilket ikke nødvendigvis gentager sig i fremtiden. Selve modellen består af tre
grundelementer i teorien, gennemsnitlig afkast, standart afvigelserne og korrelation, dette sætter
Robert Brown, spørgsmålstegn ved om hvorvidt verden kan forudsiges ud fra blot disse tre parame-
ter.42
Det virker unægtelig som om at Markowitz model er en simplificering af virkeligheden, såe-
des at modellen skal benyttes med en hvis varsomhed, medens der ses på flere makroøkonomiske
42 (Holton 2009)
Porteføljesammensætning – mean-variance
46
parameter såsom huspriser, løn og BNP. Det vil f.eks. være muligt som Elton beskrev at modificere
tallene i analysen på baggrund af disse makroøkonomiske variabler, således at modellen er bedre
tilpasset til det turbulente marked. Dette kan også være problematisk da disse makroøkonomiske tal
også er baseret på fortiden, men de kan være med til at give et indblik i hvordan fremtiden ser ud,
med en vis varsomhed, og dermed få flere parametre at forudsige fremtiden på baggrund af.
At modellen bygger på risikoen kan måles ved hjælp af standart afvigelserne gør også at afkastet
skal være normalfordelt, hvilket der var problemer med i datamaterialet. Dette problem opstod til
dels pga. problemer med kurtosis, men også skæve fordelinger. Der er i Markowitz model ingen
mulighed for tage hensyn til en investors præference overfor højreskæve fordelinger.
En mulighed kunne være at benytte sig af en alternativ tilgang, hvor Markowitz udelukkende bruges
til at forudsige andele af aktier i en portefølje. Så porteføljen vil bestå af den 10 årige statsobligation
samt indekset for C20, da det har vist sig gennem flere studier at indeks investeringer klare sig bed-
re end de fleste porteføljemanagers sammensætninger.43
Rent praktisk vil det foregå på den måde at
hvis Markowitz model kommer frem til at den mest efficiente portefølje på det givet tidspunkt skal
indeholde 25 % aktier, skal der sammensættes en portefølje af 25 % af indekset for C20 og de reste-
rende 75 % skal bestå af den 10 årige statsobligation. På denne måde ville det måske være muligt at
sammensætte en bedre portefølje, men denne opgave har ikke til hensigt at analyserer for hvorvidt
dette kunne være en mulighed, men da Markowitz ifølge de tidligere sammensætninger kom frem
til at en portefølje skal indeholder mindre aktier end der var i benchmarket, kunne det tyde på at det
ville have været et bedre alternativ, da det var aktiemarkedet der trak benchmarket ned.
Det er efter ovenstående analyse forfatterens synspunkt trods alle de negative ting der følger med
modellen at Markowitz stadig har en plads i moderne porteføljeteori. Dels på grund af at ikke alle
sammensætninger var signifikant dårligere end benchmarket. Men lige så meget fordi at den rent
faktisk forudså at aktier skulle udgøre en mindre andel. Så hvis denne teori f.eks. bruges sammen
med andre makroøkonomiske retningslinjer, ville det være et udmærket redskab til at sammensætte
en efficient portefølje.
Magasinet ”trends in Investing” har FPA research center lavet en analyse der viser at der ikke er
enighed i finansverdenen om hvorvidt moderne porteføljeteori fejlede i 2008, dog mener 43 % at
den overlevede hvorimod 19 % mener at den fejlede, resten ved ikke.44
Der er således stor uenighed
43 (Evensky 2009)
44 (Sumnicht 2009)
Porteføljesammensætning – mean-variance
47
om hvorvidt moderne porteføljeteori overhovedet har sin værdighed i fremtiden. Det kan også være
et udtryk for menneskets natur at der skal være en grund til alt og at det i dette tilfælde er gået ud
over moderne porteføljeteori.
Porteføljesammensætning - EWMA
48
5. Porteføljesammensætning med EWMA
Dette afsnit har til formål at se om porteføljer konstrueret ved hjælp tidsvægtede standart afvigelser
og kovarianser er bedre, således at porteføljesammensætningen bliver bedre til at tilpasse sig, efter
hvordan markedet bevæger sig. Der er den forhåbning om at ved at vægte de seneste afkast højere
end de ældre, at det vil blive muligt at reagere hurtigere på markedet, for således at skabe et bedre
afkast en ved mean-variance.
5.1. Teoretisk gennemgang af EWMA
Grundideen bag exponential weighted moving average (EWMA) er at det nyeste data er det mest
relevante, således at disse data vægtes højere ved beregning af standart afvigelser samt kovarians.
Der er dog den ulempe at ved EWMA at pludselige udsving og støj kan have en afgørende betyd-
ning for sammensætningen af porteføljerne, hvorimod ved mean-variance forsvinder dette støj i det
store datamateriale. Så derfor antager EWMA at risikoen ikke er stationær, som der var forudsæt-
ningen for mean-variance. EWMA kan have sin fordel ved aktier som Vestas, da det tidligere blev
beskrevet hvordan denne aktie svingede meget, dette vil EWMA være bedre til at tilpasse sig efter.
Det er således muligt at bestemme variansen på følgende måde:45
𝜎2 = (1 − 𝜆) 𝜆𝑡−1 𝑟𝑖 − 𝜇𝑖 2
𝑀
𝑡=1
[5.1]
Under forudsætning af at (0 < 𝜆 < 1), hvor 𝜆 er en decay faktor, der bestemmer hvor meget fore-
gående datamateriale skal vægtes, således a hvis den sættes til tæt på 1 bliver de seneste observatio-
ner vægtet væsentlig stærkere end de foregående. Der vil i de kommende analyser blive benyttet en
decay factor på 0,94, denne er dog mest beregnet til dagsdata, hvorimod 0,97 benyttes til månedsda-
ta.46
Grunden til der er valgt en decay factor der svare til dagsdata, er for at nedsætte den støj der
kan findes i de voldsomme udsving markedet oplevede under finanskrisen.
Kovariansen kan udregnes på følgende måde:47
𝜎 𝑟𝑖𝑘 = (1 − 𝜆) 𝜆𝑡−1 𝑟𝑖𝑡 − 𝜇𝑖 ∗ (𝑟𝑘𝑡 − 𝜇𝑘)
𝑀
𝑡=1
[5.2]
45 (Horasanlı, Fidan 2007)
46 (Horasanlı, Fidan 2007)
47 (Horasanlı, Fidan 2007)
Porteføljesammensætning - EWMA
49
Efter at disse værdier er beregnet vil det være muligt at konstruere de enkelte porteføljer på samme
måde som det var gældende for mean-variance.
5.2. Udvikling af datamaterialet for de enkelte aktiver
Da der er blevet brugt det samme datamateriale som tidligere vil der i det efterfølgende kun blive
gennemgået hvordan EWMA har påvirket risikoen samt kovarianserne for de enkelte aktiver, da
afkastet er det samme som der blev benyttet tidligere.
5.2.1. Udvikling af std. afvigelserne
Da grundideen med EWMA netop var at beregne en mere retvisende risiko på de enkelte aktiver,
forventes der at de vil stige meget i løbet af de sidste måneder pga. det voldsomme udsving krisen
har medført på aktiemarkedet. Nedenfor i tabel 5.1 er de enkelte standart afvigelser samlet for alle
aktiver gennem perioden. Her ses det netop at de stiger meget kraftigt i november og december, to
ud af de tre bankaktier, Danske Bank og Sydbank, stiger med omkring en faktor 3 på bare en enkelt
måned. De eneste standart afvigelser der har været mere eller mindre stabile gennem hele perioden
er for de 3 obligationer. Her ses det også at de har stort set samme standart afvigelserne som dem
der var beregnet under Markowitz oprindelig teori. Dette er med til at illustrere at obligationer har
en væsentlig mindre risiko end aktier gennem krisetider.
Tabel 5.1, Oversigt over de beregnede standart afvigelserne ud fra EWMA
Aktier Obligationer
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
Jan. 3,6 3,7 3,2 6,8 3,9 2,9 2,9 4,9 2,1 4,1 4,3 2,8 3,3 4,0 7,0 4,2 0,2 0,3 0,6 Feb. 4,0 4,1 3,9 7,8 4,2 3,6 3,3 5,7 3,6 4,6 5,1 3,7 3,6 3,6 7,2 5,2 0,2 0,4 0,7 Mar. 3,9 4,0 4,4 7,6 3,9 3,2 3,5 5,2 3,8 4,5 4,7 3,6 3,4 3,5 6,5 4,7 0,2 0,4 0,7 Apr. 4,7 4,6 4,1 7,8 4,6 3,1 3,5 5,1 4,1 4,8 5,0 3,3 3,7 4,7 6,0 4,4 0,2 0,4 0,7 Maj. 4,4 4,3 3,6 7,3 4,1 3,0 3,5 4,8 4,0 4,5 4,7 3,2 3,6 4,2 5,4 4,1 0,2 0,5 0,7 Jun. 5,3 5,4 3,7 7,3 4,5 4,2 3,4 4,5 3,7 4,6 4,7 3,0 3,6 4,4 5,4 4,0 0,3 0,6 1,0 Jul. 4,9 4,9 3,6 7,1 4,6 4,8 4,1 4,1 3,6 4,3 4,4 2,9 3,8 4,2 5,4 4,1 0,4 0,8 1,0 Aug. 4,6 4,6 3,9 6,7 4,9 5,3 4,4 4,3 4,0 4,2 5,6 2,9 4,4 3,9 4,9 4,3 0,3 0,7 0,9 Sep. 4,6 4,6 5,2 7,6 4,5 4,9 4,2 4,2 4,0 3,9 5,4 3,0 4,5 4,0 4,7 5,2 0,3 0,8 0,9 Okt. 5,1 5,0 4,9 10,1 4,9 5,4 4,4 7,1 3,9 3,7 5,3 2,9 4,2 3,8 6,5 6,5 0,3 0,7 0,8 Nov. 8,2 8,1 12,6 13,1 7,6 8,1 12,3 11,5 7,4 6,2 8,5 5,8 11,9 7,7 16,1 8,9 0,3 0,7 1,0 Dec. 8,7 8,5 12,9 13,7 9,5 7,7 13,1 12,3 9,4 5,7 8,9 6,6 13,6 8,2 15,5 9,8 0,3 0,8 1,0
Kilde: Egen tilvirkning, Excel arket ”Varians EWMA”
Den største forskel fra mean-variance og så EWMA er ved Vestas, denne aktie havde en standart
afvigelse på omring de 8 gennem hele året, dog steg denne i løbet af november og december. Ud-
regnes samme standart afvigelserne vha. EWMA tegner der sig et helt andet billede, her ses det at
Porteføljesammensætning - EWMA
50
der som udgangspunkt i januar er mere eller mindre den samme standart afvigelse, denne falder dog
helt ned til 4,9 i september måned. Sammenholdes de ovenstående standart afvigelser for Vestas
med de reelle værdier beregnet i bilag 2, ses at værdierne regnet ud vha. EWMA følger de samme
svingninger, dog stadig med afvigelser, men dog ikke så markante som ved mean-variance. Det ses
derfor at EWMA er bedre til at udregne værdier der ligger tættere op af de reelle værdier, men dette
medføre ikke nødvendigvis bedre sammensætning af porteføljer da der stadig er forskel i værdierne.
5.2.2. Udvikling af korrelationen mellem aktiverne
Ligesom det var gældende for standart afvigelserne er også korrelationskoefficienterne blevet meget
mere dynamiske, således de svinger mere end de gjorde under mean-variance. Dette gør også gen-
nemgangen af dem mere kompliceret, så derfor vil der i det efterfølgende blive brugt samme struk-
tur som under mean-variance. Hvor der blev set på hvordan korrelationskoefficienterne så ud januar
2008, samt hvordan disse havde ændret sig i december 2008. Der vil således være flere ”bevægel-
ser” gennem 2008, men det er tendenserne der vil blive kommenteret på i det efterfølgende.
5.2.2.1. Korrelation for obligationerne
Umiddelbart ses der ikke den store forskel på korrelationskoefficienterne mellem de to tilgange,
men det ses i tabel 5.2 at korrelationen mellem aktierne og obligationerne imellem er blevet mere
negative. Hvilket kan medføre til yderligere diversifikation ved korrekt sammensætning af porteføl-
jerne. Korrelationen mellem de tre obligationer og Novo Nordisk er derimod blevet positiv, ligesom
korrelationen mellem de to Maersk aktier og den 10 årige statsobligation.
Tabel 5.2, oversigt over korrelationskoefficienterne mellem obligationer og aktier, jan 2008
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
2 års obl 0,13 0,08 0,16 0,36 0,11 0,02 0,24 0,35 0,12 0,11 0,16 0,25 0,42 0,26 0,14 0,02 1,00
5 års obl 0,17 0,15 0,21 0,37 0,26 0,20 0,42 0,46 0,23 0,07 0,32 0,06 0,42 0,30 0,25 0,20 0,82 1,00
10 års obl 0,06 0,08 0,13 0,23 0,11 0,12 0,33 0,30 0,19 0,03 0,15 0,10 0,36 0,30 0,17 0,29 0,76 0,82 1,00
Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”Porteføljemodel EWMA jan”
Der er dog ikke den helt store udvikling i obligationerne imellem ved de to fremgangsmåder, de er
mere eller mindre stadig perfekt korreleret imellem, desuden falder de endnu mere i løbet af året, jf.
tabel 5.3, men de er stadig meget positivt korreleret. Det vil derfor ikke forventes at de efterfølgen-
de porteføljekonstruktioner vil bestå af alle 3 obligationer, da dette ikke bidrager til risikonedsættel-
se uden kortsalg.
Porteføljesammensætning - EWMA
51
Tabel 5.3, Oversigt over korrelationskoefficienterne mellem obligationer og aktier, dec. 2008 M
aers
k A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
2 års obl. 0,10 0,11 0,02 0,18 0,07 0,06 0,05 0,28 0,08 0,05 0,15 0,05 0,03 0,13 0,06 0,00 1,00 5 års obl. 0,23 0,24 0,14 0,27 0,27 0,22 0,34 0,31 0,46 0,09 0,14 0,11 0,29 0,09 0,11 0,20 0,57 1,00
10 års obl. 0,37 0,36 0,31 0,19 0,36 0,14 0,20 0,34 0,23 0,12 0,47 0,05 0,27 0,13 0,10 0,03 0,64 0,68 1,00
Kilde: egen tilvirkning, Excelarket ”Porteføljemodel EWMA dec”
Den føromtalte tendens til at korrelationen vil stige gennem krisetider afspejler sig mest for den 2
årige samt 5 årige statsobligationer, hvorimod den 10 årige statsobligation har en større tendens til
at blive mere negativ korreleret gennem året. At denne bliver mere negativ, kan få betydning ved
sammensætningen af tangentporteføljerne, men obligationens RtV skal selvfølgelig også tages i
betragtning.
