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Liceo Scientifico “G. Salvemini” Corso di preparazione per i test di ammissione universitari
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MATEMATICA - LEZIONE 1 ALGEBRA
Relatore prof. re CATELLO INGENITO
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Sommario della lezione
Insiemi numerici e potenze Espressioni algebriche Scomposizione e frazioni algebriche
Equazioni e disequazioni Valori assoluti e radici
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INSIEMI NUMERICI
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CLASSIFICAZIONE DEI NUMERI REALI
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RETTA REALE
ESISTE ANCHE UNA EQUIVALENZA TRA LA RELAZIONE D’ORDINE STRETTO DEI NUMERI REALI E DEI PUNTI DELLA RETTA
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PROPRIETA’ DELLE 4 OPERAZIONI
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Numeri primi e numeri composti
• Un numero naturale >1 si dice primo se è divisibile soltanto per se stesso e per 1.
• Un numero naturale >1 che non è primo si dice composto.
• Teorema fondamentale dell’aritmetica: Ogni numero composto ammette un’unica rappresentazione come prodotto di fattori primi, a meno dell’ordine di fattori
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M.C.D
• Massimo comune divisore. Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri interi è il più grande numero naturale tra i divisori comuni a tutti i numeri dati.
• Algoritmo per il calcolo del MCD. Per calcolare il massimo comune divisore tra due o più numeri, non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni, una sola volta, con il minimo esponente.
• Esempio: MCD(150,120) = 30. Infatti, 150 = 2⋅3⋅52 ; 120 = 23⋅3⋅5. I fattori comuni con il minimo esponente sono 2, 3, 5.
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M.C.D
• Algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD. Per il calcolare il massimo comune divisore tra due numeri naturali a e b, si controlla se b è zero. Se lo è, il MCD è a. Se non lo è, si divide a : b. Indicato con r il resto della divisione si ha: se r = 0, il MCD è b, altrimenti si ripete il procedimento con i numeri b ed r.
• Esempio: Per calcolare MCD(150,120) si divide 150:120, si ha quoziente 1, resto 30. Si divide 120:30 si ha quoziente 4 resto 0. Il MCD è 30.
• Numeri coprimi. Due numeri si dicono primi tra di loro o coprimi se non hanno nessun divisore comune eccetto 1 o equivalentemente se il loro MCD = 1.
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m.c.m
• Il minimo comune multiplo tra due o più numeri interi è il più piccolo tra i multipli comuni a tutti i numeri dati.
• Algoritmo per il calcolo del mcm. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il massimo esponente.
• Esempio: mcm(18,20) = 180 Infatti, 18 = 2⋅32 e 20 = 22⋅5 Il mcm è dato da 22⋅32⋅5 =180
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Proprietà delle potenze
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Proprietà delle potenze
00 è una forma
indeterminata!
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Una derivata:
Una buona palestra per il calcolo algebrico: le derivate (e gli integrali!)
Calcoliamo la seguente:
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Esempio:
Architettura 2008
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Esempio:
Odontoiatria 2002
Ricorda che 00 è forma indeterminata!
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Potenze di 10
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Esempio:
Medicina 2003
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x = 3 × 10m and y = 5 × 10n where m and n are integers. Which of the following is an expression, in scientific notation, for xy? A) 1.5 × 10mn+1
B) 1.5 × 10m+n+1
C) 8 × 10m+n
D) 15 × 10m+n1
E) 1.5 × 10 mn
Esempio:
Medicina in Inglese 2016
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Somma algebrica di potenze
• Due o più potenze si possono sommare algebricamente solo se sono simili, cioé se hanno la stessa base e lo stesso esponente:
2·3-7 + 3·3-7 = 5·3-7
• Per sommare algebricamente potenze non simili ma con la stessa base, trasformarle prima in potenze simili:
5·315 - 3·314 = 5·3·314 - 3·314 = 15·314 - 3·314 = 12·314
• Potenze con base diversa non si possono sommare:
172 + 72 = invariato
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Esempio:
Veterinaria 2011
3130 333
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Proporzioni
Una proporzione è un’uguaglianza di
rapporti.
