Het ritdistributiemodelH01I6A Verkeerskunde basis

Ben Immers

Traffic and InfrastructureDepartment of Civil Engineering

Faculty of EngineeringKatholieke Universiteit Leuven

H01I6A Verkeerskunde basis 2

Het klassieke verkeersprognosemodel

Gebieds-gegevens

Ritproductie/ritattractie

Vervoersstromen

Trip-ends

Verplaatsings-weerstanden

H-B tabellen

Distributie/vervoerwijzekeuze

Toedeling

Transportnetwerken

H01I6A Verkeerskunde basis 3

Vertrekken en aankomsten in de avondspits (auto)

DeparturesAankomsten

Brussels Leuven

Mechelen

Lier

Zaventemairport

Aarschot

H01I6A Verkeerskunde basis 4

Zone j

Zone i

Pij

Pij = de verplaatsing van zone i naar zone jPijv = de verplaatsing van zone i naar zone j met vervoerwijze v

H01I6A Verkeerskunde basis 5

Visualisatie H-B matrix: wenslijnen

H01I6A Verkeerskunde basis 6

Doel van dit deelmodel

� We verdelen de verplaatsingen met vertrekpunt i over de mogelijke bestemmingen

� We verdelen de verplaatsingen met aankomstpunt j over de mogelijke herkomsten

� Resultaat: herkomst-bestemmingsmatrix (H-B matrix)

� Toegepaste methodieken

� Groeifactormodel

� Zwaartekrachtmodel

H01I6A Verkeerskunde basis 7

Doel van de berekeningsstapvervoerwijzekeuze

� Vaststellen welke vervoerwijze m gebruikt wordt voor een verplaatsing van i naar j

� Resultaat� vervoerwijze-specifieke vertrekken en aankomsten

� vervoerwijze-specifieke H-B matrices

� vervoerwijze-specifieke routekeuze

� Methodiek� in verschillende fasen van de berekening

� na ritproductie/attractie

� na distributie

� simultaan met distribution

� simultaan met routekeuze

H01I6A Verkeerskunde basis 8

Sequentieel model 1

Productie/attractie

Vervoerwijzekeuze

Toedeling

Vervoerwijzekeuze heeft geen invloed op distributie

Distributie

H01I6A Verkeerskunde basis 9

Sequentieel model 2

Productie/attractie

Vervoerwijzekeuze

Distributie

Toedeling

Distributie heeft geen invloed op vervoerwijzekeuze

H01I6A Verkeerskunde basis 10

Simultaan model

Productie/attractie

Vervoerwijzekeuze

Distributie

Toedeling

Vervoerwijzekeuze heeft wel invloed op distributie en omgekeerd

H01I6A Verkeerskunde basis 11

Aankomsten

Vertrekken 1 2 j n

1 T11 T12 T1n O1

2 T21 T22 T2n O2

i Tij Oi

m Tm1 Tm2 Tmn Om

D1 D2 Dj Dn

Generieke vorm van een H-B matrix

i

j

ij OT =∑

T Tij

ij

∑ =ij j

j

T D=∑

H01I6A Verkeerskunde basis 12

� Groeifactormodel

� Bestaande H-B matrix is uitgangspunt

� Zwaartekrachtmodel

� Matrix met weerstanden is uitgangspunt

Distributie

H01I6A Verkeerskunde basis 13

Distributie

� Bepaal Tij

Met als randvoorwaarde:

� zowel vertrekken als aankomsten zijn bekend (double constrained)

� vertrekken zijn bekend (single constrained)

� aankomsten zijn bekend (single constrained)

� geen randvoorwaarden (unconstrained)

Vaak aparte tabellen voor motief (wo-we), tijd (spits) en

persoonskenmerk (autobezit, etc.)