5.2.2.2. Korrelation for aktierne
Den mest markante forskel på aktiernes indbyrdes korrelation i forhold til ved mean-variance er at
stort set alle aktier korrelerer mere positivt med hinanden, dog med enkelte undtagelser med negativ
korrelation. Dette vil som tidligere nævnt få den konsekvens at det bliver svære at skabe en diversi-
ficeret portefølje, udelukkende bestående af aktier, såfremt målet er at minimere risikoen uden hen-
synstagen til afkastet.
Tabel 5.4, Oversigt over korrelationskoefficienterne mellem aktierne, jan 2008
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
Maersk A 1,00
Maersk B 0,99 1,00 Carlsberg B 0,37 0,37 1,00
Norden 0,45 0,43 0,39 1,00 DSV B 0,41 0,40 0,46 0,41 1,00
Danisco 0,34 0,34 0,44 0,25 0,48 1,00 Danske Bank 0,27 0,24 0,63 0,27 0,50 0,53 1,00
Flsmidth 0,44 0,42 0,36 0,54 0,67 0,31 0,41 1,00 Jyske Bank 0,25 0,22 0,41 0,30 0,55 0,40 0,69 0,48 1,00
H Lundbeck 0,21 0,17 0,19 0,36 0,27 0,04 0,08 0,20 0,24 1,00 NKT 0,68 0,67 0,54 0,37 0,69 0,51 0,58 0,73 0,53 0,24 1,00
Novo Nordisk 0,16 0,19 0,15 0,06 0,16 0,09 0,11 0,26 0,12 0,04 0,30 1,00 Sydbank 0,29 0,26 0,54 0,50 0,40 0,27 0,71 0,37 0,55 0,18 0,38 0,07 1,00
Topdanmark 0,07 0,05 0,44 0,33 0,47 0,35 0,60 0,28 0,66 0,27 0,27 0,02 0,58 1,00 Vestas 0,41 0,41 0,12 0,39 0,41 0,31 0,14 0,67 0,21 0,13 0,57 0,35 0,11 0,14 1,00
William Demant 0,02 0,02 0,23 0,15 0,45 0,49 0,55 0,32 0,44 0,24 0,34 0,20 0,41 0,48 0,29 1,00
Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”porteføljemodel EWMA jan”
Porteføljesammensætning - EWMA
52
Det det foregående var de to Maersk aktier tæt på at have en perfekt positiv korrelation, dette ses i
ovenstående tabel at være endnu mere tydeligt nu, hvilket gør at den eneste måde at kombinere dem
sammen for at nedbringe risikoen vil være ved kortsalg.
Tabel 5.5, Ændringer i korrelationskoefficienter fra januar til december 2008
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
Maersk A 1,00
Maersk B 1,00 1,00 Carlsberg B 0,76 0,77 1,00
Norden 0,80 0,81 0,62 1,00 DSV B 0,88 0,86 0,75 0,72 1,00
Danisco 0,53 0,56 0,38 0,61 0,33 1,00 Danske Bank 0,68 0,70 0,61 0,78 0,55 0,78 1,00
Flsmidth 0,85 0,85 0,73 0,83 0,85 0,53 0,68 1,00 Jyske Bank 0,52 0,55 0,46 0,65 0,46 0,53 0,82 0,45 1,00
H Lundbeck 0,42 0,43 0,23 0,55 0,26 0,71 0,66 0,42 0,37 1,00 NKT 0,74 0,74 0,75 0,58 0,67 0,46 0,62 0,68 0,45 0,42 1,00
Novo Nordisk 0,67 0,66 0,51 0,68 0,71 0,42 0,65 0,72 0,44 0,51 0,50 1,00 Sydbank 0,69 0,70 0,59 0,69 0,57 0,69 0,90 0,54 0,84 0,58 0,68 0,55 1,00
Topdanmark 0,80 0,80 0,68 0,67 0,80 0,50 0,66 0,78 0,37 0,46 0,53 0,77 0,56 1,00 Vestas 0,83 0,84 0,63 0,80 0,69 0,71 0,79 0,77 0,56 0,65 0,58 0,64 0,77 0,79 1,00
William Demant 0,50 0,44 0,33 0,26 0,58 0,06 0,13 0,51 0,02 0,19 0,45 0,43 0,18 0,49 0,35 1,00
Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”porteføljemodel EWMA dec”
De samme effekter med at de enkelte brancher korrelere stærkt med hinanden er også gældende ved
denne fremgangsmåde, specielt i bankbranchen. Denne effekt tiltager yderligere gennem 2008, så-
ledes at de også nærmer sig perfekt positiv korrelation indbyrdes, jf. tabel 5.5. Samtidig ses det at
William Demant, går modsat bankbranchen, således at korrelationen næsten bliver neutral i forhold
til bankerne.
5.3. Sammensætning af porteføljer uden kortsalg
De efterfølgende porteføljekonstruktioner er blevet udregnet på samme hvis som tidligere, med af-
sæt i EWMA, så standart afvigelser og kovarianserne bliver beregnet som gennemgået i teoriafsnit-
tet.
5.3.1. Sammensætning af MVP
Ved at konstruere MVP ud fra de gennemgåede data, ses det i tabel 5.6 at størstedelen af porteføljen
udgøres af obligationer, ligesom det var tilfældet med mean-variance, hvor aktierne udgjorde om-
kring 2 % gennem hele 2008. Dette er dog ikke tilfældet ved brug af EWMA, her ses det at andelen
af aktier er blevet mere dynamiske, således at de er bedre tilpasset med udviklingen i C20-indekset,
se figur 4.3. At andelen falder så drastisk hænger sammen med den stigende risiko samt den stigen-
Porteføljesammensætning - EWMA
53
de korrelation der var på de enkelte aktiver. Det vil derfor også forventes at MVP ud fra denne
sammensætning vil klare sig bedre end ved mean-variance.
At risikoen samt korrelationen har været stigende gennem de sidste måneder afspejles også i de
enkelte sammensætningers risiko, der stiger til det dobbelte gennem året. Det at der er brugt nye tal
til disse sammensætninger, gør at det ikke umiddelbart er muligt at sammenligne RtV på de to
fremgangsmåder. Det ses at det stadig gennem store dele af perioden ville være mere fordelagtigt at
placere midlerne til den risikofrie rente, ud fra en risikobetragtning.
Tabel 5.6, Porteføljekarakteristika for MVP uden kortsalg gennem 2008
Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV
Januar 2,6 % 97,4 % 0,086 0,145 0,027 Februar 4,6 % 95,4 % 0,089 0,142 0,075 Marts 5,6 % 94,4 % 0,091 0,145 0,098 April 5,4 % 94,6 % 0,086 0,150 0,069 Maj 5,1 % 94,9 % 0,082 0,158 0,011 Juni 6,4 % 93,6 % 0,081 0,206 -0,010 Juli 6,7 % 93,3 % 0,077 0,266 -0,050 August 6,4 % 93,6 % 0,078 0,244 -0,049
September 5,1 % 94,9 % 0,080 0,261 -0,017 Oktober 4,3 % 95,7 % 0,080 0,244 -0,010 November 0,9 % 99,1 % 0,074 0,323 -0,025
December 0,8 % 99,2 % 0,077 0,326 0,002
Gennemsnit 4,5 % 95,5 % 0,082 0,218 0,010 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”Realiseret afkast EWMA uden kortsalg”
Ses der på allokeringen af obligationerne er det igen den 2 årige statsobligation der indgår i sam-
mensætningerne, dog med en lille undtagelse i oktober hvor den 5 årige statsobligation også indgår,
jf. tabel 5.7. Grunden til at det netop er blevet denne der indgår, skal ses i lyset af den meget lille
risiko der er forbundet med den 2 årige statsobligation, ligesom det var tilfældet med mean-
variance.
Valget af aktier der indgår, syntes ikke at have den samme sammenhæng som ved mean-variance,
hvor der var næsten den samme andel hele vejen igennem året, eller de i det mindste indgår i en
længere periode af gangen. Da der ikke er dette ved brugen af EWMA, skyldes at de bagvedliggen-
de tal som risiko og korrelation er meget mere dynamiske og hele tiden ændre sig. Dette kan rent
praktisk betyde at det bliver svære at benytte sig af denne strategi, da det medføre øgede handels-
omkostninger for at omstrukturere porteføljen.
Porteføljesammensætning - EWMA
54
Tabel 5.7, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP
Aktier Obligationer
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
------------------------------------------------------------- % -------------------------------------------------------------- ----------- % -----------
Jan. 0,0 0,0 0,0 0,3 0,0 0,0 0,6 0,0 0,0 0,0 1,6 0,1 0,0 0,0 97,4 0,0 0,0
Feb. 0,0 0,0 0,4 0,0 0,0 0,0 0,2 1,0 0,5 0,5 1,9 0,0 0,0 0,0 95,4 0,0 0,0
Mar. 0,4 0,0 0,1 0,0 0,0 0,3 0,0 0,1 0,7 1,2 2,4 0,4 0,0 0,0 94,4 0,0 0,0
Apr. 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,2 0,0 0,4 1,0 0,3 1,5 0,9 0,0 0,2 94,6 0,0 0,0
Maj. 1,1 0,0 0,6 0,1 0,0 0,0 0,0 0,7 1,5 0,0 0,1 0,9 0,0 0,0 94,9 0,0 0,0
Jun. 3,6 0,0 0,0 0,0 0,6 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,7 1,2 0,3 0,0 93,6 0,0 0,0
Jul. 3,0 0,0 0,3 0,0 1,6 0,0 0,0 0,0 0,3 0,0 0,0 0,8 0,8 0,0 93,3 0,0 0,0
Aug. 2,6 0,0 1,1 0,0 1,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,7 0,8 0,0 93,6 0,0 0,0
Sep. 2,2 0,0 0,0 0,0 0,6 0,0 0,0 0,0 0,2 0,0 0,5 0,0 1,0 0,4 94,9 0,0 0,0
Okt. 0,0 2,2 0,0 0,0 0,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,8 0,0 0,5 0,5 88,7 7,0 0,0
Nov. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,6 0,0 0,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 99,1 0,0 0,0
Dec. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 99,2 0,0 0,0
Anm.: DSV og NKT er udeladt da disse ikke på noget tidspunkt indgår i MVP
Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”Realiseret afkast EWMA uden kortsalg”
5.3.2. Sammensætning af tangentporteføljer porteføljerne
Udviklingen af aktiernes andele i tangentporteføljerne, følger samme udvikling som det var tilfæl-
det ved MVP, dog i et større omfang, således at der i juli måned var 45,7 % aktier, da andelen af
aktier toppede. Selvom korrelationen mellem aktier og obligationer var negativ i december måned,
var det ikke nok til at opveje den stigende risiko der var forbundet med investeringer i aktier, såle-
des at andelen blev nedbragt til 9,3 % i december, jf. tabel 5.8. Den største forskel mellem de to
tilgangsmåder porteføljerne bliver konstrueret på, er at der ved brug af mean-variance bliver aktier-
ne ikke reduceret nær så kraftigt som er tilfældet her. Dette skyldes naturligvis at de store udsving
der var i markedet forsvandt i datamaterialet ved brug af mean-variance. Ligesom det var tilfældet
for MVP vil disse konstruktioner også forventes at klare sig bedre, alene på baggrund af at andelen
af aktier er blevet reduceret meget mere.
Porteføljesammensætning - EWMA
55
Tabel 5.8, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne uden kortsalg
Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV
Januar 22,4 % 77,6 % 0,203 0,498 0,244 Februar 15,1 % 84,9 % 0,166 0,346 0,253 Marts 18,4 % 81,6 % 0,181 0,379 0,273 April 20,1 % 79,9 % 0,192 0,463 0,251 Maj 25,6 % 74,4 % 0,233 0,614 0,249 Juni 31,5 % 68,5 % 0,268 0,861 0,215 Juli 45,7 % 54,3 % 0,335 1,456 0,168 August 41,0 % 59,0 % 0,303 1,225 0,174
September 38,3 % 61,7 % 0,268 0,938 0,196 Oktober 32,5 % 67,5 % 0,209 0,792 0,160 November 14,3 % 85,7 % 0,197 1,680 0,068
December 9,3 % 90,7 % 0,164 1,118 0,079
Gennemsnit 26,2 % 73,8 % 0,227 0,864 0,194 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”Realiseret afkast EWMA uden kortsalg
Ses der på hvordan andelen af aktier bliver fordelt på de enkelte aktier, ses det at det stort set er de
samme aktier der indgår ved brug af EWMA, dog med den lille forskel at Carlsberg er blevet ude-
ladt denne gang, hvor den har givet plads til Vestas, jf. tabel 5.9. At Vestas har fået en plads fra juni
til september, skyldes til dels at risikoen faldt meget gennem denne periode, hvorimod den lå som
den aktie med højeste risiko ved mean-variance. For obligationernes vedkommende er billedet det
samme med at det er den 10 årige statsobligation der er dominerende, dog med den undtagelse i
starten af året, her har den 5 årige fået en væsentlig større andel end det var tilfældet med mean-
variance.
Norden har fået en væsentlig mindre dominerende rolle i denne sammensætning, den lå aldrig under
10 % ved mean-variance. Grunden til dette skal igen findes i standart afvigelserne denne var væ-
sentlig lavere før, hvorimod den nu er blevet væsentlig mere risikofyldt, således at den ved mean-
variance have en lille standart afvigelse samt et meget højt afkast, dette gjorde den meget lukrativt
at investerer i ud fra teorien.