Esempio di proporzione geometrica
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Proporzionalità diretta
• la formula che le lega ha la forma: y = k x
• il grafico è una retta che passa per l’origine.
Due variabili y e x sono direttamente
proporzionali se il loro rapporto è costante:
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Proporzionalità inversa
• la formula che le lega ha la forma: y = k / x
• il grafico è una ramo di iperbole equilatera.
Due variabili y e x sono inversamente
proporzionali se il loro prodotto è costante:
xy = k
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Percentuali
La percentuale è un rapporto che ha come denominatore 100.
In una classe di 25 persone 20 hanno il telefonino. Quanti ragazzi in percentuale hanno il telefonino?
La variazione percentuale :
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Monomi e Polinomi
Con le proprietà delle potenze si svolgono anche le operazioni con monomi e polinomi:
Stesse regole dei numeri
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Prodotti notevoli
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Potenza del binomio
Triangolo di TARTAGLIA
n! = 1·2· … ·n
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Esempio
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Scomposizione di polinomi
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Frazioni algebriche
Semplificazione
divisori primi di x4- 8x2y2+ y4
divisori primi di x6-y6
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Frazioni algebriche
Somma algebrica
mcm
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E(o)rrori da evitare!
2
3
x2 + y2 = (x + y)(x - y) x2 +2x +4 = (x + y)2
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Regola del resto
Consideriamo un polinomio P(x) di grado > 1
Se P(x) ammette come divisore il binomio (x-a) ..
Es. P(x) = 3x3 + 8x2 - 1
.. il valore razionale a appartiene necessariamente alle frazioni formate dai divisori del termine noto e dai divisori del primo
coefficiente. Tale valore detto zero o radice del polinomio, sostituito alla x, annulla il polinomio
Es. 1 - 1/3 P(1) = 3 + 8 – 1=10 0 P(-1) = -3 + 8 – 1 = 4 0
P(1/3) = 1/9 + 8/9 – 1 = 0
Il polinomio 3x3 + 8x2 – 1 è divisibile per il binomio (x-1/3) o (3x-1)
RESTI DELLA DIVISIONE TRA P(x) e (x-a)
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Regola di Ruffini
Scomponiamo il polinomio con la REGOLA DI RUFFINI
3 8 0 - 1
1/3
3
1
9
3
3
1
0
3x3 + 8x2 – 1 = (x - 1/3)(3x2 + 9x + 3) = (3x - 1)(x2 + 3x + 1)
Trinomio irriducibile perché non esistono due numeri relativi la cui somma sia 3 e il cui prodotto sia 1.
Oppure, usando la regola del resto, perché P(-1) e P(1) 0
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IDENTITA’ E DISUGUAGLIANZE
Esiste un’identità tra due espressioni algebriche:
A = B
se esse sono riconducibili alla stessa espressione
Una disuguaglianza tra due espressioni ha significato se esiste una relazione d’ordine tra le espressioni:
A < B A B A > B A B
Identità e disuguaglianze hanno un valore di verità: VERO (VERIFICATA)
FALSO (NON VERIFICATA)
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PROPRIETA’ DI IDENTITA’ E DISUGUAGLIANZE
1) I membri di una IDENTITA’ (DISUGUAGLIANZA) possono essere moltiplicati o divisi per un numero positivo senza cambiare valore
Es. 2x2 – 4x + 2 = (<) 0 4x2 – 8x + 4 =(<) 0 x2 – 2x + 1 =(<) 0
2) I membri di una IDENTITA’ possono essere moltiplicati o divisi per un numero negativo senza cambiare valore
Es. 2x2 – 4x + 2 = 0 -4x2 + 8x - 4 = 0 – x2 + 2x - 1 = 0
