Lineas de Tx

8/3/2019 Lineas de Tx

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LÍNEAS DE

TRANSMISIÓN

ANTENAS

ÁREA DE COMUNICACIONES ELÉCTRICASESCUELADE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y

TELECOMUNICACIONES-UNP

ING. CARLOS ENRIQUE ARELLANO RAMIREZ

LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Un problema típico de la ingeniería involucra latransmisión de una señal desde un generador a unacarga. Una línea de la transmisión es la parte delcircuito que proporciona la conexión directa entre el

generador y carga.

Para frecuencias suficientemente altas la longitud deonda es comparable con la longitud de los conductoresen una línea de la transmisión. La señal se propaga comouna onda de tensión y corriente a lo largo de la línea,

porque no puede cambiar instantáneamente en todos los puntos. Por consiguiente, no podemos ignorar las

propiedades de impedancia de los alambres (circuitos deimpedancia distribuida).

El problema más simple de circuito que podemos

estudiar consiste en un generador de tensión conectado auna carga a través de una línea uniforme de transmisión.En general, la impedancia vista por el generador no esigual que la impedancia de carga, debido a la presenciade la línea de la transmisión, salvo algún caso particular.

Nuestro objetivo es determinar la impedancia equivalentevista por el generador, es decir, la impedancia a la entrada

de la línea terminada por la carga.Una línea de la transmisión uniforme es un ³circuitodistribuido´ que podemos describir como una cascada decélulas idénticas con longitud infinitesimal. Losconductores usados para realizar la línea poseen unacierta inductancia y resistencia en serie. Además, existeun capacitor en paralelo, entre los conductores, e inclusouna conductancia en paralelo si el medio que aísla losalambres no es perfecto.

Trabajando matemáticamente, podemos estudiar elcomportamiento de una sola célula (simplificada,

compuesta solamente por L y C) y obtener lasecuaciones que describen el comportamiento de latensión y la corriente en la línea:

que son las llamadas ³ecuaciones de telegrafista´.

Derivando nuevamente respecto de z y trabajando

matemáticamente podemos encontrar las siguienteecuaciones independientes (ecuaciones del telefonista):

La solución general para la tensión es:

donde la constante de propagación de fase de la onda es:

La distribución de la corriente puede obtenersediferenciando la tensión, como sigue:

es la denominada ³impedancia característica´ de la líneade transmisión.Si ahora trabajamos con el modelo completo de celda dela línea de transmisión (incluyendo la resistencia y la

admitancia) llegamos, a partir de un trabajo matemáticosimilar, a las ecuaciones:

Análogamente, podemos encontrar que:

La solución general para la tensión será ahora:

Donde:

La distribución de la corriente se obtiene al igual que antes

mediante una derivación, y por tanto:

donde la ³impedancia característica´ es, ahora:

Por consiguiente, debe tenerse cuidado de no interpretar la impedancia característica como impedancia serie que

puede reemplazar a la línea de transmisión en un circuitoequivalente.

A partir de las ecuaciones obtenidas anteriormente esevidente que para determinar por completo I(z) y V(z)

nos hace falta conocer los valores V+

, querepresentan los valores de las amplitudes, en estadoestacionario, de las ondas de tensión.Adoptemos, ahora, una nueva coordenada d = - z, conreferencia cero en la carga. Las nuevas ecuaciones para el

voltaje y la corriente a lo largo de la línea de transmisiónson:

En la carga (d=0) tenemos:

Para una dada impedancia de carga ZR la condición decontorno nos dice que:

Así tenemos

de donde obtenemos que el coeficiente de reflexión devoltaje en la carga es:

Podemos introducir este resultado en las ecuaciones de lalínea de transmisión y obtener:

En cada punto definimos el ³coeficiente generalizado dereflexión´, como:

Entonces las ecuaciones de línea son, ahora:

Podemos definir, también, la impedancia de línea como:

Ilustrativamente

Si imaginamos que se corta la línea en d, la impedancia ala entrada de la porción de línea terminada por la carga esigual a la impedancia de línea ubicada ³antes del corte´. El

comportamiento de la línea a la izquierda de d es el mismoque si se tuviera una impedancia equivalente de valor Z(d). El coeficiente de reflexión de la nueva carga es iguala (d).