H01I6A Verkeerskunde basis 14

Distributieberekening

� Σ Tij = Oi voor i = 1…..mj

� Σ Tij = Dj voor j = 1….ni

� m + n – 1 onafhankelijke vergelijkingen� m ∗ n onbekenden

� stelsel is onbepaald� additionele randvoorwaarden nodig: weerstand tussen zones

Verkeer verdeelt zich over H-B relaties naar rato van een functie van deweerstand tussen de H-B relatie(s) (Hogere weerstand � minder verplaatsingen)

� Informatie over weerstand� historisch: groeifactor methode� synthetisch: zwaartekrachtmodel

H01I6A Verkeerskunde basis 15

Groeifactormodel

� Gegeven: Een oude matrix (a priori matrix)

� Gevraagd: Schat een nieuwe matrix

� Oplossing: Verhoog alle cellen evenredig met groeifactor zodat nieuwe producties en/of attracties overeenkomen met de resultaten uit het ritgeneratiemodel (randvoorwaarden)

Onderscheid naar:

� single constrained groeifactor

� double constrained groeifactor

H01I6A Verkeerskunde basis 16

Groeifactormodel

� uniforme groeifactor

� groeifactormodel met één randvoorwaarde

� groeifactormodel met dubbele randvoorwaarden

Toepassing Furness vereffeningsmethode:

Tij = ai ∗ bj ∗ tij

ai = gi1 ∗ gi2 ∗ …

bj = Gj1 ∗ Gj2 ∗ …

ai en bj = evenwichtsfactoren

tij = a-priori H-B matrix (basismatrix)

H01I6A Verkeerskunde basis 17

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5 50 100 200 355 400

2 50 5 100 300 455 460

3 50 100 5 100 255 400

4 100 200 250 20 570 702

i

∑ 205 355 455 620 1635 1962

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5.6 56.3 112.7 225.4 400 400

2 50.5 5.1 101.1 303.3 460 460

3 78.4 156.9 7.8 156.9 400 400

4 123.2 246.3 307.9 24.6 702 702

i

∑ 257.7 464.6 529.5 701.2 1962 1962

Voorbeeld groeifactormethode met

producties als randvoorwaarde

H01I6A Verkeerskunde basis 18

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5 50 100 200 355 400

2 50 5 100 300 455 460

3 50 100 5 100 255 400

4 100 200 250 20 570 702

i

∑ 205 355 455 620 1635

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5.2 43.6 97.2 254.0 400.0 400

2 44.7 3.8 83.7 327.9 460.1 460

3 76.7 128.7 7.2 187.4 400.0 400

4 133.4 223.9 311.9 32.6 701.8 702

i

∑ 260.0 400.0 500.0 801.9 1961.9

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

Voorbeeld groeifactormethode met dubbele randvoorwaarden

H01I6A Verkeerskunde basis 19

“Furness” procedure

Algoritme: herhaal tot convergentie:

� vereffenen producties

� vereffenen attracties

Dit “Furness” proces convergeert naar een stabiele oplossing

� Mathematisch:

Tij = ai ∗ bj ∗ tijai , bj = evenwichtsfactoren (“balancing factors”)

tij = a priori HB tabel

H01I6A Verkeerskunde basis 20

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5 50 100 200 355 400

2 0 50 0 0 50 460

3 50 100 5 100 255 400

4 100 200 250 20 570 702

i

∑ 155 400 355 320 1230

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 3.4 0.7 61.0 355.3 420.4 400

2 0 388.2 0 0 388.2 460

3 65.5 2.8 5.9 345.7 419.9 400

4 191.1 8.3 433.1 101.0 733.5 702

i

∑ 260.0 400.0 500.0 802.0 1962.0

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

Voorbeeld van een niet convergerend

Furness proces

H01I6A Verkeerskunde basis 21

Nadelen groeifactormodel

� verplaatsingen van en naar nieuwe ruimtelijke ontwikkelingen kunnen niet worden berekend

� betrouwbaarheid a-priori gegevens bepaalt resultaat

� methodiek convergeert niet altijd tot een stabiele oplossing

� methodiek houdt geen rekening met veranderingen in het netwerk

H01I6A Verkeerskunde basis 22

Zwaartekrachtmodel

Vergelijking met Groeifactormodel:

� in plaats van een a priori matrix starten met matrix gevuld met waarden uit distributiefunctie

� Daarna het “Furness” proces toepassen

Mathematisch betekent dit:

Tij = ai * bj * f(cij)

� Zwaartekrachtmodel (Gravity model) vanwege overeenkomst met Newtons graviteitswet

H01I6A Verkeerskunde basis 23

Zwaartekrachtmodel

� Waarde van de distributiefunctie vervult de rol van a-priori matrix

Tij = ai * bj * f(cij)

