Linear Algebra Methods in Combinatorics

with applications to Geometry and Computer Science

Lezione II

dal libro di Babai & Frankl:

“Cut&Paste”

esercizio

Basta fare più

tagli

La domanda del giorno

?

angoliangoli

arccos 1/3 /2

NO!

in/dipendenza lineare

Funzioni lineariFatto:Sia V uno spazio lineare su Q e siano x,yV linearmente

indipendenti. Allora esiste una f: V Q tale che 1. f(a+b) = f(a) + f(b) (f è lineare)2. f(x)=1 e f(y)=0 (f “distingue” tra x e y)

Prova: esercizioFatto: arccos 1/3 e sono linearmente indipendenti in V=Q

1. D(P) = D(P1) + D(P2)2. D(“tetraedro”) > 0 D(“cubo”) = 0

Per ogni taglio di P in P1 e P2

Invariante di Dehn (1902):

Invariante di Dehn

D(P) :=

Ll

lfl )(||

L = {spigoli di P}

D(P) D(P1) + D(P2)

Divido lo spigolo l in l1 e l2

|l| f(l) |l1| f(l) + |l2| f(l)

|l| f(l) |l| f(l’) + |l| f(l

’’)

Divido l’angolo l in l’ e l

’’

Cosa succede quando taglio P

in P1 e P2?

Ho imbrogliato!!

Fatto: arccos 1/3 e sono linearmente indipendenti in V=Q

arccos 1/3 Q , Q

Soluzione corretta: per assurdo, supponi che

considera gli angoli 1, …, m dei vari “pezzetti”

definisci V := span(1, …, m) e osserva: arccos 1/3 V e V

Perché?

Ricetta del giorno

Posso “ridurre” un oggetto X ad un oggetto Y?

Passo 2

f tale che1. f(a+b)=f(a) +f(b)2. f(x)=0 e f(y)=1

X=X1 X2 … Xk=Y

Passo 3

F tale che 1. F(Xi) = F(Xi+1)2. F(X) F(Y)

X Y

x y

Passo 1

linear.indip. connessi

X Y

Curiositàarea trialgolo = (base altezza)/2

volume piramide = (area base altezza)/3

…simile a

dim: “infiniti pezzetti”…

Gauss: C’è una dimostrazione “cut&paste”?

dim: “cut&paste”

Hilbert (terzo problema): Dimostriamo che non c’è perché esistono due piramidi con stessa base e stessa altezza che non sono riducibili (“cut&paste”) tra loro.

Dehn: da cui posso ottenere le duepiramidi di Hilbert

Curiositàarea trialgolo = (base altezza)/2

volume piramide = (area base altezza)/3

dim: “infiniti pezzetti”…

…simile a

Gauss: C’è una dimostrazione “cut&paste”?

Hilbert (terzo problema): Dimostriamo che non c’è perché esistono due piramidi con stessa base e stessa altezza che non sono riducibili (“cut&paste”) tra loro.

Esercizio 1

Suggerimenti:

triangoloqualsiasi

rettangolo“oblungo”

(2base < altezza)

rettangolo“non-oblungo”

(2base altezza)

Ad esempio

Dimostra l’uguaglianza (puoi fare un numero finito qualsiasi di tagli)

Esercizio 2

Sugg.: Considera il caso particolare in cui V = span(a1,..,ak) con

a1 = x e a2 = y.

Fatto:Sia V uno spazio lineare su Q e siano x,yV linearmente

indipendenti. Allora esiste una f: V Q tale che 1. f(a+b) = f(a) + f(b) (f è lineare)2. f(x)=1 e f(y)=0 (f “distingue” tra x e y)