Porteføljesammensætning - EWMA
56
Tabel 5.9, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne
Aktier Obligationer
No
rden
DSV
B
Jysk
e B
ank
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
--------------------------------------------------- % --------------------------------------------------- --------------- % ---------------
Jan. 4,4 0,0 8,7 0,7 4,4 4,2 0,0 0,0 0,0 0,0 71,6 6,0 Feb. 2,6 0,3 0,0 0,0 4,5 6,2 1,4 0,0 0,0 0,0 77,5 7,4 Mar. 2,7 0,5 0,0 0,0 5,3 6,7 3,3 0,0 0,0 0,0 53,4 28,1 Apr. 3,3 2,1 0,0 0,0 4,4 6,2 3,9 0,0 0,3 0,0 28,3 51,6 Maj. 6,3 1,3 0,0 1,3 4,9 4,8 6,2 0,0 0,9 0,0 0,0 74,4 Jun. 8,4 0,0 0,0 0,0 3,4 9,2 7,3 2,0 1,2 0,0 0,0 68,5 Jul. 13,7 0,0 0,0 0,0 8,7 9,4 8,9 5,0 0,0 0,0 0,0 54,3 Aug. 12,1 0,0 0,0 0,0 7,3 9,2 7,0 5,3 0,0 0,0 0,0 59,0 Sep. 7,4 0,0 0,0 0,0 5,0 11,8 7,1 6,9 0,0 0,0 0,0 61,7 Okt. 3,6 0,0 0,0 0,0 8,4 10,6 10,0 0,0 0,0 0,0 17,4 50,1 Nov. 9,9 1,9 0,0 2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 85,7 Dec. 5,6 0,0 0,0 3,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 90,7
Kilde: Egen tilvirkning, Excelfil ”Realiseret afkast EWMA uden kortsalg”
Efter ovenstående gennemgang, tegner der sig et meget godt billede af hvor fleksibel EWMA er, til
at tilpasse porteføljerne til de nuværende markedsforhold. Dette kan også vise sig at blive et pro-
blem at den er så fleksibel, dette kommer til udtryk ved f.eks. hvis der er en periode med høje stan-
dart afvigelser, hvilket ikke er sikkert at det vil forblive sådan fremover. Således at risikoen med at
spå om fremtiden baseret på fortiden stadig er problematisk.
5.4. Sammensætning af porteføljer med kortsalg
De efterfølgende porteføljekonstrueret er lavet på samme måde som ved mean-variance, med de
samme begrænsninger.
5.4.1. Sammensætning af MVP
Ved at sammensætte MVP med kortsalg ud fra EWMA opnås der en væsentlig større andel at aktier
i porteføljen. At der er så stor forskel på brutto- og nominelle andele skyldes at der bliver kortsolgt i
et relativ stort omfang, allerede ved MVP, hvilket ikke var tilfældet ved mean-variance.
De generelle bevægelser af andele, følger de tidligere tendenser med at reducere andelen af aktier i
løbet af den sidste del af året, således at der faktisk bliver kortsolgt flere aktier end der er blevet
købt i december.
Porteføljesammensætning - EWMA
57
Tabel 5.10, Porteføljekarakteristika for MVP med kortsalg
Brutto andele Nominelle andele
Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV
Januar 0,3 % 99,7 % 17,9 % 82,1 % 0,069 0,092 -0,141 Februar 4,2 % 95,8 % 15,9 % 84,1 % 0,075 0,107 -0,028 Marts 6,8 % 93,2 % 12,1 % 87,9 % 0,076 0,126 -0,009 April 7,0 % 93,0 % 16,8 % 83,2 % 0,066 0,122 -0,083 Maj 5,3 % 94,7 % 19,5 % 80,5 % 0,075 0,134 -0,045 Juni 6,9 % 93,1 % 21,8 % 78,2 % 0,062 0,139 -0,152 Juli 7,2 % 92,8 % 23,8 % 76,2 % 0,041 0,157 -0,314
August 7,0 % 93,0 % 27,9 % 72,1 % 0,052 0,171 -0,220 September 6,2 % 93,8 % 16,0 % 84,0 % 0,059 0,208 -0,122 Oktober 4,7 % 95,3 % 24,4 % 75,6 % 0,058 0,201 -0,118 November 0,3 % 99,7 % 25,7 % 74,3 % 0,050 0,205 -0,159
December -0,6 % 100,6 % 15,4 % 84,6 % 0,058 0,221 -0,086
Gennemsnit 4,6 % 95,4 % 19,8 % 80,2 % 0,062 0,157 -0,123 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”realiseret afkast EWMA med kortsalg”
I modsætningen til de konstruktioner der blev foretaget uden kortsalg er RtV negativ gennem hele
2008. Dette sket som følge af at minimere risikoen så meget, således at det forventede afkast også
er kraftigt reduceret i forhold til uden kortsalg. Det ses således at det er muligt at udnytte de positive
korrelationer til at minimere risikoen vha. kortsalg. Dette ses meget tydeligt i tabel 5.11, hvor de to
Maersk aktier er henholdsvis blevet købt og kortsolgt. Disse to aktiers indbyrdes korrelation var
som føromtalt så godt som perfekt positiv korreleret. Det er på samme grundlag at der vælges at
kortsælge den 10 årige statsobligation, som det var tilfældet for de to Maersk aktier. Derudover ses
det at det igen er den 2 årige statsobligation der udgør størstedelen af obligationerne, hvilket det har
været til for samtlige MVP sammensætninger.
Porteføljesammensætning - EWMA
58
5.11, Oversigt over allokeringen af de forskellige aktiver i MVP med kortsalg
Aktier Obligationer
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
----------------------------------------------------------------- % ----------------------------------------------------------------- --------- % --------
Jan 8,1 -7,5 -0,7 -0,2 -0,2 0,3 1,6 1,2 -2,8 0,5 -0,5 -0,6 1,4 1,6 0,6 -2,4 100 18,9 -19,2
Feb 6,8 -6,0 1,0 -0,3 -0,2 0,1 0,0 1,1 2,2 0,8 -1,7 0,2 2,0 -0,7 0,1 -1,1 100 12,7 -16,8
Mar 0,6 0,7 -0,4 -0,6 -0,1 1,1 1,3 0,8 0,2 1,6 -2,2 1,3 3,1 0,4 0,4 -1,3 100 4,5 -11,3
Apr 4,8 -2,1 -0,4 -1,2 -0,9 0,7 1,2 1,0 0,4 1,7 -2,6 0,8 2,7 1,3 0,6 -0,9 100 4,0 -11,0
Maj 8,3 -6,0 1,6 -0,2 -1,3 0,0 -1,6 0,4 0,8 1,4 -0,7 -0,4 0,6 1,8 0,3 0,3 100 0,4 -5,7
Jun 10,6 -6,1 1,3 -0,5 -2,8 1,0 -1,6 0,9 -0,6 1,3 -2,3 0,3 2,0 2,3 0,8 0,3 100 9,1 -16,0
Jul 13,0 -7,6 3,5 -1,9 -2,6 2,7 -3,9 0,5 0,7 2,0 -1,9 -0,5 -0,1 2,6 1,3 -0,7 100 19,1 -26,3
Aug 17,0 -11,4 3,0 -1,8 -1,5 1,1 -1,7 0,6 -1,4 0,8 -1,5 -0,4 0,7 2,7 1,0 -0,2 100 6,6 -13,6
Sep 3,4 -0,3 1,4 -0,7 -3,0 1,0 -2,7 3,6 -0,4 1,8 -2,0 0,5 2,3 0,8 0,0 0,6 100 11,2 -17,4
Okt -6,2 9,5 2,3 0,1 -2,5 1,0 -3,4 2,5 -0,8 2,0 -2,3 -0,4 2,4 -0,2 -0,8 1,6 100 6,6 -11,3
Nov -8,4 10,2 0,2 -0,1 -1,4 2,2 -1,3 3,4 -0,8 3,0 -1,4 -2,1 1,6 -2,2 -2,2 -0,5 100 8,9 -9,2
Dec 5,8 -4,3 -0,8 -0,2 -1,0 -0,1 0,6 4,0 0,7 0,7 -1,1 -1,1 0,1 -1,9 -1,6 -0,5 100 17,4 -16,7
Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”realiseret afkast EWMA med kortsalg”
I forhold til tidligere MVP med kortsalg bliver der kortsolgt betragtelig mere ved brugen af EWMA,
dette er sket ved kortsalget er spredt ud over flere aktiver end tidligere ved mean-variance. Grund-
laget for at der er blevet kortsolgt mere, er at der har været en væsentlig højere korrelation mellem
de enkelte aktier. Dette har dog også sat sine spor på det forventet afkast der er væsentlig lavere.
5.4.2. Sammensætning af tangentporteføljer
Efter at tangentporteføljerne med kortsalg er blevet sammensæt, tegner der sig et billede af at der
bliver kortsolgt aktier i væsentlig større omfang en der er set i de tidligere konstruktioner. Dette
betyder at der igennem hele 2008 har været en klar overvægtning af aktier, hvilket ikke er set tidli-
gere. Det har i starten af 2008 været så meget at obligationerne brutto udgjorde over 100 %, jf. tabel
5.12.
At der bliver kortsolgt i så stort et omfang påvirker også nøgletallene. Det forventede afkast ligger
højere end ved tidligere konstrueret porteføljer, men ved at kortsælge så meget som er tilfældet lig-
ger den gennemsnitlige risiko ikke over tilsvarende porteføljer konstrueret med mean-variance. Det
at der bliver kortsolgt så meget som er tilfældet her, gør også at porteføljerne er ekstra udsatte så-
fremt kurserne stiger på de kortsolgte aktier og tilsvarende falder for de der er købt.
Porteføljesammensætning - EWMA
59
Tabel 5.12, Porteføljekarakteristika for tangentporteføljerne med kortsalg
Brutto andele Nominelle andele
Aktier Obligationer Aktier Obligationer Afkast Std. afv RtV
Januar 6,2 % 93,8 % 66,8 % 33,2 % 1,183 2,631 0,418 Februar -3,0 % 103,0 % 60,9 % 39,1 % 0,881 1,781 0,451 Marts 10,1 % 89,9 % 57,5 % 42,5 % 0,670 1,311 0,453 April -5,2 % 105,2 % 52,9 % 47,1 % 0,388 0,809 0,385 Maj 5,8 % 94,2 % 56,8 % 43,2 % 0,405 0,962 0,337 Juni 21,6 % 78,4 % 77,6 % 22,4 % 0,672 1,842 0,320 Juli 29,3 % 70,7 % 80,4 % 19,6 % 1,318 4,263 0,288
August 42,3 % 57,7 % 67,1 % 32,9 % 0,944 2,779 0,307 September 38,6 % 61,4 % 67,2 % 32,8 % 0,738 1,954 0,334 Oktober 50,9 % 49,1 % 79,5 % 20,5 % 0,890 2,329 0,347 November 19,3 % 80,7 % 72,0 % 28,0 % 0,910 3,621 0,228
December 10,3 % 89,7 % 81,0 % 19,0 % 0,956 3,717 0,237
Gennemsnit 18,8 % 81,2 % 68,3 % 31,7 % 0,830 2,333 0,342 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”realiseret afkast EWMA med kortsalg”
Det karakteristiske ved indholdet af de enkelte porteføljer er at stort set alle aktier indgår med store
andele, hvilket gør at den føromtalte risiko forstærkes yderligere, men hvis forudsigelserne er rigtig
kan det selvfølgelig også generere et tilsvarende stort afkast. På denne baggrund må det også for-
ventes at disse porteføljer er veldiversificeret, således at Treynor- og Jensen-indekset vil blive mere
pålideligt
Igen bliver de to Maersk aktier benyttet til at nedsætte risikoen, da den ene bliver købt hvor den
anden bliver kortsolgt, dog er der ikke samme sammenhæng mellem dem, da B aktien bliver kort-
solgt i maksimalt omfang gennem næsten hele året.
Ligesom det har været tilfælde for de andre tangentporteføljer bliver der investeret i den 10 årige
statsobligation, men der bliver dog kortsolgt af den 5 årige statsobligation hvilket ikke har været
tilfældet tidligere, hvor det derimod var den 2 årige statsobligation der blev kortsolgt.
Porteføljesammensætning - EWMA
60
Tabel 5.13, Allokeringen af de forskellige aktiver i tangentporteføljerne med kortsalg
Aktier Obligationer
Mae
rsk
A
Mae
rsk
B
Car
lsb
erg
B
No
rden
DSV
B
Dan
isco
Dan
ske
Ban
k
Flsm
idth
Jysk
e B
ank
H L
un
db
eck
NK
T
No
vo N
ord
isk
Syd
ban
k
Top
dan
mar
k
Ves
tas
Will
iam
Dem
ant
2 å
rs o
bl
5 å
rs o
bl
10
års
ob
l
------------------------------------------------------------------------- % ------------------------------------------------------------------------- ----------- % -----------
Jan. 39,4 -100 -23,3 38,6 13,4 -26,9 -43,9 -54,1 58,7 -28,5 90,7 24,6 29,4 -10,8 -5,5 4,3 -100 94,4 99,4
Feb. 46,7 -100 -15,8 25,0 19,1 -23,1 -17,6 -46,8 10,3 -18,2 62,6 27,6 24,3 9,9 4,4 -11,5 -97,0 100 100
Mar. 64,2 -100 1,1 20,5 12,3 -14,5 -8,8 -29,5 1,3 -16,9 37,8 22,6 17,4 6,7 1,7 -5,9 -88,4 78,3 100
Apr. 89,5 -100 3,5 12,3 12,9 -19,8 -11,2 -19,7 1,2 -17,3 15,0 6,1 5,5 7,3 3,1 6,4 99,9 -94,8 100
Maj. 40,3 -54,0 -8,1 14,1 13,9 -16,1 9,0 -11,7 8,0 -16,0 9,9 5,3 -2,3 8,2 -0,5 5,9 32,1 -37,9 100
Jun. 84,1 -99,7 -21,4 25,9 11,4 -26,6 23,0 -25,6 -0,8 -31,0 4,8 13,4 29,8 16,4 18,6 -0,7 -23,4 1,9 100
Jul. 60,1 -100 -22,1 49,2 47,7 -46,8 9,4 -100 36,4 -75,0 43,8 16,9 36,0 36,1 64,6 -26,9 29,5 -58,8 100
Aug. 53,5 -100 -31,8 39,5 16,1 -5,9 -0,7 -48,4 24,1 -31,6 16,4 38,3 32,4 22,6 41,2 -23,4 57,7 -100 100
Sep. 76,6 -100 -20,8 25,6 10,7 -8,0 -11,5 -60,3 11,4 -25,5 22,6 19,6 27,6 27,4 41,6 1,7 50,6 -89,1 100
Okt. 65,8 -100 -33,5 24,6 14,9 -16,6 3,6 -76,1 11,2 -39,5 28,5 35,1 39,5 38,3 57,3 -2,2 -21,4 -29,5 100
Nov. 38,3 -100 -21,5 42,9 16,2 7,0 -58,4 -27,0 6,6 -26,9 41,1 10,9 26,7 59,6 4,9 -1,1 35,7 -55,0 100
Dec. 17,4 -100 -14,8 49,3 20,1 18,4 -34,7 -32,2 11,3 -29,8 59,0 -5,8 -2,0 62,6 2,2 -10,8 -3,6 -6,7 100
Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”realiseret afkast EWMA med kortsalg”
5.5. Performansevaluering
For at skabe mest mulig overskuelighed vil der i den kommende performance analyse blive sam-
mensat porteføljer på samme måde som ved mean-variance. Hvor der blev sammensat fire porteføl-
jestrategier til henholdsvis MVP og tangentporteføljerne, med og ude kortsalg.