Si la longitud total de la línea es L, la impedancia deentrada de la línea se obtiene de la fórmula anterior de laimpedancia.

Para el caso de tener una línea con perdidas donde secumple:

Aproximando esta ultima expresión tenemos

La impedancia característica es aproximadamente igualcon las condiciones antes citadas, a la de la línea sin

pérdidas:

Y la velocidad de fase es:

Las ecuaciones para la línea de transmisión sin pérdidasson, ahora:

Tenemos de nuevo el mismo coeficiente de reflexión enla carga:

Pero el ³coeficiente generalizado de reflexión´ es:

Ahora bien, incluyendo el coeficiente generalizado dereflexión apropiado, tenemos las expresiones de las

impedancias de línea:

a) Línea con pérdidas:

b) Línea sin pérdidas:

La potencia promedio temporal, en cualquier punto de lalínea de transmisión es:

Es la potencia que, para una cierta entrada, puede alcanzar d y fluir hacia la porción restante de la línea más allá deeste punto. Es un error común pensar que esta cantidad es

la potencia disipado en d.

La potencia temporal promedio que llega a la carga de lalínea de transmisión está dada por:

La potencia promedio absorbida por la línea simplementees la diferencia entre la potencia a la entrada y la potenciaabsorbida por la carga.

Recordemos que la impedancia interna del generador disipa parte de la potencia total generada.

En una línea de transmisión sin pérdidas la misma noabsorbe potencia, entonces la potencia promedio a laentrada es idéntica que la potencia promedio sobre la

carga. La impedancia característica de la línea sin pérdidaes real y el flujo de potencia se puede expresar como:

Para el caso de la línea con pérdida, la impedanciacaracterística de la línea es también real, y el flujo de

potencia se puede expresar como:

La amplitud de la onda incidente se comporta de lasiguiente manera:

La amplitud de la onda reflejada se comporta de lasiguiente manera:

Para una línea general de impedancia característicacompleja la potencia promedio es:

Para especificar completamente el problema de la línea detransmisión, tenemos todavía que determinar el valor deV+ de la condición de contorno a la entrada: La condición de contorno de la carga impone la formadel modelo de interferencia de tensión y corriente a lolargo de la línea. La condición de contorno a la entrada, unida algenerador, impone el escalamiento de los modelos de la

interferencia.

Entonces, tenemos:

Para la línea sin perdida

Para la línea con perdida

Para tener buen control del comportamiento de un circuito a altafrecuencia, es muy importante realizar líneas de transmisión tan

uniformes como sea posible a lo largo de su longitud, para quela conducta de impedancia de la línea no varíe y puedacaracterizarse fácilmente.Un cambio en las propiedades de la línea de transmisión,deseado o no deseado, implica un cambio en la impedancia

característica que causa una reflexión. Ejemplo:

Para dar un significado de lo que el régimen de estado

estacionario es, consideremos una línea de transmisión que seconecta al generador cerrando un switch en un instante dereferencia t = 0. Por simplicidad asumimos que todas lasimpedancias, incluso la impedancia característica de la línea,son reales.

Después de que el interruptor está cerrado, el voltaje a la entradade la línea de transmisión variará casi instantáneamente desde elvoltaje (abierto) del generador VG a un valor V+, con unacorriente I+, empezando a fluir en la línea. Un transitorio tienelugar en la línea de transmisión, a medida que las cargas en losconductores se mueven, transportando la corriente hacia lacarga. Hasta que el frente alcanza el extremo de la línea detransmisión, el voltaje de la carga sigue siendo cero.

Inicialmente, la impedancia a la entrada de la línea de

transmisión parece ser igual que la impedanciacaracterística de la línea, porque la corriente no puedadarse cuenta del valor de la impedancia de carga todavía.Por consiguiente, un voltaje V+ se propaga con una I+,

donde:

Si la carga no coincide exactamente con la impedanciacaracterística de línea, la tensión V+ y la corriente I+ no

pueden establecerse en la carga R R , cuando la onda llegaal final de la línea, dado que:

Así, la tensión y la corriente se ajustan a la cargamediante la reflexión de una onda de tensión V- y unacorriente I-, de manera tal que:

Dado que el frente reflejado verá una impedancia

característica Z0, tenemos:

MODELOS DE

ESTACIONARIA

MODELOS DE ONDA ESTACIONARIA

En aplicaciones prácticas es muy conveniente la magnitudde los fasores de tensión y corriente en la línea detransmisión. Estos son los patrones de onda estacionaria:

Los modelos de onda estacionaria proporcionan losvalores máximos que la tensión y la corriente pueden

establecer en todo punto de la línea de transmisión para lacarga y el generador dados.