3) Se si moltiplicano i membri di una DISUGUAGLIANZA per un numero negativo il segno cambia verso (il valore di inverte)
Es. 2x2 – 4x + 2 < 0 -4x2 + 8x - 4 > 0
4) In una IDENTITA’ (DISUGUAGLIANZA) al primo e al secondo membro si possono sommare o sottrarre gli stessi numeri reali
senza che essa cambi il proprio valore
Es. x + 1 =(<) 0 x + 1 - 1 =(<) -1 x =(<) -1
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EQUAZIONI DI 1° GRADO
Applicando le precedenti proprietà risolviamo le equazioni di 1° grado:
ax + b =0 x = con a 0 a
b
Risolvere un’equazione significa trovare uno o più valori reali che verificano l’identità. Verifica:
a + b =0 -b +b = 0 0 = 0
a
b
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DISEQUAZIONI DI 1° GRADO
ax + b >0 x > con a >0 a
b
Analogo procedimento per , < ,
ax + b >0 x < con a <0 a
b
Analogo procedimento per , < ,
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FORME NON DETERMINATE
I metodi precedenti non si applicano se a = 0
Per le equazioni abbiamo due casi:
0x = 0 EQUAZIONE INDETERMINATA ( SOLUZIONI)
0x = b EQUAZIONE IMPOSSIBILE (0 SOLUZIONI)
Per le disequazioni valutare il valore di verità della disuguaglianza:
0x < 0 impossibile indeterminata 0x 0
0x < 3 indeterminata impossibile 0x -1
0x > 5 impossibile indeterminata 0x 10
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SISTEMI LINEARI (EQU. DI 1° GRADO)
0
0
111 cybxa
cbyax Equazioni di due rette sul piano
cartesiano
Il sistema è determinato se le due
rette sono incidenti (m m’)
1
1
b
a
b
a
11 b
b
a
a
Il sistema è impossibile se le due rette sono parallele (m = m’)
1
1
b
a
b
a
111 c
c
b
b
a
a
Il sistema è indeterminato se le due rette sono
coincidenti
111 c
c
b
b
a
a
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Esempio:
Odontoiatria 2007
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METODO DI SOSTITUZIONE
Forma canonica
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METODO DEL CONFRONTO
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METODO DI RIDUZIONE
Proprietà: una combinazione lineare di identità è ancora una identità vera.
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MATRICE DEL SISTEMA LINEARE
Il sistema è determinato se la matrice del sistema è 0
011
ba
ba
11 b
b
a
a
0
0
111 cybxa
cbyax
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METODO DI CRAMER
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Esempio
Ingegneria 2002
Impostiamo un sistema lineare: x = anni di Matteo oggi y = anni di Sara oggi
yx
yx
54
)3(23
054
092
yx
yx
Il sistema è determinato ma potrebbe avere soluzioni non accettabili (negative). Tuttavia
nessuna delle risposte è compatibile con questa ipotesi, quindi la risposta è sicuramente:
05)92(4
92
yy
yxRisolviamo comunque il sistema con uno dei 4
metodi:
12
15
y
x
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SISTEMI LINEARI A TRE INCOGNITE
terzo
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VALORE ASSOLUTO
Sia a R
Si definisce valore assoluto (o modulo) di a:
0
0
a
a
sea
seaa
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RADICALI ALGEBRICI
Si definisce RADICE n-esima di un numero reale a, se esiste, il/i valore/i b:
abab nn
indice radicando
pari
dispari
n
nR
a
a
sean
0
NON HA SIGNIFICATO
0 a aa 1 aa 2
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OPERAZIONI CON I RADICALI
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OPERAZIONI CON I RADICALI
NB - Anche per i radicali, come per potenze e monomi, la somma algebrica è possibile solo se sono
SIMILI !