5.5.1. Performance for MVP
Det ses i tabel 5.14 at alle otte MVP har genereret et gennemsnitlig positivt afkast, de fire MVP
med kortsalg har dog genereret en noget bedre afkast, end de fire uden kortsalg. Således at de ses at
der med fordel kan anvendes kortsalg ved MVP, dette er dig uden at der er taget højde for risikoen
der er forbundet med de enkelte porteføljer. Risikoen er mere eller mindre den samme som de var
under mean-variance, dog en anelse højere specielt for de fire porteføljer med kortsalg.
For at tage højde for risikoen i evalueringen af porteføljerne er der blevet beregnet de samme nøgle-
tal som tidligere, men denne gang er Treynor medtaget med kortsalg, da det jf. tidligere gennem-
gang var en bedre diversificering blandt MVP med kortsalg en der tidligere har været.
Ses der udelukkende på de fire MVP uden kortsalg, ses det at de alle fire har genereret en positiv
alpha, således at de alle har givet et bedre afkast end der var forventet. Dog har MV3U skabt et
marginalt bedre alpha end de tre andre. Det er derimod MV4U jf. Sharpe været den portefølje der
har været bedst, dog har alle fire sammensætninger haft en negativ Sharpe, grundet det lavere afkast
end den risikofrie rente, men det er trods alt bedre end benchmarket. Ud fra dette må det antages
Porteføljesammensætning - EWMA
61
ved sammensætning af MVP uden kortsalg kan det bedst betale sig at gøre det ud fra mean-variance
teorien.
Tabel 5.14, Performancemål for MVP
MVP uden kortsalg MVP med kortsalg Benchmark
MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M
Afkast 0,072 0,051 0,064 0,072 0,131 0,120 0,141 0,098 -0,344 Std. afv. 0,373 0,476 0,414 0,407 0,423 0,598 0,489 0,481 2,132
Sharpe -0,024 -0,063 -0,040 -0,021 0,119 0,066 0,124 0,036 -0,199 Treynor -------- -------- -------- -------- 0,021 0,024 0,034 0,012
Jensen 1,214 1,358 1,360 1,215 1,075 0,746 0,805 0,649 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”performance EWMA”
I modsætningen til MVP uden kortsalg har det været muligt at skabe et afkast der er ca. dobbelt så
højt ved brug af EWMA, uden at standart afvigelserne er steget tilsvarende. Ud fra Jensen er det
MV1M der har skabt det bedste ekstra afkast, men de tre performancemål giver ikke et entydigt
svar denne gang. Sharpe og Treynor peger derimod begge på at MV3M skulle være et bedre alter-
nativ. Dette må også antages at være sandt, da netop Sharpe tager højde for både bredden og dybden
af porteføljen. Det ses således at ved at vægte de seneste standart afvigelser højere, giver en mere
efficient portefølje.
Ved at estimere alpha værdierne ses det at der ikke er nogen statistisk sikkerhed for at MVP uden
kortsalg klare sig bedre eller dårligere end benchmarket. Det vides således ikke om det blot var et
tilfælde at de genererede et bedre afkast end benchmarket.
Tabel 5.15, Estimerede alpha værdier
MVP uden kortsalg MVP med kortsalg
MV1U MV2U MV3U MV4U MV1M MV2M MV3M MV4M
Alpha 0,029 (0,046)
0,039 (0,047)
0,036 (0,046)
0,036 (0,049)
*0,091 (0,054)
0,096 (0,076)
**0,099 (0,065)
0,050 (0,065)
Anm.: * angiver signifikant ved 10 % og ** signifikant ved 15 %
Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag 4
Det er derimod med en hvis sandsynlighed at det kan konkluderes at MV1M og MV3M har karet
sig bedre end benchmarket. Det skal dog bemærkes at MV3M kun er signifikant ved 15 %, dette
sammenholdt med værdierne fra tabel 5.14 tyder det således på at en investor med ovennævnte por-
teføljer har haft et bedre afkast end benchmarket. Havde der været taget handelsomkostninger med i
betragtning, var det ikke sikkert at MV3M ville have været så fordelagtig som det ses, da en oftere
omstrukturering af porteføljen ville have medført et ringere afkast efter handelsomkostningerne.
Porteføljesammensætning - EWMA
62
5.5.2. Performance for tangentporteføljerne
Det karakteristiske ved tangentporteføljerne er at de i teorien burde generere et bedre afkast i for-
hold til MVP, dog med en større risiko, men samlet set skulle risikopræmien være højere i tangent-
porteføljerne. Det ses i tabel 5.16, at tangentporteføljerne ikke lever op til kravet om bedre afkast,
det levere faktisk et ringere afkast end MVP. Årsagen til dette skal findes i den større andel af aktier
der indgår i disse porteføljer.
Det forholder sig sådan at den portefølje der har klaret sig bedst, uden at tage højde for risikoen er
RtV1U, altså den der er sammensat i januar 2008. Det skal også bemærkes at det er den portefølje
med den laveste risiko, men den genererer dog et afkast der er negativt i et omfang svarende til
benchmarket. Tages risikoen med ind i vurderingen af porteføljernes performance ses det igen at det
er RtV1U der jf. Jensen har været den portefølje der har genereret det bedste afkast end forventet,
således at taget dens risiko i mente burde den have haft et ringere afkast. Det er ligeledes tilfældet
med Treynor, dog skal det bemærkes at porteføljerne konstrueret uden kortsalg med EWMA kan
have problemer med at opfylde kravet om diversifikation, jf. Treynor. Således at det vil give et me-
re retvisende billede at se på Sharpe der peget på at RtV2U skulle have formået at generere det bed-
ste afkast i forhold til dennes risiko. At denne er bedre skyldes dens noget højere risiko i forhold til
de andre, dog har afkastet været ringere, men ikke i forhold til den forbundne risiko.
Tabel 5.16, Performancemål for tangentporteføljerne
Tangent porteføljer uden kortsalg Tangent porteføljer med kortsalg Benchmark
RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M
Afkast -0,313 -0,540 -0,404 -0,323 -1,535 -1,787 -1,092 -1,188 -0,344 Std. afv. 1,328 2,986 2,025 1,782 6,771 10,207 8,098 6,838 2,132
Sharpe -0,296 -0,208 -0,239 -0,226 -0,239 -0,183 -0,145 -0,186 -0,199 Treynor -0,288 -0,930 -0,506 -0,382 20,058 -15,852 -7,565 -7,533
Jensen 0,187 -0,337 -0,078 0,046 -1,650 -1,818 -1,107 -1,197 Kilde: Egen tilvirkning, Excelarket ”performance EWMA”
Tages kortsalg med i betragtningen ses der igen at det er nødvendig med en oftere omstrukturering
af porteføljen for at minimere tabet gennem 2008, dog igen uden at tage højde for risikoen således
at RtV3M er den portefølje der har genereret det bedste afkast, dog stadig negativt. Ligeledes ses
der igen modsat teorien at porteføljerne med kortsalg har en højere risiko end de tilsvarende porte-
føljer uden.
Det er således også det er den selvsamme porteføljer der jf. Jensen har formået at generere det bed-
ste ekstraafkast, dog stadig et negativt afkast. Dog findes der ikke noget entydigt svar blandt de tre
performancemål. Det ses bl.a. at RtV1M har en meget stor Treynor værdi, dette skyldes en negativ
Porteføljesammensætning - EWMA
63
betaværdi der fremkommer af den negative korrelation mellem afkastserien for RtV3M og bench-
market. Ifølge Sharpe er det også RtV3M der har klaret sig bedst i forhold til dens risiko, ligesom
det var tilfældet med Jensen, således at det må konkluderes at det er den af de 4 strategier der har
været bedst, også rent afkastmæssigt.
Modsat Treynor og Jensens indeks, viser det sig faktisk at RtV1U har genereret et negativt afkast
gennem 2008 ved at estimere alpha vha. liniær regression. Det er dog ikke muligt at konkludere
hvilken af de tre andre porteføljer der er det bedste alternativ, da ingen af dem har en signifikant
alpha værdi.
Tabel 5.17, Estimerede alpha værdier
MVP uden kortsalg MVP med kortsalg
RtV1U RtV2U RtV3U RtV4U RtV1M RtV2M RtV3M RtV4M
Alpha **-0,168 (0,101)
-0,065 (0,153)
-0,118 (0,121)
-0,090 (0,120)
*-1,961 (0,944)
-0,721 (1,126)
-0,223 (0,944)
-0,533 (0,830)
Anm.: * angiver signifikant ved 5 % og ** signifikant ved 10 %
Kilde: Egen tilvirkning, output fra Eviews vedlagt i bilag 4
Tages kortsalg med i betragtningen ses det at porteføljen skal omstruktureres mere end en gang i
løbet af året, da RtV1M har genereret et meget dårligt signifikant afkast. Det kan dog ikke konklu-
deres hvorvidt de tre andre alternativer generere et bedre afkast end benchmarket da de ikke har en
signifikant alpha værdi.
Ud fra ovenstående gennemgang, ses det at Sharpe er det bedste performancemål til evalueringen af
porteføljerne, da denne påpegede at RtV1U og RtV1M havde den ringeste risikopræmie pr. risiko-
enhed, hvilket kan påvises at have en signifikant negativ alpha.
5.6. Evaluering af Markowitz porteføljeteori med udgangspunkt i EWMA
Efter gennemgangen af EWMA ses det at det var muligt at skabe et signifikant bedre afkast end
benchmarket i MVP med kortsalg, ved at omstrukturere porteføljen kvartalsvist. Det var ligeledes
muligt at påvise at tangentporteføljer sammensat januar 2008, både med og uden kortsalg skaber et
signifikant ringere afkast end benchmarket. For at skabe det bedst mulige afkast, ved hjælp af EW-
MA for tangentporteføljerne skulle der ikke benyttes en så aktiv strategi, da de bedste Sharpe ratios
blev opnået ved at omstrukturere porteføljen hvert halve år, dog uden at der var skabt et signifikant
merafkast end benchmarket.
Netop at EWMA er god til at tilpasse sig omgivelserne medførte en forventning om at det var bedst
at føre en aktiv strategi med hyppige omstruktureringer. Dette viste sig dog under performance ana-
Porteføljesammensætning - EWMA
64
lysen ikke at være tilfældet, det tyder således på at EWMA kan komme med forhastede konklusio-
ner.
Det kunne eventuelt være forsøgt at analyserer hvorvidt en anden decay factor kunne have genereret
et bedre signifikant afkast. Dette er dog ikke forsøgt da det viste sig at hyppige omstruktureringer af
porteføljerne ikke var nogen god løsning. Det antages derfor at en højere decay factor ville have
påvirket resultatet negativt, da en sådan model er mere eksponeret for støj i datamaterialet.
5.6.1. Performance forskelle mellem mean-variance og EWMA
Den største forskel mellem de to tilganges performance skal findes blandt MVP. Ud fra Markowitz
oprindelige tankegang, var det ikke muligt at genererer nogle signifikant positive alphaer, det var
det derimod med EWMA, hvor der var to porteføljer med kortsalg der skabte en positiv alpha. For
tangentporteføljernes vedkommende var det heller ikke muligt ud fra de to tilgange at sammensætte
en portefølje med en signifikant alpha, hverken ved brug af mean-variance eller EWMA.
Hvis der derimod tages afsæt i Sharpe, der viste sig at være en udmærket indikator for hvordan de
enkelte porteføljer klarede sig. Her viste det sig at MVP uden kortsalg klarede sig bedst med ud-
gangspunkt i mean-variance, hvorimod med kortsalg skulle der gøres brug af EWMA. For tangent-
porteføljerne var brugen af EWMA bedst for samtlige porteføljer på nær RtV1U. Så ud fra Sharpe
konkluderes det at det at det bedste resultat opnås vha. af EWMA, da denne tilgang er bedst til at
tilpasse de enkelte porteføljers sammensætning, efter hvordan markedet agerer.
Konklusion
65
6. Konklusion
Med udgangspunkt i Markowitz porteføljeteori, er det blevet undersøgt hvordan denne klarede sig
igennem finanskrisen i 2008, ved at sammensætte forskellige porteføljer på baggrund af mean-
variance og EWMA.
Markowitz porteføljeteori består af tre grundelementer, afkast, risiko samt korrelation imellem akti-
ver. Til at beregne afkastet blev der benyttet det geometriske afkast, da denne havde sine fordele
ved finansielle tidsserier. Ud fra disse afkast blev risikoen beregnet som variansen herpå, samt de
enkelte aktivers indbyrdes korrelation imellem. Ud fra disse tre parametre var det dermed muligt at
sammensætte den efficiente rand, der dækker over de kombinationsmuligheder for et givet afkast
ved at minimere risikoen. På denne rand er der to interessante punkter, MVP og tangentporteføljen.