Los modelos presentan una sucesión de máximos ymínimos que se repiten en el espacio con un periodo delongitud /2, debido a la interferencia constructiva o

destructiva entre ondas incidente y reflejada.

Nos limitamos ahora al estudio del caso de la líneas detransmisión sin pérdidas, donde el coeficientegeneralizado de reflexión es:

Cuando d aumenta moviéndose de la carga al generador, elcoeficiente generalizado de reflexión en el plano complejo

se mueve en el sentido de las agujas del reloj en un círculode radio |R | y el ángulo que lo identifica es - 2d.El modelo de tensión de la onda estacionaria tiene unmáximo en los puntos donde el coeficiente generalizadode reflexión es real y positivo:

En estos puntos tenemos:

El ángulo de fase - 2d cambia una cantidad 2, cuandonos movemos de un máximo al siguiente. Esto correspondea una distancia entre máximos sucesivos de /2.El modelo de tensión de la onda estacionaria tiene unmínimo en los puntos donde el coeficiente generalizado dereflexión es real y negativo:

En estos puntos tenemos:

También cuando nos movemos de un mínimo al siguiente elángulo de fase - 2d cambia una cantidad 2. Estocorresponde, nuevamente, a una distancia entre mínimossucesivos de /2.

El modelo de tensión de onda estacionaria proporcionainformación inmediata en el circuito de la línea de

transmisión: Si la carga se empareja a la línea de la transmisión (ZR =Z0)elmodelo de tensión de onda estacionaria es una recta, con valor |V+|. Si la carga es real y ZR >Z0, el modelo de tensión de onda

estacionaria empieza con un máximo en la carga. Si la carga es real y ZR <Z0, el modelo de tensión de ondaestacionaria empieza con un mínimo en la carga. Si la carga es compleja y Im(ZR ) > 0 (reactancia inductiva), elmodelo de tensión de onda estacionaria inicialmente aumenta

cuando nos movemos de la carga al generador y alcanza unmáximo. Si la carga es compleja y Im(ZR ) < 0 (reactancia capacitiva), elmodelo de tensión de onda estacionaria inicialmente disminuyecuando nos movemos de la carga al generador y alcanza un

mínimo.

Dado que en todos los casos posibles

Si la carga es un cortocircuito, un circuito abierto o unareactancia pura, hay reflexión total con:

dado que la carga no puede absorber potencia. El modelode tensión de onda estacionaria en estos casos secaracteriza por:

La cantidad 1+(d) es en general un número complejo que puede ser construido como un vector en el plano

complejo. El número 1 es representado como 1+j0 en el plano complejo, y es justo un vector (1,0) posicionado enel eje real. El coeficiente de la reflexión (d) es un númerocomplejo tal ese |(d) | 1.

Podemos usar una construcción geométrica paravisualizar el comportamiento del modelo de tensión de la

onda estacionaria:

El coeficiente de tensión de onda estacionaria (VSWR) es

un indicador de la adaptación de impedancia de la carga yse define como:

Cuando existe adaptación de impedancias entre la carga yla línea de transmisión, tenemos:

Cuando la carga es un cortocircuito, un circuito abierto ouna reactancia pura:

Además tenemos la siguiente relación:

Máximos y mínimos del modelo de tensión de ondaestacionariaCarga con reactancia inductiva:

El primer máximo del modelo de tensión de onda

estacionaria se encuentra cerca de la carga en la posición:

Carga con reactancia capacitiva:

El primer mínimo del modelo de tensión de ondaestacionaria se encuentra cerca de la carga en la posición:

A partir de una medida del modelo de tensión de ondaestacionaria podemos calcular las posiciones del primer

máximo y del primer mínimo de tensión con respecto ala carga. El cociente de estas magnitudes de tensión enestos puntos nos permite encontrar el (VSWR).Si la impedancia característica de la línea de transmisión

Z0 es conocida.