� ai en bj = de evenwichtsfactoren (balancing factors)

� f(cij) = distributiefunctie

� Model met één randvoorwaarde: ai of bj = 1

H01I6A Verkeerskunde basis 24

Distributiefunctie

� De distributiefunctie geeft weer: De bereidheid tot het maken van een verplaatsing als functie van de weerstand

Mathematische vorm:

� exponentiele functie

� machtsfunctie

� combinatie exponent en machtsfunctie

� functiewaarden in tabel

Bijv. f(cij) = cij-α . e-βcij

De parameters α en β (of de functiewaarden in de tabel) worden door

calibratie bepaald

H01I6A Verkeerskunde basis 25

Weerstanden

� Alles wat een reiziger als verplaatsingsweerstand ervaart

Notatie: cij = tripcost

� Eenheden (meestal):� tijd

� kosten

� lineaire combinatie van tijd of kosten

= gegeneraliseerde tijden of gegeneraliseerde kosten

Voorbeeld: gewogen reistijd openbaar vervoer:

1 * echte reistijd + 2 * voor- en natransporttijd + 3 * wachttijd

H01I6A Verkeerskunde basis 26

Gegeneraliseerde weerstandsfunctie

� gegeneraliseerde tijden� gegeneraliseerde kosten

kijv� zijv = tijv + γ ---------

ink

� zijv = de gegeneraliseerde tijden van zone i naar zone j met vervoerwijze v

� tijv = de tijden van zone i naar zone j met vervoerwijze v

� kijv = de kosten voor een verplaatsing van zone i naar zone j met

vervoerwijze v

� ink = inkomen

� γ = een coëfficiënt, die vaak recht evenredig is met het inkomen (γ = ± 3)

� het individuele verplaatsingsgedrag wordt veelal gerealiseerd binnen een

individueel kostenbudget en tijdbudget

H01I6A Verkeerskunde basis 27

Korte en lange afstand

� De meeste verplaatsingen zijn over de korte afstand

� Maar ook verplaatsingen over de lange afstand zijn belangrijk want verkeersdrukte is evenredig met de voertuigkilometers

Reistijd verdeling autoverplaatsingen

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 > 60

minuten

pro

cent

H01I6A Verkeerskunde basis 28

Distributiefunctie

� Aantal verplaatsingen naar een bestemming zal dalen naarmate de weerstand naar die bestemming toeneemt

� Weerstandseffect komt tot uitdrukking via de distributiefunctie f(cij)

� f(cij) = cij-α (negatieve machtsfunctie)

� f(cij) = e-βcij (negatief exponentiele functie)

� f(cij) = cij-α . e-βcij (combinatie van beide)

� (Tabel met discrete waarden)

Reistijd verdeling autoverplaatsingen

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 > 60

minuten

pro

cent

H01I6A Verkeerskunde basis 29

Enige analytische distributiefuncties

F(cij)

cij

cij-0.4

cij0.5

exp(-0.12cij)

exp(-0.05cij)

H01I6A Verkeerskunde basis 30

Eigenschappen distributiefunctie

� aantal verplaatsingen is eindig

� de distributiefunctie is monotoon dalend (minder verplaatsingen als de weerstand toeneemt)

� een zelfde weerstandsverschil heeft bij een grotere weerstand een kleinere invloed

H01I6A Verkeerskunde basis 31

Exponentiele distributiefunctie

ijzc

x ebF∗−

∗=

102010

)20(

)10( ∗∗+∗− == cccee

F

F

10110100

)110(

)100( ∗∗+∗− == cccee

F

F

Weerstandsverschil heeft een gelijke invloed bij grote en kleine weerstanden

H01I6A Verkeerskunde basis 32

� Lognormale functie

� Functie met discrete waarden

Distributiefuncties

)(ln

)(

2dzca

vZ

ijvv

ijvebF

+∗−∗=

vijv kZ FF =)( ZZkZ ijvvijv ∆+≤≤

H01I6A Verkeerskunde basis 33

Zwaartekrachtmodel: voorbeelden van

randvoorwaarden en weerstanden

Weerstand cij (minuten)

1 2 3 4

1 3 11 18 22

2 12 3 13 19

3 15.5 13 5 74 24 18 8 5

Randvoorwaarden

1 2 3 4 Voorspelde

Oi

1 0.74 0.33 0.17 0.11 400

2 0.30 0.74 0.27 0.15 460

3 0.21 0.27 0.61 0.50 400

4 0.09 0.17 0.45 0.61 702

Voorspelde

Dj 260 400 500 802 1962

F c eij

cij( ).