MVP dækker over den kombinationsmulighed hvorved den laveste risiko findes, uden at tage højde
for afkastet. I MVP var det muligt at sammensætte en portefølje med mindre risiko end det aktiv
med den mindste risiko, ved at udnytte de indbyrdes korrelationer. Tangentporteføljen dækker over
den kombinationsmulighed hvor der opnås den største risikopræmie pr. risikoenhed, således den
bedste kombinationsmulighed på randen. Ved at sammensætte porteføljerne korrekt var det muligt
at bortdiversificere den usystematiske risiko, der er forbundet med at investere i et enkelt aktiv. Det
viste sig også at det ikke var muligt at bortdiversificere den systematiske risiko, som finanskrisen
hørte under. Der er ved sammensætningen af den efficiente rand to tilgangsmåder. Den ene er med
en restriktion om at det ikke er tilladt at kortsælge, altså låne en aktie af en anden investor og sælge
den, for senere at købe den tilbage igen billigere, og levere den tilbage til den oprinde investor igen.
Ved at benytte sig af kortsalg var det muligt at nedbringe risikoen yderligere, ved at udnytte at nog-
le aktiver korrelere meget med hinanden, således den ene kunne kortsælges og den anden købes.
Efter at have testet datamaterialet for hvorvidt afkastserien fulgte en normalfordeling, tegnede der
sig et klart billede af at samtlige afkastserier havde problemer med både skævhed samt kurtosis.
Dog viste det sig at afkastserier baseret på ugedata, var bedre normalfordelt end de tilsvarende af-
kastserier baseret på dagsafkast.
Ved Markowitz oprindelige teori bygget på mean-variance fik faldet på aktiemarkedet ikke den
store effekt, grundet det store datamateriale. Der viste sig dog nogle tendenser på at afkastet faldt,
samt at risikoen steg en smule. Der hvor det fik størst effekt var på korrealtionen, denne steg mod
slutningen af 2008, hvilket bevirkede at muligheden for risikoreduktion uden brug af kortsalg faldt.
Konklusion
66
Hvorimod ved brug af kortsalg at der kunne drages fordel af dette. Der viste sig nogle klare tenden-
ser gennem hele 2008 om at aktier og obligationer er negative korreleret, hvilket blev forstærket
gennem 2008. det viste sig samtidigt at de tre statsobligationer imellem var mere eller mindre per-
fekt korreleret. Bevægelserne i datamaterialet fik andelen af aktier der indgik i porteføljen til at fal-
de de sidste par måneder, hvorved Markowitz på sin vis beviste sit værd.
Ved den efterfølgende performance analyse, viste at det ikke var muligt at skabe en MVP med et
signifikant bedre afkast en benchmarket, hverken ved brug af kortsalg eller uden, ud fra de fire for-
skellige investeringsteorier. I modsætning til benchmarket formåede MVP dog at levere et gennem-
snitlig positivt afkast gennem 2008. Det viste sig også som teorien forudsagde at det var muligt at
sammensætte porteføljer med en lavere risiko vha. kortsalg. I modsætningen til MVP skabte alle
otte tangentporteføljer et gennemsnitlig negativt afkast, men det var kun muligt at påvise med stati-
stisk sikkerhed at de første tre investeringsstrategier med kortsalg, skabte et negativt afkast i forhold
til benchmarket. Derfor er det nødvendigt at omstrukturere tangentporteføljen hver måned hvis en
portefølje skal kunne klare sig mindst ligeså godt som benchmarket, både med og uden kortsalg.
Den føromtalte effekt med at kortsalg skulle kunne nedsætte risikoen var ikke tilfældet for de fire
strategier med kortsalg, de havde alle en væsentlig højere risiko end de tilsvarende strategier uden
kortsalg.
Ved at benytte sig af tidsvægtede varianser i stedet for de gennemsnitlige, blev forskellen mellem
de beregnede værdier samt de reelle værdier meget mindre, således at datamaterialet var mere retvi-
sende. Samtidig viste det sig at de tendenser med stigende risiko samt korrelation blev forstærket
yderligere. Ved at estimere Jensens alpha var det muligt at påvise MVP med kortsalg, sammensat
januar 2008 samt den der var tilpasset kvartalsvis, at estimerer en positiv alpha der var signifikant.
Det kunne derimod ikke med statistisk sikkerhed påvises en alpha forskellige fra nul ved MVP uden
kortsalg. Ved MVP uden kortsalg med udgangspunkt i mean-variance, var det muligt at skabe et
bedre afkast, hvorimod det forholdte sig omvendt for MVP med kortsalg. For tangentporteføljernes
vedkommende forholdte det sig sådan, at det kun var porteføljen sammensat i januar 2008 der gene-
rerede en signifikant negativ alpha, både med og uden kortsalg. Ud fra Sharpe der viste sig at være
et godt performancemål, ses det at risikopræmien pr. risikoenhed er bedre på de otte tangentporte-
føljer sammensat på baggrund af EWMA. Det blev derfor konkluderet at EWMA var bedre til at
tilpasse sig, således at de enkelte porteføljesammensætninger blev bedre end ved brug af mean-
variance.
Konklusion
67
Således tegnede der sig et billede af at Markowitz teori stadig er brugbar. Den har dog nogle pro-
blematiske sider, for det første er den baseret på historiske data, hvilket giver problemer da historien
sjældent gentager sig i fremtiden. Derudover virker modellen meget snæver i den forstand at en
portefølje bliver sammensat på baggrund af tre parameter. Det blev derfor foreslået at bruge model-
len sammen med andre makroøkonomiske variabler. Ydermere blev der foreslået en anden tilgang
til porteføljekonstruktion, da Markowitz model fandt frem til at aktiebeholdningen skulle nedsættes,
kunne den bruges som et måleinstrument til at sammensætte en portefølje lignende benchmarket.
Til slut er der blot at sige, for at citerer Lord Keynes:48
”Der er en fare forbundet med at forvente,
at fremtidens resultater kan forudsiges på baggrund af fortiden”
48 (Schroeder 2009)
Bibliografi
68
7. Bibliografi
Benninga, S. & Czaczkes, B. 2000, Financial modeling, 2. edition edn, MIT, Cambridge, Mass.
Bodie, Z. & Merton, R.C. 2000, Finance, International ed. edn, Prentice hall, Upper Saddle River,
N.J.
Elton, E.J. 2003, Modern portfolio theory and investment analysis, 6. ed.; International edition edn,
Wiley, Hoboken, N.J.
Evensky, H. 2009, "Is MPT Dead? Is Alpha Beta? And Other Interesting Questions", Journal of
Financial Planning, vol. 22, no. 6, pp. 30-33.
Farrell, J.L., Reinhart, W.J. & Farrell, J.L. 1997, Portfolio management: Theory and application,
2nd edition edn, McGraw-Hill, New York.
Haugen, R.A. 1997, Modern investment theory, 4. ed. edn, Prentice Hall International, London.
Holton, L. 2009, "Is Markowitz Wrong? Market Turmoil Fuels Nontraditional Approaches to Man-
aging Investment Risk", Journal of Financial Planning, vol. 22, no. 1, pp. 20-26.
Horasanlı, M. & Fidan, N. 2007, "Portfolio Selection by Using Time Varying Covariance Matric-
es", Journal of Economic & Social Research, vol. 9, no. 2, pp. 1-22.
Moffett, M.H., Eiteman, D.K. & Stonehill, A.I. 2009, Fundamentals of multinational finance, 3.
ed., internat. ed. edn, Pearson Prentice Hall, Boston, Mass. u.a.
Schroeder, A. 2009, Warren Buffett: et liv med milliarder, 1. udgave edn, Børsen, Kbh.
Sumnicht, V. 2009, "MPT Principles Valid After 5 Decades", Journal of Financial Planning, , pp.
16-18.
Varian, H. 1993, "A Portfolio of Nobel Laureates: Markowitz, Miller and Sharpe", Journal of Eco-
nomic Perspectives, vol. 7, no. 1, pp. 159-169.
Verbeek, M. 2004, A guide to modern econometrics, 2. ed. edn, John Wiley, Chichester.
Indholdsfortegnelse for bialg
69
8. Bilagsoversigt
Bilag 1– Normalitetstest fra Eviews .................................................................................................... 1
Bilag 2 – Sammenligning af de beregnede værdier med de reelle ..................................................... 17
Bilag 3 – Estimering af alpha – mean variance – Eviews .................................................................. 19
Bilag 4 - Estimering af alpha – EWMA – Eviews ............................................................................. 23
Bilag 1
1
Bilag 1– Normalitetstest fra Eviews
Dagsdata – Perioden – 01.01.2000 til 31.12.2004
0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
-10 -5 0 5 10 15 20
Series: A_P_MOLLER___MAERSK
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.009630
Median 0.000000
Maximum 23.36849
Minimum -12.23379
Std. Dev. 2.285391
Skewness 0.879770
Kurtosis 14.52828
Jarque-Bera 7394.843
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-10 -5 0 5 10 15 20
Series: A_P_MOLLER___MAERSK__A_Sample 1/03/2000 12/31/2004Observations 1305
Mean 0.016343Median 0.000000Maximum 21.75204Minimum -11.59423Std. Dev. 2.373159Skewness 0.080787Kurtosis 10.74825
Jarque-Bera 3265.847Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-15 -10 -5 0 5 10
Series: CARLSBERG
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.008062
Median 0.000000
Maximum 10.92964
Minimum -16.70532
Std. Dev. 1.981655
Skewness -0.614673
Kurtosis 11.93807
Jarque-Bera 4426.149
Probability 0.000000
Bilag 1
2
0
100
200
300
400
500
600
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Series: DANISCO
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.019422
Median 0.000000
Maximum 9.309080
Minimum -12.57579
Std. Dev. 1.494018
Skewness -0.372366
Kurtosis 10.56673
Jarque-Bera 3143.417
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Series: DANSKE_BANK
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.070282
Median 0.000000
Maximum 10.79888
Minimum -11.83198
Std. Dev. 1.805959
Skewness 0.033847
Kurtosis 7.309768
Jarque-Bera 1010.216
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
600
700
-10 -5 0 5 10 15 20
Series: DMPKBT_NORDEN
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.272356
Median 0.000000
Maximum 21.62618
Minimum -13.73064
Std. Dev. 2.439524
Skewness 1.558407
Kurtosis 14.85530
Jarque-Bera 8170.533
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Series: DSV
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.075840
Median 0.000000
Maximum 8.960866
Minimum -13.35297
Std. Dev. 2.127363
Skewness -0.297080
Kurtosis 6.901502
Jarque-Bera 846.8766
Probability 0.000000
Bilag 1
3
0
100
200
300
400
500
-15 -10 -5 0 5 10 15
Series: FLSMIDTH___COMPANY
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean -0.039145
Median 0.000000
Maximum 17.22995
Minimum -18.10944
Std. Dev. 2.612516
Skewness 0.164957
Kurtosis 9.964854
Jarque-Bera 2643.606
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
350
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
Series: H_LUNDBECK
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.041531
Median 0.000000
Maximum 11.71795
Minimum -25.86728
Std. Dev. 2.831172
Skewness -1.068391
Kurtosis 14.26842
Jarque-Bera 7152.655
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Series: JYSKE_BANK
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.079719
Median 0.000000
Maximum 8.894703
Minimum -8.004327
Std. Dev. 1.429594
Skewness 0.297665
Kurtosis 8.137096
Jarque-Bera 1454.215
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
600
-10 0 10 20
Series: NKT
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.103160
Median 0.000000
Maximum 23.87530
Minimum -17.06238
Std. Dev. 2.961447
Skewness 0.952212
Kurtosis 11.43623
Jarque-Bera 4067.073
Probability 0.000000
Bilag 1
4
0
100
200
300
400
500
600
-20 -10 0 10
Series: NOVO_NORDISK
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.042680
Median 0.000000
Maximum 16.68328
Minimum -24.02253
Std. Dev. 2.284784
Skewness -0.637097
Kurtosis 16.66568
Jarque-Bera 10242.86
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-4 -2 0 2 4 6 8 10
Series: SYDBANK
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.109703
Median 0.000000
Maximum 10.28408
Minimum -4.878322
Std. Dev. 1.105900
Skewness 1.323406
Kurtosis 13.55341
Jarque-Bera 6436.917
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-10 -5 0 5 10
Series: TOPDANMARK
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.082951
Median 0.000000
Maximum 12.78391
Minimum -11.33017
Std. Dev. 2.086374
Skewness -0.216853
Kurtosis 7.297349
Jarque-Bera 1014.382
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30
Series: VESTAS_WINDSYSTEMS
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean -0.039887
Median 0.000000
Maximum 36.74876
Minimum -38.06437
Std. Dev. 3.840954
Skewness 0.132374
Kurtosis 20.52155
Jarque-Bera 16697.19
Probability 0.000000
Bilag 1
5
0
100
200
300