Podemos sintetizar el método para hallarla en tres pasos:PASO 1: El VSWR proporciona la magnitud del

coeficiente de reflexión en la carga.

PASO 2: La distancia al primer máximo o mínimo da la

fase del coeficiente de reflexión en la carga.

Para una reactancia inductiva, el primer máximo se encuentra máscerca de la carga y

Para una reactancia capacitiva, el primer mínimo se encuentra máscerca de la carga y

PASO 3: La impedancia de carga se obtiene invirtiendo laexpresión para el coeficiente de reflexión.

CARTA DE

CARTA DE SMITH

La carta de Smith es una de las herramientas gráficas másútiles para aplicaciones de circuitos de alta frecuencia. Lacarta proporciona una manera diestra de visualizar funciones complejas.

Desde un punto de vista matemático, la carta de Smith essimplemente una representación de todas las posiblesimpedancias complejas con respecto a coordenadasdefinidas por el coeficiente de la reflexión.

La meta de la carta de Smith es identificar todas las posibles impedancias en el dominio de existencia delcoeficiente de reflexión.

Impedancia de línea

Impedancia normalizada

Si expresamos también (d) en función de su parteimaginaria y real tenemos:

La parte real es:

La parte imaginaria es:

El resultado de la parte real indica que un plano complejocon coordenadas (Re(), Im()) todas las posiblesimpedancias con una resistencia normalizada r, seencuentran en un círculo:

El resultado de la parte imaginaria indica que en un planocomplejo con coordenadas (Re(), Im()) todas las

posibles impedancias con una reactancia normalizada x, seencuentran en un círculo:

TÉCNICAS BÁSICAS DE LA CARTA DE SMITH

1. Dado Z(d) Hallar (d)a) Normalizar la Impedancia

b) Hallar el círculo de resistencia normalizada constante r.c) Hallar el arco de reactancia normalizada constante x.d) La intersección de las dos curvas indica el coeficiente

. de reflexión en el plano complejo, La Carta provee. directamente la magnitud y el ángulo de fase de (d).

Ejemplo: Dado Z(d) = 25 + j 100 y Z0= 50 Hallar (d)

2 Dado (d) Hallar Z(d)

2. Dado (d) Hallar Z(d)a) De terminar al punto complejo que representa al

coeficiente de reflexión (d) en la Carta. b) Leer los valores de la resistencia normalizada r y la

reactancia normalizada x que corresponden a este punto.c) La impedancia normalizada es:

3. Dados R y ZR Hallar (d) y Z(d)

a) Identificar el coeficiente de reflexión de la carga R y laimpedancia normalizada de carga ZR en la Carta de Smith.

b) Dibujar el circulo de amplitud constante del coeficiente dereflexión |(d)| = |R |.

c) Empezando en el punto que representa la carga, viajar por elcírculo en dirección horaria, un ángulo:

d) La nueva ubicación en la Carta corresponde a la ubicación den la línea de transmisión. Aquí, el valor de (d) y Z(d)

ueden ser leídos al i ual ue antes.

Ejemplo: Dado ZR = 25 + j 100 y Zo= 50 Hallar (d)y Z(d) para d=0,18

4. Dado R y ZR Hallar dmax y dmin

a) Identificar en la Carta de Smith el coeficiente dereflexión de la carga R o la impedancia normalizadade carga ZR .

b) Dibujar el circulo de amplitud constante del coeficientede reflexión |(d)| = |R |. El círculo intercepta al eje

real del coeficiente de reflexión en dos puntos queidentifican dmax (cuando (d) = Real positivo) y dmin

(cuando (d) = Real negativo).c) Una Carta de Smith comercial provee una graduación

externa donde las distancias normalizadas enlongitudes de onda pueden ser leídas directamente. Losángulos, entre el vector R y el eje real, también nos

permiten calcular dmax y dmin .

Ejemplo: Dados ZR = 25 + j 100 , ZR = 25 - j 100 (Zo=50 ) Hallar dmax y dmin.