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Esempio:
Farmacia 2013
2552
10
64
1000000
1000000
64 23
63
1
3
1
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SEMPLIFICAZIONE DELLA RADICE QUADRATA
Sia n = 2 (o pari) La semplificazione della radice n-esima è:
x
x
x
1lim
2
xxn n
Esempio: calcoliamo il seguente limite:
x
xx
x
x
xx
2
2
2
11
lim1
lim
11
1lim
11
lim
11
lim2
22
xx
xx
x
xx
xxx
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RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI
Razionalizzare un DENOMINATORE significa renderlo RAZIONALE
Caso 1 a
ab
a
a
a
b
a
b
Caso 2 a
ab
a
a
a
b
a
b n mn
n mn
n mn
n mn m
5
5 2
5 2
5 2
5 325
5
55
5
5
5
5
5 125
5
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RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI
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RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI
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RADICALI DOPPI
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Esempio
Architettura 2012
5
10
10
10
10
2
10
2
10
44,0
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Esempio
Architettura 2012
5
10
10
10
10
2
10
2
10
44,0
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Esempio
Architettura 2007
55)12(5 a
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EQUAZIONI DI 2° GRADO
ax2 + bx + c = 0
Formula risolutiva completa: a
acbb
a
bx
2
4
2
2
Discriminante
Formula risolutiva ridotta:
a
acbb
a
b
x
2
2242
0
0
0 2 soluzioni reali distinte
1 soluzione reale doppia
nessuna soluzione reale
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EQUAZIONI DI 2° GRADO INCOMPLETE
ax2 + bx = 0 Spuria:
a
bx
x
baxxbxax
2
12
0
0)(Ammette sempre due radici reali di cui una
nulla ( > 0)
ax2 + c = 0 Pura:
a
cx 2
0
0
0
a
ca
ca
c 2 soluzioni reali opposte ( > 0) a
cx
1 soluzione reale doppia ( = 0) 0x
nessuna soluzione reale ( < 0)
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RELAZIONE TRA COEFFICIENTI E RADICI - SCOMPOSIZIONE
ax2 + bx + c = 0
>0
2 radici reali e distinte x1 e x2
a
bxxs 21
a
cxxp 21 x2 – sx + p = 0
ax2 + bx + c = a(x – x1)·(x – x2)
=0
2 radici reali e coincidenti o una soluzione doppia x1
ax2 + bx + c = a(x – x1)2
<0 Nessuna radice reale
ax2 + bx + c irriducibile
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Esempio
Veterinaria 2017
Risolviamo:
Quali sono i due numeri tali che la loro somma è uguale a 17/4 e il loro prodotto è uguale a 1? A) 3/4; 4/3 B) 6; 1/6 C) 4; 1/4 D) 3/8; 8/3 E) 16/4; 1
2 2171 0 4 17 4 0
4
17 289 64 17 15 14
8 8 4
x x x x
x
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EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2°
Scomponiamo con il metodo di Ruffini:
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EQUAZIONI BINOMIE e TRINOMIE
axn + c = 0 soluznoa
ca
cx
a
cn
0
0
n pari
n
a
cx
n dispari
ax2n + bxn + c = 0 si riconducono alle
binomie:
t = xn at2 + bt + c = 0
Applicare le formule risolutive delle equazioni di secondo grado
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Esempio
Medicina 2004
Il metodo più semplice è quello di provare le tre risposte con
gli zeri (radici):
a - 3 + 1 = 0 a = 2 !
Sconsigliabile provare a discutere l’equazione letterale !