=−0 1

H01I6A Verkeerskunde basis 34

Zwaartekrachtmodel: voorbeeld van

waarden distributiefunctie

Startmatrix = Tabel met weerstandfactor F(c ij )= exp (-0.1 cij)

1 2 3 4j

∑ voorspelde

Oi

1 0.74 0.33 0.17 0.11 1.35 400

2 0.30 0.74 0.27 0.15 1.49 460

3 0.21 0.27 0.61 0.50 1.59 400

4 0.09 0.17 0.45 0.61 1.32 702

i

∑ 1.34 1.51 1.53 1.37 5.75

voorspelde

Dj 260 400 500 802 1962

H01I6A Verkeerskunde basis 35

Trips Tij as calculated by the gravity model

1 2 3 4 j

∑ ai

1 157 98 69 76 400 410.0

2 59 204 101 96 460 379.5

3 25 45 138 192 400 229.0

4 19 53 192 438 702 428.7

i

∑ 260 400 500 802 1962

bj 0.52 0.73 0.99 1.68

Zwaartekrachtmodel: resultaten

1 2 3 4 j

∑ predicted

Oi

1 5.2 43.6 97.2 254.0 400.0 400

2 44.7 3.8 83.7 327.9 460.1 460

3 76.7 128.7 7.2 187.4 400.0 400

4 133.4 223.9 311.9 32.6 701.8 702

i

∑ 260.0 400.0 500.0 801.9 1961.9

predicted

Dj

260

400

500

802

1962

Vergelijking uitkomsten zwaartekrachtmodel en groeifactormodel

H01I6A Verkeerskunde basis 36

Interpretatie van de evenwichtsfactoren

� Tij = Ai * Oi * Bj * Dj * F(cij)

� Ai * Oi = ai ; met Oi = vertrekken uit zone i

� Bj * Dj = bj ; met Dj = aankomsten in zone j

� Tij = li * Qi * mj * Xj * F(cij)

� Qi en Xj = polariteiten van de herkomst- en bestemmingszone

H01I6A Verkeerskunde basis 37

Calibratie van de distributiefunctie

Principe:

� Gegeven een H-B tabel met waarnemingen

� Neem aan dat voor deze H-B tabel een zwaartekrachtmodel geldt:

Tij = ai * bj * f(cij)

� Parameters zijn ai , bj en de parameters in de distributiefunctie f(cij)

� Calibreren betekent nu: Bepaal parameters zodanig dat een maximale aansluiting met de waargenomen H-B tabel wordt verkregen

H01I6A Verkeerskunde basis 38

Calibratie van de distributiefunctie

� Zoek naar ‘best fit’ van distributiemodel met waarnemingen

Methodes:

� Trial and error

� Maximum likelihood (bijv. Poissonschatter)

Probleem bij schatting:

� men beschikt over intensiteiten en niet over verplaatsingsgegevens (noodzakelijk om H-B tabel te reconstrueren)

H01I6A Verkeerskunde basis 39

Intrazonaal verkeer

� veelal erg omvangrijk (zeker bij grote zones)

Oplossing

� gebruik kleine zones en laat intrazonaal verkeer buiten beschouwing

� bereken (maak een schatting) van de intrazonale weerstand en schat distributiefunctie voor alle verplaatsingen

H01I6A Verkeerskunde basis 40

Externe zones

� Probleem: weerstanden naar externe zones zijn moeilijk nauwkeurig te bepalen

Oplossing:

� bereken externe verplaatsingen op basis van groeifactormodel

� pas tweetrapsberekening toe: eerst globale berekening voor gehele gebied, vervolgens nauwkeurige berekening voor studiegebied waarbij externe verplaatsingen uit eerste berekening als randvoorwaarde worden gehanteerd