5. Dado R y ZR Hallar VSWR

La impedancia normalizada en la posición del máximodel VSWR esta dada por:

a) Identificar en la Carta de Smith el coeficiente dereflexión de la carga R y la impedancia normalizada decarga ZR .

b) Dibujar el circulo de amplitud constante delcoeficiente de reflexión |(d)| = |R |.c) Hallar la intersección de este círculo con el eje real del

coeficiente de reflexión (correspondiente al punto de lalínea de transmisión dmax).d) Un círculo de resistencia normalizada tambiéninterceptará a este punto. Leer o interpolar el valor de laresistencia normalizada para determinar el VSWR.

6. Dada Z(d) Hallar Y(d)

a) Identificar en la Carta de Smith el coeficiente de reflexiónde la carga R y la impedancia normalizada de carga ZR .

b) Dibujar el circulo de amplitud constante del coeficientede reflexión |(d)| = |R |.

c) La admitancia normalizada se encuentra en un círculo de|| constante que es diametralmente opuesto a la impedancianormalizada.

Ejemplo: Dados ZR = 25 + j 100 , ZR = 25 - j 100 (Z0= 50 ) Hallar VSWR

Ejemplo: Dados ZR = 25 + j 100 (Zo= 50 )YR .

La Carta de Smith puede usarse para admitancias de líneas,mediante un corrimiento de la referencia (equivaliendo estoa un giro de 180° de la Carta de impedancias).

ADAPTACIÓN DE

IMPEDANCIAS

Pueden usarse varias técnicas para eliminar reflexionescuando la impedancia característica de línea y laimpedancia de carga no coinciden. Las técnicas deadaptación de impedancias pueden diseñarse para ser eficaces a una frecuencia específica de funcionamiento(técnicas de banda angosta) o para un espectro defrecuencia dado (técnicas de la banda ancha).

Un método de adaptación de impedancias involucra lainserción de un transformador de impedancia entre lalínea y carga.

Un simple transformador de impedancia de bandaangosta consiste en una sección de línea de transmisiónde longitud /4.

El transformador de impedancia se posiciona de maneraque se conecte a una impedancia real ZA. Esto es siempre posible si se elige la posición de un máximo o un mínimodel modelo de tensión de onda estacionaria. Entoncestenemos:

Si se inserta el transformador en la posición de un máximodmáx:

Si se inserta el transformador en la posición de un mínimodmín:

Consideremos ahora la impedancia de entrada de una líneade longitud /4. Dado que:

Notemos que si la carga es real, el modelo de tensión dela onda estacionaria en la carga es máximo cuando ZR >Z01 o mínimo cuando ZR < Z01. El transformador

puede conectarse directamente a la carga o a unadistancia de la carga que corresponde a un múltiplo de/4.

Si l i d i d l l f d

Si la impedancia de carga es real y el transformador seinserta a una distancia de la carga igual a un múltiplo par de /4, entonces:

Pero si la distancia de la carga es igual a un múltiploimpar de /4

La impedancia de entrada del transformador de impedancialuego de su inclusión en el circuito está dada por:

Para que haya adaptación de impedancia necesitamos que:

Ejemplo 1: de carga real puede ser:

Ejemplo 2: ahora insertamos el transformador a unadistancia /4 de la carga (tensión mínima en este caso)

Impedancia de carga compleja ± Transformador en elmáximo de tensión

I d i d l j T f d

Impedancia de carga compleja ± Transformador enel mínimo de tensión

Si no es importante construir el transformador deimpedancia con una línea de un cuarto de longitud deonda, podemos intentar seleccionar una línea detransmisión de longitud apropiada e impedanciacaracterística, tal que la impedancia de entrada tenga elvalor real requerido.

Después de separar parte real e imaginaria obtenemos lasecuaciones:

cuya solución es:

El transformador puede construirse mientras que Z02 seareal.

Adaptación de impedancia por brazo de reactancia simple.

La adaptación de impedancias puede lograrse insertandouna línea de transmisión (brazo de reactancia) como semuestra en el siguiente diagrama:

Hay dos parámetros de diseño para la adaptación por brazo de reactancia simple: La ubicación del brazo de reactancia, referido a ladistancia dstub de carga. La longitud del brazo de reactancia Lstub.