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SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL 1°
Il sistema è di 2° grado. Il grado di un sistema si calcola moltiplicando i gradi delle equazioni
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Esempio
Medicina 2004
Metodo 1 Risolviamo il sistema:
02832130369)816(4
42
22
yy
yyy
yx0364256
4
Metodo 2 Tracciamo retta ed ellisse:
3 -3
-2
2 4
-4
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< 0 -
SEGNO DEL TRINOMIO DI 2° GRADO
a > 0
caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0
> 0 x1 , x2 x < x1 v x > x2 x ≤ x1 v x ≥ x2 x1 < x < x2 x1 ≤ x ≤ x2
p(x) = ax2 + bx + c
= 0 x1 x ≠ x1 x = x1
Rx Rx Rx Rx
Rx Rx
Sostituendo dei valori alla x p(x) assume un segno
Per studiare tale segno risolviamo l’equazione associata:
ax2 + bx + c = 0
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Segno del trinomio con la parabola
Le tabelle per lo studio del segno del trinomio si possono anche dimostrare utilizzando l’equazione della parabola y = ax2 + bx + c
a > 0 – la parabola è rivolta verso l’alto
> 0
x1 x2
= 0
x1
+ -
+ + +
< 0
+
a < 0 – la parabola è rivolta verso il basso
> 0 = 0
- +
-
- -
< 0
- x1 x2
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Esempio
Risolviamo insieme la disequazione: 2x2 + x – 1 > 0
1) Risolviamo prima l’equazione associata: 2x2 + x – 1 = 0
1
21
4
31
4
91
4
811
x
2) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > 0:
caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0
> 0 x1 , x2 x < x1 v x > x2 x ≤ x1 v x ≥ x2 x1 < x < x2 x1 ≤ x ≤ x2
= 0 x1 x ≠ x1 X = X1
< 0 - Rx
Rx
Rx
Rx
Rx Rx
3) Soluzione: x < -1 V x > 1/2
R -1 1/2
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Esempio
Risolviamo insieme la disequazione: - x2 – 3 ≤ 0
1) Risolviamo prima l’equazione associata: x2 + 3 = 0
2) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > 0:
caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0
> 0 x1 , x2 x < x1 v x > x2 x ≤ x1 v x ≥ x2 x1 < x < x2 x1 ≤ x ≤ x2
= 0 x1 x ≠ x1 X = X1
< 0 - Rx
Rx
Rx
Rx
Rx Rx
Cambiamo i segni, invertendo il verso della disuguaglianza : x2 + 3 ≥ 0
x2 = -3 impossibile ( < 0)
3) Soluzione: indeterminata ( x R)
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Esempio
Risolviamo insieme la disequazione: x2 + 6x + 9 > 0
1) Risolviamo prima l’equazione associata: x2 + 6x + 9 = 0
)0(3039622 xxxx
2) Applichiamo la tabella del segno del trinomio con a > 0:
caso radici p(x)>0 p(x)≥0 p(x)<0 p(x)≤0
> 0 x1 , x2 x < x1 v x > x2 x ≤ x1 v x ≥ x2 x1 < x < x2 x1 ≤ x ≤ x2
= 0 x1 x ≠ x1 X = X1
< 0 - Rx
Rx
Rx
Rx
Rx Rx
3) Soluzione: x ≠ -3
-3 R
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Esempio
Medicina 2017
Sostituiamo 1 nell’equazione:
L'equazione di secondo grado kx2 – 3kx + (k + 1) = 0, con k ≠ 0, ha una soluzione uguale a –1 per: A) k = –1/5 B) nessun valore di k C) k = –1 D) k = 1 E) k = 3
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Disequazioni di grado > 2
Una disequazione Pn(x) <> 0 con n > 2 deve essere scomposta in fattori:
Pn(x) = Am(x)·Bp(x).. <> 0 di grado massimo 2.
Il segno del polinomio Pn(x) è il prodotto dei segni dei suoi fattori.