400
500
600
-20 -10 0 10
Series: WILLIAM_DEMANT_HLDG_
Sample 1/03/2000 12/31/2004
Observations 1305
Mean 0.046730
Median 0.000000
Maximum 16.86947
Minimum -23.43983
Std. Dev. 2.609399
Skewness -0.046981
Kurtosis 11.78817
Jarque-Bera 4199.965
Probability 0.000000
0
40
80
120
160
200
240
280
-0.50 -0.25 0.00 0.25
Series: DK_BENCHMARK_2_YEAR_DS_G
Sample 12/31/1999 12/30/2004
Observations 1305
Mean 0.017806
Median 0.020025
Maximum 0.320752
Minimum -0.567664
Std. Dev. 0.080176
Skewness -0.647685
Kurtosis 6.479725
Jarque-Bera 749.6393
Probability 0.000000
0
40
80
120
160
200
-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50
Series: DK_BENCHMARK_5_YEAR_DS_G
Sample 12/31/1999 12/30/2004
Observations 1305
Mean 0.024747
Median 0.031830
Maximum 0.644961
Minimum -1.085797
Std. Dev. 0.182688
Skewness -0.553676
Kurtosis 4.997747
Jarque-Bera 283.6864
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
-1.0 -0.5 -0.0 0.5
Series: DK_BENCHMARK_10_YEAR_DS_
Sample 12/31/1999 12/30/2004
Observations 1305
Mean 0.029772
Median 0.042782
Maximum 0.899671
Minimum -1.244459
Std. Dev. 0.277132
Skewness -0.631213
Kurtosis 4.388684
Jarque-Bera 191.5175
Probability 0.000000
Bilag 1
6
Dagsdata – Perioden – 01.01.2004 til 31.12.2008
0
40
80
120
160
200
240
280
320
-10 -5 0 5 10
Series: A_P_MOLLER___MAERSK
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.041673
Median 0.000000
Maximum 12.29163
Minimum -13.91823
Std. Dev. 2.194501
Skewness -0.349442
Kurtosis 9.516245
Jarque-Bera 1866.530
Probability 0.000000
0
40
80
120
160
200
240
280
320
-10 -5 0 5 10
Series: A_P_MOLLER___MAERSK__A_Sample 1/03/2005 12/31/2008Observations 1043
Mean -0.039989Median 0.000000Maximum 11.29416Minimum -13.30375Std. Dev. 2.171675Skewness -0.289113Kurtosis 9.186657
Jarque-Bera 1677.886Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
350
-15 -10 -5 0 5 10 15
Series: CARLSBERG
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.020792
Median 0.000000
Maximum 14.54655
Minimum -16.66129
Std. Dev. 2.307169
Skewness -0.468113
Kurtosis 13.95411
Jarque-Bera 5252.763
Probability 0.000000
Bilag 1
7
0
50
100
150
200
250
-7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
Series: DANISCO
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.035382
Median 0.000000
Maximum 10.41203
Minimum -7.745208
Std. Dev. 1.632775
Skewness 0.180154
Kurtosis 8.066183
Jarque-Bera 1121.052
Probability 0.000000
0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
-15 -10 -5 0 5 10
Series: DANSKE_BANK
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.096379
Median 0.000000
Maximum 12.48622
Minimum -17.18509
Std. Dev. 1.996663
Skewness -0.734420
Kurtosis 14.32933
Jarque-Bera 5671.800
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
-20 -15 -10 -5 0 5 10
Series: DMPKBT_NORDEN
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean 0.046290
Median 0.000000
Maximum 13.48556
Minimum -21.69067
Std. Dev. 3.063901
Skewness -0.679105
Kurtosis 8.777075
Jarque-Bera 1530.573
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
350
-10 -5 0 5 10 15
Series: DSV
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean 0.042588
Median 0.000000
Maximum 17.48863
Minimum -10.37968
Std. Dev. 2.252129
Skewness 0.605803
Kurtosis 10.53964
Jarque-Bera 2534.235
Probability 0.000000
Bilag 1
8
0
40
80
120
160
200
240
280
320
-15 -10 -5 0 5 10
Series: FLSMIDTH___COMPANY
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean 0.066125
Median 0.000000
Maximum 13.18317
Minimum -14.94261
Std. Dev. 2.657958
Skewness -0.089770
Kurtosis 7.705345
Jarque-Bera 963.5802
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
350
-15 -10 -5 0 5 10 15
Series: H_LUNDBECK
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.003624
Median 0.000000
Maximum 14.44642
Minimum -18.17003
Std. Dev. 2.091088
Skewness -0.332074
Kurtosis 13.95329
Jarque-Bera 5233.064
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Series: JYSKE_BANK
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.049834
Median 0.000000
Maximum 8.152694
Minimum -12.52530
Std. Dev. 1.871136
Skewness -0.797316
Kurtosis 9.171857
Jarque-Bera 1765.915
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
-15 -10 -5 0 5 10
Series: NKT
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.027465
Median 0.000000
Maximum 11.93321
Minimum -18.02369
Std. Dev. 2.343052
Skewness -0.637740
Kurtosis 9.837961
Jarque-Bera 2102.712
Probability 0.000000
Bilag 1
9
0
50
100
150
200
250
300
350
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Series: NOVO_NORDISK
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean 0.062757
Median 0.000000
Maximum 9.266734
Minimum -10.98282
Std. Dev. 1.651823
Skewness 0.034022
Kurtosis 8.113999
Jarque-Bera 1136.766
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-15 -10 -5 0 5 10 15
Series: SYDBANK
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.043184
Median 0.000000
Maximum 16.30409
Minimum -15.62889
Std. Dev. 2.093058
Skewness -1.291350
Kurtosis 19.03595
Jarque-Bera 11465.26
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
300
350
-10 -5 0 5 10 15
Series: TOPDANMARK
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean 0.044701
Median 0.000000
Maximum 14.06997
Minimum -9.961829
Std. Dev. 1.882687
Skewness 0.302584
Kurtosis 9.560008
Jarque-Bera 1886.089
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-20 -10 0 10 20
Series: VESTAS_WINDSYSTEMS
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean 0.143420
Median 0.000000
Maximum 20.21014
Minimum -25.27346
Std. Dev. 3.615243
Skewness -0.284771
Kurtosis 11.88964
Jarque-Bera 3448.421
Probability 0.000000
Bilag 1
10
0
50
100
150
200
250
300
350
400
-15 -10 -5 0 5 10 15
Series: WILLIAM_DEMANT_HLDG_
Sample 1/03/2005 12/31/2008
Observations 1043
Mean -0.015560
Median 0.000000
Maximum 16.25178
Minimum -14.55649
Std. Dev. 2.075266
Skewness -0.553868
Kurtosis 14.40300
Jarque-Bera 5704.143
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-0.6 -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6
Series: DK_BENCHMARK_2_YEAR_DS_G
Sample 1 1304
Observations 1043
Mean 0.013986
Median 0.011957
Maximum 0.699930
Minimum -0.698942
Std. Dev. 0.106505
Skewness -0.378328
Kurtosis 13.83383
Jarque-Bera 5125.663
Probability 0.000000
0
100
200
300
400
500
-1.0 -0.5 -0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Series: DK_BENCHMARK_5_YEAR_DS_G
Sample 1 1304
Observations 1043
Mean 0.012770
Median 0.014141
Maximum 2.170516
Minimum -1.274946
Std. Dev. 0.219355
Skewness 0.828798
Kurtosis 21.58308
Jarque-Bera 15126.91
Probability 0.000000
0
50
100
150
200
250
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Series: DK_BENCHMARK_10_YEAR_DS_
Sample 1 1304
Observations 1043
Mean 0.019421
Median 0.010911
Maximum 1.838488
Minimum -1.604653
Std. Dev. 0.299295
Skewness 0.235817
Kurtosis 7.587370
Jarque-Bera 924.2022
Probability 0.000000
Bilag 1
11
Ugedata - Perioden – 01.01.2000 til 31.12.2008
0
20
40
60
80
100
120
140
-20 -10 0 10 20
Series: A_P_MOLLER___MAERSK__A_Sample 1/07/2000 1/01/2009Observations 469
Mean -0.049550Median 0.174656Maximum 25.19472Minimum -19.17840Std. Dev. 4.704045Skewness -0.021371Kurtosis 5.791209
Jarque-Bera 152.2818Probability 0.000000
0
20
40
60
80
100
120
140
-20 -10 0 10 20
Series: A_P_MOLLER___MAERSK_BSample 1/07/2000 1/01/2009Observations 469
Mean -0.068167Median 0.000000Maximum 22.10204Minimum -19.17834Std. Dev. 4.637044Skewness 0.003774Kurtosis 4.761137
Jarque-Bera 60.61160Probability 0.000000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-30 -20 -10 0 10 20
Series: CARLSBERG_B
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean -0.031090
Median 0.182732
Maximum 24.51197
Minimum -28.87203
Std. Dev. 4.739356
Skewness -0.834301
Kurtosis 10.92075
Jarque-Bera 1280.419
Probability 0.000000
Bilag 1
12
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
Series: DANISCO
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean -0.024396
Median 0.000000
Maximum 14.93577
Minimum -21.22047
Std. Dev. 3.692574
Skewness -0.669088
Kurtosis 10.06598
Jarque-Bera 1010.673
Probability 0.000000
0
40
80
120
160
200
-40 -30 -20 -10 0 10 20
Series: DANSKE_BANK
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean -0.022916
Median 0.342237
Maximum 19.83369
Minimum -41.58578
Std. Dev. 4.323315
Skewness -2.462934
Kurtosis 24.95855
Jarque-Bera 9896.725
Probability 0.000000
0
20
40
60
80
100
120
140
-30 -20 -10 0 10 20 30 40
Series: DMPKBT_NORDEN
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.846006
Median 0.039468
Maximum 38.04560
Minimum -35.11794
Std. Dev. 6.240567
Skewness 0.325846
Kurtosis 9.960397
Jarque-Bera 955.0369
Probability 0.000000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-20 -10 0 10 20
Series: DSV_B
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.290081
Median 0.425234
Maximum 21.31950
Minimum -20.41569
Std. Dev. 4.777224
Skewness -0.226855
Kurtosis 6.680633
Jarque-Bera 268.7549
Probability 0.000000
Bilag 1
13
0
20
40
60
80
100
120
-20 -10 0 10 20
Series: FLSMIDTH___COMPANY_B
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.014486
Median 0.000000
Maximum 20.94102
Minimum -26.51084
Std. Dev. 5.811661
Skewness -0.489040
Kurtosis 6.482004
Jarque-Bera 255.6243
Probability 0.000000
0
20
40
60
80
100
120
140
-30 -20 -10 0 10 20
Series: H_LUNDBECK
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.105071
Median 0.185957
Maximum 20.22127
Minimum -35.61082
Std. Dev. 5.293751
Skewness -0.784674
Kurtosis 8.703032
Jarque-Bera 683.7127
Probability 0.000000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-20 -15 -10 -5 0 5 10
Series: JYSKE_BANK
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.111864
Median 0.136160
Maximum 12.67520
Minimum -22.03339
Std. Dev. 3.512617
Skewness -1.453074
Kurtosis 10.99428
Jarque-Bera 1413.923
Probability 0.000000
0
20
40
60
80
100
120
140
-30 -20 -10 0 10 20 30 40
Series: NKT
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.215108
Median 0.366872
Maximum 39.22191
Minimum -30.49733
Std. Dev. 6.331097
Skewness 0.866857
Kurtosis 11.34872
Jarque-Bera 1420.814
Probability 0.000000
Bilag 1
14
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
Series: NOVO_NORDISK_B
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.264908
Median 0.328360
Maximum 13.99994
Minimum -25.43129
Std. Dev. 4.308193
Skewness -0.873438
Kurtosis 8.315561
Jarque-Bera 611.7864
Probability 0.000000
0
40
80
120
160
200
240
-30 -20 -10 0 10 20
Series: SYDBANK
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.210866
Median 0.257585
Maximum 18.34925
Minimum -34.31980
Std. Dev. 3.975963
Skewness -3.688627
Kurtosis 36.02613
Jarque-Bera 22378.13
Probability 0.000000
0
40
80
120
160
200
-20 -10 0 10 20
Series: TOPDANMARK
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.334522
Median 0.412845
Maximum 20.82427
Minimum -20.29427
Std. Dev. 4.150168
Skewness 0.057437
Kurtosis 7.123151
Jarque-Bera 332.4736
Probability 0.000000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-37.5 -25.0 -12.5 0.0 12.5 25.0 37.5
Series: VESTAS_WINDSYSTEMS
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.203347
Median 0.402365
Maximum 38.67194
Minimum -47.38530
Std. Dev. 8.646629
Skewness -0.698802
Kurtosis 8.581493
Jarque-Bera 646.9534
Probability 0.000000
Bilag 1
15
0
20
40
60
80
100
120
140
-20 -10 0 10 20 30
Series: WILLIAM_DEMANT_HLDG_
Sample 1/07/2000 1/01/2009
Observations 469
Mean 0.087219
Median 0.000000
Maximum 27.54129
Minimum -27.08778
Std. Dev. 5.530702
Skewness 0.227350
Kurtosis 7.840488
Jarque-Bera 461.9079
Probability 0.000000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75
Series: DK_BENCHMARK_2_YEAR_DS_G
Sample 1/07/2000 4/08/2010
Observations 535
Mean 0.079755
Median 0.073483
Maximum 0.855625
Minimum -0.830448
Std. Dev. 0.180469
Skewness -0.085082
Kurtosis 6.294824
Jarque-Bera 242.6408
Probability 0.000000
Bilag 1
16
0
10
20
30
40
50
60
70
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Series: DK_BENCHMARK_5_YEAR_DS_G
Sample 1/07/2000 4/08/2010
Observations 535
Mean 0.101473
Median 0.102215
Maximum 1.854684
Minimum -1.969163
Std. Dev. 0.438467
Skewness -0.168115
Kurtosis 4.862835
Jarque-Bera 79.87559
Probability 0.000000
0
20
40
60
80
100
-3 -2 -1 0 1 2 3
Series: DK_BENCHMARK_10_YEAR_DS_
Sample 1/07/2000 4/08/2010
Observations 535
Mean 0.121990
Median 0.151116
Maximum 2.764144