H01I6A Verkeerskunde basis 41

Vervoerwijzekeuze

Berekening als onderdeel van de distributieberekening

� simultaan keuzemodel voor distributie en vervoerwijzekeuze

� aparte distributiefuncties per vervoerwijze (auto, o.v. en fiets)

� aparte distributiefuncties per motief van verplaatsing (werken, overig)

� aparte distributiefuncties per persoonskenmerk (autobeschikbaar,niet-autobeschikbaar)

H01I6A Verkeerskunde basis 42

Vervoerwijzekeuze

Invloedsfactoren:

� kenmerken van de reiziger� bezit (beschikbaarheid) vervoermiddel

� rijbewijsbezit

� kenmerken van de vervoerwijze (reistijd, kosten, etc.)

� kenmerken van de verplaatsing (motief, tijdstip, etc.)

H01I6A Verkeerskunde basis 43

Voorbeeld van berekening met multimodale zwaartekrachtmodel

� Randvoorwaarden

Randvoorwaarden (auto, fiets, openbaar vervoer tezamen!)

A B C Voorspelde Oi

A

B

C

100

100

200

Voorspelde

Dj 200 150 50

400

H01I6A Verkeerskunde basis 44

Voorbeeld van berekening met multimodale zwaartekrachtmodel

� Distributiefunctiewaarden per vervoerwijze

Waarden van de distributiefunctie

A B C

auto

A fiets

o.v.

20 10 2

10 5 1

4 3 1

auto

B fiets

o.v.

10 20 5

5 10 2

3 4 2

auto

C fiets

o.v.

2 5 20

1 2 10

1 2 4

)(m

ij

m

ij cF

H01I6A Verkeerskunde basis 45

Voorbeeld van berekening met multimodale zwaartekrachtmodel

Gesommeerde waarden distributiefunctie

A B C Voorspelde

Oj

A

B

C

34 18 4

18 34 9

4 9 34

56

61

47

100

100

200

56 61 47 164

Voorspelde

Dj 200 150 50 400

� Distributiefunctie gesommeerd over vervoerwijzen

∑m

m

ij

m

ij cF )(

∑i

∑j

H01I6A Verkeerskunde basis 46

Voorbeeld van berekening met multimodale zwaartekrachtmodel

� Resultaat: totale verplaatsingen

Verplaatsingen (alle vervoerwijzen) met zwaartekrachtmodel

A B C Σjai

A

B

C

78 22 0

50 48 2

72 80 48

100

100

200

1,01

1,23

7,85

Σi 200 150 50 400

bj 2,27 1,14 0,18

H01I6A Verkeerskunde basis 47

Voorbeeld van berekening met multimodale zwaartekrachtmodel

� Resultaat: verplaatsingen per vervoerwijze

Verplaatsingen per vervoerwijze

A B C Totaal

Oim

Totaal

Oiauto

A fietso.v.

46 12 023 6 09 4 0

582913

100

autoB fiets

o.v

28 28 214 14 08 6 0

582814

100

autoC fiets

o.v

36 44 2818 18 1418 18 6

1085042

200

autoTotaal fietsDj

m o.v.

110 84 3055 38 1435 28 6

22410769

Totaal Dj 200 150 50 400

H01I6A Verkeerskunde basis 48

Sequentieel keuzemodel distributie en vervoerwijzekeuze

� berekening vervoerwijzekeuze na distributie

� berekening vervoerwijzekeuze voor distributie

Probleem: welke weerstand hanteren in distributiefunctie

� gemiddelde weerstand?

� minimale weerstand?

H01I6A Verkeerskunde basis 49

Benadering met gebruikmaking logsom

� Tij = ai * bj * exp (Vij)

� Vij = utiliteit gemoeid met verplaatsing tussen i en j gerekend over alle vervoerwijzen

� Vij = θ LSij

Waarbij:

� LSij = ln Σ exp (Vijm’)

m∈ij

� 0 < θ ≤ 1

H01I6A Verkeerskunde basis 50

Het klassieke verkeersprognosemodel

Gebieds-gegevens

Ritproductie/ritattractie

Vervoersstromen

Trip-ends

Verplaatsings-weerstanden

H-B tabellen

Distributie/vervoerwijzekeuze

Toedeling

Transportnetwerken