Many­body perturbation theory: From fundamental ideas to use in practice

Lucia ReiningPalaiseau Theoretical Spectroscopy Group

   

1) Aims2) Reminder TDDFT: induced potentials3) Add a particle: GW

* exchange* screening* dynamical screening

4) Neutral excitations in the (quasi­)particle world: BSE   * changes in transition energies

* mixing of transitions5) Problems6) Summary 

Many­body perturbation theory: 

From fundamental ideas to use in practice

Ab initio calculations of electronic excitations

550 600 650 700704

708

712

716

720

724Intensity

 

 

Photoelectron Kinetic Energy (eV)

Ph

oto

n E

ner

gy 

(eV

) ?

Ab initio calculations of electronic excitations

H(x1,....x

N) = E (x

1,....x

N)

?

Ab initio calculations of electronic excitations

realisticfeasible

easy to interpret

Calculations

Ab initio calculations of electronic excitations

   

hν

Independent electrons and transitions

Im [0] ~ vc |<v|D|c>|2 (Ec­Ev­) 

v

c

Energies and wavefunctions often from DFT – Kohn Sham 

PCM: Reversible phase transition

 rapid transition: ~10­100ns              large optical & electric contrast

  although already applied still not 

well understood       

GeSbTe alloys:200nm

W. Welnic et al., Phys. Rev. Lett. 98, 236403 (2007)

calculations & experiment

 spectroscopy on polycrystalline thin films of GeTe  optical spectra calculations (RPA)

change in local order results in change of optical absorption.

Origin of strong change in absorption

No significant changes in jdos

Absorption given by Fermi's golden rule:

Matrix elements define 

optical contrast!

Silicon: 

3 – 5 eV 

20  eV 

Induced potentials

   

Excitation ?

Change of potentials

h

V

H+V

XC VH+ V

H+V

XC+V

XC

   

Excitation ?

Change of potentials

  Induced Hartree: long­range and local field effects

RPA

h

V

H+V

XC VH+ V

H+V

XC+V

XC

   

TDDFT­RPA: = 0  + 0 [ v  ] 

v (q+G) ~ 1/|q+G|2

G=0 → plasmonG ǂ 0 → crystal local field effects

VH/

   

Graphene,  plasmon

R. Hambach, Diplomarbeit

   

Graphene,  plasmon

C. Kramberger et al., PRL 100, 196803 (2008)

   

TDDFT = 0  + 0 [ v + fxc ] 

Vxc/

TDLDA: VxcLDA(r,t)/ (r',t') = (r­r')(t­t')dVxc/d

VH/

   

RPA and TDLDA: sometimes quite wrong! 

   

Move to another framework

   

RPA and TDLDA: sometimes quite wrong! 

   

Ec­Ev (minimum, eV)

DFT­KS0.554.265.38.2

SiliconDiamondMgOAr

Exp.1.175.487.8314.2

KS underestimates gaps (transition energies)

   

v

c

Hole  ­  (N­1) electrons

“Real” (quasi…) electrons:

   

Exchange

Relaxation ­ dynamical correlations

(­∇ 2/2 + Vext + VH + Vxc(r)) |n> = En |n> 

(­∇ 2/2 + Vext + VH +   ) |n> = En |n> 

Vxc(r) → (r,r’,En)

 = iGW   L. Hedin, PR 1965W= ­1v !!!

   

   

   

   

G(1,2) = ­i <T[†(2)]> 1=(r1,

1,t

1)

Dyson equation: G=G0 + G

0  G

   

   

From Damascelli et al., RMP 75, 473 (2003)

A()~Im[G()]

   

Interaction = variation of “potential”

What does the system do (create e­h pairs....)

VH(12)= ­i(12)G(33+)v

c(31)

x(12)= iG(12+)v

c(21)

   

Interaction = variation of “potential”

What does the system do (create e­h pairs....)

VH(12)= ­i(12)G(33+)v

c(31)

x(12)= iG(12+)v

c(21)

System does nothing: HFOnly classical part of :  L→i, 

xc→ iG(v

c + v

c  v

c) =iGW

   

   

   

  What is so good about GW?

→ Fock exchange localizationL. Hedin, PR 139, A796 (1965)

   

Away from the LDA starting point!→ S. V. Faleev, M. van Schilfgaarde, and T. Kotani, PRL 93, 126406 (2004).→ Bruneval, Vast, and Reining, Phys. Rev. B 74, 045102 (2006).COHSEX→ T. Miyake et al., Phys. Rev. B 74, 245231 (2006).LDA+U→ F. Fuchs, et al., Phys. Rev. B 76, 115109 (2007). LDA+U, hybrids→ Hong Jiang et al., , Phys. Rev. Lett. 102, 126403 (2009). LDA+U→ P. Rinke et al., New J. Phys. 7, 126 (2005). KS­EXX→ ...........................

   

Improve QP energies and wavefunctions 

van Schilfgaarde, Kotani, Faleev,Phys. Rev. Lett. 96, 226402 (2006)

   

rutile monoclinic

Even qualitatively important ­ VO2 

Matteo Gatti et al.

   T. C. Koethe et al., Phys. Rev. Lett. 97, 116402 (2006).

   T. C. Koethe et al., Phys. Rev. Lett. 97, 116402 (2006).

   T. C. Koethe et al., Phys. Rev. Lett. 97, 116402 (2006).

   

M. Gatti, F. Bruneval, V. Olevano and L. Reining,  Phys. Rev. Lett. 99, 266402 (2007)

LDA insulator → metal ....