Minimum -3.121234
Std. Dev. 0.689208
Skewness -0.210846
Kurtosis 4.355114
Jarque-Bera 44.89891
Probability 0.000000
Bilag 2
17
Bilag 2 – Sammenligning af de beregnede værdier med de reelle
Benyttede afkastværdier til porteføljesammensætning
De reelle afkastværdier:
Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec
Maersk A 0,10 0,07 0,09 0,09 0,09 0,12 0,11 0,10 0,11 0,07 -0,01 -0,03
Maersk B 0,08 0,05 0,06 0,07 0,07 0,10 0,09 0,08 0,09 0,05 -0,03 -0,05
Carslber B 0,23 0,19 0,22 0,22 0,23 0,22 0,20 0,16 0,19 0,18 0,04 -0,02
Norden 1,22 1,17 1,19 1,16 1,17 1,19 1,15 1,11 1,11 0,97 0,87 0,83
DSV B 0,51 0,47 0,46 0,47 0,48 0,50 0,48 0,46 0,44 0,40 0,36 0,33
Danisco 0,09 0,07 0,08 0,08 0,06 0,09 0,05 0,06 0,08 0,06 0,01 0,02
Danske Bank 0,29 0,26 0,27 0,27 0,26 0,24 0,20 0,20 0,20 0,20 0,09 0,04
Flsmidth 0,29 0,26 0,26 0,26 0,28 0,30 0,28 0,24 0,22 0,15 0,08 0,05
Jyske Bank 0,41 0,35 0,36 0,35 0,34 0,34 0,32 0,32 0,30 0,29 0,19 0,13
H Lundbeck 0,17 0,14 0,13 0,12 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,11 0,10 0,11
NKT 0,60 0,55 0,53 0,51 0,54 0,55 0,53 0,49 0,46 0,43 0,38 0,30
Novo Nordisk 0,34 0,31 0,33 0,32 0,32 0,31 0,31 0,29 0,28 0,28 0,29 0,28
Sybbank 0,53 0,49 0,47 0,46 0,46 0,49 0,46 0,47 0,43 0,42 0,29 0,21
Topdanmark 0,39 0,39 0,38 0,39 0,40 0,39 0,37 0,36 0,36 0,37 0,32 0,34
Vestas 0,38 0,34 0,35 0,35 0,35 0,40 0,39 0,37 0,40 0,34 0,16 0,18
William Demant 0,29 0,22 0,22 0,23 0,24 0,22 0,18 0,16 0,13 0,12 0,10 0,07
2 års obl 0,07 0,08 0,08 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,07 0,08 0,07 0,08
5 års obl 0,09 0,10 0,10 0,09 0,09 0,08 0,08 0,08 0,09 0,09 0,09 0,09
10 års obl 0,11 0,12 0,12 0,12 0,11 0,11 0,10 0,10 0,11 0,11 0,11 0,12
Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec
Maersk A -3,31 1,50 0,87 -0,48 3,09 -1,46 -1,32 1,30 -4,39 -6,86 -3,13 -2,08
Maersk B -3,29 1,30 1,10 -0,57 3,06 -1,46 -1,27 1,23 -4,30 -7,13 -2,83 -1,90
Carslber B -3,57 2,75 0,25 0,96 -0,47 -2,13 -3,60 2,42 -1,48 -12,30 -6,65 -1,57
Norden -4,61 2,93 -1,32 1,61 3,06 -3,44 -3,32 1,07 -14,30 -8,68 -3,25 2,46
DSV B -3,03 -0,41 1,62 1,18 2,51 -1,63 -2,57 -1,04 -3,98 -3,65 -2,44 -4,76
Danisco -1,90 0,73 -0,44 -1,63 3,07 -5,36 1,84 1,49 -1,98 -4,42 1,25 -5,35
Danske Bank -3,06 1,34 -0,38 -0,86 -0,86 -4,39 0,23 0,57 -0,80 -9,57 -5,78 -7,28
Flsmidth -3,32 0,28 0,32 2,42 2,40 -2,04 -4,06 -1,93 -7,42 -6,74 -3,72 -3,59
Jyske Bank -6,02 1,52 -1,51 0,31 -0,28 -1,99 0,34 -1,06 -0,80 -9,31 -6,11 -2,42
H Lundbeck -3,34 -0,50 -0,48 0,88 0,09 0,53 0,00 -0,34 -1,75 -1,12 1,40 -0,28
NKT -4,14 -1,06 -1,94 3,77 1,01 -0,82 -4,57 -2,41 -2,35 -4,23 -9,56 -9,25
Novo Nordisk -3,05 2,56 -1,38 0,51 -0,57 0,00 -1,40 -0,58 -0,13 1,81 -0,98 -1,77
Sybbank -3,58 -0,83 -1,00 0,75 3,03 -3,19 1,82 -3,30 -0,19 -12,06 -8,14 -0,10
Topdanmark 0,77 -0,19 1,52 0,53 0,15 -2,63 -0,76 0,95 0,79 -4,14 2,60 0,07
Vestas -3,70 1,18 0,54 0,62 4,43 -1,12 -1,43 2,99 -6,67 -15,97 2,35 3,13
William Demant -7,10 -0,14 1,41 0,92 -1,55 -3,47 -2,17 -3,05 -0,67 -1,43 -4,14 2,66
2 års obl 0,33 0,05 -0,01 -0,01 -0,14 0,03 0,10 0,27 0,23 0,05 0,37 0,39
5 års obl 0,57 0,04 -0,25 -0,26 -0,32 -0,07 0,11 0,46 0,20 0,17 0,44 0,59
10 års obl 0,72 0,20 -0,18 -0,37 -0,27 -0,15 -0,02 0,79 -0,09 0,26 0,99 1,02
Bilag 2
18
Benyttede standart afvigelserne værdier til porteføljesammensætning
De reelle afkastværdier:
Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec
Maersk A 4,29 4,30 4,29 4,32 4,31 4,36 4,35 4,34 4,34 4,37 4,57 4,64
Maersk B 4,27 4,28 4,28 4,30 4,29 4,34 4,33 4,33 4,32 4,35 4,54 4,61
Carslber B 3,80 3,83 3,84 3,84 3,82 3,82 3,82 3,82 3,89 3,89 4,55 4,71
Norden 5,31 5,39 5,41 5,45 5,45 5,47 5,48 5,48 5,55 5,73 6,05 6,19
DSV B 4,34 4,36 4,34 4,36 4,35 4,36 4,37 4,39 4,38 4,39 4,54 4,71
Danisco 3,02 3,05 3,04 3,04 3,03 3,09 3,13 3,19 3,18 3,23 3,49 3,53
Danske Bank 3,12 3,14 3,15 3,16 3,16 3,16 3,19 3,23 3,23 3,25 4,03 4,26
Flsmidth 5,28 5,32 5,30 5,29 5,28 5,26 5,24 5,24 5,23 5,34 5,68 5,81
Jyske Bank 2,76 2,82 2,84 2,87 2,88 2,88 2,88 2,92 2,92 2,93 3,21 3,46
H Lundbeck 5,32 5,33 5,31 5,32 5,30 5,30 5,28 5,28 5,25 5,24 5,32 5,31
NKT 6,09 6,11 6,08 6,08 6,06 6,04 6,02 6,06 6,05 6,04 6,17 6,22
Novo Nordisk 4,23 4,25 4,23 4,22 4,21 4,19 4,18 4,17 4,16 4,15 4,26 4,32
Sybbank 2,60 2,62 2,62 2,65 2,65 2,67 2,69 2,72 2,77 2,77 3,59 3,96
Topdanmark 3,84 3,83 3,82 3,87 3,86 3,87 3,86 3,86 3,86 3,85 4,08 4,16
Vestas 8,30 8,31 8,27 8,24 8,20 8,17 8,15 8,12 8,08 8,11 8,63 8,68
William Demant 5,21 5,24 5,22 5,20 5,18 5,17 5,17 5,17 5,19 5,24 5,40 5,51
2 års obl 0,15 0,15 0,15 0,16 0,16 0,17 0,17 0,17 0,17 0,17 0,18 0,18
5 års obl 0,38 0,38 0,38 0,38 0,39 0,39 0,41 0,41 0,42 0,42 0,42 0,43
10 års obl 0,62 0,63 0,63 0,63 0,63 0,64 0,65 0,65 0,65 0,65 0,66 0,67
Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dec
Maersk A 4,01 3,62 6,45 2,97 6,72 2,26 4,09 3,81 5,05 11,57 9,66 9,20
Maersk B 3,97 3,79 5,92 3,35 6,90 2,34 4,14 3,81 4,80 11,26 9,05 7,12
Carslber B 4,50 4,45 2,73 1,03 3,64 2,61 0,76 7,92 3,30 19,41 12,06 7,08
Norden 8,77 7,01 8,00 5,46 6,94 4,54 3,44 9,75 4,92 16,96 14,79 10,65
DSV B 4,58 1,88 6,21 1,85 5,40 4,17 5,42 2,80 4,25 11,19 13,77 8,62
Danisco 5,16 1,26 2,61 2,04 5,47 3,08 6,99 2,07 6,46 12,38 6,31 10,98
Danske Bank 2,71 4,12 3,44 3,33 2,74 3,86 6,02 3,16 4,71 20,98 14,39 4,96
Flsmidth 7,67 2,61 4,39 3,09 2,48 1,10 3,62 2,45 10,34 17,96 14,14 4,19
Jyske Bank 2,14 3,92 4,48 4,07 2,25 2,23 5,66 3,43 3,13 8,61 13,02 6,80
H Lundbeck 5,59 3,64 5,79 3,12 5,00 2,61 4,41 2,71 2,14 10,43 3,52 2,54
NKT 6,24 2,33 5,38 0,94 4,77 2,31 7,90 3,53 4,27 12,77 3,32 10,54
Novo Nordisk 5,00 2,07 1,35 2,67 2,46 2,28 1,84 3,38 2,53 9,92 8,76 2,14
Sybbank 1,10 2,72 4,35 3,21 2,65 2,91 4,92 4,01 3,02 18,28 16,18 5,68
Topdanmark 2,55 2,50 7,57 1,53 4,81 1,61 2,41 4,19 2,88 12,73 9,23 3,02
Vestas 7,52 3,16 3,69 1,63 4,09 4,63 2,71 2,49 8,17 24,64 12,60 1,93
William Demant 2,04 3,17 2,73 2,42 3,45 2,63 5,10 6,00 9,46 13,17 12,28 7,48
2 års obl 0,14 0,21 0,26 0,20 0,46 0,46 0,10 0,20 0,16 0,43 0,25 0,34
5 års obl 0,20 0,45 0,36 0,47 0,77 1,24 0,54 0,70 0,47 0,79 0,81 0,92
10 års obl 0,88 0,47 0,71 0,48 1,34 1,03 0,37 0,49 0,73 1,36 0,43 1,42
Bilag 3
19
Bilag 3 – Estimering af alpha – mean variance – Eviews
MVP- uden kortsalg
Dependent Variable: MV1U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 11:11
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.031286 0.044744 0.699218 0.4877
BENCHMARK 0.064195 0.020578 3.119569 0.0030 R-squared 0.162924 Mean dependent var 0.004012
Adjusted R-squared 0.146182 S.D. dependent var 0.342456
S.E. of regression 0.316437 Akaike info criterion 0.574318
Sum squared resid 5.006623 Schwarz criterion 0.649366
Log likelihood -12.93227 Hannan-Quinn criter. 0.603090
F-statistic 9.731712 Durbin-Watson stat 1.629877
Prob(F-statistic) 0.003004
Dependent Variable: MV2U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 11:14
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.030200 0.044764 0.674648 0.5030
BENCHMARK 0.072599 0.020587 3.526455 0.0009 R-squared 0.199178 Mean dependent var -0.000644
Adjusted R-squared 0.183162 S.D. dependent var 0.350273
S.E. of regression 0.316573 Akaike info criterion 0.575177
Sum squared resid 5.010928 Schwarz criterion 0.650225
Log likelihood -12.95461 Hannan-Quinn criter. 0.603949
F-statistic 12.43588 Durbin-Watson stat 1.634893
Prob(F-statistic) 0.000912
Dependent Variable: MV3U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 11:15
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.031441 0.045050 0.697906 0.4885
BENCHMARK 0.074042 0.020719 3.573643 0.0008 R-squared 0.203453 Mean dependent var -1.62E-05
Adjusted R-squared 0.187522 S.D. dependent var 0.353461
S.E. of regression 0.318601 Akaike info criterion 0.587947
Sum squared resid 5.075327 Schwarz criterion 0.662995
Log likelihood -13.28663 Hannan-Quinn criter. 0.616719
F-statistic 12.77092 Durbin-Watson stat 1.618160
Prob(F-statistic) 0.000791
Dependent Variable: MV4U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 11:16
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.033198 0.045674 0.726846 0.4707
BENCHMARK 0.068263 0.021006 3.249726 0.0021 R-squared 0.174382 Mean dependent var 0.004196
Adjusted R-squared 0.157870 S.D. dependent var 0.351988
S.E. of regression 0.323011 Akaike info criterion 0.615442
Sum squared resid 5.216808 Schwarz criterion 0.690490
Log likelihood -14.00150 Hannan-Quinn criter. 0.644214
F-statistic 10.56072 Durbin-Watson stat 1.622052
Prob(F-statistic) 0.002069
Bilag 3
20
MVP – med kortsalg
Dependent Variable: MV1M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 11:21
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.015109 0.044373 0.340499 0.7349
BENCHMARK 0.060103 0.020407 2.945147 0.0049 R-squared 0.147832 Mean dependent var -0.010426
Adjusted R-squared 0.130789 S.D. dependent var 0.336593
S.E. of regression 0.313810 Akaike info criterion 0.557646
Sum squared resid 4.923844 Schwarz criterion 0.632694
Log likelihood -12.49880 Hannan-Quinn criter. 0.586418
F-statistic 8.673893 Durbin-Watson stat 1.701781
Prob(F-statistic) 0.004889
Dependent Variable: MV2M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 11:21
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.015906 0.044131 0.360427 0.7200
BENCHMARK 0.071519 0.020296 3.523832 0.0009 R-squared 0.198941 Mean dependent var -0.014480
Adjusted R-squared 0.182920 S.D. dependent var 0.345269
S.E. of regression 0.312097 Akaike info criterion 0.546697
Sum squared resid 4.870227 Schwarz criterion 0.621745
Log likelihood -12.21412 Hannan-Quinn criter. 0.575469
F-statistic 12.41739 Durbin-Watson stat 1.653194
Prob(F-statistic) 0.000920
Dependent Variable: MV3M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 11:21
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.017221 0.044204 0.389595 0.6985
BENCHMARK 0.069296 0.020329 3.408662 0.0013 R-squared 0.188562 Mean dependent var -0.012219
Adjusted R-squared 0.172333 S.D. dependent var 0.343620
S.E. of regression 0.312612 Akaike info criterion 0.549996
Sum squared resid 4.886323 Schwarz criterion 0.625044
Log likelihood -12.29991 Hannan-Quinn criter. 0.578768
F-statistic 11.61898 Durbin-Watson stat 1.656459
Prob(F-statistic) 0.001298
Dependent Variable: MV4M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 11:21
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.017661 0.044386 0.397889 0.6924
BENCHMARK 0.062945 0.020413 3.083568 0.0033 R-squared 0.159782 Mean dependent var -0.009082
Adjusted R-squared 0.142978 S.D. dependent var 0.339074
S.E. of regression 0.313900 Akaike info criterion 0.558217
Sum squared resid 4.926656 Schwarz criterion 0.633265
Log likelihood -12.51364 Hannan-Quinn criter. 0.586988
F-statistic 9.508390 Durbin-Watson stat 1.647102
Prob(F-statistic) 0.003326
Bilag 3
21
RtV – uden kort salg
Dependent Variable: RTV1U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 15:33
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.267745 0.214037 -1.250929 0.2168
BENCHMARK 1.393015 0.098437 14.15137 0.0000 R-squared 0.800209 Mean dependent var -0.859574
Adjusted R-squared 0.796213 S.D. dependent var 3.353124
S.E. of regression 1.513693 Akaike info criterion 3.704684
Sum squared resid 114.5633 Schwarz criterion 3.779732
Log likelihood -94.32178 Hannan-Quinn criter. 3.733455
F-statistic 200.2614 Durbin-Watson stat 1.695156
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV2U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 15:33
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.240608 0.219056 -1.098384 0.2773
BENCHMARK 1.578022 0.100745 15.66350 0.0000 R-squared 0.830707 Mean dependent var -0.911039
Adjusted R-squared 0.827321 S.D. dependent var 3.728076
S.E. of regression 1.549190 Akaike info criterion 3.751044
Sum squared resid 119.9995 Schwarz criterion 3.826092
Log likelihood -95.52715 Hannan-Quinn criter. 3.779816
F-statistic 245.3454 Durbin-Watson stat 1.653502
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV3U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 15:33
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.214343 0.190010 -1.128057 0.2647
BENCHMARK 1.317077 0.087387 15.07183 0.0000 R-squared 0.819599 Mean dependent var -0.773910
Adjusted R-squared 0.815991 S.D. dependent var 3.132609
S.E. of regression 1.343773 Akaike info criterion 3.466543