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Esempio
Scomponiamo:
2x3 - x2 - x < 0
x(2x2 - x - 1) < 0
Studiamo i due fattori > 0 012
02
xx
x
12
10
xx
x
Riportiamo sulla retta reale i segni dei 2 fattori:
R -1/2 0 1
x
2x2 - x - 1
+ +
+ +
- -
- -
- 2x3 - x2 - x - + +
Soluzione: 102
1 xx
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Esempio
Scomponiamo la biquadratica come trinomio caratteristico :
x4 - 5x2 + 4 0
(x2 – 4)(x2 - 1) 0
Studiamo i due fattori 0 01
042
2
x
x
11
22
xx
xx
Riportiamo sulla retta reale i segni dei 2 fattori:
Soluzione: 2112 xxx
R -1 -2 1
x2 - 4
x2 - 1
2
- x4 - 5x2 + 4 - + + +
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Esempio
(x +1)(x2-x+1)(4 – 3x2) 0 Scomponiamo:
4x3 - 3x5 + 4 - 3x2 0
(x3 + 1)(4 – 3x2) 0
Studiamo i tre fattori 0
034
01
01
2
2
x
xx
x
33
23
3
2
1
x
Rx
x
Riportiamo sulla retta reale i segni dei 3 fattori:
Soluzione:
- 4x3-3x5+4-3x2 - + +
R -1
x+1
x2 - x + 1
33
23
3
2
4-3x2
33
213
3
2 xx
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Le soluzioni della disequazione (2 – x)(x + 1)x < 0 sono: A) –1 < x < 0 B) x < –1 oppure 0 < x < 2 C)–1 < x < 0 oppure x > 2 D) x > 2 E) 0 < x < 1 oppure x > 2
Esempio Architettura 2016
- P(x) - + +
R 0
x
2-x
21
x+1
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Disequazioni algebriche fratte
Per risolvere una disequazione fratta
scomporre eventualmente Numeratore e Denominatore
impostare uno studio dei segni di numeratore e denominatore:
La soluzione, come per quelle di grado superiore,
0)(
)(
xQ
xPm
n
0)(
)0(0)(
xQ
xPm
n
è data dagli intervalli concordi col segno richiesto
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Esempio
Studiamo i due fattori > 0 023
01
x
x
2
31
x
x
Riportiamo sulla retta reale i segni dei 2 fattori:
R -1 3/2
N
D
+ +
+ +
-
+
N/D - + -
Soluzione: 2
31 xx
023
1
x
x
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Esempio
Studiamo N 0 e D > 0 044
09162
2
xx
x
24
3
4
3
x
xx
Riportiamo sulla retta reale i segni di N e D:
Soluzione: 24
3
4
3 xxx
044
9162
2
xx
x
R -3/4 3/4 2
N
D
N/D - + + +
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Esempio
Studiamo N1 e N2 0 e D1 e D2 > 0
01
01
04
012
2
2
2
x
x
x
x
Riportiamo sulla retta reale i segni di N1, N2, D1 e D2:
Soluzione: 212
112 xxx
01
4824
23
x
xxx0
)1)(1(
)4)(12(22
2
xx
xx
11
222
1
xx
Rx
xx
x
R -2 1/2 1
N2
D1
-1 -2
D2
N1
N/D - + + + - -
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Esempio dai test di ammissione
03
6272
x
xx
Architettura 2007
03
13
x03x
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La disequazione (x + 3)/(1 – 2x) > 0 è soddisfatta per: A) x > –3 B) x < –1/2 o x > 3 C) –1/2 < x < 3 D) x < –3 o x > 1/2 E) –3 < x < 1/2
Esempio dai test di ammissione
Architettura 2017
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Esempio dai test di ammissione
Architettura 2006
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Sistemi di disequazioni
La soluzione è data dall’intersezione delle soluzioni del sistema:
...
0)(
0)(
xB
xA
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Esempio
Risolviamo le due disequazioni:
02
1
x
x
Riportiamo sulla retta reale le due soluzioni:
Soluzione: 12 x
02
012 xx
x
R -2 -1 0
1
2
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Esempio Risolviamo le tre disequazioni:
20
33
11
xx
x
xx
Riportiamo sulla retta reale le tre soluzioni:
Soluzione: 3213 xx
02
09
01
2
2
2
xx
x
x
R -3 0 3
1
2
-1 2 1
3
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Esempio
Verificato che la prima disequazione è impossibile …
02
034
01
32
24
2
xx
xx
x
tutto il sistema è impossibile!
In generale se le soluzioni delle disequazioni di un sistema non si intersecano il sistema è impossibile!