   

M. Gatti, F. Bruneval, V. Olevano and L. Reining,  Phys. Rev. Lett. 99, 266402 (2007)

G0W

0 insulator → metal !!!!!

   

M. Gatti, F. Bruneval, V. Olevano and L. Reining,  Phys. Rev. Lett. 99, 266402 (2007)

sc GW insulator = insulator !!!

   

  What is so good about GW?

→ Fock exchange

→ Screening 

v

c

localization

relaxation

   

   

   

   

...of practical importance: example photovoltaics

J. Vidal et al., collaboration EDF, PRL 104, 056401 (2010)

   

 Bandgaps in function of structure (Cu­S)

Hybrids ~ approximate GW with almost fixed screening

   

  What is so good about GW?

→ Fock exchange

→ Screening 

→ Screening (dynamical)

   

 W() leads to imaginary part

Broadening (lifetime), satellites

   

Screening (dynamical): W

   

MetalInsulator

   R. Hambach, PhD thesis

   H. Abe et al., Jpn. J. Appl. Phys. 36, 165 (1997) 

   M. Gatti et al., 2010

   

Screening (dynamical): W

   

Ec­Ev (minimum, eV)

DFT­KS0.554.265.38.2

SiliconDiamondMgOAr

Σ =iGW1.195.647.814.0

Exp.1.175.487.8314.2

GW contains screening of hole (or electron)  correct energies et al.

   

Even good bandstructure → sometimes quite wrong! 

But back to absorption.......

   

Absorption ?

v

c

Electron­hole interaction

       Excitonic effects

Bethe­Salpeter Equation

   

Solve a 2­particle equation: Bethe Salpeter Eq.

Dyson­like equation: BSE

   

TDDFT = 0  + 0 [ v + fxc ] 

Vxc/

TDLDA: VxcLDA(r,t)/ (r',t') = (r­r')(t­t')dVxc/d

VH/

   

Solve a 2­particle equation: Bethe Salpeter Eq.

Dyson­like equation: BSE

   

Im [] ~ vc |<v|D|c>|2                 (Ec­Ev­) 

(Hel + Hhole + Hel­hole ) A = E A

Im [] ~ | vc<v|D|c> Avc|2  (E­) 

­>Mixing of transitions

­>Modification of excitation energies

GW + Bethe Salpeter Equation

   

Im [] ~ vc |<v|D|c>|2                 (Ec­Ev­) 

(Hel + Hhole + Hel­hole ) A = E A

Im [] ~ | vc<v|D|c> Avc|2  (E­) 

­>Mixing of transitions

­>Modification of excitation energies

From VH/  + /G

   

   

   F. Bruneval et al., PRL 97, 267601 (2006))

Excitons in Cu2O

   V.  Garbuio, et al.,  PRL.   97, 137402 (2006)

Excitons in water

   

   

Excitons in Na4

   

   

Electron­hole interaction for good absorption spectra

   

 Is there anything BAD about GW?

→ Fock exchange

→ Screening 

→ Screening (dynamical)

→ Widely valid and efficient

→ Room for speedup

   

   

G(1,2) = ­i <T[†(2)]> 1=(r1,

1,t

1)

Dyson equation: G=G0 + G

0  G

   

   

More consistent in orders of W

   

Interaction = variation of “potential”

What does the system do (create e­h pairs....)

System does nothing: HFOnly classical part of :  L→i, 

xc→ iGW

Additional particle interacts in a classical way

   

2 site 1 electron Hubbard modelP. Romaniello et al., J. Chem. Phys 2009, 131, 154111

   

2 site 1 electron Hubbard model

We should consider 2 particles at a time

   

Interaction = variation of “potential”

What does the system do (create e­h pairs....)

System does nothing: HFOnly classical part of :  L→i, 

xc→ iGW

Better : e.g. T­matrix approach

   Springer, Aryasetiawan, Karlsson, PRL 80, 2389 (1998)

6 eV satellite in Ni: 2­hole bound state

   

We are used to solve 2­particle equations: BSE

Dyson­like equation: BSE

   

5) Summary

Keywords:

* quasiparticles * induced potentials* screening* localization* satellites* Dyson equations* .....breakdowns....

   

http://www.etsf.eu

Palaiseau Theoretical Spectroscopy Group

   

 4. Look at the total energy

 Adiabatic connection fluctuation dissipation theorem (ACFDT)

........in DFT framework

   

Total energy in GW framework

.......evaluated at G=Gs, equivalent to RPA ACFDT

   

   

RPA+ : because RPA has deficiencies

Uniform gas correlation energy too negative.Can be corrected by LDA like term. S. Kurth and J. P. Perdew, Phys. Rev. B 59, 10 461(1999); M. Lein, E. K. U. Gross, and J. P. Perdew, 

Phys. Rev. B 61, 13 431 (2000).

   

Sum over empty states: how to speed up

Replace i by one representative energy?

   Bruneval, Gonze, PRB 78, 085125 (2008). ­SiC

From sum rules 

   

Argon, no empty states summed. Berger et al., PRB 82, 041103R 2010 

Very simple to be implemented, imediate speedup.

   C. Kramberger et al., PRL 100, 196803 (2008)

Isolated carbon nanotube,  plasmon

   

Nanotubes and graphene,  plasmon dispersion

C. Kramberger et al., PRL 100, 196803 (2008)