Sum squared resid 90.28635 Schwarz criterion 3.541591
Log likelihood -88.13011 Hannan-Quinn criter. 3.495314
F-statistic 227.1600 Durbin-Watson stat 1.760890
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV4U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 15:33
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.133304 0.172554 -0.772535 0.4434
BENCHMARK 1.196764 0.079358 15.08050 0.0000 R-squared 0.819769 Mean dependent var -0.641755
Adjusted R-squared 0.816164 S.D. dependent var 2.846153
S.E. of regression 1.220319 Akaike info criterion 3.273804
Sum squared resid 74.45891 Schwarz criterion 3.348852
Log likelihood -83.11890 Hannan-Quinn criter. 3.302575
F-statistic 227.4215 Durbin-Watson stat 1.975223
Prob(F-statistic) 0.000000
Bilag 4
22
RtV – med kortsalg
Dependent Variable: RTV1M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 20:33
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.717546 0.424326 -1.691028 0.0971
BENCHMARK 2.163921 0.195150 11.08853 0.0000 R-squared 0.710908 Mean dependent var -1.636899
Adjusted R-squared 0.705126 S.D. dependent var 5.526246
S.E. of regression 3.000877 Akaike info criterion 5.073389
Sum squared resid 450.2631 Schwarz criterion 5.148436
Log likelihood -129.9081 Hannan-Quinn criter. 5.102160
F-statistic 122.9555 Durbin-Watson stat 1.621208
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV2M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 20:34
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.779392 0.519779 -1.499468 0.1400
BENCHMARK 2.576515 0.239049 10.77818 0.0000 R-squared 0.699102 Mean dependent var -1.874038
Adjusted R-squared 0.693084 S.D. dependent var 6.635262
S.E. of regression 3.675936 Akaike info criterion 5.479195
Sum squared resid 675.6252 Schwarz criterion 5.554243
Log likelihood -140.4591 Hannan-Quinn criter. 5.507966
F-statistic 116.1692 Durbin-Watson stat 1.597038
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV3M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 20:35
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.721799 0.450698 -1.601515 0.1156
BENCHMARK 2.052587 0.207278 9.902569 0.0000 R-squared 0.662301 Mean dependent var -1.593851
Adjusted R-squared 0.655547 S.D. dependent var 5.430869
S.E. of regression 3.187383 Akaike info criterion 5.193980
Sum squared resid 507.9706 Schwarz criterion 5.269028
Log likelihood -133.0435 Hannan-Quinn criter. 5.222752
F-statistic 98.06087 Durbin-Watson stat 1.736176
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV4M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 20:36
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.560678 0.425778 -1.316832 0.1939
BENCHMARK 1.835378 0.195817 9.372904 0.0000 R-squared 0.637290 Mean dependent var -1.340448
Adjusted R-squared 0.630036 S.D. dependent var 4.950539
S.E. of regression 3.011148 Akaike info criterion 5.080222
Sum squared resid 453.3506 Schwarz criterion 5.155270
Log likelihood -130.0858 Hannan-Quinn criter. 5.108994
F-statistic 87.85132 Durbin-Watson stat 1.966156
Prob(F-statistic) 0.000000
Bilag 4
23
Bilag 4 - Estimering af alpha – EWMA – Eviews
MVP – uden kortsalg
Dependent Variable: MV1U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 23:03
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.028600 0.046463 0.615544 0.5410
BENCHMARK 0.088002 0.021369 4.118288 0.0001 R-squared 0.253289 Mean dependent var -0.008788
Adjusted R-squared 0.238355 S.D. dependent var 0.376512
S.E. of regression 0.328590 Akaike info criterion 0.649692
Sum squared resid 5.398579 Schwarz criterion 0.724740
Log likelihood -14.89200 Hannan-Quinn criter. 0.678464
F-statistic 16.96030 Durbin-Watson stat 1.707996
Prob(F-statistic) 0.000143
Dependent Variable: MV2U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 23:03
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.039168 0.046983 0.833663 0.4084
BENCHMARK 0.162762 0.021608 7.532618 0.0000 R-squared 0.531574 Mean dependent var -0.029983
Adjusted R-squared 0.522205 S.D. dependent var 0.480693
S.E. of regression 0.332268 Akaike info criterion 0.671955
Sum squared resid 5.520113 Schwarz criterion 0.747003
Log likelihood -15.47082 Hannan-Quinn criter. 0.700726
F-statistic 56.74034 Durbin-Watson stat 1.669178
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: MV3U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 23:03
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.035580 0.046423 0.766442 0.4470
BENCHMARK 0.122367 0.021350 5.731444 0.0000 R-squared 0.396496 Mean dependent var -0.016408
Adjusted R-squared 0.384426 S.D. dependent var 0.418447
S.E. of regression 0.328308 Akaike info criterion 0.647972
Sum squared resid 5.389300 Schwarz criterion 0.723020
Log likelihood -14.84727 Hannan-Quinn criter. 0.676744
F-statistic 32.84945 Durbin-Watson stat 1.627687
Prob(F-statistic) 0.000001
Dependent Variable: MV4U
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 23:03
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.036123 0.049013 0.736996 0.4646
BENCHMARK 0.104652 0.022541 4.642643 0.0000 R-squared 0.301228 Mean dependent var -0.008339
Adjusted R-squared 0.287253 S.D. dependent var 0.410576
S.E. of regression 0.346627 Akaike info criterion 0.756565
Sum squared resid 6.007497 Schwarz criterion 0.831612
Log likelihood -17.67068 Hannan-Quinn criter. 0.785336
F-statistic 21.55414 Durbin-Watson stat 1.628643
Prob(F-statistic) 0.000025
Bilag 4
24
MVP – med kortsalg
Dependent Variable: MV1M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 23:03
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.090709 0.053575 1.693123 0.0967
BENCHMARK 0.094889 0.024639 3.851106 0.0003 R-squared 0.228764 Mean dependent var 0.050395
Adjusted R-squared 0.213340 S.D. dependent var 0.427188
S.E. of regression 0.378889 Akaike info criterion 0.934557
Sum squared resid 7.177856 Schwarz criterion 1.009605
Log likelihood -22.29849 Hannan-Quinn criter. 0.963329
F-statistic 14.83102 Durbin-Watson stat 1.785657
Prob(F-statistic) 0.000335
Dependent Variable: MV2M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 23:04
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.095333 0.076311 1.249270 0.2174
BENCHMARK 0.130888 0.035096 3.729422 0.0005 R-squared 0.217633 Mean dependent var 0.039725
Adjusted R-squared 0.201985 S.D. dependent var 0.604132
S.E. of regression 0.539681 Akaike info criterion 1.642027
Sum squared resid 14.56280 Schwarz criterion 1.717074
Log likelihood -40.69269 Hannan-Quinn criter. 1.670798
F-statistic 13.90859 Durbin-Watson stat 1.943782
Prob(F-statistic) 0.000490
Dependent Variable: MV3M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 23:04
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.099427 0.064528 1.540836 0.1297
BENCHMARK 0.091956 0.029677 3.098573 0.0032 R-squared 0.161090 Mean dependent var 0.060359
Adjusted R-squared 0.144312 S.D. dependent var 0.493333
S.E. of regression 0.456350 Akaike info criterion 1.306589
Sum squared resid 10.41277 Schwarz criterion 1.381637
Log likelihood -31.97132 Hannan-Quinn criter. 1.335361
F-statistic 9.601153 Durbin-Watson stat 1.830569
Prob(F-statistic) 0.003188
Dependent Variable: MV4M
Method: Least Squares
Date: 04/25/10 Time: 23:04
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.049663 0.065345 0.760009 0.4508
BENCHMARK 0.075618 0.030053 2.516197 0.0151 R-squared 0.112393 Mean dependent var 0.017536
Adjusted R-squared 0.094641 S.D. dependent var 0.485684
S.E. of regression 0.462130 Akaike info criterion 1.331760
Sum squared resid 10.67819 Schwarz criterion 1.406807
Log likelihood -32.62575 Hannan-Quinn criter. 1.360531
F-statistic 6.331249 Durbin-Watson stat 1.869891
Prob(F-statistic) 0.015119
Bilag 4
25
RtV uden kortsalg
Dependent Variable: RTV1U
Method: Least Squares
Date: 04/27/10 Time: 11:19
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.168415 0.100839 -1.670142 0.1011
BENCHMARK 0.529278 0.046376 11.41267 0.0000 R-squared 0.722606 Mean dependent var -0.393282
Adjusted R-squared 0.717058 S.D. dependent var 1.340690
S.E. of regression 0.713144 Akaike info criterion 2.199435
Sum squared resid 25.42869 Schwarz criterion 2.274483
Log likelihood -55.18530 Hannan-Quinn criter. 2.228206
F-statistic 130.2489 Durbin-Watson stat 2.109720
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV2U
Method: Least Squares
Date: 04/27/10 Time: 11:20
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.064755 0.153105 -0.422945 0.6741
BENCHMARK 1.308988 0.070414 18.58993 0.0000 R-squared 0.873605 Mean dependent var -0.620885
Adjusted R-squared 0.871077 S.D. dependent var 3.015599
S.E. of regression 1.082776 Akaike info criterion 3.034635
Sum squared resid 58.62016 Schwarz criterion 3.109683
Log likelihood -76.90051 Hannan-Quinn criter. 3.063407
F-statistic 345.5856 Durbin-Watson stat 1.832294
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV3U
Method: Least Squares
Date: 04/27/10 Time: 11:21
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.117914 0.121248 -0.972498 0.3355
BENCHMARK 0.863884 0.055763 15.49213 0.0000 R-squared 0.827590 Mean dependent var -0.484939
Adjusted R-squared 0.824142 S.D. dependent var 2.044765
S.E. of regression 0.857482 Akaike info criterion 2.568069
Sum squared resid 36.76376 Schwarz criterion 2.643117
Log likelihood -64.76979 Hannan-Quinn criter. 2.596841
F-statistic 240.0059 Durbin-Watson stat 2.155963
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: RTV4U
Method: Least Squares
Date: 04/27/10 Time: 11:21
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.089651 0.120440 -0.744362 0.4601
BENCHMARK 0.738315 0.055391 13.32919 0.0000 R-squared 0.780381 Mean dependent var -0.403327
Adjusted R-squared 0.775989 S.D. dependent var 1.799632
S.E. of regression 0.851762 Akaike info criterion 2.554684
Sum squared resid 36.27494 Schwarz criterion 2.629731
Log likelihood -64.42177 Hannan-Quinn criter. 2.583455
F-statistic 177.6673 Durbin-Watson stat 2.620096
Prob(F-statistic) 0.000000
Bilag 4
26
RtV – med kortsalg
Dependent Variable: RTV1M
Method: Least Squares
Date: 04/27/10 Time: 11:22
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1.961208 0.943900 -2.077771 0.0429
BENCHMARK -0.812315 0.434105 -1.871243 0.0672 R-squared 0.065448 Mean dependent var -1.616092
Adjusted R-squared 0.046757 S.D. dependent var 6.837119
S.E. of regression 6.675366 Akaike info criterion 6.672427
Sum squared resid 2228.025 Schwarz criterion 6.747475
Log likelihood -171.4831 Hannan-Quinn criter. 6.701199
F-statistic 3.501550 Durbin-Watson stat 1.684375
Prob(F-statistic) 0.067168
Dependent Variable: RTV2M
Method: Least Squares
Date: 04/27/10 Time: 11:23
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.720936 1.215495 -0.593121 0.5558
BENCHMARK 2.698960 0.559012 4.828086 0.0000 R-squared 0.317969 Mean dependent var -1.867603
Adjusted R-squared 0.304328 S.D. dependent var 10.30623
S.E. of regression 8.596112 Akaike info criterion 7.178200
Sum squared resid 3694.657 Schwarz criterion 7.253247
Log likelihood -184.6332 Hannan-Quinn criter. 7.206971
F-statistic 23.31042 Durbin-Watson stat 1.696121
Prob(F-statistic) 0.000013
Dependent Variable: RTV3M
Method: Least Squares
Date: 04/27/10 Time: 11:23
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.222927 0.943832 -0.236193 0.8142
BENCHMARK 2.236157 0.434073 5.151566 0.0000 R-squared 0.346735 Mean dependent var -1.172969
Adjusted R-squared 0.333670 S.D. dependent var 8.177092
S.E. of regression 6.674883 Akaike info criterion 6.672283
Sum squared resid 2227.703 Schwarz criterion 6.747330
Log likelihood -171.4793 Hannan-Quinn criter. 6.701054
F-statistic 26.53863 Durbin-Watson stat 1.958240
Prob(F-statistic) 0.000004
Dependent Variable: RTV4M
Method: Least Squares
Date: 04/27/10 Time: 11:24
Sample: 1/04/2008 12/26/2008
Included observations: 52 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.532861 0.829910 -0.642071 0.5238
BENCHMARK 1.731711 0.381680 4.537077 0.0000 R-squared 0.291635 Mean dependent var -1.268587
Adjusted R-squared 0.277468 S.D. dependent var 6.904801
S.E. of regression 5.869213 Akaike info criterion 6.415020
Sum squared resid 1722.383 Schwarz criterion 6.490068
Log likelihood -164.7905 Hannan-Quinn criter. 6.443792
F-statistic 20.58507 Durbin-Watson stat 2.244800
Prob(F-statistic) 0.000036