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Esempio Risolviamo separatamente le due disequazioni:
Riportiamo sulla retta reale le due soluzioni:
Soluzione: 031 xx
01
7203 23
x
xxx 0)3(2 xx1
Soluzione: 03 xx03
02
x
x
R 0 3
x2
x-3
2 01
072
x
x R -1 7/2
N
D
Soluzione:
2
71 x
R 0 -1 3
1
2
7/2
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Equazioni e disequazioni irrazionali
n xA )(esiste se A(x) ≥ 0
è sempre ≥ 0 n pari
n xA )(esiste se A(x) esiste
assume il segno di A(x) n dispari
213 2 x 33
3 2 21 x 812 x 33 x
In questi casi equazioni e disequazioni si risolvono senza imporre alcuna
Condizione di Esistenza alla RADICE
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Equazioni e disequazioni irrazionali
Esempi
Siano: n – un numero positivo A(x) e B(x) – polinomi in x
Nei seguenti metodi, implicitamente o esplicitamente, abbiamo la Condizione di Esistenza: A(x) 0
)( nxA 0)()( xAnxA nxA )(
012 x 12 x
31 x 01x 1x
212 x
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Equazioni e disequazioni irrazionali
2)()( nxAnxA 2)()( nxAnxA
2)(
0)()(
nxA
xAnxA
Esempi
21 x 41x 5x
132 x 132 x 3
1x
212 x
41
012
2
x
x
52
25
x
x
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Equazioni e disequazioni irrazionali
)()(
0)(
0)(
)()(2 xBxA
xB
xA
xBxA
Esempio: 11 xx
121
01
01
2 xxx
x
x
0x
3003
1
1
2 xxxx
x
x
non accettabile
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Equazioni e disequazioni irrazionali
)()(
0)(
0)(
)()(2 xBxA
xB
xA
xBxA
Esempio: xx
x
23
23
3
20
02
xx
xxx
x
3 2x
02
0
023
x
xx
x
0
0
20 3
x
x
xx
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Unione di disequazioni
La soluzione è data dall’unione delle soluzioni:
0)(0)( xBxA
NB – Nei metodi risolutivi delle disequazioni algebriche le soluzioni da unire sono disgiunte!
(Hanno intersezione nulla!)
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Equazioni e disequazioni irrazionali
)()(
0)(
0)(
0)()()(
2 xBxA
xB
xA
xBxBxA
Esempio: xx 24
xxx
x
x
x
444
02
04
022
0x
50
2
4
2
x
x
x
x
202 xx
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Equazioni e disequazioni irrazionali
)()(
0)(
0)(
)()(
xBxA
xB
xA
xBxA
Disequazioni più complesse vanno ricondotte ai casi
precedenti
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Equazioni e disequazioni con modulo
Per i metodi successivi siano: n – un numero positivo
A(x) e B(x) – polinomi in x
0
0
NseN
NseNN
è sempre ≥ 0 )(xA
Ripetiamo la definizione di modulo
(valore assoluto)
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Equazioni e disequazioni con modulo
Esempi
nxA )(
RxnxA )(
nxA )(
12 2 x
152 x
122 xx
Impossibile
Sempre verificata
Impossibile
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Equazioni e disequazioni con modulo
nxAnxA )()(
nxAnxAnxA )()()(
nxA
nxAnxA
)(
)()(
12 2 x 12 2 x 13 xx
152 x 132132 xx 13
1 xx
122 xx
12
122
2
xx
xx2121 x
Esempi
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Equazioni e disequazioni con modulo
)....(
0)(
)....(
0)(....)(
xA
xA
xA
xAxA
Esempio: 12 xxx
1
0
1
02
2
2
2
xxx
xx
xxx
xx
10 x
Equazione o disequazione con un valore assoluto:
Risolvere l’unione di 2 disequazioni con le ipotesi del segno dell’espressione in valore assoluto:
1
01
11
01
x
x
x
xx
0110 xx
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Equazioni e disequazioni con modulo
Esempio: 22 xxx0
02
x
xx
Equazione o disequazione con più valori assoluti:
Studiare i segni delle espressioni in valore assoluto e poi risolvere tanti sistemi quanti sono gli intervalli di segno che si
determinano (seguire l’esempio)
2
1
2
10
2
0222 xxx
x
xxx
x
xxx
x
3111002 xxx
R 0 1
x
x2 - x
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Esempio dai test di ammissione
023 x
Architettura 2012
32 x
32
32
x
x
5
1
x
x
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Fine lezione
Grazie per l’attenzione !