Cualquier impedancia de carga puede adaptarse a la líneausando la técnica de adaptación por brazo de reactanciasimple. El inconveniente de este acercamiento es que si secambia la carga, la ubicación de inserción puede tener queser movida.

La línea de transmisión que comprende el brazo de

La línea de transmisión que comprende el brazo dereactancia normalmente se termina con un corto o uncircuito abierto.. La opción de terminación con corto o

circuito abierto depende en la práctica de varios factores.Un corto en la derivación es menos proclive a la radiaciónelectromagnética y es más fácil de implementar. Por otrolado, un circuito abierto en la derivación puede ser más

práctico para ciertos tipos de líneas de transmisión. Dado

que el circuito se basa en la inserción en paralelo del brazode reactancia, es más conveniente trabajar conadmitancias, antes que con impedancias.

Para completar el diseño, tenemos que encontrar unaubicación apropiada para el brazo de reactancia. Notemos

que la admitancia de entrada del brazo es siempreimaginaria (inductancia si es negativo, o capacitancia sies positivo)Ystub = j Bstub

El brazo debe ponerse en una ubicación donde laadmitancia de la línea tenga parte real igual a Y0.Y(dstub) = Y0 + j B(dstub)

Para adaptar, necesitamos tener:Bstub = - B(dstub)

Dependiendo de la longitud de la línea de transmisión, puede haber un número de posibles ubicaciones donde un

brazo de reactancia puede insertarse para lograr laadaptación de impedancias. Es muy conveniente analizar las posibles soluciones en una Carta de Smith.

La flecha roja en el ejemplo indica la admitancia de carga.Esto proporciona en ³el mapa de admitancia´ lareferencia física para la ubicación de la carga en la líneade transmisión. Notemos que, en este caso la admitanciade carga cae fuera del círculo de conductancia unitaria. Sinos movemos desde la carga hacia al generador en la

línea, la ubicación correspondiente equivale a moverse dela referencia indicada, en el sentido de las agujas del reloj,según un ángulo (indicado por el arco verde). = 2 d = 4d / El valor de la admitancia está en el círculo rojo que

corresponde a la magnitud constante del coeficiente dereflexión de línea, |(d)| = |R |, impuesto por la carga.

Cada círculo de |(d)| constante corta el círculo Re{y} = 1(conductancia normalizado unitaria), en dos puntos.

Dentro de la primera revolución, las dos intersecciones proporcionan las ubicaciones más cercanas a la carga parala posible inserción de la derivación.La primera solución corresponde a un valor de admitanciacon parte imaginaria positiva, en la porción superior de la

Carta.Si la admitancia de carga normalizada cae dentro delcírculo unitario de conductancia, la primera ubicación

posible del brazo de reactancia corresponde a una

admitancia de línea con parte imaginaria negativa. Lasegunda ubicación posible tiene admitancia de línea con parte imaginaria positiva. En este caso, la formula desolución dada antes para primer y segundo lugar seintercambian.

Si uno se aparta más de la carga, encontramos otrasubicaciones convenientes para la inserción del brazo dereactancia (mientras nos acercamos al generador), adistancias múltiples de media longitud de onda de lassoluciones originales. Estas situaciones corresponden alos mismos puntos en la Carta de Smith.

Los problemas de la adaptación de impedancia por brazode reactancia simple pueden resolverse en la Carta deSmith gráficamente, usando un compás y una regla.

Este es un resumen del procedimiento:(a) Hallar la impedancia de carga normalizada ydeterminar su correspondiente ubicación en la Carta deSmith.(b) Dibujar el círculo de magnitud constante del

coeficiente de reflexión || para la carga dada.(c) Determinar la admitancia de carga normalizada en laCarta. Esto se obtiene girando 180° en el círculo de | |constante, desde punto de la impedancia de carga.

Después, todos los valores que se leen de la Carta sonadmitancias normalizas

(d) Moverse desde la admitancia de carga hacia elgenerador girando en el círculo de || constante, hastaencontrar las intersecciones con el círculo unitario deconductancia normalizada. Estas interseccionescorresponden a las posibles ubicaciones para la insercióndel brazo de reactancia.(e) Leer la admitancia de línea normalizada encorrespondencia con las ubicaciones de las insercionesdeterminadas en (d).

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